Cálculo Diferencial e Integral - Granville

1. QA371 R 293 1998 GRANVILLE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110233007122

2. http://carlos2524.jimdo.com/Temas que trata la obra: Resumen de frmulas Variables, funciones y lmites Derivacin Reglas para derivar funciones algebraicas Aplicaciones de la derivada Derivadas sucesivas de una funcin. Aplicaciones Derivacin de funciones trascendentes. Aplicaciones Aplicaciones a las ecuaciones para mtricas y polares y al clculo de las races de una ecuacin Diferenciales Curvatura. Radio de curvatura. Crculo de curvatu ra Teorema del valor medio y sus aplicaciones Integracin de formas elementales ordinarias Constante de integracin Integral definida La integracin como suma Artificios de integracin Frmulas de reduccin. Uso de la tabla de integrales Centros de gravedad. Presin de lquidos Trabajo. Valor medio Series Desarrollo de funciones en serie de potencias Ecuaciones diferenciales ordinarias Funciones hiperblicas Derivadas parciales Aplicaciones de las derivadas parciales Integrales mltiples Curvas importantes Tabla de integralesl.{, 3. http://carlos2524.jimdo.com/,CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4. http://carlos2524.jimdo.com/SIR ISAAC NEWTON 5. http://carlos2524.jimdo.com/,CALCULO DIFERENCIALE INTEGRAL WllLlAM ANTHONY GRANVlllE Doctor en Filosofa. Doctor en Leyes Ex Presidente del Colegio de Gettisburg Edicin revisada por:PERCEY F. SMITH WllLlAM RAYMOND lONG lEY Doctores en Filosofa y Profesores de Matemticas de la Universidad de YaleLIMUSA 6. http://carlos2524.jimdo.com/Granville. William Anthony Clculo diferencial e integral = Elements of differential and integral calculus / William Anthony Granville. -- Mxico: Limusa, 2009. 704 p. : il. ; 23 x 15.5 cm. ISBN-13: 978-968-18-1178-5 Rstica. 1. Clculo diferencial 2. Clculo integral 1. Byngton, Steven, tr. 11. Romero Jurez, Antonio, colab. Dewey: 515.33 122/ G765cLe: QA303VERSiN AUTORIZADA EN ESPAOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLS CON EL TTULO: ELEMENTS OF DIFFERENTIALAND INTEGRAL CALCULUS JOHN WILEY & SONS, INC. C OLABORADOR EN LA TRADUCCiN: STEVEN T. BYNGTON REVISiN: ANTONIO ROMERO JUREZ PROFESOR EN LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO.LA PRESENTACiN Y DISPOSICiN EN CONJUNTO DE CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL SON PROPIEDAD DEL EDITOR . NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGN SISTEMA o MTODO, ELECTRNICO O MECNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACiN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACiN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACiN) , SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS: 2009,EDITORIAL LlMUSA, S.A. DE C.v. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDE RAS 95, MXICO, D . F. C.P. 06040 ~ 51300700 5512 2903 )iiii [email protected]'T"' www.nonega.com.mx CANIEM NM. 121 HECHO EN MXICO ISBN-13: 978-968-18-1178-5 45.1 7. http://carlos2524.jimdo.com/PROLOGO Esta obra es, en sus lneas generales, una edicin revisada y aumentada del texto debido al profesor Grall'ille. Los nicos cambios introducidos se reducen a pequefios detalles en las demostraciones, a la rev isin de los problemas - afiadiendo algunos de aplicacin a la Economa y otros adicionales al final de cada captulo para alumnos ms aventajados- y a la redaccin de un captulo sobre Funciones hiperb6li cas, junto con algunos pjelllplos de apli cacin de las eoorrlenadas cilndricas en las integrales dobles. El cap tulo a11adido ha sido p,.;crito sigui endo el Illtodo del libro , procurando quP fOl'llle un todo armnico con pI resto de la obra. Lai::l soluciones de la mayor parte de 10i::l problemaf' i-'P dan en pi texto. Algun as soluciones f'e Ollliten de intento para a,costulllbl'ar al estudiante a tener confianza en s mismo. El trabajo de los autores de esta edicin. se ver ampliamente CO I1lpensado si tiene la misma acogida que tUYO la primpra edicin de la obra de Granville. PERCEY F. SMITH VILLIAMR.LONGLEY 8. http://carlos2524.jimdo.com/ 9. http://carlos2524.jimdo.com/INDICE CALCULO DIFERENCIAL CAPITULO 1Resumen de frmulas Frmulas de Algebra y de Geometra elementales, 3. Frmulas de Trigo nometra plana, 4. Frmulas de Geometra analtca plana, 6. Frmulas de Geometra analtica del espacio, 8. Alfabeto griego, 10. CAPITULO 11Variables, funciones y lmites Variables y constantes , 11. Intervalo de una variable, 11. Variacin continua, 12 . Funciones, 12. Variables independientes y dependientes, 12. Notacin de funciones. 13. La divisin por cero, excluda , 13 . Grfica de una funcin: continuidad, 15 . Lmite de una variable, 16. Lmite de una funcin , 16. Teoremas sobre lmites, 17. Funcones contnuas y discontinuas. 17 . Infinito , 19 . Infinitsimos, 22.. Teoremas relativos a infinitsimos y lmites , 23. CAPITULO IIIDerivacin Introduccin, 25. Incrementos , 25. Comparacin de incrementos 26. Derivada de una funcin de una variable, 27. Smbolos para representar las derivadas, 28, Funciones derivables, 30 . Reg la general para la derivacin, 30. Interpretacin geomtr ica de la derivada, 32. CAPITULO IVReglas para deri v ar funciones alge bracas Importancia de la regla general. 36. Derivada de una constante. 37 . Derivada de una variable con respecto a, si mIsma, 38. Derivada de una suma, 38. Derivada del producto de una constante por una funcin, 39 . . Derivada del 10. http://carlos2524.jimdo.com/INDICEVIIIproducto de dos funciones. 39. Derivada del producto de n funciones. siendo n un nmero fijo. 40. Derivada de la potencia de una funcin. siendo el exponente constante. 41 . D e ri vada de un cociente. 41. Derivada de una funcin de funcin. 46. Relacin entre las deri va das de las funciones inversas . 47. Funciones implicitas . 49. Derivacin de funciones implcitas. 49 .CAPITULO VAplicaciones de la derivada Direccin de un;l curva . 52. Ecuaciones de la tangente y la normal: longitudes d e la subtangente y la subnormal, 54. Valores mximo y mnimo de una funcin: introdu cc i n . 58. Funciones crecientes y decrecientes. 62. Mximos y mnimos de una funcin; definiciones. 64. Primer mtodo para calcular los rr. ximos y minimos de una funcin. Regla gua en las aplicaones. 66. Mximos o mnimos cuando f' (x) se vuelve infinita y f (x) es continua. 68. Problemas sobre m O), 669. Otras formas algebraicas , 670. Formas exponenciales y logartmicas, 67 1. Formas trigonomtricas, 672. Formas de reduccin para integrales trigonomtricas , 674. Funciones trigonomtricas inversas, 675. Funciones hiperblicas , 676. INDI CE ALFABETICO . . ....679 17. http://carlos2524.jimdo.com/GUILLERMO LEIBNIZ 18. http://carlos2524.jimdo.com/ 19. http://carlos2524.jimdo.com/ 20. http://carlos2524.jimdo.com/ 21. http://carlos2524.jimdo.com/CAPITULO PRIMERORESUMEN DE FORMULAS1. Frmulas de Algebra y de Geometra elementales. Para comodidad del estudiante, en los Artculos 1 a 4 damos un resumen de f()rmulas elementales. Empezaremos por las relativas al Algebra.(1)Resolucin de la ecuacin de segundo grado AX2+ Ex + C =O.+1. Factorizando: Se descompone AX2 + Bx C en factores, se iguala cada factor a cero y se resuelven las ecuaciones que resultan, con respecto a x. 2. Completando el cuadrado: Se transpone C al segundo miembro, se divide la ecuacin por el coeficiente de x 2 , se aade a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x y Re extrae la raz cuadrada. ;~ . Empleando la frmulax=-Bv B2- 4 AC2ACarcter de las races. La expresin B 2 - 4 AC, que aparece en la frmula debajo del signo radical, se llama discriminante de la ecuacin. Las dos races son reales y desiguales, reales e iguales, o imaginarias, segn que el discriminante sea positivo, cero o negativo. (2)Logaritmos.+ log b .log a" = n log a.log 1log a - log b .. log v" / - a = -1 log a.loga alog ab = log a loga b =n=O.= 1. 22. http://carlos2524.jimdo.com/4CALCULORESUMENDIFERENCIAL(3) Frmula del binomio de Newton (siendo n un nmero entero positivo) . (a+b)"=a"+nan-1b+n(n -1)+n ((4)n-ti+ n(nI~-1)IJr-Estas ecuaciones permiten pasar de (2)(n-l)n.(5) Crculo. Longitud de la circunferencia=2n:r. Area=n:r2(6) Sector circular. Area = Yz r2a, siendo a = ngulo central del sector, medido en radianes .(8) Pirmide.(10) Cono circular recto. Area total = n:r(r + s). (11) Esfera.Volumensen" x+ cos" Seno - sen cos cos se n - sen - cos - cos - sen90 x 90+ 180180+ 270 -x 270+ 360_ 0-Volumen = n:r2a.Area lateral=2n:ra.x x x0Volumen =}~ m a.= j(2n:r3 .(12) Tronco de cono circular recto. Area lateral = ns (R + r) .Area lateral = nrs .Area = 4 n:r2.(4)x x=Coseno x x x x x x x xcos sen sen cos cos sen se n cos-Tangentex x x x x x x x--tg ctg ctg tg tg ctg ctg tgx x x x x x xxsen (x+ y) = sen z COE sen (x - y) = sen x cos cos (x + y) = cos z cos cos (x - y) = cos x cosSon de uso frecuente mu-(1) Medida de ngulos. Hay dos mtodos generalmente usados para medir ngulos; es decir, hay dos sistemas de unidades angulares. Medida en grados. En este sistema el ngulo unidad es %60 de una revolucin completa y se llama grado. Medida circular. En est sistema el ngulo unidad es el que subtiende un arco de longitud igual al radio del arco, y se llama radin.XFunciones trigonomtricas deVolumen = % n:a (R2 +1'2+ Rr) .2. Frmulas de Trigonometra plana. chas de las siguietes frmulas.= 1; 1 + tg2X(3) Frmulas para reducir ngulo:-xVolumen = HBa.(9) Cilindro circular recto. Area total = 2 n:r(r + a).Relaciones entre las funciones 1 ctg x = --' sec x = tg x ' c sen x e T,g x = --' ctg x = cos x ' sAngulo= Ba.Volumen'N mero de radianes en un ngnl+ 2) an- '+1b 1 +En las siguientes frmulas de la Geometra elemental, r o R representa el radio, a la altura, B el rea de la base y s el lado o altura inclinada.(7) Prisma.180De dicha definicin tenemosFactoral de un nmero, ...O 01=1 radin = 180 = 57 2' n: '2) ... (n - r r - 1n!=I~=1234~=1 gradoa,,-2 b2+(n - 2) a,,-3 b3 + (n -de donde:DE F'tg(x+ )= Y.tgx+ tg Yl-tgxtgy'ti(5) Funciones trigonomtricas de ~n2x=2~nxoosx;oos2x=oo~ x sen 2=j/1- C.os x 2z!1; cos'2= j-La ecuacin que da la relacin entre los dos ngulos unidad es 180 grados = ]( radianes(n:=3,14159 ... ) ,sen2x ;:; Yz - Yz cos 2 x i co 23. http://carlos2524.jimdo.com/RESUMENun nmero enterode donde:1 gradoDEFORMULAS= I~O= 0,01745radianes :1 radin = 180 = 57 ,29gradosJtDe dicha definicin tenemos N ' d d' , l umero e ra wnes en un anqu. u 1l-r+lbl'-1+ ....tal, r o R repreel lado o altura nr ,Area = n:r2ngulo central delarco correspondiente radio=Estas ecuaciones permiten pasar de una medida a la otra. (2) Relaciones entre las funciones trigonomtricas. 1 1 1 ctg x = --' sec x = --' csc x = -. tg x ' cos x ' sen z ' sen x cos z T.gX = --' ctg x = -. cos x ' sen x sen" z+ cos"X =+ tg21; 1X1 + ctg"= sec" x;X =ese" x.(3) Frmulas para reducir ngulos. IAnzulo -xea lateral = 2 xra . rea lateral=nrs ,Seno - sen eos cos sen - sen - eos - eos - sen900-x 90+ x 180- x 1800+x 270- x 270+ x 360- x(4)x x x x x x x x-eos sen sen eos eos sen sen eos-x x x x x x x xsen (x + y) = sen (x - y) = cos (x + y) = cos (z - y) = tg (x (5)Tangente tg etg - etg tg tg etg - etg - tg-Cotangente - etg tg - tg - etg etg tg - tg -etgx x x x x x x x+ yJFunciones trigonomtricas de (xso frecuente mueralmente usados .dades angulares. dad es 7~60 de unaCoseno+ )= y,sen z sen x cos x cos xtg x + tg Y l-tgxtgy.x x xtg.x x x xy (x -(x _ yFunciones trigonomtricas de 2 xy-Xcos y + cos x cos y - cos x cos y - sen x cos y + sen xsee ese ese see see ese ese secngulos unidad es. .) ,xsen 2 =/1 - c.os x x /1 2 ; cos 2 = 'j'jsen" x= Y2 - Y22cos 2 x i cos? X=x x x x x x x .Aisen y . sen y. sen y. sen y.) = tg x -l+tgxtgy'de+ cos x-ese see see ese - ese - see - sec - cs~x x x x x x x xy).Y2tg Yx.sen 2 x = 2 sen x cos x; cos 2 x = cos" X - sen 2 x; tg 2 x = ad es el que subse llama radin.CosecanteSecantet z ; g 2=~:! .Y:! +2tg 1-tg2 x X/1 - 'j 100S2x..cos x+ cos x' 24. http://carlos2524.jimdo.com/CALCU LO DIFERENCIAL6(6) Transformacin de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos. sen x + sen y = 2 sen ~ (x y) cos ~ (x - y) . sen x - sen y = 2 cos ~ (x y) sen Yz (x - y). cos x cos y = 2 cos Yz (x y) cos Yz (x - yj. cos x - cos y = - 2 lOen Yz (x y) sen Yz (x - y).+ + ++(7)+Relaciones en un tringulo cualquiera.a b e sen A = sen B = sen C .Ley de los senos.= b2 + c2 - 2 be cos A . K = Yz be sen A .a2Ley de los cosenos. Frmulas para el rea.YzK =a2 sen B sen Csen (B+C)K = ,/ ses - a) (s - b) (s - e) , siendo s = 3. Frmulas de Geometra ana!Hica plana. importantes son las siguientes:(l)Distancia entre dos puntos Pl (Xl,d=y' (Xl-X2)2+ydYz(a+ b + e).Las frmulas msy P2{X2, Y2). Y2)2 .(y -m = Jll - y2 Xl - X2Pendiente de P l P2 .Coordenadas del punto medio. x(2)= Yz(Xl+ X2),y =Yz(Yl+ Y2) .Angulo de dos rectas en funcin de sus pendientes. tg ()=ml - m2 . 1 +ml m2(Si las rectas son paralelas es ml = m2; si las rectas son perpendiculares es ml m2 = - 1 . ) (3)Ecuaciones de la lnea recta.En funcin de uno de sus puntos y de la pendiente. y-yl= m (x -Xl)En funcin de la pendiente y de la ordenada en el origen.y=mx+b. 25. http://carlos2524.jimdo.com/RESUMEN DE FORMULAS7En fun cin de dos de sus puntos .y - YI X -XlEn funcin de los segmentos que determina s()/Yre los ejes(4)Distancia del punto PI(XJ, y} a la recta Ax + By + d = AXle = o.++BYI C . VA2+ B2(5)Relacior.(6)cos () ,y = sen (), =V x 2 + y2 ,() =are tg]L XEcuacin de la circunferencia.Centro (h, k).(7)Ecuaciones de la parbola.Con vrtice en el origen. y2 = 2 px, foco (Y2 P., O) . x 2 = 2 py, foco (O, Y2 p) . Con vrtice en (h, k) .(y - k)2 = 2 p (x - h), eje y = k . (X - h)2 = 2p(y-k), ejex = h. Con eje en el eje de las y. y(8)= AX2+ c.Ecuaciones de otras curvas.Elipse con centro en el on'gen y focos en el eje de las x . X2 y2 ~+b2 = 1. (a>b). Hiprbola con centro en el origen y focos en el eje de las x .Hiprbola equiltera con centro en el origen y los ejes de como asntotas . xy = C.Vase tambin el Capitulo XXVIcoordenada~ 26. http://carlos2524.jimdo.com/8CALCULO DIFERENCIAL4. Frmulas de Geometra analtica del espacio. de las frmulas ms importantes. (1)Distancia entre PI (Xl, gl, Zl) y P'1 (X2, g2, Z2).d= V (2)He aqu algunas(Xl -X2)2+(YI - Y2) 2+(Zl -Z2)2 .Lnea recta.Cosenos directores: co~ u, cos (:, cos y. N lImeros directores: a, b, c. cos (( -a-Entonces+ coscos 2 acos a = coscos [1cos y= -c--= --b2(3+ cos2y =a , / a2+b +c 2l.-,2b~ = ,/2a,+ b + ,.2 2ccos y = --:=~=== V a 2 + b2 + c2 Para la recta que une los puntos (Xl, yl, Zl ) y (X2, y2, Z2), se tiene: ros y cos a cos ~ Z2 ZI X2 - Xl y2 - yl (3)Angulo de dos rectas.Cosenos directores: cos a, cos ~, N illeros directores: a, b, c; a', Si 8 = ngulo de las dos rectas, secos y; cos b' , c'. tiene:+ cos ~ cos W+ cos y aa' + bb' + cc' ----;-==~~~..:....:...:=====:=====. V a +b +c V a +b +eos 8 = cos a cos a' cos 8=a',222/2'2CcosW,cos y' .cos y' ,/2Rectas paralelas .aa' + bb' + cc' = O. (4) Ecuaciones de la recta que pasa por el punto (Xl, nmeros directores son a, b, c. Rectas perpendiculares.x - Xl Y - Yl Z - Zl ---a-=--b--= --c-gl, Zl), y sus 27. http://carlos2524.jimdo.com/RESUMEN DE FORMULAS9(5) Ecuacin del plano. En el plano Ax + By + Cz + D = O, los cueficientes A, B, C sun los nmeros directores de la recta perpendicular al plano. Ecuacin de un plano que pasa por el punto (Xl, Yl, z) y es perpendicular a la recta que tiene los nmeros directores A, B, c. A (x - x) + B (y - Yl) + C (z - z) = O. (6)Angulo de dos planos.Ax + By + Cz + 1J = O. A'x + B'y + C'z + D' = O.Ecuaciones:Nmeros directores de la recta de interseccin:BC'- CB', ~iCA'-AC',AB'- BA'.() es el ngulo de los dos planos, se tiene: cos () =--;-==~A=A='=+~B:..:B=-:-='=+===,C=,C='====2 ..../ A 2 + B2+CV A,2+ B,2 + C/2.(7) Coordenadas cilndricas. La distancia z (fig. 1) de un punto p (x, y, z) al plano XY y las coordenadas polares (Q, ()), de que forma OP con el eje de las z y el ngulo () que forma la proyeccin de OP sobre el plano XY con el eje de las x, se llaman coordenadas esfricas de P. El ngulo cf> se llama 28. http://carlos2524.jimdo.com/10CALCULODIFERENCIALla colatitud y (j la longitud. Las coordenadas esfricas de P se escriben (1-, cf>, 8). Si x, y, z son las coordenadas rectangulares de P, entonces, de las definiciones y de la figura, tenemos:=xr sen cf> eos 8 ,y 85.AlfabetoLETRAS=r sen cf> sen 8 ,= are tg JL, xNOMBRESLETRASaAlfaI(iBetaJ{rr oGamaA,DeltaMEpsilonZtHYJe o,coscf> = arc tg~---cV x2 +y2z. CAPITU/1E=rgriego.ALlzNOMBHESlota KKapaLETRAS l' "NOMBRESRorrVARIABLES,FUNCIISigrnaLambdat:-Taup.Mi o muruIpsilonN~Ni o nu1/1l'FiDseta o zetaE,XiX1.Ji o kiEtaOoOmieron'1'~"PsiPi!!wOmegaTetaHt:6. Variables y constantes. Un se le puede asignar, durante el CUT nmero ilimitado de valores. Las va las ltimas letras del alfabeto Una cantidad que durante el curs se llama constante. Constantes numricas o absolutas valores en todos los problemas, corr Constantes arbitrarias, o parmetro asignar valores numricos, y que d esos valores asignados. Usualmente letras del alfabeto. As. en la ecuacin de la recta,~+JL. abx y y son las coordenadas variables d lnea, mientras que a y b son las cons la abscisa en el origen y la ordenada E que son valores definidos para cada rE El valor numrico (o absoluto) de u de su valor algebraico , se representa 1 smbolo I a I se lee "valor numrico d7. Intervalo de una variable. A a una porcin del sistema de nmeros gir nuestra variable de manera que to didos entre a y b. Tambin puede SE 29. http://carlos2524.jimdo.com/AL sfricas de P se escriben res de P, entonces,z=rcp=cos cf> ;arc t.gde--- y2 +vi x2z.CAPITULO LETRASr "IINOMBRESRorr :-uIpsilonpl'FiX1Ji o kiy LIMITESTaurFUNCIONESSigmarVARIABLES,'r ~"Psi~lOmegaw6. Variables y constantes. Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de anlisis, un nmero ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las ltimas letras del alfabeto Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante. Constantes numricas o absolutas son las que conservan los mismos valores en todos los problemas, como 2, 5, "";7, cr , etc. Constantes arbitrarias, o parmetros, son aquellas a las que se pueden asignar valores numricos, y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Usualmente se representan por las primeras letras del alfabeto. As. en la ecuacin de la recta, xy-+-= a b1'x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre la lnea , mientras que a y b son las constantes arbitrarias que representan la abscisa en el origen y la ordenada en el origen, las cuales se supone que son valores definidos para cada recta. El valor numrico (o absoluto) de una constante a, para diferenciarlo de su valor algebraico , se representa por 1al. As, 1- 21 2 = 121. El = smbolo 1 a I se lee "valor numrico de a" o "valor absoluto de a' , . 7. Intervalo de una variable. A menudo nos limitamos solamente a una porcin del sistema de nmeros. Por ejemplo, podemos restrugir nuestra variable de manera que tome nicamente valores comprendidos entre a y b. Tambin puede ser que a y b sean incluidos o que 30. http://carlos2524.jimdo.com/12CALCULO DIFERENCIALuno () ambos sean excludos. Emplearemos el smbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los nmeros a y b y todos los nmeros comprendidos entre ellos, a menos que se diga explcitamente otra cosa . Este smbolo [ a, b] se lee "intervalo de a a b' , . 8. Variacin continua, Se dice que una variable a vara de una . manera continua en un intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores intermedios entre a y b en el orden de s u s magnitudes; o o--------- (x) , J' (x), etc. Durante todo el curso de un proceso, un mismo smbolo de funcionalidad indicar una misma ley de dependencia entre una funcin y su variable. En los casos ms simples, esta ley expresa la ejecucin de un conjunto de operaciones analticas con la variable . Por consiguiente, en un caso de esta clase el mismo smbolo de funcin indicar la misma operacin, o conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores de la variable. As, por ejemplo, si X2 -9x+ 14,f (?I) = y2 -9Y+ 14 ;f(x) =entonces,f(b+1)= (b+1) 2 - 9(b + 1)+14=b 2 -7b + G f( O) = 02 f( - 1)-9 0 + 14 = 14,= (_1)2 - 9 ( - 1)+ 14= 24,2f(3) =3 - 9. 3 + 14= - 4 .12. La divisin por cero, excluida. El cociente de dos nmeros a y b es un nmero x tal que a = bx. Evidentemente, con esta definicin la divisin por cero queda excluda. En efecto, si b = O, Y recordando que cero tomado cualquier nmero de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = O. Si a = O, entonces x puede ser cualquier nmero. Por lo tanto, las expresiones que se presentan en una de las formas aOO'OIcarecen de sentido por no ser posible la divisin por cero. 32. http://carlos2524.jimdo.com/14CALC ULO DIFERENCIALDebe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero. La siguiente paradoja es un ejemplo . Supongamos que Entonces, evidentemente, ab Restando b2 , Descomponiendo en factores, h (aDividiendo por a -/ , Pero, luego, o ~ea quea = b. ab = a 2 b2 = a~ -b~.b) = (a+b) (a- /; ) .b=a+b. = b; b = 2 b, 1 = 2.aE l resultado absurdo proviene de haber dividido por a - b=O.PROBLEMAS 1.Dado f (x) = x a - 5 X2 - 4 x f ( I )=12,f(5)=0,+ 20 ,d emo strar qu e( 0 ) = - 2(3),(7)=5( -1 ).2.S i {(x)=4-2 x2+x, calcular (O), f( I ), f( - I), (2), (-2)3.Si F (e)4.Dado f (x) = x 3 - 5 X2 - 4 x=sen 2 e+ cos e,hallar F (O), F ( Yz n), F (n).+ 20,demostrar quef(t+I)=t3 - 2r 2 -11 t+ 12.5.Dado f (y)=y2 - 2 y+ 6,demo s trar'q U C+ h) = y2 - 2 y + 6 + 2 (y = x 3 + 3 x , d e mostrar qucf (yn.0 .1(z);;' 4=,9.Si > (x)10.x= al',demostrar que >(z+ 1) -demostrar que> ( y ) > (z) = > (y+ z).1 - x , demostra r que I+ xDado> (x) = l og -1+ lJZD ado f~ x)= se n x. d emostrar quef(x + 2h)-f(x) =2cos (x +h ) senh. S UGESTION .h+>(z) = 3 >(z) .>('1)+>(z) = >('1+Z). 11.X2Utili za r l as frmu las (6) del Articulo 2 .xh 33. http://carlos2524.jimdo.com/VARIABLES . FUNCIONES Y LIMITES13. Grfia de una funcin; continuidad. x2 y hagamos (1) Y = Xl.15Consideremos la funcinEsta relacin da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unvocamente a y para todos los valores de la variable independiente. El lugar geomtrico de (1) es una parbola (fig. 4) Y se llama la grfica de la funcin X2. Si x vara continuamente (Art. 8) desde x = a hasta x = b, entonces y variar continuamente desde y = a2 ha"ta y = b2 , Y el punto P (x, y) se mover continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a 2 ) hasta (b, b2 ). Adems, a y b pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que , 'In. funcin X2 es continua para todos los valores de x".Fig.4Fig. 5Consideremos ahora la funcin (2)Y1 x 1Hagamos= -X'EflL p.cuacn da un valor de y para cada valor de x, con p.xcepci{m de x = O (Art.. 12) ; para x = O la funcin no est definida. La grfica (fig. 5), que es el lugar geomtrico de (2), es una hiprbola equiltera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalo la, bl que no incluya x = O, entonces y decrecer continuamentedp.sde~hasta~, y el punto P (x, y) describir la curva entre lospuntos correspondientes ( a, quc "la funcin~),(b, ~ ).En este caso decimos1- es continua para todos los valores de x con excepxcin de x = O' '. No existe en la grfica un punto correspondiente a x = O. Estos ejemplos ilustran el concepto de continuidad de una funcin. Una definicin se dar en el Artculo 17. 34. http://carlos2524.jimdo.com/CALCULO DIFERENCIAL1614. Lmite de una variable. La nocin de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, en la Geometra elemental, al establecer o deducir la frmula que da el rea del crculo. Se considera el rea de un polgono regular inscrito con un nmero n cualquiera de lados, y se supone, despus, que n crece infinitamente. El rea variable tiende as haca un limite, y este lmite se define como rea del crculo . En este caso, la variable v (rea) aumenta indefinidamente, y la diferencia a - v (siendo a el rea del crculo) va disminuyendo hasta que, finalmente, llega a ser menor que cualquier nmero positivo escogido de antemano, sin importar lo pequeo que ste se haya elegido. El concepto de lmite se precisa mediante la siguiente DEFINICIN. Se dice que la variable v tiende a la constante l como lmite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor numrico de la diferencia v - l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier nmero positivo predeterminado tan pequeo como se quiera. La relacin as definida se escribe lim v = l. Por conveniencia, nos serviremos de la notacin v -7 l, que se leer "v tiende hacia el lmite l" o, ms brevemente, "v tiende al". (Algunos autores usan la notacin v -:"l . )EJEMPLO.Si u toma la sucesin infinita de va loreses evidente que u -72 al crecer n . es decir . lim u= 2.Si sobre una lnea recta, como en el Artculo 8, se seala el punto L que corresponde al limite l, y se coloca a ambos lados de L la longitud E, sin importar lo pequeo que ste sea, entonces se observar que los puntos determinados por v caern todos, finalmente, dentro del segmento que corresponde al intervalo [l - E. l + E ] . 15. Lmite de una funcin. En las aplicaciones de la definicin de lmite, se presentan usualmente casos como el siguiente: se tiene una variable v y una funcin dada z de v, y se supone que la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende tambin a un limite. Si efectivamente existe una constante a tal que lm z = a, entonces se expresa est.a relacin escribiendolmz=a, V-71y se leer: "el lmite de z. cuando v tiende a l, es a . ' , 35. http://carlos2524.jimdo.com/VARIABLES . FU NC IO NES Y LIMITES1716. Teoremas sobre lmites. En el clculo del lmite de una funcin tienen aplicacin los teoremas siguientes. Las demostraciones se darn en el Artculo 20 . Supongamos que u, v y w sean funciones de una variable x y que lm u = A,lm v = B,",~a", ~ac.lm w =x~aEntonees son ciertas las siguientes relaciones. (1)lm (ux~a(2)+ v- w) =lm (uvw)x~ax~a VC.ABC., u = -, A 1 1m -(3)+B -=A. Bno es cero.SIBEn breves palabras: el lmite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente de los lmites respectivos, con tal de que, en el ltimo caso, el lmite del divisor no sea cero. Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de lo anterior se deduce: (4 )Hm (ux~a+ c)+ c,=Alm cux ~a= cA ,lmx~"~ = ~. VBConside remos algunos ejemplos. 1.Demostrar q u e l i m (x 2 x~2+ 4 x)= 12.Demostracin. La f uncin dada es la suma de h allarem os lo s li mites de estas d os funciones. Seg n (2).limX2=X2y 4 x.En primer lugarp u esto q u e xc = xx.4.x~2lim 4x=4 lim x = 8.Seg n (4).:t ~ 2x~2Luego. seg n (1). el limite bu scado es 4 2. "Demostrar q ue l imZ2 -z ~2Demostracin.z9 = _+2+8 =12 .2.. 4Co n side rand o el num erador. lim (Z2 - 9) = -5. segn2~2(2) Y (4).E n cuanto al denominador . li m (z 2~~+ 2)=4.Lu ego. d e (3).tenemos el resultado buscado.17. Funciones continuas y discontinuas. Artculo 16 , donde se demostr que lm (X2x-;'2+ 4 x)12,En el ejemplo 1 del 36. http://carlos2524.jimdo.com/18CALCULO DIFERENCIALobservamos que la solucin es el valor de la funcin para x = 2 ; es decir, el valor lmite de la funcin cuando x tiende a 2 es igual al valor de la funcin para x = 2. En este caso decimcs que la funcin es continua para x = 2. La definicin general es la siguiente: DEFINICIN. Se dice que una funcin f(x) es continua para x = a si el lmite de la funcin, cuando x tiende a a, es igual al valor de la funcin para x = a. En smbolos, silm (x)=(a),X-7aentonces f (x) es continua para x = a. Se dice que la funcin es discontinua para x = a si no se satisface esta condicin. Llamamos la atencin de los dos casos siguientes, que se presentan frecuentemente. CASO l. Como ejemplo sencillo de una funcin que es continua para un valor particular de la variable, consideremos la. funcin X2 -f(x) = -4 -ox- 2Para x = 1, f ex) = fe 1) = 3. Adems, si x tiende al, la funcin f(x) tiende a. 3 como lmite (Art. 16). Luego la funcin es continua para x = 1 . CASO n. La definicin de funcin continua supone que la funcin est definida para x = a . Sin embargo, si este no es el caso, a veces es posible asignar a la funcin t al valor para x = a que la condicin de continuidad se satisfaga. En estos casos se aplica el siguiente teorema: Teorema.Si f (x) no est definida para x=a, perolm (x) = B,X-7 aentonces fex) ser-continua para x = a, si se toma como valor de f ( x) para x = a el valor B. As, por ejemplo, la funcin X2 -4x-2no est definida para x = 2 (puesto que entonces habra divisin por cero ) . Pero para todo otro valor de x x~ - 4 x_2=x-l-2; 37. http://carlos2524.jimdo.com/VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITE Slm (xy: es lna fllllcin c;)ntinll:t(vase el Art. 70), tenemos: CUAR'!'O PASO.d -d~ = f XI (x)= Im tg 1> = t g :- , 6 :1: ----7 0= pendiente de la tangente en P . As hemos establecido el importante teorema siguien te : Teorema. El valor de la derivada en cualqer punto de na crva. es ente de la tangente a la cu rva en wuel punto . 1 gual a la pend1 52. http://carlos2524.jimdo.com/14CALCULOEste problema de la t.angente del Clculo diferencial.llev a LeibnitzEJ ElvIPLO. (fig.Hallar las pendientes de las en el vrtice y en el punto de a bscisa7)Solucin. resulta: (2)tangentesxDerivando=dydx=2 x= YzpendienteFig.*6. tangenteal descubrimientoa la parbolay = x2la reglageneralde la tangente(Arr.27)en cualquierde la tangente (2), obteniendo: dy=dyP formaen el punto= O.el eje de las x un a n g ul o de 45".PROBLEMAS Aplicando las derivadas hallar la pendiente y la inclinacin de la tangente cada una de las curvas siguientes en el punto cuya absc isa se indica. Verificar re s u l t ad o r ra z.an do la curva y la tangente,2.Yx2 -lJ2x - Yz xs ie n d o x3.y4.Id = 35.Ysiendox3So!'+3x-siendo- 3x2,a el2; 63" 26'.3.x = 2.- x-l=1.s ie n do x2,4..x3siendoxx = - J.=+)1.Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) naci en Le ipz ig . Su gran talento se manifest con investigaciones originales en varios ramos de la Ciencia y de la Filosofa, Fu el primero que public sus descubrimientos de Clculo infinitesimal en un breve ensayo que apareci en la revista Acta Eru d i t or um . de Leipzig. en 1684. Se sabe, no obstan te, que ya existan manuscritos de Ne w to n sobre las" fluxiones", y algunos hi si or i.idores creen que Leibnitz recibi las nuevas ideas de aqullos. Actualmente se cree, a lo que parece, que Ne w to n y Leibnitz inventaron el Clculo inf in ite si mal independientemente el uno del otro. La notacin que hoy se usa es la que Le ibn itz introdujo.Sol.= x2-1,Y = x2, X' cony=l-x2, yl:dxde la curE n cada uno de los tres sig u ier seccin del par de curvas dado; 1 a cada curva, y el ngulo forma seccin (vase (2) del Artculoen el vrtice,dx72,En la curva y = ;(3 a la recta y = 4 x .8.Luego la pendiente de la tangente en el vrtice es cero; es decir, la tangente es paralela al eje de las x , y en este caso coincide con l. Para hallar la pendiente de la tangente en el punto P, de ahscisa x = Yz ' bastar s u st i t u i r x = Yz en (2). Se obtiene:1.7. paralela9.xe s de c ir , la tangenteHallar el punto es de 45..segnpunto (x, y) de la curva. Para hallar la pendiente bastar sustituir x = O eno[DIFERENCIAL-11. Hallar de interseccinY+2= O.el ngulo(3, 3).de lasC1 53. http://carlos2524.jimdo.com/35DERIVACION 6. Hallar el p un to de la cu rva y = ' x tan ge nt e es de 45 . 7. En la cur va y = x 3 paral ela a la recta y = 4 x.+X 2en el qu e la inclin aci n de la S ol . (2, 6 ) .x h a llar lo s puntos en los que la tangente es Sol . (1. 2) . (-1. -2) .E n cada uno de los tres siguientes problemas hallar: a) los puntos de intei. seccin del par de curvas dado; b) la pendiente y la inclinacin de la tallgente a cada curva, y el ngulo formado por las tangentes. en cada punto de interseccin (vase ( 2) del Artculo 3) . 8.9.Y =X2.X -!JSol.y=l-x 2 , y = X2 - 1.+2=Angulo de interseccin10.O.!J = x 3-arc tg%53 8'.3 x.2 x +!J "" O.11. Hallar el ngulo de las curvas 9!J - x 3 y !J - 6 de interseccin (3, 3).+8 x- x 3 en el punto Sol. 21 27'. 54. http://carlos2524.jimdo.com/CAPITULO IV REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS29. Importancia de la regla general. La regla general para derivacin, dada en el Artculo 27, es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definicin de derivada, y es muy importante que el lector se familiarice completamente con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolucin de problemas es largo o difcil; por con>iguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciert.as formas normales que se presentan con frecuencia. Es cmodo expresar estas reglas especiales por medio de frmulas, de las cuales se da a continuacin una lista . El lector no slo debe aprender de memoria cada frmula cuando se ha deducido, sino tambin poder enunciar en palabras la regla cOlTespondiente . En estas frmulas 1l, v, w representan funciones deriva bles de x. 1)b~RJVA C16NFHMULAS DEde dx1IVvO .d:r = 1 dx .II III=d - (u dx+v-w)du dxdo dx= -, + -d dxdw - -. dxdv dx-(ev) = e-. d - (uv) dx=dv udxdu + v-o dx 55. http://carlos2524.jimdo.com/REG LAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICASVId dv _(vn) = mi' -l - . dx dxVIad dx (xn)37=nXn - l.dudvv dx -- ud; VIIV2duVIIa~ (~)=d;.dy dy dv - - .siendo y funcin de v. dx - dv dx'-VIIIdy1- - - dx' siendo y funcin de x. dxIXdy30. Derivada de una constante. Si se sabe que una funcin tiene el mismo valor para cada valor de la variable independiente, esta funcin es constante, y podemos representarla por y=c.Cuando x toma un incremento .1x, el valor de la funcin no se altera j es decir, .1y = O, Y Ay = O.1x..1y 1"' -7 0 I1xdy dx,hmPero I:.--=-=o.~~ = o.La derivada de una constante es cero.Este resultado se prev fcilmente. En efecto, la grfica de la ecuacin y = c es una recta paralela a OX j luego su pendiente es cero . Y como la pendiente es el valor de la derivada (Art. 28) resulta que la derivada es cero. 56. http://carlos2524.jimdo.com/38CALCULO DIFERENCIAL31.Derivada de una variable con respecto a s misma.Sea=yx.Siguiendo la regla genera.! (Art. 27), tenemos: yPRIMER PASO.+ f'..y = x + f'..x .SEGUNDO PASO.f'..y = f'..x .TERCER PASO.f'..y = . AlCUARTO PASO.-= 1o;;dy dx.dx = 1. dx11La derivada de una variable con respecto a s misma es la unidad.Este resultado se prev fcilmente. En efecto, la pendiente de la recta y = x es la unidad. 32.Derivada de una suma.Sea1! = u+v--w .Segn la regla general: yPRIMER PASO.+ f'..y = u + f'.. u + v + f'..vSEGUNDO PASO.TERCElt PASO.f'.. y f'..x+ f'..v -f'..y = f'..u=-f'..w.f'..u+ f'..v _ f'..U) I1x f'..x f'..xAhora bien (A;-t. 24) , lm f'.. u = du 6.>:-)0f'..xdx'lm f'..v = dv 6 :1:--70f'..xlm f'..1Jj = dwdx'6X--70f'..xLuego, segn (1) del Artculo 16 , dy = du dx dxCUARTO PASO.IIId.-(u+v-- w) dx+ dv_ dy; . dxdJ;du dv dw = -+---. dx dx dxdx .It' -f'..w. 57. http://carlos2524.jimdo.com/REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS39Una demostracin semejante es vlida para la suma algebraica de cualquier nmero de funciones. La derivada de la suma algebraica. de un n"lmero finito n de funciones es 1:gual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.33.Derivada del producto de una constante por una funcin.y = cv .Sea Segn la regla general: PRIMER PASO+y+ f1v)f1y = e (v=SEGUNDO PASOf1yTERCER PASO=cv+ c/).v.f1,!/ f1v - =c f1xcf1v /).xDe donde, segn (4) del Artculo 16, CUARTO PASOd - (ev) dxIVdv dx= e-.La derivada del producto de una constante por una funcin es 1gual al producto de la constante por la derivada de la funcin .34.Derivada del producto de dos funciones.ySea=uv.Segn la regla general: PRIMER PASOy+ f1y =+ f1u)(u(v+ f1v) .Efectuando la multiplicacin: ?J+ l1y =+ uf1v + vf1u + f1uf1v. uf1v + vf1u + f1uf1v .uvSEGUNDO PASO.f1yTERCER PASO.i1y /10 f1u /).V -=u-+v-+/).u-. /).x=/).x/).x/).x 58. http://carlos2524.jimdo.com/40CALCULO DIFERENCIALAplicandn (2) Y (4) del Artculo 16, notando que lm l1u = O, 6X-7 0I1v y que, por tant.o, el lmite del producto l1u I1x es cero, tenemo,;:vdy = u dv+ u du .d dv -(uv) = udx dxCUARTO PASO.du + v-o dxdxdxd.l:T,a derivada di! un JHvdw to de dus funciones es igual al producto de la primera funcin por la derivuda de la segunda, ms el producto de {n segunda por ln dr!1'1'vadn de la prirnem . 35. Derivadadel producto de n funciones, siendo n un nmero fijo. Si se dividen am bos miembros de la fnl'mula V por x2) =(ax 4) -dx-,~(X2)dx2 bx.~ dx(bX2)segn II! seg n IV Segn VI a+ 5. dy =dx=!!...dx(x%)+ _~ (5) dx .% x Va .* Mientras el estudiante aprende a derivar. derivacin de funciones sencillas.segn JII Segn VI a y debe recibir leccin oral de 61. http://carlos2524.jimdo.com/REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS43segn IIr Seg n IV5.y vray=(x2-3)~.Solucin.=dydx3) 4~(.X2 - ) ) dx l () = X2 - 3 y5 (x 2segun VI--=115. J=5(x 2 -3)4.2x= IOx (x 2 - 3)4Es posible desarrollar esta funcin segn la frmula del hinomi0 de Newtoll y ento nces aplicar III. etc .. pero el procedimiento aqui dado es preferible.l (3 ). Art. 11Va 2 - x2 Solucin. dy =.!!...6.1} =dx(a2 _ x2)Yo=.l (a2_ xZ ) -Yo .!!... (a Z -x2) 2 dxdx[() =a2 -yX2=nl1z=..!...(a 2 - x 2 )-Yo(-2x) =27.y =(3 x2Solucin.+ 2) vi 1 + 5segn VI.1Vx a 2 - X2X2.x2+2)~ ( 1 +5 x 2 )v, + ( 1 +5 X 2)Y, ~ (3 x2+2)dI} = (3 dxdxdxsegn V..!... (1 2+ 5 X2) -Yo .!!... dx+(1+5(l+' 5 X2)x2) Y, 6 x+segn VI. etc.(1 +5 x 2 )-y, 5 x+6x(1 +5 x 2 ) y, 5x(3x2+2) ./ 5 . 45x 3 +16x 1 5 X2 + 6 x v 1 + X2 = l + 5 X2 .+= V y =a2VSolucin.+a2X2-dy =V.X2 (a 2 - X2) y, ~ (a 2 . dxdx+ X2) a22 x (a 2x2)-(a 2 ---(a 2+ x2) .!!... (a 2 -X2(a 2-X2)%segn VII+ x (a 2 + X2) X2)%[Multiplicando num erado r y denominador por (a 23 a2 x - x 3X2) y,dx-x2L1 62. http://carlos2524.jimdo.com/CALCULO44DIFERENCIALcada una de las s ig u ie n t es derivadas.Comprobar10.~ dt12.:z (~ -28.y = X/V~O. s = t13.31.=)32.~vv=~elu 2vudx'15.~(2t%-3 (2x% + 4 x-X) = 2. x-X - x-X.35.s: ( a + bx + cx2V-:;=2Y =a=C_.z . dy __ dx -1 __ _ /4vx2veVedtI/-;; + _a_ovax2 tdya_dx -e=v~_23.F(t)= (2-3t2)3.F'(t)24.F (x ) = ~ 4 - 9 x.F' (x)38.dO= -V= -18veu2,/axde202V3=40.,a2x2-y=F (O)V= (2 -dxx2 5 O)%.F'(O)=lj =40.Y =~la derivada3 t2)2.-43.x2f (x) =de cada44.y = J ~-3 2/'5 IJ)dy=2b(a_~). x45.1546.y =.s=UIV2x + ~32-x 2.2.x 31 X2) 12-x2V {/~ -(/Hallar t(2(2 -dx.y-:-; .39.3(a2 _t.1 1- 2 O'x=H/2 + 3"j2-3t2 xV-ax=dy. a2 -s ~242.27.r =I_+ xvx . _/-ds a b -=---+--+---.3 cve+ bt + ct22.26..V37.x"V-:;y=------.s)X225.x.36.dx21.y=x217.20.-V~2y=3dx19.a34.t-~.x2 x22+ ~.t%) =.2t~-2dt16. ~18.a y=---. + 233.= - ~2a y=--. - x a+xZ - Z6.dx:x (~ - ;)+ ta215 bt>.=5 at" -714.+x . bII2 x3) = 3- 6 x2(at -- 5 b(3)z7DERy=(a+~y29.s. (4 + 3 x dx11.PARAREGLASVa V~.-hx 63. http://carlos2524.jimdo.com/REGLASPARAy=(a+~t29.y = x/ ({30.s = /31.a -y=34.35.36.37.,VI"d.;x a2 -1I y=j~'._4 O.=jlj40.y =-e-Vu2x2V= -6 (1 -liti =42. 43.r2a2 -+3t{/2du _ _ e/x -v'2-; + ~T;.X44.!J=45.s =46.l'=Va -Va+ 6/~ a+,iJ lji:{(2 -3/)%'/)2.'d!J _(a% _.. Y (y) multneamente segn la regla general. PHIMr,m PASO.y+~y= f(x+~x)x+ ~ x=1>SEGUNDO PASO.y+!y= f(x+~x)SI-x+!x= 1> (y-t,1y)= f(x)yx~ y= f(x+~x) Tlc l tC~~RPA SO.- f(x)~yf(x+~x)-f(x)~x~x(y+Ay).= 1> (y) ~x =1> (y + ~y)- 1> (y).~x _ 1>(y+ ~y) - 1>(y) ~y-~yMu ltiplicando e:-;Las ra zo,n es , Lomando las formas d e la izquierda, tenemos: l1y I1x -=1 11~: l1y ,~y =I1x~x 'Ay CUARTO PAS.Cuando Ax-;'O, entonces, en general, tamhin[). y -;. O. Pasando al lmite, (e)(n)dy 1 dx = dx' dysegn (3), Art. Hi1 f'(x) = cf>/{y) La derivada de la funcin inversa es igual al1'ec proco de la derivada de la funcin directa. 67. http://carlos2524.jimdo.com/REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS4940. Funciones implcitas. Cuando se da una relacin entre x y y por medio de una ecuacin no resuelta para y, entonces y se llama funcin implcita de x. Por ejemplo, la ecuacin (1 )X2 -4Y=Odefine y como funcin implcita de x . Es claro que por medio de esta ecuacin x se define igualmente como funcin implcita de y. A veces es posible resolver la ecuacin que define una funcin implcita con respecto a una de las variables, obteniendo as una funcin explcita. As, por ejemplo, la ecuacin (1) puede resolverse con respecto a y, obtenindose 1= - x2 , 4Ydonde aparece y como funcin explcita de x. En un caso dado, sin embargo I puede ocurrir que semejante resolucin sea imposible I o demasiado complicada para una aplicacin cmoda. 41. Derivacin de funciones implcitas. Cuando y se define como funcin implcita de x I puede no ser conveniente (como hemos dicho en el artculo anterior) el resolver la ecuacin para obtener y como funcin explcita de x, o x como funcin explcita de y. Entonces para calcular la derivada seguimos la siguiente regla: Derivar la ecuacin, trmino a trmino, considerando y corno funcin deX,y de la ecuacin resultante despejar~~ .La justificacin de este mtodo se dar en el Artculo 231. En la derivada pueden sustituirse solamente los valores correspondientes de x y y que satisfacen a la ecuacin dada. Apliquemos esta regla en hallar~;en la funcinTendremos: d - (ax 6) dx6 ax"d + .- (2 dxd X3 y ) - - (y7:x;) dx+ 2 x a dy + 6 x2y dx (2 x 3-y7 - 7 xy6dI}= -d (10);~ =dxdxO.)7 xl;) dy = y7 - 6 ax .- 6 xly ; dx 68. http://carlos2524.jimdo.com/50CALCULOY desneu de dy espejan O dx'REGLASDIfERENCIALPARADER25. Demostrar que las par tan en ngulo recto.resulta: dy_yl6 ax5-dx -2 x3El estudiante debe notar tanto u T como a y.que,-6 :J.;~y 7 xlen general,26. Demostrar que las cir x2 -- y2 -1- 2 x -1- y = 10 son tel resultado27.contendr Bajoqu nguloco rt:Si f (x) y

(x)PROBLEMAS Hallardy para dxcadauna de las funcionesPROBLsiguientes:1. El vrtice de la parbo de la parbola es un extremo parbola y la elipse se cortan er1.V2.y =3.a y._---U1I=~--(1d,y _ dx -X.x ='l.y2=8.x2+ y29.b2 x22. Se traza un crculo de c o r t a en ngulo recto a la elipsee/x (~!!.= __que--=l__+ y2 + y'1dx--- = --,-;--.4.il x3y ...I;--213.x"-1- 3x2yH..v15.x216.10.17.ax3 -12. Hallar('2.a2y2+ yl32/xl3x3 -V~.= 2/a/3 .=+ y33 axyla pendiente+ xya2 1>2.=V~+ Vy 2'11.-1-== O.18.de cada una de las siguientes (2,3) .3 x q? -1- y3 = 1 ;(2,-1) .19. 20.x3 -21.V2x22.x2-2Vxy-23.x3 -21, x2 -+ .. /'3Y=5;'l2ax q+3Cl9:!.= 52 ; = 3 a3x'Vxy-2 'l2= (,;2) .(8, ;(a, (4,que . recta+y2V--'::Y-1-aV---;';y -13 b2xy~-I-~~ curvasa) .1) .ni am centesisevcrif ica quet.y~ = ('''.5. Hallar la ecuacin de la cualquiera. Demostrar que la >= (/.divididay2 = b>.-- cy3 = 1.6.en la raznm por nelSi k es la pe n dren .e dedemostrar que su ecuacin es y de los puntos de interseccin d ecuacin x2 -1- y2 = a2 - b2.= 6.en el puntodado.- );:1. ~t.3) .(2,+--1-Sol.-1- 2 y2 = 28;x2Demostrarx4+4x3'l+y4=20.2 px .3. Se une un punto cuale estas rectas forman con la6 y%dyVy -I--Y;;.f..1) .-".J!15 Y -1- 5 y" -1- 3 y".15 x(3 x2d Y = ~4.,-::..ab=-- _ _ dx (,,-I-lI)2 (b--X)2.lI=VI-x2.4.5.= x3 -b -- X b -- xu-1-au2,2 u- 69. http://carlos2524.jimdo.com/REGLAS PARA D ERIVAR FU N CIONE S ALGEBRA ICAS5125. Demo s trar que las parabolas y2 = 2 p x + p2 Y y 2 = p2 - 2 px se cor'tan e n ngulo recto. 26. Demostrar que las circu nf erencias X2 + y 2 - 12 x - 6 y + 25 = O y X 2 + y2 + 2 x + y = 10 son tangentes en e l punto (2, 1). 27.Bajoqu ngulo corta la recta y =2x alacurvax 2 -x y+2 y2=28?28. Si f (x) y '" (y) son funciones in ve rs as, demostrar que la grfica d e '" (x) puede dibujarse construyendo la grfica de -f (x) y haciendo girar sta a la izquierda 90 a lr ede dor del origen.PROBLEMAS ADICIONALES 1. El vrtice de la parbola y2 = 2 px es el centro de una elipse. El foco de la parbola es un extremo de uno de los ejes principales de la elipse, y la parbola y la elipse se cortan en ngulo recto. Hallar la ecuacin de la elipse. Sol. 2. COrla4X2+2y2=p2.Se tra za un circulo de centro (2 a . O) con un radio tal que el crculo en ngulo recto a la elipse 1> 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 Hallar el radio.Sol. 3 . Se un e un punto cualquiera P d e una e lip se con los focos. Demostrar que es tas re c ta s fo rman con l a n or mal a la curva en P ngul os a g udos igual es. 4.D e m ost ra r qu e l.1 re cta Bx + Ay = AH es tangente a la elipseni ca ment e si se verifica queIF,, 2 + .tP'2=A2/F.5 . Hallar la Hitacin de la tangente a la curva xmyll = u m + 1l en un punto cua lquiera. Demostrar que la parte de tangente comprendida entre los ejes queda di v idida en la ra z n m por el p unto de contacto.nSol. 6.mYI (x -XI)+ nx (y-YI) =o.Si k es l a pendlerLe d e una tangente a la hip rbola b 2 x2 - a 2 y2 = u 2b 2.,demostrar qu e s u ecuacin es y = kx V a 2 k 2 - b 2 , y que el lugar geomtrico de los puntos de interseccin de las tangentes perpendiculares est dado por la ecuacin X 2 + y2 = a 2 - b 2 . 70. http://carlos2524.jimdo.com/CAPITULO VAPLICACIONES DE LA DERIVADA42. que siDireccin de una curva.Se ha demostrado en el Articulo 28y = f(x) es la ecuacin de una cu rva (fig. 8), en tonces:~ =pendiente de la tangente a la curva en P (x, y).yBxAF ig .8Fig.9La direccin de una curva en cualquier punto se define como la direccin de la tangente a la curva en este punto. Sea T = inclinacin dE' la tangente. Entonces la pendiente = tg T, Y : : = tgT=pendiente de la curva en cualquier punto P (x, y).En los puntos como D, F, H, donde la direccin de la curva es paralela al eje de las x y la tangente es horizontal, se tiene dyT= O; lu ego dx = O. 71. http://carlos2524.jimdo.com/APLICACIONES DE LA DERIVADA53En los puntos como A, B, G, donde la direccin de la curva es perpendicular al eje de las x y la tangente es vertical, se t.iene 7"~~= 90 ; luego3 Dada la curva y = x 3 La inclinacin. cuando x = l.EJ EM PLO 1. a)se hace infinita. X2+2(fig. 9). hallar:b)El ngulo. cuando x = 3.c) d)Los puntos donde la direccin de la cur va es paralela a OX. Los puntos donde T = 45.e)Los puntos donde la direccin de la curva es paralela a la recta 2:< - 3 Y = 6 (re cta AB).Solucin. a) b)D er ivando . dy =Cuando x = 1. Cuando x = 3.2 x = tg "X2 -dxtg' = 1 - 2 = - 1; luego" = 135 . t g T = 9 - 6 = 3; luego. = 71 34'.c) Cuando .=0. tg.=O: ec uac in. obtenemos x = O 2 .luego x2 -2x=0. Resolviendo esta S ustituy endo estos valores en la ecu,lcinde la curva. hallamos y = 2 cuando x las tan gentes en d)Cu.lnoe(o . T2) y D(2 .=O. y =2 3" cuandox = 2. Por tanto .+) son paralelas al eje OX.= 45" . tg e = l.lu ego: 2,f' (x) f' (x)(+)( - ) = - . (+ ) (+) = +.Luego f(x) tiene un mnimo cuando x = 2. Segn la. tabla anterior, este valor es y = f(2) = 1 . Estos resultaclos se resumen en la siguient0, regla, que sirve de guo, en las aplicaciones. 47. Primer mtodo para calcular los mximos y mnimos de una funcin. Regla gua en las aplicaciones. Se halla la primera derz:vada de la funcin. Se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las races reales de la ecuacin resultante. Estas races son los valores crticos de la variable. TEHCER PASO. Se consideran los valores crticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor * que el valor cTlico y despus para un valor un poco mayor que l. Si el signo de la derivada es primeramente y despus - , la funcin tiene un mXZ:mo para este valor crtico de la variable; en el caso contrario, tiene un mnimo. Si el signo no cambia, la funcin no tiene ni mximo ni mnimo para el valor crtico considerado . En el tercer paso, a menudo conviene descomponer f'(x) en factores, como se hizo en el Artculo 46. PRIMER PASO.SECUNDO PASO.+EJEMPLO l. En el primer problema que se resolvi en el Artculo 44. vimos, por medio d e la grf ic a de la funcinA=xV IOO - x 2,* En este caso, cuando decimos' 'u n poco menor" queremos indicar cualquier va lor entre la raz (valo r crtico) que se considera y la raz inferior a ella ms prxi m a; y " un poco mayor" significa cualquier va lor entre la ra z que se co n sidera y la prxima mayor. 85. http://carlos2524.jimdo.com/67APLICACIONES DE LA DERIVADAque el rectngulo de rea mxima inscrito en un circulo de 5 cm de radio tiene una rea = 50 cm 2 . Ahora podemos obtener el mismo resultado analticamente. aplicando la regla que acabamos de dar.Solucin.f(x) = xV 100-x 2Primer paso.f' (x)Segundo paso.100 - 2 x2VIOO-x 2 'Resolviendo la ecuacin f' (x) = O.xtenemos:= 5V2 = 7.07.que es el valor cntlco. Se toma solamente el signo positivo del radical. puesto que el signo negativo carece de sentido por la natur a le za del problema.Tercer paso. Cuando x>Cuando x< 5 V2.5 V2. entonces 2entonces 2X2>X2 1.f'(x)= 5(+) (+)2 (+)Cuando x+.100. y f' (x) es5(-) (+)2 (+)Luego. cuando x = I la funcin tiene un va lor mnimof(l) = O (= la ordenada d e C).+. 86. http://carlos2524.jimdo.com/68CALCULO DIFERE NC IAL Examinemos aho ra el v alor crit i co x =~ 5( B en la figura ) .+.< ;1.{'(x) :a:: 5 (-)(+)2 ( - ) =C u a ndo x >~.( '(x ) = 5 ( -)( +)2 (+) = - .C u a nd o xLuego,c uand o x =+la funcintiene un valor mximo f (+ )=J, J I( = la ordenada de B).Examinemos, por ltimo, d valor critico x = - 1 (A en la figura). C uando x(_) 2 (-)=+.1. ('(x) = 5( -) ( + )2 ( - )=+ .< - 1.C uando x> Luego, cuando x = -1('(x) =5 ( -)la fu n ci n no tien e ni mximo ni mnimo.48. Mximos o mnimos cuando f'(x) se vuelve infinita y f(X) es continua. Consideremos la grfica de la figura 23. En B o G, f ( x)Fi g. 23es continua y t.iene un valor maXllllO, pero f'(x ) :;e vuelve infinita, puesto que la t.angen te en B es paralela al eje de las y. En jI,', f (x) tiene un valor mnimo y otra vez f'(x) se vuelve infinita. Por tanto, en nuestra di scusin de todos los valores mximos y mnimos posibles de f( x), debemos incluir t ambin como valores crticos los valores de x para los que f' (x) se vuelve infini ta , o lo que es lo mismo, los valores de x que satisfacen la ecuacin (1).-1f '(x) = O.Por consiguiente, el segundo paso de la regla dada en el Artculo 47 deber modificarse teniendo en cuent.a lo que representa la ecuacin (1). Los otros pasos no se alteran. En la figura 23 obsrvese que f' (x) se vuelve tambin infinita en A, pero la funcin no tiene en A ni un mximo ni un mnimo. EJEMPLO.Determinar lo s m xi mos y mnimos de la f uncin a - b (x -c )% . 87. http://carlos2524.jimdo.com/69APLICACIONES DE LA DERIVADA {(x)Solucin.(1- b(x-c) ";.py2 [, 3 (x - c) Ji( ' (x)3(x - c)f' (x)J(.2bePuesto que x = e es un valor critico para el 1 Fig. 24 que - - -=0 . (yf'(x)=oo) . pero para el que f' (x) f (x) no es infinita . veamos si cuando x = e la funcin tiene un mximo o un mnimo . Cuando x < c. f' (x)+.Cuando x>c, f'(x) Luego, cuando xe= OM.(fig. 24) la funcin tiene el valor mximo1(r)=a=JvtP.PROBLEMAS Ca lcul ar los mximos y mnimos de cada una de las funciones sig uien tes :1.Xl -2.106+ 123.2 x"4.xl+9X2x - 3+3+2X2x.X2 -+ 12X2 -Sol.2 x" .x - 4 .Mx. = 4 para x = . Min. =0 para x = 3. 1l x . = 17 para x = . Min. = - 10 para xNo tiene ni mximos n minim os.15 x - 20. Min. = O para x Mx. para x6.x' - 4 x .7.x' -8.3 x'-4 xl -129.x510.-X2= O. l.3 p3ra x = .Mn.+ l.5 x'.X2.Min. = - 5 para x = - l. Mx. = O para x = O. Min. = - 32 para x = 2. Mx. Min .= O para x = O. = - 256 para x = 4.3 x 5 - 20 x". Mi n.12.2 x13(12par" x =(l. 88. http://carlos2524.jimdo.com/70CALCULO 13.14.15. 16. 17.+~.x2ax+a2'Mn.=Mn. Mx.Sol.x2x2APLICACIODIFERENCIAL= - 31 para x = = 31 para x = (/.2 a2 parax=+a x~ + 2 a2 x2 + a2 Z'-x)19.(220.b+c(x21.a - b(x _.22.(2+ .x )+ x)(l -22.x)3.-a)%.=b paraxNo tiene ni mximo=x)%.(a - X)3.x(a+x)2a) y, (x -a)%.=O para=1"4 =Mx. Mn. Mx.= O para x = = - 2%4 a6 para = 12%29 a parax+2x2 2+2 x +4 +x +426.x27.x2 x 4 x2+2 x +4x+l+ +28,(x - a)29.a2 x(b - x) x~b -+--. a-x 2x = 1.1,6 para x = - l.6el valor cin no mnimo.Mx. Mn. Para25.X-X-l+l= ~crtico tieneaa. xx= - Y2 = 7~ a.a.la funmximo IIIx = a,nipara x = x = a.%a.= O parael valor crtico x = Y2 Q, funcin no tiene ni mximo mnimo.Mx. Mn.= Y2 para x = O. = - %. para x = -Mx. M n .= = 35 para x = para x = l.Mx. Mn.= % = %para paraMx."" (b-a)2 4 abM n.=(a+ b)= (a - ~ a4.Determinar la funci Si la expresin rest condiciones del problema pro variables para que la funcin variable. c) A. la [uncion resultan tculo 47 para el clculo de mi d ) En los problemas p'fl de los valores crticos dar un no siempre es necesario aplica e) Conciene construir le resultado obtenido.El clculo de mximos y ; la ayuda de los siguientes pri de lo anteriormente expuestoa) Los mximos y mini alternativamente. b ) Cuando e es una con mnimo para los valores de x para otros.3.parax=~.a+b paraa x=--.paraxa Mx.-la IIIx = - 2. x = 2.2generales.a) b)ni minimo.Mn.Para(2 x -+Q.Mx.y, (1 -x2 x2Instrucciones Mi n ,c)Y,.349. Problemas sobre m; debemos primeramente halla] mtica de la funcin cuyos v como hemos hecho en los ( Esto es a veces bastante di los casos, pero en muchos guicntesx2(2+x)2(124.31.a.+ a'x2ea - x) a-2xx2x18.23.30.a.2Por tanto, al determina regla para ver si se trata de factores constantes.a+b= ~. a -byCuando c es negativa, c f( recprocamente. 89. http://carlos2524.jimdo.com/APLICACIONES DE LA DERIVADA 30.31.Ca -x) 3 a - 2 xX2+X2 -X-X+Sol.Mn. = 2~~271 02para x=!!... 41 149. Problemas sobre mximos y mnimos. En muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresin matemtica de la funcin cuyos valores mximos o mnimos se desean, tal como hemos hecho en los dos ejemplos resueltos en el Artculo 44. Esto es a veces bastante difcil. Ninguna regla es aplicable en todos los casos, pero en muchos problemas podemos guiarnos por las siguientes Instrucciones generales. a) DeteTminar la fun cin cuyo mximo o mnimo se desea obtener . b) Si la expresin resultante contiene ms de una variable, las condiciones del problema proporcionarn sujientes relaciones entTe las variables para qu e la funcin pueda expTesarse en trminos de una sola variable. c) A. la funcin resultante se le aplica la regla que se di en el Artculo 47 para el clculo de mximos y mnimos. d) En los problemas pl'cticos, muchas veces se ve con facilidad cul de los valores crticos dar un mximo y cul un mnimo; en consecuencia, no siempre es necesario aplicaT el teTcer paso. e) Conviene constTuir la grfica de la funcin para comprobar el resultado obtenido.El clculo de mximos y mnimos puede a menudo simplificarse con la ayuda de los siguientes principios, que se deducen inmediatamente de lo anteriormente expuesto. a) Los mximos y mnimos de una funcin continua se presentan alternativamente. b) Cuando c es una constante positiva, c fe x) es un mximo o un mnimo para los valoTes de x que hacen a fe x) mxna u mnima, y no para otros.Por tanto, al determinar los valores crticos de x y al aplicar la regla para ver si se trat.a de mximos o mnimos, pueden omitirse los factores constantes. Cuando c es n egativa, cf( x) es un mximo cuando f (x) es mnima, y recprocamente. 90. http://carlos2524.jimdo.com/72CALCULO DIFERENCIALc) Si c es constante, f (x) y c + f( x) tienen valores mximos y mnimos para los mismos valores de x. Por tanto, al hallar valores crticos de x y a l aplicar la regla pueden omitirse los t.rminos constantes. PROBLEMAS 1. De una pieza cuadrada de hojalata de lado a (fig . 25) . se de sea conslruir una caja. abierta por arriba . del mayor volumen posible. cortando de las esqui nas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para form ar las caras laterales. Cul debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados' Solucin.Sea xa-2xlado del cuadrado peq ue o=pr of undidad de la caja;lado del cuadrado que fOfma el fondo de la caja .vy=Ca - 2X)2Xes el volumen de la caja.Queremos calcular el valor d e x para el cual esta funcin V es un mximo. Aplicando la regla CArt. 47). tendremos:dV = (a - 2 x)Pri mer paso.2 .-dxSegundo paso.4 x ({ - 2 x)Resolvi en do la ecuacin a 2.. nen 1os va 1ores cntlcos x=u T-=8 uxa2-+ 128 ax X2=+ 12X2.O. se obtie -a y 6'Se ve. por la figura 25. que x = 3... da un mnimo . puesto que en ese caso2toda la hojalata se quitara y no quedara material para constru ir l a caja. 3a .. 2a l A pican d o l a reg l a. se h a 11 a que x = 6 d a e 1 vo 1um en nuxlmo U. L uego e l lado del cuadrado que se ha de cortar es un sexto del lado del cuadrado dado. En este problema y los siguientes . se recomienda a l estudian te el trazado de la grfi ca.Fig. 25Fig. 262. Suponiendo que la resistencia de una viga de seccin lransversal rectangular es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad. cules son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarse de un tronco redondo de dimetro d? 91. http://carlos2524.jimdo.com/73APLICACIONES DE LA DERIVADASolucin. Si x = la anchura y " = la prof undid a d . e nt o n ces la v iga tendr.l res i s t e n cia m x im .! cuando la funcin .::,,2 es m x im a . De la figura 26 se lh' duce !J~ = ([2 - x~; luego deb e m os trab a jar con la funcin (e x )X(J2 -- 2f' (x)Pri mer paso.X2).+dX2xSegu n do paso.=2 -- X2d V3=d~- 3 x2.I = va or' .CriticOque co rres -ponde a un mximo. P o r tanto. si la v iga se corta de man e ra que prof undidady=~+ del dimetr o de l tronc o.a n chur a =J~ d el dilimetro delt ron co .la viga t end"j mxima resist e ncia.3. C ul es e! ancho de! rec t n g ulo de rea mxima que puede ins c ribirse en un seg mento d a do OAA' (fi g. 27) d e un a p arbola ? SUGESTIO . Si OC = h . entonces Be = h el rea d el rect n g ul o PD D'P I esx y PP' = 2 y: po r ta nt o.2 ( h - x ) y. Pero P es un punto de la parbola '1 2 = 2 px ; por co n sig ui e n te. la f un ci n por estudiar esf ex) = 2 (17 - x)V 2 IJX .Sol.Ancho% h.Bxo Fig.27Fig. 284. Hallar la altura del cono de volumen mximo que puede inscribirse en una esfera de radio r. SUGESTION .V o l u me n de l cono X2 == YaBC X CDluego la funcin por tratar esr ey)T=1tX 2 y(fig . 28). Peroy (2 r -yl (2 r -y) ;y ). So l.Altura del cono= Yaf. 92. http://carlos2524.jimdo.com/74CALCULO DIFERENCIAL5. Hallar la altura del cilindro de vol umen mximo que puede inscribirse en un cono circular recto dado. SUGESTION. Sea AC = r y BC = h (figu8 ra 29). Volumen dc cilindro = Jtx 2 y. Pero de los tringulos semejantes ABe y DBG, se deduce-------1r:x=h:h-y, hPor tanto , la funcin por estudiar es r2 f (y) = - y ( h h2y)2.Sol.Altura = ~h.6. S i trcs lad os de un trap ec io miden cada uno 10 cm, cunlo debe mcdir c cuarto lado para que el rea sea m x ima ? Sol. 20 cm.Fig . 297. Se desea construir un a va lla alrededor de un campo rectan g ular , y dividirlo en dos parcelas por otra valla paralela a un o de los lados . Si el rea de! campo es dada, hallar la razn de los lados para qu e la longitud total de las vallas sea la mnima. Sol. %. 8. Una huerta rectangular ha de proyectarse alIado del solar de un vec ino , y ha de tener un rea de 10 800 m etros cuadrados. Si el ve cino paga la mitad de la cerca medianera, cules deben ser las dimen sio ne s de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueo de la hu erta el mnimo ? Sol. 90 m X 120 m. 9. Un fabricante de ra dios averigua que puede vender x instrumentos por semana a p pesos cada uno, siendo 5 x = 375 - 3 p . El costo de la produccin es (500 + 15 x + % X2) pesos. Demostrar que se obtie n e la m x ima ganancia cuando la produccin es alrededor d e 30 instrumentos por semana. 10.Si en el problema anterior se supone que la relacin entre x y p esx=00 - 20~~,demostrar que la produccin que corresponde a una ganancia mxima es la de unos 25 instrumentos por semana. 11.Si en el problema 9 se supone que la relacin entre x y p es X2 =2 500 - 20 p,cuntos instrumentos deben producirse cada semana para obtener la mxima ganancia ? 12. El costo total de producir x artculos por semana es (ax 2 + bx pesos, y el precio (p pesos) al que cada uno puede venderse es p = i3 Demostrar que la produccin total para la ganancia mxima esx=vi a 2 + 3 o. (13 -b) -+e)Cl.X 2 Q30.NOTA. En las aplicaciones a la Economa, los nmeros positivos. Lo mismo ocurre en el problema 14.Q,b , c, o. y13son 93. http://carlos2524.jimdo.com/75APLICACIONFS DE LA DERIVADA13. En el problema 9. supngase que el gobierno imponga un impuesto de t pesos por instrumento. El fabricante agrega el impuesto a sus gastos de costo y determina la produccin total y el precio en las nuevas circunstancias. a) Demostrar que el precio aumenta un poco menos que la mitad del impuesto. b) Expresar los ingresos debidos al impuesto en funcin de t. y determinar para qu valor del impuesto la ganancia es mxima. e) Demostrar que cuando se establece el impuesto determinado en eb). el precio se aumenta alrededor de un 33 por ciento.14.El costo total de producc i n de x artculos por semana es(ax 2+ bx + e)pesos.a lo cual se agrega un impu esto de { pesos por artculo. decretad o por el gobierno. y rl precio (p pesos) a que cada artculo puede venderse es {3 - a x . Demostrar que el mximo retorno del impuesto se consigue cuando t Y, ({3 - b) Y que el aumento del precio de venta sobre el costo es siempre menor que el impuesto. Nota: En aplicaciones a economa, a, b, e, a, {1 son nmeros positivos.=15. Una planta productora de acero puede producir por da x Tm de acero de segunda cl ase . y y Tm, por da, de acero de primera clase. siendo y=4~0 -=..5xx. Si el precio corriente del acero de segunda clase es la mitad delde primera , demostrar que el mximo beneficio se obtiene produciend o alrededor de 5. 5 toneladas diarias de acero de segunda clase . 16. Una compaia de telfonos halla que obtiene una ganancia lquida de 15 pesos por aparato si la central tiene 1000 abonados o menos. Si hay ms de 1 000 abonados. dicha ganancia por aparato imta1ado disminuye un centavo por cada abonado que sobrepasa ese nmero. Cuntos abonados darian la mxima ganancia lquida?l250.Sol.17. El costo de fabricar ci e rto artculo es p pesos. yel nmero que pueden venderse vara in v ersamente con la potencia en sima del precio de venta. Calcular el precio de venta que dar la mayor ganan cia lquida.Sol.np-;;--=1 .18. I-iai ar el dimetro de un bote cilndrico de hojalata de un litro de capacid ad. para que en su construccin entre la menor cantidad de hoja lata. a) si el bote es abierto por arriba; b) si el bote est tapado. .Sol.a)~-8 It.dm.b)3/-'j~dm.19. El rea lateral de un cilindro circular recto es 411: metros cuadrados. Del cilindro se corta un hemisferio cuyo dimetro es igual al dimetro del cilindro. Calcular las d i mensiones del cilindro para que el volumen que queda sea un mximo o un mnimo. Determinar si es mximo o mnimo. Sol. Radio = 1 m. altura = 2 m; mximo. 20. Hallar el rea del mayor rectngulo, con lados paralelos a los ejes coordenades. que puede incribirse en la figura limitada por las dos parbolas 3 y = 12 - X2 y 6 y = X2 - 12. Sol. 16. 94. http://carlos2524.jimdo.com/76CALCULO DIFERENCIAL21. Dos vrtices de un rectngulo estn sobre el eje de las x. Los 01 ros dos ', nices eS l n sobre las rectas cuyas ecuaciones son y = 2 x y 3 x y = 30. P.uJ qu valor de y ser mxima el rea del rectngulo? Sol. y=b.+22. Una base de un trapecio isscele s es un dimetro d e un circulo de r,ldio u. y los extremos de la otra base estn sobre la cir c unfHen cia . Hallar la longitud de la otra base para que el rea sea mxima. Sol. u. 23. Un rectngulo est inscrito en un se g mento de parbola y un lado del rectn g ulo es t en la base del segmento. Demostrar que la ra z n del area del rectngulo mximo al rea del segmento esv1T24 . La re s istencia de una vig a rectangular es proporcional ai produclo del ancho por el cuadrado de su espesor. Calcular las dimensiones de la v iga m s resistente que puede cortarse de un lronco cu y. seccin tr .llIs vers.1 es una elipse de sl'micjcs el ( m.yol') y b (menor ).Sol.Anchura=2 1>~+;espe so r=2u~.25. La rigidez de una viga rectangular es proporcional a l producto de la anchura por el cubo del espesor. Calcular las dimensiones de la viga ms rigida que pueda cortarse de una troza cilindrica de radio a. Sol. a X a/1. 26.La ecuacin d e l a tray ec toria de una pelota es y = m x _2(m +l )x2200tomndose el origen en el punto desde e l cual se lan z a la pelota . y siendo m la pendiente de la curva en el origen; a) Para qu valor de m caer la pelota . en el mismo nivel horizontal. a la mayor distancia? b) Para qu valor de m dar a la mayor alt ur a en una pared vertical a la distancia de 75 metros! Sol. u ) 1; b) %. 27. Una ve ntana tiene la forma de un rectn g ulo coronado d e un trin g ulo rec t ngulo issceles . Demostrar que si el perm e tro es p metros . la mayor cantidad de luz entrar cuando los lados del rect n g ulo sean i g uales a los catetos del tringulo . 28. Dada la suma de las reas de una esfera y un cubo. demostrar que 1.1 suma de sus volmenes ser mnima cuando el dimetro de la esfera es igual a la arista del cubo. Cundo ser mxima la suma de los v olmenes? Hallar las aimensiones del mayor rectngulo que pueda inscribirse en la29 . .X2elIpse -a2+by22=l.Sol.a../2Xb../2 .30. Hallar el rea del mayor rectngulo que pueda construirse con su base en el eje de l as x y con dos vrtices en la cur va llamada bruja de Agnesi cuya ecua.. 8 a3 ClOn es y = X2 4 a 2 (vase la grfica de la curva en el Captulo XXVI) .+Sul.4rl231. Hal l M la ra z n del re.n. 95. http://carlos2524.jimdo.com/77APLICACIONES DE LA DER IV AD f32. Los dos v rtices inferi.o r es de un trapecio issceles son los puntos cuyas coordenadas son (-o. O) y (6, O). Los dos v rtices superiores estn e n la curva X2 4 Y = 36. Hallar el rea del mayor trapecio que puede tra za rse de Sol. 64. esta manera.+33. Los radios de dos esferas son a y b y la distancia entre los centros es c. i Desde qu~ punto P en la recta de los centros AB es visiJle la mayor .lrea de superficie esfrica? (El rea de una zona esfrica o casquete esfr i co de a l tura h es 2 rrrh, s iendo r el radio de la esfera.) unidad es de superficie.So/ .34. Hallar las dimensiones del mayor paralelepipedo rectang ular con base cuadrada que puede cortarse de una esfera slida de radio f. Sol.h2 = 3"fy -3.35. Dada un a es fera de ( cm de radio , calcular l a altura d e cada uno de los sl idos siguientes: a)ci lindro circular recto inscrito de volumen mximo;b)cilindro circular recto inscrito d e superficie total mxima;e)cono re cto circunscrito de "olumen m n imo. Sol .36.4y3 cm;a}b)6,31 cm;e)2~C I11.Del110strar que una tienda de campaa de forma cnica de capacidad dada.eXlglra la menOr ca ntidad de Ion,) cuando la altura es V2 ve ce s e l radio de la base. Demostrar tambin que s i se extiende la lona en un plano, se obtiene un sector circular de 207 0 51'- ,e u .i nta lona se n eces itara para una tienda de 3 111 dealto' Sol. 24,5m 2 .37. Dado un punto d el eje de la parbola y2 = 2 px a una distancia a del vrt ice, calcular la abscisa del punto de la curVa ms cercano al punto dad o . Sol.38.Hallar e l punto de la curva 2 yX2x=a-p .ms cercano al puntoSol.(4,1).(2, 2).39. SI PQ es el segmento de recta m s lar go que se puede trazar de P(a, b) la curva y = F (x), o e l ms CO rl O, demostrar que PQ es perpendicular a la tangente a la c urva en Q.40.Una frmula para e! re ndimiento de un torni l lo esRh (1 hh tg+ tg~)~s iendo O e l ngulo de rozamiento y h el paso del tornillo. Hallar h para rendimiento mximo. So/ h = sec O - tg O 96. http://carlos2524.jimdo.com/78CALCULO C'IFERENCIAL41. La distancia entre dos focos calorficos A y B (fig. 30) cuyas intensida des respecti vas son a y b, es 1. La intensidad total de calor en un punto P, entre A y B, se da por la frmula ABP1 = ~_+ b X2 (l-x)2'------JFig. 30 siendo x la distancia entre P y A. posicin tendr P la tempera tura ms baja? xSol. Para qu= .....-:a Y:;a Y:;1+ bY42. La base inferior de un trapecio ssceles es el eje mayor de una elipse; los extremos de la base s upe rior so n puntos de la el ipse. Demostrar que en el trapecio de este tipo de ra mxima la longitud de la base superior es la mitad de la inferior.+43. En la elipse b 2x2 a 2y2 = a 2b 2 se ha de inscribir un tringulo issceles cuyo vrtice sea el punto (O, b). Hallar la ecuacin de la base correspond ient e al tringulo de rea mxima. Sol. 2 y + b = O. 44. Hallar la base y la a ltur a del tringulo issceles de rea mnima circunscr it o a b elipse b 2 x2 a 2 y2 = a 2 b 2 , y cuya base es paralela al eje de las x.+Sol.Altura=3b,base=2aV1.45. Sea P (a, b) un punto en el primer cuadrante de un sistema de ejes rec tangulares. Trcese por P una recta que corte las partes positivas de los ejes en A y B. Calcu lar la longitud de OA y de OB en cada un o de los siguientes C.1S0S:a) b) e) d)cuando cuando cuando cuando Sol.el rea OAB es mnima; la longitud AB es mnima; la suma de OA y OB es mnima; la di stanc ia (perpendicular) de O a AB es maxlma. ,,) 2a,2b; b) a+ a)"o b %,b+a%b Y. ; d)c)50. La derivada como rapidez de variacin. la relacin funcional (1 )*aEn el Artculo 23di como razn de los incrementos correspondientes ( 2) Cuando x (3)!1y !1x=2x+ !1x.4 Y i1x = O ,5, la ecuacin (2) se convierte en!1y !1x8,5.Llamada tambin razn de ca mbio o rapidez de cambio. 97. http://carlos2524.jimdo.com/APLICACIONES DE LA DERIVADA79Luego decimos que la rapidez media de variacin de y con respecto a x es igual a 8,5 cuando x aumenta desde x = 4 hasta x = 4 ,5. En general, la razn (A)~y =oxrapidez media de variacin de y con respecto a x cuando x vara desde x hasta x+ /).x.Caso de rapidez constante de variacin.y = ax(4)/).y /).Xtenemos,En el caso+ b,= a.Es decir, la rapidez media de variacin de y con respecto a x es igual a a, la pendiente de la rect.a (4), Y es const ante . En este caso, y solamente en este caso, el cambio en y (/).y), cuando x aumenta descie un valor cualquiera x hasta x + /).x , es igual a /).X multiplicado por la rapidez de variacin a. Rapidez instantnea de variacin. Si el intervalo de x a x + /).X disminuye, es decir, si /).X ---7 0 , entonces la rapidez media de la variacjcJn de y con respecto a x se convierte, en el lmite, en la rapidez instantn ea de variacin de y con res pecto a x . Por consiguiente, segn el Artculo 24, (B)~: = rapidez instantneade la vanacin de y con respecto a xpara un valor definido de x.Por ejemplo, de (1 ) se deduce, dy(5 )dx = 2 x.Cuando x = 4, la rapidez inst.antnea de variacin de y es 8 unidades por unidad de vari acin de x. Es frecuente que en la igua ldad tB) se prescinda de la palabra "inst.antnea". Interpretacin geomtrica. Tracemos la grfica (fig. 31) de la funcin (6)y = j(x) .Cuando x aumenta de OM a ON, entonces y aumenta de MP a N Q. La rapidez media de la variacin de y con respecto a x es igual a la pendiente de la recta secante PQ. La rapidez8ySAxo Fig. 31 98. http://carlos2524.jimdo.com/80CALCULO DIFERENCIALinstantnea cuando x gente PT.= OMes igual a la pendiente de la tan-Luego la mpidez instantnea de variacin de y en P (x, y) es igual a la mpidez constante de variacin de y a lo largo de la tangente en P. Cuando x = Xo, la rapidez instan tnea de variacin de y, o sea de f(x), en (6), es f '(XO). Si x aumenta ahora de Xo a Xo + L'x , el cambio exacto en y no es igual a f' ( Xo )L'x , a no ser f' (x) constante, como en (4) . Sin embargo, veremos ms tarde que este producto es, aproximadamente, igual a L' y cuando L'x es suficien temente pequeo 51. Velocidad en un movimiento rectilneo. Cuando la variable independiente es el tiempo, se presentan aplicaciones importantes . Entonces la rapidez de v~riacin con respecto al tiempo se llama simplemente velocidad. La velocidad en un movimiento rectilneo sumini stra un ejemplo sencillo. Consideremos el movimiento de un punto P (fig. 32) sobre la recta AB. Sea s la distancia medicta de---+ 1x+ l+ y2(asdt22y =a2du 2 = ( a 2X2V2 t 7.d 2u+ u2.91d2 y _ h2 d~2 - (hx= 1.-ab+ b U)3d2y _ _ 2 x dx i ys'= 1.d 2y _ 2 y4 - x2y2 - x 1 X 2 3 -- - ' y= a4.dx2 -E n los problemas 15 a 25, ()btener los valor es d e y' y y" para lo s valore dados d e las va ri a bles.15._ y = vax+a2-=:x=x =a.So l .y' = 0,1 2 ay" = - .3,VaxV25 - 316.y =17.y18.x2 - 4y2=9:19.x 2+4 xy+y2 +3= xVX2x:+ 9:x = 4. x=5 ,= O;xy' y'y=2.= 2,y4;= -1.20.y= (3 - X2)21.Y =23.Y = xV 3 x - 2;24.y225.X3_ xy 2+y3 = 8:= %'y' = 0,y =V 122.= ' }Is,x= 1.+ 2 x: x = 4. ~ x2 + 4: x = 2.+ 2 xy= 16:x = 2. x= 3,yx=2,= 2. y=2 .y" y" y"=23r;25 .= - Yt 28 . = - Ys. 110. http://carlos2524.jimdo.com/92CALCULO DIFERENCIAL 2Hallar d y en cada un e de los ejercicios siguientes: dX226.y=X3_~29.xX2y=xVa 2 - x 2 y 2 _ 4 xy27.y=~.30.28.y=":;2-3x..= 16.31.55. Sentido de la concavidad de una curva. Si el punto p(x, y) describe una curva, la pendiente de la tangente en P vara. Cuando la tangente queda debajo de la curva (fig. 37), el arco es cncavo hacia arriba; si la tangen te queda arriba de la curva (fig. 38) , el arco es cncavo hacia abajo . En la figura 37 la pendiente de la tangente aumenta cuando P describe el arco AP'. Luego j'(x) es una funcin creciente de x. Por otra parte, en la figura 38, cuando P describe el yx Fig . 37x Fig. 38arco QB la pendiente disminuye, y j' (x) es una funcin dec reciente. Por tanto, en el primer caso jl/(x) es positiva y en el ::;egundo caso es negativa . De aqu el siguiente criterio para determinar el sentido de la concavidad de una curva en un punto: La grfica de y = f (x) es cncava hacia arriba si la segunda derivada de y con respecto a x es posit~'va; es cncava hacia abajo si esta dcrivada es negativa . 56. Segundo mtodo para determinar maxlmos y mllllmos. En el punto A, de la figura 37, el arco es cncavo hacia arriba y la ordenada tiene un valor mnimo. En este caso, 1'( x) = O Y j" (x) es positiva . En el punto B de la figura 38, se tiene j' (x) = O Y j" (x negativa. Las condiciones suficientes para mximos y mnimos de j (x) correspondientes a valores crticos de la variable son, pues, las siguient-es:r(x) es un mximo si f'(x) = O Y "(x) es negativa. (x) es un mnimo si ,(x) = O Y "(x) es positiva. 111. http://carlos2524.jimdo.com/DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCION93La regla gua para aplicar este criterio es la siguiente: Hallar la primera derivada de la funcin . Igualar a cero ta primera derivada y reso!/1('}' la ecuacin; las races reales son los valores crticos de la variable. TERCER PASO . Hallar la segunda derivada . CUARTO PASO. Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los valores crticos obtenidos. Si el resultado e.' negativo, la fun cin tiene un mximo para este valor crtico; S1' el res ultado es positivo, la funcin tiene un mnimo. PRIMER PASO.SEGUNDO PASO .Cuando f" (x ) = O, o bien no existe, dicho procedimiento no es aplicable, aunque todava puede existir un mximo o un mnimo ; en este caso se aplica el primer mtodo, dado en el Artculo 47 , que es el fundamental. Ordinariamente el segundo mtodo es aplicable; y cuando la obtencin de la segunda derivada no es demasiado largo, este mtodo es , por lo general, el ms conveniente . Ap l iquemos esta regla para obtener los mximos y mnimo s d eEJEMPLO l .la funcinM=X2+ 432 xqu e estudiamos e n el Artculo 44.Solucin . Primer paso.f ' (x)432 . xf(x) = x 2 + =2 x _ 432 . X22 x - ~~~ = 0,Segundo paso.X2X=6,valor cr i tico,+ +.Te rcer pas o .f " ( x) = 2Cuarto paso .( " (6) =xf (6) = 108, va lor mnimo.Luegofuncin m todo.x3-+xf (x) =x 3 -3 x2-9 x +5.Solucin.f '(x) = 3Primer paso. Seg u ndo paso.3X2 -6 x -los va lores cr Ticos sonTercer pa so . Cuar l o paso .= a < a > a O, v aumenta(algebraicamente).Si a< O, v disminuye (algebraicamente). > O Y v = O, s tiene un valor mnimo.Si a< O Y v = O, s tiene un valor mximo.Si a -16);-4):puntospuntodede inflexin,(- V3, -Y3): (O, O), 4 x3 -18 x - a)3+infle-p u n-(3, ;%). x' b.Si a = O y cambia de signo de + a - (de - a +) cuando t pasa por to , entonces v tiene un valor mximo (mnimo) cuando t = lo En tan te . de la segnun movimiento As, en el caso gravedad, a = (2) del Artculorectilneo uniformemente acelerado, a es COTlS-de un cuerpo que cae libremente bajo la accin 9,8 ll1 por segundo por segundo. Es docir , 51 ,+ 15 x . s = 4,9 t2,d;v= dt-= 9,8l,adv= dt = 9,8. 120. http://carlos2524.jimdo.com/102CALCULODERIVADASDIFERENCIALEn los siguientesPROBLEMAS=11. 1. Se ha averiguado, experimentalmente, que si un cuerpo cae libremente desde el reposo en el vaco, cerca de la superficie de la Tierra, obedece aproximadamente a la ley s = 4,9 t2, siendo s el espacio (la altura) en metros, y t el tiempo en segundos. Calcular la velocidad y la aceleracin, a) en un instante cualquiera; b) al final del primer segundo; e) al final del quinto segundo. Solucin.a)(1)(e)Deri vandodel articuloe) (2)yPara (3).==9,8=u y a al finalhallaraa=9,8 m porDadas recorrido,2.s==las siguientes la velocidad=4-6/2(seg.)segundo,(seg.)2,x=5.Y6. s32= 6;= 2.t22-23. ,t8. 9.s = s=ts= =x=4, 224, 32,y= 4. st2 ;t==>64 t 16+ 64t2en(seg.)= %'que se lan:si s se mide en metros y t en s Hallar: a) su posicin y tres segundos; b) hasta qu en el cuarto segundo. 19. Si la ecuacin trese que la aceleracinticalmente5pelotafrmulade un es neg atLa altura (s m) alca: hacia arriba con VE s = ut -l 2gt201:alcanza.2.calcularel espacio21. En el problema ante a) la velocidad al final de cu: distancia recorrida durante el c22.u = 10, a = 8. u= -8, u = O, u = 6. u = 7!,u - -=a u32.16.s=U n coche hace un rec 4100 t 2 - t T'recorre el coche? b) Cul recorrido el coche cuando alcan= O. amidiie n d o tSol.a)= - "h.2.=t10 +--. vl5i'~Tt+;IPROBIY = 100- 4 t - 859,8 m pors1.16t2-20t+4;x=vI-4.= 2.7.10.=t- 8+l'=Sol.2.2;/= __ t_. t=r;-Una20.2.sustituiremosecuaciones de movimientos rectilineos, y la aceleracin en el instante indicado.3. s - 120 t - 16 4.as = 16 t218.m por segundo.9,8 m pordel quinto49 m por segundo,t = ts = 120 t -cuerpouEntonces,32 t;9,8,(3)9,8 m por segundo,80 -15.lo que nos dice que la aceleracin de un cuerpo que cae es constante; en otros trminos, la velocidad aumenta 9,8 m por segundo en cada segundo que cae. b) Para hallar u y a al final del primer segundo, bastar sustituir t = I en (2) y (3). Tendremos:uu=4t2-10t;14.u(2)anterior,problema!Dadas las siguientes ecuacio cio recorrido y la aceleracin el mera vez.4,9 t2du dt51.del Art.ota vez,(A)o sea, por12.~ = 9,8 t. dtDerivando,o sea, segn=suS3.t = 5. 2.1. Construir nes de la tangentela curva (4 y la normalSol.Mx. te, x infle} mal. 121. http://carlos2524.jimdo.com/DERIVADAS En los siguientes cae libremente obedece aproxien metros. y t a) en un in snal del quinto=11.ti80 -12.SUCESIVASproblemas. 32 t;ti=4t2-lOt;=tDEcalcular O.UNAla aceleracinSol.en el instanteti6.16 t215.s=120 t -16.s=318.Una64 t + 64.-undo.pelota16 t 2.=s5directamentehacias = 25 ( -519. Si la ecuacin que la aceleracina = 32.t+~.arribase muevesegnla ley(2.si s se mide en metros y t en segundos. Hallar: a) su posicin y velocidad despus tres segundos; b) hasta qu alt u ra asce n de r : en el cuarto segundo.t rese= O.st+1_.(3.que se lanzac a lc u l a r el espase anula por pri-Sol. 17.c2t."I""+l;-Dadas las siguientes ecuaciones de movimientos rectilneos. cio recorrido y la aceleracin en el instante en que la velocidad mera vez.=indicado.213.s103-32.t=2.14.stante; en otros gundo que cae. sustituir t = 1FUNCIONde dos segundos y despus de c) a qu distancia se moverde un movimiento rectilneo es s = v'l+T. dcm u ses negativa y proporcional al cubo de la ve loc idad.20. La altura (s m) alcanzada en ( segundos por un cuerpo ia n z a d o ve r ticalmente hacia arriba con velocidad de til m por segundo. est dada por la remos t = 5 enfrmula cuerpolcular el espacio22.u = - 32.a = - 16.Obtenerunafrmulaparala mayoralturas=queelalcanza.Un100 t2coche -2"'(4haceunrecorrido.en10 minutos.i miid ie n d'o t en minutosSol.a)5000 m;movindose a)y s en metros.recorre el coche? b) Cul es su velocidad recorrido el coche cuando alcanza su velocidadu = O. a = --} gt221. En el problema anterior. supngase VI = 50. 9 = 10. a) la velocidad al final de cuatro segundos y al final de seis segundos; distancia recorrida durante el cuarto segundo y durante el sexto.a = 8. 8.s = tiltb)mxima? mxima?e)770 m porCa lc ul a r : lab)segnla ley Q'ue dii st a n c t. aQuminuto;distancia e)ha2778m%7. PROBLEMAS 1. Construir nes de la tangentela curva y la normalSol.ADICIONALES(4 - 2 x + x~) y = 2 x - x2 en cada punto de inflexin.Mx.(1.")I;).Puntodete. x - 2 Y = O; normal. inflexin (2. O): tangente. mal. 2 x - y - 4 = O.inflexiny hallarlas e c unc io-(O. O):tangen-2 x + y = O. Punto de x + 2 Y - 2 = O: nor- 122. http://carlos2524.jimdo.com/CALCULO DIFERENCIAL1042. Cierta curva (la tract r iz) es tal que la longitud de cada ta n gente desde su punto de co ntacto P (x, y) hasta su interseccin A con el eje de las x es la constante e (AP = e). D emo strar :a)dy = dxv' c2y _. y2 'b)3. Determinar el valor d e k de manera que las n orma les en l os p untos d e inflexin de la curva y = k (x 2 - 3) 2 pasen por e l origen. ISol.k=4v'2' 123. http://carlos2524.jimdo.com/da tangente desde su el eje de las x es lales en los puntosde 1Sol.k =4v'2 .CAPITULOVIIDERIV ACION DE FUNCIONES TRASCENDENTES.Ahora consideraremosAPLICACIONESfunciones como 3x,sen 2 x,log (1+ X2),que se llaman funciones trascendentes para distinguirlas algebraicas que hemos estudiado hasta aqu.de las funciones60. Frmulas de derivacin; lista segunda. Las siguientes frmulas, que se agrupan aqu para referencia cmoda, se demostrarn en este captulo. Estas y las dadas en el Artculo 29 abarcan todas las frmulasX Xapara derivadasque se emplearnd - (In v) dx d -(log dxv)==en este libro.dv dx 1 dv - =-. v v dx(In v = log, v)log e dv ---o v dxXId - (a") dx= aV In a -XI ad - (ev) dx=d - (u'V) dx= vuv-1-XIIdv . dxeV-dv dx dudx+ InXIIId dv dx [sen v) ~ cos v dx .XIVdv d dx [cos v) := - sen v dx 'dvu uv- dx' 124. http://carlos2524.jimdo.com/CALCULO DIFERENCIAL106d dx (tg v)xv2Vdv dx .d dv dx (see v) = see v tg v dx .XVIId dx (ese v)XVIII= -dv ese v etg v dx .d dv dv vers v = sen v dx .XIXXXIseed dv dx (etg v) = - ese 2 v dx .XVIXX=dv d dx -d (are sen v) = _ / XV1_v2dv dxd-d (are eos v) = - _ / x ' v1-v2XXIIdv d dx dx (are tg v) = 1 + v2 .XXIIIdv d dx dx (are etg v) = - 1 + v2 dvXXIVdv-d (are see v) X= _/ Vvdi v2 -1.dvXXVd-d (are ese v) = -xdx _/ vvv2-1.dvXXVId-d (are vers v)x=dx vi . 2 v-v261. El nmero e. Logaritmos naturales. importantes esUno de los lmites ms1(1)lrn (1x-o+ x)X= 2,71828 . . . 125. http://carlos2524.jimdo.com/107TRASCENDENTESFUNCIONESEste lmite se representa por e. Demostrar rigurosamente que tal lmite e existe, queda fuera del propsito de este libro. Por ahora nos contentaremos con trazar el lugar geomtrico de la ecuacin 1.(2)Y=(1 + x)xy hacer ver, por la grfica, que cuando z --7 O la funcin (1 + x) x ( = y) toma valores en la vecindad de 2,718 .. , y que e = 2,718 ... , aproximadamente. Por la tabla adjunta vemos que cuando x --7 O por la izquierda, y disminuye y tiende hacia e como lmite, y cuando x --7 O por la derecha, y aumenta y tiende igualmente hacia e como lmite. x10 5 2 1 0.5 0.1 0.01 0.001xy1.2710 1.4310 1.7320 2.0000 2.2500 2.5937 2.7048 2.7169- 0.5 -0.1 -0.01 - 0.001yy4.0000 2.8680 2.7320 2.7195o-1xFig. 44La igualdad (1) la usaremos en el Artculo 63 . Cuando x --7 + 00, y tiende hacia 1 como lmite, y cuando x --7 - 1 por la derecha y aumenta sin limite. Las rectas y = 1 y x = - 1 son asntotas (fig. 44). En el Captulo XX daremos un mtodo para calcular el valor de e con un nmero cualquiera de cifras decimales. Los logaritmos naturales o neperianos son los que tienen por base el nmero e. Estos logaritmos desempean en las Matemticas un papel muy importante. Para distinguir los logaritmos naturales de los vulgares, cuando la base no se enuncia explcitamente, emplearemos la siguiente notacin: Logaritmo natural de v (base e) = In v. Logaritmo vulgar de v (base 10) = log v. 1os lmites msPor definicin, el logaritmo natural de un nmero N es el exponente x en la ecuacin (3)Si x Si zeX = O, --7 -=N;es decir,x= InN.N = 1 y In 1 = O. Si x = 1, N = e y In e = 1. 00, entonces N --7 O, Y escribimos In O = - 00 . 126. http://carlos2524.jimdo.com/108CALCULO DIFERENCIALEl estudiante est acostumbrado al uso de tablas de logaritmos vulgares, donde la base es 10. El logaritmo vulgar de un nmero N es el exponente y en la ecuacin (4)1011 = N, o sea, y = log N.Hallemos la relacin entre In N y log N. En (3) tomemos logaritmos de base 10 en ambos miembros. Entonces, segn (2) del Artculo 1, tendremos:x log e = log N .(5 )Despejando x y teniendo en cuenta que segn (3) es igual a In N , obtenemos la relacin deseada, In N(A)=log N. log eEs decir, el loga"itmo natural de un nmero cualquiera se obtiene dividiendo su logaritmo vulgar por log e. La ecuacin (A) puede escribirse log N = log e . In N .(6 )Por tanto, ellogarmo vulgar de un nmero se obtiene multiplicandc su logaritmo natural por log e. Este multiplicador se llama el mdulo ( = M) de los logaritmos vulgares. 1Segn las tablas, log e = O ,4343 Y -1= 2,303. og e La ecuacin (A) puede ahora escribirse In N = 2 ,303 iog N . Conviene tener a mano unas tablas de logaritmos naturales. 62.Funciones exponenciales y logartmicas. se define por la ecuacin (1)y=La funcin de x queeX(e = 2,718 .. . )se llama funcin exponencial. Su grfica es la de la figura 45. La funcin es creciente para todos los valores de x, como vamos a ver ms adelante, y es continua en tocios sus -==::::::::::::~ot---..."x puntos. De (1) tenemos, por definicin, Fg. 45(2)x= In y. 127. http://carlos2524.jimdo.com/FUNCIONES TRASCENDENTES109Las funciones eX y In y son funciones inversas (Art. 39). Permutando x y y en (2) tenemos (3 )= In x,y-en la que y se llama funcin logaritmica de x. Su grfica es la de la figura 46. La funcin no est definida para valores negativos de x ni para x = o. Es una funcin creciente para todos los valores de x > O, Y es continua en todas sus partes. Es decir y (Arto 17), para cualquier valor a de x mayor que cero11m In x "----7"(4 )xIn a.=Cuando X----70, segn hemos dicho, y----7 - 00 . El eje de las y es una asntota de la curva. Las funciones a" y loga x (a > O) tienen F ig. 46 las mismas propiedades que eX y In x , y sus grficas son semejantes a las curvas representadas en las figuras 45 y 46. 63.Derivacin de la funcin logartmica.Seay= In v.(v> O)Derivando segn la regla general (Art. 27), considerando v la variable independiente tenemosCOIllOtPRIMERPASO.SEGUNDO PASO.+ !!.yY!!.y = In (v= TERCEHPASO.=In (v+ !!.v) .+ !!.v) -In vln(V~!!.V)!!.y = l l n !!.v!!'v= In(l+~V). Segn (2), Art. 1(1 + !!.v) . vSegn vimos en el Artculo 16, no podemos hallar el lmite del segundo miembro tal como est, puesto que el denominador!!.v tiende a eero. Pero podemos transformar la expresin como sigue :!!.Y !!'V=l. ~v!!'vIn[MUltiPlicando(1 + !!.v) v pC)r _ ~] v=1-In v(/1 v ) 1 +v-Do .Segn (2), Art. 1 128. http://carlos2524.jimdo.com/110CALCULO DIFERENCIALLa expreflin qUf' fligue a In tiene la forma del segundo miembro de I1v la igualdad (2) del Artculo 61, con x = v dy 1 1 CUAlt'l'O PASO. - =-ln e = dv v 11' l,;+Cuando !'lu -7 O. Au -7 O, Luego lm (1 !'lu)l', U = r. segn (1)] u "0-70 u del Art. 61, Empleando (4) del Art. 62. tenemos el resultado,Puesto que v es una funcin de x y se desea la derivada de In v con respecto a x, debemos emplear la frmula (A) riel Articulo 38 pn.ra derivar una funcin de funcin; a saber,dy dy dv dx = dv . dx' Sustituyendo el valor de obtenemos~~segn el resultado del cuarto paso,dv d dx - (In v) = dx vx= -1 dv -vdx.La derivada del logaritmo natural de una funcin es 1'gual a la deri-lIada de la funcin d,idida por la funcin ( o a la derivada de la funcin multiplicada por su recproca ) , Puesto que log IV del Articulo 29 .11= log e In d dx-(log v)Xa64.tenemos inmerliA.tamf'llte1) I=Isegnlog e dv ---o v dxDerivacin de la funcin exponencial.Seay= a" _Ca>Tomando logaritmos de ba.se e en ambos miembros , obten emos In yo Bea,=1)In a,v = In y = _1_ , In !JIn a In aDerivando con respecto a y fieg n la. frmula X, resulta:O) 129. http://carlos2524.jimdo.com/FUNCIONES TRASCENDENTES111De (e), del Artcu lo ~9, que t.rat.a de laR funcion es l1'CrSflS, obtp.nemos dy - = In n.o y dlJ ' o SP'[l , dy -- = In a aY (1 ) dv oPuesto que v es una funci~n (t) son continuas, al variar t de una manera continua el punto P (x, y) describir una curva llamada trayectoria Tenemos entonces un movimiento curoilineo, y las ecuaciones (1) se llaman las ecuacionesx =f(t),y = cf> (l)del movimiento.Comparando estas Irmr tg T es igual a la pendiente de V es la misma que la d vector velocidad se le llama.84. Movimiento curvil tratados de Mecnica anal curvilneo el vector acelerac como el vector velocidad, s Puede descomponerse en un ponente normal an, siendo(R es el radio de curvatura La aceleracin puede tal lelas a los ejes coordenar emple en el Artculo 83 pr 163. http://carlos2524.jimdo.com/ECUACIONES PARAMETRICAS yPOLARES145La velocidad v del mvil P (x, y) en un instante cualquiera se determina por sus componentes horizontal y vertical. La componente horizontal vx es igual a la velocidad, a lo largo de OX, de la proyeccin M de P, y por esto es la rapidez de variacin de x con respecto al tiempo. Luego, segn (e) del Artculo 51, reemplazando s por x, obtenernos y(e)Vx=dx dtDe la misma manera, la componente vertical Vy , o rapidez de variacin de y con respecto al tiempo, es (n)Vy=NII--~~~---+----+.~------vxdy dt Fig. 63Tracemos los vectores Vv y Vy desde P (fig. 63), completemos el rectngulo y tracemos la diagonal desde P . El vector v as obtenido es el vector velocidad buscado . Segn la figura, su magnitud y direccin se dan por las frmulas(E)tgT=V'/ VxI=dy dt dx . dtComparando estas frmulas con la (A) del Artculo 81, vemos que tg T es igual a la pendiente de la trayectoria en P . Luego la direccin de v es la misma que la de la tangente en P. A la magnitud del vector velocidad se le llama en ingls speed. 84. Movimiento curvilneo. Aceleraciones componentes. En los tratados de Mecnica analtica, se demuestra que en el movimiento curvilneo el vector aceleracin a no se dirige a lo largo de la tangente como el vector velocidad, sino hacia el lado cncavo de la trayectoria. Puede descomponerse en una componente tangencial af , y una componente normal an, siendo dv at = dt;(R es el radio de curvatura. Vase el Artculo 105.)La aceleracin puede tambin descomponerse en componentes paralelas a los ejes coordenados. Siguiendo el mismo mtodo que se emple en el Artculo 83 para las componentes de la velocidad, defi- 164. http://carlos2524.jimdo.com/146CALCULOECUACIONESDIFERENCIALnimos las componentes de la aceleracin paralelas las frmulas: dvx ax = dt'(F)d)CuandoviertenVx = 50 t : Eliminandocon vrtice en P y lados por P. LuegoAsimismo, si se construye un rectngulo ax y ay, entonces a es la diag

Cálculo Diferencial e Integral - Granville

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