Facultad : Ingeniería

Escuela : - Informática y De Sistemas- Agronomía

Asignatura : Calculo I

Tema : Derivadas Implícitas

Integrantes : Jhans Tomy Pascual Rosales

Kevin Bremer Regalado Cabanillas

Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre X y Y por medio de una ecuación no resuelta para Y, entonces yse llama función implícita de X.

042x

dx

dy

define a Y como una función implícita de X. Es claro que

por medio de esta ecuación X se define igualmente como función

implícita de Y.

Uno de los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar

la ecuación término a término, considerando Y como función de X, y de

la ecuación resultante despejar , o lo que es lo mismo despejarY’.

Hallar dy/dx o y’en la función .

Solución

Calculando la derivada:

Derivando:

102 736 xyyxax

102 736

dx

dxy

dx

dyx

dx

dax

dx

d

07)1(626 67235

dx

dyxyyyx

dx

dyxax

Factorizando:

72563 6672 yyxaxdx

dyxy

dx

dyx

Pasando términos semejantes:

yxyaxdx

dyyx 27563 6672

63

257

72

66

yx

yxaxy

dx

dy

Es importante hacer notar que, en general, el resultado

contendrá tanto a x como a y.

922 yxCuya gráfica es:

¿Es una función lagráfica de la derecha?

La respuesta es ¡NO!

f(x)

x

f(x)

922 yx

Para ello vamos a aislar:

y obtenemos

y

922 yx22 9 xy

2y

22 9 xy

Recuerda que todavía no esta aislada la variable

Finalmente las funciones obtenidas son:

29 xy

La función depende de x por lo tanto decimos y=y(x)

Mientras deriva, tenga presente que:

24 xy

24)( xxyy

)4()( 2xdx

dy

dx

d

)4(42

1)( 2

2x

dx

d

xy

dx

d

)2(42

1)(

2x

xy

dx

d

24)(

x

xy

dx

d

y

xy

dx

d)(

Aplicamos la notación de derivadaen ambos lados del signo igual

Ahora derivamos esta función

Derivamos usando la regla de la cadena

Derivamos la segunda expresión

Cancelamos y ordenamos

Sustituimos en el radical la variable y

Es la solución “Derivada Tradicional”

24 xy

y

xy

dx

d

x

xy

dx

d

xx

ydx

d

xdx

d

xy

dx

d

xdx

dy

dx

d

xy

)(

4)(

)2(42

1)(

)4(42

1)(

)4()(

4

2

2

2

2

2

2

922 yx

Aprendamos a derivarimplícitamente

Esto significa que no esnecesario aislar y

922 yx

)9()( 22

dx

dyx

dx

d

0)(22 ydx

dyx

xydx

dy 2)(2

y

xy

dx

d

2

2)(

y

xy

dx

d)(

Debemos aislar: )(ydx

d

Aplicamos la notación de derivada

en ambos lados del signo igual

Derivamos usamos propiedades…

Teniendo siempre presente que: y=y(x)

Uso la propiedad de la adición para 2x

Ahora comparemos ambas derivadas

Uso la propiedad de la multiplicación para 2y

Cancelando los números 2 obtenemos:

Es la solución “Derivada Implícita”

y

xy

dx

d

x

xy

dx

d

xx

ydx

d

xdx

d

xy

dx

d

xdx

dy

dx

d

xy

)(

4)(

)2(42

1)(

)4(42

1)(

)4()(

4

2

2

2

2

2

2

y

xy

dx

d

y

xy

dx

d

xydx

dy

ydx

dyx

dx

dyx

dx

d

yx

)(

2

2)(

2)(2

0)(22

)9()(

9

22

22