INTRODUCCION A LA TERMODIN AMICA ECONOMICA

INTRODUCCION A LA TERMODINAMICA

ECONOMICA

Christian Silva Suarez 1

Fecha de creacion

1

Dedicatoria

i

ii DEDICATORIA

Prologo

iii

iv PROLOGO

Prefacio

v

vi PREFACIO

Agradecimientos

vii

viii AGRADECIMIENTOS

Indice general

Dedicatoria I

Prologo III

Prefacio V

Agradecimientos VII

1. Una nueva ciencia compleja: La Econofısica 5

1.1. El paradigma de la Complejidad . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. El resultado del pensamiento complejo: La Econofısica . . 9

2. Herramientas matematicas de la Termodinamica 13

2.1. Herramientas Estadısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Camino Aleatorio y Distribucion Binomial . . . . . 13

2.1.2. Distribucion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3. Momentos Estadısticos . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

2 INDICE GENERAL

2.1.4. Momentos de la distribucion binomial y exponencial 19

2.1.5. Distribucion de probabilidad cuando N es grande . 22

2.2. Herramientas Matematicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1. Integrales de Lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Termodinamica y Mecanica Estadıstica 29

3.1. Mecanica Estadıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.1. Estado de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.2. Restriccion del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.3. Probabilidad de un estado determinado . . . . . . . 31

3.1.4. Calculos estadısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1. Interaccion entre sistemas macroscopicos . . . . . . 33

3.3. Termodinamica Estadıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4. Teorıa cinetica de los gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.1. Propiedades termicas de la materia . . . . . . . . . 40

3.4.2. Ley de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.3. Velocidades moleculares . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Modelos Termodinamicos en Economıa 45

INDICE GENERAL 3

4.1. La teorıa entropica del valor . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2. Formulacion termodinamica de la economıa . . . . . . . . 49

4.2.1. La primera ley de la Economıa . . . . . . . . . . . 50

4.2.2. La segunda ley de la Economıa . . . . . . . . . . . 51

4.3. Una teorıa termodinamica del dinero . . . . . . . . . . . . 59

4.4. Un enfoque termodinamico de la economıa monetaria . . . 60

4.5. Mecanica estadıstica del dinero . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5.1. Flujo del dinero y de personas a diferentes tempera-turas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5.2. Termodinamica del dinero y la riqueza . . . . . . . 71

4 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Una nueva ciencia compleja: LaEconofısica

1.1. El paradigma de la Complejidad

Partamos tomando como referente a la epistemologıa de la complejidadpara poder entender el porque de la intromision de la fısica en la economıa.En tal sentido pasemos a definir y dar algunas nociones generales sobre elparadigma de la complejidad.

En primer lugar, podemos definir el paradigma de la complejidad enfa-tizando en que no se trata de una respuesta sino que es el reconocimientode las incertidumbres y contradicciones que desafıan nuestro pensamiento[1] y, por lo tanto, tiene la mision de integrar contextos diversos que posi-biliten la unificacion de los saberes [2]. Un punto crucial a tratar aquı esque la complejidad da pie a entender las diferentes escalas de los sistemas,los cuales son mas o menos absolutos dentro de su clausura operacionalsistemica; pero mas alla de ella empiezan a establecerse relaciones entresistemas que hacen al todo aun mas complejo y nos incapacita para enten-der su naturaleza de manera sencilla.

En segundo lugar, se afirma que con este paradigma termina la epocadel reduccionismo y empieza la de un enfoque integrador entre todas lasciencias, ya sea filosofıa, etica, pedagogıa, religion y otros tantos. Por talmotivo las barreras disciplinarias se superan drasticamente entre ciencias

5

6 CAPITULO 1. UNA NUEVA CIENCIA COMPLEJA: LA ECONOFISICA

naturales y ciencias sociales, se observa detenidamente la subjetividad y laobjetividad cientıfica, y se examinan los lımites culturales de dicha objeti-vidad.

En tercer lugar, la complejidad toma sus fundamentos, no de postu-ras filosoficas, sino de teorıas concretas como la Mecanica Cuantica, laMatematica del Caos, la Termodinamica, la Cibernetica, la Teorıa de Sis-temas, la Teorıa de la Informacion y la Ecosistemologıa. Por otro lado, elpunto de partida de la complejidad es el conocimiento del conocimiento,con lo cual complejiza la nocion misma de epistemologıa y nos lleva a laproblematica de la reflexividad en el sujeto.

Es ası que los principios mas relevantes dentro de este paradigma son:

1. El principio sistemico organizativo, que une el conocimiento de laspartes con el conocimiento del todo.

2. El principio hologramatico, que indica que el todo esta en las partes(ademas de que las partes estan en el todo).

3. El principio del bucle retroactivo, que rompe con el principio de cau-salidad lineal. La causa actua sobre el efecto y el efecto sobre la causa.

4. El principio del bucle recursivo que implica las nociones de autopro-duccion y autoorganizacion.

5. El principio de autonomıa/dependencia o auto-eco-organizacion.

6. El principio dialogico o asociacion compleja.

7. El principio de reintroduccion del sujeto.

Por ultimo, habrıa que diferenciar entre complejidad restringida, la cualse mantiene dentro de la epistemologıa de la ciencia clasica al intentardeterminar las leyes complejas; y la complejidad general, que asume elcorte epistemologico que supone la aceptacion de que la realidad, mas queobjetivada es dinamica y abierta.

En la cuadro 1.1 podemos observar la evolucion del paradigma de lacomplejidad restringida desde los anos 60 hasta la actualidad.

1.1. EL PARADIGMA DE LA COMPLEJIDAD 7

Cuadro 1.1: El Paradigma de la Complejidad Restringida

Analisis de Sistemas,MIT, Jay Forrester,Teorıa de Sistemas Ge-nerales (Bertalanffy)1964-67

Autonomıa de Siste-mas/Medio ambiente

Modelos:Ecuacionesen Diferen-cias

Teorıa de la Auto-organizacion, Prigogine,Haken (1970-80),

Sistemas Abiertos, Es-tructuras Disipativas,Efectos de impredictibili-dad de interacciones a ni-vel micro no lineales sobrela estructura de macro-sistemas y su dinamica,dependencia de la trayec-toria(Irreversibilidad)

Modelos:EcuacionesDiferenciales

Teorıa de SistemasComplejos, InstitutoSanta Fe, ISI, ECSS(1990-2000)

Propiedades Emergentes Modelos: Sis-temas Basa-dos en Agen-tes

Fuente: Denise Pumain,“El Futuro de las Ciudades, un enfoque desde la complejidad”

Una pequena acotacion relevante respecto a la relacion entre la propues-ta de Morin y la de los investigadores mencionados en la Cuadro 1.1, dadoque estos ultimos han tratado, haciendo uso de la formalizacion y la ma-tematica, de responder a las preguntas planteadas por el nuevo paradigmacomplejo, es que ha sido muy productiva pues ha logrado desarrollar nue-vos procedimientos para las ciencias sociales mejorando la comprension delos aspectos estructurales de los fenomenos complejos. Ahora uno podrıapreguntarse ¿Por que las ciencias sociales? De hecho todo desarrollo, yasea economico, sociocultural o tecnico, es multidimensional y complejo,constituyendose de realidades emergentes, por lo tanto dichas ciencias hanrepresentado un problema complejo propiamente dicho [3].

En cuanto a la economıa, parece haber recorrido un largo camino desimplificacion artificial, de perdida de unicidad, de desintegracion, de de-terminismo o de reduccionismo alejado de su verdadera naturaleza comple-ja. Pero un estremecimiento de sus bases nos ha conducido, guiados por elparadigma de la complejidad, a utilizar nuevos conceptos y tecnicas avan-zadas para afrontar la indiscutible complejidad del fenomeno economico[4].

Para el sistema economico, esta simplificacion artificial que se muestra


antagonica con la complejidad inherente al sistema economico y social semanifiesta hoy como crisis de sostenibilidad y se deja sentir bajo la for-ma de crisis climatica, de crisis de gobernabilidad, crisis de seguridad yconflictos ecologicos, crisis financieras mundiales y un sinnumero de pe-quenas inestabilidades regionales que conducen hacia inevitables conflictoscon otras ciencias y otros puntos de vista economicos. Este es precisamen-te el momento en donde la economıa ha alcanzado su clausura sistemicatanto fısica como organizativa. La economıa empieza a enfrentarse a nue-vas realidades emergentes en torno a los sistemas ulteriores a su campo deaccion.

En este contexto podemos imaginar a la economıa moderna como unconjunto de reglas objetivas basadas en una teorıa economica estandar.Con intencion de querer hacer de ellas un conjunto de reglas generales nopodemos predecir como reaccionara una sociedad determinada a las reglasde organizacion, desarrollo y crecimiento propuestas por esta economıaestandar. Al igual que no podemos predecir la reaccion a su medio ambientede un ser vivo creado por la ingenierıa genetica, tampoco podemos hacerlopara el marco economico. Por lo tanto, es una mirada compleja la quenos posibilita situar otra vez nuestra accion social, nuestra tecnica y laeconomıa en una senda sostenible.

Sin embargo, debemos poner enfasis en un punto crucial y advertir quelos sistemas complejos se dividen en diferentes niveles fundamentales quevan desde el nivel subatomico, quımico, biologico hasta el nivel sociocultu-ral. En cada nivel aumenta la complejidad y ası el numero de posibilidades.Ası la comprension de tecnicas a un nivel menor, aunque no puede ayu-darnos a comprender profundamente la complejidad de un nivel superior,al menos nos brinda ciertas analogıas interesantes, las cuales las podemosenmarcar dentro del paradigma de la complejidad restringida mencionadoanteriormente. La propuesta de la complejidad no restringida es un acer-camiento mas cualitativo y dialogico complementario a la primera[5].

Este es el contexto epistemologico y aplicativo de la termodinamica enla economıa, aquel que muestra las ventajas y desventajas de su desarrollocomo nueva ciencia en la interpretacion de los fenomenos economicos.

1.2. EL RESULTADO DEL PENSAMIENTO COMPLEJO: LA ECONOFISICA 9

1.2. El resultado del pensamiento complejo: La Econofısica

Retomando los pasos sobre la reciente historia de la ciencia podemosentender como las barreras entre ciencias naturales y ciencias sociales sehicieron cada vez mas debiles, lo cual implico muchos avances cientıficos ynuevas ramas del conocimiento. A continuacion detallaremos el surgimientode la Econofısica como resultado de la investigacion multidisciplinaria.

El cientıfico frances Benoit Mandelbrot desarrollo lo que hoy se cono-ce como la Matematica Fractal. Dicha matematica ha sido ampliamenteutilizada en muchas ciencias, entre las cuales figura la economıa. Es tam-bien un hecho que dicha matematica forma parte de la teorıa del caos, unode los pilares del pensamiento complejo. En sus primeros trabajos Man-delbrot estudio la distribucion de precios y la distribucion de la riqueza,introduciendo terminos como leyes potenciales, escalamiento, exponentesde Hurts y modelos multifractales al conjunto de conceptos y definicioneseconomicas. Mandelbrot desarrollo un nuevo enfoque cientıfico de los mer-cados ayudado de su matematica fractal, la turbulencia y la estadıstica dePaul Levy. Su trabajo se caracterizo por ser multidisciplinario y complejo,rompiendo todos los estandares cientıficos clasicos de su epoca.

Por ello la obra de Mandelbrot se considera precursora de una corrientede pensamiento basado en el paradigma de la complejidad. El mismo afirmaque los seguidores de su trabajo se hacen llamar Econofısicos [6]. Sin em-bargo, serıa desafortunado si no mencionaramos cuando surge el termino“Econofısica”. Dicho termino fue utilizado por primera vez por RosarioMantegna y Eugene Stanley [7] quienes, en su libro, usan conceptos de lafısica estadıstica para describir los sistemas financieros. Estos conceptoscomo dinamica estocastica, correlaciones de corto y largo plazo, autosimi-litud y escalamiento les permiten entender el comportamiento global delsistema economico sin tener que detallar explıcitamente una descripcionmicroscopica del mismo sistema. Sin duda, consideran al mercado finan-ciero como un sistema complejo, en donde la principal tarea es entendery modelar el riesgo financiero. Ası es como surge el neologismo Econofısi-ca (Econophysics en ingles) para determinar un campo de investigacionmultidisciplinario que relata el trabajo de los fısicos sobre los problemaseconomicos. A partir de estos autores muchos otros han venido desarro-


llando la Econofısica, la mayorıa proveniente del Instituto San Fe (SFI) deNuevo Mexico, el cual se especializa en el estudio de sistemas complejos.Cabe hacer mencion a uno de los principales investigadores de sistemascomplejos de la actualidad, Brian Arthur, quien se ha enfocado principal-mente en modelar multiples agentes y sus transacciones. En sus iniciosArthur ideo uno de los modelos mas importantes de la Econofısica: El Fa-rol, conocido ası por un bar ubicado en la ciudad de Santa Fe. En su modelologro simular una paradojica situacion, la cual nos ayudo a entender conmayor profundidad la dialectica entre el individuo y el colectivo, entre laparte y el todo [8].

Los proponentes de la Econofısica alegan que esta nueva disciplina utilizaun procedimiento mas adecuado de como deberıa llevarse a cabo la inves-tigacion que el llevado hasta ahora por la econometrıa o por disciplinastradicionalmente mas emparientadas con los hechos economicos. Segun susproponentes, todos los fenomenos son considerados desde una perspecti-va comparativa y compleja, que busca regularidades empıricas con sentidocon la finalidad de ofrecer un marco teorico y no al contrario. La razonpara ello descansa en la hipotesis de que algunas teorıas de la fısica paratratar problemas complejos se pueden aplicar a la economıa y las finanzas.Los econofısicos consideran que los sistemas economicos y financieros sonsistemas abiertos en los que sus elementos se relacionan siguiendo pautasde retroalimentacion no lineal y otras caracterısticas comunes, por lo quees posible desarrollar modelos y verificar su poder de prediccion, o al me-nos, intentar explicar ciertos fenomenos que se dan en series temporalesfinancieras.

Cuadro 1.2: Investigacion en Econofısica

DisciplinaTipo de Agente

Homogeneo HeterogeneoEconofısica Modelos de la

Dinamica Es-tadıstica, Electro-dinamica, Teorıade Redes, MecanicaCuantica.

Dependiente del recorrido,basados en normas fijas. N-P completos, con normasque incluyen diversos tiposde aprendizaje

Complejidad Teorıa de Redes N-P completos, con nor-mas que incluyen aprendi-zajes (Sistemas Adaptati-vos Complejos)

Fuente: Salvador Rojı Ferrari,“La Complejidad: un nuevo enfoque de la economıa financiera”

1.2. EL RESULTADO DEL PENSAMIENTO COMPLEJO: LA ECONOFISICA 11

Dos de los actuales defensores de la Econofısica como son el Dr. SitabhraSinha y el profesor Bikas K. Chakrabarti afirman que, aunque esta sea muycontrovertida, provee una alternativa prometedora y con mas base empıri-ca fundamental para el estudio del fenomeno economico que la economıateorica convencional basada en axiomas matematicos[9].

Capıtulo 2

Herramientas matematicas de laTermodinamica

2.1. Herramientas Estadısticas

En esta seccion introduciremos algunas herramientas estadısticas uti-les para el correcto entendimiento de la Mecanica Estadıstica. Veremosel problema del camino aleatorio, la distribucion binomial, la distribucionnormal, la distribucion exponencial y los momentos estadısticos para cadadistribucion.

2.1.1. Camino Aleatorio y Distribucion Binomial

Supongamos que un dıa sabado usted sale con sus amigos a festejarpor una buena causa. Luego de unas cuantas copas podemos decir queesta ebrio. Al culminar el festejo le toca regresar a casa. Pero, al estarusted en estado de ebriedad le resulta difıcil caminar por la acera y vadando pasos, digamos pasos aleatorios. Consideremos un punto, en algunaparte de la calle, marcado por un poste de luz tal y como lo ilustra la figura2.1.

Imaginemos que empieza a caminar desde el poste de luz. Despues de Npasos de longitud L y dado que camina aleatoriamente de izquierda a laderecha, estaremos a una distancia recorrida x:

13

14 CAPITULO 2. HERRAMIENTAS MATEMATICAS DE LA TERMODINAMICA

Figura 2.1: Caminata al azar de una persona ebria

x = mL

−N ≤ m ≤ N

Se puede apreciar que si camina aleatoriamente, usted se habra movidouna distancia ml, donde el valor de m estara comprendido en el intervalo[−N,N ]. Ahora queremos saber cual es la probabilidad PN(m) de que ustedeste a una distancia x = mL despues de N pasos [10].

Vamos a determinar los pasos que da tanto a la izquierda como a derechacon una probabilidad para cada accion. Ası tenemos:

nd = numero de pasos a la derecha con probabilidad p.

ni = numero de pasos a la izquierda con probabilidad 1− p = q.

De tal manera que N = nd + ni

Si medimos solamente desplazamientos a la derecha (neto) obtenemos:

m = nd − nim = nd − (N − nd)m = 2nd −N (2.1)

Ahora usemos las probabilidades definidas para cada tipo de paso. Laprobabilidad de que usted de un paso a la derecha es p y un paso a laizquierda es q. Ambos son sucesos independientes, por lo tanto, la probabi-lidad de dar dos pasos a la derecha es p2, y de dar dos pasos a la izquierda

2.1. HERRAMIENTAS ESTADISTICAS 15

es q2. ¿Cual sera la probabilidad de dar nd pasos a la derecha y ni pasos ala izquierda? Esto queda determinado de la siguiente manera:

pp . . . p︸︷︷︸nd

qq . . . q︸︷︷︸ni

= pndqni

Sin embargo, puede dar n1 pasos seguidos a la derecha y luego n2 pasosseguidos a la izquierda; o puede dar un paso a la izquierda, dos a la derecha,tres a la izquierda, ası sucesivamente. Es decir que tenemos diferentes tiposde combinaciones para los pasos. Las combinatorias de N desplazamientostomados de nd a la derecha y ni a la izquierda se determina mediante:

N !

nd!ni!

Uniendo ambos resultados logramos obtener la probabilidad de N des-plazamientos con n1 y n2 en un orden cualquiera:

ρN(nd) =N !

nd!ni!pndqni (2.2)

0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Número de pasos

Pro

babi

lidad

Figura 2.2: Funcion de probabilidad binomial para N = 30 y p = 0,5

La ecuacion (2.2) es conocida como la distribucion binomial, caracteri-


zada por ser repeticiones sucesivas de un ensayo de Bernoulli (1654-17059).Esta distribucion se caracteriza precisamente por disponer de dos resulta-dos posibles objetivos cuyas probabilidades son conocidas, independientesy constantes [11]. La figura 2.2 ilustra una distribucion binomial para va-lores de N = 30 y p = 0,5. Concluimos que esta formula de probabilidades la que querıamos encontrar, por lo tanto:

ρN(nd) = PN(m)

Decimos que la caminata al azar tiene una distribucion binomial conparametro N y p, que a su vez representa la distancia x alcanzada luegode N pasos aleatorios. Lo que se escribe en terminos formales como x −bin(N, p). De la formula (2.1) podemos deducir que nd = 1/2(N + m) yni = 1/2(N −m). Reemplazamos los valores respectivos en (2.2).

PN(m) =N !

[1/2(N +m)]! [ni = 1/2(N −m)]!p1/2(N+m)q1/2(N−m) (2.3)

Formula que establece la probabilidad de habernos desplazado una dis-tancia x = mL luego de N pasos aleatorios entre derecha e izquierda conuna longitud L.

2.1.2. Distribucion Exponencial

Si tenemos una variable aleatoria x contınua. Decimos que x sigue unadistribucion exponencial con parametro real λ, si su funcion de densidadse define por:

f(x) =

λe−λx , x ≥ 0

o , en otros casos

Y escribimos x − exp(λ) [12]. La distribucion exponencial obtiene sunombre de la funcion de densidad de probabilidad exponencial que podemosapreciar en la figura 2.3 para un λ = 2.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

x

Pro

babi

lidad

Figura 2.3: Funcion de densidad de probabilidad exponencial para λ = 2

2.1.3. Momentos Estadısticos

Luego de haber tomado un descanso y un poco de cafe, pero aun con laresaca, podemos olvidarnos de sus habilidades etılicas (aun sin saber comollego a casa) y pasar a un tema muy importante referente a los valoresmedios.

Imaginemos una variable x cualquiera, como por ejemplo la edad, la tallade una persona o la temperatura. Nuestra variable puede tomar n valoresdeterminados x1, x2, x3,. . ., xn. Cada valor tiene una probabilidad corres-pondiente p(x1), p(x2), p(x3),. . ., p(xn). EL promedio, primer momento, oesperanza matematica de nuestra variable se define como:

E(x) = x =

∑ni=1 p(xi)xi∑n

i=1

Sin embargo, sabemos que la suma de las probabilidades siempre da elvalor de uno1 ası

∑ni=1 p(xi)xi = 1 [13]. Por lo que obtenemos:

1De hecho la probabilidades cumplen: 0 ≤ p ≤ 1, si A y A′ son eventos mutuamenteexcluyentes (como dar pasos a la izquierda o derecha) entonces p(A) + p(A′) = 1


E(x) = x =n∑i=1

p(xi)xi (2.4)

Si queremos ser mas generales, podemos aplicarle una funcion cualquieraa nuestra variable f(x), y obtener nuevamente el promedio:

E[f(x)] =

∑ni=1 p(xi)f(xi)∑n

i=1 p(xi)=

n∑i=1

p(xi)f(xi)

Las siguientes propiedades se cumplen para la esperanza matematica,donde f(x) y g(x) son funciones, x, y son variables aleatorias y c es unaconstante:

E[f(x) + g(x)] = E[f(x)] + E[g(x)]

E[cf(x)] = cE[f(x)]

E[xy] = E[x]E[y]

E[f(x)g(x)] = E[f(x)]E[g(x)]

EL segundo momento respecto al promedio para nuestra variable se co-noce como la varianza:

∆x = xi − E[x]

V (x) = E[(xi − x)2] = E[(∆x)2] =n∑i=1

p(xi)(xi − x)2

Podemos deducir otra relacion interesante de la definicion de la varianza:

E[(xi − x)2] = E[x2i − 2xix+ x2] = x2 − 2xx+ x2

V (x) = x2 − x2


Se cumplen las siguientes propiedades para el operador varianza (V (.)),donde x, y son variables aleatorias y a, b son constantes[14]:

V (ax± b) = a2V (x)

V (x+ y) = V (x) + V (y)

El tercer y cuarto momento de nuestra variable se conoce como asimetrıay kurtosis y se determinan por [15]:

Asimetrıa = E[(∆x)3]

Kurtosis = E[(∆x)4]

Existen momentos de n-esimo orden de x respecto a su promedio:

E[(∆x)n]

2.1.4. Momentos de la distribucion binomial y exponencial

Apliquemos la formula (2.4) que describe la esperanza matematica anuestra ecuacion (2.2)[16]:

E[nd] =N∑

nd=0

N !

nd!ni!pndqnind (2.5)

Ademas sea ndpnd = p∂(pnd)

∂p . Reemplazamos este resultado en la ecuacion(2.5) de la siguiente manera:

E[nd] = nd =N∑

nd=0

N !

nd!ni!

[p∂(pnd)

∂p

]qni

nd = p∂

∂p

[N∑

nd=0

N !

nd!ni!pndqni

]


Por el teorema del binomio tenemos:

nd = p∂

∂p(p+ q)N

pN(p+ q)N−1

Como p+ q = 1, finalmente nos queda:

nd = pN

Analogamente, el mismo resultado puede aplicarse para ni:

ni = qN

Ahora, calculemos el segundo momento o la varianza de la ecuacion (2.2).Para ello aplicamos la definicion de la varianza:

E[(∆nd)2] = E[n2

d]− E[nd]2 (2.6)

Primero calculemos el valor de E[n2d] utilizando la generalizacion de la

esperanza matematica para cualquier funcion:

E[nd]2 =

N∑nd=0

N !

nd!ni!pndqnin2

d (2.7)

Haciendo un artificio matematico de tal manera que n2dpnd = ndp

∂∂ (pnd) =(

p ∂∂p

)2

(pnd). Reemplazamos en la ecuacion (2.7):

E[n2d] =

N∑nd=0

N !

nd!ni!

(p∂

∂p

)2

pndqni

E[n2d] =

(p∂

∂p

)2 N∑nd=0

N !

nd!ni!pndqni

E[n2d] =

(p∂

∂p

)2

(p+ q)N

E[n2d] =

(p∂

∂p

)(pN(p+ q)N−1)

E[n2d] = p[N(p+ q)N−1 + pN(N − 1)(p+ q)N−2]

E[n2d] = p[N + pN(N − 1)]


E[n2d] = (Np)2 + pqN

Utilizando el valor de E[nd] = pN reemplazamos y:

E[n2d] = nd

2 + ndq

Una vez obtenido este valor lo reemplazamos en la ecuacion (2.6):

E[(∆nd)2] = nd

2 + ndq − nd2

E[(∆nd)2] = Npq

Tambien existe una medida de dispersion llamada desviacion estandar,la cual se define de la siguiente manera:

σ =√V (nd) =

√Npq

Ahora, ocupemonos de la distribucion exponencial. En primer lugar, cal-culemos la esperanza o media de la variable aleatoria contınua x que sigueuna distribucion exponencial aplicando la definicion (2.4), pero recordandoque en lugar de sumatoria debemos aplicar una integral indefinida:

E[x] =

∫ ∞−∞

p(x)xdx =

∫ ∞−∞

λe−λxxdx

E[x] = lımt→∞

[−xe−λx|to +

∫ t

0

e−λxdx

]= 0 + lım

t→∞

[−1/λe−λx|t0

]E[x] =

1

λ

Ahora obtengamos la varianza. Para ello apliquemos la definicion de lavarianza y calculemos el termino E[x2] de la siguiente manera:

E[x2] =

∫ ∞0

x2λe−λxdx

E[x2] = 2/λ2

luego, V (x) = E[x2]− E[x]2 = 2/λ2 − 1/λ2 = 1/λ2

V [x] =1

λ2


2.1.5. Distribucion de probabilidad cuando N es grande

Pensemos en la formula (2.2) y (2.3). Vemos que presenta un problemacuando N sea demasiado grande, dado que calcular N ! implicarıa un nume-ro sumamente elevado. La figura 2.2 tendrıa una forma muy puntiagudaalrededor del valor medio. Ademas cuando N tiende a ser muy grande lavariable casi podrıa convertirse en una variable contınua.

Para facilitar los procedimientos demos por sentado que todos cononoce-mos la tan famosa distribucion normal, cuya funcion de densidad esta dadapor:

f(x) =1

σ√

2πe−

12(

x−E[x]σ )

2

(2.8)

donde E[x] es la esperanza o promedio de x y σ es la desviacion estandaro la raız cuadrada de la varianza. (

√V (x)). Lo bueno es que conocemos

estos valores para nuestra distribucion binomial. Ahora reemplacemos elpromedio y la desviacion estandar en la ecuacion (2.8):

W (nd) =1√

2πNpqe(−

nd−Np2Npq )

2

(2.9)

La ecuacion (2.9) se aplica para valores grandes de N y nd.

2.2. Herramientas Matematicas

En esta seccion veremos algunas herramientas matematicas utiles paraentender la formulacion termodinamica de la economıa. Se veran los con-ceptos matematicos de las integrales de lınea y los principales teoremasasociados a ellas.

2.2. HERRAMIENTAS MATEMATICAS 23

2.2.1. Integrales de Lınea

Curvas, parametrizacion y caminos

Sea r : [a, b]→ <n una fucion que define un conjunto de puntos C llama-dos curva. Sea C : x2+y2 = 4, la cual se describe por r(t) = (2cost; 2sent) =(x, y) donde t ∈ [0, 2π].

x

y

x2+y2=4

−6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

2

−2

t = pi/2

t = 0

2

t = 3pi/2

xt = 2pi

t = pi

−2

y

Figura 2.4: Curva x2 + y2 = 4

Si cambiamos la parametrizacion a r(t) = [2cos(2π− t), 2sen(2π− t)] Elsentido de giro presentado en la figura 2.4 cambia al sentido horario, cuyacurva se denota por C−.

A una curva C con r(t) se le llama camino o trayectoria y puede sercerrada o no. Si r : [a, b]→ <n describe una curva cerrada C si r(a) = r(b).Es decir el punto de inicio es igual al punto final.

Sea C : r : [a, b] → <n un camino continuo en <n. A r(t) se le llamaregular si existe el vector derivada r

′(t) 6= 0 y esta derivada es continua en

el intervalo < a, b >.


Integrales de lınea

En primar lugar entendamos un poco los conceptos de campo escalar,campo vectorial y gradiente[17].

Un campo escalar esta dado por una funcion F (x1, x2, · · · , xn) de <n →<. Por ejemplo una funcion en tres dimensiones, F (x, y, z) = xyz.

Un campo vectorial es una funcion G(x1, x2, · · · , xn) de <n →<n. Por ejemplo, una funcion en tres dimensiones G(x, y, z) =(xyz, x2y2z2, x3y3z3).

El gradiente de un campo escalar es dF = F′dx. En el caso de tres

dimensiones tenemos dF = ∂F∂x dx+ ∂F

∂y dy+ ∂F∂z dz. Este expresa el cambio

entre el punto (x, y, z) y (x+dx, y+dy, z+dz). Entonces el gradiente delcampo escalar F es el campo vectorial ∇F = (∂F∂x ,

∂F∂y ,

∂F∂z ). En terminos

simplificados dF = ∇F · ~dl

Vayamos a la integrales en lınea[18]. Un campo vetorial F en <n es unafuncion definida sobre un conjunto abierto U ⊂ <n. Sea x ∈ U

F : U ⊂ <n → <n

x→ F (x) = (f1(x), f2(x), · · · , fn(x))

x = (x1, x2, · · · xn)

Figura 2.5: Campo vectorial F (x)

Imaginemos que F (x) pueda ser el viento, y sea una partıcula (unamosca) sometida a F (x) que sigue una trayectoria determinada por lacurva C : r(t).


Figura 2.6: Trayectoria de una mosca sometida al campo vecorial (viento)

Para hallar el trabajo hecho por la mosca contra este campo, tomamosprimero la componente de la fuerza (el campo vectorial) F a lo largo de Cen un punto r(t) del cual el vector tangente unitario es:

T (t) =r′(t)

|r′(t)|Luego integramos la funcion a lo largo de C de la siguiente manera:

W =

∫C

F [r(t)]T (t)dS (2.10)

Donde S es la longitud de arco definida por:

S(t) =

∫ t

a

|r′(t)|dt

Donde t ∈ [a, b]. Por el teorema fundamental del calculo tenemos:

dS = |r′(t)|dt

Reemplazamos este resultado y el valor de T (t) en la ecuacion (2.10) detal manera que:

W =

∫C

F [r(t)]r′(t)

|r′(t)||r′(t)|dt

W =

∫C

F [r(t)]r′(t)dt

Pero dado que dr(t) = r′(t)dt tenemos

W =

∫C

F [r(t)]dr(t) (2.11)


A la ecuacion (2.11) se la denota por:

W =

∫C

F

Para una curva fija C el valor de∫C F no varıa si es que la curva esta des-

crita por varias parametrizaciones (r(t)) que preservan la orientacion ori-ginal[19].

Sean u(t) y v(t) dos caminos de C. Si u(t) y v(t) originan la mismaorientacion tenemos que

∫C F (u) ·du =

∫C F (v) ·dv. Si, en cambio, originan

orientaciones opuestas∫C F (u) · du = −

∫C F (v) · dv.

Si tenemos varias curvas C1, C2, · · · , Cn entre los puntos A y B se cumpleque

∫C F =

∫C F1 +

∫C F2 + · · ·

∫CnF .

Cuando la curva C es cerrada, la integral de lınea de F a lo largo de Cse denota por: ∮

C

F

Integrales de lınea respecto a la longitud de arco

Sea C una curva parametrizada por r(t) : [a, b]→ <n, entonces la longi-tud de arco S es:

S(t) =

∫ t

a

|r′(τ)|dτ

Donde S ′(t) = |r′(t)|. Se define f(x), x ∈ <n un campo escalar limitado yacotado sobre la curva C. La integral de lınea de f(x) respecto a S a lolargo de C es:∫

C

f(x)dS =

∫ b

a

f [r(t)]S ′(t)dt =

∫ b

a

f [r(t)]|r′(t)|dt


Integral de flujo y circulacion

Cuando ¯F (¯)x representa una velocidad y T el vector unitario tangentea la curva C en el punto x, entonces ¯F (¯)x · T es la componente tangencialde la velocidad y la integral de lınea es:∫

C

F · T dS =

∫C

F · dr

Si C es cerrada, esta integral se denomina circulacion de F a lo largo deC.

Independencia del camino para un campo dado

Sea S un conjunto conexo abierto, el dominio del campo vectorial F .Sean A y B dos puntos en S, y sea

∫C F la integral de lınea a lo largo de

C contenida en S y que une A con B. Entonces∫C F depende del camino,

pero para ciertos F , la integral depende unicamente de los extremos A yB mas no del camino tomado.

Figura 2.7: Caminos entre A y B

Teorema fundamental del calculo

Si f : S ⊂ <n → < un campo escalar diferenciable con gradiente conti-nuo ∇f sobre un conjunto conexo y abierto. Para dos puntos A y B unidospor C : r(t) contenido en S tenemos:∫

C

∇f =

∫ B

A

∇f(r) · dr = f(B)− f(A)


Dependiendo este valor solamente de dos extremos A y B y no de C. Siel camino es cerrado entonces: ∮

C

∇f = 0

Primer teorema fundamental del calculo

Sea F un campo vectorial continuo definido sobre el conjunto conexoabierto S ⊂ <n, en donde la integral de lınea es independiente de latrayectoria, y sean A un punto fijo de S, f un campo escalar tal quef : S ⊂ <n → < el cual se define por f(x) =

∫ xA F (x) · dr. Para cualquier

camino r que pertenence a S el gradiente existe y satisface, para todo x,la siguiente condicion:

∇f(x)F (x)

Donde f se conoce como la funcion potencial del campo vectorial F y estecomo el campo conservativo sobre S. Si

∮C F = 0 para cada trayectoria

cerrada C en S ∈ <n, entonces F es un campo gradiente y existe unafuncion escalar f tal que:

∇f(x)F (x)

∀x ∈ S. F es un campo vectorial conservativo. Podemos definir la con-dicion necesaria para que un campo vecorial sea un gradiente. Si F =(F1, F2, · · · , Fn) es diferenciable con continuidad sobre S ∈ <n y si F es ungradiente en S entonces:

∂Fi∂xj

=∂Fj∂xi

∀X ∈ S y ∀i 6= j donde i, j ∈ 1, 2, · · · , n. Ahora si alguna de las ecua-ciones no se satisface de tal manera que:

∂Fi∂xj6= ∂Fj∂xi

para algun i 6= j, entonces F no es el gradiente de ninguna funcion escalarf .

Capıtulo 3

Termodinamica y MecanicaEstadıstica

En esta seccion entramos al estudio de la Termodinamica y la MecanicaEstadıstica con el fin de entender algunos conceptos utiles. En el capıtulosiguiente, estos mismos conceptos seran aplicados a la economıa.

En primer lugar, podemos decir que la Termodinamica es el estudio delas propiedades de sistemas a gran escala en equilibrio. Es decir que la Ter-modinamica se ocupa de estudiar los procesos y propiedades macroscopicasde la materia sin contender ninguna teorıa de la materia (No nos habla dela estructura misma de la materia)[20].

Por otro lado, la Mecanica Estadıstica nos brinda el nexo entre las propie-dades macroscopicas y las propiedads moleculares y atomicas de la materia.Por lo tanto es una herramienta indispensable y prioritaria para el estudiode la materia a partir del comportamiento microscopico de sus elementosconstituyentes. Por lo tanto su metodologıa de trabajo se fundamenta enla estadıstica y la mecanica hamiltoniana[21].

A continuacion detallaremos lo mas relevante de cada teorıa pues nosservira para la comprension de los modelos termodinamicos aplicados a laeconomıa.

29

30 CAPITULO 3. TERMODINAMICA Y MECANICA ESTADISTICA

3.1. Mecanica Estadıstica

Ya sabemos que la Mecanica Estadıstica interpreta las variables ma-croscopicas como la manifestacion estadıstica de las propiedades mi-croscopicas individuales de un sistema de muchas partıculas. Busca enten-der como emergen los comportamientos cooperativos de la materia. Estose logra gracias a axiomas nuevos que se fundamentan en la fısica estadısti-ca[22]. Hay cuatro requisitos basicos para dar una interpretacion estadısticade un sistema fısico. Los detallaremos a continuacion[23].

3.1.1. Estado de un sistema

La descripcion del estado de un sistema puede llevarse a cabo a travesde las leyes de la mecanica clasica o la mecanica cuantica. En el casode la mecanica clasica el estado de una partıcula en el momento t puededescribirse dando su posicion y su momento, es decir ~x(t), ~p(t). Si elsistema tienen N partıculas la notacion cambia a ~x(t), ~p(t); j = 1, · · · , N,lo cual es suficiente para especificar el microestado del sistema.

Figura 3.1: Division del espacio en casillas de tamano dpdx = h0

En la figura 3.1 hemos dividido el espacio en casillas de tamano dpdx =h0. Si h0 es menor, la especificacion del estado del sistema sera mas precisa.El valor de h0 tiene un lımite conocido como la constante de Planck. Po-

3.1. MECANICA ESTADISTICA 31

demos apreciar que solamente tenemos dos formas de especificar el estadode un grupo de partıculas, es decir dos coordenadas. Sin embargo, pode-mos tener f coordenadas p1, p2, p3, · · · , pf y x1, x2, x3, · · · , xf . El valor def coordenadas independientes se conoce como grados de libertad.

3.1.2. Restriccion del Sistema

Si fijamos la energıa total de un sistema en E, estamos restringiendoel conjunto de microestados posibles. Sin embargo, aquellos estados quecumplen la restriccion se llaman estados accesibles.

3.1.3. Probabilidad de un estado determinado

Existen algunos postulados basico para poder obtener la probabilidadde un estado. Estos son: 1) el sistema aislado no cambia energıa con otro,2) La energıa se conserva, 3) los estados accesibles deben tener todos estaenergıa y 4) Pueden haber muchos estados accesibles. A partir de ellos de-cimos que el postulado fundamental es:“en un sistema aislado en equilibriotodos los estados accesibles tienen la misma probabilidad, la cual es inde-pendiente del tiempo. Es decir que no tenemos una preferencia por algunestado particular, la probabilidad es la misma para todos.” Este postuladofundamental trae consigo el principio de maxima entropıa. En equilibirose maximiza la entropıa y el sistema adquiere estadısticamente todos losestados accesibles.

3.1.4. Calculos estadısticos

Tenemos un sistema con energıa total E y con estados accesibles Ω(E).Conocemos su energıa total en un intervalo E y E + δE. La probabilidadde encontrar un estado, para el cual el parametro y toma el valor de yi,esta determinada por:

p(yi) =Ω(E, yi)

Ω(E)


La variable y puede tomar varios valores posibles, podemos calcular supromedio como:

y =

∑i Ω(E, yi)yi

Ω(E)

3.2. Termodinamica

Como ya hemos mencionado, la Termodinamica es la rama de la fısi-ca que describe los sistemas a nivel macroscopico. Sus leyes se infierende experimentos, por eso la llaman: una ciencia fenomenologica. El obje-tivo principal de esta ciencia es obtener relaciones entre las propiedadesmacroscopicas de la materia cuando esta se somete a una variedad de pro-cesos. Una de sus motivaciones fue la de comprender las equivalencias entredistintas formas de energıa, su convervacion y la capacidad de conversionde unas u otros en trabajo. Ası la Termodinamica lımita y caracteriza deforma determinante los procesos fısicos macroscopicos.

Vamos a dar algunas definiciones previas al analisis termodinamico.

1. Estado: Es la condicion del sistema definida por sus propiedades ter-modinamicas.

2. Sistema Termodinamico:Un Sistema es una region del espacio de-finida por un observador. Todo aquello que no sea parte del sistema seconsidera los alrededores[24]. Un sistema termodinamico es cualquiercantidad de materia o radiacion lo suficientemente grande como paraser descrito por parametros macroscopicos, sin niguna referencia de suscomponentes microscopicos[25].

3. Proceso Termodinamico:Un Proceso Termodinamico es el paso deun sistema termodinamico de un estado de equilibrio inicial a otroestado de equilibrio final.

4. Variables y Parametros: Existen variables intensivas1, que son aque-llas independientes de la extension del sistema, como por ejemplo lapresion, la densidad y la temperatura. Por otro lado, las variables ex-tensivas2 son aquellas proporcionales a la extension del sistema, como

1Independientes de la masa2Proporcionales a la masa

3.2. TERMODINAMICA 33

por ejemplo el volumen y la energıa[26]. Los parametros termodinami-cos son variables que describen el macroestado de un sistema.

5. Ecuacion de Estado: Es una relacion funcional entre los parametrosde un sistema en equilibrio.

3.2.1. Interaccion entre sistemas macroscopicos

Supongamos que tenemos parametros independientes susceptibles de sermedidos x1, x2, · · · , xn, esto es, parametros externos que afectan al sistema.Entonces los niveles de energıa del sistema dependen de estos parametrosE = E(x1, x2, · · · , xn). Ası para dos sistemas macroscopicos A y A′ existentres posibles interacciones:

1. Todos los parametros x1, x2, · · · , xn permanecen fijos haciendo que losniveles energeticos no cambien. Esta es una interaccion termica endonde se transfiere energıa de un sistema al otro. Esta transferencia sellama calor absorbido Q = ∆E. La energıa tanto del sistema A comodel sistema A′ es ∆E + ∆E ′ = 0, y por lo tanto Q+Q′ = 0. De dondeQ = −Q′.

2. Los parametros x1, x2, · · · , xn se modifican y cambian algunos de losniveles de energıa. Esta es una interaccion mecanica, que se da a pesarde que los sistemas esten aislados termicamente. Aquı los sistemas in-tercambian energıa realizando trabajo macroscopico mutuo. El trabajomacroscopico ejercido sobre el sistema es w = ∆xE, mientras que eltrabajo macroscopico realizado por el sistema es W = −w = −∆xE,en donde W +W ′ = 0 o W = −W ′.

3. Cuando ambos tipos de interacciones se dan decimos que ocurre unainteraccion general. Si agregamos calor (Q), parte de la energıa cambiala energıa iterna (E), el resto sale del sistema cuando este efectuatrabajo (w) contra su entorno. En este caso:

Q = ∆E − w

Q = ∆E +W

Si consideramos variaciones infinitesimales tenemos:

δQ = dE + δW


donde δ implica una dependencia del proceso de interaccion (El ca-mino tomado) y no es un diferencial exacto. Para el calor designa unacantidad de calor absorbida y no una diferencia. Este resultado es co-nocido como la primera ley de la termodinamica, una generalizaciondel principio de conservacion de la energıa para incluir la transferenciade energıa.

3.3. Termodinamica Estadıstica

Pensemos en un sistema que esta condicionado por un conjunto deparametros. El sistema tiene que satisfacer las condiciones especıficas limi-tando el numero de estados posibles. Definimos Ω como el numero de esta-dos accesibles y compatibles con dichas condiciones. Sean yi los parametrosque condicionan de tal manera que Ω = Ω(y1, y2, · · · , yn). Si eliminamos al-gunos parametros podemos apreciar que los estados accesibles del sistemao bien se mantienen constantes o bien aumentan. Si Ωf y Ωi son el numerode estados final e inicial respectivamente, entonces luego de eliminar algu-nos parametros tenemos que Ωf ≥ Ωi. El sistema alcanzara el equilibrioen el estado final cuya distribucion de probabilidad sera proporcional alnumero de estados final, es decir P (yf) ∝ Ω(yf).

Sea δE la particion de la energıa en un sistema dado. Tenemos dossistemas A y A′, entonces los estados accesibles Ω y Ω′ los podremos ubicardentro del intervalo E y E + δE y E ′ y E ′+ δE ′ respectivamente. Ademasla energıa se conserva E +E ′ = E0 = cte. Donde E0 es la energıa total deambos sistemas como uno solo, que tendra un numero de estados accesiblesde Ω0. Podemos representar la descripcion del sistema en terminos de Ede tal manera que la probabilidad de que A se encuentre en el intervalo Ey E + δE es proporcional a Ω0(E) de A0, P (E) = Ω0(E)

Ω0Total

.

Sabemos que Ω0(E) = Ω(E)Ω′(E0 − E), entonces la probabilidadsera P (E) = cΩ(E)Ω′(E0 − E), donde c = 1/Ω0

Total. Sabemos que Ω(E)es creciente en E que llega a un maximo en E1, valor que verifique∂lnP∂E = 1

P∂P∂E = 0. El maximo de P (E) es tambien el maximo de su lo-

garitmo.

3.3. TERMODINAMICA ESTADISTICA 35

Siendo E ′ = E0 − E tenemos que:

∂lnΩ(E)

∂E+∂lnΩ′(E ′)

∂E ′(−1) = 0

β(E1) = β′(E1′)

Esta es la ecuacion que determina el valor maximo E1 para que P (E)tambien sea maximo. En este punto se introduce un parametro adimensio-nal T de tal manera que:

kT =1

β

donde T se define como:1

T=∂S

∂ES = klnΩ

Siendo S la entropıa. Ası la condicion del maximo valor podemos descri-birla como S + S ′ = maximo o que T = T ′. Entonces, siendo T = kβ−1

tenemos que si dos sistemas que estan en equilibrio pero separados, tienenel mismo valor del parametro, en consecuencia los sistemas permaneceranen equilibrio cuando se ponen en contacto uno con el otro. Sin embargo, silos sistemas estan caracterizados por valores diferentes del parametro, noestaran en equilibrio cuando se pongan en contacto termico. De aquı te-nemos la ley cero de la termodinamica que dice: “Si dos sistemas estan enequilibrio termico cada uno con un tercer sistema, entonces los dos primerosestaran necesariamente en equilibrio termico entre sı”.

Ahora discutamos la nocion del equilibrio termico. Si tenemos dos sis-temas que se ponen en contacto obtenemos Ef = E1 y E ′f = E1′, dondeEf es la energıa final en situacion de equilibrio. La probabilidad se hacemaxima si βf = β′f . Si P (Ef) es maxima tenemos que:

S(Ef) + S ′(E ′f) ≥ S(Ei) + S ′(E ′i)

Donde la energıa se conserva Ef +E ′f = Ei +E ′i. Ademas lo cambios en laentropıa son ∆S = Sf − Si y ∆S ′ = S ′f − S ′i de donde:

∆S + ∆S ′ ≥ 0

Analogamente tenemos Q = Ef − Ei y Q′ = E ′f − E ′i de donde:

Q+Q′ = 0


Ahora designemos un sistema A′ que es mayor, es decir que tiene masgrados de libertad, que A. Se dice que A′ es un foco termico cuando suparametro T no cambia cualquiera sea la cantidad de calor Q′ que absorbadel sistema A. Esta condicion se determina por:∣∣∣∣ ∂β′∂E ′

Q′∣∣∣∣ << β′

E

E ′<< 1

Si A′ tiene Ω′(E ′) estados accesibles y absorbe una cantidad Q′ = ∆E ′ sepuede expresar, usando el logaritmo, la variacion resultante por una seriede Taylor de la siguiente manera:

lnΩ′(E ′ +Q′)− lnΩ′(E ′) =

(∂lnΩ′

∂E ′

)Q′ +

1

2

(∂2lnΩ′

∂E ′2

)Q′2 + · · ·

lnΩ′(E ′ +Q′)− lnΩ′(E ′) = β′Q′ +1

2

∂β′

∂EQ′2

Anulando los terminos a partir del segundo orden de la serie tenemos:

lnΩ′(E ′ +Q′)− lnΩ′(E ′) = β′Q′ =Q′

kT

Y si S ′ = klnΩ′, entonces:

∆S ′ =Q′

TSi un sistema esta a T y absorbe un valor de δQ de otro sistema entonces:

dS =δQ

T

Si un sistema determinado esta a una temperatura T = (kβ)−1 y absorbeuna cantidad δQ de otro sistema, donde δQ << E tenemos:

lnΩ(E + δQ)− lnΩ(E) =∂Ω

∂EδQ = βδQ

dS =δQ

Tdonde dS implica el aumento de entropıa del sistema.

Ahora imaginemos que dos sistemas interaccionan mutuamente tantocon calor y trabajo. Los sistemas pueden describirse como A y A′. Si A0

3.4. TEORIA CINETICA DE LOS GASES 37

esta aislado tenemos que E ′ +E = E0, la energıa total es constante. Con-sideremos un proceso cuasi-estatico en A que se lleva desde el equilibiro Ey xa hasta otro equilibrio E + dE y xa + dxa. la pregunta que nos hace-mos es ¿Como cambiara el numero de estados Ω para el sistema A?. SeaΩ = Ω(E, xa).

dlnΩ =∂lnΩ

∂EdE +

∑ ∂lnΩ

∂xadxa

dlnΩ = β(dE +

∑xadxa

)dlnω = β(dE + δW ) = β(δQ)

dS =δQ

TComo podemos observar, la relacion antes obtenida se mantiene inclusosi los parametros externos del sistema se modifican cuasi-estaticamente.Cuando un proceso esta aislado termicamente tenemos un proceso adiabati-co en donde dS = 0. Si los parametros externos de un sistema termicamen-te aislado se modifican cuasi-estaticamente se verifica que el cambio de laentropıa es nula ∆S = 0. Entonces el proceso es reversible.

Una de las propiedades mas importantes de la entropıa es que δQ noes una diferencial exacta, sine embargo, δQ

T sı lo es. Otra propiedad es quecuando se pasa a energıas muy bajas puede haber un numero pequeno deestados con una energıa determinada (E0). Pero, si se consideran energıasaltas, el numero de estados aumenta rapidamente dado que Ω ∝ (E−E0)

f .Esto quiere que cuando E → E0 entonces S → 0 y T → 0.

3.4. Teorıa cinetica de los gases

La pregunta a responder en esta parte es ¿Por que los agregados deatomos se comportan como lo hacen? Suponemos que la materia esta hechade una gran cantidad de atomos y que estos, a la vez, interacuan y siguenlas leyes de la mecanica. Esto se aborda, no sabiendo la conducta de cadaatomo, sino haciendo un analisis probabilıstico. Es decir, cuantos se muevenpor aquı o por alla en promedio[27].

El primer problema a enfrentar es que volumenes iguales de gases a la


misma presion y temperatura contienen el mismo numero de moleculas.Desde un punto de vista no atomico, si comprimimos algo, este se calienta;y si lo calentamos se dilata.

Figura 3.2: Piston y atomos en una caja

La figura 3.2 ilustra la presion de un gas dentro de una caja con un piston.¿Cuanta fuerza F es necesaria para que el piston no salga? Definimos lapresion como p = F

A . El trabajo es:

dw = F (−dx)

Reemplazamos el valor de la fuerza:

dw = −pAdx

dw = −pdVEl signo menos indica que se reduce el volumen y cuando se comprimeun gas se realiza un trabajo sobre el. Ahora supongamos que el piston esuna pared que refleja todo. Entonces cada partıcula llega con una veloci-dad determinada y rebota con la misma velocidad y masa. El momentumencontrado por una partıcula es 2mvx. Supongamos N partıculas en el vo-lumen V o n = N/V en cada unidad de volumen. Ahora las partıculascercanas a la pared en una distancia vxt golpearan el piston. El nume-ro de golpes sera el numero de partıculas que estan en un volumen localvxtA(el volumen proximo) que sera nvxtA. Por unidad de tiempo medidoen segundos tenemos nvxA, la fuerza es F = nvxA2mvx y la presion esp = 2nmv2

x.

Ahora las velocidades no son iguales por lo que tenemos que considerarel promedio de las velocidades. Ası la presion queda determinada por p =2nm < v2

x >. Sin embargo, solamente la mitad tiene la direccion hacia elpiston:

p = nm < v2x >


Al considerar todas las direcciones de los atomos, en promedio tenemos< v2

x >=< v2y >=< v2

z > y < v2x >= 1

3 < v2x + v2

y + v2z >=< v2

x/3 >.Entonces tomando este resultado podemos redefinir la presion como:

p = nm < v2/3 >

p =2

3n < mv2/2 >

En donde mv2x/2 es la energıa cinetica del movimiento del centro de masa

de la molecula. Si multiplicamos el anterior resultado por V obtenemos:

pV = N2

3< mv2/2 >

La energıa cinetica del movimiento del centro de masa de la molecula esla energıa total que llamamos E. Si consideramos un gas monoatomicotenemos:

pV =2

3E

Si generalizamos:

pV = (γ − 1)E

A medida que comprimimos realizamos un trabajo sobre el gas y, por lotanto, aumentamos la energıa E suponiendo que no hay perdida de calor.En este punto aparece una ecuacion diferencial. La compresion sin calor sellama Adiabatica, es decir w = E. Entonces tenemos pdV = −dE, perocomo E = pV/(γ − 1) diferenciando obtenemos:

dE = (V dp+ pdV )/(γ − 1)

pdV = (pdV + V dp)/(γ − 1)

γdV

V+dp

p= 0

γ

∫dV

V=

∫dp

p=

∫0

γlnV + lnp = lnc

lnV γp = lnc

pV γ = c

En una compresion adiabatica la presion multiplicada por el volumen a lapotencia 5/3(para 2/3) es constante.


Hasta ahora no hemos hecho referencia al cambio de la temperatura.Sabemos que cuando comprimimos un gas, este se calienta ¿Que tiene quever con la temperatura?

Un sistema determinado llegara al equilibrio termico cuando las presio-nes se igualen, o bien si los gases estan mezclados el equilibrio llega cuandolas velocidades de las partıculas son las mismas.

Imaginemos que en primer lugar tenemos un gas con partıculas quese mueven horizontalmente, luego llegan a moverse en todas direcciones.¿Cual es la distribucion de las partıculas? Sera igualmente probable en-contrar un par cualquiera moviendose en una direccion cualquiera en elespacio. Entonces la energıa cinetica media molecular es una propiedad dela temperatura, lo que nos da una definicion de ella. Si T es la temperaturaabsoluta muestra definicion dice que:

T ≈ 1/k2

3< mv2/3 >

Donde k es una constante de proporcionalidad y < mv2/3 > es la energıacinetica media molecular (ECMM). Despejamos esta utlima:

ECMM =3

2kT

Ahora, de pV = N 23 < mv2/2 > tenemos:

pV = NkT (3.1)

La ecuacion (3.1) es la ley para la presion de los gases en funcion de latemperatura. Si cambiamos la escala en terminos de moles nos queda:

pV = NRT (3.2)

3.4.1. Propiedades termicas de la materia

En esta seccion daremos las nociones basicas para investigar cantidadesa pequena escala y gran escala como masas, velocidades, energıas cineticasy cantidades en movimiento de las moleculas individuales de una sustanciadeterminada[28].


En primer lugar hemos hablado de la ecuacion de estado en las defi-niciones previas. En ese sentido, consideremos un material que presentauna presion (p), un volumen (V ), una temperatura (T ) y una cantidad desustancia (m). Sabemos que estas son las variables de estado del sistema.Ademas el volumen depende de la presion, la temperatura y la cantidadde sustancia. Por lo tanto, no podemos cambiar alguno de estas variablessin alterar otras. La relacion entre ellas s epuede expresar en una ecuacionde estado:

V = V0[1 + β(T − T0)− k(p− p0)]

Siguiendo esta lınea de razonamiento podemos introducir la ecuacion deestado de los gases ideales como:

pV = NRT

Donde N es es el numero de atomos en el volumen V y R es una constantede proporcionalidad constante de los gases. Si i = 1, 2 se refieren a dosestados cualquiera de la misma masa de gas (masa constante) entoncestenemos:

p1V1

T1=p2V2

T2= NR = cte

Podemos obtener una graficas denominadas Diagramas pV que representanjuegos de curvas de presion en funcion del volumen para una temperaturaconstante particular. En los diagramas pV representados en la figura 3.2cada curva es una isoterma.

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Volumen

Diagrama pV

Pre

sión

T1 < T2 < T3

T3T2

T1

Figura 3.3: Diagrama pV


3.4.2. Ley de Boltzmann

En primer lugar sabemos que el valor medio de la energıa cinetica es 12kT

para cada movimiento independiente. Ahora lo que queremos es saber masacerca de las posiciones de los atomos en equilibrio termico y descubrir ladistribucion de las velocidades moleculares.

Figura 3.4: Columna de gas que simula la atmosfera

La figura 3.4 simula la atmosfera. El problema es descubrir la ley por lacual la atmosfera se hace mas tenue a medida que ascendemos. Ahora elmecanismo en forma de el asa hace que la temperatura sea la misma. Por laley p = nkT y conociendo el numero de moleculas por unidad de volumenconocemos tambien la presion. Sea mg la fuerza de gravedad sobre cadamolecula y ndh es el numero de moleculas en el area unitaria. El diferencialde presion en dicha area es:

dp = −mgndh

De p = nkT tenemos dp = dnkT , reemplazamos en la ecuacion anterior:

−mgndh = dnkT

dn

dh= −mg

kTn

dn

n= −mg

kTdh∫

dn

n= −

∫mg

kTdh


lnn = −mgkT

h

n = n0e−mgh/kT (3.3)

Podemos generalizar de la forma e−E/kT , donde E es la energıa potencialde cada partıcula. Ahora si generalizamos aun mas en un campo cualquieraque ejerce una fuerza F tenemos:

Fdx = dp = kTdn

F = kTd

dx(lnn)

El trabajo que realiza la fuerza es −Fdx entonces:

d(lnn) = −d(EP )/kT

n = n0e−(EP )/kT (3.4)

La ecuacion (3.4) es la Ley de Boltzmann que dice que la probabilidad deencontrar moleculas en un arreglo espacial determinado varıa de maneraexponencial con el negativo de la energıa potencial de dicho arreglo divididopor kT .

3.4.3. Velocidades moleculares

No todas las moleculas de un gas tiene la misma velocidad o rapidez.Definimos una funcion f(v), llamada funcion de distribucion. Si observamosN moleculas, el numero dN cuya rapidez esta en el intervalo v y v + dvesta dado por:

dN = Nf(v)dv

Donde f(v)dv es la propocion de moleculas o la probabilidad de estar endicho intervalo.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Velocidad

Distribución de las Velocidades

Pro

babi

lidad

dv

Figura 3.5: Distribucion de las velocidades

En la figura 3.5 el pico representa la rapidez mas probable v para unadeterminada temperatura Ti. Si aumenta v, las moleculas se desplazancon mayor rapidez. La velocidad mas probable cumple con la condiciondf/dv = 0. Por otro lado, la velocidad media se define como:

v =

∫ ∞0

vf(v)dv

Tambien podemos definir:

v2 =

∫ ∞0

v2f(v)dv

Con lo que obtenemos la media cuadratica de la velocidad (vmc):

vmc =√v2

La funcion f(v) que describe la distribucion real de las velocidades mo-leculares se llama distribucion de Maxwell-Boltzmann y se define por:

f(v) = 4π( m

2πkT

)3/2

v2e−mv2/2kT (3.5)

Capıtulo 4

Modelos Termodinamicos enEconomıa

El primer referente inpostergable que debemos mencionar es sin dudael trabajo de Georgescu Roegen[29]. En su obra “La ley de la entropıa yel proceso economico ”(1971) nos da una vision interdisciplinaria con elobjetivo de que la economıa pueda entender mejor el proceso productivo ylos problemas del crecimiento economico. Su teorıa nos lleva a pensar deuna forma distinta el concepto que la teorıa economica neoclasica tenıa delos recursos naturales. Ası, para Georgescu Roegen, la naturaleza importay los recursos naturales son relevantes para el sistema economico.

Para fundamentar sus postulados utiliza conceptos de la Termodinami-ca, principalmente el concepto de Entropıa, el cual dictamina que la trans-formacion de la energıa es unica e irreversible. Ası, la entropıa es la leyeconomica por excelencia pues esta claramente vinculada con el conceptode escasez. Esta ley nos lleva irremediablemente a darnos cuenta que laposiblidad de un reciclaje completo es imposible.

La entropıa nos dice que nunca podremos regresar al mismo equilibriodel cual partimos. Lo cual transforma la nocion de produccion clasica ynos lleva a formular una nueva funcion de produccion basada en la en-tropıa. Claramente esto pone de manifiesto los lımites teoricos al creci-miento economico y nos ensena que las decisiones que tomemos afectaranen el agotamiento de nuestros recursos.

45

46 CAPITULO 4. MODELOS TERMODINAMICOS EN ECONOMIA

4.1. La teorıa entropica del valor

Uno de los principios de cambio en el pensamiento economico implicaun nuevo entendimiento del concepto de valor. Partiendo del hecho deque todas las actividades humanas conllevan una transformacion entropicadesde el medio ambiente, es natural relacionar el valor con el conceptode entropıa. Sin embargo, el valor economico no es identico a la entropıafısica, y a pesar de ello, podemos habar de una teorıa entropica del valorque nos permita obtener resultados claros respecto al significado del valoreconomico.

En terminos concretos para la teorıa entropica del valor, este es el valorde baja entropıa de un bien cuyos derechos de propiedad son instaladospor instituciones economicas[30]. Respecto a la teorıa economica clasicasabemos que el valor esta caracterizado por el analisis marginalista que,desde Afred Marshall (1890), indica que la diferencia del valor, por ejem-plo, del agua y los diamantes se fundamenta en el hecho de que el aguaes abundante y por lo tanto tiene un bajo valor marginal y un bajo cos-to marginal; mientras que los diamantes, al ser escasos, presentan un altovalor marginal y alto costo marginal. La unica formula matematica querepresenta el valor, como funcion de la escases, es la funcion de entropıa.La razon de llevar a cabo un cambio desde la teorıa marginalista haciala teorıa entropica del valor es que la primera, aunque es facil de repre-sentar matematicamente, es dıficil de medir empıricamente. Ahora ¿porque dijimos baja entropıa? La razon de ello es que la ley mas general de lanaturaleza es el aumento espontaneo de la entropıa en todo proceso. Porello, la reduccion de entropıa en un sistema implica un esfuerzo, el cual esla base del valor economico.

Definiendo las propiedades de la teorıa entropica del valor, sabemos queeste es una funcion de la escasez. La escasez puede ser definida como lamedida de la probabilidad P en un espacio dado de probabilidad. Ademasconocemos dos propiedades de cualquier producto: 1) el valor de dos pro-ductos debe ser mayor que el valor de cada uno, 2) si dos productos sonindependientes, luego el valor total de los dos productos sera la suma decada producto, y 3) el valor de cualquier producto no puede ser negati-vo. La unica funcion matematica que satisface dichas condiciones tiene la

4.1. LA TEORIA ENTROPICA DEL VALOR 47

siguiente forma:

V (P ) = logb P (4.1)

Donde b es una constante positiva. En general, si la escasez de un produc-to cualquiera que denominamos X, puede ser estimada por la medida deprobabilidad p1, p2, . . . , pn, el valor esperado del producto es el promediodel valor de cada posibilidad, esto es:

V (X) =n∑i=1

pi(− logb pi) (4.2)

En economıa la constante b puede entenderse como el numero de pro-ductores que hay en el mercado.

Figura 4.1: Valor y escasez de un producto

En la figura 4.1 podemos apreciar que el valor es una funcion de crecientede la escasez. Esto es, si la escasez es elevada, el valor del producto sera muyalto, caso contrario, si el producto es abundante el valor sera bajo. Esta esla razon del porque el agua es mas barata que los diamantes.


Figura 4.2: Valor y numero de productores

En la figura 4.2 se observa que el valor es una funcion decreciente respectoal numero de productores de un determinado bien. Esto es, si el numero deproductores es pequeno entonces el valor del producto sera alto, mientrasque si el numero de productores es elevado el valor del bien sera bajo. Estaes la razon del porque en mercados monopolicos el valor de dicho bien esmuy elevado.

Muchos productos se pueden sustituir en un grado determinado. El valorde un producto solo puede definirse como su entropıa segun la ecuacion(4.2). El valor total de ambos productos, X y Y , pueden ser definidoscomo su entropıa conjunta:

V (X, Y ) = −n∑j=1

m∑k=1

pjk log(pjk) (4.3)

Ademas se cumple:

V (X, Y ) ≤ V (X) + V (Y ) (4.4)

En donde la igualdad se mantiene solo si X y Y son independientes, esdecir son productos que no se sustituyen. Esto implica que la sustituibilidadreduce el valor de un producto.

4.2. FORMULACION TERMODINAMICA DE LA ECONOMIA 49

4.2. Formulacion termodinamica de la economıa

El modelo descrito en esta seccion es un aporte de Jurgen Minkes[31], elcual plantea una aplicacion de las leyes de la termodinamica a la economıa.Su modelo se basa en la aplicacion de las formas diferenciales en dos dimen-siones que son generalmente no exactas (δQ). Sin embargo, estas formas noexactas pueden convertirse en exactas (dS) usando un factor de integracion(T ). Es decir que dS = δQ/T , donde S es la entropıa relacionada con laprobabilidad p por la formula S = ln p.

En economıa S representa la funcion de produccion y T es un ındice delnivel de vida representado por el PIB per capita. Ademas la dinamica delcrecimiento economico se sustenata en un proceso de Carnot, el cual usarecursos externos al sistema como son los recursos naturales1.

Para entender la similitud entre la termodinamica y la economıa veamosel cuadro 4.1 que establece las formas diferenciales no exactas.

Cuadro 4.1: Formas diferenciales no exactas en termodinamica y economıaTermodinamica EconomıaQ = Q(p, T ) Y = Y (K,L)

δQ = a(p, T )dp+ b(p, T )dT δY = a(K,L)dK + b(K,L)dL∮δQ 6= 0

∮δY 6= 0

El calor (Q) depende por lo menos de la presion (p) y la temperatura(T ), ası es posible invertir calor siguiendo un camino y ganar mas caloren el camino de regreso debido a que es una integral no exacta. De igualmanera, es posible invertir nuestro ingreso (Y ) en un proceso productivodeterminado y obtener mayor ingreso en el proceso de retorno. Por ejemplo,el Banco de Credito del Peru cobro una tasa de interes activa de 20,5 %para capital de trabajo, mientras que pago una tasa pasiva de interes de0,123 % para algunas cuentas de ahorro2. Entonces lo que vemos es queel banco invierte solamente 0,123 % en los ahorros o depositos, pero cobra20,5 % de los prestamistas o inversores. De igual manera, las empresaspagan muy poco a sus trabajadores, mientras obtienen grandes montos dequienes consumen sus productos y servicios.

1En termodinamica este recurso externo es la sustancia de trabajo.2La informacion se obtuvo de http://www.viabcp.com/connect/pdf/hbk/tarifas2.html


4.2.1. La primera ley de la Economıa

Sabemos que la produccion en una economıa se logra por el trabajo, sinembargo, el resultado de la produccion difiere segun el proceso productivoutilizado. De esta forma podemos describir dicha situacion en terminosformales de la siguiente manera:

−∮δW =

∮δQ (4.5)

En donde Q es el excedente y W el trabajo, de tal manera que el excedentees el resultado del insumo trabajo. Segun el modelo el proceso productivocıclico se puede separar en dos etapas o caminos: A a B y de B a A.Formalmente tenemos:

−∮δW =

∮δQ =

∫ B

A

δQ(1) −∫ A

B

δQ(2) = Y − C = (4.6)

En donde Y es el ingerso y C es el costo, mientras que ∆Q es el incre-mente en el excedente. Tanto como Y y C son parte del mismo proceso deproduccion particular. Q no puede ser calculada anticipadamente, es unaforma diferencial no exacta por lo que su forma funcional no se conoce amenos que el proceso entero sea conocido. Si escribimos (4.5) en forma di-ferencial, dos formas exactas al ser iguales a lo largo del proceso o caminode integracion, solo pueden diferir en una forma diferencial exacta que sepierde en el momento de la integracion. Ası aparece el termino dE querepresenta el capital.

δQ = dE − δW (4.7)

Entonces, la ecuacion (4.7) representa la primera ley de la termodinamicaen economıa escrita en forma diferencial. Esta serıa el balance de capitalde la produccion. El excedente (δQ) incremente el capital (dE) y necesitade un insumo como es el trabajo (−δW ).

El trabajo (W ) es el esfuerzo que proporcionamos en nuestra labor.Ası W no existe como una funcion general pues depende del proceso deproduccion, esto es del camino de integracion. Vemos que la dimension deltrabajo y del excedente es el capital E. Por otro lado, el excedente es elresultado del trabajo que tambien depende del proceso de produccion. Elcapital, por su parte, es la base de la produccion que requiere de trabajopara crecer.


4.2.2. La segunda ley de la Economıa

Habıamos dicho que el excedente δQ, al ser no exacto, puede volverse undiferencial exacto dS mediante un factor de integracion T . Formalmentetenemos:

dS =δQ

T(4.8)

La variable S es la entropıa que en economıa toma el nombre de la funcionde produccion o funcion de utilidad. El factor de integracion T es pro-porcional al capital promedio de la economıa. Si existen N agentes en unsistema economico especıfico entonces:

E = cNT

Lo que equivaldrıa a la temperatura promedio economica. Si en lugar deagentes hablamos de N bienes tenemos que T representa al precio prome-dio. Ası en un paıs T es proporcional al PIB per capita, la cual es una delas principales variables para todas las funciones economicas.

Usando la ecuacion (4.8) en la ecuacion (4.5) tenemos que:

−∮W =

∮TdS (4.9)

S esta relacionado con el trabajo, sin embargo es independiente del procesode produccion. S tiene la dimension de un numero y puede ser obtenidoex-ante. Vemos que W y S representan el mecanismo y el calculo de todoproceso economico.

Cuadro 4.2: Caracterısticas del Trabajo y la EntropıaTrabajo W Entropıa SSe define en el proceso deproduccion y es diferente pa-ra cada proceso. Hace posibleobtener la ganancia siguiendoel camino A − B y dar pocoen el camino de vuelta B−A.Nos permite obtener ∆Q.

Depende del sistema y haceposible el calculo del procesoproductivo y economico ex-ante.

De la misma manera a traves de la cual volvimos un diferencial exacto alexcedente, podemos volver un diferencial exacto al trabajo. Formalmentetenemos:

δW = −pdV (4.10)


Donde p es la presion, V se puede referir al espacio o libertad personal, elcual puede ser reducido debido a la presion social.

Ahora tomemos la ecuacion (4.7), luego podemos desarrollar lo siguiente:

δQ = dE − δW

TdS = dE − pdV

dS =1

T[dE − pdV ]

dS(T, V ) =1

T[dE(T, V )− p(T, V )dV ]

dS(T, V ) =1

T

[∂E

∂TdT +

∂E

∂VdV − pdV

]

dS(T, V ) =1

T

∂E

∂TdT +

1

T

(∂E

∂V− p)dV

La forma diferencial dS sera integrada independientemente del camino.La funcion de produccion S depende del capital E(T, V ) y la presioneconomica p(T, V ).

Aclaracion: Tomamos E(T, V ) para mayor generalidad.

dE =

(∂E

∂T

)V

dT +

(∂E

∂V

)T

dV

De TdS = dE + pdV reemplazo dE y obtengo:

dS =1

T

∂E

∂TdT +

1

T

[∂E

∂V+ p

]dV (4.11)

Como S es un diferencial exacto se la considera S(T, V ):

dS =∂S

∂TdT +

∂S

∂VdV (4.12)

Por lo tanto comparando las ecuaciones (4.7) y (4.8) obtenemos:

∂S

∂T=

1

T

∂E

∂T

∂S

∂V=∂E

∂V+ p


Relaciones GeneralesTdS = dE + pdV

Independiente S y V S y p T y V T y pE(S,V) E(S,p) E(T,V) E(T,p)

∂T∂V = − ∂p

∂S∂T∂p = ∂V

∂S∂S∂V = ∂p

∂T −∂S∂p = ∂V∂T

La relacion de Maxwell

Sea la ecuacion (4.11) del cuadro de aclaracion:

dS =1

T

∂E

∂TdT +

1

T

[∂E

∂V+ p

]dV

Como S es forma exacta sera S(T, V ) entonces:

dS =∂S

∂TdT +

∂S

∂VdV

Expresion que debe cumplirse para todos los valores de dT y dV , entonces:

∂S

∂T=

1

T

∂E

∂T

∂S

∂V=

1

T

[∂E

∂V+ p

]Como es forma exacta sus segundas derivadas mixtas son iguales, es decir∂S2/∂T∂V = ∂S2/∂V ∂T :

∂

∂V

(∂S

∂T

)=

∂

∂T

(∂S

∂V

)∂

∂V

(1

T

∂E

∂T

)=

∂

∂T

[1

T

(∂E

∂V+ p

)]Finalmente:

∂p

∂T=∂S

∂V=

1

T

[∂E

∂V+ p

](4.13)

Funcion de Costo Efectivo y Funcion de Lagrange

La ecuacion (4.13) representa la relacion de Maxwell, la cual implicacondiciones generales para todas las funciones del modelo E(T, V ), p(T, V )y S(T, V ). Ahora definamos la funcion F como:

F (T, V ) = E(T, V )− TS(T, V ) (4.14)


Segun el modelo la funcion F es una funcion de costo efectivo. Como tal,se buscara minimizar para que un sistema economico sea estable. En ter-modinamica F se conoce como la funcion de energıa libre de Helmholtz.

Si dividimos la ecuacion (4.14) por −T obtenemos:

F (T, V )/T = E(T, V )/T − TS(T, V )/T

L(T, V ) = S(T, V )− (1/T )E(T, V ) (4.15)

Ahora, en lugar de minimizar, se buscara maximizar la ecuacion (4.15).Esta ecuacion es conocida como Funcion de Lagrange. Es decir, maximizarla funcion produccion S bajo la restriccion de costos de capital E dondeλ = 1/T . Este es el resultado final que se obtiene de la primera y segundaley de la economıa.

Funcion de Lagrange en un sistema estocastico

Tambien podemos tener la Funcion de Lagrange para un sistema es-tocastico. La pregunta es ¿Cual es la distribucion mas probable de N bie-nes en i diferentes categorıas de precios? La probabilidad tiende a ser lamaxima. La Funcion de Lagrange en un sistema estocastico se determinade la siguiente manera:

L(Ni) = ln p(Ni)− (1/T )∑

NiEi (4.16)

La ecuacion (4.16) representa la distribucion mas probable de N bienescon restricciones de precio E. Ademas p(Ni) es la probabilidad de acuerdoa:

p(N1, . . . , Ni) =N0

N1! . . . , Ni!qN1

1 . . . qNii (4.17)

Entonces ¿Cual es la distribucion mas probable? El problema se resuelvepor la Funcion de Lagrange de la siguiente manera:

L(Ni) = ln

(N !∏Ni!

∏qNi)− 1/T

(∑i

NiEi

)= Maximo (4.18)


Para numeros grandes de N se usa la formula de Stirling lnN ! = N lnN −N , donde reemplazamos N =

∑Ni. Utilizando estas herramientas pode-

mos reescribir (4.14) como:

L(Ni) =∑

Ni ln∑

Ni −∑

(Ni lnNi) +∑

(Ni ln qi)− 1/T∑

NiEi

(4.19)

En el equilibrio, es decir para maximizar, debemos diferenciar con res-pecto a Ni de tal manera que:

∂L

∂Ni=(

ln∑

Ni − lnNi

)+ ln qi − Ei/T = 0 (4.20)

Esto nos lleva a la distribucion de Ni bienes como funcion de los preciosEi:

Ni

N= qie

−Ei/T (4.21)

La distribucion de Boltzmann es la distribucion mas probable de N ele-mentos en i categorıas bajo la restriccion de precios E.

En la figuta 4.1 podemos apreciar el mercado de vivienda de Lima yCallao segun numero de viviendas vendidas y sus precios (puntos azules).Ademas podemos apreciar la lınea de regresion exponencial segun la ecua-cion (4.21) representada por los puntos rojos.

010

020

030

040

050

0V

ivie

ndas

Ven

dida

s

50000 100000 150000 200000 250000Precios de las viviendas en Lima y Callao ($)

N° de viviendas vendidas Ajuste exponencial

Fuente: Ministerio de Vivienda

Mercado de vivienda Lima−Callao (Junio 2013)

Figura 4.3: Mercado de Vivienda Lima y Callao

En la figura 4.3 podemos ver el ajuste exponencial al histrograma delmonto mensual de alquiler o compra de la vivienda segun la encuesta na-


cional de hogares y las caracterısticas de la vivienda para el ano 2013. Lalınea implica una forma exponencial tal y como plantea la distribucion deBoltzmann. La decision de comprar casa y del pago mensual del alquiler ode compra de la vivienda depende de manera exponencial del los precios,relacionados con el estandar de vida o PIB per capita.

Monto mensual por alquiler o compra de la vivienda (en S/.)

40003000200010000

Fre

cu

en

cia

300

200

100

0

Mean = 300,81 Std. Dev. = 370,187 N = 557

Exponential

Histograma: Monto mensual por alquiler o compra de la vivienda (2013)

Fuente: Enaho, caracteristicas de la vivienda y el hogar

Figura 4.4: Monto mensual de alquiler o compra de la vivienda

Cuadro 4.3: Comparacion entre la regresion exponencial y lineal para el Mercado de Viviendas Lima yCallao

Modelo: Ni

N = qie−Ei/T

Variable Coeficiente Prob.q 395.8070 0.0248T 629.3266 0.0008

R2 = 0,1263Modelo: Ni = β1 + β2E

Variable Coeficiente Prob.β1 174.5592 0.0000β2 -0.0885 0.0017

R2 = 0,1067

El cuadro 4.3 muestra la comparacion de resultados segun la regresionexponencial y lineal para los datos del mercado de viviendas de Lima yCallao. Podemos apreciar que existe una mejora en la regresion al ver queel coeficiente de determinacion capta con mayor precision los datos usandoel modelo exponencial segun la distribucion de Boltzmann. El valor de T es$629,32, lo que significa que el estandar de vida se calcula, segun el modelo


exponencial, en aproximadamente S/.1762,09.

Produccion y Comercio: El proceso de Carnot

En un sistema estocastico, la funcion de produccion esta dada por:

S(Ni) = ln p(Ni) (4.22)

En este caso la entropıa reemplaza a la funcion de Cobb-Douglas debidoa que la entropıa no necesita de parametros, esta fuertemente fundamenta-da teoricamente y tiene una enorme significancia en produccion y comercio.Precisamente la produccion y el comercio estan basados en el proceso deCarnot. Este proceso se caracteriza por tener varias etapas que enumera-remos a continuacion:

1. Una expansion isotermica que reduce la presion aumentando el volu-men. Entra un calor Q1.

2. Una expansion adiabatica, donde el volumen aumenta y baja la tem-peratura de T1 a T2. No hay entrada ni salida de calor.

3. Luego comprimimos el gas manteniendo constante la temperatura T2

sacando calor.

4. Finalmente, Comprimimos aun mas sin permitir que el calor salga has-ta alcanzar la temperatura T1. Luego se repite el ciclo.

Llevemos ahora esta descripcion al plano de la economıa. En primerlugar sabemos que:

−∮δW =

∮δQ =

∮TdS =

∫ 2

1

T1dS +

∫ 4

3

T2dS = Y − C = ∆Q


Produccion de Oro Produccion de papas(1)→ (2)

Empezamos en el punto (1). Lostrabajadores con bajo nivel devida (T1) producen de acuerdoal proceso de produccion del oro(∆S). El costo total esta dadopor los insumos (E) y el traba-jo:

C = E + T1∆S

Los agricultores recoletan las pa-pas. Esto reduce la entropıa∆S < 0.

C = T1∆S

T1 es el precio de venta en loscampos de produccion.

(2)→ (3)Transporte del oro al mercado endonde el nivel de vida es mayor(T2)

Las papas se guardan sin cam-biar la distribucion, esto es ∆S =cte.

(3)→ (4)El oro se vende a los consumido-res con estandar de vida T2:

Y = E + T2∆S

Las papas son distribuidas(∆S > 0) en el mercado, peroahora el precio es T2:

Y = T2∆S

(4)→ (1)El ciclo termina reciclando el oro:

∆Q = ∆T∆S

Las papas se venden:

∆Q = ∆T∆S

Figura 4.5: Ciclo de carnot para la economıa. Ejemplo produccion de oro y de papas

El ingreso Y , el costo C y el beneficio ∆Q del trabajo se determinanpor:

Y = E + T2(S4 − S3)

C = E + T1(S2 − S1)

∆Q = Y − C = ∆T∆S

4.3. UNA TEORIA TERMODINAMICA DEL DINERO 59

La clave para entender el origen de la riqueza y del crecimiento es elproceso de Carnot3. Como habiamos mencionado, un banco puede estraercapital de sus ahorristas pobres para dar dicho capital a los inversores ricos.Es el mismo mecanismo cuando un maquina de calor lo extrae de un rıofrıo y lo lleva a una casa caliente. Vemos que en la interanccion economicade los agentes es necesaria una explotacion por una tercera parte que lologra gracias a una manipulacion inteligente: el trabajo.

En un sistema economico, los recursos naturales son, por excelencia, losque mayor posibilidades de explotacion nos brindan. Ademas, podemosentender el recurso humano en el contexto del trabajo como una forma deexplotacion. Sin embargo, esta forma de explotacion laboral es valida paracualquier persona que quiera hacerse de beneficios economicos.

4.3. Una teorıa termodinamica del dinero

Lo que busca esta formulacion es describir de manera cuantitativa ycualitativa la mecanica del dinero con el fin de unficar la produccion ylas finanzas en un enfoque sustentable. En definitiva, lo que se proponees un rediseno biofısico de la arquitectura financiera global[32] con el finde incorporar factores ecologicos en el sistema monetario que reflejen ladepreciacion termodinamica de los recursos, es decir el incremento total dela entropıa que proviene de la transformacion de los recursos naturales enbienes economicos.

En primer lugar el dinero se define como un convenio social que sirvecomo medio de cambio para producir bienes economicos. El dinero es cual-quier medio que realice funciones monetarias [33]. Estas funciones son: 1)ser medio de cambio, 2) almacen de valor, y 3) unidad de cuenta. Pero¿Que relacion tiene el dinero con la produccion economica? La produccioneconomica es la transformacion de materiales que se extraen del medioambiente. Sin embargo, el dinero se incrementa debido a la capacidad dela sociedad de expandir el credito entre los agentes mas que por la dispo-nibilidad de las materias primras. Entonces ¿Cual es la relacion entre la

3No debe olvidarse que el proceso de Carnot es un proceso reversible, es decir un proceso en el cual no se pierde energıaen forma de calor disipado.


dinamica de la circulacion y los atributos termodinamicos de la produccionde bienes economicos?

La ley cero de la termodinamica aplicada a la economıa indica que dossistemas sociales, donde uno posee un excedente de dinero y otro un deficit.Este ultimo ofrecera una motivacion a la sociedad con excedente para quele presten dinero que pueda valorarlo en bienes economicos que le proveande una mejor base material en el futuro. La sociedad con exceso tiene unamotivacion de prestar dinero con el acuerdo de que este sea devuelto en elfuturo pagando unos intereses determinados. La primera ley de la termo-dinamica nos dice que manteniendo todo constante, el dinero solo cambiade bolsillo pero nunca se reduce o se incrementa. La segunda ley de latermodinamica nos dice que, como el monto constante del dinero circulapara satisfacer el intercambio de bienes dentro de una economıa, este pier-de valor debido a la depreciacion termodinamica de los bienes transados,depreciacion que ocurre naturalmente. Entonces el incremento de preciosreduce su disponibilidad. Si tenemos una acumulacion primaria del dinerotanto como preservar su poder de compra o como comprar bienes, ambaselecciones implican una degradacion del valor del dinero en el tiempo. Latercera ley de la termodinamica indica que la entropıa de un sistema al-canza un valor constante en tanto la temperatura vaya al cero absoluto.Esto serıa como decir que el sistema economico reduce su dinamismo hastacero.

4.4. Un enfoque termodinamico de la economıa monetaria

La economıa monetaria tuvo sus inicios en la famosa teorıa cuantitativadel dinero, pilar fundamental del pensamiento neoclasico tradicional. Elenfoque de transacciones es la version basica de esta teorıa y fue formuladapor Irvin Fisher (1911). Dicho enfoque se prepesenta formalmente de lasiguiente manera:

MV = PY (4.23)

La ecuacion (4.23) nos indica que el gasto total de la economıa, expresa-do en terminos monetarios, debe ser el mismo que el valor monetario detodas las mercancıas objeto de transaccion. Es decir, el dinero pagado porlos compradores es igual al que cobran los vendedores. Respecto a las va-

4.4. UN ENFOQUE TERMODINAMICO DE LA ECONOMIA MONETARIA 61

riables tenemos que M representa la cantidad total media del dinero encirculacion para un periodo determinado, V es la velocidad media de cir-culacion del dinero, P es el nivel general de precios y Y es el volumen totalde transacciones[34].

Las hipotesis formuladas a partir de la ecuacion (4.23) son las siguientes:1) Las variaciones en V y Y son independientes de las variaciones de M , 2)V y Y solo cambian lentamente con el tiempo, por lo que se las consideraconstantes en el corto plazo, 3) M produce variaciones en P . Siguiendoestas hipotesis podemos escribir:

P =MV ∗

Y ∗(4.24)

Donde V ∗ y Y ∗ son constantes. Siguiendo el esquema de la teorıa cuanti-tativa, Jhon Bryant[35], hizo una analogıa con la ecuacion de estado de ungas ideal. Ası, una ecuacion ideal para el flujo monetario esta dada por:

PV = NkT (4.25)

Donde P es el nivel de precios, V el volumen de produccion o transac-ciones, N es el numero de instrumentos monetarios en circulacion, k esun estandar nominal, y T es un ındice del valor comerciado o velocidadde circulacion del dinero. Para ser precisos podemos describir Nk como eldinero en circulacion. Todos los factores pueden variar y ninguno puedeconsiderarse constante. Entonces, tenemos cuatro variables a considerar:

dP

P+dV

V=dN

N+dT

T(4.26)

El punto crucial a considerar es el numero de variables a tener en cuenta.En termodinamica solamente se consideran tres varibles, como son volu-men, presion y temperatura. Sin embargo, en un sistema monetario todaslas variables pueden variar. Para llevar a cabo un analisis termodinami-co es imprescindible reducir las cuatro variables de la ecuacion (4.26) asolamente tres variables sin perder el volumen de produccion V .


−.2

−.1

0.1

.2

1992q3 1997q3 2002q3 2007q3 2012q3Trimestre

dV/V dP/PdN/N dT/T

Fuente: Banco Central de Reserva del Perú

Variación porcentual trimestral de N, V, T y P (1992−2012)

Figura 4.6: Variacion porcentual trimestral del deflactor del PIB (P ), el volumen de produccion (V ), lamasa monetaria (N) y la velocidad del dinero (T )

La proporcion de que un cambio en la masa monetaria se vea reflejadoen cualquiera de las variables como el volumen de produccion, los precios yla velocidad de circulacion del dinero, depende de la elasticidad respectivay del grado en que el sistema monetario este fuera de equilibrio con elestado estable, tal como la existencia de exceso de dinero o inflacion. Pareresolver el problema de las variables se va a considerar la nueva variableP/N = PN llamada precio especıfico. Entonces, la ecuacion (4.25) se puedeescribir como:

PNV = kT (4.27)

Y en su forma diferencial tenemos:

dPNPN

=dV

V

dT

T(4.28)


Figura 4.7: Relaciones entre Precio Especıfico, Velocidad de Circulacion y Volumen de Produccion

En la figura 4.7 podemos ver las diferentes relaciones que existen entrelas variables consideradas en la ecuacion (4.27). Imaginemos el caso en queel volumen de produccion se mantiente constante, entonces un aumento oreduccion del precio especıfico conllevara un cambio similar en la velocidadde circulacion. Este cambio implica una nueva relacion entre P y N . Porotro lado, si se mantiene constante el precio especıfico, entonces los cambiosen el volumen de produccion implicaran cambios similares en la velocidadde circulacion del dinero. El tercer caso es que la velocidad de circulacionpermanezca constante, entonces cualquier cambio en el volumen de pro-duccion sera compensado por un cambio en el precio especıfico. En todoslo casos la relacion entre P y N se modifica de manera balanceada. Enel ultimo caso un cambio en la velocidad de circulacion del dinero puedesurgir ya sea de un cambio en el volumen de produccion y/o un cambio enel precio especıfico.

En la ultima grafica de la figura 4.7 se aprecia el caso politropico(PNV

n = cte), que requiere de un ındice de elasticidad n.


1992

1999

2012

T = 160

T = 500

.51

1.5

2P

reci

o E

spec

ífico

100 150 200 250Volumen de Producción (Índice 1994)

Fuente: Banco Central de Reserva del Perú

Datos TrimestralesPrecio Específico, Volumen de Producción y Velocidad de Circulación (1992−2012)

Figura 4.8: Precio especıfico, volumen de produccion y velocidad de circulacion del dinero (1992-2012)

T = 50

T = 1601992

1999

2012

02

46

Sal

do R

eal N

/P

100 150 200 250Volumen de Producción

Fuente: Banco Central de Reserva

Saldo Reales, Volumen de Producción y Velocidad de Circulación (1992−2012)

Figura 4.9: Precio especıfico, volumen de produccion y velocidad de circulacion del dinero (1992-2012)

Las figuras 4.8 y 4.9 muestran las sendas politropicas para el caso delos datos peruanos. Dependiendo de la escala, y dado que el volumen deproduccion esta representado como ındice, las velocidades del dinero danvalores altos. Lo que podemos apreciar es que durante el periodo consi-derado la velocidad del dinero ha ido reduciendose a medida que el PIBaumentaba y el precio especıfico se reducıa. La ecuacion estimada para lasenda politropica se muestra en el cuadro 4.4 a continuacion:


Cuadro 4.4: Ajuste de la senda politropica con eslasticidad nModelo: PNV

n = cVariable Coeficiente Prob.

c 96666.67 0.0132n 2.5020 0.0000

R2 = 0.925426

La ecuacion estimada queda de la forma PNV2,5 = 96666,7. La evidencia

sugiere que la economıa peruana sigue una senda politropica tomando encuenta la variable precio especıfico (PN).

Recordemos el caso PV = (γ−1)U , donde U es la energıa interna y en ellado monetario es el valor interno. Este es el caso de un proceso Adiabati-co en donde no hay intercambio de calor o valor externo (Cambios en lautilidad). Cuando esto pasa podemos decir que no tenemos una ganan-cia de entropıa en el sistema. Sin embargo, para determinar la posibilidadde ganancia de entropıa en un ciclo monetario para la economıa peruanadebemos pensar en una espiral inflacionaria. La definicion de entropıa es:

∆S =

∮dQ

T≥ 0 (4.29)

En un ciclo monetario la eficiencia de este se muestra cuando el valorexterno, es decir la utilidad, coincide con el contenido productivo de unbien. Ası la ganancia de entropıa es baja, es decir la inflacion se mantienebaja. Sin embargo, una vez que el consumidor obtiene el bien, la gananciade entropıa surge por el uso y el desgaste del bien, haciendo que esta partedel proceso no sea tan eficiente.

Para un proceso prolitropico tenemos:

PNVn = C (4.30)

El trabajo realizado es:

∆W =

∫ 2

1

PNdV =

∫ 2

1

C

V ndV (4.31)

∆W =

[CV 1−n

1− n

]2

1

=

(PN2V2 − PN1V1

1− n

)(4.32)


Sustituyendo la ecuacion PNV = kT obtenemos:

∆W =

(k

1− n

)(T2 − T1) (4.33)

El incremento en el valor interno ∆U de un instrumento monetario esproporcional al cambio en la velocidad de circulacion:

∆U = kα(T2 − T1) (4.34)

De la primera ley de la termodinamica tenemos ∆Q = ∆U + ∆W , dedonde ya conocemos ∆U y ∆W . Ahora solo reemplazamos los valores:

∆Q = kα(T2−T1)+

(k

1− n

)(T2−T1) = k

(α +

1

1− n

)(T2−T1) (4.35)

dQ = k

(α +

1

1− n

)dT (4.36)

Y sabiendo que ds = dQ/T , tenemos:

ds = k

(α +

1

1− n

)dT

T(4.37)

La ecuacion (4.37) es la expresion que establece el cambio incrementalen la entropıa en un proceso politropico para una sola unidad de moneda,dado que s = S/N . El valor de α se denomina Coeficiente de capacidad devalor, el cual representa el monto relativo de valor requerido para elevar lavelocidad de circulacion manteniendo constante el volumen de produccion.Una segunda forma de representar la ecuacion (4.37) es:

ds = k

(αdT

T+dV

V

)(4.38)

4.5. MECANICA ESTADISTICA DEL DINERO 67

Si damos un valor a α = 0,75 como sugiere el autor. Ademas podemosgraficar el cambio incremental de la entropıa y observar su comportamientojunto con la tasa de interes promedio trimestral en soles.

−20

−10

010

20E

ntro

pía

del D

iner

o po

r un

idad

de

valo

r

1992q3 1997q3 2002q3 2007q3 2012q3Trimestre

Elaboración propia.

Variación % de la Entropía del Dinero (1992−2012)

(a) Variacion % de la entropıa de una unidad de valor−

20−

100

1020

1992q3 1997q3 2002q3 2007q3 2012q3Trimestre

Var % de la entropía del dinero Tasa de interés promedio trimestral en S/.

Fuente: Elaboración propia.

(1992−2012)Variación % de la entropía del dinero y la tasa de interés en S/. promedio trimestral

(b) Variacion % de la entropıa de una unidad de valor y latasa de intres activa en S/. promedio trimestral

Figura 4.10: Variacion de entropıa por unidad de valor y tasa de interes promedio trimestral en S/.

4.5. Mecanica estadıstica del dinero

En esta seccion se aplica las herramientas de la mecanica estadısticaal sistema monetario con el fin de entender sus resultados. El modelopresentado en esta seccion es tomado de la formulacion de Adrian Dra-gulescu[36][38], Anand Banerjee y Victor Yakovenko[37]. En primer lugar,tanto la mecanica estadıstica como la economıa estudian colecciones de ato-mos o agentes economicos. Para hacer la analogıa se considera un sistemaeconomico con un numero grande de agentes que interactuan entre sı. Ası,se puede aplicar los metodos de la fısica estadıstica a un sistema economi-co con el fin de observar la distribucion probabilıstica o la desigualdad enaquel sistema. En este apartado se considera el caso de la distribucion deldinero.

La ley fundamental de equilibrio en mecanica estadıstica es la ley deBoltzmann-Gibbs, que establece que la distribucion de probabilidad de laenergıa es P (E) = Ce−E/T , donde T es la temperatura y C una constantede normalizacion. El principal ingrediente para esta ley es la conservacionde la energıa. De igual manera, en un sistema economico cerrado el monto


total del dinero se conserva. Ası, la distribucion de probablidad de equilibriodel dinero es P (m) = Ce−m/T , donde m es dinero y T es la temperaturaefectiva igual al monto promedio de dinero por agente. ¿Pero como se derivaesta ley? Vayamos paso por paso.

Consideremos un problema matematico general de dividir un recurso li-mitado (el dinero) entre un numero de agentes. La solucion es precisamentela derivacion de la distribucion de Boltzmann-Gibbs. Consideremos un sis-tema con N agentes economicos. Cada agente i tiene el un monto de dineromi. Los agentes pueden hacer transacciones entre ellos intercambiando unmonto ∆m de un agente i a un agente j. Ası, mi → m

′

j = mi − ∆m y

mj → m′

j = mj + ∆m. El dinero total se conserva mi + mj = m′

i + m′

j.Esimportante recordar el supuesto de que los agentes economicos no puedencrear dinero.

En un sistema cerrado, la conservacion local tambien implica la con-servacion global de la energıa M =

∑imi en un sistema. Se mantiene el

supuesto de que no hay un banco central que emite dinero y que no puedehaber dinero negativo (deuda). Consideremos ahora Nk el numero de agen-tes con un monto de dinero entre mk y mk +m∗. La probabilidad de teneraquel monto en dicho intervalo es P (mk) = Nk/N . La tarea es encontrarP (mk). Ası, el problema es la division de un recurso escaso M entre Nagentes. Lo mas razonable es obtener la distribucion de probabilidad delprincipio de maximizacion de la entropıa. Ahora, se considera un conjun-to de numeros de ocupacion Nk de particiones del dinero mk. Ω define elnumero de diferentes realizaciones de esta configuracion, de tal menra que:

Ω =N !

N1!N2!N3! . . .(4.39)

De donde la entropıa se define como S = ln Ω. Cuando los numeros Nson muy grandes, se usa la formula de Stirling:

S = N lnN −∑k

Nk lnNk = −∑

Nk ln(Nk/N) (4.40)

En el equilibrio estadıstico, la entropıa S se maximiza respecto a Nk bajola restriccion del numero total de agentes N =

∑kNk y el monto total del

dinero M =∑

kmkNk. Se introducen los multiplicadores de Lagrange para


resolver este problema:

S = S + α∑k

Nk − β∑k

mkNk (4.41)

La maximizacion de la entropıa se alcanza igualando la derivada ∂S/∂Nk

a cero, para cada Nk. De ahı obtenemos:

P (mk) =Nk

N= eα−βmk = e−(mk−µ)/T (4.42)

Donde los parametros T = 1/β y µ = α/T son la temperatura y elpotencial quımico del dinero respectivamente. Tambien µ = −T ln(T/m∗)y T = M/N , el monto promedio de dinero por agente. Ademas se cumplela condicion de frontera P (m < 0) = 0. La ecuacion (4.36) muestra ladivision de un recurso limitado que se conserva derivado del principio demaximizacion de la entropıa, lo que resulta en una distribucion exponencialde aquel recurso entre los agentes.

(a) Distribucion de probabilidad estacionaria del dinero.Fuente: Adrian Dragulescu y Victor Yakovenko,“Statisticalmechanics of money”

(b) Evolucion temporal de la entropıa. Fuente: Adrian Dra-gulescu y Victor Yakovenko,“Statistical mechanics of mo-ney”

Figura 4.11: Distribucion de probabilidad estacionaria del dinero y la evolucion temporal de la entropıa.

En la parte (a) de la figura 4.11 vemos que la distribucion de probabilidadestacionaria del dinero finalmente alcanza una forma exponencial marcadapor la lınea de color rojo. En la parte (b) se aprecia la evolucion temporalde la entropıa para dos reglas de intermacio de dinero distintas.


Se habıa supuesto que los agentes no podıan adquirir deuda. Sin embar-go, ahora se relaja dicho supuesto para incluir dinero negativo (mi < 0). Enel caso en que un agente no tenga el monto de dinero que requiere ser pa-gado a otro agente, el primero puede adquirir un prestamo de un reservoriode dinero. La ley de conservacion se mantiente a pesar del dinero negativoya que la suma total de dinero no cambia. El reservorio es similar a unbanco con la unica diferencia que no existe ninguna clase de interes por eldinero prestado. Ademas, se asume que el prestamo tiene un monto lımitede md, de tal manera que mi > −md. La nueva condicion de frontera esP (m < −md) = 0. La distribucion de probabilidad del dinero nuevamentesigue la ley de Boltzmann-Gibbs, pero ahora con una mayor temperaturaT = M/N +md.

Figura 4.12: Distribucion estacionaria del dinero con deuda y sin deuda. Fuente: Adrian Dragules-cu,“Applications of physics to economics and finance: money, income, wealth and the stock market.”

La figura 4.12 muestra la distribucion estacionaria del dinero con deuday sin deuda. Las lıneas de color rojo son los ajustes exponenciales contemperaturas de 1800 y 1000 respectivamente. Ademas se tomo md = 800.Como vemos el modelo con deuda presenta una temperatura mas alta, lo


que hace que la distribucion sea mas amplia, lo cual indica que la deudaincrementa la desigualdad entre agentes.

4.5.1. Flujo del dinero y de personas a diferentes temperaturas

Luego de describir el modelo mecanico estadıstico del dinero podemosver algunas de sus consecuencias practicas. En primer lugar, consideremosdos sistemas con diferentes temperaturas T1 > T2, los cuales pueden serdos paıses con diferentes niveles de vida: un paıs rico (T1) y un paıs pobre(T2). Partiendo de (4.35) tenemos:

δS = βδM − αδN ⇔ δM = TδS + µδN (4.43)

Si δM y δN denotan el flujo de dinero y de agentes del sistema 1 hacia elsistema 2, entonces el cambio en la entropıa total de los dos sistemas es:

δS = (β1−β2)δM − (α2−α1)δN =

(1

T1− 1

T2

)δM + ln

(T2

T1

)δN (4.44)

De acuerdo con la segunda ley de la termodinamica, la entropıa total seincrementa. El primer termio de (4.38) muestra que el dinero fluye desdeel sistema de mayor temperatura hacia el sistema de menor temperatura.Esto corresponde a los montos de dinero que van como inversion desde unpaıs rico hacia un paıs pobre. El segundo termino de (4.38) muestra que losagentes fluyen desde un potencial quımico alto hacia un potencial quımicobajo. Esto corresponde a la inmigracion desde un paıs pobre hacia un paısrico.

4.5.2. Termodinamica del dinero y la riqueza

Se define el concepto de riqueza de un agente (wi) como la suma de suriqueza monetaria (mi) y sus posesiones materiales (vi). Estas posesionesmateriales tienen un precio P por unidad. Ası la riqueza sera wi = mi+Pvi.Para la riqueza total tenemos:

W = M + PV (4.45)


Donde V =∑

i vi es el volumen total de propiedades materiales del sistema.Consideremos el diferencial:

dW = dM + PdV + V dP = V dP (4.46)

Los primeros dos terminos se cancelan debido a que el dinero es cambiadopor bienes materiales. La ecuacion (4.40) muestra que la riqueza cambiasolamente cuando hay cambios en el precio P . Ahora consideremos unciclo cerrado en el espacio (V, P ). Este ciclo puede ser interpretado comoun modelo del mercado especulativo.

Figura 4.13: Un ciclo cerrado de comercio especulativo.

De la figura 4.13, V representa el volumen de un activo que mantieneun especulador. Luego el especulador adquiere otro activo a un bajo precioP2 e incrementa sus activos hasta V2. Luego, el precio se incremente deP2 a P1. El especulador vende sus activos por el nuevo precio alto P1, yreduce sus tenencias de activos de V2 a V1. Luego el precio del activo caenuevamente a P2. El ciclo se repite nuevamente. El cambio en la riquezadel especulador es:

∆W =

∮V dP (4.47)

La cual representa el area (P1 − P2)(V2 − V1) encerrada por el rectangulo.Ademas se aprecia que ∆W = ∆M , pues P y V regresan a su posicioninicial. Este excedente del especulador es obtenido de otro agente especula-dor, por lo tanto la ley de la conservacion se mantiene. La tasa de beneficioen el ciclo es:

M1 −M2

M2=P1 − P2

P2=T1 − T2

T2(4.48)

La ecuacion (4.42) da la mayor tasa de beneficio posible dadas las tem-peraturas T1 y T2.


Como vemos, en el primer ciclo, el dinero se conserva y puede ser mode-lado como un flujo. El segundo ciclo, los flujos de bienes y servicios entreagentes involucran produccion, distribucion y consumo, lo cual indica queestos no se conservan. Los dos ciclos interactuan por medio del comercio debienes y servicios que se intercambian por dinero. Sin embargo, el dinerono puede ser fısicamente transformado en bienes y servicios. Una conse-cuencia importante es que el incremento de la produccion material en elciclo de los bienes y servicios no tiene ningun efecto directo en el montode dinero del ciclo monetario. Este ultimo depende, primeramente, de lapolıtica monetaria del Banco Central de Reserva o del gobierno, quienestienen el monopolio de la emision monetaria. La emision monetaria haceque los agentes puedan tener mas y mas dinero en promedio, emision quehace incrementar la temperatura monetaria T = M/N .

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INTRODUCCION A LA TERMODIN AMICA ECONOMICA

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