Notas Calculo Vectorial

Calculo y Analisis Vectorial

MCM. Luis Farfan1

MCM. Noe Chan2

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INDICE GENERAL

1 Calculo diferencial de funciones de varias variables 11.1 Ejemplos y definicion de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Dominio, contradominio y graficas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Lımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Diferenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 Razones parciales de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Derivadas parciales. Interpretacion fısica y geometrica . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.5 Derivacion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.1 Incrementos y aproximaciones de cambios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 Valores extremos de funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.1 Criterio de segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4.2 Metodo general de regiones cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

iii

iv INDICE GENERAL

1

CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DEVARIAS VARIABLES

En el curso de Calculo Diferencial e Integral se trabajo con funciones de una sola variable conceptoscomo: grafica de funciones, lımites, derivadas, maximos y mınimos, integrlaes etcetera. Ahora estu-diaremos el calculo diferencial de funciones de multiples variables.

1.1 Ejemplos y definicion de funciones de varias variables

Recuerde que una funcion de una variable y = f(x) es una regla de correspondencia que asigna a cadaelemento x en el subconjunto X de los reales, denominado el dominio de f , uno y solo un numero realy en otro conjunto de numeros reales Y . Consideraremos el calculo de funciones que son, en la mayorıade las veces, funciones de dos variables.Algunas funciones de dos variables son

• A = xy, area de un rectanculo que depende del largo (x) y ancho (y)

• V = πr2h, volumen de un cilindro circular que depende del radio (r) y la altura (h)

• S = 0.1091p0.425h0.725, el area de la superficie de un cuerpo depende del peso (p) y la altura (h)

Sistema de coordenadas rectangular en el espacio tridimensional.En tres dimensiones, o espacio tridimensional, se construye un sistema de coordenadas rectangulares

utilizando tres ejes mutuamente perpendiculares. El punto en el cual estos ejes se intersecan se denominaorigen O. Estos ejes, se muestran en la figura

Las lıneas punteadas en la figura 11.2.2a) representan los ejes negativos. Ahora bien, si

x = a, y = b, z = c

1

2 1. CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

son planos perpendiculares La definicion formal de una funcion de dos variables se presenta a contin-uacion

Definicion 1 (Funciones de dos variables, [Zill]). Una funcion de dos variables es una regla de co-rrespondencia que asigna a cada par ordenado de numeros reales (x, y) en el subconjunto del plano xyuno y solo un numero z en el conjunto R de numeros reales.

1.1.1 Dominio, contradominio y graficas de funciones elementales

Definicion 2 (Dominio y Rango, [Zill]). El conjunto de pares ordenados (x, y) se llama dominio dela funcion y el conjunto de valores correspondientes de z recibe el nombre de rango.

Una funcion de dos variables suele escribirse z = f(x, y) y se lee ”f de x, y“. Las variables x y y sedenominan variables independientes de la funcion y z es la variable dependiente

Ejemplo 1 (Funciones polinomiales y racionales, [Zill]). Una funcion polinomial de dos variables con-siste de la suma de potencias xmyn, donde m y n son enteros no negativos. El cociente de dos funcionespolinomiales se denomina funcion racional. Por ejemplo,Funciones polinomiales:

f(x, y) = xy − 5x2 + 9 y f(x, y) = 3xy2 − 5x2y + x3

Funciones racionales:

f(x, y) =1

xy − 3yy f(x, y) =

x4y2

x2y + y5 + 2x

El dominio de una funcion polinomial es el plano xy completo. El dominio de una funcion racional es elplano xy, excepto aquellos pares ordenados (x, y) para los cuales el denominador es cero. Por ejemplo,

el dominio de la funcion racional f(x, y) =4

6− x2 − y2consiste en el plano xy, excepto aquellos puntos

(x, y) que yacen en la circunferencia 6− x2 − y2 = 0 o x2 + y2 = 6

Ejemplo 2 ([Leithold]). Considerando la funcion de dos variables z como z =√

25− x2 − y2. En-cuentre su dominio y rango

Solucion.Debido a que la funcion involucra una raız, la condicion para que la raız este definida es 25−x2−y2 ≥ 0,que es equivalente a x2+y2 ≤ 25, por lo tanto el dominio es el conjunto Df = {(x, y) ∈ R2|x2+y2 ≤ 25}.Este es el conjunto de puntos del plano xy sobre la circunferencia x2+y2 = 25 y la region interior limitadapor esta circunferencia, como se ve en la figura 1.1. Para determinar el rango podemos proceder comosigue, debido a que z =

√25− x2 − y2, el mınimo valor que puede tomar z es cuando x2 + y2 = 25, es

decir, cuando estamos sobre la circunferencia, en este caso z = 0, en tanto que el valor maximo para zse tiene cuando estamos sobre el origen, en este caso z = 5, por tanto el rango de la funcion son todoslos valores tales que 0 ≤ z ≤ 5, es decir, el intervalo [0, 5]

1.1. EJEMPLOS Y DEFINICION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3

Figura 1.1: Dominio de la funcion z =√

25− x2 − y2

�

Ejemplo 3 ([Leithold]). Determina y representa en el plano el dominio de la funcion z = h(x, y) =1√

x2 + y2 − 25

Solucion.En este la funcion involucra un cociente y una raız por lo cual las condiciones son√

x2 + y2 − 25 6= 0 y x2 + y2 − 25 ≥ 0

Por tanto la condicion para el dominio sera x2 + y2 − 25 > 0 o equivalentemente x2 + y2 > 25 pues laraız no puede tomar el valor 0, ası Df = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 > 25}, y la region sera el exterior de lacircunferencia de radio 5 centrada en el origen, sin considerar el borde de la circunferencia como enla figura 1.2.

Figura 1.2: Dominio de la funcion z = 1(x2+y2−25)1/2

�

Ejemplo 4 ([Zill]). Dada la funcion f(x, y) = 4 +√x2 − y2

a) Encuentre f(1, 0), f(5, 3), f(x, y), f(x, 0)


b) Dibuje el dominio de la funcion

Solucion.Para la evaluacion basta sustituir los valores,

f(1, 0) = 4 +√

1− 0 = 5

f(5, 3) = 4 +√

25− 9 = 4 +√

16 = 8

f(x, x) = 4 +√x2 − x2 = 4

f(x, 0) = 4 +√x2 = 4 + |x|

Note que al evaluar el caso f(x, 0) obtenemos la funcion 4 + |x|.Para el dominio la condicion sera que x2 − y2 ≥ 0, pues la raız debe ser positiva, para determinar laregion analizamos la igualdad x2 − y2 = (x + y)(x − y) = 0 lo cual implica que sera la curva tal quex+ y = 0 o x− y = 0, de donde concluimos que las curvas son y = x y y = −x, lo cual divide al planoen 4 regiones, como en la figura 1.3.

Figura 1.3: Regiones del plano divididas por x2 = y2

Para determinar las regiones que forman parte del dominio elegimos un punto de cada region

Region Punto (x, y) Condicion x2 − y2 ≥ 0 ¿Es parte del dominio?I (1, 0) 1− 0 ≥ 0 SıII (0, 1) 0− 1 6≥ 0 NoIII (−1, 0) 1− 0 ≥ 0 SıIV (0,−1) 0− 1 6≥ 0 No

Por lo cual la region sera como en la figura 1.4 incluyendo el borde de la region pues el sentido de ladesigualdad es “≥”


Figura 1.4: Dominio de la funcion 4 +√x2 − y2

�

Definicion 3 (Grafica de una funcion de dos variables, [Leithold]). Si f es una funcion de dos variables,entonces la grafica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) ∈ R3 para los cuales (x, y) es unpunto del dominio de f y la coordenada z es igual a f(x, y)

En consecuencia, la grafica de una funcion f de dos variables es una superficie que consta de todoslos puntos del espacio tridimensional cuyas coordenadas cartesianas estan determinadas por las ternasordenadas de numeros reales (x, y, z). Como el dominio de f es un conjunto de puntos en el plano xy,y puesto que cada par ordenado (x, y) del dominio de f corresponde a solo un valor de z, ningunarecta perpendicular al plano xy puede intersectar a la grafica de f en mas de un punto.

Ejemplo 5. Obtener la grafica de la funcion x2 + y2 + z2 = 9

Solucion.La ecuacion x2 + y2 + z2 = 9 tiene por grafica una esfera de radio 3, pero esta no es la grafica de unafuncion. Para obtener la grafica de la funcion requerimos una expresion del tipo z = f(x, y), al resolverpara z, y tomar la raız cuadrada no negativa, obtenemos la funcion

z =√

9− x2 − y2 o f(x, y) =√

9− x2 − y2

La grafica es f es el hemisferio superior que se ilustra en la figura 1.5

Figura 1.5: Grafica de la funcion z =√

9− x2 − y2

El dominio de la funcion es un conjunto de pares ordenados (x, y) donde las coordenadas satisfacen

9− x2 − y2 ≥ 0 o x2 + y2 ≤ 9

Esto es, el dominio de f consiste en la circunferencia x2 + y2 = 9 y su interior. La inspeccion de lafigura 1.5 muestra que el rango de la funcion �


1.1.2 Curvas de nivel

Otro metodo util para representar geometricamente una funcion de dos variables es semejante al derepresentacion de un relieve tridimensional por medio de un mapa topografico tridimensional.

Definicion 4 (Curva de nivel, [Zill]). Si una funcion de dos variables esta dada por z = f(x, y), entonceslas curvas definidas por f(x, y) = c, para una c apropiada, reciben el nombre de curvas de nivel de f .La palabra nivel proviene del hecho de que podemos interpretar f(x, y) = c como la proyeccion sobreel plano xy de la curva de interseccion o traza de z = f(x, y) y el plano (horizontal o de nivel) z = c(figura 1.6).

Figura 1.6: Curva de nivel y su proyeccion en el plano xy

A nivel practico, los mapas de contorno (curvas de nivel) son usados mas a menudo para desplegarcurvas de igual elevacion, en la figura 1.7 podemos observar que un mapa de contornos ilustra losdiversos segmentos de una columna que tiene una altura dada.

Figura 1.7: Para el mapa de contornos la curva se coloca a la altura indicada

Ejemplo 6 ([Larson]). Para el hemisferio dado por f(x, y) =√

64− x2 − y2, bosquejar un mapa decontornos de esta superficie usando las curvas de nivel correspondientes a c = 0, 1, 2, . . . , 8


Solucion.Para cada uno de los valores de c, se debe bosquejar la ecuacion dada por f(x, y) = c en el plano xy.En este caso la ecuacion a graficar es

√64− x2 − y2 = c que es equivalente a x2 +y2 = 64− c2, es decir,

las circunferencias

x2 + y2 = 64, (c = 0)x2 + y2 = 63, (c = 1)x2 + y2 = 60, (c = 2)x2 + y2 = 55, (c = 3)x2 + y2 = 48, (c = 4)x2 + y2 = 39, (c = 5)x2 + y2 = 28, (c = 6)x2 + y2 = 15, (c = 7)x2 + y2 = 0, (c = 9)

Figura 1.8: Mapa de contornosdel ejemplo 6

Figura 1.9: Funcion del ejemplo6, usando el mapa de contornos

Para graficar la funcion usando el mapa de contornos, la curva obtenida en el mapa se ”eleva“ a unaaltura z = c en el espacio �

Ejemplo 7 ([Larson]). Bosqueja el un mapa de contornos y la superficie del para paraboloide hiperbolicodado por

z = y2 − x2

Solucion.Consideraremos los valores para c = −12,−11, . . . , 11, 12. En este caso f(x, y) = c significa

y2−x2 = c que es equivalente ay2

c− x

2

c= 1 en el plano xy. Para esta ecuacion, cada una de las curvas

de nivel, cuando c 6= 0, es una hyperbola cuyas asıntotas son las lıneas y = ±x. Si c < 0, se trata dehyperbolas horizontales, por ejemplo, la curva de nivel para c = −4 es

x2

4− y2

4= 1, una curva similar se presenta si c < 0.

Si c > 0, se trata de hiperbolas verticales, por ejemplo para c = 4 la curva de nivel es

y2

4− x2

4= 1, una curva similar se presenta si c > 0.

Si c = 0, la curva de nivel es una conica degenerada que representa la interseccion de las asıntotas, elmapa de contornos y la superficie obtenida con este mapa se presenta en la figura 1.10


(a) Mapa de contornos (b) Superficie

Figura 1.10: Mapa de contornos y superficie para f(x, y) = y2 − x2

�

Funciones de tres o mas variables

Las definiciones de funciones de tres o mas variables son simplemente generalizaciones de las defini-ciones del caso de dos variables ( [Zill]). Por ejemplo, una funcion de tres variables es una regla decorrespondencia que asigna a cada triada ordenada de nmeros reales (x, y, z) en un subconjunto delespacio tridimensional, uno y solo un numero w en el conjunto R de los numeros reales. Una funcionde tres variables suele denotarse por medio de w = f(x, y, z).Por ejemplo, el volumen V y el area de la superficie S de una caja rectangular son funciones polinomialesde tres variables:

V (x, y, z) = xyz y S = 2xy + 2xz + 2yz

Ejemplo 8 ([Zill]). El dominio de la funcion racional de tres variables

f(x, y, z) =2x+ 3y + z

4− x2 − y2 − z2

es el conjunto de puntos (x, y, z) que satisface x2 + y2 + z2 6= 4. En otras palabras, el dominio de f estodo el espacio tridimensional salvo los puntos que yacen sobre la superficie de una esfera de radio 2centrada en el origen.

Para una funcion de tres variables, w = f(x, y, z), las superficies dadas por f(x, y, z) = c, donde crepresenta una constante, se llaman superficies de nivel de la funcion f .

Ejemplo 9 (Algunas superficies de nivel, [Zill]). Traza las siguientes superficies de nivel.

a) Las superficies de nivel del polinomio f(x, y, z) = x − 2y + 3z son una familia de planos paralelosdefinidos por x− 2y + 3z = c


b) Las superficies de nivel del polinomio f(x, y, z) = x2+y2+z2 son una familia de esferas concentricasdefinidas por x2 + y2 + z2 = c, c > 0

c) Las superficies de nivel de la funcion racional f(x, y, z) =x2 + y2

zestan dadas por x2+y2

z= c o

x2 + y2 = cz

Algunos miembros de estas familias se presentan en la figura 1.11

(a) Superficies de nivelpara a)

(b) Superficies de nivelpara b)

(c) Superficies denivel para c)

Figura 1.11: Superficies de nivel del ejemplo 9

1.1.3 Lımites y continuidad

En el caso de funciones de una variable, en muchos casos es factible hacer un juicio acerca de la existenciadel lim

x→af(x) a partir de la grafica de y = f(x). Tambien se aprovecha que lim

x→af(x) existe si y solo si

limx→a−

f(x) y limx→a+

f(x) existen y son iguales al mismo numero L, en cuyo caso limx→a f(x) = L. En

el caso de varias variables la situacion a considerar es un poco mas complicada. Analizar un lımitedibujando la grafica de z = f(x, y) no es conveniente ni es una rutina posible para la mayor parte delas funciones de dos variables.Por intuicion f tiene un lımite es un punto (a, b) si los valores de la funcion f(x, y) se acercan a unnumero L conforme (x, y) se acerca a (a, b). Escribimos f(x, y)→ L cuando (x.y)→ (a, b), o

lim(x.y)→(a,b)

f(x, y) = L

La nocion de (x, y) “aproximandose” a un punto (a, b) no es tan simple como para funciones de unavariable donde x→ a significa que x puede acercarse a a solo desde la izquierda y desde la derecha. Enel plano xy hay un numero infinito de maneras de aproximarse al punto (a, b). Como se muestra en lafigura 1.12, para que lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) exista, requerimos ahora que f se aproxime al mismo numero L a

lo largo de cualquier trayectoria o curva posible que pase por (a, b). Por tanto, si podemos encontrar dos


(a) A lo largo de rectas hor-izontal y vertical a los ejesque pasan por (a, b)

(b) A lo largo de toda rectaque pasa por (a, b)

(c) A lo largo de todacurva que pasa por (a, b)

Figura 1.12: Tres de muchas maneras de aproximar el punto (a, b)

caminos o trayectorias diferentes de modo que al aproximarnos a la funcion f(x, y) en (a, b) obtengamoslımites diferentes, se sigue que lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) no existe.

Teorema 1 (Lımite por trayectorias,[Stewart]). Si lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L1 cuando (x, y) pertenecen a

la trayectoria C1 y lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = L2 cuando (x, y) pertenecen a la trayectoria C2, si L1 6= L2,

entonces lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) no existe.

En el siguiente teorema se mencionan las propiedades de lımites para funciones de dos variables.Estos teoremas son las contrapartes de los teoremas de lımites que se presentaron en el curso de Calculoen el primer semestre.

Teorema 2 (Propiedades de lımites, [Zill]). Sean (a, b) un punto en el plano, c una constante ysuponiendo que lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) y lim

(x,y)→(a,b)g(x, y) existen y lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) = L1 y lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) =

L2, entonces

I. lim(x,y)→(a,b)

c = c

II. lim(x,y)→(a,b)

x = a y lim(x,y)→(a,b)

y = b

III. lim(x,y)→(a,b)

cf(x, y) = lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = cL1

IV. lim(x,y)→(a,b)

[f(x, y)± g(x, y)] = L1 ± L2

V. lim(x,y)→(a,b)

f(x, y)g(x, y) = L1L2

VI. lim(x,y)→(a,b)

f(x, y)

g(x, y)=L1

L2

, siempre que L2 6= 0

Teorema 3 (Lımite de una funcion compuesta, [Leithold]). Si g es una funcion de dos variables ylim

(x,y)→(a,b)g(x, y) = c y ademas f es una funcion de una variable que es continua en c, entonces

lim(x,y)→(a,b)

(f ◦ g)(x, y) = lim(x,y)→(a,b)

(f(g(x, y)) = f

(lim

(x,y)→(a,b)g(x, y) =

)= f(b)


Ejemplo 10 ([Larson]). Evaluar el lımite lim(x,y)→(1,2)

5x2y

x2 + y2

Solucion.Usando las propiedades de lımite, teorema 2, tenemos

lim(x,y)→(1,2)

5x2y

x2 + y2=

lim(x,y)→(1,2)

5x2y

lim(x,y)→(1,2)

(x2 + y2)=

5 lim(x,y)→(1,2)

x2 · lim(x,y)→(1,2)

y

lim(x,y)→(1,2)

x2 + lim(x,y)→(1,2)

y2=

5(1)(2)

12 + 22=

10

5= 2

�

Ejemplo 11 ([Leithold]). Utilizando el teorema 3 determine lim(x,y)→(2,1)

ln(xy − 1)

Solucion.Considerando que la funcion logaritmo natural es continua, tenemos

lim(x,y)→(2,1)

ln(xy − 1) = ln

(lim

(x,y)→(2,1)(xy − 1)

)= ln

(lim

(x,y)→(2,1)xy − lim

(x,y)→(2,1)1

)= ln

(lim

(x,y)→(2,1)x · lim

(x,y)→(2,1)y − lim

(x,y)→(2,1)1

)= ln(2− 1) = ln 1 = 0

�

Ejemplo 12. Determinar lim(x,y)→(1,1)

y4 − x4

y2 − x2

Solucion.En este caso lim

(x,y)→(1,1)(y2 − x2) = 0 y no es posible aplicar de manera directa el teorema 2, por ello es

necesario hacer un arreglo algebraico. Notando que y4 − x4 = (y2 − x2)(y2 + x2), entonces el lımite sepuede calcular como sigue

lim(x,y)→(1,1)

y4 − x4

y2 − x2= lim

(x,y)→(1,1)

(y2 − x2)(y2 + x2)

y2 − x2= lim

(x,y)→(1,1)(y2 + x2) = 2

�

Ejemplo 13 (Un lımite que no existe, [Zill]). Demuestre que lim(x,y)→(0,0)

x2 − 3y2

x2 + 2y2no existe

Solucion.Para la solucion consideraremos el teorema 1, es decir consideraremos dos trayectorias que se aproximenal punto (0, 0), usaremos C1 como el camino o trayectoria y = 0 y C2 como x = 01.En y = 0 se tiene que

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lim(x,0)→(0,0)

f(x, 0) = lim(x,0)→(0,0)

x2 − 0

x2 + 0= 1

1No podemos usar trayectorias que no pasen por el punto (0,0)


y cuando x = 0, tenemos

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lim(0,y)→(0,0)

f(0, y) = lim(0,y)→(0,0)

0− 3y2

0 + 2y2= −3

2

Ası de acuerdo al teorema 1, podemos concluir que el lımite no existe. �

Ejemplo 14 ([Zill]). Demuestre que lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2no existe

Solucion.Nuevamente usamos el teorema 1, pero en este caso los lımites a lo largo de las trayectorias x = 0 yy = 0 son los mismos:

lim(x,0)→(0,0)

f(x, 0) =0

x2= 0 y lim

(0,y)→(0,0)f(0, y) =

0

y2= 0

Sin embargo, esto no significa que lim(x,y)→(0,0)

f(x,y) exista, ya que no se ha examinado toda trayec-

toria posible hacia (0, 0). Considerando ahora la trayectoria y = x, tenemos

lim(x,x)→(0,0)

f(x, x) = lim(x,x)→(0,0)

x2

x2 + x2= lim

(x,x)→(0,0)

1

2=

1

2

�

Ejemplo 15. Muestre que lim(x,y)→(0,0)

x3y

x6 + y2no existe

Solucion.No es dıficil mostrar que las trayectorias x = 0, y = 0, y = mx (rectas con m 6= 0), y = ax (parabolas

con a 6= 0) cumplen que lim(x,y)→(0,0)

x3y

x6 + y2= 0. De nuevo, esto no comprueba que el lımite exista,

tomando y = x3, tenemos

lim(x,x3)→(0,0)

f(x, x3) = lim(x,x3)→(0,0)

x3x3

x6 + (x3)2= lim

(x,x3)→(0,0)

x6

2x6= lim

(x,x3)→(0,0)

1

2=

1

2

Por tanto el lımite de la funcion no existe. �

Continuidad

La idea de continuidad para funciones de dos o mas variables es la misma que en el caso de funcionesde una variable, como se menciona en la siguiente definicion.

Definicion 5 (Continuidad, [Leithold]). Una funcion f de dos variables x y y es continua en el punto(a, b) si y solo si satisface las tres condiciones siguientes2:

2En los libros la notacion lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = f(a, b) implica las tres condiciones de la definicion 5


i) f(a, b) esta definido,

ii) lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) existe,

iii) El lımite y la imagen de la funcion en el punto (a, b) son iguales, es decir, lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = f(a, b).

Ejemplo 16. Determine si la funcion g(x, y) es continua en (0, 0) si

g(x, y) =

x4 + 2x2 + 2y2 + y4

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

2 si (x, y) = (0, 0)

Solucion.Se deben verificar las 3 condiciones de la definicion 5. En este caso:

i) g(0, 0) = 2, por definicion de la funcion.

ii) El lımite existe (comprobarlo) lim(x,y)→(0,0)x4 + 2x2 + 2y2 + y4

x2 + y2= 2

iii) lim(x,y)→(0,0)x4 + 2x2 + 2y2 + y4

x2 + y2= g(0, 0) por tanto, g es continua.

�

Ejemplo 17 ([Leithold]). Determine su la funcion h(x, y) es continua en (0, 0) si

h(x, y) =

{ xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Solucion.Al verificar las condiciones de la definicion 5 se tiene:

1. h(0, 0) = 0, por definicion de la funcion.

2. En este caso el lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2no existe (comprobarlo).

Al no cumplir la condicion (ii) la funcion h(x, y) no es continua �

Definicion 6 (Tipos de discontinuidad, [Leithold]). Si una funcion f de dos variables es discontinua enun punto (a,b) pero lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) existe, entonces se dice que f tiene una discontinuidad removible

o eliminable n (a, b), pues se puede definir f en (a, b) como

f(a, b) = lim(x,y)→(a,b)

f(x, y)

ası la “nueva” funcion f es continua en (a, b).Si una discontinuidad no es removible, es decir el lımite no existe, entonces se denomina discontinuidadesencial.


Teorema 4 ([Leithold]). Si f y g son dos funciones continuas en el punto (a, b), entonces las siguientesfunciones son continuas

i) f + g

ii) f − g

iii) fg

iv) fg, considerando g(a, b) 6= 0

Teorema 5 ([Leithold]). Una funcion polinomial de dos variables es continua en cada punto de R2, esdecir, el plano.

Teorema 6 ([Leithold]). Una funcion racional (es decir, cociente de polinomios) de dos variables escontinua en cada punto de su dominio

Teorema 7 ([Leithold]). Suponga que f es una funcion de una variable y que g es una funcion de dosvariables tal que g es continua en (a, b) y f es continua en g(a, b). Entonces la funcion compuesta f ◦ ges continua en (a, b)

Ejemplo 18. Determine todos los puntos en los que f es continua si f(x, y) =1√

x2 + y2 − 25

Solucion.El dominio de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) ∈ R2 para los cuales x2 + y2 − 25 > 0. Lafuncion f es el cociente de las funciones g y h para las que

g(x, y) = 1 y h(x, y) =√x2 + y2 − 25

Como g es una funcion constante, es continua en cada punto de R2. Del teorema 7, h es continua etodos los puntos de R2 que satisfacen la desigualdad x2 + y2 > 25. Por tanto, por el teorema 4 f escontinua en todos los puntos de su dominio. �

1.2 Diferenciacion

En aplicaciones de funciones de varias variables, a menudo surge la pregunta: ¿Como cambia el valor deuna funcion debido al cambio en solamente una de sus variables? Esto puede responderse considerandolas variables independientes una a la vez. Por ejemplo para determinar el efecto de un catalizador enun experimento, un quımico podrıa repetir el experimento varias veces usando cantidades variadas decatalizador, mientras mantiene constante otras variables como la temperatura y la presion. Un procesosimilar puede ser usado para determinar la razon de cambio de una funcion f con respecto a una de susdistintas variables independientes. Este proceso es llamado derivacion parcial, y el resultado obtenidose conoce como derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.

1.2. DIFERENCIACION 15

1.2.1 Razones parciales de cambio

De manera formal la derivada de una funcion de una variable y = f(x) esta dada por el lımite de uncociente de diferencia

dy

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

hExactamente de la misma manera, podemos definir la derivada de primer orden de una funcion de dosvariables z = f(x, y) con respecto a cada variable.

Definicion 7 (Derivadas parciales de primer orden, [Zill]). Si z = f(x, y) es una funcion de dosvariables, entonces la derivada parcial con respecto a x es

∂z

∂x= lim

h→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h

y la derivada parcial con respecto a y es

∂z

∂y= lim

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

siempre que el lımite exista

Reglas para encontrar derivadas parciales. Sea z = f(x, y),

• Para calcular∂z

∂x, considere a y como una constante y emplee las reglas de diferenciacion ordinar-

ias3

• Para calcular∂z

∂y, considere a x como una constante y emplee las reglas de diferenciacion ordinarias

Notacion. Si z = f(x, y) para denotar la derivada parcial de la funcion respecto a la variable xescribimos4

fx(x, y), fx,∂f

∂x,

∂

∂xf(x, y),

∂z

∂x, f1, D1f, Dxf.

Para denotar la derivada parcial de la funcion respecto a la variable y escribimos

fy(x, y), fy,∂f

∂y,

∂

∂yf(x, y),

∂z

∂y, f2, D2f, Dxf.

El valor numerico de una derivada parcial en el punto (a, b) se escribe de diversas maneras. Por ejemplo,la derivada parcial de z = f(x, y) respecto a x evaluada en el punto (a, b) se escribe como

∂z

∂c

∣∣∣(a,b)

,∂z

∂x

∣∣∣x=a,y=b

,∂z

∂x(a, b), fx(a, b)

de manera similar la derivada parcial respecto a y

3Por reglas de diferenciacion ordinarias piense en las reglas de calculo que conoce: reglas de multiplo constante, suma,producto, cociente, potencia y de la cadena

4El sımbolo “∂” se llama “de” de Jacobi, esta simbologıa recibe el nombre de notacion de Jacobi. En la notacion deCauchy (con la letra D) la derivada parcial se representa empleado un subındice numerico (1 o 2) para indicar la variable(x o y) con respecto a la cual se deriva, tambien se usa en libros como subındice la propia letra.


Ejemplo 19. Calcular fx(x, y) y fy(x, y) si f(x, y) = 3x3 − 4x2y + 3xy2 + sen(xy2)

Solucion.Para hallar fx(x, y) se considera y constante y se deriva de la manera usual respecto a x, entonces

fx(x, y) = 9x2 − 8xy + 3y2 + y2 cos(xy2).

De manera analoga para hallar fy(x, y) se considera x constante y se deriva de la manera usual respectoa y, ası

fy(x, y) = −4x2 + 6xy + 2xy cos(xy2)

�

Ejemplo 20. Para la funcion f(x, y) = xex2y, encontrar fx y fy y evaluar estas funciones en el punto

(1, ln 2)

Solucion.Las derivadas parciales requeridas son

fx(x, y) = xex2y(2xy) + ex

2y = ex2y(2x2y + 1), fy(x, y) = xex

2y(x2) = x3ex2y,

ası

fx(1, ln 2) = eln 2(1)(2(1)(ln 2) + 1) = 2(2 ln 2 + 1) y fy(1, ln 2) = eln 2 = 2

�

1.2.2 Derivadas parciales. Interpretacion fısica y geometrica

Ejemplo 21 (Una tasa de cambio, [Zill]). La funcion S = 0.1091w0.425h0.725 relaciona el area de lasuperficie (en pies cuadrados) del cuerpo de una persona como una funcion del peso w (en libras) y la

altura h (en pulgadas). Encuentre∂S

∂wcuando w = 150 y h = 72, de una interpretacion de su resultado

numerico.

Solucion.La derivada parcial de S respecto a w,

∂S

∂w= (0.1091)(0.425)w−0.575h0.725,

evaluada en (150, 72) es

∂S

∂w

∣∣∣∣∣(150, 72)

= (0.1091)(0.425)(150)−0.575(72)0.725 ≈ 0.058


Figura 1.13: Las derivadas parciales ∂z/∂x y ∂z/∂y son pendientes de la recta tangente a la curva Cde interseccion de la superficie y el plano paralelo a los ejes x o y.

La derivada parcial∂s

∂wes la tasa a la cual el area superficial de una persona de altura fija h, cambia

con respecto al peso w. Puesto que las unidades para la derivada son pies2/libra y∂s

∂w> 0, advertimos

que el aumento de 1 lb, mientras que h esta fija en 72, produce un aumento en el area de la piel deaproximadamente 0.058 ≈ 1

17pie2 �

Interpretacion geometrica. Como vemos en la figura 1.13, cuando y es constante, digamos y = b,la traza de la superficie z = f(x, y) en el plano y = b es la curva azul C. En otras palabras es posible

interpretar∂z

∂xcomo la pendiente de la recta tangente en el punto P sobre la curva C de interseccion

de la superficie z = f(x, y) y el plano y = b.

A su vez,∂z

∂yes la pendiente de la recta tangente en el punto P sobre la curva C de interseccion entre

la superficie z = f(x, y) y el plano x = a.

Ejemplo 22 ([Zill]). Para z = 9− x2 − y2, encuentre la pendiente de la recta tangente en (2, 1, 4) en

a) el plano x = 2 b) el plano y = 1

Solucion.

a) Al especificar el plano x = 2, se mantienen todos los valores x contantes. Por consiguiente, calculamos

la derivada parcial de z con respecto a y:∂z

∂y= −2y. En (2, 1, 4) la pendiente es

∂z

∂y

∣∣∣(2, 1)

= −2

b) Al especificar el plano y = 1, y es constante y por ello encontramos la derivada parcial de z con

respecto a x:∂z

∂x= −2x. En (2, 1, 4) la pendiente es

∂z

∂x

∣∣∣(2, 1)

= −4

�


Ejemplo 23 ([Leithold]). De acuerdo con la ley del gas ideal para un gas confinado, si P atmosferases la presion, V litros es el volumen y T grados es la temperatura absoluta en la escala Kelvin, se tienela formula

PV = kT (1.1)

donde k es una contante de proporcionalidad. Suponga que el volumen de un gas de cierto recipiente esde 12 litros y que la temperatura es de 290◦K, con k = 0.6.

a) Calcule la tasa de variacion instantanea de P por unidad de variacion de T si V permanece fijo en12.

b) Utilice el resultado del inciso a) para aproximar la variacion de la presion si la temperatura seincrementa a 295◦K.

c) Calcule la tasa de variacion instantanea de V por unidad de variacion de P si T permanece fija en290◦K.

d) Suponga que la temperatura se mantiene constante. Utilice el resultado del inciso c) para calcularla variacion aproximada del volumen necesario para reducir la misma variacion en la presion que seobtuvo en el inciso b)

Solucion.Al sustituir V = 12, T = 290 y k = 0.6, se obtiene P = 14.5

a) Si se resuelve (1.1) para P cuando k = 0.6 resulta P =0.6T

V. La tasa de variacion instantanea de

P por unidad de variacion de T , si V se mantiene constante es∂P

∂Testo es

∂P

∂T=

0.6

V.

Cuando T = 290 y V = 12,∂P

∂T= 0.05, lo cual es la respuesta requerida.

b) Del resultado del inciso a), cuando T se incrementa en 5 unidades (de 290 a 295) y V permanece fijo,un incremento aproximado de P es 5(0.005) = 0.25. En conclusion, si la temperatura se incrementade 290◦K a 295◦K, entonces el incremento de la presion es aproximadamente 0.25 atm.

c) Al resolver (1.1) para V cuando k = 0.6 se obtiene V =0.6T

P. La tasa de variacion instantanea de

V por unidad de variacion de P , si T permanece fijo, es∂V

∂Pde modo que

∂V

∂P= −0.6T

P 2


Cuando T = 290 y P = 14.5,∂V

∂P

∣∣∣∣∣(290, 14.5)

= −0.83, la cual es la tasa de variacion instantanea de V

por unidad de variacion de P cuando T = 290 y P = 14.5 si T permanece fija en 290.

d) Si P se incrementa en 0.25 y T permanece fija, entonces del resultado del inciso c) la variacion deV debe ser aproximadamente (0.25)(−0.83) = −0.21. En conclusion, el volumen debe disminuirseaproximadamente en 0.21 litros para que la presion aumente de 14.5 atm a 14.75 atm.

�De manera general si z = f(x1, x2, . . . , xn), es decir, es una funcion de n variables, esta tiene n

derivadas parciales. Para encontrar la derivada parcial con respecto a una de sus variables, debemosconsiderar las otras como constantes y derivar respecto a la variable requerida.

1.2.3 Derivadas de orden superior

Para una funcion de dos variables z = f(x, y) las derivadas parciales ∂z/∂x y ∂z/∂y son ellas mismasfunciones de x y y. En consecuencia, se pueden calcular las derivadas parciales de segundo orden y deorden superior. De hecho, se encuentra la derivada parcial de ∂z/∂x con respecto a y, y la derivadaparcial de ∂z/∂y con respecto a x. Los ultimos tipos de derivadas parciales se denominan derivadasparciales mixtas. En resumen, las segundas derivadas parciales y la derivada parcial mixta de estandefinidas por:

• Derivada parcial de segundo orden con respecto a x:

∂

∂x

(∂f

∂x

)=∂2f

∂x2= fxx =

∂2z

∂2x= zxx.

• Derivada parcial de segundo orden con respecto a y:

∂

∂y

(∂f

∂y

)=∂2f

∂y2= fyy =

∂2z

∂2y= zyy.

• Derivada parcial mixta, primero se deriva con respecto a x y luego respecto a y:

∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x= fxy =

∂2z

∂x∂y= zxy.

• Derivada parcial mixta, primero se deriva con respecto a y y luego respecto a x:

∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y= fyx =

∂2z

∂y∂x= zyx.


Es importante senalar los dos tipos de notacion para las derivadas parciales mixtas, los cuales indicanel orden de la derivacion

∂

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y∂xel orden se lee de derecha a izquierda

(fx)y = fxy el orden se lee de izquierda a derecha

El orden se puede recordar en ambas notaciones observando que primero se deriva respecto a la variable“mas cerca” de f .

Ejemplo 24 ([Stewart]). Encontrar todas las derivadas de segundo orden de f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2

Solucion.Primero mostramos las primeras derivadas y posteriormente las de segundo orden. Trabajando primerocon fx para luego tener fxx y fxy, tenemos

fx = 3x2 + 2xy3 ⇒fxx =

∂

∂x(3x2 + 2xy3) = 6x+ 2y3

fxy =∂

∂y(3x2 + 2xy3) = 6xy2

Ahora calculamos fy para despuen encontrar fyx y fyy

fy = 3x2y2 − 4y ⇒ fyx = ∂∂x

(3x2y2 − 4y) = 6xy2

fyy = ∂∂x

(3x2y2 − 4y) = 6x2y − 4

�Note que en el ejemplo anterior fxy = fyx. Esto no es una coincidencia. Las derivadas parciales

mixtas fxy y fyx son iguales para la mayorıa de las funciones con las que trabajamos en la practica. Elsiguiente teorema fue descubierto por el matematico frances Alexis Clairaut, establece condiciones bajolas cuales hay garantıa que fxy = fyx

Teorema 8 (Teorema de Clairaut, [Stewart]). Suponga que f(x, y), contiene al punto (a, b) en sudominio. Si las funciones fxy y fyx son ambas continuas, entonces

fxy(a, b) = fyx(a, b)

1.2.4 Regla de la cadena

La regla de la cadena para funciones de una sola variable indica que si y = f(x) es una funciondiferenciable de x y x = g(t) es una funcion diferenciable de t, entonces la derivada de la funcioncompuesta, y = f(x) = f(g(t)), es

dy

dt=dy

dx

dx

dtEn esta seccion extenderemos la regla de la cadena para funciones de varias variables.

Regla de la cadena para derivadas ordinarias Si z = f(x, y) y x y y son funciones de una

variable t, entonces el siguiente teorema indica como calcular la derivada ordinariadz

dt.


Teorema 9 (Regla de la cadena,[Zill]). Suponga que z = f(x, y) es diferenciable en el punto (x, y) yx = g(t) y y = h(t) son funciones diferenciables de t. Entonces z = f(g(t), h(t)) es diferenciable en t y

dz

dt=∂z

∂x

∂x

∂t+∂z

∂y

∂y

∂t(1.2)

Una forma de recordar la formula es mediante el diagrama de la figura 1.14, siguiendo las ramas ymultiplicando al final las derivadas en cada una de las ramas.

Figura 1.14: Diagrama de arbol para la formula (1.2)

Veamos un ejemplo del uso del teorema 9

Ejemplo 25. [Zill] Considere las funciones z = x3y − y4, x = 2t2, y = 5t2 − 6t, calculedz

dtcuando

t = 1

Antes de aplicar el teorema 9 notamos que z = f(2t2, 5t2−6t) por tanto estamos bajo las condicionesdel teorema, usando (1.2) tenemos

dz

dt=∂z

∂x

dx

dt+∂z

∂y

dy

dt

=(3x2t)(4t) + (x3 − 4y3)(10t− 6)

Ahora sustituimos en nuestra expresiondz

dtlas funciones x = 2t2 y y = 5t2 − 6t para obtener una

expresion solamente en terminos de t y evaluar5 ası

dz

dt=3(2t2)2(5t2 − 6t)(4t) + ((2t2)3 − 4(5t2 − 6t)3)(10t− 6)

⇒ dz

dt

∣∣∣∣∣t=1

=3(4)(−1)(4) + (8 + 4)(4) = 0

5otra manera de evaluar es tomar t = 1 y hallar x(1) = 2, y(1) = −1 ası dzdt |t=1 = [3 · 4 · (−1)] · 4 + [8 + 4] · 4 = 0


Regla de la cadena para derivadas parciales. Para una funcion compuesta de dos variablesz = f(x, y), donde x = g(u, v) y y = h(u, v), es de esperar dos formulas analogas a (1.2) ya que

z = f(g(u, v), h(u, v)) y por ello pueden calcularse tanto∂z

∂ucomo ∂z

∂v. La regla de la cadena para

funciones de dos variables se enuncia en el siguiente teorema

Teorema 10 (Regla de la cadena, [Zill]). Si z = f(x, y), es diferenciable y x = g(u, v) y y = h(u, v)tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces

∂z

∂u=∂z

∂x

∂x

∂u+∂z

∂y

∂y

∂uy

∂z

∂v=∂z

∂x

∂x

∂v+∂z

∂y

∂y

∂v(1.3)

Antes de ver un ejemplo del teorema consideremos un diagrama de arbol para analizar las formula(1.3). Las ramas en la figura 1.15 indican que z depende de x y y; x y y dependen a su vez, de u y

v. Para calcular∂z

∂upor ejemplo, leemos el diagrama verticalmente hacia abajo empezando desde z y

siguiendo las ramas que llevan a x y y, despues seguimos las ramas que conducen a u, multiplicamoslas derivadas parciales al final de cada rama y luego sumamos productos. Para calcular

Figura 1.15: Diagrama de arbol para la regla de la cadena (1.3)

Ejemplo 26. Sean z = x2 − y3, donde x = e2u−3v, y = sen(u2 − v2), determine∂z

∂uy∂z

∂v

Solucion.En este caso notamos que z = f(2u − 3v, sen(u2 − v2)), por tanto estamos bajo las condiciones delteorema 10, para recordar la formula podemos apoyarnos en el diagrama 1.15, para ello requierimos lasderivadas

z(x(u, v), y(u, v))→

∂z

∂x= 2x→

∂x

∂u= 2e2u−3v

∂x

∂v= −3e2u−2v

∂z

∂y= −3y2 →

∂y

∂u= 2u cos(u2 − v2)

∂y

∂v= −2v cos(u2 − v2)


Ası las derivadas parciales se pueden ver siguiendo las ramas

∂z

∂u=∂z

∂x

∂x

∂u+∂z

∂y

∂y

∂u= 2x(2e2u−3v)− 3y2[2u cos(u2 − v2)]

=4xe2u−3v − 6uy2 cos(u2 − v2) = 4e2(2u−3v) − 6u sen2(u2 − v2) cos(u2 − v2).

De manera similar

∂z

∂v=∂z

∂x

∂x

∂v+∂z

∂y

∂y

∂v= 2x(−3e2u−3v)− 3y2[−2v cos(u2 − v2)]

=− 6xe2u−3v + 6vy2 cos(u2 − v2) = −6e2(2u−3v) + 6v sen2(u2 − v2) cos(u2 − v2)

�

1.2.5 Derivacion implıcita

Si la ecuacion F (x, y) = 0 define a una funcion y = f(x) de manera implıcita, entonces F (x, f(x)) = 0para toda x en el dominio de f . En caculo de una variable encontramos la derivada de dy/dx de maneraimplıcita. La derivada dy/dx tambien puede determinarse usando la regla de la cadena. Si suponemosque w = F (x, y) y y = f(x) son funciones diferenciables, entonces de la regla de la cadena (1.2) tenemos

dw

dx= Fx(x, y)

dx

dx+ Fy(x, y)

dy

dx. (1.4)

Puesto que w = F (x, y) = 0 y dx/dx = 1, (1.4) implica

Fx(x, y) + Fy(x, y)dy

dx= 0 o

dy

dx= −Fx(x, y)

Fy(x, y),

siempre que Fy(x, y) 6= 0.Si F (x, y, z) = 0 define implıcitamente una funcion z = f(x, y), entonces F (x, y, f(x, y)) = 0 para toda(x, y) en el dominio de f . Si w = F (x, y) es una funcion diferenciable y z = f(x, y) es diferenciable enx y y, entonces la regla de la cadena (1.3) produce

∂w

∂x= Fx(x, y, z)

∂x

∂x+ Fy(x, y, z)

∂y

∂x+ Fz(x, y, z)

∂z

∂x(1.5)

Puesto que w = F (x, y, z) = 0, ∂x/∂x = 1 y ∂y/∂x = 0, (1.5) produce

Fx(x, y, z) + Fz(x, y, z)∂z

∂x= 0 o

∂z

∂x= −Fx(x, y, z)

F (x, y, z)

siempre que Fz(x, y, z) 6= 0. La derivada ∂z/∂y puede obtenerse de manera similar. Resumimos losresultados anteriores en el siguiente teorema


Teorema 11 (Diferenciacion Implıcita, [Zill]). En los casos en que no tenemos la funcion de la formay = f(x) o z = f(x, y), es decir cuando no son explıcitas, podemos calcular la derivadas de maneraimplıcita como sigue.

i) Si w = F (x, y) es diferenciable y y = f(x) es una funcion diferenciable de x definida implıcitamentepor F (x, y) = 0, entonces

dy

dx= −Fx(x, y)

Fy(x, y)(1.6)

donde Fy(x, y) 6= 0

ii) Si w = F (x, y, z) es diferenciable y z = f(x, y) es una funcion diferenciable de x y y definidaimplıcitamente por F (x, y, z) = 0, entonces

∂z

∂x= −Fx(x, y, z)

Fz(x, y, z)y

∂z

∂y= −Fy(x, y, z)

Fz(x, y, z)(1.7)

donde Fz(x, y, z) 6= 0

Ejemplo 27. Calcular de manera implıcita las derivadas parciales indicadas

a) Encuentre dy/dx si x2 − 4xy − 3y2 = 10

b) Encuentre ∂z/∂y si x2y − 5xy2 = 2yz − 4z3

Solucion.De acuerdo al teorema 11

a) Sea F (x, y) = x2 − 4xy − 3y2 − 10. Entonces considerando y como una funcion de x por medio deF (x, y) = 0. En este caso, Fx = 2x− 4y y Fy = −4x− 6y, y consecuentemente por (1.4) del teorematenemos

dy

dx= −Fx(x, y)

Fy(x, y)= − 2x− 4y

−4x− 6y=

x− 2y

2x+ 3y

b) Sea F (x, y, z) = x2y− 5xy2 − 2yz + 4z3. Entonces definimos z como una funcion de x y y medianteF (x, y, z) = 0. Puesto que Fy = x2−10xy−2z y Fz = −2y+12z2, concluimos de (1.5) en el teoremaque

∂z

∂y= −Fy(x, y, z)

Fz(x, y, z)= −x

2 − 10xy − 2z

−2y + 12z2=x2 − 10xy − 2z

2y − 12z2

�

1.3. DIFERENCIAL TOTAL 25

1.3 Diferencial total

En esta seccion los conceptos de incrementos y diferenciales son generalizados a funciones de dos o masvariables. Recuerde que para y = f(x), la diferencial de y fue definida como

dy = f ′(x) dx

Terminologıa similar es usada para funciones de dos variables, z = f(x, y). Esto es, ∆x y ∆y son losincrementos de x y y y el incremento de z esta dado por

∆z = f(x+ ∆x, y + ∆y)− f(x, y)

Por ejemplo si z = x2−y2 y queremos medir el cambio en la funcion de (1, 2) al punto (1.1, 1.9), es decircuando los incrementos en x y y respectivamente, son ∆x = 0.1 y ∆ = −0.1, tenemos que el incrementoen z es

∆z = f(1.1, 1.9)− f(1, 2) = [(1.1)2 − (1.9)2]− [12 − 22] = (−2.4)− (−3) = 0.6

Una manera de aproximar el valor de ∆z es utilizando derivadas parciales y diferenciales, este conceptoes la derivada total, que se define a continuacion

Definicion 8 (Diferenciales y Diferencial total, [Larson]). Si z = f(x, y) y ∆x y ∆y son incrementosde x y y, entonces las diferenciales de las variables independientes x y y son

dx = ∆x y dy = ∆y

y la diferencial total de la variable dependiente z es

dz =∂z

∂xdx+

∂z

∂ydy = fx(x, y) dx+ fy(x, y) dy.

En la siguiente seccion veremos ejemplo del uso de la diferencial para aproximar el cambio en elvalor de la funcion z = f(x, y)

1.3.1 Incrementos y aproximaciones de cambios

Ejemplo 28 ([Stewart]). Sea z = f(x.y) = x2 + 3xy − y2

a) Encuentra la diferencial dz.

b) Si x cambia de 2 a 2.05 y y cambia de 3 a 2.96, compara los valores de ∆z y dz.

Solucion.

a) De acuerdo a la definicion, la diferencial total es

dz =∂z

∂xdx+

∂z

∂ydy = (2x+ 3y) dx+ (3x− 2y) dy


b) Tomando x = 2, dx = ∆x = 0.05, y = 3 y dy = ∆y = −0.04, sustituimos en dz para tener

dz = [2(2) + 3(3)](0.05) + [3(2)− 2(3)](−0.04) = 0.65

El incremento real de z es

∆z = f(2.05, 2.96)− f(2, 3) = [(2.05)2 + 3(2.05)(2.96)− (2.96)2]− [22 + 3(2)(3)− 32] = 0.6449

Note que ∆z ≈ dz pero dz resulta mas facil de calcular �

Ejemplo 29 ([Stewart]). El radio de la base y la altura de un cono circular han sido medidos como 10cm y 25 cm, respectivamente, con un posible error en la medicion de 0.1 cm cada uno. Use diferencialespara estimar el maximo error en el calculo de volumen del cono

Solucion.

El volumen de un cono con radio de la base igual a r y altura h es V =πr2h

3. Ası la diferencial de V es

dV =∂V

∂rdr +

∂V

∂hdh =

2πrh

3dr +

πr2

2dh

como cada error es a lo mas 0.1 cm, tenemos que |∆r| ≤ 0.1, |∆h| ≤ 0.1. Para encontrar el maximoerror en el volumen consideramos el maximo error en la medida de r y h. Por tanto, tomamos dr = 0.1y dh = 0.1 junto con r = 10 y h = 25. Con esto obtenemos

dV =500π

3(0.1) +

100π

3(0.1) = 20π

Por tanto, el maximo error en el calculo del volumen es 20πcm3 ≈ 63 cm3. �

Ejemplo 30. El error posible involucrado en la medida de cada lado de una cada rectangular es ±0.1mm. Las dimensiones de la caja son x = 50 cm, y = 20 cm y z = 15 cm. Use diferenciales para estimarel error en la medicion del volumen de la caja

Solucion.El volumen de la caja esta dado por V = xyz, ası

dV =∂V

∂xdx+

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz = yz dx+ xz dy + xy dz

Para estimar el error, debemos considerar las mismas unidades, por tanto tomamos dx = dy = dz =±0.01, (0.1 mm= 0.01 cm), x = 50, y = 20, z = 15 y el error en la medicion del volumen es aproxi-madamente

dV =(20)(15)(±0.01) + (50)(15)(±0.01) + (50)(20)(±0.01)

=300(±0.01) + 750(±0.01) + 1000(±0.01) = 2050(±0.01) = ±20.5

Por tanto el intervalo de error en la medicion del volumen es [−20.5, 20.5] �

1.4. VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES 27

1.4 Valores extremos de funciones de dos variables

Empezamos con la definicion de extremos relativos o locales para funciones de dos variables x y y

Definicion 9. Sea f una funcion definida en una region R que contiene al punto (a, b)

1. La funcion f tiene un mınimo relativo en (a, b) si f(x y) ≥ f(a, b) para todo (x, y) en la region Rde (a, b)

2. La funcion f tiene un maximo relativo en (a, b) si f(x y) ≤ f(a, b) para todo (x, y) en la region Rde (a, b)

Si las desigualdades de la definicion 9 se cumple para todos los puntos (x, y) del dominio de lafuncion f , entonces f tiene un maximo (o mınimo) absoluto en (a, b).La grafica de una funcion con varios maximos u mınimos se muestra en la figura 1.16. Se puede pensaral maximo local como el pico de una montana y al mınimo local como el fondo de un valle

(a) Extremos relativos de f (b) Maximo relativo de unafuncion f

Figura 1.16: (a) Una funcion con varios maximos y minimos. (b) Una ilustracion de la idea de laexistencia del maximo

Teorema 12. Si una funcion z = f(x, y) tiene un extremo relativo en el punto (a, b) y si las primerasderivadas parciales existen en este punto, entonces

fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0

Un argumento geometrico informal de este teorema es el siguiente: Sea f una funcion que satisfacela hipotesis del teorema y suponga que f tiene un valor maximo relativo en (a, b). Considere la curva deinterseccion del plano y = b con la superficie z = f(x, y), como se muestra en la figura 1.16. Esta curvaesta representada por las ecuaciones y = b y z = f(x, y). Como f tiene un valor maximo relativo en elpunto donde x = a y y = b, la curva tiene una recta tangente horizontal en el plano y = b en el punto(a, b, f(a, b)). La pendiente de esta recta tangente es fx(a, b); de modo que fx(a, b) = 0. De manerasemejante, puede considerarse la curva de interseccion del plano x = a con la superficie z = f(x, y) yobtenerse fy(a, b) = 0. Tambien puede darse una discusion similar si f tiene un valor mınimo relativoen (a, b).


Definicion 10 (Punto crıtico, [Zill]). Un punto crıtico de una funcion z = f(x, y) es un punto (a, b)en el dominio de f para el cual fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0, o si una de las derivadas parciales no existeen el punto.

En el caso en que las primeras derivadas parciales existan, notamos que un punto crıtico (a, b) seencuentra al resolver simultaneamente las ecuaciones

fx(x, y) = 0 y fy(x, y) = 0

1.4.1 Criterio de segunda derivada

El siguiente teorema da condiciones suficientes para establecer extremos relativos.

Teorema 13 (Prueba de las segundas derivadas parciales). Sea (a, b) un punto crıtico de z = f(x, y)y suponga que fxx, fyy y fxy son continuas en un disco cerrado en (a, b). Considere que

D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− [fxy(x, y)]2

i) Si D(a, b) > 0 y fxx(a, b) > 0, entonces f(a, b) es un mınimo relativo.

ii) Si D(a, b) > 0 y fxx(a, b) < 0, entonces f(a, b) es un maximo relativo.

iii) Si D(a, b) < 0, entonces (a, b, f(a, b)) no es un extremo relativo (es un punto silla).

iv) Si D(a, b) = 0, entonces la prueba no es concluyente.

La funcion D(x, y) puede escribirse como el determinante

D(x, y) =

∣∣∣∣fxx(x, y) fxy(x, y)fxx(x, y) fyy(x, y)

∣∣∣∣Ejemplo 31. Encontrar los valores maximos y mınimos locales y los puntos sillas de f(x, y) = x4 +y4 − 4xy + 1

Solucion.Primero localizamos los puntos crıticos: fx = 4x3− 4y, fy = 4y3− 4x, igualando las derivadas parcialesa cero obtenemos el sistema

x3 − y = 0 yy3 − x = 0

Para resolver el sistema, despejamos de la primera ecuacion y = x3 y sustituimos en la segunda ecuacion,obteniendo

0 = x9 − x = x(x8 − 1) = x(x4 − 1)(x4 + 1) = x(x2 + 1)(x2 − 1)(x4 + 1)

las raıces reales son: x = 0, 1, −1. Ası los tres puntos crıticos son (0, 0), (1, 1), y (−1, −1). Ahoracalculamos las segundas derivadas parciales y D(x, y)

fxx = 12x2, fxy = −4, fyy = 12y2, D(x, y) = fxxfyy − [fxy]2 = 12x2y2 − 16


Para establecer el resultado sobre los puntos crıticos encontramos el D(x, y) en cada uno de ellos.

Punto crtitico

(a, b)fxx(a, b) fyy(a, b) fxy(a, b) D(a, b) Conclusion

0, 0) 0 0 -4 -16 Es un punto silla(1, 1) 12 12 -4 128 Mınimo local

(−1, −1) 12 12 -4 128 Mınimo local

La grafica de la figura se muestra en 1.17

Figura 1.17: z = x4 + y4 − 4xy + 1

�

Ejemplo 32. Un fabricante de electronica determina que el beneficio P (en dolares) obtenido porproducir y vender x unidades de un reproductor de DVD y y unidades de una grabadora de DVD estaaproximado por el modelo

P (x, y) = 8x+ 10y − 0.001(x2 + xy + y2)− 10000

Encontrar el nivel de produccion que produce el beneficio maximo. ¿Cual es el beneficio maximo?

Las derivadas parciales de la funcion de beneficio son

Px(x, y) = 8− 0.001(2x+ y) y Py(x, y) = 10− 0.001(x+ 2y)

Igualando estas parciales a cero, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

8− 0.001(2x+ y) = 0

10− 0.001(x+ 2y) = 0

Despues de simplificar podemos escribir el sistema como

2x+ y =8000

x+ 2y =10000


Resolviendo el sistema obtenemos x = 2000 y y = 4000. Las segundas derivadas parciales de P son

Pxx(2000, 4000) = −0.002, Pyy(2000, 4000) = 0.002, Pxy(2000, 4000) = 0.001

Como Pxx < 0 yPxx(2000, 4000)Pyy(2000, 4000)− [Pxy(2000, 4000)]2 > 0

Podemos concluir que el nivel de produccion de x = 2000 y y = 4000 unidades genera el beneficiomaximo. El beneficio maximo es P (2000, 4000) = 18000

1.4.2 Metodo general de regiones cerradas

Ahora se presentara el teorema de valor extremo para una funcion f de dos variables x y y que escontinua sobre un conjunto R cerrado y acotado del plano xy

Teorema 14. Una funcion f de dos variables x y y que es continua sobre un conjunto R cerrado yacotado tiene siempre un maximo absoluto y un mınimo absoluto sobre R

En otras palabras, cuando z = f(x, y) es continua sobre R, hay numeros f(x1, y1) y f(x2, y2)tales que f(x1, y1) ≤ f(x, y) ≤ f(x2, y2) para todo (x, y) en R. Los valores f(x1 y1) y f(x2, y2) son,respectivamente, el maximo y mınimo absolutos sobre el conjunto cerrado R.

Guıas para encontrar los extremos sobre un conjunto cerrado y acotado

i) Encuentre el valor de f en los puntos crıticos de f en R.

ii) Encuentre todos los valores extremos de f sobre la frontera de R

El valor mas grande de la funcion en la lista de valores obtenidos de los pasos i) y ii) es el maximoabsoluto de f sobre R; el valor mas pequeno de la lista es el mınimo absoluto de f sobre R.

Ejemplo 33. Encontrar el maximo y mınimo absoluto de la funcion f(x, y) = x2 − 2xy + 2y en elrectangulo D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}Solucion.De acuerdo al paso 1, primero encontramos los puntos crıticos. Esto ocurre cuando

fx = 2x− 2y = 0 fy = −2x+ 2 = 0

ası el unico punto crıtico es (1, 1)y el valor de f es f(1, 1) = 1 Para el paso 2 nos fijamos en los valoresde la frontera de D, que consiste de los cuatro segmentos de lınea L1, L2, L3 y L4 como en la figura1.18.

Figura 1.18: Frontera de la region


La recta L1 es y = 0 ası la funcion se reduce a

f(x, 0) = x2 0 ≤ x ≤ 3

Esta funcion tiene un valor mınimo en x = 0 esto es f(0, 0) = 0 y su valor maximo en x = 3 esto esf(3, 0) = 9.Sobre L2 tenemos que x = 3 ası

f(3, y) = 9− 4y 0 ≤ y ≤ 2

Esta funcion tiene su maximo cuando y = 0 en f(3, 0) = 9 y su mınimo cuando y = 2 en f(3, 2) = 1.En L3 tenemos y = 2 y

f(x, 2) = x2 − 4x+ 4 0 ≤ x ≤ 3

Esta funcion tiene su mınimo cuando x = 2 en f(2, 2) = 0 y su maximo cuando x = 0 en f(0, 2) = 4.Para L4 tenemos x = 0 ası

f(0, y) = 2y 0 ≤ y ≤ 2

con un valor maximo en f(0, 2) = 4 y un valor mınimo en f(0, 0) = 0. Por tanto, en la frontera el valormınimo de f es 0 y el valor maximo es 9.Como paso final comparamos los valores obtenidos con el valor f(1, 1) = 1 en el punto crıtico yconcluimo que el maximo absoluto de f sobre D es f(3, 0) = 9 y el valor mınimo absoluto es f(0, 0) =f(2, 2) = 0 �

BIBLIOGRAFIA

[Leithold] Leithold L. El Calculo, 7a edicion, Oxford University Press Mexico. (1998)

[Marsden] Marsden J. E. y Tromba A. J. Calculo Vectorial. 5a edicion, Pearson–Addison Wesley. (2004)

[Zill] Zill D. G., Wright W. S. Calculo de varias variables. 4a edicion, McGraw Hill. (2011)

[Larson] Larson R. y Edwards B. H. Calculo, 9a edicion, Cengage Learning. (2010)

[Stewart] Stewart J. Calculus. 6a edicion. Thomson Brooks/Cole. (2008)

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