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CALCULO DIFERENCIAL

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  • CAPITULO 11

    CALCULO DIFERENCIAL

    Seccin l.

    97LIMITES

    Antes de entrar de lleno al estudio del Clculo Diferencial, debemosdetenemos un poco para aprender algo acerca de los LIMITES. La ideade Lmite, puede ser completamente nueva para el lector, pero es la partemedular del clculo y se debe tener mucho cuidado en entender muy bienesta seccin antes de seguir adelante.

    Una vez que usted sepa realmente qu se entiende por Lmite, estaren condiciones de entender fcilmente las ideas del clculo diferencial.

    Los lmites son tan importantes en el clculo, que los discutiremos des-de dos puntos de vista diferentes. Primero desde un punto de vista intui-tivo e inexacto. Luego, cuando ya nos hayamos familiarizado con la idea,daremos la definicin matemtica precisa de lmite.

    Pase a 98.

    63

  • 64 Clculo Diferencial

    98

    Aqu tenemos una pequea aplicacin matemtica que nos puede serde utilidad.

    Sea x una variable que toma valores dentro de un intervalo con laspropiedades siguientes:

    1) El centro del intervalo es un cierto nmero a.

    2) La diferencia x y a debe ser menor que otro nmero B.

    3) x no puede tomar el valor de a (pronto veremos por que se ex-cluye este punto).

    Los tres postulados anteriores pueden resumirse como sigue:

    Ix - al > O

    Ix-al

  • 99

    Lmites 65

    25 ------------

    Para comenzar nuestra disru-sin sobre lmites, veamos unejemplo. Trabajaremos con laeruacin y = f( x) = x2 que semuestra en la grfica de la dere-cha. P representa un punto de larurva cuyas coordenadas son:x = 3, y= 9.

    Observemos el comportamien-to de y para valores de x toma-dos en un intervalo en la vecin-dad de x = 3. Por razones quepronto veremos, es importanteexcluir del intervalo el punto departirular inters P y para no ol-vidado lo encerramos dentro deun crrulo.

    eje y

    20

    15

    10

    5

    O

    A

    2 3

    Fig. 45

    4

    A'

    y=l

    5 eje"

    Empezaremos por considerar los valores de y correspondientes a valoresde x dentro de un intervalo en la vecindad de x = 3 Y variando entrex = 1 Y x = 5.

    Con la notacin del prrafo anterior, esto se puede escribir O < I x-3 I < 2. El intervalo para la x se indica en la figura por la lnea A, elintervalo correspondiente para y est indicado por la lnea A' incluyendolos puntos comprendidos entre y = 1 Y Y = 25, con excepcin de y = 9.

    Un intervalo ms pequeo para la x lo muestra la lnea B enO < I x - 3 I < 1, Yel intervalo que corresponde a y es 4 < Y < 16,excluyendo y = 9.

    El intervalo para x mostrado por la lnea e est dado por O < I x-3 I < 0.5. Escriba el intervalo correspondiente para la y en el espacioen blanco de abajo, considerando que y =..9 est excluido.

    Para encontrar la respuestacorrecta, pase al prrafo 100.

  • 66 Clculo Diferencial

    100

    El intervalo para y correspondiente a O< I x - 3 I < 0.5 es

    6.25 < y < 12.25

    Fig. 46

    y

    Se puede comprobar fcilmente, substituyendo los valores de 2.5 y 3.5para la x en y = Xl- Y encontrando los valores de y en los dos extremos.

    Hasta aqu, hemos considerado tresintervalos, cada vez ms pequeos pa-ra x, en la vecindad de x = 3, Y losintervalos correspondientes de y. Con-. tinuaremos este proceso. La figura re- 9.5presenta la grfica de la ecuaciny = x2 para valores de x compren-didos entre 7.9 Y 3.1. (Esta figura 9.0es una amplificacin de la del prrafoanterior.) Se muestran tres intervarlospequeos para la x en la vecindad dex = 3 con los correspondientes inter- 8.5valos para la y. La tabla de abajo con-tiene los valores de y que correspondena las fronteras de x en los extremos 8.0del intervalo. (El ltimo rengln es 2.9para un intervalo demasiado pequeopara ponerse en la figura.)

    Intervalo intervalo corres-dex pon diente de y

    1-5 1-252-4 4-16

    2.5-3.5 6.25-12.252.9-3.1 8.41-9.61

    2.95-3.05 8.70-9.302.99-3.01 8.94-9.062.999-3.001 8.994-9.006

    Pase a 101.

  • Lmites 67

    101

    Esperamos que sea evidente de la discusin anterior, que a medidaque se disminuye el intervalo de x en la vecindad de x =3, los valores dey = x2 se acercan ms y ms a y = 9. De hecho, parece que podemos ha-cer que los valores de y sean tan cercanos como se quiera a y = 9, limi-tando nicamente los valores de x en un intervalo lo suficientemente pe-queo en la vecindad de x = 3. Ya que esto es cierto, podemos decir queel lmite de x2, cuando x se aproxima a 3, es igual a 9 y lo escribimos as:

    lim x2 = 9.x ->3

    Poniendo lo anterior en trminos generales:

    Si una funcin f(x) est definida para valores de x cercanos a uncierto valor fijo a, y si la x est restringida a tomar valores dentro de in-tervalos cada vez ms pequeos en la vecindad de a, los valores de f (x)se acercan ms y ms a un cierto nmero fijo L, el nmero L se llamael lmite de f(x), cuando x se aproxima al nmero a.

    El enunciado que dice: "el lmite de f(x) cuando x se aproxima alnmero a, es L y se abevia comnmente:

    lim f(x)=L.x ->a

    En el ejemplo discutido, f(x) = x2; a = 3, Y L = 9.

    La idea importante en la definicin es que los intervalos usados estnen la vecindad del punto de inters a, pero dicho punto no est incluidoen el intervalo. De hecho, f (a), el valor de la funcin en el punto a,puede ser completamente diferente de lim f(x), como pronto veremos.

    x->a

    Pase a 102.

  • 68 Clculo Diferencial

    102Usted se preguntar porqu hemos hecho una discusin tan complicada

    de un problema aparentemente simple. Por qu molestarse con ellim x2 = 9 cuando es obvio que x2 = 9 para x = 3?"'-+3

    La razn es que a menudo el valor de una funcin para un valor par-ticular x = a no est definido, mientras que el lmite cuando x tiende a a

    sen ()est perfectamente definido. Por ejemplo, para ()= O la funcin --

    ()

    tiene el valor ~, que es una indeterminacin. Cuando lleguemos al prrafoO

    110,veremos que

    l. sen ()lffi--=l.() -+ o ()

    Consideremos otra ilustracin.

    (x)=x2-1x - 1

    Para x = 1,f( 1)= 1- 1= ~, no est definido. Sin embargo pode-1-1 O

    mos dividir entre x - 1 teniendo en menta que x no es igual a 1, obte-niendo

    (x) = x2

    - 1 = (x + 1) (x - 1) = x + 1.x-1 x-1

    Por lo tanto, aunque f(l) no est definida,

    lim (x) = 1im (x + 1) = 2.x-+l x-+l

    La demostracin rigurosa de los dos ltimos pasos est dada en elapndice A2, con las reglas para manejar los lmites. No es necesario leerel apndice en este momento, a menos que lo desee.

    Tambin se pueden obtener los resultados de arriba, estudiando la gr-fica de la funcin en la vecindad de x = 1 como se hizo en el prrafo 99.

    Pase a 103.

  • 103

    Lmites 69

    Para comprobar si lo entendi, encuentre los lmites de las siguientesfunciones, un poco ms complicadas, en forma anloga al prrafo ante-rior: (Posiblemente tenga que hacerlos en su cuaderno. En los dos debetrabajar con lgebra).

    (a) lim (l + x)2 - 1 = [I Ixl - 1 I 2Jx -+0 x

    (b) im 1 - (l + x)3 = [I Ixl 3 I - 3Jx -+0 x

    Si acert, pase a 105.Si no, pase a 104

    104Estas son las soluciones a los problemas del 103:

    (a) im _(_1_+_x_)_2_-_1= lim (_I_+_2_x_+_x_2_)_-_1x-+o x x-+o X

    =lim 2x+x2_lim (2+x)= lim 2+ lim x=2

    x-+o x x-+o x-+o x-+o

    lim 1 - (l + x) (l + x) (l + x)(b)1-(l+x)3

    lim-----x -+0 x x -+0 x

    1 - (1 + 3x + 3x 2 + X 3)= lim ----------

    x -+0 Xlim (- 3 + 3x + X 2)x -+0

    = im (-3)+ lim 3x+ im x2=-3x-+o x-+o x-+o

    Si necesita la demostracin de los pasos usados, vea el apndice A2.Pase a 105.

  • 70 Clculo Diferencial

    105Hasta aqu, hemos discutido los lmites de una manera informal e

    intuitiva, usando expresiones tales como, "confinado a un intervalo cadavez ms pequeo" y "acercndose ms y ms". Esas expresiones nos danel significado intuitivo de un lmite, pero no son trminos matemticosprecisos. Ya nos preparamos para la definicin precisa de lmite.

    Como es una costumbre muy generalizada, emplearemos en la definicin de lmite, las letras griegas 8 (delta) y E (psilon). Continuemos.

    Definicin de un lmite

    Sea f(x) definida para toda x en un intervalo en la vecindad dex = a, pero no necesariamente en x = a. Si hay un nmero L tal que acada nmero positivo E corresponda un nmero positivo 8 de tal modoque se cumpla

    I/(x) - L I < ( considerando que 0< Ix - al < O

    decimos que L es el el lmite de f(x) cuando x tiende a a, y se escribe

    lim /(x) = L.x -+a

    Pase a 106.

    Respuestas: (103) 2, - 3.

  • Lmites 71

    106

    La definicin formal de un lmite en el prrafo 105, sienta las basespara iniciar una discusin sobre la existencia del lmite y si este es L. Con-sidrese que afirmamos que lim f(x) = L, Y alguien no est de acuerdo.

    Z-.4

    Como primer paso, decimos que escoja un nmero positivo e, tan peque-o como se quiera, digamos 0.001 si se quiere ponemos en apuros1000-1000. Nuestro trabajo consiste en encontrar algn otro nmero, S, talque para toda x en el intervalo O < I x - a I < S, la diferencia entref(x) y L sea menor que E. Si podemos hacer esto, ya ganamos la discusin;el lmite existe y es L. Estos pasos estn ilustrados para una funcin enparticular, en las figuras de abajo.

    f(x)

    L -------- }2.

    xa

    (a)Fig.47

    f(x)

    L -------- }2.

    xa

    (b)

    Nuestro oponente nos ha retado aencontrar una S compatible con es-ta E.

    Esta es la S escogida. Por supues-to que para todos los valores dex en el intervalo mostrado, f(x)satisface: ,I f(x) -L I < E

    Posiblemente nuestro oponente pueda encontrar una e tal que nos-otros nunca podamos encontrar una S que llene los requisitos pedidos.En este caso, l gana y f(x) no tiene por lmite L. (En ei prrafo 114 vere-mos un ejemplo de una funcin que no tiene lmite.)

    Nuestra definicin formal del lmite, obviamente es ms precisa quela expresin del prrafo 101 que dice "si x est restriagido a intervaloscada vez ms pequeos en la vecindad de a, los valores de f(x) se acercanms y ms a L."

    Pase a 107.

  • 72 Clculo Diferencial

    107

    En los ejemplos estudiados hasta aqu, la funcin ha sido expresadapor una sola ecuacin. Sin embargo, esto no sucede siempre. Este ejem-plo nos muestra 10 anterior.

    f(x) = 1 para x*-2f(x) = 3 para x = 2

    (El smbolo *- significa diferente de.)

    ((x)

    ~f-"",;-,-,-,-,%-1 O 2 3 4 5 6

    Fig. 47 bis.

    Un diagrama muy sugestivo de esta funcin peculiar est en la figura.Usted debe ser capaz de comprender que lim f(x) = 1 mientras que

    " .2

    f(2) = 3.Si quiere una explicacin ms amplia de esto, pase a 108.

    Si no, pase a 109.

    108

    Para cualquier valor de x excepto para x = 2, el valor de f(x) = 1.Por tanto f(x) - 1 = Opara toda x, excepto x = 2. Como O es menor

    que cualquier nmero positivo E que usted pueda encontrar, se sigue de ladefinicin de lmite, que lim f(x) = 1, aunque f(2) = 3.

    " .2

    Pase a 109.

  • Lmites 73

    109

    Esta es otra funcin que tiene un lmite bien definido, pero que nopuede valorarse en el punto lmite: Consideremos f(x)=(l + x) 1/". Elvalor de f (x) en x = O es muy confuso. Sin embargo, es posible hallarel lim (1 + xP/".

    " ...0

    Veremos despus cmo se encuentra este lmite numricamente. Su valores 2.718 ..... Esta cantidad ser importante en nuestro estudio de loga-ritmos y se le da un smbolo especial, e. Como 71', e es irracional: es decir,es un nmero inconmensurable.

    El procedimiento para encontrar el valor de e est en apndice A6,que puede leer, si gusta.

    Pase a 110

  • sen 8-8-

    74 Clculo Diferencial

    110

    El procedimiento a seguir para encontrar el lmite, vara con cada pro-blema, En el apndice A2 estn varios teoremas para encontrar los lmitesde funciones sencillas, que debe leer si le interesa. El resultado visto an-teriormente,

    l. sen 8lm--= 1

    8-+0 8

    est demostrado en el apndice A3. (El lmite es 1 solamente si 8 estdado en radianes.)

    Fig.48

    Se puede ver el porqu de este resultado, graficando la funcin sen 88

    como se muestra en la figura. Podemos hacer esto fcilmente, con la ayudade tablas trigonomtricas excepto para 8 = O. De la fig. se observa que

    . sen 81Im--= 1.8-+0 8

    Pase a 111

  • Lmites 75

    111

    Hasta ahora, en nuestra discusin sobre lmites, hemos despreciado elvalor de f(x) en el punto de inters, a. De hecho, fea) no se necesita queest definida para que el lmite exista. Sin embargo, a veces fea) est defi-nida. Si esto sucede y si adems

    lim ((x) = ((a)x ->a

    se dice entonces que la funcin es continua en a. Resumiendo, llene losespacios en blanco de abajo:

    Una funcin f es continua en x = a si

    (1) fea) es _

    (2) lim f(x) = _fI:-+a

    Compruebe sus respuestas enel prrafo 112

  • 76 Clculo Diferencial

    112

    Estas son las respuestas correctas: Una funcin es continua en x = a si

    (1) fea) est definida.(2) lim f(x) = fea).

    "'-+a

    Cuando se traza la grfica de una funcin continua, el lpiz no se separadel papel en la regin de inters (punto lmite). Determine cules de lasfunciones siguientes son continuas en el punto indicado.

    (1) {(x)

    En x = 3, f(x) es [continua I discontinuaJ(2)

    {1,X2:0

    {(x)=O, x < O

    En x = 1, f(x) es [continua I discontinuaJ

    (3) {(x) = I x lEn x = O, f(x) es [continua I discontinuaJ

    ( 4) La funcin f (x) vista en el prrafo 107En x = 2, f(x) es [continua I discontinuaJ

    Si contest bien todas, pase a 114.Si cometi algn error quiere

    una explicacin, pase a 113.

  • 113

    Lmites 77

    (1)

    (2)

    Estas son las explicaciones a los problemas del prrafo 112.

    x2 + 3 12 .. '.En x = 3, f(x) = --- = -. Esto es una mdetermmaClon y9 - x2 O

    por lo tanto la funcin no es continua en x = 3.Aqu est la grfica de la funcin dada.

    {(x)

    2

    -3 -2 -1 o

    Fig.49

    x

    Esta funcin satisface las dos condiciones de continuidad en x = 1,siendo continua ahi. (Es discontinua en x = O.)

    x(3) esta es la grfica de f(x) = I x lEsta funcin es continua en x = O yaque satisface las condiciones requeri-das.

    Fig. 50

    (4) En la funcin del prrafo 107, f(x) tiene el valor de 3 en x = 2,mientras que lim f(x) = 1. Ya que el valor de la funcin y el

    x-+2

    lmite son diferentes en ese punto, se sigue que la funcin esdiscontinua ah.

    Pase a 114.

    Respuestas: (112) Discontinua, continua, continua, discontinua.

  • 78 Clculo Diferencial

    114

    Antes de terminar con los l-mites, quiz usted quiera ver unade esas funciones que en algnpunto no tienen lmite. Una detales funciones es la del proble-ma (2) del prrafo 113. Su gr-fica es la de la figura. Puede ver-se que la funcin no tiene lmiteen x = o, usando el procedi-miento para encontrar el lmite.

    ((;;e)

    2

    Fig. 51

    Como una ilustracin, supongamos que lim j(x) = 1. Nuestro opo-.&~o

    nente escoje un valor para , digamos 1/4. Si I x - O I < 8, donde 8es cualquier nmero positivo.

    I j(x) - 1 1{

    1

    1 1 - 1 I = O si x > O

    1 - 1 1 = 1 si .\' < O

    Por lo tanto, para toda.\' negativa en el intervalo, I j(x) - 1 I = 1,que es mayor que = 1/4. As, 1 no es el lmite. Usted debe comprenderque 110 hay un nmero L que satisfaga las condiciones, ya que j(x) cambia a 1 cuando x pasa de valores negativos a positivos.

    Pase (l 115.

  • coU

    Lmites 79

    115Aqu tenemos otro ejemplo de una funcin que no tiene lmite en un

    punto dado. En la grfica se observa que cot () no tiene un lmite cuando()~ o. En lugar de acercarse cada vez ms a algn nmero L, el valor dela funcin crece indefinidamente cuando ()~ o, en la direccin indicadapor A, y crece indefinidamente en sentido negativo, cuando ()~o en ladireccin indicada por B.

    3

    2

    -2\-3\

    Fig.52

    Con esto terminamos nuestro estudio sobre lmites de una funcin.Si quiere practicar ms con los lmites, vea los problemas de repaso enla pgina 286, del 21 al 28.

    Estamos listos para pasar a la seccin siguiente.Pase a 116.

  • 80

    Seccin 2.

    116

    VELOCIDAD

    Hemos estado trabajando en forma abstracta, as que antes de entraral clculo diferencial, hablaremos de algo prctico: movimiento, porejemplo. Est comprobado que Leibniz y Newton inventaron el clculodebido a que estaban interesados en problemas de movimiento, as queno estar mal empezar esto.

    Pase a 117.

    117

    Para empezar aqu tenemos este problema que ya debe ser capaz dehacer. En este problema, como en todos los dems de este captulo, elmovimiento ser rectilneo.

    Un tren se aleja de nosotros a una velocidad de v kph. (km. por hora).Para t = O, est a la distancia So del punto de partida, (El subndice enSo es para evitar confusin. So es una distancia en particular y es cons-tante; S es una variable.) Escriba la ecuacin de la distancia S a que seencuentra el tren de nosotros, en trminos del tiempo, t. (Tome comounidad de tiempo, una hora.)

    S = _Pase a 118 para verla respuesta conecta.

    118

    Si escribi S = So + vt, es correcta su respuesta. Pase al prrafo119.

    Si su respuesta no fue equivalente a la de arriba, debe tratar de enten-der que esa, es la respuesta correcta. Vea que en ella, S = So cuando t = Ocomo se pide. La ecuacin es la de una lnea recta y sera bueno repasarla seccin 3 del captulo 1 Cjue trata de funciones lineales, antes de seguiradelante. Cuando la haya ~ntendido, pase a 119.

  • Velocidad 81

    119

    Esta es la grfica de las posicio-nes a diferentes tiempos, de un trenque se mueve en lnea recta. Por su-puesto, esto representa una ecuacinlineal. Escriba la ecuacin de la po-sicin del tren (en kilmetros) entrminos del tiempo (en horas).

    s = _De la ecuacin anterior, encuentrela velocidad del tren.

    400

    8

    v = _

    120

    Fig. 53

    Pase a 120, para ver larespuesta correcta.

    121

    Estas son las respuestas a las preguntas del prrafo anterior.

    5= - 60t + 300v= -60 kpm.

    La velocidad es negativa, ya que S disminuye cuando aumenta eltiempo. Si quiere aclarar la idea" revise los prrafos 33 y 34.

    Pase 121.

    sEsta es otra grfica de posicin

    de un tren que viaja en lnea recta.

    La propiedad de la lnea que repre-senta la velocidad del tren es la_________ de la lnea.

    Fig.54

    Para ver la respuestacarrecta pase a 122.

  • 82 Clculo Diferencial

    122La propiedad de la lnea que representa la velocidad del tren, es

    la pendiente de la lnea.

    Si escribi lo anterior, pase a 123 directamente.

    Si escribi otra cosa, o lo dej en blanco, entonces ya olvid lo querepasamos en la seccin 3 del captulo I. Debe repasar otra vez esaseccin (especialmente prrafos 33 y 34) Y pensar este problema antesde seguir adelante. Al menos, entienda que la pendiente representarealmente la velocidad.

    Pase a 123

    123Estas son las grficas de po-

    sicin contra tiempo, de 6 obje-tos distintos que se mueven en lalnea recta. Cul grfica corres-ponde al objeto que:

    s

    tiene la mayor velocidad hacia delante?

    se mueve hacia atrs ms rpidamente?

    est en reposo?

    [a I b I cid I e I LJ

    [alblcldlelLJ

    [a I b I cid I e I LJ

    Si acert todas, pase a 125Si tuvo algn error, pase a 124.

  • Velocidad 83

    124

    La velocidad de un objeto est dada por la pendiente de la grficadistancia-tiempo. No confunda la pendiente de una lnea, con su colo-cacin.

    s

    1(a) Todas estas lneas tienen la mis-

    ma pendiente ..

    Fig. 56

    (b) Estas lneas tienen diferentependiente.

    La pendiente positiva indica que la distancia aumenta con el tiempoy corresponde a una velocidad positiva. Tambin, una pendiente negativasignifica que la distancia disminuye con el tiempo y' que la velocidad esnegativa. Si necesita revisar el concepto de pendiente, vea los prrafos25-27 antes de continuar.

    Usted ya puede contestar esto:

    Cul de las lneas de la figura de la derecha de arriba, tiene pen-diente negativa? [a I b 1 e I dJ

    la pendiente positiva ms grande?

    Respuestas: (123) d, b, e

    [a lb I el dJPase a 125.

  • 84 Clculo Diferencial

    125

    Hasta aqu, hemos considerado que las velocidades son constantesen el tiempo. Pero qu pasa si la velocidad cambia?

    eje t

    Fig. 57

    eje sEsta es la grfica de las po-siciones de un automvil queviaja con velocidad variable. Pa-ra describir este movimiento, in-troduciremos la velocidad mediav (lease "v con barra"), que esla razn de la distancia recorridaal tiempo empleado en recorrerIa. Por ejemplo, entre los tiempos tI y t2el automvil recorri la distancia 52 - 51>as (52 - 51) / (t2 - tI) fue su

    durante ese tiempo.

    Pase a 126

    126

    La respuesta correcta al prrafo anterior es

    (52 - 5 1)/(t2 - t1)fu su velocidad media durante ese tiempo.

    (La palabra "velocidad" sola, no es la respuesta correcta.)

    Pase a 127.

    127

    Definiendo la velocidad media, v, algebraicamente,

    S2 - SIv=----

    podemos interpretar v grfica-mente. Si trazamos una lnea rec-ta entre los puntos (t 11 51) Y(t2' 52), entonces la velocidadmedia es sencillamennte la pen-diente de esa lnea.

    ejes

    82

    ti t2

    Fig. 58

    eje t

    Pase a 128.

    Respuestas: (124) d, a

  • Velocidad 85

    128

    la mayor hacia adelante? D 12 I 3]

    Durante cul de los intervalos, fuela velocidad media

    ms cercana a O?

    la mayor hacia atrs?

    129

    D 1213]

    D [21 3]

    s2 3

    ~~I I II II II I

    1Fig. 59

    Si acert, pase a 130.Si no, pase a 129.

    Ya que se equivoc en el ltimo problema, lo analizaremos detalla-damente.

    En la figura se han trazado lneasrectas a travs de los puntos A, B, C. SLa lnea (1) tiene una pendiente muypequea y corresponde a una veloci-dad cercana a cero. La lnea (Il) tienependiente positiva y la lnea (IlI)tiene pendiente negativa, que corres-ponden a velocidades medias positivay negativa respectivamente. Fig. 60

    Pasea 130.

    130

    Ampliaremos el concepto de velocidad, en forma importante: en lu-gar de preguntar "Cul es la velocidad media entre los tiempos ti y t2?"preguntaremos: ,,'Cul es la velocilad en el tiempo ti?" La velocidad enun instante determinado se llama velocidad INST ANT ANEA. Esto esun trmino nuevo para usted, y daremos su definicin exacta, tan prontoveamos algo ms acerca de ello.

    Pase a 131.

  • 86 Clculo Diferencial

    131Podemos interpretar grficamente la velocidad instantnea. La velo-

    cidad media es la pendiente de una lnea recta que une los dos puntossobre la curva (t1, 51) y (t2, 52)' Para encontrar la velocidad instan-tnea, necesitamos que t2 est muy cercano de t1. A medida que hacemosque el punto B sobre la curva se acerque al punto A (considerando inter-valos de tiempo cada vez ms pequeos a partir de t 1), la pendiente dela lnea que une A y B, se aproxima a la pendiente de la lnea l. En estecaso, la lnea 1 tiene la misma pendiente que la curva en el punto A. Estalnea es una tangente a la curva

    Fig.61

    Pase a 132

    132Aqu, la idea de un lmite se vuelve importante. Si trazamos una lnea

    recta a travs de dos puntos A y B sobre la curva y acercamos cada vezms el punto B al punto A, la pendiente de la lnea se aproxima a unvalor nico, que puede identificarse como la pendiente de la curva enA. Lo que debemos hacer es considerar el lmite de la pendiente de lalnea que une A y B, cuando B --7 A.

    Pase a 133.

    Respuestas: (128) 1, 2, 3

  • Velocidad 87

    133Daremos un significado preciso a la idea intuitiva de la velocidad

    instantnea como la pendiente de una curva en un punto dado. Empeza-remos considerando la velocidad media.

    eje t11

    S1

    v = (52 - 51)/(12 - t1) = la pendiente de la lnea que une 1 y 2.eje s

    S2

    Fig.62

    Cuando t 2 ~ t lJ la velocidad media se aproxima a la velocidad ms-tantnea, v ~ v cuando t2 ~ tlJ o

    52-51V = lim ----

    12 ->/1 t2 - t1Pase a 134.

    134Dada la importancia de las ideas anteriores, haremos un resumen.Si un punto se mueve de 51 a 52 durante el tiempo t 1 a t2, entonces

    _______ ,v.

    Si consideramos el lmite de la velocidad media, cuando el tiempotiende a cero, esto se llama la _ , v.

    Trataremos ahora de presentar estas ideas en forma ms clara.Si puede, escriba la definicin rigurosa de v en el espacio en blanco.

    v=

    Pase al prrafo 135por la respuesta.

  • Fig.63

    -f---------- eje t

    88 Clculo Diferencial

    135

    Las respuestas correctas del prrafo 134 son las siguientes:

    Si un punto se mueve de S 1 a S 2 durante el tiempo tia t 2, entonces(S2-S1)/(t2-tl) es la velocidad media, iJ.

    1, 52-51v= 1m ---t2 -+t1 t2 - ti

    Si escribi lo anterior, muy bien! Pase a 136.

    Si escribi alguna otra cosa, regrese al prrafo 133 y repase hasta aquotra vez,

    Despus pase a 136,

    136

    Para hacer ms breve la nota- ejescin, pondremos /2 = ti +!lt YS2 = SI + !lS. Esto es, el punto semueve una distancia !lS en un tiem-po !l/. (!lS es un smbolo que selee "delta S"; no significa !l X S.)Aunque la notacin es nueva, vale lapena usada ya que nos ahorra mu-cha escritura. Como S2 = SI + !lS,entonces D.5 = 52 - S1> por defini-cin. En forma anloga !lt = t2- ti' En general, !lx = X2 - Xldonde X es cualquier variable yXl Y X2 son dos valores dados de x.Por tanto, SI y = f(x), !ly = Y2-- YI = f(X2) - f(XI) = f(XI + D.x)- f(Xl)

    Con esta notacin, nuestra definicin de velocidad instantnea es

    v=

    Pase a 137 pat'a vet' larespuesta correcta

  • Velocidad 89

    137

    Si escribi

    v6.5

    1im6.t->o 1ft'

    quiere decir que s le est entendiendo, pase a 138

    Si se equivoc, necesita repasar ms. Estudie los prrafos del 134al 136 y despus pase a 138.

    138

    Aqu aplicaremos la idea de velocidad instantnea, analizando unejemplo, paso a paso. Despus, encontraremos caminos ms cortos parahacer esto.

    Supongamos que la expresin siguiente nos da la posicin en fun-cin del tiempo.

    s = t (t) = kt2 (k es una constante)Estos son los pasos a seguir, para encontrar v:

    I(t + 6.t) = k [t + 6.t]2 = k [t2 + 2t6.t + (6.t)2]6.s = IU + 6.t) - IU) = k [t2 + 2t6.t + (6.t)2] - kt2

    = k [2t6.t + (6.t)2]

    M = k [2t6.t + (6.t)2] = 2kt + k6.t6.t 6.t

    v = 1im 6.s = 1im [2kt + k6.t] = 2kt.6.t->o 6.t 6.t->o

    En el siguiente prrafo, tenemos un problema ms fcil, para quelo resuelva.

    Pase a 139.

  • 90 Clculo Diferencial

    139Consideremos que nos dan S = f(t) = vot + So.El problema consiste en encontrar la velocidad instantnea, a partir

    de nuestra definicin.

    En el tiempo f::,.t el punto se mueve la distancia f::,.S.

    ~S = -------------~S

    v = liro - =~1~0 ~t

    Llene los espacios enblanco y pase a 140.

    140

    Si escribi

    ~S = vo~t

    y

    l. ~Sv = 1m --- vo,~1~0 ~t

    estuvo muy bien, pase a 142.

    Si se equivoc, estudie detalladamente la explicacin en 141.

    141

    Este es el procedimiento correcto. Ya que 5= f(/) = vot + So,

    ~S = t(t + ~/) - t(t)

    = Vo [t + ~t1 + So - [Vol + So]= Vo~1

    lim ~S =~1~0 ~t

    liro vo~t =~t~O ~t

    liro Vo = Vo~1~0

    En este caso, la velocidad media y la velocidad instantnea son Igua-les, ya que la velocidad es una constante, vo.

    Pase a 142.

  • Velocidad 91

    142Este problema es para que lo resuelva. Supongamos que la posicin

    de un objeto est dada por.

    s = f(t) = kt2 + lt + So,

    donde k, l YSo son constantes. Encuentre v.

    v = lim !'!S =!'!t-+o !'!t

    Para comprobar surespuesta pase a 143.

    143La respuesta es

    v = 2kt + l.

    Si as lo hizo, pase a la seccin siguiente, en el prrafo 146.

    Si no,

    Pase a 144.

  • 92 Clculo Diferencial

    144Esta es la solucin al problema del prrafo 142.

    f(t) = kt2 + [t + So

    f(t + I'1.t) = k[t + I'1.t]2 + l[t + 1'1.t1 + So

    = k [t2 + 2tl'1.t + (l'1.t)2] + [[t + I'1.t] + So

    I'1.S = f(t + I'1.t) -/(t) = k [2tl'1.t + (l'1.t)2] + [l'1.t

    v = lim I'1.S lim {k [2tl'1.t - (l'1.t)2] + [l'1.t 1I'1.t->o I'1.t I'1.t->o I'1.t

    = lim I k [2t - I'1.tl + [1 = 2kt + [1'1. t ->0

    Trate de hacer este problema:Si S =At3, donde A es una constante, encuentre v.

    Respuesta: _Para comprobar su

    respuesta pase a 145.

    145Esta es la respuesta: v = 3At2. Pase a 146, a menos que quiera ver

    como se hace el problema.

    S = At3

    I'1.S = A [t + I'1.t]3 - At3

    = A [t3 + 3t21'1.t + 3t(l'1.t)2 + (l'1.t)3] - At3

    = 3At21'1.t + 3At(l'1.t)2 + A (l'1.t) 3

    v= lim I'1.S =I'1.t->o I'1.t

    Pase a la siguienteseccin. Pt-rafo 146.

  • Derivadas 93

    Seccin 3. DERIVADAS

    146

    En esta seccin daremos una interpretacin ms general a los resul-tados obtenidos con la velocidad. Esto nos conducir a la idea de unaderivada, que es realmente la mdula del clculo diferencial.

    Pase a 147.

    147Llene los espacios en blanco.Cuando escribimos S= f(t), estamos diciendo que la pos1ClOn de-

    pende del tiempo. La posicin es la variable dependiente y el tiempo

    es la variable _

    La velocidad es la rapidez del cambio de pos1ClOn con respecto altiempo. Por lo tanto, decimos que la velocidad es (de la definicin formal) :

    v=

    Pase al prrafo 148 para verlas respuestas correctas.

    148

    l. /),,51m -

    /),,1->0 /)"tv=

    En el prrafo anterior, debi haber escrito:.... el tiempo es la variable independientey

    Pase a 149.

    149

    Consideramos cualquier funcin continua definida por, digamos y =f(x). En este caso, y es la variable dependiente y x es la variable indepen-diente. Si preguntamos "Cul es la rapidez de variacin de y cuando xcambia?", podemos responder a lo anterior, tomando el lmite siguiente:

    d d .. , d l /)"YrapI ez e vaflaClon e y con respecto a x = A 1m ~ux->O uX

    Pase a 150.

  • 94 Clculo Diferencial

    150

    geomtrica a lim Y , donde",....o x

    eje y

    ejexx+/ix

    //

    /1// I

    /" I// I

    IIIII

    Fig.64

    Usted puede darle una interpretaciny = f(x). Para hacerlo llene los espa-cios en blanco. Geomtricamente, lim

    ,,-+o

    ~ puede encontrarse trazando una l- y + liyxnea recta a travs de los puntos (x, y) y(__ , __ ) como se indica en lafigura. La pendiente de esa recta, est

    dada por Y y lim Y es la deX t..,-+o x

    _______ la curva en (x, y).Pase a 151

    151Las inserciones correctas del prrafo 15O son:

    (x + D.x, y + D.y),y

    lim - es la pendiente de la curva en (x, y).,,-+o X

    (Si quiere ver la razn de ello, repase el prrafo 131 antes de seguiradelante. )

    Pase a 152

    152

    Otra forma de escribir y esX

    Y2 - Y f(X2) - f(x)---, oc------ .X2-X X2-X

    Si no reconoce la notacin empleada aqu, repase el prrafo 136.

    Pase a 153

  • Derivadas 95

    153Repasemos una vez ms.Si queremos saber cmo vara y cuando x cambia, lo encontraremos

    tomando el lmite siguiente:

    Llene el espacio en blanco

    y pase a 154.

    154La respuesta correcta del prrafo 153 es:

    lim !:iy, lim y 2 - Y I!:ix..o!:ix X2 "'XI X2 - XI

    Si acert, pase a 155.Si se equivoc, regrese a 149.

    155t:.y

    Debido a que lim es muy til, le daremos nombre y smbolot:.,,...o t:.x

    especial.

    lim t:.y se llama la derivada" de y con respecto a x, y se escribe cont:." ..o t:.x

    dyel smbolo especial

    dx

    dy

    dxlim !:iy

    !:ix ..o !:ix

    De nuevo: dy es la de _dx

    con respecto a ---oPase a 156 para ver la

    respuesta correcta.

  • 96 Clculo Diferencial

    156

    El enunciado correcto es:

    dy es la derivada de y con respecto a x.dx

    Aunque dy, parece una fraccin, est definido aqu como un smbolodx

    completo que representa lim ~. El smbolo se lee como "de y de x"tL.o flx

    o "de y en de x". Algunas veces, dy se escribe como y', pero nosotrosdx

    dysiempre usaremos

    dx

    Podemos aplicar esta definicin a la velocidad discutida anteriormente.Ya que la velocidad es la rapidez de cambio de posicin con respecto altiempo, la velocidad es la derivada de la posicin con respecto al tiempo.

    Pase a 157.

    157Pongamos la definicin de derivada, usando diferentes variables.

    Supongamos que z es una variable independiente y que q depende de z.Entonces, la derivada de q con respecto a z es

    dqdz

    (D la definicin formal)

    Pase a 158 para ver larespuesta correcta.

    158

    Su respuesta debi ser

    dq =dz

    1" /1q1m -/1% ...0 /1z

    Si acert, pase a 159Si no, regrese a 155 y

    trate de nuevo.

  • Derivadas 97

    159

    Por conveniencia de notacin, algunas veces dy se escribe !!...- (y).dx dx

    En este ejemplo, vemos algunas de las diferentes formas de escribirdy .-. SI Y = xli + 3,dx

    dy = d(x3 + 3) =.:!.... (x3 + 3).dx dx dx

    Anlogamente

    d(()2 seo () _.:!.... (()2 seo ().d() d()

    ((J es sencillamente otra variable. Un ngulo es tan buena variable,como la distancia).

    Pase a la Seccin 4,prrafo 160.

  • 98 Clculo Diferencial

    Seccin 4.

    160

    GRAFICAS DE FUNCIONES Y DE SUS DERIVADAS.

    Hemos aprendido la definicin formal de una derivada. Grficamente,la derivada de una funcin f (x) para un cierto valor de x es equivalente ala pendiente de una lnea recta tangente a la grfica de la funcin en esepunto. Nuestro principal objetivo en lo que resta del captulo, es encontrarlos mtodos para obtener las derivadas de las diferentes funciones. Paraello, es muy til tener una idea intuitiva del comportamiento de las deri-vadas; esta idea la podemos obtener observando la grfica de la funcin.Si la grfica tiene pendiente positiva pronunciada, la derivada es positivay numricamente grande. Si tiene ligera pendiente negativa, la derivadaes negativa y numricamente pequea. En esta seccin, pondremos enprctica estas ideas cualitativas y en las secciones siguientes aprenderemoscomo se obtienen las derivadas en forma precisa.

    Pase a 161.

    161

    Esta es la grfica de lafuncin sencilla y = x. Aba-

    dyjo, hemos trazado - .

    dxYa que la pendiente de y

    .. dyes constante y pOSItiva, - es

    dxuna constante positiva. (Dehecho, como ya sabemos,d- (x) = 1.)dx

    y

    3

    2

    ++;r~-t+-22 3

    %

    2

    1

    -3 -2 -1 O t f ~+H-1 I I I%

    Fig. 65

    Pase a 162 y resuelva un problema un poco ms difcil.

  • 162

    Grficas de Funciones y de sus Derivadas 99

    Esta es la grfica de y = Ixl. (Si ya se le olvid la definicin dexl, vea el prrafo 20.) En el sistema de coordenadas de abajo, trace dy.

    dx

    y

    2

    1

    -3 -2 -1 O 1 2 3W-l-2

    x

    x

    Fig.66

    Pase a 163 para verla respuesta correcta.

  • 100 Clculo Diferencial

    163

    Aqu estn las grficas de y = Ixl yd~. Si las traz correctamente,dx

    pase a 164. Si se equivoc o quiere una explicacin ms amplia, sIga eneste prrafo.

    y

    3

    ~-~-++-+-22 3 x

    2

    -3 -2 -1 O-++-+-1-++-+-22 3 x

    Fig.67

    Como puede verse de la grfica, y = Ixl = x para x > O. As, parady

    x > el problema es el mismo que el del prrafo 161, y - = 1. Sindx

    embargo, para x < O, la pendiente de Ixl es negativa y numricamenteigual a - 1. En x = 0, Ixl = x = y la pendiente es indefinida,ya que si nos acercamos a cero por el lado positivo del eje x tiene el valorde + 1 Y si nos acercamos a cero por el lado negativo de dicho eje, suvalor es - l.

    Por lo tanto, ~ Ixl es discontinua en x = O. (La funcin x es conti-dx

    nua en este punto, pero el "Salto" en su pendiente en x = 0, provoca unadiscontinuidad en la derivada.)

    Pase a 164.

  • 164

    Grficas de Funciones y de sus Derivadas 101

    Esta es la grfica de una funcin y = f(x). Trace la grfica de suderivada en el sistema coordenado de abajo. (La grfica no necesita ser

    muy exacta, slo indicar la forma general de dy.)

    dxy

    2

    1

    -3 -2 -1 O 1 2 3

    -1

    -2

    x

    Pase al prrafo 165, paraver la respuesta correcta.

  • 102 Clculo Diferencial

    165

    A ' , 1 f ., d . d S' '1 'fi d dyqm estan a unclOn y su enva a. 1 trazo a gra ca e - pare-dx

    parecida a esta, pase a 166. Si no, siga en este prrafo.y

    2 3

    2

    ,/ \. 1/ \'

    ~ .",....-

    -3 -2 -1 0\ 1 .-.2~__ 3

    1 \ /\ ./

    -2

    x

    x

    Fig.69

    Para ver por qu se traz as la grfica, encontremos dy/dx para algu-nos valores de x. En el punto e, la grfica tiene pendiente o, por tantody/dx es O. En B, y crece rpidamente y dy/dx es positiva. En D, y decrecerpidamente y dy/dx es negativa. En A y E, la pendiente es pequea ydy/dx se acerca a O. Estos valores de dy/dx son suficientes para sugerirel comportamiento general.

    Pase a 166.

  • 166

    Grficas de Funciones y de sus Derivadas 103

    Observemos grficamente el comportamiento de ~ para otra funcin.dx

    Aqu la grfica de x y y es un semicrculo. En los ejes coordenados de

    abajo, trace la grfica aproximada de ~ para el intervalo que se muestra.dx

    y

    -1 ox

    1

    -1 O 1

    -1

    Fig. 70

    x

    Pase a 167 para verla respuesta correcta.

  • 104 Clculo Diferencial

    167

    Estas son las grficas de y y

    dy S" l' .,-- . I qUiere una exp lCaClondxms detallada, siga leyendo. Sino, pase a 168.

    El comportamiento de la pen-diente en los valores extremosde x no es sencillo, as que co-menzaremos en x = O. Si traza-mos una lnea tangente a la cur-va en x = O, sta ser paralelaal eje de las equis, as que lacurva tiene pendiente O, Por tan-

    dyto, -- = O en x = O. Para

    dxx > O, una lnea tangente a lacurva, tiene pendiente negativa ydy-- < O. Cuando x se aproximadxa 1 la tangente se hace cada vez

    , . d dy 1mas pronuncia a, y -- se vue -dx

    ve, cada vez, ms negativa. De he-dy

    cho, cuando x~ 1, -- ~ - 00 dx

    De la discusin anterior, es

    f' '1 dyaCl encontrar -- para x < o.dx

    -1

    y

    o

    Fig.71

    x

    Pase a 168.

  • Grficas de Funciones y de sus Derivadas 105

    168Si ya entendi todos los ejemplos de esta seccin, pase a la siguiente.

    Si quiere practicar un poco ms, trate de hacer las grficas de las derivadasde las funciones que se indican. Las respuestas correctas estn en el p-rrafo 169 sin ninguna explicacin.

    y

    1

    -2 -1 o 1 2I -1 I II I I

    I

    (o)

    y

    1 .....//

    -2 -1 o , 2N. .Y -1 II I I

    I I I

    1

    -2 -1 o 1 2I -1 I I

    I II I

    (e)

    y

    1,....

    -2 -1 O 1 2I -1 I I..L """ I II

    2

    1

    -2 -1 O 1 2I I -1 I II I II I I I

    (b)

    y

    1

    -2 -1 O 1 2I -1 I II

    I I I I

    (d)

    Fig. 72

    Para ver las respuestas correctas pase a 169.

  • 106 Clculo Diferencial

    169

    Estas son las soluciones a los problemas del prrafo 168.y y

    1 ".i/

    -f -1 O 1 2I 1..1 MI I I I

    1

    2 o 1 2~ ~ 11 1 I II I

    1/ ....V 1 I'\.

    / l'-". 1"--_-2 1 O 1 2-1

    I

    (a)y

    (b)

    y

    1i""'-/

    Il'" "-2 . -1 O 1 2N. .A' -1 I I

    I I I II I I

    '-'-- 2, 1/1\ 1 I1/

    1"\ /-2 -1 .O .1 2

    i -1 II I

    I

    ,,; 1~ 1"./ ....

    -" -1 O 1 "., I -1 ~II

    (e) F1g. 73 (d)

    Se puede convencer, que las curvas de dy tienen la forma general quedx

    se les di, comparando ~ con la pendiente de una tangente a la grfica dedx

    y = f(x) para cualquier valor particular de x.Pase a la sigttiente

    seccin, prrafo 170.

  • Seccin 5

    170

    DIFERENCIACION

    Diferenciacin 107

    Hasta aqu, hemos avanzado bastante en este captulo. De hecho, sehan visto todas las ideas realmente importantes en el clculo diferencial-lmites, pendientes de curvas y derivadas- y cuenta, en principio, conlos elementos suficientes para resolver una gran variedad de problemas.Sin embargo, el procedimiento para aplicar la definicin fundamental dederivada a cada problema, tal como la hemos visto, resultara muy tardado.Adems, tambin se perdera mucho tiempo ya que hay muchas reglasy artificios para diferenciar funciones aparentemente complicadas en unoscuantos pasos. Usted aprender en las secciones siguientes las reglasms importantes y tambin a diferenciar algunas funciones. que son tancomunes, que conviene saber sus cler1vadas de memoria. Entre ellas estnalgunas funciones trigonomtricas, logartmicas y exponenciales. Las si-guientes secciones incluyen temas especiales as como tambin la aplicacindel clculo diferencial a ciertos problemas. Al terminar este captulo,sabr aplicar el clculo diferencial para resolver diversos tipos de proble-mas. iBien, sigamos adelante!

    Pase a 171.

  • 108 Clculo Diferencial

    171

    Puede encontrar la derivada de la siguiente funcin?y = a (a es una constante)

    !!!.....= [1 Ixl a I O I ninguna de stas1dx

    Si acert, pase a 173.Si no, pase a 172.

    172

    Para encontrar!!!..... recordemos la definicin dy =dx dx

    Si Y = a,

    l1y = f(x + I1x) - f(x) = a - a = O.I1x I1x I1x

    lim l1yI1x ...o I1x

    (Recuerde que el significado de f( x + ~x) es el valor de f enx + ~x.)

    lim l1y = lim O = O.I1x ...o I1x I1x ...0

    Y dy 1 'fi d " d . d'a que - = O, a gra ca e y, en termmos e x, tiene pen rente cero.dx

    (El ejemplo 4 del prrafo 32 muestra esto grficamente.)Pase a 173

  • Diferenciacin 109

    173Usted acaba de ver que la derivada de una constante es cero. Trate

    ahora de hallar la derivada de esta funcin:

    y = ax, (a es una constante)dy- = [1 Ixl a I O I ax I ninguna de estas)dx

    Si acert, pase a 175.Si no, pase a 174.

    174Este es el procedimiento correcto:

    f(x) = ax,

    f (x + ax) = a[x + ax) = ax + aaxsi ay = f(x + ax) - f(x) = [ax + aax) - ax = aax.

    ay aaxl l'entonces 1m - = 1m - = a,

    ax -+0 ax ax -+0 ax

    Encuentre la derivada de la funcin y = x.

    !!.-.- = [1 I O I a I '- 1 I x)dx

    Si acert, pase a 175.Si no, fjese que este problemaes exactamente tm caso espe-cial del problema del prrafo173. Trate de nuevo y despuspase a 175.

    Respuesta: (171) O

  • 110 Clculo Diferencial

    175Vamos ahora a encontrar la derivada de una funcin cuadrtica. Con-

    sideremosy = f(x) = X2

    dyCul es el valor de -- ?

    dx

    Ya debe saber como se resuelve, a partir de la definicin de derivada.Escoja la respuesta correcta;

    dy- = [1 Ixl O I x2 I 2xJdx

    Si acert, pase a 177Si no} pase a 176.

    176

    Recordemos la definicin de derivada

    dy = lim I(x + ~x) - f(x).dx ~x ...o ~x

    en este caso, f(x + ~x) = [x + ~xF = x2 + 2x~x + (~x)2f(x + ~x) .- f(x) [x2 + 2x~x + (~x)2] - x2

    As, lim -------- lim ----------~x ...o ~x ~x ...o ~x

    lim~x ...o

    dyentonces - = 2x.

    dx

    Respuestas: (173) a; (174) 1

    lim (2x + ~x) = 2x,~x ...o

    Pase a 177.

  • y2Js

    Diferenciacin 111

    177

    dHemos encontrado que b (x2) = 2x. Como ilustracin se ha tra-

    zado una grfica de y = x2 en la figura. Ya que la pendiente de la curvaen un punto es simplemente la derivada en ese punto, cada una de lasrectas tangentes a la curva tiene una pendiente igual al valor de la drivadaen el punto de tangencia.

    Fig. 74

    La lnea (a) es la tangente a la curva en el origen y tiene una pen-diente de 2 X (O) = O. La lnea (b) pasa por el punto x = 1/2 Y tienede pendiente 2 X (1/2) = 1. La lnea (e) pasa por un punto x = - 1Y su pendiente es 2 X (-1) = - 2.

    Pase a 178.

    178

    En este problema se consideran los resultados obtenidos hasta aquen esta seccin (con una cosa nueva para usted).

    Si Y = 3x'2 + 7x + 2dy

    Encuentre -dx

    dyRespuesta:

    dx

    Para ver la respuesta correctapase al prrafo 179.

  • 112 Clculo Diferencial

    179

    dySi Y = 3x2 + 7x + 2, entonces - = 6x + 7.

    dx

    Si escribi lo anterior, muy bien. Pase a 180. Si no, siga leyendo esteprrafo.

    Despus de que haya terminado este captulo, sabr algunos mtodoscortos para encontrar esta derivada. Sin embargo, aqu usaremos la defi-

    .. , b" dynIClOn aSiCa: -

    dxlim~x_ f(x + ~x) - f(x)~x

    Ya que f(x) = 3x2 + 7x + 2, tenemosI(x + ~x) = 3 [x2 + 2x~x + (~x)2) + 7 [x + ~x) + 2

    I(x + ~x) - f(x) = 6x~x + 3~x2 + 7~x

    dy _-por tantodx

    lim [6x~x + 3~x2 + 7~x ) = lim [6x + 3~x + 7)~x ...o ~x ~x ...o

    = 6x + 7.

    Pase a 180.

    180Hemos encontrado la derivada de x y x2, nuestro proxlmo paso es

    encontrar la derivada de xn, donde n es cualquier nmero. Daremos la re-gIa aqu, pero si quiere saber la demostracin puede ver el apndice A4.

    La regla es

    dxn n-l-- = nxdx

    Este importante resultado es vlido para todos los valores de 11: positi-vo, negativo, entero, fraccicaario, irracional, etc. Fjese que el resultado

    danterior, ----; (i2) = 2x, es un caso particular en el cual n = 2.

    Pase a 181.

  • 181

    Diferenciacin 113

    Aqu tenemos algunas aplicaciones.

    dyEncuentre - para cada una de las funciones siguientes.

    dx

    y = x3 dy = Ox31 3x2 I 2x3 I x2Jdx

    y = x-7 dy = [~7x-6! 7x-7 I -7x-8 1-6x-7Jdx

    1 dy= [-2x 12/x 1-2/x3Jy=- dxx2

    Si contest todo bien, pase a183.Si tuvo algn error, pase a 182y fjese como se hacen los pro-blemas.

  • 114 Clculo Diferencial

    182

    Estos problemas no tienen ninguna dificultad. Se resuelven aplicandodirectamente la regla del prrafo 180. Aqu tenemos la solucin detallada.

    dEmplearemos la regla general: - x" = nx" - 1.

    dxy = x3; en este caso n = 3, as que

    d(x3)-- = 3x( 3 - 1) = 3x2

    dx

    y = x - 7; aqu n = - 7, Y por tantod(x-7)---= _7X(-7-1) =-7x-8

    dx

    y = l/x'2 =x-2; aqu n =- 2, por tanto

    d(l/x'2)---= _ 2X(-2-1) =_ 2x-3 =_ 2/x3

    dx

    Resuelva estos problemas:

    1Y =-,

    x

    -1y= -

    3-3X ,

    dy

    dx

    dy

    dx

    1 1 1[l + - I - - I - - I 2Jx X x2

    [x-4 I -3x-4 I -1 x-2 I + x-2J.4

    Si acert, pase a 183.Si no, regrese a 180 )' repase

    hasta aqu.

    Respuestas: (181), 3x2, _7x-8, _2/x3

  • Diferenciacin 115

    183

    Aqu tenemos otra aplicacin.

    y, dySi Y = x encuentredx

    La respuesta es: [x- y, 12.. x- y, 12.. x I ninguna de stas]2 - 2

    Si acert, pase a la seccin 6,

    prrafo 185.Si no, pase a 184.

    184dxn

    La regla - = nxn -1 es vlida para cualquier valor de n.dx

    1En este caso, n =2" '

    Resuelva este problema:

    ~(x2/3)= [x-1/3 ~x-2/31~x-l/3Ix5/3J.dx 3 3

    Pase a la seccin 6,prrafo 185.

    Respuestas: (182) - l/Xl, .r4

  • 116 Clculo Diferencial

    Seccin 6 REGLASDE DIFERENCIACION

    185En esta seccin aprenderemos varias reglas para la diferenciacin, sin

    tener que aplicar la definicin de derivada cada vez. Algunas de estasreglas se demuestran aqu y otras estn demostradas en el apndice A.

    En esta seccin, u(x) y v(x) sern dos variables que dependen de x.

    Pase a 186.

    186Como primera regla; encontraremos la derivada de la suma de u y v,

    en trminos de sus derivadas. La demostracin se har aqu.

    Sea y = u (x) + v (x)

    Entonces dy = lim [u (x + ~x) + v (x + ~x) - u (x) _ v (x)] 1dx ~x ...o ~x

    lim [u (x + ~x) - u (x)] ~+~x ...o ~x

    lim [v(x + ~x) - v(x)] ~~x ...o ~x

    du dv=-+-.

    dx dx

    Por tantod du dv-[u+v] =-+-.dx dx dx

    Si quiere una demostracin ngurosa del empleo de los lmites, veael apndice A2.

    Pase a 187.

    1 2Respuestas: (183) "2X-l/2; (184) "3 X-l/3

  • Reglas de Diferenciacin 117

    187

    Apliquemos la regla deducida en el prrafo anterior, para encontrarla derivada de la funcin siguiente (tambin deber usar algunos de losresultados obtenidos en la seccin 5):

    dy

    dx

    Pase a 188 para ver larespuesta correcta.

    188

    La respuesta correcta al problema del prrafo anterior esd_ [x4 + Bx3] = 4x3 + 24x2dx

    Si respondi lo anterior, pase a 189.

    Si no, siga leyendo y localice su error.

    Nuestro problema es hallar la derivada de la suma de dos funciones.Para emplear la notacin del prrafo 186, junto con la regla dada ah,consideremos que u =.0, v = 8x3.

    d d d dEntonces - [u + v] = _ [x4 + Bx3] = _ [x4] + _[Bx3).dx dx dx dx

    Esto ya lo puede hacer usted, aplicando lo que se vio en la seccinanterior:

    d [ 4] 3- x = 4x dx

    Pase a 189.

  • 118 Clculo Diferencial

    189

    Ya que sabemos como se obtiene la derivada de una suma, nos tocaaprender ahora como se halla la derivada de un producto, por ejemplo

    d du dvu(x) v(x). Debemos poner - (uv) en trminos de - y -.

    dx dx dx

    La regla la daremos aqu. Vea el apndice A6 si quiere saber la demos-tracin. A veces, se le llama la regla del producto:

    d dv du-[uv] = U -+ v-dx dx dx

    Pase a 190.

    190

    En este ejemplo aplicamos la regla del producto. Supongamosdy

    y = (x5 + 7) (x3 + 17x). El problema es encontrar -;;;. Si hacemostt = x5 + 7, v = x3 + 17x, entonces y = uv.

    dy d dv du- = - [uv] = u - + v -.dx dx dx dx

    du 4Ya que -= 5x

    dxy dv = 3x2 + 17, el resultado es

    dx

    dy = [xs + 7] [3x2 + 17] + [x3 + 17x] [5x4].dx

    Empleando la regla del producto, encontramos otra forma de obtenerel resultado que ya habamos obtenido anteriormente:

    d- (x2) = 2x. Si hacemos u = x y v = x, entonces la regla nos dicedx

    d dx dxque - x2 = X - + x - = 2x.

    dx dx dxPase a 191.

  • Reglas de Diferenciacin 119

    191

    Usando la regla del producto, encuentre la derivada de

    d- [(3x + 7) (4x2 + 6x)].dx

    Respuesta:

    Pase a 192 para verla solucin.

    192

    La respuesta al problema anterior es:

    (3x + 7) (8x + 6) + (4x2 + 6x) (3).

    Si eso fue lo que obtuvo, pase a 194. Si no, siga leyendo aqu.

    El problema es diferenciar el producto de (3x + 7) Y (4x2 + 6x).Sea u = 3x + 7 Y v = (4x2 + 6x). Entonces, se ve fcilmente que

    du dv-= 3, -8x + 6. Por tantodx dx

    ..:.!.... [uv] = u dv + v du = (3x + 7) (8x + 6) + (4x2 + 6x) (3).dx dx dx

    Resuelva este problema.

    dCul es el valor de - [(2x + 3) (x5)]?

    dx

    Respuesta:

    Pase a 193 para ver larespuesta correcta.

    193

    El mtodo usado para obtener el resultado es el que se vio en el prra-to 192. Se puede usar la regla del prrafo 180 para diferenciar xn y en

    dcontrar - x5 = 5x4

    dxPase a 194.

  • 120 Clculo Diferencial

    194En este prrafo vamos a aprender la regla para encontrar la derivada

    de una "funcin de funcin". Supongamos que w es una variable quedepende de It y que 1t depende de x. Entonces w tambin depende de x yla regla siguiente, que se demuestra en el apndice A7, es muy til.

    dw dw du- ----dx du dx

    Esta regla se llama la regla de la cadena, ya que junta. las derivadasde las variables relacionadas. Es una de las reglas que se usan con msfrecuencia en el clculo diferencial.

    Aqu tenemos un ejemplo. Supongamos que queremos hallar la deri-vada de w = (x + x2) 2. Esta es una funcin algo complicada. Se vuelve

    dwms simple si hacemos It = X + x2, quedando w = u2 Y- = 2u. En-

    du

    tonces dw = dw du = 2u dudx du dx dx

    duSi ahora substituimos el valor de It = X +x2, y - = 1 + 2x, se

    dx

    dwobtiene - = 2(x + x2) (1 + 2x)

    dx

    (Se puede comprobar que la regla de la cadena da el resultado correc-to, elevando al cuadrado el segundo trmino como se indica en la expre-

    dwsin para - y luego diferenciando. Encontrar que el resultado es

    . dxequivalente al encontrado arriba). En el prrafo siguiente, veremos unosproblemas que no se pueden escribir en forma sencilla y donde el usode la regla de la cadena es esencial.

    Pase a 195.

  • 195

    Reglas de Diferenciacin 121

    Estos ejemplos se resuelven empleando la regla de la cadena.

    d(1) Encuentre - y'T+t2

    dt

    Hagamos w = yT+'t'2, y ft = 1 + t2, de modo que w = \f1Z

    dw dw du 1Entonces - = - - = -- (2t)

    dt du dt 2.u

    1 12..,rr+Ti 2t = t..,rr+Ti

    En este ejemplo, hemos usado t como variable, ya que no importa quenombre les demos a las variables.

    Este problema se simplifica si hacemos p

    Con esto, la regla de la cadena queda

    3 1 -3q+-yv=p.q

    dv = dv dp = _3p-4 dp = _3p-4 [3q2 _ -.;.]dq dp dq dq q

    [3 1]- 4 [2 1 ]= -3 q + q 3q - ~ .

    El siguiente ejemplo no est explicado, pues ya debe usted poderhacerlo por inspeccin.

    Pase a 196.

  • 122 Clculo Diferencial

    196

    Resuelva el problema que sigue:

    Cul de las expresiones siguientes da correctamented

    - (2x + 7x2)-2?dx

    (a) -2 (2 + 14x)-3

    (b) -2(2 + 14x)-2(2x+7x2)

    (e) (2x + 7x2)- 3 (2 + 14x)

    (d) -2 (2x + 7x2)-3 (2 + 14x)

    La respuesta correcta es

    Si acert, pase a 199Si no, pase a 197.

    197

    Esta es la solucin al problemadu

    Por tanto - = (2 + 14x).dx

    Entonces

    del prrafo 196. Sea w = rr2, yti = (2x + 7x2).

    dw dw du d ( _ 2) du-=--=- u -dx du dx du dx

    = -2u-3 du = -2 (2x + 7x2)-3 (2 + 14x).dx

    Resuelva este problema:dw .

    Encuentre -, SI W = 12q4 + 7q, Y q = S2 + 4.ds

    dw

    ds

    Pase a 198 para ver larespuesta correcta.

  • Reglas de Diferenciacin 123

    198

    El problema del prrafo 197 se puede resolver usando la regla dela cadena:

    dw = dw dq Hemos dicho que w = 12q4 + 7q and q = 52 + 4, as qued5 dq d5dw 3 dq- =48q + 7, and -= 25.dq d5

    Substituyendo, tenemos

    dw = [48q3 + 7] [25] = [48(52 + 4)3 + 7] [25].d5

    Si este fue el resultado que obtuvo, pase a 199. Si se equivoc, deberepasar los ltimos prrafos y asegurarse de que entienda las aplicacionesde la regla de la cadena. No se confunda por el nombre de las variables.Despus, pase a 199.

    199

    La siguiente regla til de diferenciacin, la podr obtener aplicandola regla de la cadena.

    d 1 dvEl problema es encontrar - (-) en trminos de v y -, donde v

    dx v dxd 1

    depende de x. Cul de las respuestas de abajo, d correctamente - (- ) ?dx v

    [_ ~ dv 11/ dv

    v2 dx dx

    Respuesta: (196) d

    I dx I dv l d']- - - nmguna e estasdv dxSi acert, pase a 201

    Si no, pase a 200.

  • 124 Clculo Diferencial

    200

    Para encontrar.!!:-. [!-] aplicamos la regla de la cadena en la forma siguiente.dx v

    1Supongamos que w = - = v - 1V

    dw dw dv dw d _ 1 1- = - - ,pero - = -- v - - - asdx dv dx dv dv - V 2 '

    Pase a 201.

    201

    Ahora, combinando el resultado obtenido en el ltimo prrafo y loque hemos aprendido antes, encuentre una expresin para la derivada delcociente de dos funciones. Esta es una relacin sumamente importante.Trate de obtenerla solo.

    E d [u] ,. d du dvncuentre - - en termInOS e u, v, -, -.dx v dx dx

    Para comprobar surespuesta, pase a 202.

    1 dvRespuesta. (199)- - -

    v2 dx

  • Reglas de Diferenciacin 125

    202Debe haber obtenido la regla siguiente (posiblemente expresada en

    otra forma)

    Si escribi lo anterior o un enunciado equivalente, pase a 203. Si no,estudie la deduccin de abajo.

    1Si ponemos p =- 1 entonces la derivada es la del producto de dos

    vvariables.

    d [u] d dp du- - = - [upl = u - + p-.dx v dx dx dx

    Si dp = dp dv = _ -.!.. dv , como en el prrafo 200, entoncesdx dv dx v2 dx

    203

    d [u] u dv 1 du- - - -- -+---dx v - V 2 dx v dx -

    du dvv--u-dx dx

    v2

    Pase a 203.

    Resuelva el problema que sigue:

    ~[~)=dx x2

    Pase a 204 para verla respuesta correcta.

  • 126 Clculo Diferencial

    204

    La solucin del problema del prrafo 203, es

    ~[1+x]=_2_~.dx x2 x3 x2

    Si acert pase a 206.Si, no, pase a 205 y observedetenidamente cmo se hace.

    2052 du dvHagamos u = 1 + x, v = x . : Entonces - = 1, - = 2x

    dx dx

    ~ (!!.J = x2 - (l + x) (2x) = ~ _ 2 (l + x)dx V x4 x2 x3

    Pase a 206.

  • Reglas de Diferenciacin 127

    206

    Antes de continuar, hagamos un resumen de las reglas que hemosvisto hasta este momento. Llene los espacios en blanco. a y n son constantesu y v son variables que dependen de x, w depende de u que a su vezdepende de x.

    d-adx

    d-ax=dx

    d 2-x =dx

    d n-x =dx

    d- [uv]dx

    d-w(u)dx

    Pase a 207.

  • 128 Clculo Diferencial

    207Estas son las respuestas correctas, que debe haber obtenido sin difi-

    cultad. El prrafo en el que se encuentra cada regla, se indica en el pa-rntesis.

    d-a= Odx

    d- ax = adx

    d 2-x = 2xdx

    d du dv-[u +v] = - +-dx dx dx

    d dv du-[uv] = u -+ v-dx dx dx

    d dw du-w(u)= --dx du dx

    (172)

    (174)

    (176)

    (180)

    (186)

    (189)

    (202)

    (194)

    Si quiere practicar un poco ms con problemas parecidos a los delas secciones 5 y 6, vea los problemas de repaso, del 34 al 38.

    Pase a la seccinsiguiente, prrafo 208.

  • Seccin 7.

    208

    Diferenciacin de Funciones Trigonomtricas 129

    DIFERENCIACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

    Las funciones trigonomtricas tienen tanta aplicacin, que es muy utild

    saber sus derivadas. Por ejemplo, si quisiramos saber cul es - sen O.dO

    Por definicin,

    d-senO =dO

    sen (O + AO) - sen OAO

    No es muy sencillo saber el valor de esta expresin, as que tomemosotro camino para ello y tratemos de encontrar el resultado g~omtricamenteobservando la grfica de sen O.

    Esta es la grfica de sen O contra (). () es el ngulo medido en radia-nes, como referencia, se han puesto los valores de algunos ngulos engrados.

    sen O

    a1 sen O1

    o

    -1

    Fig. 75

    9 (rad)

    7 9 (rad)

    dTrace un esquema de - sen () en el sistema de coordenadas indi-

    dOcado y pase a 209 para ver el trazo correcto.

  • 130 Clculo Diferencial

    209

    dEstas son las grficas de sen O y disen O. Fjese que donde la pen-

    diente de sen O es mayor, en O y 27T, ~ sen O tiene su mximo valor ydO

    7T 37T ddonde la pendiente de sen O es O, en O =- y -, - sen O es O.

    2 2 dOsen ti

    dd9 sen ti

    ti (rad)

    o

    -1

    Fig.76

    7 ti (rad)

    (Si su esquema no se parece al que se muestra aqu, debe revisarla seccin 4, prrafos del 160 al 169. Este problema es muy similar alproblema (c) en el prrafo 168).

    dAhora, a partir de las grficas, puede dar la respuesta correcta para -

    dOsen O. Si o no?

    d-sen O =dO

    Pase a 210 para ver si surespuesta es correcta.

  • Diferenciacin de Funciones Trigonomtricas 131

    210Esta es la regla:

    d- sen (J = cos (Jd(J

    Si eso fue su respuesta imuy bien! Si no, debe estudiar las grficas delprrafo 209 y comparar la segunda con la grfica de cos () que se muestraabajo (as como tambin en el prrafo 65).

    dLa demostracin formal de que - sen (J = cos () est dada en el

    dOapndice A5.

    Es importante recordar que esta relacin slo es vlida cuando elngulo est medido en radianes y es por ello que los radian es son tan importantes como unidad de medida.

    dTratemos ahora de encontrar el valor de - cos O a partir de la gr.

    dOfica de cos O.

    dTrace un esquema de - cos O en el sistema coordenada de abajo y

    dOtrate de escribir la regla como ecuacin.

    d-cosO =dO

    cos /1

    1 ...../"" .J

    " I ~ IO f' 11" / "~ 211"..... .... L/-1 I~ cos/l

    1

    I I IO ,.. 11" ~ 211"2"

    1

    Fig.77 Pase a 211.

  • 132 Clculo Diferencial

    211d d

    Estas son las grficas de cos (J y - cos (J. La regla resultante es que-d(J d(J

    cos (J = - sen (J. Como se observa en la grfica. Esta regla est demostradaen el apndice A5.

    cos e

    o

    -1

    e

    ~ cose

    1

    " ....../ ..../

    ...I ~

    01' 11" / 71" J1[ 271"2 2"' ..... V-1

    e

    Fig.78

    Haciendo un resumen:

    d- sen () = cos ()d()

    d- cos () = - sen ()d()

    dUsando estos resultados, encuentre -; tan (J

    . , sen (J l' lId l 'f )(sugesbon: ponga tan (J = -- y ap que a reg a e parra o 202.cos (J

    d~tan(J= _

    Pase a 212.

  • Diferenciacin de Funciones Trigonomtricas 133

    212Usando la sugestin del prrafo 211, tenemos

    .!!.... tan e = ~[sen e]de del~ose

    cos e .!!- sen e - sen e -.!!.... cos ede de

    cos2 e= cos2 e + sen2 e = __ 1_= sec2 e.

    cos2 e cos2 eEncuentre la respuesta correcta:d- sec e = [sec e tan e I - sec e tan e I sec eJ.de

    Si acert, pase a 214.Si no, paje a 213.

    213Ya se le olvid lo que aprendi en la ltima seccin o no recuerda

    las definiciones de las funciones trigonomtricas? Vea que de acuerdo conel prrafo 200:

    d d lId cos e-sec e= ---= -------de de cos e cos2 e de

    1 tan e- + --- sen e =- cos2 e cos e= sec e tan e.

    (Cualquiera de las tres respuestas es aceptable.)

    Pase a 214.

    214Escoja la respuesta correcta:

    d- (sen e)2 = [sene I 2 cos e I cos e2 I 2 seo ecos eJde

    Si acert, pase a 216.Si no, pase a 215.

  • 134 Clculo Diferencial

    215

    El problema se puede resolver en la forma siguiente:

    Sea u (O) = sen e.

    duEntonces - = cos e, yded 2 d 2 d 2 du-(sene) =-u =-(u)-de de du de

    du= 2u - = 2 sen ecos e.de

    En dnde se equivoc? Fjese cul fue su error y asegrese de que yaentendi como se hace. Despus

    Pase a 216.

    216

    dCul respuesta nos da correctamente - cos ((}3) ?

    d(}

    Si acert, pase a 220.Si no, pase a217.

    217

    Ya se le olvid cmo se usa la regla de la cadena para diferenciaruna funcin de funcin? Se puede pensar que cos ((}3) es una funcinde funcin. Escribmoslo en esta forma:

    w = cos ti, U = (}3. Entonces

    dw dw du----de du de

    as

    dw 3- = - sen u = - sen (O ),du

    du

    de

    Pase a 218.

    Respuestas: (212) sec () tan (); (214) 2 sen () cos ()

  • Diferenciacin de Funciones Trigonomtricas 135

    218

    Si '" (la letra griega omega) es una constante cul es la respuesta

    dcorrecta para - sen ",t?

    dt

    [ cos ",t I '" cos ",t I sen ",t I ninguna de stas ]Si acert, pase a 220.

    Si no, pase a 219.

    219Para resolver el problema anterior, hagamos:

    dw dw du dw = sen u, u = ",t. - = -;;- = cos u X dt (",t) = '"cos ",t.

    Pase a 220.

    220

    Antes de pasar a la seccin siguiente, repasemos una vez ms las re-glas importantes que hemos visto en esta seccin:

    dsen e = cos ede

    d- cos e = - sen ede

    Tambin tenemos otras dos funciones que son tan comunes que debe-mos saber sus derivadas de memoria: las logartmicas y las exponencialesy aprender algo acerca de ellas.

    Pase a la seccinsiguiente, prrafo 221.

    Respuestas: (216) -3 82 sen (83)

  • 136 Clculo Diferencial

    Seccin 8. DIFERENCIACION DE LOGARITMOS y EXPONENCIALES

    221Vamos a encontrar la derivada de un logartmo. Si tiene dudas acerca

    de sus conocimientos de logaritmos, debe repasar la seccin 5 del captulo1 (pgina 52) antes de pasar al prrafo siguiente.

    Pase a 222

    222Se ha familiarizado con los logaritmos de base 10. Nosotros podemos

    manejar logaritmos de cualquier base (como en el prrafo 95). Por ejem-plo, podemos usar el nmero 2 7r como base. Sin embargo, por razonesque pronto veremos es conveniente usar como base el nmero e cuyo va-lor -es

    e = 2.71828 .....

    (Como 7r que vale 3.14159 .... , e es tambin un nmero irracional cuyovalor se puede calcular con tanta exactitud como se desee. En el apndiceA8 est la forma de hacerse.)

    Pase a 223.

    Respuesta: (218) ro cos rol

  • Diferenciacin de Logaritmos y Exponenciales 137

    223Ya que usaremos mucho los logaritmos de base e en esta seccin, dedi-

    quemos unos cuantos prrafos a familiarizamos con ellos.Para empezar, encontraremos una regla para hallar logex a partir de

    log 10 x. La regla que demostraremos abajo, eslog I o xlogex =---= 2.303 loglo x.log I o e

    Esto indica que el proceso de pasar de logaritmos de base 10 a losde base e es simplemente multiplicar por una constante.

    Esta es la demostracin de la regla:Por definicin de logaritmo

    x = eloKe x.

    Tomando logaritmos de base 10 en ambos miembros de la ecuacin

    loglo x = loglo (elOKe X)

    El segundo miembro de la ecuaClon se puede simplificar, aplicandolog (xn) = n log x, donde n es cualquier nmero. As, obtenemos

    loglo x = loge x X loglo e.

    1 log I o Xoge X =log I o e

    pero

    1

    log I o e1 1

    -----=---= 2.303 ...loglo 2.718 0.4343

    por tantologe x = 2.303 loglo x.

    Pase a 224.

  • 138 Clculo Diferencial

    224Veamos si ya entendi. Resuelva este problema.

    De las tablas, se puede verificar que

    log 10 37 = 1.57.Cul de las respuestas es la ms cercana a log. 37?

    [1.57/ e I 3.61 I 15.7 I 0.68JSi acert, pase a 226.

    Si no, pase a 225.

    225El mtodo visto en el prrafo 223 nos da el resultado directamente.

    1loge 37 = ---logl o 37 = 2.303 loglo 37

    log I o e

    = 2.303 x 1.57

    = 3.61.

    (Puede escoger la respuesta correcta sin necesidad de hacer operacio-nes, ya que las dems respuestas son completamente distintas.

    Pase a 226.

    226A los logaritmos de base e se les llama logaritmos naturales. Son tan

    importantes que se les ha dado un smbolo especial, In x.

    ( In x = loge x )

    Pase a 227.

  • Diferenciacin de Logaritmos y Exponenciales 139

    227Esta tabla nos d algunos valores de In x.

    x In x

    1 0.0002 0.69e 1.003 1.1010 2.30

    x In x

    30 3.40100 4.61300 5.701000 6.913000 8.01

    Usando la tabla y las reglas de manipulacin de los logaritmos, podrencontrar la respuesta correcta para las preguntas siguientes:

    In 6 = [2.2 I 3.1 I 6/e I 1.79JIn (y'1O) = [1.15 I 2.35 I 2.25 I 1.10JIn (3003) = [126 I 185 I 17.10 I 3.41J

    Si acert a todas, pase a 229Si no, pase a 228.

    228Antes de que vea las respuestas correctas, asegrese de que realmente

    sabe como manejar los logaritmos, las reglas estn dadas en el prrafo91. Ya que las reglas son vlidas para logaritmos de cualquier base, sonaplicables a In x.

    In 6 = In (2 x 3) = In 2 + In 3 = 0.69 + 1.10 = 1.79

    In (y'1O) = In (101/2) =-.!.ln 10 =-.!..-x2.30 = 1.152 2

    In (3003) = 3 In 300 = 3 x 5.70 = 17.10

    Pase a 229.

    Respuesta: (224) 3.61

  • 140 Clculo Diferencial

    229Esta es la grfica de In x en trminos de x.Ln(x)

    3

    2

    O

    -1

    -2

    I I I I I I I I

    Pendiente ;';0-I -",. =Pendiente = Y, .....

    Pen- 'j~ ..--diente = V, \ ...~ ""I IJ J ..,

    Pendiente ~=2 V,~2 3 4 5 6 7 8 9 10

    1111l'

    x

    Fig.79

    dPuede saber cul es el comportamiento general de - In x observando

    dxla grfica. Para valores pequeos de x, el valor de la derivada es grandey para valores grandes de x el valor de la derivada se acerca a cero. En lafigura se han trazado las tangentes a varios puntos y sus pendientes estndadas en la tabla.

    x Pendiente

    1/2 22 1/25 1/5la l/la

    dQuiz ya pueda dar la frmula para - In x. Llene el espacio en blanco.

    dxd-In x=dx

    Para aprender la expresincorrecta, pase a 230.

    Respuestas: (227) 1.79, 1.15, 17.10

  • Diferenciacin de Logaritmos y Exponenciales 141

    230Esta es la frmula para obtener la derivada de un logaritmo natural:

    1 dlnx~~ldx xSi no obtuvo este resultado, compruebe que est de acuerdo con los

    valores numricos de la tabla del prrafo 229.

    La razn por la cual e es tan til como base de logaritmos, es quepermite obtener una expresin sencilla como la de arriba. Esta relacinest demostrada en el apndice A9. Es muy importante y se debe aprenderde memoria.

    Pase a 231.

    231Resuelva este problema: Cul de las respuestas da exactamente

    d-[ln(x2))?dx

    2 1 2 2[2 In x 1-1 - I - I-In xJ

    x x2 x2 XSi acert, pase a 234.

    Si no, pase a 232.

    232La solucin de este problema es directa. Podemos usar la regla de

    la cadena. Sin embargo, lo resolveremos de otra forma.2 d 2) d 2Yaqueln(x)=21nx, -ln(x =-2Inx=-.

    dx dx xUsted ya puede hacer este problema _

    ~ (ln x)2 = [2 In x I 2 In x I ~I ninguna de stas]dx x In x

    Si acert, pase a 234.Si no, pase a 233.

    233 d 2 d 2 In x- (In x) = 2 In x - In x = --dx dx x

    Pase a 234.

  • 142 Clculo Diferencial

    234Aunque ya sabemos como diferenciar logaritmos de base e, no hemos

    obtenido la regla para diferenciar logaritmos de base 10. Sin embargo,esto es muy sencillo. Del prrafo 223 tenemos

    log I o X = in x log 10 e.pero e es una constante, por tanto

    ~loglo x = [~in xJ loglo e =.!. loglo e = 0.4343dx dx x x

    Pase a 235.

    235Apliquemos lo anterior. Escriba las respuestas correctas:

    d in r(a)

    dr

    (b) d in 5zdz

    Para ver las respuestascorrectas pase a 236.

    236Las respuestas correctas son -

    (a) 1 (b) 1r z

    Si esas fueron sus respuestas, lo est haciendo muy bien, as que pasea 238. Si se equivoc

    Pase a 237.

    2Respuestas: (231)x

    (232) 2 in xx

  • Diferenciacin de Logaritmos y Exponenciales 143

    737dlnr 1

    (a) Debe haber visto inmediatamente que --- = - ya que no imdr r

    porta que variable usemos, la regla es la misma.d

    (b) La forma ms simple de encontrar - In 5z es recordando quedz

    In 5z= ln 5+ In z. Por tantod d d 1 1-In 5z = -In 5 + -In z = 0+ - =-.dz dz dz z z

    Pase a 238.

    738Otra funcin que queremos diferenciar es

    y = az (a es una constante)Podemos hacerlo con la ayuda de lo que hemos aprendido acerca de

    logaritmos. Tomando el logaritmo natural en ambos miembros de laecuacin:

    lo y=ln (ae) =xlna

    diferenciando los dos miembros con respecto a x, se tiened dx-(Iny)=-lnadx dx

    1 dy- -= In ay dx

    dy- = y In a = aX In adx .

    Pase a 239.

  • 144 Clculo Diferencial

    239El prrafo anterior nos dio un resultado importante

    d(aX) = aX In a

    dx

    Un caso particular de la expresin anterior se tiene cuando a = e. Yaque In e = 1, como resultado de la definicin de Iogaritmo natural,

    ~

    ~Conociendo este resultado, puede resolver los siguientes problemas?

    decx(a)

    dx

    de-x(b)

    dx

    Pase a 240 para verla respuesta correcta.

    240Debi haber escrito

    decx(a) -- = cecx

    dxy(b) de-

    x= _ e-x.

    dx

    Si contest correctamente, pase a 241. Si no, siga leyendo aqu.El resultado de (a) se obtiene haciendo u = ex y siguiendo el proce-

    dimiento normal para una funcin de funcin (por ejemplo, empleandola regla de la cadena, prrafo 194 pgina 120). As

    El resultado para (b) es un caso especial de (a) con e = - 1.Pase a 241.

  • 241

    242

    Diferenciacin de Log;ritmos y Exponenciales 145

    S _ 1 .' 1 dz;>1 Z - -1---' ,cuanto va e d- .n (x) x

    Encierre dentro de un crculo la respuesta correcta.

    [_1 _ I -x I -1 1 Inx ]x In (x) , (In x)2 x (In x)2 x2

    Si acert, pase a 243.Si no, pase a 242.

    1Podemos encontrar la derivada de --- usando la regla de la cadena.

    In (x)Sea u = In (x). Entonces

    d 1 d [1] du - 1 du 1 1dx In (x) = dx ~ = ---;;;- dx = - -;? x

    1x (In x)2 Pase a 243.

  • 146 Clculo Diferencial

    243Hemos visto algunas frmulas en esta secClon. Si quiere repasarIas

    rpidamente antes de seguir adelante, aqu est una lista de ellas. Las msimportantes estn dentro de un cuadro. .

    e = 2.71828 ....

    In x = loge x

    In x = 2.303 10gIO x

    d 0.4343- (lOgIO x)dx x

    Pase a 244.

    244Ya sabemos como diferenciar las funciones ms comunes. El resto del

    captulo est dedicado a temas especiales relacionados con la aplicacinde las derivadas. Si quiere practicar un poco ms la diferenciacin antes deseguir adelante, vea los problemas del 34 al 58 en la pgina 287 cuandoest listo,

    Pase a la seccin:9, prrafo 245

    -1Respuestas (241)

    x (In X)2

  • Seccin 9.

    245

    Derivadas de Orden Superior 147

    DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

    Supongamos que y depende de x y que hemos obtenido la derivada dy.dx

    Si diferenciamos dy con respecto a x, el resultado es la segunda derivadadx

    d2yde y con respecto a x y se escribe -

    dx2Puede hacer este problema?

    d2ySi Y= 2x8. Entonces - = [6x2 j12x I O I x2 I x).

    dx2Si acert, pase a 248.

    Si no, pase a 246.

    246Esta es la forma de resolver el problema del prrafo 245.

    y = 2x3

    dy

    dx

    d2y d dy d 2- = - (-) = - (6x ) = 12xdx2 dx dx dx

    Trate de hacer este otro.

    1y=x+-

    x

    d2y 1 1 2- = [-- 1-1 +- 1ninguno de stos)dx2 x2 x x3

    Si acert, pase a 248.Si no, pase a 247.

  • a =

    148 Clculo Diferencial

    247Esta es la solucin al problema de 246.

    1y = x +

    x

    dy = 11

    dx x2

    d2y _ -2 2O - 1 (-) =-dx2 - x3 x3

    Pase a 248.

    248Un ejemplo de una segunda derivada que ya conoce es la aceleracin.La velocidad es la rapidez de cambio de posicin con respecto al

    tiempo.dS

    vdt

    La acelet'acin a, es la rapidez de cambio de la velocidad con respectoal tiempo. Por tanto

    dvdt

    Se sigue que

    d dS d2Sa = - (-)

    dt dt dt2

    Pase a 249.

    2Respuestas: (245) 12x; (246)

    XS

  • 249

    250

    Derivadas de Orden Superior 149

    La posicin de una partcula est dada por

    s= Asen oot. A Y 00 (omega) son constantes.

    Encuentre la eceleracin.

    Respuesta: [O I Aoo cos oot I (Aoo cos oot)2 I - Aoo2 sen oot).Si acert, pase a 251.

    Si no, pase a 250.

    d2S d2Aceleracin = - = - (A sen wt)

    dt2 dt2

    dS d= - Asen wt = A w cos wt (vea el prrafo 218)dt dt

    d2S d (dS) ddt2 = - - = dt Aoo cos 001 = - Aoo2 sen oot

    Pase a 251.

  • 150 Clculo Diferencial

    251Como usted ve, realmente no hay nada nuevo en la segunda derivada.

    d"fDe hecho, podemos definir derivadas de rualquier orden. - es la

    dx"ensima derivada de f con respecto a x. Intente resolver este problema.

    Sea y = x4 Entoncesd4y- = [x 16 I 4x4 I O I 64 I 4 x 3 x 2 x lJdx4

    Pase a 252.

    252

    d2 d- 4 x 3 x2 = - 4x 3x2 Xdx2 dx

    =4x3x2xl

    Podemos generalizar este resultado:

    ti" xn n x (n - 1) x (n - 2) x .....dxn

    n!

    (n! se llama factorial de n y es igual a n X (n - 1) X (n - 2) .... 1.)Si quiere ver mas aplicaciones de la segunda derivada, haga los problemasdel 59 al 63 de la pgina 288.

    Pase a la seccin 10,prrafo 253.

    Respuestas: (249) -Aw2 sen wt

  • Seccin 10

    253MAXIMOS y MINIMOS

    Mximos y Mnimos 151

    Ahora que ya sabemos diferenciar funciones sencillas, apliquemosnuestros conocimientos.

    Supngase que queremos saber los valores de x y y para los cuales

    y = f(x)tiene un valor mximo mnimo. Al terminar esta seccin, sabremos re-solver este problema.

    Pase a 254.

    254

    Esta es la grfica de una funcin. En cul de los puntos indicadosy tiene un mnimo?

    yD

    x

    e

    Fig. 80

    [A I B I CID I A Y B I e y DJSi acert, pase a 256.

    Si no, pase a 255.

    Respuestas: (251) 4 X 3 X 2 X 1

  • 152 Clculo Diferencial

    255El valor mnimo de y est nicamente en el punto C, ya que y tiene

    su valor ms pequeo en dicho punto, al menos para el intervalo de x y ymostrado en la figura.

    yD

    x

    e

    Fig.81

    En los puntos A y E, Y tiene un valor 0, pero esto no tiene que vernada para que y tenga un valor mnimo ah.

    En el punto D hay un valor mximo de y.

    Pase a 256.

    Respuesta: (254) C

  • Mximos y Mnimos 153

    256

    Hemos visto que al punto e le corresponde un valor mnimo de y almenos para el intervalo mostrado en la figura y al punto D le correspondeun valor mximo en el mismo intervalo.

    yD

    e

    dy;;

    x

    ---+----------------x

    Fig.82

    Existe una relacin interesante entre los puntos de valores maxlmos.y mnimos de y y el valor de la derivada en esos puntos. Para ver esto,trace una grfica de la derivada de la funcin indicada en la figura, en elsistema coordenado adjunto.

    Para comprobar que traz bien su grfica,

    Pase a 257.

  • 154 Clculo Diferencial

    257Su grfica debe parecerse a la que se muestra aqu. Fjese que en los

    puntos e y D, la derivada es cero y entre e y D es positiva. En los demspuntos es negativa.

    Si no traz algo semejante, revise la seccin 4 de este captulo antesde seguir adelante.

    yD

    x

    x

    Fig.83

    Este ejemplo debe ser suficiente para que se convenza de que:Si f(x) tiene /In valor mximo o mnimo para /In cierto valor de x, enton-

    dices la derivada - en ese punto es igual a cero.

    dxUna de las formas de saber si en un punto existe un mximo un

    mnimo, consiste en trazar puntos en la vecindad de este (aunque hayun mtodo ms simple que pronto veremos).

    Pase a 258.

  • Mximos y Mnimos i55

    258

    Veamos con este problema, si ya entendi:

    Encuentre para que valor de x, la funcin siguiente tiene un mnimo.f(x) = x2 + 6x

    [- 6 I - 3 I O I + 3 Ininguno de stos]

    Si acert, pase a 261.Si no, pase a 259.

    259Debi haber resuelto el problema en esta forma:

    S ,., , . d . f d f(x)e tiene un maXlmo o un mtnlmO cuan o x satis ace ----;;- = o.

    f(x)=x2+6x d f(x) = 2x + 6dx

    En esta forma, la ecuacin que nos da el valor de x para que se tengaun mximo un mnimo es

    2x + 6 = O, x = - 3.Aqu tenemos otro problema:Para cul de los valores de x, la funcin fex) tiene un mximo

    un mnimo?

    2f (x) = 8x + -x

    [1/4 I - 1/4 I - 4 I 2 Y - 4 I 1/2 Y - 1/2J

    Si acert, pase a 261.Si no, pase a 260.

  • 156 Clculo Diferencial

    260

    El problema del prrafo 259 se puede resolver as:

    Para el punto que tenga un mximo mnimo, se debe cumplir,d-(x) =0.dx

    2Ya que (x) = 8x + -,x

    d 2- (x) = 8 --.dx x2

    Los puntos que buscamos, satisfacen la ecuacin

    2 2 2 18 - -= 0, o x =- = -.x2 8 4

    1 1En esta forma, en x = + - y x = - -, (x) tiene un mnimo un

    2 2mximo. En la figura, se indica una grfica de la funcin en la que se ve

    1h ' . 1h ' .que en x = - 2 ay un maXlmo y en x = + 2 ay un mlO1mo.f(x)

    20161284

    x-2 -1 2

    "'"7]Fig.84

    Casualmente, como se ve en la figura, el mnimo est arriba del mximo. Esto podra parecer p.aradjico, pero nosotros estamos hablandode mximos o mnimos locales es decir, el valor mximo mnimo enuna regin pequea.

    Pase a 261.

    Respuesta: (258) -3; (259) 1/2 Y- 1/2

  • Mximos y Mnimos 157

    261Habamos mencionado antes que hay un mtodo ms simple para

    b . f( ) . ,." . d d f(x)sa er SI x tiene un maxlmo o un mlU1mo cuan o --- = o.dx

    Descubrimos el mtodo trazando unas cuantas grficas.En la figura 85 estn las grficas de dos funciones. La de la izquierda,

    f(x), tiene un mximo y la de la derecha, g(x) un mnimo en la reginindicada en la figura. En los sistemas coordenados de abajo, trace una gr-fica de las derivadas de las dos funciones.

    f g

    -+--------x

    -+-------- x

    elf(G

    -+--------x

    x

    Fig.85

    Vamos a repetir el proceso. Haga un esquema de la segunda derivadade cada una de las funciones (o sea el esquema de las derivadas de lasfunciones que acaba de trazar).

    -+-------x -+--------x

    Fig. 86

    Posiblemente de esos esquemas pueda usted decir cuando una funcintiene un mximo o un mnimo si su derivada es O. Pueda o no,

    Pase a 262.

  • 158 Clculo Diferencial

    262

    Los esquemas deben parecerse a stos

    g

    -Fig.87

    dfEstudiando estos esquemas, se observa que cuando - = 0,

    dx

    d2ff(x) tiene un mximo SI - < y

    dx~

    d2ff(x) tiene un mnimo SI -d ? > Ox-

    (Si cPf = 0, estas reglas no son vlidas y este caso lo veremos msdx2

    adelante.)

    Si no est plenamente convencido, repase la seCClOn4 y trace losesquemas de las segundas derivadas de cualquiera de las funciones de losprrafos 164, 166 168 problemas (c) o (d). Con esto se convencerde que las reglas son razonables. Cuando est listo,

    Pase a 263.

  • Mximos y Mnimos 159

    263

    Este es el ltimo problema abtes de pasar a otro tema. Seae,x2 Encuentre el valor de x para el cual f (x) tiene un mximo

    un mnimo y diga cul es.

    Respuesta: _

    Para comprobar su respuesta, pase a 264.

    264

    Resolvamos el problema:

    f(x)= e,x2 Usando la regla de la cadena, tenemos

    di 2-= - 2x e-x.dx

    .Existe un mximo un mnimo en x dado por

    - 2x e-x2 = O,,o x = O.

    Empleando la regla del producto, (prrafo 189), obtenemos:

    d21_= _ 2 e-x2 + 4x2 e-x2 =(-2 + 4x2) e-x2.dx2

    ~f d~En x = O, - = (-2 + 4 X O) X 1 = -2. Ya 9ue - es negativa

    dx2 dx2

    donde dt = O, en x = O, f(x) tiene un mximo en x = O.dx

    NOTA. Al encontrar el valor de la derivada, digamos df/dx, para algn valor de x, x = a primero se debe diferenciar f( x) y despus substituirx = a. Si lo hace invirtiendo el proceso y primero substituye y despustrata de diferenciar fea) el resultado ser simplemente O, ya que fea)es una constante. El mismo cuidado se debe tener tratndose .de derivadasde orden superior.

    Pase a la seccin siguiente, prrafo 265.

  • 160 Clculo Diferencial

    Seccin 11.

    265

    DIFERENCIALES

    Hasta aqu, hemos representado a la derivada por el smbolo dy. Aun-dx

    ~yque ste es un solo smbolo que se usa para lim -, el mtodo de

    ~x~o ~xescritura sugiere que la derivada puede considerarse como la razn de doscantidades, dx y dy. Este es el caso que nos ocupa. Las nuevas cantidadesde que hablaremos se llaman diferenciales y las definiremos en el prrafosiguiente.

    Pase a 266.

    266

    -+------- ejer

    ejey

    ~d'dx

    Supngase que x es una variable inde-pendiente y que y = f(x). Entonces, ladiferencial dx de x est definida comocualquier incremento, X2 - Xl, donde Xles el punto que nos interesa. La diferencialdx puede ser positiva o negativa, grandeo pequea, como se quiera. Vemos que dxcomo x, puede considerarse como variableindependiente. La diferencial dy se definepor la regla,

    dy = [dY] dx,dx

    [dy ] donde -; es la derivada de y con respecto a x.

    Fig. 88

    Pase a 267.

    267

    Aunque el significado de la derivada, dy, es lim !!..., se observa

    dx ~x~O ~xdel prrafo anterior que se puede interpretar ahora como la razn de lasdiferenciales dy y dx, donde dx es un incremento de x y dy est definido

    por la regla dy = [::] dx.Pase a 268

  • Diferenciales 161

    268

    Es muy importante no confundir dy eje ycon t.y. Como habamos dicho en elprrafo 136, t.y se emplea para re-presentar Y2- Y1 = f(x2) - f(xI),donde X2 y Xl son dos valores dadosde x. Los dos valores dx y t.x (Xl,y)(= X2 - Xl) son intervalos arbitra-rios. dx se llama una diferencial de X eje Xy t.x se le conoce como un incrementode x, pero sus significados aqu son Fig. 89muy similares. De la figura se nota que dy y t.y son cantidades distintas.

    Hemos asentado que dx = DX. Entonces, la diferencial dy es [:~ ] dx,mientras que el incremento t.y est dado por Y2 - Yl' Est claro queen este caso dy no es igual a t.y.

    Pase a 269.

    269

    Aunque dy y t.y son diferentes, sepuede ver de la figura que para dx su-ficientemente pequeo (con dx = t.x),dy se acerca a t.y. Esto lo podemos es-cribir simblicamente como

    eje y

    dy /} ~y

    lim dydx=/'Io,.x ...O /'Io,.y

    1dx

    Fig. 90

    ejex

    Por tanto, si intentamos tomar el lmite cuando dx ~ O, dy puedesubstituirse por t.y. Adems" aunque no tomemos el lmite, dy es casiigual a t.y, para dx suficientemente pequeo. Por ello, usaremos muy a me-nudo dy yt.y indistintamente, cuando se sobreentienda que se va a tomarel lmite o que el resultado puede ser una aproximacin.

    Pase a 270.

  • 162 Clculo Diferencial

    270

    Podemos volver a escribir en la forma diferencial, varias expresionespara las derivadas dadas anteriormente. As, si y = xn,

    d(xn)dy = (dxn) = -- dx = nxn-1 dx.

    dx

    Encuentre las siguientes:

    d(sen x) = [- sen x dx I - sen x I - cos x dx I cos x dxJd(l/x) = [dxlx2 I -dxlx2 I -dxlxJ

    = [x eXdx I dx I eX dx I dxlexJSi se equivoc en alguna} pase a 271.

    Si no} pase a 272.

    271

    Estas son las soluciones a los problemas del prrafo anterior. Los n-meros entre parntesis, corresponden al prrafo en el que se discuti cadafrmula.

    d (sen x)

    dO/x)

    [d sen x]

    = dx dx = cos x dx

    = [.!!... (.!.)] dx = - dxl x 2dx x

    (prrafo 211)

    (prrafo 180)

    (prrafo 239)

    Pase a 272

  • 272

    Esta es una aplicacin de las diferenciales. Lafigura muestra la superficie de un disco al quese le ha agregado un aro delgado. Supngaseque queremos saber el rea aproximada del aro.

    [dA] d 2dA = - dr = - (TTr ) dr = 2TTr dr.dr dr

    273

    Diferenciales 163

    /' {dr

    GI \I r I\ /\. /'-- /-_./Fig.91

    Pase a 273.

    ~A = 2TTr ~r.

    El ejemplo anterior tambin se puede resolver exactamente tomando ladiferencia de las dos reas:

    ~A = TT(r + ~r)2 - TTr2 = 2m ~r + TT~r2

    Si .r es pequeo comparado con 1', podemos despreciar el ltimo trminoy nos queda

    Si hacemos t::,.r = dI' Y consideramos que ambos son pequeos, entonces,como sabemos de acuerdo con el prrafo 269,

    dA = ~A = 2TTr dr.Este es un argumento ms intuitivo para obtener el resultado. Ya que

    el aro es delgado, su rea dA, es aproximadamente su longitud, 271"r, mul-tiplicada por su ancho dr. Por tanto,

    dA = 2TTr dr.

    Pase a 274.

    dxRespuestas: (270) cos x dx, - -, e" dx

    x2

  • 164 Clculo Diferencial

    274

    Para manejar las diferenciales hay que recordar algunas de las reglasimportantes para la diferenciacin. Por ejemplo, la regla de la cadena

    dw dw dudx du dx

    es casi una identidad si tratamos a dw, d" y dx como diferenciales. Real-mente, no es obvio que esto se pueda hacer, ya que w y ti dependen deuna tercera cantidad, x. La demostracin del empleo de las diferencialesen la obtencin de la regla de la cadena est dada en la pndice A 10.

    Pase a 275.

    275

    Esta es otra relacin que es muy fcil de recordar con las diferenciales,aunque la demostracin real requiera una explicacin posterior:

    dx = l/[dy]dy dx

    Esta regla nos invierte el concepto de variable independiente y depen-diente, aunque slo es vlida bajo ciertas condiciones. Si quiere una expli-cacin ms amplia, vea el apndice A11.

    Si 110, pase a la seccin 12 prrafo 276.

  • Seccin 12.

    276

    REPASO Y PROBLEMASRepaso y Problemas 165

    Terminaremos este captulo repasando algunas de las ideas que se pre-sentaron al principio y aplicando el clculo diferencial a la solucin dealgunos problemas de velocidad.

    Pase a 277.

    277

    Esperemos que recuerde que la rapidez de cambio de posicin de unmvil con respecto al tiempo es la velocidad.

    En otras palabras, si la posicin y el tiempo estn ligados mediantela funcin 5, para encontrar la velocidad, 5(t)con respecto a .

    Pase a 278.

    278

    Debi haber escrito:

    En otras palabras, si la posicin y el tiempo estn ligados mediante lafuncin 5, para encontrar la velocidad diferenciamos 5(t) con respecto al. ,tIempo (o t).

    Pase a 279.

    279Puede resolver este problema?

    La posicin de una partcula sobre una lnea recta est dada por:5 = Asen wt. A y '" (omega) son constantes.

    Encuentre la velocidad de la partcula.v= _

    Para ver la respuesta, pase al prrafo 280.

  • 166 Clculo Diferencial

    280

    Su respuesta debi ser

    v = Aw cos wt.Si respondi eso, pase al prrafo 283. Si no, siga leyendo aqu.El problema es encontrar la velocidad, que es la rapidez de cambio

    de posicin con respecto al tiempo.La posicin est dada por S = Asen wt.

    dS dv = - = - eA sen Jt) = A J cos Jt

    dt dt

    (Si no entiende este desarrollo, vea el prrafo 218.)Puede resolver este problema?

    S = Asen wt + B cos 2 wt. Encuentre v.v = _

    Pase a 281