Monomios

zyxzyxM 725),,( −=

Coeficiente

Variables

Notación:

Las variables se definen dentro del paréntesis por ej.  x  ,y , z

El coeficiente es una expresión que no depende de las variablesPor ej. ­5

Obs:

Grado Relativo: G.R(variable)

Monomios

Es el valor del exponente de la variable  a analizar.

Grado Absoluto:G.A(Nombre del monomio)

Es la suma de exponentes de todas las variables del monomio.

Ejm: zyxzyxM 725),,( −=

G.R(x)=2G.R(y)=7

G.R(z)=1

G.R(M)   = 2  + 7 + 1          = 10

Polinomios

7642),( 3472 −+−= xyxyxyxM

       Término     independiente

Variables

Notación:

Obs:

Se puede notar que un polinomio esta compuesto de uno o varios monomios (términos).

Polinomios

Grado Relativo: G.R(variable)

Es el mayor valor del exponente de la variable  a analizar.

Grado Absoluto:G.A(Nombre del Polinomio)

Es la mayor  suma de exponentes de las variables obtenida de cada término .

Ejm:7642),( 3472 −+−= xyxyxyxM

9 7 1 0

G.R(x)= 4

G.R(y)= 7G.R(M)   = {9; 7 ; 1 ; 0 }Max

= 9 

Nota 1 :La expresión grado de un polinomio , se refiere al grado absoluto del polinomio

Nota 2 : Para la notación del grado ( grado absoluto) del polinomio P(x) se pueden usar las siguientes.

))((. xPAG )]º([ xP><

Polinomios Especiales 

1.  Polinomio Homogéneo:Cuando todos los términos son  del mismo grado.

Ejm:

995472 642),( yxyxyxyxP −+−=

3223 33),( yxyyxxyxQ +++=

Grado de homogeneidad : 9 

Grado de homogeneidad : 3 

Polinomios Especiales 

2. Polinomio Completo:Cuando presenta todos los exponentes del la variable desde el mayor hasta el término  independiente.

Ejm:

8642),( 35472 +−+−= xyxyxyxyxQ

xxxxxxP +−+−+= 2453 73)(

Pol. Completo respecto a la variable x   

 Propiedad: En un polinomio completo el número de términos es igual a grado del polinomio aumentado en  1.

Num. de términos = Grado[P(x)] +1

xxxxxxP +−+−+= 2453 73)(

Ejm:

Num. de términos = Grado[P(x)] +1

  = 5 +1  = 6

Obs: Vemos que el grado de este polinomio es 5

Polinomios Especiales 3. Polinomio ordenado:Cuando los exponentes de al menos 

una  variable están ordenados en forma creciente o decreciente.

Ejm:

73)( 258 +−+= xxxxP

843 1011)( yyyyQ −+=

6725452),( yxyxyxyxyxR ++−=(Pol. Ordenado creciente respecto a x)

(Pol. Ordenado decreciente.)

(Pol. Ordenado creciente.)

Polinomios Especiales 4. Polinomio mónico:Cuando el coeficiente principal es 1.

Ejm:

2)( 275 +−+= xxxxP

843 32)( yyyyQ ++−=

133)( 23 +++= zzzzR

1

1

1

Polinomios Especiales 5. Polinomios  idénticos:Dos polinomios son idénticos 

definidos en las mismas variables  cuando sus  coeficientes  de términos semejantes  son iguales. 

)()( xQxP ≡Notación : 

76 2 +− xxEjm:

≡ cbxax ++2

⇔ 6=a 1−=b 7=c; ;

Esto se cumple :

Si:

Polinomios Especiales 6. Polinomios  idéntico 

nulo:Se llama así al polinomio constante de cero , o lo expresamos de otra forma : ” Se llama así al polinomio en el que todos los coeficientes son cero” . 

0)( ≡xPNotación : 

0Ejm:

≡dcxbxax +++ 23

⇔ 0=a 0=b 0=c; ;

Esto se cumple :

0=d;

Si:

Grados  en operaciones con Polinomios.    Operación Procedimientos Grado

Resultante

Adición:

P(x) + Q(x) El mayor  grado    (m;n)mayor

Sustracción:

P(x) ­ Q(x) El mayor  grado    (m;n)mayor

Multiplicación:

P(x) . Q(x) Suma de grados   m+n

División:

P(x) ‚  Q(x) Resta de grados    m­n

Potenciación:

[P(x)] k  k veces el grado del      polinomio P(x)

    m. k

Radicación:

     kÖ P(x)

  El grado del polinomio     P(x) entre k

    m/k

Valor numérico (V.N) Es el valor que se obtiene al reemplazar las variables por 

constantes numéricas.

);( byaxP ==

V.N );( yxP Cuando  x=a  Ù  y =b

);( baPó

V.N V.N

Problemas Resueltos

Ejm. Dados los polinomios P(x) , Q(x) tal que los grados de [P3(x).Q2(x)] ; [P(x).Q3(x)];    son 22 y 12 respectivamente.Halle el grado de : H(x)  = P2(x).Q3(x)+P3(x).Q2(x)A)20   B)21    C)22     D)23    E)24 

Solución:Sean los grados de P(x) y Q(x) : m y n respectivamente.Luego de las propiedades.

[P3(x).Q2(x)]º    =    [P3(x)  . Q2(x)]º

                          =    [P3(x)] º  + [Q2(x)]º

                                    =    3[P(x)] º  +  2[Q(x)]º

       22               =    3m +  2n   ……..(I)

Resolviendo las ecuaciones  (I) y (II)   22               =    3m +  2n   12               =    m +  3n

n=2 Ù m=6

[P(x).Q3(x)]º     =    [P(x) +  [Q3(x)]º

                          =    [P(x)] º  + [Q3(x)]º

                                    =    [P(x)] º  +  3[Q(x)]º

       12               =    m +  3n     .…………(II)

Piden calcular el grado de :   H(x)  = P2(x).Q3(x)+P3(x)+Q2(x)

[H(x)]º   =  [P2(x).Q3(x)+P3(x)+Q2(x)] º[H(x)]º   =  ( [P2(x).Q3(x)] º  , [P3(x)+Q2(x)] º)max[H(x)]º   =  ( [P2(x)] º +[Q3(x)] º  , [P3(x)] º +[Q2(x)] º)max[H(x)]º   =  ( 2[P(x)] º +3[Q(x)] º  , 3[P(x)] º +2[Q(x)] º)max[H(x)]º   =  ( 2m+3n , 3m+2n)max[H(x)]º   =  ( 2.6+3.2 , 3.6+2.2)max[H(x)]º   =  ( 18 , 22)max    =  22

Ejm.      Hallar el grado de:        P(x) = (x11+1)(x19+2)(x29+3)(x41+4)……                                                          12 paréntesisA)1500      B)1100   C) 1450     D)1550    E) 1600

[P(x)]º = [(x11+1)(x19+2)(x29+3)(x41+4)……]º                            = [(x11+1)]º+[(x19+2)]º+[(x29+3)]º+[(x41+4)]º+…

               =         11       +        19         +    29         +          41   + ……..            =  (3.4­1)  +  (4.5­1)  + (5.6­1) + (6.7­1) + …. +(14.15­1)                                     =  (3.4  +  4.5  +  5.6  +  6.7  +……+  14.15)    –   12

= (1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7+…+14.15) ­  (1.2+2.3)  ­12

 =(14.15.16)/3     ­20  = 1100                                                                 

Solución:

Solución:Piden calcular el término independiente de:

)1()1()( +++= xQxPxM

Esto se encuentra igualando la variable a 0  y reemplazándolo

)10()10()0( +++= QPM0=x

T.Ind:

)1()1( QP +=

knn

k

nk xxP C −

=∑=0

)( jnn

k

nj xxQ C −

=∑=0

)(;

knn

k

nkCP −

=∑= 1)1(0

∑=

n

k

nkC

0=

= Cn0 + C

n1 + C

n2 + + C

nn = n2

)1(P = n2

Calculando  P(1):

jnn

k

njCQ −

=∑= 1)1(0

∑=

n

k

njC

0=

= Cn0 + C

n1 + C

n2 + + C

nn = n2

)1(Q = n2

Calculando  Q(1):

Reemplazando en: )1()1()0( QPM +=

= n2n2 +

= n22×

= 12 +n)0(M

∴El término independiente de M(x) es 2n+1

Solución: Como f(x) es mónico y lineal es de la forma x+b.

Pero para que (x+b)(x+2) , tenga raiz exacta entonces x+b y x+2 deben ser iguales, entonces:  f(x)=x+2

\ f(2004)=  2004+2  =  2006

Solución:

132 +− xx 01

3 =+−x

x 31 =+x

x

31

)(2 =+=x

xxf

22 1

)(4x

xxf +=

44 1

)(8x

xxf +=

Ahora a partir de este resultado obtendremos :

∧

Dividimos entre x ambos miembros:

A partir de :

2312

=

+

xx

911

..22

2 =++xx

xx

712

2 =+x

x 71

)(2

24 =+=

xxxf

Elevando al cuadrado ambos miembros a (x +  1/x)  = 3  queda:

Desarrollando el binomio al cuadrado:

Simplificando y despejando obtenemos:

22

2 71

2

=

+

xx

4911

..242

24 =++xx

xx

4714

4 =+x

x 71

)(4

48 =+=

xxxf

Elevando al cuadrado ambos miembros a (x2 +  1/x2)  = 7  queda:

Desarrollando el binomio al cuadrado:

Simplificando y despejando obtenemos:

)()()( 842 xfxfxf ++

3 + 7 47+

Reemplazamos los valores obtenidos en lo que piden calcular:

=

= 57

Solución: 22 922)()( bbaxbaxbaxP ++−+−=−

22 9)(2)()( bbaxbaxbaxP ++−+−=−

212 b+)1(P = =22 9)1(2)1( b+++

29 b+)0(P = =22 9)0(2)0( b+++

Lo expresamos en forma explicita de su variable ax­b

Sabemos que  la suma de términos se halla evaluando P(1) :

Sabemos que  el término independiente se halla evaluando P(0) :

A partir del polinomio:

)1(P )0(P−

212 b+ )9( 2b+−

Piden calcular diferencia de   coeficientes  con el término independiente:

O sea : 

Reemplazando sus valores obtenidos

212 b+ 29 b−−

3

=

==

Solución:

))9(()8( fff =

)))10((()8( ffff =

))))11(((()8( fffff =

)))23((()8( ffff =

))47(()8( fff =

)95()8( ff =191)8( =f

≤>+

=10;))((

10;12)(

xxff

xxxf

Solución:

2n 2+n 1÷ ; ;Obs : Sabemos que en un P.A la semisuma de extremos es igual a término central :

2

12 +n = 2+n 4212 +=+ nn

0322 =−− nnn

n

3−

1

0)1)(3( =+− nn

0)3( =−n 0)1( =+n∨13 −= ón

Reemplazando  en la P.A queda:

1;5;9

1;1;1

3=n

1−=n

Si:

Si:

Obtenemos un polinomio ordenado

Obtenemos un monomio

Entonces n sólo puede ser 3.

Reemplazándolo el polinomio es:

xxxxf 842)( 59 −+=

∴ )1(−f = 2− 4− 8+ = 2

Solución:Método inductivo:

P(1)=21. 1! = 2

P(1).P(2)   =  22. 2!

= 8 P(2) = 4

P(1).P(2).P(3) =   23. 3! 

P(3) = 6

P(1).P(2).P(3).P(4)=24. 4!

P(4) = 8

P(1) = 2

i)

ii)

iii)

iv)

P(n) = 2n

Vemos que la ley de formación se obtiene con:

P(2004) =  2×2004  =   4008

\

fi

fi

fi

fi

= 48

= 384

Solución:

cbxaxxf ++= 2)(

02 =++ cba αα02 =++ bca αα

02 =++ cab αα02 =++ acb αα02 =++ bac αα

02 =++ abc αα

+

0)222()222()222( 2 =++++++++ cbacbacba αα

Al permutar los coeficientes de las  6 formas posibles resulta que a es una raíz (o sea lo anula)

0)1)(222( 2 =++++ ααcba

0)1( 2 =++αα)1()( 2 ++= xxkxf

)122()2( 2 ++= kf

)133()3( 2 ++= kf

)144()4( 2 ++= kf

=

=

=

k7

k13

k21

Factorizamos 2a+2b+2c :

Simplificando queda:Por lo tanto el polinomio f(x) debe ser de la forma :

V.N:

)4()3(

)3()2(

ff

ff

++ =

kk

kk

2113

137

++

k

k

34

20= =17

10

Reemplazando valores en :

Solución:

712

3 =+x

x25 71 xx =+

17 25 −=− xx

57)1

( 252

3 +−=+ xxx

xf

Solución:

:)7(fPara calcular  A la variable  (x3+1/x2) se le iguala a  7.

Reemplazamos estos valores en f .

= 4)7(f = 1− 5+∴

Solución:

Para calcular el término independiente igualamos la variable (x­1) a cero. 

ii)

01=−x 1=x

233)1( 23 −−+=− xxxxP21.3)1(31)0( 23 −−+=P

Reemplazando estos valores en el polinomio P: 

:.iT = 1−

Para calcular la suma de coeficientes igualamos la variable (x­1) a uno. 

i)11=−x 2=x

233)1( 23 −−+=− xxxxP

22.3)2(32)1( 23 −−+=P

Reemplazando estos valores en el polinomio P: 

:∑coef = 0

Piden:  åcoef ­ T.i = 0 ­ (­1)  =  1

Solución:

]1)()[()1( −=+ nfnfnf

2)1( =fDato: 

Método inductivo: 

i) Si: n=1 

]1)1()[1()2( −= fff]12)[1( −f

)1(f

2

===)2(f

ii) Si: n=2  ]1)2()[2()3( −= fff]12)[2( −f

)2(f

2

===)3(f

iii) Si: n=3  ]1)3()[3()4( −= fff]12)[3( −f

)3(f

2

===)4(f

2)1( =f

2)2( =f

2)3( =f

2)4( =f

2)2004( =f

Notemos que los resultados son  siempre 2: 

Solución:

52)1( +≡+ xxP

3)1(2)1( ++≡+ xxP

Coeficientes

Término independiente

Coeficiente principal

Variable

i) verdaderoii) verdadero

iii) verdadero

Solución:

acx

baxxP

−+≡)( xxPP ≡))((

))1((PP ))3((PP ))5((PP ))21((PP+ + +

1 3 5 21+ + +

+

+

= 211 = 121

Aplicamos esta propiedad en:

Una propiedad que tienen la expresiones de la siguiente forma es que la composición en si misma es x:

Solución:

14822 352);( ++ += mnm yxyxyxP

Si el siguiente polinomio es homogéneo:

Debe cumplirse que el grado es el  mismo en cada término:

822 ++ nm = 143 ++ m

22 44 nmm ++− = 022)2( nm +− = 0

0 0

0=n0)2( =−m ∧

2=m 0=n∧

984 352);( yxyxyxP +=Reemplazando estos valores obtenidos en el polinomio queda:

G.AP(x;y)=   4+8  =   3+9  =      12

∴

cxxxcxbxax +++≡+++ 22))()(( 23Solución:

NV . cx −=

ccccccbcac +−+−+−=+−+−+− )(2)(2)())()(( 23

cccc +−+−= 220 23

02 23 =+− ccc

0)12( 2 =+− ccc

0)1( 2 =−cc 1=c

122)1)()(( 23 +++≡+++ xxxxbxax

12223 ++++≡ xxxx

)1)(1()1(2 ++++≡ xxxx

)1](1[ 2 ++≡ xx

1))(( 2 +≡++ xbxax

10)( 22 ++≡+++ xxabxbax

∴ 0=+ ba

Solución:

02)( xxxP −=

000 )10(2)10( xxxP −=

00 19)10( xxP =

0)( xaxxP −=

000 )()( xxaxP −=0x=

2=a

El polinomio P es:    P(x) = 2x­x0.

∴

Solución:

1510 −=+ xx

51015 xxx −=+

551015 12 xxxx −−=++122 51015 −=++ xxx

1)(2 51015 −=++ xxx 115 =x

Hallemos el V.N cuando la variable   x10+x5 es igual a ­1 De aquí multiplicamos 

ambos miembros por x5

Luego sumamos la dos ecuaciones,  queda:

Despejando:

1−

Reemplazamos los valores obtenidos en:

15510 )( xxxP =+

1)1( =−P∴