TEMA

VIBRACIONES LIBRES YAMORTIGUADAS

UPLA

DINAMICA Y VIBRACIONES

1.1. Introducción: grados de libertad y magnitudes características

VIBRACIÓN MECÁNICA:

Oscilación repetida en torno a una posición de equilibrio

- Vibraciones convenientes: péndulo para regular un reloj, cuerda

pulsada de una guitarra

- Vibraciones inconvenientes: vibraciones en estructuras a causa de

terremotos, del viento, circulación de vehículos, máquinas.....

1) Fuerza adicional: desplazamiento equilibrio

2) Fuerza recuperadora: vuelta a posición equilibrio

3) Posición equilibrio: velocidad no nula

SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD

GRADO DE LIBERTAD:

Variables necesarias y suficientes para especificar la posición de un sistema mecánico

EJEMPLOS:

- disco que se mueve en el plano: tres grados de libertad

desplazamiento x, y

ángulo de rotación alrededor CM

- sólido rígido: seis grados de libertad

tres traslaciones elementales

tres rotaciones, seis coordenadas

- sistema con un grado de libertad ≠ sistema simple:

motor de automóvil: ángulo de giro del cigüeñal

OSCILACIONES PERIÓDICAS Y APERIÓDICAS O ALEATORIAS:

Oscilación periódica:

Periodo (T, τ): tiempo para que se repita el movimiento

Frecuencia (f, ν): número de oscilaciones por segundo

Amplitud (A): desplazamiento máximo

CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS:

VIBRACIONES LIBRES: fuerzas gravitatorias o fuerzas elásticas

1) NO AMORTIGUADAS:

-fuerzas de rozamiento (resistencia del aire,

viscosidad....) son despreciables

-se repiten indefinidamente

2) AMORTIGUADAS:

- fuerzas de rozamiento no despreciables

- tienden a desaparecer

VIBRACIONES FORZADAS:

- compensación de pérdida de energía de la oscilación amortiguada

- fuerzas externas

Diseño y construcción de puentes y edificios:

FENÓMENO DE LA RESONANCIA:

- Edificación: oscilador con un conjunto de frecuencias naturales (rigidez,

masa y detalles de la construcción)

- Oscilación forzada: fuerza debida a sacudidas del terreno en terremoto

FRECUENCIA ONDAS SÍSMICAS ≈ FRECUENCIA NATURAL EDIFICIO

1.2. Vibraciones libres no amortiguadas

FUERZA RECUPERADORA:

- proporcional al desplazamiento: kx

- dirigida hacia posición de equilibrio

- movimiento periódico: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

- modelo de partida para vibraciones en aplicaciones técnicas

MODELO MECÁNICO:

- reposo: posición de equilibrio

- desplazamiento X0: V0

F = −kx

d 2 xFX = maX

= m dt 2

2 2d x d x k– kx = m

⇒ = −

x dt 2 dt 2 m

2d x+ω 2x = 0

0dt 2

kω =0 m

FRECUENCIA NATURAL DE OSCILACIÓN

Soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:

c

x(t) = A cos(ω0 t − α )

x(t) = Asen(ω0 t − α )

A :amplitud o desplazamiento máximo

α :ángulo o constante de fase

x(t) = A cos(ω0 t − α )

2πω0

ω0

T =

f = 2π

dx= − Aωsen(ω0 t

– α )

v = dt

=dv

= − Aω 2

cos(ωt − α ) = −ω 2 x

a 0dt

ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:

A cos(ω0 t − α )

x(t) =

ENERGÍA POTENCIAL:

= 1 kx2 1 kA2 cos2 (ω t − α )

E =P 02 2

ENERGÍA CINÉTICA:

2

E = 1 mv2

=

1 m⎡ dx

⎤ = 1 mω 2 A2 sen2

(ω

t − α )2 ⎢ dt

⎥C 0 02 2⎣ ⎦

ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:

1 1 1= kA2 cos 2 (ω t − α ) + mω 2 A2

sen 2 (ω t − α ) = mω 2 A2

E = E

+ E

P C 0 0 0 02 2 2

Energía cinética y potencial en función del tiempo:

MÉTODOS ENERGÉTICOS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

d (EC

+dET EP )= + = cte

⇒= =

0E E ET C P dt dt

EJEMPLO:

d⎡ 1 kx2 + 1 mx& 2 ⎤ = kxx& +

mx&&x& = 0

⎢⎣ 2

⎥⎦

dt 2

(kx + m&x&)x& = 0 ⇒ m&x& + kx = 0

k&x& +

x = 0m

1.3. Vibraciones libres amortiguadas

- VIBRACIONES NO AMORTIGUADAS: idealización

pérdidas de energía por rozamiento pequeñas

intervalos de tiempo cortos

- FUERZAS RESISTIVAS: proporcional a la velocidad y en sentido

opuesto

= −λv

Fr

Oscilación en un fluido: aire, agua....

Modelo mecánico:

d 2 xFX =maX = mdt 2

d 2 xdx– kx − λv = −kx − λ

= m dt 2dt

d 2 x dx+ λ

+ kx = 0

mdt 2 dt

2d x dx+ ω 2 x = 0

+ 2γ

0dt 2 dt

λ kω2γ

==0 mm

2d x dx+ ω 2 x = 0

+ 2γ

0dt 2 dt

Teoría ecuaciones diferenciales:

Deλtx(t) =

D, λ: ecuación diferencial y condiciones iniciales

λ2+ 2γλ + ω 2 =

00

γ − ω 2

2 ω 22λ = −γ

±= −γ ± i

– γ

= −γ ± iω

1,2 0 0

2λkω 2

2ω =

– γ=

−04m 2m

eλ1t eλ2t

x(t) = D

+ D

1 2

λ1,2 −γ ± iω

= x(t) = e−γt

(D

e iω t e −iω t

)+ D

1 2

D1, D2: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad

e iω t= cos ω t + isenω t

2 2ω =

ω 0 − γ

Tres tipos de comportamiento según :

1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS:

ω 0 f γ

2 2ω =

ω − γ f 00

La solución física debe ser siempre real:

Ae iαAe−iαD =D

=21

−γt

iωt

−iωt

−γt

−iα

iωt

iα −iωt

x(t) = e

+ D2e

) = e

+ Ae e(D1e ( Ae e )

Ae −γt

cos(ωt − α )

x(t) =

1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS:

Ae −γtcos(ωt − α )

x(t) =

−γtAeAMPLITUD:

ω 2

– γ 2

FRECUENCIA: ω =

0

1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS:

No tiene periodo en el sentido definido para las vibraciones libres:

ω2πf =T

= ω 2π

Magnitudes constantes, aunque no lo es la amplitud

2) SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS:

ω 0 = γ

ω = 0

El sistema no oscila:

x(t) = (B + Ct)e−γt

B,C: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad

- amortiguamiento crítico: menor amortiguamiento para no oscilación

- vuelta a la posición de equilibrio siguiendo curva exponencial

- no se puede redefinir periodo y frecuencia

2) SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS:

γξ =

ω0

Ejemplo en el que este amortiguamiento es interesante:

amortiguadores de los coches

3) SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS:

ω 0 p γ

2 2ω =

ω − γ

p 00

Medio altamente viscoso:

2λ kγ 2

− ω 2

=s = −0 4m2 m

x(t) = ( Ae− st

+

Best )e−γt

A, B: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad

- vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar

- no es posible redefinir periodo y frecuencia

Ejemplos de movimiento subamortiguado, sobreamortiguado y

críticamente amortiguado: