FISICA II VIBRACIONES MECANICAS

FISICA IIFISICA IIVIBRACIONES VIBRACIONES MECANICASMECANICASPRESENTADO PORPRESENTADO POR

OPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍAOPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍA

Docente de la Facultad de Ciencias Docente de la Facultad de Ciencias de la UNASAMde la UNASAM

2010

OBJETIVOSOBJETIVOSDespués de finalizada esta unidad el Después de finalizada esta unidad el alumno será capaz dealumno será capaz de

• Aplicar las leyes de Newton al estudio de las Aplicar las leyes de Newton al estudio de las vibraciones mecánicasvibraciones mecánicas

• Discriminar las diferentes Discriminar las diferentes vibraciones que aparecen en vibraciones que aparecen en mecánicamecánica

• Resolver ejemplos de Resolver ejemplos de vibraciones mecánicasvibraciones mecánicas

• Realizar prácticas de Realizar prácticas de laboratorio para estudiar las laboratorio para estudiar las vibraciones mecánicasvibraciones mecánicas

II.II. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN• Una vibración es la oscilación repetida de una Una vibración es la oscilación repetida de una

partícula o cuerpo rígido en torno a una posición de partícula o cuerpo rígido en torno a una posición de equilibrio.equilibrio.

• En muchos dispositivos es conveniente que haya En muchos dispositivos es conveniente que haya vibraciones y se generan deliberadamente por vibraciones y se generan deliberadamente por ejemplo el péndulo de un reloj, el vibrador usado ejemplo el péndulo de un reloj, el vibrador usado para el proceso de compactación.para el proceso de compactación.

• En tales problemas el ingeniero tiene por misión En tales problemas el ingeniero tiene por misión crear y regular dichas vibracionescrear y regular dichas vibraciones

II.II. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN• Sin embargo, en otros elementos las Sin embargo, en otros elementos las

vibraciones no son deseables por ejemplo en vibraciones no son deseables por ejemplo en las máquinas rotatorias y en las estructuras, las las máquinas rotatorias y en las estructuras, las vibraciones son nocivas.vibraciones son nocivas.

• Si no se equilibran pueden causar molestia y a Si no se equilibran pueden causar molestia y a veces dañar las estructuras.veces dañar las estructuras.

• Las vibraciones que producen en las Las vibraciones que producen en las estructuras a causa de los terremotos o de la estructuras a causa de los terremotos o de la circulación próxima de vehículos puede dañar a circulación próxima de vehículos puede dañar a aquella e incluso destruirla.aquella e incluso destruirla.

• Por ello el ingeniero debe tratar de eliminar las Por ello el ingeniero debe tratar de eliminar las vibraciones o al menos reducirlas por ello debe vibraciones o al menos reducirlas por ello debe realizar un proyecto adecuadorealizar un proyecto adecuado

II.II. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN• En las figuras se muestran algunos ejemplos de En las figuras se muestran algunos ejemplos de

vibraciones.vibraciones.

• La característica común de estos ejemplos es que La característica común de estos ejemplos es que sobre el cuerpo se ejercen fuerzas recuperadoras sobre el cuerpo se ejercen fuerzas recuperadoras que le hacen volver a su posición de equilibrioque le hacen volver a su posición de equilibrio

II.II. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN En muchos casos, la posición o movimiento puede En muchos casos, la posición o movimiento puede

quedar especificada completamente con una sola quedar especificada completamente con una sola coordenada por ejemplo X, y o coordenada por ejemplo X, y o . En este caso se . En este caso se dice que los cuerpos tienen un solo grado de dice que los cuerpos tienen un solo grado de libertad.libertad.

En otros casos el cuerpo puede vibrar En otros casos el cuerpo puede vibrar independientemente en dos direcciones o cuando se independientemente en dos direcciones o cuando se conectan dos cuerpos que vibran conectan dos cuerpos que vibran independientemente en una dirección.independientemente en una dirección.

En esta unidad solo estudiaremos sistemas con un En esta unidad solo estudiaremos sistemas con un grado de libertadgrado de libertad

II.II. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN En la figura podemos ver graficas del En la figura podemos ver graficas del

desplazamiento respecto a la posición de equilibrio desplazamiento respecto a la posición de equilibrio en función del tiempo.en función del tiempo.

Las oscilaciones que se repiten uniformen te se Las oscilaciones que se repiten uniformen te se llaman llaman periódicasperiódicas y las que o se repiten se llaman y las que o se repiten se llaman aleatorias o aperiódicas.aleatorias o aperiódicas.

II.II. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN Una característica importante de una oscilación Una característica importante de una oscilación

periódica es su periódica es su períodoperíodo ( () definido como el ) definido como el intervalo de tiempo que ha de transcurrir para intervalo de tiempo que ha de transcurrir para que se repita el movimiento.que se repita el movimiento.

Al movimiento que se completa durante un Al movimiento que se completa durante un período se llama período se llama ciclociclo . .

El período se expresa en segundos y a la El período se expresa en segundos y a la inversa se llama frecuencia inversa se llama frecuencia ff , definida como el , definida como el número de ciclos por segundo y se expresa en número de ciclos por segundo y se expresa en Hertz (Hz).Hertz (Hz).

En esta unidad estudiaremos las vibraciones de En esta unidad estudiaremos las vibraciones de un solo grado de libertad aplicando las leyes de un solo grado de libertad aplicando las leyes de NewtonNewton

III.III. VIBRACIONES LIBRES NO VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADASAMORTIGUADAS

Consideremos una partícula Consideremos una partícula de masa de masa sujeta a un sujeta a un resorte ideal de rigidez resorte ideal de rigidez k k tal tal como se muestra en la como se muestra en la figura.figura.

Si el movimiento descrito Si el movimiento descrito por por mm es vertical, la es vertical, la vibración es de un solo vibración es de un solo grado de libertad.grado de libertad.

Si se aplica las ecuaciones Si se aplica las ecuaciones de equilibrio al DCL, se de equilibrio al DCL, se tienetiene

0xF 0 (1)stmg k


Si ahora se desplaza a Si ahora se desplaza a mm un un desplazamiento desplazamiento xxmm menor menor que δque δstst desde la posición de desde la posición de equilibrio y se suelta sin equilibrio y se suelta sin velocidad inicial la partícula velocidad inicial la partícula se moverá hacia arriba y se moverá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la hacia abajo alrededor de la posición de equilibrio posición de equilibrio generando de esta forma una generando de esta forma una vibración libre.vibración libre.

Para determinar las Para determinar las ecuaciones que gobiernan a ecuaciones que gobiernan a la vibración consideremos a la vibración consideremos a la partícula en una posición la partícula en una posición arbitraria arbitraria xx medida a partir medida a partir de la posición de equilibrio de la posición de equilibrio como se muestracomo se muestra


Aplicando la segunda ley de Aplicando la segunda ley de Newton en dirección x Newton en dirección x resultaresulta

Al remplazar la ecuación (1) Al remplazar la ecuación (1) en (2), resultaen (2), resulta

Esta ecuación se conoce Esta ecuación se conoce como como movimiento armónico movimiento armónico simplesimple y se caracteriza por y se caracteriza por que la aceleración es que la aceleración es proporcional y de sentido proporcional y de sentido opuesto al desplazamientoopuesto al desplazamiento

(2)x x

st

F ma

mg k x mx

0 (3)mx kx


La ecuación (3) puede La ecuación (3) puede escribirse en la formaescribirse en la forma

En donde ωEn donde ωnn se denomina se denomina frecuencia natural circular o frecuencia natural circular o pulsación natural, y se pulsación natural, y se expresaexpresa

La solución de la ecuación La solución de la ecuación diferencial lineal de segundo diferencial lineal de segundo orden con coeficientes orden con coeficientes constantes dada por la constantes dada por la ecuación (4) es de la formaecuación (4) es de la forma

0 (4)nx x

n

k

m

cosn nx Asen t B t

III.III. VIBRACIONES LIBRES NO VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADASAMORTIGUADAS A veces es conveniente expresarla en la formaA veces es conveniente expresarla en la forma

La cantidad La cantidad xxmm se le denomina se le denomina amplitud de la amplitud de la vibración,vibración, el ángulo φ se denomina el ángulo φ se denomina ángulo de fase, ángulo de fase, t t es el tiempo.es el tiempo.

La frecuencia natural y el período están dados por La frecuencia natural y el período están dados por

m nx x sen t

22

n

m

k

1 1

2

kf

m

III.III. VIBRACIONES LIBRES NO VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADASAMORTIGUADAS La graficas velocidad y aceleración en función del La graficas velocidad y aceleración en función del

tiempo pueden ser expresadas en la formatiempo pueden ser expresadas en la forma

m nx x sen t

cos

sin 2

m n n

m n n

v x

x t

x x t

2

2

sin

sin

m n n

m n n

a x

x t

x x t

tx

tv

ta

T

mx

mx

2mx

2mx

x

v

a

t

t

t

mx

mxo

o

o T

T

)cos( txx m

0π2

T

)2

πcos( txm

)sin( txmv

)πcos(2 txm

)cos(2 txa m

Graficas x-t, v-t y a-t para un MASGraficas x-t, v-t y a-t para un MAS

IV.IV. ENERGIA EN MASENERGIA EN MAS

Cuando un resorte es Cuando un resorte es comprimido o estirado comprimido o estirado por un agente externo, por un agente externo, la energía es transferida la energía es transferida del agente al resorte.del agente al resorte.

La energía ganada por La energía ganada por el resorte se denomina el resorte se denomina energía potencial energía potencial elástica.elástica.

Esto implica que un Esto implica que un resorte comprimido o resorte comprimido o estirado puede realizar estirado puede realizar un trabajo sobre un un trabajo sobre un objetoobjeto


Para un resorte ideal de Para un resorte ideal de constante k que ha sido constante k que ha sido comprimido o estirado en comprimido o estirado en una cantidad una cantidad xx respecto respecto a su longitud sin a su longitud sin deformar la energía deformar la energía potencial se expresapotencial se expresa

La energía total esta La energía total esta dada por dada por

2,

1

2p eE kx

2 21 1

2 2

k PE E E

E mv kx

IV.IV. ENERGIA EN MASENERGIA EN MAS Cuando la energía Cuando la energía

mecánica se conserva la mecánica se conserva la energía potencial se energía potencial se transforma en energía transforma en energía cinética y viceversacinética y viceversa

Así por ejemplo cuando la Así por ejemplo cuando la energía cinética es energía cinética es máxima, la energía máxima, la energía potencial es mínima potencial es mínima (cero) y cuando la energía (cero) y cuando la energía potencial es máxima, la potencial es máxima, la energía cinética es energía cinética es mínimamínima


• La energía en cualquier posición seráLa energía en cualquier posición será

IV.IV. ENERGIA EN MASENERGIA EN MAS• En general un objeto unido a un resorte puede En general un objeto unido a un resorte puede

tener un movimiento de traslación y rotación, por tener un movimiento de traslación y rotación, por tanto habrá una energía potencial elástica y tanto habrá una energía potencial elástica y gravitacional más una energía cinética, entonces la gravitacional más una energía cinética, entonces la energía mecánica se escribeenergía mecánica se escribe

EE = = ½ ½ m vm v22 + + ½ ½ I I ω2 2 + + m g hm g h + + ½ ½ k xk x2 2

Si el trabajo neto hecho Si el trabajo neto hecho por las fuerzas no por las fuerzas no conservativas es nulo, conservativas es nulo, entonces se conserva la entonces se conserva la energía mecánicaenergía mecánica

V.V. PENDULO SIMPLEPENDULO SIMPLE• Un péndulo simple se define como una partícula de Un péndulo simple se define como una partícula de

masa masa mm suspendida de un punto fijo por medio de suspendida de un punto fijo por medio de una cuerda de longitud una cuerda de longitud ll y de masa despreciable y de masa despreciable como se muestra en la figura. Si la partícula se como se muestra en la figura. Si la partícula se desplaza un ángulo θdesplaza un ángulo θ00 de su posición de equilibrio de su posición de equilibrio y luego se suelta, el péndulo oscilará y luego se suelta, el péndulo oscilará simétricamente respecto a su posición de equilibrio.simétricamente respecto a su posición de equilibrio.

V.V. PENDULO SIMPLEPENDULO SIMPLE• En la figura se muestra En la figura se muestra

el DCL y cinético de la el DCL y cinético de la masa pendularmasa pendular

• Aplicando las Aplicando las ecuaciones de ecuaciones de movimiento se tienemovimiento se tiene

• Para ángulos pequeñosPara ángulos pequeños

sin

sin 0

t tF ma

W ml

g

l

0

sin

22

m n

nn

g

lt

l

g

V. PENDULO SIMPLE (SOLUCIÓN V. PENDULO SIMPLE (SOLUCIÓN EXACTAEXACTA

sin 0g

l

2

2 20

41 sin 2 sin

n

m

l d

g

22n

K l

g

VI. PENDULO FÍSICOVI. PENDULO FÍSICO• Un péndulo compuesto es un cuerpo de Un péndulo compuesto es un cuerpo de

dimensiones finitas que oscila alrededor de un eje dimensiones finitas que oscila alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por un punto del cuerpo horizontal fijo que pasa por un punto del cuerpo debido a la acción de la fuerza gravitacional (peso). debido a la acción de la fuerza gravitacional (peso). El cuerpo rígido oscilará en un plano vertical cuando El cuerpo rígido oscilará en un plano vertical cuando se le separe de su posición de equilibrio un ángulo se le separe de su posición de equilibrio un ángulo θθ00 y se suelte. y se suelte.

VI. PENDULO FÍSICOVI. PENDULO FÍSICO• Para deducir las ecuaciones que gobiernan al Para deducir las ecuaciones que gobiernan al

péndulo físico consideremos un cuerpo rígido en péndulo físico consideremos un cuerpo rígido en forma de barra de sección rectangular AB de masa forma de barra de sección rectangular AB de masa mm, suspendida de un eje transversal que pasa por , suspendida de un eje transversal que pasa por el punto S, tal como se muestra en la figurael punto S, tal como se muestra en la figura

VI. PENDULO FÍSICOVI. PENDULO FÍSICO• Aplicando las ecuaciones de Aplicando las ecuaciones de

movimiento de rotaciónmovimiento de rotación

• Donde Donde IIOO es el momento de inercia es el momento de inercia del cuerpo con respecto al punto O del cuerpo con respecto al punto O y y es la aceleración angular, el es la aceleración angular, el signo menos se debe a que el peso signo menos se debe a que el peso produce un momento de restitución. produce un momento de restitución.

• Esta ecuación diferencial es Esta ecuación diferencial es no no lineallineal, por lo que no corresponde a , por lo que no corresponde a una ecuación diferencial de un una ecuación diferencial de un movimiento armónico.movimiento armónico.

S S

S

M I

mghsen I

0S

mghsen

I

VI. PENDULO FÍSICOVI. PENDULO FÍSICO• Para desplazamientos angulares θ Para desplazamientos angulares θ

pequeños, la función pequeños, la función trigonométrica trigonométrica sen sen , donde θ , donde θ se expresa en radianes. Por tanto se expresa en radianes. Por tanto la ecuación diferencial se escribela ecuación diferencial se escribe

• Esta ecuación es la ecuación Esta ecuación es la ecuación diferencial de un diferencial de un movimiento movimiento armónico simplearmónico simple, movimiento en el , movimiento en el cual la aceleración angular es cual la aceleración angular es directamente proporcional al directamente proporcional al desplazamiento angular y de desplazamiento angular y de dirección opuesta. La solución de dirección opuesta. La solución de dicha ecuación diferencial es de la dicha ecuación diferencial es de la forma forma

0S

mgh

I

max nt sen t

VI. PENDULO FÍSICOVI. PENDULO FÍSICO• Donde las constante Donde las constante θθmaxmax yy φ φ se se

determinan de las condiciones determinan de las condiciones iniciales y iniciales y nn es la frecuencia es la frecuencia natural circular expresada pornatural circular expresada por

• El período del MAS seráEl período del MAS será

• A veces es conveniente expresar A veces es conveniente expresar IISS en términos del momento de en términos del momento de inercia del cuerpo con respecto a inercia del cuerpo con respecto a un eje que pase por su centro de un eje que pase por su centro de gravedad gravedad IIGG, para ello se usa el , para ello se usa el teorema de los ejes paralelos, esto teorema de los ejes paralelos, esto eses

2n

S

mgh

T I

2 SIT

mgh

2S GI I mh

VI. PENDULO FÍSICOVI. PENDULO FÍSICO• Donde Donde hh es la distancia entre los es la distancia entre los

dos ejes. Por otro lado, el dos ejes. Por otro lado, el momento de inercia también momento de inercia también puede expresarse en función del puede expresarse en función del radio de giro Kradio de giro KGG, en la forma, en la forma

• Entonces el momento de inercia se Entonces el momento de inercia se escribeescribe

• Es decir el período del péndulo Es decir el período del péndulo puede expresarse en la forma puede expresarse en la forma

2G GI mK

2 2 2 2S G GI mK mh m K h

2 2

2 GK hT

gh

VI. PENDULO FÍSICOVI. PENDULO FÍSICO• La ecuación del período expresa el período del péndulo La ecuación del período expresa el período del péndulo

físico en términos de la geometría del cuerpo. Es decir, físico en términos de la geometría del cuerpo. Es decir, el período es independiente de la masa, dependiendo el período es independiente de la masa, dependiendo sólo de la distribución de masa Ksólo de la distribución de masa KGG. Por otro lado, . Por otro lado, debido a que el radio de giro de cualquier cuerpo es debido a que el radio de giro de cualquier cuerpo es constante, el período del péndulo en función sólo de constante, el período del péndulo en función sólo de hh. . La comparación de entre los períodos de un péndulo La comparación de entre los períodos de un péndulo compuesto y un simple nos dacompuesto y un simple nos da

• Algunas veces es conveniente especificar la Algunas veces es conveniente especificar la localización del eje de suspensión localización del eje de suspensión SS en términos de la en términos de la distancia distancia dd medida desde uno de los extremos de la medida desde uno de los extremos de la barra, en lugar de su distancia barra, en lugar de su distancia hh medida desde el medida desde el centro de masa. centro de masa.

2 2 2G GK h K

L hh h

VI. PENDULO FÍSICOVI. PENDULO FÍSICO• Si las distancia Si las distancia dd11, d, d22 y y D D son medidas desde el son medidas desde el

extremo superior, la distancia extremo superior, la distancia hh11 debe ser debe ser considerada negativa ya que considerada negativa ya que hh es medida desde el es medida desde el centro de gravedad. De esta forma, si centro de gravedad. De esta forma, si DD es la es la distancia fija desde el extremos superior distancia fija desde el extremos superior A A de la de la barra al centro de gravedad barra al centro de gravedad GG, ,

• El período se escribe en la formaEl período se escribe en la forma

1 1 1 2 en general, d D h d D h d d h

22

2 GK d DT

g d D

VI. PENDULO FÍSICOVI. PENDULO FÍSICO• Cuando el período Cuando el período TT es trazado como función de es trazado como función de dd, ,

son obtenidas un par de curvas idénticas SPQ y son obtenidas un par de curvas idénticas SPQ y S’P’Q’ como se muestra en la figura. El análisis de S’P’Q’ como se muestra en la figura. El análisis de estas curvas revela varias propiedades interesantes estas curvas revela varias propiedades interesantes y observables del péndulo físico. y observables del péndulo físico.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Un bloque de 50 kg se mueve entre guías Un bloque de 50 kg se mueve entre guías

verticales como se muestra. Se separa 40 verticales como se muestra. Se separa 40 mm hacia debajo de su posición de mm hacia debajo de su posición de equilibrio y se abandona desde el reposo. equilibrio y se abandona desde el reposo. Determine el período de vibración, la Determine el período de vibración, la velocidad y aceleración máxima del bloque velocidad y aceleración máxima del bloque en cada uno de los esquemas en cada uno de los esquemas representadosrepresentados

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNUna masa de Una masa de 2 kg2 kg está está suspendida en un plano vertical suspendida en un plano vertical por tres resortes, según se por tres resortes, según se muestra en la figura. Si el muestra en la figura. Si el bloque se desplaza bloque se desplaza 5 mm5 mm hacia hacia abajo a partir de su posición de abajo a partir de su posición de equilibrio y se suelta con una equilibrio y se suelta con una velocidad hacia arriba de velocidad hacia arriba de 0,25 0,25 m/sm/s cuando cuando t = 0t = 0. Determinar: . Determinar: (a) La ecuación diferencial que (a) La ecuación diferencial que rige al movimiento, (b) El rige al movimiento, (b) El periodo y la frecuencia de la periodo y la frecuencia de la vibración, (c) La posición de la vibración, (c) La posición de la masa en función del tiempo y masa en función del tiempo y (d) El menor tiempo (d) El menor tiempo tt11 > 0 > 0 del del paso de la masa por su posición paso de la masa por su posición de equilibriode equilibrio

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Una charola A está unida a tres resortes Una charola A está unida a tres resortes

como se muestra en la figura. El período de como se muestra en la figura. El período de vibración de la charola vacía es de 0,75 s. vibración de la charola vacía es de 0,75 s. Después de que el resorte central C se ha Después de que el resorte central C se ha suprimido se observa que el período es de suprimido se observa que el período es de 0,9 s. Si se sabe que la constante del 0,9 s. Si se sabe que la constante del resorte central es 100 N/m. Determine la resorte central es 100 N/m. Determine la masa masa mm de la charla de la charla..

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNLas dos masas de la figura se deslizan por sendas Las dos masas de la figura se deslizan por sendas superficies horizontales exentas de fricción. La superficies horizontales exentas de fricción. La barra barra ABCABC está en posición vertical en el equilibrio y está en posición vertical en el equilibrio y su masa es despreciable. Si los resortes están su masa es despreciable. Si los resortes están sometidos a tracción en todo momento, escribir la sometidos a tracción en todo momento, escribir la ecuación diferencial del movimiento para la ecuación diferencial del movimiento para la posición posición X(t)X(t) de la masa de de la masa de 10 kg10 kg y determinar la y determinar la frecuencia y el período de la vibración resultante. frecuencia y el período de la vibración resultante. (Supóngase oscilaciones de pequeñas amplitudes).(Supóngase oscilaciones de pequeñas amplitudes).

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNUna barra uniforme AB de Una barra uniforme AB de 0,75 kg0,75 kg de masa está de masa está articulada en A y unida a dos resortes, ambos de articulada en A y unida a dos resortes, ambos de constante elásticas constante elásticas k = 300 Nk = 300 N/m/m. Halle: (a) la masa . Halle: (a) la masa mm del bloque C para que el período de las pequeñas del bloque C para que el período de las pequeñas oscilaciones sea oscilaciones sea T = 0,4 sT = 0,4 s, (b) Si el extremo se , (b) Si el extremo se desplaza desplaza 40 mm40 mm y se suelta desde el reposo, halle la y se suelta desde el reposo, halle la velocidad máxima del bloque C.velocidad máxima del bloque C.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN Un bloque de Un bloque de 25 kg25 kg está soportado por un cable, está soportado por un cable,

que se enrolla sobre un disco circular de que se enrolla sobre un disco circular de 35 kg35 kg y y 0,5 m0,5 m de radio y está sujeto a un resorte como se de radio y está sujeto a un resorte como se muestra en la figura. Se tira el bloque hacia abajo muestra en la figura. Se tira el bloque hacia abajo 0,2 m0,2 m desde su posición de equilibrio y se suelta. desde su posición de equilibrio y se suelta. Determine: (a) la ecuación diferencial para el Determine: (a) la ecuación diferencial para el movimiento del bloque, (b) el período natural de la movimiento del bloque, (b) el período natural de la vibración y (c) la velocidad máxima del bloque. vibración y (c) la velocidad máxima del bloque.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNUn cilindro escalonado de Un cilindro escalonado de 3 kg3 kg se mantiene sobre se mantiene sobre un plano inclinado mediante un resorte cuya un plano inclinado mediante un resorte cuya constante es constante es k = 400 N/mk = 400 N/m. El radio de giro del . El radio de giro del cilindro con respecto a su centro de masa es cilindro con respecto a su centro de masa es KKGG = = 125 mm125 mm; los radios son ; los radios son rr11= 100 mm= 100 mm y y rr22 = 200 = 200 mmmm. Determine: . Determine: (a)(a) La ecuación diferencial del La ecuación diferencial del movimiento del carrete, movimiento del carrete, (b)(b) El período y la El período y la frecuencia para pequeñas oscilaciones.frecuencia para pequeñas oscilaciones.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNLos dos bloques mostrados en la figura se deslizan Los dos bloques mostrados en la figura se deslizan por sendas superficies horizontales sin fricción. Las por sendas superficies horizontales sin fricción. Las barras de conexión tienen peso despreciable y en barras de conexión tienen peso despreciable y en la posición de equilibrio, ABC está vertical. la posición de equilibrio, ABC está vertical. Supóngase oscilaciones de pequeña amplitud y Supóngase oscilaciones de pequeña amplitud y determine. (determine. (a)a) la ecuación diferencial del la ecuación diferencial del movimiento del bloque de movimiento del bloque de 75 N75 N y y (b)(b) la pulsación la pulsación propia de la oscilación.propia de la oscilación.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNUn bloque que pesa Un bloque que pesa 100N100N se desliza por una superficie se desliza por una superficie horizontal sin fricción como se muestra. Los dos resortes horizontal sin fricción como se muestra. Los dos resortes están sometidos a tracción en todo momento y las están sometidos a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y sin rozamiento. Si se desplaza el poleas son pequeñas y sin rozamiento. Si se desplaza el bloque bloque 75 mm75 mm hacia la izquierda de su posición de hacia la izquierda de su posición de equilibrio y se suelta con velocidad de equilibrio y se suelta con velocidad de 1,25 m/s1,25 m/s hacia la hacia la derecha cuando derecha cuando t = 0, t = 0, determine: (a) La ecuación determine: (a) La ecuación diferencial que rige el movimiento; (b) El período y la diferencial que rige el movimiento; (b) El período y la amplitud de la vibración, (c) La posición del bloque en amplitud de la vibración, (c) La posición del bloque en función del tiempofunción del tiempo

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Una esfera A de 400 g y una Una esfera A de 400 g y una

esfera C de 280 g están esfera C de 280 g están unidas a los extremos de una unidas a los extremos de una varilla rígida de masa varilla rígida de masa despreciable que puede girar despreciable que puede girar en un plano vertical en un plano vertical alrededor de un eje que pasa alrededor de un eje que pasa por B. Hallar el período de las por B. Hallar el período de las pequeñas oscilaciones de la pequeñas oscilaciones de la varilla. varilla.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede

rodar sin deslizar por un plano inclinado rodar sin deslizar por un plano inclinado 15º. A su perímetro está sujeta una 15º. A su perímetro está sujeta una correa y un muelle lo mantiene en correa y un muelle lo mantiene en equilibrio como se muestra. Si el cilindro equilibrio como se muestra. Si el cilindro se desplaza hacia abajo 50 mm y se se desplaza hacia abajo 50 mm y se suelta. Determinar: (a) El período de la suelta. Determinar: (a) El período de la vibración, (b) La aceleración máxima del vibración, (b) La aceleración máxima del centro del cilindro centro del cilindro

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNUn peso de Un peso de 6 kg 6 kg pende de pende de un cilindro de un cilindro de 4 kg4 kg como como se muestra en la figura, se muestra en la figura, mediante un pasador sin mediante un pasador sin fricción que pasa por su fricción que pasa por su centro. Escriba la ecuación centro. Escriba la ecuación diferencial del movimiento diferencial del movimiento para la posición para la posición YYGG(t)(t) del del centro de masa del cilindro centro de masa del cilindro y determine el período y la y determine el período y la frecuencia del movimiento frecuencia del movimiento vibratorio resultantevibratorio resultante

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Una barra uniforme esbelta Una barra uniforme esbelta

de 3 kg está atornillada a de 3 kg está atornillada a un disco uniforme de 5 kg. un disco uniforme de 5 kg. Al disco está sujeto un Al disco está sujeto un muelle de constante 280 muelle de constante 280 N/m que está sin deformar N/m que está sin deformar en la posición en la posición representada. Si el extremo representada. Si el extremo B de la varilla recibe un B de la varilla recibe un pequeño desplazamiento a pequeño desplazamiento a la izquierda y se suelta, la izquierda y se suelta, halle el período de la halle el período de la vibración del sistema.vibración del sistema.

•

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Un cilindro uniforme de Un cilindro uniforme de 4 kg4 kg

pende en un plano vertical pende en un plano vertical en el seno de un hilo ligero, en el seno de un hilo ligero, como se muestra en la como se muestra en la figura. Si el cilindro de figura. Si el cilindro de 250 250 mmmm de radio no se desliza de radio no se desliza por el hilo, escribir la por el hilo, escribir la ecuación diferencial del ecuación diferencial del movimiento para la posición movimiento para la posición YYGG(t) (t) del centro de masadel centro de masa del del cilindro y determinar el cilindro y determinar el período y la frecuencia de la período y la frecuencia de la vibración resultante.vibración resultante.

•

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• La barra uniforme La barra uniforme ABAB de de 8 8

kgkg está articulada en C y está articulada en C y sujeta en A a un resorte sujeta en A a un resorte de constante de constante K = 500N/mK = 500N/m. . Si el extremo A recibe un Si el extremo A recibe un pequeño desplazamiento pequeño desplazamiento y se suelta, hallar: (a) La y se suelta, hallar: (a) La frecuencia de las frecuencia de las pequeñas oscilaciones, (b) pequeñas oscilaciones, (b) El mínimo valor de la El mínimo valor de la constante K del resorte constante K del resorte para el que habrá para el que habrá oscilaciones.oscilaciones.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Dos barras uniformes cada Dos barras uniformes cada

una de masa una de masa m =12 kgm =12 kg y y longitud longitud L = 800 mmL = 800 mm, , están soldadas formando están soldadas formando el conjunto que se el conjunto que se muestra. Sabiendo que la muestra. Sabiendo que la constante de cada resorte constante de cada resorte K = 500N/mK = 500N/m y que el y que el extremo A recibe un extremo A recibe un pequeño desplazamiento y pequeño desplazamiento y luego se suelta, determine luego se suelta, determine la frecuencia del la frecuencia del movimiento subsiguiente.movimiento subsiguiente.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

• Determine la pulsación natural ωDetermine la pulsación natural ωnn del del sistema mostrado en la figura. Se sistema mostrado en la figura. Se desprecian la masa de las poleas y el desprecian la masa de las poleas y el rozamiento en ellas.rozamiento en ellas.

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• Si los dos resortes están sin deformar Si los dos resortes están sin deformar cuando la masa se halla en la posición cuando la masa se halla en la posición central representada, determine el central representada, determine el desplazamiento estático de la misma, ¿Cuál desplazamiento estático de la misma, ¿Cuál es el período de las oscilaciones en torno a es el período de las oscilaciones en torno a la posición de equilibrio?.la posición de equilibrio?.

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• Una barra uniforme AB de 8 kg está articulada en A Una barra uniforme AB de 8 kg está articulada en A a un soporte fijo mediante los pasadores B y C a un a un soporte fijo mediante los pasadores B y C a un disco de 12 kg y 400 mm de radio. El muelle sujeto disco de 12 kg y 400 mm de radio. El muelle sujeto en D mantiene el equilibrio de la barra el a posición en D mantiene el equilibrio de la barra el a posición representada. Si el punto B se mueve 25 mm hacia representada. Si el punto B se mueve 25 mm hacia abajo y se suelta, halle: (a) el período de la abajo y se suelta, halle: (a) el período de la vibración, (b) la velocidad máxima del punto B.vibración, (b) la velocidad máxima del punto B.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN Hallar el período T del sistema si la pieza Hallar el período T del sistema si la pieza articulada AB de masa marticulada AB de masa m22 está horizontal en está horizontal en la Posición de equilibrio estático la Posición de equilibrio estático representada. El radio de giro de AB con representada. El radio de giro de AB con respecto a O es Krespecto a O es K00 y su centro de gravedad y su centro de gravedad está ubicado en el punto G. Suponga está ubicado en el punto G. Suponga pequeñas oscilaciones.pequeñas oscilaciones.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNUna varilla delgada uniforme tiene una Una varilla delgada uniforme tiene una masa de 3 kg. Halle la posición masa de 3 kg. Halle la posición x x en que en que debe encontrarse el cursor de 1 kg de masa debe encontrarse el cursor de 1 kg de masa para que el período del sistema sea 0,9 para que el período del sistema sea 0,9 segundos. Suponer pequeñas oscilaciones segundos. Suponer pequeñas oscilaciones en torno a la posición horizontal de en torno a la posición horizontal de equilibrio representada.equilibrio representada.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNUna barra uniforme ABC de 2 kg está sujeta por un Una barra uniforme ABC de 2 kg está sujeta por un pasador en B y sujeta en C a un muelle. En A está pasador en B y sujeta en C a un muelle. En A está conectada a un bloque DE de 2 kg, que puede rodar conectada a un bloque DE de 2 kg, que puede rodar sin deslizar, unido a un muelle. Sabiendo que sin deslizar, unido a un muelle. Sabiendo que ambos muelles pueden trabajar a tracción o a ambos muelles pueden trabajar a tracción o a compresión, determine la frecuencia de las compresión, determine la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del sistema cuando la barra pequeñas oscilaciones del sistema cuando la barra se gira levemente y s suelta.se gira levemente y s suelta.

VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Una masa de 4 kg está Una masa de 4 kg está

suspendida en un plano vertical suspendida en un plano vertical según se muestra. Los dos según se muestra. Los dos resortes están sometidos s y resortes están sometidos s y tracción en todo momento y las tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y sin poleas son pequeñas y sin fricción. Si se lleva a la masa a fricción. Si se lleva a la masa a 15 mm por encima de su 15 mm por encima de su posición de equilibrio y se suelta posición de equilibrio y se suelta con una velocidad de 750mm/s con una velocidad de 750mm/s hacia abajo cuando t = 0. Halla: hacia abajo cuando t = 0. Halla: (a) La ecuación que rige al (a) La ecuación que rige al movimiento, (b) el periodo y la movimiento, (b) el periodo y la amplitud de la vibración amplitud de la vibración resultante, (c) la posición de la resultante, (c) la posición de la masa en función del tiempo.masa en función del tiempo.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Un cilindro de masa Un cilindro de masa mm y radio y radio RR está está

conectado con muelles idénticos de conectado con muelles idénticos de constante constante kk y gira sin rozamiento y gira sin rozamiento alrededor del punto O. Para pequeñas alrededor del punto O. Para pequeñas oscilaciones, ¿cuál será la frecuencia oscilaciones, ¿cuál será la frecuencia natural?. El cordón que soporta a Wnatural?. El cordón que soporta a W11 está está enrollado alrededor del cilindro.enrollado alrededor del cilindro.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Hallar la frecuencia Hallar la frecuencia

natural natural ffnn de las de las oscilaciones verticales oscilaciones verticales del cilindro de masa del cilindro de masa mm. . despreciar la masa del despreciar la masa del cilindro escalonado y el cilindro escalonado y el rozamiento del mismo.rozamiento del mismo.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• Una barra de 1 m de Una barra de 1 m de

longitud y 120 N de peso longitud y 120 N de peso se mantiene en posición se mantiene en posición vertical mediante dos vertical mediante dos muelles idénticos cada uno muelles idénticos cada uno de los cuales tiene una de los cuales tiene una constante k igual a 50 000 constante k igual a 50 000 N/m. ¿Qué fuerza vertical P N/m. ¿Qué fuerza vertical P hará que la frecuencia hará que la frecuencia natural de la barra natural de la barra alrededor de A se aproxime alrededor de A se aproxime a un valor nulo para a un valor nulo para pequeñas oscilaciones.pequeñas oscilaciones.

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VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNVII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN• El hilo ligero atado al El hilo ligero atado al

bloque de 50 N de la bloque de 50 N de la figura está arrollado a un figura está arrollado a un cilindro uniforme de 35 cilindro uniforme de 35 N. Si el hilo no se desliza N. Si el hilo no se desliza por el cilindro, escribir la por el cilindro, escribir la e. D del movimiento para e. D del movimiento para la posición y(t) del la posición y(t) del bloque de 50 N y bloque de 50 N y determine el período y la determine el período y la frecuencia de la frecuencia de la vibración resultante.vibración resultante.

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VII. EJEMPLOS DE VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓNAPLICACIÓN

• Una partícula de masa m, esta soportada tal Una partícula de masa m, esta soportada tal como se muestra, a dos alambres como se muestra, a dos alambres fuertemente tensos. Determine la pulsación fuertemente tensos. Determine la pulsación natural natural n de las pequeñas oscilaciones n de las pequeñas oscilaciones verticales del sistema bajo la hipótesis de verticales del sistema bajo la hipótesis de que la tracción T en ambos alambres se que la tracción T en ambos alambres se mantiene constante. ¿Es necesario calcular mantiene constante. ¿Es necesario calcular el pequeño desplazamiento estático de la el pequeño desplazamiento estático de la partícula?partícula?


• La boya cilíndrica flota La boya cilíndrica flota en agua salada en agua salada (densidad, 1030 kg/m3) (densidad, 1030 kg/m3) y tiene una masa de 800 y tiene una masa de 800 kg con un centro de kg con un centro de masa bajo para que se masa bajo para que se mantenga estable en la mantenga estable en la posición vertical. Hallar posición vertical. Hallar la frecuencia fla frecuencia fnn de sus de sus oscilaciones verticales. oscilaciones verticales. Suponga que la Suponga que la superficie del agua superficie del agua permanece tranquila en permanece tranquila en sus proximidades.sus proximidades.


• Con la ausencia de deslizamiento, hallar la Con la ausencia de deslizamiento, hallar la masa m del bloque a colocar encima del carrito masa m del bloque a colocar encima del carrito de 6 kg para que el período del sistema sea de 6 kg para que el período del sistema sea 0,75 s. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento 0,75 s. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático mínimo estático mínimo s del sistema para el cual el s del sistema para el cual el bloque no resbala sobre el carrito cuando éste bloque no resbala sobre el carrito cuando éste se aparta 50 mm de su posición de equilibrio y se aparta 50 mm de su posición de equilibrio y luego se suelta?.luego se suelta?.

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FISICA II VIBRACIONES MECANICAS

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