Consolidado Trabajo Colaborativo Fase 3

7/25/2019 Consolidado Trabajo Colaborativo Fase 3

1/19

ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE TRES

Presentado a:

MNICA MARCELA PEATutor

Entregado por:

Jos Domingo PalominoCdigo: 91185402

Leonardo Abdn Barn HernndezCdigo: 91111009

Nstor Yesid Contreras SurezCdigo: 1098680718

Cristhian Adrin Villabona MacasCdigo: 1095940225

Jorge Augusto JaimesCdigo: 91541983

Grupo: 100412_19

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNADESCUELA DE CIENCIAS AGRCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO

AMBIENTE

JUNIO del 2016BOGOT D.C.


2/19

INTRODUCCION

El desarrollo del trabajo colaborativo de la fase 3 de ecuaciones diferenciales nos permite

abarcar los temas desarrollados en esta unidad, con el desarrollo de las actividades

propuestas, ejercicios y estudio de la temtica correspondiente.

Las ecuaciones diferenciales constituyen un buen instrumento para la interpretacin y

modelacin de fenmenos cientficos y tcnicos de mayor variedad que contienen

dinmicas de evolucin, transformacin o cambio en trminos de algunos parmetros.

Por eso son de importancia para los ingenieros de cualquier rama.

La participacin en el foro de cada uno de los compaeros con sus respectivos aportes da

muestra en el inters por aprender, desarrollar y aplicar los conceptos en ambientes de la

vida real, en que la construccin de modelos matemticos para tratar estos problemasimplican una ecuacin en que la funcin y sus derivadas desempean papeles decisivos,

estas ecuaciones son llamadas Ecuaciones Diferenciales.


3/19

OBJETIVOS

* Solucionar ecuaciones con la aplicacin de los diferentes mtodos teniendo en cuenta el

modulo general de ecuaciones diferenciales.

* Resolver ecuaciones diferenciales, criterios de aplicacin, criterios de convergencia, mtodo de

series de potencia y series de potencia alrededor de un punto

* Obtener una herramienta fundamental que le permitir al estudiante, abordar problemas

concretos relacionados con otras ciencias.

* Reconocer y aplicar las tcnicas fundamentales para la solucin de ecuaciones diferenciales.


4/19

Aporte individual Trabajo Colaborativo Fase 3 Unidad 3

1. Resolver el problema de valor inicial a travs del mtodo de series de Taylor , Nombre estudiante que realiza el ejercicio Jos Domingo Palomino

Martnez

PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIONMATEMATICA

RAZON OEXPLICACION

, Ecuacin original 10 0 1 1Se encuentra que: 0 1

Reemplazando la condicin

inicial en la ecuacin

diferencial: ( 0 , 0)

0 1 1 1 1

1 1 Derivando la ecuacin

diferencial

1 1 0 0 1 2Se encuentra que: 0 2

Reemplazando las

condiciones inciales en la

expresin anterior

1 1 2 1 1 1

Derivando nuevamente 1 1 2 1 1 1

1 2 1 1 Reemplazando las

condiciones inciales en laecuacin anterior


5/19

2 0 0 1 211 0 0 1 2 8 10Se encuentra que: 0 10

P ! P !

=

Entonces usando la serie de

Taylor para aproximar la

solucin a un polinomio

0 01! 0 02! 0 03! 0 0 11 22 106 106

Tomando un polinomio degrado 3

Solucin hallada


6/19


7/19

1 1

= por el test de la serie

alternante la serie converge,as que el conjunto de

convergencia es

52 < 72

solucion


8/19

3. Calcule el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencia:

100! 7

Nombre estudiante que realiza el ejercicio Jorge Augusto JaimesJerez


RAZON OEXPLICACION

100! 7

Para hallar la convergencia

usaremos el criterio de la

razn

La cual dice que

R =

lim | +

|

Remplazamos

l i m 100+! 1 7+100! 7

Despajamos, aqu usare la

regla de potencias que dice

que an* a1= an+1

l i m | ! 100 100 7 7 ! 1 100 7 | Despejando el polinomio nosquedaR = lim | ++ | Solucionando el limiteR =

+ |7| = R = + |7|R =

+ |7|

= 0En este caso es convergente en 0

Aplicando el lmite

En el caso del radio

Para x = x0tendr un radio de

convergencia = 0, en este

caso x0 es -7 ya que segn la

regla general de serie de


9/19

potenciacin es (xa)n

remplazando en este caso

sera (x(-7))n de tal modo

que se cumple cuando x=-7 el

resultado dar 0 pero de igual

modo se cumple la regla que

para todo x tendr un radio

de convergencia =porque no importa el valor dex siempre dar 0.


10/19

4. Hallar la solucin general de la siguiente ecuacin como una serie de potencialalrededor del punto x=0

2 0

Nombre estudiante que realiza el ejercicio Nstor Yesid ContrerasSurez.


RAZON OEXPLICACION

2 0Ecuacin Original.

= Consideramos solucin dela forma: = , =

Los desarrollos en seriepara y dados por.

=

=

= Sustituimos estas series depotencias en la ecuacin.

=

=

= Escribimos las tres series

de forma que el trminogeneral de cada una deellas sea una constantemultiplicada por

[ + ] = Separamos los trminoscorrespondientes a yagrupamos los coeficientesde obteniendo

+

,

Igualamos a 0 loscoeficientes de la serie depotencias

. . . . . . .

De esta manera


11/19

. . ! . . . .

. . !

. ! ,+ . [ . . . ] ,Considerando y como constantesarbitrarias, se obtiene.

. !

=

[ . . . ] +

=

As nos resultan dossoluciones linealmenteindependientes.

Por consiguiente lasolucin a la ecuacin estdada por


12/19

5. Resolver por series la ecuacin diferencial:

0Nombre estudiante que realiza el ejercicio LEONARDO ABDON

BARON HERNANDEZ


RAZON OEXPLICACION 0 Ecuacin original

= Para iniciar asumimos que la

solucin es de la forma

= Y

1=

Encontramos las derivadas de

la funcin

1=

=

0 Sustituimos las derivadas en laecuacin inicial 1= = + 0

Ingresamos a la suma

22 1 33 1 1=

=

+ 0

2 6 1=

= + 0

Al reemplazar 2 en laprimera serie tenemo que la

potencia de es0, y alreemplazar 0 en lasegunda serie tenemos que la

potencia de

es

2 por esta

razn tenemos que igualar las

potencias iniciales para esto

sacamos 2 trminos de la

primera serie

En la primera serie hacemos: Ahora igualamos los

exponentes y los coeficientes


13/19

2De donde 2si hacemos 4tenemos que 2En la segunda serie hacemos:

2De donde

2si hacemos

0tenemos que

2

de las series

2 6 2 1+= = 0Reemplazando lo anterior en

la ecuacin

2 6 2 1+= 02 6 ( 2 1+ )= 0

Reescribimos la ecuacin en

trminos de una sola

sumatoria

2 0, 0;6 0, 0;Y

2 1+ 0+ 2 1

De donde

Para

2

+ 2 22 1 43Para 3

+ 3 23 1 54Para 4

+ 4 24 1 65 0Para 5

+ 5 25 1 76 0

Ahora reemplazamos los

valores de


14/19

Para 6+ 6 26 1 87 4387

Para

7

+ 7 27 1 98 5498Para 8

+ 8 28 1 109 0Para 9

+ 9 29 1 1110 0Para 1 0

+ 1 0 21 0 1 1211 43871211

Para

1 1

+ 1 1 21 1 1 1312 54981312

= Con estos valores anteriores y

volviendo a nuestra solucin

de la ecuacin

43 54 4387 5498 43871211 54981312

Tenemos nuestra solucin

general


15/19

De donde:

43 54 4387

5498 43871211 54981312 Simplificando tenemos que:

1 43 4387 43871211

54 5498 54981312


16/19

Actividad Colaborativa

1. EJERCICIO Y SOLUCI N PLANTEADA

Hallar la solucin general de la ecuacin diferencial 0yyxy , determinando

dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias de x . Campo de validez

de las mismas. En particular obtener la solucin tal que y(0) = 1 y(0) = 0.

_____________

Esp( )

q( )

x x

x

1

. Ambas analticas en x0 = 0, con radios de convergencia de sus

respectivos desarrollosR

R

1

2

, es decir x0 = 0 es punto ordinario..

Luego, segn el teorema anterior, existe solucin de la ecuacin en serie de potencias dex,

vlida para todo xR .

Sea y a xn

n

n

0

. Por tanto :

y n a xnn

n

1

1

,

y n n a xnn

n

( )1 2

2

En la ecuacin diferencial :

n n a xn

n

n

( )

1 22

- n a xn

n

n

1

- a xn

n

n

0

0 en

Trmino independiente : 2 1 02 0 a a aa

2 02

Coeficiente de x : 3 2 03 1 1 a a a aa

31

3

............................ ................................. .................

Coeficiente de xn: n n a n an n 2 1 1 02

aa

nn

n

22

Ley de recurrencia : aa

nn

n

n 2 2

Luego a0y a1son libres y

aa

n

aa

n

n

n

20

2 11

2

2 1

( )!!

( )!!

Por tanto :


17/19

y x a

x x x

na x

x x x

n

a y x a y x x

n n

( )!! !!

...( )!!

...!! !!

...( )!!

...

( ) ( )

0

2 4 2

1

3 5 2 1

0 1 1 2

12 4 2 3 5 2 1

Solucin particular:y

y

a

a

( )( )0 10 0

10

0

1

Luego y xx

n

n

( )( )!!

2

0 2

y xx

n

x

n

n

n

n

( )! !

2

0

2

02

2

2

x2

e)x(y

2. EJERCICIO Y SOLUCI N

PLANTEADA

OBSERVACIONES, ANEXOS,

MODIFICACIONES A LA

SOLUCIN PLANTEADA

Inicialmente un cultivo tiene un nmero debacterias. En 1 se determina que elnmero de bacterias es

43 . Si la razn decrecimiento es proporcional al nmero de

bacterias presentes en el tiempo t,determine el tiempo necesario para que se

duplique el nmero de bacterias.

Solucin a evaluar:

Planteando la ecuacin diferencial sera: 0Solucionamos por series:

Inicialmente un cultivo tiene un nmero debacterias. En 1 se determina que elnmero de bacterias es

43 . Si la razn decrecimiento es proporcional al nmero de

bacterias presentes en el tiempo t,determine el tiempo necesario para que se

duplique el nmero de bacterias.

Solucin a evaluar:

Planteando la ecuacin diferencial sera: 0Solucionamos por series:


18/19

=

1

1

Reemplazando

11

0 0 11

0 0Hacemos en la primera serie = 1 y en lasegunda =

11

0

0 0

Agrupando en una sola serie:

[ 11 ]0 0Hacemos el coeficiente de igual a cero 11 0Despejando 11

1

1

Como = Tenemos que:

!

=

!

=

En = 0 se tiene que0 00 0Por lo tanto

En = 1 se tiene que

=

1

1

Reemplazando

11

0 0 11

0 0Hacemos en la primera serie = 1 y en lasegunda =

11

0

0 0

Agrupando en una sola serie:

[ 11 ]0 0Hacemos el coeficiente de igual a cero 11 0Despejando 11

1

1

1 02 12 02 201 23 23

2023 301 2 34 34

301 2 34 401 2 3 4Por tanto

0! Como

= Tenemos que:


19/19

43 0 043

l n 43

Por lo tanto:

Para determinar el tiempo en que se ha

duplicado 2 Entonces: ln 43 l n 2

ln 2ln 43

2,41

!

=

!

=

En = 0 se tiene que0 00 0Por lo tanto

En = 1 se tiene que43 0 04

3

l n 43Por lo tanto:

Para determinar el tiempo en que se ha

duplicado 2 Entonces:

ln43 l n 2

ln 2ln 43 2,41

Consolidado Trabajo Colaborativo Fase 3

Documents

Transcript of Consolidado Trabajo Colaborativo Fase 3