Coordenadas Cartesianas

Antes de entender el concepto de vector en tres dimensiones, se debe

poder identificar puntos en el sistema de coordenadas tridimensional.

Se puede construir este sistema trazando en el origen un eje z

perpendicular al eje x y al eje y .

La figura 1 muestra la porción positiva de cada eje de coordenadas.

Tomados por pares, los ejes determinan tres planos coordenados:

plano xy , el plano xz y el plano yz .

Figura 1. Sistema de Coordenadas Tridimensional

Estos tres planos coordenados dividen el plano tridimensional en ocho

octantes. El primer octante es el que todas las coordenadas son

positivas.

En este sistema tridimensional, un punto p en el espacio está

determinado por una terna ordenada , ,x y z donde , ,x y z son:

Figura 2. Los puntos en el sistema de coordenadas

tridimensional se representan por medio de ternas ordenadas.

Recordar que un sistema de coordenadas tridimensional puede tener

orientación levógira o dextrógira.

En nuestro curso de trabaja exclusivamente con el sistema dextrógiro.

Muchas de las formulas establecidas para el sistema de coordenadas

bidimensional pueden extenderse a tres dimensiones por ejemplo,

para encontrar la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos

veces el teorema pitagórico, como se muestra en la siguiente figura:

¿Y cómo obtenemos la longitud de un vector tridimensional como el

siguiente, en el cual no aparece haber un triángulo con dos catetos?

Figura 3. Vector tridimensional

Lo podemos hacer de la siguiente manera. Primero obtenemos la

longitud L de la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los

catetos a y b .

Figura 4. Primer Triangulo

Por el teorema de Pitágoras en dos dimensiones, sabemos que:

2 2 2L a b

Una inspección al diagrama nos revela que al lado L es a su vez el

cateto del otro triangulo rectángulo formado por los catetos L y c :

Figura 5. Segundo Triangulo

Para este triangulo plano, la aplicación del teorema de Pitágoras

nuevamente nos da:

2 2 2d L c

Pero puesto que 2 2 2L a b , tenemos entonces que la longitud de un

vector tridimensional cuyas componentes en los tres ejes son, a, b y c

está dada por la fórmula:

2 2 2d a b c

Por lo tanto, la fórmula de la distancia entre los puntos 1 1 1, ,x y z y

2 2 2, ,x y z es:

2 2 2

2 1 2 1 2 1

Formula de la distancia para dos puntos en el espacio tridimensional

d x x y y z z

Una esfera con centro en 0 0 0, ,x y z y radio r está definida como el

conjunto de todos los puntos , ,x y z tales que la distancia entre

, ,x y z y 0 0 0, ,x y z es r .

Se puede usar la fórmula dela distancia para encontrar la ecuación

canónica o estándar de una esfera de radio r , con centro en 0 0 0, ,x y z

. Si , ,x y z es un punto, arbitrario de la esfera, la ecuación de la

esfera es:

2 2 2 2

0 0 0

Ecuación de la esfera

x x y y z z r (1.1)

Figura 6. Esfera

Como se muestra en la figura 6. El punto medio del segmento de recta

que une a los puntos 1 1 1, ,x y z y 2 2 2, ,x y z tiene coordenadas

1 2 1 2 1 2, ,

2 2 2

Regla del punto Medio

x x y y z z (1.2)

Problemas

Problema 1

Encuentre las longitudes de los lados del triangulo con vértices en

3, 4,1 , (5, 3,0)A B y (6, 7,4)C . ¿Es ABC un triangulo rectángulo

isósceles?

Solución

Podemos encontrar los lados de un triangulo usando la formula de la

distancia entre los pares de vértices:

22 2

22 2

22 2

5 3 3 4 0 1 4 1 1 6

6 5 7 3 4 0 1 16 16 33

3 6 4 7 1 4 9 9 9 27 3 3

AB

BC

CA

El Teorema de Pitágoras se satisface por 2 2 2

AB CA BC , ABC es

un triangulo rectángulo. ABC No es isósceles, además dos de sus

lados no tienen la misma longitud.

Problema 2

Describa verbalmente la región de 3 representada por la desigualdad

2 2 21 25x y z .

Solución

La inecuación 2 2 21 25x y z es equivalente a 2 2 21 5x y z ,

por lo tanto la región consiste en los puntos que van del origen en el

rango de 1 a 5. Es decir son todos los puntos concéntricos a la esfera

con radio 1 y 5 y centro ( , , ) 0,0,0C h k C .

Problema 3

Encuentre la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene

puntos extremos 2,1,4 y 4,3,10 .

Solución

A través de los medios puntos del diámetro (el diámetro de la esfera)

es 3,2,7C

1 2 1 2 1 2, ,2 2 2

4 2 3 1 10 4, ,

2 2 2

3,2,7

x x y y z zQ

Q

Q

El radio es la mitad del diámetro, por lo tanto

2 2 21 1

4 2 3 1 10 4 44 112 2

r

Entonces la ecuación de la esfera es

2 2 2

3 2 7 11x y z

Problema 4

Encuentre la ecuación de la esfera con centro 0,1, 1 y radio 4. ¿Cuál

es la intersección de esta esfera con el plano yz ?

Solución

Tenemos que

2 2 2 2 2 2

, ,

1 1 16 1 1 16

C h k

x h y z x y z

Con la condición de que

2 2

0La intersección

1 1 16

x

y z

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Cilíndricas Página 1

Coordenadas Cilíndricas

Introducimos el sistema de coordenadas polares para dar una

descripción cómoda de ciertas curvas y regiones. En tres dimensiones

tenemos dos sistemas de coordenadas que son semejantes al de las

coordenadas polares y dan descripciones cómodas de algunas

superficies y sólidos que aparecen frecuentemente.

En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio

tridimensional esta representado por la terna ordenada , ,r z donde

r y son las coordenadas polares de la proyección de P en el

plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P véase la

siguiente figura 1

Figura 1. Coordenadas Cilíndricas

Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares empleamos

las ecuaciones:

cos , ,x r y sen z z (1.1)

Mientras para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas

usamos:

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Cilíndricas Página 2

2 2 2 , tan ,y

r x y z zx

(1.2)

Ejercicios Propuestos

Ejercicio 1

Determine el punto en coordenadas cilíndricas 2,2 / 3,1 y encuentre

sus coordenadas rectangulares

x

y

z

(r,t,z) = (2,2pi/3,1)

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Cilíndricas Página 3

De las ecuaciones anteriores, sus coordenadas rectangulares son:

2 12cos 2 1

3 2

2 32 2 3

3 2

1

x

y sen

z

Entonces el punto 1, 3,1

Ejercicio 2

Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas

rectangulares (3, 3, 7)P

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Cilíndricas Página 4

De las ecuaciones anteriores tenemos que:

223 3 3 2

3 7 7tan 1 2 2

3 4 4 4 4

7

r

n

z

Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son tanto 3 2,7 / 4, 7

como 3 2, / 4, 7

xy

z

(x,y,z) = (3,-3,-7)

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Cilíndricas Página 5

Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que

tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z

de manera que coincida con el eje de simetría, como se muestra en

las siguientes figuras:

Cilindro 2 2 9x y

Paraboloide 2 2 4 , 2x y z r z

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Cilíndricas Página 6

Cono 2 2 2,x y z r z

Hiperboloide 2 2 2 2 21, 1x y z r z

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Cilíndricas Página 7

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Esféricas Página 1

Coordenadas Esféricas

Las coordenadas esféricas , ,p de un punto P en el espacio se

ilustran en la siguiente figura 2

Figura 1. Coordenadas Cilíndricas

Donde P OP es la distancia del origen a P , es el mismo ángulo

que las coordenadas cilíndricas, y es el ángulo entre el semieje

positivo z y el segmento de la recta OP .

Note que:

0,0

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en

problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se

pone en ese punto. Por ejemplo:

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Esféricas Página 2

Esfera p c

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Esféricas Página 3

semiplano vertical c

xy

z

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Esféricas Página 4

: 02

Semicono c c

Para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares empleamos

las ecuaciones:

cos , cosx sen y sen sen z (1.1)

Del mismo modo, la fórmula de la distancia muestra que:

2 2 2 2x y z (1.2)

Ejercicios Propuestos

Ejercicio 1

El punto dado esta dado en coordenadas esféricas 2, / 4, / 3

encuentre sus coordenadas rectangulares

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Esféricas Página 5

De las ecuaciones anteriores tenemos

3 1 3cos 2 cos 2

3 4 2 22

3 1 32 2

3 4 2 22

1cos 2cos 2 1

3 2

x sen sen

y sen sen sen sen

z

Por lo tanto el punto 2, / 4, / 3 es 3 / 2, 3 / 2,1 en coordenadas

rectangulares.

x

y

z

(rho,theta,phi) = (2,pi/4,pi/3)

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Esféricas Página 6

Ejercicio 2

El punto (0,2 3, 2)P esta dado en coordenadas rectangulares.

Encuentre sus coordenadas esféricas.

De las ecuaciones anteriores tenemos que:

2 2 2 0 12 4 4x y z

Y por lo tanto las ecuaciones dan:

x

y

z

(x,y,z) = (0,2sqrt(3),-2)

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Esféricas Página 7

2 1 2cos

4 2 3

cos 02

z

x

sen

Por lo tanto las coordenadas esféricas del punto dado son

4, / 2,2 3

Ejercicio 3

Encuentre una ecuación en coordenadas esféricas para el

hiperboloide de dos hojas con ecuación 2 2 2 1x y z

Solución

Sustituyendo una ecuación en coordenadas esféricas para el

hiperboloide de dos hojas con ecuación anteriores

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Esféricas Página 8

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

cos cos 1

cos cos 1

cos2 cos 1

sen sen sen

sen sen

sen

Ejercicio 4

Hallar una ecuación de coordenadas cilíndricas para la superficie

presentada para la siguiente ecuación rectangular 2y x

Solución

La gráfica de la superficie 2y x es un cilindro parabólico con rectas

generatrices paralelas al eje z como se muestra en la figura.

Sustituyendo 2y por 2 2r sen y x por cosr , se obtiene la ecuación

siguiente en coordenadas cilíndricas

CALCULO VECTORIAL[ ] Unidad I

Coordenadas Esféricas Página 9

2

2 2

2

2

2

cos

cos 0

cos 0

cos

csc ecuación cilindrica

y x

r sen r

r rsen

rsen

rsen

r cot