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Docente: SALDAÑA GOLDSCHMIDT MIRKO ALFREDO
CÁLCULO VECTORIAL
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UnaUna ecuaciónecuación es una igualdad es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas, denominadas miembdenominadas miembros, en las que aparecen
valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas,
relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores
conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y
también variables cuya magnitud se aya establecido comoresultado de otras operaciones.
ECUACIONES ECUACIONES
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TÉRMINO ALGEBRAICO TÉRMINO ALGEBRAICO
!érmino algebraico!érmino algebraico
Una expresiónUna expresiónalgebraica consa !ealgebraica consa !euno o "#s $r"inosuno o "#s $r"inosalgebraicos%algebraicos%
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4
RESUMEN RESUMEN
• Una ecuación es una igualdad en la cual participan
algunas cantidades desconocidas, en general
designadas por letras.
• Las cantidades desconocidas se denominanincógnias.
• La palabra ecuación proviene de :
““aequare” que en latín significa igualar aequare” que en latín significa igualar .
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ECUACIONES
• Las ecuaciones reciben distinto nombresegún las operaciones que afectan a lasincógnitas.
• Tipos de ec!ciones – lgebraicas
– !rascendentes• La incógnita est" afectada por relaciones
trigonom#tricas$ logarítmicas$etc
%ste curso
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&
Ec!ciones A"#e$%!ic!sEc!ciones A"#e$%!ic!s
• "i tiene una sola cantidad desconocida diremos que
es una ecuación con una incógnia.
• "i la incógnita está afectada por las operaciones de
suma, resta, producto, potencia o cociente se llama
ecuación algebraica racional
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'
Ec!ci&n !"#e$%!ic! %!cion!"
• Una ecuación algebraica racional es enera si la
incógnita no está en ningún denominador
• E'e(p"os:
0)1)(15( =++ x x
32
13 +=
−+ x
x
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(
Ec!ci&n !"#e$%!ic! %!cion!"Ec!ci&n !"#e$%!ic! %!cion!"
• )na ecuación algebraica racional es)%!ccion!%i! si la incógnita est" en alg*ndenominador .
• E'e(p"o
3
1
13
2 =
+
+
x
x
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+
Ec!ci&n !"#e$%!ic! i%%!cion!"Ec!ci&n !"#e$%!ic! i%%!cion!"
• ,i la incógnita aparece en un radicando se diceque es una ecuación algebraica irracional
• E'e(p"o
51 =+ x
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So"ci&n de n! ec!ci&So"ci&n de n! ec!ci&nn
• )na so"ci&n de una ecuaciónalgebraica con una incógnita - es unn*mero -. tal que$ al reempla/ar - por-. en la ecuación$ #sta se transformaen una identidad num#rica.
• Resol&er una ecuación signi'icaResol&er una ecuación signi'ica!eer"inar si iene solución ( en al!eer"inar si iene solución ( en alcaso )allar o!as las soluciones%caso )allar o!as las soluciones%
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00
So"ci&n de n! ec!ci&nSo"ci&n de n! ec!ci&n
• %1emplos:
a2 *+,- . / tiene solución -.3
b2 0+ 1 2 . 0+ no tiene solución
c2 3+,243+124 . / tiene solución$
son -0 3 0 -6 3 70
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06
Reso"ci&n de n! ec!ci&nReso"ci&n de n! ec!ci&n
• %1emplo
8nica solución
!ratemos degenerali/ar el m#todo
para aplicarlo a otrasecuaciones
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Ec!ciones e5i6!"entesEc!ciones e5i6!"entes• 9os ecuaciones son equivalentes si admiten lasmismas soluciones.
• ;ómo se obtienen dos ecuaciones
equivalentes<
– "umando o restando a ambos lados de la ecuación la"umando o restando a ambos lados de la ecuación la
misma expresión.misma expresión.
– #ultiplicando ambos miembros de la ecuación por un#ultiplicando ambos miembros de la ecuación por un
número distinto de ceronúmero distinto de cero
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E'e(p"o: Reso"6e% 0+17 .E'e(p"o: Reso"6e% 0+17 .2020
• =estar 4 a ambos lados de la igualdad 0 8 1 7 , 7 . 20 9 7
0 8 .
• >ultiplicar ambos miembros por 0?6
4
8*2
1
)2(2
1
=∴
=
x
x
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05
E'e%ciciosE'e%cicios
• =esolver utili/ando ecuacionesequivalentes:
a2 -6 3 5 -6 @ & -
b2 -4 7 4 -6 3 & – & -6 @ -4
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0&
Ec!ciones "ine!"es con n!Ec!ciones "ine!"es con n!inc&#nit!inc&#nit!
• 9ados dos n*meros a b$ una ecuación conuna incógnita se dice lineal si es de laforma:
! + 1 $ . /
• La solución se obtiene sumando a amboslados –b multiplicando a ambos lados
por 0?a Asi a≠2 + . ,$;!
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0'
C<nt!s so"ciones tieneC<nt!s so"ciones tiene
n! ec!ci&n "ine!"=n! ec!ci&n "ine!"=
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E'e%ciciosE'e%cicios
2>,
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0+
E'e%ciciosE'e%cicios
0>,
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6
E'e%ciciosE'e%cicios
*>,
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7>,
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?RO@LEMAS?RO@LEMAS
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2%* La aca!e"ia iene +x, alu"nos - !e los cuales +( + son"u.eres %/ 0u$ pare !el alu"na!o no son "u.eres1
!4 +,;+$4 +1;+c4 +;+,d4 +1;+,e4 N>A
0%* En un esablo )a( 23 &acas - 43 oros ( 53 erneros% / 0u$'racción !e los ani"ales no son oros1
!4 2;B$4 2;0c4 2;*d4 0;*
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%* Una persona enia +p, a6os !e e!a! )ace +7, a6os% / Cu#nos a6os en!r# !espu$s !e +a, a6os1
a2 p@q@ab2 p7q@ac2 p@ q7a
d2 q7p7ae2 q7p@a
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2%* Una modista desea cortar una cinta de $%& cm de longitud en
tres tramos. "i cada tramo debe tener $ cm más que el
anterior, 'cómo debe acer los cortes(
8%* Un cable 7ue "i!e 93 c" se cora en 8 ra"os- ( ca!a ra"osucesi&o iene el !oble !e longiu! 7ue el anerior% :allar la
longiu! !el ra"o "#s largo%
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6&
;%* As'alar una calle cosó <22%333%333% Los &ecinos pagaron el !oble!e lo 7ue aporó la Municipali!a!- "ienras 7ue la =ro&inciaconribu(ó con las !os erceras pares !el apore Municipal%
/Cu#no !inero pusieron los &ecinos1
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B%* :allar la e!a! !e un pa!re ( la !e su )i.o sabien!o 7ue )ace> a6os la e!a! !el pri"ero 'ue cu#!ruple !e la e!a! !el segun!o
( 7ue !enro !e 54 a6os - sola"ene ser# el !oble !e la !e su
)i.o1
Rpt!: 2 !osRpt!: 2 !os 7 !os7 !os
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?%* Cinco a"igos 7uieren co"parir por igual el coso !e un pro(eco% Una&e@ 7ue calculan cuano iene 7ue poner ca!a uno - !os a"igos "#s seo'recen a paricipar con lo 7ue el coso por persona se re!u.o en > "ilsoles% /Cu#l es el coso !el pro(eco1
Rpt!: S; 27/Rpt!: S; 27/
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>%* Se co"pran 4; "eros !e ela por ciera cani!a! !e !inero % Si el"ero )ubiera cosa!o 59 soles "enos -se )abra po!i!o co"prar >"eros "#s / Cu#l es el precio !e un "ero !e ela1
Rpt!: BBRpt!: BB
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%* =or ca!a nue&e panes 7ue co"pró Mara- le regalaron un pan % Sirecibió ??3 panes en oal%/ Cu#nos panes le regalaron1) *ropuesta examen de admisión Universidad +ederico illareal-$%/(
Rpt!: Rpt!:
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53%* 0l profesor quiere premiar a sus alumnos obsequiándoles "12. a cada
uno , pero le faltar3a "1 &. . "i les da "1 /. a cada uno le sobrar3a "1 4.
5alle la suma de número de alumnos y del dinero que dispone.
) *ropuesta examen de admisión Universidad +ederico illareal-$%/(
Rpt!: Rpt!:
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53%* e!erico ca!a !a gasa la "ia! !e lo 7ue iene- "#s SD% 43%33soles% Si gasó o!o en cuaro !as-/ Cu#no gaso el ercer !a(
) *ropuesta examen de admisión Universidad +ederico illareal-$%/(
Rpt!: /Rpt!: /
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55%* /0u$ #ngulo 'or"an enre s las !os agu.as !e un relo. a las54 )rs% 5; F1 Ꞌ
0 */
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55%* /0u$ #ngulo 'or"an enre s las agu.as !e un relo. a las )rs% 5; F1 Ꞌ
2/ */
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54 %*/ A 7u$ )ora enre las 4 ( las 2 - el )orario ( el "inueroesar#n en !irecciones opuesas1
0 7* * 0;22
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52%*/ A 7u$ )ora enre las 2 ( las 8 las "anecillas se superponen1
* 2B 02 -;22
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6os ciclistas salen en sentido contrario a las 7 de la ma8ana de los
pueblos 9 y : situados a %& ilómetros de distancia. 0l ciclista que
sale de 9 pedalea a una velocidad constante de & m1, y el ciclista
que sale de :, a $ m1. '9 qué distancia de 9 se encontrarán y a
qué ora(
2>,
Se encuenran a las 55) 29 "in
?> "
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Un camión sale de una ciudad a una velocidad de / m1. Una ora
más tarde sale de la misma ciudad y en la misma dirección y sentido
un coce a < m1. "e pide=
2B>,
!4>, Tie(po 5e t!%d!%< en !"c!n!%"e.
Dist!nci! !" pnto de encent%o>$2.7
4 )oras %4 )oras %
543 "543 " .
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>uan le di?o a *edro= @o tengo el doble de la edad que tu ten3as
cuando yo ten3a la edad que tú tienes , pero cuando tú tengas la
edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de <& a8os.
5allar la suma de las edades actuales de ambos
2>,
7- !os7- !os
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>uan le dice a *edro = Auándo tengas lo que yo tengo, es decir,
el triple de lo que ten3as cuando yo ten3a / a8os menos de lo que
tienes, nuestras edades sumaran <B a8os. *edro a su veC le dice a
#art3n = Auándo tengas la edad que yo tengo , yo tendré cinco veces lo
que ten3as cuando yo ten3a lo que tú tienes . 'Dué edad tendrá #art3n
cuando *edro tenga el triple de lo que tiene actualmente(
2>,
!os