TALLER DE CALCULO VECTORIALTema: Parametrizacion de SuperficiesProf. Luis Eduardo Lopez M.lelopezm@wordpress.comYouTube: MateMath-University

1. Parametrice el solido Q formado por el plano 4x + 3y − z = 12 y el primer octante.

2. Parametrice el solido Q formado por los planos 2x + y = 1; z = 1, en el primer octante.

3. Parametrice el solido Q formado por la superficie z = 1 − x2 y el plano y + z = 2, en el primeroctante.

4. Parametrice el solido Q formado por la superficie z = x2 + y2 y los planos 2z = 2 + 3x; z = 4;x = 0; y = 0, en el primer octante.

5. Parametrice el solido Q formado por la superficie x2 + z2 = 16 y el plano y + z = 4, en el primeroctante.

6. Parametrice el solido Q formado por el paraboloide z = 5− x2 − y2 y z = 1 en el primer octante.

Nota Los ejercicios propuestos para la tematica referente a la Unidad 03, la he tomado del libroCalculo de Varias Variables de Denis Zill, et. al. Cuarta edicion.

FundamentosEn los problemas 1-4, encuentre ecuaciones paramétricaspara la superficie dada.

1. El plano

2. El plano

3. El hiperboloide para

4. El paraboloide

En los problemas 5 y 6, encuentre una función de valores vec-toriales para la superficie dada.

5. El cilindro parabólico para

6. El cilindro elíptico

En los problemas 7-10, identifique la superficie dada elimi-nando los parámetros.

En los problemas 11-14, use la gráfica para obtener el domi-nio del parámetro R correspondiente a la porción de la super-ficie dada. Para los problemas 11 y 12 vea el ejemplo 13; paralos problemas 13 y 14 vea el ejemplo 5.

11.

12.

13.

14.

En los problemas 15-22, encuentre una ecuación del planotangente en el punto sobre la superficie que corresponde a losvalores del parámetro dado.

FIGURA 15.5.13 Gráfica del problema 14

10�2 �12

01 2

y

1

0

z

x

2

FIGURA 15.5.12 Gráfica del problema 131

0�1

�1

�0.5

�1

0

1

y

z

x

0

FIGURA 15.5.11 Gráfica del problema 12

0 01

2

0

1

0.5

y

z

x

�1�1 �2

1

FIGURA 15.5.10 Gráfica del problema 11

1

0.5z

00

1 43

2x

10

0.5y

x2>4 � y2>9 � 1

�8 � z � 1�2 � x � 2,z � 1 � y2

r(u, y)

z � 5 � x2 � y2

y � �1�x2 � y2 � z2 � 1

2x � y � 1

4x � 3y � z � 2

Ejercicios 15.5 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-47.

7.

8.

9.

10. r(f, u) 2 sen f cos ui 3 sen f sen uj 4 cos fk

r(u, y) sen ui sen u cos yj sen u sen yk

x u, y y, z u2 y2

x cos u, y sen u, z y

15.

16.

17.

18.

19.

20. r (u, y) u sen yi u cos yj uk; u 1, y p>4r (u, y) ui yj uyk; u 3, y 3

r (u, y) 4 ui 3 u2 cos yj 3u2

sen yk; u 1, y p>3r (u, y) (u2 y)i (u y)j (u2 y2)k; u 1, y 2

x u cos y, y u sen y, z u2 y2; u 1, y 0

x 10 sen u, y 10 cos u, z y; u p>6, y 2

15Zill816-839.qxd 27/10/10 19:51 Página 837

En los problemas 23 y 24, encuentre una ecuación del planotangente a la superficie en el punto dado.

23.

24.

En los problemas 25-30, encuentre el área de la superficiedada. Si le resulta instructivo, emplee un SAC para graficar lasuperficie.

25. La porción del plano para

26. La porción del plano dentro del cilindro

27. La porción de para

28. La porción de r(r, u) = r cos ui + r sen uj + rk para

29. La superficie x = r cos u, y = r sen u, z = u, 0 r 2,

30. La esfera x = a sen f cos u, y = a sen f sen u, z = a cos fpara

En los problemas 31-34, emplee el problema 30 como unaayuda en la determinación de las ecuaciones paramétricaspara la porción indicada de la esfera Encada caso encuentre el área de esa porción de la esfera.

31. La porción de la esfera debajo del plano 32. La porción de la esfera debajo del plano pero sobre

el plano 33. La porción de la esfera sobre el plano 34. La porción de la esfera fuera del cilindro

35. Considere el cono dado en (3) del ejemplo 2, para

a) Dibuje o grafique, utilizando un SAC, los bastidoresde superficie correspondientes a y Dibuje las curvas en rojo.

b) Dibuje o grafique, empleando un SAC, los bastidores desuperficie correspondientes a y Dibuje las curvas en color azul.

c) Superponga los cuatro bastidores de superficie de losincisos a) y b) sobre el mismo eje de coordenadas.

36. Considere la esfera dada en (4) del ejemplo 5, para

a) Dibuje o grafique, utilizando un SAC, los bastidores desuperficie correspondientes a y Dibuje las curvas en rojo.

b) Dibuje o grafique, utilizando un SAC, los bastidoresde superficie correspondientes a u = p 4 y u = 5p 4.Dibuje las curvas en azul.

c) Superponga los cuatro bastidores de superficie en losincisos a) y b) sobre los mismos ejes de coordenadas.

Problemas con calculadora/SACEn los problemas 37-42, asocie la superficie dada en la figu-ra con la gráfica de una función de valores vectoriales

en a)-f ). Emplee un SAC y experimente con diferentes domi-nios del parámetro y perspectivas.

a)b)c)d)e)f )

37.

38.

39 40.

41. 42.

FIGURA 15.5.19 Gráfica delproblema 42

y

z

x

FIGURA 15.5.18 Gráfica delproblema 41

x

z

y

FIGURA 15.5.17 Gráfica delproblema 40

y

z

x

FIGURA 15.5.16 Gráfica delproblema 39

x

z

y

FIGURA 15.5.15 Gráfica delproblema 38

x

z

y

FIGURA 15.5.14 Gráfica delproblema 37

x

z

y

r(u, y)

>>

f � 2p>3.f � p>3a � 2, 0 � f � p, 0 � u � 2p.

u � 3p>2.u � p>2

r � 1.r � 12

0 � r � 1, 0 � u � 2p.

x2 � y2 � 2z � 12

z � 0z � 1z � 1

x2 � y2 � z2 � 4.

0 � f � p, 0 � u � 2p

0 � u � 2p��

0 � r � 2, 0 � u � 2p

0 � z � 4r(u, y) � ui � yj � (u2 � y2)k

x2 � y2 � 1x � y � z � 1

0 � u � 2, �1 � y � 1r � (2u � y)i � (u � y� 1)j � uk

r(u, y) � y2i � (u � y)j � u2k; (1, 3, 16)

x � u � y, y � 2u � 3y, z � u2 � y2; (1, 7, 5)

838 CAPÍTULO 15 Cálculo integral vectorial

r(u, y) eu cos yi eu

sen yj ukr(u, y) ui u2

cos yj u2 sen yk

r(u, y) ui yj u2y4kr(u, y) (u 2 cos y)i 2 sen yj ukr(u, y) sen3 u cos3 yi sen3 u sen3 yj cos3 ukr(u, y) sen ui sen yj sen (u y)k

21.

22.

r (u, y) (u y)i (y u)j uyk; u 2, y 1

r (u, y) uyi (y eu)j (u ey)k; u 0, y ln 3

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43. Emplee un SAC para graficar el toro dado por

para R � 5 y Experimentecon diferentes orientaciones y perspectivas.

44. Demuestre que para una constante el área de lasuperficie del toro del problema 43 correspondiente aldominio del parámetro dado es

Piense en ello45. Encuentre una parametrización diferente del plano del

problema 1 de la que se da en la sección de respuestas.

46. Determine el área del problema 11 sin integración.

47. Si una curva definida por se gira entorno al eje x, entonces las ecuaciones paramétricas de lasuperficie de revolución S son

Si es continua y para toda x en el intervaloentonces emplee (11) para demostrar que el área

de S es

Vea (3) de la sección 6.6.

48. a) Emplee el problema 47 para encontrar ecuacionesparamétricas de la superficie generada al rotar la grá-fica de f (x) = sen x, -2p x 2p, alrededor deleje x.

b) Emplee un SAC para dibujar la gráfica de la superfi-cie paramétrica del inciso a).

c) Emplee un SAC y la fórmula del problema 47 paraencontrar el área de la superficie de revolución delinciso a) determinando primero el área de la superfi-cie correspondiente al dominio del parámetro

49. Suponga que es el vector de posi-ción del punto y que v1 y v2 son vectores cons-tantes pero no paralelos. Discuta: ¿cuál es la superficiecon ecuación vectorial , donde sy t son parámetros?

50. Vuelva a leer el ejemplo 5 de esta sección. Encuentre des-pués ecuaciones paramétricas de una esfera de radio 5con centro (2, 3, 4).

r (s, t) � r0 � sv1 � tv2

(x0, y0, z0)r0 � x0i � y0 j � z0k

0 � u � p, 0 � y � 2p.

��

A(S) � �b

a

f (x)21 � [ f ¿(x)] 2 dx.

[a, b ] ,f (x) � 0f ¿

y � f (x), a � x � b,

A(S) � 4p2R.

R 7 1

0 � f � 2p, 0 � u � 2p.

15.6 Integrales de superficie 839

r(f, u) (R sen f) cos ui (R sen f) sen uj cos fk

x u, y f (u) cos y, z f (u) sen y, a u b, 0 y 2p.

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FundamentosEn los problemas 1-10, evalúe

1. S es la porción del cilindro enel primer octante acotado por

2. la misma superficie S que en elproblema 1

3. S es el cono de un solo manto

dentro del cilindro

4. S es el cono de un solo manto

entre y

5. es la porción de la esferaen el primer octante

6. es la porción del plano dentrodel cilindro

7. es la porción del paraboloidedentro de

8. es la porción del paraboloideen el primer octante acotado por

9. es la porción del cilindro enel primer octante acotado por

10. S es la porción del para-boloide de en el primer octante fueradel cilindro

En los problemas 11 y 12, evalúe donde Ses la porción del plano en el primer octan-te. Use la proyección de S sobre el plano de coordenadas indi-cado en la figura dada.

11. 12.

En los problemas 13 y 14, encuentre la masa de la superficiedada con la función de densidad que se indica.

13. S es la porción del plano en el primeroctante; la densidad en un punto P es directamente pro-porcional al cuadrado de la distancia desde el plano yz.

14. S es el hemisferio z � 24 � x2 � y2; r(x, y, z) � 0xy 0

x � y � z � 1

FIGURA 15.6.12 Superficiedel problema 12

z

yR

xFIGURA 15.6.11 Superficiedel problema 11

z

x

yR

x � 2y � 3z � 6��S (3z2

� 4yz) dS,

y2 � z2 � 1x � 4 � y2 � z2

f (x, y, z) � (1 � 4y2 � 4z2)1>2;

y � 0, y � 4, z � 0, z � 3y � x 2f (x, y, z) � 241y z; S

y � 13˛x, z � 1x � 0,2z � 1 � x 2 � y2f (x, y, z) � 2z; S

0 � x � 1, 0 � y � 12z � 4 � x 2 � y2f (x, y, z) � xy; S

y � 1 � x 2, 0 � y � 1z � x � 1f (x, y, z) � z2; S

x 2 � y2 � z2 � 36f (x, y, z) � (x 2 � y2)z; S

z � 4z � 12x 2 � y2

z �f (x, y, z) � x � y � z;

x 2 � y2 � 12x 2 � y2

z �f (x, y, z) � xz3;

f (x, y, z) � xy(9 � 4z);

x � 0, y � 0, y � 4, z � 0z � 2 � x 2f (x, y, z) � x;

��S f (x, y, z) dS.

Ejercicios 15.6 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-47.

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En los problemas 15-20, sea F un campo vectorial. Encuentreel flujo de F a través de la superficie dada. Suponga que lasuperficie S se orienta hacia arriba.

15. S la porción del cilindro en el primer octante acotado por y = 0,z = 0

16. es la parte del paraboloide dentro del cilindro

17. la misma superficie S que en el pro-blema 16

18. S es la porción del planoen el primer octante dentro del cilindro

19. S es la porción del paraboloidepara

20. S es la porción del planoen el primer octante

21. Encuentre el flujo de fuera de lasuperficie cerrada S dada en la figura 15.6.10.

22. Encuentre el flujo de fuera de lasuperficie cerrada S acotada por los paraboloides

y

Aplicaciones23. Considere que representa la

temperatura y deje que el flujo de calor esté dado por elcampo vectorial Determine el flujo de calorfuera de la esfera . [Sugerencia: Elárea de la superficie de una esfera de radio a es

24. Determine el flujo fuera del cubo uni-tario definido por Vea la FIGURA 15.6.13. Recurra al hecho de que el flujo fueradel cubo es la suma de los flujos fuera de los lados.

25. La ley de Coulomb establece que el campo eléctrico Edebido a una carga puntual q en el origen está dado por

donde k es una constante y r = xi +

yj + zk. Determine el flujo fuera de una esfera

26. Si es la densidad de carga en un campo elec-trostático, entonces la carga total sobre la superficie S es

Encuentre la carga total sobre esaparte del hemisferio que está dentrodel cilindro si la densidad de carga en unpunto P sobre la superficie es directamente proporcionala la distancia desde el plano xy.

27. Las coordenadas del centroide de una superficie se defi-nen por medio de

,

donde A(S) es el área de la superficie. Encuentre el cen-troide de esa porción del plano en elprimer octante.

28. Emplee la información del problema 27 para determinarel centroide del hemisferio

29. El momento de inercia de una superficie S con densidaden un punto alrededor del eje z está

dado por

Considere la superficie cónicacon densidad constante k.

a) Emplee el problema 27 para determinar el centroidede la superficie.

b) Encuentre el momento de inercia de la superficie alre-dedor del eje z.

Piense en ello30. Sea la ecuación de una superficie S y F el

campo vectorial Demuestre queR(x, y, z)k.

F(x, y, z) � P(x, y, z)i � Q(x, y, z)j �z � f (x, y)

0 � z � 4,z � 4 �2x2 � y2,

Iz � ��S

(x 2 � y2) r(x, y, z) dS.

(x, y, z)r(x, y, z)

z � 1a2 � x 2 � y2.

2x � 3y � z � 6

x ���

S

x dS

A(S), y �

��S

y dS

A(S), z �

��S

z dS

A(S)

x 2 � y2 � 9z � 116 � x2 � y2

Q � ��Ss(x, y, z) dS.

s(x, y, z)

x 2 � y2 � z2 � a2.

E � kqr> 0r 0 3,

FIGURA 15.6.13 Cubo del problema 24

z

y

x

D

S

n1

n2

n3

n4

n5

n6

0 � x � 1, 0 � y � 1, 0 � z � 1.F � xi � yj � zk

4pa2. ]x2 � y2 � z2 � a2

F � �§T.

T(x, y, z) � x 2 � y2 � z2

z � x 2 � y2.z � 4 � x 2 � y2

F � �y i � x j � 6z2k

F � y2 i � x 2j � 5zkx � y � z � 6F � eyi � exj � 18yk;

0 � z � 4z � 4 � x 2 � y2F � 1

2 x2 i � 12 y2 j � zk;

x 2 � y2 � 2xz � x � 3F � �x3yi � yz3j � xy3k;

F � xi � yj � zk;x 2 � y2 � 4

z � 5 � x 2 � y2F � zk; S

x � 0, x � 3,y2 � z2 � 4F � xi � 2zj � yk;

15.7 Rotacional y divergencia 845

��S

(F . n) dS ���R

c�P(x, y, z)

0z0x

�Q(x, y, z )

0z0y

� R(x, y, z)d dA.

15Zill840-856.qxd 17/11/10 19:38 Página 845

Ejercicios 15.8 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-47.

FundamentosEn los problemas 1-4, verifique el teorema de Stokes para elcampo vectorial dado. Suponga que la superficie S se orientahacia arriba.

1. es la porción del plano dentro del cilindro

2. es la porción del paraboloidepara

3. es la porción del plano en el primer octante.

4. es la porción de la esferapara

En los problemas 5-12, emplee el teorema de Stokes para eva-luar Suponga que C está orientada en sentido contra-rio al de las manecillas del reloj cuando se observa desde arriba.

5. es el trián-gulo con vértices

6. F = z2y cos xyi + z2x(1 + cos xy)j + 2z sen xyk; C es lafrontera del plano que se ilustra en la FIGURA15.8.7.

7. es la frontera dada en el pro-blema 6.

8. es la curvade intersección del plano con los pla-nos de coordenadas.

9. es la traza del cilindro en el plano [Sugerencia: Emplee

coordenadas polares.]

10. es la frontera de lasuperficie que se muestra en la FIGURA 15.8.8F � x2yi � (x � y2) j � xy2zk; C

x � y � z � 1y2 � 1x2�F � y3i � x3j � z3k; C

x � 2y � z � 4F � (x � 2z)i � (3x � y)j � (2y � z)k; C

F � xy i � 2yz j � xzk; C

z

z � 1 � y

y

C

x (2, 0, 0)

FIGURA 15.8.7 Curva del problema 6

z � 1 � y

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)F � (2z � x)i � (y � z) j � (x � y)k; C

�CF . dr.

z � 0z2 � 1x2 � y2 �F � x i � y j � zk; S

2z � 62x � y �F � z i � x j � yk; S

z � 0z � 16 � x2 � y2F � 2z i � 3xj � 4yk; S

x2 � y2 � 4z � 1F � 5yi � 5xj � 3k; S

15Zill840-856.qxd 27/10/10 20:05 Página 855

11. es la frontera del semielipsoide

en el plano

12. es la curva de intersección del

cono y la esfera que semuestran en la FIGURA 15.8.9

En los problemas 13-16, emplee el teorema de Stokes paraevaluar S(rot F) . n dS. Suponga que la superficie S estáorientada hacia arriba.

13. es la porción del parabo-loide para

14. es la porción de la esferapara

15. es la porción del planoque yace dentro del cilindro rectangular definido

por los planos

16. es la porcióndel plano que yace dentro del cilindro

17. Emplee el teorema de Stokes para evaluar

donde C es el círculo encontrando unasuperficie S con C como su frontera y tal que la orienta-ción de C sea en dirección contraria al de las manecillasdel reloj cuando se observe desde arriba.

18. Considere la integral de superficie S(rot F) . n dS,donde y S es la porción del paraboloide

para orientado hacia arriba.

a) Evalúe la integral de superficie mediante el método dela sección 15.6; esto es, no emplee el teorema de Stokes.

b) Evalúe la integral de superficie encontrando unasuperficie más simple que esté orientada hacia arribay que tenga la misma frontera que el paraboloide.

c) Utilice el teorema de Stokes para verificar sus resulta-dos del inciso b).

z � 0z � 1 � x2 � y2F � xyzk

��

x2 � y2 � 9

x2 � y2 � 1z � yF � 2xy2z i � 2x2yz j � (x2y2 � 6x)k; S

x � 0, y � 0, x � 2, y � 2z � xF � 3x2i � 8x3yj � 3x2yk; S

z � 0x2 � y2 � (z � 4)2 � 25F � yi � (y � x)j � z2k; S

0 � z � 4z � 14 x2 � y2

F � 6yzi � 5x j � yzex 2

k; S

��

FIGURA 15.8.9 Curva del problema 12

�1

0

1�1

10

�1

0

1

z

x

y

x2 � y2 � z2 � 1z � 2x2 � y2

F � zi � xj � yk; C

z � 0z � 24 � 4x2 � y2

F � xi � x3y2j � zk; C

FIGURA 15.8.8 Curva del problema 10

z � 9 � y 2

y � 2x y � 3

C

y

x

z

856 CAPÍTULO 15 Cálculo integral vectorial

,C

z2ex2 dx xy2 dy tan 1 y dz

15Zill840-856.qxd 27/10/10 20:05 Página 856

FundamentosEn los problemas 1 y 2, verifique el teorema de la divergenciapara el campo vectorial dado.

1. D la región acotada por el cubounitario definido por

2. D la región acotada por lostres planos de coordenadas y el plano

En los problemas 3-14, emplee el teorema de la divergenciapara determinar el flujo hacia fuera del campovectorial dado F.

3. D la región acotada por la esfera

4. D la región acotada por la esfera

5. D la región acotada por elcilindro y los planos

6. D la región acotada por elparalelepípedo definido por 0 y 2, 0 z

37. D la región acotada en el interior

por 8. F = (x2

+ sen y)i + z2j + xy3k; D la región acotada por

9. la región acota-da por las esferas concéntricas

10. la región acotada por elelipsoide

11. la región acotada por Vea la FIGURA 15.9.7.

12. la región acotada por

13. la región acotada por elparaboloide y el plano

14. F = xy2i + x2yj + 6(sen x)k; D la región acotada por el

cono y los planos

En los problemas 15 y 16, suponga que S forma la frontera deuna región cerrada y acotada D.

15. Si a es un vector constante, demuestre que S (a . n)dS = 0.

16. Si y P, Q y R tiene segundas deriva-das parciales continuas, demuestre que S (rot F . n)dS = 0.

Aplicaciones17. El campo eléctrico en un punto debido a una carga

puntual q localizada en el origen está dado por el campoinverso al cuadrado donde

a) Suponga que S es una superficie cerrada, Sa es unaesfera que yace por completo den-tro de S, y D es la región acotada entre S y Vea laFIGURA 15.9.8. Demuestre que el flujo hacia fuera de Epara la región D es cero.

b) Utilice el resultado del inciso a) para probar la ley deGauss:

Esto es, el flujo hacia fuera del campo eléctrico E através de cualquier superficie cerrada (para el cual seaplica el teorema de la divergencia) que contiene alorigen es

18. Suponga que hay una distribución continua de carga através de una región cerrada y acotada D encerrada poruna superficie S. Entonces, la extensión natural de la leyde Gauss está dada por

donde es la densidad de carga o carga por uni-dad de volumen.

a) Proceda como en la derivación de la ecuación de con-tinuidad (17) para demostrar que

b) Dado que E es un campo vectorial irrotacional, demues-tre que la función potencial f para E satisface la ecua-ción de Poissons donde

Piense en elloEn los problemas 19 y 20, suponga que f y g son funcionesescalares con segundas derivadas parciales continuas. Empleeel teorema de la divergencia para establecer las identidadesde Green. Suponga que S forma la frontera de una regióncerrada y acotada D.

19.

20. ��S

( f §g � g§ f ) . n dS � ���D

( f §2g � g§

2 f ) dV

��S

( f §g) . n dS � ���D

( f §2g � § f . §g) dV

§2f � § . §f.§

2f � 4pr,

div E � 4pq.

r(x, y, z)

��S

(E . n) dS � ���D

4pr dV,

FIGURA 15.9.8 Superficies del problema 17

Sa

z

y

xD

S

4pq.

��S

(E . n) dS � 4pq.

Sa.x2 � y2 � z2 � a2

r � xi � yj � zk.E � qr> 0r 0 3,P(x, y, z)

��F � Pi � Qj � Rk

��

z � 2, z � 4z � 2x2 � y2

z � 2yz � x2 � y2F � 3x2y2i � yj � 6xy2zk; Dx � y � 2, z � x � y, z � 3, x � 0, y � 0F � 15x2yi � x2z j � y4k; D

FIGURA 15.9.7 Región D del problema 11

z

z � y

x x2z � 2 � 12

z � 4 � y

y

x � 0

z � 4 � y, z � 2 � 12 x2, x � 0, z � 0.

z � y,F � 2xzi � 5y2j � z2k; Dx2>a2 � y2>b2 � z2>c2 � 1

F � 2yzi � x3j � xy2k; Dx2 � y2 � z2 � b2, b 7 a

x2 � y2 � z2 � a2,F � (xi � yj � zk)>(x2 � y2 � z2); Dy � x2, z � 9 � y, z � 0

z � 24 � x2 � y2, x2 � y2 � 3, z � 0F � y3i � x3j � z3k;�

���0 � x � 1,F � x2i � 2yz j � 4z3k;

z � 1, z � 5x2 � y2 � 16F � y2i � xz3j � (z � 1)2k;x2 � y2 � z2 � 4F � 4xi � yj � 4zk;x2 � y2 � z2 � a2F � x3i � y3j � z3k;

��S(F . n) dS

x � y � z � 1F � 6xyi � 4yz j � xe�yk;

0 � x � 1, 0 � y � 1, 0 � z � 1F � xyi � yz j � xzk;

Ejercicios 15.9 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-47.

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