unidad #5 sistemas de varios grados de libertad

29 de Julio de 2015[unidad #5 sistemas de varios grados de libertad]

INSTITUTO TECNOLGICO DE PIEDRAS NEGRAS

MATERIA: VIBRACIONES MECNICASTEMA:UNIDAD #5 ALUMNORAUL ALAIN RAMIREZ CUADRADO

No. CONTROL 14430005

CARRERA: ING. MECATRNICA

PROFESOR: ING. CHIO SALINAS MARTIN

INDICE

5.1 Vibraciones de modo normal.3

5.2 Acoplamiento De Coordenadas.5

5.3 Ortogonalidad de los modos de vibracin..8

5.4 Anlisis modal; coordenadas normales.11

5.5 Vibracin libre.14

5.6 vibraciones forzadas y absorcin de vibraciones20

5.1 Vibraciones de modo normalUnmodo normalde unsistema oscilatorioes la frecuencia a la cual la estructura deformable oscilar al ser perturbada. Los modos normales son tambin llamados frecuencias naturales o frecuencias resonantes. Para cada estructura existe un conjunto de estas frecuencias que es nico.Es usual utilizar un sistema formado por una masa y un resorte para ilustrar el comportamiento de una estructura deformable. Cuando este tipo de sistema es excitado en una de sus frecuencias naturales, todas las masas se mueven con la misma frecuencia. Las fases de las masas son exactamente las mismas o exactamente las contrarias.

El significado prctico puede ser ilustrado mediante un modelo de masa y resorte de un edificio. Si un terremoto excita al sistema con una frecuencia prxima a una de las frecuencias naturales el desplazamiento de un piso (nivel) respecto de otro ser mximo.

El Modo normal incluye 2 efectos:

1. Frecuencia de resonancia: (la fuente sonora puede generar alguna de las frecuencias naturales o de resonancia del aire encerrado dentro de la sala) 1. Onda estacionaria cuando el aire entra en resonancia la presin sonora dentro del recinto presentar mximos (antinodos) y mnimos (nodos)depresin sonora).

Modos normalesSupongamos, que el sistema vibra en un modo de frecuenciaw. Cada partculadescribir un M.A.S. de la misma frecuenciawy fasej, pero cuya amplitudAivamos a calcular.yi=Aicos(wt+j)Introduciendo esta expresin en la ecuacin diferencial que describe el movimiento de cada partcula, obtenemos, la relacin entre las amplitudes de los M.A.S. de las partculasi+1,i, ei-1.

Vamos a buscar una solucin a esta ecuacin de la formaAi=Asen(kia)dondekes el nmero de ondak=2p/l.Despus de algunas operaciones, se obtiene

y finalmente,

Esta ecuacin que relaciona la frecuencia angularwcon el nmero de ondak, se denominarelacin de dispersin.Aplicaremos laslongitudes de contornopara la solucin buscadaAi=Asen(kia)Las partculas imaginarias situadas en las posiciones extremasi=0, ei=N+1, estn fijas, de aqu se obtiene los posibles valores del nmero de onda o de la longitud de onda.AN+1=Asen(ka(N+1))=0, se cumple cuandoka(N+1)=np

La frmula de las frecuencias angulares de los distintos modos de vibracin son

DondeKes la constante del muelle,mla masa de las partculas, que hemos tomado como unidad,Nel nmero de partculas del sistema.En la figura, se muestra la relacin de dispersin para un sistema de 3 partculas. La curva continua en color azul es la representacin de la frecuencia angularw en funcin del nmero de ondak, cuyo valor mximose obtiene parak=p/a.Los puntos en color rojo sobre la curva continua sealan las frecuencias de los tres modos de vibracin.

Fig. 1En el siguiente applet se van a mostrar de forma animada el movimiento de las partculas del sistema en el modo normal de vibracin seleccionado.En la parte inferior del applet, se representa en el eje vertical el desplazamiento de cada una de las partculas.Como ejercicio se recomienda representar grficamente, la frecuencia de los distintos modos en funcin del nmero de onda (o del nmero del modon), tomando como modelo la figura anterior.Observar los modos de vibracin de un sistema compuesto por muchas partculas y muelles, por ejemplo, 20, y compararlos con los modos de vibracin de una cuerda uondas estacionarias en una cuerdasujeta por ambos extremos.5.2 Acoplamiento De CoordenadasUnacoplamiento de coordenadas es una serie de acoplamientos donde las coordenadas concuerdan formando una cadena cerrada, o una serie de cadenas cerradas. Es similar a un acoplamiento mecnico que tiene uno o ms ligas, y stas tienen diferentes grados de libertad que le permiten tener movilidad entre los ligamentos. Un acoplamiento es llamadomecanismosi dos o ms ligas se pueden mover con respecto a un ligamento fijo. Los acoplamientos mecnicos son usualmente designados en tener una entrada, y producir una salida, alterando el movimiento, velocidad, aceleracin, y aplicando una ventaja mecnica.Se denominan informalmentecoordenadas generalizadas(acoplamiento de coordenadas) a un conjunto cualquiera de parmetros numricos que sirven para determinar de manera unvoca la configuracin de unmecanismoo sistema mecnico con un nmero finito degrados de libertad. Ms formalmente, las coordenadas generalizadas se definen como un sistema decoordenadas curvilneassobre la variedad de configuracin de un sistema fsico como por ejemplo elespacio de configuracino elespacio de fasesde la mecnica clsica.El nmero mnimo de coordenadas generalizadas para definir el estado del sistema se conoce como:coordenadas independientes. En este contexto, las coordenadas pueden serabsolutas(referidas a un slido inmvil, respecto del cual el mecanismo "se mueve"); o bien pueden serrelativasa otro miembro del mecanismo.

Nocin intuitivaLamecnica newtonianausa sistemas de referencia con ejes cartesianos en que la posicin de una partcula puntual en un instante dado viene dada por un vector del espacio eucldeo.Las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales que relacionan las derivadas de la posicin con la posicin de las otras partculas. Sin embargo, matemticamente podemos usar un conjunto de coordenadas curvilneas cualesquiera tales que el vector posicin pueda ser expresado en trminos de esas coordenadas y viceversa. Esto implica que en un sistema dePpartculas (y 2Ngrados de libertad) existirn funciones invertibles de la otra tales que:

Nocin formalFormalmente, enmecnica lagrangianaelestado fsicode un sistema mecnico, tambin llamado estado de movimiento, viene representado por un punto del espacio de configuracin"ampliado". Este espacio se designa porTQy matemticamente es el fibrado tangente del espacio de configuracinQde posibles posiciones. Por construccin el espacio de configuracin ampliado tiene una estructura devariedad diferenciablede dimensin 2N, siendoNel nmero de grados de libertad del sistema. Naturalmente los 2Nnmeros anteriores tienen que ver con las coordenadas curvilneas en trminos de los cuales representamos la posicin ordinaria de una partcula.De la discusin anterior se sigue que un conjunto adecuado de coordenadas generalizadas para un sistema lagrangiano no puede venir dado por un conjunto cualquiera demnmeros reales sino que debe existir un conjunto abiertoUdel fibrado tangenteTQy una funcin de claseCk, con k > 1, tal que:

Un sistema como el anterior se llamasistema natural. Sin embargo, algunos sistemas admiten coordenadas generalizadas ms complicadas que dependen adems del tiempo, como se discuti al principio y esos sistemas requieren ser descritos mediante una variedad de dimensin 2N+1 siendo los detalles similares. Oscilaciones acopladasEn ciertos problemas mecnicos sencillos como el problema de las vibraciones u oscilaciones acopladas aparecen sistemas de coordenadas generalizadas no relacionados con ninguna medida directa realizable sobre el sistema fsico, pero tiles en la resolucin matemtica de los problemas.Un problema deoscilaciones acopladaspuede resolverse mediante ciertos cambios de variables que llevan a las coordenadas normales o amplitudes de los modos propios de vibracin, que son de hecho una forma particular de coordenadas generalizadas para el problema mecnico original. El problema de oscilaciones acopladas, aparece por ejemplo en las vibraciones trmicas de un cristal, o el movimiento horizontal de un edificio en unterremotoo el movimiento de un sistema de masas unidas por muelles oresortes. Estos problemas conducen a un sistema de ecuaciones del siguiente tipo:

Que puede resolverse fcilmente definiendo unas nuevas coordenadas llamadas coordenadas normales, definidas mediante un cambio lineal:

Donde la matriz cambio de masa se calcula a partir de losmodos propiosdel sistema. Con ese cambio el sistema se convierte en un conjunto deNecuaciones sencillas del tipo:

Cada una de las cuales es de resolucin inmediata. Es interesante notar que estos modos no son cantidades directamente medibles, sino slo un sistema de coordenadas con dimensiones de longitud matemticamente adecuado, pero que de no estn relacionadas de manera directa o natural con ninguna medicin realizable sobre el sistema.

5.3 Ortogonalidad de los modos de vibracin

Una propiedad de gran importancia en el estudio de las vibraciones es la ortogonalidad de los modos. Gracias a ella, podemos desacoplar las ecuaciones del movimiento convirtindolas en N ecuaciones diferenciales independientes por medio del cambio de variables conocido como transformacin modal que veremos ms adelante.

Basndonos en la ecuacin (9.133), particularizada para las frecuencias naturales i, j y sus modos correspondientes A i y A j, podemos escribirK Ai= 2 M Ai(9.136)

i

K A j = 2j M A j(9.137)

Premultiplicando la ecuacin (9.136) por el vector A j transpuesto y la ecuacin (9.137) por el vector Ai transpuesto, obtenemos

AT K Ai= 2 AT M Ai(9.138)

ji j

ATi K A j = 2j ATiM A j(9.139)

Restando ambas ecuaciones trmino a trmino y teniendo en cuenta que tanto M como K son simtricas, obtenemos

( i2 2j )A TiM A j = 0(9.140)

Si i y j son valores propios distintos, concluimos que

A TiM A j = 0para i j(9.141)

A TiM A j 0para i = j

Es decir, los vectores propios asociados con valores propios distintos son ortogonales respecto a la matriz de masas. Debido a que la matriz de masas es positivo definida queda garantizado que el producto ATi M Ai no es nulo excepto en el caso en que Ai sea nulo. Por ello, podemos escribir

A TiM A j= 0para i j

A T M A= m(9.142)

jpara i = j

ii

donde mi es un trmino escalar, positivo y constante. Los modos de vibracin tambin son ortogonales respecto a la matriz de rigidez. La prueba es evidente a partir de la ecuaciones (9.138)-(9.139) y de la ecuacin (9.142), lo que conduce a

A TiM A j= 0para i j

A T M A= m(9.142)

jpara i = j

ii

donde mi es un trmino escalar, positivo y constante. Los modos de vibracin tambin son ortogonales respecto a la matriz de rigidez. La prueba es evidente a partir de la ecuaciones (9.138)-(9.139) y de la ecuacin (9.142), lo que conduce aA TiK A j= 0para i j

A T K A= m 2= k(9.143)

jpara i = j

ii ii

siendo ki otro trmino escalar, positivo o nulo y constante.

Independencia lineal de los modos de vibracin

La propiedad de ortogonalidad recin vista se puede utilizar para probar que los modos de vibracin son linealmente independientes. Como es sabido, el conjunto de vectores A1, A2,, AN es linealmente independiente si la relacin

c1 A1 + c2 A 2 + + c N AN = 0(9.144)

se cumple slo cuando las constantes c1 ,c2 ,...,cN son nulas. Premultiplicando la ecuacin (9.144) por ATi M resulta

ci mi = 0(9.145)

Como mi es distinto de cero, se concluye que(9.146)

ci = 0

es decir, los vectores son linealmente independientes.

Probando la ortogonalidad de los modos de vibracin hemos asumido que los valores propios i2 y 2j eran distintos. En algunos casos particulares pueden aparecer valores propios repetidos. En un problema de valores propios general, los vectores propios asociados con valores propios repetidos pueden ser independientes o no serlo.Supongamos un valor propio 2con multiplicidad s, de manera que 2, 2,,2

rrr +1r + s 1

son iguales. Si todos los dems vectores propios son independientes entre s, el rangode la matriz K 2M es igual a N-s, y se puede demostrar que el sistema de ecuaciones

r

(K r2 M )A r = 0(9.147)

tiene s soluciones no triviales A r , A r +1 ,, Ar + s 1 que son linealmente independientes. En el caso de que el rango de la matriz fuese superior a N-s, esta propiedad no se verificara. Afortunadamente, se puede demostrar que si las matrices M y K son reales y simtricas, como ocurre en el caso de los sistemas mecnicos, los vectores propios aso-ciados a valores propios repetidos son linealmente independientes.

Ejemplo 10.2.3.2-1

Calculemos las frecuencias y modos de vibracin del ejemplo 10.1-1 para los valores m1 = m2 =1 Kg, c1 = c2 = c3 = 0 y k1 = k2 = k3 =1 N/m. Particularizando, las ecuaciones del movimiento para el caso de las vibraciones libres, resulta:

10 x21 x0

011+1 21=0

x2x2

Las frecuencias naturales se calculan de la ecuacin caracterstica dada por la ecuacin (9.132), que para este caso es

2 121 02= 0

4

1 2 i01= 4 + 3

La solucin a esta ecuacin bicuadrtica es

2 = 4 2 = 1 2 3

de manera que 12 =1 y 22 = 3 . Para calcular el primer modo de vibracin, particularizamos la ecuacin (9.133). Para el primer modo, la ecuacin se convierte en

2 1 11 0A11 1A10

1 20 1=1 1=0

Dando arbitrariamente a la primera componente de A1 el valor de 1, resulta

1 A1 = 1

Anlogamente, para el segundo modo podemos escribir

2 1 31 0A 211A20

1 20 1=11=0

5.4 Anlisis modal; coordenadas normales

La solucin general de las ecuaciones [M]{q} + [K]{q} = {0}, ), debido a la linealidad de las soluciones, se puede expresar como una combinacin lineal de las mismas, de la forma

Denominando aki a la componente i del vector propio {ak}, la expresin anterior se puede escribir en componentes como:

donde se sobreentiende el sumatorio implcito en el ndice repetido k. Denamos ahora unos coecientes (funcin del tiempo)

que denominamos coordenadas normales. En funcin de ellas queda

Esta expresin puede interpretarse como un cambio de coordenadas para obtener uk(t) a partir de las qi(t). La matriz del cambio es la denida por los coecientes aki, que son constantes en relacin al tiempo, y que como hemos visto son precisamente las componentes de los modos normales de vibracin.

Las componentes aki denidos para la expresin constituyen la llamada Matriz Modal, Es inmediato comprobar que sta est formada por los modos normales como las,

El cambio de coordenadas establecido por est denido por la traspuesta de la matriz modal, [A]T. La expresin de la solucin {q} en funcin de las coordenadas normales {u} es pues:

Es decir

Las coordenadas normales as denidas poseen una propiedad notable, ya que en funcin de ellas las ecuaciones del movimiento quedan desacopladas. Al realizar el cambio a las coordenadas normales, en lugar de un sistema de n ecuaciones simultneas acopladas, se obtienen n ecuaciones independientes, cada una con una sola variable, que se pueden solucionar unaa una. En efecto, sustituyendo en [M]{q} + [K]{q} = {0},

y premultiplicando por la matriz modal [A],

Desarrollando en componentes los productos de matrices en esta ecuacin, la componente (ij) de [A][M][A]T corresponde a:

es decir, se trata del producto interior a travs de [M] del modo {ai} (la i de [A]) y el modo {aj} (columna j de [A] T), que como se vi en son las deltas de Kronecker multiplicadas por las masas modales. Por tanto el resultado es una matriz diagonal:

En el caso en que la normalizacin se haya hecho con masas modales unitarias, esta sera la matriz identidad. Anlogamente, el otro producto de matrices, empleando (), resulta otra matriz diagonal:

Por lo tanto, la ecuacin [M]{q} + [K]{q} = {0}, queda expresada en coordenadas normales como

En componentes, equivale a n ecuaciones desacopladas (independientes)

(sin sumatorio sobre el ndice repetido k).

Ejemplo 1: Sea un pndulo doble, formado por dos masas iguales m unidas por varillas rgidas sin masa de longitud l, la primera de las cuales est articulada en un punto jo (gura 2). Estudiar las pequeas oscilaciones alrededor de la posicin de equilibrio vertical calculando las frecuencias propias y modos normales de vibracin.

Figura 2.

Empleando las coordenadas (1, 2) denidas en la gura 1. La Lagrangiana es:

Las ecuaciones de Lagrange del movimiento resultan:

Las ecuaciones se linealizan despreciando trminos de segundo orden:

La expresin matricial de las ecuaciones es:

La ecuacin caracterstica resulta

cuyas soluciones son

A partir de stas podemos calcular el vector propio asociado a cada una, as como la frecuencia propia. El resultado es:

5.5 Vibracin libre

Una vibracin se produce cuando el sistema en cuestin es desplazado desde una posicin de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posicin, bajo la accin de fuerzas de restitucin elsticas o gravitacionales, movindose de un lado a otro hasta alcanzar su posicin de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efecte un ciclo completo de movimiento se llamaperiodo de vibracin, el nmero de ciclos por unidad de tiempo define lafrecuenciay el desplazamiento mximo del sistema desde su posicin de equilibrio se denomina amplitud de vibracin.

Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elstico puede tener unavibracin librea consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido nicamente por las fuerzas de restitucin inherentes al mismo. El sistema bajo vibracin libre vibrar en una o ms de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribucin de su masa y rigidez.Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es unavibracin forzada. Cuando la excitacin es oscilatoria, ya sea peridica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitacin, si sta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; as la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramtica posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el clculo de las frecuencias naturales de vibracin es de gran importancia en el diseo ssmico de estructuras.DEFINICINUna estructura est en vibracin libre cuando es perturbada de su posicin esttica de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitacin de fuerza externa alguna (p(t)=0).

VIBRACIN LIBRE NO AMORTIGUADA

Figura 3Sistema SDF: vibracin libre sin amortiguamientoLa ecuacin que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no est sometido a la accin de una fuerza externa es:(1)(2)dondewnes la frecuencia natural en vibracin libre del sistema y es igual a:(3)El desarrollo de la ecuacin diferencial 4.1 se expone en el Apndice I, y su solucin es:(4)Las constantesAyBse hallan a partir de las condiciones iniciales:u(0)y, el desplazamiento y la velocidad iniciales respectivamente. Obtenindose por lo tanto:(5)Las Figuras 1(a)y 1(b)ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibracin libre del sistema para la ecuacin 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibracin libre es denominado periodo natural de vibracin,Tn, y es:(6)La frecuencia cclica natural de vibracin,fn, es definida como el nmero de ciclos que se repiten en 1 [s] de tiempo y su valor es:(7)Las propiedades de vibracin natural,wn, Tnyfn, dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el trmino natural es utilizado para enfatizar el hecho de que stas son propiedades naturales del sistema cuando ste esta en estado de vibracin libre.El movimiento representado por la ecuacin 5 puede tambin ser expresado en la forma:(8)

Figura 4Vibracin libre, representacin vectorial Dondeu0es la magnitud del desplazamiento mximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual esta dada por:(9)Y el ngulo de fasefesta dado por:(10)En la Figura 4 esta representada vectorialmente la ecuacin de movimiento, donde la respuesta esta dada por la parte real o proyeccin horizontal de los dos vectores de rotacin; y el ngulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del trmino del coseno.VIBRACIN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOLa ecuacin de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibracin libre es:|(11)dividiendo la ecuacin 4.11 por la masa se obtiene:(12)donde: (13)(14)El coeficiente de amortiguamiento crtico,ccr, y la razn o relacin de amortiguamiento crtico,x,son parmetros que determinan el tipo de movimiento del sistema.Tipos de Movimiento

Figura 5Vibracin libre de un sistema crticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado La Figura 3 ilustra el desarrollo de este punto; sta es una grfica del movimientou(t)debido a un desplazamiento inicialu(0)para tres valores distintos dex:Sic=ccrx=1El sistema retorna a su posicin inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razn esllamado sistema crticamente amortiguadoo sistema con amortiguamiento crtico.Sic>ccrx>1 El sistema no oscila pero retorna a su posicin de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominadosistema sobreamortiguado.Sic