Termodinamica

Seminarios

Termometros

J. GuemezDepartamento de Fısica Aplicada,

Universidad de Cantabria.

Febrero 21, 2007

Resumen

Las diferentes propiedades termometricas –magnitudes que varıancon la temperatura, tales como longitud, resistencia, etc.– no per-miten construir termometros que indiquen temperaturas con sen-tido fısico. Para imaginar un termometro cuyas temperaturas ten-gan sentido fısico se necesita utilizar el Teorema de Carnot. Untermometro de gas a volumen constante emplea este teorema y escapaz de medir temperaturas termodinamicas, es decir, dotadasde sentido fısico.

Introduccion

Diariamente se realizan mediciones de todo genero. En principio, todamedicion de una magnitud fısica se reduce a la determinacion experi-mental de la relacion entre la magnitud dada y otra semejante, admitidacomo unidad. Por ejemplo, una unidad fundamental de la mayorıa delos sistemas de unidades –y especialmente, del Sistema Internacional deUnidades–, es la longitud. Para la longitud, o extension espacial de unobjeto fısico unidimensional, su unidad de medida es el metro, que sedefine

El metro es la longitud del trayecto recorrido en el vacıo porla luz durante 1/299 729 458 s ,

y que se nota con el sımbolo m. Al final, para medir una longitudse compara su extension con la de una regla previamente calibrada –antes con el metro patron depositado en Sevres y ahora con un metroconstruido utilizando la definicion anterior–.

1

Una magnitud fundamental – y que, por tanto, no puede obtenersea partir de otras magnitudes fundamentales tales como la longitud, laintensidad de corriente, etc.– en cualquier sistema de unidades es latemperatura. La unidad de temperatura es el kelvin, que se define:

El kelvin, unidad de temperatura termodinamica, es la fraccion1/273, 16 de la temperatura termodinamica del punto tripledel agua. 13a Conferencia General sobre Pesos y Medidas,1967.

Las magnitudes de dicha variable se notan como K.

Aparentemente, el problema practico de medir temperaturas estaresuelto, pues todo el mundo sabe que la temperatura se mide con untermometro. Pero, ¿que es lo que mide un termometro? Lo que se vaa ver aquı es que, en general, las medidas de diferentes termometroscalibrados en una misma escala de temperaturas, como por ejemplo laescala Celsius, NO proporcionan una medida coherente –es decir, unamagnitud con significado fısico– de la temperatura de un cuerpo.

Intentos previos de medir la temperatura

(a) (b) (c) (d)

Figura 1: (a) Termoscopio de Galileo, (b) Termometro de Cornelius Drebbel;(c) Termometro diferencial de Leslie; (d) Termometro diferencial de Rumford

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GALILEO GALILEI (Pisa, 1564-Florencia, 1642)Fısico y astronomo italiano cuyos trabajos fundaronel metodo cientıfico para deducir leyes que expliquenlos resultados de las observaciones y los experimen-tos. En Fısica, entre otras, descubrio las leyes delpendulo, invento el termoscopio y formulo las leyesque describen la caıda de los cuerpos.

Uno de los primeros instrumentos empleados para medir el ‘gradode calor’ (un concepto vago, previo al concepto de temperatura) –ensu caso, de una persona– fue el termoscopio de Galileo. Un bulbo devidrio dotado de un tubo fino y largo se mantenıa entre las manos de lapersona a la que se le querıa medir el grado de calor. El termoscopio asıcalentado se introducıa en un recipiente con agua y se dejaba enfrıar.Cuanto mas subıa el agua a lo largo del tubo, mayor habıa sido el gradode calor de la persona.

Supongase que se dispone de un bulbo de vidrio de 250 cc de volu-men, terminado en un largo tubo capilar. La temperatura ambiente setoma igual a 288 K (15 ◦C) y la presion atmosferica se toma igual a1.0134×105 Pa (1 atm). Si una persona cuya temperatura corporal esde 36 ◦C calienta el bulbo y el aire en su interior hasta esa temperatura,el numero final de moles de aire dentro del recipiente es de 9,858×10−3

moles. Si una persona cuya temperatura corporal es de 40 ◦C calientael bulbo y el aire en su interior hasta esa temperatura, el numero finalde moles de aire dentro del recipiente es de 9,732×10−3 moles.

Si ahora el capilar de estos bulbos ası calentados se introducen enagua, de tal manera que el numero de moles no varıe, y se espera aque vuelvan a la temperatura ambiente, la presion en el primero de ellosserıa de 0,944×105 Pa y la presion en el segundo serıa de 0,932×105

Pa. Esta diferencias entre la presion en el interior del bulbo y la presionatmosferica dan lugar a que el agua se eleve por el capilar unas alturasrespectivas de 0,70 m y de 0,82 m, respectivamente. Por tanto, se tienen12 cm de columna de lıquido para discriminar entre una temperaturanormal y distintos grados de fiebre.

Uno de los primeros instrumentos disenados para medir la tempe-ratura –ya como un concepto diferente del de calor– fue el termometrode Hooke. En este termometro se llena de lıquido un cilindro y se leconecta un pequeno tubo, ambos de dimensiones bien conocidas. Cada

3

grado de temperatura se define como aquel que da lugar a un aumentofijo del volumen del lıquido.

H G

B A

D

H’ G’

H’’ G’’

0 ºH

-1 ºH

+1 ºH

d0

h0

d

h

h

Figura 2: Recipiente empleado por Hooke para construir un termometro, tal ycomo aparece en su libro Micrographia.

El cilindro pequeno tiene un diametro d ≡ HG igual a 1/10 deldiametro del cilindro grande d0 ≡ AB, y esta marcado a intervalos reg-ulares h ≡ HH′,HH′′ iguales a 1/10 de la altura h0 ≡ AD del cilin-dro grande. El lıquido utilizado era alcohol etılico –‘espıritu del vino’rectificado–. The esta manera, la dilatacion h –un grado Hooke– dellıquido en el tubo capilar representa un incremento de volumen :

∆V = π

(d

2

)2

h = π

(d0

2×10

)2 h0

10=

π (d0/2)2 h0

1000=

V0

1000,

i. e., una milesima del volumen del cilindro grande, V0.Teniendo en cuenta que el coeficiente de dilatacion cubica del alcohol

etılico es α = 1.10×10−3 ◦C−1, con

∆V

V0= α∆t ,

with ∆V = V0/1000 correspondiente a 1 ◦H, se tiene que

∆t =10−3

1.10×10−3= 0, 91 ◦C .

4

(a) (b) (c)

Figura 3: (a) Construccion de un termometro de dos puntos fijos. Calibracion(b) del punto de fusion del hielo y (c) del punto de ebullicion normal del agua.

Con posterioridad a Hooke se propusieron diferentes escalas de tem-peraturas que empleaban dos puntos fijos. La mas utilizada ha sido lade Clausius, que asigna 0 ◦C a la temperatura de fusion del hielo y 100◦C a la temperatura de ebullicion del agua bajo presion de 760 mmHg(1.013×105 Pa).

ANDERS CELSIUS (Uppsala, 1701-Uppsala, 1744)Astronomo, matematico y fısico sueco. En 1742 Cel-sius publico un informe muy detallado sobre una es-cala de temperaturas basada en dos puntos fijos, em-pleando el punto de fusion del hielo y el punto deebullicion del agua. El rigor con que determino lainfluencia de la presion sobre estos puntos fijos fueexcepcional y sus resultados experimentales sobre lavariacion del punto de ebullicion del agua con lapresion se obtuvieron con gran exactitud.

Escalas empıricas de temperatura

Considerense dos dispositivos que consisten en sendos matraces erlen-meyers cerrados por un tapon agujereado en el que se inserta un estrechotubo de vidrio hueco. El primero contiene 124.50 cm3 (100 g) de etanoly el segundo contiene 124.10 cm3 (100 g) de metanol. La seccion de lostubos es de 0,396 cm2. Estos recipientes se van a calibrar en la escala

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VE/cm3 VM/cm3 zE/◦C zM/◦C t/◦C124,50 124,10 0,0 0,0 0,0124,84 124,33 0,9 0,6 5,0125,28 124,70 2,0 1,5 10,0125,80 125,18 3,3 2,7 15,0126,39 125,77 4,8 4,2 20,0127,04 126,43 6,4 5,9 25,0127,73 127,17 8,2 7,7 30,0128,48 127,96 10,0 9,8 35,0129,26 128,81 12,0 11,9 40,0130,06 129,69 14,1 14,1 45,0130,90 130,60 16,2 16,4 50,0131,75 131,54 18,3 18,8 55,0132,63 132,49 20,5 21,2 60,0133,51 133,45 22,8 23,6 65,0134,41 134,43 25,0 26,1 70,0135,33 135,41 27,3 28,6 75,0136,26 136,40 29,7 31,1 80,0137,21 137,39 32,1 33,6 85,0138,17 138,39 34,5 36,1 90,0139,15 139,41 37,0 38,7 95,0140,17 140,43 39,6 41,2 100,0

Tabla 1: Volumenes de 124,50 cm3 (100 g) de etanol y 124,10 cm3 (100 g) demetanol en el punto del hielo y a diferentes (los mismos para cada lıquido)‘grados de calor’ y altura de sus columnas de lıquido en un tubo de vidrio deseccion interna 0, 396 cm2. La ultima columna corresponde a la temperaturaen la escala Celsius basada en la escala Kelvin Ec. (8).

Hooke y luego en la escala Celsius y se van a utilizar como termometros.Como propiedad termometrica se va a utilizar la altura de la columade lıquido en cada caso. En la Tab. 1 se proporcionan los resultadosexperimentales obtenidos.

En contacto con una mezcla de agua y hielo (bien mezclados) loslıquidos alcanzan en el tubo unas alturas que se toman como referencia,marcadas, respectivamente, como zE

0 = zM0 = 0.

En primer lugar se asignan temperaturas utilizando un solo puntofijo, siguiendo el metodo empleado por Hooke. De acuerdo con los datosdados en la Tab. 1, la milesima parte del volumen inicial es 124/1000 =0, 124 cm3. Con una seccion dada del tubo, una diferencia de un gradoHooke corresponde a una diferencia de altura ∆z = 0, 313 cm de la

6

columna de lıquido.

0

20

40

60

80

100

120

140

t /ºH

ethanol

methanol

-

-

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20

t (m

et.)

- t (e

than

.)/ºH

(a)

(b)

n

Figura 4: (a) Temperaturas asignadas en la escala Hooke utilizando las alturasde los dos lıquidos, etanol y metanol, y la Eq. (1); (b) Diferencias entre lastemperaturas Hooke asignadas con los dos lıquidos.

Con este metodo, la temperatura en grados Hooke es simplemente

t(◦H) =z

0, 313. (1)

Las temperaturas Hooke obtenidas para los dos lıquidos empleando laEq. (1) se han representado en la Fig. 4(a) y las diferencias entrelas respectivas temperaturas asignadas se han representado en la Fig.4(b). Estas diferencias indican que las temperaturas ası medidas –enrealidad, asignadas– no tienen un significado fısico intrınseco, pues paraello deberıan asignar las mismas temperaturas para los mismos cuerposcon el mismo ‘grado de calor’, lo que no sucede.

Pero la temperatura se puede asignar empleando dos puntos fijos.Utilizando el metodo de Celsius, ademas del punto cero, en contactocon vapor de agua que se evapora bajo presion normal (y despues de un

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tiempo de contacto prolongado) el etanol alcanza una altura zE100 = 39, 6

cm y el metanol una altura de zM100 = 41, 2 cm.

Ası, cuando las alturas alcanzadas sean, respectivamente, zE y zM

las temperaturas que se asignan en la escala Celsius seran

tE = 100zE − zE

0

zE100 − zE

0

=zE

0, 396, (2)

y

tM = 100zM − zM

0

zM100 − zM

0

=zM

0, 412. (3)

t /ºC

ethanol

methanol

t (m

et.)

- t (e

than

.)/ºC

(a)

(b)0

20

40

60

80

100

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

0 5 10 15 20n

Figura 5: (a) Temperaturas Celsius asignadas utilizando las alturas de doslıquidos diferentes (etanol y metanol; (b) Diferencias entre las temperaturasasignadas en la escala Celsius para ambos lıquidos. Se emplea la dilatacion delvolumen como propiedad termometrica.

En la Fig. 5(a) se muestran las temperaturas Celsius asignadas porambos termometros y en la Fig. 5(b) se muestra la diferencia entre

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ambas temperaturas. De nuevo se asignan temperaturas diferentes almismo cuerpo, lo que sigue sin tener sentido fısico.

La experiencia indica que si el ‘grado de calor’ de dos cuerpos sondiferentes, el que tiene mayor ‘grado de calor’ debe disminuirlo y el quelo tiene menor debe aumentarlo, mientras que si tienen igual ‘grado decalor’ nada debe suceder. Si la medida de las temperaturas ha de permi-tir predecir que va a suceder cuando dos cuerpos se pongan en contacto,con los termometros antes descritos las predicciones pueden ser erroneas.Cuerpos con el mismo grado de calor parecen tener temperaturas dife-rentes dependiendo de la escala de temperaturas utilizada o del lıquidoutilizdo, por lo que se predice que se va a producir una evolucion de sustemperaturas que no se observa en la practicva. Cuerpos con diferentes‘grados de calor’ pueden aparecer como teniendo la misma temperatura,por lo que se predice que nada sucedera cuando se les ponga en con-tacto, observandose, por el contrario, que sı hay una cierta evolucionde temperaturas en ambos. Esta descripcion del comportamiento de lanaturaleza en terminos de las anteriores escalas de temperatura no tienepues sentido fısico.

t/◦C ρ/g cm−3 t/◦C ρ/g cm−3 t/◦C ρ/g cm−3 t/◦C ρ/g cm−3

-10,0 13,62017 8,0 13,57576 26,0 13,53156 44,0 13,48758-8,0 13,61523 10,0 13,57084 28,0 13,52667 46,0 13,48270-6,0 13,61028 12,0 13,56592 30,0 13,52177 48,0 13,47783-4,0 13,60534 14,0 13,56100 32,0 13,51688 50,0 13,47296-2,0 13,60040 16,0 13,55609 34,0 13,51199 52,0 13,46809-0,0 13,59547 18,0 13,55118 36,0 13,50710 54,0 13,463222,0 13,59054 20,0 13,54627 38,0 13,50222 56,0 13,45836-4,0 13,58561 22,0 13,54137 40,0 13,49733 58,0 13,453496,0 13,58068 24,0 13,53646 42,0 13,49245 60,0 13,44862

Tabla 2: Variacion de la densidad del mercurio con la temperatura.

Escala Kelvin de temperaturas

Para que una magnitud como la temperatura tenga significado fısicodebe obtenerse un resultado unıvoco como resultado de una medidaexperimental realizada con diferentes dispositivos. Es decir, la medidade la temperatura se debe basar en alguna propiedad absoluta y no en

9

propiedades particulares de las diferentes propiedades termometricas.

WILLIAM THOMSON, Baron KELVIN of LAGS(Belfast, 1824-Largs, 1907) Fısico irlandes, que fueel primero en proponer una escala absoluta de tempe-raturas, basada en el Teorema de Carnot y que podıaser aplicada utilizando un termometro de gas a vo-lumen constante. El kelvin, unidad de tempe-ratura termodinamica es la fraccion 1/273.16 dela temperatura termodinamica del punto tripledel agua. [13 CGPM (1967), Resolucion 4]

La propiedad absoluta en la que se basa la escala Kelvin de tempe-raturas es la del rendimiento de un ciclo de Carnot funcionando entrela temperatura del punto triple del agua (tomado como punto fijo dereferencia) y el cuerpo al que se le quiere asignar temperatura.

El grado Kelvin termodinamico es la unidad de temperaturadeterminada por el ciclo de Carnot con el punto triple delagua definido como exactamente 273.16 ◦K. 10a ConferenciaGeneral sobre Pesos y medidas.

Asignando al punto triple del agua la temperatura (exacta) de 273,16K, la temperatura T a asignar a cualquier otro cuerpo sera

T = 273, 16|Q||QPT|

,

en la que Q es el calor absorbido (o cedido) por el cuerpo y QPT es elcalor cedido (o absorbido) por el cuerpo de referencia a la temperaturadel punto triple del agua. El Teorema de Carnot asegura que la ratio|Q|/|QPT| es absoluta, siempre la misma, con independencia del sistematermodinamico –un gas, un solido, etc.– utilizado para realizar el ciclo.

Si se utiliza un gas ideal –un gas real a bajas presiones–, se puededemostrar que esta asignacion de temperaturas puede ser hecha como

T = 273, 16P

PPT

,

en la que P es la presion del gas en contacto con el cuerpo y PPT es lapresion del gas en contacto con el punto triple del agua.

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Termometro de gas a volumen constante

Un termometro de gas a volumen constante consta de una esfera devidrio conectada a un manometro mediante una llave que puede conec-tarse con el exterior. Una vez fijada la cantidad de gas en su interior semiden diferentes presiones.

La escala Kelvin inicialmente propuesta T (de un solo punto fijo)fue:

T = 273.15 limPIP→0

P

PIP

, (4)

a volumen V , constante, empleando el punto del hielo –bajo presionnormal– como punto fijo. Esta escala se modifico para ser

T = 273.16 limPTP→0

P

PTP

, (5)

empleando el punto triple del agua como punto fijo. La razon de estecambio es que el punto de fusion del hielo varıa con la presion. El puntotriple del agua (273.16 K –0,010 ◦C–, 611.73 Pa) es la temperatura a lacual coexisten en equilibrio hielo, agua lıquida y su vapor (sin presenciade aire) y es invariante. La temperatura del punto triple es reproduciblecon precision de una centesima de grado. Los lımites de bajas presionesque aparecen en estas expresiones se exigen para asegurar que el gas secomporta realmente como un gas ideal.

Para asignar temperaturas con este termometro de gas a volumenconstante, el primer paso es medir la presion en el punto triple del aguaP

(1)TP (o en el punto del hielo P

(1)IP en la antigua escala Kelvin). De-

spues de eso se mide la presion P (1) en contacto con el sistema al quese quiere asignar temperatura. El segundo paso es extraer algo del gasdel termometro, empleando una bomba de vacıo, y volver a medir laspresiones P

(2)TP y P (2). La cantidad de gas en el termometro se va re-

duciendo progresivamente, y P (i) y P(i)TP van teniendo cada vez menores

valores. Finalmente , la ratio P (i)/P(i)IP se representa y se extrapola para

P(i)IP = 0 (que es lo que significa el limPIP→0).

Cuando se adopto la escala Kelvin, la razon entre las presiones deltermometro de gas a volumen constante en el punto del vapor PBP y enel punto del hielo PBP, se habıa medido que era

limPIP→0

PBP

PIP

= 1, 36610 . (6)

11

Aunque no se habıan asignado temperaturas, la diferencia entre ambasse tomo igual a 100 K por definicion. Ası, entre el punto del hielo y elpunto del vapor se tomaron 100 grados, igual que en la escala Celsius.Por tanto, con

TBP = 1, 36610 TIP; TBP−TIP = 100 → TIP = 273, 15 K; TBP = 373.15 K .(7)

Este es el origen del numero 273,15 que aparece en la escala Kelvin1. Sit denota la temperatura Celsius, la relacion con la escala Kelvin es, pordefinicion,

t(◦C) = T (K)− 273, 15 , (8)

y la unidad “grado Celsius” es igual a la unidad “kelvin”. Como el puntodel hielo esta 0,01 K por debajo del punto triple del agua, se debe tomar273,16 K como temperatura del punto triple del agua. Cerca de 1990 seobtuvo experimentalmente que la ratio entre PBP y PTP, era de

limPTP→0

PBP

PTP

= 1, 365954 , (9)

con lo que el agua hierve bajo presion normal a TBP = 373.124 K y atBP = 99, 975 ◦C . Por todo ello, la escala Celsius ya no es centıgrada2.

(a) (b) (c) (d) (e)

Figura 6: Termometro de gas a volumen constante. (a) La bomba de vacıo seconecta con el termometro mediante una llave en T; (b) gas en el punto delhielo; (c) detalle; (d) gas en el punto del vapor; (e) gas de nuevo en el puntodel hielo para asegurar que no ha habido fugas.

1J. Pellicer, M. Amparo Gilabert, E. Lopez-Baeza, The evolution of the Celsiusand Kelvin temperature scales and the state of the art, J. Chem. Edu. 76, 911 (1999)

2G. Jones, R. Rusby, Official: water boils at 99,975 ◦C, Physics World, September,23 (1989).

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∆PIP/bar ∆PBP/bar PIP/bar PBP/bar PBP/PIP T/K-0,898 -0,856 0,116 0,158 1,36 ± 0,04 372 ± 11-0,816 -0,744 0,198 0,270 1,36 ± 0,02 371 ± 6-0,704 -0,592 0,310 0,422 1,360 ± 0,015 371 ± 4-0,602 -0,454 0,412 0,560 1,358 ± 0,011 371 ± 3-0,501 -0,319 0,512 0,695 1,357 ± 0,009 370 ± 3-0,400 -0,182 0,614 0,832 1,355 ± 0,008 370 ± 2-0,292 -0,037 0,722 0,977 1,354 ± 0,007 369.7 ± 1,8-0,204 0,081 0,810 1,095 1,352 ± 0,006 369.3 ± 1,6-0,101 0,218 0,912 1,232 1,350 ± 0,005 368.9 ± 1,40,002 0,356 1,016 1,370 1,349 ± 0,005 368.4 ± 1,3

Tabla 3: Termometro de gas a volumen constante. Incrementos de presion(respecto de la presion atmosferica) en el punto del hielo (punto de fusionnormal) y en el punto del vapor (punto de ebullicion normal). δP = 0, 001 bar.Presion atmosferica P0 = 1, 014 bar.

En la Tab. 3, se muestran resultados experimentales para un termometrode gas a volumen constante puesto primero en contacto con hielo en supunto de fusion y luego con vapor de agua.

Con los resultados de la Tab. 3, se tiene que

PBP

PIP

= −1.5923×10−2PIP + 1, 3650 ,

y

TBP = 273, 15 limPIP→0

PBP

PIP

= 273, 15×1, 365 = 372, 85 K . (10)

La temperatura que se asigna al punto de ebullicion normal del agua esTBP = 373± 11 K.

Puesto que δP0 = ±0, 001 bar and δP = ±0, 002 bar, ∆P = ±0, 003bar, entonces

δPBP

PIP

=δP

PIP

+PBPδP

P 2IP

,

δPBP

PIP

= 0, 002[

10, 116

+0, 1580, 1162

]= 0, 04 ,

y conδT

T=

δ(PBP/PIP)

PBP/PIP

,

δTBP = 373, 150, 041, 36

= 11K .

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Este equipo experimental debe ser mejorado mucho si se quierenasignar temperaturas con precision de decimas de grado.

Referencias

[1] S. C. Brown, Discovery of the differential thermometer, Am. J.Phys. 22, 13 (1954)

[2] A. P. French, Isaac Newton’s thermometry, The Physics Teacher31, 208 (1993)

[3] E. McIldowie, Introducing temperature scales, Phys. Educ. 33 368-372 (1998)

[4] V. Thomsen, Response time of a thermometer, The Physics Teacher36, 540 (1998); V. Zanetti, Time constant of a thermometer, ThePhysics Teacher 21, 108 (1983)

[5] R. H. Romer, Temperature scales: Celsius, Fahrenheit, Kelvin,Reaumur, and Romer, The Physics Teacher 20, 450 (1982)

[6] J. Pellicer, M. Amparo Gilabert, E. Lopez-Baeza, The evolution ofthe Celsius and Kelvin temperature scales and the state of the art,J. Chem. Edu. 76, 911 (1999)

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[8] W. R. Barron, Temperature scales, American Journal of Physics,25, 326 (1957)

[9] C. B. Boyer, Early principles in the calibration of thermometers,American Journal of Physics, 10, 176-180 (1942)

[10] P. O. Berge et al, Constant volume gas thermometer without mer-cury, Am. J. Phys. 62, 666 (1994)

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