TRABAJO COLABORATIVO FASE 2

ALGEBRA LINEAL

100408A_220

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA – ECBTI

ABRIL 28 DE 2015

INTRODUCCION

La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología. Recordemos que en las últimas décadas él Algebra Lineal se ha convertido en una parte muy importante de las matemáticas, aportando significativamente al desarrollo con sus aportes a las ciencias informáticas, ya que todo gira actualmente en torno a los sistemas computacionales.

La realización del presente trabajo está relacionado con la solución de diferentes ejercicios presentados en el Algebra Lineal, tales como Sistemas de Ecuaciones Lineales, a través de la utilización de los diferentes métodos: de gauss, de eliminación Gaussiana, empleando la factorización y la matriz inversa.

En el siguiente trabajo colaborativo pretendemos lograr la apropiación de conocimientos de los contenidos temáticos de la unidad 2 del curso de Algebra lineal, mediante la solución práctica de ejercicios y problemas sobre sistemas lineales según el método de eliminación de Gauss, matrices inversas, ecuaciones simétricas y paramétricas, y el hallazgo de los puntos de los planos. Utilizando la estrategia de aprendizaje basado en proyectos, con la interacción de los participantes que componen nuestro grupo colaborativo y de esta forma lograr el desarrollo de competencias en los contenidos y conceptos estudiados en los capítulos de la segunda unidad, para alcanzar la transferencia de conocimientos mediante un aprendizaje significativo.

A continuación se encuentra el desarrollo y solución a ejercicios propuestos según el método de Gauss Jordán y las soluciones de matriz inversa.

OBJETIVO GENERAL

Lograr la transferencia de conocimientos y competencias relativas a los conceptos básicos teórico-práctico de sistemas lineales según el método de eliminación de Gauss, matrices inversas, ecuaciones simétricas y paramétricas, y el hallazgo de los puntos de los planos; a través del estudio, análisis y solución de problemas y ejercicios propuestos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Realizar aportes significativos que conlleven entre el grupo para generar la creación del trabajo final.

Generar retroalimentación en los puntos que el tutor halla comentado y puesto en disputa para el mejoramiento del producto a entregar por parte de los aportes en el foro colaborativo.

Crear un mundo de ideas y conocimiento del tema para la solución de la evaluación momento tres del curos algebra lineal que se encuentra dentro de la unidad dos.

Solucionar los problemas propuestos en la guía determinando métodos de solución.

Conocer cada uno de los temas propuestos en la unidad 2 como: Sistemas de Algebra Lineal Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas, planos y Espacios Vectoriales.

Aplicar los conocimientos a la solución de los problemas planteados. Aplicarlos métodos adecuados para solucionar sistemas de ecuaciones. conocer los elementos básicos y su aplicación en el planteamiento y

solución de problemas y los diferentes modelos matemáticos de los métodos para resolver ejercicios.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Resolver los cinco problemas que se presentan a continuación, describiendo el proceso paso por paso:

1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1

−x−4 y−11 z=−15x−9 y+z=−8−x+6 z=6

Ampliamos la matriz:

[−1 −4 −111 −9 1

−1 0 6 |−15−86 ]

Operamos:

F2=F1+F2→→→ [−1 −4 −110 −13 −10

−1 0 6 |−15−236 ]

F1=−1∗F1→→→ [ 1 4 110 −13 −10

−1 0 6 | 15−236 ]

F1=( 413

∗F ¿¿2)+F1→→→ [ 1 0 103 /130 −13 −10

−1 0 6 |103 /13−236 ] ¿

F3=(1∗F1)+F3→→→[ 1 0 103 /130 −13 −100 0 181/13|

103 /13−23181/13]

La matriz A ya se encuentra en su forma escalonada por filas, por lo que el proceso de reducción termina allí. Ahora escribimos el sistema lineal, que resulto de la última matriz. El sistema resultante será:

x+ 10313

z=103/13

−13 y−10 z=−2318113

z=181/13

De la última ecuación tenemos:

18113

z=18113

por lo tanto , z=1

Conocido “z” podemos hallar el valor de “y” de la siguiente ecuación así:

−13 y−10 z=−23

−13 y−10∗(1)=−23

−13 y−10=−23

−13 y=−23+10=−13

− y=−1313

=−1 paraque y sea positivamultiplicanos por−1

y=1

Igualmente conocido “z” podemos encontrar el valor de “x” de la siguiente ecuación así:

x+10313

z=10313

x+10313

∗(1)=10313

x+10313

=10313

x=10313

−10313

x=0

Lasolucion del sistemaes : x=0 , y=1 , z=1

Comprobamos:

−x−4 y−11 z=−15

−0−4∗(1 )−11∗(1)=−15

−4−11=−15

−15=−15

x−9 y+z=−8

0−9∗(1 )+1=−8

−9+1=−8

−8=−8

−x+6 z=6

−0+6∗(1 )=6

6=6

1.2.

−7 x+2 y−z+4w=103 x−5 y−2 z−w=−9

Ampliamos la matriz:

[−7 2 −13 −5 −2

4−1| 10−9]

Operamos:

F1=−17

∗F1→→→[1 −2/7 1/73 −5 −2

−4 /7−1 |−10/7−9 ]

F2=(3∗F1 )−F2→→→[ 1 −2 /7 1/70 29 /7 17 /7

−4 /7−5/7|−10 /733 /7 ]

F1=( 14203∗F2)+F1→→→ [1 0 9 /290 29/7 17/7

−18 /29−5 /7 |−32 /2933 /7 ]

F2=( 729∗F2)→→→[ 1 0 9/290 1 17 /29

−18/29−5/29 |−32/2933 /29 ]

La matriz A ya se encuentra en su forma escalonada reducida, por lo que el método finaliza allí.

Escribimos el sistema resultante:

x+ 929

z−1829w=−32

29

y−1729

z−529

w=3329

Observamos que las variables “z” y “w” están presentes en las dos ecuaciones. A“z” y “w” las llamamos variables libres. Para encontrar un vector que satisfaga las dos ecuaciones se requiere asignarle a “z” y “w”, valores arbitrarios con eso obtenemos los valores para x “y” y.

Ahora despejamos “x” en la primera ecuación:

x+ 929

z−1829w=−32

29

x=−3229

− 929

z+ 1829

w

Despejamos “y” en la segunda ecuación:

y−1729

z− 529

w=3329

y=3329

+1729

z+ 529

w

El sistema queda así:

x=−3229

− 929

z+ 1829

w

y=3329

+1729

z+ 529

w

z=z

w=w

Como vector fila obtenemos:

[−3229 − 929

z+ 1829w ,3329

+1729

z+ 529

w , z ,w](1)Como podemos asignar a z y w, todos los valores que deseemos, se trata de un caso de infinitas soluciones. La forma de solución escrita en (1), recibe el nombre de solución general, ya que contiene la forma de todas las posibles soluciones.

Si deseamos encontrar un vector cualquiera que satisfaga el sistema, le asignamos un valor a z y w (cualquiera) a este vector lo llamaremos solución particular.

Veamos ahora una solución particular:

[−3229 − 929

z+ 1829w ,3329

+1729

z+ 529

w , z ,w]cuando z=0 y w=0

Tenemos:

[−3229 − 929

∗(0 )+ 1829

∗(0 ) , 3329

+ 1729

∗(0 )+ 529

∗(0),0,0][−3229 ,

3329

,0,0 ]solucion particular1.cuando z=1 y w=0

Tenemos:

[−3229 − 929

∗(1 )+ 1829

∗(0 ) , 3329

+ 1729

∗(1 )+ 529

∗(0) ,1,0][−3229 − 9

29,3329

+ 1729

,1,0][−4129 ,

5029

,1,0]so lucion particular2.Ahora comprobamos:

usamos la solucion particular 1 , x=−3229

y=3329

z=0w=0

−7 x+2 y−z+4w=10

(−7∗−3229 )+( 2∗3329 )−0+4∗(0)=10

22429

+ 6629

−0+0=10

224+6629

=10

29029

=10

10=10

3 x−5 y−2 z−w=−9

( 3∗−3229 )−(5∗3329 )−2∗(0)−0=−9

−9629

−16529

−0−0=−9

−96−16529

=−9

−26129

=−9

−9=−9

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar).

x− y− z=03 x− y+3 z=2−x+z=−1

Calculando la inversa por la adjunta: A−1= 1

Det A∗Adj (A)).

Cofactores de A :A11=[−1 −20 1 ]= (−1 ) (1 )− (0 ) (−2 )=−1

A12=[ 2 −2−5 1 ]=(2 ) (1 )−(−5 ) (−2 )=−8A13=[ 2 −1

−5 0 ]=(2 ) (0 )− (−5 ) (−1 )=−5

A21=[−1 −70 1 ]=(−1 ) (1 )−(0 ) (−7 )=−1A22=[ 1 −7

−5 1 ]=(1 ) (1 )−(−5 ) (−7 )=−34

A23=[ 1 −1−5 0 ]=(1 ) (0 )−(−5 ) (−1 )=−5A31=[−1 −7

−1 −2]=(−1 ) (−2 )−(−1 ) (−7 )=−5

A32=[1 −72 −2]=(1 ) (−2 )−(2 ) (−7 )=12A33=[1 −1

2 −1]=(1 ) (−1 )−(2 ) (−1 )=1

La matriz de cofactores queda:

Cof A=[−1 8 −51 −34 5

−5 −12 1 ]La adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores:

Adj A=(Cof A )t Adj A=[−1 1 −58 −34 −12

−5 5 1 ]Ahora se calcula el determinante de A:

Det (A )=[ 1 −1 −72 −1 −2

−5 0 1 ]=1[−1 −20 1 ]−(−1 )[ 2 −2

−5 1 ]+(−7 )[ 2 −1−5 0 ]

Det (A )=1 [ (−1 ) (1 )−(0 ) (−2 ) ]+1 [ (2 ) (1 )−(−5 ) (−2 ) ]−7 [ (2 ) (0 )−(−5 ) (−1 ) ]Det (A )=−1−8+35=26

A−1= 1Det A

∗Adj (A )= 126 [−1 1 −5

8 −34 −12−5 5 1 ]=[

−126

126

−526

413

−1713

−613

−526

526

126

][ xyz ]=[

−126

126

−526

413

−1713

−613

−526

526

126

] [−7−21 ]=[ (−126 ) (−7 )+( 126 ) (−2 )+(−526 )(1 )

( 413 ) (−7 )+(−1713 ) (−2 )+(−613 ) (1 )

(−526 ) (−7 )+( 526 ) (−2 )+( 126 ) (1 ) ]=[001 ]3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1 Contiene a los puntos R=(−6,6,1) y Q=(−10 ,2−3)

Vector direccional:

R=(−6,6,1 )Q=(10,2 ,−3 )

V=RQ= (x2−x1 ) i+( y2− y1 ) j+( z2−z1 ) k

V=RQ= (−10−(−6 ) ) i+ (2−6 ) j+(−3−1) k

V=RQ= (−10+6 ) i+ (−4 ) j+(−4 ) k=−4 i−4 j−4 k

V=RQ=−4 i−4 j−4 k

Luego:

a=−4b=−4 c=−4

Ecuaciones vectoriales:

x i+ y j+z k=−6 i+6 j+1 k

Ecuaciones paramétricas:

x=x1+ta x=−6−4 ty= y1+tb y=6−4 tz=z1+tc z=1−4 t

Ecuaciones Simétricas:

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

x+6−4

= y−6−4

= z−1−4

Comprobamos:

t=2

x=−6−4 t=−6−4 (2 )=−6−8=−14y=6−4 t=6−4 (2 )=6−8=−2

z=1−4 t=z=1−4 (2 )=1−8=−7

x=−14y=−2z=−7

x+6−4

= y−6−4

= z−1−4

−14+6−4

=−2−6−4

=−7−1−4

−8−4

=−8−4

=−8−4

2=2=2

3.2 Contiene a P= (−5,0 ,−8 ) y es paralela a la recta

x−9−1

= y+3−6

= z−5−10

Como la recta está representada por su correspondiente ecuación simétrica utilizamos sus coeficientes para hallar el vector de la siguiente forma:

−1 i−6 j−10 k

a=−1b=−6c=−10

Ecuaciones Paramétricas:

x=x1+ta x=−5−1 ty= y1+tb y=0−6 tz=z1+tc z=−8−10t

Ecuaciones Simétricas:

x−x1a

=y− y1b

=z−z1c

x+5−1

= y−0−6

= z+8−10

Comprobamos:

t=2

x=−5−1 t=−5−1 (2 )=−5−2=−7y=0−6 t=0−6 (2 )=0−12=−12

z=−8−10 t=z=−8−10 (2 )=−8−20=−28

x=−7y=−12z=−28

x+5−1

= y−0−6

= z+8−10

−7+5−1

=−12−0−6

=−28+8−10

−2−1

=−12−6

=−20−10

2=2=2

4. Encuentre la ecuación general del plano que:

4.1 Contiene a los puntos S=(1 ,−8 ,−2), Q=(−3,0 ,−8 ) yT=(5 ,−6,1)

Formamos los vectores SQ y ST

SQ= (−3−1 ) i+ (0+8 ) j+(−8+2 ) k=−4 i+8 j−6 k

ST=(5−1 ) i+(−6+8 ) j+ (1+2 ) k=4 i+2 j+3 k

QT=(5+3 ) i+(−6−0 ) j+(1+8 ) k=8 i−6 j+9 k

Ahora hallamos un vector que sea perpendicular a SQ y ST simultáneamente, (este nos servirá como vector normal).

SQ∗ST=| i j k−4 8 −64 2 3 |

¿ i|8 −62 3 |− j|−4 −6

4 3 |+k|−4 84 2|

¿ i (24− (−12 ) )− j (−12−(−24 ))+ k (−8−32)

¿ i (24+12 )− j (−12+24 )+k (−40)

¿36 i−12 j−40 k

Utilizando cualquiera de los tres puntos (por ejemplo Q) tenemos:

36 ( x+3 )−12 ( y−0 )−40 (z+8 )=0

36 x+108−12 y+0−40 z−320=0

36 x−12 y−40 z=0−108+320

36 x−12 y−40 z=212

36 x−12 y−40 z−212=0

Verificamos si la ecuación resulta igual si decidimos hacer SQ yQT y escogemos el punto S.

SQ yQT=| i j k−4 8 −68 −6 9 |

¿ i| 8 −6−6 9 |− j|−4 −6

8 9 |+k|−4 88 −6|

¿ i (72−36 )− j (−36− (−48 ) )+ k (24−64)

¿ i (36 )− j (−36+48 )+ k (−40)

¿36 i−12 j−40 k

36 ( x−1 )−12 ( y+8 )−40 ( z+2 )=0

36 x−36−12 y−96−40 z−80=0

36 x−12 y−40 z=0+36+96+80

36 x−12 y−40 z=212

36 x−12 y−40 z−212=0

4.2 Contiene al punto Q=(−7,2,1) y tiene como vector normal a

n=− i−2 j+4 kSolución:

Remplazamos los valores del punto Q en el vector normal:

−1 ( x+7 )−2 ( y−2 )+4 ( z−1 )=0

−x−7−2 y+4+4 z−4=0

−x−2 y+4 z=0+7−4+4

−x−2 y+4 z=7

−x−2 y+4 z−7=0

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

π1 :−3x−5 y+z=−2 Y π2 :−9 x+7 y+3 z=−10

Lo primero que debemos hacer es resolver las dos ecuaciones simultáneamente, es decir:

−3 x−5 y+z=−2−9 x+7 y+3 z=−10

Ampliamos la matriz:

[−3 −5 1−9 7 3| −2

−10]Operamos:

F1=−13

∗F1→→→[ 1 5 /3 −1/3−9 7 3 | 2 /3−10]

F2=(9∗F1 )+F2→→→[1 5/3 −1/30 22 0 |2/3−4 ]

F1=(−566∗F2)+F1→→→ [1 0 −1 /30 22 0 |32/33−4 ]

F2=( 122∗F2)→→→[ 1 0 −1/30 1 0 | 32/33−2/11]

Aquí finaliza el método de reducción de GAUSS-JORDAN. Las ecuaciones resultantes son:

x−13z=3233

y=−211

Observamos que ninguna variable está presente en ambas ecuaciones, sin embargo conocemos el valor de “y”, y en la primera ecuación tenemos dos variables que son “x” y “z”. Por lo tanto despejamos “z” en la primera ecuación, de igualamos “x = x”.

z=3 x−3211

y=−211

x=x

Si designamos a “x = t” nos queda:

z=3 t−3211

y=−211

x=t

Que son las ecuaciones paramétricas de la recta en que se interceptan los dos planos π1 y π2.

Para verificar obtengamos un punto en común a los dos planos a partir de las ecuaciones paramétricas y veamos que satisface las ecuaciones de los dos planos.

Sea “t = 1”, entonces:

z=3 (1 )−3211

=3−3211

=33−3211

= 111

y=−211

x=1

Tenemos el punto: (1 ,− 211,111 )

Verifiquemos que estos valores se cumplen para ambas ecuaciones:

π1 :−3x−5 y+z=−2

−3 x−5 y+z=−2

−3(1)−5 (−211 )+ 111=−2

−3+ 1011

+ 111

=−2

−3+ 10+111

=−2

−3+1=−2

−2=−2

π2 :−9 x+7 y+3 z=−10

−9 x+7 y+3 z=−10

−9 (1)+7 (−211 )+3( 111)=−10

−9−1411

+ 311

=−10

−9−14+311

=−10

−9−1111

=−10

−9−1=−10

−10=−10

Si cambiamos el valor de t con diferentes números iremos obteniendo diferentes puntos de la recta la cual es el resultado de la intersección de los dos planos, y al reemplazarlos en las ecuaciones iniciales obtenemos la igualdad.

CONCLUSIONES

Se comprendió las definiciones y aplicaciones necesarias para dar solución a los problemas propuestos por la actividad.

Se logró la comprensión y aplicación de los principios del algebra lineal, de la segunda unidad, sus teorías facilitando el entendimiento y desarrollo de los ejercicios propuestos.

Todos y cada uno de los conceptos vistos son indispensables para el buen desarrollo de los ejercicios propuestos en este trabajo.

Se tuvo la iniciativa de investigar en fuentes de internet sobre el tema a tratar para así poder realizar los ejercicios, de igual forma hubo participación del grupo para dar las mejores soluciones a los problemas planteados.

Por último se generó entendimiento en la formación de los objetivos propuestos en el trabajo dando como resultado el conocimiento previo del contenido de los problemas para así facilitarnos el desarrollo de la evaluación momento tres por parte de cada uno de los integrantes y participantes del grupo colaborativo en general.

Se identificó la temática tratada de la unidad 2, se puso en práctica cada uno de los conceptos aprendidos en el desarrollo de los ejercicios propuestos.

Se comprendió cada concepto para aplicarlos al desarrollo de los diferentes ejercicios.

Se tuvo la iniciativa de investigar en internet sobre las temáticas relacionadas al trabajo, para comprender la solución de los problemas planteados.

REFERENCIAS

Zuñiga G., Rondón, J. (2010). MODULO ALGEBRA LINEAL. Primera Edición. Bogotá. Editorial: © Copyright.

MITECNOLÓGICO. (2010).Método de Eliminación Gaussiana. Web: http://www.mitecnologico.com/Main/MetodoEliminacionGaussiana

Fraleigh, B. Algebra lineal. Recuperado de: http://pentagono.uniandes.edu.co/~acardona/AL-CAP1.pdf

Steegmann P., C., Rodríguez V., J. matriz inversa. Recuperado de: http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Matriz_Inversa.pdf