Calculo vectorial

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CALCULO VECTORIAL . E:E: KASSIR . Universidad Nacional de Colombia. BogotÆ, enero de 2009.

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  • CALCULO VECTORIAL.

    E:E: KASSIR.

    Universidad Nacional de Colombia.

    Bogot, enero de 2009.

  • ii

  • NDICE GENERAL

    Introduccin VII

    1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 11.1. El espacio vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Subespacios de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Producto punto y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5. Producto vectorial, rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6. Supercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7. Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . 351.8. Conceptos bsicos de topologia en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 492.1. Funciones de variable real y valor vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.4. Geometra de campos escalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.6. Limites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.7. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.8. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    3. DIFERENCIABILIDAD 1053.1. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.4. Funciones implicitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.5. Mximos y mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.6. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    iii

  • iv NDICE GENERAL

    4. INTEGRALES MULTIPLES 1494.1. Integrales dobles sobre rectngulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.2. Integral doble sobre regiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.3. Cambio de coordenadas en integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.4. Aplicaciones de las integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.5. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.6. Cambio de coordenadas en integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.7. Aplicaciones de las integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

    5. INTEGRALES DE LINEA 2055.1. Integral de lnea de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.3. Integral de lnea de campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.4. Trabajo, ujo y circulacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.5. Teorema fundamental del clculo para integrales de lnea. . . . . . . . . . . 2215.6. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

    6. INTEGRALES DE SUPERFICIE 2416.1. Supercies paramtrizadas y reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.2. Integrales de supercie de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.3. Integrales de supercie de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.5. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

    A. Apendice 271

    Afterword 273

  • Prefacio

    v

  • vi NDICE GENERAL

  • Introduccin

    vii

  • viii INTRODUCCIN

  • CAPTULO 1

    GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Es el mejor de los buenosquien sabe que en esta vidatodo es cuestin de medida:un poco ms, algo menos...A. MACHADO, CXXVI"Proverbios y cantares", XII

    1

  • 2 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    En los cursos anteriores de clculo se consideraron funciones de variable real y valor real,o sea funciones denidas sobre subconjuntos de la recta real. El clculo vectorial considerafunciones denidas en espacios vectoriales euclidianos. Sin embargo muchas aplicacionesprcticas requieren de la rica estructura geomtrica del espacio euclidiano.En este captulo se tratar el espacio euclidiano en detalle, como una condicin para

    poder iniciar un curso bsico de clculo para funciones de varias variables. La belleza y lapotencia del lgebra lineal se vera con mayor claridad cuando visualisemos Rn como unespacio vectorial. El estudio de los espacios vectoriales no es tan diferente del estudio deRn, ya que a partir de la geometria en R2 y R3 podemos visualizar muchos conceptos. Seinicia con los conceptos de punto y vector en Rn, coordenadas, planos coordenados hastallegar a la topologa bsica de Rn.

    1.1. El espacio vectorial Rn

    El conjunto Rn es la colecin de todas las n-tuplas ordenadas de nmeros reales y estadeterminado por Rn = f(x1; x2; :::; xn)jxi 2 Rg:Recordando que el producto cartesiano delos conjuntos A y B no vacios es por denicin el conjunto A B de parejas ordenadas(a; b) tales que a 2 A y b 2 B, podemos ver que Rn es el producto cartesiano RR :::R(n veces).La idea de emplear un nmero para situar un punto sobre una recta fue conocida por

    los griegos. En 1637 Rene Descartes 1utilizo un par de nmeros para situar un punto en elplano y una terna de nmeros para situar un punto en el espacio. En el siglo Arthur Cayleyy H.G. Grassman extendiern esta idea a n-tuplas de nmeros reales. La representacingeomtrica de R, es el conjunto de los puntos P de una recta identicados medianteun nico nmero real x, luego de determinar una unidad de longitud. De igual formala representacin geomtrica de R2, es el conjunto puntos P de un plano identicadosmediante una nica pareja ordenada de nmeros reales (x1; x2), escogiendo un punto jo0 llamado origen y dos rectas dirigidas que pasan por 0 y son perpendiculares llamadas

    1

    Ren Descartes. Nacio el 31 de marzo de 1596 en La Haye (Touraine) actualDescartes y murio el 11 de febrero, de 1650 en Estocolmo Considerado el primerlsofo moderno, utiliz la ciencia y las matemticas para explicar y pronosticaracontecimientos en el mundo fsico. Su famosa frase ogito, ergo sum"("Pienso,luego existo") fue el punto de partida que le llev a investigar las bases delconocimiento. Lo inquietaron los mtodos de los gemetras griegos para llegar asus ingeniosas pruebas y se propuso corregirlos mediante el manejo de lneas yguras tridimensionales en una grca. Dibujaba la grca marcando unidadesen una lnea horizontal (eje x) y una lnea vertical (eje y); as, cualquier pun-to de la grca poda describirse con dos nmeros. Aunque conservaba las reglasde la geometra euclidiana, combinaba el lgebra y la geometra, consideradas en-tonces como independientes, para formar una nueva disciplina matemtica llamadageometra analtica.

  • 1.1. EL ESPACIO VECTORIAL RN 3

    ejes de coordenadas x1 y x2, aunque es ms familiar usar para los puntos y los ejes x yy, en lugar de x1 y x2. Los dos ejes de coordenadas dividen el plano cartesiano en cuatropartes llamadas cuadrantes. Las coordenadas cartesianas del punto P estan formadas porla pareja ordenada (a; b) en donde a se denomina abscisa y es la distancia perpendiculardirigida de P al eje x, luego su proyeccin en el eje x es un punto Q(a; 0), y b se denominaordenada y es la distancia perpendicular dirigida de P al eje y, luego su proyeccin enel eje y es un punto R(0; b). Tambien la representacin geomtrica de R3, es el conjuntopuntos P del espacio identicados mediante una nica terna ordenada de nmeros reales(x1; x2; x3), escogiendo un punto jo 0 llamado origen y tres rectas dirigidas que pasanpor 0 y son perpendiculares entre si, llamadas ejes de coordenadas x1; x2 y x3;aunque esms familiar usar para los puntos y los ejes x, y y z, en lugar de x1, x2 y x3. Los tresejes de coordenadas determinan tres planos coordenados xy (o z = 0), xz (o y = 0 ) yyz (o x = 0), que dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes. Para un puntoP (a; ; b; c), a, b y c son las distancias dirigidas del punto P a los planos coordenados xy,xz y yx respectivamente y su proyeccin en estos planos son los puntos (a; 0; 0), (0; b; 0) y(0; 0; c) obtenidolos en forma geometrica trazando una perpendicular desde el punto hastael plano coordenado. Aunque no se puedan gracar todos los casos, es posible imaginar larepresentacin geometrica Rn, como el conjunto de puntos P en Rn identicados medianteuna n-tupla ordenada de nmeros reales (x1; x2; :::; xn),.xi se denomina coordenada i-esimao la componente i-esima de P . Se adoptara la convencion de usar letras en negrita paradenotar n-tuplas en y letras ordinarias para denotar simplemente numros reales.

    El conjunto Rn est dotado de dos operaciones algebraicas suma y producto por escalar.Dados dos puntos X = (x1; x2; :::; xn) y Y = (y1; y2; :::; yn) de Rn; su suma X + Y estadenida por X +Y = (x1; x2; :::; xn)+ (y1; y2; :::; yn) = (x1+ y1; x2+ y2; :::; xn+ yn) y dadok 2 R, el multiplo escalar kX esta denido por, kX = k(x1; x2; :::; xn) = (kx1; kx2; :::; kxn),geometricamente kX es una translacin del punto X.

    Ejemplo 1.1.1 Si P (2; 1;3) y Q(0;1; 1) entonces:P +Q = (2; 1;3) + (0;1; 1) = (2 + 0; 1 1;3 + 1) = (2; 0;2),P Q = (2; 1;3) (0;1; 1) = (2 0; 1 + 1;3 1) = (2; 2;4),2P = 2(2; 1;3) = (4; 2;6)5Q = 5(0;1; 1) = (0;5; 5)

  • 4 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Frecuentemente los elementos de Rn se denominan vectores. Ademas un vector es sim-plemente una n- tupla ordenada de nmeros reales representado por PQ donde P yQ sonpuntos de Rn, tales que P es el punto inicial de v y Q es el punto nal de v, numericamentev = [qi pi] para i = 1; 2; ::::n. Si P = 0 se dice que v esta anclado en el origen y v dedenomina vector posicin del punto P:

    Notacin 1 v = [vi] con i = 1; 2; 3; :::; n

    Diferentes representaciones del vector [1; 2]

    Geometricamente v +w

    Geometricamente kv

    Ejemplo 1.1.2 El vector v con punto inicial P (2; 3; 1) y punto nal Q(1; 1; 2) es iguala v = [(1; 1; 2) (2; 3; 1)] = [1 2; 1 3; 2 1] = [3;2; 1]

    Dos vectores v y w son iguales si vi = wi para todo i = 1; 2; ::::n y dos vectoresson equivalentes si tienen igual direccin, longitud y sentido, sin importar la posicin quetengan. Igual que en puntos el conjunto de vectores de Rn est dotado de dos operacionesalgebraicas, llamadas suma vectorial y producto por escalar, dados dos vectores v =[v1; v2; :::; vn] y w = [w1; w2; :::; wn] de Rn; su suma v + w esta denida por, v + w =[v1; v2; :::; vn] + [w1; w2; :::; wn] = [v1 + w1; v2 + w2; :::; vn + wn] y dado k 2 R, el multiplo

  • 1.1. EL ESPACIO VECTORIAL RN 5

    escalar kv esta denido por kv = [kv1; kv2; :::; kvn]. El nmero real k se denomina escalar.Geometricamente v y kv son paralelos, si k es positivo entonces kv tiene igual direcciny sentido que v y si k es negativo kv tiene igual direccin y sentido contrario que v.Nota: v w es una abreviacin de v + (w) y (w) es una abreviacin de (1)w

    Ejemplo 1.1.3 Si v = [4; 2; 1; 0] y w = [2; 0;1; 1] entoncesv +w = [4; 2; 1; 0] + [2; 0;1; 1] = [4 + 2; 2 + 0; 1 1; 0 + 1] = [6; 2; 0; 1],v w = [4; 2; 1; 0] [2; 0;1; 1] = [4 2; 2 0; 1 + 1; 0 1] = [2; 2; 2;1],4v = 4[4; 2; 1; 0] = [16; 8; 4; 0]2w = 2[2; 0;1; 1] = [4; 0; 2;2]

    Ejemplo 1.1.4 Para que valores de k los vectores [ 3;5] y [k; 10] son iguales.Por igualdad de vectores 3 = k y 5 = 10;como = 1

    2entonces 3 = 1

    2k luego k = 6

    Un espacio vectorial es un conjunto V no vacio con dos aplicaciones + : V V ! Vy : R V ! V V , tal que para todo v; w; u de V satisface las siguientes propiedades.(i)v +w 2 V(ii) (v +w) + u = v + (w + u)(iii)90 2 V; v + 0 = 0+ v = v(iv)9 v 2 V; v + (v) = (v) + v = 0(v)v +w = w + v(vi) kv 2 V para todo k 2 R(viii) (k + l)v = kv + lv para todo k; l 2 R(ix) (kl)v = k(lv) para todo k; l 2 R(x) 1v = v

    Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores.Rn con la suma usual y el producto por escalar usual es un espacio vectorial.

    Ejemplo 1.1.5 El conjunto V = C[0; 1] de las funciones continuas de valor real denidasen el intervalo [0; 1] con f(0) = 0 y f(1) = 0, con la suma usual y el producto por escalarentre funciones, es un espacio vectorial, pues si f 2 V y g 2 V, entonces f+g es continuay f(0)+g(0) = f(1)+g(1) = 0. luego 0 2 V, ademas f es continua y f(0) = f(1) = 0

    Ejemplo 1.1.6 El conjunto V = f5g con la suma y producto usuales en R no es espaciovectorial ya que 5 + 5 = 10 =2 V.

  • 6 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Ejercicios seccin 1.1

    1. Suponga que empezamos un recorrido en el origen moviendonos a lo largo del eje x 5unidades en direccin positiva, luego nos movemos 4 unidades en direccin paralelaal eje y positivo, y por ultimo nos movemos 3 unidades hacia abajo. Cuales son lascoordenadas de nuestra posicin?

    2. Determine cual de los siguientes puntos P (1; 2; 3), Q(2;1; 5),R(0; 3;6) y S(8; 5;2)

    a) Esta mas cerca del plano xy.

    b) Esta en el plano yz.

    c) Esta mas lejos del plano xz

    3. Cuales son las proyecciones del vector v = [1;2; 2] en los planos coordenados. Traceun paralelepipedo con aristas en estas proyecciones, un vrtice en el origen, otro enel extremo del vector v y halle las coordenadas de los otros vrtices.

    4. Cuales de las siguientes cantidades son vectores y cuales son escalares.

    a) El nmero de estudiantes de un curso de clculo vectorial.

    b) La cantidad de informacin que viaja por Internet

    c) La trayectoria seguida por un automovil que sale de Bogota a Cali.

    5. Cual es la relacin entre el vector v = [xi] y el punto p = (xi) para i = 1; 2; :::; n

    6. Para los vectores dados v y w determine v + w, v w, 3v, 2v5w.

    a) v = [1;2] y w = [3; 5]b) v = [0; 2; 3] y w = [6; 1; 7]c) v = [1;2;3;4] y w = [2; 4; 6; 8]

    7. Si P;Q;R; S son cuatro puntos diferentes de Rn determine de manera graca.

    a) QR +RS

    b) PQ+QR +RS

    c) PQRS

    8. Utilizando los vectores de la gura, trazar los siguientes vectores

    a) v +w

    b) v wc) 2v + 3w

  • 1.1. EL ESPACIO VECTORIAL RN 7

    9. Si x y y son dos puntos de Rn y * una operacn denida en Rn tal que xy = (xiyi)con x = (x1; x2; :::; xn) ; y = (y1; y2; :::; yn) ; i = 1; 2; :::; n :Demuestre o refute lossiguientes enunciados

    a) * es conmutativa en Rn

    b) * es asociativa en Rn

    c) Existe elemento neutro e en Rn tal que para todo x 2 Rn; e x = x e = xd) Para todo x existe x1 2 Rn, tal que x x1 = x1x = ee) Si z x = z y con z 2 Rn diferente de e; entonces x = y

    10. Determine si el conjunto dado es un espacio vectorial.

    a) El conjunto de nmeros reales x; y ; con las siguientes operaciones, x + y =MCD(x; y) y x y = mcm(x; y).

    b) El conjunto de funciones de valores reales con primera derivada continua denidasen el intervalo [0; 1], con las siguientes operaciones, (f + g)0(x) = f 0(x) + g0(x)(f)0(x) = (f 0(x))

    c) El conjunto de matrices de 2 2 tales que a11 = 1, con la suma y el productopor escalar usual en matrices.

    11. Determine si existe un espacio vectorial con exactamente.

    a) Cero elementos

    b) Un elemento

    c) Dos elementos

    12. Suponga que si u es un elemento de un espacio vectorial V , demuestre que si u+u = 0entonces u = 0

    13. Es posible encontrar dos espacios vectoriales diferentes que posean el mismo elementocero. Justique su respuesta.

    14. Uso de tecnologia (CAS)

    a) Graque varios puntos en R2 y en R3.

    b) Graque varios vectores en R2 y en R3

    15. Utilizando un CAS construya la funcin Resultante(v;w) tal que dados v y w deR2 graque v;w y v +w

  • 8 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    1.2. Subespacios de Rn

    En est seccin consideraremos subconjuntos de un espacio vectorial denominadossubespacios vectoriales que conservan la estructura del espacio vectorial. Un tratamientosin usar coordenadas de los conceptos de espacio vectorial aparecio en 1.862 en la versindel Ausdehnungslehre de .Hermann Grassmann2, en el aparecen las ideas basicas de lateoria de espacios vectoriales incluyendo las nociones de subespacio, combinaciones lineales,independencia lineal y base.

    Como todo subespacio vectorial H es un espacio vectorial debe contener al vectorcero, entonces para determinar si H es subespacio vectorial, primero se debe vericar si elvector cero esta en H. Todos los espacios vectoriales poseen cierto tipo de subconjuntosque tambien son espacios vectoriales denominados subespacios vectoriales.

    Si H es un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V se dice que H es subespaciovectorial de V si:(i) 8h1, h2 2 H, h1 + h2 2 H(ii) 8k 2 R; kh 2 HEl espacio vectorial V contiene dos subespacios 0 y V , llamados subespacios triviales.

    Los subespacios de V diferentes de 0 y V , se llaman subespacios propios.

    Ejemplo 1.2.1 El conjunto de todos los puntos de Rn con la ltima coordenada cero(x1; x2; :::; xn1; 0) es un subespacio vectorial de Rn y es igual a Rn1

    Ejemplo 1.2.2 El conjunto S1 = ffxnjn 2 Ngjxn ! 1 si n ! 1g no es subespaciovectorial de el espacio vectorial de todas las sucesiones de nmeros reales S. La sucesin0 = fxn = 0jn 2 Ng no pertenece a S1 pues no converge a 1. La suma de dos sucesionesconvergentes a 1 es una sucesin que converge a 2. Si la sucesin x = fxnjn 2 Ng convergea 1, entonces la sucesin y = fxnjn 2 Ng no pertenece a S1 pues converge a 1

    Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V:Entonces H1 \ H2 es unsubespacio vectorial de V . Pero veamos que si H1 y H2 son dos subespacios de un espaciovectorial V , no necesariamente H1 [H2 es un subespacio vectorial de V .

    2

    Hermann Gunter Grassmann Nacio en Stettin, 15 de abril de 1809 y murio el 26de septiembre de 1877, fue un lingista y matemtico alemn, tambin fue fsico,humanista, erudito y editor. Evidentemente, la inuencia de su padre en esta vafue muy importante, y pudo haber llegado a ser profesor de matemticas, pero ya sehaba decidido a llevar a cabo investigaciones matemticas por su cuenta. Entre losmuchos temas que abord Grassman est su ensayo sobre la teora de las mareas.Lo elabor en 1840, tomando com base la teora de la Mchanique analytique deLagrange y de la Mchanique cleste de Laplace, pero exponiendo esta teora pormtodos vectoriales, sobre los que trabajaba desde 1832. Este ensayo, publicado porprimera en los Collected Works de 1894-1911, contiene el primer testimonio escritode lo que hoy se conoce como lgebra lineal y la nocin de espacio vectorial.

  • 1.2. SUBESPACIOS DE RN 9

    Ejemplo 1.2.3 Si H1 = f(x; y) 2 R2jy = x2g y H2 = f(x; y) 2 R2jy = x3g sonsubespacios de R2,

    H1[H2 no es un subespacio vectorial de R2, veamos que (2; 4) 2 H1 y que (2; 8) 2 H2,pero (2; 4) + (2; 8) = (4; 12) =2 H1 [H2 por que (4; 12) =2 H1 y (4; 12) =2 H2.

    Si v1; v2; :::; vn son vectores de un espacio vectorial V , entonces cualquier expresion de laforma 1v1+2v2+:::+nvn ; donde i 2 R se denomina combinacion lineal de v1; v2; :::; vn:Si w es una combinacin lineal de v1; v2; :::; vn, entonces esa combinacin puede no sernica. Si S es el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1;v2; :::;vn,entonces Ses generado por v1;v2; :::;vn. Si v1;v2; :::;vn son vectores de un espacio vectorial V , elespacio generado por fv1;v2; :::;vng es el conjunto de todas las combinaciones linealesde v1;v2; :::;vn: El generador de un conjunto V es el mnimo nmero de vectores que logenera.Es decir si se agregan vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjuntogenerador. Si w es una combinacin lineal de v1;v2; :::;vn y cada vi es combinacin linealde u1;u2; :::;uk entonces w es combinacin lineal de u1;u2; :::;uk

    Ejemplo 1.2.4 En el conjunto Pn de polinomios de grado menor o igual a n todo poli-nomio se puede escribir como combinacin lineal de los monomios 1; x; x2; :::; xn

    Ejemplo 1.2.5 Verique que si v1; v2; :::; vn,vn+1 son n+1 vectores de un espacio vectorialV y si v1;v2; :::;vn, genera a V entonces v1; v2; :::; vn,vn+1 tambien genera a V .

    Sea v 2 V , entonces existen escalares 1; 2; :::; n tales que v = 1v1+2v2+ :::+nvn

    Si n+1 = 0 entonces v = 1v1 + 2v2 + :::+ nvn+n+1vn+1 luego v1; v2; :::; vn,vn+1genera a V .

    Propiedad 1.2.1 Si v1;v2; :::;vn son vectores de un espacio vectorial V , entonces genfv1;v2; :::;vnges un subespacio vectorial de V .

    Si S = fv1;v2; :::;vpg y T = fw1;w2; :::;wpg son subconjuntos de un espaciovectorial V , se dice que S y T son equivalentes si Gen(S) = Gen(T )

    Los vectores v1; v2; :::; vn, se dice que son linealmente independientes si ninguno deellos es combinacin lineal de los otros, en caso contrario se dice que son linealmentedependientes.El siguiente teorema demuestra que un conjunto de vectores v1;v2; :::;vn, son lineal-

    mente independientes.

    Teorema 1.2.1 Los vectores v1;v2; :::;vn son linealmente dependientes si y slo si exis-ten nmeros reales a1; a2; :::; an no todos cero, tales que a1v1 + a2v2 + :::+ anvn = 0

  • 10 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Demostracin. Supongamos que a1 6= 0;entonces v1 = a2

    a1v2 a3

    a1v3 ::: an

    a1vn

    por lo tanto v1;v2; :::;vn son linealmente dependientes

    Si por el contrario v1 = b2v2 + ::: + bnvn tenemos que a1v1 + a2v2 + ::: + anvn = 0con a1 = 1 6= 0 y bi = ai para i > 1.

    Teorema 1.2.2 Un conjunto de m vectores en Rn es linealmente dependiente si m > n

    Ejemplo 1.2.6 Si f y g son funciones de C1[0; 1] y W (f; g)(x) =cg(x) g(x)cg0(x) g0(x)

    veamosque si f y g son linealmente dependientes, entonces W (f; g)(x) = 0 para todo x 2 [0; 1]:Supongamos que f(x) = cg(x) para algun c 2 Rentonces f 0(x) = cg0(x) luego W (f; g)(x) =

    cg(x) g(x)cg0(x) g0(x) = 0

    C1[0; 1] conjunto de funciones con primera derivada continua de valor real denida en

    el intervalo [0; 1] y se denomina Wronskiano de f y g.

    Teorema 1.2.3 Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn gen-era a Rn.

    La dimensin de V se denota dimV . La dimensin de Rn es igual a n.

    Un conjunto de vectores fv1; v2; :::; vng es una base del espacio vectorial V si :(i) fv1;v2; :::;vng es linealmente independiente(ii) fv1;v2; :::;vng genera aV .

    Si el espacio vectorial V tiene una base nita, entonces la dimensin de V es el nmerode vectores de esa base y V se llama espacio vectorial de dimensin nita. De otra formaV se llama espacio vectorial de dimensin innita. Si V = 0 entonces dimensin de Ves igual a cero. La dimensin de Rn es igual a n. La dimensin de V se nota dimV .Cualquier espacio vectorial que contenga un subespacio vectorial de dimensin innita esde dimensin innita.El conjunto de vectores e1 = (1; 0; :::; 0); e2 = (0; 1; :::; 0); :::; en = (0; 0; :::; 1) es un

    conjunto linealmente independiente, que genera a Rn por lo tanto constituye una base enRn:Esta base se denomina base cannica de Rn.

    Ejemplo 1.2.7 El conjunto f1; x; x2; x3g constituye una base para P3, llamada base canni-ca .

    Teorema 1.2.4 Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn esuna base de Rn.

  • 1.2. SUBESPACIOS DE RN 11

    Teorema 1.2.5 Si un espacio vectorial V tiene una base de dimensin nita, entoncescualquier otra base de V tiene el mismo nmero de vectores.

    Propiedad 1.2.2 Cualquier espacio vectorial V que contiene un subespacio vectorial dedimensin innita, es de dimensin innita.

    Si V es un espacio vectorial de dimensin nita y si B = fv1; v2; :::; vng es una basede V , entonces para cada vector v 2 V existen escalares c1; c2; :::; cn tales que v =c1v1 + c2v2 + ::: + cnvn, luego (c1; c2; :::; cn) es el sistema de coordenadas del vector vrelativo a la base B.

    Ejemplo 1.2.8 Utilizando la base f(1; 0; 0); (1; 1; 0); (1; 1; 1)g, hallar las coordenadas deun vector (x; y; z)Debemos hallar escalares c1; c2 y c3 tales que (1; 0; 0)c1 + (1; 1; 0)c2 + (1; 1; 1)c3 =

    (x; y; z)cuya solucin es (x y; y z; z)

    Si B1 = fv1;v2; :::;vng y B2 = fv01;v02; :::;v0ng son bases de un espacio vectorialV , en las que cada vector v 2 V se podra expresar en dos sistemas de coordenadas. Sise conocen los vectores de la base B2 en funcin de los vectores de la otra base B1, seraposible encontrar las ecuaciones del cambo de coordenadas

    v0j =nPi=1

    qijvi para j = 1; 2; :::; n,

    entonces el sistema de coordenadas (c1; c2; :::; cn), se podra representar en funcin de(c

    01; c

    02; :::; c

    0n) de la siguiente manera

    ci =nPj=1

    qijv0j para i = 1; 2; :::; n

    Matricialmente se puede expresar de la siguiente manera X = QX 0

    donde X =

    26664c1c2...cn

    37775 ; X 0 =26664c01c02...c0n

    37775 y Q =26664q11 q12 : : : q1nq21 q22 : : : q2n...

    ... : : :...

    qn1 qn2 : : : qnn

    37775es una matriz invertible, llamada matriz de cambio de coordenadas.

    Ejercicios seccin 1.2.

    1. Determine si el conjunto H es subespacio del espacio vectorial V .

    a) V = Pn, H = fp 2 P j p(0) = 0g, Pn : Conjunto de los polinomios de gradomenor o igual a n

    b) V = C1[0; 1], H = ff 2 C1[0; 1]jjf(0) = 0g, C1[0; 1] : conjunto de funcionescon primera derivada continua de valor real denida en el intervalo [0; 1]

  • 12 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    c) V = C[a; b]; H = ff jf(x) 0, para todo xg

    2. Sean V = M22 (el conjunto de matrices de 2 2) H1 = fA 2 M22 : a11 = 0g yH2 = fA 2 M22 : a11 = a22 , a12 = a21g Demuestre que H1 \H2 es subespacio deV .

    3. De un ejemplo de dos subespacios vectoriales H1 y H2 de V; tal que H1 [ H2 seasubespacio vectorial de V .

    4. Determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado.

    a) En R2; (1; 2); (2; 1)b) En P2; 1 x; 2 x2

    c) En M22;2 10 0

    ;

    0 20 1

    ;

    0 02 1

    ;

    2 01 0

    5. Muestre que si u y v estan en genfv01;v02; :::;v0ng , entonces U + V y V tambienestan en genfv01;v02; :::;v0ng

    6. Determine si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o independi-ente.

    a) (1; 0; 1); (0; 1; 1); (1; 1; 0)

    b) En P2; 1 x; xc) En C[0; 1]; Senx; Cosx

    7. Determine para que valor(es) de son linealmente dependientes los vectores (1; 2; 3); (2;1; 4)y (3; ; 4).

    8. Considere el espacio vectorial de las funciones de variable real t. Muestre que lasiguientes parejas de funciones son linealmente independientes.

    a) 1; t

    b) et; t

    c) Sent; Cost

    9. Demuestre que si S es linealmente independiente entonces cualquier conjunto novacio que resulte de S eliminando vectores es linealmente independiente.

    10. Encuentre una base y su dimensin, para el subespacio vectorial H dado.

    a) H = f(x; y; z):x = 2t; y = t; z = 5t ; t 2 Rgb) H = fD 2M33jD es diagonalg

  • 1.3. PRODUCTO PUNTO Y ORTOGONALIDAD 13

    c) H = fp 2 P3 : p(0) = 0g

    11. Verique que el conjunto f(1; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 0)g es una base de R3 y exprese elvector (x; y; z) en terminos de esta base.

    12. Para que valor(es) de los vectores (; 1; 0); (1; 0; ) y (; 1; ), constituyen unabase para R3.

    13. Encontrar las coordenadas del vector v relativo a la base S.

    a) S = f(2; 1; 0); (3;3 1); (2; 1: 1)g, v = (4; 13;6).

    b) S =1 11 1

    ;

    1 10 1

    ;

    0 10 1

    ;

    0 00 1

    , v =

    1 42 2

    c) S = f1 + 2x x2; 1 3x; 2g; v = 3 2x2

    14. Si S = fv01;v02; :::;v0ng es una base de un espacio vectorial V y x = a1v1 + a2v2 +::: + anvn y y = b1v1 + b2v2 + ::: + bnvn , vectores arbitrarios de V , encuentre lascoordenadas de x+ y y de kx (k 2 R) relativo a la base S.

    15. Uso de tecnologia (CAS)

    a) Dependencia o independencia..

    b) Dimensin.

    16. Utilizando un CAS construya una funcin COORDENADAS que determine las co-ordenadas de un vector relativo a una base.

    1.3. Producto punto y ortogonalidad

    Para obtener una estructura geometrica ms completa de Rn que incluya los conceptosde distancia, ngulos y ortogonalidad, debemos dotar a Rn de un producto interior.El producto interior en un espacio vectorial V es una aplicacin : V V ! R,

    que asocia a cada par de vectores v y w de V un nmero real < v;w >, que satiface lassiguientes condiciones:(i) hv,vi 0(ii) hv,wi = hw,vi(iii) hkv + lw,ui = khv,ui+ lhw,uiPara todo v; w yu 2 V y k; l 2 R

    El producto interno en Rn denido de la siguiente formahv,wi =

    nPi=1

    viwi = v1w1 + v2w2 + ::: + vnwncon i = 1; 2; :::; n y denotado v w sedenomina producto punto, o producto escalar, o producto euclidiano en Rn

  • 14 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Ejemplo 1.3.1 Si v = [5; 8] y w = [4; 3] , v w = (5)(4)+(8)(3) = 20+24 = 4

    Todo producto interior h; i en V satisface las siguientes desigualdades.(i) jhv;wij phv; viphw;wi, para todo v; w de V , desigualdad de Schwarz(ii)phv + w, v + w > phv; vi +phw;wi para todo v; w de V , desigualdad de

    Minkowski3.

    La norma de un vector tambin se conoce como el mdulo. A partir del productointerno la norma de v esta determinada por kvk=phv, v > y se denomina norma asociadaal producto interior. Dos vectores son equivalentes, si tienen igual longitud, direccin ysentido.A partir del producto interno podemos determinar la longitud o medida de un vector

    v 2 Rn, denominada la norma vectorial de v, como una aplicacin kk : V ! R, quea cada vector v del espacio vectorial V le asocia un nmero real no negativo kvk, quesatisface las siguientes condiciones :(i) kvk 0(ii) kkvk = jkj kvk(iii) kv +wk kvk+ kwkPara todo v y w 2 V y k 2 R

    En el espacio vectorial Rn, la norma denida de la siguiente forma kxk =r

    nPi=1

    x2i con

    i = 1; 2; :::; n se denomina norma vectorial euclidiana

    Ejemplo 1.3.2 Las siguientes son normas vectoriales en Rn:kxk1 = maxfjxijg, kxk1 =

    nPi=1

    jxij,kxk2 =nPi=1

    x2i para i = 1; 2; :::; n

    En C[0; 1] denimos el producto interior f g = R baf(x)g(x)dx , en particular en C[0; 1]

    sean f(x) = 2x y g(x) = x2 entonces f g = R 102x3dx =

    x4

    2j10 =

    1

    23

    Hermann Minkowski (22 de junio de 1864 - 12 de enero de 1909) fue unmatemtico alemn de origen judo que desarroll la teora geomtrica de losnmeros, naci en Aleksotas, Rusia (actualmente Kaunas, Lituania), y curs susestudios en Alemania en las universidades de Berln y Knigsberg, donde realizsu doctorado en 1885. Durante sus estudios en Knigsberg en 1883 recibi el pre-mio de matemticas de la Academia de Ciencias Francesa por un trabajo sobralas formas cuadrticas. Imparti clases en las universidades de Bonn, Gttingen,Knigsberg y Zrich. En Zrich fue uno de los profesores de Einstein. Minkowskiexplor la aritmtica de las formas cuadrticas que concernan n variables. Susinvestigaciones en este campo le llevaron a considerar las propiedades geomtricasde los espacios n dimensionales. En 1896 present su geometra de los nmeros,un mtodo geomtrico para resolver problemas en teora de nmeros.

  • 1.3. PRODUCTO PUNTO Y ORTOGONALIDAD 15

    podemos determinar la norma de g por kgk = pg g, entonces g g = R 10x4dx =

    x5

    5j10 =

    1

    5, luego kgk = 1p

    5Una aplicacin d : RnRn ! R es una distancia en Rn si dados x, y, z 2 Rn, satisface

    las siguientes condiciones(i) d(x; y) = 0 si y solo si x = y(ii) d(x; y) 0(iii) d(x; y) d(x; z) + d(z; y)(iv) d(x; y) = d(y; x)

    Si v es un vector de R2 y el ngulo que forma v con el eje X positivo entoncesv = [Cos; Sen ]. Si kvk = 1 el vector v se denomina unitario. Si kk es una normaen Rn, la aplicacin d(x;y) = kx yk es una distancia en Rn denominada distanciaeuclidiana.

    Ejemplo 1.3.3 Hallar la distancia del punto p = (2; 3; 1) al punto q = (1; 0; 1):Esequivalente a hallar la norma del vector pq

    d(p; q) = kp qk = k(2; 3; 1) (1; 0; 1)k = k(3; 3; 0)k = p18Teorema 1.3.1 Sea el ngulo entre dos vectores u y v de Rn, entonces u v = kuk kvk cos Demostracin. Considerando un tringulo de lados u y v;por la ley de los cosenos kv uk2 = kuk2 + kvk2 2 kuk kvkCosluego 2 kuk kvkCos=kuk2+kvk2kv uk2 = uu+v v(vu)(vu) = 2uvPor lo tanto v w = kvk kwkCos

    Ejemplo 1.3.4 Calcular el ngulo positivo que forma el vector v = [p3; 1] con el ejeX

    positivoComo v no es unitario construimos un vector unitario con la misma direccin de v,v

    kvk =[p3; 1]

    2=

    "p3

    2;1

    2

    #luego cos =

    p3

    2y sen =

    1

    2por lo tanto =

    6

    Ejemplo 1.3.5 Suponga que v es un vector jo de longitud 3 y w es un vector cualquierade longitud 2. Cuales son los valores mximo y mnimo de v w y en que posiciones de vy w se dan estos resultados. v w = kvk kwkCos = 3 2Cos = 6Cos:Mximo valores 6 cuando Cos = 1 o sea = 0. Mnimo valor es 6 cuando Cos = 1 o sea =

    Dos vectores no nulos v y w de un espacio vectorial V se dice que son ortogonales sihv;wi = 0:Un conjunto de vectores no nulos v1; v2; :::; vn de V se dice que es ortogonal sihvi,vji = 0, para i 6= j: Si cada vector vi es unitario se dice que el conjunto es ortonormal.Una base ortogonal es una base formada con vectores ortogonales. Una base ortonormales una base formada con vectores ortonormales.

    Ejemplo 1.3.6 La base canonica de Rn es un conjunto ortonormal en Rn.

  • 16 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Ejemplo 1.3.7 Si v y w son vectores ortogonales de Rn tales que kvk = 3 ; kwk =7: Calcule kv +wk y kv wkComo v y w son ortogonales entonces v w = 0y kv +wk2 = (v+w)(v+w) = vv+2vw+ww = kvk2+kwk2 = (3)2+(7)2 =

    9 + 49 = 58,entonces kv +wk = p58 de igual forma kv wk2 = (v w) (v w) = kvk2 +

    kwk2 = (3)2 + (7)2 = 9 + 49 = 58,luego kv wk = p58

    Teorema 1.3.2 Todo conjunto ortogonal nito de vectores no nulos es linealmente inde-pendiente.

    Demostracin. Supongamos que a1v1 + a2v2 + ::: + anvn = 0 entonces para cualquiervi

    a1(v1vi) + :::+ ai(vivi) + :::+ an(vnvi) = 0 vi = 0a10 + a20 + :::+ ai kvik+ :::+ an0 = 0ai kvik = 0, como vi 6= 0 , kvik > 0 entonces ai = 0

    Teorema 1.3.3 Si B = fv1;v2; :::; vng es una base de un espacio vectorial V conproductointerior h:i, entonces para cada un vector u 2 V tal que u = c1v1+ c2v2+ :::+ cnvn; con1 i n.(i) ci =

    u vivi vi si la base es ortogonal

    (ii) ci = u vi si la base es ortonormal

    Ejemplo 1.3.8 Encontrar las coordenadas de u = (0; 1; 2; 3) en R4 relativas a la base ortogonalB =f(1; 1; 1; 1); (1;1; 1; 1); (1; 1;1; 1); (1; 1; 1;1)gComo ci =

    u vivi vi y vivi = 4 para i = 1; 2; 3; 4,

    calculamos u v1 = (0; 1; 2; 3) (1; 1; 1; 1) = 6 enonces c1 = 64=3

    2,

    u v2=(0; 1; 2; 3) (1;1; 1; 1) = 4 ,enonces c2 = 1,u v3 = (0; 1; 2; 3) (1; 1;1; 1) = 2 , entonces c3 = 2

    4=1

    2u v4 = (0; 1; 2; 3) (1; 1; 1;1) = 0;entonces c4 = 0,por lo tanto u =

    3

    2v1 + v2 +

    1

    2v3

    Propiedad 1.3.1 Proyeccin de un vector en otro vector

    Si v y w son vectores no nulos de Rn, entonces la proyeccion de v en w es un vectorcon la direccin de w igual a Pr oywv =

    v wkwk2w

    Tambien es igual a Pr oywv =v ww ww

  • 1.3. PRODUCTO PUNTO Y ORTOGONALIDAD 17

    Ejemplo 1.3.9 La proyeccin del vector v = [2;6] sobre el vector w = [1; 3] es iguala Pr oywv = 16

    10[1; 3] =

    85;24

    5

    Propiedad 1.3.2 Sean v y w vectores no nulos de Rn, entonces(i) Pr oywv = 0 si v y w son ortogonales(ii) Pr oywv es paralelo a w(iii) v Pr oywv es ortogonal aUn vector v se puede expresar como la suma de un vector paralelo a un vector u y un

    vector ortogonal a u, de la siguiente manera v = proyuv + (v proyuv)Ejemplo 1.3.10 Exprese el vector v = [2; 1;3] como la suma de un vector paralelo au = [3;1; 0] y un vector ortogonal a u:Como u v = 5 y u u = 10 entonces proyuv = 5

    10[3;1; 0] =

    3

    2;12; 0

    ,

    v proyuv = [2;1;3] 510[3;1; 0] =

    1

    2;3

    2;3

    luego [2; 1;3] =

    3

    2;12; 0

    +

    1

    2;3

    2;3

    Ejercicios 1.3.

    1. Determine cual de los siguientes puntos p = (1; 2; 3), q = (2;1; 5), r = (0; 3;6) ys = (8; 5;2)

    a) Esta mas cerca del eje y.

    b) Esta mas lejos del eje x

    c) Esta mas lejos del origen

    2. Calcule el producto interior entre los vectores u y v

    a) u = [3; 4] y v = [2;3]b) u = [12; 3] y v = [1; 5]c) u = [2;1; 1] y v = [1; 0; 2]

    3. Si v es el vector que va de (0; 0) a (3; 4) y w el vector que va de (2; 1) a(5; 5):Demuestre que v = w

    4. Demuestre que hf; gi = R baf(x)g(x)dx dene un producto interno en C[a,b].

    5. Para el producto interno denido en el ejercicio anterior si f(x) = x y g(x) = Senxen C[0; 2] halle

  • 18 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    a) hf; gib) kfkc) kgk

    6. Hallar un vector v de longitud dada, con la misma direccin del vector u.

    a) kvk = 3 y u = [1; 1]b) kvk = 2 y u = [3;p3]c) kvk = 6 y u = [1;1;1]

    7. Demuestre que kxk = maxfjxijg es una norma en Rn.8. Para que valor(es) de los vectores u y v son ortogonales.

    a) u = [3; 4] y v = [1; ]

    b) u = [2; 1] y v = [ ;2]c) u = [1;1] y v = [ ; 5]

    9. Demuestre que si v es ortogonal a u y w, entonces v es ortogonal a u+ w paracualesquiera y .

    10. Para que valor(es) de el ngulo entre v = [2;5] y u = [; 1] es igual a

    a)

    3

    b)

    4

    c)2

    3

    11. Halle el ngulo formado por la diagonal de un cubo y una de sus aristas.

    12. Hallar la proyeccin de u en v

    a) u = [2; 3] y v = [5; 1]

    b) u = [2; 2] y v = [5; 0]

    c) u = [2; 1; 2] y v = [0; 3; 4]

    13. Para las funciones f(x) = x y g(x) = Senx en C[0; 2] halle

    a) Proygf

    b) Proyfg

    c) Proyff

  • 1.4. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 19

    14. Si kvk = 3 y 2 < s < 1 determine ksvk15. Uso de tecnologia (CAS)

    a) Producto punto

    b) Norma

    c) Distancia.

    16. Utilizando un CAS construya una funcin llamada proyeccion(u; v) que determinela proyeccin de u en v.

    1.4. Transformaciones lineales y matrices

    En esta seccin introducimos una clase importante de aplicaciones entre espacios vecto-riales, aquellas que son lineales. Ya que una de las ideas centrales del clculo multivariadoes la aproximacin no lineal por medio de aplicaciones lineales. En el ao 1.918 en Space-time-Matter Hermann Weyl4 dio la denicin abstracta de transformacin lineal.Dados V y W dos espacios vectoriales y T una aplicacion de V en W , se dice que T

    es una transformacin lineal si y solamente si :(i) 8v1;v2 2 V T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2)(ii) 8v 2 V y 8 2 R T (v) = T (v)

    Ademas se cumplen las siguientes propiedades(i)T (0V ) = 0W(ii)8v1;v2 2 V T (v1 v2) = T (v1) T (v2)(iii)8v1;v2; :::;vn 2 V T (v1 + v2 + :::+ vn)

    Ejemplo 1.4.1 Sea C[a; b] el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo[a; b] y sea C(1)[a; b] el conjunto de todas las funciones continuas con primera derivadacontinua en el intervalo [a; b], entonces la aplicacin T : C[a; b] ! C(1), denida porT (f) = f 0 es lineal, ya que T (f + g) = (f + g)0 = f 0 + g0 y T (f) = (f)0 = f 0.

    4

    Hermann Weyl (1.885-1.955) Nacido: 9 de Noviembre de 1885 en Elmshorn (cer-ca de Hamburgo), Alemania. Fallecido: 8 de Diciembre de 1955 en Zrich, Suiza, fueeducado en las Universidades de Munich y Gttingen, obtuvo su doctorado en estaltima, bajo la supervisin de David Hilbert. Despus de presentar su tesis doctoral,Singulre Integralgleichungen mit besonder Bercksichtigung des Fourierschen In-tegraltheorems, le fue concedido el ttulo en 1908. Fue en el mismo Gttingen dondel desempe su primer cargo docente. Matemtico y sico autor de importantes in-vestigaciones sobre la teoria de las ecuaciones integrales y diferenciales, en el campode la relatividad y la mecanica cuantica. En el ao 1.918 en Space-time-Matter diola denicin abstracta de transformacin lineal.

  • 20 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Ejemplo 1.4.2 Sea Mnn el conjunto de las matrices de n n, entonces la aplicacinT : Mnn ! R, denida por T (A) = det(A) no es lineal, ya que de manera general eldeterminante de una suma no es la suma de los determinantes.

    Las transformaciones lineales se denominan tambien operadores lineales si V = W . Elncleo de la transformacin T; denotado por Ker T; es el conjunto de vectores vi 2 V cuyaimagen es 0 2 W , y la imagen de la transformacin T , denotada por Im T , es el conjuntode vectores wj 2 W tales que wj = T (vi) para algun vi 2 V .Es decir KerT = fvi 2 V jT (vi) = 0Wg y ImT = fwj 2 W jT (vi) = wj, para vi 2 V g

    Ejemplo 1.4.3 Sea T : R2 ! R2 una transformacin lineal tal que T (1; 0) = (2; 7) yT (0; 1) = (3; 2); halle una expresin general para T (x; y):Como T es lineal T (x; 0) = xT (1; 0) = x(2; 7) = (2x; 7x)y T (0; y) = yT (0; 1) = y(3; 2) = (3y; 2y),entonces T (x; y) = T (x; 0) + T (0; y) = (2x 3y; 7x+ 2y)

    A la dimensin del nucleo de T se le llama nulidad de T; y a la dimensin de su imagense le llama rango de T .

    Teorema 1.4.1 Nulidad y rango de una transformacin lineal. Si T es una transforma-cion lineal de V en W. Entonces(i) Nulidad de T = (T ) = dim(ker T )(ii) Rango de T = (T ) = dim(ImT )

    El siguiente teorema relaciona la nulidad y el rango de una transformacin lineal T :Rn ! Rm, con la dimensin del espacio euclidiano Rn

    Teorema 1.4.2 Sea T : Rn ! Rm una transformacin lineal, entonces dim(Ker) +dim(Im) = n

    Veremos ahora que dada cualquier transformacin lineal T de Rn en Rm existe unamatriz A de mn tal que T (x) = Ax. Tomando la base canonica de Rn tenemos que losvectores T (ei) determinan las columnas de la matriz A.

    Teorema 1.4.3 Sea T : Rn ! Rm una transformacin lineal, entonces existe una nicamatriz AT de m n tal que T (x) = ATx para todo x 2 Rn

    Demostracin. Por contradiccin supongamos que existe una matriz B de mn tal queT (x) = Bx,por lo tanto AT x = Bx, luego ATx Bx = (AT B)x = 0 donde 0 es la matriz

    columna nula para todo xentonces (AT B)ei = 0 para todo i = 1; 2; :::; n, por lo tanto la columna i-esima de

    AT B es 0, para todo i,entonces AT B es la matriz cero de m n de esta manera AT = B

  • 1.4. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 21

    Ejemplo 1.4.4 Para la transformacin lineal T : R3 ! R2, determinada por T (x; y; z) =(x+ y; y + z) determine su matriz AT .Para obtener AT primero se halla T (ei) para i = 1; 2; 3,

    con estos vectores como columna se construye la matriz, luego AT =1 1 00 1 1

    Una transformacin lineal T : Rn ! Rm con n = m se denomina operador lineal.Si T : Rn ! Rn es un operador lineal, se dice que el nmero real es un valor propiode T si existe un vector no nulo v 2 Rn tal que T (v) = v. Al vector v se le denominavector propio de T asociado al valor propio . Si A es una matriz cuadrada de orden n, supolinomio carateristico esta determinado por p() = det(AI), p() es un polinomio envariable de grado n. Los valores propios de una matriz cuadrada A de orden n son lasraices de su polinomio carateristico p(). Si A es una matriz cuadrada de orden n y v es unvector no nulo de Rn tal que Av = v entonces v es un vector propio de A. Para calcularvalores y vectores propios primero se encuentra p() = det(A I), luego se hallan susraices y por ltimo se resuelve el sistema homogneo (A i)v = 0.

    Ejemplo 1.4.5 Para la matriz A =3 35 1

    encuentre su polinomio caracterstico y sus

    valores y vectores propios.

    Hallamos primero el polinomio caracterstico p() =

    3 35 1 = 2 4 12,

    los valores propios de A son las raices de p(), o sea 2 y 6.Para hallar los vectores propios se resuelve el sistema homogneo (A I)v = 0 para

    cada ,

    si = 2 entonces el sistema3 35 1

    x1x2

    =

    00

    tiene por solucin x1=-

    3

    5x2,luego

    si x2 = 1

    entonces x1 = 35,entonces v1 =

    "351

    #y si = 6 entonces el sistema

    3 35 5

    x1x2

    =00

    tiene por solucin x1 = x2,

    luego si x2 = 1 entonces x1 = 1,entonces v2 =11

    Ejercicios 1.4

    1. Demuestre que la transformacin dada es lineal

    a) T : R3 7! R2, tal que T (x; y; z) = [x; y; 0] , proyeccin.b) T :Mmn !Mnm, tal que T (A) = At Transposicin.

  • 22 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    c) T : R! P3, tal queT (a) = a+ ax+ ax2 + ax3

    2. Demuestre que la transformacin dada no es lineal.

    a) T : Rn ! R, tal que T (x; y; z) = xyzb) T : C[0; 1]! C[0; 1], tal que T (f) = f 2c) T : C[0; 1]! R, tal que

    3. Sea T : R2 ! R3 una transformacin lineal tal que : T (1; 0) = (2;1; 5) y T (0; 1) =(3; 2;5). Halle una expresin general para T (x; y) .

    4. Demuestre que si T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W;entoncesT1 + T2 es una transformacin lineal de V en W .

    5. Encuentre la nulidad y el rango de la transformacin lineal dada.

    a) T : R2 ! R ; T (x; y) = x+ yb) T : Mnn !Mnn ; T (A) = At + Ac) T : R! P2; T (k) = k + kx+ kx2

    6. Si T :V ! W es una transformacin lineal, en donde dimension de V es igual a n,demuestre que nulidad(t)+rango(t) = n

    7. Obtenga la matriz AT , que represente la transformacin dada.

    a) T : R2 ! R2; tal que T (x; y) = (ax+by; cx+dy), con a; b; c y d nmeros reales.b) T : P2 ! P3, tal que T (p) = xp(x)c) T : Mmn !Mnm, tal que T (A) = At

    8. Dada la matriz AT encuentre el valor de la transformacin lineal T en el vectorindicado.

    a) AT =3 00 1

    , T (2; 3)

    b) AT =7 5-10 -8

    ; T (1;1;1)

    c) AT =

    [email protected] 2 01 1 13 0 1

    1A, T (1; 2; 3)9. Para la matriz A dada determine su polinomio caracterstico y sus valores y vectorespropios.

  • 1.5. PRODUCTO VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS. 23

    a)7 510 8

    b)1 21 2

    c)

    [email protected] 2 0 01 1 21 0 1

    1A10. Demuestre que el termino independiente del polinomio caracteristico de la matriz A,

    es detA.

    11. Si T : V ! W es una transformacin lineal y si u 2 V es combinacin lineal dev1;v2; :::;vn 2 V entonces T (u) 2 W es una combinacin lineal de T (v1); T (v2); :::; T (vn)

    12. Demostrar que T (x; y) = [ex; ey] no es lineal.

    13. Uso de tecnologia (CAS).

    a) Polinomio caracteristico

    b) Valores propios

    c) Vecores propios

    14. Utilizando un CAS construya una funcin MATRA que determine la mariz de unatransformacin lineal.

    1.5. Producto vectorial, rectas y planos.

    En el plano R2 se utiliza el concepto de pendiente para hallar la ecuacin de unarecta, a partir de dos puntos diferentes sobra ella. En el espacio tambien puede hallarse laecuacin de una recta si se conocen dos puntos diferentes sobre ella, pero ahora se utilizael concepto de direccin (dada por un vector5 v de R3 no nulo ) .

    5

    William Rowan Hamilton (1805-1865), matemtico y astrnomo britnico, cono-cido sobre todo por sus trabajos en anlisis de vectores y en ptica. Naci en Dublny estudi en el Trinity College. En 1827, sin haber obtenido su ttulo, fue nombradoprofesor de astronoma, y al ao siguiente astrnomo real para Irlanda. Hamiltonpas el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio deDunsink, cerca de Dubln. En el campo de la dinmica, introdujo las funciones deHamilton, que expresan la suma de las energas cintica y potencial de un sistemadinmico; son muy importantes en el desarrollo de la dinmica moderna y para elestudio de la teora cuntica.

  • 24 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    El producto exterior, cruz o vectorial en R3, es una funcin de R3R3 en R3, que acada par de vectores v y w de R3 les asocia un vector v w que satisface las siguientescondiciones(ii)u v = v u(iii) (ku) v = k(u v)(iv) u (kv + lw) = k(u v) + l(uw)Para todo v; w yu 2 R3 y k; l 2 R.Algebraicamentev w = [v2w3 v3w2; v3w1 v1w3 , v1w2 v2w1] , v = [v1; v2; v3] y

    w = [w1; w2; w3]

    Ejemplo 1.5.1 Si v = [2; 3;1] y w = [1;2; 1] entonces v w =i j k2 3 11 2 1

    =[1;1;1]Dos vectores no nulos v y w de R3se dice que sonparalelos si v w = 0.

    Teorema 1.5.1 Sea el ngulo entre dos vectores u y v de R3 entonces ku vk =kuk kvk sen:

    El rea de un paralelogramo que tiene lados adyacentes u y v es igual a ku vk : Siu; v y w son tres vectores que no estan en el mismo plano, entonces forman los lados deun paralelepipedo cuya base es un paralelogramo de rea kv wk entonces el volumendel paralelepipedo es igual a j(u v)wjEjemplo 1.5.2 Calcule el volumen del paralelepipedo determinado por los vectores [1;1; 0]; [3; 2; 0]y [0;7; 3].Haciendo u = [1;1; 0], v = [3; 2; 0] y w = [0;7; 3]

    u v =i j k1 1 03 2 0

    = [1; 0; 5], luego j(u v)wj = j[1; 0; 5][0;7; 3]j = 15Si p = (x1, y1, z1) y q = (x2 , y2, z2) son dos puntos diferentes de una recta L, entonces

    el vector v = pq = [x2 x1; y2 y1; z2 z1] = [a; b; c] es un vector contenido en la rectaL, llamado vector director de la recta y si r = (x, y, z) es un punto cualquiera de L,entonces v = jj pr luego tv = pr (t 2 R), por lo tanto 0r = 0p+ tv determina la ecuacionvectorial de la recta L . Tambien se puede escribir como or = op+ t(oqop). Por igualdadde vectores x = x1+ ta ; y = y1+ tb ; z = z1+ tc determinan las ecuaciones paramtricas

    de la recta L. Si a; b y c son diferentes de cerox x1a

    =y y1b

    =z z1c

    determinan las

    ecuaciones simtricas de la recta L.El conjunto de puntos (x; y; z) obtenidos para valores de t en el intervalo [0; 1] deter-

    mina el segmento de recta que une el punto p con el punto q.

  • 1.5. PRODUCTO VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS. 25

    Ejemplo 1.5.3 Hallar las ecuacin de la recta L que pasa por los puntos p = (1; 3; 4) yq = (2; 1;1)El vector v = pq = [1;2;5] es director de la recta L ,luego [x; y; z] = [1; 3; 4] + t[1;2;5] es la ecuacin vectorial de L,y x = 1 + t, y = 3 2t, z = 4 5t son las ecuaciones parametricas de Lyx 11

    =y 32 =

    z 45 son las ecuaciones simtricas de L

    Teorema 1.5.2 Demostrar que el conjunto H = [(x; y; z)jx = at, y = bt, z = ct cona; b; c 2 Rg es subespacio vectorial de R3.

    Demostracin. H consta de los vectores de R3 que estan sobre una recta que pasa porel origen,sean v1 = (at1; bt1; ct1) 2 H y v2 = (at2; bt2; ct2) 2 Hentonces v1+v2 = (a(t1+t2); b(t1+t2); c(t1+t2)) 2 H y kv1 = (k(at1); k(bt1); k(ct1)) 2

    H,luego H es subespacio vectorial propio de R3:

    Dos rectas L1 y L2 de R3, se dicen que son sesgadas si no se intersectan y no sonparalelas. Si L1 y L2 son dos rectas de R3, entonces: L1 es paralela a L2 si sus vectoresdirectores son paralelos, L1 es ortogonal a L2 si sus vectores directores son ortogonales.yel angulo entre L1 y L2 es igual al angulo entre sus vectores directores.

    Ejemplo 1.5.4 Halle el punto interseccin entre las rectas L1 : x 1 = y + 32

    =z + 2

    1 y

    L2 :x 173

    = y 4 = z + 81 .Utilizando la ecuacin paramtrica de las rectas L1 : x = 1+ t; y = 3+2t; z = 2

    y L2 : x = 17 + 3s; y = 4 + s; z = 8 sIgualando x, y y z tenemos 2 t = 8 s; resolviendo el sistema s = 5 y t = 1,luego x = 2; y = 1; z = 3 por lo tanto el punto interseccin es 2;1;3)

  • 26 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Teorema 1.5.3 La distancia entre una recta L y un punto q (que no esta en L) esta

    determinada por d =kpq vkkvk donde v es el vector director la recta L y p es un punto

    cualquiera de L.

    Demostracin. Sea d la distancia entre q y la recta dada,.entonces d = kpqk sen donde es el ngulo entre v y pq.Luego kvk kpq vk sen = kpq vk.Por lo tanto d = kpqk sen = kpq vkkvk .

    Ejemplo 1.5.5 Calcular la distancia entre el punto q = (10; 3;2) y la recta x = 4 2t,y = 3 + t y z = 1 + 5t.El vector director de la recta es v = [2; 1; 5];haciendo t = 0 hallamos un punto p de

    la recta,

    p = (4; 3; 1) y pq = [6; 0;7] entonces pqv = [7;16; 6] por lo tantod = k[7;16; 6]kk[2; 1; 5]k =p341p30

    Una recta L de Rn que pasa por el punto p = (p1; p2; :::; pn) y cuyo vector director esv = [v1; v2; :::; vn] esta determinada por el conjunto de puntos x 2 Rn tales que:

    x = p+ tv, t 2 R, determina la ecuacin vectorial de L y xi = p+ tvi para i = 1; 2; :::; ndetermina las ecuaciones paramtricas de L

    Si p = (xo; yo; zo) es un punto y n = [a; b; c] un vector dado no nulo, entonces elconjunto de puntos q = (x; y; z) tales que pq n = 0 determina un plano, luego [xxo; yyo; z zo] [a; b; c] = 0 realizando el producto punto obtenemos la ecuacin general de unplano ax+ by+ cz = d donde d = axo+ byo+ czo , el vector n se denomina vector normaldel plano.

    Ejemplo 1.5.6 Si p = (0; 0; 0) ; q = (1; 2; 3) y r = (2; 3; 3) construimos los vectores pqy pr, pq = [1; 2; 3]; pr = [2; 3; 3] para obtener un vector normal al plano hacemos

  • 1.5. PRODUCTO VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS. 27

    n = pq pr =i j k1 2 32 3 3

    = [3;9; 7], luego [x+ 2; y 3; z 3] [3,9,7] = 0Si 1 y 2 son dos planos, entonces: 1 es paralelo a 2 si sus normales son paralelas.

    1 es ortogonal a 2 si sus normales son ortogonales. El ngulo entre 1 y 2 es igual alngulo entre sus normales.

    Ejemplo 1.5.7 Encuentre todos los puntos interseccin entre los plano x y + z = 2 y2x 3y + 4z = 7.Las coordenadas de cualquier punto (x; y; z) sobre la recta interseccin de estos dos planos deben satisfacer

    las ecuacionesx y + z = 2 y 2x 3y + 4z = 7. Resolviendo el sistema obtenemos x = 1 + z;

    y = 3 + 2z; zcualquier valor Si z = t obtenemos la ecuacin paramtrica de la recta interseccin

    x = 1 t; y = 3 + 2t; y z =

    Teorema 1.5.4 La distancia entre un plano y un punto q (que no esta en ) esta

    determinada por d =jpq njknk , donde n es la normal del plano y p es un punto del plano.

    Demostracin. La distancia entre q y el plano es igual a la norma de la proyeccin depq en la normal n;entonces si q = (x0; y0; z0) y ax+ by + cz = d es la ecuacin del planoentonces encontramos un punto q del primer plano haciendo x = 0 y z = 0entonces y = 6, la normal del segundo plano es [6;2; 4] y d = 6luego d =

    0 + 12 + 0p62 + (2)2 + 42 =

    12p56=3p14

    7

    Ejercicios 1.5

    1. Calcule el producto exterior entre los vectores u y v

    a) u = [3; 4; 1] y v = [2;3; 0]b) u = [12; 3; 0] y v = [1; 5;2]c) u = [2;1; 1] y v = [1; 0; 2]

    2. Demuestre que si es el ngulo entre dos vectores u y v de R3, entonces kv wk =kvk kwkSen

  • 28 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    3. Suponga que u es un vector jo de longitud 3 en direccin del eje x positivo y v esun vector cualquiera en el plano xy de longitud 2.

    a) Cuales son los valores mximos y mnimos de ku vkb) Que direccin toma ku vk a medida que v gira

    4. Si u+ v + w = 0 demuestre que u v = v w = w u5. Hallar la ecuacin de la recta con las condiciones dadas.

    a) Pasa por el punto p = (2; 1; 1) y un vector director es el vector pq donde q =(3; 4;2)

    b) Pasa por el punto (2; 1; 4) y es paralela a la recta x = 3t; y = 2+4t y z = 2tc) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta x = 2+t , y = 1t y z = 3t

    6. Halle la distancia del origen a la recta dada.

    a) x = 3t; y = 2 + 6t y z = 1 + t

    b) Pasa por los puntos p = (1;1; 3) y q = (2; 4;5)

    7. Halle la distancia entre las rectas

    a) L1: y L2 :

    8. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2,1,5) y (8,8,7) es paralela a larecta que pasa por los puntos (4,2,6) y (8; 8; 2)

    9. Halle la ecuacin del plano con las condiciones dadas.

    a) Pasa por el punto p = (2; 5; 6) y es paralelo al plano XZ

    b) Pasa por el origen y es perpendicular al plano 4x y + z = 9c) Pasa por los puntos p = (1; 1; 0) y q = (3; 2; 4) ; y el vector v = [7;1;3] esparalelo a el.

    10. Halle la distancia entre los dos planos

    a) 1 : 2x y + 3z = 4 y 2 : 4x 2y + 6z = 5

    11. Verique que la recta se encuentra contenida en los planos 1 : 5x+ y + z = 0 y2 : 2x+ 3y 2z = 5

    12. Halle el punto interseccin entre el plano 2x 2y + z = 12 y la recta13. Encuentre el angulo entre los planos 1 : x y + z = 2 y 2 : 2x 3y + 4z = 7

  • 1.6. SUPERFICIES 29

    14. Determine dos planos diferentes cuya interseccin es la recta x = 1 + t, y = 2 t,z = 3 + 2t

    15. Uso de tecnologia (CAS)

    a) Producto vectorial

    b) Graque las siguientes rectas

    c) Graque los siguientes planos.

    16. Utilizando un CAS construya una funcin llamada DISTPR distancia de un puntoa una recta.

    1.6. Supercies

    En la seccin anterior se consideraron las primeras supercies denominadas planos, enesta seccin consideraremos los tipos ms particulares de supercies, como conjuntos depuntos (x; y; z) que satisfacen una ecuacin cartesiana y cuya interseccin con un planoen la mayora de los casos es una cnica de Apolonio6.

    Una supercie generada por una recta (generatriz) que se mueve a lo largo de unacurva plana (directriz) se denomina cilindro. La recta no esta contenida en el mismoplano que contiene la curva.

    6

    APOLONIO DE PERGA Naci : Alrededor del 262 A.C. en Perga, Gre-cia Ionia (Ahora Turqua). Falleci alrededor del 190 A.C en Alejandra,Egipto. Apolonio fue conocido como El gran gemetra. Su famoso libroSecciones Cnicas introdujo los trminos: parbola, elipse e hiprbola es-piral. Estudi en Alejandra y luego visit Prgamo en donde han sidoconstruidas una biblioteca y una universidad semejantes a la de Alejan-dra. Mientras, Apolonio, El gran gemetra, estuvo en Perga, escribi laprimera edicin de su famoso libro Secciones Cnicas, que consta de 8 li-bros. Hubo otras aplicaciones hechas por Apolonio, usando su conocimientosobre los conos, para resolver problemas prcticos. Desarroll el hemiciclo,un reloj solar que marcaba las lneas de las horas en la supercie de unaseccin cnica proporcionando mayor precisin.

  • 30 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Propiedad 1.6.1 Para cilindros

    En el espacio la grca de una ecuacin en dos variables de las tres variables x; y yz es un cilindro, cuyas generatrices son paralelas al eje de la variable que no aparece.(1) Cilindro circular recto, si la directriz es un circulo(2) Cilindro parablico, si la directriz es una parabola(3) Cilindro elptico, si la directriz es una elipse(4) Cilindro hiperblico, si la directriz es una hiprbolaUna supercie generada por una curva plana (generatriz) que gira alrededor de una

    recta ja (eje),que esta en el mismo plano de la curva, se denomina supercie de revolu-cin.

    Si se gira la grca de una funcin (radio) alrededor de uno de los ejes coordenados,entonces la ecuacin de la supercie de revolucin resultante tiene una de las siguientesformas.(a) y2 + z2 = (r(x))2 Si el giro es alrededor del eje X(b) x2 + z2 = (r(y))2 Si el giro es alrededor del eje Y(c) x2 + y2 = (r(z))2 Si el giro es alrededor del eje Z

    Propiedad 1.6.2 Clasicacin de las supercies de revolucin segn su generatriz

    (1) Paraboloide de revolucin, si la generatriz es una parabola(2) Elipsoide de revolucin, si la generatriz es una elipse(3) Hiperboloide de revolucin, si la generatriz es una hiperbola

    Ejemplo 1.6.1 Hallar la ecuacin de la supercie de revolucin generada al girar la curvaz = x2 alrededor del eje Z. Trace la grcaEl radio es r = x , luego los circulos son de la forma x2 + y2 = r2

    entonces como x =pz la ecuacin de la supercie de revolucin es igual a z = x2+y2

    Una supercie determinada por una ecuacion polinomial de segundo grado en tresvariables, se denomina cuadrica.donde a; b; c; d; e; f; g; h; i y j son nmeros reales y x e y son variablesEl lugar geometrico de todos los puntos interseccion entre una supercie y un plano

    coordenado, se denomina traza.

  • 1.6. SUPERFICIES 31

    TIPOS DE CUADRICAS

    (1) ESFERAx2 + y2 + z2 = r2

    Traza paralela al plano xy : x2 + y2 = k2 (Circulo)Traza paralela al plano xz : x2 + z2 = k2 (Circulo)Traza paralela al plano yz : y2 + z2 = k2 (Circulo)

    (2) ELIPSOIDETraza paralela al plano xy : (Elipse)Traza paralela al plano xz : (Elipse)Traza paralela al plano yz : (Elipse)

    (3) PARABOLOIDETraza paralela al plano xy : (Elipse)Traza paralela al plano xz : (Parbola)Traza paralela al plano yz : (Parbola)

  • 32 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    (4) PARABOLOIDE HIPERBOLICOTraza paralela al plano xy : (Hiprbola)Traza paralela al plano xz : (Parbola)Traza paralela al plano yz : (Parbola)

    (5) HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA (O MANTO)Traza paralela al plano xy : (Elipse)

    Traza paralela al plano xz :x2

    a2 z

    2

    c2= k (Hiprbola)

    Traza paralela al plano yz :y2

    b2 z

    2

    c2= k (Hiprbola)

    Si z = 0 entonces x2 y2 = 0 son dos rectas.

    (6) HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS (O MANTOS)Traza paralela al plano xy : (Elipse)Traza paralela al plano xz : (Hiprbola)Traza paralela al plano yz : (Hiprbola)

    (7) CONOTraza paralela al plano xy : (Elipse)Traza paralela al plano xz : (Hiprbola)Traza paralela al plano yz : (Hiprbola)

  • 1.6. SUPERFICIES 33

    Nota : En algunos casos en que dos valores de a; b; c son iguales las trazas no son elipsessi no crculos.

    Ejemplo 1.6.2 Graque las trazas de la supercie z = x2 y2, identique la supercie ytrace su grca.Si x = k, z = k2 x2 las trazas son parabolas; si y = k, z = x2 k2 las trazas son

    parabolasy si z = k, k = x2 y2 las trazas son hiperbolas. por lo tanto la supercie es un

    paraboloide hiperbolico (silla de montar).

    Muchas aplicaciones reales tienen que ver con supercies cuadricas.Geodesia, topograay cartograa.Antenas y radares. Cupulas

  • 34 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Ejercicios 1.6

    1. Gracar los cilindros determinados por las ecuaciones dadas.

    a) y = jxjb) z = Seny

    c) l4x2 + 9z2 = 1

    2. Hallar la ecuacin de la supercie de revolucin generada al girar la curva dadaalrededor del eje especicado. Trace la grca

    a) xy = 1 eje y

    b) z = Lny eje z

    c) y = Senx eje x

    3. Trace las trazas de las supercies dadas en los planos x = k, y = k y z = k.Identique la supercie y trace su grca.

    a) z = y2

    b) 9x2 y2 z2 = 9c) 4x2 + 9y2 + 36z2 = 36

    4. Relacione la ecuacin con la grca.

    a) x2 + 2z2 = 1

    b) x2 + y2 z2 = 1c) x2 y2 + z2 = 1

  • 1.7. COORDENADAS CILINDRICAS Y COORDENADAS ESFERICAS 35

    -4

    -4-2

    y20 0

    -22

    x4

    -4 24

    4

    0-2z

    x-4

    -4

    y

    -2-2

    4422

    0 00z -2-424

    4-40-2

    y2

    -2-4

    0

    x2

    4

    -4-2z 0

    42

    A. B. C.

    5. Demuestre que la supercie con ecuacin z = e(x2+y2) es una supercie de revolucin

    y trace su grca.

    6. Halle la ecuacion del paraboloide que tiene vertice en (0 ,0 ,2) y abre hacia abajo ,si su interseccion con el plano XY determina un circulo de radio 4

    7. Halle la ecuacion del cono tal que las curvas de nivel en el plano XY son las rectasx =2y

    8. Halle la ecuacin de una esfera si los extremos de su diametro son los puntos(1; 2;3) y (2; 4; 5)

    9. Muestre que la interseccion de la supercie x24y29z2 = 36 y el plano x +z = 9es una elipse

    10. Determine los valores de k para los cuales la interseccion del plano x + ky = l yel hiperboloide eliptico de dos hojas y2 x2 z2 = l es :

    a) Una elipse

    b) Una hiperbola

    11. Determine una ecuacin para la supercie que consta del conjunto de puntos p(x; y; z)tales que la distancia de p al eje X sea el doble de la distancia de p al plano Y Z.

    12. Uso tecnologia (CAS). Construya una funcin llamada trazas(s; v; i; n), que permitagracar las trazas de una supercie.

    1.7. Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas

    Un sistema de coordenadas es una forma sistemtica para representar un punto enalgn espacio especicando solo algunos nmeros. Como vimos en la seccin 1.1. el sistemade coordenadas mas familiar es el sistema de coordenadas rectangulares. En R3 funcionaespecicando las coordenadas x, y y z que representan las distancias en los ejes x, y y zrespectivamente. Las coordenadas rectangulares a veces resultan extremadamente difciles

  • 36 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    cuando se trata de denir ciertas formas comunes, como cilindros, supercies de revoluciny esferas. Una segunda forma para determinar la ubicacin de un punto en tres dimensioneses utilizando coordendas cilindricas, convirtiendo a coordenadas polares dos de las trescoordenadas rectangulares. El caso ms usual es hacer polares en xy;luego la altura delplano xy es z. Uno de los primeros matemticos que utilizo coordenadas cilindricas fuePierre simon de Laplace.7

    Propiedad 1.7.1 Construccin de las coordenadas cilindricas. Si p = (x; y; z) es un puntode R3 que determina un vector op, asociamos a el la terna (r; ; z) tal que (r; ) son lascoordenadas polares de la proyecin de p en el plano XY y z es la distancia dirigida delplano XY a p, entonces kproyXY opk = r, x = r cos , y = rsen y z = z, donde es elngulo entre proyXY op y el eje X:

    Para convertir de coordenadas rectangulares a cilindricas empleamos r =px2 + y2,

    tan =y

    xy z = z. Las coordenadas cilindricas son una combinacin de las coordenadas

    polares en el plano con un eje coordenado.

    Ejemplo 1.7.1 Sea p = (1; 1;p2) un punto en coordenadas rectangulares entonces para

    hallar sus coordenadas cilindricas proyectamos el punto p en el plano xy y obtenemos elpunto q = (1; 1), entonces r =

    p2 y = tan1 1 =

    4, por lo tanto las coordenadas

    cilindricas de p son (p2;

    4;p2)

    7

    Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge (Normanda); 23 de marzo de 1749 -Pars; 5 de marzo de 1827) astrnomo, fsico y matemtico francs que invent ydesarroll la Transformada de Laplace y la ecuacin de Laplace. Al cumplir los 19aos, principalmente por la inuencia de dAlembert, fu designado para cubrir unaplaza de matemticas en la Escuela Real Militar de Pars, bajo la recomendacin dedAlembert. En 1973, lleg a ser miembro de la Academia de Ciencias de Pars. En1785, actuando como miembro del tribunal del Cuerpo de Artillera Real, examin yaprob al joven de 16 aos Napolen Bonaparte. Durante la Revolucin Francesa,ayud a establecer el Sistema Mtrico. Ense Clculo en la Escuela Normal ylleg a ser miembro del Instituto Francs en 1795. Bajo el mandato de Napolenfu miembro del Senado, y despus Canciller y recibi la Legin de Honor en 1805.

  • 1.7. COORDENADAS CILINDRICAS Y COORDENADAS ESFERICAS 37

    En coordenadas cilindricas r = k determina un cilindro circular recto de radio k, r = 0determina el eje z; = k determina un plano que forma un ngulo k con el eje z yz = k determina tambien un plano.entonces z = x2 + y2 que representa la ecuacin de unparaboloide.

    Ejemplo 1.7.2 Encontrar una ecuacin en coordenadas rectangulares equivalente a laecuacin z = r2 y representar su grca. Como en coordenadas cilindricas r =

    px2 + y2

    entonces z = r2 = x2 + y2 representa la ecuacin de un paraboloide.

    Las coordenadas cilindricas son utiles en problemas que tienen simetria alrededor deun eje, el paso a seguir es seleccionar un eje coordenado de manera que coincida con el ejede simetria.Si er; e; ez son los vectores ortonormales unitarios que determinan la direccin en

    que se mide cada una de las coordenadas cilindricas r; ; z entonces er = [cos ; sen; 0],e = [sen; cos ; 0], ez = [0; 0; 1]

    Propiedad 1.7.2 Construccin de coordenadas esfericas. Si p = (x; y; z) es un punto deR3que determina un vector op, asociamos a el la terna (; ; ) tal que = jjopjj determinala distancia del punto p al origen , determina el angulo entre el eje z y op, y determinael angulo entre proyXY op y el eje X (igual que en cilindricas) entonces x = sen cos ,y = sen cos , z = cos', donde r = jjproyXY opjj y =

    px2 + y2 + z2:

  • 38 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Las coordendas esfericas tambien estan relacionadas con las coordenadas polares en elplano.

    Ejemplo 1.7.3 Sea un p = (1; 1;p2) punto de cuyas coordenadas rectangulares entonces

    para hallar sus coordenadas esfericas.hallamos la norma del vector posicin como =p4 = 2, =

    4y = cos1 1 = 0, por lo tanto las coordenadas esfericas de p son (2;

    4; 0)

    En coordenadas esfericas = k determina una esfera de radio k, = k determina unsemicono, = k determina un plano que forma un ngulo k con el eje z.

    Ejemplo 1.7.4 Encontrar una ecuacin en coordenadas rectangulares equivalente a laecuacin = 4 cos y representar su grca. Multiplicando a ambos lados de la ecuacinpor obtenemos obtenemos 2 = 4 cos pero 2 = x2 + y2 + z2 y 4 cos = 4z entoncesx2+y2+z2 = 4z por lo tanto completando cuadrado en z obtenemos x2+y2+(z2)2 = 4que determina una esfera de centro (0; 0; 2) y radio 2

    Las coordenadas esfericas son utiles en problemas que tienen simetria alrededor de unpunto, el paso a seguir es seleccionar el punto de manera que coincida con el origen.Si e; e, e; son los vectores ortonormales unitarios que determinan la direccin en que

    se mide cada una de las coordenadas esfericas ; ; entonces e = [sen cos ; sensen; cos],e = [sen; cos ; 0], e = [cos cos ; cossen;sen]

    Ejercicios 1.6

    1. Encuentre las coordenadas rectangulares y coordenadas esfericas del punto p dadoen coordenadas cilindricas.

    a) (2; =3; 2)

    b) (1; =4;2)c) (4; 5=4; 0)

    2. Encuentre las coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas del punto p dado encoordenadas rectangulares.

  • 1.7. COORDENADAS CILINDRICAS Y COORDENADAS ESFERICAS 39

    a) (2; 2; 1)

    b) (1;p3; 2)

    c) (3; 2;1)

    3. Encuentre las coordenadas rectangulares y coordenadas cilindricas del punto p dadoen coordenadas esfericas.

    a) (2; =6; =4)

    b) (6; =4; 0)

    c) (9; ; =4)

    4. Escriba la ecuacin dada en coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas.

    a) x2 + y2 + z2 2z = 0b) 6x = x2 + y2

    c) y = xz

    5. Escriba la ecuacin dada en coordenadas rectangulares

    a) r = 3

    b) r = 4Cos

    c) = =4

    d) Sen = 2

    6. Trace la grca del slido descrito por las desigualdades dadas en coordenadas cilin-dricas.

    a) 0 2, 0 r 1, r z 1b) 0 =2, 0 r 2, r2 z 4

    7. Trace la grca del slido descrito por las desigualdades dadas en coordenadas es-fericas.

    a) 0 =2, 0 =2 , 1 2b) 0 2, 0 =4, 0 1c) 0 2, =2 , 0 2

    8. Graque e identique la supercie dada en coordenadas cilindricas

    a) r = 2 cos

  • 40 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    b) r = 6sen

    c) r = 1 + cos

    9. Graque e identique la supercie dada en coordenadas esfericas

    a) = 2 cos

    b) tan2 = 1

    c) = 1 cos

    10. Utilizando un CAS graque los siguientes puntos en

    a) Coordendas cilindricas

    b) Coordenadas esfericas.

    1.8. Conceptos bsicos de topologia en Rn

    En la Geometra eucldeana8 dos objetos sern equivalentes mientras podamos trans-formar uno en otro mediante isometras (rotaciones, traslaciones, reexiones, etc), es decir,mediante transformaciones que conservan las medidas de ngulo, longitud, rea, volumeny otras. Si se desea abordar de manera adecuadamente la diferenciabilidad para funcionesde varias variables se deben tener claros los conceptos de limites y continuidad para estetipo de funciones. Uno de los conceptos de mayor dicultad en funciones de varias variableses el de limite ya que este concepto se dene sobre subconjuntos de Rn y no como se hacepara funciones de variable real y valor real, sobre subconjuntos de la recta real, muchasveces estos subconjuntos son intervalos.Decir que el limite de una funcin f : I R! R en un punto a (que puede o no estar

    en I) existe y es igual a L, signica que si x esta cerca de a entonces f(x) esta cerca de L.Aqui el concepto de cercania sobre un subconjunto de la recta real esta determinado por

    8

    Euclides de Alejandra (s. IV-III a. C.) fue un matemtico griego, al pare-cer era ateniense y probablemente fue alumno de la Academia. Hacia el ao300 a.C. (bajo el reinado del primer Ptolomeo), era profesor en la escuelamatemtica de Alejandra, de la cual probablemente fue su fundador. Se leconsidera como el gran sistematizador de la matemtica en el mundo antiguo,ya que en sus trece libros de los Elementos expone la geometra como un sis-tema formal axiomtico-deductivo, que consta de deniciones, postulados, yteoremas demostrados. Este texto ha servido de modelo en la posteridad a to-do sistema axiomtico. pero su gran importancia deriva del mtodo axiomticoutilizado, que han convertido a este libro en el texto cientco ms traducidoy editado de toda la historia y que apareci, durante ms de dos mil aos,

    como modelo de rigor cientco. La introduccin de cambios en el quinto postulado de Euclides propicila aparicin de geometras no-euclidianas , como las de Riemann y Lobatchevski, por ejemplo. Otrasobras de Euclides son Tratado de geometra; Fenmenos; Datos, etc.

  • 1.8. CONCEPTOS BSICOS DE TOPOLOGIA EN RN 41

    una vecindad de centro a y radio . Para funciones de varias variables estas vecindadesestan determinadas por lo que se denominara bola abierta. Una vecindad de un puntoa 2 Rn es el conjunto de puntos x 2 Rn tales que jjx ajj < para algun 2 R+ yse denomina n-bola abierta de centro a y radio . Notada B(a;) = fx 2 Rn : kx ak< g. Las bolas abiertas de R son los intervalos abiertos de centro a y extremos a ,a+ ;las bolas abiertas de R2 son las circunferencias abiertas de centro (a; b) y radio , ylas bolas abiertas de R3 son las esferas abiertas de centro (a; b; c) y radio .

    Ejemplo 1.8.1 Escriba explicitamente como conjunto de puntos la bola B((1; 2; 3); 1),utilizando la denicin de bola abierta vemos que el centro es igual a (1; 2; 3) y el radio esigual a 1, luego (x 1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 = 1 es la forma explicita.Si U Rn y a 2 Rn, se dice que x0 es un punto interior de U si existe un nmero real

    > 0 tal que B(a,) U . Cada uno de los puntos a de U puede ser rodeado por una bolaB(a; ) U . El conjunto de todos los puntos interiores deU se denomina interior de Uy se nota Int Uo U o. Evidentemente U o U . SiU Rn y a 2 Rn, se dice que a es unpunto exterior de U si existe un nmero real > 0 tal que B(a,) U c. Cada uno de lospuntos a de U puede ser rodeado por una bola B(a; ) U c. El conjunto de todos lospuntos exteriores de U se denomina exterior de U y se nota Ext U . Si U Rn y a 2 Rn,se dice que a es un punto frontera de U si para todo nmero real > 0, B(a; )\U 6= yB(a; ) \ U c 6= . El conjunto de todos los puntos frontera de U se denomina la fronterade U y se nota FrontU o @U . Un punto interior de U necesariamente es un punto de U ,y un punto exterior de U es un punto de U c. Sin embargo, un punto frontera puede serde U o de U c. Si U Rn y x0 2 Rn, se dice que x0 es un punto adherente de U si paratodo nmero real > 0, B(x0; ) \ U 6= . El conjunto de todos los puntos adherentesde U se denomina la adherencia de U y se notaAdhU o U . Evidentemente U U y enconsecuencia U o U . Si U Rn y x0 2 Rn, se dice que x0 es un punto de acumulacinde U si para todo nmero real > 0, B(x0; ) \ U 6= y B(x0; ) \ U 6= fx0g. Elconjunto de todos los puntos de acumulacion de U se llama derivado de U y se notaDer U o U. Evidentemente U U . Si U Rn y x0 2 Rn, se dice que x0 es un puntoaislado de U si existe un nmero real > 0 tal que B(x0; ) \ U = fx0g. El conjunto detodos los puntos de aislados de U se llama aislado de U y se nota Aisl U . Si x0 2 U noes un punto de acumulacin de U entonces x0 es un punto aislado de U:EvidentementeAislU U . Un conjunto U Rn se dice que es acotado si existe un nmero real > 0tal que U B(x0; ) para algun x0 2 Rn elegido arbitrariamente. Un conjunto U Rnse dice que es abierto si todos sus puntos son interiores (o sea U = U o) y se dice que escerrado si su complemento es abierto(U = Rn U o sea si U = U). Un conjunto U Rnse dice que es compacto si es cerrado y acotado.

    Ejemplo 1.8.2 Clasicar el conjunto U = f(x; y)j 1 x2 + y2 < 4g vemos que es elconjunto de puntos (x; y) que estan entre las circunferencias x2 + y2 = 1 (con frontera) yx2 + y2 = 2 (sin frontera). Como U tiene puntos frontera que no son interiores entoncesU no es abierto, ademas el complemento de U tiene frontera entonces U tampoco escerrado.por lo tanto U no es ni abierto ni cerrado.

  • 42 CAPTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

    Ejemplo 1.8.3 Demuestre que U = f(x; y; z) 2 R3 : x2+y2 1; ^0 z g es compacto.El conjunto U es el cilindro cerrado de altura 2, luego U = U por lo tanto U es cerrado,ademas U es acotado pues U B((0; 0; 0); 3) entonces U es compacto.

    Ejercicios 1.7.

    1. Escriba explicitamente como conjunto de puntos de Rn cada una de las siguientesbolas abiertas

    a) B((2;3); 0;1) en R2b) B((1; 1; 3); 2) en R3

    c) B((1;1; 2;2); 1) en R4

    2. Determinar si el conjunto dado U es abierto, cerrado, abierto y cerrado a la vez, oni abierto ni cerrado.Trace la grca

    a) U = f(x; y) j y = xgb) U = f(x; y) j x2 + y2 1gc) U = f(x; y j 2 < x < 4 , 2 < y 5g

    3. Determinar si el conjunto dado U es abierto, cerrado, abierto y cerrado a la vez, oni abierto ni cerrado.

    a) U =(x1; x2; :::; xn)j

    nPi=1

    xi > 0

    b) U =

    (x1; x2; :::; xn)j1 0, 9 > 0, tal que si jt aj < implica que kf(t) Lk

  • 54 CAPTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

    Una funcin real-vectorial f es continua en a si:a. f(a) existeb.lmt!af(t) existe

    c. lmt!af(t) = F (a)

    f es continua en a si y solamente si lmt!af(t) = f(a)

    Una funcin real-vectorial f es continua en a si cada una de sus funciones componentesfk es continua en a.

    Ejemplo 2.1.8 La funcin real-vectorial f(t) =sent

    t; et; t2 + 3t+ 2

    es discontinua en

    t = 0, pero est discontinuidad es removible ya que el lmite en t = 0 existe (ejemploanterior), luego f se puede volver continua rediniendola de la siguiente manera F (t) =8

  • 2.1. FUNCIONES DE VARIABLE REAL Y VALOR VECTORIAL 55

    Propiedad 2.1.3 Si f y g son funciones real-vectorial derivables y c es una constante,entonces:a. (f(t) g(t))0 = f 0(t) g0(t)b. (cf(t))0 = cf 0(t)c. (f(t) g(t))0 = f 0(t) g(t) + f (t) g0(t)d. (f(t) g(t))0 = f 0(t) g(t) + f(t) g0(t) (en R3)

    Igual que con las funciones de variable real y valor real, la segunda derivada de unafuncin real-vectorial f es la derivada de f 0, o sea f 00(t) = (f 0(t))0

    Ejemplo 2.1.11 La segunda derivada de f(t) = [tsent; t2; cos(3t)] esf 00(t) = [sent+ t cos t; 2t;3sen(3t)]0 = [2 cos t tsent; 2;9 cos(3t)]

    De manera similar la integral de una funcin real-vectorial se puede denir de la mismamanera que para las funciones de variable real y valor real, excepto que la integral es unvector.Una funcin real-vectorial derivable F es una antiderivada de una funcin real-vectorial

    f en un intervalo I si F 0(t) = f(t) en cada t de I.La integral indenida de una funcin real-vectorial f respecto a t es el conjunto de todas

    las antiderivadas de f y se nota porRf(t)dt = F (t) + C, donde F es una antiderivada

    de f . Si f es una funcin real-vectorial integrable, entoncesRf(t)dt =

    Rfk(t)dt+ ck

    Ejemplo 2.1.12 Hallar f(t) sabiendo que f 0(t) = [cos t; 2tsent2; 2t] y f(0) = [1; 0; 3]Integrando f 0(t) obtenemosf(t) = [sent+ c1; cos t2 + c2; t2 + c3]como f(0) = [1; 0; 3]c1 = 1; c2 = 1 y c3 = 3entonces f(t) = [sent+ 1; cos t2 + 1; t2 + 3]

    Ejemplo 2.1.13 EvaluarR 1

    t; cos t; 3t

    dt

    Integrando cada una de las funciones coordenadas obtenemosR 1t; cos t; 3t

    dt =

    ln t+ c1; sent+ c2;

    3

    2t2 + c3

    Si f es una funcin real-vectorial denida y acotada en un intervalo I = [a; b], entoncesR baf(t)dt =

    hR bafk(t)dt

    iTeorema 2.1.1 Si f es una funcin real-vectorial continua en un intervalo I = [a; b],entonces

    R baf(t)dt =

    hR bafk(t)dt

    i

  • 56 CAPTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

    Demostracin. Utilizando la denicin de integral denida en una variableR baf(t)dt = lm

    n!1

    nPi=1

    f(ti )4t

    = lmn!1

    nPi=1

    fk(ti )4t

    =

    lmn!1

    nPi=1

    fk(ti )4t

    =hR b

    afk(t)dt

    iEjemplo 2.1.14 Evaluar

    R 41

    t;pt; etdt.

    Integrando cada una de las funciones coordenadas y aplicando el teorema fundamentaldel clculo.R 4

    1tdt =

    t2

    2j41 =

    15

    2R 41

    ptdt =

    1

    2ptj41 =

    1

    4R 41etdt = etj41 = e4 e

    Por lo tantoR 41

    t;pt; etdt =

    15

    2;14; e4 e

    Propiedad 2.1.4 Si f y g son funciones real-vectorial continuas en un intervalo I = [a; b]y c es una constante, entonces:a.R ba(f(t) g(t))dt = R b

    af (t)dt R b

    ag(t)dt

    b.R ba(cf(t))dt = c

    R baf(t)dt

    c.R ba(f(t) g(t))dt = R b

    af 0(t)dt R b

    ag(t)dt

    d.R ba(f(t) g(t))dt = R b

    af (t)dt R b

    ag(t)dt (en R3)

    Ejercicios seccin 2.1.

    1. Para la funcin real-vectorial determine la imagen de 1, h, h+4h

    a) f(t) =p

    t;1

    t

    b) f(t) = [ln t; et; tt]

    c) f(t) = [t; t2; t3; t4]

    2. Para la funcin real-vectorial determine dominio, rango y grca.

    a) f(t) = [2t+ 1; t2]

    b) f(t) = [3 cos t; 2sent]

    c) f(t) = [t cos t; tsent; t]

  • 2.1. FUNCIONES DE VARIABLE REAL Y VALOR VECTORIAL 57

    3. Evaluar el lmite.(si existe).

    a) lmt!0

    1

    t2 + 1;

    1

    t2 1

    b) lmt!0

    t

    sent;1

    cos t

    c) lm

    t!0

    et 1t

    ;

    p1 + t 1

    t;cos t 1

    t

    4. Determinar la continuidad de la funcin real-vectorial.

    a) f(t) =t+ 1

    t 1 ;t 1t+ 1

    b) f(t) =

    ln t;

    pt 1; sent

    c) f(t) = [tan t; 2t; t 1]

    5. Para cada funcin real-vectorial.hallar f 0(t) y f 00(t)

    a) f(t) = [e3t; sen(2t)]

    b) f(t) = [2t; log t; t3]

    c) f(t) =senht; cosh t;

    pt

    6. Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grca de la funcin real-vectorial f .

    a) f(t) = [t+ 1; t2 + 1; t3 + 1], para t = 0

    b) f(t) = [et; e2t; e3t] para t = 1

    c) f(t) = [sent; cos t; t] para t =

    7. Encontrar los intervalos donde la funcin real-vectorial es suave.

    a) f(t) = [t2; t3]

    b) f(t) =2

    1 + t;2t

    1 + t

    c) f(t) =

    pt; 3pt; 4pt

    8. Si f(t) = y g(t) = hallar

    a) (f(t) g(t))0b)

    (f(t) + g(t))0

    c) (f(t) g(t))

  • 58 CAPTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

    9. Hallar f(t) para las condiciones dadas.

    a) f 0(t) =2t;pt, f(0) = [1; 2]

    b) f 0(t) =2t; 3t2;

    pt, f(1) = [1; 1; 0]

    c) f 0(t) = [t; et; tet], f(0) = [1; 1; 1]

    10. Evaluar la integral de la funcin real-vectorial

    a)R[et; 3t; ln t] dt

    b)R 10[t; et; tet] dt

    c)R =40

    [cos t; sent; sec2] dt

    11. Si f es derivable demuestre que kf(t)k es constante si y solamente si f(t) f 0(t) = 0

    12. Hallar los puntos sobre la curva determinada por la funcin f(t) = [t; 1 + t2] en losque:

    a) f(t) y f 0(t) son perpendiculares.

    b) f(t) y f 0(t) son paralelos con el mismo sentido.

    c) f(t) y f 0(t) son paralelos con sentido contrario.

    13. Utilizando un CAS construya una funcin que permita gracar una funcon real-vectorial y su recta tangente en un punto dado.

    2.2. Aplicaciones

    Se puede representar el movimiento de una particula en el plano o en el espacio uti-lizando una funcin de variable real y valor vectorial, luego utilizar la primera y segundaderivada de esta funcin para determinar la velocidad y la aceleracin de la particula.A partir de la posicin de una particula y bajo ciertas condiciones es posible hallar lavelocidad, la aceleracin y la rpidez de la particula

    Si una funcin real vectorial f determina la posicin de un objeto en el plano o en elespacio y f tiene primera y segunda derivada, entonces:velocidad del objeto es v(t) = f 0(t),

    direccin del movimiento del objeto esv(t)

    kv(t)k ,aceleracin del objeto es a(t) = f 00(t)rapidez del objeto es kv(t)k = kf 0(t)k

  • 2.2. APLICACIONES 59

    Ejemplo 2.2.1 Hallar la velocidad, la direccin, la aceleracin y la rapidez de una partcu-la que se mueve a lo largo de la hlice circular determinada por f(t) = [a cos t; asent; bt]con a > 0 y b > 0:Velocidad v(t) = [asent; acost; b]Direccin

    asentp

    a2 + b2; a cos tp

    a2 + b2;

    bpa2 + b2

    Aceleracin a(t) = [a cos t;asent; 0]Rapidez kv(t)k = pa2 + b2

    El matemtico suizo John Bernoulli2 mostro que entre las curvas posibles que unendos puntos A y B, una particula tomar el menor tiempo posible de deslizamiento de A aB si la curva es parte de un arco invertido de una cicloide.

    Consideremos el objeto como un proyectil y supongamos que la unica fuerza que actuasobre el despus de su lanzamiento, es la gravedad. Supongamos que el movimiento ocurreen un plano vertical que puede representarse por el plano xy y el origen un punto sobre lasupercie de la tierra. La fuerza gravitatoria para un proyectil de masa m es F = mgjdonde g = 32 pies=seg2 o g = 9;81 m=seg2, por la segunda ley del movimiento de Newtonesta misma fuerza produce una aceleracin a(t) tal que F = ma(t) luego mgj = ma(t)entonces a(t) = gj es la aceleracin del proyectil.

    Teorema 2.2.1 Despreciando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzadode una altura inicial h con rapidez inicial v0 y ngulo de elevacin se describe por medio

    de la funcin real-vectorial f(t) = (v0 cos )ti +h+ (v0sen)t 1

    2gt2j donde g es la

    constante de gravedad.

    2

    Johann Bernoulli (Basilea, Suiza 27 de julio de 1667 - misma ciudad, 11 deenero de 1748), tambin conocido como Jean o John, fue un matemtico, mdicoy llogo suizo. Su padre de religin calvinista deseaba que su hijo se convirtieraen comerciante y acept entrar como aprendiz en el negocio familiar de especiasy medicinas, pero termin por hacerlo tan mal que su contrariado padre se vioobligado a recticar su orientacin originaria, entonces su padre decidi que seconvirtiera en mdico, profesin tambin relacionada con el negocio familiar. En1683 ingresa en la Universidad de Basilea y saca el ttulo de mdico, sin embargodurante este tiempo junto a su hermano Jakob tambin se dedic a aprender ellenguaje de los nmeros. Las novedades matemticas de Leibniz sobre el clculoinnitesimal cautivaron a ambos hermanos. En 1691 viaja a Pars para guiar a

    los matemticos franceses en el uso del clculo entre los cuales se hallaba el marqus de Guillaume delHpital. En Francia se convirti en defensor de Leibniz en la polmica que mantena con Isaac Newtonpor quien haba sido el primero en enunciar los principios del clculo innitesimal. Se centr en el clculoinnitesimal y resolvi la ecuacin diferencial de Bernoulli, propuesta por su hermano. Sus hijos Nicolau,Daniel y Johann Bernoulli fueron grandes matemticos.

  • 60 CAPTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

    Demostracin. Integrando la aceleracin a(t) = gj dos veces obtenemosv(t) =

    Ra(t)dt =

    R gjdt = gtj + c1f(t) =

    Rv(t)dt =

    R(gtj + c1)dt =

    1

    2gt2j + c1t+ c2

    Usando el siguiente hecho v(0) = v0 y f(0) = f 0 hallamos c1 y c2c1 = v0 y c2 = f

    00(t)

    luego f(t) = 12gt2j + v0t+ f 0

    utilizando las condiciones iniciales f 0 = hj, v0 = kv0kv0 = xi+ yj = kv0k cos i+ kv0k sen j = v0 cos i+ v0senjpor lo tanto f(t) = 1

    2gt2j + (v0 cos i+ v0senj)t+ hj

    = v0 cos ti+

    h+ v0sent 1

    2gt2j

    Para el movimiento de un proyectil cuando se lanza desde el origen sobre una superciehorizontal con una rapidez inicial v0 y un ngulo de lanzamiento .

    Altura mxima ymax =(v0sen)

    2

    2g

    Tiempo de vuelo t =2v0sen

    g

    Alcance xmax =v20gsen(2)

    Ejemplo 2.2.2 Un proyectil se dispara con una rapidez inicial de 500 m=s con un ngulode elevacin de 450

    Consideremos v0 = 500 m=s, = 450 y g = 9;8 m=s2

    altura mxima ymax =(500 sen450)2

    2(9;8)= 6377;55 m

    tiempo de vuelo t =2 500 sen450

    9;8= 72;15 s

    alcance xmax =5002

    9;8sen(900) = 25510;2 m

    Si una funcin real-vectorial f representa una curva suave C en un intervalo abierto

    I entonces el vector T (t) =f 0(t)kf 0(t)k es un vector tangente unitario a C y el vector N(t) =

    T 0(t)kT 0(t)k con T

    0(t) 6= 0 es un vector normal unitario a C

    Ejemplo 2.2.3 Para la curva determinada por f(t) = [3sent; 3 cos t; 4t] determine T y NHallamos v(t) = [3 cos t;3sent; 4] y kv(t)k = 5luego T (t) =

    3 cos t

    5;3sent

    5;4

    5

    y N(t) = [sent; cos t; 0]

  • 2.2. APLICACIONES 61

    Una curva puede representarse por medio de diferentes funciones real-vectorial, o sepueden parametrizar de diferentes formas, dependiendo del parmetro que se elija.

    Teorema 2.2.2 La longitud