Tema:CALCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL POR GRANVILLE

Realizado por:Josué Álvarez

CAPITULO II VARIABLES, FUNCIONES y LIMITES

Variables y constantes. Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de análisis, un número ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto. Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante.

Por ejemplo: en la ecuación de la recta

x y -+-= 1 a b '

Variables

Constantes

Intervalo de una variable

A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Es decir, podemos restringir nuestra variable de manera que tome únicamente valores comprendidos entre a y b, también puede ser que a y b sean incluidos o que uno o ambos sean excluidos.

Por ejemplo:

Notación de intervalo:[ a, b]

Este símbolo se lee "intervalo de a hacia b' , .

Variación continuaSe dice que una variable a varía de una manera continua en un intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores intermedios entre a y b en el orden de sus magnitudes.

Por ejemplo:

o---------<g~--____ ~o______~go A P 8

Tomando el punto O como origen, marquemos sobre la recta los puntos A y B correspondientes a los números el y b.

FuncionesCuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda entonces se dice que la primera es función de la segunda .

Por ejemplo:El peso que un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su fuerza. se puede considerar que la distancia, que un muchacho puede recorrer depende del tiempo.

Variables independientes y dependientesLa primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable independiente, se llama la variable dependiente o la funci6n.La segunda variable, a la. cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de limites que dependen del problema particular, se llama la variable independiente o el argumento. Cuando se consideran dos variables ligadas entre sí queda en nosotros elegir a una de ellas como variable independiente

Por ejemplo:

Notación de funcionesEl símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x . Con objeto de distinguir entre diferentes funciones. Durante todo el curso de un proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicará una misma ley de dependencia entre una función y su variable. En los casos más simples, esta ley expresa la ejecución de un conjunto de operaciones analíticas con la variable, en un caso de esta clase el mismo símbolo de función indicará la misma operación.

Por ejemplo:

La división por cero, excluida

El cociente de dos números a y b es un número x tal que a = bx, con esta definición la división por cero queda excluida. En efecto, si b = O, se ve que x no existe, a menos que a = O. Si a = O, entonces x puede ser cualquier número.

Por ejemplo: a O O' O i carecen de sentido por no ser posible la división por cero.Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero.Dividiendo por a - /¡ , b= a + b.El resultado absurdo proviene de haber dividido por a - b =

O.

Gráfica de una funciónEsta relación da un valor de y para cada valor de x, es decir, define unívocamente a y para todos los valores de la variable independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola, y se llama la gráfica de la función X2. Si x varía continuamente desde X = a hasta X = b, entonces Y variará continuamente desde Y = a2 hasta Y = b2 , Y el punto P (x, y) se moverá continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2 ) hasta (b, b2 ) . Además, a y b pueden admitir todos los valores.

Por ejemplo:

LÍMITE DE UNA VARIABLE

Se dice que la variable “v” tiende a la constante “l” como límite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor numérico de la diferencia v - l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier número positivo predeterminado tan pequeño como se quiera.Se considera el área de un polígono regular inscrito con un número “n” cualquiera de lados, después “n” crece infinitamente. El área variable tiende así hacía un limite, y este límite se define como área del círculo.

Límite de una funciónSe tiene una variable v y una función dada z de v, y se supone que la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende también a un limite. Si efectivamente existe una constante a tal que lím z = a, entonces se expresa esta relación escribiendo:

Lím z=a,V-71

y se leerá: "el límite de z. cuando v tiende a l, es a”.

Teoremas sobre límitesel límite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente de los límites respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite del divisor no sea cero.

Por ejemplo:

Funciones continuas y discontinuas

Se dice que una función f(x) es continua para x = a si el límite de la función, cuando “x” tiende a “a”, es igual al valor de la función para x = a, entonces f (x) es continua para x = a.Se dice que la función es discontinua para x = a si no se satisface esta condición.

Por ejemplo:

Infinito (00)Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que éste sea, decimos que v se vuelve infinita. Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente toma valores negativos, se hace infinita negativamente. Por ejemplo:

InfinitésimosUna variable v que tiende a cero se llama un infinitésimo. Simbólicamente se escribe: 

lím v = O o v ---7 O ,

Y quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, menor que cualquier número positivo asignado de antemano, por pequeño que sea. Si lím v = l, entonces lím (v - l) = O; es decir, la diferencia entre una variable y su límite es un infinitésimo.

Por ejemplo:

Teoremas relativos a infinitésimos y límitesPara ciertos límites la regla de L'Hôpital no es aconsejable, pues la cantidad de veces en que ésta debe ser aplicada para llegar al resultado final se convierte en excesiva. Como ejemplo, el alumno puede tratar de hallar por L'Hôpital el límite:

límite que efectivamente puede ser hallado -pero tras un largo trabajo- mediante esta regla. Por el contrario, nuestro trabajo se simplifica notablemente si sustituimos en el denominador "sen x" por -lo que se llama infinitésimo equivalente-,  "x". Entonces, el límite se reduce a: