PROYECTO CALCULO VECTORIAL “COORDENADAS ESFERICAS”.

PRESENTADO POR:

JUAN CARLOS CAICEDO

DIEGO FERNANDO VALENCIA

STEFANIA JIMENEZ VALENCIA

DUVAN PIZARRO

GRUPO:

802

SANTIAGO DE CALI JULIO 8 DEL 2015

INSTITUCION UNIVERSITARIA ANTONIO JOSE CAMACHO.

PROYECTO CALCULO VECTORIAL “COORDENADAS ESFERICAS”.

PRESENTADO A:

ALEXANDER ARÉVALO

SANTIAGO DE CALI JULIO 8 DEL 2015

INSTITUCION UNIVERSITARIA ANTONIO JOSE CAMACHO.

INTRODUCCION

Un sistema de coordenadas es una forma sistemática para representar un

punto en algún espacio especificando solo algunos números. El sistema de

coordenadas más familiar es el sistema de coordenadas rectangulares. En

R³ funciona especificando las coordenadas X, Y y Z que representan las

distancias en los ejes X, Y y Z respectivamente. Las coordenadas

rectangulares a veces resultan extremadamente difíciles cuando se trata de

definir ciertas formas comunes, como cilindros, superficies de revolución y

esferas. Una segunda forma para determinar la ubicación de un punto en

tres dimensiones es utilizando coordenadas cilíndricas y esféricas que

están relacionadas con las coordenadas polares en el plano, ya que

trabajar con este tipo de coordenadas resulta más fácil.

OBEJTIVOS.

Explicar el concepto de coordenadas esféricas y cuáles son sus

componentes = es la distancia que hay desde el origen hasta P.

= Es el ángulo x  que forma con el eje   la proyección del radio vector sobre el plano .

= es el ángulo entre el eje positivo Z y el segmento de la recta OP.

Aprender cómo convertir coordenadas rectangulares a esféricas y viceversa.

Demostrar con ejemplos que las coordenadas esféricas desempeñan un papel muy trascendente en algunos cálculos que se presentan con integrales dobles y triples y que son tediosos y difíciles de efectuar en el sistema de coordenadas rectangulares.

Llenar las expectativas del profesor respecto a nuestro trabajo e investigación, así sacar una muy buena nota.

COORDENADAS ESFERICAS.

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

Las coordenadas esféricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un punto, el paso a seguir es seleccionar el punto de manera que coincida con el origen.

Las coordenadas esféricas de un punto P en el espacio que se

muestran en la fig 1. Dónde: =|OP| es decir la distancia que hay desde el

origen O hasta P (ro), es el mismo ángulo que se usa en coordenadas

cilíndricas, en los ejes X Y, es el ángulo entre el eje positivo Z y el

segmento de la recta OP ( ).

Se pueden encontrar relación entre coordenadas esféricas y rectangulares

como se muestra en la fig 2. A partir de los triángulos OPQ y OPP’:

Por lo tanto tenemos que:

Z= cos r= sen

Como x= r cos y y= r sen , entonces para convertir en coordenadas

esféricas en rectangulares usamos las ecuaciones:

Así mismo, la fórmula de la distancia muestra que:

Aplicamos esta ecuación para convertir coordenadas rectangulares a

esféricas.

El sistema de coordenadas esféricas es útil principalmente para superficies

en el espacio que tiene un punto o centro de simetría. Por ejemplo, la fig. 3

muestra tres superficies con ecuaciones esféricas sencillas.

EJEMPLOS:

1) El punto (2, π4 ,

π3 ) está en coordenadas esféricas. Encuentre sus

coordenadas rectangulares.

SOLUCION: En este problema usamos la ecuación 1.

2) En el punto (0,2√3 , -2) ésta en coordenadas rectangulares.

Determine sus coordenadas esféricas.

SOLUCION: En este problema usamos la ecuación 2 y luego la

ecuación 1.

.

APLICACIONES:

Las coordenadas esféricas son utilizadas para hallar volumen, áreas en figuras de esferas o relacionadas a estas.

EJEMPLO:

Calcule el volumen del solido que se encuentra dentro de la esfera x²+y²+z²=16, fuera del cono z=√ x ²+ y ² y por encima del plano xy.

SOLUCION.

CONCLUSIONES.

*Es de gran importancia saber manejar coordenadas esféricas, ya que es mucho más fácil trabajar con estas principalmente para superficies en el espacio que tiene un punto o centro de simetría que con coordenadas rectangulares.

*Aprendimos que las coordenadas esféricas tienen gran variedad de aplicaciones que son usados para ingeniería, entre otros.

* Si necesitamos dar un resultado en coordenadas rectangulares pasamos las coordenadas a esféricas se hacen las ecuaciones y al final de hallar lo que se necesite se pueden pasar nuevamente a esféricas.

BIBLIORGRAFIA

Calculo conceptos y contextos James Stewart. Cálculo 2 de varias variables Novena edición, Ron Larson, Bruce

H. Edwards. https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas https://www.youtube.com/watch?v=RuAy6tQ0zcc https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas Docente Jhonny Ospina Loaiza.