Vibraciones Mecanicas

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Unidad VI “Vibraciones Mecánicas”

VIBRACIONES MECANICAS

DINAMICA

UNIDAD VI

ING. CIVIL 4”B”

EQUIPO

Nhilce Nahomi Esquivel Gómez Dimas Enrique Jiménez Rivero

28 DE FEBRERO DE 2011

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHETUMAL

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IndiceIndice..................................................................................................................................................2

Introduccion...................................................................................................................................3

¿Qué es una vibración?..............................................................................................................3

Definición de una vibración libre....................................................................................................6

Vibración libre amortiguada...........................................................................................................7

Amortiguamiento fuerte o supercrítico......................................................................................8

Amortiguamiento crítico............................................................................................................9

Amortiguamiento subcrítico.....................................................................................................10

Amortiguador nulo (ejes).........................................................................................................11

Vibración Libre no-amortiguada...................................................................................................11

Vibraciones Forzadas....................................................................................................................13

Vibraciones forzadas de un sistema sin amortiguamiento...............................................................14

Simplificando ecuaciones iniciales...............................................................................................14

La solución general.......................................................................................................................14

Solución particular.......................................................................................................................15

Vibraciones forzadas de un sistema amortiguado............................................................................15

CON FRICCIÓN Y FUERZA EXTERNA..........................................................................................15

SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA FORMA.....................................................................................15

Referencias:..................................................................................................................................20

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Vibraciones Mecanicas

IntroduccionEn esta unidad 6 del curso de dinamica se tiene como objetivo educacional entender y comprender el comportamiento de los sistemas vibratorios de uno o dos grados de libertad, y para esto es importante tener nociones de los conceptos generales como: ¿Que es una vibracion?,¿Qué es una vibracion libre?, ¿Qué es una vibracion forzada?,¿Qué son las vibraciones libres y forzadas amortiguadas? Y ¿Qué son las vibraciones libres y forzadas no amortiguadas? Todo esto para sistemas de vibratorios.

Esto quiere decir que para comprender las vibraciones mecanicas hay que entender lo que es una vibracion, por ello se contestan las siguintes preguntas que a su vez son los conceptos clave de esta investigacion:

¿Qué es una vibración?Una manera sencilla de describir lo que es este concepto sería: el movimiento

continuo y repetitivo de un objeto alrededor de una posición de equilibrio. La posición de equilibrio es a la que se llegará cuando la fuerza que actúa sobre el objeto sea cero.

El fenómeno de vibración es benéfico para algunas situaciones como el caso del funcionamiento de instrumentos musicales con cuerdas como la guitarra ya que por medio de este se produce el sonido y se hace trabajar dicho instrumento; sin embargo la mayoría de las veces esto no resulta deseable pues en otros casos por el contrario perjudica sistemas llevándolos a perder partes, aflojar uniones o incluso desensamblarse por causa del mismo movimiento.

Este tipo de vibración se llama vibración de cuerpo entero, lo que quiere decir que todas las partes del cuerpo se mueven juntas en la misma dirección y en cualquier momento.

El movimiento vibratorio de un cuerpo entero se puede describir completamente como una combinación de movimientos individuales de 6 tipos diferentes. Esos son traslaciones en las tres direcciones ortogonales (x, y, z) y rotaciones alrededor de los ejes (x, y, z), cualquier movimiento complejo que el cuerpo pueda representar se puede descomponer en una combinación de esos seis movimientos. De un tal cuerpo se dice que posee seis grados de libertad.

Es importante mencionar que para poder entender lo que ocasionan los diferentes tipos de vibraciones se debe conocer sus componentes básicos que son: su masa y su fuerza restauradora.

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Otra manera de explicarlo es que los movimientos vibratorios en máquinas se presentan cuando sobre las piezas elásticas actúan fuerzas variables. Generalmente estos movimientos son indeseables, aun cuando en algunos casos se diseñan de manera deliberada en la máquina.

El análisis de las vibraciones requiere el siguiente proceso general:

Evaluar las masas y la elasticidad de las piezas a estudio. Calcular la cantidad de rozamiento actuante. Idealizar el implemento mecánico real, reemplazándolo por un sistema

aproximadamente equivalente de masas, resortes y amortiguadores. Escribir la ecuación diferencial de movimiento del sistema idealizado. Resolver la ecuación e interpretar los resultados.

El sistema ideal más sencillo consiste de una masa única, un resorte único y un amortiguador como se muestra en la figura. Este sistema se define como un sistema de un grado de libertad.

m x´ ´+c x´+kx=f ( t)

Cualquier sistema de un solo grado de libertad puede describirse por medio de la misma forma de ecuación diferencial escrita anteriormente, si la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento y la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad. Para el sistema general de un solo grado de libertad podemos escribir:

me x´ ´+ce x

´+ke x=f (t )

Dónde:m: masak: constante del resorte (fuerza por unidad de deformación)c: constante de amortiguamiento (fuerza por unidad de velocidad). Se supone que el amortiguamiento es viscoso, es decir, que la fuerza resistente es proporcional a la velocidad.F (t): fuerza externa, función del tiempoX: desplazamiento de la masa desde la posición de equilibrio estático

X´´: derivadas primera y segunda respectivamente de x con respecto a t

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Donde me,ce,ke son la masa equivalente, la constante de amortiguamiento equivalente y la constante del resorte equivalente, respectivamente. El desplazamiento X puede ser lineal o angular.

Ejemplo:

Grado de libertad:

Se puede definir como el grado de libertad a las variables necesarias y suficientes para especificar la posición de un sistema mecánico.

En general se clasifican las vibraciones como:

Como dijimos anteriormente una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio .El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectué un ciclo completo de movimiento se llama periodo de

Vibraciones Libres

Amortiguadas

No Amortiguadas

Vibraciones Forzadas

Amortiguadas

No Amortiguadas

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vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración.

Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse en lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas para su comportamiento están bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las técnicas para el análisis de los sistemas no lineales son más complicadas y poco conocidas.

Definición de una vibración libreUna estructura esta en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de una fuerza externa alguna (P (t)=0). Estas vibraciones se presentan cuando después de una perturbación inicial, no existe fuerza externa de excitación, esto es, F (t)= 0. La ecuación diferencial es:

me x´ ´+ce x

´+ke x=0

Se buscan soluciones de la forma: X= C· es·t

Así, la solución de esta ecuación puede escribir: X= A·es1·t +B·es2·t.

Dónde: S1=−C e

2me

+√( ce2me

)− k e

me

y S2=−C e

2me

−√( ce2me

)− keme

Y A1y A2 Son constantes determinadas por las condiciones iniciales.

Al valor 2√ke ∙me se denomina amortiguado crítico Cc.

Se define el amortiguamiento relativo como el cociente entre el amortiguamiento real y el

amortiguamiento crítico.ξ=C e

C c

Se pueden distinguir 4 casos:

1. Amortiguamiento supercrítico.2. Amortiguamiento crítico.3. Amortiguamiento suscritico.4. Amortiguamiento nulo (ejes).

Vibración libre amortiguadaCon lo descrito en la definición anterior nos podemos dar una breve introducción a lo que es una vibración libre amortiguada, pero es necesario que definamos de manera más profunda este concepto de movimiento de un objeto.

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En todos los movimientos oscilantes reales, se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fricción o rozamiento, de forma que dejado libremente a sí mismo un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar. Este movimiento se denomina amortiguado y se caracteriza porque tanto la amplitud como la energía mecánica se disminuyen con el tiempo.

La ecuación diferencial que describe el movimiento es:

m x´ ´+c x´+kx=f ( t)

La solución de esta ecuación del movimiento nos permite obtener el desplazamiento en función del tiempo:

X (t )=xm∗e−( c

2m )tsen (wd∗t+δ )

Dónde:

Wd= es la frecuencia angular de la vibración amortiguada.

C= es el coeficiente de amortiguamiento.

Y como se dijo anteriormente existe un valor C llamado coeficiente de amortiguamiento crítico (Cc), el cual se obtiene de la siguiente formula:

C c=2mωn

Dónde:

Wn= es la frecuencia natural del sistema sin rozamiento.

La constante (cc/c) se conoce como factor de amortiguamiento. En grafico siguiente se representa una típica grafica de movimiento amortiguado débil y se observa que aun cuando la amplitud es decreciente, el período de la vibración se mantiene constante.

Gráfico de una vibración amortiguada

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El coeficiente de amortiguamiento crítico, Cc y la razón o relación de amortiguamiento crítico, ʂ son parámetros que determinan el tipo de movimiento del sistema.

Como expusimos antes en vibraciones libre existen 4 niveles de amortiguamiento los cuales explicaremos a continuación:

Amortiguamiento fuerte o supercríticoSe produce cuando C>CC y corresponde a un movimiento no vibratorio, porque el sistema recupera su posición de equilibrio sin oscilar.

La ecuación de este caso es:

( C e

2me)

2

>K e

me

→C e>2√K e∗me

Las raíces de la ecuación son dos soluciones distintas, reales y negativas:

X=A∗es1∗t+B∗es2∗t

La solución no es del tipo ondulatorio sino que es del tipo exponencial decreciente, y tiende antes a cero conforme mayor es el amortiguamiento Ce:

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Amortiguamiento críticoSe produce cuando C=CC y aquí el movimiento tampoco es vibratorio.

La ecuación para este segundo caso es la siguiente:

( C e

2me)

2

=K e

me

→Ce>2√K e∗me

Las raíces de la ecuación son dos iguales, reales y negativas:

X=(A+B)∗e−Ce

2me

∗t

Si el amortiguamiento es igual o mayor que el crítico, entonces la solución de la ecuación para vibraciones libres no contiene términos periódicos. La masa, después de la perturbación inicial, regresa a la posición de equilibrio pero no oscila. Es decir, en este caso, al igual que en el caso 1, la solución no es del tipo ondulatorio si no del tipo exponencial decreciente.

El caso 1 corresponde con ʂ>1 y el caso 2 con ʂ=1.

Amortiguamiento subcríticoSe produce cuando C<CC y en este caso el movimiento es vibratorio de amplitud decreciente.

( C e

2me)

2

<K e

me

→C e>2√K e∗me=CC

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Este caso corresponde con ʂ<1.

Las raíces de la ecuación son dos soluciones distintas y complejas.

X=−A∗e−Ce

2me

∗t

∗e¿

X=X∗e∝∗t∗sin (wd t+γ )

Donde las constantes X, ϒ se determinan de las condiciones iniciales.

∝=C e

2me

wd=√ K e

me

−¿¿

Wd= es la frecuencia amortiguada del sistema. Si el amortiguamiento fuera cero, la frecuencia seria

W n=√ K e

me

, la cual se llama frecuencia natural.

Amortiguador nulo (ejes).

En este caso, x=x∗sin (wdt+γ )

El sistema tras la perturbación inicial se queda oscilando de forma indefinida ya que no ha rozamiento. La frecuencia de oscilación es:

wd=√ K e

me

=wn

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Vibración Libre no-amortiguada.

En este caso se estudiara simple de una vibración libre, de tal modo que una ecuación matemática denotara su comportamiento.

A la ecuación diferencial que determina su comportamiento se le llama forma canónica de un sistema libre no amortiguado.

La ecuación diferencial de movimiento es:

m x´ ´+kx=0

Su ecuación característica es:

mr2+k=0

Siendo sus raíces imaginarias conjugadas:

r=±√ kmi

La solución general es de la forma:

x=a sen¿

Dónde a (amplitud) y φ(fase inicial) son constantes que se pueden determinar, en cada caso particular, con las condiciones iniciales.

La frecuencia natural de la vibración y el periodo son:

wn=√ km

y T=2π √ mkEn este tipo de vibraciones se cumple el principio de la conservación de la energía mecánica, es decir, la suma de la energía cinética y el potencial elástico es constante e igual a la energía total comunicada inicialmente al sistema, por lo que se verifica la ecuación:

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m2x´2+ k

2x2=cte=1

2k a2

Vibraciones ForzadasLas vibraciones forzadas como el mismo término menciona se refieren a que fuerzas externas son las responsables de las vibraciones que se producen en el sistema.

Algunas características de este tipo de vibraciones son:-compensación de pérdida de energía de la oscilación amortiguada-fuerzas externas

Al igual que las vibraciones libres, las vibraciones forzadas se dividen en:

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Amortiguadas No amortiguadas

Vibraciones forzadas de un sistema sin amortiguamientoTomando en cuenta la ecuación principal de las vibraciones forzadas de sistemas amortiguados podemos deducir también que La ecuación diferencial que describe el movimiento del sistema es:

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Dónde: a(t) ó (f/m) es la función de excitación

Para poder resolver la ecuación principal se necesita tener las soluciones homogénea y particular de:

La solución homogénea xh es la solución general de la ecuación principal y para resolverla se debe igualar a cero el segundo miembro.

La solución particular xp es una solución que satisface la ecuación principal.

Para hacer más explícito lo anterior podemos considerar un procedimiento de la siguiente manera:

Simplificando ecuaciones iniciales

Para simplificar las condiciones iniciales hacemos:

La solución general

Considerando la ecuación homogénea asociada:

Su solución es:

Solución particular

Si la fuerza externa es una función de ambas variables (espacial y temporal), el análisis matemático del problema se torna complejo en general, ya que resultaría un problema no lineal o de coeficientes variables. Ejemplos de esto son:

a) f(y,t) = Fo y t

b) f(y,t) = Fo y2 sen t

x = xh + xp

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c) f(y,t) = Fo y2

En el caso a) se tiene una ecuación diferencial con coeficientes variables, en b) la ecuación es no lineal con coeficientes variables y en c) es no lineal.

Vibraciones forzadas de un sistema amortiguado

CON FRICCIÓN Y FUERZA EXTERNA

Si se introduce una fuerza externa F (t) = F0 Cos w t, entonces la ecuación que regula el movimiento de la masa es:

La solución general queda como:

Como la ecuación de la parte homogénea tiende a cero, entonces, con sólo la parte no homogénea podemos describir el comportamiento de las vibraciones forzadas amortiguadas.

Donde yH es solución de la ecuación homogénea y yP es una solución particular

SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA FORMA

Ejemplos de vibraciones mecánicas

1. Un objeto de 10 kg está suspendido por dos muelles idénticos de constante elástica K=500 N/m asociados en serie, y un amortiguador de tipo viscoso de constante c=90 N·s/m.

Calcular:

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a) Coeficiente de amortiguamiento críticob) Factor de frecuencias (_)

Resolución:a) Constante equivalente (serie)

b) Factor de frecuencias

2. Un ingeniero que diseña un sistema aislante de vibraciones para la consola de un instrumento modela esta y el sistema de aislamiento por medio del oscilador resorte-masa amortiguado de la fig. 10.14(a) con masa m= 2 kg, k= 8 N/m y c= 1N-s/m. Para determinar la respuesta del sistema a vibraciones externas, el supone que la masa esta inicialmente en reposo con el resorte sin estirar, y que en t=0 se aplica la masas de la fuerza.

F (t)= 20 sen 4t N.

(a) ¿Cuál es la amplitud de la solución particular (estado permeante)?(b) ¿Cuál es la posición de la masa en función del tiempo?

Solución:

(a) La frecuencia circular natural del sistema no amortiguado es ω = √k /m = 2 rad/s. y la constante d = c/ (2m)= o.25 rad/s. por tanto la amplitud de la solución particular es:

Ep= α 0

√(ω2 –ω20 )2+4 d ²ω ²0 =

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√[ (2 )2−(4 )2 ]+4 (0.25 )2(4) ² =0.822 m

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(b) Como d<ω, el sistema esta subcriticamente amortiguado y la solución homogénea está dada por la Ec. (10.19). la frecuencia circular del sistema amortiguado es ωd=√ω ²−d ² =1.98 rad/s, por lo que la solución homogénea es:

Xh= e−0.25 t(A sen 1.98t +B cos 1.98t)

De la Ec. (10.30), la solución particular es:

Xp= –0.811 sen 4t– 0.135 cos 4t

Y la solución completa es:

X= Xh + Xp= e−0.25 t(A sen 1.98t + B cos 1.98t) – 0.811 sen 4t – 0.135 cos 4t

En t=0, X= 0 y dx/dt= 0. Usando estas condiciones para determinar las constantes A y B, obtenemos A= 1.651 m y B= 0.135m. La posición de la masa en función del tiempo es:

X= e−0.25 t(1.651 sen 1.98t + 0.135 cos 1.98t) –0.811 sen 4t – 0.135 cos 4t m.

3. Cuando es nula la fuerza perturbadora F o la deformación de los apoyos, la educación diferencial lineal se convierte en ecuación homogénea de segundo orden. Su integral describe las oscilaciones y respuesta de la masa equivalente cuando se suelta desde una posición que no sea la de equilibrio.

mẍ+kx=0.

La solución es una oscilación armónica simple expresada por

x=C sen pt+C cos pt

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Donde C1 y C2 son constantes de integración que dependen de la manera cómo empezó el movimiento. La solución se comprueba por sustitución directa con lo cual se ve que

p=√ km

Otra manera de escribir la solución es

x=Csen ( pt−∅ )

4. En la figura 84b se ha representado un sistema análogo al de la figura 84ª, en el cual se transmite la fuerza aplicada a través de un resorte sujeto a una base o a unos apoyos que tienen un desplazamiento=(t) respecto a la posición inicial. Si e x el desplazamiento absoluto de la masa medido a partir de la posición de equilibrio cuando, el resorte tendrá una tensión k(x) y el diagrama para sólido libre exige que

−c ẋ−k ( x−δ )=m x

m x+c ẋ+kx=kδ

Se ve, por tanto, que la educación 175b es equivalente a la 175a cuando se sustituye F por k .Las soluciones de una u otra de las vacaciones 175 para diversos valores de c, k y F o cubren una amplia variedad de oscilaciones y sistemas ingeniería. Cada una de las ecuaciones 175 se ve que es una ecuación diferencia lineal y de segundo orden y su integral puede obtenerse por diversos sus procedimientos conocidos.

Antes de proceder a integrar la ecuación, conviene observar la analogía con un circuito eléctrico que cumple con una ecuación diferencial equivalente. En la figura 85 se ha representado un circuito serie constituido por una tensión E función del tiempo, una autoinducción de coeficiente L, una capacidad C y una resistencia R. La caída de tensión a

través de cada uno de los elementos L, C, R en este orden es L didt

1C

{idt , y Ri , donde i es

la intensidad de la corriente. La suma de dichas caídas de tensión aplicada, con lo cual

Ldidt

+ 1C

{i dt+Ri=E

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Pero i=q donde q es la carga eléctrica, con lo que la ecuación del circuito se convierte en

L q+R q+ 1Cq=E

Esta ecuación es formalmente igual a la del “circuito” mecánico. Así pues, mediante un simple intercambio de símbolos, puede utilizarse el comportamiento del sistema eléctrico para predecir el comportamiento del sistema mecánico o recíprocamente. Resultará de utilidad la siguiente tabla de equivalentes mecánicos y eléctricos.

Referencias: http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica-aplicada-a-la-ingenieria/

contenidos/tema-4/vibracionesproblemas-solucion.pdf http://www.monografias.com/trabajos14/vibraciones/vibraciones.shtml#LIBRE http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica-aplicada-a-la-ingenieria/

contenidos/tema-4/vibracionesproblemas-solucion.pdf http://ebookbrowse.com/tema-1-vibraciones-mecanicas-parte-i-pdf-d89230558 http://es.scribd.com/doc/53831040/vibraciones

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http://ebookbrowse.com/tema-1-vibraciones-mecanicas-parte-i-pdf-d89230558

http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica-aplicada-a-la-ingenieria/contenidos/tema-4/vibracionesproblemas-solucion.pdf


http://www.monografias.com/trabajos14/vibraciones/vibraciones.shtml#LIBRE



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http://es.scribd.com/doc/54902669/vibraciones-mecanicas LIBRO: DINAMICA, EDICION: 2, AUTOR: J. L. MERIAM, PAG. 475-505. DETERMINACIÓN DEL POTENCIAL DE LICUEFACCIÓN DE SUELOS NO COHESIVOS

SATURADOS BAJO CARGAS SÍSMICAS USANDO EL ENSAYO DE PENETRACIÓN ESTÁNDAR, DANIEL HUMBERTO SANTIBÁÑEZ RODRÍGUEZ VALDIVIA, 2006.

Vibraciones Forzadas Amortiguadas, LUIS CABALLERO MEJIAS, LABORATORIO DE DINAMICA DE MAQUINAS SECCION # 01.

Mecánica para ingenieros, Dinámica, J.L. Meriam- L.G. Kraige, 3era edición, editorial reverter, Pág. 517-532.

Dinámica, Mecánica para ingenieros, Bedford y Fowler, Pág. 439-516. Ingeniería Mecánica, Dinámica, Andrew Pytel y Jaan Kiusalaas, 2ª. Edición,

pág.527-566.

http://es.scribd.com/doc/54902669/vibraciones-mecanicas

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