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CALCULO VECTORIAL.

E:E: KASSIR.

Universidad Nacional de Colombia.

Bogotá, enero de 2009.

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ÍNDICE GENERAL

Introducción VII

1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 11.1. El espacio vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Subespacios de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Producto punto y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5. Producto vectorial, rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6. Super�cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7. Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . 351.8. Conceptos básicos de topologia en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 492.1. Funciones de variable real y valor vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.4. Geometría de campos escalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.6. Limites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.7. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.8. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3. DIFERENCIABILIDAD 1053.1. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.4. Funciones implicitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.5. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.6. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

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iv ÍNDICE GENERAL

4. INTEGRALES MULTIPLES 1494.1. Integrales dobles sobre rectángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.2. Integral doble sobre regiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.3. Cambio de coordenadas en integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.4. Aplicaciones de las integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.5. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.6. Cambio de coordenadas en integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.7. Aplicaciones de las integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5. INTEGRALES DE LINEA 2055.1. Integral de línea de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.3. Integral de lìnea de campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.4. Trabajo, �ujo y circulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.5. Teorema fundamental del cálculo para integrales de lìnea. . . . . . . . . . . 2215.6. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6. INTEGRALES DE SUPERFICIE 2416.1. Super�cies paramétrizadas y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.2. Integrales de super�cie de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.3. Integrales de super�cie de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.5. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

A. Apendice 271

Afterword 273

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Prefacio

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vi ÍNDICE GENERAL

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Introducción

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viii INTRODUCCIÓN

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CAPÍTULO 1

GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Es el mejor de los buenosquien sabe que en esta vidatodo es cuestión de medida:un poco más, algo menos...A. MACHADO, CXXVI"Proverbios y cantares", XII

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2 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

En los cursos anteriores de cálculo se consideraron funciones de variable real y valor real,o sea funciones de�nidas sobre subconjuntos de la recta real. El cálculo vectorial considerafunciones de�nidas en espacios vectoriales euclidianos. Sin embargo muchas aplicacionesprácticas requieren de la rica estructura geométrica del espacio euclidiano.En este capítulo se tratará el espacio euclidiano en detalle, como una condición para

poder iniciar un curso básico de cálculo para funciones de varias variables. La belleza y lapotencia del álgebra lineal se vera con mayor claridad cuando visualisemos Rn como unespacio vectorial. El estudio de los espacios vectoriales no es tan diferente del estudio deRn, ya que a partir de la geometria en R2 y R3 podemos visualizar muchos conceptos. Seinicia con los conceptos de punto y vector en Rn, coordenadas, planos coordenados hastallegar a la topología básica de Rn.

1.1. El espacio vectorial Rn

El conjunto Rn es la coleción de todas las n-tuplas ordenadas de números reales y estadeterminado por Rn = f(x1; x2; :::; xn)jxi 2 Rg:Recordando que el producto cartesiano delos conjuntos A y B no vacios es por de�nición el conjunto A � B de parejas ordenadas(a; b) tales que a 2 A y b 2 B, podemos ver que Rn es el producto cartesiano R�R� :::�R(n veces).La idea de emplear un número para situar un punto sobre una recta fue conocida por

los griegos. En 1637 Rene Descartes 1utilizo un par de números para situar un punto en elplano y una terna de números para situar un punto en el espacio. En el siglo Arthur Cayleyy H.G. Grassman extendierón esta idea a n-tuplas de números reales. La representacióngeométrica de R, es el conjunto de los puntos P de una recta identi�cados medianteun único número real x, luego de determinar una unidad de longitud. De igual formala representación geométrica de R2, es el conjunto puntos P de un plano identi�cadosmediante una única pareja ordenada de números reales (x1; x2), escogiendo un punto �jo0 llamado origen y dos rectas dirigidas que pasan por 0 y son perpendiculares llamadas

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René Descartes. Nacio el 31 de marzo de 1596 en La Haye (Touraine) actualDescartes y murio el 11 de febrero, de 1650 en Estocolmo Considerado el primer�lósofo moderno, utilizó la ciencia y las matemáticas para explicar y pronosticaracontecimientos en el mundo físico. Su famosa frase Çogito, ergo sum"("Pienso,luego existo") fue el punto de partida que le llevó a investigar las bases delconocimiento. Lo inquietaron los métodos de los geómetras griegos para llegar asus ingeniosas pruebas y se propuso corregirlos mediante el manejo de líneas y�guras tridimensionales en una grá�ca. Dibujaba la grá�ca marcando unidadesen una línea horizontal (eje x) y una línea vertical (eje y); así, cualquier pun-to de la grá�ca podía describirse con dos números. Aunque conservaba las reglasde la geometría euclidiana, combinaba el álgebra y la geometría, consideradas en-tonces como independientes, para formar una nueva disciplina matemática llamadageometría analítica.

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1.1. EL ESPACIO VECTORIAL RN 3

ejes de coordenadas x1 y x2, aunque es más familiar usar para los puntos y los ejes x yy, en lugar de x1 y x2. Los dos ejes de coordenadas dividen el plano cartesiano en cuatropartes llamadas cuadrantes. Las coordenadas cartesianas del punto P estan formadas porla pareja ordenada (a; b) en donde a se denomina abscisa y es la distancia perpendiculardirigida de P al eje x, luego su proyección en el eje x es un punto Q(a; 0), y b se denominaordenada y es la distancia perpendicular dirigida de P al eje y, luego su proyección enel eje y es un punto R(0; b). Tambien la representación geométrica de R3, es el conjuntopuntos P del espacio identi�cados mediante una única terna ordenada de números reales(x1; x2; x3), escogiendo un punto �jo 0 llamado origen y tres rectas dirigidas que pasanpor 0 y son perpendiculares entre si, llamadas ejes de coordenadas x1; x2 y x3;aunque esmás familiar usar para los puntos y los ejes x, y y z, en lugar de x1, x2 y x3. Los tresejes de coordenadas determinan tres planos coordenados xy (o z = 0), xz (o y = 0 ) yyz (o x = 0), que dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes. Para un puntoP (a; ; b; c), a, b y c son las distancias dirigidas del punto P a los planos coordenados xy,xz y yx respectivamente y su proyección en estos planos son los puntos (a; 0; 0), (0; b; 0) y(0; 0; c) obtenidolos en forma geometrica trazando una perpendicular desde el punto hastael plano coordenado. Aunque no se puedan gra�car todos los casos, es posible imaginar larepresentación geometrica Rn, como el conjunto de puntos P en Rn identi�cados medianteuna n-tupla ordenada de números reales (x1; x2; :::; xn),.xi se denomina coordenada i-esimao la componente i-esima de P . Se adoptara la convencion de usar letras en negrita paradenotar n-tuplas en y letras ordinarias para denotar simplemente numéros reales.

El conjunto Rn está dotado de dos operaciones algebraicas suma y producto por escalar.Dados dos puntos X = (x1; x2; :::; xn) y Y = (y1; y2; :::; yn) de Rn; su suma X + Y estade�nida por X +Y = (x1; x2; :::; xn)+ (y1; y2; :::; yn) = (x1+ y1; x2+ y2; :::; xn+ yn) y dadok 2 R, el multiplo escalar kX esta de�nido por, kX = k(x1; x2; :::; xn) = (kx1; kx2; :::; kxn),geometricamente kX es una translación del punto X.

Ejemplo 1.1.1 Si P (2; 1;�3) y Q(0;�1; 1) entonces:P +Q = (2; 1;�3) + (0;�1; 1) = (2 + 0; 1� 1;�3 + 1) = (2; 0;�2),P �Q = (2; 1;�3)� (0;�1; 1) = (2� 0; 1 + 1;�3� 1) = (2; 2;�4),2P = 2(2; 1;�3) = (4; 2;�6)5Q = 5(0;�1; 1) = (0;�5; 5)

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4 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Frecuentemente los elementos de Rn se denominan vectores. Ademas un vector es sim-plemente una n- tupla ordenada de números reales representado por PQ donde P yQ sonpuntos de Rn, tales que P es el punto inicial de v y Q es el punto �nal de v, numericamentev = [qi � pi] para i = 1; 2; ::::n. Si P = 0 se dice que v esta anclado en el origen y v dedenomina vector posición del punto P:

Notación 1 v = [vi] con i = 1; 2; 3; :::; n

Diferentes representaciones del vector [1; 2]

Geometricamente v +w

Geometricamente kv

Ejemplo 1.1.2 El vector v con punto inicial P (2; 3; 1) y punto �nal Q(�1; 1; 2) es iguala v = [(�1; 1; 2)� (2; 3; 1)] = [�1� 2; 1� 3; 2� 1] = [�3;�2; 1]

Dos vectores v y w son iguales si vi = wi para todo i = 1; 2; ::::n y dos vectoresson equivalentes si tienen igual dirección, longitud y sentido, sin importar la posición quetengan. Igual que en puntos el conjunto de vectores de Rn está dotado de dos operacionesalgebraicas, llamadas suma vectorial y producto por escalar, dados dos vectores v =[v1; v2; :::; vn] y w = [w1; w2; :::; wn] de Rn; su suma v + w esta de�nida por, v + w =[v1; v2; :::; vn] + [w1; w2; :::; wn] = [v1 + w1; v2 + w2; :::; vn + wn] y dado k 2 R, el multiplo

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1.1. EL ESPACIO VECTORIAL RN 5

escalar kv esta de�nido por kv = [kv1; kv2; :::; kvn]. El número real k se denomina escalar.Geometricamente v y kv son paralelos, si k es positivo entonces kv tiene igual direccióny sentido que v y si k es negativo kv tiene igual dirección y sentido contrario que v.Nota: v �w es una abreviación de v + (�w) y (�w) es una abreviación de (�1)w

Ejemplo 1.1.3 Si v = [4; 2; 1; 0] y w = [2; 0;�1; 1] entoncesv +w = [4; 2; 1; 0] + [2; 0;�1; 1] = [4 + 2; 2 + 0; 1� 1; 0 + 1] = [6; 2; 0; 1],v �w = [4; 2; 1; 0]� [2; 0;�1; 1] = [4� 2; 2� 0; 1 + 1; 0� 1] = [2; 2; 2;�1],4v = 4[4; 2; 1; 0] = [16; 8; 4; 0]2w = �2[2; 0;�1; 1] = [�4; 0; 2;�2]

Ejemplo 1.1.4 Para que valores de k los vectores [ 3;�5] y [k�; 10�] son iguales.Por igualdad de vectores 3 = k� y �5 = 10�;como � = �1

2entonces 3 = �1

2k luego k = �6

Un espacio vectorial es un conjunto V no vacio con dos aplicaciones + : V � V ! Vy � : R� V ! V V , tal que para todo v; w; u de V satisface las siguientes propiedades.(i)v +w 2 V(ii) (v +w) + u = v + (w + u)(iii)90 2 V; v + 0 = 0+ v = v(iv)9 � v 2 V; v + (�v) = (�v) + v = 0(v)v +w = w + v(vi) kv 2 V para todo k 2 R(viii) (k + l)v = kv + lv para todo k; l 2 R(ix) (kl)v = k(lv) para todo k; l 2 R(x) 1v = v

Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores.Rn con la suma usual y el producto por escalar usual es un espacio vectorial.

Ejemplo 1.1.5 El conjunto V = C[0; 1] de las funciones continuas de valor real de�nidasen el intervalo [0; 1] con f(0) = 0 y f(1) = 0, con la suma usual y el producto por escalarentre funciones, es un espacio vectorial, pues si f 2 V y g 2 V, entonces f+g es continuay f(0)+g(0) = f(1)+g(1) = 0. luego 0 2 V, ademas �f es continua y �f(0) = �f(1) = 0

Ejemplo 1.1.6 El conjunto V = f5g con la suma y producto usuales en R no es espaciovectorial ya que 5 + 5 = 10 =2 V.

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6 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Ejercicios sección 1.1

1. Suponga que empezamos un recorrido en el origen moviendonos a lo largo del eje x 5unidades en dirección positiva, luego nos movemos 4 unidades en dirección paralelaal eje y positivo, y por ultimo nos movemos 3 unidades hacia abajo. Cuales son lascoordenadas de nuestra posición?

2. Determine cual de los siguientes puntos P (1; 2; 3), Q(2;�1; 5),R(0; 3;�6) y S(8; 5;�2)

a) Esta mas cerca del plano xy.

b) Esta en el plano yz.

c) Esta mas lejos del plano xz

3. Cuales son las proyecciones del vector v = [1;�2; 2] en los planos coordenados. Traceun paralelepipedo con aristas en estas proyecciones, un vértice en el origen, otro enel extremo del vector v y halle las coordenadas de los otros vértices.

4. Cuales de las siguientes cantidades son vectores y cuales son escalares.

a) El número de estudiantes de un curso de cálculo vectorial.

b) La cantidad de información que viaja por Internet

c) La trayectoria seguida por un automovil que sale de Bogota a Cali.

5. Cual es la relación entre el vector v = [xi] y el punto p = (xi) para i = 1; 2; :::; n

6. Para los vectores dados v y w determine v + w, v � w, 3v, 2v�5w.

a) v = [1;�2] y w = [3; 5]b) v = [0; 2; 3] y w = [�6; 1; 7]c) v = [�1;�2;�3;�4] y w = [2; 4; 6; 8]

7. Si P;Q;R; S son cuatro puntos diferentes de Rn determine de manera gra�ca.

a) QR +RS

b) PQ+QR +RS

c) PQ�RS

8. Utilizando los vectores de la �gura, trazar los siguientes vectores

a) v +w

b) v �wc) 2v + 3w

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1.1. EL ESPACIO VECTORIAL RN 7

9. Si x y y son dos puntos de Rn y * una operacón de�nida en Rn tal que x�y = (xiyi)con x = (x1; x2; :::; xn) ; y = (y1; y2; :::; yn) ; i = 1; 2; :::; n :Demuestre o refute lossiguientes enunciados

a) * es conmutativa en Rn

b) * es asociativa en Rn

c) Existe elemento neutro e en Rn tal que para todo x 2 Rn; e � x = x � e = xd) Para todo x existe x�1 2 Rn, tal que x � x�1 = x�1�x = ee) Si z � x = z � y con z 2 Rn diferente de e; entonces x = y

10. Determine si el conjunto dado es un espacio vectorial.

a) El conjunto de números reales x; y ; con las siguientes operaciones, x + y =MCD(x; y) y x � y = mcm(x; y).

b) El conjunto de funciones de valores reales con primera derivada continua de�nidasen el intervalo [0; 1], con las siguientes operaciones, (f + g)0(x) = f 0(x) + g0(x)(�f)0(x) = �(f 0(x))

c) El conjunto de matrices de 2� 2 tales que a11 = 1, con la suma y el productopor escalar usual en matrices.

11. Determine si existe un espacio vectorial con exactamente.

a) Cero elementos

b) Un elemento

c) Dos elementos

12. Suponga que si u es un elemento de un espacio vectorial V , demuestre que si u+u = 0entonces u = 0

13. Es posible encontrar dos espacios vectoriales diferentes que posean el mismo elementocero. Justi�que su respuesta.

14. Uso de tecnologia (CAS)

a) Gra�que varios puntos en R2 y en R3.

b) Gra�que varios vectores en R2 y en R3

15. Utilizando un CAS construya la función Resultante(v;w) tal que dados v y w deR2 gra�que v;w y v +w

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8 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

1.2. Subespacios de Rn

En está sección consideraremos subconjuntos de un espacio vectorial denominadossubespacios vectoriales que conservan la estructura del espacio vectorial. Un tratamientosin usar coordenadas de los conceptos de espacio vectorial aparecio en 1.862 en la versióndel Ausdehnungslehre de .Hermann Grassmann2, en el aparecen las ideas basicas de lateoria de espacios vectoriales incluyendo las nociones de subespacio, combinaciones lineales,independencia lineal y base.

Como todo subespacio vectorial H es un espacio vectorial debe contener al vectorcero, entonces para determinar si H es subespacio vectorial, primero se debe veri�car si elvector cero esta en H. Todos los espacios vectoriales poseen cierto tipo de subconjuntosque tambien son espacios vectoriales denominados subespacios vectoriales.

Si H es un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V se dice que H es subespaciovectorial de V si:(i) 8h1, h2 2 H, h1 + h2 2 H(ii) 8k 2 R; kh 2 H

El espacio vectorial V contiene dos subespacios 0 y V , llamados subespacios triviales.Los subespacios de V diferentes de 0 y V , se llaman subespacios propios.

Ejemplo 1.2.1 El conjunto de todos los puntos de Rn con la última coordenada cero(x1; x2; :::; xn�1; 0) es un subespacio vectorial de Rn y es igual a Rn�1

Ejemplo 1.2.2 El conjunto S1 = ffxnjn 2 Ngjxn ! 1 si n ! 1g no es subespaciovectorial de el espacio vectorial de todas las sucesiones de números reales S. La sucesión0 = fxn = 0jn 2 Ng no pertenece a S1 pues no converge a 1. La suma de dos sucesionesconvergentes a 1 es una sucesión que converge a 2. Si la sucesión x = fxnjn 2 Ng convergea 1, entonces la sucesión y = f�xnjn 2 Ng no pertenece a S1 pues converge a �1

Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V:Entonces H1 \ H2 es unsubespacio vectorial de V . Pero veamos que si H1 y H2 son dos subespacios de un espaciovectorial V , no necesariamente H1 [H2 es un subespacio vectorial de V .

2

Hermann Gunter Grassmann Nacio en Stettin, 15 de abril de 1809 y murio el 26de septiembre de 1877, fue un lingüista y matemático alemán, también fue físico,humanista, erudito y editor. Evidentemente, la in�uencia de su padre en esta víafue muy importante, y pudo haber llegado a ser profesor de matemáticas, pero ya sehabía decidido a llevar a cabo investigaciones matemáticas por su cuenta. Entre losmuchos temas que abordó Grassman está su ensayo sobre la teoría de las mareas.Lo elaboró en 1840, tomando com base la teoría de la Méchanique analytique deLagrange y de la Méchanique céleste de Laplace, pero exponiendo esta teoría pormétodos vectoriales, sobre los que trabajaba desde 1832. Este ensayo, publicado porprimera en los Collected Works de 1894-1911, contiene el primer testimonio escritode lo que hoy se conoce como álgebra lineal y la noción de espacio vectorial.

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1.2. SUBESPACIOS DE RN 9

Ejemplo 1.2.3 Si H1 = f(x; y) 2 R2jy = x2g y H2 = f(x; y) 2 R2jy = x3g sonsubespacios de R2,

H1[H2 no es un subespacio vectorial de R2, veamos que (2; 4) 2 H1 y que (2; 8) 2 H2,pero (2; 4) + (2; 8) = (4; 12) =2 H1 [H2 por que (4; 12) =2 H1 y (4; 12) =2 H2.

Si v1; v2; :::; vn son vectores de un espacio vectorial V , entonces cualquier expresi�on de laforma �1v1+�2v2+:::+�nvn ; donde �i 2 R se denomina combinaci�on lineal de v1; v2; :::; vn:Si w es una combinación lineal de v1; v2; :::; vn, entonces esa combinación puede no serúnica. Si S es el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1;v2; :::;vn,entonces Ses generado por v1;v2; :::;vn. Si v1;v2; :::;vn son vectores de un espacio vectorial V , elespacio generado por fv1;v2; :::;vng es el conjunto de todas las combinaciones linealesde v1;v2; :::;vn: El generador de un conjunto V es el mínimo número de vectores que logenera.Es decir si se agregan vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjuntogenerador. Si w es una combinación lineal de v1;v2; :::;vn y cada vi es combinación linealde u1;u2; :::;uk entonces w es combinación lineal de u1;u2; :::;uk

Ejemplo 1.2.4 En el conjunto Pn de polinomios de grado menor o igual a n todo poli-nomio se puede escribir como combinación lineal de los monomios 1; x; x2; :::; xn

Ejemplo 1.2.5 Veri�que que si v1; v2; :::; vn,vn+1 son n+1 vectores de un espacio vectorialV y si v1;v2; :::;vn, genera a V entonces v1; v2; :::; vn,vn+1 tambien genera a V .

Sea v 2 V , entonces existen escalares �1; �2; :::; �n tales que v = �1v1+�2v2+ :::+�nvn

Si �n+1 = 0 entonces v = �1v1 + �2v2 + :::+ �nvn+�n+1vn+1 luego v1; v2; :::; vn,vn+1genera a V .

Propiedad 1.2.1 Si v1;v2; :::;vn son vectores de un espacio vectorial V , entonces genfv1;v2; :::;vnges un subespacio vectorial de V .

Si S = fv1;v2; :::;vpg y T = fw1;w2; :::;wpg son subconjuntos de un espaciovectorial V , se dice que S y T son equivalentes si Gen(S) = Gen(T )

Los vectores v1; v2; :::; vn, se dice que son linealmente independientes si ninguno deellos es combinación lineal de los otros, en caso contrario se dice que son linealmentedependientes.El siguiente teorema demuestra que un conjunto de vectores v1;v2; :::;vn, son lineal-

mente independientes.

Teorema 1.2.1 Los vectores v1;v2; :::;vn son linealmente dependientes si y sólo si exis-ten números reales a1; a2; :::; an no todos cero, tales que a1v1 + a2v2 + :::+ anvn = 0

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10 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Demostración. Supongamos que a1 6= 0;entonces v1 = �

a2a1v2 �

a3a1v3 � :::� an

a1vn

por lo tanto v1;v2; :::;vn son linealmente dependientes

Si por el contrario v1 = b2v2 + ::: + bnvn tenemos que a1v1 + a2v2 + ::: + anvn = 0con a1 = �1 6= 0 y bi = ai para i > 1.

Teorema 1.2.2 Un conjunto de m vectores en Rn es linealmente dependiente si m > n

Ejemplo 1.2.6 Si f y g son funciones de C1[0; 1] y W (f; g)(x) =����cg(x) g(x)cg0(x) g0(x)

����veamosque si f y g son linealmente dependientes, entonces W (f; g)(x) = 0 para todo x 2 [0; 1]:Supongamos que f(x) = cg(x) para algun c 2 R

entonces f 0(x) = cg0(x) luego W (f; g)(x) =

����cg(x) g(x)cg0(x) g0(x)

���� = 0C1[0; 1] conjunto de funciones con primera derivada continua de valor real de�nida en

el intervalo [0; 1] y se denomina Wronskiano de f y g.

Teorema 1.2.3 Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn gen-era a Rn.

La dimensión de V se denota dimV . La dimensión de Rn es igual a n.

Un conjunto de vectores fv1; v2; :::; vng es una base del espacio vectorial V si :(i) fv1;v2; :::;vng es linealmente independiente(ii) fv1;v2; :::;vng genera aV .

Si el espacio vectorial V tiene una base �nita, entonces la dimensión de V es el númerode vectores de esa base y V se llama espacio vectorial de dimensión �nita. De otra formaV se llama espacio vectorial de dimensión in�nita. Si V = 0 entonces dimensión de Ves igual a cero. La dimensión de Rn es igual a n. La dimensión de V se nota dimV .Cualquier espacio vectorial que contenga un subespacio vectorial de dimensión in�nita esde dimensión in�nita.El conjunto de vectores e1 = (1; 0; :::; 0); e2 = (0; 1; :::; 0); :::; en = (0; 0; :::; 1) es un

conjunto linealmente independiente, que genera a Rn por lo tanto constituye una base enRn:Esta base se denomina base canónica de Rn.

Ejemplo 1.2.7 El conjunto f1; x; x2; x3g constituye una base para P3, llamada base canóni-ca .

Teorema 1.2.4 Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn esuna base de Rn.

Page 19: Calculo vectorial

1.2. SUBESPACIOS DE RN 11

Teorema 1.2.5 Si un espacio vectorial V tiene una base de dimensión �nita, entoncescualquier otra base de V tiene el mismo número de vectores.

Propiedad 1.2.2 Cualquier espacio vectorial V que contiene un subespacio vectorial dedimensión in�nita, es de dimensión in�nita.

Si V es un espacio vectorial de dimensión �nita y si B = fv1; v2; :::; vng es una basede V , entonces para cada vector v 2 V existen escalares c1; c2; :::; cn tales que v =c1v1 + c2v2 + ::: + cnvn, luego (c1; c2; :::; cn) es el sistema de coordenadas del vector vrelativo a la base B.

Ejemplo 1.2.8 Utilizando la base f(1; 0; 0); (1; 1; 0); (1; 1; 1)g, hallar las coordenadas deun vector (x; y; z)Debemos hallar escalares c1; c2 y c3 tales que (1; 0; 0)c1 + (1; 1; 0)c2 + (1; 1; 1)c3 =

(x; y; z)cuya solución es (x� y; y � z; z)

Si B1 = fv1;v2; :::;vng y B2 = fv01;v02; :::;v

0ng son bases de un espacio vectorial

V , en las que cada vector v 2 V se podra expresar en dos sistemas de coordenadas. Sise conocen los vectores de la base B2 en función de los vectores de la otra base B1, seraposible encontrar las ecuaciones del cambo de coordenadas

v0j =nPi=1

qijvi para j = 1; 2; :::; n,

entonces el sistema de coordenadas (c1; c2; :::; cn), se podra representar en función de(c

01; c

02; :::; c

0n) de la siguiente manera

ci =nPj=1

qijv0j para i = 1; 2; :::; n

Matricialmente se puede expresar de la siguiente manera X = QX 0

donde X =

26664c1c2...cn

37775 ; X 0 =

26664c01c02...c0n

37775 y Q =26664q11 q12 : : : q1nq21 q22 : : : q2n...

... : : :...

qn1 qn2 : : : qnn

37775es una matriz invertible, llamada matriz de cambio de coordenadas.

Ejercicios sección 1.2.

1. Determine si el conjunto H es subespacio del espacio vectorial V .

a) V = Pn, H = fp 2 P j p(0) = 0g, Pn : Conjunto de los polinomios de gradomenor o igual a n

b) V = C1[0; 1], H = ff 2 C1[0; 1]jjf�(0) = 0g, C1[0; 1] : conjunto de funcionescon primera derivada continua de valor real de�nida en el intervalo [0; 1]

Page 20: Calculo vectorial

12 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

c) V = C[a; b]; H = ff jf(x) � 0, para todo xg

2. Sean V = M22 (el conjunto de matrices de 2 � 2) H1 = fA 2 M22 : a11 = 0g yH2 = fA 2 M22 : a11 = �a22 , a12 = a21g Demuestre que H1 \H2 es subespacio deV .

3. De un ejemplo de dos subespacios vectoriales H1 y H2 de V; tal que H1 [ H2 seasubespacio vectorial de V .

4. Determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado.

a) En R2; (1; 2); (2; 1)b) En P2; 1� x; 2� x2

c) En M22;

�2 10 0

�;

�0 20 1

�;

�0 02 1

�;

�2 01 0

�5. Muestre que si u y v estan en genfv01;v

02; :::;v

0ng , entonces U + V y �V tambien

estan en genfv01;v02; :::;v

0ng

6. Determine si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o independi-ente.

a) (1; 0; 1); (0; 1; 1); (1; 1; 0)

b) En P2; 1� x; x

c) En C[0; 1]; Senx; Cosx

7. Determine para que valor(es) de � son linealmente dependientes los vectores (1; 2; 3); (2;�1; 4)y (3; �; 4).

8. Considere el espacio vectorial de las funciones de variable real t. Muestre que lasiguientes parejas de funciones son linealmente independientes.

a) 1; t

b) et; t

c) Sent; Cost

9. Demuestre que si S es linealmente independiente entonces cualquier conjunto novacio que resulte de S eliminando vectores es linealmente independiente.

10. Encuentre una base y su dimensión, para el subespacio vectorial H dado.

a) H = f(x; y; z):x = 2t; y = t; z = 5t ; t 2 Rgb) H = fD 2M33jD es diagonalg

Page 21: Calculo vectorial

1.3. PRODUCTO PUNTO Y ORTOGONALIDAD 13

c) H = fp 2 P3 : p(0) = 0g

11. Veri�que que el conjunto f(1; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 0)g es una base de R3 y exprese elvector (x; y; z) en terminos de esta base.

12. Para que valor(es) de � los vectores (�; 1; 0); (1; 0; �) y (�; 1; �), constituyen unabase para R3.

13. Encontrar las coordenadas del vector v relativo a la base S.

a) S = f(2; 1; 0); (�3;�3� 1); (�2; 1:� 1)g, v = (4; 13;�6).

b) S =��1 11 1

�;

�1 10 1

�;

�0 10 1

�;

�0 00 1

��, v =

�1 42 �2

�c) S = f1 + 2x� x2; 1� 3x; 2g; v = 3� 2x2

14. Si S = fv01;v02; :::;v

0ng es una base de un espacio vectorial V y x = a1v1 + a2v2 +

::: + anvn y y = b1v1 + b2v2 + ::: + bnvn , vectores arbitrarios de V , encuentre lascoordenadas de x+ y y de kx (k 2 R) relativo a la base S.

15. Uso de tecnologia (CAS)

a) Dependencia o independencia..

b) Dimensión.

16. Utilizando un CAS construya una función COORDENADAS que determine las co-ordenadas de un vector relativo a una base.

1.3. Producto punto y ortogonalidad

Para obtener una estructura geometrica más completa de Rn que incluya los conceptosde distancia, ángulos y ortogonalidad, debemos dotar a Rn de un producto interior.El producto interior en un espacio vectorial V es una aplicación <;>: V � V ! R,

que asocia a cada par de vectores v y w de V un número real < v;w >, que satiface lassiguientes condiciones:(i) hv,vi � 0(ii) hv,wi = hw,vi(iii) hkv + lw,ui = khv,ui+ lhw,uiPara todo v; w yu 2 V y k; l 2 R

El producto interno en Rn de�nido de la siguiente formahv,wi =

nPi=1

viwi = v1w1 + v2w2 + ::: + vnwncon i = 1; 2; :::; n y denotado v � w se

denomina producto punto, o producto escalar, o producto euclidiano en Rn

Page 22: Calculo vectorial

14 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Ejemplo 1.3.1 Si v = [5; 8] y w = [�4; 3] , v � w = (5)(�4)+(8)(3) = �20+24 = 4

Todo producto interior h; i en V satisface las siguientes desigualdades.(i) jhv;wij �

phv; vi

phw;wi, para todo v; w de V , desigualdad de Schwarz

(ii)phv + w, v + w > �

phv; vi +

phw;wi para todo v; w de V , desigualdad de

Minkowski3.

La norma de un vector también se conoce como el módulo. A partir del productointerno la norma de v esta determinada por kvk=

phv, v > y se denomina norma asociada

al producto interior. Dos vectores son equivalentes, si tienen igual longitud, dirección ysentido.A partir del producto interno podemos determinar la longitud o medida de un vector

v 2 Rn, denominada la norma vectorial de v, como una aplicación k�k : V ! R, quea cada vector v del espacio vectorial V le asocia un número real no negativo kvk, quesatisface las siguientes condiciones :(i) kvk � 0(ii) kkvk = jkj kvk(iii) kv +wk � kvk+ kwkPara todo v y w 2 V y k 2 R

En el espacio vectorial Rn, la norma de�nida de la siguiente forma kxk =r

nPi=1

x2i con

i = 1; 2; :::; n se denomina norma vectorial euclidiana

Ejemplo 1.3.2 Las siguientes son normas vectoriales en Rn:kxk1 = maxfjxijg, kxk1 =

nPi=1

jxij,kxk2 =nPi=1

x2i para i = 1; 2; :::; n

En C[0; 1] de�nimos el producto interior f �g =R baf(x)g(x)dx , en particular en C[0; 1]

sean f(x) = 2x y g(x) = x2 entonces f � g =R 102x3dx =

x4

2j10 =

1

23

Hermann Minkowski (22 de junio de 1864 - 12 de enero de 1909) fue unmatemático alemán de origen judío que desarrolló la teoría geométrica de losnúmeros, nació en Aleksotas, Rusia (actualmente Kaunas, Lituania), y cursó susestudios en Alemania en las universidades de Berlín y Königsberg, donde realizósu doctorado en 1885. Durante sus estudios en Königsberg en 1883 recibió el pre-mio de matemáticas de la Academia de Ciencias Francesa por un trabajo sobralas formas cuadráticas. Impartió clases en las universidades de Bonn, Göttingen,Königsberg y Zúrich. En Zúrich fue uno de los profesores de Einstein. Minkowskiexploró la aritmética de las formas cuadráticas que concernían n variables. Susinvestigaciones en este campo le llevaron a considerar las propiedades geométricasde los espacios n dimensionales. En 1896 presentó su geometría de los números,un método geométrico para resolver problemas en teoría de números.

Page 23: Calculo vectorial

1.3. PRODUCTO PUNTO Y ORTOGONALIDAD 15

podemos determinar la norma de g por kgk = pg � g, entonces g � g =

R 10x4dx =

x5

5j10 =

1

5, luego kgk = 1p

5Una aplicación d : Rn�Rn ! R es una distancia en Rn si dados x, y, z 2 Rn, satisface

las siguientes condiciones(i) d(x; y) = 0 si y solo si x = y(ii) d(x; y) � 0(iii) d(x; y) � d(x; z) + d(z; y)(iv) d(x; y) = d(y; x)

Si v es un vector de R2 y � el ángulo que forma v con el eje X positivo entoncesv = [Cos�; Sen ]. Si kvk = 1 el vector v se denomina unitario. Si k�k es una normaen Rn, la aplicación d(x;y) = kx� yk es una distancia en Rn denominada distanciaeuclidiana.

Ejemplo 1.3.3 Hallar la distancia del punto p = (2; 3; 1) al punto q = (�1; 0; 1):Esequivalente a hallar la norma del vector pq

d(p; q) = kp� qk = k(2; 3; 1)� (�1; 0; 1)k = k(3; 3; 0)k =p18

Teorema 1.3.1 Sea � el ángulo entre dos vectores u y v de Rn, entonces u � v = kuk kvk cos �

Demostración. Considerando un triángulo de lados u y v;por la ley de los cosenos kv � uk2 = kuk2 + kvk2 � 2 kuk kvkCos�luego 2 kuk kvkCos�=kuk2+kvk2�kv � uk2 = u�u+v � v�(v�u)�(v�u) = 2u�vPor lo tanto v � w = kvk kwkCos�

Ejemplo 1.3.4 Calcular el ángulo positivo que forma el vector v = [p3; 1] con el ejeX

positivoComo v no es unitario construimos un vector unitario con la misma dirección de v,v

kvk =[p3; 1]

2=

"p3

2;1

2

#luego cos � =

p3

2y sen� =

1

2por lo tanto � =

6

Ejemplo 1.3.5 Suponga que v es un vector �jo de longitud 3 y w es un vector cualquierade longitud 2. Cuales son los valores máximo y mínimo de v �w y en que posiciones de vy w se dan estos resultados. v �w = kvk kwkCos� = 3 � 2Cos� = 6Cos�:Máximo valores 6 cuando Cos� = 1 o sea � = 0. Mínimo valor es �6 cuando Cos� = �1 o sea � = �

Dos vectores no nulos v y w de un espacio vectorial V se dice que son ortogonales sihv;wi = 0:Un conjunto de vectores no nulos v1; v2; :::; vn de V se dice que es ortogonal sihvi,vji = 0, para i 6= j: Si cada vector vi es unitario se dice que el conjunto es ortonormal.Una base ortogonal es una base formada con vectores ortogonales. Una base ortonormales una base formada con vectores ortonormales.

Ejemplo 1.3.6 La base canonica de Rn es un conjunto ortonormal en Rn.

Page 24: Calculo vectorial

16 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Ejemplo 1.3.7 Si v y w son vectores ortogonales de Rn tales que kvk = 3 ; kwk =7: Calcule kv +wk y kv �wkComo v y w son ortogonales entonces v �w = 0y kv +wk2 = (v+w)�(v+w) = v�v+2v�w+w�w = kvk2+kwk2 = (3)2+(7)2 =

9 + 49 = 58,entonces kv +wk =

p58 de igual forma kv � wk2 = (v � w) � (v � w) = kvk2 +

kwk2 = (3)2 + (7)2 = 9 + 49 = 58,luego kv �wk =

p58

Teorema 1.3.2 Todo conjunto ortogonal �nito de vectores no nulos es linealmente inde-pendiente.

Demostración. Supongamos que a1v1 + a2v2 + ::: + anvn = 0 entonces para cualquiervi

a1(v1�vi) + :::+ ai(vi�vi) + :::+ an(vn�vi) = 0 � vi = 0a10 + a20 + :::+ ai kvik+ :::+ an0 = 0ai kvik = 0, como vi 6= 0 , kvik > 0 entonces ai = 0

Teorema 1.3.3 Si B = fv1;v2; :::; vng es una base de un espacio vectorial V conproductointerior h:i, entonces para cada un vector u 2 V tal que u = c1v1+ c2v2+ :::+ cnvn; con1 � i � n.(i) ci =

u � vivi � vi

si la base es ortogonal

(ii) ci = u � vi si la base es ortonormal

Ejemplo 1.3.8 Encontrar las coordenadas de u = (0; 1; 2; 3) en R4 relativas a la base ortogonalB =f(1; 1; 1; 1); (�1;�1; 1; 1); (�1; 1;�1; 1); (�1; 1; 1;�1)gComo ci =

u � vivi � vi

y vi�vi = 4 para i = 1; 2; 3; 4,

calculamos u � v1 = (0; 1; 2; 3) � (1; 1; 1; 1) = 6 enonces c1 =6

4=3

2,

u � v2=(0; 1; 2; 3) � (�1;�1; 1; 1) = 4 ,enonces c2 = 1,

u � v3 = (0; 1; 2; 3) � (�1; 1;�1; 1) = 2 , entonces c3 =2

4=1

2u � v4 = (0; 1; 2; 3) � (�1; 1; 1;�1) = 0;entonces c4 = 0,por lo tanto u =

3

2v1 + v2 +

1

2v3

Propiedad 1.3.1 Proyección de un vector en otro vector

Si v y w son vectores no nulos de Rn, entonces la proyecci�on de v en w es un vectorcon la dirección de w igual a Pr oywv =

v � wkwk2

w

Tambien es igual a Pr oywv =v � ww � ww

Page 25: Calculo vectorial

1.3. PRODUCTO PUNTO Y ORTOGONALIDAD 17

Ejemplo 1.3.9 La proyección del vector v = [2;�6] sobre el vector w = [1; 3] es igual

a Pr oywv = �16

10[1; 3] =

��85;�24

5

�Propiedad 1.3.2 Sean v y w vectores no nulos de Rn, entonces(i) Pr oywv = 0 si v y w son ortogonales(ii) Pr oywv es paralelo a w(iii) v � Pr oywv es ortogonal a

Un vector v se puede expresar como la suma de un vector paralelo a un vector u y unvector ortogonal a u, de la siguiente manera v = proyuv + (v � proyuv)

Ejemplo 1.3.10 Exprese el vector v = [2; 1;�3] como la suma de un vector paralelo au = [3;�1; 0] y un vector ortogonal a u:

Como u � v = 5 y u � u = 10 entonces proyuv =5

10[3;�1; 0] =

�3

2;�12; 0

�,

v � proyuv = [2;�1;�3] � 5

10[3;�1; 0] =

�1

2;3

2;�3

�luego [2; 1;�3] =

�3

2;�12; 0

�+�

1

2;3

2;�3

Ejercicios 1.3.

1. Determine cual de los siguientes puntos p = (1; 2; 3), q = (2;�1; 5), r = (0; 3;�6) ys = (8; 5;�2)

a) Esta mas cerca del eje y.

b) Esta mas lejos del eje x

c) Esta mas lejos del origen

2. Calcule el producto interior entre los vectores u y v

a) u = [3; 4] y v = [2;�3]b) u = [12; 3] y v = [�1; 5]c) u = [2;�1; 1] y v = [�1; 0; 2]

3. Si v es el vector que va de (0; 0) a (3; 4) y w el vector que va de (2; 1) a(5; 5):Demuestre que v = w

4. Demuestre que hf; gi =R baf(x)g(x)dx de�ne un producto interno en C[a,b].

5. Para el producto interno de�nido en el ejercicio anterior si f(x) = x y g(x) = Senxen C[0; 2�] halle

Page 26: Calculo vectorial

18 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

a) hf; gib) kfkc) kgk

6. Hallar un vector v de longitud dada, con la misma dirección del vector u.

a) kvk = 3 y u = [1; 1]

b) kvk = 2 y u = [3;p3]

c) kvk = 6 y u = [1;�1;�1]

7. Demuestre que kxk = maxfjxijg es una norma en Rn.

8. Para que valor(es) de � los vectores u y v son ortogonales.

a) u = [3; 4] y v = [1; � ]

b) u = [�2; 1] y v = [� ;�2]c) u = [�1;�1] y v = [� ; 5]

9. Demuestre que si v es ortogonal a u y w, entonces v es ortogonal a �u+ �w paracualesquiera � y �.

10. Para que valor(es) de � el ángulo entre v = [2;�5] y u = [�; 1] es igual a

a)�

3

b)�

4

c)2�

3

11. Halle el ángulo formado por la diagonal de un cubo y una de sus aristas.

12. Hallar la proyección de u en v

a) u = [2; 3] y v = [5; 1]

b) u = [2; 2] y v = [5; 0]

c) u = [2; 1; 2] y v = [0; 3; 4]

13. Para las funciones f(x) = x y g(x) = Senx en C[0; 2�] halle

a) Proygf

b) Proyfg

c) Proyff

Page 27: Calculo vectorial

1.4. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 19

14. Si kvk = 3 y �2 < s < 1 determine ksvk

15. Uso de tecnologia (CAS)

a) Producto punto

b) Norma

c) Distancia.

16. Utilizando un CAS construya una función llamada proyeccion(u; v) que determinela proyección de u en v.

1.4. Transformaciones lineales y matrices

En esta sección introducimos una clase importante de aplicaciones entre espacios vecto-riales, aquellas que son lineales. Ya que una de las ideas centrales del cálculo multivariadoes la aproximación no lineal por medio de aplicaciones lineales. En el año 1.918 en Space-time-Matter Hermann Weyl4 dio la de�nición abstracta de transformación lineal.Dados V y W dos espacios vectoriales y T una aplicacion de V en W , se dice que T

es una transformación lineal si y solamente si :(i) 8v1;v2 2 V T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2)(ii) 8v 2 V y 8� 2 R T (�v) = �T (v)

Ademas se cumplen las siguientes propiedades(i)T (0V ) = 0W(ii)8v1;v2 2 V T (v1 � v2) = T (v1)� T (v2)(iii)8v1;v2; :::;vn 2 V T (v1 + v2 + :::+ vn)

Ejemplo 1.4.1 Sea C[a; b] el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo[a; b] y sea C(1)[a; b] el conjunto de todas las funciones continuas con primera derivadacontinua en el intervalo [a; b], entonces la aplicación T : C[a; b] ! C(1), de�nida porT (f) = f 0 es lineal, ya que T (f + g) = (f + g)0 = f 0 + g0 y T (�f) = (�f)0 = �f 0.

4

Hermann Weyl (1.885-1.955) Nacido: 9 de Noviembre de 1885 en Elmshorn (cer-ca de Hamburgo), Alemania. Fallecido: 8 de Diciembre de 1955 en Zürich, Suiza, fueeducado en las Universidades de Munich y Göttingen, obtuvo su doctorado en estaúltima, bajo la supervisión de David Hilbert. Después de presentar su tesis doctoral,�Singuläre Integralgleichungen mit besonder Berücksichtigung des Fourierschen In-tegraltheorems�, le fue concedido el título en 1908. Fue en el mismo Göttingen dondeél desempeñó su primer cargo docente. Matemático y �sico autor de importantes in-vestigaciones sobre la teoria de las ecuaciones integrales y diferenciales, en el campode la relatividad y la mecanica cuantica. En el año 1.918 en Space-time-Matter diola de�nición abstracta de transformación lineal.

Page 28: Calculo vectorial

20 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Ejemplo 1.4.2 Sea Mn�n el conjunto de las matrices de n � n, entonces la aplicaciónT : Mn�n ! R, de�nida por T (A) = det(A) no es lineal, ya que de manera general eldeterminante de una suma no es la suma de los determinantes.

Las transformaciones lineales se denominan tambien operadores lineales si V = W . Elnúcleo de la transformación T; denotado por Ker T; es el conjunto de vectores vi 2 V cuyaimagen es 0 2 W , y la imagen de la transformación T , denotada por Im T , es el conjuntode vectores wj 2 W tales que wj = T (vi) para algun vi 2 V .Es decir KerT = fvi 2 V jT (vi) = 0Wg y ImT = fwj 2 W jT (vi) = wj, para vi 2 V g

Ejemplo 1.4.3 Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal tal que T (1; 0) = (2; 7) yT (0; 1) = (�3; 2); halle una expresión general para T (x; y):Como T es lineal T (x; 0) = xT (1; 0) = x(2; 7) = (2x; 7x)y T (0; y) = yT (0; 1) = y(�3; 2) = (�3y; 2y),entonces T (x; y) = T (x; 0) + T (0; y) = (2x� 3y; 7x+ 2y)

A la dimensión del nucleo de T se le llama nulidad de T; y a la dimensión de su imagense le llama rango de T .

Teorema 1.4.1 Nulidad y rango de una transformación lineal. Si T es una transforma-cion lineal de V en W. Entonces(i) Nulidad de T = �(T ) = dim(ker T )(ii) Rango de T = �(T ) = dim(ImT )

El siguiente teorema relaciona la nulidad y el rango de una transformación lineal T :Rn ! Rm, con la dimensión del espacio euclidiano Rn

Teorema 1.4.2 Sea T : Rn ! Rm una transformación lineal, entonces dim(Ker) +dim(Im) = n

Veremos ahora que dada cualquier transformación lineal T de Rn en Rm existe unamatriz A de m�n tal que T (x) = Ax. Tomando la base canonica de Rn tenemos que losvectores T (ei) determinan las columnas de la matriz A.

Teorema 1.4.3 Sea T : Rn ! Rm una transformación lineal, entonces existe una únicamatriz AT de m� n tal que T (x) = ATx para todo x 2 Rn

Demostración. Por contradicción supongamos que existe una matriz B de m�n tal queT (x) = Bx,por lo tanto AT x = Bx, luego ATx� Bx = (AT � B)x = 0 donde 0 es la matriz

columna nula para todo xentonces (AT �B)ei = 0 para todo i = 1; 2; :::; n, por lo tanto la columna i-esima de

AT �B es 0, para todo i,entonces AT �B es la matriz cero de m� n de esta manera AT = B

Page 29: Calculo vectorial

1.4. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 21

Ejemplo 1.4.4 Para la transformación lineal T : R3 ! R2, determinada por T (x; y; z) =(x+ y; y + z) determine su matriz AT .Para obtener AT primero se halla T (ei) para i = 1; 2; 3,

con estos vectores como columna se construye la matriz, luego AT =

�1 1 00 1 1

Una transformación lineal T : Rn ! Rm con n = m se denomina operador lineal.Si T : Rn ! Rn es un operador lineal, se dice que el número real � es un valor propiode T si existe un vector no nulo v 2 Rn tal que T (v) = �v. Al vector v se le denominavector propio de T asociado al valor propio �. Si A es una matriz cuadrada de orden n, supolinomio carateristico esta determinado por p(�) = det(A��I), p(�) es un polinomio envariable � de grado n. Los valores propios de una matriz cuadrada A de orden n son lasraices de su polinomio carateristico p(�). Si A es una matriz cuadrada de orden n y v es unvector no nulo de Rn tal que Av = �v entonces v es un vector propio de A. Para calcularvalores y vectores propios primero se encuentra p(�) = det(A � �I), luego se hallan susraices y por último se resuelve el sistema homogéneo (A� �i)v = 0.

Ejemplo 1.4.5 Para la matriz A =�3 35 1

�encuentre su polinomio característico y sus

valores y vectores propios.

Hallamos primero el polinomio característico p(�) =

���� 3� � 35 1� �

���� = �2 � 4�� 12,

los valores propios de A son las raices de p(�), o sea 2 y 6.Para hallar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo (A� �I)v = 0 para

cada �,

si � = 2 entonces el sistema�3 35 1

� �x1x2

�=

�00

�tiene por solución x1=-

3

5x2,luego

si x2 = 1

entonces x1 = �3

5,entonces v1 =

"�351

#y si � = 6 entonces el sistema

��3 35 �5

� �x1x2

�=�00

�tiene por solución x1 = x2,

luego si x2 = 1 entonces x1 = 1,entonces v2 =�11

Ejercicios 1.4

1. Demuestre que la transformación dada es lineal

a) T : R3 7! R2, tal que T (x; y; z) = [x; y; 0] , proyección.

b) T :Mmn !Mnm, tal que T (A) = At Transposición.

Page 30: Calculo vectorial

22 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

c) T : R! P3, tal queT (a) = a+ ax+ ax2 + ax3

2. Demuestre que la transformación dada no es lineal.

a) T : Rn ! R, tal que T (x; y; z) = xyz

b) T : C[0; 1]! C[0; 1], tal que T (f) = f 2

c) T : C[0; 1]! R, tal que

3. Sea T : R2 ! R3 una transformación lineal tal que : T (1; 0) = (2;�1; 5) y T (0; 1) =(3; 2;�5). Halle una expresión general para T (x; y) .

4. Demuestre que si T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W;entoncesT1 + T2 es una transformación lineal de V en W .

5. Encuentre la nulidad y el rango de la transformación lineal dada.

a) T : R2 ! R ; T (x; y) = x+ y

b) T : Mnn !Mnn ; T (A) = At + A

c) T : R! P2; T (k) = k + kx+ kx2

6. Si T :V ! W es una transformación lineal, en donde dimension de V es igual a n,demuestre que nulidad(t)+rango(t) = n

7. Obtenga la matriz AT , que represente la transformación dada.

a) T : R2 ! R2; tal que T (x; y) = (ax+by; cx+dy), con a; b; c y d números reales.b) T : P2 ! P3, tal que T (p) = xp(x)

c) T : Mmn !Mnm, tal que T (A) = At

8. Dada la matriz AT encuentre el valor de la transformación lineal T en el vectorindicado.

a) AT =

�3 00 1

�, T (2; 3)

b) AT =

�7 5-10 -8

�; T (�1;�1;�1)

c) AT =

0@1 2 01 1 13 0 �1

1A, T (1; 2; 3)9. Para la matriz A dada determine su polinomio característico y sus valores y vectorespropios.

Page 31: Calculo vectorial

1.5. PRODUCTO VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS. 23

a)�7 5�10 �8

�b)�1 �21 2

c)

0@ 2 0 01 �1 �2�1 0 1

1A10. Demuestre que el termino independiente del polinomio caracteristico de la matriz A,

es detA.

11. Si T : V ! W es una transformación lineal y si u 2 V es combinación lineal dev1;v2; :::;vn 2 V entonces T (u) 2 W es una combinación lineal de T (v1); T (v2); :::; T (vn)

12. Demostrar que T (x; y) = [ex; ey] no es lineal.

13. Uso de tecnologia (CAS).

a) Polinomio caracteristico

b) Valores propios

c) Vecores propios

14. Utilizando un CAS construya una funciòn MATRA que determine la mariz de unatransformaciòn lineal.

1.5. Producto vectorial, rectas y planos.

En el plano R2 se utiliza el concepto de pendiente para hallar la ecuación de unarecta, a partir de dos puntos diferentes sobra ella. En el espacio tambien puede hallarse laecuación de una recta si se conocen dos puntos diferentes sobre ella, pero ahora se utilizael concepto de dirección (dada por un vector5 v de R3 no nulo ) .

5

William Rowan Hamilton (1805-1865), matemático y astrónomo británico, cono-cido sobre todo por sus trabajos en análisis de vectores y en óptica. Nació en Dublíny estudió en el Trinity College. En 1827, sin haber obtenido su título, fue nombradoprofesor de astronomía, y al año siguiente astrónomo real para Irlanda. Hamiltonpasó el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio deDunsink, cerca de Dublín. En el campo de la dinámica, introdujo las funciones deHamilton, que expresan la suma de las energías cinética y potencial de un sistemadinámico; son muy importantes en el desarrollo de la dinámica moderna y para elestudio de la teoría cuántica.

Page 32: Calculo vectorial

24 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

El producto exterior, cruz o vectorial en R3, es una función de R3�R3 en R3, que acada par de vectores v y w de R3 les asocia un vector v �w que satisface las siguientescondiciones(ii)u� v = �v � u(iii) (ku)� v = k(u� v)(iv) u� (kv + lw) = k(u� v) + l(u�w)Para todo v; w yu 2 R3 y k; l 2 R.

Algebraicamentev �w = [v2w3 � v3w2; v3w1 � v1w3 , v1w2 � v2w1] , v = [v1; v2; v3] yw = [w1; w2; w3]

Ejemplo 1.5.1 Si v = [2; 3;�1] y w = [1;�2; 1] entonces v � w =

������i j k2 3 �11 �2 1

������ =[�1;�1;�1]

Dos vectores no nulos v y w de R3se dice que sonparalelos si v �w = 0.

Teorema 1.5.1 Sea � el ángulo entre dos vectores u y v de R3 entonces ku� vk =kuk kvk sen�:

El área de un paralelogramo que tiene lados adyacentes u y v es igual a ku� vk : Siu; v y w son tres vectores que no estan en el mismo plano, entonces forman los lados deun paralelepipedo cuya base es un paralelogramo de área kv �wk entonces el volumendel paralelepipedo es igual a j(u� v)wj

Ejemplo 1.5.2 Calcule el volumen del paralelepipedo determinado por los vectores [1;�1; 0]; [3; 2; 0]y [0;�7; 3].Haciendo u = [1;�1; 0], v = [3; 2; 0] y w = [0;�7; 3]

u� v =

������i j k1 �1 03 2 0

������ = [�1; 0; 5], luego j(u� v)wj = j[�1; 0; 5][0;�7; 3]j = 15

Si p = (x1, y1, z1) y q = (x2 , y2, z2) son dos puntos diferentes de una recta L, entoncesel vector v = pq = [x2 � x1; y2 � y1; z2 � z1] = [a; b; c] es un vector contenido en la rectaL, llamado vector director de la recta y si r = (x, y, z) es un punto cualquiera de L,entonces v = jj pr luego tv = pr (t 2 R), por lo tanto 0r = 0p+ tv determina la ecuaci�onvectorial de la recta L . Tambien se puede escribir como or = op+ t(oq�op). Por igualdadde vectores x = x1+ ta ; y = y1+ tb ; z = z1+ tc determinan las ecuaciones paramétricas

de la recta L. Si a; b y c son diferentes de cerox� x1a

=y � y1b

=z � z1c

determinan las

ecuaciones simétricas de la recta L.El conjunto de puntos (x; y; z) obtenidos para valores de t en el intervalo [0; 1] deter-

mina el segmento de recta que une el punto p con el punto q.

Page 33: Calculo vectorial

1.5. PRODUCTO VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS. 25

Ejemplo 1.5.3 Hallar las ecuación de la recta L que pasa por los puntos p = (1; 3; 4) yq = (2; 1;�1)El vector v = pq = [1;�2;�5] es director de la recta L ,luego [x; y; z] = [1; 3; 4] + t[1;�2;�5] es la ecuación vectorial de L,y x = 1 + t, y = 3� 2t, z = 4� 5t son las ecuaciones parametricas de Lyx� 11

=y � 3�2 =

z � 4�5 son las ecuaciones simétricas de L

Teorema 1.5.2 Demostrar que el conjunto H = [(x; y; z)jx = at, y = bt, z = ct cona; b; c 2 Rg es subespacio vectorial de R3.

Demostración. H consta de los vectores de R3 que estan sobre una recta que pasa porel origen,sean v1 = (at1; bt1; ct1) 2 H y v2 = (at2; bt2; ct2) 2 Hentonces v1+v2 = (a(t1+t2); b(t1+t2); c(t1+t2)) 2 H y kv1 = (k(at1); k(bt1); k(ct1)) 2

H,luego H es subespacio vectorial propio de R3:

Dos rectas L1 y L2 de R3, se dicen que son sesgadas si no se intersectan y no sonparalelas. Si L1 y L2 son dos rectas de R3, entonces: L1 es paralela a L2 si sus vectoresdirectores son paralelos, L1 es ortogonal a L2 si sus vectores directores son ortogonales.yel �angulo entre L1 y L2 es igual al �angulo entre sus vectores directores.

Ejemplo 1.5.4 Halle el punto intersección entre las rectas L1 : x� 1 =y + 3

2=z + 2

�1 y

L2 :x� 173

= y � 4 = z + 8

�1 .Utilizando la ecuación paramétrica de las rectas L1 : x = 1+ t; y = �3+2t; z = �2�

y L2 : x = 17 + 3s; y = 4 + s; z = �8� sIgualando x, y y z tenemos �2� t = �8� s; resolviendo el sistema s = �5 y t = 1,luego x = 2; y = �1; z = �3 por lo tanto el punto intersección es 2;�1;�3)

Page 34: Calculo vectorial

26 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Teorema 1.5.3 La distancia entre una recta L y un punto q (que no esta en L) esta

determinada por d =kpq � vkkvk donde v es el vector director la recta L y p es un punto

cualquiera de L.

Demostración. Sea d la distancia entre q y la recta dada,.entonces d = kpqk sen� donde � es el ángulo entre v y pq.Luego kvk kpq � vk sen� = kpq � vk.

Por lo tanto d = kpqk sen� = kpq � vkkvk .

Ejemplo 1.5.5 Calcular la distancia entre el punto q = (10; 3;�2) y la recta x = 4� 2t,y = 3 + t y z = 1 + 5t.El vector director de la recta es v = [�2; 1; 5];haciendo t = 0 hallamos un punto p de

la recta,

p = (4; 3; 1) y pq = [6; 0;�7] entonces pq�v = [7;�16; 6] por lo tantod = k[7;�16; 6]kk[�2; 1; 5]k =p

341p30

Una recta L de Rn que pasa por el punto p = (p1; p2; :::; pn) y cuyo vector director esv = [v1; v2; :::; vn] esta determinada por el conjunto de puntos x 2 Rn tales que:

x = p+ tv, t 2 R, determina la ecuación vectorial de L y xi = p�+ tvi para i = 1; 2; :::; ndetermina las ecuaciones paramétricas de L

Si p = (xo; yo; zo) es un punto y n = [a; b; c] un vector dado no nulo, entonces elconjunto de puntos q = (x; y; z) tales que pq �n = 0 determina un plano, luego [x�xo; y�yo; z � zo] � [a; b; c] = 0 realizando el producto punto obtenemos la ecuación general de unplano ax+ by+ cz = d donde d = axo+ byo+ czo , el vector n se denomina vector normaldel plano.

Ejemplo 1.5.6 Si p = (0; 0; 0) ; q = (1; 2; 3) y r = (�2; 3; 3) construimos los vectores pqy pr, pq = [1; 2; 3]; pr = [�2; 3; 3] para obtener un vector normal al plano hacemos

Page 35: Calculo vectorial

1.5. PRODUCTO VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS. 27

n = pq � pr =

������i j k1 2 3�2 3 3

������ = [�3;�9; 7], luego [x+ 2; y � 3; z � 3] � [�3,�9,7] = 0

Si �1 y �2 son dos planos, entonces: �1 es paralelo a �2 si sus normales son paralelas.�1 es ortogonal a �2 si sus normales son ortogonales. El ángulo entre �1 y �2 es igual alángulo entre sus normales.

Ejemplo 1.5.7 Encuentre todos los puntos intersección entre los plano x � y + z = 2 y2x� 3y + 4z = 7.Las coordenadas de cualquier punto (x; y; z) sobre la recta intersección de estos dos planos deben satisfacer

las ecuacionesx � y + z = 2 y 2x � 3y + 4z = 7. Resolviendo el sistema obtenemos x = �1 + z;

y = �3 + 2z; zcualquier valor Si z = t obtenemos la ecuación paramétrica de la recta intersección

x = �1� t; y = �3 + 2t; y z =

Teorema 1.5.4 La distancia entre un plano � y un punto q (que no esta en �) esta

determinada por d =jpq � njknk , donde n es la normal del plano y p es un punto del plano.

Demostración. La distancia entre q y el plano � es igual a la norma de la proyección depq en la normal n;entonces si q = (x0; y0; z0) y ax+ by + cz = d es la ecuación del planoentonces encontramos un punto q del primer plano haciendo x = 0 y z = 0entonces y = �6, la normal del segundo plano es [6;�2; 4] y d = 6

luego d =0 + 12 + 0p62 + (�2)2 + 42

=12p56=3p14

7

Ejercicios 1.5

1. Calcule el producto exterior entre los vectores u y v

a) u = [3; 4; 1] y v = [2;�3; 0]b) u = [12; 3; 0] y v = [�1; 5;�2]c) u = [2;�1; 1] y v = [�1; 0; 2]

2. Demuestre que si � es el ángulo entre dos vectores u y v de R3, entonces kv �wk =kvk kwkSen�

Page 36: Calculo vectorial

28 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

3. Suponga que u es un vector �jo de longitud 3 en dirección del eje x positivo y v esun vector cualquiera en el plano xy de longitud 2.

a) Cuales son los valores máximos y mínimos de ku� vkb) Que dirección toma ku� vk a medida que v gira

4. Si u+ v + w = 0 demuestre que u� v = v �w = w � u

5. Hallar la ecuación de la recta con las condiciones dadas.

a) Pasa por el punto p = (2; 1; 1) y un vector director es el vector pq donde q =(3; 4;�2)

b) Pasa por el punto (2; 1; 4) y es paralela a la recta x = 3t; y = 2+4t y z = �2tc) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta x = 2+t , y = 1�t y z = �3t

6. Halle la distancia del origen a la recta dada.

a) x = 3t; y = 2 + 6t y z = 1 + t

b) Pasa por los puntos p = (1;�1; 3) y q = (2; 4;�5)

7. Halle la distancia entre las rectas

a) L1: y L2 :

8. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2,�1,�5) y (8,8,7) es paralela a larecta que pasa por los puntos (4,2,�6) y (8; 8; 2)

9. Halle la ecuación del plano con las condiciones dadas.

a) Pasa por el punto p = (2; 5; 6) y es paralelo al plano XZ

b) Pasa por el origen y es perpendicular al plano 4x� y + z = 9

c) Pasa por los puntos p = (1; 1; 0) y q = (3; 2; 4) ; y el vector v = [7;�1;�3] esparalelo a el.

10. Halle la distancia entre los dos planos

a) �1 : 2x� y + 3z = 4 y �2 : 4x� 2y + 6z = 5

11. Veri�que que la recta se encuentra contenida en los planos �1 : 5x+ y + z = 0 y�2 : 2x+ 3y � 2z = �5

12. Halle el punto intersección entre el plano 2x� 2y + z = 12 y la recta

13. Encuentre el áangulo entre los planos �1 : x� y + z = 2 y �2 : 2x� 3y + 4z = 7

Page 37: Calculo vectorial

1.6. SUPERFICIES 29

14. Determine dos planos diferentes cuya intersección es la recta x = 1 + t, y = 2 � t,z = 3 + 2t

15. Uso de tecnologia (CAS)

a) Producto vectorial

b) Gra�que las siguientes rectas

c) Gra�que los siguientes planos.

16. Utilizando un CAS construya una funciòn llamada DISTPR distancia de un puntoa una recta.

1.6. Super�cies

En la sección anterior se consideraron las primeras super�cies denominadas planos, enesta sección consideraremos los tipos más particulares de super�cies, como conjuntos depuntos (x; y; z) que satisfacen una ecuación cartesiana y cuya intersección con un planoen la mayoría de los casos es una cónica de Apolonio6.

Una super�cie generada por una recta (generatriz) que se mueve a lo largo de unacurva plana (directriz) se denomina cilindro. La recta no est�a contenida en el mismoplano que contiene la curva.

6

APOLONIO DE PERGA Nació : Alrededor del 262 A.C. en Perga, Gre-cia Ionia (Ahora Turquía). Falleció alrededor del 190 A.C en Alejandría,Egipto. Apolonio fue conocido como �El gran geómetra�. Su famoso libro�Secciones Cónicas� introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola es-piral. Estudió en Alejandría y luego visitó Pérgamo en donde han sidoconstruidas una biblioteca y una universidad semejantes a la de Alejan-dría. Mientras, Apolonio, �El gran geómetra�, estuvo en Perga, escribió laprimera edición de su famoso libro �Secciones Cónicas�, que consta de 8 li-bros. Hubo otras aplicaciones hechas por Apolonio, usando su conocimientosobre los conos, para resolver problemas prácticos. Desarrolló el hemiciclo,un reloj solar que marcaba las líneas de las horas en la super�cie de unasección cónica proporcionando mayor precisión.

Page 38: Calculo vectorial

30 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Propiedad 1.6.1 Para cilindros

En el espacio la grá�ca de una ecuación en dos variables de las tres variables x; y yz es un cilindro, cuyas generatrices son paralelas al eje de la variable que no aparece.(1) Cilindro circular recto, si la directriz es un circulo(2) Cilindro parabólico, si la directriz es una parabola(3) Cilindro elíptico, si la directriz es una elipse(4) Cilindro hiperbólico, si la directriz es una hipérbolaUna super�cie generada por una curva plana (generatriz) que gira alrededor de una

recta �ja (eje),que esta en el mismo plano de la curva, se denomina super�cie de revolu-ción.

Si se gira la grá�ca de una función (radio) alrededor de uno de los ejes coordenados,entonces la ecuación de la super�cie de revolución resultante tiene una de las siguientesformas.(a) y2 + z2 = (r(x))2 Si el giro es alrededor del eje X(b) x2 + z2 = (r(y))2 Si el giro es alrededor del eje Y(c) x2 + y2 = (r(z))2 Si el giro es alrededor del eje Z

Propiedad 1.6.2 Clasi�cación de las super�cies de revolución según su generatriz

(1) Paraboloide de revolución, si la generatriz es una parabola(2) Elipsoide de revolución, si la generatriz es una elipse(3) Hiperboloide de revolución, si la generatriz es una hiperbola

Ejemplo 1.6.1 Hallar la ecuación de la super�cie de revolución generada al girar la curvaz = x2 alrededor del eje Z. Trace la grá�caEl radio es r = x , luego los circulos son de la forma x2 + y2 = r2

entonces como x =pz la ecuación de la super�cie de revolución es igual a z = x2+y2

Una super�cie determinada por una ecuaci�on polinomial de segundo grado en tresvariables, se denomina cuadrica.donde a; b; c; d; e; f; g; h; i y j son números reales y x e y son variablesEl lugar geom�etrico de todos los puntos intersecci�on entre una super�cie y un plano

coordenado, se denomina traza.

Page 39: Calculo vectorial

1.6. SUPERFICIES 31

TIPOS DE CUADRICAS

(1) ESFERAx2 + y2 + z2 = r2

Traza paralela al plano xy : x2 + y2 = k2 (Circulo)Traza paralela al plano xz : x2 + z2 = k2 (Circulo)Traza paralela al plano yz : y2 + z2 = k2 (Circulo)

(2) ELIPSOIDETraza paralela al plano xy : (Elipse)Traza paralela al plano xz : (Elipse)Traza paralela al plano yz : (Elipse)

(3) PARABOLOIDETraza paralela al plano xy : (Elipse)Traza paralela al plano xz : (Parábola)Traza paralela al plano yz : (Parábola)

Page 40: Calculo vectorial

32 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

(4) PARABOLOIDE HIPERBOLICOTraza paralela al plano xy : (Hipérbola)Traza paralela al plano xz : (Parábola)Traza paralela al plano yz : (Parábola)

(5) HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA (O MANTO)Traza paralela al plano xy : (Elipse)

Traza paralela al plano xz :x2

a2� z2

c2= k (Hipérbola)

Traza paralela al plano yz :y2

b2� z2

c2= k (Hipérbola)

Si z = 0 entonces x2 � y2 = 0 son dos rectas.

(6) HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS (O MANTOS)Traza paralela al plano xy : (Elipse)Traza paralela al plano xz : (Hipérbola)Traza paralela al plano yz : (Hipérbola)

(7) CONOTraza paralela al plano xy : (Elipse)Traza paralela al plano xz : (Hipérbola)Traza paralela al plano yz : (Hipérbola)

Page 41: Calculo vectorial

1.6. SUPERFICIES 33

Nota : En algunos casos en que dos valores de a; b; c son iguales las trazas no son elipsessi no cí¬rculos.

Ejemplo 1.6.2 Gra�que las trazas de la super�cie z = x2� y2, identi�que la super�cie ytrace su grá�ca.Si x = k, z = k2 � x2 las trazas son parabolas; si y = k, z = x2 � k2 las trazas son

parabolasy si z = k, k = x2 � y2 las trazas son hiperbolas. por lo tanto la super�cie es un

paraboloide hiperbolico (silla de montar).

Muchas aplicaciones reales tienen que ver con super�cies cuadricas.Geodesia, topogra�ay cartogra�a.Antenas y radares. Cupulas

Page 42: Calculo vectorial

34 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Ejercicios 1.6

1. Gra�car los cilindros determinados por las ecuaciones dadas.

a) y = jxjb) z = Seny

c) l4x2 + 9z2 = 1

2. Hallar la ecuación de la super�cie de revolución generada al girar la curva dadaalrededor del eje especi�cado. Trace la grá�ca

a) xy = 1 eje y

b) z = Lny eje z

c) y = Senx eje x

3. Trace las trazas de las super�cies dadas en los planos x = k, y = k y z = k.Identi�que la super�cie y trace su grá�ca.

a) z = y2

b) 9x2 � y2 � z2 = 9

c) 4x2 + 9y2 + 36z2 = 36

4. Relacione la ecuación con la grá�ca.

a) x2 + 2z2 = 1

b) �x2 + y2 � z2 = 1

c) x2 � y2 + z2 = 1

Page 43: Calculo vectorial

1.7. COORDENADAS CILINDRICAS Y COORDENADAS ESFERICAS 35

­4

­4­2

y20 0

­22

x4

­4 24

4

0­2z

x­4

­4

y

­2­2

4422

0 00z ­2

­4 24

4­40­2

y2

­2­4

0

x2

4

­4­2z 0

42

A. B. C.

5. Demuestre que la super�cie con ecuación z = e�(x2+y2) es una super�cie de revolución

y trace su grá�ca.

6. Halle la ecuaci�on del paraboloide que tiene v�ertice en (0 ,0 ,2) y abre hacia abajo ,si su intersecci�on con el plano XY determina un circulo de radio 4

7. Halle la ecuaci�on del cono tal que las curvas de nivel en el plano XY son las rectasx =�2y

8. Halle la ecuación de una esfera si los extremos de su diametro son los puntos(1; 2;�3) y (�2; 4; 5)

9. Muestre que la intersecci�on de la super�cie x2�4y2�9z2 = 36 y el plano x +z = 9es una elipse

10. Determine los valores de k para los cuales la intersecci�on del plano x + ky = l yel hip�erboloide el�iptico de dos hojas y2 � x2 � z2 = l es :

a) Una elipse

b) Una hip�erbola

11. Determine una ecuación para la super�cie que consta del conjunto de puntos p(x; y; z)tales que la distancia de p al eje X sea el doble de la distancia de p al plano Y Z.

12. Uso tecnologia (CAS). Construya una función llamada trazas(s; v; i; n), que permitagra�car las trazas de una super�cie.

1.7. Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas

Un sistema de coordenadas es una forma sistemática para representar un punto enalgún espacio especi�cando solo algunos números. Como vimos en la sección 1.1. el sistemade coordenadas mas familiar es el sistema de coordenadas rectangulares. En R3 funcionaespeci�cando las coordenadas x, y y z que representan las distancias en los ejes x, y y zrespectivamente. Las coordenadas rectangulares a veces resultan extremadamente difíciles

Page 44: Calculo vectorial

36 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

cuando se trata de de�nir ciertas formas comunes, como cilindros, super�cies de revolucióny esferas. Una segunda forma para determinar la ubicación de un punto en tres dimensioneses utilizando coordendas cilindricas, convirtiendo a coordenadas polares dos de las trescoordenadas rectangulares. El caso más usual es hacer polares en xy;luego la altura delplano xy es z. Uno de los primeros matemáticos que utilizo coordenadas cilindricas fuePierre simon de Laplace.7

Propiedad 1.7.1 Construcción de las coordenadas cilindricas. Si p = (x; y; z) es un puntode R3 que determina un vector op, asociamos a el la terna (r; �; z) tal que (r; �) son lascoordenadas polares de la proyeción de p en el plano XY y z es la distancia dirigida delplano XY a p, entonces kproyXY opk = r, x = r cos �, y = rsen� y z = z, donde � es el�ángulo entre proyXY op y el eje X:

Para convertir de coordenadas rectangulares a cilindricas empleamos r =px2 + y2,

tan � =y

xy z = z. Las coordenadas cilindricas son una combinación de las coordenadas

polares en el plano con un eje coordenado.

Ejemplo 1.7.1 Sea p = (1; 1;p2) un punto en coordenadas rectangulares entonces para

hallar sus coordenadas cilindricas proyectamos el punto p en el plano xy y obtenemos elpunto q = (1; 1), entonces r =

p2 y � = tan�1 1 =

4, por lo tanto las coordenadas

cilindricas de p son (p2;�

4;p2)

7

Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge (Normandía); 23 de marzo de 1749 -París; 5 de marzo de 1827) astrónomo, físico y matemático francés que inventó ydesarrolló la Transformada de Laplace y la ecuación de Laplace. Al cumplir los 19años, principalmente por la in�uencia de d�Alembert, fué designado para cubrir unaplaza de matemáticas en la Escuela Real Militar de París, bajo la recomendación ded�Alembert. En 1973, llegó a ser miembro de la Academia de Ciencias de París. En1785, actuando como miembro del tribunal del Cuerpo de Artillería Real, examinó yaprobó al joven de 16 años Napoleón Bonaparte. Durante la Revolución Francesa,ayudó a establecer el Sistema Métrico. Enseñó Cálculo en la Escuela Normal yllegó a ser miembro del Instituto Francés en 1795. Bajo el mandato de Napoleónfué miembro del Senado, y después Canciller y recibió la Legión de Honor en 1805.

Page 45: Calculo vectorial

1.7. COORDENADAS CILINDRICAS Y COORDENADAS ESFERICAS 37

En coordenadas cilindricas r = k determina un cilindro circular recto de radio k, r = 0determina el eje z; � = �k determina un plano que forma un ángulo �k con el eje z yz = k determina tambien un plano.entonces z = x2 + y2 que representa la ecuación de unparaboloide.

Ejemplo 1.7.2 Encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares equivalente a laecuación z = r2 y representar su grá�ca. Como en coordenadas cilindricas r =

px2 + y2

entonces z = r2 = x2 + y2 representa la ecuación de un paraboloide.

Las coordenadas cilindricas son utiles en problemas que tienen simetria alrededor deun eje, el paso a seguir es seleccionar un eje coordenado de manera que coincida con el ejede simetria.Si er; e�; ez son los vectores ortonormales unitarios que determinan la dirección en

que se mide cada una de las coordenadas cilindricas r; �; z entonces er = [cos �; sen�; 0],e� = [�sen�; cos �; 0], ez = [0; 0; 1]

Propiedad 1.7.2 Construcción de coordenadas esfericas. Si p = (x; y; z) es un punto deR3que determina un vector op, asociamos a el la terna (�; �; �) tal que � = jjopjj determinala distancia del punto p al origen , � determina el �angulo entre el eje z y op, y � determinael �angulo entre proyXY op y el eje X (igual que en cilindricas) entonces x = �sen� cos �,y = �sen� cos �, z = � cos', donde r = jjproyXY opjj y � =

px2 + y2 + z2:

Page 46: Calculo vectorial

38 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Las coordendas esfericas tambien estan relacionadas con las coordenadas polares en elplano.

Ejemplo 1.7.3 Sea un p = (1; 1;p2) punto de cuyas coordenadas rectangulares entonces

para hallar sus coordenadas esfericas.hallamos la norma del vector posición como � =p4 = 2, � =

4y � = cos�1 1 = 0, por lo tanto las coordenadas esfericas de p son (2;

4; 0)

En coordenadas esfericas � = k determina una esfera de radio k, � = �k determina unsemicono, � = �k determina un plano que forma un ángulo �k con el eje z.

Ejemplo 1.7.4 Encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares equivalente a laecuación � = 4 cos� y representar su grá�ca. Multiplicando a ambos lados de la ecuaciónpor � obtenemos obtenemos �2 = 4� cos� pero �2 = x2 + y2 + z2 y 4� cos� = 4z entoncesx2+y2+z2 = 4z por lo tanto completando cuadrado en z obtenemos x2+y2+(z�2)2 = 4que determina una esfera de centro (0; 0; 2) y radio 2

Las coordenadas esfericas son utiles en problemas que tienen simetria alrededor de unpunto, el paso a seguir es seleccionar el punto de manera que coincida con el origen.Si e�; e�, e�; son los vectores ortonormales unitarios que determinan la dirección en que

se mide cada una de las coordenadas esfericas �; �; � entonces e� = [sen� cos �; sen�sen�; cos�],e� = [�sen�; cos �; 0], e� = [cos� cos �; cos�sen�;�sen�]

Ejercicios 1.6

1. Encuentre las coordenadas rectangulares y coordenadas esfericas del punto p dadoen coordenadas cilindricas.

a) (2; �=3; 2)

b) (1; �=4;�2)c) (4; 5�=4; 0)

2. Encuentre las coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas del punto p dado encoordenadas rectangulares.

Page 47: Calculo vectorial

1.7. COORDENADAS CILINDRICAS Y COORDENADAS ESFERICAS 39

a) (2; 2; 1)

b) (1;p3; 2)

c) (�3; 2;�1)

3. Encuentre las coordenadas rectangulares y coordenadas cilindricas del punto p dadoen coordenadas esfericas.

a) (2; �=6; �=4)

b) (6; �=4; 0)

c) (9; �; �=4)

4. Escriba la ecuación dada en coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas.

a) x2 + y2 + z2 � 2z = 0b) 6x = x2 + y2

c) y = xz

5. Escriba la ecuación dada en coordenadas rectangulares

a) r = 3

b) r = 4Cos�

c) � = �=4

d) �Sen� = 2

6. Trace la grá�ca del sólido descrito por las desigualdades dadas en coordenadas cilin-dricas.

a) 0 � � � 2�, 0 � r � 1, r � z � 1b) 0 � � � �=2, 0 � r � 2, r2 � z � 4

7. Trace la grá�ca del sólido descrito por las desigualdades dadas en coordenadas es-fericas.

a) 0 � � � �=2, 0 � � � �=2 , 1 � � � 2b) 0 � � � 2�, 0 � � � �=4, 0 � � � 1c) 0 � � � 2�, �=2 � � � �, 0 � � � 2

8. Gra�que e identi�que la super�cie dada en coordenadas cilindricas

a) r = 2 cos �

Page 48: Calculo vectorial

40 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

b) r = 6sen�

c) r = 1 + cos �

9. Gra�que e identi�que la super�cie dada en coordenadas esfericas

a) � = 2 cos�

b) tan2 � = 1

c) � = 1� cos�

10. Utilizando un CAS gra�que los siguientes puntos en

a) Coordendas cilindricas

b) Coordenadas esfericas.

1.8. Conceptos básicos de topologia en Rn

En la Geometría euclídeana8 dos objetos serán equivalentes mientras podamos trans-formar uno en otro mediante isometrías (rotaciones, traslaciones, re�exiones, etc), es decir,mediante transformaciones que conservan las medidas de ángulo, longitud, área, volumeny otras. Si se desea abordar de manera adecuadamente la diferenciabilidad para funcionesde varias variables se deben tener claros los conceptos de limites y continuidad para estetipo de funciones. Uno de los conceptos de mayor di�cultad en funciones de varias variableses el de limite ya que este concepto se de�ne sobre subconjuntos de Rn y no como se hacepara funciones de variable real y valor real, sobre subconjuntos de la recta real, muchasveces estos subconjuntos son intervalos.Decir que el limite de una función f : I � R! R en un punto a (que puede o no estar

en I) existe y es igual a L, signi�ca que si x esta cerca de a entonces f(x) esta cerca de L.Aqui el concepto de cercania sobre un subconjunto de la recta real esta determinado por

8

Euclides de Alejandría (s. IV-III a. C.) fue un matemático griego, al pare-cer era ateniense y probablemente fue alumno de la Academia. Hacia el año300 a.C. (bajo el reinado del primer Ptolomeo), era profesor en la escuelamatemática de Alejandría, de la cual probablemente fue su fundador. Se leconsidera como el gran sistematizador de la matemática en el mundo antiguo,ya que en sus trece libros de los Elementos expone la geometría como un sis-tema formal axiomático-deductivo, que consta de de�niciones, postulados, yteoremas demostrados. Este texto ha servido de modelo en la posteridad a to-do sistema axiomático. pero su gran importancia deriva del método axiomáticoutilizado, que han convertido a este libro en el texto cientí�co más traducidoy editado de toda la historia y que apareció, durante más de dos mil años,

como modelo de rigor cientí�co. La introducción de cambios en el quinto postulado de Euclides propicióla aparición de geometrías «no-euclidianas» , como las de Riemann y Lobatchevski, por ejemplo. Otrasobras de Euclides son Tratado de geometría; Fenómenos; Datos, etc.

Page 49: Calculo vectorial

1.8. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOGIA EN RN 41

una vecindad de centro a y radio �. Para funciones de varias variables estas vecindadesestan determinadas por lo que se denominara bola abierta. Una vecindad de un puntoa 2 Rn es el conjunto de puntos x 2 Rn tales que jjx� ajj < � para algun � 2 R+ yse denomina n-bola abierta de centro a y radio �. Notada B(a;�) = fx 2 Rn : kx� ak< �g. Las bolas abiertas de R son los intervalos abiertos de centro a y extremos a � �,a+ �;las bolas abiertas de R2 son las circunferencias abiertas de centro (a; b) y radio �, ylas bolas abiertas de R3 son las esferas abiertas de centro (a; b; c) y radio �.

Ejemplo 1.8.1 Escriba explicitamente como conjunto de puntos la bola B((1; 2; 3); 1),utilizando la de�nición de bola abierta vemos que el centro es igual a (1; 2; 3) y el radio esigual a 1, luego (x� 1)2 + (y � 2)2 + (z � 3)2 = 1 es la forma explicita.

Si U � Rn y a 2 Rn, se dice que x0 es un punto interior de U si existe un número real� > 0 tal que B(a,�)� U . Cada uno de los puntos a de U puede ser rodeado por una bolaB(a; �) � U . El conjunto de todos los puntos interiores deU se denomina interior de Uy se nota Int Uo U o. Evidentemente U o � U . SiU � Rn y a 2 Rn, se dice que a es unpunto exterior de U si existe un número real � > 0 tal que B(a,�)� U c. Cada uno de lospuntos a de U puede ser rodeado por una bola B(a; �) � U c. El conjunto de todos lospuntos exteriores de U se denomina exterior de U y se nota Ext U . Si U � Rn y a 2 Rn,se dice que a es un punto frontera de U si para todo número real � > 0, B(a; �)\U 6= � yB(a; �) \ U c 6= �. El conjunto de todos los puntos frontera de U se denomina la fronterade U y se nota FrontU o @U . Un punto interior de U necesariamente es un punto de U ,y un punto exterior de U es un punto de U c. Sin embargo, un punto frontera puede serde U o de U c. Si U � Rn y x0 2 Rn, se dice que x0 es un punto adherente de U si paratodo número real � > 0, B(x0; �) \ U 6= �. El conjunto de todos los puntos adherentesde U se denomina la adherencia de U y se notaAdhU o U . Evidentemente U � U y enconsecuencia U o � U . Si U � Rn y x0 2 Rn, se dice que x0 es un punto de acumulaciónde U si para todo número real � > 0, B(x0; �) \ U 6= � y B(x0; �) \ U 6= fx0g. Elconjunto de todos los puntos de acumulaci�on de U se llama derivado de U y se notaDer U o U�. Evidentemente U�� U . Si U � Rn y x0 2 Rn, se dice que x0 es un puntoaislado de U si existe un número real � > 0 tal que B(x0; �) \ U = fx0g. El conjunto detodos los puntos de aislados de U se llama aislado de U y se nota Aisl U . Si x0 2 U noes un punto de acumulación de U entonces x0 es un punto aislado de U:EvidentementeAislU � U . Un conjunto U � Rn se dice que es acotado si existe un número real � > 0tal que U � B(x0; �) para alg�un x0 2 Rn elegido arbitrariamente. Un conjunto U � Rnse dice que es abierto si todos sus puntos son interiores (o sea U = U o) y se dice que escerrado si su complemento es abierto(U = Rn � U o sea si U = U). Un conjunto U � Rnse dice que es compacto si es cerrado y acotado.

Ejemplo 1.8.2 Clasi�car el conjunto U = f(x; y)j 1 � x2 + y2 < 4g vemos que es elconjunto de puntos (x; y) que estan entre las circunferencias x2 + y2 = 1 (con frontera) yx2 + y2 = 2 (sin frontera). Como U tiene puntos frontera que no son interiores entoncesU no es abierto, ademas el complemento de U tiene frontera entonces U tampoco escerrado.por lo tanto U no es ni abierto ni cerrado.

Page 50: Calculo vectorial

42 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Ejemplo 1.8.3 Demuestre que U = f(x; y; z) 2 R3 : x2+y2 � 1; ^0 � z �g es compacto.El conjunto U es el cilindro cerrado de altura 2, luego U = U por lo tanto U es cerrado,ademas U es acotado pues U � B((0; 0; 0); 3) entonces U es compacto.

Ejercicios 1.7.

1. Escriba expl�icitamente como conjunto de puntos de Rn cada una de las siguientesbolas abiertas

a) B((2;�3); 0;1) en R2

b) B((1; 1; 3); 2) en R3

c) B((1;�1; 2;�2); 1) en R4

2. Determinar si el conjunto dado U es abierto, cerrado, abierto y cerrado a la vez, oni abierto ni cerrado.Trace la grá�ca

a) U = f(x; y) j y = xgb) U = f(x; y) j x2 + y2 � �1gc) U = f(x; y j 2 < x < 4 , 2 < y � 5g

3. Determinar si el conjunto dado U es abierto, cerrado, abierto y cerrado a la vez, oni abierto ni cerrado.

a) U =�(x1; x2; :::; xn)j

nPi=1

xi > 0

�b) U =

�(x1; x2; :::; xn)j1 <

nPi=1

x2i < 4

�c) U =

�(x1; x2; :::; xn)j1 <

nPi=1

x2i � 4�

4. Demuestre que ; y Rn son abiertos y cerrados a la vez

5. Demuestre que el conjunto A = fpg formado por un solo punto p 2 Rn no es abierto.

6. Demuestre que los puntos frontera de cualquier intervalo abierto (a; b)de R son lospuntos a y b

7. Demuestre que el conjuntonSi=1

Ai (unión de conjuntos Ai abiertos) es abierto.

8. Demuestre que el conjuntonTi=1

Ai (intersección �nita de conjuntos Ai abiertos) es

abierto.

Page 51: Calculo vectorial

1.8. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOGIA EN RN 43

9. Demuestre que el conjuntonSi=1

Ai (unión �nita de conjuntos Ai cerrados) es cerrado.

10. Demuestre que el conjuntonTi=1

Ai (intersección de conjuntos Ai cerrados) es cerrado.

11. Demuestre que la frontera de A es un conjunto cerrado.

12. Demuestre que los intervalos abiertos de R son conjuntos abiertos

13. Demuestre que los intervalos cerrados de R son conjuntos cerrados

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPITULO 1PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO

Determine si el enunciado es verdadero o falso, justi�cando su respuesta.

1. Todo espacio vectorial contiene a 0.

2. Todo subconjunto de un espacio vectorial es subespacio vectorial.

3. Dos rectas en el espacio que no se intersectan, son paralelas.

4. Si dos planos se intersectan, la intersección es una recta.

5. Toda transformación lineal T : V ! W es invertible.

6. Un cilindro es una super�cie cuya directriz es un circulo.

7. La intersección entre dos super�cies es una curva cerrada.

8. Las coordendas cilindricas pueden ser de la forma x = x, y = r cos � z = rsen�

9. En coordenadas esfericas el radio de una esfera es igual a �

10. Si un conjunto no posee frontera entonces es abierto.

PREGUNTAS DE SELECCION MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA.

1. El conjunto de puntos (x; y; z) 2 Rn con la suma y el producto usual es un espaciovectorial si:

A. x = 1 B. y = x C. z = xy D. y � 0

2. Si A es un subespacio vectorial de V y B � A, se puede a�rmar que tambien essubespacio vectorial de V

A. B B. A�B C. A \B D. A [B.

Page 52: Calculo vectorial

44 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

3. Si B1 = fv1;v2; :::;vng y B2 = fv01;v

02; :::;v

0mg son bases de un espacio vectorial

V , es correcto a�rmar que:

A. n < m B. n > m C. n = m D. dimV = n+m

4. Un vector unitario en la misma dirección y sentido de [�1;�2; 3] es:

A.��1;�1

2;1

3

�B.�1p14;2p14;� 3p

14

�C.� 1p

14[1; 2;�3] D.

�� 114;� 214;3

14

5. Para las rectas con ecuaciones L1 : [x; y; z] = [1; 2; 3] + t[2; 3; 4] y L2 :x+ 1

6=

y � 3�1 =

z + 5

2se puede a�rmar que:

A. Son paralelas B. Son ortogonales C. Son Oblicuas D. Se interceptanen un punto

6. Cual de las siguientes rectas esta contenida en el plano 2x� 3y + z = 1

a) A. x = 1+2t, y = 2� 3t, z = 5+ t B. x = 1� t, y = 2� t, z = 1� t C.x = 1� 2t, y = 2 + 3t, z = 1� t D. x = t+ 1, y = t+ 2, z = t+ 5

7. La transformación lineal asociada a la matriz A =�3 �1 22 0 3

�es igual a:

a) A. T (x; y) = [3x+2y;�x; 2x+3y] B. T (x; y) = [3x�y+2z; 2x+3z] C.T (x; y) = [2; 0; 3] D. T (x; y) = [5x;�y; 5z]

8. La ecuación de la super�cie de revolución generada al girar la curva z = x2 alrededordel eje x es igual a:

a) A. z = x2 + y2 B. x = y2 + z2 C. x2 = y2 + z2 D. x2 =py2 + z2

9. Para la super�cie z = e�(x2+y2) es correcto a�rmar que sus trazas son:

a) A. Parabolas si x = k B.Hiperbolas si y = k C. Exponenciales si z =k D. Circulos si z = k

10. Si A � Rn es abierto y si x 2 A es correcto a�rmar que A� fxg :

a) A. es abierto B. es cerrado C. es abierto y cerrado a la vez D. no esni abierto ni cerrado

PREGUNTAS DE SELECCION MULTIPLE CON MULTIPLE RESPUESTA.

Page 53: Calculo vectorial

1.8. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOGIA EN RN 45

Si 1 y 2 son correctas marque A Si 2 y 3 son correctas marque BSi 3 y 4 son correctas marque C Si 2 y 4 son correctas marque DSi 1 y 3 son correctas marque E

1. Si A yB son matrices de n�n y � una operación de�nida enMn�n tal queA�B = ABentonces es correcto a�rmar que � es:

1. Asociativa 2. Conmutativa 3. Invertiva 4. Modulativa:A. B. C. D. E.

2. Dados los vectores U = [5;�4; 7] y V = [�10; 8; k] se puede a�rmar que:

1. Si k = �14 U y V son paralelos. 2. Si k = 0, kUk = kV k 3. Si k =82

7,

U y V son ortogonales (perpendiculares) 4. Si k = 2 el ángulo entre U y V es 30o

A. B. C. D. E.

3. Sea P2(t) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor igual a 2 y seaW = genfSg donde S = ft2 + 1; t+ 1g entonces es correcto a�rmar que:

1. Los vectores de S son linealmente dependientes 2. W = fat2 + bt + cjc =a+ bg 3. gen(S) = P2(t) 4. S es una base de W

A. B. C. D. E.

4. Para la normas vectorial kxk1 = maxfjxijg de�nida en Rn es correcto a�rmar que:

1.k[2;�3; 0]k1 = 2 2. ku]k1 = kv]k1 si sólo si u = v 3. d([2; 1;�1]; [1; 0; 3]) =4 4. d(v;0) = kv]k1

A. B. C. D. E.

5. Para la matriz A =

24 1 2 31 2 31 2 3

35 es correcto a�rmar que:1.p(�) = �3 + 6�2 es su polinomio característico 2. � = 6 es un valor propio

3.[1; 1; 1] es un vector propio 4.posee tres valores propios diferentesA. B. C. D. E.

6. Es correcto a�rmar que la recta x = t, y = 4t, z = 7t es la intersección de los planos:

1. x�2y+z = 0 2. x+2y�z = 0 3. 2x+3y�2z = 0 4. 2x�3y+2z = 0A. B. C. D. E.

7. Sean p(2; 3; 5) un punto, L1 :x+ 2

3=y � 7�4 =

z � 24

y L2 :x� 13

=y + 2

4= z + 1

dos rectas y � : 3x � 2y + 7z = 4 es un plano, entonces es correcto a�rmar que ladistancia entre:

Page 54: Calculo vectorial

46 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

1. L1 y L2 es 3 2. p y L1 es 4;5 3. p y L2 es 4. p y � es35p62

A. B. C. D. E.

8. Al reducir la ecuación 9x2 + y2 � z2 � 2y + 2z = 0 a una de las formas estándar, suclasi�cación es:

1. Cono elíptico con vértice en�1

3; 1; 1

�2. Cono elíptico con el eje paralelo al

eje z 3. Cono elíptico con vértice en (0; 1; 1) 4. Cono elíptico con el eje paralelo aleje x.

A. B. C. D. E.

9. La ecuación de la super�cie z = xy es equivalente a:

1.. y = xz 2. z =r

2sen(2�) 3. � =

2 cot� csc�

sen(2�)4. x = yz

A. B. C. D. E..

10. Si A y B son dos conjuntos cerrados de Rn entonces

1. A [ B es cerrado 2. A \ B es abierto 3._

A [_

B es abierto 4._

A \_

Bes cerrado

A. B. C. D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS

1. Muestre que el conjunto de todos los n�umeros reales positivos forma un espaciovectorial con las operaciones x+ y = xy y �x = x�

2. Demuestre que cualquier combinación lineal de dos vectores paralelos es un vectorparalelo a ambos.

3. Demuestre que los vectores (1; a; a2); (1; b; b2) y (1; c; c2) son linealmente independi-entes si a; b y c son diferentes.

4. Si V es el espacio vectorial de todas las funciones de valor real continuas y S elconjunto de todas las funciones diferenciables. Pruebe que S no genera a V sobre R.(Mostrando que f(X) = jxj no pertenece al generado por S)

5. Si v1 y v2 son vectores unitarios no paralelos, demuestre que el conjunto fv1,v2; v1�v2g es una base.

6. Demuestre que kxk =nPi=1

jxij es una norma en Rn.

Page 55: Calculo vectorial

1.8. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOGIA EN RN 47

7. Cada pareja de vectores u, v y w de R3 forma un angulo de�

3. Suponiendo que:

kuk = 2 , kvk = 2 y kwk = 3 , calcule ku+ v + wk

8. Los tres angulos directores de un cierto vector unitario son iguales y su valor estaentre 0 y �

2, cual es el vector ?

9. Si u; v; w son vectores ortonormales y �u+�v+ w = � demuestre que �=�u, � = �v, = �w y de una interpretación geometrica.

10. Si v1; v2; :::; vn es una base ortonormal de Rn y x = s1a1 + s2a2 + ::: + snan, y =t1a1 + t2a2 + :::+ tnan entonces x � y = s1t1 + s2t2 + :::+ sntn.

11. Demuestre que si v es un vector de R3 y �, � y son los angulos que forma v conlos respectivos ejes de coordenadas, entonces cos2 �+ cos2 � + cos2 = 1

12. Sean u, v y w vectores unitarios que son ortogonales entre si. Mostrar que si a =�u+�v+�w entonces � = a � u , � = a � v , � = a �wc

13. Si v y w son vectores de R3 y ademas kvk = 3 y kwk = 7. Si v � w = 5 hallekv � wk

14. Demuestre que v � proywv es ortogonal a w, para todo v yw:

15. Demuestre que si T : V ! W es una transformación lineal y si T�1 existe, entoncesT�1 es una transformación lineal.

16. Si A es una matriz de 2 �2 demuestre que el polinomio caracteristico de A es iguala P (�) = �2 � traza(A)�+ jAj

17. Sean P;Q;R tres puntos no colineales de R3 Si v = PQ y w = PR y S es el puntomedio del vector QR demuestre que PS = 1

2(v + w)

18. Hallar la ecuaci�on del conjunto de rectas que pasan por el punto (2; 3; 4) y sonparalelas al plano XY y al plano XZ

19. Hallar la ecuación del plano que satisface las condiciones dadas:

a) Pasa por el punto P = (3; 2; 1) y es paralelo al plano 3x� 2y + 4z = 7

b) Contiene al eje Z y forma un ángulo de�

4con el eje X positivo.

c) Sus intersecciones con los ejes son : X = A, Y = B y Z = C

20. Dos caras de un cubo se encuentran en los planos 3x�y+2z = 5 y 3x�y+2z = 7Calcule el volumen del cubo.

21. Mostrar que tres vectores A, B y C estan en el mismo plano que pasa por el origensi y solo si existen escalares �, � y � no todos nulos, tales que �A+ �B + �C = 0

Page 56: Calculo vectorial

48 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

22. Sea V = (3; 4; 5) y suponga que W es cualquier punto en R3. Cuando genfV;Wg esuna recta? Que tipo de recta?

23. Suponga que U; V yW son puntos arbitrarios deR3. Bajo que circunstancias genfU; V;Wges un plano, es una recta, es un punto

24. Sea W el plano que contiene a la recta y = x en el plano XY y tambien contiene aleje Z. Encuentre una base para W .

25. Identi�que la super�cie z = xy haciendo una rotación adecuada de los ejes en elplano XY .

26. Hallar la ecuación de la super�cie que satisface las condiciones dadas.

a) El conjunto de todos los puntos P (x; y; z) equidistantes del punto (0; 5; 0) y delplano y = �5.

b) El conjunto de todos los puntos P (x; y; z) equidistantes del punto (2; 0; 0) y delplano yz.

c) El conjunto de todos los puntos P (x; y; z) tales que la distancia de P al eje Xsea el triple de la distancia de P al plano Y Z.

27. Debido a las fuerzas causadas por su rotación, la tierra es un elipsoide oblato enlugar de una esfera. El radio ecuatorial mide 3963 millas y el radio polar mide 3950millas. Determine la ecuación del elipsoide, asumiendo que el centro de la tierra estáen (0; 0; 0) y que la traza formada por el plano z = 0 corresponde al ecuador.

28. Demuestre que la curva intersección entre las super�cies x2 + 2y2 � z2 + 3x = 1 y2x2 + 4y2 � 2z2 � 5y = 0 se encuentra en un plano.

29. Encuentre una ecuación en coordenadas cilindricas y una ecuación en coordenadasrectangulares equivalente a la ecuacióon �Sen�Cos� = 1.

30. Encuentre una ecuación en coordenadas rectangulares y una ecuación en coordenadasesfericas equivalente a la ecuación r2Cos(2�) + z2 = 1

31. Describa el sólido acotado inferiormente por el cono z =px2 + y2 e superiormente

por la esfera x2 + y2 + z2 = 1

32. La parabola z = 4y2 (con x = 0) se hace girar alrededor del eje Z. Escriba unaecuación para la super�cie resultante en coordenadas cilindricas.

33. Determine la ecuación de una esfera con centro en (h; i; j) y radio k, en coordenadasesfericas.

Page 57: Calculo vectorial

CAPÍTULO 2

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

El que espera desesperadice la voz popular

!Que verdad tan verdadera¡La verdad es lo que es,y sigue siendo verdad

aunque se piense al revés.A. MACHADO, CXXXVI"Proverbios y cantares"

49

Page 58: Calculo vectorial

50 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En los cursos anteriores de c�alculo, se estudiaron funciones de valor real y variable real.Funciones f : A ! B donde tanto A como B son subconjuntos de R. A es el dominiode f , B el codominio de f y el rango o recorrido de f es el conjunto de los b 2 B talesque b = f(a) , con a 2 A. En este capitulo se generalizará para dimensiones mayores elestudio de todos los tipos de funciones F cuyo dominio es un subconjunto de Rn y cuyasimagenes son puntos de Rm, denominadas funciones de varias variables.Una regla F que asocia a cada elemento x de U � Rn exactamente un punto z de Rm,

se denomina función de Rnen Rm.F : U � Rn enRm; con z = F(x) donde x = (x1; x2; :::; xn) 2 U y z = (z1; z2; :::; zm) 2

Rm

2.1. Funciones de variable real y valor vectorial

Las funciones de varias variables que estan más relacionadas con las vistas en loscursos anteriores de cálculo son las funciones de variable real y valor vectorial. La formamas sencilla es considerar un vector de funciones de variable real y valor real. En estasección se estudiaran este tipo de funciones, su estudio no es tan diferente del estudiode las funciones de variable real y valor real tratadas en los anteriores cursos de cálculoya que si fk son funciones de I � R en R y consideramos el vector f(t) = [fk(t)] conk = 1; 2; :::;m entonces f es una función de I � R en Rm.Una función f cuyo dominio es un subconjunto I de R y cuyo rango es un subconjunto

de Rm con m � 2 se denomina función de variable real y valor vectorial, por simplicidadla denominaremos función real-vectorial.

Notación 2 f :I � R en Rm con w = f(t) donde w = (w1; w2; :::; wm) 2 Rm

Si f es una función real-vectorial de I � R en Rm, entonces para cada wk de w; fk(t) =wk se denomina función componente o coordenada de f . Las funciones componentes ocoordenadas de una función de variable real y valor vectorial f son funciones fk de variablereal y valor real, que se trataron en los cursos anteriores de cálculo.

Propiedad 2.1.1 Si f : es una función real-vectorial de I � R en Rm, entonces:(i) El dominio de f es el mayor subconjunto I de R en el que f esta de�nida, o sea el

conjunto de números reales t tales que f(t) existe.(ii) El codominio de f es Rm.(iii) El rango o recorrido de f es el conjunto f(I), o sea el conjunto de puntos f(t)

para cada t 2 I.

Ejemplo 2.1.1 Sean f1(t) = 2 + 3t, f2(t) = �5 + t2 y f3(t) = 2t3, podemos formar lafunción f(t) = [2 + 3t;�5 + t2; 2t3], tambien podemos representar a f usando la basecanonica de R3 como f(t) = (2+3t)i+(�5+ t2)j+(2t3)k. El dominio de f es R, ya queel dominio de cada una de sus funciones componentes es R, el rango de f es el conjuntoR = f(w1; w2; w3)jw2 � �5g.

Page 59: Calculo vectorial

2.1. FUNCIONES DE VARIABLE REAL Y VALOR VECTORIAL 51

Como todas las funciones componentes de una función real-vectorial dependen de lamisma variable t, entonces t se denomina parametro, luego la grá�ca de una función real-vectorial es una curva parametrizada, los unicos casos que se pueden gra�car de maneraconvencional son los de R en R2 denominadas curvas planas paramerizadas y los de R enR3, denominadas curvas en el espacio parametrizadas.

Ejemplo 2.1.2 Dibujar la curva plana representada por la función real-vectorial f(t) =[cos t; 3sent] 0 � t � 2�

x = cos t y y = 3sent, despejando cos t y sent obtenemos x2 = cos2 t yy2

9= sen2t

entonces x2 +y2

9= 1 es su ecuación rectangular,

la grá�ca de esta ecuación es una elipse

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­4

­2

2

4

x

y

La intersección entre dos super�cies se puede representar por medio de una funciónreal-vectorial de R en R3.

Ejemplo 2.1.3 Encuentre una función real-vectorial que represente la curva intersecciónentre el cono z =

px2 + y2 y el plano z = 1 + y.

Page 60: Calculo vectorial

52 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Reemplazando la segunda ecuación en la primera ecuación, obtenemos 1+y =px2 + y2

luego 1 + 2y = x2 entonces y =x2

2� 12

por lo tanto si x = t, y =t2

2� 12y z =

1

2+t2

2, y f(t) =

�t;t2

2� 12;1

2+t2

2

�Ejemplo 2.1.4 La curva plana trazada por un punto p sobre la circunferencia de uncírculo de radio r, cuando el círculo rueda a lo largo de una recta se denomina cicloide(el matemático francés Blaise Pascal 1 la estudio en 1649). Las ecuaciones paramétricasde la cicloide son

x = r(� � sen�) y = r(1� cos �) � 2 R

Si dos objetos se desplazan por el espacio siguiendo dos trayectorias, para saber si sechocarán, se debe saber si las trayectorias se cortan y si ademas los objetos estarán en lamisma posición en lá intersección de sus trayectorias

Ejemplo 2.1.5 Dos partículas siguen las trayectorias de�nidas por las siguientes fun-ciones f(t) = [t2; t2; t2] y g(t) = [4t� 3; 7t� 12; 5t� 6].¿Se chocarán?Veamos para que valor(es) de t son iguales las funciones f y g.t2 = 4t� 3, entonces t2 � 4t+ 3 = 0 luego t = 3 o t = 11

Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, Auvernia, Francia, 19 de junio de 1623- París, 19 de agosto de 1662), matemático, físico y �lósofo religioso francés.Considerado el padre de las computadoras junto con Charles Babbage. Suscontribuciones a las ciencias naturales y aplicadas incluyen la invención yconstrucción de calculadoras mecánicas, estudios de la teoría matemática deprobabilidad, investigaciones sobre los �uidos y la aclaración de conceptostales como la presión y el vacío. Después de una experiencia religiosa profun-da en 1654, Pascal abandonó las matemáticas y la física para dedicarse a la�losofía y a la teología, publicando en este periodo sus dos obras más conoci-das: Las Lettres provinciales (Cartas provinciales) y Pensées (Pensamientos).Con dieciséis años escribió su primer trabajo serio sobre matemática a modo

de prueba llamado Essai pour les coniques (Ensayo sobre cónicas), basándose en un trabajo de Desarguesque había merecido su interés..En 1654, Pascal mantiene correspondencia con Pierre de Fermat y envíauna primera aproximación al cálculo de probabilidades, ese mismo año publica el tratado del triánguloaritmético en el que describe las propiedades y aplicaciones del triángulo aritmético o triángulo de Pascal,manera de presentar coe�cientes binomiales (aunque los matemáticos chinos conocían el triángulo desdesiglos atrás).

Page 61: Calculo vectorial

2.1. FUNCIONES DE VARIABLE REAL Y VALOR VECTORIAL 53

t2 = 7t� 12 entonces t2 � 7t+ 12 = 0 luego t = 4 o t = 3t2 = 5t� 6 entonces t2 � 5t+ 6 = 0 luego t = 3 o t = 2por lo tanto se chocarán en t = 3

Los conceptos de límite, continuidad, derivada e integral, se generalizan facilmente auna función real-vectorial.

Si f es una función real-vectorial de I � R en Rm y a es un punto interior o fronterade I se dice que limite cuando t tiende a a de f(t) es igual a L, escrito l��m

t!af(t) = L

si y solamente si 8 2> 0, 9 � > 0, tal que si jt� aj < � implica que kf(t)� Lk <2.

Una función real-vectorial f tiene límite en a si cada una de sus funciones componentesfk tiene límite en a, o sea l��m

t!af(t) = L si y solamente si l��m

t!afk(t) = Lk para k = 1; 2; ::::m.

Nota : A partir de las funciones componentes fk de una función de valor vectorial Fpodemos asegurar que l��m

t!aF(t) = L si y sólamente si l��m

t!aFk(t) = Lk 8k = 1; 2; :::;m. O

sea el límite de una función vectorial existe, si existen los límites de las funciones quelo componen, cada uno de estos límites es de una función de variable real y valor realconsiderados en el curso de cálculo de una variable.

Ejemplo 2.1.6 Si f(t) = [cos t; sent] demuestre que l��mt!0f(t) = [1; 0]

Utilizando la de�nición formal de límite si jtj < � veamos que k[cos t; sent]� [1; 0]k <2,k[cos t; sent]� [1; 0]k = k(cos t� 1; sent)k =

p(cos t� 1)2 + (sent)2 � jcos t� 1j +

jsentj < 2�por lo tanto si jtj < � implica que jcos t� 1j < �

2y jsentj < �

2, luego � = 2�

Propiedad 2.1.2 Suponga que f y g son funciones de variable real y valor vectorial queposeen límite cuando t! a y sea c una constante, entonces:a. l��m

t!a(f(t)� g(t)) = l��m

t!af(t)� l��m

t!ag(t)

b. l��mt!a

cf(t) = cl��mt!af(t)

c. l��mt!a(f(t) � g(t)) = l��m

t!af(t) � l��m

t!ag(t)

d. l��mt!a(f(t)� g(t)) = l��m

t!af(t)� l��m

t!ag(t) en R3

Ejemplo 2.1.7 Evaluar l��mt!0

�sent

t; et; t2 + 3t+ 2

�:

Calculamos el límite de cada una de sus funciones componentes (si existen).

l��mt!0

sent

t= 1, l��m

t!0et = 1 y l��m

t!0(t2 + 3t+ 2) = 2

luego l��mt!0

�sent

t; et; t2 + 3t+ 2

�= [1; 1; 2]

Page 62: Calculo vectorial

54 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Una función real-vectorial f es continua en a si:a. f(a) existeb.l��mt!af(t) existe

c. l��mt!af(t) = F (a)

f es continua en a si y solamente si l��mt!af(t) = f(a)

Una función real-vectorial f es continua en a si cada una de sus funciones componentesfk es continua en a.

Ejemplo 2.1.8 La función real-vectorial f(t) =�sent

t; et; t2 + 3t+ 2

�es discontinua en

t = 0, pero está discontinuidad es removible ya que el límite en t = 0 existe (ejemploanterior), luego f se puede volver continua redi�niendola de la siguiente manera F (t) =8<:�sent

t; et; t2 + 3t+ 2

�si t 6= 0

[1; 1; 2] si t = 0

La derivada de una función f real-vectorial se puede de�nir de la misma manera quepara las funciones de variable real y valor real, excepto que la derivada ahora es un vector.

Si f es derivable en a entonces f 0(a) = l��mh!0

f(a+ h)� f(a)h

siempre que el lìmite

exista. f es derivable en a si y solamente si f 0(a) = [f 0k(a)]Si p y q son puntos cuyos vectores posición son f(t) y f(t + h) entonces el vector pq

es secante a la curva determinada por f(t). Si h! 0 el vector tiende a un vector que estaen la recta tangente, por lo tanto el vector f 0(t) se denomina vector tangente a la curvadeterminada por f(t) en el punto p, siempre que f 0(t) exista y f 0(t) 6= 0.

Ejemplo 2.1.9 Calcule la derivada de f(t) = [tsent; t2; cos(3t)].Derivando cada una de las funciones componentes obtenemosf 0(t) = [sent+ t cos t; 2t;�3sen(3t)]

Ejemplo 2.1.10 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva determinada porf(t) =

�ln t; 2

pt; t2�en el punto (0; 2; 1).

Hallamos el vector tangente f 0(t) =�1

t;1

2pt; 2t

�en el punto t = 1, f 0(1) =

�1;1

2; 2

�luego [x; y; z] = [0; 2; 1] + t

�1;1

2; 2

�es la ecuación vectorial de la recta.

La curva determinada por una función real-vectorial f es suave o regular en un inter-valo abierto I si f 0(t) es continua y f 0(t) 6= 0 para todo valor t del intervalo I.

Page 63: Calculo vectorial

2.1. FUNCIONES DE VARIABLE REAL Y VALOR VECTORIAL 55

Propiedad 2.1.3 Si f y g son funciones real-vectorial derivables y c es una constante,entonces:a. (f(t)� g(t))0 = f 0(t)� g0(t)b. (cf(t))0 = cf 0(t)c. (f(t) � g(t))0 = f 0(t)� g(t) + f (t)� g0(t)d. (f(t)� g(t))0 = f 0(t)� g(t) + f(t)� g0(t) (en R3)

Igual que con las funciones de variable real y valor real, la segunda derivada de unafunción real-vectorial f es la derivada de f 0, o sea f 00(t) = (f 0(t))0

Ejemplo 2.1.11 La segunda derivada de f(t) = [tsent; t2; cos(3t)] esf 00(t) = [sent+ t cos t; 2t;�3sen(3t)]0 = [2 cos t� tsent; 2;�9 cos(3t)]

De manera similar la integral de una función real-vectorial se puede de�nir de la mismamanera que para las funciones de variable real y valor real, excepto que la integral es unvector.Una función real-vectorial derivable F es una antiderivada de una función real-vectorial

f en un intervalo I si F 0(t) = f(t) en cada t de I.La integral inde�nida de una función real-vectorial f respecto a t es el conjunto de todas

las antiderivadas de f y se nota porRf(t)dt = F (t) + C, donde F es una antiderivada

de f . Si f es una función real-vectorial integrable, entoncesRf(t)dt =

�Rfk(t)dt+ ck

�Ejemplo 2.1.12 Hallar f(t) sabiendo que f 0(t) = [cos t; 2tsent2; 2t] y f(0) = [1; 0; 3]Integrando f 0(t) obtenemosf(t) = [sent+ c1;� cos t2 + c2; t

2 + c3]como f(0) = [1; 0; 3]c1 = 1; c2 = 1 y c3 = 3entonces f(t) = [sent+ 1;� cos t2 + 1; t2 + 3]

Ejemplo 2.1.13 EvaluarR �1

t; cos t; 3t

�dt

Integrando cada una de las funciones coordenadas obtenemosR �1t; cos t; 3t

�dt =

�ln t+ c1; sent+ c2;

3

2t2 + c3

Si f es una función real-vectorial de�nida y acotada en un intervalo I = [a; b], entoncesR baf(t)dt =

hR bafk(t)dt

iTeorema 2.1.1 Si f es una función real-vectorial continua en un intervalo I = [a; b],

entoncesR baf(t)dt =

hR bafk(t)dt

i

Page 64: Calculo vectorial

56 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Demostración. Utilizando la de�nición de integral de�nida en una variableR baf(t)dt = l��m

n!1

nPi=1

f(t�i )4t

= l��mn!1

�nPi=1

fk(t�i )4t

�=

�l��mn!1

nPi=1

fk(t�i )4t

�=hR b

afk(t)dt

iEjemplo 2.1.14 Evaluar

R 41

�t;pt; et�dt.

Integrando cada una de las funciones coordenadas y aplicando el teorema fundamentaldel cálculo.R 4

1tdt =

t2

2j41 =

15

2R 41

ptdt =

1

2ptj41 = �

1

4R 41etdt = etj41 = e4 � e

Por lo tantoR 41

�t;pt; et�dt =

�15

2;�14; e4 � e

�Propiedad 2.1.4 Si f y g son funciones real-vectorial continuas en un intervalo I = [a; b]y c es una constante, entonces:a.R ba(f(t)� g(t))dt =

R baf (t)dt�

R bag(t)dt

b.R ba(cf(t))dt = c

R baf(t)dt

c.R ba(f(t) � g(t))dt =

R baf 0(t)dt �

R bag(t)dt

d.R ba(f(t)� g(t))dt =

R baf (t)dt�

R bag(t)dt (en R3)

Ejercicios sección 2.1.

1. Para la función real-vectorial determine la imagen de 1, h, h+4h

a) f(t) =�p

t;1

t

�b) f(t) = [ln t; et; tt]

c) f(t) = [t; t2; t3; t4]

2. Para la función real-vectorial determine dominio, rango y grá�ca.

a) f(t) = [2t+ 1; t2]

b) f(t) = [3 cos t; 2sent]

c) f(t) = [t cos t; tsent; t]

Page 65: Calculo vectorial

2.1. FUNCIONES DE VARIABLE REAL Y VALOR VECTORIAL 57

3. Evaluar el límite.(si existe).

a) l��mt!0

�1

t2 + 1;

1

t2 � 1

�b) l��m

t!0

�t

sent;1

cos t

�c) l��m

t!0

�et � 1t

;

p1 + t� 1

t;cos t� 1

t

�4. Determinar la continuidad de la función real-vectorial.

a) f(t) =�t+ 1

t� 1 ;t� 1t+ 1

�b) f(t) =

�ln t;

pt� 1; sent

�c) f(t) = [tan t; 2t; t� 1]

5. Para cada función real-vectorial.hallar f 0(t) y f 00(t)

a) f(t) = [e3t; sen(2t)]

b) f(t) = [2t; log t; t3]

c) f(t) =�senht; cosh t;

pt�

6. Hallar la ecuación de la recta tangente a la grá�ca de la función real-vectorial f .

a) f(t) = [t+ 1; t2 + 1; t3 + 1], para t = 0

b) f(t) = [et; e2t; e3t] para t = 1

c) f(t) = [sent; cos t; t] para t = �

7. Encontrar los intervalos donde la función real-vectorial es suave.

a) f(t) = [t2; t3]

b) f(t) =�2

1 + t;2t

1 + t

�c) f(t) =

�pt; 3pt; 4pt�

8. Si f(t) = y g(t) = hallar

a) (f(t) � g(t))0

b) (f(t) + g(t))0

c) (f(t)� g(t))

Page 66: Calculo vectorial

58 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

9. Hallar f(t) para las condiciones dadas.

a) f 0(t) =�2t;pt�, f(0) = [1; 2]

b) f 0(t) =�2t; 3t2;

pt�, f(1) = [1; 1; 0]

c) f 0(t) = [t; et; tet], f(0) = [1; 1; 1]

10. Evaluar la integral de la función real-vectorial

a)R[et; 3t; ln t] dt

b)R 10[t; et; tet] dt

c)R �=40

[cos t; sent; sec2] dt

11. Si f es derivable demuestre que kf(t)k es constante si y solamente si f(t) �f 0(t) = 0

12. Hallar los puntos sobre la curva determinada por la función f(t) = [t; 1 + t2] en losque:

a) f(t) y f 0(t) son perpendiculares.

b) f(t) y f 0(t) son paralelos con el mismo sentido.

c) f(t) y f 0(t) son paralelos con sentido contrario.

13. Utilizando un CAS construya una función que permita gra�car una funcíon real-vectorial y su recta tangente en un punto dado.

2.2. Aplicaciones

Se puede representar el movimiento de una particula en el plano o en el espacio uti-lizando una función de variable real y valor vectorial, luego utilizar la primera y segundaderivada de esta función para determinar la velocidad y la aceleración de la particula.A partir de la posición de una particula y bajo ciertas condiciones es posible hallar lavelocidad, la aceleración y la rápidez de la particula

Si una función real vectorial f determina la posición de un objeto en el plano o en elespacio y f tiene primera y segunda derivada, entonces:velocidad del objeto es v(t) = f 0(t),

dirección del movimiento del objeto esv(t)

kv(t)k ,

aceleración del objeto es a(t) = f 00(t)rapidez del objeto es kv(t)k = kf 0(t)k

Page 67: Calculo vectorial

2.2. APLICACIONES 59

Ejemplo 2.2.1 Hallar la velocidad, la dirección, la aceleración y la rapidez de una partícu-la que se mueve a lo largo de la hélice circular determinada por f(t) = [a cos t; asent; bt]con a > 0 y b > 0:Velocidad v(t) = [�asent; acost; b]

Dirección�� asentp

a2 + b2;� a cos tp

a2 + b2;

bpa2 + b2

�Aceleración a(t) = [�a cos t;�asent; 0]Rapidez kv(t)k =

pa2 + b2

El matemático suizo John Bernoulli2 mostro que entre las curvas posibles que unendos puntos A y B, una particula tomará el menor tiempo posible de deslizamiento de A aB si la curva es parte de un arco invertido de una cicloide.

Consideremos el objeto como un proyectil y supongamos que la unica fuerza que actuasobre el después de su lanzamiento, es la gravedad. Supongamos que el movimiento ocurreen un plano vertical que puede representarse por el plano xy y el origen un punto sobre lasuper�cie de la tierra. La fuerza gravitatoria para un proyectil de masa m es F = �mgjdonde g = 32 pies=seg2 o g = 9;81 m=seg2, por la segunda ley del movimiento de Newtonesta misma fuerza produce una aceleración a(t) tal que F = ma(t) luego �mgj = ma(t)entonces a(t) = �gj es la aceleración del proyectil.

Teorema 2.2.1 Despreciando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzadode una altura inicial h con rapidez inicial v0 y ángulo de elevación � se describe por medio

de la función real-vectorial f(t) = (v0 cos �)ti +�h+ (v0sen�)t�

1

2gt2�j donde g es la

constante de gravedad.

2

Johann Bernoulli (Basilea, Suiza 27 de julio de 1667 - misma ciudad, 11 deenero de 1748), también conocido como Jean o John, fue un matemático, médicoy �lólogo suizo. Su padre de religión calvinista deseaba que su hijo se convirtieraen comerciante y aceptó entrar como aprendiz en el negocio familiar de especiasy medicinas, pero terminó por hacerlo tan mal que su contrariado padre se vioobligado a recti�car su orientación originaria, entonces su padre decidió que seconvirtiera en médico, profesión también relacionada con el negocio familiar. En1683 ingresa en la Universidad de Basilea y saca el título de médico, sin embargodurante este tiempo junto a su hermano Jakob también se dedicó a aprender ellenguaje de los números. Las novedades matemáticas de Leibniz sobre el cálculoin�nitesimal cautivaron a ambos hermanos. En 1691 viaja a París para guiar a

los matemáticos franceses en el uso del cálculo entre los cuales se hallaba el marqués de Guillaume del�Hôpital. En Francia se convirtió en defensor de Leibniz en la polémica que mantenía con Isaac Newtonpor quien había sido el primero en enunciar los principios del cálculo in�nitesimal. Se centró en el cálculoin�nitesimal y resolvió la ecuación diferencial de Bernoulli, propuesta por su hermano. Sus hijos Nicolau,Daniel y Johann Bernoulli fueron grandes matemáticos.

Page 68: Calculo vectorial

60 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Demostración. Integrando la aceleración a(t) = �gj dos veces obtenemosv(t) =

Ra(t)dt =

R�gjdt = �gtj + c1

f(t) =Rv(t)dt =

R(�gtj + c1)dt = �

1

2gt2j + c1t+ c2

Usando el siguiente hecho v(0) = v0 y f(0) = f 0 hallamos c1 y c2c1 = v0 y c2 = f

00(t)

luego f(t) = �12gt2j + v0t+ f 0

utilizando las condiciones iniciales f 0 = hj, v0 = kv0kv0 = xi+ yj = kv0k cos �i+ kv0k sen� j = v0 cos �i+ v0sen�j

por lo tanto f(t) = �12gt2j + (v0 cos �i+ v0sen�j)t+ hj

= v0 cos �ti+

�h+ v0sen�t�

1

2gt2�j

Para el movimiento de un proyectil cuando se lanza desde el origen sobre una super�ciehorizontal con una rapidez inicial v0 y un ángulo de lanzamiento �.

Altura máxima ym�ax =(v0sen�)

2

2g

Tiempo de vuelo t =2v0sen�

g

Alcance xm�ax =v20gsen(2�)

Ejemplo 2.2.2 Un proyectil se dispara con una rapidez inicial de 500 m=s con un ángulode elevación de 450

Consideremos v0 = 500 m=s, � = 450 y g = 9;8 m=s2

altura máxima ym�ax =(500 � sen450)2

2(9;8)= 6377;55 m

tiempo de vuelo t =2 � 500 � sen450

9;8= 72;15 s

alcance xm�ax =5002

9;8sen(900) = 25510;2 m

Si una función real-vectorial f representa una curva suave C en un intervalo abierto

I entonces el vector T (t) =f 0(t)

kf 0(t)k es un vector tangente unitario a C y el vector N(t) =

T 0(t)

kT 0(t)k con T0(t) 6= 0 es un vector normal unitario a C

Ejemplo 2.2.3 Para la curva determinada por f(t) = [3sent; 3 cos t; 4t] determine T y NHallamos v(t) = [3 cos t;�3sent; 4] y kv(t)k = 5

luego T (t) =�3 cos t

5;�3sent

5;4

5

�y N(t) = [�sent;� cos t; 0]

Page 69: Calculo vectorial

2.2. APLICACIONES 61

Una curva puede representarse por medio de diferentes funciones real-vectorial, o sepueden parametrizar de diferentes formas, dependiendo del parámetro que se elija.

Teorema 2.2.2 La longitud de una curva continuamente diferenciable C determinada porf(t), para t 2 [a; b] es s =

R bakf 0(t)k dt

La longitud de arco es independiente de la parametrización que se utilice.Si C es una curva suave determinada por una función f(t) de�nida en un intervalo

[a; b]. Para a � t � b, la función longitud de arco está dada por s(t) =R takf 0(u)k du.

A la longitud de arco tambien se denomina parámetro longitud de arco y es una funciónnonegativa.

Utilizando el teorema fundamental del cálculo podemos ver queds

dt= kf 0(t)k y en

forma diferencial es ds = kf 0(t)k dt

Ejemplo 2.2.4 Encuentre la longitud de la curva determinada por f(t) = [cos t; sent; ln cos t],0 � t � �

4f 0(t) = [�sent; cos t; tan t] y kf 0(t)k =

p1 + tan2 t

s =R �=40

sec tdt = ln tan

�2t+ �

4

�j�=40 = ln tan

3�

8� ln tan �

4� 0;88

Si C es una curva suave determinada por una función f(t), la curvatura K en t está

dada por K =kT 0(t)kkf 0(t)k

Si C es una curva suave determinada por una función f(s) donde s es el parámetro

longitud de arco, la curvatura K en s está dada por K =

dTds = kT 0(s)k

En un circulo tiene la misma curvatura en todos sus puntos.

Teorema 2.2.3 En un circulo de radio r la curvatura es igual a1

r

Ejemplo 2.2.5 Encuentre la curvatura de f(t) = [t; t2; t3], en el punto (1; 1; 1)f 0(t) = [1; 2t; 3t2] y kf 0(t)k =

p1 + 4t2 + 9t4

de modo que T (t) =f 0(t)

kf 0(t)k =[1; 2t; 3t2]p1 + 4t2 + 9t4

y kT 0(1)k =p19

7, kf 0(1)k =

p14

entonces K =

p19

7p14� 0;166

Page 70: Calculo vectorial

62 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Ejercicios sección 2.2.

1. Para la función f determine velocidad, dirección, aceleración y rapidez.

a) f(t) = [1� cos t; 1� sent]

b) f(t) = [1� cos t; 1� sent]

c) f(t) = [1� cos t; 1� sent]

2. Determine la longitud de la curva determinada por

a) f(t) = [1� cos t; 1� sent], 0 � t � �

b) f(t) = [t; ln t; t ln t], 1 � t � 2c) f(t) =

�2t; 4t3=2; 3t2

�, 0 � t � 1

3. Hallar la curvatura de f donde s es el parámetro de longitud de arco.

a) f(s) = [2 + s; 3]

b) f(s) = [2 + s; 3]

4. Hallar la curvatura de

a) f(t) = [cos �t; sen2�t]

b) f(t) = [et cos t; etsent]

c) f(t) = [1; t; t2]

5. Determine la altura máxima, el iempo de vuelo y el alcance de un proyectil lanzadodesde el origen con los siguientes datos.

a) v0 = 500 m=s, � = 600

b) v0 = 300 m=s, � = 450

c) v0 = 600 m=s, � = 300

6. Un proyectil se lanza desde el suelo con un ángulo de 150 con el piso. El proyectil debealcanzar un blanco a 150 pies de distancia. Determine la velocidad inicial requerida.

7. Hallar al ángulo con el que debe lanzarse un objeto para que

a) Tenga la máxima altura

b) Tenga el máximo alcance

Page 71: Calculo vectorial

2.3. CAMPOS ESCALARES 63

8. Un objeto de masa m sigue una trayectoria cuya posición en cada insante estadeterminada por f(t) = [a cos t; bsent], hallar la fuerza que actua sobre el objeto.

9. En los juegos olimpicos de Beiging la bielorusa Aksana Miankova lanzo un martillode 4 Kg. con un ángulo de 400 con respecto a el suelo, con una velocidad inicial de28;35 m=seg y obtuvo la medalla de oro, determine:

a) Alcance del martillo.

b) Máxima altura alcanzada por el martillo.

10. Cual es la longitud de un camino constante. f : R! Rm, f(t) = c

11. Para la helice determinada por f(t) = [a cos t; asent; bt], con a; b > 0 cual es lamáxima curvatura para un valor �jo b.

12. Utilizando un CAS construya una función que determine la curvatura.

2.3. Campos escalares

Existen muchas funciones de valor real que dependen de dos o más variables reales porejemplo el volumen V de un cilindro circular recto, depende de su altura h y de su radior; o la temperatura de una particula en el espacio depende de sus coordenadas x ; y y z,la velocidad de una reacción quimica depende de la temperatura y de la presión del medioambiente en que ocurre. En esta sección se estudiaran funciones de valor real que dependende más de una variable real, o sea funciones reales de variable vectorial, funciones cuyodominio es un subconjunto de Rn y de imagenes números reales, denominadas camposescalares.Una funci�on F cuyo dominio es un subconjunto D de Rn con n � 2 y cuyo rango es

R se denomina campo escalar, F es una función de variable vectorial y valor real.

Notación 3 F :D � Rnen R con z = F (x) donde x = (x1; x2; :::; xn) 2 U y z 2 R

Nota : Cuando se trabaja en R2 o en R3 es usual usar x; y y z en lugar de x1, x2 yx3; y ademas z = F (x; y) o w = F (x; y; z)

Propiedad 2.3.1 Si F es un campo escalar de D � Rn en R, entonces:(i) El dominio de F es el mayor subconjuto D de Rn en el que F esta de�nido, o sea

el conjunto de las x tales que F (x) existe.(ii) El codominio de F es R.(iii) El rango o recorrido de F es el conjunto F (D), o sea el conjunto de puntos F (x)

para cada x 2 D.

Page 72: Calculo vectorial

64 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Ejemplo 2.3.1 El campo escalar F (x; y) = 2x2 + 3y2 asocia a cada (x; y) 2 R2 un úniconúmero real 2x2 + 3y2, luego si (x; y) = (1;�2) F (1;�2) = 14.El dominio de F es todo R2 pues 2x2 + 3y2 esta de�nido para toda pareja (x; y) de R2El rango de F es el conjunto de los z 2 R no negativos pues 2x2 + 3y2 � 0 para toda

pareja (x; y) de R

Si F es un campo escalar de dos variables entonces el dominio D de F es una regióndel plano xy, si F es de tres variables, enonces su dominio D es una región del espacio.

Ejemplo 2.3.2 Determine el dominio de los siguientes campos escalares, de manera al-gebraica y geometríca.

a. F (x; y) =

p1� x2 � y2

xyb: F (x; y) = ln(xy)

a. La expresión

p1� x2 � y2

xyes válida si xy 6= 0 y 1� x2 � y2 > 0

xy 6= 0 si x 6= 0 y y 6= 0, 1� x2 � y2 > 0 si x2 + y2 < 1D = f(x; y)jx2 + y2 < 1,x 6= 0, y 6= 0g

gra�camente son los puntos del circulo, sin los ejes.b. La expresiòn ln(xy) es vàlida si xy > 0x > 0 y y > 0, o x < 0 y y < 0D = f(x; y)jxy > 0g

gra�camente los puntos del primer y tercer cuadrante, sin los ejes.

Page 73: Calculo vectorial

2.3. CAMPOS ESCALARES 65

Existen funciones que pueden estar de�nidas por una tabla y no por una fórmula.

Ejemplo 2.3.3 La siguiente tabla muestra el valor de un plan (en miles de pesos) entelefonia celular, x representa el número de minutos utilizados en el operador Kassir, yrepresenta el número de minutos utilizados en otros operadores.

x n y 0 100 200200 35 60 80300 50 70 85500 70 90 100Se ve que un plan de 300 minutos en plan Kassir y 100 minutos en otros operadores

cuesta $70.000El plan más economico vale $35.000 y consta de 200 minutos solamente al operador

Kassir.

Ejemplo 2.3.4 Para la función de producción de Cobb-Douglas3 P (L;K) = 50L0;6K0;4,L representa la cantidad de mano de obra (horas trabajadas en un año) y K represen-ta al capital invertido (maquinaria, equipo y sedes, en miles de dólares). Para 150 ho-ras trabajadas en un año y 200 mil dólares en capital invertido la producción será deP (150; 200) = 50(150)0;6(200)0;4 = 8414;66

Dos campos escalares F y G de D � Rnen R son iguales si F (x) = G(x) para todox de U , entonces deben tener igual dominio e igual rango.

Ejemplo 2.3.5 Los campos escalares F (x; y) = Lnxy y G(x; y) = Lnx + Lny no soniguales.porque tienen diferente dominio.Dominio de F es f(x; y)jxy > 0g y dominio de G es f(x; y)jx > 0 y y > 0gLos campos escalares F (x; y) = jx+ yj y G(x; y) = jxj + jyj no son iguales aunque

tienen igual dominio R2Pues tienen imagenes diferentes. contraejemplo F (1;�1) = 0 y G(1;�1) = 2

Propiedad 2.3.2 Si F es un campo escalar de D � Rn en R, entonces se dice que:3

En economía, la función Cobb-Douglas es una forma de función de producción, ampliamente usadapara representar las relaciones entre un producto y las variaciones de los insumos tecnología , trabajoy capital. Fue propuesta por Knut Wicksell (1851-1926) e investigada con respecto a la evidencia es-tadística concreta, por Charles Cobb y Paul Douglas en 1928. El establecimiento de la función partió dela observación empírica de la distribución de la renta nacional total de Estados Unidos entre el capitaly el trabajo. Los datos mostraron que se mantenía más o menos constante a lo largo del tiempo y amedida que crecía la producción, la renta del total de los trabajadores crecía en la misma proporción quela renta del conjunto de los empresarios. Douglas solicitó a Cobb establecer una función que resultaraen participación constante de los dos factores si ganaban en su producto marginal.

Page 74: Calculo vectorial

66 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

(i) F es inyectivo o uno a uno si a cada elemento del rango de F le corresponde ex-actamente un elemento del dominio de F . Si F (x) = F (y) entonces x = y o si x 6= yentonces F (x) 6= F (y)(ii) F es sobreyectivo si el codominio de F es igual al rango de F . O sea si todo F (x) del

codominio de F proviene de por lo menos un elemento x del dominio de F .(iii)F es biyectivo si F es inyectivo y sobreyectivo.

Propiedad 2.3.3 Algunos tipos de campos escalares. Si F : D � Rn ! R es un campoescalar se dice que F es:(i) Campo escalar constante si F (x) = c (Constante) 8x 2 D(ii) Campo escalar lineal si F (x) = a1x1 + a2x2 + ::: + anxn + b o F (x) = a � x + b

con b 2 R y ai reales no todos cero.(iii) Campo escalar polinomial si F (x) = a1x

r11 + a2x

r22 + :::+ anx

rnn + b con ai,b 2 R

y ri 2 N.(iv) Campo escalar racional si F (x) =

G(x)

H(x)Con G(x) y F (x) campos escalares

polinomiales.(v) Campo escalar máximo (de n números) F (x) = m�ax(x1; x2; :::; xn) = xM tal que

xM � xi , 8i = 1; 2; :::; n(vi) Campo escalar mínimo (de n números) F (x) = m��n(x1; x2; :::; xn) = xm tal que

xm � xi , 8i=1; 2; :::; n

Si F es un campo escalar de D � Rn en R y g una funci�on de I � R en R, entoncesgoF es un campo escalar de D � Rn en R.Nota : No se pueden componer dos campos escalares

Ejemplo 2.3.6 Si F�x� y;

y

x

�= y2 � x2 halle F (x; y) y su dominio.

Haciendo u = x� y y v = y

xy resolviendo el sistema para x y y,obtenemos x =

u

1� v

y y =uv

1� v

entonces F (u; v) =�

uv

1� v

�2��

u

1� v

�2luego F (x; y) =

�xy

1� y

�2��

x

1� y

�2=

�x2(1� y2)

(1� y)2= �x

2(1 + y)

1� yEl dominio de F es f(x; y)jy 6= 1g

Propiedad 2.3.4 Si F es un campo escalar de D1 � Rn en R y G es un campo escalarde D2 � Rn en R, entonces de�nimos los siguientes camos escalares.(i) kF : D1 � Rn en R, con k 2 R tal que (kF )(x) = kF (x)(ii)F �G : D1 \D2 � Rn en R, tal que (F �G)(x) = F (x)�G(x)(iii)F�G : D1 \D2 � Rn en R, tal que (F�G)(x) = F (x) �G(x)

(iv)F

G: E � Rn en R, tal que

�F

G

�(x) =

F (x)

G(x), donde E = D1 \ D2 � fx 2

D2jG(x) = 0g

Page 75: Calculo vectorial

2.3. CAMPOS ESCALARES 67

Ejercicios sección 2.3.

1. En las siguientes expresiones determine si es posible expresar a z como una funciónde x y y (z = F (x; y)), a y como función de x y z (y = G(x; z)), a x como unafunción de y y z (x = H(y; z))

a) xy + yz + xz = 3

b) ln(x+ 2y + 3z) = 0

c) sen(x+ y) + cos(y + z) = 1

2. Para los campos escalares dados determine la imagen de (k; 0); (0; k) ; (k; k); (x +4x; y) y (x; y +4y)

a) F (x; y) =1p

x2 + y2

b) F (x; y) = SenxCosy

c) F (x; y) = Ln(xy + x+ y)

3. Para los campos escalares dados determine para que valores de (x; y), F (x; y) = k:A donde envia F los puntos de la recta y = x . A donde envia F los puntos delcirculo unitario x2 + y2 = 1

a) F (x; y) = x+ y

b) F (x; y) =x+ y

x2 + y2

c) F (x; y) = Sen(x2 + y2)

4. Para los campos escalares dados determine dominio y rango.

a) F (x; y) =x2 + y2

x2 � y2

b) F (x; y) = Ln(xLny)

c) F (x; y; z) =px+

py +

pz

5. Para los campos escalares dados gra�que su dominio y determine que tipo de con-junto es.

a) F (x; y) =p4� x2 � y2

b) F (x; y) = sen�1(x� y)

c) F (x; y) = e�x2�y2

6. Determine si los campos escalares dados son iguales o no, justi�cando su respuesta.

Page 76: Calculo vectorial

68 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

a) F (x; y) = jxyj y G(x; y) = jxj jyjb) F (x; y) =

pxy y G(x; y) =

pxpy

c) F (x; y) =rx

yy G(x; y) =

px

py

7. Para los campos escalares F y G dados determine F +G; FG;F

Gy sus respectivos

dominios.

a) F (x; y) = x+ y ; G(x; y) = x� y

b) F (x; y) =px+ y + 1 ; G(x; y) =

pxy

c) F (x; y; z) =x+ y + z

x� y � z; G(x; y; z) =

1

x+ y + z

8. Determine F (x; y) y su dominio.

a) F (x+ y; x� y) = x2 + y2

b) F (x� y; x+ y) =x

y+ 1

c) F (xy; xy) = xy + 1

9. Para el campo escalar dado F y la funcion dada g, determine goF

a) F (x; y) =px2 + y2 ; g(t) =

1

t

b) F (x; y) = (x+ 2)y+3 ; g(t) = Ln1

t

c) F (x; y; z = Tan(x+ y + z) ; g(t) = et

10. Para el campo escalar determine dominio y rango.

a) F (x; y) =

8<:12xy

x2 + y2si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0; 0)

b) F (x; y) =�x2 + 4y2 si x2 + 4y2 � 5

3 si x2 + 4y2 > 5

c) F (x; y) =

( x

y3 + 1si y 6= �1

0 si y = �1

11. De una interpretacion geometrica del campo escalar F (x) = xi , (xi = i-esima coor-denada de x)

Page 77: Calculo vectorial

2.4. GEOMETRÍA DE CAMPOS ESCALARES. 69

12. Se depositan $50000 en un titulo de ahorro a una tasa de interés compuesto con-tiuamente r durante t años. Construya una tabla para determinar la cantidad parar = 0;02, 0;05, 0;10, 0;15 y t = 1; 5; 10; 20

13. La temperatura en un punto (x; y) de una placa de metal plana está determinda por

T (x; y) =40

1 + x2 + y2donde T se mide en grados centigrados, x, y en metros. Elija

cuatro puntos de la placa (uno en cada cuadrante) y halle su temperatura.

14. Utilizando un CAS construya un campo escalar y evaluelo en varios puntos.

2.4. Geometría de campos escalares.

Si F es un campo escalar de D � Rn en R , de�nimos la grá�ca de F como un conjuntode puntos de Rn+1 tales que grá�ca f = f(x1; x2; :::; xn; z) 2 Rn+1jf(x1; x2; :::; xn) 2 DgNota: Los unicos campos escalares que se pueden gra�car de manera convencional son

los de R2 en R y su grá�ca es una super�cie.

Si F es un campo escalar de D � Rn en R un conjunto de nivel es un subconjunto deRn en el que F es constante. Si n = 2 los conjuntos de nivel se denominan curvas de nively se obtienen intersectando la super�cie con un plano horizontal. Si n = 3 los conjuntosde nivel se denominan super�cies de nivel.

Ejemplo 2.4.1 Gra�cas de algunos campos escalares

F (x; y) = 4� x2 � y2

­4

220 0

0­2

xy

­2­10­4

­40­30­20z

44

F (x; y) = jxj+ jyjy

0­2 ­2­4 ­4

x

z

422

0 04

5

10

Page 78: Calculo vectorial

70 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

F (x; y) = sen(x+ y)

­1.0x44y

­4 ­40.0 ­20

z0

­2­0.52 2

1.00.5

F (x; y) = e�(x2+y2)

4422

0 00.0­2

xy

­2­4 ­4

1.0

z 0.5

Para un campo escalar F (x; y), la grá�ca de la funcion que se obtiene al mantener �jax y hacer variar a y se denomina seccion transversal de F con x �ja, la gra�ca de F (x; y)con x = k es una curva o seccion transversal que se obtiene intersectando la gra�ca de Fcon el planox = k. De la misma forma se de�ne seccion transversal de F con y �ja.

Ejemplo 2.4.2 Describir las secciones transversales del campo escalar F (x; y) = x2 � y2

con x �ja y luego con y �ja, luego describa la forma de la gra�ca de F .

Las secciones transversales con x �ja en x = k son F (k; y) cuyas gra�cas son parabolasque abren hacia abajo y las secciones transversales con y �ja en y = k son F (x; k) cuyasgra�cas son parabolas que abren hacia arriba. La super�cie es un paraboloide hiperbolicodenomina silla de montar.

Page 79: Calculo vectorial

2.4. GEOMETRÍA DE CAMPOS ESCALARES. 71

Las lineas de contorno o curvas de nivel de un campo escalar F (x; y) son las curvasque se obtienen al intersectar la gra�ca de F con planos horizontales y cuyas ecuacionesson F (x; y) = k o z = k (k numero real).

Ejemplo 2.4.3 Dibujar un diagrama de curvas de nivel de F (x; y) =px2 + y2 y rela-

cionarlo con la gra�ca de F .Las curvas de nivel tienen por ecuación

px2 + y2 = k para k � 0 y son circulos de

radiopk, la super�cie es un cono circular.

La ley de Coulomb4 determina que la magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas conque interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto

4

Charles-Augustin de Coulomb (Angoulême, Francia, 14 de junio de 1736 - París,23 de agosto de 1806). Físico e ingeniero militar francés. Se recuerda por haberdescrito de manera matemática la ley de atracción entre cargas eléctricas. En suhonor la unidad de carga eléctrica lleva el nombre de coulomb (C). Entre otras teoríasy estudios se le debe la teoría de la torsión recta y un análisis del fallo del terrenodentro de la Mecánica de suelos. Fue el primero en establecer las leyes cuantitativasde la electrostática, además de realizar muchas investigaciones sobre: magnetismo,rozamiento y electricidad. Sus investigaciones cientí�cas están recogidas en sietememorias, en las que expone teóricamente los fundamentos del magnetismo y de laelectrostática. En 1777 inventó la balanza de torsión para medir la fuerza de atraccióno repulsión que ejercen entre si dos cargas eléctricas, y estableció la función que liga

esta fuerza con la distancia. Con este invento, culminado en 1785, Coulomb pudo establecer el principio,que rige la interacción entre las cargas eléctricas, actualmente conocido como ley de Coulomb

Page 80: Calculo vectorial

72 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distanciaque las separa.Si V (x; y) es el potencial électrico en un punto (x; y) del plano xy, entonceslas curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales, porque en todos los puntos deellas el potencial électrico es el mismo.

Ejemplo 2.4.4 Trace algunas curvas equipotenciales si V (x; y) =cp

r2 � x2 � y2para

r = 4 y c = 1

Es imposible visualizar un campo escalar F de mas de tres variables mediante una gra�-ca, debido a que estaria en un espacio de dimension mayor o igual a cuatro. Sin embargopodemos saber sobre un campo escalar F de tres variables examinando sus super�cies denivel, que son super�cies con ecuaciones F (x; y; z) = k donde k es un numero real.

Ejemplo 2.4.5 Describa las super�cies de nivel de F (x; y; z) = x2 + y2 + z2

Las super�cies son esferas concentricas de radio w = F (x; y; z), w > 0.

Ejercicios sección 2.4.

1. Gra�que los campos escalares dados

a) F (x; y) = xy

b) F (x; y) = ArcTan yx

c) F (x; y) = Ln(x2 + y2)

2. Describir las secciones transversales del campo escalar

a) F (x; y) = 2� x2 � y2

b) F (x; y) = e�x2�y2

c) F (x; y) = xseny

3. Dibujar un diagrama de curvas de nivel de los campos escalares dados

Page 81: Calculo vectorial

2.4. GEOMETRÍA DE CAMPOS ESCALARES. 73

a) F (x; y) = xy2 � x3

b) F (x; y) = xy3 � yx3

c) F (x; y) = Senpx2 + y2

4. Describa las super�cies de nivel de los campos escalares dados

a) F (x; y; z) = x2 + y2

b) F (x; y; z) = x2 � y2 + z2

c) F (x; y; z) = x2 + 2y2 + 3z2

5. Relacione cada campo escalar con alguna de las grá�cas A a C

a) F (x; y) = jxyjb) F (x; y) = xy(y2 � x2)

c) F (x; y) = cosx+ cos y

A.

­4

­200z ­100

y

­2100

4

200

00

2 20

4 x

­2­4

B.

­4

­2y

­2z ­1

420

0 ­42

0

x

­22

4

1

C.

­4­2

y 4

02

z0

2x

0

4

­4­2

1020

6. Determine donde se de�ne G y como es la grá�ca de G respecto a la grá�ca de F ,justi�que su respuesta.

a) G(x; y) = F (x� x0; y � y0) donde (x0; y0) es un punto dado de R2

b) G(x; y) = F (kx; ky) donde k 2 Rc) G(x; y) = �F (x; y)

Page 82: Calculo vectorial

74 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

7. Una lamina de metal tiene una temperatura T (x; y) en cada punto (x; y), las cur-vas de nivel de T se denomnan isotermas porque la temperatura es igual en todos

los puntos de la curva. Para la función T (x; y) =60

1 + x2 + 2y2gra�que algunas

isotermas.

8. Utilizando un CAS construya una función que permita gra�car las curvas de nivelde un campo escalar dado.

2.5. Funciones vectoriales

Una función F cuyo dominio es un subconjunto D de Rn y cuya imagen esta en Rm

se denomina función vectorial si n;m > 1. F es una función de variable vectorial y valorvectorial.

Notación 4 F :D � Rnen Rm con z = F(x)

Propiedad 2.5.1 Si F es una función vectorial de D � Rn en Rm, entonces:(i) El dominio de F es el mayor subconjunto D de Rn en el que F esta de�nida, o sea

el conjunto de las x 2 Rn tales que F(x) existe.(ii) El codominio de F es Rm.(iii) El rango o recorrido de F es el conjunto F (D), o sea el conjunto de puntos F (x)

para cada x 2 D.

Dos funciones vectoriales F y G de D � Rnen Rm son iguales si F (x) = G(x) paratodo x de D, luego deben tener igual dominio e igual rango.Si F es una función vectorial de D � Rn en Rm, entonces para cada zi de z; Fi(x) =

zi se denomina función componente o coordenada de F . Las funciones componentes ocoordenadas de una función vectorial F son funciones Fi denominadas campos escalares,que se trataron en la anterior sección. (zi = F (x))

Propiedad 2.5.2 Una función vectorial F de D1 � Rn en Rm se dice que es lineal sisatisface las siguientes condiciones:(i) F (x+ y) = F (x) + F (y) para todo x;y de D(ii) F (kx) = kF (x) 8k 2 R

Ejemplo 2.5.1 La función vectorial F (x; y) =�

1

x+ y;1

x� y;1

x+1

y

�asocia a cada (x; y) 2

R2 un único vector F (x; y) 2 R3 cuyas funciones coordenadas sonF1(x; y) =

1

x+ y; F2(x; y) =

1

x� yy F3(x; y) =

1

x+1

y.

Dominio de F1 = f(x,y)jx 6= yg, Dominio de F2 = f(x; y)jx 6= �yg y Dominio deF3(x; y) = f(x; y)jx 6= 0 y y 6= 0g.Luego dominio de F = f(x; y)jx 6= y y x 6= �yg

Page 83: Calculo vectorial

2.5. FUNCIONES VECTORIALES 75

Propiedad 2.5.3 Si F es una función vectorial de D � Rn en Rm, entonces:(i) F es inyectiva o uno a uno si a cada elemento del rango de F le corresponde

exactamente un elemento del dominio de F . Si F (x) = F (y) entonces x = y o si x 6= yentonces F (x) 6= F (y)(ii) F es sobreyectiva si el codominio de F es igual al rango de F . O sea si todo

F (x) del codominio de F proviene de por lo menos un elemento x del dominio de F ,.codominiode F es Rm.(iii) F es biyectiva si F es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo 2.5.2 Sea F(x; y) = [a11x+ a12y; a21x+ a22y] veamos que si F es inyectivo en-tonces F es sobreyectivo. Supongamos que F (x1; y1) = F (x2; y2) implica que x1 = x2 yy1 = y2, luego [x1,y1] = [x2; y2], entonces F es inyectivo y como dominio de F es R2 yrango de F es R2 entonces F es sobreyectivo.

Si en una función vectorial F de D � Rnen Rm n es igual a m, entonces F sedenomina campo vectorial. La grá�ca de un campo vectorial esta determinada por unconjunto de vectores en Rn de inicio x 2 D y extremo F (x).

Ejemplo 2.5.3 Gra�car algunos vectores del campo vectorial F (x; y) = [�y; x]

Propiedad 2.5.4 Algunos tipos de campos vectoriales. Si F : D � Rn ! Rn es un campovectorial se dice que F es:(i) Campo vectorial constante si F (x) = [k] 8x 2 D(ii) Campo vectorial identico (radial) si F (x) = [x] 8x 2 D(iii) Campo vectorial lineal si F (x) = [a � x] 8x 2 D y a 2 Rn(iv) Campo vectorial gradiente si F (x) = rF (x) 8x 2 D, donde F es un campo

escalar de D � Rn en R diferenciable en x

Algunos ejemlos �sicos de campos vectoriales son los campos de velocidades (describenel movimiento de un sistema de partìculas), los campos gravitatorios (los de�ne la ley degravitación de Newton5) y los campos de fuerzas electricas (los de�ne la ley de Coulomb):Si F es una función vectorial de D � Rn en Rm y G una función vectorial de E � Rm

en Rp, entonces GoF es una función vectorial de D � Rn en Rp. (E = F (D))5

Page 84: Calculo vectorial

76 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Ejemplo 2.5.4 Sean F(x; y) = [2x + 3y; xy] y G(x; y) =�x� 2y; x

y

�, hallar FoG(x; y),

GoF(x; y), F (G(1; 1)) y G(F(1; 1)).

FoG(x; y) = F(G(x; y)) = F

�x� 2y; x

y

�=

�2(x� 2y) + 3x

y; (x� 2y)x

y

�=

�2x� 4y + 3x

y;x2 � 2xy

y

�GoF(x; y) = G(F(x; y)) = G(2x+ 3y; xy) =

�2x+ 3y � 2xy; 2x+ 3y

xy

�F (G(1; 1)) = F(�1; 1) = (1;�1)G(F (1; 1) = G(5; 1) = (3; 5)

Propiedad 2.5.5 Algebra de funciones vectoriales. Si F es una función vectorial deD1 � Rn en Rm y G es una función vectorial de D2 � Rn en Rm, entonces de�nimoslas siguientes funciones vectoriales.(i) kF : D1 � Rn en Rm, con k 2 R tal que (kF )(x) = kF (x)(ii)F �G : D1 \D2 � Rn en Rm, tal que (F �G)(x) = F (x)�G(x)

Ejercicios sección 2.5

1. Para las funciones vectoriales dadas determine dominio y rango.

a) F (x; y) = [x2y; xy2; 1 + x+ y]

b) F (x; y) = [px;py]

c) F (x; y; z) = [Ln(x+ y); Ln(1� z); exyz]

2. Gra�que algunos vectores del campo vectorial dado

a) F (x; y) = [x; x]

Isaac Newton nacido el 25 de diciembre de 1642, en Woolsthorpe, Lincolnshire,Inglaterra, fallecido el 20 de marzo de1727, en Cambridge, Cambridgeshire,Inglaterra. Es el más grande de los astrónomos ingleses; se destacó también comogran físico y matemático. Fue un niño prematuro y su padre murió antes de sunacimiento, a los treinta y siete años. Isaac fue educado por su abuela, preocupadapor la delicada salud de su nieto. Desde �nales de 1664, Newton parece dispuestoa contribuir personalmente al desarrollo de las matemáticas. Aborda entonces elteorema del binomio, a partir de los trabajos de Wallis, y el cálculo de �uxiones.Fue en realidad un genio al cual debemos el descubrimiento de la ley de gravitaciónuniversal, que es una de las piedras angulares de la ciencia moderna. Fue uno delos inventores del cálculo diferencial e integral. Estableció las leyes de la mecánica

clásica, y partiendo de la ley de gravitación universal dedujo las leyes de Kepler en forma más general.Logró construir el primer telescopio de re�exión. También son importantes sus contribuciones al estudiode la luz. Sus obras más importantes publicadas son la Optica, en la que explica sus teorías sobre la luz, y laobra monumental Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, comúnmente conocida como Principia,en la cual expone los fundamentos matemáticos del universo.

Page 85: Calculo vectorial

2.6. LIMITES Y CONTINUIDAD 77

b) F (x; y) = [�y;�x]c) F (x; y) = [x2; y2]

3. Para las funciones vectoriales dadas F y G halle F oG y GoF

a) F (x; y) = [x+ y; x� y] y G(x; y) = [xy; x=y]

b) F (x; y) = [x+ y; x� y] y G(x; y) = [Sen(2x+ 3y); Cos(2x� 3y)]c) F (x; y) = [x; y; x+ y] y G(x; y; z) = [ex+y; ey+z]

4. Determine dos ejemplos de campos vectoriales F y G diferentes tales que FoG =GoF 6= I (campo vectorial identico)

5. Determine dos ejemplos de campos vectoriales F y G tales que FoG 6= GoF

6. Sean F de D � Rnen Rm y G de V � Rm en Rp dos funciones vectoriales

a) Si F y G son inyectivas, es GoF inyectiva ?

b) Si F y G son sobreyectivas, es GoF sobreyectiva ?

c) Si F y G son biyectivas, es GoF biyectiva ?

7. Sea F de D � Rnen Rm un campo vectorial , suponga que G y H de V � Rn enRp dos funciones vectoriales tales que GoF = HoF , entonces si G = H. Pruebeque F es sobreyectiva.

8. Si F es un campo vectorial lineal de R2 en R2, demuestre que F ((x1; y1)+k(x2; y2)) =F (x1; y1) + kF (x2; y2)

9. Una partícula se mueve en el campo de velocidad V (x; y) = [x2; x`y2] si su posiciónen el tiempo t = 3 es (2; 1), determine su posición en el tiempo t = 4

10. Utilizando un CAS gra�que varios campos vectoriales.

2.6. Limites y continuidad

Uno de los conceptos de mayor di�cultad en funciones de varias variables es el conceptode límite, ya que para saber el comportamiento de una función de varias variables alrededorde un punto a hay que considerar la función de�nida en cercanias de a, o sea en bolasabiertas de centro a y radio �; y no linealmente como se hace en funciones de una variable,sobre intervalos de la forma (a � �; a + �). Consideraremos la de�nición formal de límitepara los diferentes tipos de funciones de varias variables.

Page 86: Calculo vectorial

78 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Gran parte de la terminologia empleada para de�nir límites y continuidad en funcionesde varias variables la introdujo el matemático aleman Karl Weierstrass6.El punto a es un punto limite del conjunto D subconjunto de Rn si y sólo si cualquier

bola abierta con centro en a contiene puntos de D diferentes de a.

Ejemplo 2.6.1 Cualquier conjunto �nito de puntos no tiene puntos limite. Cada puntode Rn es punto límite de Rn. El origen 0 de Rn es punto límite de Rn � 0.

Si F es una función vectorial de D � Rn en Rm y a 2 Rn es un punto interior ofrontera de D se dice que limite cuando x tiende a a de F (x) es igual a L, escrito

l��mx!a

F (x) = L si y solamente si 8 2> 0, 9 � > 0 tal que si x 2 B(a; �)) y 2 B(L;2),(x 6= a). Tambien se puede escribir de la siguiente forma: Si jjx � ajj < � implica quekF (x)�Lk <2

Si F es un campo escalar de D � Rn en R y a 2 Rn es un punto interior o fronterade D se dice que limite cuando x tiende a a de F (x) es igual a L, escrito

l��mx!a

F (x) = L si y solamente si 8 2> 0, 9 � > 0, tal que si jjx � ajj < � implica que

jF (x)� Lj <2

Ejemplo 2.6.2 Demuestre que l��m(x;y)!(1;2)

2x+ 3y = 8

Utilizando la de�nición formal de límite, veamos que 8� > 0, 9� > 0tal que k(x; y)� (1; 2)k < � implica que j2x+ 3y � 8j < �y

luego k(x; y)� (1; 2)k = k(x� 1; y � 2)k =p(x� 1)2 + (y � 2)2 < �

implica que jx� 1j < � y jy � 2j < �

veamos ahora que j2x+ 3y � 8j < �

j2x+ 3y � 8j = j2x� 4 + 3y � 6j � j2x� 4j + j3y � 6j � 2 jx� 2j + 3 jy � 2j < 5�luego � = 5�

6

Karl Weierstrass nació en Ostenfelde, Westfalia (actualmente Alemania) y murióen Berlín (Alemania). Estudió matemáticas en la Universidad de Münster, ademásde sus prolí�cas investigaciones cabe señalar que fue profesor de cátedra en laUniversidad de Berlín en la cual tuvo entre sus discípulos a Georg Cantor, Fer-dinand Georg Frobenius, Wilhelm Killing, Leo Königsberger, Carl Runge y So�aKovalevskaya. Citado como el «padre del análisis moderno» , Weierstrass dio lasde�niciones actuales de continuidad, límite y derivada de una función, que siguenvigentes hoy en día. Esto le permitió demostrar una serie de teoremas que estabanentonces sin demostrar como el Teorema del valor medio, el Teorema de Bolzano-Weierstrass y el Teorema de Heine-Borel. También realizó aportes en convergenciade series, en teoría de funciones periódicas, funciones elípticas, convergencia deproductos in�nitos, cálculo de variaciones, análisis complejo, etc

Page 87: Calculo vectorial

2.6. LIMITES Y CONTINUIDAD 79

Ejemplo 2.6.3 Demuestre que l��m(x;y)!(2;1)

x2 + 2y = 6

Utilizando la de�nición formal de límite, veamos que 8� > 0, 9� > 0tal que k(x; y)� (2; 1)k < � implica que jx2 + 2y � 6j < �luego k(x; y)� (2; 1)k = k(x� 2; y � 1)k =

p(x� 2)2 + (y � 1)2 < �

implica que jx� 2j < � y jy � 1j < �veamos ahora que jx2 + 2y � 6j < �jx2 + 2y � 6j = jx2 � 4 + 2y � 2j � jx2 � 4j+ j2y � 2j � jx� 2j jx+ 2j+ 2 jy � 1jacotando jx+ 2j con � = 1luego �1 < x� 2 < 1 implica que 3 < x+ 2 < 5entonces jx+ 2j < 5por lo tanto jx� 2j jx+ 2j+ 2 jy � 1j < 7�, luego � = 7�

Ejemplo 2.6.4 Demuestre que l��m(x;y)!(0;0)

x2y

x2 + y2;

x2px2 + y2

!= (0; 0)

Basta demostrar que l��m(x;y)!(0;0)

x2y

x2 + y2= 0 y que l��m

(x;y)!(0;0)

x2px2 + y2

= 0

por hipotesis jxj < � y jyj < �

implica para el primer limite que

���� x2y

x2 + y2

���� < �

y para el segundo limite que

����� x2px2 + y2

����� < �

empezando con el primer limite

���� x2y

x2 + y2

���� = x2 jyjx2 + y2

� (x2 + y2) jyjx2 + y2

= jyj < �

entonces � = �

para el segundo limite

����� x2px2 + y2

����� = x2px2 + y2

� x2 + y2px2 + y2

=px2 + y2 = �

entonces � = �

Propiedad 2.6.1 Si F y G son campos escalares de D � Rn en R, a 2 Rn es un puntointerior o frontera de U y ademas l��m

x!aF (x) = L y l��m

x!aG(x) =M entonces:

(i) l��mx!a

(kF )(x) = l��mx!a

kF (x) = k l��mx!a

F (x) = kL, 8k 2 R(ii) l��m

x!a(F �G)(x) = l��m

x!a(F (x)�G(x)) = l��m

x!aF (x)� l��m

x!aG(x) = L�M

(iii) l��mx!a

(F �G)(x) = l��mx!a

(F (x) �G(x)) = L �M

(iv) l��mx!a

�F

G

�(x) = l��m

x!a

F (x)

G(x)=

L

Msi M 6= 0

Demostración. (ii) Como l��mx!a

F (x) = L entonces 8� > 0 consideremos �2,

9�1 > 0 tal que si x 2 B(a; �1) =) F (x) 2 B(L; �2) con x 6= a

Page 88: Calculo vectorial

80 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

de igual forma l��mx!a

G(x) =M entonces 8� > 0 consideremos �2,

9�2 > 0 tal que si x 2 B(a; �2) =) G(x) 2 B(L; �2) con x 6= a

veamos que dado � > 0 existe � > 0 tal que six 2 B(a; �) =) (F (x)�G(x)) 2 B(L; �) con x 6= atomando 0 � � � m��nf�1; �2gaplicando la desigualdad triangular tenemosj(F (x)�G(x))� (L+M)j = j(F (x)� L)� (G(x)�M)j � jF (x)� Lj�jG(x)�M j <

2+�

2= �

es decir (F (x)�G(x)) 2 B(L�M ; �)

Ejemplo 2.6.5 Demuestre que l��m(x;y)!(1;2)

2x + 3y = 8, utilizando la de�nición formal de

límite.si jj(x; y)� (1; 2)jj < �, entonces jj(x; y)� (1; 2)jj = jj

p(x� 1)2 + (y � 2)2jj < �,

luego jx� 1j < � y jy � 2j < �, veamos que jF (x; y)� 8j <2, jF (x; y)� 8j = j2x+ 3y � 8j �2 jx� 1j+ 3 jy � 2j < 5�,luego � =

25, por lo tanto jj(x; y)� (1; 2)jj < � implica que jF (x; y)� 8j < 5� =2

El campo escalar del ejemplo anterior es polinomial aparentemente un límite muyfacíl, pero por ser de grado uno, en el siguiente ejemplo consideramos un campo escalarpolinomial de grado dos.

Ejemplo 2.6.6 Si F (x; y) = x2 + xy demuestre que l��m(x;y)!(2;1)

F (x; y) = 6, utilizando la

de�nición formal de límite.Si jj(x; y)� (2; 1)jj < �, entonces jj(x; y)� (2; 1)jj = jj

p(x� 2)2 + (y � 1)2jj < �,

luego jx� 2j < � y jy � 1j < �, veamos que jF (x; y)� 6j <2, jF (x; y)� 6j = jx2 + xy � 6j �jx2 � 4j+ jxy � 2j < jx� 2j jx+ 2j+ jyj jx� 2jel incoveniente surge en jx+ 2j y jyj, luego debemos acotar a �,consideremos a � � 1, entonces jx� 2j < 1 y jy � 1j < 1, �1 < x � 2 < 1 y �1 <

y � 1 < 1,a la primera desigualdad le sumamos 4 y a la segunda desigualdad le sumamos 1 y

obtenemos 3 < x+ 2 < 5 y 0 < y < 2,luego jx+ 2j < 5 y jyj < 2 y jF (x; y)� 5j < 5 jx� 2j jx+ 2j+ 2 jx� 2j < 7�,luego � = m��n(1;

7) por lo tanto jj(x; y)�(2; 1)jj < � implica que jF (x; y)� 5j < 7� = �

Propiedad 2.6.2 Si F es un campo escalar polinomial de Rn en R y a 2 Rn, entoncesl��mx!a

F (x) = F (a)

Page 89: Calculo vectorial

2.6. LIMITES Y CONTINUIDAD 81

Tambien a partir de las funciones componentes de una función vectorial F (x) =[F1(x); F2(x); :::; Fn(x)]se puede a�rmar que el limite de una función vectorial existe siexisten los limites de los campos escalares que lo componen o sea l��m

x!aF (x) = L si y solo

si l��mx!a

Fk(x) = Lk, 8k + 1; 2; :::; nEl siguiente teorema nos permite comprobar que el límite de una función vectorial F

existe, si existe el límite de los campos escalares Fk que lo componen.

Teorema 2.6.1 Suponga que F (x) = [F1(x); F2(x); :::; Fm(x)] es una función vectorial deD � Rn en Rm y a 2 Rn es un punto interior o frontera de D, entonces

l��mx!a

F (x) = L si y sólo si l��mx!a

Fk(x) = Lk, k = 1; 2; ; :::;m

Demostración. Si l��mx!a

F (x) = L, utilizando la de�nición formal de límite,

8 2> 0, 9 � > 0 tal que si jjx� ajj < � implica que kF (x)� Lk <2,pero jjx� ajj < � implica que jFk(x)� Lkj � kF (x)� Lk <2,para cada k = 1; 2; :::;m,reciprocamente8 2> 0, 9 �k > 0 tal que si jjx� ajj < � implica que jF (x)� Lj < �p

m,

consideremos � = m��n(�1; �2; :::; �m)

entonces jjx � ajj < � implica que kF (x)� Lk =qP

jFk(x)� Lkj2 <rm � 2

m=2

Ejemplo 2.6.7 Si F (x; y) = [x2+xy3; 3xy; 2x3+5y2] demuestre que l��m(x;y)!(�1;0)

F (x; y) =

[1; 0; 2],utilizando el teorema anterior vemos quel��m

(x;y)!(�1;0)[x2+xy3; 3xy; 2x3+5y2] = [ l��m

(x;y)!(�1;0)x2+xy3; l��m

(x;y)!(�1;0)3xy; l��m

(x;y)!(�1;0)2x3+

5y2] = [1; 0; 2],aplicando la propiedad para campos escalares polinomiales.

Sea F un campo escalar de�nido en todo Rn (excepto posiblemente en un subconjuntoacotado), se dice que el l�imite de F cuando x tiende a in�nito (xi ! 1, 8i = 1; 2; :::; n)es L, si dado 2> 0 existe N > 0 tal que kxk > N ) jF (x)� Lj < 2

Teorema 2.6.2 Unicidad del límite. Si F es un campo escalar de D � Rn en R, a 2 Rnes un punto interior o frontera de D, l��m

x!aF (x) = L y l��m

x!aF (x) =M , entonces L =M

Propiedad 2.6.3 Si F es un campo escalar racional de D � Rn en R ,tal que F (x) =P (x)

Q(x)entonces l��m

x!aF (x) = F (a) =

P (a)

Q(a), si Q(a)6= 0

Page 90: Calculo vectorial

82 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Si F es un campo escalar de D � R2 en R y (a; b) es un punto interior o frontera de D,entonces l��m

x!a(l��my!b

F (x; y)) y l��my!b(l��mx!a

F (x; y)) se denomian límites iterados de F en (a; b). Si

F es un campo escalar de D � Rn en R y a 2 Rn es un punto interior o frontera de D,entonces F posee a lo más n! límites iterados en a. Si los l�imites iterados existen y soniguales, no es condici�on su�ciente para asegurar que el l�imite existe, pero si son diferentessi es condici�on su�ciente para asegurar que el l�imite no existe.

Ejemplo 2.6.8 Hallar los limites iterados de F (x; y) =2xy

x2 + y2en el origen

l��mx!0

�l��my!0

2xy

x2 + y2

�= 0 y l��m

y!0

�l��mx!0

2xy

x2 + y2

�= 0

los limites iterados son iguales por lo tanto no es su�ciente para a�rmar que el limiteen el origen existe.

Ejemplo 2.6.9 Hallar los limites iterados de F (x; y) =x2 � y2

x2 + y2en el origen

l��mx!0

�l��my!0

x2 � y2

x2 + y2

�= 1 y l��m

y!0

�l��mx!0

x2 � y2

x2 + y2

�= �1

los limites iterados son diferentes por lo tanto es su�ciente para a�rmar que el limiteno existe en el origen.

Si F es un campo escalar de U � R2 en R ; tal que (x; y) ! (0; 0) entonces encoordenadas polares r ! 0+ para todo �. Se debe tener cuidado con el cálculo del limiteutilizando coordenadas polares.

Ejemplo 2.6.10 Utilizando coordenadas polares hallar el limite de F (x; y) =x3y2

x2 + y2en

el origen

l��mr!0+

r5 cos3 �sen2�

r2 cos2 � + r2sen2�= l��m

r!0+r5 cos3 �sen2�

r2= l��m

r!0+r3 cos3 �sen2� = 0 para todo �

Ejemplo 2.6.11 Utilizando coordenadas polares hallar el limite de F (x; y) =x2y2

x2y2 + (x� y)2

en el origen

l��mr!0+

r4 cos2 �sen2�

r4 cos2 �sen2� + r2(cos2 � � sen2�)= l��m

r!0+r2 cos2 �sen2�

r2 cos2 �sen2� + (cos2 � � sen2�)

si � =�

4el limite es igual a 1

pero si � = 0 el limite es igual a 0por lo tanto el limite no existe en el origen

Si F es un campo escalar de D � Rn en R y a 2 U , se dice que F es continuo en asi y solamente si F (x) = F (a)Se dice que F es continuo en D si F es continuo en todos los puntos de D

Page 91: Calculo vectorial

2.6. LIMITES Y CONTINUIDAD 83

Si un campo escalar F no es continuo en a 2 D, se dice que es discontinuo en aNota: A partir de las funciones componentes de una función vectorial F podemos

asegurar que F es continua en a 2 D si y solamente si cada una de las funciones Fi quecomponen a F son continuas en a.

Ejemplo 2.6.12 Determine si es posible rede�nir el campo escalar F (x; y) =x2y + xy2

x2 + y2

en el origen para que sea continuo alli.Los limites iterados existen y son iguales a cero

l��mx!0

�l��my!0

x2y + xy2

x2 + y2

�= 0 y l��m

y!0

�l��mx!0

x2y + xy2

x2 + y2

�= 0

supongamos que el limite existe y es igual a ceroutilizando la de�nición formal de limteveamos que 8� > 0, 9� > 0 tal quek(x; y)� (0; 0)k = k(x; y)k =

px2 + y2 < � implica que jxj < � y jyj < �

y

����x2y + xy2

x2 + y2

���� < � implica que

����x2y + xy2

x2 + y2

���� = x2 jyj+ jxj y2x2 + y2

� (jxj+ jyj)(x2 + y2)

x2 + y2�

jxj+ jyj < 2�concluimos que � = 2�entonces el limite existe y es igual a cero

por lo tanto F (x; y) =

8<:x2y + xy2

x2 + y2si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0; 0)

Propiedad 2.6.4 Todo campo escalar polinomial F de Rn en R , es continuo en todo Rn

Propiedad 2.6.5 Todo campo escalar racional F de D � Rn en R , es continuo en sudominio D, puesto que es el cociente de dos campos escalares continuos.

Ejemplo 2.6.13 Determine la continuidad del campo escalar F (x; y) =x2 + y2 + 1

x2 + y2 � 1el campo escalar es discontinuo en el circulo unitario x2 + y2 = 1por lo tanto es continuo en el conjunto f(x; y) 2 R2jx2 + y2 6= 1g

Propiedad 2.6.6 Si F y G De son campos escalares de D � Rn en R, continuos ena 2 D, entonces :(i) kF es continuo en a 8k 2 R(ii) F �G es continuo en a(iii) F �G es continuo en a

(iv)F

Ges continuo en a si G(a) 6= 0

Teorema 2.6.3 Si F es un campo escalar de D � Rn continuo en a 2 D y g es unafunción de R en R continua en F (a) entonces el campo escalar H(x) = (goF )(x) escontinuo en a

Page 92: Calculo vectorial

84 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Ejercicios sección 2.6

1. Demuestre los limites dados.

a) l��m(x;y)!(1;�1)

(x2 + y2) = 2

b) l��m(x;y)!(0;0)

xypx2 + y2

;x4 � (y � 2)4x2 + (y � 2)2

!= (0;�4)

c) l��m(x;y;z)!(0;0;0)

xy + xz + yzpx2 + y2 + z2

;x2y2z2

x2 + y2 + z2

!= (0; 0)

2. Demuestre que los limites dados no existen

a) l��m(x;y)!(0;0)

xy2

x2 + y4

b) l��m(x;y)!(0;0)

x3y2

x6 + y4

c) l��m(x;y;z)!(0;0;0)

xy + xz + yz

x2 + y2 + z2

3. Encuentre el limite si existe o demuestre que no existe.

a) l��m(x;y)!(1;1)

(x� 1)4=3 � (y � 1)4=3(x� 1)2=3 + (y � 1)2=3

b) l��m(x;y;z)!(0;0;0)

sen(x+ y + z)

x+ y + z

c) l��m(x;y)!(0;0)

(x2 + y2 + z2)Ln(x2 + y2 + z2)

4. Utilice coordenadas polares para calcular el limite del campo escalar dado en elorigen

a) F (x; y) =x2y2

x2 + y2

b) F (x; y) =Sen(x2 + y2)

x2 + y2

c) F (x; y) = (x2 + y2)Ln(x2 + y2)

5. Determine las condiciones de las constantes a; b; c para que exista el límite dado.

a) l��m(x;y;z)!(0;0;0)

xy

ax2 + by2 + cz2

Page 93: Calculo vectorial

2.6. LIMITES Y CONTINUIDAD 85

b) l��m(x;y)!(0;0)

xayb

(x2 + y2)c

6. Determine la continuidad del campo escalar dado

a) F (x; y) =

8<:x3y2

x4 + 3y4si (x; y) 6= (0; 0)

1 si (x; y) = (0; 0)

b) F (x; y) =�x2 + 4y2 si x2 + 4y2 � 5

3 si x2 + 4y2 > 5

7. Determine si es posible rede�nir los campos escalares dados en el origen, para quesean continuos alli.

a) F (x; y) =3x2y

x4 + y4

b) F (x; y) = (1 + xy)1=xy

c) F (x; y) =SenxSen(3y)

2xy

8. Pruebe que los campos vectoriales dados son continuos en R2

a) F (x; y) = [x2 + y2; x2 � y2]

b) F (x; y) = [Sen(x+ y); Cos(x+ y)]

c) F (x; y) = [ex+y; ex�y]

9. Utilice el teorema 4.1. para determinar donde el campo escalarH (H(x; y) = goF (x; y))es continuo.

a) F (x; y) = x2 � y2 ; g(t) =t

t+ 1

b) F (x; y) = x+ Tany ; g(t) = t2 + 1

c) F (x; y) = yLnx ; g(t) = et

10. Determine si el campo escalar F (x; y) =

( x

y3 + 1si y 6= �1

0 si y = �1es continuo en (0;�1)

11. Utilizando un CAS construya una función que permita calcular límites por trayec-torias.

Page 94: Calculo vectorial

86 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

2.7. Derivadas parciales

Sea F un campo escalar de D � R2 en R, de�nido en (a; b) 2 D , supongamos quehacemos variar solamente a x mientras y permanece constante (y = b) entonces estamosconsiderando una función de una sola variable x, �(x) = F (x; b), si � es derivable en aentonces �0(a) determina la derivada parcial de F respecto a x en (a; b) y utilizando la

de�nición de derivada �0(a) = l��mh!0

�(a+ h)� �(a)

h= l��m

h!0

F (a+ h; b)� F (a; b)

h

Notación: Fx(a; b) o F1(a; b) Lagrange,@F

@x(a; b) Jacobi, D1F (a; b) Cauchy7

De igual forma supongamos que hacemos variar solamente a y mientras x permanececonstante (x = a) entonces estamos considerando una función de una sola variable y,'(y) = F (a; y), si ' es derivable en b entonces '0(b) determina la derivada parcial de F

respecto a y en (a; b) y utilizando la de�nición de derivada '0(a) = l��mk!0

'(b+ k)� '(b)

k=

l��mk!0

F (a; b+ k)� F (a; b)

k

Notación: Fy(a; b) o F2(a; b) Lagrange,@F

@y(a; b) Jacobi, D2F (a; b) Cauchy.

Para dar una interpretación geométrica de las derivadas parciales, recordemos que todocampo escalar z = F (x; y) representa geometricamente una super�cie S. Si F (a; b) = c,entonces el punto P (a; b; c) se encuentra en S. Al variar x y permanecer y constante(y = b) estamos considerando la curva intersección C1 (traza) entre la super�cie S y elplano vertical y = b, la curva C1 es la grá�ca de la función �(x) = F (x; b) de modo quela recta tangente a C1 en P tiene como pendiente a �0(a). De igual forma al variar y ypermanecer x constante (x = a) estamos considerando la curva intersección C2 (traza)entre la super�cie S y el plano vertical x = a, la curva C2 es la grá�ca de la función'(y) = F8a; y) de modo que la recta tangente a C2 en P tiene como pendiente a '0(b).

7

Augustin Louis Cauchy (n. París 1789 - y Scenaux 1857) Matemático yfísico frances, mayor de los seis hijos de un abogado católico y realista,quehubo que retirarse a Arcueil cuando estalló la Revolución. Fue educado en casapor su padre y no ingresó en la escuela hasta los trece años,aunque prontoempezó a ganar premios académicos. A los dieciséis años ingresa en la ÉcolePolytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuela de ingenieríacivil, donde se graduó tres años después. Su primer trabajo fue como ingenieromilitar para Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. En1813 retorna a París y es persuadido por Laplace y Lagrange para convertirseen un devoto de las matemáticas. Publicó un total de 789 trabajos, entre los quese encuentran el concepto de límite, los criterios de convergencia las fórmulas

y los teoremas de integración y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann. Su extensa obra introdujoy consolidó el concepto fundamental de rigor matemático.

Page 95: Calculo vectorial

2.7. DERIVADAS PARCIALES 87

De manera general si F es un campo escalar deD � Rn en R de�nido en a 2 D, supong-amos que hacemos variar solamente a xk mientras las otras variables xi (xi = ai) per-manecen constantes, entonces estamos considerando una función �(xk) = F (a1; a2; :::; xk; :::; an)de una sola variable, si � es derivable en a entonces �0(a) ( determina la derivada parcial de

F respecto a xk en a y utilizando la de�nición de derivada �0(a) = l��m

h!0

�(ak + h)� �(ak)

h=

l��mh!0

F (a1; a2; :::; xk + h; :::; an)� F (a1; a2; :::; ak; :::; an)

h

Notación: Fxk(a) o Fk(a) Lagrange,@F

@xk(a) Jacobi, DkF (a) Cauchy.Lagrange Jacobi

Cauchy;Nota : A partir de las funciones componentes Fi de una función vectorial F podemos

Page 96: Calculo vectorial

88 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

asegurar que@F

@xk(a) =

�@F1@xk

(a);@F2@xk

(a); :::;@Fn@xk

(a)

�Ejemplo 2.7.1 Hallar las primeras derivadas parciales de F (x; y) = xcosy + ysenxPrimero �jamos y, y derivamos respecto a x para obtener@F

@x(x; y) = cos y + y cos sx

De igual forma �jamos x, y derivamos respecto a y para obtener@F

@y(x; y) = �xseny + senx

Ejemplo 2.7.2 Hallar las primeras derivadas parciales de F (x; y) = 3pxy en (0; 0)

Aqui debemos utilizar la de�nición de derivada para hallar las derivadas parciales.@F

@x(0; 0) = l��m

h!0

F (h; 0)� F (0; 0)

h= l��m

h!0

0� 0h

= 0

y@F

@y(0; 0) = l��m

h!0

F (0; h)� F (0; 0)

h= l��m

h!0

0� 0h

= 0

Propiedad 2.7.1 Si F y G son campos escalares de D � Rn en R que poseen primerasderivadas parciales en a, entonces

@(F �G)

@xk(a) =

@F

@xk(a)� @G

@xk(a)

@(kF )

@xk(a) = k

@F

@xk(a)

@(F �G)@xk

(a) =@F

@xk(a) �G(a) + F (a) � @G

@xk(a)

@

@xk

�F

G

�(a) =

@F

@xk(a) �G(a)� F (a) � @G

@xk(a)

G2(a)

Si F es un campo escalar de U � Rn en R, que posee primeras derivadas parcialescontinuas en a 2 U y cada una de estas derivadas tambien poseen primeras derivadasparciales continuas ena, entonces F posee segundas derivadas parciales continuas en a.

Notaci�on :@2F

@xi@xj(a) = Fxjxi(a) = DjiF (a): Se puede seguir de manera inductiva

hasta un orden m (m 2 N)

Ejemplo 2.7.3 Hallar las segundas derivadas parciales de F (x; y) = sen(x+y)+cos(x�y)Las primeras derivadas parciales son@F

@x(x; y) = Cos(x+ y)� Sen(x� y) y

@F

@y(x; y) = Cos(x+ y) + Sen(x� y)

Las derivadas parciales de segundo orden son

Page 97: Calculo vectorial

2.7. DERIVADAS PARCIALES 89

@2F

@x2(x; y) = �Sen(x+ y)� Cos(x� y)

@2F

@y@x(x; y) = �Sen(x+ y) + Cos(x� y)

@2F

@x@y(x; y) = �Sen(x+ y) + Cos(x� y)

@2F

@y2(x; y) = �Sen(x+ y)� Cos(x� y)

Ejercicios sección 2.7

1. Utilizando la de�nición halle las primeras derivadas parciales del campo escalar F

a) F (x; y) = xy2 + x2y

b) F (x; y) = x+x

x+ y

c) F (x; y) =px+ y

2. Halle las primeras derivadas parciales del campo escalar F .

a) F (x; y) = xy

b) F (x; y; z) =xyz

x+ y + z

c) F (x; y; z) =px2 + y2 + z2

3. Hallar las primeras derivadas parciales del campo escalar F .en el punto dado

a) F (x; y) =xy

x+ y, p = (1; 2)

b) F (x; y) = x cos y + ysenx, p = (0; �=4)

c) F (x; y) = arctany

x, p = (1; 1)

4. Halle las primeras derivadas parciales del campo escalar F . Si g es una función de Ren R, diferenciable.

a) F (x; y) =R x�yx+y

g(t)dt

b) F (x; y) =R x=yxy

g(t)dt

c) F (x; y) =R yxxyg(t)dt

Page 98: Calculo vectorial

90 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

5. A partir de la grá�ca del campo escalar Fdetermine el signo de

a) Fx(1; 1)

b) Fy(1; 1)

c) Fxy(1; 1)

6. A partir de la tabla de valores de un campo escalar F

xny 1 2 30 7;5 5;2 3;82 16;1 14;3 12; 34 21;9 18;4 15;7

estime

a) Fx(2; 2)

b) Fy(0; 1)

c) Fxy(2; 2)

7. Hallar las derivadas parciales de la función vectorial dada.

a) F (x; y; z) = (xy + yz + zx; xyz)

b) F (x; y) =�p2x+ 3y; x

py � yp

x;px2 + y2 + z2

�c) F (x; y; z) = (sen(2x+ 3y); cos(3y + 4z); tan(4x+ 5z))

8. Halle las segundas derivadas parciales del campo escalar F .

a) F (x; y) = ArcTan�yx

�b) F (x; y) = exCosy + eyCosx

c) F (x; y) = xSeny + yCosx

9. Compruebe que el campo escalar F satisface la ecuación de Laplace.Fxx + Fyy = 0

Page 99: Calculo vectorial

2.8. DERIVADAS DIRECCIONALES 91

a) F (x; y) =1

x+ y

b) F (x; y) = Lnpx2 + y2

c) F (x; y) = ArcTan yx

10. En un estudio realizado sobre el sistema de créditos académicos, la nota aproximadaen un parcial de cálculo vectorial, en función de y el número de horas asistidas aclase y de x el número de horas dedicadas a estudiar, viene dada por N(x; y) =

200

�y

80� 0;2x

�5, para 0 � y � 32 y 0 � x � 64 (cuatro semanas). Calcular @N

@xy

@N

@yy determinar cual de las variables x o y, tiene mayor efecto sobre la nota.

11. Utilizando un CAS represente geometricamente las derivadas parciales de un campoescalar.

2.8. Derivadas direccionales

En funciones de una variable hablar de la derivada de una función f en un punto asigni�ca hablar de la variación instantanea de f en a, pero en funciones de varias variablespara estudiar estos cambios en un punto a 2 D hay que �jar una dirección v en Rn y no sehablara simplemente de la derivada de F en a sino de la derivada de F en a en la direccióndel vector v.Si F es un campo escalar de D � Rn en R, a 2 D y v es un vector de Rn no nulo,

entonces al limite l��mt!0

F (a+ tv)� F (a)

t kvk si existe se denominara derivada respecto al vector

v de F en a:Si el vector v es unitario, entonces al limite l��mt!0

F (a+ tv)� F (a)

tsi existe, se

denominara derivada direccional de F en a con respecto a v

Notación: F 0(a; v); Fv(a) Lagrange,@F

@v(a) Jacobi, DvF (a) Cauchy.

A partir de las funciones componentes de F podemos asegurar que@F

@v(a) =

�@Fk@v(a)

�Ejemplo 2.8.1 Hallar la derivada direccional de F (x; y) = 2x + 3y en el punto (�1; 1)en dirección [3; 4]

como el vector no es unitario lo normalizamos y v =�3

5;4

5

�luego F 0((�1; 1);

�3

5;4

5

�)

Page 100: Calculo vectorial

92 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

= l��mt!0

F ((�1; 1) + t�3

5;4

5

�)� F (�1; 1)

t

= l��mt!0

F ((�1 + 35t; 1 +

4

5t)� F (�1; 1)

t

= l��mt!0

2(�1 + 35t) + 3(1 +

4

5t) + 2� 3

t

= l��mt!0

�2 + 65t+ 3 +

12

5t+ 2� 3

t

= l��mt!0

18

5t

t=18

5

Sean F es un campo escalar de D � R2 en R y (a; b) 2 D, suponga que v es el vectorunitario que forma un ángulo � con el eje X positivo y v = [Cos�; Sen�]; entonces si existe

el limite l��mt!0

F ((a; b) + t(cos�; sen�))� F (a; b)

tse denomina derivada direccional de F en

(a; b) en dirección �

Ejemplo 2.8.2 Hallar la derivada direccional de F (x; y) = 2x2+3y2 en cualquier punto,en la dirección indicada por el ángulo �v = [cos�; sen�]

luego@F

@v(a; b) = l��m

t!0

F ((a; b) + t(Cos�; Sen�))� F (a; b)

t

= l��mt!0

F (a+ tcos�; b+ tsen�)� F (a; b)

t

= l��mt!0

2(a+ tcos�)2 + 3(b+ tsen�)2 � 2a2 � 2b2t

= l��mt!0

2a2 + 4at cos � + 2t2 cos2 � + 3b2 + 6btsen� + 3t2sen2� � 2a2 � 2b2t

= l��mt!0

4at cos � + 2t2 cos2 � + 6btsen� + 3t2sen2�

t= l��m

t!04a cos � + 2t cos2 � + 6bsen� + 3tsen2�

= 4a cos � + 6bsen�

Teorema 2.8.1 Si F es es un campo escalar de D � Rn en R y � es una función deI � R en R, tal que �(t) = F (a+ tv) para a 2 D y v un vector unitario de Rn, entonces�0(t) existe si y solo si F 0(a+ tv : v) existe y ademas �0(t) = F 0(a+ tv; v) (En particular�0(0) = F 0(a; v)

Demostración. Como � es una función de variable real y valor real, entonces

�0(t) = l��mh!0

�(t+ h)� �(t)

h

Page 101: Calculo vectorial

2.8. DERIVADAS DIRECCIONALES 93

ademas �(t) = F (a+ tv

luego �0(t) = l��mh!0

F (a+ (t+ h)v)� F (a+ tv)

h

= l��mh!0

F (a+ tv + hv)� F (a+ tv)

h= F 0(a+ tv; v)si t = 0, �0(t) = F 0(a; v)

Un campo escalar F de D � Rn en R, es derivable en a 2 D si existe la derivadadireccional F 0(a; v) para todo vector v de Rn

Ejemplo 2.8.3 Hallar la derivada direccional de F (x; y) =

8<:xy2

x2 + y4si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0; 0)en el origen, en cualquier dirección.Sea v = [v1; v2] un vector unitario cualquiera, aplicando el teorema

�(t) = F ((0; 0) + t(v1; v2)) = F (tv1; tv2) =t3v1v

22

t2v21 + t4v42=

tv1v22

v21 + t2v42

entonces F 0((0; 0);v) =v22v1

para todo v por lo tanto F es derivable en el origen.

Se puede veri�car como ejercicio que el campo escalar F no es continuo en el origen,lo cual nos permite asegurar que en varias variables para que una función sea derivable nonecesariamente debe ser continua.

Teorema 2.8.2 Teorema del valor medio para campos escalares. Sean F :D � Rn ! Run campo escalar a y b elementos de D, tal que , [a; b] � D y v es un vector unitario deRn en direcci�on b� a, si F es continuo en [a; b] y tiene derivadas direccionales en (a; b) endirecci�on v, entonces existe � (0 < � < 1) tal que F (a + hv) � F (a) = F 0(a + �hv; v)h,donde h = k[a; b]k. Nota : [a; b] es el segmento de recta que une a a y b

Demostración. Sea � una función de [0; h] en R tal que �(t) = F (x0 + tv)Vemos que � es continua en [0; h] ya que F lo es en [a; b]

Ademas �(t) = l��mh!0

�(t+ h)� �(t)

h

= l��mh!0

F (a+ (t+ h)v)� F (a+ tv)

h

= l��mh!0

F (a+ tv + hv)� F (a+ tv)

h

=@F

@v(a+ tv)

de modo que para t 2 (0; 1) �0(t) existe y es igual a la derivada direccional de Fena+ tv 2 (a; b)en dirección v, aplicando el teorema del valor medio a la función �

Page 102: Calculo vectorial

94 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

existe � 2 (0; 1) tal que �0(�h) = �(h)� �(0)

ho sea F (a+ hv)� F (a) = F 0(a+ �hv; v)h

Propiedad 2.8.1 Si F y G son campos escalares de U � Rn en R tales que@F

@v(a) y

@G

@v(a) existen en dirección de un vector unitario v de Rn entonces

(i)@(F�G)@v

(a) =@F

@v(a)�@G

@v(a)

(ii)@(kF )

@v(a) = k

@F

@v(a) k 2 R

(iii)@(F �G)@v

(a) =@F

@v(a) �G(a)+F (a) � @G

@v(a)

(iv)@

@v

�F

G

�=

@F

@v(a) �G(a)+F (a) � @G

@v(a)

G2(a)

Demostración. (i) Por de�nición@(F�G)@v

(a) = l��mt!0

(F �G)(x0 + tv)� (F �G)(x0)

t

= l��mt!0

F (a+ tv)�G(a+ tv)� F (a)�G(a)

t

= l��mt!0

F (a+ tv)� F (a)

t� = l��m

h!0

G(a+ tv)�G(a)

t

=@F

@v(a)�@G

@v(a)

Si F es un campo escalar de D � Rn en R y a 2 D y ei es un vector de la base canonica

de Rn entonces al limite l��mt!0

F (a+ tei)� F (a)

tsi existe, se denominara derivada parcial de

F en a con respecto a la variable xi.

Notaci�on: F 0(a; ei);@F

@xi(a)de Jacobi; Fi(a); DiF (a)de Cauchy; Fxi(x0).

A partir de las funciones componentes de F ,@F

@xi(a) =

�@Fk@xi

(a)

�8k = 1; 2; :::;m

Page 103: Calculo vectorial

2.8. DERIVADAS DIRECCIONALES 95

Leonhard Euler y Jean Le Ron D�Alembert8 publicarón varios articulos sobre la teoríade las derivadas parciales

Ejercicios sección 2.8

1. Utilizando la de�nición hallar la derivada direccional del campo escalar F en el puntop, en dirección v

a) F (x; y) = 2x+ 3y, p = (1; 1), v = [1;�1]b) F (x; y) = x2 + xy, p = (1; 0), v = [3; 4]

c) F (x; y; z) = xy + yz + xz, p = (0; 1;�1), v = [1; 2; 2; ]

2. Hallar la derivada direccional del campo escalar F en el punto p, en dirección v.

a) F (x; y) = (2x+ 3y)3, p = (1; 1), v = [�1; 1]b) F (x; y) = sen(xy), p = (�=41; �=4), v = [4; 3]

c) F (x; y) =pxyz, p = (1; 0; 1), v = [2;�2; 1]

3. Encuentre la derivada direccional del campo escalar F en el punto p ; en direcciónal punto q

a) F (x; y) = 2x� 7y + 1 ; p = (0; 0) ; q = (1; 1)b) F (x; y) = x2 � 2xy + 5y2 ; p = (�1; 2) : q = (3; 5)c) F (x; y; z) = xy + xz + yz ; p(0; 1; 2) ; q = (3;�1; 4)

8

Jean le Rond d�Alembert (1717-1783), matemático, �lósofo y enciclope-dista francés. Nació en París y era hijo natural de la escritora francesaClaudine Guérin de Tencin; y fue abandonado de niño en las escaleras dela iglesia de Saint Jean le Rond, de donde proviene su nombre. Estudióen la escuela Mazarin, donde se distinguió en matemáticas, física y as-tronomía. A la edad de 22 años escribió su primer libro: Memoria sobreel cálculo integral (1739). Su trabajo cientí�co más importante, Tratado dedinámica (1743), marca una época en la ciencia de la mecánica, ya queenuncia la teoría conocida como el principio de D�Alembert, que descubrióa los 26 años que dice lo siguiente: el resultado de las fuerzas ejercidassobre un sistema es equivalente a la fuerza efectiva sobre todo el sistema.

Su obra Re�exiones sobre la causa general de los vientos (1746) contiene el primer concepto del cálculode ecuaciones en derivadas parciales. En 1749 propuso la primera solución analítica de la precesión delos equinoccios. En 1751 se asoció con el enciclopedista francés Denis Diderot para editar la gran Enci-clopedia francesa. Aunque abandonó la redacción en 1758 debido a las presiones gubernamentales sobre lapublicación, D�Alembert continuó trabajando en artículos de ciencia y �losofía.

Page 104: Calculo vectorial

96 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. Halle la derivada direccional del campo escalar F , en el punto p, en la direcciónindicada por �

a) F (x; y) = x2y3 + 2x4y ; p = (1; 2) y � = �=3

b) F (x; y) = (x2 � y)3 ; p = (3; 1) y � = 3�=4

c) F (x; y) =xy2

x2 + y2p = (0; 0) y � = �=4

5. Hallar la derivada direccional de la función vectorial dada en el punto p, en direcciónv.

a) F (x; y) = (x2y3; 2x4y) p = (1;�2) v =�35; 45

�b) F (x; y) = (exSeny; exCosy) p = (1; �

4) v =

��1p5; 2p

5

�c) F (x; y; z) =

�xy+ y

z;pxyz�p = (4; 2; 1) v = (1; 1;�1)

6. Determine si el campo escalar F es derivable en el origen

a) F (x; y) =pxy

b) F (x; y) =�x+ y si x = 0 o y = 01 en otra parte

c) F (x; y) =

8<:12xy

x2 + y2si (x; y) 6= (0; 0)

0 en otra parte

7. Encuentre (si existe) un campo escalar F tal que F 0(a;v) > 0

a) Para a �jo y v cualquiera.

b) Para a cualquiera y v �jo.

8. Utilizando un CAS represente geometricamente las derivadas direccionales de uncampo escalar.

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPITULO 2PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO

Determine si el enunciado es verdadero o falso, justi�cando su respuesta.

1. Si f es una función real-vectorial de�nida en a entonces f 0(a) es tangente a la grá�cade f en a.

Page 105: Calculo vectorial

2.8. DERIVADAS DIRECCIONALES 97

2. Una curva C es suave si esta determinada por una función de variable real y valorvectorial f derivable en todo su dominio.

3. Si f es diferenciable, kfk es diferenciable.

4. La integral de una función f real-vectorial es un vector.

5. Las funciones coordenadas de un campo escalar son funciones de variable real y valorreal.

6. No es posible componer dos campos escalares.

7. La grá�ca de una función vectorial F de R2 en R3 es un conjunto de vectores en R5

8. Si el límite de un campo escalar F existe en el origen utilizando coordenadas polares,entonces el límite de F existe en el origen.

9. Si un campo escalar F posee derivadas parciales en un punto a entonces F es continuoen a.

10. Si un campo escalar F posee derivada direccional en un punto a en todas las direc-ciones, entonces F es derivable en a.

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA

1. Sea F una función de valor vectorial que representa la curva intersección entre lassuper�cies z = xy y x2 + y2 = 4, entonces es correcto a�rmar que:

A. F (t) =�t;p4� t2; t

p4� t2

�B. F (t) =

�t;�

p4� t2;�t

p4� t2

�C.

F (t) = [cos t; sent; cos tsent] D. F (t) = [2 cos t; 2sent; 2sen(2t)]

2. La grá�ca de la función vectorial F (t) = [e�t cos t; e�tsent; e�t] se encuentra en:

A. Una esfera B. Un cono C. Un paraboloide D. En un hiperboloide

3. Para el campo escalar F (r; �) =Cos(2�)

r2es correcto a�rmar que sus curvas de nivel

son:

a)

A. Cardiodes B. Lemniscatas C. Espirales E. Círculos

4. El campo escalar F (x; y) = x+ y es inyectivo en el siguiente dominio.

Page 106: Calculo vectorial

98 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

A. R2 B. x2 + y2 � 1 C. y = x D. y � x

5. El valor de k para el cual el campo escalar F (x; y) =

((x+ y)sen

1

xsen 1

ysi (x; y) 6= (0; 0)

k si (x; y) = (0; 0)es continuo en (0; 0), es:

A. 0 B. 1 C. 1 D.Ninguno

6. Para que el campo escalar F (x; y) =

8<:(x+ y)2

x2 + y2si (x; y) 6= (0; 0)

k si (x; y) = (0; 0)sea continuo en

(0; 0); es correcto a�rmar que:

A. k = 0 B. k = 1 C. k = 2 D. No existe ningun k

7. Para el campo escalar F (x; y) =

( x

ysi y 6= 0

0 si y = 0se puede a�rmar que en (0; 1)

A. El límite a lo largo de y = x es igual a 1 B. El límite a lo largo de y = x+1es igual a 0.

C. El límite en coordenadas polares es igual a cot � D. El límite a lo largo dex = (y � 1)2 es igual a -2

8. Para el campo escalar F (x; y) = 3pxy es correcto a�rmar que en el origen (0; 0):

A. es derivable B. Fx = Fy C. Fx es continua D.Fy es continua

9. La derivada direccional de F (x; y) = 2x2 + 3y2 en el punto (a; b) en dirección dadapor un ángulo � (formado con el eje x) es:

A. 4a� B. 6b� C.4a� + 6b� D.4a cos � + 6b cos �

10. La derivada direccional de F (x; y; z) = x2 + 2y2 + 3z2 en el punto P (1;�1; 0) endirección al punto Q(2; 1; 2) es igual a:

A. 0 B. 2 C. �2 D. 6

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE CON MULTIPLE RESPUESTA

Si 1 y 2 son correctas marque A Si 2 y 3 son correctas marque BSi 3 y 4 son correctas marque C Si 2 y 4 son correctas marque DSi 1 y 3 son correctas marque E

Page 107: Calculo vectorial

2.8. DERIVADAS DIRECCIONALES 99

1. Para una función real-vectorial f constante se puede a�rmar que

1. Dominio es R 2 Rango es Rm 3. Su grá�ca es un punto 4. Es inyec-tiva.

A. B. C. D. E.

2. Si la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio está determinada porf(t) = (4t; 3 cos t; 3sent), es correcto a�rmar que:

1. d(t) = (2t2; 3sent;�3sent) es su posición. 2. v(t) = (4;�3sent; 3 cos t)es su velocidad

3. a(t) = (4; 3 cos t; 3 cos t) es su aceleración 4. k = 5 es su rápidezA. B. C. D. E.

3. Para el campo escalar F (x; y) = xy se puede a�rmar que:

1. F (x; y) = F (y; x) 2. F (�x;�y) = �F (x; y) 3. F (x;�y) = 1

F (x; y)4.

F (�x; y) = �F (x; y)A. B. C. D. E.

4. Si F (x; y) = Ln(xy) entonces es correcto a�rmar que:

1. Las curvas de nivel de F son hipérbolas. 2. La grá�ca de F es una super�ciede revolución

3. Dominio de F es D = f(x; y) 2 R2jxy > 0g 4. Rango de F es E = fz 2Rjz > 0g.

A. B. C. D. E.

5. Si F (xy; x=y) = x2 � y2 es correcto a�rmar que:

1. F (0; 0) = 0 2. F (1; 1) = 0 3. F (1;�1) = 2 4. F (2; 1) = 3A. B. C. D. E.

6. Para el campo escalar F (x; y) = (x + y)sen1

xsen

1

yes correcto a�rmar que en el

punto (0; 0)

1. El límite no existe 2. Los límites iterados no existen3. El límite es igual a in�nito 4. El límite existeA. B. C. D. E.

7. Para el campo escalar F (x; y) =

( y

x3 + 1si x 6= 1

0 en otra partees correcto a�rmar que

en el punto (1; 0)

Page 108: Calculo vectorial

100 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1. F No tiene límite 2. Existen las derivadas parciales de F3. Existe la derivada direccional de F en todas las direcciones 4. F es continuoA. B. C. D. E.

8. Para el campo vectorial F (x; y) = [ex; ln y] se puede a�rmar que:

1. Dominio es R2 2. Rango es R2 3. es inyectivo 4. F (0; e) = [1; 1]A. B. C. D. E.

9. Si F (x; y) =R yx

p1 + t3dt es correcto a�rmar que:

1. Fxy = Fyx 2. Fxx+Fyy = 0 3. Fxx = �3x2

2p1 + x3

4. Fyy = �3y2

2p1 + y3

A. B. C. D. E.

10. Si F es un campo escalar de R2 en R, entonces su derivada direccional puede estardeterminada por:

1. Un número real 2. Un vector de R2 3. Una super�cie 4. Una rectatangente.

A. B. C. D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS

1. Hallar el punto de corte de f(t) =�et; 2sen

�t+ 1

2��; t2 � 2

�y g(t) = [u; 2; u2 � 3],

y el àngulo de intersección.

2. Para la función f real-vectorial de R en R3, calcular f 0 y f 00

a) f(t) = a+ tb

b) f(t) = a+ tb+ t2c

3. Hallar una función real-vectorial f de R en R3 que satisfaga las siguientes condi-ciones: f 00(t) = c, f 0(0) = b, f(0) = a para todo t real

4. Para el campo escalar dado determine dominio, rango y grá�ca.

a) F (x; y) = xy

b) F (x; y) =px�py

c) F (x; y) = e�x2�y2

5. Sean x, y positivas y sea T el triángulo de vértices (0; y), (x; 0), (�x; 0). Se representacon F (x; y) el perímetro de dicho triángulo.

Page 109: Calculo vectorial

2.8. DERIVADAS DIRECCIONALES 101

a) Gra�car el triángulo T

b) Hallar una fórmula para F (x; y)

c) Gra�car la curva de nivel para F (x; y) = 2

6. Determine si es posible rede�nir el campo escalar dado en el origen para que seacontinuo alli.

a) F (x; y) = (x2 + y2)Ln(x2 + y2)

b) F (x; y) =x2 + y2

xy

c) F (x; y) =xs����x+ y

x� y

����7. Para el campo escalar determine dominio, rango e identi�que las super�cies de nivel

a) F (x; y; z) =z

x2 + y2

b) F (x; y; z) =z2 � 1x2 + y2

c) F (x; y; z) =z2 + 1

x2 + y2

8. Demostrar que si un objeto se mueve con rapidez constante, sus vectores velocidady aceleración son ortogonales.

9. Demuestre que si l��mx!a

F (x) = L, para F : D � Rn ! R, entonces

a) l��mx!a(F (x))2 = L2

b) l��mx!a

pjF (x; y)j =

pjLj

10. Para que valor(es) de n, el límite dado existe

a) l��m(x;y)!(0;0)

xn

x2 + y2

b) l��m(x;y)!(0;0)

xn + yn

xy

11. Determine si los campos escalares dados son derivables en el origen.

a) F (x; y) = 3pxy

Page 110: Calculo vectorial

102 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

b) F (x; y) =�x+ y si x = 0 o y = 01 en otra parte

c) F (x; y) =

( x

ysi y 6= 0

0 si y = 0

12. Hallar la derivada direccional de F (x; y) = Ax2 + Bxy + Cy2 en (a; b) en direcciónal punto (b; a) si

a) a > b

b) b > a

PROBLEMAS

1. Un balón de voleibol es golpeado cuando está a 4 pies sobre el suelo y a 12 pies deuna red que tiene 6 pies de altura. Deja el punto de impacto con una rapidez inicialde 35 pies/s y un ángulo de 270o , sin ser tocado por el equipo contrario.

a) ¿Cual es la máxima altura alcanzada por el balón?

b) ¿A que distancia (horizontal) se encuentra el balón del punto donde tocara elsuelo?

c) ¿En que momento se encuentra el balón a la altura de la red?Sugerencia: Utilice la ecuación vectorial para el lanzamiento de un proyectilideal desde el punto (x0; y0), R =

�x0 + (v0 cos�)t; (y0sen�)t� 1

2gt2�y g = 32

2. La trayectoria que sigue un balón de futbol cuando el portero saca de meta está de-terminada por F (t) = [(25 cos �

9)t; (25sen�

9)t� 2;5t2], donde t está dada en segundos

y la trayectoria en metros.

a) ¿Cuándo tocará el balón el piso?

b) ¿En que instante el balón alcanzará la máxima altura?

c) ¿Que rápidez lleva el balón a los 3 segundos?

3. En los juegos olimpicos de Beiging el sloveno Primoz Kozmus lanzo un martillo de7;2 Kg. con un ángulo de 450 con respecto a el suelo, alcanzando una distancia de82;02 m y obtuvo la medalla de oro, determine:

a) Velocidad inicial del lanzamiento.

b) Máxima altura alcanzada por el martillo.

Page 111: Calculo vectorial

2.8. DERIVADAS DIRECCIONALES 103

4. En el instante t = 0 una partícula sale despedida de la super�cie x2 + 3y2 + 4z2 = 7por el punto (0; 1; 1), en una dirección normal a la super�cie a una velocidad de 5unidades por segundo. ¿En que instante atraviesa la esfera x2 + y2 + z2 = 130?

5. Supongamos que nos encontramos en un estadio y el publico esta haciendo la ola.Esta consiste en que el publico se pone de pie y se sienta de manera tal que seforma una ola que se desplaza dando vuelta al estadio. Supongamos que H(x; t) =5 + cos(0; 5x � t) determina la altura (en pies) sobre el nivel del piso, de la cabezadel espectador del asiento número x en el tiempo t segundos.

a) Explicar el signi�cado de H(x; 5) en términos de la ola y encuentre el periodo.

b) Explicar el signi�cado de H(2; t) en términos de la ola y encuentre el periodo.

c) Encontrar la rapidez de la ola.

d) Evalué e interprete@H

@x(2; 5) en términos de la ola.

e) Evalué e interprete@H

@t(2; 5) en términos de la ola.

6. Una cuerda de guitarra que vibra se tensa a lo largo del eje x, entre x = 0 y x = �.,si el campo escalar Z = F (x; t) = cos tsenx, determina el desplazamiento en untiempo t, de un punto x de la cuerda:

a) ¿Que representan las funciones F (x; 0) y F (x; 1)?

b) F (x; 0) representa el desplazamiento de toda la cuerda en el tiempo t = 0, oseano hay desplazamiento.

c) F (x; 1) representa el desplazamiento de toda la cuerda en el tiempo t = 1:

d) ¿Que representan las funciones F (0; t) y F (1; t)?

7. Se estima que el número de ejercicios que realiza diariamente los alumnos de un cursode cálculo vectorial está dado por el campo escalar F (x; y) = 30

px+ y+40

px� 1�

58py + 1 donde x determina el número de alumnos juicios y y determina el número

de alumnos desjuiciados. En la actualidad el curso consta de 14 alumnos juiciosos y8 desjuiciados. Estime a que razón se estan realizando diariamente los ejercicios sise retira un alumno desjuiciado y llega un alumno juicioso.

Page 112: Calculo vectorial

104 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Page 113: Calculo vectorial

CAPÍTULO 3

DIFERENCIABILIDAD

Busca a tu complementarioque marcha siempre contigoy suele ser tu contrarioANTONIO MACHADO

"Proverbios y cantares XVI"

105

Page 114: Calculo vectorial

106 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

3.1. La diferencial

A partir de los anteriores cursos de cálculo sabemos que toda función f de I � Ren R que sea derivable en un punto a 2 I es continua en a, para funciones de variasvariables esta a�rmación no siempre es cierta.Una manera de justi�car el concepto dediferenciabilidad para funciones de variable real y valor real es la siguiente: Una funciónf de I � R en R es diferenciable en a 2 I si existe una constante A tal que f(a + h) =

f(a) + Ah + r(h) donde r es una función tal que l��mh!0

r(h)

h= 0 entonces despejando A

obtenemos A =f(a+ h) = f(a)

h� r(h)

hy aplicando límite cuando h ! 0 A = f 0(a) por

lo tanto f(a+ h) = f(a) + f 0(a)h+ r(h).

La siguiente grá�ca determina la interpretación geométrica de la diferencial

La ecuación de la recta tangente a la grá�ca de f en a es igual a y = f 0(a)(x�a)+f(a)y su imagen en a+ h es f 0(a)h+ f(a) por lo tanto r(h) = f(a+ h)� f 0(a)� f(a), vemosque r(h) es la distancia entre la recta tangente y la curva en el punto a + h y a medidaque h tiende a cero el residuo r(h) tiende a cero, esto garantiza que la curva es suave encercanias de a.Consideremos ahora un campo escalar F de de D � Rn en R y (a; b) 2 D, generalizan-

do la de�nición anterior diremos que F es diferenciable en (a; b) si existen A y B constantes

tales que F ((a; b)+(v1; v2)) = F (a; b)+Av1+Bv2+R(v1; v2) donde l��m(v1;v2)!(0;0)

R(v1; v2)

k(v1; v2)k= 0

y v = [v1; v2] es un vector de R2, veamos cuales son las constantes A y B.

Haciendo v = [v1; 0],R(v1; 0)

v1=F (a+ v1; b)� F (a; b)

v1� A y aplicando lìmite cuando

v1 tienede a cero A =@F

@x(a; b)

de igual manera ahora sea v = [0; v2],R(0; v2)

v2=F (a; b+ v2)� F (a; b)

v2�B y aplicando

lìmite cuando v2 tienede a cero B =@F

@y(a; b)

Page 115: Calculo vectorial

3.1. LA DIFERENCIAL 107

Concluimos que una condición necesaria para que un campo escalar F sea diferenciableen un punto (a; b) es que existan sus derivadas parciales en ese punto, sin embargo estacondición no es su�ciente como veremos más adelane, y F ((a; b) + (v1; v2)) = F (a; b) +@F

@x(a; b)v1 +

@F

@y(a; b)v2 +R(v1; v2).

Geometricamente ahora la función está representada por una super�cie y a medida quenos acercamos a un punto donde la función es diferenciable la super�cie se parece más aun plano. Sea S una super�cie de ecuación z = F (x; y) donde F posee primeras derivadasparciales continuas en (a; b) y sea P (a; b; c) un punto de S. Sean C1 la intersección de Sy con el plano x = a, y C2 la intersección de S con el plano y = b: Las curvas C1 y C2pasan por el punto P y tienen por tangentes a las rectas T1 y T2 entonces si existe unplano tangente a la super�cie S en el punto P contiene a las rectas T1 y T2, o sea si Ces cualquier otra curva sobre la super�cie S que pasa por P , entonces la tangente a C enP esta contenida en el plano tangente a S en P , luego el plano tangente a S en P estaformado por todas las tangentes en P a curvas contenidas en S y que pasan por P . Por lotanto, el plano tangente a S en P es el plano que mejor aproxima a la super�cie S es unentorno del punto P .Supongamos que F tiene derivadas parciales continuas, la ecuación del plano tangente

a la super�cie z = F (x; y) en el punto P (a; b; c) es z = F (a; b) + Fx(a; b)(x � a) +Fy(a; b) La función lineal cuya grá�ca es este plano tangente, es decir L(x; y) = F (a; b)+Fx(a; b)(x � a) + Fy(a; b) se denomina linealización de F en (a; b) y la aproximaciónF (x; y) � F (a; b) +Fx(a; b)(x� a) +Fy(a; b) se llama aproximación lineal o aproximacióndel plano tangente de F en (a; b)

Ejemplo 3.1.1 Hallar la ecuación del plano tangente a la super�cie z = x2 � y2 en elpunto (2; 1; 3)Si F (x; y) = x2 � y2 entoncesFx(x; y) = 2x Fy(x; y) = �2yFx(2; 1) = 4 Fy(2; 1) = �2Entonces la ecuación del plano tangente en (2; 1; 3) es z � 3 = 4(x� 2)� 2(y � 1)

Page 116: Calculo vectorial

108 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

luego z = 4x� 2y � 3

La linealización de F en (2; 1) es L(x; y) = 4x� 2y � 3 y es una buena aproximaciónde F (x; y)cuando (x; y) está cerca de (2; 1) y la aproximación lineal es F (x; y) � 4x� 2y � 3en el punto (2;1; 0;9) la aproximación lineal es F (2;1; 0;99) � 4(2;1)�2(0;99)�3 = 3;42que es muy cercana al valor verdadero de F (2;1; 0;99) = (2;1)2 � (0;99)2 = 3;4299

Como toda función f de I � R en R que sea derivable en un punto a 2 I es continua ena y puede ser aproximada en un entorno de amediante una función lineal, para una funciónde varias variables F deD � Rn enRm que posea todas las derivadas direccionales F 0(a;v)para todo v, no podemos asegurar que sea continua en a, debido a esto necesitamos de unconcepto que implique la continuidad y la existencia de las derivadas, dicho concepto sedenomina LADIFERENCIAL y F puede ser aproximada en un entorno de a,B(a; �) � D,tal que si B(a; �) � D para todo vector v 2 Rn, kvk < � de modo que (a+ v) 2 B(a; �).Un campo escalar F de D � Rn en R, se dice que es diferenciable en a 2 D; si existe

una transformaci�on lineal Ta(v) de Rn en R y un campo escalar E : de Rn en R , talesque F (a+v) = F (a)+Ta(v)+E(a;v) para jjvjj < � de manera que E(a;v)! 0 cuandokvk ! 0.Nota: Ta es llamada la diferencial de F en a

Teorema 3.1.1 Si F es una función vectorial de D � Rn en Rm diferenciable en a, si ysolamente si sus funciones coordenadas Fk(campos escalares) son diferenciables en a.

Teorema 3.1.2 Si F es un campo escalar de D � Rn en Rm diferenciable en a condiferencial Ta entonces existe la derivada F 0(a;v), para todo v 2 Rn y Ta(v) = F�(a;v)

Demostración. Veamos que l��mt!0

F (a+ tv)� F (a)

t= F 0(a;v) existe para todo a y es

igual a Ta(v)

Page 117: Calculo vectorial

3.1. LA DIFERENCIAL 109

Como F es diferenciable en a para todo w 2 Rn con kwk <2entonces F (a+w) = F (a) + Ta(w) + E(w) con l��m

kwk!0E(w)jjwjj = 0

Sea v 2 Rn(i) Si v = 0 entonces F 0(a;0) = Ta(0) = 0

(ii) Si v 6= 0 sea w = tv con jtj < 2kvk

entoncesF (a+ tv) = F (a) + Ta(tv) + E(tv)= F (a) + tTa(v) + E(tv)

luegoF (a+ tv)� F (a)

t= Ta(v) +

E(tv)

taplicando limite cuando t tiende a cero

l��mt!0

F (a+ tv)� F (a)

t= l��m

t!0

�Ta(v) +

E(tv)

t

�= Ta(v) 6= 0

Teorema 3.1.3 Si F es diferenciable en a con diferencial Ta entonces F es continuo ena

Teorema 3.1.4 Si F es diferenciable en a con diferencial Ta entonces F es derivable ena (existe F 0(a;v) para todo v 2 Rn unitario)

Ejemplo 3.1.2 Veri�car que el campo escalar F (x; y) =px2 + y2 no es diferenciable en

el origen.consideremos el vector v = [v1; v2] unitarioaplicando el teorema�(t) = F ((0; 0) + t [v1; v2])= F (tv1; tv2) =

pt2(V 2

1 + V 22 ) = jtj

concluimos que � no es derivable en el origenpor lo tanto F no es diferenciable en el origen.

Teorema 3.1.5 Si existen las derivadas parciales@F

@xken una cierta bola B(a; �) y son

continuas en a entonces F es diferenciable en a

Teorema 3.1.6 Si F es un campo escalar de D � R2 en Rdiferenciable entonces @2F

@x@y=

@2F

@y@x

Propiedad 3.1.1 Si F y G son campos escalares de D1; D2 � Rn en R diferenciables ena entonces(1) F �G es diferenciable en a(2) kF es diferenciable en a(3) FG es diferenciable en a

(4)F

Ges diferenciable en a

Page 118: Calculo vectorial

110 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

Todo campo escalar polinomial es diferenciable en Rn.

Ejemplo 3.1.3 El campo escalar F (x; y) =2x+ 3y

x2` + y2 + 1es diferenciable en todo R2, pues

es el cociente de dos funciones polinomiales y ademas el denominador es siempre diferentese cero.

Si z = F (x; y) es un campo escalar de R2 en R y suponga que x cambia de a aa +4x y y cambia de b a b +4y;entonces el correspondiente incremento de z es 4z =F ( a+4x; b+4y)�F (a; b), luego.4z representa el cambio en el valor de F cuando (x; y)cambia de (a; b) a ( a+4x; b+4y).

Si z = F (x; y) es un campo escalar de R2 en R que posee derivadas parciales continuasen D entonces si (a; b) es un punto interior de D 4F = F ( a+4x; b+4y)� F (a; b) �Fx(a; b)4x+Fy(a; b)4 y luego F ( a+4x; b+4y) � F (a; b)+Fx(a; b)4x+Fy(a; b)4 y

Si z = F (x; y) es un campo escalar de R2 en R y 4x y 4y son los incrementos dex y y respectivamente entonces las diferenciales de x y y son dx = 4x y dy = 4y y ladiferencial total de z es igual a dz = Fx(a; b)4 x+ Fy(a; b)4 y

Si z = F (x; y), entonces F es diferenciable en (a; b) si 4z se puede exprezar en laforma 4z = Fx(a; b) 4 x + Fy(a; b) 4 y + �1 4 x + �2 4 y donde �1, �2 ! 0 cuando(4x;4y)! (0; 0)

Si z = F (x) es un campo escalar de U � Rn en R diferenciable en x0 2 U , entonces4z =

nPi=1

@F

@xi(x0)4 xi +

nPi=1

Ei4 xi donde Ei ! 0 cuando 4xi ! 0

Ejemplo 3.1.4 Si z = 3x2+2y2 y (x; y) cambia de (1; 2) a (1;1; 1;95) compare los valoresde 4z y dz.

dz =@z

@xdx+

@z

@ydy = 6xdx+ 4ydy

si x = 1, dx = 4x = 0;1, y = 2, dy = 4y = �0;05entonces dz = 6(1)(0;1) + 4(2)(�0;05) = 0;2el incremento de z es 4z = F (1;1; 1;95)� F (1; 2)= 0;235se puede ver que 4z � dz pero es más facíl calcular dz

Page 119: Calculo vectorial

3.1. LA DIFERENCIAL 111

Ejemplo 3.1.5 El radio y la altura de un cilindro miden 8 cm y 20 cm respectivamente,pero hay un error en la medición de máximo 0;1 cm estime el error máximo en el calculodel volumen.El volumen de un cilindro de radio r y altura h es igual a V = �r2h

La diferencial de V es dV =@V

@rdr +

@V

@hdh = 2�rhdr + �r2dh

como cada error es de máximo 0;1 cm, j4rj � 1 y j4hj � 1si r = 8, h = 20, dr = 1 y dh = 0;1entonces dV = 2�(8)(20)(0;1) + �(8)2(0;1) = 38;4� cm3 es el error máximo en el

calculo del volumen.

Sea F : D � Rn ! R un campo escalar de�nido en un conjunto abierto D, se dice queF es homogéneo de grado � (real) si F (tx) = t�F (x) para todo x 2 D, para todo t > 0.

Ejemplo 3.1.6 El campo escalar F (x; y) = 2x3 + 5xy2 � y3 es homogéneo de grado 3.F (tx; ty) = 2(tx)3 + 5(tx)(ty)2 � (ty)3 = 2t3x3 + 5t3xy2 � t3y3

= t3(2x3 + 5xy2 � y3) = t3F (x; y)

Teorema 3.1.7 de Euler1 para funciones homogéneas. Sea F : D � Rn ! R un campoescalar homogéneo de grado � de�nido en un conjunto abierto D de Rn. Sea a un puntono nulo de D y sea v =

a

kak un vector unitario en dirección de a entonces si la derivada

direccional F 0(a;v) existe: F 0(a;v) =�

kakF (a).

Demostración. Utilizando la de�nición de derivada direccional

F 0(a;v) = l��mt!0

F (a+ tv)� F (a)

t

= l��mt!0

F

�a+ t

a

kak

�� F (a)

t

1

Leonhard Euler (nombre completo, Leonhard Paul Euler) nació el 15 de abril de1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo,Rusia. Fue un respetado matemático y físico, y está considerado como el principalmatemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes des-cubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. Tambiénintrodujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particular-mente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de funciónmatemática.[1] También se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica,óptica y astronomía. Euler ha sido uno de los matemáticos más prolí�cos, y se calcu-la que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.[2] Una

a�rmación atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la in�uencia de Euler en los matemáticos posteriores:«Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.

Page 120: Calculo vectorial

112 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

= l��mt!0

F

�kak+ t

kak a

�� F (a)

tcomo F es homogéneo de grado �

F

�kak+ t

kak a

�=

�kak+ t

kak a

��F (a)

luego F 0(a;v) = F 0(a;v) = l��mt!0

�kak+ t

kak a

��F (a)� F (a)

t

= F (a)l��mt!0

�kak+ t

kak a

��� 1

t= F (a)

kak

Corolario 3.1.1 Sea F : D � Rn ! R un campo escalar homogéneo de grado � de�nidoen un conjunto abierto D de Rn.entonces

nPi=1

xi@F

@xi(x) = �F (x).

Ejercicios sección 3.1

1. Para cada uno de los campos escalares en el punto dado, uilice la de�nición dediferenciabilidad para exprezar el residuo.

a) F (x; y) = 3xy, p(2; 5)

b) F (x; y) =x+ 2

y � 3 , p(�1; 2)

c) F (x; y) = lnx+ ln y, p(2; 3)

2. Determine la ecuación del plano tangente a la super�cie en el punto dado.

a) z = xy, p(1; 1; 1)

b) z = x ln y, p(2; 1; 0)

c) z = cos(x� 2y), p(2; 1; 1)

3. Encuentre la aproximación lineal del campo escalar F en el origen y utilicela paraaproximar F (0;05;�0;2).

a) F (x; y) = x2 + y2 + 3

b) F (x; y) =x+ 2

y + 3

c) F (x; y) = ex cos y

Page 121: Calculo vectorial

3.1. LA DIFERENCIAL 113

4. Muestre que los campos escalares dados son diferenciables en su dominio.

a) F (x; y) =xypx2 + y2

b) F (x; y) = e�(x2+y2)

c) F (x; y) = Ln(1 + x2 + y2)

5. Muestre que las funciones vectoriales dadas son diferenciables en su dominio.

a) F (x; y) = [x2 + 3xy + y2;px+ y]

b) F (x; y) = [xseny; y cosx; tan xy]

c) F (x; y) =�ex+2y; ln(x+ y);

x

y

�6. Demuestre que los campos escalares dados no son diferenciables en el origen

a) F (x; y) =

8<:xypx2+y2

si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0;0)

b) F (x; y) =

8<:xy3

x3 + y3si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0;0)

c) F (x; y) =

8<:xy(x2 � y2)

x2 + y2si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0;0)

7. Determine si el campo escalar dado es homogéneo.

a) F (x; y) = exy

b) F (x; y) =x2y

x2 + y2

c) F (x; y) = x tan y

8. El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 12 cm y 25 cmrespectivamente, si hay un error en la mediciòn de 0;1 cm en cada medida, utilizandodiferenciales estime el error en el calculo del volumen del cono.

9. La siguiente tabla registra la velocidad de un ventilador de un disposiivo de aire

acondicionado en terminos de la humedad y la temperatura ambiente.

hnt 10 20 300;25 35 53 680;50 25 42 570;75 18 27 34

determine una aproximación lineal a la función velocidad para h = 50 y t = 10, yestime la velocidad cuando h = 55 y t = 12:

Page 122: Calculo vectorial

114 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

10. Utilizando un CAS construya una funciòn que permita hallar la diferencial total deun campo escalar dado.

3.2. Gradiente

Si F es un campo escalar de U � Rn en R diferenciable en a 2 U entonces el vector

rF (a) =�@F

@xi(a)

�si existe se denomina gradiente de F en a.

Ejemplo 3.2.1 Encontrar el gradiente del campo escalar F (x; y; z) = sen(x + 2y + 3z)en el punto (0; �=2; �=3).Hallamos las primeras derivadas parciales de F en (0; �=2; �=3),@F

@x(x; y; z) = cos(x+ 2y + 3z) = cos(0 + � + �) = cos(2�) = 1;

@F

@y(x; y; z) = 2cos(x+ 2y + 3z) = 2cos(0 + � + �) = 2cos(2�) = 2

@F

@z(x; y; z) = 3cos(x+ 2y + 3z) = 3 cos 0 + � + �) = 3cos(2�) = 3

luego rF (0; �=2; �=3) = [1; 2; 3]

Propiedad 3.2.1 Si F y G son campos escalares de D1; D2 � Rn en R diferenciables ena 2 D1 \D2 entonces:(i) r(F �G)(a) = rF (a)�rG(a)(ii) r(kF )(a) = krF (a), (k 2 R)(iii)r(FG)(a) = rF (a)G(a) + F (a)rG(a)(iv) rF

G(a) =

rF (a)G(a)� F (a)rG(a)(G(a))2

si G(a) 6= 0

Ejemplo 3.2.2 Un campo escalar F de U � R2 en R, diferenciable en (2;�1) poseederivadas direccionales iguales a 3 en dirección al punto (3;�1) e igual a �2 en direcciónal punto (2;�2). Hallar la derivada direccional de F en (2;�1) en direcciòn al punto [3; 0]Primero determinamos el gradiente de F en (2;�1Construimos los vectores directores de las derivadasv1 = [(3;�1)� (2;�1)] = [1; 0]entonces F 0((2;�1); [1; 0]) = 3 = @F

@x(2;�1)

ahora v2 = [(3;�1)� (2;�1)] = [0;�1]entonces F 0((2;�1); [0;�1]) = �2 = �@F

@x(2;�1)

por lo tanto rF (2;�1) = [3; 2]Ahora construimos el vector director v3v3 = [(3; 0)� (2;�1)] = [1; 1]lo hacemos unitario, dividiendolo por su norma

Page 123: Calculo vectorial

3.2. GRADIENTE 115

entonces como F es diferenciable en [2;�1]

F 0

(2;�1);

p2

2;

p2

2

!!= [3; 2] �

p2

2;

p2

2

!=5p2

2

Teorema 3.2.1 Si F es un campo escalar de D � Rn en R diferenciable en a 2 D y ves un vector unitario de Rn, entonces F 0(a;v) = rF (a) � v

Demostración. Por de�nición F�(a;v) = Ta(v). Y como T es una transformación lineal,entonces F 0(a;v) = Ta(v1e1 + v2e2 + :::+ vnen)= Ta(v1e1) + Tx0(v2e2) + :::+ Tx0(vnen)= v1Ta(e1) + v2Ta(e2) + :::+ vnTa(en)= (v1; v2; :::; vn) � (Ta(e1); Ta(e2); :::; Ta(en))

= (v1; v2; :::; vn) ��@F

@x1(a);

@F

@x2(a); :::;

@F

@xn(a)

�= v� rF (a) = rF (a) � v

Gra�ca gradiente

Teorema 3.2.2 Si F es un campo escalar de D � Rn en R diferenciable en a 2 Dentonces F 0(a;v) = krF (a)k cos � donde � es el ángulo entre rF (a) y el vector v

Ejemplo 3.2.3 Hallar la derivada direccional de F (x; y) = e�x cos y en el punto (1; 0) endirección [1; 1]

Como el vector [1; 1] no es unitario lo dividimos por su norma, v =�1p2;1p2

�Aplicando el teorema F 0

�(1; 0);

�1p2;1p2

��= rF (1; 0) �

�1p2;1p2

�rF (x; y) = [�e�x cos y;�e�xseny] = [�e�1;�e�1]

luego F 0�(1; 0);

�1p2;1p2

��= [�e�1;�e�1] �

�1p2;1p2

�= �2e

�1p2

Teorema 3.2.3 Si F es un campo escalar de D � R2 en R diferenciable en (a; b) yrF (a; b) 6= 0 entonces rF (a; b) es ortogonal a la curva de nivel de F que pasa por (a; b).

Page 124: Calculo vectorial

116 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

Teorema 3.2.4 del valor medio. Si F es un campo escalar diferenciable en cada puntodel segmento ab entonces existe c punto del segmento tal que F (b)�F (a) = rF (c)(b�a)

Algunas de las aplicaciones interesantes de cálculo diferencial sobre campos escalaresdiferenciables a partir del gradiente son las variaciones máximas y/o mínimas en un puntodado,y la ecuación de la recta normal y del plano tangente a una super�cie.

Propiedad 3.2.2 Derivadas direccionales máximas y mínimas. Si F es un campo escalarde D � Rn en R, y a 2 D, entonces la derivada direccional F 0(a; v) es :(i) M�axima si v tiene la misma direcci�on del rF (a) y su valor es krF (a)k(ii) Minima si v tiene la misma direcci�on de �rF (a) y su valor es �krF (a)k(iii) Nula si v y rF (a) son ortogonales

Alexis Claude Clairautl 2

Ejemplo 3.2.4 La temperatura en un punto (x; y) de una lamina esta dada por T (x; y) =x

x2 + y2desde el punto (1; 2), en que dirección crece la temperatura más rápidamente? A

que ritmo se produce este crecimiento ?Hallamos el gradiente de T en (1; 2)

rT (x; y) =�y2 � x2

(x2 + y2)2;

2xy

(x2 + y2)2

�rT (1; 2) =

�3

25;4

25

�la dirección de mayor crecimiento en (1; 2) es

�3

25;4

25

�y la razón de mayor crecimiento es

� 325 ; 425� = 1

2

Alexis Claude Clairault(también conocido como Clairault, a secas) (* 3 de mayode 1713 - y 17 de mayo de 1765) fue un matemático francés. nacido en París, dondesu padre era profesor de matemáticas, fue considerado un niño prodigio. A los 12años escribió un desarrollo sobre cuatro curvas geométricas,y llegó a alcanzar talprogreso en el tema (bajo la tutela de su padre), que a la edad de 13 años leyó antela Academia francesa un resumen de las propiedades de las cuatro curvas que habíadescubierto. Tres años más tarde, completó un tratado sobre curvas de doble cur-vatura, Recherches sur les courbes a double courbure, que la valió su admisión a laAcademia de Ciencias Francesa tras su publicación en 1731, a pesar de que aún nocontaba con la mínima edad legal de 18 años para ser admitido. En 1739 y 1740,Clairaut publicó más trabajos sobre el cálculo integral, en particular sobre la existen-

cia de factores integrantes para la resolver ecuaciones diferenciales de primer orden (un tema que interesótambién a Johann Bernoulli y Reyneau). Concretamente, en 1740 publica su obra Sobre la integración ola construcción de las ecuacio-nes diferenciales de primer orden, donde introduce, independientemente deLeonhard Euler (1707-1783), el uso del factor integrante.

Page 125: Calculo vectorial

3.2. GRADIENTE 117

Si S es una super�cie de R3 de�nida implicitamente por un campo escalar F de D �R3 en R, diferenciable en a 2 D, entonces rF (a) es ortogonal a S en a y rF (a) �[(x; y; z) � x0] = 0 determina la ecuación del plano tangente a S en a y [x; y; z] =a+ trF (a) determina la ecuaci�on vectorial de la recta normal a S en a.

Ejemplo 3.2.5 Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la super�ciedeterminada por z = x2 + y2 en el punto (2; 1; 5).Llevamos la ecuación de la super�cie a la forma implicita F (x; y; z) = x2 + y2 � zCalculamos la normal del plano tangente a S (gradiente de F )rF (x; y; z) = [2x; 2y;�1] en el punto rF (2; 1; 5) = [4; 2;�1]entonces [4; 2;�1] � [x� 2; y � 1; z � 5] = 04x+ 2y � z = 5 determina la ecuación del plano tangentey [x; y; z] = [2; 1; 5] + t [4; 2;�1] es la ecuación vectorial de la recta normal

Ejercicios.secciòn 3.2.

1. Hallar el gradiente del campo escalar F en el punto P

a) F (x; y) = x2y2 ; P = (2; 3)

b) F (x; y) = 3pxy ; P (3; 5)

c) F (x; y; z) = Tan(x� y + z) ; P = (�; �; �)

2. Hallar la derivada direccional del campo escalar dado en el punto P en dirección v

a) F (x; y) = e2x�3y, P = (1;�1) y v = [3; 4]b) F (x; y) = x4 + 2xy2 + y3, P = (0; 2) y v = [�1; 1]c) F (x; y; z) =

pxyz, P = (1;�1; 1) y v = [1; 2; 3]

3. Para el campo escalar F (x; y) = x2 + y2 determine los puntos (x; y) 2 R2 donde elgradiente de F :

a) Forma un ángulo de �/4 con el vector U = [1; 1]

b) Tenga la misma direccion del vector U = [�3;�4]c) Sea perpendicular al vector U = [�1; 1]

4. Encuentre la razón de cambio máxima de F en P y la dirección en que esta ocurre.

a) F (x; y) = e2x+3y ; P = (0; 0)

b) F (x; y) = xx + yy ; P = (1; 1)

c) F (x; y; z) = ArcTanpx+ y + z ; P = (1; 1; 1)

Page 126: Calculo vectorial

118 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

5. Halle la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la super�cie dada en elpunto P

a) z = xy P = (1; 2; 2)

b) z = (x2 + y2)e�(x2+y2) P = (0; 0; 0)

c) z =px+ y P = (2; 2; 2)

6. Sea F es un campo escalar de D � R2 en R, diferenciable en P . Suponga que@F

@x(P ) = 3 y

@F

@y(P ) = 2 , en que dirección:.

a)@F

@v(P ) = 1

b)@F

@v(P ) = �1

c)@F

@v(P ) = 0

7. Determine los puntos del elipsoide (x � 1)2 + 2(y � 2)2 + 3(z + 1)2 = 6 donde susplanos tangentes son paralelos al plano xy

8. Una esfera con centro (1; 2; 1) pasa por el origen. Halle la ecuación del plano tangentea esta esfera en el origen.

9. Demuestre que el plano tangente al hiperboloide x2+y2�z2 = 1 en el punto (a; b; 0)es igual a ax+ by = 1

10. Determine la intersección entre el eje Z y el plano tangente a la super�cie z = ex+y

en el punto (1;�1; 1)

11. Determine los puntos de la super�cie z = x4�4xy3+6y2�2 donde el plano tangentees horizontal.

12. Si F (x; y) = x2 � y2, utilice el gradiente rF (2; 1) para determinar la ecuación de larecta tangente a la curva de nivel F (2; 1) = 3 en el punto (2; 1). Gra�que la curvade nivel, la recta tangente y el gradiente.

13. Un pajaro carpintero está contruyendo su nido en un árbol a una altura de 4 m.Si desde alli vuela en dirección al punto (1; 0; 4) su temperatura aumenta a razónde 20 por m, si vuela en dirección al punto (0;�1; 4) su temperatura no cambia, sivuela en dirección al punto (0; 0; 3) su temperatura disminuye a razón de 30 por m.¿A que razón cambia su temperatura cuando vuela en dirección al punto (�1; 1; 5)?.Considere el árbol como el eje z y su base el origen (0; 0; 0).

14. Utilizando un CAS gra�que algunas curvas de nivel de un campo escalar dado yalgunos gradientes.

Page 127: Calculo vectorial

3.3. REGLA DE LA CADENA 119

3.3. Regla de la cadena

La regla de la cadena para funciones de variable real y valor real tratadas en losanteriores cursos de cálculo permite derivar una función compuesa, para funciones devarias variables primero consideraremos las funciones vectoriales ya que en estas funcionesfue posible determinar la compuesta, luego consideraremos la regla de la cadena paracamos escalares.

Si F es una función vectorial de D � Rn en Rm diferenciable en a 2 D; entonces lamatriz3 JF (a) = [rFk(a)] se denomina matriz jacobiana de F en a. Las �las de la matrizjacobiana de una función vectorial F estan determinadas por los gradientes sus funcionescomponentes Fk:Si m = 1 la matriz jacobiana es igual al gradiente.

Teorema 3.3.1 Si F es una función vectorial de D � Rn en Rm diferenciable en a 2 Dy G es una función vectorial de U * � Rm en Rp diferenciable en F (a) 2 D�; entoncesGoF es diferenciable en a y ademas J(GoF )(a) = JG(F (a))JF (a).:Nota : D*=F (D)

Ejemplo 3.3.1 Determine la matriz jacobiana de la función vectorial F (x,y) = [x2y3,5x3 � 2y4]en p = (2; 3)

JF (x; y) =

�2xy3 3x2y2

15x2 �8y3�

JF (2; 3) =

�2(2)(3)3 3(2)2(3)2

15(2)2 �8(3)3�=

�108 32460 �216

3

Arthur Cayley (Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 - Cambridge,26 de enero de 1895) fue un matemático británico. Es uno de los fundadores dela escuela británica moderna de matemáticas puras. Además de su predilecciónpor las matemáticas, también era un ávido lector de novelas, le gustaba pintar,apasionado de la botánica y de la naturaleza en general, y a�cionado al alpinismo.Fue educado en el Trinity College de Cambridge. Estudio durante algún tiempola carrera de leyes con lo que trabajó de abogado durante 14 años, a la vez quepublicaba un gran número de artículos. Luego pasó a ser profesor en Cambridge.Fue el primero que introdujo la multiplicación de las matrices. Es el autor delteorema de Cayley-Hamilton que dice que cualquier matriz cuadrada es soluciónde su polinomio característico. Dio la primera de�nición moderna de la noción

de grupo. Recibió la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882. En combinatoria, su nombreestá unido a la fórmula nn - 2 que enumera los árboles decorados con n picos. Se llama a veces octavasde Cayley o números de Cayley a los octoniones. Es el tercer matemático más proli�co de la historia,sobrepasado tan solo por Euler y Cauchy, con aportaciones a amplias áreas de la matemática. Cayley esautor de una colección de artículos suyos llamado Çollecterd Mathematica Papers of Cayley", que contiene966 artículos en trece grandes volúmenes.

Page 128: Calculo vectorial

120 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

Ejemplo 3.3.2 Comprobar la regla de la cadena para GoF , si F (x; y) = [xseny; ysenx]y G(u; v) = [2u� 3v; eu�v; uv] :Hallamos primero la matriz jacobiana de GoFGoF (x; y) = G(F (x; y)) = G( xseny; ysenx) = [2xseny � 3ysenx; exseny�ysenx; xysenxseny]

JGoF (x; y) =

24 2seny � 3y cosx 2x cos y � 3senx(seny + y cosx)exseny�ysenx (x cos y � senx)exseny�ysenx

ysenxseny + xy cosxseny xsenxseny + xysenx cos y

35hallamos ahora las matrices jacobianas de G y de F respectivamente

JG(u; v) =

24 2 �3eu�v �eu�vv u

35JG(F (x; y)) = JG(xseny; ysenx) =

24 2 �3exseny�ysenx �exseny�ysenxysenxv xseny

35JF (x; y) =

�seny x cos yy cosx senx

�JG(F (x; y)) � JF (x; y) =

=

24 2 �3exseny�ysenx �exseny�ysenxysenxv xseny

35� seny x cos yy cosx senx

�=

24 2seny � 3y cosx 2x cos y � 3senx(seny + y cosx)exseny�ysenx (x cos y � senx)exseny�ysenx

ysenxseny + xy cosxseny xsenxseny + xysenx cos y

35

Teorema 3.3.2 Si F es un campo escalar de D � Rn en R diferenciable en x 2 D y

si xi = Gi(y) son campos escalares de Ei � Rm en R que poseen deivadas parciales@Gi

@yj

entonces@F

@yj=

nPi=1

@F

@xi

@Gi

@yjpara j = 1; 2; :::;m

Ejemplo 3.3.3 Dados F (x; y) = senx cos y, x = s2t y y = st2, hallar@F

@sy@F

@t.

Aplicando la regla de la cadena@F

@s=@F

@x

@x

@s+@F

@y

@y

@s= CosxCosy(2st)� SenxSeny(t2)

@F

@t=@F

@x

@x

@t+@F

@y

@y

@t= CosxCosy(s2)� SenxSeny(st)

Ejemplo 3.3.4 Dado F (x; y) = x2 + xy. supongamos que no sabemos x(u; v) y y(u; v),

pero sabemos que x(1; 2) = 3, y(1; 3) = �2, @x@u(1; 2) = �1, y @y

@u(1; 2) = 5:entonces

podemos usar la regla de la cadena para calcular@f

@u(1; 2):

Necesitaremos saber@F

@xy@F

@yen el punto (x(1; 2); y(1; 2)) = (3;�2):

@F

@x(3;�2) = (2)(3) + (�2) = 4

Page 129: Calculo vectorial

3.3. REGLA DE LA CADENA 121

@F

@y(3;�2) = 3

Ahora empleamos la regla de la cadena:@F

@u=@F

@x

@x

@u+@F

@y

@y

@u= (4)(�1) + (3)(5) = 11

Ejemplo 3.3.5 Dado F (x; y) = f(x2 + y; 3xy), donde f es un campo escalar de R2 en Rdiferenciable. Si rf(2; 3) = [5; 4] hallar la dirección demayor crecimiento de F en (1; 1).La dirección de mayor crecimiento es la del gradiente unitario de FUtiliando la regla de la cadena hallamos el gradiente de F@F

@x(1; 1) = D1f(2; 3)2x+D2f(2; 3)3y = (5)2 + (4)3 = 10 + 12 = 22

@F

@y(1; 1) = D1f(2; 3)1 +D2f(2; 3)3x = (5)1 + (4)3 = 17

entonces rF (1; 1) =[22; 17]luego v =

[22; 17]

k[22; 17]k

Ejemplo 3.3.6 En un triángulo rectangulo un cateto crece a razón de 2 cm/min y elotro cateto decrece a razón de 1 cm/min. Hallar la variación de la hipotenusa cuando loscatetos miden 10 cm y 12 cm respectivamente.Consideremos el teorema de Pitagorash2 = c21 + c22 con c1 = 10, c2 = 12 entonces h =

p244 � 15;62

Aplicando la regla de la cadena 2h@h

@t= 2c1

@c1@t+ 2c2

@c2@t

con@c1@t

= 2 y@c2@t

= �1

entonces@h

@t=

1

15;62((10)(2) + (12)(�1)) = 0;51 cm=m��n

Teorema 3.3.3 Sean F es un campo escalar de D � Rn en R diferenciable en a 2 D yC una curva de Rn parametrizada por medio de �. Si �0(t) existe y es diferente de ceropara todo t de I, entonces F 0(a;T(t0)) determina la derivada direccional de F a lo largode C y es igual a F 0(a;T(t0)) = rF (a) � T(t0). Nota: �(t0) = a

Ejemplo 3.3.7 Hallar la derivada direccional de F (x; y) = 2x2y + 3xy2 a lo largo del

circulo unitario en el punto

p2

2;�p2

2

!:

Parametrizamos el circulo x2 + y2 = 1 de la siguiente manerax = Cost ; y = Sent , �(t) =[Cost; Sent]luego ��(t) = [�Sent; Cost]�0(t) es unitario, por lo tanto �0(t) = T (t)

para t = ��4,�(t) = p y T

���4

�=

�p2

2;

p2

2

!

Page 130: Calculo vectorial

122 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

hallamos ahora el gradiente de F en

p2

2;�p2

2

!rF (x; y) = [4xy + 3y2; 2x2 + 6xy]

rF p

2

2;�p2

2

!=

��12;�2

�luegoF 0

p2

2;�p2

2

!;

�p2

2;

p2

2

!!

=

��12;�2

��"�p2

2;

p2

2

#= �3

p2

4

Ejercicios.sección 3.3.

1. Determine la matriz jacobiana de la función vectorial dada, en el punto p.

a) F (x,y) = (Sen(x+ y); xex+y; x+ y), p = (1;�1)

b) F (x,y) =�xy ,

1

x,y � x

x+ y

�, p = (1; 1)

c) F (x; y; z) = [xy; yz; zx], p = (1; 1; 1)

2. Determinar un campo vectorialG de D � R2 en R2 cuya matriz jacobiana en a 2 D,sea la matriz dada. si JF (a) =

�a bc d

�.

a) JG (a) =�2a 2b3c 3d

�b) JG (a) =

�a+ 3c b+ 3bc� a d� b

�c) JG(a)=

�4a+ 5 4b� 12a+ c+ 3 a+ c� 10

�3. Determine la matriz jacobiana del campo vectorial dado, en el origen, si f1 y f2 soncampos escalares de R2 en R diferenciables

a) F (x; y) = (x+ f1(x; y); y + f2(x; y))

b) F (x; y) =�ef1(x;y); ef2(x;y)

�c) F (x; y) = (f1(x; y)f2(x; y); xy)

4. Comprobar la regla de la cadena para FoG si F (x; y; z) = (xy; z) y G(u; v) =(u2v; uv2; 4u)

Page 131: Calculo vectorial

3.3. REGLA DE LA CADENA 123

5. Sea F (x ,y) = [ex+2y; sen(y + 2); 2x] y G(u; v; w) = [u+ 2v2 + 3w3; 2v � u2]

a) Calcular las matrices jacobianas de F y G

b) Calcular la funci�on compuesta H(u; v;,w) = F (G(u; v; w))

c) Calcular la matriz jacobiana de H en (1;�1; 1)

6. Describa como son los campos vectoriales F : Rn ! Rn , cuya matriz jacobiana entodo punto a 2 Rn es una matriz diagonal.

7. Sea F : Rn ) Rn un campo vectorial tal que F (x) = x , x 2 Rn. Demuestre que lamatriz jacobiana de F en cualquier punto A es la matriz identica.

8. Utilice la regla de la cadena para hallar@z

@sy@z

@tsi:

a) z = xey ; x = st ; y = st

b) z = SenxCosy ; x = (s+ t)2 ; y = (s� t)2

c) z = Tan(x+ y) ; x =pst ; y = s2t

9. La siguiente tabla lista valores de una funcion F (x; y) y sus derivadas parciales, dadox(u; v) = uv y y(u; v) = u+ v2: Encuentre las siguientes derivadas parciales en los

puntos indicados:

(x; y) F (x; y)@F

@x

@F

@y(1; 1) �3 �2 2(1; 2) 5 1 1(2; 1) 2 0 7(2; 5) �1 2 3(2; 3) 11 1 �1(3; 2) 2 1 0

a)@F

@uen (u; v) = (1; 2)

b)@F

@ven (u; v) = (2; 1)

10. Hallar la derivada direccional de F a lo largo de la curva C en el punto P

a) F (x; y) = x2 � y2 ; C : y = ex ; P = (0; 1)

b) F (x; y) = e2x+3y ; C : x2 + y2 = 1 P =

p2

2;�p2

2

!c) F (x; y; z) = (x+ 2y + 3z)2 ; C : �(t) = (Cost; Sent; t) ; P = (0; 1; �=2)

Page 132: Calculo vectorial

124 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

11. Suponga que F es un campo escalar y C1(y = x2), C2(y = x3) dos curvas tales queF 0((1; 1);C1) =

p5 ; F 0((1; 1);C2) =

p10 , hallar la derivada direccional de F en

(1; 1) a lo largo de la curva dada.

a) y =px

b) y =1

x

c) y = 2x�1

12. En un cilindro circular recto el radio crece a razón de 3 cm/min y la altura crece arazón de 2 cm/min. Hallar la variación del volumen cuando el radio mide 8 cm y laaltura 9 cm.

13. A que razón cambia el volumen de una caja rectangular cuando se incrementa suancho de 6cm a una razón de 2 cm/min, se incrementa su longitud de 10 cm/min auna razón de 3 cm/min y decrece su altura de 8 cm a una razón de 1 cm/min.

14. El radio de un cono circular recto crece a razón de 5 cm/min y el volumen decrecea razón de 3 cm/min. Hallar la variación de la altura del cono cuando el radio mide7 cm y el volumen es igual a 30 cm3

15. Un automovil A viaja en dirección norte por una carretera a 120 Km/hora, otroautomovil viaja en dirección oeste por una carretera a 90 km/hora, los automovilesse acercan al cruce de estas dos carreteras, a que razón cambia la distancia entre losdos autos cuando estan a 0.5 Km y 0.4 Km respectivamente del cruce.

16. Hallar la derivada direccional de F (x; y; z) = e�x�2y�3z en el punto P = (0; 1;p2)

a lo largo de la curva intersecci�on entre x2 + y2 = z2 � 1, y = 1

a) Parametrizando la curva intersecci�on

b) Sin parametrizar la curva intersecci�on

17. Hallar los puntos (x; y) y las direcciones para que la derivada direccional de F (x; y) =3x2 + y2 sea m�axima , si est�a en el circulo unitario.

18. Utilizando un CAS construya una función para hallar la derivada direccional de uncampo escalar a lo largo de una curva.

Page 133: Calculo vectorial

3.4. FUNCIONES IMPLICITAS 125

3.4. Funciones implicitas

Uno de los temas más importanes en la historia del cálculo es el teorema de la funciónimplicita. En el capitulo anterior la grá�ca de una función y = �(x) se puede ver como unacurva de nivel, correspondiente al nivel cero de un campo escalar z = F (x; y), entonces elnivel cero esta constituido por el conjunto de puntos (x; y) tales que F (x; y) = y��(x) = 0.El reciproco no siempre es cierto, hay casos donde no existe el nivel cero o donde no esposible despejar a y en terminos de x, por ejemplo si F (x; y) = x2+y2+2 no existen puntos(x; y) tales que x2 + y2 = �2 y si consideramos el campo escalar F (x; y) = ax2 + by2 � 1,vemos que no podemos determinar una función y = �(x), claramente se ve que ax2+by2 = 1

de�ne dos funciones y =

p1� ax2

by y = �

p1� ax2

b: Si es posible obtener de manera

local una función y = �(x) de�nida en una vecindad de a tal que b = �(a), signi�ca quedado un punto (a; b) del nivel cero de un campo escalar z = F (x; y) existe una bola abiertade centro (a; b) que contiene la grá�ca de y = �(x). Cuando tal bola y tal función existense dice que la función y = �(x) esta de�nida implicitamente por F (x; y) = 0, se debe tenerademas que F (x; y = �(x)) = 0 para toda x del dominio de �. El teorema de la funciónimplicita4 garantiza la existencia de y = �(x) pero no dice como se halla.

Teorema 3.4.1 Derivación implicita. Si F es un campo escalar de D � R2 en R ysea (a; b) 2 D tal que F (a; b) = 0:Supongamos que F posee primeras derivadas parciales

continuas en alguna bola B de centro (a; b) y que@F

@y(a; b) 6= 0. entonces F (x; y) = 0 se

puede resolver para y en terminos de x y de�nir así una función y = �(x) con dominioen una vecindad de a, tal que b = �(a), la cual tiene derivadas continuas y y0 = �0(x) =

�@F

@x(x; y)

@F

@y(x; y)

4

Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14de noviembre de 1716) fue un �lósofo, matemático, jurista y político alemán,nacido en Leipzig en julio de 1646. Fue uno de los grandes pensadores del sigloXVII y XVIII, y se le reconoce como el "último genio universal". Descubrió elcálculo in�nitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la quese emplea desde entonces. También descubrió el sistema binario, fundamentode virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales. Juntocon René Descartes y Baruch Spinoza, es uno de los tres grandes racionalis-tas del siglo XVII. Su �losofía se enlaza también con la tradición escolásticay anticipa la lógica moderna y la �losofía analítica. Leibniz también hizo con-tribuciones a la tecnología, y anticipó nociones que aparecieron mucho más

tarde en biología, medicina, geología, teoría de la probabilidad, psicología, ingeniería y ciencias de la in-formación. Sus contribuciones a esta vasta lista de temas está desperdigada en diarios y en decenas demiles de cartas y manuscritos no publicados. Hasta el momento, no se ha realizado una edición completade sus escritos, y por ello no es posible aún hacer un recuento integral de sus logros.

Page 134: Calculo vectorial

126 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

Teorema 3.4.2 Derivación implicita generalizado. Si F es un campo escalar de D �Rn en R y sea a 2 D tal queF (a) = 0: Supongamos que F posee primeras derivadas

parciales continuas en alguna bola B de centro a y que@F

@xn(a) 6= 0. entonces F (x) = 0

se puede resolver para xn en terminos de x1; x2; :::; xn�1 y de�nir así una función xn =�(x1; x2; :::; xn�1) con dominio en una vecindad de a, la cual tiene derivadas continuas y

@�

@xi(x1; x2; :::; xn�1) = �

@F

@xi(x1; x2; :::; xn�1)

@F

@xn(x1; x2; :::; xn�1)

(para todo i = 1; 2; :::; n� 1).

Ejemplo 3.4.1 Veri�que que el campo escalar F (x; y) = 2xy+y�4 satisface las hipotesisdel teorema de la función implicita en algún punto p del nivel cero de F .

El nivel cero de F es 2xy + y = 4 una curva en xy que no esta de�nida en x =1

2hallamos ahora las derivadas parciales de F@F

@x(x; y) = 2y y

@F

@y(x; y) = 2x+ 1 son continuas en R2

la derivada del nivel cero@y

@x= �

@F

@x(x; y)

@F

@y(x; y)

= � 2y

2x+ 1en forma implicita

y en forma explicita el nivel cero es y =4

2x+ 1

y su derivada es y0 = � 8

(2x+ 1)2la cual no existe en x =

1

2

Ejemplo 3.4.2 La ecuación1

x+1

y+1

z= 1 de�ne implicitamente a z como función de

x y y, hallar@z

@xy@z

@y

Consideremos a F (x; y; z) =1

x+1

y+1

z= 1

y apliquemos el teorema anterior

luego@z

@x= �

@F

@x@F

@y

= ��1

x21

z2

= �z2

x2

y@z

@y= �

@F

@y@F

@y

= ��1

y21

z2

= �z2

y2

Ejemplo 3.4.3 La ecuación F�xy;

px2 + z2

�= 0 de�ne implicitamente una super�cie

S de R3, si D1F (1; 2) = 3 y D2F (1; 2) = 2, hallar la ecuación del plano tangente y de larecta normal a S en (1; 1; 3).

Page 135: Calculo vectorial

3.4. FUNCIONES IMPLICITAS 127

Ejemplo 3.4.4 Hallamos el gradiente de en F en (1; 1;p3)

@F

@x(1; 1,

p3) = D1F (1; 2)Y +D2F (1; 2)

xpx2 + z2

= (3)1 + (2)12= 3 + 1 = 4

@F

@y(1; 1,

p3) = D1F (1; 2)X +D2F (1; 2)0 = (3)1 + 0 = 3

@F

@Z(1; 1,

p3) = D1F (1; 2)0 +D2F (1; 2)

zpx2 + z2

= (3)0 + (2)

p3

2=p3

Luego la ecuación del plano tangente a S en�1; 1;

p3�es�

4; 3;p3� �x� 1; y � 1; z �

p3�= 0

4x+ 3y +p3z = 10

y la ecuación de la recta normal a S en�1; 1;

p3�es

[x; y; z] =�1; 1;

p3�+ t�4; 3;

p3�

Si F es un campo vectorial de D � Rn en Rn diferenciable para todo a 2 D , ademasF (a) = [b] y JF (a) 6= 0; entonces existe la función inversa del campo vectorial F , F�1

campo vectorial deD� � Rn en Rn diferenciable en F�1(b) 2 D� y JF�1(b) = (JF (a))�1.(F�1oF )(a) = a 2 D y (F oF�1)(b) = b 2 U�

Ejemplo 3.4.5 Hallar la inversa del campo vectorial F (x; y) = [5x; 3y]Hallamos la matriz jacobiana de F

JF (x; y) =

�5 00 3

�y det (JF (x; y)) = 15

luego (JF (x; y))�1 =1

15

�3 00 5

�=

26413 0

01

5

375entonces F�1(x; y) =

hx3;y

5

i

Ejercicios sección 3.4..

1. Veri�que que el campo escalar dado satisface las hipotesis del teorema de la funciónimplicita en algun punto p del nivel cero de F y halle la derivada de la funcióny = f(x) determinada por el nivel cero.

a) F (x; y) = 4x+ 5y � 6b) F (x; y) = x2 + 3y2 + 1

c) F (x; y) = ex + ey � 10

Page 136: Calculo vectorial

128 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

2. La ecuación dada de�ne implicitamente a z como función de x y y . Hallar@z

@xy

@z

@y

a) xy + yz + zx = 5

b) Cos(x+ y) + Cos(y + z) = 1

c) ex+y+z = xyz

3. Para las ecuaciones del numeral anterior halle@2z

@y@xy

@2z

@x@y

4. Suponga que F (x; y) = f(2x + 3y; x � y) donde f : R2 ! R es un campo escalardiferenciable tal que rf(7; 1) = [3; 4].hallar.

a) Gradiente de F en (2; 1)

b) Derivada direccional de F en (2; 1) en dirección [1; 1]

c) Dirección de mayor crecimiento de F en (2; 1)

5. Para el campo escalar del numeral anterios encuentre: Suponga que

a) Ecuación del plano tangente a F en (2; 1). Si F (2; 1) = 3

b) Ecuación de la recta normal a F en (2; 1): Si F (2; 1) = 3

6. Sea w = F (x� y; y � z; z � x) demuestre que@w

@x+@w

@y+@w

@z= 0

7. Las dos ecuaciones x + y = uv y xy = u � v de�nen a x y y como funcionesimpl�icitas de u y v. Halle las primeras derivadas parciales de x y y en funci�on de uy v.

8. Si z = y + F (x; y) y F es diferenciable, demuestre que y@z

@x+ x

@z

@y= x

9. Hallar la función inversa del campo vectorial

a) F (x; y) = (x+ 2y; 2x� y)

b) F (x; y) = (Cos(x+ y); Sen(x� y))

c) F (x; y) = (exCosy; exSeny)

10. Utilizando un CAS construya una funciòn que permita hallar la inversa de un campovectorial.

Page 137: Calculo vectorial

3.5. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 129

3.5. Máximos y mínimos

En esta sección se considerarán máximos y minimos de campos escalares, su estudio essimilar al considerado para funciones de variable real y valor real y tambien se considerala función de Taylor para determinar condiciones su�cienes para que un campo escalartenga extremo local en un punto.

Si F es un campo escalar de D � Rn en R y a 2 D, entonces:(i) F posee un m�aximo relativo o local en a si existe una bola B�(a) � D tal

queF (x) � F (a) 8x 2 B�(a)(ii) F posee un m�inimo relativo o local en a si existe una bola B�(a) � D tal

que F (x) � F (a) 8x 2 B�(a)

Ejemplo 3.5.1 Demostrar que el origen es un punto critico del campo escalar F (x; y) =px2 + y2 y es un mínimo.Utilizando el rango del campo escalarR = fz 2 R; z � 0gvemos que para (0; 0) la imagen es ceroy no existe ninguna pareja (x; y) cuya imagen sea menor que cero

Si F es un campo escalar de D � Rn en R y diferenciable en a 2 D y ademasrF (a) = 0, entonces a es un punto critico o estacionario de F .Si a es punto critico y a no es ni m�aximo ni m�inimo entonces a es llamado punto de

silla.

Ejemplo 3.5.2 Hallar los puntos criticos de F (x; y) = x2 + y2 + 4x� 6yHallamos el gradiente de F@F

@x(x; y) = 2x+ 4 y

@F

@y(x; y) = 2y � 6

igualamos a (0; 0)2x+ 4 = 0, 2y � 6 = 0 entonces x = �2 y y = 3puesto que (x+ 2)2 � 0 y (y � 3)2 � 0 , se tiene que F (x; y) � 13por lo tanto F (�2; 3) = 13 es un mínimo local,y de hecho es el mínimo absoluto de F .

Si F es un campo escalar de D � Rn en R diferenciable en a 2 D y ademas a es un

punto critico de F entonces a la matriz cuadradade orden n H(a) =�@2F

@xi@xj(a)

�se denominara matriz hessiana5 de F en a o hessiano de F en a

5

Page 138: Calculo vectorial

130 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

Teorema 3.5.1 de Taylor de segundo orden para campos escalares. Sea F un campo es-

calar de D � Rn en R , tal que las derivadas parciales de segundo orden@2F

@xi@xjson

continuas en alguna bolaB�(a) 2 D.entonces para todo a 2 Rn tal que a+x 2 B, se tienela f�ormula de Taylor de segundo orden para F en a,

F (a+ x) = F (a) +rF (a)x +12xH(a+ 2 x)xt donde 0 <2< 1

la cual se puede escribir tambien comoF (a + x) = F (a) + rF (a)x + 1

2xH(a)xt + r(x) en donde el residuo r(x) tiene la

propiedad l��mx!0

r(x)

kxk = 0

Ejemplo 3.5.3 Encontrar la fórmula de Taylor de segundo orden para F (x; y) = ysenxalrededor del origen.

F (0; 0) = 0@F

@x(x; y) = y cosx,

@F

@y(x; y) = senx

@2F

@x2(x; y) = �ysenx, @2F

@y@x(x; y) = cosx,

@2F

@y2(x; y) = 0

@F

@x(0; 0) = 0,

@F

@y(0; 0) = 0,

@2F

@x2(0; 0) = 0,

@2F

@y@x(0; 0) = 1,

@2F

@y2(0; 0) = 0

entonces F (x; y) = F (0; 0) +rF (0; 0) [x; y] + 12[x; y]H(0; 0) [x; y]t + r([x; y])

luego F (x; y) =1

2[x; y]

�0 11 0

�[x; y]t + r([x; y]) = xy + r([x; y])

Si a es un punto critico de un campo escalar F entonces la fórmula de Taylor toma la

forma F (a + x) � F (a) =1

2xH(a)xt + r(x), puesto que r(x) tiende a cero, entonces el

signo de F (a+x)�F (a) es el mismo signo de la forma cuadrática xH(a)xt, por lo tantola naturaleza del punto critico la determina el signo de la forma cuadrática.

El hessiano, conocido también como discriminante o matriz hessiana, fueintroducido en el año de 1844 por Hesse, matemático alemán quien nació en1811 y murió en 1874. Esto sucedió luego de que Carl Gustav Jacob Jacobi(1804-1851) introdujera "los jacobianos". Lo que hizo Jacobi con esto fue ex-presar los cambios de variable de las integrales múltiples en términos de estos.Respecto a los detalles biográ�cos de Ludwig Otto Hess se sabe que nació pre-cisamente en Konigsberg, Alemania (aunque actualmente es Rusia) el 22 deabril de 1811. Estudió con Jacobi en su ciudad natal (Konigsberg), donde sedesempeñó primero como maestro de física y química y posteriormente comoprofesor. En 1856 se trasladó a Heidelberg, donde permaneció doce años, antesde tomar un puesto en Munich, donde falleció el 4 de agosto de 1874. Ludwig

Otto Hess se hizo tan famoso por una matriz que introdujo en un artículo de 1842 referido a curvas cúbicasy cuadráticas.

Page 139: Calculo vectorial

3.5. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 131

Propiedad 3.5.1 Condiciones su�cientes para la existencia de extremos locales. Sea Fun campo escalar de D � Rn en R diferenciable en a 2 D y ademas a es punto criticode F entonces :(i) Si la forma cuadratica Q(x) = xH(a)xt es de�nida positiva,entonces F tiene un

m�inimo local en a.(ii) Si la forma cuadratica Q(x) = xH(a)xt es de�nida negativa,entonces F tiene un

m�aximo local en a.

Propiedad 3.5.2 Criterio para la determinación de extremos locales en campos escalaresde R2 en R. Sea F un campo escalar de D � R2 en R diferenciable en a y ademas a esun punto critico de F entonces :(i) F posee un m�aximo en a si j 4H(a)j > 0 y D11F (a) < 0(ii) F posee un m�inimo en a si j 4H(a)j > 0 y D11F (a) > 0(iii) F posee un punto de silla en a si j 4H(a)j < 0(iv) el criterio no decide si j 4H(a)j = 0

Ejemplo 3.5.4 Encontrar e identi�car los puntos criticos del campo escalar F (x; y) =y3 + 3x2y � 3x2 � 3y2 + 2Calculamos primero el gradiente de FrF (x; y) = [6xy � 6x; 3y2 + 3x2 � 6y]lo igualamos al vector cero, entonces6x(y � 1) = 0 tenemos que x = 0 o y = 1reemplazando en la segunda ecuaciónpara x = 0, 3y2 � 6y = 3y(y � 1) = 0,tenemos que y = 0 o y = 1para y = 1, 3 + 3x2 � 6 = 3x2 � 3 = 3(x� 1)(x+ 1) = 0tenemos que x = 1 o x = �1por lo tanto los puntos criticos son (0; 0); (0; 1); (1; 1) y (�1; 1)hallamos ahora la matriz hessiana de F (x; y)

H(x; y) =

�6y � 6 6x6x 6y � 6

�cuyo determinante es jH(x; y)j = (6y � 6)2 � 36x2clasi�camos cada punto critico con el determinantejH(0; 0)j = 36 y D11F (0; 0) = �6 < 0 entonces (0; 0; F (0; 0)) es máximojH(0; 2)j = 36 y D11F (0; 2) = 6 > 0 entonces (0; 2; F (0; 2)) es mínimojH(1; 1)j = �36 entonces (1; 1; F (1; 1)) es punto de sillajH(�1; 1)j = �36 entonces (�1; 1; F (�1; 1)) es punto de silla

Hay casos donde el criterio no decide o el campo escalar posee in�ntos criticos.

Ejemplo 3.5.5 Encontrar e identi�car los puntos criticos del campo escalar F (x; y) =x2y2

calculando el gradiente de F

Page 140: Calculo vectorial

132 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

rF (x; y) = [2xy2; 2x2y]que es igual a (0; 0) en x = 0 o y = 0posee in�nitos criticos todos los puntos de los ejes x, y

la matriz hessiana es igual a H(x; y) =�2y2 4xy4xy 2x2

�cuyo determinante es jH(x; y)j = 4x2y2 � 16x2y2 = �12x2y2el critico (0; 0) no se puede clasi�carpero utilizando el rango se puede ver que F posee alli un mínimo

Ejemplo 3.5.6 Encontrar e identi�car los puntos criticos del campo escalar F (x; y) =senx+ cos y en la región acotada por 0 < x < �; �1 < y < 4calculando el gradiente de FrF (x; y) = [cosx;�seny]que es igual a (0; 0) en x =

2+ n�, y = n� (n 2 Z)

posee in�nitos criticos si no se acota su dominioluego en la región dada los criticos son��2; 0�,��2; ��

la matriz hessiana es igual a H(x; y) =��senx 00 � cos y

�cuyo determinante es (jH(x; y)j =) senx cos yclasi�camos cada punto critico con el determinante���H ��

2; 0���� = �1 y D11F

��2; 0�= �1 < 0, entonces

��2; 0; F

��2; 0��es máximo���H ��

2; ����� = 1 y D11F

��2; 0�= 1 > 0, entonces

��2; 0; F

��2; 0��es mínimo

Para encontrar los valores máximos y mínimos absolutos de un campo escalar F enuna región cerrada y acotada D.

1. Determinar los criticos de F en el interior de D y clasi�carlos con el criterio delhessiano.

2. Determinar los criticos de F en la frontera de D y clasi�carlos utilizando criteriosde una variable.

3. Determinar los máximos y mínimos absolutos.

Ejemplo 3.5.7 Determinar los máximos y mínimos absolutos de F (x; y) = x2 � y2 en laregión triangular de vértices (0; 0), (2; 0) y (0; 2).Primero hallamos el gradiente de FrF (x; y) = [2x; 2y], que se anula en (0; 0)este punto no es interior es fronteraen el lado x = 0, F (0; y) = �y2, está función tiene mínimo en (0; 0)

Page 141: Calculo vectorial

3.5. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 133

en el lado y = 2� x, F (x; 2� x) = 0, está función no tiene criticosy en el lado y = 0, F (x; 0) = x2, está función tiene máximo en (2; 0)por lo tanto el máximo absoluto ocurre en (2; 0)y el mínimo absoluto ocurre en (0; 2)

Page 142: Calculo vectorial

134 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

Ejercicios sección 3.5.

1. Demostrar que el origen es un punto critico del campo escalar dado, y es un mínimo.

a) F (x; y) = jxj+ jyjb) F (x; y) = x2=3 + y2=3

c) F (x; y) = (x2 + y2)e�(x2+y2)

2. Demostrar que los campos escalares no tienen extremos locales.

a) F (x; y) = x3 + 5x+ y3 + 2y

b) F (x; y; z) = ArcTan(x+ 2y + 3z)

c) F (x; y; z) = Ln(x+ 2y + 3z)

3. Encuentre la formula de Taylor del campo escalar F en el origen

a) F (x; y) = sen(2x+ y)

b) F (x; y) = e2x+3y

c) F (x; y) =1

1 + x+ y

4. Determinar si con la informaci�on dada se puede decir si F posee un m�aximo, o unm�inimo, o un punto de silla en (x0; y0)

a) Fxx(x0; y0) = 9 Fyy(x0; y0) = 4 Fxy(x0; y0) = 6

b) Fxx(x0; y0) = �3 Fyy(x0; y0) = �8 Fxy(x0; y0) = 2

5. A parir de las curvas de nivel del campo escalar F

a) F (x; y) = x2 + xy + y2

b) F (x; y) = x3 � 3xy + y3

c) F (x; y) = x4 � x2 + 2x+ y4 � y2

6. Para el campo escalar dado encontrar e identi�car los puntos criticos del campoescalar dado.

a) F (x; y) = xy+1

x+1

y

b) F (x; y) = 3x2y + y3 � 3x2 � 3y2 + 1c) F (x; y) = x4 + y4 � 4xy + 5d) F (x; y) = x3 + y3 + 3y2 � 3x� 9y + 2

Page 143: Calculo vectorial

3.5. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 135

7. Demuestre que el campo escalar F tiene un número in. . . nto de criticos y que elcriterio del hessiano no decide.

a) F (x; y) = x2y2

b) F (x; y) = x2 + 4y2 � 4xy + 2c) F (x; y) = (x� 1)2(y + 4)2

8. Para el campo escalar dado encontrar e identi�car los puntos criticos.

a) F (x; y) = x2 � 2xy + 2y en la región triangular de vértices (0; 0), (1; 1) y (2; 0)b) F (x; y) = x3 + 2xy2 en la región D = f(x; y)j0 � x � 2, 0 � y � 3gc) F (x; y) = 2x2y + 3xy3 en la región acotada por x2 + y2 � 1

9. La base de un acuario de volumen V es metalica y los lados son de vidrio. El costopor unidad de área de la base es el doble de la unidadt de área de vidrio, determinelas dimensiones que minimizan el costo del material utilizado.

10. Una caja rectangular sin tapa se debe construir con 60 cm2 de cartón. Determine elvolumen máximo de la caja.

11. Encuentre las dimensiones de una caja cuyo volumen es 1000 cm3 que tenga lamínima área super�cial.

12. Muestre que (0; 0) es un punto critico de F (x; y) = x2 + kxy + y2 sin importar elvalor de k

13. Determine los valores de k para que el campo escalar F (x; y) = x2 + kxy+ y2 poseaen (0; 0)

a) Un mínimo

b) Un máximo

c) Un punto de silla

14. Sea F (x; y) = ax2� by2 donde a, b 2 R. Determine los valores de a y b de modo queF tenga en el punto (0; 0) un:

a) Máximo

b) Mínimo

c) Punto de silla

15. Utilizando un CAS construya una función que permita clasi�car los puntos criticosde un campo escalar dado.

Page 144: Calculo vectorial

136 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

3.6. Multiplicadores de Lagrange

A diferencia de la sección anterior donde se considerarón métodos para hallar los ex-tremos de un campo escalar en su dominio, ahora consideraremos métodos para encontrarlos extremos de un campo escalar sujeto a unas restricciones. Supongamos que quer-

emos encontrar los extremos de un campo escalar z = F (x; y) cuando sus variables x, yvarían en un conjunto determinado de puntos del plano, que podría ser una curva. Sean Fy G campos escalares de R2 en R,diferenciables, supongamos que F cuando está restringui-da a la curva de nivel C determinada por G(x; y) = c tiene un puno critico en (a; b) yque rG(a; b) 6= (0; 0) entonces existira un número real � tal que rF (a; b) = �rG(a; b),si � 6= 0 signi�ca que las curvas de nivel de F (x; y) y G(x; y) que pasan por (a; b) tienenla misma tangente en (a; b), es decir los vectores rF (a; b) y rG(a; b) son paralelos, ypara cierto valor de � son colineales sobre la curva de nivel. Para encontrar un máximo

o un mínimo de F resolvemos el sistema@F

@x(x; y) = �

@G

@x(x; y),

@F

@y(x; y) = �

@G

@y(x; y) y

G(x; y) = c

Ejemplo 3.6.1 Para una elipse de centro (3; 0) y semiejes de longitudes 1 y 2 (x, yrespectivamente), encontrar los puntos de la elipse más cercanos y más alejados del origen.

La elipse tiene por ecuación (x� 3)2 + y2

4= 1

para un punto (x; y) la distancia al origen está dada porpx2 + y2

por comodidad utilizamos como función la distancia al cuádradoF (x; y) = x2 + y2

la restricción es la elipse, o sea

G(x; y) = (x� 3)2 + y2

4� 1

considerando rF (x; y) = �rG(x; y)obtenemos [2x; 2y] = �

h2x� 6; y

2

iluego 2x = � (2x� 6) y 2y = �

y

2entonces y = 0 o � = 4criticos (4; 0) y (2; 0)por lo tanto la distancia al origen esd(4; 0) = 4 y d(2; 0) = 2está más cerca del origen (2; 0)y está mas lejos del origen (4; 0)

Hay casos donde el critico es uno solo o varios pero con la misma imagen, su clasi�caciónse realiza tomando otro punto de la restricción y comparando las imagenes en la funcióna optimizar. Ademas no todos los problemas son de caracter geometríco.

Page 145: Calculo vectorial

3.6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 137

Ejemplo 3.6.2 Optimizar el producto de dos numéros cuya suma sea igual a 10La función es F (x; y) = xyla restricción es G(x; y) = x+ y � 10considerando rF (x; y) = �rG(x; y)obtenemos [y; x] = �[1; 1]luego 2x = 10, x = 5critico (5; 5), F (5; 5) = 25para saber si es máximo o mínimotomemos otro punto de la restricción(10; 0) con F (10; 0) = 0por lo tanto el producto en (5; 5) es máximo

Supongamos que queremos obtener los extremos del campo escalar F cuando (x; y; z)varía en una super�cie S determinada por un campo escalar G, se reduce a hallar losextremos de una campo escalar con una restricción. La expresión G(x; y; z) = 0 es una

super�cie de nivel (cero) de G y rG(a; b; c) es normal a la supe�cie S en (a; b; c), entonceslos vectores rF (a; b; c) y rG(a; b; c) son linealmente dependientes, entonces existe una

constante � tal que rF (a; b; c) = �rG(a; b; c):

Ejemplo 3.6.3 Hallar la distancia más corta del punto (4; 0; 0) al cono z =px2 + y2

Utilizando multiplicadores de Lagrangeminimizamos la distancia del punto (4; 0; 0) al conoD((x; y; z); (4; 0; 0)) =

p(x� 4)2 + y2 + z2

por comodidad tomamos la distancia al cuadradoF (x; y; z) = (x� 4)2 + y2 + z2 restringuida a el conoG(x; y; z) =

px2 + y2 �z

entonces (2(x� 4); 2y; 2z) = �

�2xpx2+y2

; 2ypx2+y2

;�1�

luego �=�2z = �2px2 + y2

por lo tanto 2(x� 4) = �4x, x = 4

32y = �4y, y = 0z =

q�43

�2+ 0 = 4

3

luego la distancia mínima es

D

��4

3; 0;4

3

�; (0; 0; 0)

�=4p5

3

Supongamos que queremos obtener los extremos del campo escalar F cuando (x; y; z)varía en la curva C intersección entre las super�cies G1 y G2, se reduce a hallar losextremos de una campo escalar con dos restricciones. Las expresiones G1(x; y; z) = 0 yG2(x; y; z) = 0 son super�cies de nivel (cero) de G1 y G2, y rG1(a; b; c) y rG2(a; b; c)son normales a la curva C en (a; b; c), entonces los vectores rF (a; b; c), rG1(a; b; c) y

Page 146: Calculo vectorial

138 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

rG2(a; b; c) se encuentran en el mismo plano (normal aC en (a; b; c)), luego son linealmentedependientes,entonces existen constantes �1 y �2 tales que rF (a; b; c) = �1rG1(a; b; c) +�2rG2(a; b; c)

Propiedad 3.6.1 Multiplicadores de Lagrange (M�aximos y minimos condicionados o Max-imizadores de Lagrange). Si F es un campo escalar de D � Rn en R sujeto a lo más a n-1condiciones Gi campos escalares de D � Rn en R, entonces los m�aximos y/o m�inimos deF sujeto a Gi estan en la soluci�on del sistema

Gi(x1; x2; :::; xn) = 0 (8i = 1; 2; :::; n)rF (x1; x2; :::; xn) =

mPi=1

�irGi(x1; x2; :::; xn): �i es llamado multiplicador de Lagrange

6( �i 2 R )

Ejemplo 3.6.4 Hallar el volumen del máximo paralelepipedo rectangular con tres aristassobre los ejes positivos y uno de sus vértices en el plano 2x+ 3y + 6z = 12Consideremos las dimensiones del paralelepipedo como x, y, zluego V (x; y; z) = xyz es la función a maximizarla restricción es el plano 2x+ 3y + 6z = 12luego G(x; y; z) = 2x+ 3y + 6z � 12considerando rF (x; y; z) = �rG(x; y; z)obtenemos [yz; xz; xy] = �[2; 3; 6]yz = 2� , xz = 3� y xy = 6�

igualando 1 y 2 obtenemos x =3

2y

igualando 2 y 3 obtenemos z =1

2y

reemplazando en la restricción

y =4

3, x = 2 y z =

2

3

por lo tanto V =16

9u3

6

Joseph Louis Lagrange (bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia) (25 deenero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813) fue un matemático, físico y as-trónomo, procedía de una ilustre familia parisiense, que tenía profundo arraigo enCerdeña, y algún rastro de noble linaje italiano. A los diecinueve años de edad,obtuvo fama resolviendo el así llamado problema isoperimétrico, que había descon-certado al mundo matemático durante medio siglo. Comunicó su demostración enuna carta a Euler, el cual se interesó enormemente por la solución, de modoespecial en cuanto concordaba con un resultado que él mismo había hallado.Enrealidad Lagrange no sólo había resuelto un problema, también había inventadoun nuevo método, un nuevo cálculo de variaciones, que sería el tema central dela obra de su vida. Siguió residiendo en Prusia durante veinte años, produciendo

obras de alta distinción, que culminaron en su Mécanique Analytique. Decidió publicarla en Francia, adonde fue llevada a salvo por uno de sus amigos.

Page 147: Calculo vectorial

3.6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 139

Ejercicios sección 3.6.

1. Determinar los puntos máximos y/o mínimos del campo escalar dado con la restric-ción indicada.

a) F (x; y) = 25� x2 � y2 ; x2 + y2 = 4y

b) F (x; y) = xy ; 9x2 + y2 = 4

c) F (x; y) = x2 � y2 ; �x+ 2y = 6

2. Determinar los puntos máximos y/o mínimos del campo escalar dado con la restric-ción indicada.

a) F (x; y; z) = x+ y + z, x2 + y2 + z2 = 1

b) F (x; y; z) = x2y2z2, x2 + y2 + z2 = 1

c) F (x; y; z) = x2 + y2 + z2, +2y + 3z = 6 y x� y � z = �1

3. Determinar los puntos máximos y/o mínimos del campo escalar dado con la restric-ción indicada.

a) F (x; y; z) = x2 + y2 + z2, x+ 2y + 3z = 6 y x+ y + z = 1

b) F (x; y; z) = xyz, x+ y + z = 4 y x� y � z = 3

c) F (x; y; z) = x2+y2+z2+w2, x+y+2z = 1, 2x�z+w = 2 y y+3z+2w = �1

4. Determine los puntos m�as cercanos y m�as alejados del origen de:

a) x2 + y2 + xy = 4

b) (x� 3)2 + (y � 2)2 = 1c) (x� 2)2 + (y � 1)2 + (z � 2)2 = 16

5. Hallar el punto del paraboloide z = x2 + y2 más proximo al punto p = (3; 6; 4):

Page 148: Calculo vectorial

140 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

6. Hallar los puntos de la curva intersección entre las super�cies x2 xy + y2 = 1 yx2 + y2 = 1 que estan m as cerca del origen.

7. Determinar las dimensiones de una lata cilindrica de volumen 1000 cm3 , cuya areasuper�cial sea mínima.

8. Determinar las dimensiones de la caja rectangular de volumen máximo que puedeser inscrita en elelipsoide x2a2 +y2b2 +z2c2 = 1

9. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto (a; b; c) del primer octante yque forma un tetraedro con los planos coordenados, de volumen máximo

10. La ganancia que obtiene un comerciante por la venta de tres productos diferentesx, y y z , de precios U$2, U$1 y U$5 respectivamente es G(x; y; z) = x1=2y1=3z1=6.Determinar cuantas cántidades debe comprar de cada producto para maximizar suganancia si dispone de U$120.

11. Un alumna de economía de la PUJ tiene $60.000 para invertir en galletas y chocolati-nas, las galletas cuestan $200 la unidad y las chocolatinas $300 la unidad. Supongaque la utilidad obtenida por la venta de x galletas y y chocolatinas esta dada porla función de utilidad de Cobb-Douglas U(x; y) = 10x0;6y0;4. ¿Cuántas unidades degalletas y chocolatinas debería comprar la alumna para maximizar la utilidad?

12. Carrefour desea colocar una bodega para abastecer a tres de sus supermercados. Elprimer supermercado (Hayuelos) se sitúa a 8 Km. al oeste del segundo supermercado(Av.19) y este a 6 Km. al norte del tercer supermercado (20 de julio). Los analistas decostos de Carrefour han calculado que sus costos de transporte son proporcionalesal cuadrado de la distancia entre la bodega y los supermercados. Si el segundosupermercado se localiza en el origen del sistema de coordenadas, determinar en quelugar se debe construir la bodega de abastecimiento a �n de minimizar los costos detransporte.

13. Maximizar F (x1;x2; :::; xn) = x1x2:::xn sujeto amPi=1

xi = 1

14. Maximizar F (x1;x2; :::; xn) = x1 + x2 + :::+ xn sujeto am

�i=1xi = 1

15. Utilizando un CAS interpretar geometricamente un campo escalar restringido.

Page 149: Calculo vectorial

3.6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 141

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPITULO 3PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO

Determine si el enunciado es verdadero o falso, justi�cando su respuesta.

1. Si las derivadas parciales mixtas de un campo escalar F en un punto son iguales, elcampo es diferenciable en el punto.

2. Si una función de varias variables posee todas las derivadas en un punto, entonceses diferenciable.

3. El gradiente de un campo escalar en un punto P , es un vector anclado en P -

4. Si el gradiente de un campo escalar F y un vector v tienen igual dirección y sentido,la derivada direccional del campo escalar F en dirección v es máxima.

5. El plano tangente a una super�cie solo hace contacto con la super�cie en un punto

6. Para hallar la derivada direccional de un campo escalar a lo largo de una curva hayque parametrizar la curva.

7. Es posible hallar la inversa de un campo escalar.

8. Si el gradiente de un campo escalar en un punto se anula, el punto es critico

9. Si el determinante de la matriz Hessiana de un campo escalar es igual a cero, elcampo escalar no posee puntos criticos

10. En multiplicadores de Lagrange un campo escalar F de Rn en R posee n-1 restric-ciones.

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA

1. La resistencia R de un alambre es proporcional a su longitud e inversamente pro-

porcional al cudrádo del radio, es decir R = k1

r2Si el error relativo en la medición

de la longitud es 5% y el error relativo en la medición del radio es 10%, entonces elerror relativo en la medición de R en el peor de los casos es:

A. 0;95% B. 0;25% C. 25% D. 50%

2. La diferencial de la función F (t; �) = etsen� es igual a:

A. du = etsen�dt+ et cos �d� B. du = etsen�4t+ et cos �4�C. 4u = etsen�4t+ et cos �4� D. 4u = etsen�4�+ et cos4�+ �14t+ �24�

Page 150: Calculo vectorial

142 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

3. El radio de un cono circular recto aumenta a razón de 1; 8 pulg/seg mientras quesu altura disminuye a razón de 2; 5 pul/seg. La razón de cambio a la que cambia elvolumen del cono cuando el radio es 120 pulg y la altura es 140 pulg es igual a:

A. 8160� B. 40� C. 8000� D. 3200�

4. La máxima razón de cambio de F (x; y) = ln(x2 + y2) en (1; 2) es:

A. ln5 B. 5 C.4

5D.2p5

5

5. El vector tangente a la curva intersección entre el paraboloide z = x2 + y2 y elelipsoide 4x2 + y2 + z2 = 9 en el punto (1; 1; 2) es igual a:

A. [2; 2;�1] B. [8; 2; 4] C. [10; 16; 12] D. [10;�16;�12]

6. La ecuación xz + yz = 1 de�ne implicitamente a z como una función de x y y,entonces es correcto a�rmar que:

A.@2z

@x2=

z

(x+ y)2B.

@2z

@y2= � z

(x+ y)2

C.@2z

@x@y=

2z

(x+ y)2D.

@2z

@y@x=z � xz � yz

(x+ y)3

7. Para que valor de k el campo escalar F (x; y) = y3 + 3x2y � kx2 � ky2 + 2 posee unmáximo en (0; 0), un mínimo en (0; 2) y un punto de silla en (1; 0).

A. k > 0 B. k < 6 C. �3 < k < 3 D. 0 < k < 3

8. El campo escalar F (x; y) = x22 + 3y22 + 2xy + ax + by + c tiene un valor mínimolocal de 15 en (3; 1) cuando:

A. a = 8, b = 12 y c = �39 B.a = 8, b = �12 y c = �15C. a = �8, b = �12 y c = �39 D. a = �8, b = �12 y c = 33

9. Usted debe diseñar una cubeta para fabricar hielo de costo mínimo que contenga12 pulg3 de agua, si la bandeja esta dividida en 12 compartimientos iguales de basecuadráda y el costo del material empleado es de U$1 por pulg2.De que maneraresolveria este problema utilizando multiplicadores de Lagrange.

Page 151: Calculo vectorial

3.6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 143

A. Minimizar F (x; y; z) = xy + 3xz + 7yz sujeto a x = 2y y xyz = 12B. Minimizar F (x; y; z) = xy + 3xz + 7yz sujeto a x = 3y y xyz = 12C. Minimizar F (x; y; z) = xyz sujeto a 2xy + 2xz + 2yz = 12D. Minimizar F (x; y; z) = xyz sujeto a xy + 3xz + 7yz = 12

10. Si se utilizan muliplicadores de Lagrange para hallar la distancia más corta desde elpunto (4; 0; 0) al cono z =

px2 + y2 se debe:

A. Minimizar F (x; y; z) = z �px2 + y2 sujeto a G(x; y; z) = (x� 4)2 + y2 + z2

B. Minimizar F (x; y; z) = (x� 4)2 + y2 + z2 sujeto a G(x; y; z) = z �px2 + y2

C. Minimizar F (x; y; z) = x2 + y2 + z2 sujeto a G(x; y; z) = z �px2 + y2

D. Minimizar F (x; y; z) = z �px2 + y2 sujeto a G(x; y; z) = x2 + y2 + z2

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE CON MULTIPLE RESPUESTA

Si 1 y 2 son correctas marque A Si 2 y 3 son correctas marque BSi 3 y 4 son correctas marque C Si 2 y 4 son correctas marque DSi 1 y 3 son correctas marque E

1. Para el campo escalar F (x; y) =

8<:x3y � xy3

x2 + y2si (x; y) 6= (0; 0)

0 si (x; y) = (0; 0)se puede a�rmar

que:

1. F no es diferenciable en (0; 0) 2. Fxy(0; 0) 6= Fyx(0; 0)3. Fx(0; 0) y Fy(0; 0).no existen 4. F es diferenciable en (0; 0)

A. B. C. D. E.

2. Si F es un campo escalar de R2 en R2 diferenciable en (2;�1) que posee derivadasdireccionales iguales a 3 en dirección al punto (3;�1) y es iguala a �2 en direcciónal punto (2;�2), entonces es correcto a�rmar que:

1. Fx(2; 1) = 3 2. Fy(2; 1) = �23. DvF (2; 1) = 5 si V = [1; 1] 4. �

p13 � DvF (2; 1) �

p13

A. B. C. D. E.

Page 152: Calculo vectorial

144 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

3. Si F es un campo escalar de R3 en R diferenciable entonces:

1. rF (x; y; z) =�@F

@r;@F

@�;@F

@z

�en coordenadas cilindricas

2. rF (x; y; z) =�@F

@�;@F

@�;@F

@�

�en coordenadas esfericas

3. rF (x; y; z) =�@F

@r;1

r

@F

@�;@F

@z

�en coordenadas cilindricas

4. rF (x; y; z) =�@F

@r;1

@F

@�;

1

�sen�

@F

@�

�en coordenadas esfericas

A. B. C. D. E.

4. La temperatura en un punto (x,y,z) esta dada por T (x; y; z) = e�x2�3y2�9z2 . La mayor

razón de incremento en un punto P , se puede determinar:

1. Encontrando el máximo de la función T2. Usando multiplicadores de Lagrange3. Calculando krT (P )k4. Calculando la derivada direccional F 0(P ;W ) donde W = �rT (P ) para � 2 RA. B. C. D. E.

5. Suponga que se sustituyen las coordenadas polares x = r cos �, y = rsen� en elcampo escalar w = F (x; y), entonces:

1.@w

@r= Fx cos � + Fysen� 2.

@w

@�= Fxsen� + Fy cos �

3. Fx = cos �@w

@r� sen�

r

@w

@�4. Fy = sen�

@w

@r� cos s�

r

@w

@�A. B. C. D. E.

6. Para el elipsoide 3x2 + 2y2 + z2 = 9 en el punto p(1; 1; 2)

1. 3x� 2y + 2z = 34 es su plano tangente2. [x; y; z] = [6;�4; 4] + t[1; 1; 2] es su recta normal3. [6;�4; 4] es su vector tangente4. 3x� 2y + 2z = 9 es su plano tangenteA. B. C. D. E.

7. Sean F (x; y) = [cos y + x; ex+y] y G(u; v) = [Ln(uv); senv � u], entonces es correctoa�rmar que:

1. JF (x; y) =�

1 ex+y

�seny ex+y

�2. JFoG(u; v) =

"sen(senv � u) +

1

u� cos vsen(senv � u) +

1

vvesenv�u � uvesenv�u uesenv�u + uv cos vesenv�u

#

3. JG(u; v) =

" 1u

1

v1 cos v

#4.JGoF (x; y) =

24 ex+y

cos y + x

�senyex+ycos y + x

ex+y cos(ex+y) + 1 ex+y cos(ex+y) + seny

35A. B. C. D. E.

Page 153: Calculo vectorial

3.6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 145

8. Las ecuaciones x+y = uv y xy = u�v de�nen implícitamente a x y y como funcionesde u y v, entonces:

1.@y

@u=vy � 1y � x

2.@y

@v=

y � x

u y � 1 3.@x

@v=ux+ 1

x� y4.@x

@u=

x� y

xv � 1A. B. C. D. E.

9. Para el campo escalar F (x; y) = x2 + xy2 + y4 se puede a�rmar que:

1. Posee punto de silla en (0; 0) 2. No tiene puntos críticos3. El criterio del hessiano no decide 4. Posee mínimo en (0; 0)A. B. C. D. E.

10. Para encontrar la distancia mínima de la curva y =p1� x2 al punto (0; 1), se debe

utilizar:

1. Criterio del Hessiano 2. Multiplicadores de Lagrange.3. Criterio de una variable 4. Geometría.A. B. C D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS

1. Si F es una función vectorial de D � Rn en Rm diferenciable en a y 8v1;v2 de Rndemuestre que F�(a;v1 + v2) = F�(a;v1) + F�(a;v2)

2. Si A es una matriz simétrica de n� n, y F (x) = xtAx demuestre que rF (x) = 2Ax

3. Sea P un punto de la elipsex2

a2+y2

b2= 1 y sea T un vector tangente a la elipse en P .

Si F (x; y) = d1 + d2 determina la suma de las distancias de los focos a P . Pruebeque T � rF (x; y) = 0 y de una interpretaci�on geom�etrica del resultado.

4. Si F1 y F2 son campos escalares de R2 en R diferenciables, determine la matrizjacobiana en el origen del campo vectorial F (x; y) = [x2F1(x; y); y2F2(x; y)]

5. Sea H(x) = F (G(x)) tal que F es un campo escalar diferenciable en G(a) = by G es un campo vectorial diferenciable en a . Utilizar la regla de la cadena parademostrar que el gradiente de H puede expresarse como combinaci�on lineal de losvectores gradientes de las componentes de G , asi :rH(a) = DkF (b)rGk(a)

6. Hallar la derivada direccional de F (x; y; z) = Senx + Cosy + Tanz a lo largo de lacurva intersección entre las super�cies y = ex y z = xy en el punto P = (1; e; e)

7. Hallar la direcci�on de mayor crecimiento de el campo escalar z = F (x; y)dadoimpl�icitamente por ArcTan(x+ y + z) + 3xyz + z = 0

Page 154: Calculo vectorial

146 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

8. Sea F un campo escalar y C1 y C2 dos curvas tales que :F 0((1; 1);C1) =p5,

F 0((1; 1);C2) =p10 con C1 : y = x2 yC2: y = x3 respectivamente. Hallar la deriva-

da direccional de F en (1; 1) a lo largo de y = x

9. Demuestre que la suma de los cuadrados de las coordenadas x, y, z de las intersec-ciones con los ejes X, Y , Z de cualquier plano tangente a la super�cie x2=3 + y2=3 +z2=3 = a2=3 es igual a la constante a2.

10. Demuestre que los planos tangentes a la super�ciepx+

py +

pz =

pa cortan los

ejes coordenados en puntos cuya suma de distancias al origen es constate

11. Sea F : Rn ! R un campo escalar de�nido asi : F (x1; x2; :::; xn) = f(x1; x1+x2; x1+x2 + x3; :::; x1 + x2 + ::: + xn). donde f : R2 ! R. Si rf(1; 2; :::; n) = (1; 2; :::; n)Halle rF (1; 1; :::; 1)

12. Sea F :Rn ! R un campo escalar de�nido asi : F (x1; x2; :::; xn) = f(x1; x1x2; x1x2x3; :::; x1x2:::xn) dondef : R2 ! R . Si rf(1; 2; ::.,n) = (a1; a2; :::; an) Halle rF (1; 1; :::; 1)

13. Obtenga la formula de Taylor de segundo orden del campo escalar dado en elorigen.F (x; y) = Ln(1� x) + Ln(1� y)

14. Para que valor de k el campo escalar F (x; y) = y3 + 3x2y � kx2 � ky2 + 2 tiene unm�aximo en (0; 0), un mínimo en (0; 2) y un punto de silla en (1; 1)

15. Encuentre los puntos criticos del campo escalar F analizando todos los casos posiblespara p y q reales no nulos.

a) F (x; y) = xy + px+ qy

b) F (x; y) = xy +p

x+q

y

c) F (x; y) =x2

p+y2

q

16. Considere el campo escalar F (x; y) =R x+yxy

g=t)dt, con g : R ! R una funcióndiferenciable, tal que g(1) = g(2) = 3, g0(1) = 3 y g0(2) = 4.:Demuestre que (1; 1) espunto critico de F

17. Hallar los puntos criticos de F (x; y) = (x� y)n sobre la curva x2 + y2 = 1

18. Sea n un entero mayor que 2 y sea F (x; y) = axn + cyn , donde ac 6= 0. Determinarla naturaleza de los puntos criticos de F .

19. Hallar la distancia m�as corta desde el origen hasta la intersecci�on entre los planosa1x+ b1y + c1z = d1 y a2x+ b2y + c2z = d2 ,si a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = 1

20. Hallar la m�inima distancia desde el punto (1; 0) a la par�abola y2 = 4x

Page 155: Calculo vectorial

3.6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 147

PROBLEMAS

1. La fórmula1

R=1

R1+1

R2determina la resistencia totalR de dos resistores conectados

en paralelo, con resistencias R1 y R2. Si las medidas de las resistencias, en ohms sonR1 = 25, R2 = 100 con un posible error en cada medida de 0;5 ohms. Calcular y darun estimativo para el máximo error en el valor calculado de R.

2. La temperatura T en un punto (x; y) de una placa metalica colocada en el plano XYes inversamente proporcional a la distancia al origen. La temperatura en P =(3; 4)es 100o C

a) Calcule la raz�on de cambio de T en P en direcci�on i + j

b) En que direcci�on aumenta m�as r�apido T?

c) En que direcci�on disminuye m�as r�apido T ?

d) En que direcci�on no cambia T ?

3. Suponer que una montaña tiene la forma de un paraboloide z = c�ax2�by2 , dondea , b y c son constantes positivas

a) En que direcci�on est�a aumentando m�as r�apido la altitud si una persona se hallaen el punto (1; 1).

b) Si se suelta una canica en el punto (1; 1) en que direcci�on comenzara a rodar?

4. En cierto rombo una diagonal crece a raz�on de 10 cm/seg y el lado crece a raz�on de3 cm/seg (conservandose la forma del rombo). Halle la variaci�on del �area del romboen el momento en que la otra diagonal mide 20

p21 cm y el lado 50 cm.

5. Un alumno comienza a subir desde la calle 45 hacia la carrera 5 a 3 pies/seg, 5minutosdespúes una alumna baja por el tunel de la calle 40 (situado a 550 pies de la calle45) hacia la caracas a 4 pies/seg. Con que velocidad se separan los dos alumnos 5minutos después de que la alumna inicia su recorrido?

6. Suponer que un pato est�a nadando en la curva x =Cost , y =Sent y que la temper-atura del agua est�a dada por la formula T (x; y) = x2ey � xy3 . Hallar la tasa decambio de la temperatura que puede sentir el pato.

a) Mediante la regla de la cadena

b) Diferenciando

7. Encontrar los valores máximo y mínimo del campo electrico F (x; y) =1p

x2 + y2

sobre el borde de un monitor cuya forma está determinada por la ecuación 2x4+3y4 =32

Page 156: Calculo vectorial

148 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

8. Una empresa fabrica dos tipos de zapatillas para micfrofutbol y para voleibol. Elingreso total de x1 unidades de zapatillas para microfutbol y x2 unidades de zapatillaspara voleibol es I(x1; x2) = �5x21 � 8x22 � 2x1x2 + 42x1 + 102x2 donde x1 y x2 estandadas en miles de unidades. Hallar el número de zapatillas que maximizan el ingreso.

9. Un velero parte de Santa Marta y navega con viento del norte. Su vela forma conel norte un ángulo � y con el eje del casco un ángulo � el casco, a su vez, formaun ángulo � con la dirección este (véase la �gura). Si el viento sopla con veloci-dad w, la componente norte de la fuerza del viento sobre el velero viene dada porwsen�sen�sen� = �. Si esta componente es positiva el velero puede �navegar contrael viento�. Utilizando multiplicadores de Lagrange máximizar la fuerza del viento.

10. Un egiptologo encontro dentro de una piramide de base cuadrada de ladop2m y

altura 2m una caja rectangular de mayor volumen posible con las joyas de Tutanka-mon, la posición de la caja era tal que cada arista de la tapa superior estaba sobrecada una de las caras laterales de la piramide. ¿Cual es el volumen de la caja?

Page 157: Calculo vectorial

CAPÍTULO 4

INTEGRALES MULTIPLES

Ni vale nada el frutocogido sin sazón...

Ni aunque te elogie un brutoha de tener la razón.

ANTONIO MACHADO"Proverbios y cantares"

149

Page 158: Calculo vectorial

150 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

En el curso anterior de cálculo se integraron funciones f de R en R cuya interpretaciónbajo ciertas condiciones era el área debajo de la curva . Algunas de estas integrales secalcularon por diferentes metodos de integración y otras se aproximaron por métodosnumericos. Este tipo de integrales se denominan simples por ser de una variable y nosserviran para generalizar las integrales multiples. Los capitulos 2 y 3 estan dedicadosal cálculo diferencial multivariado, ahora nos dedicaremos al estudio del cálculo integralmultivariado. El concepto más importante que motiva la teoria de integración es el cálculode volumenes de conjuntos en Rn:En este capitulo se integraran campos escalares de R2en R y de R3en R por medio de

integrales dobles y de integrales triples sobre regiones de R2 y R3, haciendo más enfasisen el aspecto geometrico de la región de integración que en el cálculo de la integral. Enla primera sección se trataran integrales dobles sobre rectángulos utilizando inicialmenteel concepto partición sobre un rectangulo, calculando la integral de un campo escalarescalonado como una consecuencia de función escalonada en una variable y termina conintegrales iteradas. En la segunda sección se trataran integrales dobles sobre regionenmás generales haciendo enfasis en la región de integración y en el cambio del orden deintegración. En la tercera sección se tratará el cambio de coordendas haciendo más enfasisen coordenadas polares, En este capitulo tambien se le dara mayor importancia al aspectogeométrico de una región de integración R obtenida de R por medio de un cambio decoordenadas apropiado. En la cuarta sección se trataran algunas aplicaciones geometricasy �sicas con integrales dobles. En la quinta sección se trataran integrales triples. En la sextasección se trataran cambios de coordenadas en integrales triples haciendo más enfasis encoordenadas cilindricas y esfericas. En la septima sección se trataran algunas aplicacionesgeometricas y �sicas con integrales triples.

4.1. Integrales dobles sobre rectángulos.

El objetivo de esta sección es introducir el concepto de integral doble para camposescalares, similar a la forma como se trabaja en una variable empezaremos con el conceptode antiderivada bajo ciertas condiciones, luego seguiremos con los conceptos de particiónsobre rectangulos, campo escalar escalonado, ya que la manera más sencilla de abordarel concepto de integral doble es iniciarlo con campos escalares escalonados como unaconsecuencia de función escalonada en una variable.

En el capitulo 3 se vio como derivar parcialmente un campo escalar respecto a unavariable manteniendo constantes las otras variables, emplearemos un procedimieno similarpara integrar campos escalares.

Un campo escalar F es una antiderivada de un campo escalar � respecto a x en unintervalo I si Fx(x; y) = �(x; y) para todo x en I. De manera similar un campo escalar Fes una antiderivada de un campo escalar ' respecto a y en un intervalo J si Fy(x; y) ='(X; Y ) para todo y en J .

Page 159: Calculo vectorial

4.1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS. 151

Cuando resolvemos una ecuación diferencial de la formadz

dx= Fx(x; y) o dz = Fx(x; y)dx,

la operación que determina todas las soluciones de esta ecuación se denomina anti-derivación o integral inde�nida y se denota por

z =RFx(x; y)dx = F (x; y) + C(y)

Ejemplo 4.1.1 Si Fx(x; y) = 3x2y3 entonces manteniendo y constante podemos integrarrespecto a x y obtenemos

F (x; y) =RFx(x; y)dx

=R3x2y3dx

= y3R3x2dx propiedad de la integral ya que y es constante

= y3x3 + C(y) una antiderivada de 3x2 es x3

= x3y3 + C(y) C(y) es una función de y2

De igual manera podemos considerar una ecuación diferencial de la formadz

dy= Fy(x; y) o dz = Fy(x; y)dy

cuya soluciòn es z =RFy(x; y)dy = F (x; y) + C(x)

Podemos concluir que al integrar con respecto a x o a y se puede recobrar F (x; y)parcialmente, pero no es tan facil recobrar totalmente un campo escalar a partir de susderivadas parciales, por lo tano abordaremos este tema en el siguiente capitulo.

Tambien podemos extender la integral inde�nida a integral de�nida utilizando el teo-rema fundamental del cálculo.

Ejemplo 4.1.2R 213x2y3dx = x3y3j21 = 23y3 � 13y3 = 7y3

De manera similar podemos integrar respecto a y, manteniendo x constante. Ambosprocedimientos se pueden generalizar de la siguiente manera.R h2(y)

h1(y)Fx(x; y)dx = F (x; y)jh2(y)h1(y)

= F (h2(y); y)� F (h1(y); y)respecto a xR g2(x)g1(x)

Fy(x; y)dy = F (x; y)jg2(x)g1(x)= F (x; g2(x))� F (x; g1(x))

respecto a y

Por ahora tanto h como g son funciones constantes, o sea las integrales estan de�nidassobre intervalos.Supongamos que R es una región rectangular de R2 determinada por R = I � J , tal

que I = [a; b] y J = [c; d] entoncesR = f(x; y) 2 R2 j a � x � b, c � y � dg, y sean Px y Py dos particiones de I y J

respectivamente, tales que

Page 160: Calculo vectorial

152 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

Px = f x0; x1; :::; xng con a = x0 < x1 < ...< xn = by Py = fy0; y1; :::; ymg con c = y0 < y1 < ... < ym = d,entonces P = Px � Py es una partici�on de R determinada porP = f(xi; yj)j xi 2 Px y yj 2 Py, con i = 1,2,...,n j = 1,2,...,mg.

Si la partición Px tiene n+ 1 elementos y n subintervalos de longitud 4xi = xi � xi�1y la partición Py tiene m + 1 elementos y m subintervalos de longitud 4yj = yj � yj�1entonces la región rectangular R queda dividida en nm rectángulos Rij de área 4xi4 yj.

Un campo escalar F de�nido en una región rectángular R de R2, se llama escalonadosi existe una partición P de R, tal que F es constante en cada rectángulo abierto Rij deR.

Propiedad 4.1.1 Si F y G son campos escalares escalonados entonces kF + lG con k; l 2R, es campo escalar escalonado.

Sea F ,un campo escalar escalonado de�nido en una región rectángular R de R2, P unapartición de R en nm rectángulos Rij de R2 y F (x; y) = cij (constante) en el interior decada rectángulo Rij entonces F es integrable en R y su integral es igual a

RR

RF (x; y)dA =

nPi=1

mPj=1

cij(xi � xi�1)(yj � yj�1)

Nota: dA es un diferencial de area determinado por dA = dxdy o dA = dydx deacuerdo al orden de integración.

Ejemplo 4.1.3 Calcular la integral del campo escalar

F (x; y) =

��2 si (x; y) 2 R1 [R25 si (x; y) 2 R3

sobre R = R1 [R2 [R3:,

Utilizando la siguiente particiónR1 = [1; 2]� [1; 2] , R2 = [2; 3]� [1; 2] y R3 = [3; 4]� [1; 2]..

Page 161: Calculo vectorial

4.1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS. 153

De acuerdo a la partición se ve claramente que 4x = 1 y 4y = 1y de acuerdo a los valores que toma F (x; y) en la particiónRR

RF (x; y)dA = (�2)(1) + (�2)(1) + (5)(1) = 1

Propiedad 4.1.2 Si F y G son campos escalares escalonados de R2 en R de�nidos enuna region rectangular R de R2 y k 2 R, entonces:(i)RR

RkF (x; y)dA = k

RR

RF (x; y)dA

(ii)RR

R(F (x; y)�G(x; y))dA=

RR

RF (x; y)dA �

RR

RG(x; y)dA

(iii)RR

RF (x; y)dA =

RR

RF (x; y)dA+

RR

RF (x; y)dA

Si R = R1 [R2 (dos rectángulos) y int(R1) \ int(R2) = ;(iv) Si F (x; y) � G(x; y) 8(x; y) 2 R entoncesR

R

RF (x; y)dA �

RR

RG(x; y)dA

Demostración. Se realiza utilizando la de�nición de integral doble y propiedades de lasumatoria.

Sea F un campo escalar de R2 en R de�nido y acotado en una región rectángular R deR2, supongamos que existe una constante M 2 R tal que jF (x; y)j �M , entonces existendos campos escalares escalonados G(x; y) = �M y H(x; y) =M de�nidos en R, tales queG(x; y) � F (x; y) � H(x; y) para todo (x; y) 2 R: Si existe un único número I tal queRR

RG(x; y)dA � I �

RR

RH(x; y)dA entonces F es integrable en R y

RR

RF (x; y)dA =

I.Sea F es un campo escalar de R2 en R de�nido y acotado en una región rectángular

R de R2, P una partición de R en nm rectángulos Rij.y (x�i ; y�j ) es un punto arbitario de

cada Rij entoncesnPi=1

nPj=1

F (x�i ; y�j )�x�y determina una suma de Riemman de F sobre R

Si seleccionamos en cada rectángulo Rij el punto que tenga la mayor imagen Mij

obtenemos una suma superior

U =nPi=1

nPj=1

Mij�x�y,

de igual manera si en cada rectángulo Rij seleccionamos el punto que tenga la menorimagen mij obtenemos una suma inferior

L =nPi=1

nPj=1

mij�x�y,

entonces

Page 162: Calculo vectorial

154 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

nPi=1

nPj=1

mij�x�y �nPi=1

nPj=1

F (x�i ; y�j )�x�y �

nPi=1

nPj=1

Mij�x�y

por lo tanto U y L son aproximaciones denPi=1

nPj=1

F (x�i ; y�j )�x�y:

Sea F un campo escalar de de R2 en R de�nido y acotado en una región rectángu-lar R de R2, entonces la integral doble de F sobre R se de�ne como

RR

RF (x; y)dA =

l��m(�x�y)!(0;0)

nPi=1

nPj=1

F (x�i ; y�j )�x�y siempre que el límite exista, ademas si existe, decimos

que F es integrable sobre R.

La integral doble de F sobre R es el límite de las sumas de Riemann. 1

Ejemplo 4.1.4 Utilizando los valores F (x; y) de la tabla dada estimarRR

RF (x; y)dA si

R = [1; 2]� [2; 4] :xny 2 3 41 5 4 31;5 7 6 52 10 8 4De acuerdo a la tabla podemos asegurar que 4x = 0;5, 4y = 1y R tiene una partición de cuatro rectánguloslos valores de la tabla son las imagenes de los vértices de los rectángulos.luego L = (4 + 3 + 4 + 6)(0;5)(1) = 8;5y U = (7 + 6 + 8 + 10)(0;5)(1) = 15;5por lo tanto 8;5 �

RR

RF (x; y)dA � 15;5

1

Georg Friedrich Bernhard Riemann Nacio el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz,actual Alemania, murio el 20 de junio de 1866 en Selasca Italia. Matemático alemánque en su corta vida contribuyó a muchísimas ramas de las matemáticas: integrales deRiemann, aproximación de Riemann, método de Riemann para series trigonométric-as, matrices de Riemann de la teoría de funciones abelianas, funciones zeta de Rie-mann, hipótesis de Riemann, teorema de Riemann-Roch, lema de Riemann-Lebesgue,integrales de Riemann-Liouville de orden fraccional, aunque tal vez su más conocidaaportación fue su geometría no euclidiana, basada en una axiomática distinta de lapropuesta por Euclides, y expuesta detalladamente en su célebre memoria Sobre lashipótesis que sirven de fundamento a la geometría.

Page 163: Calculo vectorial

4.1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS. 155

Ejemplo 4.1.5 Muestre queR 31

R 20

y

xdydx < 5.

El campo escalar F (x; y) = 2 � y

xpara todo (x; y) 2 R = [1; 3]� [0; 2]

entonces consideremos la siguiente partición de R,R1 : [1; 2]� [0; 1], R2 : [1; 2]� [1; 2], R3 : [2; 3]� [0; 1] y R4 : [2; 3]� [1; 2],los valores máximos que toma el campo escalar

y

xen cada uno de estos rectángulos

es 1, 2;1

2y 1, respectivamente,

entoncesR 31

R 20

y

xdydx � 1(1)(1) + 2(1)(1) + 1

2(1)(1) + 1(1)(1) = 4;5

Si una regi�on rectángular esta de�nida por R = [a; b]� [c; d] de R2 entonces el área deR está dada por

A =R ba

R dcdydx (o A =

R dc

R badxdy)

Si F es un campo escalar de R2 en R continuo en una regi�on rectángular R = [a; b]�[c; d] de R2 y ademas F (x; y) � 0 8(x; y) 2 R, entonces el volumen debajo de la grá�ca deF sobre R está dado por

V =R ba

R dcF (x; y)dydx (o V =

R dc

R baF (x; y)dxdy)

Ejemplo 4.1.6 Estime el volumen del sólido de�nido sobre la región rectangular R =[0; 2]� [0; 2] y bajo el paraboloide z = 1 + x2 + y2

22

11

0

x y

0246z8

Utilizando las particiones Px = f0; 1; 2g y Py = f0; 1; 2gentonces P determina cuatro rectangulos Rij de lado unoeligiendo como punto muestral la esquina superior derecha de cada rectángulo Rij

V =2Pi=1

2Pj=1

F (x�i ; y�j )�x�y

= F (1; 1) + F (1; 2) + F (2; 1) + F (2; 2)

= 4 + 6 + 6 + 9 = 25

Page 164: Calculo vectorial

156 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

Teorema 4.1.1 Si F es un campo escalar de R2 en R acotado e integrable en una regiónrectangular R de R2 y supongamos que para cada y 2 [c; d] existe una función g de [c; d]en R tal que g(y) =

R baF (x; y)dx entonces g es integrable yR

R

RF (x; y)dA =

R dcg(y)dy =

R dc

R baF (x; y)dxdy

Demostración. Si � y son dos campos escalares escalonados en R,tales que G(x; y) � F (x; y) � H(x; y) 8(x; y) 2 Rentonces

R baG(x; y)dx �

R baF (x; y)dx �

R baH(x; y)dx

o seaR baG(x; y)dx � g(y) �

R baH(x; y)dx

como g es integrable respecto a yR dc

R baG(x; y)dxdy �

R dcg(y)dy �

R dc

R baH(x; y)dxdy

Como G y H son dos campos escalares escalonados en Ry F (x; y) es integrable en R;

entonces I =R dcg(y)dy =

RRF (x; y)dxdy

Nota : De igual forma si suponemos que para cada x 2 [a; b] existe una función h de[a; b] en R tal que h(x) =

R dcF (x; y)dy entonces f es integrable yR

R

RF (x; y)dA =

R bah(x)dy =

R ba

R dcF (x; y)dxdy

Teorema 4.1.2 de Fubini. Si F es un campo escalar de R2 en R continuo en una regiónrectángular R = [a; b]� [c; d] de R2; entonces F es integrable en R y la integral doble de Fsobre R es igual a.R

R

RF (x; y)dA =

R dc

�R baF (x; y)dy

�dx =

R ba

�R dcF (x; y)dx

�dy

Demostración.Por el teorema anterior vemos que para cada y 2 [c; d]g(y) =

R baF (x; y)dx determina un área A(y) sobre el intervalo [c; d]

luegoRRF (x; y)dA =

R dcA(y)dy =

R dc

�R baF (x; y)dy

�dx

Page 165: Calculo vectorial

4.1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS. 157

De igual forma para para cada x 2 [a; b]h(x) =

R dcF (x; y)dy determina un área A(x) sobre el intervalo [a; b]

luegoRRF (x; y)dA =

R baA(x)dy =

R ba

�R dcF (x; y)dx

�dy

Ejemplo 4.1.7 CalcularR 10

R 10(x+ y)dydxR 1

0

R 10(x+ y)dydx ==

R 10

�xy +

y2

2

�j10dx

=R 10

�x+

1

2

�j10dx =

x2

2+x

2j10 =

1

2+1

2= 1

Ejercicios sección 4.1.

1. Hallar la antiderivada del campo escalar dado

a) Fx(x; y) = cosx+ y

b) Fy(x; y) = x+ seny

c) Fx(x; y) = e2x+3y

2. Evaluar la integral dada.

a)R 1�1 x

2 + y2 + 1dx

b)R e1x ln ydy

c)R 21

y + 1

x+ 2dx

Page 166: Calculo vectorial

158 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

3. Determine si el campo escalar dado es escalonado en el rectángulo R = [a; b]� [c; d]con a,b,c,d reales positivos.

a) F (x; y) = [[x]] + [[y]]

b) F (x; y) = [[x+ y]]

c) F (x; y) = [[x]] [[y]]

4. Calcule la integral del campo escalar F sobre la región rectangular R = [�2; 2] �[�2; 2], considerando la partición de R en cuatro rectángulos Ri donde i determinael cuadrante.

a) F (x; y) = 15i

b) F (x; y) =�

7 si (x; y) 2 R1 [R2�3 si (x; y) 2 R3 [R4

c) F (x; y) =

8>><>>:2 si (x; y) 2 R15 si (x; y) 2 R210 si (x; y) 2 R315 si (x; y) 2 R4

5. Para el campo escalar dado y de�nido en el rectángulo R. Trace un diagrama de lapartición de R , indique los valores de F en la partición y calcule la integral de Fsobre R

a) F (x; y) = [2x][3y] R = [0; 2]� [�1; 2]b) F (x; y) = [x+ 1][y + 2] R = [�1; 3]� [�2; 2]c) F (x; y) = [x2][y2] R = [0; 3]� [0; 2]

6. Estimar la integralR 10

R 10e�x

2�y2dydx utilizando:

a) 4 rectangulos

b) 8 rectangulos

c) 16 rectangulos

7. Utilizando los valores F (x; y) de la tabla dada estimarRR

RF (x; y)dA si R = [1; 2]�

[2; 4] :

xny 1;25 1;50 1;75 2;000;75 1 0;98 0;83 0;791;50 0;97 0;81 0;76 0;682;25 0;80 0;73 0;67 0;563;00 0;71 0;66 0;52 0;44

Page 167: Calculo vectorial

4.2. INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES GENERALES 159

8. Estime el volumen debajo de la super�cie dada sobre la región rectangular R =[0; 1]� [0; 1], considerando la partición de R en cuatro rectángulos Ri donde i deter-mina el cuadrante.

a) F (x; y) = xy

b) F (x; y) =px2 + y2

c) F (x; y) = sen(x+ y)

9. Calcular la integral doble del campo escalar dado.sobre la región R:

a) F (x; y) = 2x+ 3y, R = [�1; 2]� [2; 3]b) F (x; y) = ex+y; R = [0; 2]� [1; 3]c) F (x; y) = xseny, R = [0; 1]� [0; �=2]

10. Demuesre que1

2<R 10

R 10

1

x+ y + 3<1

3

11. Represente gra�camente el volumen determinado por la integral dada.

a)R 10

R 10(2� x� y)dydx

b)R 10

R 10(2� x2 � y2)dydx

c)R 10

R 10(px2 + y2dydx

12. Utilizando un CAS construya una función que permita gra�car paralelepipedos sobreuna partición de una región rectangular dada:

4.2. Integral doble sobre regiones generales

En la sección anterior se considerarón integrales dobles sobre regiones rectangulares,en esta sección se considerarán integrales dobles sobre regiones más generales. Suponemosque la región no rectangular es acotada, o sea puede estar contenida dentro de unaregión rectangular R.

Page 168: Calculo vectorial

160 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

Si F es un campo escalar de�nido y acotado en una región y G es un campo es-calar de�nido y acotado en una región rectangular R que contiene a tal que G(x; y) =�F (x; y) si (x; y) 2 0 si (x; y) =2 entonces

R

RF (x; y)dA =

RR

RG(x; y)dA

A continuación veremos los diferentes tipos de regiones generales para integrales dobles.

REGION TIPO ISea F es un campo escalar de R2 en R continuo en una region deR2 determinada

por dos funciones continuas de variable x en un intervalo [a; b] tal que = f(x; y) 2 R2ja � x � b, g1(x) � y � g2(x)gentonces

R

RF (x; y)dA =

R ba

R g2(x)g1(x)

F (x; y)dydx

REGION TIPO IISea F es un campo escalar de R2 en R continuo en una region deR2 determinada

por dos funciones continuas de variable x en un intervalo [a; b] tal que = f(x; y) 2 R2jc � y � d, h1(y) � x � h2(y)gentonces

R

RF (x; y)dA =

R dc

R h2(y)h1(y)

F (x; y)dxdy

REGION TIPO IIISea F es un campo escalar de R2 en R continuo en una region deR2 determinada

por dos funciones continuas de variable x,g1(x) � � g2(x) con g1(x0) = g2(x0) y g1(xn) = g2(xn)

entoncesR

RF (x; y)dA =

R xnx0

R g2(x)g1(x)

F (x; y)dydx

Page 169: Calculo vectorial

4.2. INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES GENERALES 161

REGION TIPO IVSea F es un campo escalar de R2 en R continuo en una region deR2 determinada

por dos funciones continuas de variable y,h1(y) � � h2(y) con h1(y0) = h2(y0) y h1(ym) = h2(ym)

entoncesR

RF (x; y)dA =

R ymy0

R h2(y)h1(y)

F (x; y)dxdy

Nota: Cualquier otra región se puede representar por la unión de varias regiones dediferente tipo.

Ejemplo 4.2.1 CalcularR 3p�0

R 3p�2

y2senpx3dxdy

la integral interna no es facìl de hallar en el orden dado,cambiando el orden de integraciónR 3p

�2

0

R px0

senpx3dydx

=R 3p

�2

0senpx3yj

px

0 dx =R 3p

�2

0

pxsen

px3dx

Page 170: Calculo vectorial

162 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

utilizando la sustitución u = 3px2, du =

3px

2dxR 3p

�2

0

pxsen

px3dx =

2

3

R �0senudu = �2

3cosuj�0 =

4

3

Ejemplo 4.2.2 Para la integralR

RF (x; y)dA gra�que la región de integración

=�(x; y) 2 R2j � 1 � x � 1,

p1� x2 � y �

p4� x2

y escriba la integral doble

con sus respectivos límites.La región de integración es la porción de un anillo circular.

luegoR

RF (x; y)dA =

R 1�1R p4�x2p

1�x2 F (x; y)dydx

Ejemplo 4.2.3 Para la suma de integrales dada gra�que la región de integración e invierta

el orden.R 1p

2

0

Rp4�y2p1�y2

F (x; y)dxdy +R p2

1p2

Rp4�y2y

F (x; y)dxdy

De acuerdo a los límites de integración de la primera integral y de la segunda integralobtenemos la siguiente región

cambiando el orden de integración se generan tres regiones

entonces la suma de integrales es igual aR 1p2

0

Rp4�y2p1�y2

F (x; y)dxdy +R p2

1p2

Rp4�y2y

F (x; y)dxdy

Page 171: Calculo vectorial

4.2. INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES GENERALES 163

=R 1

1p2

R xp1�x2 F (x; y)dydy +

R p21

R x0F (x; y)dydx+

R 2p2

R p4�x20

F (x; y)dydx

Podemos extender el teorema de Fubini 2a regiones generales si F es un campo escalarde R2 en R, continuo en una regi�on deR2 determinada por a � x � b, �1(x) � y ��2(x), y tambien por c � y � d, 1(y) � x � 2(y) entonces

R ba

R �2(x)�1(x)

F (x; y)dydx =R dc

R 2(y) 1(y)

F (x; y)dxdy

Ejemplo 4.2.4 CalcularR

Rjx+ yj dA si = [0; 1]� [0; 1]

Como jx� yj =�x� y si x � yy � x si x � y

entoncesR

Rjx� yj dA =

R 10

R x

0(x� y)dydx+

R 10

R 1

x(y � x)dydx

=R 10

�xy � y2

2

�jx0dx+

R 10

�y2

2� xy

�j1xdx

=R 10

�x2

2

�dx+

R 10

�1

2� x+

x2

2

�dx =

x3

6+x

2� x2

2+x3

6j10 =

1

3

Propiedad 4.2.1 Si F y G son campos escalares R2 en R continuos en una region deR2 y k 2 R, entonces:

2

Guido Fubini nacio el 19 de enero de 1879 en Venecia Italia, murio el 6 de ju-nio en Nueva York USA. Le apodaban �el pequeño gigante�porque tenía un cuerpopequeño y una mente grande, aunque la conclusión del teorema de Fubini se sabíadesde hacía tiempo, y se la había aplicado con éxito en varios casos, no fue proba-da en general hasta 1907. Los intereses de Fubini en matemáticas fueron ampliostrabajo en analisis, geometría diferencial, ecuaciones diferenciales, funciones devarias variables complejas, cálculo de variaciones, donde estudió la reducción delWeierstrass integrante de un Lebesgue integral y también trabajó en la expresiónde super�cie integrales en términos de dos integraciones simples. Fubini Tambiéntrabajó en la teoría de grupos. En particular estudió lineal y los grupos de auto-mor�sos de funciones. Su obra más importante fue el diferencial de la geometría

proyectiva, donde utiliza el cálculo diferencial absoluto

Page 172: Calculo vectorial

164 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

(i)R

RkF (x; y)dA = k

R

RF (x; y)dA

(ii)R

R(F (x; y)�G(x; y))dA=

R

RF (x; y)dA �

R

RG(x; y)dA

(iii)R

RF (x; y)dA =

R1

RF (x; y)dA+

R2

RF (x; y)dA

Si = 1 [ 2 (dos regiones) y int(1) \ int(2) = ;(iv) Si F (x; y) � G(x; y) 8(x; y) 2 entoncesR

RF (x; y)dA �

R

RG(x; y)dA

Ejercicios sección 4.2.

1. Para la integralR

RF (x; y)dA gra�que la región de integración y escriba la inte-

gral doble con sus respectivos límites.si:

a) = f(x; y)j0 � x � 2, x � y � x+ 1gb) = f(x; y)j � 1 � x � 1, 1� x2 � y � 4� x2g

c) =�(x; y)j1 � y � 3; 1

y� x � 4

y

�2. Plantear la integral doble de F (x; y) en la región acotada por:

a) y2 = 2x y y2 = 8� 2xb) y = x2 y x = y2

c) x2 + y2 � 1

3. Para la integral dada dibuje la regi�on de integraci�on, invierta el orden y plantee laintegral resultante.

a)R 10

R pxx2

F (x; y)dydx

b)R �0

R Senx

0F (x; y)dydx

c)R 1�1R p4�x2p

1�x2 F (x; y)dydx

4. Para la integral dada dibuje la regi�on de integraci�on, invierta el orden y plantee laintegral resultante.

a)R 10

R 2�pyy

F (x; y)dxdy

b)R 10

R 3py

2F (x; y)dxdy

c)R 10

R eeyF (x; y)dxdy

5. Calcular la integral dada

Page 173: Calculo vectorial

4.2. INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES GENERALES 165

a)R 10

R y

y2pxydxdy

b)R �0

R y

0sen(x+ y)dxdy

c)R 21

R x�10

1

x+ ydydx

6. Calcular la integral dada

a)R

R2x+ 3ydA si esta acotada por y = x2 � 4, y = 4� x2

b)R

RxydA si esta acotada por un triángulo de vértices en (0; 0), (1; 1) y (2; 0)

c)R

Rx2 + y2dA si esta acotada por x2 + y2 = 4

7. Calcular la integral dada

a)R 10

R 33yex

2dxdy

b)R 10

R 1py

px3 + 1dxdy

c)R 10

R 1pySenx3dxdy

8. Suponga queR

RxdA = 5 ;

R

RydA = �3 y

R

RdA = 2 y calcule

a)R

R5dA

b)R

R(x+ y + 1)dA

c)R

R(3x� 2y + 7)dA

9. CalcularR

R[[x+ y]] dA si = [0; 2]� [0; 2]. Donde [[x+ y]] es la parte entera de

(x+ y)

10. Utilizar una integral doble para hallar el área de la región dada.

a)

b)

Page 174: Calculo vectorial

166 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

c)

11. Utilizar una integral doble para calcular el área de la región acotada por las grá�casde las curvas dadas.

a) y = x3=2; y = x

b)px+

py = 2 ; x = 0 y = 0

c) y =p1� x2; y =

p4� x2; y = x; y =

p3x

12. Utilizar una integral doble para hallar el volumen limitado por las ecuaciones.

a) z = 4� 2x2 � y2, z = 0

b) z = 1� x2 � y2, z = 1� x

c) z = 1� x2, z = 0, y = 0, y = 3

13. Utilizando integrales dobles hallar el volumen debajo de la super�cicie dada por elcampo escalar F sobre la región

a) F (x; y) = y, está acotada por un triángulo de vértices en (0; 0), (1; 0) y (0; 1).

b) F (x; y) = xy, está acotada por y =p1� x2, y = 0

c) F (x; y) = 1 + x2 + y2, está acotada por jxj+ jyj � 1

14. Utilizando integrales dobles hallar el volumen de una piramide de altura h y basecuadrada de lado l.

15. Utilice un CAS para gra�car regiones de integración.

Page 175: Calculo vectorial

4.3. CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES DOBLES. 167

4.3. Cambio de coordenadas en integrales dobles.

Una de las tecnicas más poderosas en integrales simples es la de sustitución o cambiode variable, para integrar una función f(x) continua en un intervalo [a; b] se cambia lavariable x por otra variable t, haciendo x = g(t) donde g es una función derivable conderivada g0(t) continua en un intervalo [c; d] tal que g([a; b]) = [c; d] entonces

R baf(x)dx =R d

cf(g(t))g0(t)dt:

El objetivo de esta sección es realizar un procedimiento analogo para integrales dobles,la integración por sustitución (o cambio de variable), el proceso resulta más complicadopues se deben cambiar ambas variables x, y por las variables u, v por ejemplo. Este cambiose realiza mediante una transformación geométrica de R2 en R2. Se emplearan tecnicasque simpli�caran los calculos y sera fundamental el aspecto geométrico de la nueva regiónde integración �, obtenida de , la integral a calcular debe ser mas sencilla de calcularen � que en .

Si T es un campo vectorial de � � R2 en � R2 tal que 8(u; v) 2 �, T (u; v) =[T1(u; v); T2(u; v)] = (x; y) 2 , luego T (�) = , si ademas existe T�1 de � R2 en� � R2 tal que 8(x; y) 2 , T�1(x; y) = [T�11 (x; y); T�12 (x; y)] = (u; v) 2 �, luegoT�1() = �.entonces T es una biyección denominada cambio de coordenadas. La trans-formación T (u; v) = (x; y) suele escribirse como

T (u; v) =

�T1(u; v)T2(u; v)

�=

�xy

Si T es un cambio de coordenadas de � � R2 en � R2 diferenciable en , entoncesla matriz

JT (u; v) =

�@T (u; v)

@(u; v)

�=

�@(x; y)

@(u; v)

�=

264@x@u @x

@v@y

@u

@y

@v

375

Page 176: Calculo vectorial

168 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

se denomina matriz jacobiana de T y su determinante

J =

�������@x

@u

@x

@v@y

@u

@y

@v

�������se denomina jacobiano. 3

Si A es el �area encerrada por y A� es el área encerrada por � entonces Aes proporcional a A�, luego existe un factor de proporcionalidad jJ j 2 R+ tal que A =jJ jA� donde J es el jacobiano de la transformaci�on T (u; v).

Ejemplo 4.3.1 La función T (u; v) = [u+ v; 2uv] transforma el triángulo � de vértices(0; 0), (1; 0) y (1; 1) en una región del plano xy, determine la grá�ca de y halle elárea de .

Haciendo x = u+ v, y = 2uv hallemos las imagenes de los vérticesT (0; 0) = (0; 0); T (1; 0) = (1; 0) y T (1; 1) = (2; 2)

como T no es lineal debemos hallar los caminos que unen estos puntos(0; 0) y (1; 0) : u = u, v = 0) x = u; y = 0

(1; 0) y (1; 1) : u = 1 ; v = v ) x = 1 + v ; y = 2v ) y = 2x� 2

(1; 1) y (0; 0) : u = v ) x = 2u ; y = 2u2 ) y =x2

2

3

Carl Gustav Jakob Jacobi. Nacio el 10 de diciembre de 1804 en Potsdam, Prusia,actual Alemania, murio el 18 de febrero de 1851 en Berlín. Fue un matemático alemán,autor muy prolí�co, contribuyó en varios campos de la matemática, principalmente enel área de las funciones elípticas, el álgebra, la teoría de números y las ecuacionesdiferenciales. También se destacó en su labor pedagógica, por la que se le ha consideradoel profesor más estimulante de su tiempo. Sus trabajos más relevantes se produjeronen el campo del álgebra, en el que introdujo y desarrolló el concepto de determinante,aplicándolo así mismo al estudio de las funciones de varias variables, lo que hoy endía se conoce como el jacobiano.

Page 177: Calculo vectorial

4.3. CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES DOBLES. 169

Para hallar el área de integrando en � hallamos el jacobiano de la transformacióon

J =

����@(x; y)@(u; v)

���� =�������@x

@u

@x

@v@y

@u

@y

@v

������� =���� 1 12v 2u

���� = 2u� 2vLuego A =

R 10

R u

0(2u� 2v)dvdu =

R 10(2uv � v2) ju0du =

R 10(2u2 � u2) du

=R 10u2du =

u3

3j10 =

1

3

Sin embargo, en algunas ocasiones, se desconoce la transformación T (u; v) = (x; y) másapropiada, en estos casos, se propone una transformación inversa T�1(x; y) = (u; v), la cualvendrá dada por las ecuaciones que limitan a la región o por la función integrando.y eljacobiano se halla de la siguiente manera.

J =1�������

@u

@x

@u

@y@v

@x

@v

@y

�������Teorema 4.3.1 Sea A una matriz de 2 � 2 con detA 6= 0 y sea T una transformación

lineal de R2 en R2 dada por T (u; v) = A

�uv

�, entonces T transforma paralelogramos

en paralelogramos y vértices en vértices. Además si T (�) es un paralelogramo es unparalelogramo.

Teorema 4.3.2 Sea F es un campo escalar de � R2 en � � R2 en variables x,y de�nidas en . Sea T un campo vectorial de � � R2 en � R2 diferenciable conjacobiano no nulo entoncesR

RF (x; y)dA =

R�

RF (T (u; v))JdA�

Ejemplo 4.3.2 Utilizando un cambio de coordenadas apropiado calcular la integralR

Rxydxdy

donde es la región acotada por las curvas y = x; y = 3x; xy = 1 y xy = 3 en elprimer cuadrante.Haciendo el siguiente cambio de coordenadas u =

y

x; v = xy

Page 178: Calculo vectorial

170 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

hallamos el jacobiano inverso J�

J� =

����@(u; v)@(x; y)

���� =�������@u

@x

@u

@y@v

@x

@v

@y

������� =������ y

x21

xy x

����� = 2y

x= 2

entonces J =1

2uluego

R

Rxydxdy =

R 31

R 31

v

2udvdu

=R 31

v2

4uj31du =

R 31

2

udu = 2 lnuj31 = 2 ln 3

Ejemplo 4.3.3 CalcularR

Rcos

�y � x

y + x

�dA en la región acotada por las rectas y = 0,

x = 0, x+ y = 1, x+ y = 2, empleando un cambio de coordenadas adecuado.A partir del integrando T�1(x; y) = [u; v]u = y � x, v = y + xentonces � = f(u; v)j � v � u � v, 1 � v � 2g

jacobiano J =

����@(u; v)@(x; y)

���� = ���� �1 11 1

���� = �2R

Rcos

�y � x

y + x

�dA =

R 21

R v�v cos

�uv

� 1

j�2jdudv =3

2sen1

A continuación se describe un caso particular del cambio de variable para integrales

Page 179: Calculo vectorial

4.3. CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES DOBLES. 171

dobles: cambio a coordenadas polares. Considere que se desea calcular una integral dobleR

RF (x; y)dA donde es una región como la mostrada en la �gura

La región está de�nida como sigue: = f(x; y)jr1 � x2 + y2 � r2, tan �1x � y � tan �2xgPara expresar la región en coordenadas polares, denotada � es necesario hacer la

trasformación de coordenadasT : � � R2 ! � R2, determinada por T (r; �) = (r cos �; rsen�) = (x; y)Por lo tanto la región � es f(r; �)jr1 � r � r2, �1 � � � �2g

Al emplear el teorema de cambio de variable en una integral doble, se tiene:R

RF (x; y)dA =R

RF (r cos �; rsen�)

����@(x; y)@(r; �)

���� dA�el jacobiano de esta transformación es

J =

����@(x; y)@(r; �)

���� =�������@x

@r

@x

@�@y

@r

@y

@�

������� =���� cos � �rsen�sen� r cos �

���� = r

Teorema 4.3.3 Cambio a coordenadas polares en integrales dobles. Sea F un campoescalar R2 en R continuo en una regi�on rectangular � de R2 determinada por � =f(r; �)jr1 � r � r2, �1 � � � �2g donde 0 � �2 � �1 � 2� entonces

R

RF (x; y)dA =R �2

�1

R r2r1F (r cos �; rsen�)rdrd�

Page 180: Calculo vectorial

172 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

Ejemplo 4.3.4 CalcularR

R p1� x2 � y2dA donde = f(x; y)jx2 + y2 � 1, x � 0g

La región de integración es medio circulo y su interior

entonces los limites de integracíón son0 � � � �, 0 � r � 1

luegoR

R p1� x2 � y2dA =

R �0

R 10

p1� r2rdrd� =

2�

3

En algunas ocasiones, la región D es más general que la planteada anteriormente, talcomo la región que se ilustra a continuación

Entonces, la región de la �gura puede expresarse en coordenadas polares como sigue:� = f(r; �)jr1(�) � r � r2(�), �1 � � � �2gAl emplear la ecuación de cambio de variable resulta:R

RF (x; y)dA =

R �2�1

R r2(�)r1(�)

F (r cos �; rsen�)rdrd�

No siempre circulos se envian en rectangulos.

Ejemplo 4.3.5 CalcularR

Rx2+y2dA donde es un circulo con centro en (1; 0) y radio

1

la ecuación del circulo es (x� 1)2 + y2 = 1

x2 + y2 = 2x

en polares es r2 = 2r cos �

luego ��2� � � �

2y 0 � r � 2 cos �

Page 181: Calculo vectorial

4.3. CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES DOBLES. 173

Ejemplo 4.3.6 Hallar el área encerrada por las curvas r = �, r = 2�, para 0 � � � 2�

A =R 2�0

R 2��rdrd� =

4�

3

Ejercicios sección 4.3.

1. Hallar el jacobiano de la transformación dada.

a) T (u; v) = (2u� v; u+ 3v)

b) T (u; v) =�uv;

v

u

�c) T (u; v) = (eu cos v; eusenv)

2. Para las transformaciones del numeral anterior hallar el jacobiano de la transforma-ción inversa.

3. A partir de la transformación dada T , gra�car la imagen de la región �.

a) T (u; v) = (2u+ v; u� 2v), � es un triángulo de vértices (0; 0), (1; 0), (1; 1).b) T (u; v) = (u2 � v2; 2uv), � = f(u; v)j0 � u � 2, 0 � v � 2gc) T (u; v) = (u2 � v2; 2uv), � = f(u; v)ju2 + v2 � 1g

4. Calcular

Page 182: Calculo vectorial

174 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

a)R

R 1

x+ ydA, si esta acotada por x = 0, y = 0, x + y = 1; x + y = 4,

utilizando la transformación T (u; v) = [u� uv; uv]

b)R

RxydA donde es el circulo unitario x2 + y2 � 1, utilizando la siguiente

transformación T (u; v) = (u2 � v2; 2uv)

c)R

R dxdyp1 + x+ 2y

donde es un cuadrado de lado 1, realizando la siguiente

transformación T (u; v) =�u;v

u

�5. Utilice un cambio de coordenadas adecuado para calcular la integral doble dada

a)RR(x � y)2Sen2(x + y)dA si es el paralelogramo de vértices (�; 0), (2�,�) ,

(�,2�) y (0,�)

b)R

R �ry

x�pxy

�dAsi esta acotada por xy = 1, xy = 9, y = x; y = 4x

c)R

R1

1+xydA si esta acotada por xy = 1, xy = 2, y = x y y = 2x

6. Utilice un cambio de coordenadas adecuado para calcular la integral doble dada.

a)R

R(x + y + 1)dA si es el rectángulo de vértices (0; 1), (1; 0), (3=2,1=2) y

(1=2; 3=2)

b)R

RxydA si está acotada por y = 2x, y = x, y = 2x� 2, y = x+ 1

c)R

R2xdA si está acotada por y = x2, y = x2 + 1, y = 1, y = 2

7. Utilice un cambio de coordenadas adecuado para calcular la integral doble dada.

a)R

Rcos

�x+ y

x� y

�dA si está acotada por x+ y = 1, x+ y = 2, x = 0, y = 0

b)R

R 1

xydAsi esta acotada por y = x2, y = 2x2, x = y2, x = 2y2

c)R

RydA donde es la región acotada por las curvas y2 = 4�4x y2 = 4+4x y

el eje X

8. Gra�car la región dada en un plano polar.

a) = f(x; y)j1 � x2 + y2 � 4gb) = f(x; y)j0 � x � 1, 0 � y � xgc) = f(x; y)jx2 + (y � 1)2 � 1g

9. Evalue la integral dada utilizando coordenadas polares.

Page 183: Calculo vectorial

4.3. CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES DOBLES. 175

a)R 10

R p1�x20

ex2+y2dA

b)R p20

Rp4�y2y

11+x2+y2

dA

c)R 20

R p2x�x20

px2 + y2dA

10. Evalue la integral dada utilizando coordenadas polares.

a)R

RxydA donde es la intersección entre los circulos r � 4Cos� y r � 4Sen�

b)R

RxydA donde es un circulo con centro en (1; 0) y tangente al eje y.

c)R

Ra tan y

xdA donde = f(x; y)j1 � x2 + y2 � 4g

11. Use una integral doble para hallar el área de la región.encerrada por la curva dada.

a) r = cos(2�)

b) r2 = 4 cos(2�)

c) r = 2sen(3�)

12. Use una integral doble y un cambio de coordenadas adecuado para hallar el área dela región.encerrada por:

a)x2

a2+y2

b2= 1

b) y = x2, x = y2

c)px+

py = 1

13. Use coordenadas polares para hallar el volumen del sólido.

a) Debajo del paraboloide z = x2 + y2 y arriba del disco x2 + y2 � 4

b) Dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y fuera del cilindro (x� 1)2 + y2 = 1

c) Comun a las esferas x2 + y2 + z2 = 1 y x2 + y2 + (z � 1)2 = 1

14. Calcular el área interior simultaneamente a las tres circunferencias x2 + y2 = 1,x2 + y2 = 2x y x2 + y2 = 2y

15. Utilizando un CAS construya una función que permita hallar el jacobiano de unatransformación.dada.

Page 184: Calculo vectorial

176 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

4.4. Aplicaciones de las integrales dobles.

A continuación, se explica como determinar la masa de una �gura plana no homogénea,de área determinada por , para regiones donde la densidad varía en cada punto (x; y) 2.La densidad tiene unidades de masa por área unitaria.Para esta aplicación, considereque la función densidad � es continua en la región .Sea una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función � de

� R2 en R, la cual es continua 8(x; y) 2 , entoncesm =

R

R�(x; y)dA 4

Ejemplo 4.4.1 Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas y = 4� x2,y = x+ 2, cuya densidad en cada punto (x; y) es �(x; y) = x+ y

La región está de�nida como = f(x; y)j � 2 � x � 1, x+ 2 � y � 4� x2gPor lo tantom =

R 1�2R 4�x2x+2

(x+ y)dydx

4

Arquímedes de Siracusa (en griego antiguo: ) (c. 287 a. C. �c. 212 a. C.) fue un matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo.Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los cientí�cosmás importantes de la antigüedad clásica. Entre sus avances en física se encuen-tran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio dela palanca. Generalmente, se considera a Arquímedes uno de los más grandesmatemáticos de la historia, y el más grande de la antigüedad. Usó el método deagotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la sumatoria deuna serie in�nita, y dio una aproximación extremadamente precisa del númeroPi. También de�nió la espiral, fórmulas para los volúmenes de las super�cies derevolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos. Arquímedes

murió durante el sitio de Siracusa (214�212 a. C.), cuando fue asesinado por un soldado romano, a pesarde las órdenes de que no debía ser dañado.

Page 185: Calculo vectorial

4.4. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES. 177

=R 1�2 xy +

y2

2j4�x2x+2 dx

=R 1�2

�x4

2� x3 � 11x

2

2+ 6

�dx

=x5

10� x4

4� 11x

3

6+ 6xj1�2

=171

20

En �sica se consideran otros tipos de densidad, que se pueden considerar de igualmanera como en el caso anterior, por ejemplo si la densidad de carga(en unidades de cargapor área) se distribuye sobre una lamina plana de forma y está dada por �(x; y) en cadapunto (x; y) 2 , entonces la carga total q está dada por

q =R

R�(x; y)dA

Ejemplo 4.4.2 La densidad de carga �(x; y) = 2xy+y2 en Coulombs por metro cuadradose distribuye sobre la región rectangular = f(x; y)j0 � x � 1, 1 � y � 2g. Encuentre lacarga total sobre

q =R 10

R 212xy + y2dydx =

23

6

El momento estático o primer momento de una partícula alrededor de un eje se de�necomo el producto de su masa y la distancia que la separa de ese eje. A continuación, setrata especí�camente, los momentos estáticos de una lamina plana alrededor de los ejescoordenados.

MOMENTOS ESTÁTICOS DE LAMINAS PLANASSea una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función � de

� R2 en R, la cual es continua 8(x; y) 2 , entonces el momento estático alrededor deleje x, denotado por Mx, se obtiene como Mx =

R

Ry�(x; y)dA

Mientras que el momento estático alrededor del eje y, denotado por My, se calculacomo My =

R

Rx�(x; y)dA

Las coordenadas (x; y) del centro de masa de una lamina que ocupa la región y quetiene función de densidad �(x; y) son:

x =My

M=1

m

R

Rx�(x; y)dA y =

Mx

M=1

m

R

Ry�(x; y)dA

Ejemplo 4.4.3 Hallar el centro de masas de una lamina triangular de vértices en (0; 0),(a; 0) y (a; a) con a > 0, cuya densidad en cada punto (x,y) es �(x; y) = x2 + y2

Hallamos primero la masa

m =R a0

R x0(x2 + y2)dydx =

a4

3ahora hallamos los primeros momentos

Mx =R a0

R x0y(x2 + y2)dydx =

3a5

20

Page 186: Calculo vectorial

178 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

My =R a0

R x0x(x2 + y2)dydx =

4a5

15

luego (x; y) =�4a

5;9a

20

El momento de inercia o segundo momento de una partícula alrededor de un eje sede�ne como el producto de su masa y la distancia al cuadrado que la separa de ese eje.A continuación, se trata especí�camente, los momentos de inercia de una lamina plana alrededor de los ejes coordenados.

MOMENTOS DE INERCIASea una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función � de

� R2 en R, la cual es continua 8(x; y) 2 , entonces el momento de inercia alrededordel eje x, denotado por Ix, se obtiene como Ix =

R

Ry2�(x; y)dA

Mientras que el momento de inercia alrededor del eje y, denotado por Iy, se calculacomo Iy =

R

Rx2�(x; y)dA

Luego el momento de inercia respecto al origen (momento polar de inercia) denotadopor Io, se calcula como

Io = Ix + Iy =R

R(x2 + y2)�(x; y)dA

Para un campo escalar F de R2 en R integrable en una región de R2 el valor promedioes la integral sobre dividida entre el área de .

Teorema 4.4.1 del valor medio.Si F es un campo escalar de R2 en R continuo en una región de R2, entonces existe

(a; b) 2 tal que

F (a; b) =

R

RF (x; y)dA

Area()

Ejemplo 4.4.4 Halle la altura promedio del paraboloide z = x2 + y2, sobre el rectángulo0 � x � 1, 0 � y � 2.El valor de la integral de F sobre el rectangulo esR 10

R 20(x2 + y2) dydx =

10

3el área del rectángulo es 2

luego la altura promedio es5

3

Ejercicios sección 4.4.

1. Halle la masa de la lamina plana

a) y =p1� x2 ; y =

p4� x2; y = 0 y �(x; y) = x2y

b) y =1

1 + x2; y = 0; x = �1; x = 1 y �(x; y) = k

Page 187: Calculo vectorial

4.4. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES. 179

c) Cuadrado de lado 1 y �(x; y) = jx� yj

2. Encuentre la carga total sobre la lamina plana.

a) Triangular de vértices (1; 0), (1; 1) y (0; 1), �(x; y) = xy

b) Circular x2 + y2 � 9, �(x; y) = (x+ y)2

c) Acotada por y = x2, x = y2, �(x; y) = x2 + y2

3. Halle el momento respecto al eje x y al eje y de las laminas del ejercicio 1

4. Halle el centro de masas de la lamina plana.

a) y = x2, y = x y �(x; y) = 5

b) y = Senx ; 0 � x � � y �(x; y) = x+ y

c) y = e�x2; y = 0; x = �1; x = 1 y �(x; y) = jxyj

5. Halle el momento polar de inercia de las laminas del ejercicio 4

6. Determine el valor promedio de:

a) El producto de dos n�umeros, si cada uno de estos var�ia entre 0 y 1

b) La suma de los cuadrados de dos n�umeros no negativos, si estos var�ian de talmodo que su suma nunca es mayor a 1

7. Hallar la masa de un cono circular de altura H y radio R, sabiendo que la densidaden cada punto es proporcional a su distancia al vértice del cono.

8. Una lamina homogénea tiene forma de triángulo equilatero de lado a, calcule elmomento de inercia con respecto a :

a) La altura

b) La base.

9. Una lamina homogénea tiene forma de cuadrado de lado a, calcule el momento deinercia con respecto a :

a) La diagonal

b) El lado

10. Utilizando un CAS construya una función que permita hallar el centro de masas deuna lamina plana dada.

Page 188: Calculo vectorial

180 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

4.5. Integrales triples

En esta sección consideraremos integrales triples extendiendo de forma anloga lo vistoen integrales dobles para campos escalares, la región de integración ahora es un sólido,empezaremos con integrales triples sobre paralelepipedos.consecuencia de integrales doblessobre rectangulos, luego consideraremos integrales triples sobre sólidos generales, haciendoenfasis en la proyección del solido ya que sobre la proyección trabajaremos la integral dobleasociada a la integral triple.

Supongamos que Q es un paralelepipedo de R3 determinado por Q = I � J �K, talque I = [a; b], J = [c; d] y K = [e; f ], entonces Q = f(x; y; z) 2 R3 j a � x � b, c � y � d,e � z � fg, y sean Px, Py y Pz tres particiones de I, J y K respectivamente, tales que

Px = f x0; x1; :::; xng con a = x0 < x1 < ...< xn = b

Py = f y0; y1; :::; ymg con c = y0 < y1 < ...< ym = d

y Pz = fz0; z1; :::; zog con e = z0 < z1 < ::: < zo = f ,entonces P = Px � Py � Pz es una partici�on de Q determinada porP = f(xi; yj; zk)j xi 2 Px, yj 2 Py, zk 2 Pzcon i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,m, k =

1; 2; :::; og.Si la partición Px tiene n+1 elementos y n subintervalos de longitud 4xi = xi� xi�1,

la partición Py tiene m+ 1 elementos y m subintervalos de longitud 4yj = yj � yj�1 y lapartición Pz tiene o+1 elementos y o subintervalos de longitud4zk = zk�zk�1entonces elparalelepipedo Q queda dividido en nmo paralelepipedos Qijk de volumen 4xi4 yj 4 zk.

Sean F ,un campo escalar escalonado de�nido en un paralelepipedo Q de R3, P unapartición de Q en nmo paralelepipedos Qijk de R3 y F (x; y; z) = cijk (constante) en elinterior de cada paralelepípedo Qijk entonces F es integrable en Q y su integral es iguala R R R

QF (x; yz)dV =

nPi=1

mPj=1

oPk=1

cijk(xi � xi�1)(yj � yj�1)(zk � zk�1)

Nota: dV es un diferencial de volumen determinado por dV = dxdydz en algun ordende integración.

Sea F un campo escalar de R3 en R de�nido y acotado en un paralelepipedo Q de R3,supongamos que existe una constante M 2 Q tal que jF (x; y; z)j � M , entonces existendos campos escalares escalonados G(x; y; z) = �M y H(x; y; z) =M de�nidos en Q, talesque G(x; y; z) � F (x; y; z) � H(x; y; z) para todo (x; y; z) 2 Q: Si existe un único númeroI tal que

R R RQG(x; y; z)dV � I �

R R RQH(x; y; z)dV entonces F es integrable en Q yR R R

QF (x; y; z)dV = I.

Sea F es un campo escalar de R3 en R de�nido y acotado en un paralelepipedo Q deR3, P una partición de Q en nmo paralelepipedos Qijk.y (x�i ; y

�j ; z

�k) es un punto arbitario

de cada Qijk entoncesnPi=1

nPj=1

oPk=1

F (x�i ; y�j ; z

�k)�x�y�z determina una suma de Riemman de F sobre Q

Page 189: Calculo vectorial

4.5. INTEGRALES TRIPLES 181

Si seleccionamos en cada paralelepipedo Qijk el punto que tenga la mayor imagenMijk

obtenemos una suma superior

U =nPi=1

nPj=1

oPk=1

Mijk�x�y�z,

de igual manera si en cada paralelepipedo Qijk seleccionamos el punto que tenga lamenor imagen mijk obtenemos una suma inferior

L =nPi=1

nPj=1

oPk=1

mijk�x�y�z, entonces

nPi=1

nPj=1

oPk=1

mijk�x�y�z �nPi=1

nPj=1

oPk=1

F (x�i ; y�j ; z

�k)�x�y�z �

nPi=1

nPj=1

oPk=1

Mijk�x�y�z

por lo tanto U y L son aproximaciones denPi=1

nPj=1

oPk=1

F (x�i ; y�j ; z

�k)�x�y�z

Sea F un campo escalar de de R3 en R de�nido y acotado en un paralelepipedo Qde R3, entonces la integral triple de F sobre Q se de�ne como

R R RQF (x; y; z)dV =

l��m(�x;�y;�z)!(0;0;0)

nPi=1

nPj=1

oPk=1

F (x�i ; y�j ; z

�k)�x�y�z siempre que el límite exista, ademas si ex-

iste, decimos que F es integrable sobre Q.

La integral triple de F sobre Q es el límite de las sumas de Riemann.

Teorema 4.5.1 de Fubini. Si F es un campo escalar de R3 en R continuo en un paralelepipedoQ = [a; b] � [c; d] � [e; f ] de R3; entonces F es integrable en Q y la integral triple de Fsobre Q es igual a.R R R

QF (x; y; z)dV =

R ba

�R dc

�R feF (x; y; z)dz

�dy�dx

=R ba

�R fe

�R dcF (x; y; z)dy

�dz�dy

=R dc

�R ba

�R feF (x; y; z)dz

�dx�dy

=R dc

�R fe

�R baF (x; y; z)dx

�dz�dy

=R fe

�R ba

�R dcF (x; y; z)dy

�dx�dz

=R fe

�R dc

�R baF (x; y; z)dx

�dy�dz

Ejemplo 4.5.1 CalcularR 10

R 1�1R 21xy2z3dzdydx

La región de integración es un paralelepipedo

entoncesR 10

R 1�1R 21xy2z3dzdydx =

5

4

De manera analoga como se de�nió la integral doble sobre regiones generales, en estasección se amplía la de�nición de la integral triple de un campo escalar F sobre una regiónsolida general acotada del espacio tridimensional.

Page 190: Calculo vectorial

182 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

Si F es un campo escalar deR3 enR continuo en una región solida deR3 entonces consideraremosla proyecci�on de en alguno de los planos cartesianos de la siguiente forma :(i) Si es la proyección de en el plano XY , entoncesR R R

F (x; y; z)dV =

R

R �R G2(x;y)G1(x;y)

F (x; y; z)dz�dA donde z varia entre las super�cies

z1 = G1(x; y) y z2 = G2(x; y)

La tapa y el piso son las super�cies z1 = G1(x; y) y z2 = G2(x; y)

(ii) Si es la proyección de en el plano XZ, entoncesR R RF (x; y; z)dV =

R

R �R G2(x;z)G1(x;z)

F (x; y; z)dy�dA donde y varia entre las super�cies

y1 = G1(x; z) y y2 = G2(x; z)

El frente y el fondo son las super�cies y1 = G1(x; z) y y2 = G2(x; z)

(iii) Si es la proyección de en el plano Y Z, entoncesR R RF (x; y; z)dV =

R

R �R G2(y;z)G1(y;z)

F (x; y; z)dx�dA donde x varia entre las super�cies

x1 = G1(y; z) y x2 = G2(y; z)

Page 191: Calculo vectorial

4.5. INTEGRALES TRIPLES 183

Los lados izquierdo y derecho son las super�cies x1 = G1(y; z) y x2 = G2(y; z).

Nota : La proyecci�on es una regi�on de R2, la cual se maneja como la región deintegración de una integral doble.

El volumen de una regi�on solida de R3 está dado por V =R R R

dV

Ejemplo 4.5.2 CalcularR R R

(x+ y + z) dV sobre el sólido acotado por las ecuaciones

x = z2 + y2, x = 2.La región de integración es una porción de parabolide y un planoLa proyeción de en el plano yz es un círculo de radio

p2

luegoR R R

(x+ y + z) dV =

R p2p2

Rp2�y2

�p2�y2

R 2py2+z2

(x+ y + z)dxdzdy

= 3�

Propiedad 4.5.1 Si F y G son campos escalares R3 en R continuos en una region deR3 y k 2 R, entonces:(i)R R R

kF (x; y; z)dV = k

R R RF (x; y; z)dV

(ii)R R R

F (x; y; z)�G(x; y; z)dV =

R R RF (x; y; z)dV �

R R RG(x; y))dV

(iii)R R R

F (x; y; z)dV =

R R R1F (x; y; z)dV +

R R R2F (x; y; z)dV

Si = 1 [2 (dos regiones) y int(1) \ int(2) = ;(iv) Si F (x; y; z) � G(x; y; z) 8(x; y; z) 2

entoncesR R R

F (x; y; z)dV �

R R RG(x; y; z)dV

Ejercicios sección 4.5.

1. Calcular las inegrales dadas.

a)R 10

R 10

R 10(x+ y + z)dzdydx

Page 192: Calculo vectorial

184 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

b)R �0

R �0

R �0(senx+ cos y + z)dzdydx

c)R e1

R e1

R e1

1

xyzdzdydx

2. Gra�que la región de integración acotada por las ecuaciones dadas.

a) 2x+ 3y + 6z = 12 y los planos coordenados

b) z = x2 + y2 z = 18� x2 � y2

c) x2 + 4y2 + 9z2 � 1

3. Plantee una integral triple de F (x; y; z) sobre las regiones del numeral anterior.

4. La grá�ca representa la región de integración de F (x; y; z), plantee las seis inte-grales iteradas.

a)

z = 1� x2, x+ y = 1, x = y = z = 0

1. b.

2z � 3x = 2, z = x2 + y2, x = y = 0

Page 193: Calculo vectorial

4.6. CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES TRIPLES 185

1. c.

5. Plantee las otras cinco integrales iteradas, de la integral triple dada.

a)R 2�2R 4x2

R 4�y0

(2x2y)dzdydx

b)R �0

R 20

R p4�z20

zSenydxdzdy

c)R 41

R e21

R 1=xy0

Lnzdydzdxx

6. Utilizando una integral triple calcule el volumen del sólido acotado por las ecuacionesdadas.

a) x2 + z2 = 4, y = 0, y = 3

b) z =px2 + y2, z = 2

c) y = 1� x, z = cos(�x=2), 0 � x � 1

7. Utilizando integrales triples determine el valor de c tal que el volumen del elipsoidex2 + y2

9+ z2

9= 1 sea igual a 20�

8. Utilizando un CAS gra�que algunos regiones de integración de una integral triple.

4.6. Cambio de coordenadas en integrales triples

El objetivo de esta sección es extender a integrales triples lo que se considero en lasección 4.3 para integrales dobles, ahora se deben cambiar las variables x, y, z por las vari-ables u, v, w por ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformación geométricade R3 en R3. Se emplearan tecnicas que simpli�caran los calculos y sera fundamental elaspecto geométrico de la nueva región de integración �, obtenida de , la integral acalcular debe ser mas sencilla de calcular en � que en .

Page 194: Calculo vectorial

186 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

Si T es un campo vectorial de � � R3 en � R3 tal que 8(u; v; w) 2 �, T (u; v; w) =[T1(u; v; w); T2(u; v; w); T3(u; v; w)] = (x; y; z) 2 , luego T (�) = , si ademas existe T�1de � R3 en � � R3 tal que 8(x; y; z) 2 , T�1(x; y; z) = [T�11 (x; y; z); T�12 (x; y; z); T�1(x; y; z)] =(u; v; w) 2 �, luego T�1() = �.entonces T es una biyección denominada cambio decoordenadas. La transformación T (u; v; w) = (x; y; z) suele escribirse como

T (u; v) =

24T1(u; v; w)T2(u; v; w)T3(u; v; w)

35 =24xyz

35Si T es un cambio de coordenadas de � � R3 en � R3 diferenciable en , entonces

la matriz

JT (u; v; w) =

�@T (u; v; w)

@(u; v; w)

�=

�@(x; y; z)

@(u; v; w)

�=

266664@x

@u

@x

@v

@x

@w@y

@u

@y

@v

@y

@w@z

@u

@z

@v

@z

@w

377775se denomina matriz jacobiana de T y su determinante

J =

����������

@x

@u

@x

@v

@x

@w@y

@u

@y

@v

@y

@w@z

@u

@z

@v

@z

@w

����������se denomina jacobiano.

Si V es el volumen encerrado por y V� es el volumen encerrado por � entoncesV es proporcional a V�, luego existe un factor de proporcionalidad jJ j 2 R+ tal queV = jJ jV� donde J es el jacobiano de la transformaci�on T (u; v; w).

Nota : En caso de que sea mas sencillo calcular J� =

����@(u; v; w)@(x; y; z)

���� entonces J =1

J�

A continuación se describe un caso particular del cambio de coordenadas para inte-grales triples, las coordenadas cilindricas, las cuales son utiles en problemas que com-prenden simetrias alrededor de un eje. Considere que se desea calcular una integral tripleR R R

F (x; y; z)dV donde es una región cuya proyección en el plano xy se describe

convencionalmente en coordenadas polares.La región está de�nida como sigue: = f(x; y; z)j(x; y) 2 ; G1(x; y) � z � G2(x; y)gDonde está dada en coordenadas polares por = f(r; �)jr1(�) � r � r2(�), �1 � � � �2g

Page 195: Calculo vectorial

4.6. CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES TRIPLES 187

el jacobiano de esta transformación es

J =

����@(x; y; z)@(r; �; z)

���� =����������

@x

@r

@x

@�

@x

@z@y

@r

@y

@�

@y

@z@z

@r

@z

@�

@z

@z

����������=

������cos � �rsen� 0sen� r cos � 00 0 1

������ = r

Teorema 4.6.1 Cambio a coordenadas cilindricas. Sea F un campo escalar R3 en R con-tinuo en una regi�on rectangular � de R3 determinada por � = f(r; �; z)jr1 � r � r2, �1 � � � �2; G1(r cos �; rsen�) � z � G2(r cos �; rsen�)gdonde 0 � �2 � �1 � 2� entoncesR R R

F (x; y; z)dV =

R �2�1

R r2r1

R G2(r cos �;rsen�)G1(r cos �;rsen�)

F (r cos �; rsen�; z)rdzdrd�

Ejemplo 4.6.1 Utilizando coordenadas cilindricas evaluarR R R

(x3 + xy2)dV , donde

es el sólido que se encuentra en el primer octante y debajo del paraboloide z = 1� x2� y2La proyección del sólido en el plano xy es el circulo x2 + y2 = 1, luego =

f(r; �)j0 � r � 1, 0 � � � 2�gy z varia entre el paraboloide y el plano z = 0, que en cilindricas es igual a 0 � z �

1� r2

Page 196: Calculo vectorial

188 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

entoncesR R R

(x3 + xy2)dV =

R 10

R 2�0

R 1�r20

(r3 cos3 � + r3 cos �sen2�)rdzd�dr

=R 10

R 2�0

R 1�r20

r4 cos �dzd�dr

=R 10

R 2�0zr4 cos �j1�r20 d�dr =

R 10

R 2�0(1� r2)r4 cos �dzd�dr

=R 10

R 2�0(1� r2)r4sen�j2�0 dr

= 0

Ejemplo 4.6.2 EvaluarR 2�2R p4�x2�p4�x2

R 2px2+y2

(1 + (x2 + y2)2)dzdydx

De acuerdo a los limites de integración la región de integración es =

n(x; y; z)j � 2 � x � 2, �

p4� x2 � y �

p4� x2,

px2 + y2 � z � 2

osu grà�ca està determinada por

La integral es màs sencilla en coordenadas cilindricasluego � =

n(r; �; z)j0 � r � 2, 0 � � � 2�;

px2 + y2 � z � 2

oy la funciòn a integrar F (rcos�; rsen�; z) = 1 + (r2)2 = 1 + r4

luegoR 2�2R p4�x2�p4�x2

R 2px2+y2

(1 + (x2 + y2)2)dzdydx

=R 20

R 2�0

R 2r(1 + r4)rdzd�dr =

184�

21

Otro cambio de coordenadas para integrales triples son las coordenadas esféricas, lascuales son utiles en problemas donde hay simétria alrededor de un punto. Considere que sedesea calcular una integral triple

R R RF (x; y; z)dV donde es una región cuya proyec-

ción en el plano xy se describe convencionalmente en coordenadas polares.La región está de�nida como sigue: = f(x; y; z)j(x; y) 2 ; G1(x; y) � z � G2(x; y)gDonde� está dada en coordenadas esfericas por� = f(�; �; �)j�1 � � � �2, �1 � � � �2, �1 � � � �g

el jacobiano de esta transformación es

J =

����@(x; y; z)@(�; �; �)

���� =�����������

@x

@�

@x

@�

@x

@�@y

@�

@y

@�

@y

@�@z

@�

@z

@�

@z

@�

�����������=

������sen� cos � ��sen�sen� � cos� cos �sen�sen� �sen� cos � � cos�sen�cos� 0 ��sen�

������ = �2sen�

Page 197: Calculo vectorial

4.6. CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES TRIPLES 189

Al emplear el teorema de cambio de variable en una integral triple se obtiene:R R RF (x; y; z)dV =

R �2�1

R �2�1

R �2�1F (�sen� cos �; �sen�sen�; � cos�)Jd�d�d�

Teorema 4.6.2 Cambio a coordenadas esféricas. Sea F un campo escalar R3 en R contin-uo en una regi�on rectangular � de R3 determinada por � = f(�; �; z)j�1 � � � �2, �1 � � � �2; �1 � � � �2gdonde 0 � �2 � �1 � 2�, 0 � �2 � �1 � �, entoncesR R R

F (x; y; z)dV =

R �2�1

R �2�1

R �2�1F (�sen� cos �; �sen�sen�; � cos�)�2sen�d�d�d�

Ejemplo 4.6.3 CalcularRRR

e(x

2+y2+z2)3=2dV sobre la regiòn esferica , x2+y2+z2 � 1Puesto que la frontera de es una esfera con centro en el origen, se usan coordenadas

esfericas� = f(�; �; �)j0 � � � 1; 0 � � � 2�; 0 � � � �gDe esta maneraRRR

e(x

2+y2+z2)3=2dV =R �0

R 2�0

R 10e(�

2)3=2�2sen� d�d�d�

=R �0sen�d�

R 2�0d�R 10�2e�

3d�

= [�cos�] j�0 (2�)[13e�3 ] j10 =

4�

3(e� 1)

Ejemplo 4.6.4 Utilizar coordenadas esfericas para encontrar el volumen del solido que seencuentra arriba del cono z =

px2 + y2 y debajo de la esfera x2 + y2 + z2 = z

Observese que la esfera pasa por el origen y tiene centro (0; 0; 12)

Se escribe la ecuacion de la esfera en coordenadas esfericas de la forma� = �cos� o � = cos�el cono se puede expresar de la forma�cos� =

p�2 sen 2�cos2� + �2sen2� sen2� = �sen�

De ello resulta sen� = cos�o � = �=4Por lo tanto, la descripcion del solido en coordenadas esfericas es

Page 198: Calculo vectorial

190 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

� = f(�; �; �)j0 � � � 2�; 0 � � � �=4; 0 � � � cos� gY su volumen es :

V =RRR

dV =

R 2�0

R �=40

R cos�0

�2sen �d�d�d� =R 2�0

R �=40

sen ��3

3jcos�0 d�d�

=R 2�0

R �=40

cos3 �sen�

3d�d�

=R 2�0�cos

4 �

12j�=40 d�

=R 2�0

1

16d�

=�

16j2�0 =

8

En los siguientes ejemplos consideramos otros tipos de cambios de coordenadas enintegrales triples.

Ejemplo 4.6.5 CalcularR 30

R 40

R y=2+1y=2

�2x� y

2+z

3

�dxdydz, utilizando la transformaciòn

u =2x� y

2, v =

y

2, w =

z

3e integrando sobre una región apropiada en el espacio uvw.

Trazamos la regiòn de integración en el espacio xyz e identi�camos sus fronteras.En este caso, las super�cies frontera son planos.Necesitamos encontrar la region � correspondiente en el espacio uvwPara encontralos despejamos x,y,z en terminos de u v y w de las ecuaiones del problema

y obtenemos:x = u+ v, y = 2u, z = 3wEl jacobiano de la transformacion es

J = J =

����������

@x

@u

@x

@v

@x

@w@y

@u

@y

@v

@y

@w@z

@u

@z

@v

@z

@w

����������=

������1 1 02 0 00 0 3

������ = 6R 30

R 40

R (y=2)+1y=2

�2x�y2+ z

2

�dxdydz =

=R 10

R 20

R 106(u+ w)dudvdw

= 6R 10

R 20[u

2

2+ uw]10 dvdw

= 6R 10

R 20(12+ w) dvdw

= 6R 10[u2+ uw]20 dw

= 6R 10(1 + 2w) dw

= 6[w + w2]10= 6(2) = 12

Page 199: Calculo vectorial

4.6. CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES TRIPLES 191

Ejemplo 4.6.6 CalcularR R R

(x+ y+ z)(x+ y� z)(x� y� z)dV donde es la regiòn

acotada por los planos x+ y + z = 0, x+ y � z = 0, x� y � z = 0 y 2x� z = 1realizando el siguiente cambio de coordenadasu = x+ y + z, v = x+ y � z, w = x� y � zel jacobiano de esta transformaciòn es

J =

���� @(x; y; z)@(u; v; w)

����por comodidad calculamos

J� =

����@(u; v; w)@(x; y; z)

���� = �4por lo tanto J =

1

4y 2x� z = 1 se convierte en u+ v + 2w = 1luego la regiòn � esta determinada poru = 0, v = 0, w = 0 y u+ v + 2w = 2

entoncesR 20

R 2�u0

R 1� 12(u+v)

014uvwdwdvdu =

1

180

Ejercicios sección 4.6.

1. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular las integrales dadas.

a)R R R

(x2 + y2)dV si es la región limitada por el cilindro x2 + y2 = 4 y los

planos z = �2, z = 2b)R R R

z2dV si es la región acotada por 1 � x2 + y2 � 4 , z = 0 y bajo el

cono z =px2 + y2

c)R R R

(x + y + z)dV si es la región acotada por 1 � x2 + y2 � 4, z = 0 y

bajo el plano z = x+ 2

2. Utilice coordenadas esfericas para calcular las integrales dadas.

a)R R R

px2 + y2 + z2dV si es la región acotada superiormente por la semi-

esfera x2 + y2 + z2 = 1 e inferiormente por el cono z =px2 + y2

b)R R R

1

1 + x2 + y2 + z2dV si es la semiesfera acotada por x2+ y2+ z2 = 1 y

z � 0c)R R R

zdV si es la región común a las esferas x2+ y2+ z2 = 1, x2+ y2+(z�

1)2 = 1

3. Utilizando un cambio de coordenadas apropiado calcular las siguientes integrales

a)R R R

�1� x2

a2� y2

b2� z2

c2

�dV donde es la región acotada por el elipsoide

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

Page 200: Calculo vectorial

192 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

b)R R R

xyzdV si es la región que se encuentra en el primer octante acotada

por z = x2 + y2, z = 2x2 + 2y2, xy = 1, xy = 4, y = x, y = 5x

c)R R R

xyzdV si es la región acotada por xy = 1, xy = 2, xz = 1, xz = 2,

yz = 1, yz = 2

4. Plantear la integral dada en coordenadas cilindricas y esfericas.

a)R 1�1R p1�x2�p1�x2

R 2px2+y2

F (x; y; z)dzdydx

b)R 1�1R p1�x2�p1�x2

R 1+px2+y2

1�px2+y2

F (x; y; z)dzdydx

c)R 20

R p1�z20

Rp4�y2�z20

F (x; y; z)dxdydz

5. Utilizando un cambio de coordenadas apropiado calcular el volumen del solido dado.

a) Elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

b) Acotado porpx+

py +

pz = 1 y los planos coordenados.

c) Acotado por la super�cie�x2+y

4+z

6

�4=xyz

48

6. A trav�es de una esfera de radio 2 se perfora un hoyo cilindrico de diametro 1 .Suponiendo que el eje del cilindro pasa por el centro de la esfera, hallar el volumendel s�olido que queda.

7. Encuentre el volumen del sólido acotado por los cilindros x2 + y2 � 1 y x2 + z2 � 1:

8. Sea la región en el espacio xyz de�nida por las siguientes desigualdades 1 � x � 2,0 � xy � 2, 0 � z � 1:Evaluar

R R R(x2y + 3xyz) dV aplicando la transformación

u = x, v = xy, z = 3x, e integrando sobre una región � apropiada en el espaciouvw.

9. Sea la región en el primer octante acotada inferiormente por el cono � =�

4y

superiormente por la esfera � = 3. Expresar el volumen de como una integraltriple iterada en coordenadas (a) cilíndricas y (b) esféricas. Luego (c) encontrar elvolumen.

10. Utilizando un CAS construya una función que permita hallar el jacobiano de unatransformación.dada.

Page 201: Calculo vectorial

4.7. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 193

4.7. Aplicaciones de las integrales triples

A continuación, se extienden las aplicaciones �sicas sobre laminas vistas en la sección4.4. a sólidos utilizando ahora integrales triples. Para determinar la masa de un sólidono homogéneo, de volumen determinado por , donde la densidad varía en cada punto(x; y; z) 2 .La densidad tiene unidades de masa por unidades de volumen.Para estaaplicación, considere que la función densidad � es continua en la región .Sea una región del espacio xyz, tal que su densidad viene dada por la función � de

� R3 en R, la cual es continua 8(x; y; Z) 2 , entoncesm =

R R R�(x; y; z)dV

Ejemplo 4.7.1 Calcular la masa del sólido acotado por los paraboloides z = x2 + y2 yz = 4� x2 � y2, cuya densidad viene dada por (x; y; z) = x+ y + z + 1utilizando coordenadas cilindricas� =

�(r; �; z)j0 � r �

p2, 0 � � � 2�; r2 � z � 4� r2

R p20

R 2�0

R 4�r2r2

(r2 cos � + r2sen� + rz) dzd�dr

=R p20

R 2�0

�zr2 cos � + zr2sen� +

rz2

2

�j4�r2r2 d�dr

=R p20

R 2�0

�4r2 cos � + 4r2sen� +

r(4� r2)2

2� 2r4 cos � � 2r4sen� � r5

2

�d�dr

=R p20

R 2�0

�4r2 cos � + 4r2sen� +

16r � 8r3 + r5

2� 2r4 cos � � 2r4sen� � r5

2

�d�dr

=R p20

R 2�0(4r2 cos � + 4r2sen� � 2r4 cos � � 2r4sen� + 8r � 4r3) d�dr

=R p20(4r2sen� � 4r2 cos � � 2r4sen� + 2r4 cos � + 8r� � 4r3�) j2�0 dr

=R p20(16�r � 8�r3) dr

= (8�r2 � 2�r4) jp2

0

= 16� � 8� = 8�

MOMENTOS ESTÁTICOS DE SOLIDOSSea una región del espacio xyz, tal que su densidad viene dada por la función � de

� R3 en R, la cual es continua 8(x; y; z) 2 , entonces el momento estático respecto ael plano xy, denotado por Mxy, se obtiene como Mxy =

R R Rz�(x; y; z)dV:

Mientras que el momento estático respecto a el plano yz, denotado porMyz, se calculacomo Myz =

R R Rx�(x; y; z)dV .

Y el momento estático respecto a el plano xz, denotado por Mxz, se calcula comoMxz =

R R Ry�(x; y; z)dV .

Las coordenadas (x; y; z) del centro de masa de un sólido que ocupa la región y quetiene función de densidad �(x; y; z) son:

x =Myz

M=1

m

R R Rx�(x; y; z)dV , y =

Mxz

M=1

m

R R Ry�(x; y; z)dV , z =

Mxy

M

R R Rz�(x; y; z)dV

Page 202: Calculo vectorial

194 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

Ejemplo 4.7.2 Un sòlido esta acotado por las super�cies z =px2 + y2, z = 1 en el

primer octante. Si su densidad en cada punto (x; y; z) es igual a �(x; y; z) = x2+y2, hallarel centro de masas del sòlido.Por la forma del sólido , evaluamos las integrales en coordenadas cilindrícasPrimero hallamos la masa del sólidoM =

R �=20

R 1

0

R 1

rr(r)dzdrd�

=R �=20

R 1

0

R 1

rr2dzdrd�

=R �=20

R 1

0r2zj1rdrd�

=R �=20

R 1

0(r2 � r3)drd�

=R �=20

�r3

3� r4

4

�j10d�

=R �=20

�1

3� 14

�d�

=R �=20

1

12d�

=�

12j�=20 =

24Ahora calculamos los respectivos primeros momentosRespecto al plano xyMXY =

R �=20

R 1

0

R 1

rzr2dzdrd�

=R �=20

R 10

z2

2r2j1rdrd�

=R �=20

R 10

�r2

2� r4

2

�drd�

=R �=20

�r3

6� r5

10

�j10d�

=R �=20

�1

6� 1

10

�d�

=R �=20

1

15d�

=�

15j�=20 =

30Respecto al plano xzMXZ =

R �=20

R 10

R 1r(rSen�)r2dzdrd�

=R �=20

R 10

R 1rr3Sen�dzdrd�

=R �=20

R 10r3Sen�zj1rdrd�

=R �=20

R 10(r3Sen� � r4Sen�) drd�

=R �=20

�r4

4Sen� � r5

5Sen�

�j10d�

=R �=20

�Sen�

4� Sen�

5

�d�

Page 203: Calculo vectorial

4.7. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 195

=R �=20

Sen�

20d�

= �Cos�20

j�=20 =1

20Respecto al plano yzMY Z =

R �=20

R 10

R 1r(rCos�)r2dzdrd�

=R �=20

R 10

R 1rr3Cos�dZdrd�

=R �=20

R 10r3Cos�zj1rdrd�

=R �=20

R 10(r3Cos� � r4Cos�) drd�

=R �=20

�r4

4Cos� � r5

5Cos�

�j10d�

=R �=20

�Cos�

4� Cos�

5

�d�

=R �=20

Cos�

20d�

=Sen�

20j�=20 =

1

20Por lo tanto el centro de masas es igual a

CM =

� 120�24

;120�24

;�30�24

�=

�6

5�;6

5�;4

5

A continuación, se trata especí�camente, los momentos de inercia de un sólido acotadopor alrededor de los planos coordenados.

MOMENTOS DE INERCIASea una región del espacio xyz, tal que su densidad viene dada por la función � de

� R3 en R, la cual es continua 8(x; y; z) 2 , entonces el momento de inercia alrededordel plano xy, denotado por Ixy, se obtiene como Ixy =

R R Rz2�(x; y; z)dV

Mientras que el momento de inercia alrededor del plano yz, denotado por Iyz, se calculacomo Iyz =

R R Rx2�(x; y; z)dV

Y el momento de inercia alrededor del plano xz, denotado por Ixz, se calcula comoIyz =

R R Ry2�(x; y; z)dV

Luego el momento de inercia respecto al origen (momento polar de inercia) denotadopor Io, se calcula como

Io = Ixy + Iyz � Ixz =R

R(x2 + y2 + z2)�(x; y; z)dV

Para un campo escalar F de R3 en R integrable en una región de R3 el valor promedioes la integral sobre dividida entre el volumen de .

Teorema 4.7.1 del valor medio.Si F es un campo escalar de R3 en R continuo en una región de R3, entonces existe

(a; b; c) 2 tal que

F (a; b; c) =

R R RF (x; y; z)dV

V olumen()

Page 204: Calculo vectorial

196 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

Ejercicios sección 4.7

1. Halle la masa del solido:

a) Acotado por el paraboloide z = 4x2 + 4y2 si �(x; y; z) = k

b) Prisma determinado por x+y+z = 1 y los planos coordenados; si �(x; y; z) =xyz

c) Acotado por el cilindro x2 + y2 = 2x y el cono z2 = x2 + y2 si la densidad encada punto es �(x; y; z) =

px2 + y2

2. Halle los momentos respecto a los planos xy, xz, yz, de los solidos del ejercicio 1

3. Halle el centro de masas del solido:

a) Cubo de lado a si la densidad en cada punto (x; y; z) es proporcional a ladistancia a una de las caras

b) Esfera de radio R si la densidad en cada punto (x; y; z) es proporcional a sudistancia al eje z

c) Acotado por el paraboloide z = x2 + y2, el plano z = a (a > 0) si la densidaden cada punto (x; y; z) es �(x; y; z) = a

4. Halle el momento polar de inercia de un elipsoide homogéneo de semiejes a; b y c ; conmasa total M .

5. Hallar la masa del s�olido que se encuentra en el primer octante y esta acotado porlas super�cies xy = 1, xy = 2, xz = 1 , xz = 2 , yz = 1 y yz = 2 . Si su densidad encada punto (x; y; z) es igual a �(x; y; z) = xyz

6. Calcule el valor promedio del producto de tres n�umeros, si la suma de sus cuadradoses siempre no mayor a la unidad.

7. Utilizando un CAS construya una función que permita hallar el centro de masas deuna lamina plana dada.

Ejercicios de repaso del capitulo 4PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO

Determine si el enunciado es verdadero o falso, justi�cando su respuesta.

1. La partición de un rectángulo son rectángulos de lados 4x y 4y.

2. Los limites de integración de la primera integral, de una integral doble siempre sonnumeros reales.

Page 205: Calculo vectorial

4.7. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 197

3. En toda integral doble se puede cambiar el orden de integración.

4. Si F (x; y) es mayor o igual a cero en una región , entonces la integral doble de Fsobre determina el volumen bajo F .

5. El jacobiano de un cambio de coordenadas no puede ser igual a 1.

6. Es posible hallar el área de una región plana utilizando integrales dobles.

7. La región de integración de una integral tiple siempre es un sólido.

8. Siempre es posible hallar el volumen de un sólido utilizando integrales triples.

9. La integral triple de la densidad sobre un sólido determina su masa.

10. El valor medio de un campo escalar F (x; y; z) sobre un sólido es único.

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA

1. El área de la región que esta dentro del cardioide r = 1 + cos � y fuera de la circun-ferencia r = 1, esta determinada por:

A.R 2�0

R 1+cos �1

rdrd� B.R �=2��=2

R 1+cos �1

drd� C.R 2�20

R 10(1+cos �)rdrd� D.R �=2

��=2R 1+cos �1

rdrd�

2. Si se utiliza la transformaciòn u = xy y v = xy2, sobre la regiòn acotada por lascurvas xy = 1, xy = 2, xy2 = 1 y xy2 = 2, la integral

RR

Ry2dA es equivalente a:

A.R 21

R 21

u2

vdvdu B.

R 21

R 21

v3

u2dvdu C.

R 21

R 21

v2

u2dvdu D.R 2

1

R 21

v

u2dvdu

3. Utilizando la siguiente transformación u = xy, v = x2�y2la integralR

R(x2+y2)dA

donde es la región limitada por las curvas xy = 1; xy = 3; x2� y2 = 1yx2� y2 = 4en el primer cuadrante, es equivalente a:

A.R 31

R 41

1

2(4u2 + v2)1=2dvdu B.

R 31

R 41

(4u2 + v2)1=2

2dvdu C.

R 31

R 41

1

2dvdu D.R 3

1

R 412dvdu

4. Al cambiar el orden de integración enR 10

R xx2F (x; y)dydxse obtiene:

A.R xx2

R 10F (x; y)dxdy B.

R 10

R yy2F (x; y)dxdy C.

R 10

R y2yF (x; y)dxdy D.

R 10

R pyy

F (x; y)dxdy

E.R 10

R ypyF (x; y)dxdy

Page 206: Calculo vectorial

198 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

5. Utilizando coordenadas polares la integral dobleR

RF (x; y)dA donde esta deter-

minada por el circulo x2 + (y � 1)2 = 1, es igual a:

A.R 10

R 2�0F (r; �)d�dr B.

R �0

R 10F (r; �)rdrd� C.

R �0

R 2sen�0

F (r; �)rdrd� D.R �=2��=2

R 2sen�0

F (r; �)rdrd�

6. La integralR 2�0

R 20

R 2rrdzdrd�representa el volumen del sólido limitado por:

A. La esfera x2 + y2 + z2 =p2y el plano z = 2

B. El cono z =px2 + y2y el plano z = 2

C. El cono z =px2 + y2y la esfera x2 + y2 + z2 = 4

D. El paraboloide z = x2 + y2y el cilindro x2 + y2 = 4

7. El volumen del sólido acotado inferiormente por el semi-cono z =px2 + y2y supe-

riormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 2z, esta dado por la integral triple

A.R 2�0

R �=40

R 2 cos�0

�2Sen'd�d'd� B.R 2�0

R a40

R pa2�r20

rdzdrd�

C.R a�aR pa2�x2�pa2�x2

Rpa2�x2�y2

�pa2�x2�y2

dzdydx D. 4R �=40

R �=40

R 2 cos�0

�2Sen'd�d'd�

E.R 2�0

R a0

R a+pa2�r2r

dzdrd�

8. El volumen de la región sólida R limitada inferiormente por el interior de la hojasuperior del cono z2 = x2 + y2 y superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 9 estádado por la integral:

A.2�R0

�4R

��4

3R0

�2sen� d� d� d� B.2�R0

�4R0

3R0

�2sen� d� d� d�

C.2�R0

�4R

��4

3R0

�sen� d� d� d� D.2�R0

�4R0

3R0

�sen� d� d� d� E.2�R0

�2R0

3R0

�2sen� d� d�

d�

9. Cuales integrales son equivalentes a la integralR 10

R 1px

R 1�y0

F (x; y; z)dzdydx

A.R 1p

x

R 10

R 1�y0

F (x; y; z)dzdxdy;R 1�y0

R 1px

R 10F (x; y; z)dxdydz

B.R 10

R y20

R 1�y0

F (x; y; z)dxdydz;R 10

R 1�z0

R (1�z)20

F (x; y; z)dxdzdy.

C.R 10

R y20

R 1�y0

F (x; y; z)dzdxdy;R 10

R 1�y0

R y20F (x; y; z)dxdzdy

D.R 10

R 1�z0

R y20F (x; y; z)dxdydz;

R 10

R 1�px R 1�z0

F (x; y; z)dydzdx

10. La integralR 2�0

R 20

R 2rrdzdrd� representa el volumen del sólido acotado por:

A. La esfera x2 + y2 + z2 = 2 y el plano z = 2B. El cono z =

px2 + y2 y el plano z = 2

C:El cono z =px2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 4

D. El paraboloide z = x2 + y2 y el cilindro x2 + y2 = 4

Page 207: Calculo vectorial

4.7. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 199

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE CON MULTIPLE RESPUESTA

Si 1 y 2 son correctas marque A Si 2 y 3 son correctas marque BSi 3 y 4 son correctas marque C Si 2 y 4 son correctas marque DSi 1 y 3 son correctas marque E

1. La integralR

Rx2ydA sobre la regiòn acotada por y = x + 1 y y = x2 � 1 es

equivalente a:

1.R 3�1R p1+yy�1 x2ydydx 2.

R 2�1R y2�1y+1

x2ydxdy

3.R 2�1R x+1x2�1 x

2ydydx 4.R 0�1R p1+y�p1+y

x2ydxdy +R 30

R p1+yy�1 x2ydxdy

A. B. C. D. E.

2. Si I =RRR

F (x; y)dydx y esta acotada por y =p1� x2y y = jxj, entonces:

1. I =R 1�1R 1�1 F (x; y)dydx 2. I =

R 0� 1p

2

R p1�x2�x F (x; y)dydx+

R 1p2

0

R p1�x2x

F (x; y)dydx

3. I =R 1p

2

� 1p2

R p1�x2x

F (x; y)dydx 4. I =R 1p

2

0

R y�y F (x; y)dxdy+

R 11p2

Rp1�y2

�p1�y2

F (x; y)dxdy

A. B. C. D. E.

3. Si F (x; y) =x2 � y2

x2 + y2, R = [0; 1]� [0; 1] y I =

RR

RF (x; y)dA entonces

A. I =�

4B.I = ��

4C.I = 0 D.F no es integrable en R

4. El valor de la integralR 10

R 10[[x+ y]] dydx (parte entera de x+ y) es igual a:

A. 1 B.1

2C. 0 D.

3

2

5. Si F (x; y) =�1 si x es racional0 si x es irracional

y R = [0; 1]� [0; 1]entonces:

1. F es integrable en R 2. F es continuo en R3.R 10

R 10F (x; y)dydx = 1 4. F no es integrable en R

A. B. C. D. E.

6. Sea I la integral de f(x; y) =1

x+ yen S = f(x; y) 2 R2 : x+ y � 4; x � 2; y � 0g,

entonces:

Page 208: Calculo vectorial

200 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

1. I =R 20

R 4�x0

1

x+ ydydx 2. I =

R 20

R 4�y0

1x+y

dxdy 3. I =R 42

R 4�x0

1x+y

dydx 4. I =R 42

R 4�y0

1

x+ ydxdy

A. B. C. D. E.

7. La integral triple que representa el volumen del sólido acotado por las super�ciesy2 = ax, x2 = ay (a > 0), z = 0 y z = x+ y es:

A.R a0

R paxx2

a

R x+y0

dzdydx B.R a�aR paxx2

a

R x+y0

dzdydx C.R a0

R x2

apax

R x+y0

dzdydx

E.R a0

R a0

R paypax(x+ y)dzdydx

8. La integral tripleR a�aRpa2�x2�y2

�pa2�x2�y2

R a+pa2�x2�y2a

xdzdydx es equivalente a:

1.R 2�0

R a0

R a+pa2�r2a

r cos �dzdrd� en coordenadas cilindricas.

2.R �=40

R 2�0

R 2a cos�a sec�

�sen� cos �d�d�d� en coordenadas esfericas.

3.R 2�0

R �=40

R 2a cos�a sec�

�2sen�2 cos �d�d�d� en coordenadas esfericas.

4.R a0

R 2�0

R a+pa2�r2a

r cos �dzd�dr en coordenadas cilindricas.A. B. C. D. E.

9. Sea el sólido en R3 limitado x2+y2 = 9; z = 0 y z = �2, y consideremos la integral

I =RRR

19(x2 + y2) cos zdxdydzse veri�ca que:

1. I =

�2R0

2�R0

3R0

r2 cos z dr d� dz 2. I =

�2R0

�R0

9R0

19r3 cos z dr d� dz 3. I = 9�

24.

I =2�R0

3R0

�2R0

19r3 cos z dz dr d�

A. B. C. D. E.

10. El volumen del sólido acotado inferiormente por el semi-cono z =px2 + y2y supe-

riormente por el plano z = 1 esta dado por la integral triple.

1..R 10

R 2�a

R �=40

�2Sen'd'd�d� 2.R 10

R 2�a

R 140rdzd�dr 3.

R 1�1R p1�x2�p1�x2

R 1px2+y2

dzdydx 4.R 1�1R 1�1R 1�1 dzdydx

A. B. C. D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS

1. Calcular la integral del campo escalar dado, sobre la regi�on dada.

a) F (x; y) = jx+ yj sobre el rect�angulo [�1; 1]� [�1; 1]

Page 209: Calculo vectorial

4.7. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 201

b) F (x; y) = Sgn(x� y) sobre la regi�on encerrada por jxj+ jyj � 1

c) F (x; y) =x2

ysobre la regi�on limitada por las par�abolas y = x2 y x = y2

2. Calcular la integral del campo escalar dado.

a)R 20

R 2xxp1 + y3dydx

b)R 20

R 4y2

pxsenxdxdy

c)RR

R(x+y)2dA , donde R es la regi�on limitada por el circulo con centro en (2; 0)

y tangente al eje Y

3. Para la integralR 0�1R p1+y�p1+y

x2ydxdy+R 30

R p1+yy�1 x2ydxdy dibuje la regi�on de integraci�on,

invierta el orden y plantee la integral resultante

4. Use una sustitución adecuada para calcularRR

R px2 � y2dA sobre la regiòn acotada

por jxj+ jyj � 2

5. Utilizar integrales dobles para hallar el �area encerrada por las curvas

a) 9x2 + 4y2 = 36(x+ y4) , x � 0 , y � 0b) (x2 + y2) = 2a2(x2 � y2)

c)�xa+y

b

�4=x2

h2+y2

k2donde a , b, h y k son n�umeros positivos dados

6. Utilizar integrales dobles para hallar el volumen determinado por :

a) Los planos xa+ y

b+ z

c= 1 , x = 0 , y = 0 , z = 0 , donde a, b y c son n�umeros

positivos.

b) El paraboloide z = x2 + y2 sobre el anillo circular 1 � x2 + y2 � 9

7. La funci�on T (u; v) = (u2�v2; 2uv) transforma el rect�anguloR = f(u; v)j1 � u � 2; 1 � v � 3gen una regi�on R del plano XY

a) Mostrar que T es uno a uno

b) Hallar el �area de R

8. Hallar la masa de una lamina cuadrada de lado � , si la densidad en cada puntoP = (x; y) es proporcional al cuadrado de la distancia de P y el centro de la lamina,siendo en cada v�ertice igual a k.

9. Mostrar que la integral dada existeRR

Sen2(x� y)p1� x2 � y2

dA

Page 210: Calculo vectorial

202 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

10. Usando el teorema del valor medio, mostrar que 16�RR

dA

y � x+ 3� 1

4Donde R es

el tri�angulo de v�ertices (0; 0); (1; 1), y (1; 0)

11. Mostrar que 4e5 �RRex

2+y2dA � 4e25 Donde R es el rect�angulo determinado por[1; 3]� [2; 4]

12. Hallar A de modo que el volumen interior al hemisferio z =p16� x2 � y2 y

exterior al cilindro x2 + y2 = a2 sea la mitad del volumen interior al hemisferio.Sugerencia utilice coordenadas polares.

13. Hallar el �area de la regi�on acotada por las elipses x2 + 4y2 = 4 y x2 + 4y2 = 16

14. Determine el centro de masa de la placa acotada por y = 1� jxj y y = jxj � 1 si ladensidad es proporcional al cuadrado de la distancia desde la recta x+ y = 1

15. Hallar la masa de una lamina determinada porpx+

py = 1 si su densidad en cada

punto (x; y) es igual a �(x; y) =px2 + y2

16. Sea F (x; y) un campo escalar con derivadas parciales de segundo orden continuasen una región R = [a; b] � [c; d]. Utilice el teorema fundamental del cálculo para

demostrar queRR

R @2F

@y@xdA = F (a; c)� F (b; c) + F (b; d)� F (a; d)

17. Si R = f(x; y)ja � x � b, c � y � dg demuestre queRR

Rf(x)g(y)dydx =R b

af(x)dx

R dcg(y)dy

18. Utilice integrales triples para calcular el volumen del s�olid�o:

a) Interior a las super�cies x2 + y2 + z2 = a2 y�x� a

2

�2+ y2 =

�a2

�2b) Interior a la super�cies x2+y2+z2 = 16 y exterior a la super�cie z =

px2 + y2

c) Entre una esfera de radio 1; una esfera de radio 2 y bajo la hoja superior delcono x2 + y2 = 2z2

19. Utilice integrales triples y un cambio de coordenadas para calcular el volumen dels�olid �o acotado por x2=3 + y2=3 + z2=3 = a2=3, a > 0

20. Una piramide de altura a y de base cuadrada de lado a se coloca sobre un cubo dearista a, con las aristas alineadas. Si el cubo tiene densidad constante d1 y la piramidedensidad constante d2, hallar el centro de masa de la estructura combinada.

21. Dos barras cuadradas de longitud l y secci�on transversal cuadrada de lado a, seunen para formar una T . Si la barra vertical tiene densidad constante d1 y la barrahorizontal tiene densidad constante d2, determinar el centro de masas de la T .

Page 211: Calculo vectorial

4.7. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 203

22. Calcular la integralR R R

R[(x� a)2 + (y � b)2 + (z � c)2]�1=2dV sobre una esfera de

radio R y centro en el origen, y (a; b; c) es un punto �jo exterior a la esfera.

23. Suponga que la densidad de una esfera de radio R est�a dada por (1 + d3)�1, donded es la distancia al centro de la esfera. Hallar la masa total de la esfera.

24. Demostrar queR x0

R v0

R u0f(t)dtdudv =

1

2

25. Hallar el centro de masas de un paralelep�ipedo de lados a, b y c, homog�eneo cuyamasa total es M:

PROBLEMAS

1. La grá�ca muestra la distribucción de temperatura en grados centigrados en uncuarto de 5 metros de largo por 2 metros de ancho. Estime la temperatura promediodel cuarto.

2. Un estanque de 9 metros por 15 metros se llena con agua y la profundida se mide ainervalos de 3 metros, empezando en una esquina del estanque y se registrarón losvalores en la siguiente tabla. Estime el volumen de agua en el estanque.

0 3 6 9 12 150 1;0 1;0 1;5 1;8 2;0 2;43 1;0 1;5 1;8 2;0 2;3 2;66 2;0 2;0 2;2 2;4 2;6 3;09 2;5 2;5 2;5 2;8 3;0 3;0

Page 212: Calculo vectorial

204 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

3. Para una empresa concreta, la funci�on de producci�on es : F (x; y) = 100x0;6y0;4 dondex, y representan el n�umero de unidades de trabajo y de capital respectivamente. Estimarel nivel medio de producci�on si el n�umero de unidades de trabajo var�ia entre 100 y150; y el de unidades de capital entre 200 y 225.

4. El bene�cio de una empresa por la comercializaci�on de dos productos es P (x; y) =192x+576y�x2�5y2�2xy�5000 donde x, y representan el n�umero de unidades decada producto. Estimar el bene�cio semanal medio si x var�ia entre 40 y 50 unidadese y var�ia entre 45 y 60 unidades.

Page 213: Calculo vectorial

CAPÍTULO 5

INTEGRALES DE LINEA

Caminante son tus huellasel camino, y nada más;

caminante, no hay camino,se hace camino al andar.ANTONIO MACHADO"Proverbios y cantares "

205

Page 214: Calculo vectorial

206 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

En el capitulo anterior se trataron integrales dobles y triples cuya región de integraciónera una área o un volumen, en este capitulo se estudiarán integrales de campos escalaresy vectoriales, cuya región de integración es una curvas o una trayectoria..Nuevamente sehara mas enfasis en el aspecto geometrico de la región de integración que en el cálculo de laintegral y tambien en la parametrización de la curva. Para ser más precisos, trabajaremos laregión de integración con funciones de variable real y valor vectorial, que sean derivables,o por lo menos que lo sean a trozos y que esta derivada sea continua (para no tenerproblemas con lo que vayamos a integrar). Este tipo de funciones reciben un nombrecurvas regulares a trozos. Se trataran aplicaciones geometricas sobre longitud de arco

y areas, y aplicaciones �sicas sobre alambres. Por último se tratara el teorema de Green.

5.1. Integral de línea de campos escalares

Se iniciara la sección con el concepto de partición sobre una curva C y se sigue luegocon el concepto de campo escalar escalonado sobre C.

Una integral de línea depende de dos funciones, la función F y la función � que para-metriza la curva C, aunque la parametrización para una curva no es unica se debe tenercuidado con la orientación. Toda curva C parametrizada por medio de � : [a; b] ! Rntiene una orientación natural que es la que establece el sentido de recorrido de la curvaconforme el punto �(t) se desplaza desde �(a) hasta �(b) a medida que el parámetro taumenta desde t = a hasta t = b.

Sean C una curva regular de Rn contenida en D y parametrizada por medio de �(� : [a; b] ! Rn) y P una partición del intervalo [a; b] tal que a = t0 < t1 < ...< tn = b,entonces P determina una partición de la curva C en n sub-arcos de longitudes 4Ci,si � tiene derivada continua (de clase C1) y distinta de cero en cada subintervalo [ti; ti+1](para i = 0; :::; n� 1). entonces C es una curva suave a trozos o regular y diremos que �es una parametrización suave a trozos de C. 1

1

Josiah Willard Gibbs (11 de febrero, 1839 en New Haven: Connecticut, EstadosUnidos �íd.28 de abril 1903) fue un químico, físico y matemático estadounidense quecontribuyó de forma destacada a la fundación teórica de la termodinámica. Estudióen la Universidad de Yale, obteniendo su doctorado en 1863 con una tesis sobre losdientes de engranajes, e ingresando en la sociedad secreta Los Calavera y Huesos. En1886 fue a vivir a Europa, donde permanció tres años: París, Berlín y Heidelberg. En1871 fue nombrado profesor de física matemática en la Universidad de Yale. Enfocósu trabajo al estudio de la Termodinámica; y profundizó asimismo la teoría del cálculovectorial, donde paralelamente a Heaviside opera separando la parte real y la partevectorial del producto de dos cuaternios puros, con la idea de su empleo en física. Enlos cuales se consideró uno de los grandes pioneros de la actualidad

Page 215: Calculo vectorial

5.1. INTEGRAL DE LÍNEA DE CAMPOS ESCALARES 207

De�nición 5.1.1 Sean, � : [a; b] � R ! Rn y � : [c; d] � R ! Rn dos funciones suavespor trozos tales que �(b) = �(c), entonces la función = � + � : [a; d] � R ! Rn, está

determinada por (t) = (�+ �)(t) =��(t) si a � t � b�(t) si c � t � d

es tambien una función suave

a trozos.

Sea F un campo escalar de D � Rn en R y sea C una curva regular de Rn de�nidaen D y parametrizada por medio de � (� : [a; b]! Rn) se dice que F es un campo escalarescalonado en C si existe una partici�on P de C , tal que en cadaCi de P; F es constante.Si F es un campo escalar de D de Rn en R de�nido y acotado en una curva regular C

de�nida en D y parametrizada por medio de � (� : [a; b]! Rn) y sean � y dos camposescalares escalonados en C tales que �(x) � F (x) � (x)8x 2 D, entoncesR

C�(x)dS � I �

RC (x)dS y I =

RCF (x)dS

Si F es un campo escalar de D de Rn en R de�nido y acotado en una curva regularC contenida enD y parametrizada por medio de � (� : [a; b]! Rn), entonces

nPi=1

F (x�i )4Sipara xi 2 Ci determina una suma de Riemman de F en P .Si F es un campo escalar de D � Rn en R de�nido y acotado en una curva regular C

de�nida en D y parametrizada por medio de � (� : [a; b] ! Rn), entoncesRCF (x)dS =

l��m4S!0

nPi=1

F (x�i )4Si se denomina integral de linea de F a lo largo de C siempre que el limite

dado exista.Notación :

RCF (x)dS =

R baF (�(t)) k�0(t)k dt

Para n = 2,RCF (x; y)dS =

R baF (x(t); y(t))

p(x�(t))2 + (y0(t))2dt

Para n = 3,RCF (x; y; z)dS =

R baF (x(t); y(t); z(t))

p(x�(t))2 + (y0(t))2 + (z�(t))2dt

Ejemplo 5.1.1 CalcularRCxydS, donde C es la elipse

x2

9+y2

4= 1

Una parametrización adecuada de la elipse es �(t) = [3 cos t; 2sent] con 0 � t � 2�

Page 216: Calculo vectorial

208 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

F (�(t)) = F (3 cos t; 2sent) = 6sent cos t�0(t) = [�3sent; 2 cos t] y k�0(t)k = 6luego

RCxydS =

R 2�036sent cos tdt

= 18sen2tj2�0 = 0

Ejemplo 5.1.2 Si C es una curva plana parametrizada por medio de �(T ) = [f(t); f(t)]

con f(0) = 0, f(1) = 1 y f 0(t) continua en [a:b]. Muestre queRC(x + y2)dS =

5p2

6cualquiera sea f

F (�(t)) = f(t) + f 2(t)�0(t) = [f 0(t); f 0(t)]

dS = �0(t) =q(f 0(t))2 + (f 0(t))2dt = f 0(t)

p2dt

entoncesRC(x+ y2)dS =

R 10(f(t) + f 2(t)) f 0(t)

p2dt

=p2

(f(t))2

2+(f(t))3

3

!j10

=p2

�1

2+1

3

�=5p2

6

Propiedad 5.1.1 Propiedades de la integral de lÍnea de campos escalaresSean F y G dos campos escalares de D � Rn en R, continuos en D y C es una curva

regular de�nida en D y parametrizada por medio de � (�:[a; b]! Rn).(i) Si a = �(t0) y b = �(tn) son los extremos de C entonces

RCF (x)dS =

R baF (x)dS =R tn

t0F (�(t)) k�0(t)k dt(ii) Si C es una curva cerrada simple con �(t0) = �(tn) entonces

RCF (x)dS =H tn

t0F (x)dS

(iii) Si C = C1[C2[ :::[Cn, entoncesRCF (x)dS =

RC1F (x)dS+

RC2F (x)dS+ :::+R

CnF (x)dS

(iv) Si � y � son dos parametrizaciones de C; en la misma direcciòn entoncesRCF (x)dS� =R

CF (x)dS�(v) Si k y l son números reales entonces

RC(kF (x) � lG(x))dS = k

RCF (x)dS �

lRCG(x)dS

Ejemplo 5.1.3 Suponga queRCF (x)dS = 2 y

RCG(x)ds = 3 a lo largo de una curva C

parametrizada por medio de � de [0; 1] en Rn. DetermineRC(F (x) +G(x)) dS a lo largo

de una curva parametrizada por medio de � de [0; 1] en Rn si �(t) = �(1� t2)RC(F (x) +G(x))dS =

RC(F (�(t))+G(�(t))) k�0(t)k dt

=RC(F (�(1� t2)) +G(�(1� t2)))

�00(1� t2)(�2t) dt

=RC(F (�(1� t2)) +G(�(1� t2)))

�00(1� t2) (2t)dt

Page 217: Calculo vectorial

5.1. INTEGRAL DE LÍNEA DE CAMPOS ESCALARES 209

Si u = 1� t2 entonces du = (�2t)dtluego

RC(F (x) +G(x))dS =

R 01(F (�(u)) +G(�(u))) k�0(u)k du

= �R 10(F (�(u)) +G(�(u))) k�0(u)k du

= ��R 1

0F (�(u)) k�0(u)k du+

R 10(G(�(u))) k�0(u)k du

�= �

�RCF (x)dS +

RCG(x))dS

�= �(2 + 3) = �5

Utilizando integrales de línea de campos escalares se pueden realizar aplicaciones geo-metricas como la longitud de arco y el área de una valla.Si C es una curva regular regular a trozos de Rn parametrizada por medio de una

función inyectiva � (�:[a; b]! Rn) entonces la longitud de arco S de C es igual a:S =

RCdS =

R bak�0(t)k dt

Nota: Si � no es inyectiva la integral determina la longitud total recorrida por unobjeto que sigue la trayectoria descrita por �

Ejemplo 5.1.4 Hallar la longitud de la porción de hélice circular �(t) = [cos t; sent; t]para 0 � t � 4�Hallamos �0(t) = [�sent; cos t; 1]luego k�0(t)k =

p2

entonces S =R 4�0

p2dt = 4

p2�

Si F es un campo escalar de D � R2 en R, continuo en D y sea C una curva regularde R2 contenida en D y parametrizada por medio de � (� : [a; b] ! R2) y F (x; y) � 08(x; y) 2 C, entonces A =

RCF (x; y)dS determina el área de una super�cie de altura

F (x; y) y base C.

Ejemplo 5.1.5 Hallar el área debajo de la super�cie z = 2x � y sobre la curva plana Cparametrizada por medio de �(t) = [t4; t4] para �1 � t � 1

F (�(t)) = F (t4; t4) = t4

y �0(t) = [4t3; 4t3]luego k�0(t)k =

p16t6 + 16t6dt =

p32t3

por simétriaA = 2

R 10t4p32t3dt

= 2p32R 10t7dt

= 2p32t8

8j10

=2p32

8=p2

Ejercicios sección 5.1.

Page 218: Calculo vectorial

210 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

1. Encuentre una parametrización de la curva dada.

a) y = x

b) (x� 2)2 + y2 = 4

c) y = x2, y = 1

2. Calcular la integral de linea dada a lo largo de la curva C parametrizada por mediode �

a)RC(2x+ 3y)dS si �(t) = [t� 1; t+ 1] con 0 � t � 1

b)RC(x� y)2dS si�(t) = [t3; t2] con �1 � t � 1

c)RCxy4dS si �(t) = [2Sent; 2Cost] con 0 � t � �

3. Calcular la integral de linea dada a lo largo de la curva C.

a)RC(x+ y + z)dS si �(t) = [t; 2t; 3t] con 0 � t � 1

b)RCxyzdS si �(t) = [2t; 3Sent; 3Cost] con 0 � t � �

2

c)RC

z

x2 + y2dS si �(t) = [Cost; Sent; t] con 0 � t � 2�

4. CalcularRC(x2 + y2)dS a lo largo de la curva C.dada.

a) Segmento de recta que une a (0; 0) con (2; 3)

b) Elipsex2

4+y2

9= 1

Page 219: Calculo vectorial

5.1. INTEGRAL DE LÍNEA DE CAMPOS ESCALARES 211

c) Triángulo de vértices (0; 0), (1; 0) y (1; 1)

5. CalcularRCxyzdS a lo largo de la curva C dada.

a) Segmento que une a (1; 1; 1) con (2; 3; 4)

b) Intersección del plano x+ 2y + 3z = 12 y los planos coordenados.

c) Intersección del plano z = 1 y la esfera x2 + y2 + z2 = 4

6. Suponga queRCF (x)dS = k si C es una curva parametrizada por medio de � :

[0; 1]) R2 DetermineRCF (x)dS si C es una curva parametrizada por medio de �

de la siguiente manera

a) �(t) = �(2� t) con t 2 [0; 1]b) �(t) = �(3t) con t 2 [0; 1]c) �(t) = �(Cost) con t 2

���2; �2

�7. Suponga que

RCF (x)dS = k1 y

RCG(x)dS = k2, si C es una curva parametrizada

por medio de � : [0; 1]) R2. Utilizando la parametrización �(t) = �(1�t) determine:

a)RC(F (x; y) +G(x; y))dS

b)RC(2F (x; y)�G(x; y))dS

c)RC(F (x; y)� 2G(x; y))dS

8. Hallal la longitud de la curva dada C

a) y = x2 desde (�1; 1) hasta (2; 4)b)px+

py = 1

c) x2=3 + y2=3 = 1

9. Hallar el área debajo de la super�cie dada sobre la curva C.

a) z = y y C es el segmento de recta que une (0; 0) con (1; 1)

b) z = xy y C es la porción de la parabola y = x2

c) z = x2 + y2 y C es el circulo x2 + y2 = 1

10. Utilizando un CAS gra�que varias vallas (super�cies sobre curvas)

Page 220: Calculo vectorial

212 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

5.2. Aplicaciones

A continuación, se explica como determinar la masa de un alambre no homogéneocuya forma es la de una curva C de R2 o R3, donde la densidad varía en cada punto(x; y) 2 C (o (x; y; z) 2 C). La densidad tiene unidades de masa por longitud de arco.Para esta aplicación, considere que la función densidad � es continua en la curva C.

Alambre Curva que representa el alambre

Si un alambre esta determinado por una curva regular C de R2 parametrizada pormedio de � (�:[a; b]! R2) y ademas su densidad en cada punto P = (x; y) esta determi-nada por �(x; y), entonces la masa de C es igual a M =

RC�(x; y)dS =

R ba�(�(t)) k�0(t)k dt

De igual manera si el alambre esta determinado por una curva regular C de R3 parame-trizada por medio de � (�:[a; b]! R3) y ademas su densidad en cada punto P = (x; y; z)esta determinada por �(x; y; z), entonces la masa de C es igual a M =

RC�(x; y; z)dS =

R ba

�(�(t)) k�0(t)k dt

Ejemplo 5.2.1 Considere un alambre de forma �(t) = [cos(2�t); sen(2�t); t] con t 2[�1; 1] si su densidad en cada punto (x; y; z) está determinada por �(x; y; z) = 1 � z2,encuentre la masa del alambre.Hallamos k�0(t)k�0(t) = [�2�sen(2�t); 2� cos(2�t); 1]y k�0(t)k =

p1 + 4�2

por lo tantoM =

R 1�1(1� t2)

p1 + 4�2dt

=p1 + 4�2

R 1�1(1� t2)dt

=p1 + 4�2

�t� t3

3

�j1�1

=p1 + 4�2

�2� 2

3

�=4p1 + 4�2

3

MOMENTOS ESTÁTICOS DE CURVAS PLANASSi un alambre esta determinado por una curva regular C de R2 parametrizada por

medio de � (�:[a; b]! R2) y ademas su densidad en cada punto P = (x; y) esta determi-nada por �(x; y), entonces el momento estático alrededor del eje x, denotado por Mx, seobtiene como Mx =

RCy�(x; y)dS

Page 221: Calculo vectorial

5.2. APLICACIONES 213

Mientras que el momento estático alrededor del eje y, denotado por My, se calculacomo My =

RCx�(x; y)dS

Las coordenadas (x; y) del centro de masa de un alambre determinado por una curvaregular C de R2 parametrizada por medio de � (�:[a; b] ! R2) y ademas su densidad encada punto P = (x; y) esta determinada por �(x; y), entonces

x =My

M=1

m

RCx�(x; y)dS y =

Mx

M=1

m

RCy�(x; y)dS

MOMENTOS ESTÁTICOS DE CURVAS EN EL ESPACIOSi un alambre esta determinado por una curva regular C de R3 parametrizada por

medio de � (�:[a; b] ! R3) y ademas su densidad en cada punto P = (x; y; z) estadeterminada por �(x; y; z), entonces el momento estático alrededor del plano xy, denotadopor Mxy, se obtiene como Mxy =

RCz�(x; y; z)dS

Mientras que el momento estático alrededor del plano yz, denotado porMyz, se calculacomo Myz =

RCx�(x; y; z)dS

y el momento estático alrededor del plano xz, denotado por Mxz, se calcula comoMxz =

RCy�(x; y; z)dS

Las coordenadas (x; y; z) del centro de masa de un alambre determinado por una curvaregular C de R3 parametrizada por medio de � (�:[a; b] ! R3) y ademas su densidad encada punto P = (x; y; z) esta determinada por �(x; y; z), entonces

x =Myz

M=1

m

RCx�(x; y)dS y =

Mxz

M=1

m

RCy�(x; y)dS z =

Mxy

M=1

m

RCz�(x; y)dS

Ejemplo 5.2.2 Un alambre tiene la forma de la curva y =�

x si 0 � x � 12� x si 1 � x � 2 , si la

densidad en cada punto (x; y) està determinada por �(x; y) = x+ y encuentre el centro demasas.Si 0 � x � 1 la curva tiene la forma de y = x , por lo tantoM1 =

R 102tp2dt = 2

p2R 10tdt =

p2t2 =

p2

Si 1 � x � 2 la curva tiene la forma de y = 2� x , por lo tantoM2 =

R 212p2dt = 2

p2R 10dt = 2

p2t10 = 2

p2

Luego la masa es igual aM =M1 +M2 =

p2 + 2

p2 = 3

p2

Ahora hallamos los primeros momentos respecto a los ejes coordenadosRespecto al eje XMx =

RCy�(x; y)dS

=R 102t2p2dt+

R 21(4� t2)

p2dt

= 2p2R 10t2dt+

p2R 21(4� t2)dt

= 2p2t3

3

1

0+p2

�4t� t3

3

�21

=2p2

3+p2

�8� 8

3� 4 + 1

3

Page 222: Calculo vectorial

214 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

=2p2

3+p2

�4� 7

3

�Respecto al eje YMY =

RCx�(x; y)dS

=R 102t2p2dt+

R 212tp2dt

= 2p2R 10t2dt+ 2

p2R 21tdt =

2p2

3+p2(4� 1)

=2p2

3+p2 =

11p2

3Por lo tanto el centro de masas es igual a

CM = (�x,�y) =�MX

M,MY

M

�=

�11

9;7

9

MOMENTOS DE INERCIA DE CURVAS PLANASSi un alambre esta determinado por una curva regular C de R2 parametrizada por

medio de � (�:[a; b]! R2) y ademas su densidad en cada punto P = (x; y) esta determi-nada por �(x; y), entonces el momento de inercia alrededor del eje x, denotado por Ix, seobtiene como Ix =

RCy2�(x; y)dS

Mientras que el momento de inercia alrededor del eje y, denotado por Iy, se obtienecomo Iy =

RCx2�(x; y)dS

El momento de inercia respecto a un eje L;si la distancia del eje L al punto (x; y) deC es igual a �(x; y)

IL =RC�2(x; y)�(x; y)dS =

R ba�2(�(t))�(�(t) k�0(t)k dt

MOMENTOS DE INERCIA DE CURVAS EN EL ESPACIOSi un alambre esta determinado por una curva regular C de R3 parametrizada por

medio de � (�:[a; b]! R3) y ademas su densidad en cada punto P = (x; y; z) esta deter-minada por �(x; y; z), entonces el momento de inercia alrededor del plano xy, denotadopor Ixy, se obtiene como Ixy =

RCz2�(x; y; z)dS

Mientras que el momento de inercia alrededor del plano yz, denotado por Iyz, se obtienecomo Iyz =

RCx2�(x; y; z)dS

y el momento de inercia alrededor del plano xz, denotado por Ixz, se obtiene comoIxz =

RCy2�(x; y; z)dS

El momento de inercia respecto a un eje L;si la distancia del eje L al punto (x; y; z) deC es igual a �(x; y; z)

IL =RC�2(x; y; z)�(x; y; z)dS =

R ba�2(�(t))�(�(t) k�0(t)k dt

Para un campo escalar F de Rn en R integrable en una curva C de Rn, el valor promedioes la integral sobre C dividida entre la longitud de C.

Teorema 5.2.1 del valor medio.Si F es un campo escalar de D � Rn en R de�nido y acotado en una curva regular

C de Rn contenida en D y parametrizada por medio de � (�:[a; b]! Rn), entonces existea 2 C tal que

Page 223: Calculo vectorial

5.2. APLICACIONES 215

F (a) =

RCF (x)dS

Longitud(C)

Ejercicios secciòn 5.2.

1. Halle la masa del alambre determinado por la curva dada C.

a) C: x2 + y2 = 1 con densidad �(x; y) = x+ y

b) C: y = x2, para �1 � x � 2 con densidad �(x; y) = xy

c) C: triangulo de vèrtices en (0; 0), (1; 0) y (0;1), con densidad �(x; y) = k

2. Halle la masa del alambre determinado por la curva dada C.

a) C: Intersecciòn entre el plano z = 1 y z = x2 + y2, con densidad �(x; y; z) = z

b) C: Intersecciòn entre el cilindro x2 + y2 = 4 y el plano x+ z = 4, con densidad�(x; y; z) = y

c) C: intersecciòn entre la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el plano x + y + z = 0, condensidad �(x; y) = x2

3. Halle el centro de masas del alambre determinado por la curva dada C.

a) C : x2 + y2 = 1; y � 0 si la densidad en cada punto (x; y) es igual a jxj+ jyjb) C : x2 + y2 = 1 ; y � 0 si la densidad en cada punto es proporcional a ladistancia a la recta y = 1

c) C : jxj+ jyj = 1 si es homogéneo

4. Halle el centro de masas del alambre determinado por la curva dada C.

a) C : Intersecciòn entre el cono z =px2 + y2 y el plano z = 2, con densidad

�(x; y; z) = x2 + y2

b) C: Intersecciòn entre el cilindro x2 + y2 = 1 y la esfera x2 + y2 + z2 = 1, paraz > 0, con densidad �(x; y; z) = x2 + y2 + z2

c) C: Intersección entre la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el plano x+ y + z = 1 ; condensidad �(x; y; z) = z

5. Halle el momento de inercia del alambre del ejercicio:

a) 1.a respecto al eje x

b) 1.b respecto al eje y

c) 1.c. respecto a el origen

Page 224: Calculo vectorial

216 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

6. Halle el momento de inercia del alambre del ejercicio:

a) 2.a respecto al plano xy

b) 2.b. respecto al plano xz

c) 2.c. respecto al plano yz

7. Hallar el valor promedio del campo escalar dado a lo largo de la curva C

a) F (x; y) = x+ y y C es el segmento que une a (0; 0) con (1; 2)

b) F (x; y) = xy y C es la porciòn de curva y = senx para 0 � x � �

c) F (x; y; z) = x2 + y2 + z2 y C es la hèlice �(t) = [cos t; sent; t]

8. Utilizando un CAS encuentre el centro de masas de un alambre determinado poruna curva plana.

5.3. Integral de lìnea de campos vectoriales.

Si F es un campo vectorial de D � Rn en Rn, continuo en D y sea C una curva regularde Rn contenida en D y parametrizada por medio de � (�:[a; b]! Rn), entoncesR

CF(x)d� =

RCF(�(t)) � �0(t)dt

Notación 5 Para n = 2,RCF(x; y)d� =

R baF(x(t); y(t))(x�(t); y�(t))dt

Para n = 3,RCF(x; y; z)d� =

R baF(x(t); y(t); z(t))(x�(t); y�(t); z�(t))dt

Aplicando la regla de Barrow 2si g(t) = F(�(t)) � �0(t),RCF(�(t)) � �0(t)dt =

R bag(t)dt = G(b)�G(a)

2

Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo,1677) fue un teólogo, profesor ymatemático inglés al que históricamente se le ha dado menos mérito en su papel enel desarrollo del cálculo moderno. Fue profesor de matemáticas en la Universidadde Cambridge hasta 1669, en que abandonó la cátedra para dedicarse a la enseñanzade la teología.En concreto, en su trabajo respecto a la tangente; por ejemplo, Barrowes famoso por haber sido el primero en calcular las tangentes en la curva de Kappa.Isaac Newton fue discípulo de Barrow. Sus trabajos son fundamento del cálculoin�nitesimal. Enunció la relación recíproca entre la diferencial y la integral, y editódiversas obras de antiguos matemáticos.

Page 225: Calculo vectorial

5.3. INTEGRAL DE LÌNEA DE CAMPOS VECTORIALES. 217

Propiedad 5.3.1 Si F y G son campos vectoriales de D � Rn en Rn, continuos enD y si C es una curva regular de Rn contenida en D y parametrizada por medio de �(� : [a; b]! Rn), entonces(i) Si a = �(t0) y b = �(tn) son los extremos de C entonces

RCF(x)d� =

R baF(x)d� =R tn

t0F(�(t)) � �0(t)dt(ii) Si C es una curva cerrada simple con �(t0) = �(tn) entonces

RCF(x)d� =H b

aF(x)d�(iii) Si C = C1 [C2 [ :::[Cn, entonces

RCF(x)d� =

RC1F(x)d�+

RC2F(x)d�+ :::+R

CnF(x)d�(iv) Si � y � son dos parametrizaciones de C; en la misma direcciòn entonces

RCF(x)d� =R

CF(x)d�(v) Si k y l son números reales entonces

RC(kF(x) � lG(x))d� = k

RCF(x)d� �

lRCG(x)d�(vi) Si F(x) = [F1(x); F2(x); :::; Fn(x)] y d� = [d�1; d�2; :::; d�n] entoncesR

CF(x)d� =

nPi=1

RCFi(x)d�i =

RCF1(x)d�1 + F2(x)d�2 + :::+ Fn(x)d�n

Ejemplo 5.3.1 Calcular la integral de lìneaRC[x; y] d�, a lo largo de la curva C deter-

minada por x2=3 + y2=3 = 1Parametrizamos la curva C de la siguiente formax = cos3 t, y = sen3t con 0 � t � 2� (hipocicloide)luego �(t) = [cos3 t; sen3t]y �0(t) = [�3 cos2 tsent; 3sen2t cos t]entoncesRCF(x)d� =

R 2�0(Cos3t; Sen3t) � (�3Cos2tSent; 3Sen2tCost) dt

=R 2�0(�3Cos5tsent+ 3Sen5t cos t) dt

=

�cos6 t

2+sen6t

2

�2�0

= 0

Ejercicios secciòn 5.3.

1. Calcular la integral de linea dada a lo largo de la curva C.

a)RC(x+ y; x� y) d�, si C està determinada por �(t) = [aCost; bSent] con 0 �

t � 2�b)RC(x; y + 2) d�, si C està determinada por �(t) = [t � Sent; 1 � Cost] con

0 � t � 2�c)RC(x� y; x2y3) d�, si C està determinada por �(t) = [t; atb] con 0 � t � 1; a >

0; b > 0

2. Calcular la integral de linea dada a lo largo de la curva C.

Page 226: Calculo vectorial

218 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

a)RC(x; y; z) d�, si C està determinada por �(t) = [t; t2; t3] con 0 � t � 2

b)RC(xy; y + z; x) d�, si C està determinada por �(t) = [et; e�t; e2t] con 0 � t � 1

3. Calcular la integral de linea dada a lo largo de la curva C.

a)RCxydy, si C està determinada por �(t) = [t; t2] con 0 � t � 1

b)RC(x+ y)dz, si C està determinada por �(t) = [cos t; sent; t] con 0 � t � 2�

c)RCzdx+ xdy + ydz, si C està determinada por �(t) = [t3; t2; t] con 0 � t � 1

4. Calcular la integral de linea dada a lo largo de la curva C.

a)RC[x2 � 2xy; y2 � 2xy] d�, si C està determinada por y = x2 desde (�1; 1) hasta

(2; 4)

b)RC[x+ y; x� y] d�, si C està determinada por jxj+ jyj = 1

c)RC[y; x] d�, si C està determinada por el triàngulo de vèrtices (0; 0), (1; 0) y

(1; 1)

5. Calcular la integral de linea dada a lo largo de la curva C.

a)RC[2xy; 3yz; 4xz] d�, si C està determinada por el segmento de recta desde

(1; 0; 2) hasta (3; 4; 1)

b)RC[x; y; z] d�, si C està determinada por la curva intersecciòn entre el cilindro

x2 + z2 = 1 y el plano x+ y = 1

c)RC[y; z; x] d�, si C està determinada por la curva intersecciòn entre la esfera

x2 + y2 + z2 = 2(x+ y) y el plano x+ y = 2

6. Con las grà�cas del campo vectorial F y de la curva C, determine si la integral delìnea de F sobre C es positiva, negativa o cero.

a) F(x; y) = [x� y; x+ y] y C esta determinada por x2 + y2 = 4

b) F(x; y) =�xy;

x

y

�y C esta determinada por y = senx para 0 � x � �

c) F(x; y) =

"xp

x2 + y2;

ypx2 + y2

#y C esta determinada por x = y para �1 �

y � 5 OJO

7. Utilizando un CAS gra�que un campo vectorial F y una curva C, para estimar elsigno de la integral de lìnea.

Page 227: Calculo vectorial

5.4. TRABAJO, FLUJO Y CIRCULACIÓN. 219

5.4. Trabajo, �ujo y circulación.

Algunas aplicaciones �sicas estan determinadas por vectores, por ejemplo el trabajorealizado por el campo de fuerzas F para mover una particula a lo largo de una curva Cde Rn regular a trozos y parametrizada por medio de � esta determinado por

W =RCF(x) � TdS =

R baF(�(t)) � �0(t)

k�0(t)kdt =R baF(�(t)) � �0(t)dt

donde T(t)=�0(t)

k�0(t)k es un vector tangente unitario a C que representa la dirección en

la cual se aplica la fuerza. 3

Ejemplo 5.4.1 Demuestre que el trabajo efectuado por el campo de fuerzas F(x; y)) =(y; x) para mover una particula desde (0; 0) hasta (1; 1) sobre cuaquier trayectoria de laforma �(t) = [tn; t], siempre es igual a 1.

�(t) = [tn; t] y �0(t) = [ntn�1; 1]F(�(t)) = (tn; t)W =

R 10(tn; t) � [1; ntn�1]dt

=R 10(tn + ntn) dt =

R 10(n+ 1)tndt

= tn+1j10 = 1

Tambien se pueden usar integrales de línea para determina la razón a la que un �uido�uye a traves de una curva.Suponga que una región del plano ol del espacio esta ocupada por un �uido en movimien-

to y que en algun instante de tiempo una particula tiene una velocidad V, si consideramostodos los puntos (particulas) y la velocidad en caca punto, tendremos un campo de veloci-dadesEn vez de ser un campo de fuerza, podemos suponer que F representa el campo de

velocidades de un �uido que corre a lo largo de una curva.El �ujo a lo largo de una curva C de Rn regular a trozos y parametrizada por medio

de �, realizado por el campo de velocidades F de un �uido esta determinado porFlujo=

RCF(x) � TdS =

R baF(�(t)) � �0(t)

k�0(t)kdt =R baF(�(t)) � �0(t)dt

Nota: Si la curva es cerrada el �ujo se denomina circulación.

3

Michael Faraday, FRS, (Newington, 22 de septiembre de 1791 - Londres, 25de agosto de 1867) fue un físico y químico británico que estudió el electromag-netismo y la electroquímica. En 1831 trazó el campo magnético alrededor de unconductor por el que circula una corriente eléctrica, ya descubierto por Oersted,y ese mismo año descubrió la inducción electromagnética, demostró la inducciónde una corriente eléctrica por otra, e introdujo el concepto de líneas de fuerza,para representar los campos magnéticos. Durante este mismo periodo, investigósobre la electrólisis y descubrió las dos leyes fundamentales que llevan su nombre:

Page 228: Calculo vectorial

220 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

Ejemplo 5.4.2 El campo de velocidades de un �uido es F(x; y; z) = (x; y; z):Encuentreel �ujo a lo largo de la hélice circular �(t) = (Cost; Sent; t) con 0 � t � 2�

�0(t) = [�Sent; Cost; 1]F(�(t)) = (Cost; Sent; t)Flujo =

R 2�0(Cost; Sent; t) � [�Sent; Cost; 1]dt

=R 2�0tdt = t2

2

2�

0= 2�2

Si C es una curva cerrada suave en el dominio de un campo vectorial continuo F (x; y) =M(x; y)i + N(x; y)j en el plano y n es un vector normal a C, el �ujo de F a traves de Ces igual a Flujo=

RCF � ndS y la circulación de F a traves de C es igual a

RCF � TdS

Ejercicios secciòn 5.4.

1. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas dado, para mover una particulaa lo largo de la curva C dada.

a) F(x; y) = [�x;�y] C : y=x2 desde (0; 0) hasta (2; 4)b) F(x; y) = [x2; y2] C : x2=3 + y2=3 = 1 desde (1; 0) hasta (0; 1)

c) F(x; y) =�� y

x2 + y2;

x

x2 + y2

�C es el circulo x2+y2 = a2 en sentido contrario

a las manecillas del reloj.

2. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas dado, para mover una particulaa lo largo de la curva C dada.

a) F(x; y; z) = [xy3+ yz; x2y2+ xz; xy] C es la curva parametrizada por medio de�(t) = [ta; tb; tc] a; b y c naturales con 0 � t � 1

b) F(x; y; z) = [x2; y2; z2]C es la curva intersección entre la esfera x2+y2+z2 = a2

y el cilindro x2 + y2 = ay

c) F(x; y) = [yz; xz; xy] C es el triàngulo de vértices (0; 0; 0); (1; 1; 1) y (�1; 1;�1)en ese orden

3. Si F es un campo de velocidades de un �uido, halle el �ujo a lo largo de la curvadada.

a) F(x; y) = (x� y; y � x) C es el circulo unitario.

b) F(x; y) = (3xy; 1) C es la elipse 4x2 + 9y2 = 36

c) F(x; y) = (Cost; Sent) C es el segmento de recta que une (1; 1) con (2; 4)

4. Halle la circulación de los campos de velocidades del numeral 4.

Page 229: Calculo vectorial

5.5. TEOREMAFUNDAMENTALDELCÁLCULOPARA INTEGRALESDE LÌNEA.221

5. Si F es un campo de velocidades de un �uido, halle el �ujo a lo largo de la curvadada.

a) F(x; y; z) = (2x; 3y; 4z) C es la curva parametrizada por medio de �(t) =(t; t2; t3) con 0 � t � 1

b) F(x; y; z) = (x; y; z) C es la curva intersección entre la esfera unitaria y elplano x+ y + z = 1

c) F(x; y; z)

6. Suponga que una curva regular C está determinada por �(t) = [t; f(t)] para a �t � b. Existe alguna relación entre el trabajo realizado por el campo de fuerzasF(x; y) = yi para mover una particula a lo largo de C y el área debajo de la curvaC.

7. Utilizando un CAS gra�que un campo de fuerzas y una curva C, luego determine siel trabajo es positivo, negativo o cero.

5.5. Teorema fundamental del cálculo para integralesde lìnea.

En esta sección consideraremos campos vectoriales conservativos cuya integral dependede los extremos de la trayectoria y no del camino que los une. Ademas comprobaremosque un campo vectorial es conservativo si es el gradiente de un campo escalar.

Se dice que una curva C de Rn es recti�cable si es suave a trozos y de longitud �nita.Se dice que un conjunto S de Rn abierto es un conjunto conexo si todo par de puntos

a y b de S, se pueden unir por un camino regular a trozos contenido en S

aConexo Conexo No conexo

Si C es una curva recti�cable de extremos a y b contenida en un conjunto conexo Sy F un campo vectorial continuo en S, se dice que

RCF(x)d� es independiente de C si la

integral solo depende de a y b, y no de C.Si un campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar �, entonces � es llamado

potencial y F es llamado campo conservativo.

Page 230: Calculo vectorial

222 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

Teorema 5.5.1 Si � es un campo escalar de Rn en R diferenciable en un conjunto conexoabierto S de Rn, entonces para dos puntos cualesquiera a y b unidos por una curva regulara trozos C contenida enS; se tiene que

RCr�d� = �(b)� �(a)

Demostración. Sean a y b dos puntos de S que unen un camino regular a trozos C � Sparametrizado por medio de � de [t0; tn] en Rnaplicando la regla de la cadena para campos escalaressi g(t) = �(�(t))g(tn) = �(�(tn)) = �(b)y g(t0) = �(�(t0)) = �(a)entonces g0(t) = r�(�(t)) � �0(t)luegoRCr�d� =

R tnt0r�(�(t)) � �0(t)dt

=R tnt0g0(t)dt = g(t)jtnt0

= g(tn)� g(t0) = �(b)� �(a)

Como consecuencia del teorema la integral de línea de un gradiente es independiene dela trayectoria.El siguiente teorema determina las condiciones necesarias y su�cientes para que un

campo vectorial sea un gradiente.

Teorema 5.5.2 Si F es un campo vectorial continuo en un conjunto conexo abierto S deRn, entonces las siguientes a�rmaciones son equivalentes.(i) F es el gradiente de una función potencial en S(ii)La integral de linea de F es independiente de la trayectoria en S(iii)La integral de F a lo largo de una curva cerrada regular a trozos C contenida en

S es nula

Demostración. Basta demostrar que(i)) (ii), (ii)) (iii), (iii)) (ii) y (ii)) (i)ya que (i)) (ii) ^ (ii)) (iii) es equivalente a (i)) (iii)y que (iii)) (ii) ^ (ii)) (i) es equivalente a (iii)) (i)veamos que (i)) (ii)supongamos que F=r� entonces por el teorema 1.RCF(x)d� =

RCr�d� = �(b)� �(a)

lo cual nos dice que no importa cual sea el camino que une a con bpor lo tanto es independiente de la trayectoria que une a con bveamos ahora que (ii)) (iii)RCF(x)d� =

RC1F(x)d�+

RC2F(x)d� =

RC1F(x)d��

R�C2 F(x)d� = 0

por lo tanto la integral de linea a lo largo de una curva cerrada regular a trozos Ccontenida en S es nulaveamos que (iii)) (ii)RCF(x)d� =

RC1[C2 F(x)d� =

RC1F(x)d�+

RC2F(x)d�

Page 231: Calculo vectorial

5.5. TEOREMAFUNDAMENTALDELCÁLCULOPARA INTEGRALESDE LÌNEA.223

=RC1F(x)d��

R�C2 F(x)d�

entoncesRC1F(x)d� =

R�C2 F(x)d�

por lo tantoRCF(x)d� depende solo de los extremos de C

(ii)) (i)Se deja como ejercicio al lector.

El contarreciproco del siguiente teorema de condiciones necesarias nos puede servirpara determinar cuando un campo vectorial no es un gradiente.

Teorema 5.5.3 Si F es un campo vectorial diferenciable en un conjunto conexo abiertoS de Rn y ademas si F es el gradiente de un campo escalar � en S, entonces las derivadasparciales de las componentes de F satisfacen las ecuaciones

@Fi@xj

(x) =@Fj@xi

(x) para

i; j = 1; 2; :::; n y 8x 2 S

Demostración. Sea F(x) = [F1(x); F2(x); :::; Fn(x)]donde Fi(x) 8i = 1; 2; :::; n son campos escalares de Rn en Rademas F(x) = r�(x)es decir

@�

@xi(x) = Fi(x) 8x 2 S y 8i = 1; 2; :::; n

Derivando respecto a xj (con xj 6= xi)@2�

@xj@xi(x) =

@Fi@xj

(x) y visceversa

@2�

@xi@xj(x) =

@Fj@xi

(x)

y como � es diferenciable@2�

@xj@xi(x) =

@2�

@xi@xj(x)

entonces@Fi@xj

(x) =@Fj@xi

(x)

Ejemplo 5.5.1 Determinar si el campo vectorial F(x; y) = [2xey + y; x2ey � x] es o noun gradiente.Veamos que F1(x; y) = 2xey + yy F2(x; y) = x2ey � x

@F1@y(x; y) = 2xey + 1

@F2@x(x; y) = 2xey � 1

como@F1@y(x; y) 6= @F2

@x(x; y)

F no es un gradiente

Page 232: Calculo vectorial

224 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

Ejemplo 5.5.2 Determinar si el campo vectorial F(x; y) =�

�yx2 + y2

;x

x2 + y2

�es o no un

gradiente.

Aunque@F1@y(x; y) =

@F2@x(x; y) =

y2 � x2

(x2 + y2)2

no podemos a�rmar que F sea un gradientecalculamos la integral de F a lo largo de una curva cerradaC: x2 + y2 = 1�(t) = [cos t; sent] y �0(t) = [�sent; cos t] con 0 � t � 2�R 2�0(�sent; cos t)(�sent; cos t)dt

=R 2�0(sen2t+ cos2 t)dt

=R 2�0dt = 2�

es diferente de cero.entonces F no es un gradiente.

El reciproco del teorema anterior es válido sólo si la región S es simplemente conexa.Una región S es simplemente conexa si S es conexa y toda curva simple cerrada en S esla frontera de una región de puntos de S.

Diferentes tipos de curvas.

simple abierta no simple abierta simple cerrada no simple cerradaLas curvas cerradas simples planas tambien se denominan curvas de Jordan4.

4

Camille Jordan (Lyon 1838 - París 1922) Fue un matemático francés conocidotanto por su trabajo, fundamental, sobre la teoría de los grupos como por su in-�uyente Curso de análisis (Cours d�analyse). Jordan estudió en la Escuela Politéc-nica (promoción 1855). Fue ingeniero de minas y, más tarde ejerció como exami-nador en la misma escuela. En 1876 entró como profesor en el Colegio de Francia,sustituyendo a Joseph Liouville. Su nombre se asocia a un determinado número deresultados fundamentales: El teorema de la curva de Jordan: un resultado topológi-co recogido en análisis complejo. La forma normal de Jordan en álgebra lineal. Elteorema de Jordan-Holder, que es el resultado básico de unas series de composi-ciones. El trabajo de Jordan incidió de manera sustancial en la introducción de lateoría de Galois en la corriente del pensamiento mayoritario. Investigó también los

grupos de Mathieu, los primeros ejemplos de grupos esporádicos. Su Tratado de las sustituciones (Traitédes substitutions) sobre las permutaciones de grupos fue publicado en 1870. El 4 de abril de 1881 fueelegido miembro de la Academia de la Ciencia. De 1885 a 1921 dirige la «Revista de matemáticas purasy aplicadas» (Journal de mathèmatiques pures et apliqués), fundado por Liouville.

Page 233: Calculo vectorial

5.5. TEOREMAFUNDAMENTALDELCÁLCULOPARA INTEGRALESDE LÌNEA.225

Teorema 5.5.4 Si F es un campo vectorial diferenciable en un conjunto conexo abiertoS de Rn y ademas Fi para i = 1; 2; :::; n tiene derivadas parciales continuas y

@Fi@xj

(x) =

@Fj@xi

(x) 8x 2 S entonces F es un gradiente.

Corolario 5.5.1 Si � es un campo escalar diferenciable en un conjunto conexo abierto Sde Rn, tal que r� = 0 entonces

R xar�d� = 0

Demostración. Sea a 2Sy � una parametrización de una curva contenida en Sque une a con xutilizando el teorema 1�(x)�r�(a) =

R xar�(x)d�

pero como r�(x) = 0entonces

R xar�(x)d� = 0

�(x)�r�(a) = 0luego �(x) = r�(a)

Propiedad 5.5.1 Método para construir un potencial.Si el campo vectorial F de Rn en Rn es el gradiente de un campo escalar � de Rn en R,

entonces �(x) =RFi(x)dxi + Ai(y) 8i = 1; 2; :::; n ; x 2 Rn , y 2 Rn�1, siendo Ai(y)

el resto que depende de las otras variables diferentes de xi

Ejemplo 5.5.3 CalcularRC[2xy3 + yz; 3x2y2 + xz; xy] d�, si C es la curva intersección

entre las esferas x2 + y2 + z2 = a2 y x2 + y2 + (z � a)2 = a2.La curva intersección entre las esferas es una curva cerradaveamos ahora si F = (F1; F2; F3) es un gradienteF1(x; y; z) = 2xy

3 + yz, F2(x; y; z) = 3x2y2 + xz, F3(x; y; z) = xyentonces@F1@y(x; y; z) =

@F2@x(x; y; z) = 6xy2 + z

@F1@z(x; y; z) =

@F3@x(x; y; z) = y

@F2@z(x; y; z) =

@F3@y(x; y; z) = x

vemos que F es un gradiente y es continuo en cualquier región de R3como la curva C es cerradaRC(2xy3 + yz; 3x2y2 + xz; xy)d� = 0

Ejemplo 5.5.4 Calcular la integral de lineaR (e;1)(1;0)

[Lnx+ 2y; ey + 2x]d�

Veamos si F(x; y) = [Lnx+ 2y; ey + 2x] es un gradienteF1(x; y) = Lnx+ 2y y F2(x; y) = ey + 2x

Page 234: Calculo vectorial

226 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

@F1@y(x; y) = 2 y

@F2@x(x; y) = 2

consideremos un conjunto conexo en el que x > 0entonces F es un gradienteconstruimos el potencial�(x; y) =

RC(Lnx+ 2y)dx+ A(y) = xLnx� x+ 2xy + A(y)

�(x; y) =RC(ey + 2x)dy + A(x) = ey + 2xy + A(x)

Luego �(x; y) = xLnx� x+ 2xy + ey + k entoncesRC(Lnx+ 2y)dx+ (ey + 2x)dy = �(e; 1)� �(1; 0) = 3e

Ejercicios sección 5.5.

1. En la �gura se ve una curva C y un conjunto de curvas de nivel de un campo escalar� cuyo gradiente es continuo. Calcule

RCr�(x; y)d�

2. La siguiente tabla determina unos valores de un campo escalar � con gradientecontinuo. Determine

RCr�(x; y)d� donde C está determinada por �(t) = [t2 + 1; 2t]

con 0 � t � 2

xny 0 2 40 1 5 34 4 7 56 8 5 9

3. Determine si el campo vectorial F es conservativo o no, si lo es halle su correspondi-ente función potencial.

a) F(x; y) = [1 + 4x3y3; 3x4y2]b) F(x; y) = [yCosx+ Seny + 1; Senx+ xCosy + 1]

Page 235: Calculo vectorial

5.5. TEOREMAFUNDAMENTALDELCÁLCULOPARA INTEGRALESDE LÌNEA.227

c) F(x; y) = [exSeny + 1; exCosy + 1]

4. Determine si el campo vectorial F es conservativo o no, si lo es halle su correspondi-ente función potencial.

a) F(x; y; z) = [x2y; xz2; zy2]

b) F(x; y; z) = [ey+2z; xey+2z; 2xey+2z]

c) F(x; y; z) = [y2 cos z; 2xy cos z;�xy2senz]

5. Demuestre que la integral de línea es independiente de la trayectoria y evalue laintegral.

a)R (3;2)(�1;1) [x+ y; x+ y] d�

b)R (2�;0)(0;0)

[lnx+ 2y; ex + 2x] d�

c)R (4;1;2�)(2;1=3;�)

�ex ln y;

ex

y+ senz; y cos z

�d�

6. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas F para mover una particula desdeP hasta Q.

a) F(x; y) =�2x

y;�x

2

y2

�, P (�1; 1) y Q (3; 2)

b) F(x; y) = [e�y;�xe�y], P (0; 0) y Q(1; 2)

c) F(x; y; z) = [z3 + 2xy; x2; 3xz2], P (1; 1; 1) y Q(1; 2; 4)

7. Si � y son potenciales de un campo vectorial F de Rn en Rn, demuestre que �� es constante en un conjunto S de Rn.

8. Si � y son potenciales de Rn en R, es �� potencial de Rn en R ? Justi�que surespuesta.

9. Si F y G son campos conservativos de Rn en Rn, es F � G campo conservativo deRn en Rn? Justi�que su respuesta.

10. Utilizando un CAS determine el valor deRCr�(x; y)d� a partir de algunas curvas

de nivel.de � y de una curva C.

Page 236: Calculo vectorial

228 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

5.6. Teorema de Green

El teorema de Green5 es uno de los teoremas básicos del analisis vectorial que rela-ciona una integral de línea a lo largo de una curva plana cerrada con una integral dobleen una región encerrada por la curva plana, y visceversa. El teorema de Green permitefacilitar el cálculo de algunas integrales de línea (o de integrales dobles) transformándolasen integrales dobles (o en integrales de línea).

Teorema 5.6.1 Si C es una curva regular a trozos cerrada y simple, que encierra unaregión de R2 y si F(x; y) es un campo vectorial de R2 en R2 diferenciable en una bola

abierta B de R2 que contiene a , entoncesHCF(x; y)d� =

R

R �@F2@x

� @F1@y

�dA

Demostración. Como F(x; y) = [F1(x; y); F2(x; y)] Basta demostrar queHCF1(x; y)dx = �

RR

R@F1@ydA y

HCF2(x; y)dy =

RR

R@F2@x dA

Si esta determinada por una región tipo 1 (capitulo 4)

= f(x; y)ja � x � b; ^; g1(x) � y � g2(x)g donde g1 y g2 son funciones continuasen [a; b]

entoncesR

R @F1@y

dA =R ba

R g2(x)g1(x)

@F1@y

dydx

=R baF1(x; y)jg2(x)g1(x)

dx

=R ba(F1(x; g2(x))� F1(x; g1(x))) dx

= �R abF1(x; g2(x))dx�

R baF1(x; g1(x))dx

= �RC2F1(x; y)dx�

RC1F1(x; y)dx = �

HCF1(x; y)dx

5

George Green (julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un matemático británicocuyo trabajo in�uenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos enfísica. Entre sus obras más famosas se cita: Ün análisis de las aplicaciones delanálisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo"publicadoen 1828. En este ensayo se introdujeron los conceptos de funciones de poten-cial utilizados comúnmente en la formulación matemática de la física. Tambiénaparecieron en este ensayo las funciones de Green y aplicaciones importantes delteorema de Green.

Page 237: Calculo vectorial

5.6. TEOREMA DE GREEN 229

De igual forma se demuestra la otra igualdad.Queda a cargo del lector.

Ejemplo 5.6.1 Veri�car el teorema de Green para F(x; y) = [2xy � x2; x + y2] sobre laregión acotada por las curvas y = x2, x = y2.Si C es la frontera de , limitada por las curvas C1 : y = x2 y C2 : x = y2

las cuales se cortan en (0; 0) y (1; 1)entonces parametrizando C1 con �1(t)�1(t) = [t; t

2] con 0 � t � 1 y ��1(t) = [1; 2t]luego

HC1F(x; y)d� =

R 10[2t3 � t2; t+ t4][1; 2t]dt

=R 10(2t3 + t2 + 2t5)dt

=t4

4+t3

3+t6

6j10 =

1

2+1

3+1

3=1

2+2

3=7

6Parametrizamos ahora C2 con �2(t)

�2(t) = [t;pt] con 1 � t � 0 y ��2(t) =

h1; 1

2pt

iluego

HC2F(x; y)d� =

R 01[2t3=2 � t2; t+ t]

�1;

1

2pt

�dt

=R 01(2t3=2 � t2 + t1=2)dt

=4t5=2

5� t3

3+2t3=2

3j01 = �

4

5+1

3� 23= �4

5� 13= �17

15Por lo tantoHCF(x; y)d� =

7

6� 1715=1

30Calculamos ahora la integral doble sobre R

R �@F2@x

� @F1@y

�dA

tal que@F2@x

= 1 y@F1@y

= 2x

luegoR

R(1� 2x) dA =

R 10

R pxx2(1� 2x)dydx

=R 10(y � 2xy)j

px

x2 dx

=R 10(px� 2x3=2 � x2 + 2x3)dx

Page 238: Calculo vectorial

230 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

=2x3=2

3� 4x

5=2

5� x3

3+x4

2j10

=2

3� 45� 13+1

2=1

3� 45+1

2=1

30

El Teorema de Green se puede extender a regiones con huecos, cuya frontera estéformada por más de una curva cerrada simple.

Teorema 5.6.2 Sean C, C1, C2,...,Ck; son curvas regular a trozos disyuntas dos a dos yorientadas positivamente (sentido antihorario) que determinan una región de fronteraC, con huecos Ck de R2. Si F(x; y) es un campo vectorial de R2 en R2 diferenciable en ,

entoncesHCF(x; y)d��

kPi=1

RCiF(x; y)d� =

R

R �@F2@x

� @F1@y

�dA

Notación 6 Veamos que en el enunciado del teorema hemos supuesto que todas las curvastienen orientación antihoraria y por eso, en la igualdad las integrales sobre las curvasinteriores se restan en lugar de sumarse.

Una aplicación del teorema de Green es el calculo de áreas, como vimos en el capitulo4 el área de la región está determinada por A =

R

RdA, utilizando el teorema de Green

podemos transformar esta integral doble en una integral de línea sobre la frontera C de

sin más que elegir funciones F1, F2 tales que:@F2@x

� @F1@y

= 1.

Hay muchas opciones, como: F1(x; y) = 0, F2(x; y) = x; F1(x; y) = �y, F2(x; y) = 0;F1(x; y) = �

y

2, F2(x; y) =

x

2; etc.

Por lo que obtenemos las siguientes expresiones para el área: A =RCxdy = �

RCydx =

1

2

RCxdy � ydx

Corolario 5.6.1 Si la frontera de una región en el plano XY es una curva C regulara trozos y cerrada simple, entonces el área de R es igual a A =

HCxdy = �

HCydx =

12

HCxdy � ydx

Page 239: Calculo vectorial

5.6. TEOREMA DE GREEN 231

Demostración. Si F1(x; y) = 0 entonces F2(x; y) = xSi F2(x; y) = 0 entonces F1(x; y) = �yLuego si F1(x; y) = �

y

2y F2(x; y) =

x

2entonces

A =HCxdy = �

HCydx =

1

2

HCxdy � ydx

Aplicando el teorema de Green

A =1

2

HCxdy � ydx =

1

2

R

R(1 + 1)dydx =

R

Rdydx

Ejemplo 5.6.2 Calcular el área de la región encerrada por la hipocicloide x2=3+y2=3 = a2=3

(a > 0).

Utilizando la parametrizaciónx = a cos3 t, y = asen3t, con 0 � t � 2�dx = �3a cos2 tsent, dy = 3asen2t cos tA =

1

2

R 2�0[(a cos3 t)(3asen2t cos t)� (asen3t)(�3a cos2 tsent)] dt

=3

2a2R 2�0sen2t cos2 tdt

=3

2a2R 2�0sen2(2t)dt

=3

8a2R 2�0

�1� cos(4t)

2

�dt

=3

16a2R 2�0(1� cos s(4t))dt

=3

8�a2

Ejercicios sección 5.6.

1. Comprobar el teorema de Green del campo vectorial F dado, sobre la región

a) F(x; y) = [3x2y;�x3] si es la región acotada por las curvas y = x2 y y = 1

b) F(x; y) = [xy; xy] si es la región acotada por y =p4� x2 y y = 0

c) F(x; y) = [x+2y; x�2y] si es la región acotada por las curvas y = x2 y y = x.

2. Comprobar el teorema de Green del campo vectorial F dado, sobre la región

Page 240: Calculo vectorial

232 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

a) F(x; y) = [xy; x2] si es la región acotada por el triángulo de vértices (0; 0); (1; 0)y (1; 1)

b) F(x; y) = [x;�x2y2] si es la región acotada por el cuadrado de vértices(0; 0); (1; 0); (1; 1) y (0; 1).

c) F(x; y) = [xy2;�x2y] si es la región poligonal de vértices (0; 0); (4; 0); (3; 1) y(1; 1).

3. Utilice el teorema de Green para evaluar la integral dada.

a)HC(y + ex; 2x+ Cosy2)d� si C es la curva determinada por y = x2 y x = y2

b)HC(y2 � ArcTanx; 3x + Seny)d� si C es la curva determinada por y = x2 y

y = 4

c)HC(x4 � 3y; 2y3 + 4x)d� si C es la curva determinada por

x2

9+y2

4= 1

4. Utilice el teorema de Green para evaluar la integral dada.

a)HC(x� y; x+ y)d� si C es la frontera entre los cuadrados de vértices (�1;�1),

(�1; 1), (1;�1) y (1; 1); (�2;�2), (�2; 2), (2;�2) y (2; 2).b)HC(x3 � y3; x3 + y3)d� si C es la frontera de la región comprendida por 1 �

x2 + y2 � 4c)HC(esinx� y; ecos y + x)d� si C es la frontera de la región comprendida entre de

las grá�cas de x2 + y2 = 9,x2

4+ y2 = 1

5. Use una integral de línea para hallar el área de la región

a) acotada por las gra�cas de las parabolas y = x2 y x = y2

b) acotada por la grá�cas de la elipsex2

a2+y2

b2= 1

c) acotada por la grá�cas de la r = 2(1� cos �)

6. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F para mover una particula a lo largo dela curva C.

a) F(x; y) = [3x+ y; 4x� 5y], C es la elipse x2 + 4y2 = 16

b) F(x; y) = [ex + y2; x2y + Cosy], C es la curva acotada por y =p25� x2 y

�5 � x � 5c) F(x; y) = [x4 + 4; x+ xy], C es el cardiode r = 1 + cos �.

7. Utilice el teorema de Green para demostrar el teorema del cambio de variables parauna integral doble para el caso F (x; y) = 1.

Page 241: Calculo vectorial

5.6. TEOREMA DE GREEN 233

8. Utilizando un CAS veri�que el teorema de Green.

Ejercicios de repaso del capitulo 5PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO

1. Para calcular una integral de línea a lo largo de una curva, esta se debe parametrizar

2. La parametrización de una curva es unica.

3. La integral de línea a lo largo de cualquier curva cerrada es igual a cero.

4. Los limites de integración de una integral de línea dependen de la parametrización.

5. Asociado a todo campo vectorial conservativo existe su correspondiente función po-tencial.

6. El trabajo realizado por una fuerza para mover una particula a lo largo de una curvaes una integral de línea.

7. El teorema fundamental del cálculo para integrales de línea esta de�nido solamentepara campos vectoriales.

8. Un poligono regular de n lados es un conjunto conexo.

9. Una curva en forma de ocho es simple.

10. El teorema de Green esta de�nido solamente R2

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA

1. La integral de líneaRCF (x; y)dS, si C es el circulo unitario, es equivalente a:

A.R 1�1 F

�t;p1� t2

�dt B.

R 2�0F (cos(2t); sen(2t))dt C. 2

R �0F (cos t; sent)dt D.R �=4

0F (cos(4t); sen(4t))dt

2. La masa de un alambre homogeneo con forma de un triangulo equilatero de lado 1es igual a:

A. 3K B.3

2K C.

p3

4K D. K

3. La integral de líneaRCF(x)d�, si C es el segmento de recta de (0; 0) hasta (1; 1), es

igual a:

A.R 10F(t; t)dt B.

R 10F(t; t)(t; t)dt C:

R 10F(t2; t2)(2t; 2t)dt D.

R 10F(cos t; sent)(�sent; cos t)dt

Page 242: Calculo vectorial

234 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

4. Un campo de fuerzas viene dado en coordenadas polares por la ecuación F (r; �) =�4sen��!i + 4sen��!j . El trabajo efectuado al mover una partícula desde el punto(1; 0) al origen siguiendo la espiral r = e�� es:

A.5

8B. �5

8C.8

5D. �8

5

5. Para el campo vectorial F(x; y) =�

�yx2 + y2

;x

x2 + y2

�, se puede a�rmar que:

A: Su potencial es � = � arctan xy

B. F no es un gradiente

C.RCF(x; y)d� es independiente de la trayectoria D. Su potencial es � = arctan

y

x

6. La integral de líneaRC (4x+ 2y � z) dx + (2x� 2y + z) dy + (�x+ y + 2z) dz es

independiente de la trayectoria y su valor desde (0; 0; 0) hasta (2; 1; 3) es:

A. 13 B. 15 C. -15 D. 17

7. Si C es el borde de la cardiode r = 1 + cos �, I =RC(x4 + 4)dx+ xydy entonces:

A. I =R 2�0

R 1+cos �0

r2sen�drd� B..I =R 2�0(sen2t+ cos3)tdt

C.I =R 2�0[� cos tsent� sen2t; sent cos t+ cos3 t] dt D. I =

R 2�0

R 10r2sen�drd�

8. El área de la región encerrada por la deltoide x = 2 cos t+cos 2t y y = 2sent�sen2t,0 � t � 2� es:

A. 2� B.3� C.3

2� D.

5

2�

9. Si F(x; y) = �x2y�!i + xy2�!j y C esta formada por la porción de circulo x2 + y2 = 4desde (2; 0) hasta

�p2;p2�y los segmentos de recta desde

�p2;p2�hasta (0; 0) y

de (0; 0) hasta (2; 0) entoncesRCFd�es igual a:

A..� B.� + 2 C.3�

2D.5�

2

10. La integral de lìneaRCx2dy+ y2dx, donde C es el circulo x2+ y2 = 1, es equivalente

a:

A. 2R 10

R 2�0(rsen� � r cos �)d�dr B. 2

R 10

R 2�0(r2 cos � � r2sen�)d�dr

C.R 10

R �0(r cos � � rsen�)d�dr D. 2

R 10

R �0(r2sen� � r2 cos �)d�dr

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTASi 1 y 2 son correctas marque A Si 2 y 3 son correctas marque BSi 3 y 4 son correctas marque C Si 2 y 4 son correctas marque DSi 1 y 3 son correctas marque E

Page 243: Calculo vectorial

5.6. TEOREMA DE GREEN 235

1. Si la ecuación parametrica del lazo de curva C es �(t) = [sen(2t); sent], es correctoa�rmar que:

1. Area que encierra C es igual a1

2

R �0(sen(2t) cos t� 2sent cos(2t))dt

2. longitud de C es igual aR �0(2 cos(2t); cos t)dt

3. t 2 [0; 2�]4. Area que encierra C es igual a

8

3A. B. C. D. E.

2. Para el campo vectorial F(x; y) =�y +

1

x; x+

1

y

�se puede a�rmar que:

1. F es conservativo 2.'(x; y) = Ln(x+ y) + xy + ces su potencial3.RCF(x; y)d� = 0 si C : x2 + y2 = r2 4.

RCF(x; y)d� es independiente de la

trayectoria.A. B. C. D. E.

3. Para el campo vectorial F(x; y) =�

1

x+ y;1

x+ y

�se puede a�rmar que:

1. El potencial de F es ' = Lnx+ Lny + C2. F es conservativo. 3.

RCF(x; y)d� = 0 si C es cualquier curva cerrada.

4. El trabajo realizado por F para mover una partícula a lo largo de una curva C puedeser igual a cero.A. B. C. D. E.

4. Suponga que F es el campo de fuerza gravitacional ejercido por una partícula de masaM unidades ubicado en el origen sobre una partícula de masa 1 unidad localizada

en el punto P (x; y; z). Entonces F esta dado por: F(x; y; z) =�GM

(x2 + y2 + z2)3=2(xi+

yj+ zk), se puede a�rmar que:

1. La función potencial es �(x; y; z) =GMp

(x2 + y2 + z2)3

2. El trabajo realizado por la fuerza F que mueve una partícula de masa 1 unidad a lolargo de una curva suave C desde el punto (1; 3; 4) hasta el punto (2; 2; 2) es 2

15GM

Page 244: Calculo vectorial

236 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

3. La función potencial es �(x; y; z) = � GMpx2 + y2 + z2

4. El trabajo realizado por la fuerza F que mueve una partícula de masa 1 unidad a lolargo de una curva suaveC desde el punto (0; 3; 4) hasta el punto (2; 2; 1) es

�p36�

p2626

�GM

A. B. C. D. E.

5. Para el campo vectorial F(x; y) = xyi + y2j de�nido sobre la curva C orientadapositivamente y formada por las curvas y = x2y y = xen el primer cuadrante setiene.

1. La circulación es1

122. El �ujo hacia el exterior es

1

5

3. La circulación es � 112

4. El �ujo hacia el exterior es �15

A. B. C. D. E.

6. Dada la integralRC

(4x + 2y � z)dx + (2x � 2y + z)dy + (�x + y + 2z)dzse puede

concluir lo siguiente:

1. La integral es independiente de la trayectoria2. Si C es cualquier curva seccionalmente uniforme de (4;�2; 1) a (�1; 2; 0) la integral

es igual a �263. Si C es cualquier curva seccionalmente uniforme cerrada el valor de la integral es

�264. Si C es cualquier curva seccionalmente uniforme de (4;�2; 1) a (�1; 2; 0) la integral

es igual a �13.A. B. C. D. E.

7. Sean ' es un campo escalar y F es un campo vectorial, de�nidos sobre una curvasuave C dada en coordenadas polares por r = r(�), con �1 � � � �2.

1. Longitud deC esR �2�1

sr2 +

�dr

d�

�2d� 2.

RCF (x; y)d� =

R �2�1F (r cos �; rsen�)(�rsen�; r cos �)d�

3.RC'(x; y)ds =

R �2�1'(r cos �; rsen�)rd� 4. �(�) = [r(�) cos �; r(�)sen�] es una para-

metrización de C.A. B. C. D. E.

8. Las coordenadas del centroide de una lamina plana de área A, acotada por una curvaregular, cerrada y simple C son:

1. x = 1A

RCx2dy 2. y = 1

A

RCy2dy 3. y = 1

2A

RCy2dy 4. x = 1

2A

RCx2dy

A. B. C. D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS

Page 245: Calculo vectorial

5.6. TEOREMA DE GREEN 237

1. Calcular la integral de linea

a)RC(x2+ y2)dS si C es la curva cuya ecuación parametrica es �(t) = (A(Cost+

tSent); A(Sent� tCost)) con 0 � t � 2�b)RCzdSSi C es la curva cuya ecuación parametrica es �(t) = (tCost; tSent; t)

con 0 � t � t0

c)RC

�x+

x2y

1 + xy

�dS si C es la curva determinada por y =

px desde (0; 0)

hasta (4; 2)

2. Hallar la masa de un alambre de forma circular x2+y2 = a2 , si su densidad en cadapunto (x; y) es igual a jxj+ jyj

3. Hallar la longitud de la elipsex2

a2+y2

b2= 1

4. Hallar el área de la super�cie z = 2x � y sobre la curva y = jxj desde (�1; 1)hasta (1; 1)

5. Calcular la integral de linea

a)RCexsenydx + ex cos ydy si C está determinada por el cicloide �(t) = (t �

sent; 1� cos t) desde (0; 0) hasta (2�; 0)

b)RC2 arctan

y

xdx+ln(x2+y2)dy si C está determinada por �(t) = (4+2 cos t; 4+

sent)

6. Sean C la curva dada en la grá�ca, F(x; y) = [sin y; x cos y]. CalcularRCF(x; y)d�.

Page 246: Calculo vectorial

238 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

7. Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x; y) = [lnx+ 2y; ey + 2x]para mover una particula a lo largo de la espiral r = � (0 � � � 2�).

8. Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x; y) = [senx+2y; cos y+2x]para mover una particula a lo largo de la espiral r = � (0 � � � 2�).

9. Encuentre la circulación antihoraria y el �ujo hacia el exterior para el campo F(x; y) =[x+ y;�x2 � y2] a través del triángulo acotado por las rectas y = 0, x = 3, y = x.

10. Calcular la integralZc

ydx� xdy

x2 + y2a lo largo de cualquier curva suave desde (1; 1)

hasta (2p3;p2)

11. Determinar el valor de � para que la integral de linea sea independiente de la trayec-toria y luego calcularla

a)R (1;�1)(0;0)

(xy2 + �x2y; x3 + x2y)d�

b)R (2;0)(1;1)

(ye2xy + x; �xe2xy)d�

12. Determinar si el siguiente campo vectorial es conservativo o no (justi�que). F(x; y; z) =[Sen2(5x)Cos2(5x); y2Seny; (z + 1)2ez]

13. Sea F(x; y) = [x2yCosx+ 2xySenx � y2ex; x2Senx� 2yex]

a) Determinar si F es conservativob) Si C es una curva suave que une (�1; 2) con (0; 3) calcule

RCFd�

14. Si C es cualquier curva suave que une el punto (0; 0; 0) con el punto (1;�2; �).Calcular la integral de linea

RC(exSenz + 2yz; 2xz + 2y; exCosz + 2xy + 3z2)d�

15. Calcular la integral de lineaR (0;1;�=2)(�1;�1=2;�)(ye

xyCosz � 2e�2xSen(�y); �e�2xCos(�y) +xexyCosz; exySenz)d�

16. Calcular la integral de lineaRC(5x3 + 4y; 2x � 4y4)d� a lo largo de la curva C :

(x� 2)2 + y2 = 4

17. Calcular la integral de lineaHC[ArcTanx+ y2; Lny�x2]d� si C es la región acotada

por las curvas x2 + y2 = 1 ; x2 + y2 = 4 y y � 0

18. Si C es una curva regular simple que encierra una región R de área k . Demuestreque si ai ; bi son constantes

HC[a1x+ a2y + a3; b1x+ b2y + b3]d� = (b1 � a2)k

19. Demuestre que el área de una región plana acotada por una curva regular, cerrada

y simple C, dada en coordendas polares es igual a A =1

2

RCr2d�

Page 247: Calculo vectorial

5.6. TEOREMA DE GREEN 239

20. Veri�car el teorema de Green para F(x; y) = yn�!i + xn

�!j sobre la región acotada

por las curvas y =pa2 � x2 con a > 0 y y = 0.

21. Use el teorema de Green para calcular la integral de F(x; y) = [3y; 1] en la regióninterior al circulo x2 + y2 = 25 y exterior a 4 circulos de radio 1 y centros en(2; 0) ; (�2; 0) ; (0; 2) y (0;�2)

22. Use el teorema der Green para calcular la integral de F(x; y) = [x+ y; 2x� y] en laregión interior al circulo x2 + y2 = 1 y exterior a jxj+ jyj = 1

23. Utilice el teorema de Green para hallar el área de la lemniscata de Bernoulli (x2 +y2)2 = a2(x2 � y2)

24. Supongamos que F (x; y) = x2� 4x+4+ y2+2y+1. Sea C la curva que empieza en(2;�1) y termina en algún otro punto. Mostrar que

RCrF � d� es (estrictamente)

mayor que cero.

25. Dados dos campos escalares U y V diferenciables en un conjunto abierto que contieneel disco R cuya frontera es la circunferencia x2 + y2 = 1. De�nimos dos campos

vectoriales F y G así: F(x; y) = V (x; y)�!i + U(x; y)

�!j ; G(x; y) =

�@U

@x� @U

@y

��!i +�

@V

@x� @V

@y

��!j Encontrar el valor de la integral doble

RR

RF � GdAsi se sabe que

sobre la frontera de R se tiene que U(x; y) = 1y V (x; y) = y.

PROBLEMAS

1. Un hombre de 90 pies160 lb de peso sube con una lata de 25 lb de pintura por unaescalera helicoidal que rodea un silo, con radio de 20 pies. Si el silo mide 90 piesde alto y el hombre hace exactamente tres revoluciones completas. ¿Cuanto trabajorealiza el hombre contra la gravedad al subir hasta la parte superior?

2. El trineo de papa Noel sube una montaña cuya ecuación es x2 + y2 + z = 2�(conz � 0), realiza un giro completo para llegar a la cima, siendo su pendiente desubida constante. Durante el viaje ejerce una fuerza descrita por el campo vectorialF (x; y; z) = yi + xj + k. ¿Cuál es el trabajo realizado por el trineo al viajar desde�p2�; 0; 0

�hasta la cima?

3. Un astronauta está atrapado en una habitación alienígena sujeto a un campo delado oscuro de la fuerza, de ecuación F (x; y) = [yexy + 2xy3; xexy + 3x2y2 + cos y]suponiendo que el astronauta esta en el punto (0; 0) y la puerta de salida (a laliberación) está en (5; 4) , halle el camino de mínimo esfuerzo para escapar.

Page 248: Calculo vectorial

240 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

4. La PUJ contrata un pintor para restaurar una capilla en forma de cilindro circular de

radio 4 metros rematado por una cúpula con la forma del paraboloide .z = 5�x2

8�y

2

8.

Si el pintor pesa 160 lb. y sube con una lata de 25 lb. de pintura por una escalerahelicoidal que rodea el cilindro, realizando exactamente dos revoluciones completashasta llegar a la cúpula. ¿Cuanto trabajo realiza contra la gravedad al subir hastala cúpula?

5. Si F es el campo de fuerza, con régimen de cuadrado inverso, de�nido por F(x; y; z) =c

(x2 + y2 + z2)3=2(xi+ yj+ zk) donde c es una constante positiva, calcule el trabajo

realizado por F al desplazar una partícula a lo largo del segmento de recta desde elpunto (3; 0; 0) hasta el punto (3; 0; 4). Evalúe la integral de línea mediante dos méto-dos: (a) utilice una función potencial para F; (b) no emplee una función potencialpara F.

Page 249: Calculo vectorial

CAPÍTULO 6

INTEGRALES DE SUPERFICIE

Caminante son tus huellasel camino, y nada más;

caminante, no hay camino,se hace camino al andar.ANTONIO MACHADO"Proverbios y cantares "

241

Page 250: Calculo vectorial

242 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

En el capitulo anterior se tratarón integrales a lo largo de curvas, en este capitulose tratará un concepto similar, integrales a través de super�cies de R3:.El objetivo de lasiguiente sección será precisar el concepto de super�cie, así como desarrollar algunas desus características más elementales.

6.1. Super�cies paramétrizadas y áreas

De la misma forma que en el caso de las curvas, las super�cies serán aquellos conjuntosque se puedan ver como la imagen de una función derivable de�nida sobre ciertossubconjuntos del plano.

Si nos movemos sobre una curva solo podemos ir hacia atrás y hacia adelante siguiendouna dirección, por lo tanto es su�ciente utilizar un parámetro para representar una curva.Para super�cies podemos avanzar en dos direcciones, luego se necesitan dos parametrospara su representación En general expresamos las coordenadas (x; y; z) de un punto enuna super�cie S en términos de dos parámetros u y v.

x = F1(u; v), y = F2(u; v), z = F3(u; v)

Una super�cie parametrizada es la representación paramétrica o vectorial por mediode una función � continua en un conjunto conexoD de R2 en R3, tal que 8(u; v) 2 D� (u; v) = [x(u; v); y(u; v); z(u; v)] , o sea � (D) = SNota : Existen muchas representaciones paramétricas de una misma super�cie S, por

ejemplo � (x; y) = [x; y; F (x; y)] tomando a x, y como parámetros.

Ejemplo 6.1.1 Encontrar una ecuación parámetrica del hemisferio superior de la esferax2 + y2 + z2 = 1La super�cie es la grá�ca del campo escalar F (x; y) =

p1� x2 � y2,

sobre la región plana x2 + y2 � 1entonces x = u, y = v, z =

p1� u2 � v2

� (u; v) =�u; v;

p1� u2 � v2

�donde u, v varian dentro del círculo unitario

Page 251: Calculo vectorial

6.1. SUPERFICIES PARAMÉTRIZADAS Y ÁREAS 243

Para encontrar una parametrización sencilla de un plano que contiene a los vectoresv1, v2 no paralelos, y al punto P con vector posición r. Podemos llegar a cualquier puntodel plano comenzando en P y avanzando en forma paralela a v1 o a v2, sumando multiplosde r, la ecuación paramétrica del plano que pasa por r y contiene a los dos vectores v1,v2 es r(u; v) = r+ uv1 + vv2

Ejemplo 6.1.2 Hallar la ecuación parametrica del plano que pasa por (1; 2; 3) y contienea los vectores v1 = [2; 3; 1], v2 = [1;�1; 2]La ecuación parametrica esr(u; v) = [1; 2; 3] + u[2; 3; 1] + v[1;�1; 2]o en forma equivalentex = 1 + 2u+ v, y = 2 + 3u� v, z = 3 + u+ 2v

Para encontrar una parametrización de una super�cie de revolución generada por lagrá�ca de una función y = f(x) con a � x � b, cuando gira alrededor del eje x esr(u; v) = [u;f(u) cos v; f(u)senv] con a � u � b, 0 � v � 2�

Ejemplo 6.1.3 Hallar la ecuación parametrica de la super�cie de revolución generada

por la grá�ca de y =1

xpara 1 � x � 10

r(u; v) =

�u;1

ucos v;

1

usenv

�con 1 � u � 10, 0 � v � 2�

En una super�cie parametrizada, si se �ja un parámetro y se deja que el otro varie,determina una curva de parámetro. Si la super�cie está parametrizada por � (u; v) =[F1(u; v); F2(u; v); F3(u; v)], existen dos familias de curvas de parámetro sobre la super-�cie, una familia con u constante � (u0; v) = [F1(u0; v); F2(u0; v); F3(u0; v)] y otra con vconstante.� (u; v0) = [F1(u; v0); F2(u; v0); F3(u; v0)]

Ejemplo 6.1.4 Describir la familia de curvas de parámetro para la esfera x2+y2+z2 = 1Una parametrización facíl de la esfera esx = sen� cos �, y = sen�sen�, z = cos�cordenadas esfericas con � constantedonde 0 � � � 2�, 0 � � � �

Page 252: Calculo vectorial

244 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

­1.0

­1.0

0.50.5

0.0

0.5

0.00.0­0.5

xy

z ­0.5

­0.5

1.0

1.01.0

­1.0

Familia de curvas de parámetro con � constante

­1.0

­1.00.5

0.0 0.00.0­0.5

xy

z ­0.5

­0.50.50.5

1.0

1.01.0

­1.0

Familia de curvas de parámetro con � constante

Propiedad 6.1.1 Si S es una super�cie paramétrizada por medio de una función � de Dconjunto conexo de R2 en R3 yi) Si � es diferenciable entonces S es una super�cie diferenciableii) Si � es inyectiva entonces S es una super�cie paramétrica simple.iii) Si � es constante entonces S es un punto. (Super�cie degenerada).iv) Si � depende solamante de un parametro u o v, entonces S determina una cur-

va.(super�cie degenerada).

Así como la parametrización de una curva en general nos permite calcular vectorestangentes (y por lo tanto, rectas tangentes), una parametrización de una super�cie tambiénnos proporciona la manera del calcular vectores normales a la super�cie (y por lo tanto,

planos tangentes).

Page 253: Calculo vectorial

6.1. SUPERFICIES PARAMÉTRIZADAS Y ÁREAS 245

En este curso nos limitaremos a considerar casi en exclusiva un caso especial de su-per�cie en R3, llamado super�cie paramétrica simple, que es el de una super�cie S quepuede describirse, en su totalidad, como �(D), donde � : D � R2 ! R3 es una aplicacióninyectiva diferenciable.

Sea S es una super�cie paramétrizada por medio de una función � de un conjuntoD conexo de R2 en R3, diferenciable en (u0; v0) de D. Si �jamos u en u0 obtenemos unafunción de R en R3 tal que (u0; t) determina una curva C1 contenida en S, cuyo vector

tangente en � (u0; v0) es Tv(u0; v0) =@�

@v(u0; v0) =

�@x

@v(u0; v0);

@y

@v(u0; v0);

@z

@v(u0; v0)

�De igual manera si �jamos v en v0 obtenemos una función � de R en R3 tal que �(t; v0)

determina una curva C2 totalmente contenida en S, cuyo vector tangente en � (u0; v0) es

Tu(u0; v0) =@�

@u(u0; v0) =

�@x

@u(u0; v0);

@y

@u(u0; v0);

@z

@u(u0; v0)

Si S es una super�cie paramétrizada por medio de una función � de un conjunto Dconexo de R2 en R3, diferenciable en (u0; v0) de D, entonces el vector n = Tu � Tv esnormal a la super�cie S.Una super�cie S de R3 paramétrizada por medio de una función � de un conjunto D

conexo de R2 en R3, se dice que es suave en � (u0; v0) si n = Tu � Tv 6= O en (u0; v0).Si S es suave entonces n varia en forma continua en SNota : Si una super�cie S es suave en � (u0; v0) entonces existe el plano tangente a S en

(u0; v0).

Si S es una super�cie paramétrizada por medio de una función � de un conjunto Dconexo de R2 en R3, suave en � (u0; v0) entonces n = Tu�Tv es normal a S en � (u0; v0) yn � (x�x0; y� y0; z� z0) = 0 determina la ecuación del plano tangente a S en (x0; y0; z0).Si S es una super�cie paramétrizada por medio de una función � de un conjunto D

conexo de R2 en R3, diferenciable en D, entonces x; y y z son diferenciables en D y ademas@�

@v� @�

@ues llamado producto vectorial fundamental.

Page 254: Calculo vectorial

246 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

Ejemplo 6.1.5 Una super�cie esta parametrizada por medio de �(u; v) = [2 cos v; 3senv; u].

Hallar la ecuación cartesiana de S y la ecuación del plano tangente a S en P =

1;3p2

2; 2

!La super�cie es un cilindro eliptico cuya ecuación implicita esx2

4+y2

9= 1

luego@�

@v� @�

@u= [�3Cosv; 2Senv; 0]

Si P =

"1;3p2

2; 2

#entonces u = 2 y v =

3

la normal del plano tangente en P es igual a

n =@�

@v

�2;�

3

�� @�

@u

�2;�

3

�=

��32;p3; 0

�Ejemplo 6.1.6 entonces�

�32;p3; 0

�� x� 1; y � 3

p2

2; z � 2

!= 0

�3x+ 2p3y = 3

p6� 3

es la ecuación del plano tangente a S en P

1

Para continuar con la descripción de las super�cies, abordaremos el problema de de-ducir el área de una super�cie S parametrizada por una función � de un conjuntoD conexode R2 en R3, la cual, dada la naturaleza del problema, supondremos que es simple. Proced-eremos de la siguiente manera: primero determinamos una partición P deD en rectángulosRij de lados 4u, 4v los cuales usaremos para aproximar el àrea de la super�cie S, ya que� (Rij) = Sij � S. Nuestro intères ahora es calcular o aproximar lo mejor que se pueda elárea de cada pedazo de super�cie Rij Si Rij = [ui�1; ui]� [vj�;1; vj] es un rectángulo muy

1

Christiaan Huygens (14 de abril de 1629 - 8 de julio de 1695) fue un as-trónomo, físico y matemático neerlandés, nacido en La Haya. Estudió mecáni-ca y geometría con preceptores privados. En esta primera etapa, Huygens estu-vo muy in�uido por el matemático francés René Descartes, visitante habitualde la casa de Constantin durante su estancia en Holanda. Y es que Huy-gens siempre criticó la teoría corpuscular de la luz y la ley de la Gravitaciónuniversal de Newton. Huygens fue uno de los pioneros en el estudio de laProbabilidad, tema sobre el que publicó el libro De ratiociniis in ludo aleae(Sobre los Cálculos en los Juegos de Azar), en el año 1656. En el introdujoalgunos conceptos importantes en este campo, como la esperanza matemática,y resolvía algunos de los problemas propuestos por Pascal, Fermat y De Méré.Además resolvió numerosos problemas geométricos como la recti�cación dela cisoide y la determinación de la curvatura de la cicloide. También esbozóconceptos acerca de la derivada segunda.

Page 255: Calculo vectorial

6.1. SUPERFICIES PARAMÉTRIZADAS Y ÁREAS 247

pequeño es de esperarse que el pedazo de super�cie Sij se parezca mucho al paralelogramoPij generado por los vectores �(ui�1; vj)� �(ui�1; vj�1) y �(ui; vj�1)� �(ui�1; vj�1) de talforma que,

Area(Sij) � Area(Pij)= k(�(ui�1; vj)� �(ui�1; vj�1))� (�(ui; vj�1)� �(ui�1; vj�1))krecorriendo toda la partición

Area(Sij) �nPi=1

mPj=1

k(�(ui�1; vj)� �(ui�1; vj�1))� (�(ui; vj�1)� �(ui�1; vj�1))k

Sea S es una super�cie paramétrizada por medio de una función � de un conjuntoD conexo de R2 en R3 y P una partición de D entonces P determina una partición de lasuper�cie S en porciones de super�cie SijSi S es una super�cie paramétrizada por medio de una función � de un conjunto D

conexo de R2 en R3, diferenciable en D, entonces el área de S es igual a A(S) =RS

RdS =R

D

R @�@v � @�

@u

dA = RD Rs�

@(y; z)

@(u; v)

�2+

�@(z; x)

@(u; v)

�2+

�@(x; y)

@(u; v)

�2dA

Si S es una super�cie continua en una región R de R2 y ademas S esta determinadaen forma explicita por un campo escalar z = F (x; y) diferenciable en R, entonces el área

de S es igual a A(S) =RR

R s1 +

�@F

@x(x; y)

�2+

�@F

@y(x; y)

�2dA

Ejemplo 6.1.7 Hallar el área de la porción de super�cie z+2x2+3y2 = 1 que se encuentradentro del cilindro 4x2 + 9y2 = 1Despejando z para hallar el área de S en forma explicitaz = 1� 2x2 � 3y2entoncesluego A(S) =

RR

p1 + 16x2 + 36y2dA

modi�cando las coordenadas polares tenemos que

x =rCos�

2, y =

rSen�

3jacobiano de està transformaciòn es j =

r

6

por lo tanto 4x2 + 9y2 = 4�rCos�

2

�2+ 9

�rSen�

3

�2= 1

A(S) =1

6

R 2�0

R 20

p1 + 4r2rdrd�

=1

48

R 2�0

23(1 + 4r2)3=220d�

=1

72

R 2�0(53=2 � 1)d� = (53=2 � 1)

72�j2�0 =

(53=2 � 1)�36

Page 256: Calculo vectorial

248 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

Ejercicios sección 6.1.

1. Encuentre una parametrización de la super�cie.

a) Cilindro circular de radio r, cuyo eje està a lo,largo del eje z, desde z = 0 hstaz = h

b) Paraboloide z = x2 + y2 desde z = 0 hasta z = k

c) Cono z =px2 + y2 desde z = 0 hasta z = �k

2. Hallar una ecuación parametrica del plano

a) Que contiene a los puntos (1; 1; 2), (1;�2; 3) y (0; 1;�2)b) Que contiene al punto (1; 2; 3) y tiene por normal a [1; 1;�1]c) Que contiene al punto (0; 0; 0) y a los vectores [1; 1;�1] y [0; 2; 3]

3. Hallar una ecuación parametrica de la super�cie de revolución generada por la cur-va.de ecuación.

a) y = x2, alrededor del eje y

b) y = senx, alrededor del eje x

c) y =1

x, alrededor del eje x

4. Obtener la ecuación cartesiana de la super�cie S paramétrizada por medio de r

a) r(u; v) = [2u� v; u+ 2v; u� v]

b) r(u; v) =�vp1� u2;

pu2 + v2; u

p1 + v2

�c) r(u; v) = [CosuCosv; SenuCosv; Senv]

5. Curvas de parametro

6. Calcular el producto vectorial fundamental en terminos de u y v.para las super�ciesdel numeral 4.

7. Hallar la ecuación del plano tangente a la super�cie parametricamente de�nida por

a) r(u; v) = [uCosv; uSenv; u] en el punto P = (3; 4; 5)

b) r(u; v) = [uCosv; uSenv; u2] en el punto P = (1;�1; 2)c) r(u; v) =

�vp1� u2;

pu2 + v2; u

p1 + v2

�en el punto P =

�0;p2;p2�

8. Hallar el área de las super�cies del numeral 1, utilizando la forma parametrica.

9. Hallar el área de la super�cie dada.

Page 257: Calculo vectorial

6.2. INTEGRALES DE SUPERFICIE DE CAMPOS ESCALARES 249

a) Semiesfera de radio 2

b) Porción del plano x+ y + z = 1 que se encuentra en el primer octante

c) Porción del cono z =px2 + y2 entre z = 1 y z = 2

10. Utilizando un CAS encuentre el área de una super�cie dada.

6.2. Integrales de super�cie de campos escalares

Sea F un campo escalar de R3 en R y sea S una super�cie simple parametrizada pormedio de una función � de un conjunto D conexo de R2 en R3 se dice que F es un campoescalar escalonado en D si existe una partici�on P de S, tal que en cadaSij de P; F esconstante.8(x; y; z) 2 Sij, entonces se de�ne la integral de super�cie de F a lo largo de ScomoR

S

RF (x; y; z)dS =

nPi=1

mPj=1

kijAij, donde Aij es el área de la porción de super�cie Sij

Si F es un campo escalar de R3 en R de�nido y acotado en una super�cie simple Sparametrizada por medio de una función � de un conjunto D conexo de R2 en R3 si paratodos los campos escalares � y escalonados en S tales queR

S

R�(x; y; z)dS � I �

RS

R (x; y; z)dS, con �(x; y; z) � F (x; y; z) � (x; y; z) 8(x; y; z) 2

SPara un �unico n�umero real I, se dice que F es integrable sobre S y ademas I =R

S

RF (x; y; z)dSSi F es un campo escalar de en de�nido y acotado en una super�cie simple S parame-

trizada por medio de una función de � de un conjunto conexo D de R2 en R3, entoncesnPi=1

mPj=1

F (x�; y�; z�)4Sij para cualquier (x�; y�; z�) 2 Sij determina una suma de Riem-

man de F en P:Si F es un campo escalar de R3en R continuo en una super�cie simple S parametrizada

por medio de una función � de un conjunto D conexo de R2 en R3, entoncesRS

RF (x; y; z)dS = l��m

4Sij!0

nPi=1

mPj=1

F (x�; y�; z�)4Sij, se denomina integral de super�cie

de F a lo largo de S siempre que el limite dado exista.

Notación :RS

RF (x; y; z)dS =

RD

RF (� (u; v))

@�@v � @�

@v

dASi la super�cie esta de�nida en forma explicita en xy,

RS

RF (x; y; z)dS =

RRXY

RF (x; y; z(x; y))

s1 +

�@F

@x(x; y)

�2+

�@F

@y(x; y)

�2dA

Propiedad 6.2.1 Si F y G son campos escalares de R3 en R continuos en una super�ciesimple S parametrizada por medio de una función � de un conjunto D conexo de R2 enR3, entonces

Page 258: Calculo vectorial

250 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

(i) Si S es una super�cie cerradaRS

RF (x; y; z)dS =

RS

RF (x; y; z)dS

(ii) Si S = S1 [ S2RS

RF (x; y; z)dS =

RS1

RF (x; y; z)dS +

RS2

RF (x; y; z)dS

Ejemplo 6.2.1 Calcular la integral de super�cieRS

R(x + y + z)dS si S es el cono z =p

x2 + y2 con tapa z = 3Se deben calcular dos integrales de super�cie, la de la tapa y la del cono.(i) Para la tapa z = 3, dS =

p0 + 0 + 1dA

la proyección de la tapa en el plano xy es el circulo x2 + y2 = 9calculamos la integral en coordenadas polaresR 30

R 2�0(rCos� + rSen� + 3)rd�dr

=R 30

R 2�0(r2Cos� + r2Sen� + 3r)d�dr

=R 30(r2Sen� � r2Cos� + 3r�)j2�0 dr

=R 30(0� r2 + 6�r � 0 + r2 � 0)dr

=R 306�rdr = 3�r2j30 = 27�

(ii) Para el cono z =px2 + y2, dS =

sx2

x2 + y2+

y2

x2 + y2+ 1dA =

p2dA

la proyección de la tapa en el plano xy es el circulo x2 + y2 = 9calculamos la integral en coordenadas polaresR 30

R 2�0(rCos� + rSen� + r)rd�dr

=R 30

R 2�0(r2Cos� + r2Sen� + r2)d�dr

=R 30(r2Sen� � r2Cos� + r2�)j2�0 dr

=R 30(0� r2 + 2�r2 � 0 + r2)dr

=R 302�r2dr =

2�r3

3j30 = 18�

luegoRS(x+ y + z)dS = 45�

2

2

Henri Léon Lebesgue (28 de junio de 1875 - 26 de julio de 1941), matemáti-co francés. Nació en Beauvais, Oise, Picardie, Francia. Estudió en la EcoleNormale Supérieure y en el período 1899 - 1902 impartió clases en el Liceo deNancy. Con base en el trabajo de otros matemáticos, entre ellos Émile Borel yCamille Jordan, Lebesgue formuló la teoría de la medida en 1901. Al año sigu-iente de�nió la integral de Lebesgue, la cual generaliza la noción de la integralde Riemann al extender el concepto de área bajo una curva para incluir fun-ciones discontinuas. Este es uno de los logros del análisis moderno que expandeel alcance del análisis de Fourier. Lebesgue dio a conocer este desarrollo en sudisertación "Intégrale, longueur, aire"("Integral, longitud, área") presentadaen la Universidad de Nancy en 1902. Además de aproximadamente 50 artícu-los, escribió dos libros: Leçons sur l�intégration et la recherché des fonctionsprimitives (1904) y Leçons sur les séries trigonométriques (1906). A su vez,contribuyó en otras áreas de matemáticas como topología, teoría del potencial

y análisis de Fourier.

Page 259: Calculo vectorial

6.2. INTEGRALES DE SUPERFICIE DE CAMPOS ESCALARES 251

Las interpretaciones físicas de estas integrales son variadas. Por ejemplo, un campoescalar F puede representar la densidad de masa por unidad de super�cie de un material degrosor despreciable que está distribuido sobre una super�cie S, y entonces

RS

RF (x; y; z)dS

sería la masa total de dicho material.

Aplicaciones �sicas(i) Masa de una lamina de R3Si una lamina en R3 esta determinada por una super�cieS de R3 y ademas su densidad

en cada punto P = (x; y; z) 2 S es �(x; y; z), entonces la masa de S es igual aM =

RS

R�(x; y; z)dS

(ii)Primeros momentos de una laminaRespecto al plano XY MXY =

RS

Rz�(x; y; z)dS

Respecto al plano Y Z MY Z =RS

Rx�(x; y; z)dS

Respecto al plano XZ MXZ =RS

Ry�(x; y; z)dS

(iii) Centro de masas de una laminaCM = ( x,y; z) =

�MY Z

M,MXZ

M; MXY

M

�Teorema 6.2.1 del valor medio para integrales de super�cie. Si F es un campo escalarde R3 en R continuo en una super�cie S simple parametrizada por medio de una función� de un conjunto conexo D de R2 en R3, entonces existe (a; b; c) 2 S tal que F (a; b; c) =RS

RF (x; y; z)dSRS

RdS

Ejercicios sección 6.2.

1. Calcule la integral de super�cie del campo escalar F sobre S

a) F (x; y; z) = 2x + 3y, S es la parte del plano 2x + 3y + z = 6 que queda en elprimer octante

b) F (x; y; z) = 3x � y, S es la porción del cilindro x2 + y2 = 4 entre z = �1 yz = 1

c) F (x; y; z) =px2 + y2 + 1 S es la porción de paraboloide 2z = x2 + y2 que se

encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 2y

2. Calcule la integral de super�cie del campo escalar F sobre S

a) F (x; y) = x � y, S esta determinada por �(u; v) =hu; v;

v

2

icon 0 � u � 1 y

0 � v � 2b) F (x; y) = xy, S esta determinada por �(u; v) = [u; v; uv] con 0 � u � 1 y0 � v � 1

c) F (x; y) = x + y, S esta determinada por �(u; v) = [u; 3 cos v; 3senv] con 0 �u � 4 y 0 � v � �=2

Page 260: Calculo vectorial

252 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

3. Hallar la masa de una lamina cuya forma es igual a la super�cie S, con densidad encada punto igual a �

a) S está determinada por 2x+3y+6z = 12 en el primer octante y �(x; y; z) = x+y

b) S está determinada por z = 2� x2 � y2 con z � 0y �(x; y; z) = x2 + y2

c) S está determinada por z =pa2 � x2 � y2 y �(x; y; z) = kz

4. Hallar las coordenadas del centro de masas de las laminas del numeral 3.

5. Hallar el valor promedio del campo escalar F sobre la super�cie S.

a) F (x; y; z) = x + y + z, S es la porción del plano x + y + z = 1 en el primeroctante.

b) F (x; y; z) = x+ z, S es la porción del cilindro y2 + z2 = 9 entre x = 0 y x = 4.

c) F (x; y; z) = y2; S es la porción de la esfera x2+ y2+ z2 = 4 dentro del cilindrox2 + y2 = 1 con z � 0

6. Utilizando un CAS encuentre el valor promedio de un campo escalar F sobre unasuper�cie S.

6.3. Integrales de super�cie de campos vectoriales

Una super�cie S de R3 se dice que es orientable, si es posible determinar en ella doslados, el lado exterior (o positivo) y el lado interior (o negativo).Si F es un campo vectorial deR3 enR3 continuo en una super�cie orientable S parametrizada

por medio de una función � de un conjunto D conexo de R2 en R3, entoncesRSF(x; y; z) � NdS =

RSF(� (u; v)) � N

@�@v � @�

@u

dSdonde N es un vector normal unitario exterior a S

determinado por N =@�@v� @�

@u @�@v� @�

@u

luegoRSF(x; y; z) � NdS =

RSF(� (u; v)) �

�@�

@v� @�

@u

�dS

determina la integral de F sobre S, siempre que exista la integral de la derecha.

Si la super�cie S esta de�nida en forma explicita en XY por z = G(x; y)entonces H(x; y; z) = z �G(x; y) de�ne a S en forma implicitaluego

N =rH(x; y; z)krH(x; y; z)k

yRSF(x; y; z) � NdS =

Page 261: Calculo vectorial

6.3. INTEGRALES DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALES 253

=RRXY

F(x; y; z(x; y)) � rH(x; y; z)krH(x; y; z)k

r1 +

�@F@x(x; y)

�2+�@F@y(x; y)

�2dA

Nota : La integral de super�cie de un campo vectorial, tambien se denomina integralde �ujo de F sobre S

Por su parte, la integral de un campo vectorial sobre una super�cie S suele interpretarsecomo el �ujo de un �uido que pasa a través de S. Puede imaginarse que S es una membranaporosa. El �ujo se puede de�nir como el volumen de �uido que cruza la super�cie porunidad de tiempo. 3

Propiedad 6.3.1 Si F es un campo vectorial de R3 en R3 continuo en una super�cie Sorientable parametrizada por medio de una función � de un conjunto conexo D de R2 enR3, entonces(i) Si F = [F1; F2; F3] entoncesRSF(x; y; z) � NdS

=RSF(� (u; v))

@(y; z)

@(u; v)dS +

RSF(� (u; v))

@(z; x)

@(u; v)dS +

RSF(� (u; v))

@(x; y)

@(u; v)dS

o tambienRSF(x; y; z) � NdS

=RSF1(x; y; z) �N1dS +

RSF2(x; y; z) �N2dS +

RSF3(x; y; z) �N3dS

(ii) Si N = [Cos�;Cos�; Cos�]RSF(x; y; z) � NdS =

RS(F1Cos� + F2Cos� + F3Cos�)dS

En función de los cosenos directores.

Ejemplo 6.3.1 Calcule el �ujo de F(x; y; z) = [x; y; z] a través de la parte del plano2x+ 3y + z = 6 que se encuentra en el primer octante.La super�cies ya esta en forma implicita, por lo tantoH(x; y; z) = 2x+ 3y + z = 6

N =[2; 3; 1]p14

3

James Clerk Maxwell (Edimburgo, 13 de junio de 1831- Cambridge, ReinoUnido, 5 de noviembre de 1879). Físico escocés conocido principalmente porhaber desarrollado la teoría electromagnética clásica, sintetizando todas lasanteriores observaciones, experimentos y leyes sobre electricidad, magnetismoy aun sobre óptica, en una teoría consistente.[1] Las ecuaciones de Maxwelldemostraron que la electricidad, el magnetismo y hasta la luz, son manifesta-ciones del mismo fenómeno: el campo electromagnético. Desde ese momento,todas las otras leyes y ecuaciones clásicas de estas disciplinas se convirtieronen casos simpli�cados de las ecuaciones de Maxwell. Maxwell fue una de lasmentes matemáticas más preclaras de su tiempo, y muchos físicos lo consid-eran el cientí�co del siglo XIX que más in�uencia tuvo sobre la física delsiglo XX habiendo hecho contribuciones fundamentales en la comprensión dela naturaleza. Muchos consideran que sus contribuciones a la ciencia son dela misma magnitud que las de Isaac Newton y Albert Einstein.

Page 262: Calculo vectorial

254 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

entoncesRSF(x; y; z) � NdS =

RRXY

R[x; y; 6� 2x� 3y] � [2; 3; 1]p

14

p14dA

=R 30

R 2� 23X

06dydx

=R 30(12� 4x)dx

= 12x� 2x2j30 = 36� 18 = 18

Ejercicios sección 6.3.

1. Calcule el �ujo de F a tráves de S, donde N es la normal unitaria que apunta haciaafuera.

a) F[x; y; z] = [x; x + y; x + y + z] S es la porción del plano x + y + z = 1 quese encuentra en el primer octante.

b) F[x; y; z] = [x; y; z] S es el cono z =px2 + y2 entre z = 0 y z = 2

c) F[x; y; z] = [x;�y; z2], S es el paraboloide z = x2 + y2 acotado por el planoz = 4

2. Calcule el �ujo de F a tráves de S, donde N es la normal unitaria que apunta haciaafuera.

a) F[x; y; z] = [x; y; 0],S esta determinada por �(u; v) = [2u; u+ v; 1 + u� v] con0 � u � 1 y 0 � v � 1

b) F[x; y; z] = zk,S esta determinada por �(u; v) = �(u; v) = [u+ v; u� v; u2 + v2]con 0 � u � 1 y 0 � v � 1

c) F[x; y; z] = yi + xj,S esta determinada por �(u; v) = [3senu; 3 cosu; v] con0 � u � � y 0 � v � 1

3. Calcule el �ujo de F a tráves de la super�cie cerradaS, donde N es la normal unitariaque apunta hacia afuera.

a) F[x; y; z] = [4xy;�z2; yz] S es un cubo de lado 1.

b) F[x; y; z] = [yz; xz; xy] S es el elipsoide x2 + 2y2 + 3z2 = 6

c) F[x; y; z] = [x; y; z] S es la esfera x2 + y2 + z2 = a2

4. Utilizando un CAS encuentre el �ujo F a tráves de una super�cie S:

Page 263: Calculo vectorial

6.4. TEOREMA DE STOKES 255

6.4. Teorema de Stokes

En esta sección estudiaremos el teorema de Stokes4, que es una generalización delteorema de Green en cuanto que relaciona la integral de un campo vectorial sobre unacurva cerrada que es borde de una super�cie paramétrica simple con la integral de surotacional en dicha super�cie, luego el teorema de Stokes puede considerarse como unaversión del teorema de Green para una dimensión más alta. El teorema de Stokes relacionauna integral de super�cie sobre una super�cie S con una integral de línea alrededor dela curva frontera de S ( que es una curva en el espacio ). La orientación de S induce laorientación positiva de la curva frontera C. Esto signi�ca que si uno camina alrededor deC en sentido positivo entonces la super�cie siempre estará a la izquierda de uno.

Si F es un campo vectorial de R3 en R3 diferenciable en un conjunto abierto � R3entonces el rotacional de F (rotF) es igual a:

r� F(x; y; z) =

��������i j k@

@x

@

@y

@

@zF1 F2 F3

�������� =�@F3@y

� @F2@z

;@F1@z

� @F3@x

;@F2@x

� @F1@y

�El rotacional mide la circulación de un campo vectorial.

Ejemplo 6.4.1 Hallar el rótacional del campo vectorial F(x; y; z) = [3xy2 + z3; xyz + 1; 2x3y + yz3]r� F(x; y; z) = [2x3 + z3 � xy; 3z26x2y; yz � 6xy]

Propiedad 6.4.1 Si F y G son campos vectoriales de R3 en R3 diferenciables, entonces:i) r� (F�G)(x; y; z) = r� F(x; y; z)�r�G(x; y; z)ii) r� (kF)(x; y; z) = kr� F(x; y; z), k constanteiii) r� (F �G)(x; y; z) = (r� F(x; y; z)) �G(x; y; z) + F(x; y; z) � (r�G(x; y; z))

iv) r��FG

�(x; y; z) =

(r� F(x; y; z)) �G(x; y; z)� F(x; y; z) � (r�G(x; y; z))G2(x; y; z)

Un campo vectorial F que no posee rotacional se denomina irrotacional yr�F(x; y; z) =0 en todos los puntos (x; y; z) que está de�nido F.

4

Sir George Gabriel Stokes, primer Baronet (13 de agosto de 1819-1 de febrero de1903) fue un matemático y físico irlandés que realizó contribuciones importantesa la dinámica de �uidos (incluyendo las ecuaciones de Navier-Stokes), la ópticay la física matemática (incluyendo el teorema de Stokes). Fue secretario y luegopresidente de la Royal Society de Inglaterra. El trabajo de Stokes se distingue por suprecisión y su sentido de la �nalidad. Incluso en problemas que en su tiempo no seconsideraban susceptibles de análisis matemático, Stokes fue capaz en muchos casosde aportar soluciones que dejaron sentadas las bases para el progreso posterior.Este hecho se explica por su extraordinaria combinación de capacidad matemáticay habilidad experimental.

Page 264: Calculo vectorial

256 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

Teorema 6.4.1 de Stokes (del rotacional). Si C es una curva regular a trozos cerrada ysimple que determina la frontera de una super�cie S y sea N un vector normal a S y T unvector tangente unitario a C y si F es un campo vectorial diferenciable en una bola abiertaB de R3 que contiene a S entonces

HCF(x; y,z) � TdS =

RSr� F(x; y; z) � NdS

Demostración.Basta demostrar queHCF1(x; y,z)dx =

RSr� F1(x; y; z)i � NdSH

CF2(x; y,z)dy =

RSr� F2(x; y; z)j � NdSH

CF3(x; y,z)dz =

RSr� F3(x; y; z)k � NdS

La representación explicita de S puede ser así :z = G1(x; y), y = G2(x; z), x = G3(y; z)donde G1; G2 y G3 son campos escalares de R2 en Runiformes, continuos y diferenciables en una región R de R2(Proyección de S en alguno de los planos coordenados)Si consideramos a S en forma explicita como z = G1(x; y)su representación paramétrica sería r(x; y) = [x; y; z(x; y)]

tal que@r

@y(x; y) = [0; 1; ]

@z

@y(x; y) = j + k @z

@y(x; y)

es un vector tangente a S y ortogonal a N ,

luego�j + k

@z

@y(x; y)

�� N = j � N+ k � N@z

@y(x; y) = 0

j � N = �k � N@z@y(x; y)

Hallemos ahoraRSr� F1(x; y; z)i � NdS

r� F1(x; y; z)i =

��������i j k@

@x

@

@y

@

@zF1(x; y; z) 0 0

��������=@F1@z(x; y; z)j � @F1

@y(x; y; z)k

r� F1(x; y; z)i � N =�@F1@z(x; y; z)j � @F1

@y(x; y; z)k

�� N

=@F1@z(x; y; z)j � N� @F1

@y(x; y; z)k � N

Page 265: Calculo vectorial

6.4. TEOREMA DE STOKES 257

= �@F1@z(x; y; z)k � N@z

@y(x; y)� @F1

@y(x; y; z)k � N

= ��@F1@z(x; y; z)

@z

@y(x; y) +

@F1@y(x; y; z)

�k � N

@F1@y(x; y; z) =

@F1@x(x; y; z)

@x

@y+@F1@y(x; y; z)

@y

@y+@F1@z(x; y; z)

@z

@y

=@F1@y(x; y; z) +

@F1@z(x; y; z)

@z

@yPor lo tantoRSr� F1(x; y; z)i � NdS = �

RR

@F1@y(x; y; z)dA

aplicando el teorema de Green

�RR

@F1@y(x; y; z)dA =

HCF1(x; y,z)dx

De igual forma se demuestran las otras dos igualdades.Quedan a cargo del lector.

Teorema 6.4.2 Si F es un campo vectorial de R3 en R3 diferenciable en una regiónsimplemente conexa de R3, entonces r�F(x; y; z) = 0 en S si y solamente si

HCF(x; y,z)�

Td� = 0 para toda curva regular, cerrada y simple C en S

Demostración. Como C es una curva regular, cerrada y simplesu�ciente demostrar queHCF(x; y,z) � Td� = 0

Aplicando el teorema de StokesRSr� F(x; y; z) � NdS =

HCF(x; y,z) � Td� = 0

luegoRSr� F(x; y; z) � NdS = 0

Ejemplo 6.4.2 Comprobar elteorema de Stokes para F(x; y; z) = [�y + z; x� z; x� y]sobre la super�cie determinada por z = 4� x2 � y2 con z � 0La curva C es el circulo x2 + y2 = 4 cuya parametrización es�(t) = [2Cost; 2Sent] con 0 � t � 2� y �0(t) = [�2Sent; 2Cost]luegoHCF(x; y,z) � Td�

=R 2�0[�2Sent; 2Cost; 2Cost� 2Sent][�2Sent; 2Cost; 0]dt

=R 2�0(4Sen2t+ 4Cos2t)dt = 4

R 2�0dt = 4tj2�0 = 8�

Ahora calculamos la integral de super�cie sobre SRSr� F(x; y; z) � NdS

tal que

r� F(x; y; z) =

��������i j k@

@x

@

@y

@

@z�y + z x� z x� y

�������� = [0; 0; 2]

Page 266: Calculo vectorial

258 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

dS =

s�@z

@x

�2+

�@z

@y

�2+ 1 dA =

p4x2 + 4y2 + 1 dA

luegoRR[0; 0; 2][2x; 2y; 1]dA =

RR2dAR 2

0

R 2�02rd�dr =

R 202r�j2�0 dr =

R 204�rdr = 2�r2j20 = 8�

Ejemplo 6.4.3 Calcular la circulación del campo de velocidades de un �uido F(x; y; z) =[tan�1(x2); 3x; e3z tan z] a lo largo de la intersección entre la esfera x2 + y2 + z2 = 4 conel cilindro x2 + y2 = 1, con z > 0

x

y

z

1 2

2

Utilizando el teorema de Stokesr� F(x; y; z) = [0; 0; 3]

N =[2x; 2y; 2z]p4x2 + 4y2 + 4z2

=[2x; 2y; 2z]

4=[x; y; z]

2=

hx; y;

p4� x2 � y2

i2

dS =

vuut1 + �2x2p4� x2 � y2

!2+

�2y

2p4� x2 � y2

!2dA

=2p

4� x2 � y2dA

luegoRSr� F(x; y; z) � NdS =

=RR

R[0; 0; 3]

hx; y;

p4� x2 � y2

i2

2p4� x2 � y2

dA

=RR

R3dA

= 3�

Ejercicios sección 6.4.

1. Encuentre el rotacional del campo vectorial F

a) F(x; y; z) = [xyz; yz; z]b) F(x; y; z) = exsenyi+ ex cos yj

c) F(x; y; z) = e�xyz(i+ j+ k)

Page 267: Calculo vectorial

6.4. TEOREMA DE STOKES 259

2. Para el campo vectorial F, halle r� (r� F)

a) F(x; y; z) = xyzi

b) F(x; y; z) = cosxzi� senyzk

c) F(x; y; z) =1p

x2 + y2 + z2(xi+ yj+ zk)

3. De un ejemplo de un campo vectorial F que sea irrotacional.

4. Comprobar el teorema de Stokes para el campo vectorial F, sobre la super�cie S

a) F(x; y; z) = [3y; 4z;�6x] si S es la porción del paraboloide z = 9 � x2 � y2que se encuentra encima del plano XY

b) F(x; y; z) = [2xy+z; y2;�x�3y] si S es la super�cie acotada por 2z = x2+y2 yz = 2

c) F(x; y; z) = [y; z; x] si S es la porción del plano x+y+z = 1 que se encuentraen el primer octante.

d) F(x; y; z) = [y3; x3;�z3] si S es la porción del plano x + y + z = 1dentro delcilindro x2 + y2 = 1

e) F(x; y; z) = [x2; y2; z] si S es la semiesfera x2 + y2 + z2 = 1 con z � 0

5. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral dada.

a)HC[xy; yz; zx]d� si C es el trángulo de vértices (1; 0; 0); (0; 1; 0) y ( 0; 0; 1).

b)HC[z2; x2; y2]d� si S es la porción del paraboloide z = 4 � x2 � y2 que se

encuentra encima del plano XY

c)HC[x2; z2;�xyz]d� si S es la semiesfera z =

p1� x2y2

d)HC[Cosy+yCosx; Senx�xSeny; xyz]d� si S es la porción de super�cie z = y2

encima del cuadrado con vértices en (0; 0; 0); (k; 0; 0); (k; k; 0) y (0; k; 0).

e)HC[y�z; z�x; x�y]d� si C es la curva intersección entre el cilindro x2+y2 = 1

y el plano x+ z = 1

6. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F para mover una particula alo largo de la curva C

a) F(x; y; z) = [y + z; z + x; x + y], C intersección entre el cilindro x2 + y2 = 2yy el plano y = z

b) F(x; y; z) = [y; z; x] C intersección entre la esfera x2+y2+ z2 = a2 y el planox+ y + z = 0

Page 268: Calculo vectorial

260 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

7. Calcular la integral dadaHC[x2 � yz; y2 � xz; z2 � xy]d� si C es cualquier camino

cerrado.

8. Sea C es una curva cerrada que determina la frontera de una super�cie simple Sy sea F un campo vectorial de�nido en S. Si rF es tangente a S en cada punto,demuestre que

HC(r� F)d� = 0

9. Sea C es una curva cerrada que determina la frontera de una super�cie S y sean F yGdos campos escalares de R3 en R de clase 2., demuestre que

HC(FrG+GrF )d� = 0

10. Utilice un CAS para representar el rotacional de un campo vectorial.

6.5. Teorema de Gauss

El teorema de Gauss5 de la divergencia, que puede verse como una versión tridimension-al del teorema de Green, al relacionar la integral de un campo vectorial en una super�ciecerrada que es borde de un sólido tridimensional con la integral de su divergencia en elinterior de dicho sólido.

Si F es un campo vectorial de R3 en R3 diferenciable en un conjunto abierto � R3entonces la divergencia de F (divF) es igual a:

r � F(x; y; z) = @F1(x; y; z)

@x+@F2(x; y; z)

@y+@F3(x; y; z)

@z

Ejemplo 6.5.1 Hallar el rótacional del campo vectorial F(x; y; z) = [3xy2 + z3; xyz + 1; 2x3y + yz3]r� F(x; y; z) = 3y2 + xz + 3yz2

Propiedad 6.5.1 Si F y G son campos vectoriales de R3 en R3 diferenciables, entonces:i) r � (F�G)(x; y; z) = r � F(x; y; z)�r �G(x; y; z)5

Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777 �23 de febrero de 1855,s. XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó sig-ni�cativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisismatemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica.Considerado .el príncipe de las matemáticas 2.el matemático más grande des-de la antigüedad", Gauss ha tenido una in�uencia notable en muchos camposde la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticosque más in�uencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en exten-der el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Gauss fue un niño prodigiode quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendoapenas un infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras eraapenas un adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeti-cae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Untrabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara

y ha moldeado esta área hasta los días presentes

Page 269: Calculo vectorial

6.5. TEOREMA DE GAUSS 261

ii) r � (kF)(x; y; z) = kr � F(x; y; z), k constanteiii) r � (F �G)(x; y; z) = (r � F(x; y; z)) �G(x; y; z) + F(x; y; z) � (r �G(x; y; z))

iv) r ��FG

�(x; y; z) =

(r � F(x; y; z)) �G(x; y; z)� F(x; y; z) � (r �G(x; y; z))G2(x; y; z)

Un campo vectorial F que no posee divergencia se denomina solenoidal yr�F(x; y; z) =0 en todos los puntos (x; y; z) que está de�nido F.

Teorema 6.5.1 de Gauss (Divergencia). Si V es un sólido de R3 acotado por una super�-cie cerrada orientable S y sea N un vector normal a S y si F es un campo vectorial diferen-ciable en una bola abierta B de R3 que contiene S, entonces

RSF�NdS =

RRr�F(x; y; z)dV

Demostración.Como F(x; y; z) = [F1(x; y; z); F2(x; y; z); F3(x; y; z)]= F1(x; y; z)i+ F2(x; y; z)j + F3(x; y; z)k

y r � F(x; y; z) = @F1@x(x; y; z) +

@F2@y(x; y; z) +

@F3@z(x; y; z)

Basta demostrar queRSF1(x; y; z)i � NdS =

R R RR

@F1@x(x; y; z)dVR

SF2(x; y; z)j � NdS =

R R RR

@F2@y(x; y; z)dVR

SF3(x; y; z)k � NdS =

R R RR

@F3@z(x; y; z)dV

Dividimos S en 2 super�cies S1 y S2cuyas ecucaciones explicitas son z1 = G1(x; y) y z2 = G2(x; y)Sea R la proyección de S en el plano XYEntoncesR R R

R

@F1@x(x; y; z)dV =

RR

�R G2(x;y)G1(x;y)

@F1@x(x; y; z)dz

�dA

=RR(F1(x; y;G2(x; y)� F1(x; y;G2(x; y)) dA

Para S2 dA = k � N2dS2

Page 270: Calculo vectorial

262 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

y para S1 dA = �k � N1dS1LuegoRR(F1(x; y;G2(x; y)� F1(x; y;G2(x; y)) dA

=RS2F1(x; y; z)k � N2dS2 +

RS1F1(x; y; z)k � N1dS1

=RSF1(x; y; z)k � NdS

De igual forma se demuestran las otras dos igualdades.Quedan a cargo del lector

Ejemplo 6.5.2 Comprobar el teorema de Gauss para F(x; y; z) = [x+ z; y + z; x+ y] so-bre el sólido acotado por 0 � x2 + y2 � 1 y 0 � x � 2El sólido R es un cilindro tal queen coordendas cilindricas0 � r � 1 0 � � � 2� 0 � x � 2y r � F(x; y; z) = 2entoncesRRr � F(x; y; z)dV

=R 20

R 2�0

R 102rdrd�dx =

R 20

R 2�0r2j10d�dx =

R 20

R 2�0d�dx

=R 202�dx = 4�

Ahora calculamos las integrales de super�cie sobre R; tales queS1 : x = 0 S2 : x = 2 S3 : y

2 + z2 = 1

(i) para S1 N1 = [�1; 0; 0] y dS1 = dydz

luegoRSF � N1dS =

RR

R(�x� z)dydz

=RR

R�zdydz =

R 10

R 2�0�r2Cos�d�dr

=R 10r2Sen�j2�0 dr =

R 100dr = 0

(ii) para S2 N2 = [1; 0; 0] y dS2 = dydz

luegoRS2

RF � N2dS =

RR

R(x+ z)dydz

=RR

R(x+ 2)dydz =

R 10

R 2�0(r2Cos� + 2r)d�dr

=R 10(r2Sen� + 2r�)j2�0 dr =

R 104�rdr = 2�r2j10 = 2�

ademas si z =p1� y2; S =

1p1� y2

dydx

luegoRS3

RF � N3dS = 2

RR

R 2y2 + 4yz + 2xy + 2yzp4y2 + 4z2

1p1� y2

dxdy

= 2RR

R 2y2 + 2xyp1� y2

+ 4y

!dxdy

= 2R 1�1R 20

2y2 + 2xyp1� y2

+ 4y

!dxdy

Page 271: Calculo vectorial

6.5. TEOREMA DE GAUSS 263

= 2R 1�1

2y2x+ x2yp

1� y2+ 4xy

!j21dy

= 2R 1�1

4y2 + 4yp1� y2

+ 8y

!dy

= 2R �=2��=2

�4Sen2� + 4Sen�

Cos�+ 8Sen�

�Cos�d�

= 2R �=2��=2 (4Sen

2� + 4Sen� + 8Sen�Cos�) d�

= 2 (2� + Sen(2�)� Cos� + 4Sen2�) j�=2��=2

= 2��2+ 4 +

2� 4�= 2�

Por lo tantoRSF � NdS = 0 + 2� + 2� = 4�

Ejercicios sección 6.5.

1. Encuentre la divergencia del campo vectorial F

a) F(x; y; z) = [xyz; yz; z]b) F(x; y; z) = exsenyi+ ex cos yj

c) F(x; y; z) = e�xyz(i+ j+ k)

2. Para el campo escalar F encuentre el Laplaciano.

a) F (x; y; z) = e�x�2y�3z

b) F (x; y; z) = xseny + y cos z

c) F (x; y; z) = lnx+ x ln y + xy ln z

3. De un ejemplo de un campo vectorial F que sea solenoidal.

4. Comprobar el teorema de Gauss para el campo vectorial F, sobre el sólido R

a) F(x; y; z) = [2x;�2y; z2] si R es el cilindro x2 + y2 = 1 ; �1 � z � 1.b) F(x; y; z) = [xz; yz; 3z2] si R es el paraboloide z = x2 + y2 y z = 1

c) F(x; y; z) = [2xy + z; y2;�x � 3y] si R es el sólido acotado por el plano 2x +2y + z = 6 y los planos coordenados.

d) F(x; y; z) = [x; y; z�1] si R es la semiesfera x2+y2+(z�1)2 = 9 con 1 � z � 4e) F(x; y; z) = [x2; y2; z2] si R es un cubo de lado 1

Page 272: Calculo vectorial

264 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

5. Utilice el teorema de Gauss para hallar el �ujo F a través de la super�cie del sólidodadoR.

a) F(x; y; z) = [2x; 3y; 4z] si R es el tetraedro de vértices (1; 0; 0); (0; 2; 0) y(0; 0; 3)

b) F(x; y; z) = [x3; y3; z3] si R es la esfera x2 + y2 + z2 = 1

c) F(x; y; z) = [�xz;�yz; z2] si R es el elipsoide x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1

d) F(x; y; z) = [xy2; yz; zx2] si R es el sólido acotado por 1 � x2 + y2 � 4 y1 � z � 3

e) F(x; y; z) = [x3; y3; z3] si R es el sólido acotado superiomente por la esferax2 + y2 + z2 = 16 e inferiormente por el cono z =

px2 + y2

6. Sean F(x; y; z) = [2x; 3y; 5z + 6x] y G(x; y; z) = [3x + 4z2; 2y + 5x; 5z] demuestreque

RSF � NdS =

RSG � NdS si S es cualquier super�cie cerrada.

7. Demuestre que si F es un campo vectorial constante y S es una super�cie cerradaentonces

RSF � NdS = 0

8. Calcular la integral de super�cieRS[xy2; yz2; zx2]dS siendo S la región acotada por

los cilindros x2 + y2 = 1 ; x2 + z2 = 1

9. Comprobar queRS[x; y; z]dS = 3V donde V es el volumen del sólido acotado por

la super�cie cerrada S.

10. Utilice un CAS para representar la divergencia de un campo vectorial.

Ejercicios de repaso del capitulo 6PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO

1. La parametrización de una super�cie es única

2. El producto vectorial fundamental es un gradiente

3. Una super�cie es simple si no se corta a si misma

4. Para calcular una integral de super�cie esta se debe parametrizar

5. Si una super�cie es cerrada, determina un volumen

6. Una super�cie orientable posee normales exteriores e interiores

7. La integral de super�cie de un campo escalar se denomina �ujo

8. El teroema de Stokes no es aplicable en el plano

Page 273: Calculo vectorial

6.5. TEOREMA DE GAUSS 265

9. El teorema de Gauss es solamente aplicable sobre sólidos.

10. La integral de �ujo a traves de un sólido se puede calcular aplicando el teorema deGauss.

PREGUNTA DE SELECCIÓN MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA

1. Una super�cie S esta parametrizada por medio de �(u; v) = [cos v; 2senv; u] entonces

A. S es un paraboloide B. S es un cilindro C. S es un hiperboloide. D. S esun elipsoide

2. Una super�cie S esta parametrizada por medio de �(u; v) = [2 cos v; 3senv; u] en-tonces

A. [�2senv; 3 cos v; 0] es normal a S B. [0; 0;�1]es tangente a S C. [�3 cos v; 2senv; 0]es tangente a S D. [2senv; 3 cos v; 0] es normal a S

3. La masa del helicoide cuya ecuación vectorial es �(u; v) = [cos v; usenv; v] con 0 �u � 1 y 0 � v � 2� y cuya densidad en cada punto es � =

px2 + y2, es igual a:

A.�4p2 + 2

�� B.

4p2 + 2

3

!� C.

4p2� 23

!� D.

�4p2� 2

��

4. El �ujo del campo vectorial F(x; y; z) = xzi � yzj + z2k a través del elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 es igual a:

A. �ab B. �bc C. 0 D. �abc

5. El �ujo máximo de F(x; y; z) = [�x2 � 4xy;�6yz; 12z]hacia el exterior de un paralelepípe-do de aristas a, b y c, es igual a:

A. 27 B. �27 C. 30 D. 7

6. El valor de la integral de líneaRCydx+ zdy+xdz si C es la curva intersección entre

las super�cies x+ y = 2 y x2 + y2 + z2 = 2(x+ y) es igual a:

A. �1 B.2p2� C. 1 D. �2

p2�

7. Sean F un campo escalar y F un campo vectorial diferenciables, determine cual delas siguientes expresiones tiene sentido.

A. r(rF ) B. r � (r � F) C. r� (r� F) D. r � (rF )

Page 274: Calculo vectorial

266 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

8. La integral de lìneaRC2zdx + xdy + y2dz, donde C es el borde de la super�cie

z = 4� x2 � y2 para z � 0, es equivalente a:

A.RS

R[2z; x; y2] dS B.

RS

R[2z; x; y2] [2x; 2y; 1] dS C.

RS

R[2y; 2; 1] [2x; 2y; 1] dS D.R

S

R[2y; 2; 1] [2; 2; 1] dS

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTASi 1 y 2 son correctas marque A Si 2 y 3 son correctas marque BSi 3 y 4 son correctas marque C Si 2 y 4 son correctas marque DSi 1 y 3 son correctas marque EMultiple

1. Una super�cie S esta parametrizada por medio de �(u; v) = [cos vsenu; senvsenu; cosu]con 0 � u � �y 0 � v � 2�entonces.

1. S es un elipsoide 2. [cos v cosu; senv cosu; senu] es tangente a S3. [sen2u cos v; sen2usenv; senu cosu] es normal a S. 4. �(u; �) es un círculo.A. B. C. D. E.

2. Si S1 y S2 son super�cies simples.entonces:

A. S1 [ S2 es simple. B. S1 \ S2 es simple C. S1 es simple D. S1 � S2 essimple.

3. Si F(x; y; z) = [exseny; ex cos y; z] entonces

1. OF(x; y; z) = [exseny;�exseny; 1] 2. O � F(x; y; z) = exseny � exseny + 13. O� F(x; y; z) = [2ex cos y; 0; 0] 4. O� F(x; y; z) = [0; 0; 0]A. B. C. D. E.

4. Si F es un campo vectorial de R3en R3diferenciable, entonces

1. divF = Traza(Jacobiana(F)) 2.div (rotF) = 0 3.rot (divF) = 0 4.rot (rotF) =0A. B. C. D. E.

5. Un solidó esta acotado por 0 � x � 1, 0 � y � 1y 0 � z � G(x; y), dondez = G(x; y)es una super�cie suave arbitraria desconocida. Suponga que el �ujo haciafuera de F(x; y; z) = [x;�2y; z + 3] a través del lado que se encuentra en el planoy = 1es igual a �3 y a través del lado que se encuentra en el plano x = 1es igual a1, entonces a través de:

1. El lado que se encuentra en el plano x = 0 es igual a �12. El lado que se encuentra en el plano y = 0 es igual a 33. El lado que se encuentra en el plano z = 0 es igual a �34. La super�cie z = G(x; y) es igual a 5A. B. C. D. E.

Page 275: Calculo vectorial

6.5. TEOREMA DE GAUSS 267

6. Sean S1el hemisferio superior de la esfera x2+y2+z2 = 4, S2la porción del paraboloidez = x2 + y2 � 4que se encuentra debajo del plano xy, N1y N2las normales exterioresa S1y S2respectivamente, y F(x; y; z) = [x;�y; z]un campo vectorial, se cumple que:

1.RS1

RF� N1ds =

RS2

RF� N2ds 2.

RS1

RF � N1ds =

RS2

RF � N2ds

3.RS1

RF � N1ds = V olumen(S) si S = S1

SS2 4.

RS1

RF� N1ds <

RS2

RF� N2ds

A. B. C. D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS

1. Demuestre que F (x; y) = jxj+ jyj no es una super�cie simple.

2. Determine los puntos de la super�cie r(u; v) = [u2 + v2; u+ 3v;�5v]donde el planotangente es paralelo al plano 5x� 6y + 2z = 7

3. Si r(u; v) = [u+v; u2+v2; u3+v3] halle el producto vectorial fundamental de r(u; v) y

determine los puntos (u; v) para los cuales@�

@uy@�

@vson linealmente independientes.

4. Hallar el área de la super�cie común a los cilindros x2 + y2 = a2 y x2 + z2 = a2

5. Si S es una esfera de radio a, determine el área de la porción de esfera que seencuentra entre los planos z =

a

2y z =

a

4

6. Una rampa en forma de espiral esta determinada por la ecuación r(u; v) = [ucosv; usenv; cv]con a � u � b y 0 � v � 2� y c es un parametro que determina la pendiente dela rampa. Determinar el área de la super�cie de esta rampa.

7. Calcular la integral de super�cieRSF (x; y; z)dS, si S es la porción del paraboloide

z = 2� (x2 + y2) sobre el plano xy ; y:

a) F (x; y; z) = 1

b) F (x; y; z) = x2 + y2

c) F (x; y; z) = 3z

8. Hallar el centro de masas de la super�cie esferica x2+y2+z2 = a2 que se encuentradentro del cono zTan� =

px2 + y2 (0 < � < �

2)

9. Si S es la super�cie determinada por el triángulo de vértices (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) y(0; 0; 1), y F(x; y; z) = [x; y; z] :Calcular la integral de super�cie

RSF�NdS utilizando

a) La representación vectorial r(u; v) = [u+ v; u� v; 1� 2u]b) Una representación explicita de la forma z = F (x; y)

10. Si S es una super�cie con frontera C y F es un campo vectorial tal que O � F estangente en cada punto de S demuestre que

RCFd� = 0

Page 276: Calculo vectorial

268 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

11. Si F es un campo escalar de�nido en una bola abierta B de R3 tal que@2F

@x2+@2F

@y2+

@2F

@z2= 0 en B demuestre que

RS

ROF � Nds = 0 donde S es la frontera de B.

12. Calcule el �uo del campo F (x; y; z) = x�!i + y

�!j � z

�!k a través de la región común

a las esferas x2 + y2 + z2 = 1 y x2 + y2 + (z � 1)2 = 1.

13. Calcule el �ujo del campo F(x; y; z) =xi+ yj + zk

(x2 + y2 + z2)3=2a travès del elipsoide 4x2+

9y2 + 16z2 = 36

14. Compruebe el teorema de Stokes para F(x; y; z) = [x+ 2y; 3x+ z; x+ y + z], si S esla porción de cilindro x2 + y2 = 4, �1 � z � 1

15. Veri�car el teorema de Stokes para F(x; y; z) = [y + z;�xz; y2], si S es la porcióndel primer octante acotada por 2x+ z = 6 y y = 2 , que no queda:

a) En el plano XY

b) En el plano Y = 2

c) En el plano 2x+ z = 6

16. Un campo escalar F tiene la propiedad kOFk2 = 4F y O � (FOF ) = 10F . Calcularla integral de super�cie

RS

ROF � Nds donde S es la super�cie de la esfera unitaria

con centro en el origen y N es un vector normal unitario exterior a S

17. Si F es constante, demuestre queRSF �Nd� = 0 para cualquier super�cie S suave y

cerrada.

18. Calcular la integral de super�cieRS

Rxdydz + ydzdx + zdxdy si S es la super�cie

acotada por el cilindro x2 + y2 = 9 y los planos z = 0 y z = 3

a) Directamente

b) Utilizando el teorema de Gauss

19. Calcular la integral de super�cieRS

R4xzdydz � y2dzdx + yzdxdy si S es un cubo

de arista 1.

a) Directamente

b) Aplicando el teorema de Gauss

20. Si S es una super�cie cerrada que encierra un volumen V y F(x; y; z) =[ax; by; cz]demostrar que

RS

RF � NdS = (a+ b+ c)V

Page 277: Calculo vectorial

6.5. TEOREMA DE GAUSS 269

Problemas

1. La tienda de un indio esta hecha de una tela impermeable con forma conica de altura6 m y base circular de radio 2 m, determine la cantidad de material que se empleoen la elaboraciòn de la tienda.

2. La punta de un lápiz es el resultado de la intersección del cono z =p3x2 + 3y2con

un prisma hexagonal regular de lado a, de manera que el cono y el prisma tieneel mismo eje. Hallar el área de la super�cie cónica de dicha punta sabiendo quela sexta parte proyecta sobre un triángulo equilátero tal como se muestra en la

�gura.

3. Una catedral tiene una cúpula cuya forma es la de un paraboloide de revolución conecuación 4z = 64� x2 � y2se sabe que un pintor cobra por mano de obra $2000 pormetro cuadrado, mientras que el bote de pintura que rinde para 40m2cuesta $9000.

a) Cual es el área de la cúpula

b) Cual es el costo total por pintar la cúpula.

4. La super�cie de una montaña responde a la ecuación x2 + y2 + z = 4R2 Sobre unade sus laderas se construye un restaurante cilíndrico, de radio R, según muestra la�gura. La temperatura viene dada por T (x; y; z) = 3x2+(y�R)2+16z2. De�namosla función densidad de �ujo de calor V como V = �krT , donde k es una constanteque depende de los materiales. Determinar el �ujo de V a través de la super�cie decontacto entre el restaurante y la montaña. (La respuesta dependerá de R y de k).

Page 278: Calculo vectorial

270 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

z

y

x

5. Un globo tiene la forma de una esfera truncada de radio 4, con truncamiento circularde radio 1. Si los gases calientes se escapan a través de la super�cie porosa delglobo según el campo de velocidades V (x; y; z) = r� �(x; y; z) donde �(x; y; z) =�y�!i + x

�!j . Calcular el �ujo de los gases a través de la super�cie del globo.

Page 279: Calculo vectorial

APÉNDICEA

Apendice

271

Page 280: Calculo vectorial

272 APÉNDICE A. APENDICE

Page 281: Calculo vectorial

Afterword

273