Principios variacionales y termodin´amica de so´lidos...

Capıtulo 6

Principios variacionales ytermodinamica de solidosdeformables

La energıa es el concepto fundamental de cualquier teorıa mecanica puessirve como principio unificador de todo el resto y permite combinar modelosdistintos o incluso de campos diferentes (electro-mecanica, magnetismo -mecanica, quımica - mecanica, etc).

Como en tantos otros modelos, la energıa proporciona la base para la for-mulacion de principios variacionales, es decir, enunciados (no demostrables)que caracterizan de forma integral la solucion del problema [7, 3]. Aunquesolo se estudiara una pequena parte de los numerosos principios que existen,estos seran fundamentales para el calculo de estructuras y para el desarrollode metodos numericos como los elementos finitos, la herramienta mas comunpara el calculo y diseno en ingenierıa mecanica [4, 1].

Ademas de la energıa, es bien conocido que las leyes de la termodinami-ca proporcionan la base de todo proceso fısico. En este capıtulo tambientrataremos de las consecuencias que tienen estas leyes fundamentales en laformulacion de modelos de solidos deformables.

6.1. El trabajo de las fuerzas exteriores sobre uncuerpo deformable

El concepto de trabajo es central en mecanica y comenzamos por defi-nirlo en el contexto de los solidos deformables antes de entrar en conceptosmas abstractos. Para un cuerpo deformable cualquiera, solo esta definidoel trabajo realizado durante un incremento (diferencial) del campo de des-plazamientos (o equivalentemente, la potencia mecanica). Como existen dostipos de fuerzas que se pueden aplicar sobre un cuerpo deformable, a saber,

117

118 Mecanica de solidos I. Romero

volumetricas y de superficie, el valor instantaneo de la potencia mecanicaejercida sobre el cuerpo es:

Pext

=

Z

⌦

f · u dV +

Z

�t

t · u dS , (6.1)

siendo u = dudt

, el campo de velocidad. Si lo que se desea es calcular el tra-bajo total realizado durante un proceso de carga completo sobre un cuerpodeformable la definicion debe de integrar (6.1).

Definicion 6.1.1. Sea un cuerpo deformable sometido a un proceso de

carga fuerzas externas volumetricas y de superficie (˜f(t), ˜t(t)) definidas enel intervalo t 2 [0, T ]. Si en cada instante el campo de desplazamientos es u(t)entonces el trabajo de las fuerzas externas durante dicha deformacionse define mediante la integral:

Wext

=

Z

T

0

Z

⌦

˜f · ˙u dV +

Z

�t

˜t · ˙u dA

�

dt . (6.2)

Esta definicion es completamente general y revela que la definicion detrabajo depende del proceso de carga, no solo de los valores iniciales y finales

de ˜f y ˜

t. Esto complica enormemente el calculo del trabajo, porque requirela determinacion de la solucion u en cada instante de carga. Este es unresultado general que se estudia con detalle en termodinamica.

Para solidos deformables elasticos lineales el siguiente resultado simpli-fica el calculo del trabajo en un proceso:

Teorema 6.1.2 (Clapeyron). El trabajo realizado por un sistema de cargas

(˜f(t), ˜t(t)) definidas en el intervalo t 2 [0, T ], con (˜f(0), ˜t(0)) = (0,0), sobreun cuerpo elastico lineal es

Wext

=1

2

Z

⌦

f · u dV +1

2

Z

�t

t · u dA , (6.3)

siendo f = ˜f(T ), t = ˜

t(T ) y u = u(T ) el campo de desplazamiento al finaldel proceso de carga.

La importancia de este resultado es que, para calcular el trabajo totaldel proceso, solo es necesario encontrar el desplazamiento en un estado decarga, el final. Ademas, revela que el trabajo externo de cualquier proceso decarga solo depende del valor final del las fuerzas volumetricas y de superficie.

Demostracion. Para demostrar este resultado supondremos que ˜f(t) = p(t)fy ˜

t(t) = p(t)t, siendo p(t) una funcion escalar que satisface p(0) = 0 yp(T ) = 1. Esta simplificacion supone que todas las componentes de las fuer-zas volumetricas y de superficie varıan de la misma manera. Esta hipotesis

Capıtulo 6. Principios variacionales y termodinamica 119

simplifica la demostracion pero el mismo argumento que sigue se podrıa usarcon factores de proporcionalidad independientes.

Si u es el campo de desplazamientos cuando sobre el cuerpo actua el sis-tema de fuerzas (f , t), en cada instante u(t) = p(t)u, debido a la linealidaddel problema. Utilizando la definicion 6.2 del trabajo se sigue que

Wext

=

Z

T

0

Z

⌦

p(t) p(t)f · u dV +

Z

�t

p(t) p(t)t · u dA

�

dt

=

Z

⌦

f · u dV +

Z

�t

t · u dA

�

Z

T

0

p(t) p(t) dt

=

Z

⌦

f · u dV +

Z

�t

t · u dA

�

hp2(t)

2

i

T

0

=

Z

⌦

f · u dV +

Z

�t

t · u dA

�

1

2,

(6.4)

6.2. El principio de los trabajos virtuales

Existe un planteamiento alternativo del problema de los solidos deforma-bles que es muy interesante para formular aproximaciones numericas, comose vera mas adelante, para los metodos de calculo estructural y por otrasrazones de ındole mas matematica. Esta segunda formulacion es integral, ovariacional, y se conoce en el campo de la mecanica de solidos y estructurascomo el principio de los trabajos virtuales, o de los desplazamientos vir-tuales. Para enunciar este principio consideremos dos espacios de funciones

S =�

u : ⌦! R3,u = u en �u

,

W =�

w : ⌦! R3,w = 0 en �u

.(6.5)

Es inmediato observar que el desplazamiento del cuerpo deformable ha depertener al espacio S, pues este incluye todas los desplazamientos que cum-plen la condicion de contorno en �

u

. El principio de los trabajos vir-tuales establece que el campo u 2 S de desplazamientos en un solido de-formable es la solucion al problema mecanico si, para cualquier w 2 W severifica

Z

⌦

�("(u)) : "(w) dV =

Z

⌦

f ·w dV +

Z

�t

t ·w dA. (6.6)

Como los desplazamientos w no se corresponden con los reales, se llaman amenudo desplazamientos virtuales y, a la vista de la definicion de W, sepueden interpretar como desplazamientos que se superponen a la solucion u

y que respetan las condiciones de contorno. Como ademas ambos terminos


de la identidad 6.6 tienen dimensiones de trabajo, se puede interpretar queel termino de la izquierda es el trabajo virtual de las fuerzas internas y eltermino de la derecha, el de las fuerzas externas.

Dada la importancia de este principio, demostramos su equivalencia conla ecuacion del equilibrio de Cauchy, tal y como se planteo en el capıtulo 2.Supongamos, en primer lugar, que u es la solucion al problema de un cuerpodeformable. Entonces, multiplicando la ecuacion del equilibrio por un campow 2W cualquiera e integrando se obtiene

0 =

Z

⌦

(r · � + f) · ·w dV

=

Z

⌦

�

f ·w � � ·rs

w

�

dV +

Z

��n ·w dA

(6.7)

Utilizando la relacion �n = t en �t

y que w = 0 en �u

, se demuestra que laecuacion 6.6 es valida.

Para demostrar que el principio de los trabajos integrales implica lasecuaciones del equilibrio partimos de 6.6 e integramos por partes la integraldel trabajo virtual interno, obteniendo

0 =

Z

⌦

�r · � + f

� ·w dV +

Z

�t

(�n� t) ·w dA. (6.8)

Si escogemos una funcionw que se anule en todo el contorno de ⌦, la segundaintegral tiene valor nulo, y la identidad se cumplira solo si r · � + f = 0.Una vez que sabemos que el primer integrando se anula, basta con escogeruna funcion w que tenga valor �n � t sobre el contorno �

t

para concluirque tambien el segundo integrando debe de anularse.

El principio de los trabajos virtuales impone de forma “variacional” o“debil” las ecuaciones de equilibrio de Cauchy. De manera analoga se puedenencontrar formas variacionales que imponen de esta manera otra u otras delas ecuaciones que forma parte del planteamiento completo del problemadel cuerpo deformable. En calculo de estructuras, por ejemplo, es habitualemplear el principio de las fuerzas virtuales, que es simplemente laexpresion debil de la ecuacion " = rs

u. Yendo mas alla, se pueden construirprincipios variacionales mas generales, en los que varias de las ecuaciones delproblema del cuerpo deformable se imponen de forma debil [7, 3].

6.3. El principio de la mınima energıa potential

Cuando un solido deformable o una estructura es sometido a solicitacio-nes externas este se deforma de tal manera que una cantidad, que llamaremosla energıa potencial, alcanza un valor mınimo de entre todos los que las res-tricciones del solido le permiten. Este principio, que demostramos en estaseccion, es tan basico como la ecuacion de equilibrio de Cauchy, o el principio


de los trabajos virtuales. Tambien, como este ultimo, se puede considerarque este principio esta en la base de algunos metodos de calculo estructuraly del metodo de los elementos finitos, el metodo numerico mas empleado eningenierıa mecanica y estructural.

Imaginemos un solido deformable que esta sometido a cargas de volumeny superficiales, y cuyo campo de desplazamientos se indica como u. Defini-mos la energıa potencial del solido bajo este campo de desplazamiento a

V (u) =

Z

⌦

W ("(u)) d⌦�Z

⌦

f · u d⌦�Z

�t

t · u d� . (6.9)

Pues bien, como indicabamos anteriormente, el principio de la mınimaenergıa potencial establece que en el equilibrio, u minimiza la energıapotential. Es decir

V (u) = mınw

V (w) (6.10)

o, empleando el calculo variacional,

�V (u) = 0 , �2V (v) > 0 . (6.11)

El enunciado anterior se puede demostrar a partir de la ecuacion delequilibrio de Cauchy, con lo que debiera llamarse el teorema de la mınimaenergıa potential. Sin embargo, de la misma manera, la ecuacion del equili-brio de Cauchy se puede deducir del anterior principio variacional. Ası pues,cual de estas formulaciones es la basica y cual es la derivada es una cuestion,hasta cierto punto, relativa. La equivalencia entre ambas la demostraremosposteriormente.

Es importante subrayar que la energıa potencial de las fuerzas externas,

Vext

(u) = �Z

⌦

f · u d⌦�Z

�t

t · u d� (6.12)

no es igual al trabajo de la fuerzas exteriores Wext

. La definicion de fun-cion V

ext

es valida en cualquier tipo de problema, incluso cuando el solidono es elastico.

Como el la seccion anterior, y dada la importancia de este segundo prin-cipio, demostramos su equivalencia con el principio de los trabajos virtuales,y por tanto con la ecuacion de equilibrio de Cauchy. En primer lugar, si u esel minimizador de la energıa potencial, �V (u) = 0, ası pues, para cualquierw 2W,

0 =d

d✏

�

�

�

�

✏=0

Z

⌦

W (rs(u+ ✏w)) dV �Z

⌦

f · (u+ ✏w) dV �Z

�t

t · (u+ ✏w) dA

�

=

Z

⌦

@W

@"(rs(u) ·rs

w dV �Z

⌦

f ·w dV �Z

�t

t ·w dA

=

Z

⌦

� ·rs

w dV �Z

⌦

f ·w dV �Z

�t

t ·w dA

(6.13)


que es precisamente el enunciado del principio de los trabajos virtuales. Lademostracion contraria es mas compleja. En el caso de un material elastico ladensidad de energıa almacenada es W ("[u]) = 1

2

"[u] : C : "[u] y se satisface

1

2"[u] : C : "[v] 1

2W ("[u]) +

1

2W ("[v]) . (6.14)

Seleccionando en el principio de los trabajos virtuales w u�w se sigueZ

⌦

"[u] : C : "[u�w] dV =

Z

⌦

f · (u�w) dV +

Z

�t

t · (u�w) dA, (6.15)

que se puede reescribir comoZ

⌦

"[u] : C : "[u] dV + Vext

(u) =

Z

⌦

"[u] : C : "[w] dV + Vext

(w)

1

2

Z

⌦

"[w] : C : "[w] dV1

2

Z

⌦

"[u] : C : "[u] dV + Vext

(w) ,

(6.16)que es equivalente a

1

2

Z

⌦

"[u] : C : "[u] dV + Vext

(u) 1

2

Z

⌦

"[w] : C : "[w] dV + Vext

(w) ,

(6.17)es decir, el principio de la mınima energıa potencial.

Como ultimo comentario cabe mencionar que el principio de la mınimaenergıa potencial no es el unico problema de optimizacion con el que sepuede expresar el problema de los cuerpos deformables. En estructuras, porejemplo, se emplea a menudo el principio de la mınima energıa poten-cial complementaria , a partir del cual se obtiene, entre otros resultados,el segundo teorema de Castigliano.

K

F

x

y

45o

L

Figura 6.1: Sistema elastico del ejercicio 6.3.1

. Ejemplo 6.3.1. El sistema de la figura 6.3.1 consta de un resorte elasticode constante K y una barra rıgida, unidos en un punto donde se aplicauna fuerza. Calcular el desplazamiento horizontal del punto de aplicacion dela fuerza empleando a) las ecuaciones de equilibrio y b) el principio de lamınima energıa potencial.


Figura 6.2: James Clerk Maxwell, 1831–1879 (izquierda) y Enrico Betti,1823–1892, (derecha).

a) Un analisis de fuerzas en el nudo donde se unen la barra y el resortepermite deducir que la fuerza axial del resorte es N = F

p2. Ademas,

como la elongacion del resorte es � = N/K = Fp2/K y el desplaza-

miento horizontal es u = �p2 concluimos que u = 2F/K.

b) La energıa potencial del sistema es

V (u) =1

2K�2 � F u =

1

2K

✓

up2

◆

2

� F u .

Encontramos el mınimo de la energıa potencial resolviendo V 0(u) = 0,cuya solucion coincide con la del calculo anterior.

/

6.4. El teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti

El teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti es un resultado muy utilde aplicacion en problemas elasticos unicamente. Establece lo siguiente:

Teorema 6.4.1. Sea un cuerpo elastico sometido a dos sistemas de fuerzasque denominamos (t1, f

1

) y (t2, f2

). Si sus desplazamientos, deformacionesy tensiones son, respectivamente, (u1, "1,�1) y (u2, "2,�2), se verifica

1

2

Z

⌦

f

1 ·u2 dV +1

2

Z

�f

t

1 ·u2 dS =1

2

Z

⌦

f

2 ·u1 dV +1

2

Z

�f

t

2 ·u1 dS . (6.18)

Expresado de otra manera, el teorema de Maxwell-Betti establece queel trabajo realizado por el sistema de fuerzas (t1, f

1

) sobre el campo de


desplazamientos u

2 es el mismo que el trabajo realizado por el sistema defuerzas (t2, f

2

) sobre el campo de desplazmientos u1.

Demostracion. La demostracion de este resultado es sencilla a partir delteorema de los trabajos virtuales. En primer lugar, para materiales elasticoslineales, se verifica que

�

1 : "2 = (C"1) : "2 = "

1 : (C"2) = "

1 : �2 . (6.19)

Para demostrar el teorema de Maxwell-Betti, escribimos el principio de lostrabajos virtuales para el primer sistema de fuerzas

Z

⌦

�

1 : �" dV =

Z

⌦

f

1 · �u dV +

Z

�f

t

1 · �u dS . (6.20)

En el principio de los trabajos virtuales podemos escoger como desplaza-miento virtual el campo de desplazamiento real correspondiente al sistemasegundo de fuerzas, con lo que obtenemos

Z

⌦

�

1 : "2 dV =

Z

⌦

f

1 · u2 dV +

Z

�f

t

1 · u2 dS . (6.21)

Podemos repetir este argumento cambiando los papeles de los sistemas defuerzas y obtendremos:

Z

⌦

�

2 : "1 dV =

Z

⌦

f

2 · u1 dV +

Z

�f

t

2 · u1 dS . (6.22)

Comparando estas dos ecuaciones y empleando el resultado (6.19) quedademostrado el teorema.

6.5. Los teoremas de Castigliano

Unos de los resultados mas utiles en el calculo (manual) de estructurases el llamado segundo teorema de Castigliano. Este resultado, ası como elprimer teorema asociado a este fısico y matematico italiano, sirven paracalcular fuerzas y desplazamientos (generalizados) en estructuras elastica“sencillas” con un numero finito de cargas y grados de libertad.

Para demostrar ambos resultados, consideremos una estructura elasticasometida a cargas (generalizadas) P

1

, P2

, . . . con desplazamientos conjugadosu1

, u2

, . . .. Estas cargas son cantidades escalares ası que pueden interpretar-se como los modulos de las cargas reales y los escalares u

i

, como despla-zamientos efectivos, es decir, proyectados sobre la direccion de sus fuerzascorrespondientes. En este caso la energıa potential de la estructura puedeexpresarse como

V ({ui

}) = Vint

({ui

}) + Vext

(({ui

}) = Vint

({ui

})�X

i

Pi

ui

. (6.23)


Figura 6.3: Carlo Alberto Castigliano (1847–1884)

Cuando la estructura esta en equilibrio la energıa potencial es mınima y portanto, para cada u

j

,

0 =@V

@uj

({ui

}) = @Vint

@uj

({ui

})� Pj

. (6.24)

Concluimos que la fuerza generalizada Pj

en el equilibrio se puede obtenercomo la derivada de la energıa elastica con respecto a su desplazamientogeneralizado asociado, es decir,

Pj

=@V

int

@uj

({ui

}). (6.25)

Este es el primer teorema de Castigliano. Si V ⇤int

= V ⇤int

({Pi

}) es latransformada de Legendre de la energıa elastica, es decir, la energıa elasticacomplementaria, por las propiedades de la transformada de Legendre,

uj

=@V ⇤

int

@Pj

({Pi

}). (6.26)

Este resultado, que indica que el desplazamiento eficaz uj

se puede obte-ner derivando la energıa elastica complementaria con respecto a la fuerzaconjugada, es el segundo teorema de Castigliano.

. Ejemplo 6.5.1. Una viga en voladizo como la de la Figura 6.4, con seccionde rigidez a flexion EI, tiene una energıa potencial complementaria igual a

V ⇤int

(P ) =P 2L3

6EI. (6.27)


P

L

Figura 6.4: Viga en voladizo sometida a carga en su extremo.

Usando el segundo teorema de Castigliano calculamos el desplazamientobajo la carga aplicada como

� =@V ⇤

@P(P ) =

PL3

3EI. (6.28)

Como la energıa potential complementaria es cuadratica, la energıa in-terna se puede calcular de manera muy sencilla resultando

Vint

(�) =3EI �2

2L3

. (6.29)

Del primer teorema de Castigliano se deduce que la fuerza necesaria paraque el extremo de la viga se desplace una distancia � es

P =@V

int

@�(�) =

3EI

L3

�. (6.30)

/

Es necesario aclarar que los teoremas de Castigliano pueden emplearsetambien para problemas con cargas distribuidas y el medios continuos, engeneral. Sin embargo, en estos contextos su utilidad es mas bien formal,mientras que en los sistemas con un numero pequeno de grados de libertadson la herramienta mas util que existe para calcular reacciones y desplaza-mientos.

6.6. Termodinamica de los modelos constitutivos

En el estudio de la elasticidad se introdujo el concepto de hiperelasticidad,que servıa para calcular la tension como la derivada de una cierta energıaelastica en funcion de la deformacion:

� =@W (")

@"(6.31)

Esta relacion se puede generalizar a modelos constitutivos no elasticos, in-cluso en condiciones no isotermas de la siguiente manera. El estado de un


punto material se puede definir en funcion de su deformacion ", su tempe-ratura ✓ y una serie de variables internas ⇠, que pueden incluir escalares,vectores o tensores. Estas variables no se pueden controlar desde el exteriorsino que aparecen debido a la historia de la deformacion y temperatura,pero afectan a la respuesta del material. Ejemplos de este tipo de variablesincluyen la deformacion plastica, el porcentaje de humedad, el dano sufridopor el material, etc, y se estudiaran con mas detalle en capıtulos posteriores.

La termodinamica de materiales postula que existe una energıa libreA = A(", ⇠, ✓) tal que la tension � y la densidad de entropıa ⌘ en dichopunto son

� =@A

@", ⌘ = �@A

@✓. (6.32)

Ademas, conjugadas con las variables internas ⇠, existen unas “fuerzas” quese define como

q = �@A

@⇠. (6.33)

Para terminar la definicion del problema, y dado que hemos introducidodos nuevas variables ⇠, q y solo una relacion entre ellas, es necesario anadiruna ecuacion cinetica , que determine como evoluciona ⇠ en funcion detodo el resto de variables. Escribimos esta relacion cinetica como

⇠ = �(u, q, ✓) , (6.34)

y sera responsabilidad de cada modelo el proporcionar una expresion funcio-nal a � de forma que se reproduzcan los fenomenos mecanicos que se quierensimular.

En este curso nos centramos en los modelos isotermos. Para estos sepuede demostrar que el segundo principio de la termodinamica requiere quela cinetica de las variables internas satisfagan:

q · ⇠ � 0 (6.35)

en todo punto e instante. Evidentemente, el modelo elastico satisface estadesigualdad puesto que no tiene ninguna variable interna. Los modelos mascomplejos que definiremos en los capıtulos siguientes habran de verificar-la, guiando este requisito la definicion de las leyes cineticas y las energıasinternas.

. Ejemplo 6.6.1. La energıa libre del modelo de termoelasticidad linealestudiado en el capıtulo 4 es

A(", ✓) =1

2" : C"� 3↵✓ tr(")� c

2⇥o

✓2 , (6.36)

siendo c la capacidad termica, ⇥o

una temperatura de referencia, ✓ el saltotermico desde la temperatura de referencia (no confundir con la deformacion


volumetrica). Para esta funcion de energıa libre se satisface

� =@A

@"= C"� 3↵✓I , ⌘ = �@A

@✓= 3↵ tr(") +

c

⇥o

✓ .

/

6.7. Metodos numericos

Una de las razones por las cuales es importante la formulacion variacionalde la mecanica de solidos es porque es a partir de esta como se formulan losmetodos numericos mas empleados en la actualidad para resolver aproxima-damente problemas mecanicos. En particular, el metodo de los elementosfinitos se basa en los principios variacionales presentados en este capıtuloo en otros mas avanzados que se pueden consultar en la literatura [3].

Se puede decir que el metodo de los elementos finitos se descubrio deforma independiente por matematicos e ingenieros. En 1942 Courant pro-puso por primera vez un metodo variacional que servıa para aproximar lasolucion de problemas de equilibrio y vibracion ([2]). Fue mas tarde cuandoingenieros aeronauticos propusieron un metodo para analizar estructuras,sentando las bases de lo que hoy se conoce como el metodo de los elementosfinitos ([6]). En este trabajo inicial se utilizaba en metodo de la rigidez (quese aplica para la resolucion de estructuras) a problemas bidimensionales, deuna forma novedosa.

En esencia, el metodo de los elementos finitos se puede describir comouna metodologıa para encontrar de forma “sencilla” funciones que conver-gen hacia el minimizador de la energıa potencial. En vez de buscar estafuncion entre todas las aceptables (las que son suficientemente diferencia-bles), el metodo de los elementos finitos propone la construccion de espaciosde funciones sencillas y la resolucion del problema de minimizacion en estossubespacios. La idea de reemplazar el espacio de soluciones por un espaciomas pequeno se conoce como el metodo de Ritz . La novedad del metodode los elementos finitos es que propone que el subespacio donde se busca lasolucion este compuesto de funciones polinomicas a trozos, combinacioneslineales de otras muy sencillas y de soporte compacto.

6.7.1. El metodo de Ritz

La solucion del problema mecanico en un solido deformable es la fun-cion u que, perteneciendo a S =

�

w : ⌦! R3, w = 0 en �u

, minimiza laenergıa potencial del sistema, como se indica en (6.10). Este problema deoptimizacion es, en la mayorıa de los casos, muy complejo. El metodo deRitz propone definir un espacio de funciones mas pequeno que S, donde seamas facil encontrar el minimizador correspondiente. En concreto, se define


un espacio de funciones Sh ⇢ S de la forma

Sh =

(

w

h 2 S,wh(x) =N

X

i=1

�h

i

(x)wi

)

, (6.37)

con lo que la dimension de S

h es N , que es finita, en contraposicion a ladimension de S, que es infinita. Las funciones escalares �h

i

son acompanana la definicion del espacio Sh y por lo tanto son conocidas. El metodo deRitz consiste en encontrar la funcion u

h 2 Sh tal que

V (uh) = mınwh2Sh

V (wh) . (6.38)

Para encontrar el minimizador u

h basta con expresar la energıa potencialV (uh) = V (

P

i

�h

i

u

i

). Las incognitas son unicamente los valores ui

y, supo-niendo que la energıa potencial sea una funcion diferenciable, encontrar estasresolviendo las N ecuaciones vectoriales (es decir, 3N ecuaciones escalares)

@V

@uj

(X

i

�h

i

(x)ui

) = 0 , j = 1, 2, . . . N . (6.39)

Despues de algunas operaciones algebraicas, la ecuacion anterior se puedereescribir como

0 =

Z

⌦

� grad�h

j

�Z

⌦

f�h

j

dV �Z

�t

t�h

j

dA. (6.40)

Esta ecuacion se puede reformular de forma mas util pero requiere ciertasoperaciones tensoriales que son algo complejas en el caso general [5]. Porsimplificar, nos ceniremos al caso de la elasticidad isotropa, para la cual sepuede escribir

�grad�h

j

= � divuhgrad�h

j

+ 2µ1

2gradsuhgrad�h

j

= �(N

X

i=1

grad�h

i

· ui

)grad�h

j

+ µN

X

i=1

⇣

u

i

⌦ grad�h

i

+ grad�h

i

⌦ u

i

⌘

grad�h

j

=N

X

i=1

⇣

�grad�h

j

⌦ grad�h

i

+ µ⇣

(grad�h

j

· grad�h

j

)I + grad�h

i

⌦ grad�h

j

⌘⌘

u

i

.

(6.41)Con esta identidad, la relacion (6.40) se puede re-escribir como

N

X

i=1

K

ji

u

i

= F

j

(6.42)


Figura 6.5: Funcion polinomica (afın) a trozos (wikipedia).

siendo

K

ji

=

Z

⌦

�grad�h

j

⌦ grad�h

i

+ µ⇣

(grad�h

j

· grad�h

j

)I + grad�h

i

⌦ grad�h

j

⌘

dV

F

j

=

Z

⌦

f �h

j

dV +

Z

�t

t �h

j

dA.

(6.43)Las N ecuaciones de la forma (6.42) definen un sistema lineal de 3N ⇥ 3Necuaciones

2

6

6

6

4

K

11

K

12

. . . K

1N

K

21

K

22

. . . K

2N

......

. . ....

K

N1

K

N2

. . . K

NN

3

7

7

7

5

8

>

>

>

<

>

>

>

:

u

1

u

2

...u

N

9

>

>

>

=

>

>

>

;

=

8

>

>

>

<

>

>

>

:

F

1

F

2

...F

N

9

>

>

>

=

>

>

>

;

(6.44)

donde la matrix se conoce con el nombre de matriz de rigidez y el vectorde datos es el vector de fuerzas externas. Una vez resuelto este siste-ma y encontradas las incognitas u

i

, la solucion u

h puede ser reconstruida,proporcionando una aproximacion a la solucion exacta u.

6.7.2. El metodo de los elementos finitos

El metodo de Ritz sirve para aproximar la solucion de cualquier proble-ma de minimizacion, no solo en mecanica de solidos, con aplicaciones desdela optimizacion a la mecanica cuantica. Aunque, excepto en casos muy senci-llos, no proporciona la solucion exacta, el metodo calcula la mejor solucionposible, dentro del espacion de busqueda, por lo que es muy importanteuna eleccion acertada de este ultimo. Para ello se han utilizado espacios desolucion mas o menos utiles y sencillos de calcular: polinomios, funciones se-noidales, funciones tipo “campana de Gauss”, etc. Entre todos ellos, y dadoque la forma de la solucion no se conoce a priori, destacan aquellos en el


que el calculo de las matrices Kji

y los vectores Fj

es sencilla y da lugar asistemas de ecuaciones lineales “faciles” de resolver.

El metodo que mas exito ha tenido en las diversas ramas de la ingenierıamecanica es el metodo de los elementos finitos. Este es un tipo demetodo de Ritz en el que el espacio de solucion lo componen funcionespolinomicas a trozos de soporte compacto, esto es, funciones que son nulasexcepto en una pequena region del solido y, en esta, son polinomicas a trozos.

Los “trozos” o regiones donde estas funciones son polinomicas se deno-minan elementos (que suelen ser tetraedros, hexaedros o prismas) y losvertices de la triangulacion que resulta, nodos. El conjunto de elementos ynodos, con su conectividad y topologıa se conoce con el nombre de malla .

Las ventajas de las funciones de interpolacion empleadas en el metodode los elementos finitos son fundamentalmente dos: en primer lugar, por serpolinomicas son muy faciles de calcular y sus integrales tambien; en segun-do lugar, por ser no nulas unicamente en una pequena parte del dominioanalizado, el sistema de ecuaciones lineales tiene una matriz dispersa , esdecir, con muchos ceros, que permite una resolucion muy eficiente medianteordenador. Es habitual, ademas, que las funciones de interpolacion �h

i

quese emplean tomen el valor 1 en el node i�esimo y 0 en todos los demas, conlo que los coeficientes (incognita) u

i

adquieren el significado del desplaza-miento en el nodo i.

. Ejemplo 6.7.1. Vamos a emplear el metodo de los elementos finitos paraencontrar una solucion aproximada al campo de desplazamientos en el solidode la figura 6.6. Notese que este cuerpo no esta en un estado de traccion puradebido a las condiciones de contorno en su base y a las fuerzas volumetricas.Las primeras impiden su desplazamiento tanto vertical como horizontal enla base y las segundas obligan a que el tensor de tensiones cambie de puntoa punto.

f

1 2

L

x

y

Figura 6.6: Bloque cuadrado en deformacion plana, sometido a fuerzasdistribuidas f . Las constantes de Lame del cuerpo son � y µ.

Utilizaremos una solucion de elementos finitos con un solo elemento, que


coincide con el cuadrado de la figura. Para empezar, definimos el espacio defunciones como

Vh =n

w

h(x) = �h

1

(x)w1

+ �h

2

(x)w2

o

,

siendo

�h

1

(x) =y(L� x)

L2

, �h

2

(x) =xy

L2

.

La primera funcion tiene la propiedad de valer 1 en el nodo 1 y 0 en elnodo 2, y la segunda al contrario. Para calcular la matrices K

ji

, calculamoslos gradientes

{grad�h

1

} =

⇢ �y/L2

(L� x)/L2

�

, {grad�h

2

} =

⇢

y/L2

x/L2

�

.

Empleando las expresiones (6.43), obtenemos, despues de calculos algo la-boriosos:

K

11

=

�

3

+ µ 1

4

(�� µ)1

4

(�� µ) �

3

+ µ

�

, K

12

=

1

6

(�2�� 3µ) µ��

4

��µ

4

�

6

�

,

K

21

=

1

6

(�2�� 3µ) ��µ

4

µ��

4

�

6

�

, K

22

=

�

3

+ µ �+µ

4

�+µ

4

�

3

+ µ

�

,

F

1

=

(

fL

2

4

0

)

, F

2

=

(

fL

2

4

0

)

.

La resolucion del sistema de ecuaciones (6.42) requiere construir una unicamatriz de rigidez K y un unico vector de fuerzas F , colocando los bloquesrecien obtenidos. Suponiendo, por simplificar, que las constantes �, µ, L y ftienen todas ellas valor unidad, se sigue que

K =

2

6

6

4

4

3

�1

2

�5

6

0�1

2

4

3

0 1

6

�5

6

0 4

3

1

2

0 1

6

1

2

4

3

3

7

7

5

, F =

8

>

>

<

>

>

:

1

4

01

4

0

9

>

>

=

>

>

;

,

y que por lo tanto los valores nodales del desplazamiento sean

{u1

} =

⇢

7/83/8

�

, {u2

} =

⇢

7/8�3/8

�

.

Concluimos que la aproximacion por elementos finitos del campo vectorialen el cuadrado de la figura es, para el caso de las constantes escogidas,

u

h(x) =

7

8y(1� x) +

7

8xy

�

i+

3

8y(1� x)� 3

8xy

�

j .

/


Aunque la solucion obtenida en el ejemplo anterior es una solucion deelementos finitos, hay que indicar que en la practica la resolucion de proble-mas con este metodo sigue un camino ligeramente distinto y mas general,para poder emplear elementos irregulares y de cualquier tamano, donde lasintegrales necesarias para calcular las matrices de rigidez y vectores de fuerzano se pueden obtener analıticamente.

Problemas

6.1. Se consideran dos muelles elasticos de constantes k1

, k2

siendo el pri-mero mas rıgido que el segundo. Ambos muelles tiene un extremo sujeto yel otro libre.

a) Si se aplica una fuerza de traccion F igual a ambos muelles, ¿Cualalmacena mas energıa elastica?

b) Si el extremo libre de cada uno de los muelles se desplaza una distan-cia �, ¿cual almacena mas energıa elastica?

c) ¿Como se almacena mas energıa elastica en un muelle, sometiendolo auna fuerza de traccion o a una de compresion? (iguales en modulo).

d) ¿Como colocarıas los muelles (en serie o en paralelo) para que almace-naran la mayor cantidad posible de energıa cuando se aplica una unicafuerza F en el extremo libre? ¿Y si se aplica un desplazamiento sobreel extremo libre?

6.2. Demuestra que la energıa elastica complementaria almacenada en uncuerpo homogeneo sometido a una presion hidrostatica uniforme p es

W ⇤ =V

2Kp2 ,

siendo la rigidez volumetrica del material y V el volumen del cuerpo.

6.3. Considera un paralelepıpedo de lados Lx

, Ly

, Lz

paralelos a los ejescoordenados. Si las caras perpendiculares al eje x estan sometidas a unafuerza por unidad de superficie de valor �, demuestra que la energıa dedeformacion del paralelepıpedo es

Wint

=1

2K�2 ,

siendo K = EA/Lx

, A = Ly

· Lz

y � = �A/K.

6.4. Una barra recta de seccion constante A y material elastico con modulode Young E esta alineada con el eje x. En el extremo correspondiente a


x = 0, la barra esta sujeta, y en el extremo opuesto x = L, la barra estasometida a una fuerza F . Ademas, existe una fuerza distribuida por unidadde longitud sobre toda la barra y de valor f(x).

Se define el conjunto de funciones V = {v : [0, L]! R, v(0) = 0}. De-mostrar que si u 2 V satisface

Z

L

0

N · v0 dx =

Z

L

0

f · v dx+ F · v(L) ,

para todo v 2 V , entonces u satisface la ecuacion del equilibrio de barraselasticas, a saber,

(EAu0)0 + f = 0

siendo N = EA u0 y (·)0 = d

dx

(·)

f

1

L

x

y

Figura 6.7: Triangulo isosceles en deformacion plana, sometido a fuerzasvolumetricas f .

6.5. Encuentra la solucion de elementos finitos al problema de deformacionplana de la figura 6.7, empleando como unica incognita el desplazamientou

1

en el nodo 1 y como funcion de interpolacion

�h

1

(x) =y

L.

6.6. ?Demuestrar la relacion

1

V

Z

⌦

� dV =1

V

Z

�

1

2(t⌦ x+ x⌦ t) dA .

(Emplear el principio de los trabajos virtuales con un desplazamiento virtualw = Sx, siendo S un tensor simetrico cualquiera)

6.7. Un resorte elastico tiene una relacion fuerza/alargamiento que es nolineal y de la forma

F = k �3,

siendo k una constante. Calcular el trabajo que se realiza en un ciclo decarga en el que F es cero inicialmente y aumenta hasta alcanzar un valormaximo F

max

.


L/2 L/2

k

F1

F2

Figura 6.8: Estructural del problema 6.8.

6.8. La estructural de la figura 6.8 esta sometida a fuerzas F1

y F2

. Se sabeque la energıa elastica de una viga en voladizo de longitud L, seccion derigidez EI, sometida a un desplazamiento en su extremo libre de valor � es

Vint

(�) =3EI

2L3

�2. (6.45)

Ademas, se conoce que la energıa elastica de una viga biapoyada de longi-tud L, rigidez EI y con un desplazamiento vertical � en el centro de vanoes

Vint

(�) =EI

24L3

�2. (6.46)

Si el muelle de la figura tiene constante k = EI/L3, encontrar los despla-zamientos verticales en los puntos de aplicacion de las cargas utilizando elteorema de la mınima energıa potencial.

6.9. Una viga biapoyada esta sometida a una carga distribuida vertical haciaabajo de valor

q(x) = q sin

✓

⇡⇣x

L

⌘

3

◆

, (6.47)

siendo q una constante, L su longitud y x la coordenada de valor 0 ensu extremo izquierdo y L en su extremo derecho. Encontrar, empleando elmetodo de Ritz, la mejor aproximacion de la elastica de la forma v(x) =↵x(L � x) sabiendo que la energıa en flexion de una viga como la descritaes

V =

Z

L

0

EI

2(v00(x))2 dx�

Z

L

0

q(x) · v(x) dx, (6.48)

donde EI es la rigidez a flexion de la seccion transversal de la viga.


Bibliografıa

[1] R D Cook. Finite element modeling for stress analysis. John Wiley &Sons, 1995.

[2] R Courant. Variational methods for the solution of problems of equili-brium and vibrations. Transactions of the American Mathematical So-ciety, pages 1–23, 1942.

[3] K D Hjelmstad. Structural mechanics. Springer Science+Business Media,second edition, 2005.

[4] T J R Hughes. The finite element method. Prentice-Hall Inc., EnglewoodCli↵s, New Jersey, 1987.

[5] J Planas, I Romero, and J M Sancho. B free. Computer Methods inApplied Mechanics and Engineering, 217-220:226–235, 2012.

[6] M. Turner, R W Clough, H C Martin, and L J Topp. Sti↵ness and de-flection analysis of complex structures. Journal of Aeronautical Sciences,23(9):805–823, 1956.

[7] Kyuichiro Washizu. Variational Methods in Elasticity and Plasticity.Pergamon, 1982.

Apendice A

Coordenadas cilındricas

Se recogen a continuacion los principales resultados de calculo vectorialy tensorial en coordenadas cilındricas. Para ello, se considera un sistema decoordenadas cilındrico (r, ✓, z).

A.1. Operador gradiente

Si f es una campo escalar diferenciable, su gradient en coordenadascilındricas es:

rf =@f

@re

r

+1

r

@f

@✓e

✓

+@f

@ze

z

. (A.1)

A.2. Operador divergencia

Si v = v(r, ✓, z) es un campo vectorial con componentes vr

, v✓

, vz

, sudivergencia es el campo escalar

r · v =1

r

@rvr

@r+

1

r

@v✓

@✓+

@vz

@z. (A.2)

Si T = T (r, ✓, z) es un campo tensorial con componentes Trr

, Tr✓

, . . ., sudivergencia es el campo vectorial

r · T =

✓

@Trr

@r+

1

r

✓

@T✓r

@✓+ (T

rr

� T✓✓

)

◆

+@T

zr

@z

◆

e

r

+

✓

@Tr✓

@r+

1

r

✓

@T✓✓

@✓+ (T

r✓

+ T✓r

◆

+@T

z✓

@z

◆

e

✓

+

✓

@Trz

@r+

1

r

✓

@T✓z

@✓+ T

rz

◆

+@T

zz

@z

◆

e

z

.

(A.3)

A.3. Deformacion infinitesimal.

El calculo de las componentes del tensor de deformacion infinitesimalen un sistema de coordenadas no cartesiano conlleva complicaciones que

137


no estudiamos ahora. Resumiendo el resultado principal, en un sistema decoordenadas cilındrico (r, ✓, z), el tensor " tiene por expresion matricial:

["] =

2

4

ur,r

1

2

�

u

r,✓

r

+ u✓,r

� u

✓

r

�

1

2

(ur,z

+ uz,r

)1

2

�

u

r,✓

r

+ u✓,r

� u

✓

r

�

u

r

r

+u

✓,✓

r

1

2

�

u

z,✓

r

+ u✓,z

�

1

2

(ur,z

+ uz,r

) 1

2

�

u

z,✓

r

+ u✓,z

�

uz,z

3

5 (A.4)

Principios variacionales y termodin´amica de so´lidos...

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