CALCULO. Hoja 14. Ecuaciones Diferenciales de...
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Dpto. Matem´ atica Aplicada. E.T.S.Arquitectura. U.P.M. C´ alculo. [email protected] C ´ ALCULO. Hoja 14. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Aplicaciones. Una ecuaci´on diferencial de primer orden es de la forma F (x, u(x),u 0 (x)) = 0. Expresado en forma normal ser´ ıa: u 0 (x)= f (x, u(x)). Tambi´ en es frecuente utilizar la notaci´ondiferencial du dx (x)= f (x, u(x)), du dx = f (x, u), dy dx = f (x, y) ´o dy = f (x, y)dx. El problema de valor inicial de primer orden viene formulado como: u 0 (x)= f (x, u(x)) u(x 0 )= α 0 (1) (Teorema de Picard) Sea f : D → R una funci´on definida en un rect´angulo D = {(x, y) ∈ R 2 : a < x < b, c < y < d} y sea (x 0 ,y 0 ) un punto interior a D. Si f y ∂f ∂y son continuas en D, entonces existe alg´ un intervalo I 0 =(x 0 - h, x 0 + h),h> 0, I 0 ⊂ (a, b) y una ´ unicafunci´on u definida en I 0 que es soluci´on del problema de valor inicial u 0 (x)= f (x, u(x)) u(x 0 )= α 0 . (2) 1. Calcular la soluci´on general de las siguientes ecuaciones diferenciales (a) (x 2 + 4)v 0 (x)= xv(x) Sol.: v(x)= K √ x 2 +4 (b) xu(x)+ e -x 2 (u(x) 2 - 1)u 0 (x)=0 Sol.: u(x) 2 2 - log u(x)= - 1 2 e x 2 + K (c) yy 0 = e Sol.: y(x) 2 2 = e x + K (d) 2u(x)u 0 (x) + sin(x)=0 Sol.: u(x) 2 = cos x + C (e) y 0 = y x , Sol.: y(x)= Cx (f) y 0 = e x (1+e x )y Sol.: y(x) 2 2 = log K (1 + e x ) (g) y 0 = y 3 -y y 2 +1 Sol.: y(x)(y(x) - 1) y(x)+1 = Ke x (h) y 0 = y 2 Sol.: y(x)= - 1 x + C (i) y 0 = x 2 y 2 +1 Sol.: y(x) 3 3 + y(x)= x 3 3 + K (j) x 2 +1 yx dx - (xy + x)dy =0, Sol.: x - 1 x = y(x) 3 3 + y(x) 2 2 + K (k) x e y dx - (x 2 + x)dy = 0. Sol.: log(x + 1) = Ke y
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CALCULO. Hoja 14.
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Aplicaciones.
Una ecuacion diferencial de primer orden es de la forma F (x, u(x), u′(x)) = 0.Expresado en forma normal serıa: u′(x) = f(x, u(x)). Tambien es frecuente utilizar lanotacion diferencial
du
dx(x) = f(x, u(x)),
du
dx= f(x, u),
dy
dx= f(x, y) o dy = f(x, y)dx.
El problema de valor inicial de primer orden viene formulado como:{u′(x) = f(x, u(x))u(x0) = α0
(1)
(Teorema de Picard)Sea f : D → R una funcion definida en un rectanguloD = {(x, y) ∈ R2 : a < x < b, c < y < d}y sea (x0, y0) un punto interior a D. Si f y
∂f
∂yson continuas en D, entonces existe algun
intervalo I0 = (x0 − h, x0 + h), h > 0, I0 ⊂ (a, b) y una unica funcion u definida en I0que es solucion del problema de valor inicial{
u′(x) = f(x, u(x))u(x0) = α0.
(2)
1. Calcular la solucion general de las siguientes ecuaciones diferenciales
(a) (x2 + 4)v′(x) = xv(x) Sol.: v(x) = K√x2 + 4
(b) xu(x) + e−x2(u(x)2 − 1)u′(x) = 0 Sol.:
u(x)2
2− log u(x) = −1
2ex
2+K
(c) yy′ = e Sol.:y(x)2
2= ex +K
(d) 2u(x)u′(x) + sin(x) = 0 Sol.: u(x)2 = cos x+ C
(e) y′ = yx, Sol.: y(x) = Cx
(f) y′ = ex
(1+ex)ySol.:
y(x)2
2= logK(1 + ex)
(g) y′ = y3−yy2+1
Sol.:y(x) (y(x)− 1)
y(x) + 1= Kex
(h) y′ = y2 Sol.: y(x) = − 1
x+ C
(i) y′ = x2
y2+1Sol.:
y(x)3
3+ y(x) =
x3
3+K
(j) x2+1yx
dx− (xy + x)dy = 0, Sol.: x− 1
x=
y(x)3
3+
y(x)2
2+K
(k) xeydx− (x2 + x)dy = 0. Sol.: log(x+ 1) = Key
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2. Comprobar que las siguientes ecuaciones son homogeneas y resolverlas:
(a) (x2 + y2)dx+ xydy = 0, Sol.: y(x) = ±
√1
2
(K
x2− x2
)(b) y′ = y3
x3 Sol.: y(x)2 − x2 = K2x2y(x)2
(c) (x3 − x2y)dx− x2ydy = 0
Sol.: −1
2log (1 + (y/x)2 + y/x)− 1
5
√5
[√5
5(2y/x+ 1)
]= logKx
(d) y′ = x2−y2
x2+yxSol.: y(x) =
C + x2
2x
(e) xy′ =√x2 − y2 + y. Sol.: y(x) = x sinh(log x+ C)
3. Resolver las siguientes ecuaciones
(a) y′ − 5y = 1 Sol.: y(x) = −1
5+ Ce5x
(b) y′ − 2xy = x Sol.: y(x) = −1
2+ Cex
2
(c) y′ − 2xy = 2x3 Sol.: y(x) = −(x2 + 1) +Kex2
(d) y′ + 2xy = 2xe−x2Sol.: y(x) = (x2 + C) + e−x2
(e) (1 + x2)y′ + 2xy =tgx Sol.: y(x) = [− log(cosx) + C]1
1 + x2
4. Encontrar la solucion a los problemas de valor inicial siguientes:
(a) y′ − y = 2xe2x, y(0) = 1.
(b) y′ + y = e−x
1+x2 , y(0) = 0.
(c) xy′ + 2y = senx, y(π2) = 0.
(d) y′ = 2− yx, y(1) = 1.
(e) y′ = x2−yx+y2
, y(0) = 0.
5. Resolver las siguientes ecuaciones
(a) y′ + xy = xy−3, Sol.: y(x) =(1−Ke−2x2
)1/4
(b) x2y′ + 2xy − y3 = 0. Sol.: y(x) = ±√
125x+Kx4
(c) xy′ + y = y2Lx Sol.: y(x) = (log x+ 1 +Kx)−1
(d) y′ = y − 2y2. Sol.: y(x) = (2 + Ce−x)−1
6. Hallar la curva que verifica que la pendiente de la tangente en cada punto es n vecesla pendiente de la recta que une dicho punto con el origen de coordenadas.
Sol.: u(x) = Kxn
7. Hallar la familia de curvas ortogonales a cada una de las familias de curvas dadas:
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(a) y′ = x Sol.: y(x) = − log x+ C
(b) y′ = y2 Sol.: y(x)3 + 3x = C
(c) x2 − y2 = C Sol.: y(x) = xy = K
(d) y = kx2 Sol.:x2
2+ y2 = K
(e) x2 + y2 − Cy = 0 Sol.: y2 + x2 −Kx = 0
(f) x2 + y2 = C
8. Hallar la curva que tiene la siguiente propiedad: para cada punto de la curva, elsegmento construido con los puntos de la recta tangente a la curva en dicho puntoy los dos puntos de corte de dicha recta y los ejes de coordenadas, se divide por lamitad en el punto de tangencia con la curva.
Sol.: u(x) =K
x
9. Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que la pendiente de la tangenteen cualquier punto sea igual a la ordenada del punto aumentada en 3 unidades.
10. Por un punto generico P de una curva plana se traza la recta tangente que cortaal eje OY en el punto T . Si el punto O es el origen de coordenadas, encontrar lafamilia de curvas que verifican OT = TP .
Sol.: u2 + x2 = Cx
11. Encontrar la familia de curvas en el primer cuadrante con la siguiente propiedad: siP es un punto generico de la curva y T es el punto de corte de la recta tangente ala curva en P con el eje OY , el area del triangulo OPT es igual a uno.
Sol.: u(x) = Cx+1
x
12. Encontrar la familia de curvas en el primer cuadrante con la siguiente propiedad: laordenada del punto de corte de la recta tangente con el eje OY es igual al cubo dela ordenada del punto de tangencia.
Sol.: y(x) = ± 1√1 + Cx−2
13. Hallar la curva ortogonal a la familia de curvas x2+y2 = 2Cx que pasa por el punto(0,2).
14. Dada la familia de curvas y = Ce2x+1, obtener la familia de sus curvas ortogonales.
Sol.: y(x)2 = −4x+ C
15. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de rectas que pasan por el punto(3, 2).
Sol.: x2 + y2 − 4y − 6x+K = 0
16. Encontrar la familia de curvas que satisfagan:
(a) La longitud entre el corte de la recta normal con el eje OX y la abcisa delpunto, es 1.
Sol.:u2
2= x+ C
u2
2= −x+ C
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(b) La distancia de un punto generico al origen de coordenadas es igual a la longituddel segmento de recta normal comprendido entre dicho punto y el eje OY.
Sol.:u2
2=
x2
2+K
u2
2= −x2
2+K
(c) La abcisa del punto de corte de la recta normal con el eje OX es igual alcuadrado de la ordenada del punto de tangencia.
Sol.:
(Ke2x + xe−2x +
1
2e−2x
)−1/2
17. Encontrar la familia de curvas con la siguiente propiedad: si consideramos el puntoT , interseccion con el eje OX de la recta normal en un punto cualquiera P de lacurva, se tiene que la distancia del punto T al origen de coordenadas coincide conla distancia del punto P al eje OX.
Sol.: −1
2log (1 + (y/x)2 − y/x)− 1
3
√3 arctan
[√3
3(2y/x− 1)
]= logKx
18. Encontrar la familia de curvas planas tales que en cualquiera de sus puntos P laabcisa del punto de corte de la recta normal con el eje OX es igual a la diferenciade cuadrados de las coordenadas del punto de tangencia (ordenada menos abcisa).
Solucion: y(x) = ±√
(x+ 1)2 + e2xC
19. Un deposito contiene 50 litros de una solucion compuesta por agua y alcohol, 10%de alcohol frente al 90% de agua. En el deposito se vierte una solucion que contieneel 50% de agua y el 50% de alcohol a 4 l/min. Al mismo tiempo el deposito sevacıa a una velocidad de 5 l/min. Suponiendo que la solucion del deposito se agitaconstantemente, cuanto alcohol queda en el deposito despues de 10 minutos?
Sol. A los 10 minutos quedan 13,44 litros de alcohol.
20. Un dıa empieza a nevar y sigue nevando con regularidad (cae la nieve a la mismavelocidad). Una maquina quitanieves sale a medio dıa recorriendo dos kilometrosen la primera hora y uno en la segunda. A que hora comenzo a nevar? Nota: sesupone que la potencia de la maquina es constante.
Sol.: Comenzo a nevar a las 11h 22m 55s, aproximadamente.
21. En un cultivo de microbios que proliferan la velocidad de crecimiento es proporcionala la cantidad actual. Si se comprueba que el numero de microbios es el doble en 5horas, cuantos habra al final de la decima hora? Si hay 104 al cabo de tres horas y4 · 104 al cabo de cinco horas, cuantos habıa al principio?
22. En una habitacion en la que la temperatura es de 20◦C, un cuerpo se ha enfriado en20 minutos de 100◦C a 60◦C. Hallar la ley de enfriamiento del cuerpo (la variacionde la temperatura por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia entre latemperatura del cuerpo y el medio ambiente). Dentro de cuantos minutos se enfriarhasta los 30◦C? Nota: el aumento de la temperatura en la habitacion es despreciable.
Sol.: Se enfriara, aproximadamente, dentro de 60 minutos.
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23. En una habitacion cuya temperatura es de 18◦C se ha encontrado a las 16 horasel cadaver de una persona. En el momento del hallazgo, su temperatura corporalera de 34◦C y dos horas mas tarde era de 30◦C. Suponiendo que la temperaturamedia del cuerpo humano es de 36◦C, ¿podrıas determinar a que hora se produjo elfallecimiento?
Sol.: La hora aproximada del fallecimiento fue a las 15 horas 9 minutos.
24. Calcular la solucion de los siguientes problemas:
(a)
{9u (x) + x (1− u′ (x)) = 0u (8) = 0
(b)
{x sec
v (x)
x+ v (x)− xv′ (x) = 0
v (1) = 0
(c)
{u (x)−
√x2 − u2 (x)− xu′ (x) = 0
u (1) = 0
(d)
{tz′ (t)− 2te−
z(t)t − z (t) = 0
z (1) = 0
(e)
{eu(t)u′ (t)− (t+ t3) = 0u (1) = 0
(f)
{u′ (x) = eu(x)+x
u (1) = 0
(g)
y′ + 3y
(1− x− 3
2y
)= xy
y (1) = 4
(h)
{u′ (x) = tg (u (x)) cotg (x)u (0) = 0
