Calculo II

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA UNIDAD ACADÉMICA DE SANTA CRUZ FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA Ingeniería de Telecomunicaciones SEGUNDO SEMESTRE SYLLABUS DE LA ASIGNATURA CALCULO II Elaborado por: Ing. José Jaime Barrancos Quiroz Gestión Académica II/2007 U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A 1

Transcript of Calculo II

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

UNIDAD ACADÉMICA DE SANTA CRUZ

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA

Ingeniería de Telecomunicaciones

SEGUNDO SEMESTRE

SYLLABUS DE LA ASIGNATURACALCULO II

Elaborado por:Ing. José Jaime Barrancos Quiroz

Gestión Académica II/2007

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A1

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

UDABOLUNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA

Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01

VISION DE LA UNIVERSIDAD

Ser la Universidad líder en calidad educativa.

MISION DE LA UNIVERSIDAD

Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y Competitividad al servicio de la sociedad.

.Estimado (a) estudiante;El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos.Esperamos que sepas apreciarlo y cuidarlo.

Aprobado por: Fecha: julio de 2007

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SYLLABUS

I.- DETALLE DE LA ASIGNATURA

Asignatura: CALCULO II

Código: MAT 112A

Requisito: MAT 102A

Carga Horaria: 100 horas

Horas teóricas 80 horas

Horas practicas 20 horas

Créditos: 10

II. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

• El objetivo de la materia es estudiar las funciones reales de n-variables, sus propiedades básicas y los fundamentos de derivación, diferenciación e integración, así como sus aplicaciones en el problema de optimización.

• Aplicar las definiciones y propiedades de la geometría analítica, funciones, límites, derivadas e integrales en la solución de problemas.

• Aplicar métodos y técnicas de derivación e integración en la solución de funciones reales de variable real.

• Analizar y utilizar técnicas de Cálculo de varias variables para resolver problemas en diferentes áreas aplicados a la ingeniería.

III.- PROGRAMA ANALITICO DE LA ASIGNATURA.

UNIDAD I: GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO

TEMA 1. Geometría Analítica.

1.1. Vectores: Operaciones, Producto Escalar y Vectorial, Aplicaciones.

1.2. Coordenadas Cartesianas. Distancia entre Dos Puntos, División de un Segmento.

1.3. Cosenos Directores.1.4. La recta: Ecuación Vectorial,

Paramétrica, Cartesiana y Simétrica.1.5. El plano: Ecuación Vectorial y Punto -

Normal.1.6. Ecuación General y Reducida del Plano.1.7. Nociones de Cuádricas.

UNIDAD II: DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2. Funciones de Varias Variables.

2.1. Funciones de varias variables.2.1.1. Dominio.2.1.2. Límite.

TEMA 3. Derivadas.

3.1. Derivadas Parciales, Definición analítica y geométrica.

3.2. Derivación Implícita.3.3. Derivadas Totales, Regla de la Cadena.3.4. Derivadas Parciales de Orden Superior.3.5. Diferenciales.3.6. Jacobianos, Propiedades, Aplicación.3.7. Aplicaciones de las Derivadas Parciales:

Máximos y Mínimos de Funciones de dos Variables.

3.8. Máximos y Mínimos de Funciones de Tres Variables.

3.9. Aplicaciones de Máximos y Mínimos.

UNIDAD III: INTEGRALES MULTIPLES, SUCESIONES Y SERIES

TEMA 4. Integrales.

4.1. Integrales Múltiples, Definición, Teoremas.4.2. Integrales Dobles, Teoremas.4.3. Cálculo de Integrales Dobles.

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4.4. Integrales Triples, Teoremas.4.5. Cálculo de Integrales Triples.4.6. Aplicaciones de Integrales Dobles en

Cálculo de Áreas.4.7. Aplicaciones de Integrales Dobles en

Física.4.8. Cálculo de Volúmenes por Integrales

dobles.4.9. Cálculo de Volúmenes por Integrales

Triples en Coordenadas Cartesianas.4.10. Cálculo de Volúmenes por Integrales

Triples en Coordenadas Cilíndricas.4.11. Cálculo de Volúmenes por Integrales

Triples en Coordenadas Esféricas.

TEMA 5. Series numéricas y funcionales

Sucesiones, Límites de sucesiones.

5.1. Series, Teoremas, Criterios de convergencia.

5.2. Serie “P”, Serie Geométrica.5.3. Series de Potencias: Series de

Taylor y Mc – Laurin.

IV.- ACTIVIDADES A REALIZAR EN LA COMUNIDAD.

Consideramos que la formación de nuestros estudiantes esta basada en tres pilares: Académico, Investigativo y la Interacción con la comunidad, denominando a esta triada el aprendizaje productivo, que implica el desarrollo de procesos cognitivos superiores y complejos que son superiores a los meramente de repetición memorística (conductivista), aplicación de formulas y algoritmos prefabrica-dos para la solución del problema.El enfoque que daremos es la construcción (constructivismo) del conocimiento combinando el trabajo de aula y laboratorio (Universidad) con el trabajo de campo (comunidad) en condiciones que estarán estructuradas por la naturaleza y características de cada proyecto y materia.El trabajo social comunitario de la Universidad esta dirigido a los sectores más deprimidos de la sociedad y esta destinado a la:

• Investigación e identificación de los problemas más acuciantes de las comunidades más pobres.

• Elaboración de proyectos de desarrollo comunitario para dar solución a los problemas detectados, considerando una gestión financiera con instituciones nacionales e internacionales que apoyan con recursos.

• Implementación de los respectivos proyectos.

La ejecución de diferentes programas de interacción social y la elaboración e implementación de proyectos de desarrollo comunitario derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes son, sin dudas, los más beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:

• Desarrollar sus prácticas pre-profesionales en condiciones reales y tutorados por sus docentes con procesos académicos de enseñanza y aprendizaje de verdadera “aula abierta”.

• Trabajar en equipos, habituándose a ser parte integral de un todo que funciona como unidad, desarrollando un lenguaje común, criterios y opiniones comunes y planteándose metas y objetivos comunes para dar soluciones en común a los problemas.

• Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento histórico en que la ciencia atraviesa una etapa de diferenciación y en que los avances tecnológicos conllevan la aparición de nuevas y más delimitadas especialidades.

• Desarrollar una mentalidad, crítica y solidaria, con plena conciencia de nuestra realidad nacional.

El trabajo a realizar en esta asignatura es de apoyo a iniciativas que requieran mayor compromiso con las sociedades deprimidas, donde la relación materia – problema social sea más directo y un desempeño mas visible .

i.- Tipo de asignatura para el trabajo social

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Directamente vinculada

ii.- Resumen de los resultados del diagnóstico realizado para la detección de los problemas a resolver en la comunidad.

De acuerdo a información obtenida por los estudiantes de nuestra Universidad, las unidades educativas públicas en colegios secundarios del departamento tienen un déficit en la enseñanza de las matemáticas y un índice alto de reprobación, especialmente reflejado en el ingreso a la universidad.

iii.- Nombre del proyecto

Elaborar una base de datos con los proyectos de desarrollo sostenible requeridos por los sectores mas deprimidos.

iv.- Contribución de la asignatura al proyecto

Se realizara el levantamiento de la información, considerando grupos focales, de funcionarios de la Prefectura del Dpto., Alcaldías, Organizaciones Sociales para recuperar las necesidades de la población mas necesitada y traducirlo en un proyecto de grado, que aportara a la Base de Datos que la universidad tendrá para orientar los proyectos de las diferentes carreras.

v.- Actividades a realizar durante el semestre para la implementación de los proyectos.

Detallamos en el cuadro adjunto

V.- EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA.

• PROCESUAL O FORMATIVA.

En todo el semestre se realizarán preguntas escritas, exposiciones de temas, trabajos prácticos, Work Papers, DIF’s, además las actividades planeadas para los respectivos trabajos sociales. Estas evaluaciones tendrán una calificación entre 0 - 50 puntos.

• PROCESO DE APRENDIZAJE O SUMATIVA.

Se realizarán dos evaluaciones parciales con contenidos teóricos y prácticos.

El examen final consistirá en la defensa de un proyecto que se realizará a lo largo de todo el semestre.

Cada uno de estos exámenes tendrá una calificación entre 0 - 50 puntos.

1° evaluación parcialFecha 7ma semanaNota 33.3%

2° evaluación parcial

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Trabajo a realizar por los estudiantes

Localidad, aula o laboratorio

Incidencia social Fecha

Directamente vinculado Colegios secunda-rios fiscales (est.)

Investigación grupo focal Antes del 1er parcial

Directamente vinculado Colegios secunda-rios fiscales. (prof)

Investigación grupo focal Antes del 2do parcial

Directamente vinculado Aula Informe de conclusiones Antes del Ex. Final

5

Nombre del proyecto: Apoyo a iniciativas de la carrera Nombre del proyecto: Apoyo a iniciativas de la carrera

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Fecha 14va semanaNota 33.3%

Examen finalFecha 21mo semanaNota 33.3%

VI.- BIBLIOGRAFIA.

BIBLIOGRAFÍA BASICA.

• AYRES, FRANK Y ELLIOT

MENDELSON. Schaum. Cálculo

Diferencial e Integral. Editorial McGraw

Hill. México 1997. (515.33 Ay74, 515.33 Ay74

c.2)

• CHUNGARA CASTRO, VÍCTOR. Apuntes

y problemas de Cálculo II. Bolivia 2005.

(515.35 C47 t.2)

• DEMIDOVICH, 5000 problemas de

análisis matemático, Moscú, Editorial MIR,

1980. (515 D39)

• LARSON, ROLAND E. Cálculo. Editorial

McGraw-Hill Interamericana. México,

1999. (515.15 L32, 515.15 L32 c.2)

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

• Piskunov, “Calculo diferencial e integral”,

Editorial Mir, Moscú, 1983.

Apuntes

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VII. PLAN CALENDARIO

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A

SEMANA ACTIVIDADES ACADÉMICAS OBSERVACIONES

30 de julio al 4 de agostoAvance de materia Tema 1: 1.1 a 1.2

6 al 11 de agosto Avance de materia Tema 1: 1.3 a 1.4

13 al 18 de agosto Avance de materia Tema 1: 1.5 a 1.6

20 al 25 de agosto Avance de materia Tema 1: 1.7

27 de agosto al 1 de sept Avance de materia Tema 2: 2.1

3 al 8 de septiembre Avance de materia Tema 2: 3.1 a 3.3

10 al 15 de septiembre Avance de materia Tema 3: 3.4

10 al 15 de septiembre Primera Evaluación

17 al 22 de septiembre Avance de materia Tema 3: 3.5 a 3.6

24 al 29 de septiembre Avance de materia Tema 3: 3.7 a 3.8

1 al 6 de octubre Avance de materia Tema 3: 3.9

8 al 13 de octubre Avance de materia Tema 4: 4.1 a 4:2

15 al 20 de octubre Avance de materia Tema 4: 4.3 a 4:4

22 al 27 de octubre Avance de materia Tema 4: 4.5 a 4.6

29 de oct al 3 de nov Avance de materia Tema 4: 4.7 a 4.8

29 de oct al 3 de nov Segunda Evaluación

5 al 10 de noviembre Avance de materia Tema 4: 4.9 a 4.10

12 al 17 de noviembre Avance de materia Tema 4: 4.11

19 al 24 de noviembre Avance de materia Tema 5: 5.1 a 5.2

26 de nov al 1 de dic Avance de materia Tema 5: 5.3

3 al 8 de diciembre Avance de materia Tema 5: 5.4

10 al 15 de diciembre Evaluación final

17 al 21 de diciembre Evaluación del 2do turno

17 al 21 de diciembre Presentación de Notas

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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 1

UNIDAD O TEMA: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

TITULO: Funciones y Limites de Varias Variables

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Primera Etapa

Una manera de visualizar una función es por medio de una gráfica. La gráfica de una función de una variable, por lo general, es una curva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representación de una función. Para que una curva represente una función no puede tener dos puntos en la misma vertical (criterio de la recta vertical), ya que para que una correspondencia entre dos magnitudes sea función, la imagen tiene que ser única.

FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES: Una función de varias variables es una correspondencia entre más de dos magnitudes. En este caso, las imágenes también serian números reales, pero los originales no serian números individuales, sino parejas o ternas de números reales. Es decir, para poder dar el resultado de la función necesitamos tener varios datos. En consecuencia, los valores de la función (las imágenes), que serian números reales, dependen (son función) de mas de una variable.Ejemplo: Si expresamos el área de un triangulo en función de la base y de la altura, tendremos una función de dos variables.

En general será: ( ) ( )yxfzzyxf

Df

,,:

: 2

=→

ℜ→ℜ⊆

El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir

V(r,h) = r2h.

Es decir, como una función de dos variables r y h. V : (r,h) r2 h

DEFINICIÓN DE FUNCION: Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un numero real f(x, y), entonces se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de

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bhA2

1= ( )hbfA ,=⇒

hrV 2π=

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f(x, y) es el recorrido de f. Para la función dada por z = f(x, y), a x e y se les llaman variables independientes, y a z variable dependiente.

Ejemplo. La ecuación de la esfera x2 + y2 + z2 = r2 no representa (globalmente) una función, ya que si le damos valores a dos de las variables obtenemos dos valores de la tercera, lo que viola el concepto de función.

2222222 yxrzrzyx ++±=⇒=++ No es función pero si separamos en dos funciones

222 yxrz +++= Si es función

222 yxrz ++−= Si es función

FUNCIONES VECTORIALES. Una función se dice que es vectorial cuando el resultado no es un número, sino un vector, es decir, una pareja de números o una terna de números.

Ejemplo. Si las ecuaciones paramétricas de una

recta son las siguientes:

+=+=

−=

tz

ty

tx

1

32

1

para cada valor del parámetro tiempo t, obtenemos las tres coordenadas del punto de situación (x, y, z).

En general, tendremos

( )

+=+=

−=→

ℜ→ℜ⊆

tz

ty

tx

zyxtf

Df

1

32

1

,,:

: 3

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES: El dominio de una función se define como el conjunto de puntos que tienen imagen. En la práctica el dominio de una función de varias variables, normalmente, viene determinado por el contexto del problema. Por

eso, para definir las funciones es usual dar simplemente la fórmula z = f(x,y), sin especificar el dominio D.

DOMINIO IMPLÍCITO EN LA FÓRMULA: Cuando no se dispone de un contexto de aplicación, también es usual definir las funciones dando simplemente la regla z = f(x), sin especificar el dominio D. En tal caso se entiende que el dominio viene implícito en la propia formula, y queda determinado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la fórmula que define la función. O sea, el dominio esta formado por todos aquellos valores tales que al sustituirlos en la fórmula y realizadas las operaciones indicadas se obtiene un valor numérico y no una operación imposible. Es decir, se entiende que el dominio de la función f es el mayor subconjunto D de Rn para el cual la regla f(x) tiene sentido (si el dominio es mas pequeño hay que indicarlo).

El dominio de una función de dos variables f(x, y) será una región del plano, y el dominio de una función de tres variables f(x, y, z) una región del espacio. Y vendría determinado por la propia formula (dominio implícito), o bien, por una restricción arbitraria que nosotros impongamos.

Se llama Rango o Recorrido de una función al conjunto de elementos que son imagen. En general, nos ocuparemos del Dominio y sólo en casos particulares nos ocuparemos del Recorrido.

Ejemplos: definir gráficamente el dominio de función de las siguientes funciones:

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222

2

1

1

yx

x

xy

yxz

−−−+

−=

2yx

yz

−=

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Es interesante señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.

LIMITES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES

Para calcular lim f (x, y) cuando (x, y) --> (xo, yo) se calculan: 1. Límites sucesivos o reiterados (primero calculamos el límite cuando x tiende a xo y después cuando y tiende a yo o al revés) 2. Límites direccionales a través de las rectas que pasan por el punto (xo, yo). y = yo + m (x - xo) Estos límites direccionales deben ser independientes del valor de m (y coincidir con los límites sucesivos o reiterados calculados anteriormente) 3. Comprobamos el resultado mediante el cambio a polares: x = xo + r cosθ , y = yo + r senθ

CUESTIONARIO WORK PAPER # 2

1. Calcular el dominio de las siguientes funciones y representarlo geométricamente.

a) 22 yx4z −−=

b)x

yx9z

22 −−=

c)y

y2x3z

22 −=

d) 2xy

yz

−=

e)x

yx9z

22 −−=

f) 22 11 yxz −+−=

g)4

)xyln(z =

h)4

1222

2

−+−=yx

yxz

2. Graficar las siguientes Funciones:

a) 12 −= xZ

b) ( )1−= ysenZ

c) ( )2cos += xZ

d) 24 xZ −=

e) 22 −= yZ

f) 123 −−= yxZ

g)1

222 ++

=yx

Z

h) 369 22 −−= yxZ

3. Calcular los siguientes límites de varias variables.

a)yx

yxyx +

−→

22

)0,0(),(lim

b) )73(lim 2

)1,2(),(yx

yx+

c)y

xysenyx

)(lim

)0,3(),( →

d) ( )

⋅+

→ 2

23

)2,0()y,x( y

xsenyxlim

e) ( )

+

++→

2y2x

1

22

)0,0()y,x(yx1lim

f)9xy3

xylim

)0,0()y,x( +−→

g)x

)3,()y,x( x

y1lim

+

∞→

h)12

)1(lim

)0,1(),( −−

→ xy

y

yx

esen

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F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

d)( ) 4yx

8yx2xyLim

22

33

1,2r −

−+−→

i)( )

( )( )6xy3arctan

2xyarcsenLim

1,2r −−

→→

j)24

2

00lim

xy

xy

yx +→

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

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WORK PAPER # 2

UNIDAD O TEMA: DERIVADAS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES

TITULO: Funciones en Varias Variables

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: SEGUNDA ETAPA

SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO.- Es un sistema de coordenadas de tres dimensiones formado por la intersección de tres rectas perpendiculares entre sí, donde cada recta pertenece a los números reales.

Un sistema de coordenadas en el espacio está formado por ocho octantes y cada octante se forma por 3 planos que son xzyzxy ,,

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F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.- La distancia formada por una línea de segmentos entre dos puntos se calcula a partir del teorema de Pitágoras.

PUNTO MEDIO DE DIVISION.- Sea una línea de segmentos formada por dos puntos cualquiera, para encontrar los puntos medios de división mediante una relación de distancias “r” dada por las siguientes ecuaciones:

La relación “r” dependerá de cuantas partas iguales se va a dividir la línea de segmentos.

La recta.- Es el lugar geométrico de puntos que satisfacen simultáneamente a dos ecuaciones lineales en tres variables de la forma:

Ecuación General de la recta en el espacio.

3

0

2

0

1

0

azz

ayy

axx −=−=−

Ecuación Cartesiana de la recta

aPP t0

→→→

+=Ecuación Vectorial de recta

+=+=+=

30

20

10

tazz

tayy

taxx

Ecuación Parametrica de la recta

Distancia de un punto hacia una recta: La distancia mínima que existe desde un punto

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X

y

P0

P1

z

X

y

z

P0

P1

P.P.2

1=r2=r

X

y

z

P0

P

..→

a

=+++=+++

0DzCyBxA

0DzCyBxA

2222

1111

13

xy

xz

++=++=++=

=

r

rzzz

r

ryyy

r

rxxx

zyxP

1

1

1

),,(

21

21

21

201

201

201 )()()( zzyyxxd −+−+−=

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

hacia una recta cualquiera es igual a la distancia de la línea de segmento perpendicular a la recta y el punto, esta distancia esta definida por la siguiente ecuación:

El plano.- Es el lugar geométrico de puntos que satisfacen a una ecuación lineal en tres variables de la forma:

Ecuación general del plano en el espacio. ( ) ( ) ( ) 0zzCyyBxxA 000 =−+−+−

Ecuación Punto Normal.

0NPP 0 =

−→→→

Ecuación Vectorial del plano.

Distancia de un punto hacia un plano: La distancia mínima que existe desde un punto hacia una plano cualquiera es igual a la distancia de la línea de segmento perpendicular al plano y el punto, esta distancia esta definida por la siguiente ecuación:

SUPERFICIES CUADRICAS: Son figuras geométricas ubicadas en el espacio las cuales están representadas por la siguiente ecuación general:

0222 =+++++++++ KIzHyGxFyzExzDxyCzByAx

Entre estas figuras geométricas tenemos: la esfera, el elipsoide, Hiperboloide de una hoja, Hiperboloide de dos hojas, paraboloide circular, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cono, cilindro elíptico, cilindro circular cilindro hiperbólico, etc.

LA ESFERA: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que se mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es siempre constante. El punto fijo se llama centro y la distancia radio. Su ecuación es muy parecida a la de la circunferencia, esta es: ( ) ( ) ( ) 2222 Rjzkyhx =−+−+− , donde R es el radio y (h, k, j) es el centro del cual hablamos, la forma general de la ecuación de la esfera es : 0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx , en donde A = B = C = 1.

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X

y

z

P0

Pe

..

→a

d

→→→

=a

axpp

de 0

X

y

N

z

P0

X

y

N

z

P0 d

Pe

14

→→→

=N

Nppd

e 0

0DzCyBxA =+++

→→→

−=

N

Nppd

0e

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EL ELIPSOIDE: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−+−+−c

jz

b

ky

a

hx

Donde a, b c son los semiejes del elipsoide y (h, k, j) es el centro, la forma general de la ecuación del elipsoide es:

0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx , en donde BA ≠ ó CA≠ ó CB ≠ .

HIPRBOLOIDE DE UNA HOJA: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−+−+−−c

jz

b

ky

a

hx

Se proyecta en el eje X

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−+−−−c

jz

b

ky

a

hx

Se proyecta en el eje Y

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−−−+−c

jz

b

ky

a

hx

Se proyecta en el eje Z

Donde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el centro, la forma general de la ecuación del hiperboloide de una hoja es:

0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx

En donde 0;0;0 >>< CBA ó 0;0;0 ><> CBA ó 0;0;0 <>> CBA .

HIPRBOLOIDE DE DOS HOJA: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−−−−−c

jz

b

ky

a

hx

Se proyecta en el eje X

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−−−+−−c

jz

b

ky

a

hx

Se proyecta en el eje Y

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−+−−−−c

jz

b

ky

a

hx

Se proyecta en el eje Z

Donde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el vértice, la forma general de la ecuación del hiperboloide de dos hojas es :

0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx

En donde 0;0;0 <<> CBA ó 0;0;0 <>< CBA ó 0;0;0 ><< CBA .

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A15

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

PARABOLOIDE CIRCULAR O ELIPTICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )a

hx

c

jz

b

ky −±=−+−2

2

2

2

Se proyecta en el eje X; b=c circular, b ≠ c elíptico

( ) ( ) ( )b

ky

c

jz

a

hx −±=−+−2

2

2

2

Se proyecta en el eje Y; a=c circular, a ≠ c elíptico

( ) ( ) ( )c

jz

b

ky

a

hx −±=−+−2

2

2

2

Se proyecta en el eje Z; a=b circular, a ≠ b elíptico

Donde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el vértice del paraboloide, la forma general de la ecuación del paraboloide circular o elíptico es:

0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx

En donde 0;0;0 >>= CBA ó 0;0;0 >=> CBA ó 0;0;0 =>> CBA .

PARABOLOIDE HIPERBOLICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )a

hx

c

jz

b

ky −±=−−−2

2

2

2

Se proyecta en el eje X

( ) ( ) ( )b

ky

c

jz

a

hx −±=−−−2

2

2

2

Se proyecta en el eje Y

( ) ( ) ( )c

jz

b

ky

a

hx −±=−−−2

2

2

2

Se proyecta en el eje ZDonde a, b c son los semiejes y (h, k, j) es el vértice del paraboloide, la forma general de la ecuación del paraboloide hiperbólico es:

0222 =++++++ JKIzHyGxCzByAx

En donde 0;0;0 <>= CBA ó 0;0;0 <=> CBA ó 0;0;0 =<> CBA .

CONO CIRCULAR O ELIPTICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )0

2

2

2

2

2

2

=−+−+−c

jz

b

ky

a

hx

Se proyecta en el eje X; b=c circular, b ≠ c elíptico

( ) ( ) ( )0

2

2

2

2

2

2

=−+−+−c

jz

b

ky

a

hx

Se proyecta en el eje Y; b=c circular, b ≠ c elíptico

( ) ( ) ( )0

2

2

2

2

2

2

=−+−+−c

jz

b

ky

a

hx

Se proyecta en el eje Z; b=c circular, b ≠ c elíptico

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A16

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

CILINDRO CIRCULAR O ELIPTICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:

( ) ( )1

2

2

2

2

=−+−c

jz

b

ky

Se proyecta en el eje X; b=c circular, b ≠ c elíptico

( ) ( )1

2

2

2

2

=−+−c

jz

a

hx

Se proyecta en el eje Y; a=c circular, a ≠ c elíptico

( ) ( )1

2

2

2

2

=−+−b

ky

a

hx

Se proyecta en el eje Z; a=b circular, a ≠ b elíptico

CILINDRO HIPERBOLICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:

( ) ( )1

2

2

2

2

=−−−c

jz

b

ky → Se proyecta en el eje

X

( ) ( )1

2

2

2

2

=−−−c

jz

a

hx→ Se proyecta en el eje

Y

( ) ( )1

2

2

2

2

=−−−b

ky

a

hx→ Se proyecta en el eje

Z

CILINDRO PARABOLICO: Es el lugar geométrico de puntos en el espacio que cumple la siguiente ecuación:

( ) ( )c

jz

b

ky −±=−2

2

→ Se proyecta en el eje

X

( ) ( )c

jz

a

hx −±=−2

2

→ Se proyecta en el eje

Y

( ) ( )b

ky

a

hx −±=−2

2

→ Se proyecta en el eje

Z.

CUESTIONARIO WORK PAPERS # 1

1) Vectores: Dado los siguientes vectores:A = (2, 4, 5) B = (-5, -4, 3)C = (1, 2, -4) D = (4, -3, -5)Realizar las siguientes operaciones vectoriales y graficarlas:a) A + B C + Db) B – C A – Dc) A ° B C ° Dd) B x C A x D

2) Geometría Analítica: Encontrar la distancia que existe en los siguientes puntos y graficarlosa) P0(3, -3, 6); P1(5, -4, 2)b) P0(-2, 4, 5); P1(-4, -3, 1)

3) Si los puntos dados son vértices de un triangulo, demostrar que:a) P0(4, 2, 4); P1(10, 2, -2); P2 (2, 0, -4);

determinan un triangulo equilátero.b) P0(3, -1, 2); P1(0, -4, 2); P2 (-3, 2, 1);

determinan a un triangulo isósceles4) Una línea de segmento esta formado por

los puntos:

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A17

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

a) P0(-1, 8, 5); P1(9, -7, 0); dividir la línea de segmento en 3 partes

b) P0(-2, -1, 3); P1(7, 6, -3); dividir la línea de segmento en 3 partes

5) La recta, graficar:a) Dado el punto P0 (4, -2, 5) y la dirección

el vector A = (3, 1, 2); hallar la ecuación vectorial, parametrica y cartesiana.

b) Dado los puntos P0 (5, -2, 1); P1(3, 1, -4); encontrar la ecuación cartesiana, el vector dirección, la ecuación paramétrica y vectorial.

c) Calcular la ecuación general de la recta L1, que pasa poel punto Po(4, -5, 2) y es perpendicular a la recta L2: P0(5, 3, 1); P1(-3, 1, 4)

d) El punto Pe(1, -2, 4) hacia la recta

2

4

6

42

5

2 zyx −=−=−

e) La recta L1:2

4

8

42

5

2 zyx −=−=−

y L2: 5

1

4

12

6

3 zyx −=−=−

6) El Plano, graficar:a) Hallar la ecuación del plano que pasa por

el punto P0(4, -2, 3) y su normal es N(2, -4, 3)

b) Pasa por el punto P0(-5,2,4) y el paralela al plano 5x - 3y + 6z – 2 =0

c) El plano esta sobre las dos rectas L1:

2

3

6

4

5

2 −=−=− zyx

L2: 2

2

6

1

5

3 −=−=− zyx

d) Calcular la distancia que existe del punto Pe(2, -1,4) al plano 3x - 2y + 5z – 4 =0

e) Calcular la distancia que existe del plano 3x -2y + 5z -4=0 al otro plano 3x -2y + 5z + 6=0

7) Cuádricas, graficar:a) Hallar la ecuación de la esfera que tiene

su centro (4,-3, 5) y su radio es 3b) Hallar la ecuación de la esfera que tiene

diámetro en los puntos P0(2, 4, -1); P1(-4, 2, 3)

c) Hallar la ecuación de la esfera que tiene su centro (1,-4, 5) y tangente a 5y -3x + 2z - 4=0

d) Hallar la ecuación del elipsoide que tiene su centro en (3, -1, 4) y los semiejes: 4; 2; 1.

e) Hallar la ecuación de la superficie cónica, y efectuar su representación grafica.

( )0,1,1;2;922 −==+ vxzy

8) Reconocer y graficar las siguientes superficies:

a) 0197y90x32z36y9x 222 =−+−++

b) 036z9y4x36 222 =−++

c) 04zy4x4 222 =−+−

d) 016z4yx4 222 =−−−

e) 0zyx 22 =−+

f) 036z9yx4 222 =−+−

g) 4x2 - y + 9z2 – 36 = 0

h) 03z1y6x8zy3x2 222 =−−+−++

i) ( ) ( ) 22 1y1xz −−−=

j) 01z4x2zyx 222 =+−+++

k) 012z12y4z3x4 22 =++−+

l) 222 y12z4x3 =+

m) 9yx 22 =+

n) 1z2y2x 222 =−−

o) ( ) 222 zy5x4 +=−

p) 22 zy4x −−=

q) z48y2x 22 −=+

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A18

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 3

UNIDAD O TEMA: DERIVADAS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES

TITULO: Derivadas

FECHA DE ENTREGA:

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A19

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

PERIODO DE EVALUACION: Segunda Etapa

DERIVADAS PARCIALES: Las derivadas parciales de funciones de varias variables se denotan y define analíticamente por el siguiente límite:

Sea la función: ( )yxfz ,=( ) ( )

h

yxfyhxf

x

zh

,,lim

0

−+=∂∂

Derivada parcial de la función con respecto a x

( ) ( )h

yxfhyxf

y

zh

,,lim

0

−+=∂∂

Derivada parcial de la función con respecto a y

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERVADAS PARCIALES: geométricamente las derivadas parciales son las pendientes de las rectas tangentes en los planos XZ, YZ, estas rectas tangentes permiten encontrar el plano tangente a la función en el punto P(x0,y0,z0).

xz

m1 ∂∂= ;

yz

m2 ∂∂=

REGLA DE LA CADENA: Esta regla se utiliza cuando las funciones son compuestas y sus derivadas parciales están definidas por el siguiente análisis:

Sea ( )vufz ,= y ( )( )

==

yxfv

yxfu

,

, entonces las

derivadas parciales serán:

y

v

v

z

y

u

u

z

y

zx

v

v

z

x

u

u

z

x

z

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂=

∂∂

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂=

∂∂

DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIALES DE ÓRDENES SUPERIORES.

Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden.

Se usan las siguientes notaciones:

(se empieza derivando por la variable que está más cerca de la función)

Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales.

Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales.

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A20

)

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores.

Si las derivadas parciales son continuas entonces no dependen del orden en que se realicen, sino del número de veces que se derive respecto de cada una de las variables (aunque el resultado final sea igual, el cálculo puede resultar más complicado en un orden que en otro).

Se llama diferencial de segundo orden de una función a la diferencial de su diferencial total:

Análogamente se define la diferencial de tercer orden.

Se siguen unas reglas parecidas a las potencias:

DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS. La

derivada de la función implícita

definida mediante la ecuación puede calcularse: o bien despejando la y, o bien, mediante la siguiente fórmula:

, siempre que

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.

Las derivadas parciales de una función

implícita de dos variables definida

mediante la ecuación puede calcularse mediante las fórmulas:

; , siempre que

Dada la ecuación Si el punto

cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas

en un entorno de y

entonces la ecuación define una

función explícita en un entorno de

con

Dada la ecuación Si el punto

cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas

en un entorno de y

entonces la ecuación define una

función explícita en un entorno de dicho punto.

Calcula y', siendo

Tenemos:

Por lo tanto:

CUESTIONARIO WORK PAPER # 3

1. Hallar las derivadas parciales

a)

−+=

yxyx

lnz

b) ( )22 yxez +−=

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A21

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

c) ( )yx2arctanz −=

d)xy2

y8xz

33 +=

e) xcosseny yxz +=

f) ( )322 y2x4lnz −=

g)

=y

xtgz

2

h) ( )yxsen.xz +=2. Demostrar las siguientes

ecuaciones:

a) 0yz

yxz

x =∂∂+

∂∂

; si: yx2

yx2Z

−+=

b) 0yz

y2xz

x =∂∂−

∂∂

Si la función es: ( )yxarctanyxlnZ 22 +=

c) Zyz

yxz

x =∂∂+

∂∂

; si : yx

xyZ

+=

d) 0zu

yu

xu =

∂∂+

∂∂+

∂∂

Si la función es: ( )( )( )xzzyyxU −−−=3. Calcular las derivadas

parciales de las siguientes funciones implícitas:

a)

x2xy

zln

z

ylnx

y

e x

+=+

b)0y3)xz2ln(e 2yz =−+

c)1xcoszzcosyycosx =++

d) zezyx =++e) 33 3 axyzz =−4. Calcular las derivadas

parciales de orden superior:

a)zyx

u

∂∂∂∂3

si

xyzeu =

b)yx

u

∂∂∂.2

3

si

senxysenyxu 33 +=

c) 3

3

xu

∂∂

si

2222322 yyx4yx3xyxy2xu +−−+++=

d)xy

z2

∂∂∂

si

22 yx1z +−=

e)xy

z2

∂∂∂

si

( ) ( )xy2arctanyxlnxz −+=

f)xy

z2

∂∂∂

si

22

xy

yx

ez

+=

5. Demostrar las siguientes ecuaciones:

a) 02

2

2

2

=∂∂+

∂∂

y

z

x

z

si:

=x

yZ arctan

b) 042

2

2

2

=∂∂−

∂∂

x

z

y

z

si:

)2cos()2( yxeZ yx −= −

c)

022

22

2

2

22 =

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

y

zy

xy

zxy

x

zx

Si la función es:

=x

yxZ ln

d)

024

4

22

4

4

4

=∂∂+

∂∂∂+

∂∂

y

z

yx

z

x

z

Si la función es: yxeZ x cos=

e)2

2

x

u

∂∂

+ 2

2

y

u

∂∂

= 0

Si la función es: ( ) ( )( )22byaxlnu −+−=

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A22

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

f)xy

u

yx

u 22

∂∂∂=

∂∂∂

si: y

xu arccos=

g)

0zu

yu

xu

2

2

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂+

∂∂

Si la función es: ( ) 2

1222 zyxu

−++=6. Calcular las derivadas parciales

de las funciones compuestas:

a)t

z

∂∂

; para la función y

xZ =

Donde tyex t ln; ==

b)t

z

∂∂

; para la función

=

y2

xlnZ

Donde 1;3 22 +== tytx

c)y

z

x

z

∂∂

∂∂

; ; para la función vuZ =

Donde xyvy

xu == ;

d)yu

;xu

∂∂

∂∂

; si: ( )tfu = donde t = x + y

e)yu

;xu

∂∂

∂∂

; si: ( )tfu = donde yx

t =

f)yu

;xu

∂∂

∂∂

; si: ( )222 zyxfu ++=

g)yu

;xu

∂∂

∂∂

; si:

=

zy

,yx

fu

h)yu

;xu

∂∂

∂∂

; si:

=

yx

,xfu

7. Demostrar las siguientes ecuaciones:

a) 2

11

y

z

y

z

yx

z

x=

∂∂+

∂∂

si: )( 22 yxyfZ −=

b) ( ) xyzy

zxy

x

zyx =

∂∂+

∂∂− 22

Si la función es:

=

2

2

2 y

x

y yefeZ

c) 02

22

=∂∂

∂∂−

∂∂∂

∂∂

x

z

y

z

yx

z

x

z

Si la función es: ( )( )ygxfZ +=

d) y 0=∂∂−

∂∂

y

zx

x

z si:

( )22 yxz += ϕ

e) 022 =+∂∂−

∂∂

yy

zxy

x

zx si

( )xyx

yz ϕ+=

3

2

f) 1yz

ysecxz

xsec =∂∂+

∂∂

Si ( )yxfyz sinsinsin −+=

8. Determinar los diferenciales totales de las siguientes funciones:

a)yx

yxZ

+−

=2

22

b)

−=

xy

yxZ

22arctan

c) 22ln yxu += d) Hallar )1.1.1(df , si:

( )y

XZz,y,xf =

e) Cuanto variara la diagonal y el área de un rectángulo de lados x = 6m e y = 8m, si el primer lado se aumenta en 2 mm y el segundo se disminuye en 5 mm?

f) El ángulo central de un sector 60=α

aumento 1=∆α ¿cuanto hay que

disminuir el radio del sector R=20 cm, para que su área no varié?

9. Calcular los puntos extremos de la función:

a) yxz += si 1=+ yx

b) 22 yxz += si 1=+b

y

a

x

c) xyxxyz −−= 22 24

d) 21y8x4yxz 22 +−−+=

e) 322 xyyxxy8z −−=

f) 22 yxy6x26z −−++−=

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A23

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

g) 22 y4xy4xz +−=

PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 4

UNIDAD O TEMA: INTEGRALES MULTIPLES

TITULO: Aplicación de las Integrales Simples

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A24

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

INTEGRALES SIMPLES: Estas integrales se subdividen en integrales definidas, curvilíneas, de revolución, etc.INTEGRALES DEFINIDAS: Sea una función continua definida en [a,b] .Supongamos que dividimos este intervalo en n subintervalos : [a,x1] , [x1,x2] , [x2,x3] ..........., [xn-2,xn-1] , [xn-1,b] Podríamos calcular la suma de todas las áreas de los rectángulos superiores e inferiores y obtendríamos:

Ssup(f) = M1(x1-x0)+ M2(x2-x1)+ M3(x3-x2)+................... Mn(xn-xn-1) siendo M1 , M2 , etc los máximos de f en cada uno de los intervalos .

Sinf(f) = m1(x1-x0)+ m2(x2-x1)+ m3(x3-x2)+................... mn(xn-xn-1) siendo m1 , m2 , etc los mínimos de f en cada uno de los intervalos .

Lógicamente Sinf < Área de f(x) < Ssup

Cuando n tiende a infinito es decir , cuando aumenta el número de subintervalos entonces :

∫===∞→∞→

b

asupninfn

dx)x(f)x(fdeÁreaSlimSlim

La función está por debajo del eje x la amplitud de los intervalos sigue siendo + pero las Mi y las mi son por lo que la suma dará una cantidad negativa y por tanto el área será negativa. En este caso se debe tomar el valor absoluto, si una curva cruza el eje x tendrá una parte positiva y otra negativa. Si queremos calcular el área total debemos de calcular los puntos de corte con el eje X y calcular el área de la parte

de arriba y la de abajo. El área total será la suma de todas las áreas en valor absoluto.Regla de Barrow: Sea S(x) y F(x) dos primitivas de f(x) que se diferencian lógicamente en una constante.

S(x) = ∫x

a

dx)x(f =F(x)+C

Si x=a entonces S(a) = 0 = F(a) +C luego F(a) = -C por lo tanto:

S(x) = ∫x

a

dx)x(f =F(x) + C = F(x) -F(a) ⇒

∫x

a

dx)x(f =F(x)-F(a)

Si calculamos toda el área encerrada en el

intervalo [a,b] : ∫b

a

dx)x(f =F(b)-F(a)

INTEGRALES CURVILÍNEAS: Son integrales que permiten calcular la longitud de curva que sigue una función, entre las aplicaciones de estas integrales tenemos el calculo de perímetros de figuras geométricas.

INTEGRALES DE REVOLUCIÓN: Son integrales cuyas funciones giran alrededor del eje x o y, al girar sobre estos ejes siguiendo el perímetro de una circunferencia generan figuras sólidas las cuales podemos calcular su superficie o volumen de dichos cuerpos.

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A25

voluciondeVolumendxyVb

a

Re2 →= ∫π

( ) voluciondeSuperficiedxyySb

a

Re122' →+⋅= ∫π

( )∫ += dxyL2'1

b

a

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

CUESTIONARIO WORK PAPERS # 4

1. Calcular, en unidades cuadradas, las áreas

de las regiones , limitados por las curvas

que se indican :

a) ( )∫−

−1

1

322 dxxx

b) ∫e

xdx1

ln

c) dxx∫ +8

1

31

2. Calcular las siguientes integrales

curvilíneas:

a) Calcular el perímetro formado por la

circunferencia 0922 =−+ yx

b) Calcular la línea formado por la curva

)2ln( += xy en el intervalo 51 ≤≤− x

c) Calcular la línea formado por la parábola

02482 2 =+− yx entre el rango 53 ≤≤ y

3. Calcular, en unidades cuadradas, las áreas

de las regiones:

a. Calcular el área formado por la

elipse 03649 22 =−+ yx

b. Calcular el área formado por las

curvas 1−= xey ; 32 −= xey ; 0=x

c. Calcular el área formado por las

curvas 21

1

xy

+= ;

2

2xy =

4. Calcular, en unidades cuadradas, las

superficies y volumen de revolución:

a) Calcular el área de la superficie del cilindro

generado por la recta 3=y al girar

alrededor del eje x entre los rangos

61 ≤≤ x

b) Calcular el área de la superficie del cono

generado por la recta 22 −= xy al girar

alrededor del eje x entre los rangos

61 ≤≤ x .

c) Calcular el área de la superficie del

elipsoide generado por la elipse

164 22 =+ yx al girar alrededor del eje x.

d) Calcular el volumen “elipsoide” del sólido

de revolución que forma la elipse

164 22 =+ yx cuando gira alrededor del eje

x

e) Calcular el volumen “cono” del sólido de

revolución que forma la recta xy2

3=

cuando gira alrededor del eje x entre los

rangos 41 ≤≤ x .

f) Calcular el volumen generado al girar

alrededor del eje x la parábola 22 =+ yx

cuando gira entre los rangos 21 ≤≤− x

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A26

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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

WORK PAPER # 5

UNIDAD O TEMA: INTEGRALES MULTIPLES

TITULO: Integrales Dobles

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa

INTEGRALES DOBLES: Son integrales cuyas funciones dependen de dos variables independientes, estas integrales permiten

realzar el calculo de aras, volúmenes, centro de masa, momento de inercia, etc.

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A27

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

Para resolver una integral doble se resuelve por medio del cálculo de dos integrales simples reiteradas.

Teorema 1: Sea { }∆ = ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤( , ) / ,x y a x b c y d2 . Si f(x,y)

es integrable en ∆ , entonces:

La demostración de este teorema se apoya en las definiciones de las integrales simple y doble que aparecen, como límites de las correspondientes sumas de Riemann.

Una vez deducida la ecuación se tendrá la

siguiente ecuación: K f x y dx dy=∫∫ ( , )∆ ,

para resolver esta integral doble recurrimos a las integrales reiteradas:

dx f x y dy dy f x y dxa

b

c

d

c

d

a

b

∫ ∫ ∫ ∫=( , ) ( , )

es decir que la integral será:

f x y dx dy dy f x y dx dx f x y dyc

d

a

b

a

b

c

d( , ) ( , ) ( , )= =∫∫∫ ∫ ∫ ∫∆

Teorema 2: Sea

{ }R x y a x b x y x= ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤( , ) / , ( ) ( )21 2ϕ ϕ

Se trata de una región R como la mostrada

en la figura, siendo rectificables las curvas Γ Γ1 2y . Se supone por tanto que la región es tal, que cualquier recta x = cte, con a x b≤ ≤ , corta a la frontera de R únicamente en dos puntos, o en un segmento.

Entonces si f(x,y) es continua en R, se verifica:

f x y dx dy dx f x y dyx

x

a

b

R( , ) ( , )

( )

( )= ∫∫∫∫ ϕ

ϕ

1

2

Teorema 3: Sea: { }R x y c y d y x y= ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤( , ) / , ( ) ( )2

1 2ψ ψ

Ahora se trata de una región R como la mostrada en la figura próxima, donde Γ Γ1 2y son rectificables. Cualquier recta y = cte con c y d≤ ≤ , corta a la frontera de R únicamente en dos puntos, o en un segmento.

Entonces si f(x,y) es continua en R, se verifica:

f x y dx dy dy f x y dxy

y

c

d

R( , ) ( , )

( )

( )= ∫∫∫∫ ψ

ψ

1

2

COORDENADAS POLARES: Las coordenadas polares se utilizan para facilitar la integración de aquellas funciones circulares, elípticas, parabólicas o hiperbólicas. Para utilizar las coordenadas polares se debe realizar n cambio de variable en la función y la región R utilizando las siguientes relaciones. En este caso es

Φ :cos

,x r

y rsencon r

==

≥ ≤ ≤θ

θθ π0 0 2

Entonces Φ es biyección entre [ )A = ℜ ×+ 0 2, π

y { }ℜ −2 0 0, siendo además Φ continuamente diferenciable y cumpliendo:

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A28

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

J rr

rrΦ Φ( , )

cos sen

sen cos=

−= >

θ θθ θ

0

No hay biyección si se añade el (0,0), que corresponde a r = 0 y cualquier θ. Pero no influye en la integración. Por tanto:

Si R es una región del plano XY, y f(x,y) es continua en R entonces :

[ ]f x y dx dy f r rsen r dr dR R( , ) cos ,*∫∫ ∫∫= θ θ θ

CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES PLANAS: Para realizar el calculo de areas utilizando las integrales dobles se debe considerar la definición de la integral doble de la función z = f(x,y) = 1 en la región R

acotada, es : µ( )R dx dyR

=∫∫ , en efecto,

basta reducir este problema a calcular el valor numérico ( y expresarlo luego en unidades de área, no de volumen ) del volumen del sólido comprendido entre la superficie de ecuación z = f(x,y) = 1 y la región R.

CALCULO DE VOLÚMENES: Se inició el estudio de la integral doble con un ejemplo que motivaba dicho concepto. De lo visto en el ejemplo y de la posterior definición de integral doble, se deduce que si R es una región cerrada y acotada en el plano XY y f(x,y) es no negativa en R e integrable en R,

entonces la f x y dx dyR

( , )∫∫ representa el

volumen del sólido cilíndrico W limitado por R, la superficie Σ del espacio de ecuación z = f(x,y) y la superficie cilíndrica de generatrices paralelas al eje OZ y directriz la frontera Γ de R.

De manera análoga, si f(x,y) no cumple f x y( , ) ≥ 0 en R, pero es integrable sobre R, entonces el volumen de W es : V W f x y dx dy

R( ) ( , )=∫∫

O, si se trata de un sólido W, como el mostrado en la Figura más próxima, entonces: V W f x y f x y dx dy

R( ) ( , ) ( , )= −∫∫ 2 1

APLICACIONES A LA FISICA: Se considera una región plana R, en la cual está distribuida de manera continua una masa con densidad superficial δ( , )x y . En la realidad física se trataría de una lámina L delgada, que ocupa la región R y en la que no se considera su grosor.

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A29

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Masa de la lámina: Se efectúa una partición de R en subregiones R k Nk ( ,...., )= 1 . En cada Rk , se escoge un punto ( , )x yk k . Considerando la densidad en Rk, como constante e igual a δ( , )x yk k , una aproximación a la masa de la lámina L sería :

δ µ( , ) ( )x y Rk kk

N

k=

∑1

.

Se trata de una suma de Riemann de la función continua δ( , )x y en R.

La masa de la lámina L será el límite de las sumas de Riemann, cuando tiende a cero el diámetro d(P) de la partición P, es decir :

M L lim x y Rd P

k kk

N

k( ) ( , ) ( )( )

=→

=∑

01

δ µ . Luego:

M L x y dx dyR

( ) ( , )=∫∫ δ

Momentos de inercia de L: El momento de inercia de un punto material P de masa m, respecto a una recta r, o un punto P0 es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de P a la recta o al punto. Y el momento de inercia de un conjunto de puntos materiales respecto a r o P0, es la suma de los momentos de inercia de los diversos puntos del conjunto.

Por tanto, con un razonamiento análogo al utilizado para la masa de la lámina L, se tendría para los momentos de inercia I(L) de L:

Momento de Inercia respecto al eje OX : I L yx R( )=∫∫ 2 δ(x, y) dx dy

Momento de Inercia respecto al eje OY : I L xy R( )=∫∫ 2 δ(x, y) dx dy

Momento de Inercia respecto al origen : I L x y

R02 2( ) ( )= +∫∫ δ(x, y) dx dy

Momentos estáticos respecto a los ejes: El momento estático M Px ( ) (respectivamente M Py ( ) ) de un punto material P(x,y) de una masa m , respecto al eje OX (respecto OY) es el producto de la masa por su distancia al eje OX (respecto OY) , es decir : Mx (P) = my , My

(P) = mx.

Con un razonamiento como los anteriores se obtendría para los momentos estáticos de la lámina L :

M L yx R( )=∫∫ δ(x, y) dx dy

M L xy R( )=∫∫ δ(x, y) dx dy

Centro de gravedad: Partiendo de la expresión de las coordenadas del centro de gravedad de un sistema S de puntos materiales P x yi i i( , ) ( i = 1,...,n ) , con masa respectivas m i :

x Sx m

m

M S

M SG

i ii

n

ii

ny( )( )

( )= ==

=

∑1

1

y Sy m

m

M S

M SG

i ii

n

ii

nx( )( )

( )= ==

=

∑1

1

CUESTIONARIO WORK PAPER # 5

1. Utilizando integrales dobles calcular el área representada por:

a)32 ; xyxy ==

b) 9;9 22 −=−= xyxy

c) 24 34; xyxy −==

D) xxseny −== 2xy ; )(π

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e) Calcular el área de una parte del plano azyx =++ que esta cortada por el

cilindro axy =2 y el plano ax = .

f) Calcular el área de una parte de la

superficie del cilindro 222 azx =+ que

esta cortado por el cilindro ( )xaay −=2 .

g) Calcular el área de una parte de la esfera 2222 2azyx =++ que esta dentro del

cono 222 zyx =+ .

2. Hallar el valor numérico de las siguientes integrales

a) ∫∫ +3

0

2

1

)81( dxdyxy

b) dxdyxxyyx )( 325

3

24

2−+∫∫

C) ( ) dxdyyI ∫ ∫

−=

3

0

2

0

21 4

D) dxdyysenxIx

∫ ∫

=

π

0 0

1

E) ( ) dxdyyxIx

x∫ ∫

+=

1

0

221

2

F) ( ) dxdyxeIx

y∫ ∫

=

1

0 0

1

G) ∫∫ +=G

xaI 221

3. Aplicaciones de las integrales dobles:

a) Una placa delgada de espesor uniforme y

densidad δ = k cubre la región limitada por

la elipse x

a

y

b

2

2

2

21+ = . Hallar el momento de

inercia de la placa, respecto al origen.

b) Se tiene una lamina cuyo área esta acotada

por las funciones

0;1;;2 ==== xxxyxy cuya

densidad es 2. Calcular el centro de masa y

momento de inercia.

c) Hállese la masa y la densidad media de un cuerpo limitado por las superficies

azyx =−+ 22

, 0=z , az = . ( )0a , si la densidad en cada punto es proporcional a la coordenada z y en el plano z = a es igual a

0γ .

d) Calcular el centro de masas de un cuerpo homogéneo limitados por las superficies,

( )22

2xy

a

hz −= , ( )ohoa , z = 0 , y = 0

e) Hállese las coordenadas del centro de masa de un cuerpo homogéneo, limitado por las

superficies 2

2x

a

by = , ( )yb

b

hz −= , z = 0.

( )ohoboa ,, . f) Volumen del sólido acotado W, limitado por

el paraboloide 221 yxz −−= y el plano

XY.

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WORK PAPER # 6

UNIDAD O TEMA: INTEGRALES MULTIPLES

TITULO: Integrales Triples

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa

INTEGRAL TRIPLEEs una generalización del concepto de integral doble.

• Se considera ahora una función f(x,y,z) definida y acotada en una región R cerrada y acotada del espacio. Se efectúa una partición P de R en las subregiones elementales Rk

(k = 1,.......N) cubicables, tal como antes se ha indicado. Sea P el conjunto de tales particiones de R.

• Actuando de forma análoga a la vista para las integrales dobles, tras la elección de un punto Pk(xk,yk,zk) en cada Rk, se consideran las sumas de Riemann de f(x,y,z) en R, correspondientes a las diversas particiones P de R y a las funciones de elección e:

S P eR ( , )

( ) ( )≅=

∑f x y z V Rk k k kk

N

, ,1

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A32

F A C U L T A D D E C I E N C I A Y T E C N O L O G I A

• Se dice entonces que f(x,y,z) es integrable en R si existe el limite dirigido de las sumas de Riemann anteriores. En este caso, dicho limite recibe el nombre de integral triple de f(x,y,z) en R.

Se escribe: lim( )δ P →0 ( ) ( )f x y z V Rk k k k

k

N

, ,=

∑1

=∫f x y z dVR

( , , )

Si se hubiese considerado la partición en intervalos se escribiría:

S P eR ( , )

( )≅===∑∑∑ f x y z x y zk k kk

p

j

m

i j ki

n

, ,111

∆ ∆ ∆

Y el límite antes citado suele designarse como:

f x y z dxdydzR( , , )∫∫∫

Puede demostrarse que, de forma análoga al caso de las integrales dobles, se verifica:

a) Si f(x,y,z) es continua en una región R del espacio, cerrada y acotada, entonces f es integrable en R.

b) También es f(x,y,z) integrable en R si, siendo acotada en tal región, es continua en la misma excepto a lo sumo en un conjunto A de puntos de medida nula, por ejemplo el conjunto de puntos de una superficie de área finita (Un conjunto A del espacio se dice de medida nula, si puede ser recubierto con un conjunto finito o numerable de intervalos del espacio, cuya suma de volúmenes sea tan pequeña como se quiera).

CUESTIONARIO WORK PAPER # 6

1. Calcular las siguientes integrales triples:

a)∫∫ ∫− −−1

0

2 3

03

y

y

yxdzdxdy b)

∫ ∫ ∫−

−−

a ax

ax

yax

yaxdzdydxx

3

0

4

4

22

2

c) ∫ ∫ ∫Π

Π

Π

2

6

2

1 0

2

cosxxy

dzdydxy

z

y

xz

2. Calcular el volumen del sólido limitado por

arriba por el paraboloide 224 yxz −−= y

por debajo por el plano xz 24 −=

3. Determine el volumen que forma la

superficie: xyz 22 −= sobre la región del

plano xy.

4. Calcular el área de la región limitado por:

5y-3x-25=0, 5y+3x-25=0; y=x2+2.

5. Calcular el volumen limitado por las

siguientes superficie x2+y2=a2, x2+z2=a2 ;

en coordenadas cartesianos.

6. Calcular el volumen limitado por las

siguientes superficie x2+y2=25, x+y+z=8; en

coordinas rectangular y graficar.

7. Hállese el volumen del solidó en el primer

octante limitado por el paraboloide

22 yxz += , el cilindro 422 =+ yx y los

plano coordenados.

8. Volumen de la región acotada en el primer

octante por los planos x z+ = 1 e

y z+ =2 2 .

9. Volumen de la región limitada por la

superficie cilíndrica y z2 24 16+ = y los

planos x = 0 , x y+ = 4 .

10. Volumen del sólido limitado superiormente

por la esfera x y z a2 2 2 22+ + = e

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inferiormente por el paraboloide

az x y= +2 2 .

11. Volumen de la región W determinada por :

( ){ }W x y z R z x y x y= ∈ ≤ ≤ − − + ≥, , / ,3 2 2 2 20 9 1

U N I V E R S I D A D D E A Q U I N O B O L I V I A34

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DIF´S # 1

UNIDAD OTEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA

TITULO: La Recta y El plano

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Primera Etapa

La Recta se forma por la intersección de dos planos en el espacio tridimensional. Para esto tome como puntos de análisis los siguientes:

• Definición de cada uno• Ecuaciones

• Caso de Rectas paralelas y perpendiculares

• Caso de Planos paralelos y perpendiculares

• Aplicaciones.

CONCLUSIONES (Deberán sintetizar la opinión del grupo):

COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):

GRUPO (máximo cinco integrantes):AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA

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DIF´S # 2

UNIDAD OTEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA

TITULO: Superficies Cuadricas

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Segunda Etapa

Las ecuaciones F (x, y, z ) = 0 que son de grado superior a uno y por consiguiente son superficies no planas, se llaman superficies cuadricas.

Investigue lo siguiente: • Ejemplo de cada una de las

superficies cuadricas describiendo sus ecuaciones, sus aplicaciones y graficas.

Además de la bibliografía de la materia puede usar:

http://www.biologia.edu.ar/matematica/cuadricas_archivos/frame.htm#slide0001.htm

CONCLUSIONES (Deberán sintetizar la opinión del grupo):

COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):

GRUPO (máximo cinco integrantes):

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AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA

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DIF´S # 3

UNIDAD OTEMA: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

TITULO: Funciones

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Segunda Etapa

Usando bibliografía y/o internet responda las siguientes preguntas:

a) Como se realiza la composición de

funciones en le espacio tridimensional.

De dos ejemplos resueltos.

b) Como se efectúa el cálculo del dominio

de una función primitiva con varias

variables.

c) Como se resuelve o calcula un límite de

funciones en varias variables.

CONCLUSIONES (deberán sintetizar la opinión del grupo):

COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):

GRUPO (máximo cinco integrantes):AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA

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DIF´S # 4

FECHA DE ENTREGA:

PERIODO DE EVALUACION: Tercera Etapa

Usando bibliografía y/o internet responda las siguientes preguntas:

a) Porque estudiamos a la integral triple y

no solamente la integral doble.

b) Que aplicaciones podemos efectuar

con la integral triple.

c) Desde el punto de vista geométrico

que diferencia existe entre la integral

doble y triple

CONCLUSIONES (Deberán sintetizar la opinión del grupo):

COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):

GRUPO (máximo cinco integrantes):AP. PATERNO AP. MATERNO NOMBRES FIRMA

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