Unidad 1.- Introducción a Geometría Analítica

1.1.-Línea Recta

1.1.2.-Que es la recta.

Definiciones de línea recta:

1. Una línea recta es la figura geométrica en el plano formada por una sucesión de puntos que tienen la misma dirección. Dados dos puntos diferentes, sólo una recta pasa por esos dos puntos.

2. Es la figura geométrica formada por un polinomio de primer grado a x.

3. Es la figura geométrica obtenida al unir dos puntos, tal que la distancia recorrida sobre ésta figura, es la más corta.

La recta es usada en una gran cantidad de aplicaciones.

1. Con líneas rectas podemos formar, triángulos, cuadrados, rectángulos, en general todos los polígonos.

2. Los modelos más simples pueden construirse con líneas rectas, por ejemplo un objeto en movimiento con aceleración constante puede modelarse con una línea recta donde la pendiente es la aceleración.

1.2.-Ecuaciones de la recta en sus diferentes formas

Formas de la ecuación de una recta.

Hasta el momento, se han dado algunas características de la recta tales como la distancia entre dos puntos, su pendiente, su ángulo de inclinación, relación entre ellas, etc. Con ello ya tenemos elementos que nos servirán para la obtención de la ecuación en sus distintas formas.

La recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente.

Forma ordinaria de la ecuación de una recta.

La ecuación de la recta se expresa en términos de la pendiente m y la ordenada al origen b.

Si la pendiente m, (la cual representa la inclinación de la recta) es positiva obtendremos una gráfica como la de la figura (A) y si m es negativa obtendremos una gráfica como la de la figura (B), cabe mencionar que (b) representa el valor de la ordenada (y), donde la recta intersecta al eje y.

Forma general de la ecuación de una recta.En esta forma, la ecuación de la recta se representa por coeficientes enteros y debe ser igualada a cero, su forma simbólica es:

Forma punto - pendiente de la ecuación de una recta.

Una de las primeras formas de representar la ecuación de una recta es la llamada punto pendiente, como su nombre lo indica, los datos que Se tienen son un puntoY una pendiente.

Sea A(x) el punto dado y m la pendiente dada de la recta, entonces si consideramos otro punto cualquiera B(x, y), que forme parte de dicha recta, por la definición de recta se tiene que:

Forma punto- punto.

Sean A(x1, y1) y B(x2, y2) dos puntos de la recta. Con estos dos puntos se puede obtener su pendiente:

Si sustituimos está pendiente en la ecuación y-y1= m (x – x1), obtendremos la ecuación de la recta cuando se conocen dos puntos.

Ecuación de la recta en su forma simétrica.La ecuación de una recta en su forma simétrica es aquella que está dada en términos de las distancias de los puntos de intersección de la recta al origen del sistema coordenado, como se muestra en la siguiente figura.

Cabe recordar que en una coordenada (x, y),x recibe el nombre de abscisa, y recibe elnombre de ordenada.De acuerdo a la figurala ordenada al origenes “b” (distancia entre el origen y el punto deintersección de la recta con el eje y).La abscisa al origen es “a” (distancia entre el origen y el punto de intersección de la recta con el eje x).

1.3.-Secciones cónicas

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola. un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice

De acuerdo al ángulo y el lugar de la intersección es posible obtener circulos, hiperbolas , elipses o parabolas. Cuando el plano solo toca uno de los mantos del cono y no es paralelo a una de sus aristas se obtiene una Elipse. Cuando el plano corta los dos mantos del cono se obtiene una hiperbola. Cuando el plano que corta es paralelo a una de las aristas del cono se obtiene una parábola.

Tipos:

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

β < α : Hipérbola (naranja) β = α : Parábola (azulado)

β > α : Elipse (verde)

β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice). Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano

serátangente al cono).

Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.

cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

Aplicaciones

Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen

secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.

También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies,formas y curvas perfectas.

Historia:

Tras la Geometría de Descartes publicada en francés y no en latín (la lengua universal de la ciencia), Van Schooten la traduce al latín en 1649 y junto con sus discipulos adquiere la geometría cartesiana un rápido desarrollo, Debeaune en Notae breves demuestra que las ecuaciones y2=xy+bx, y2=-2dy+bx e y2 =bx-x2, representan respectivamente hipérbolas, parábolas y elipses. Pero es en 1658 cuando uno de los miembros del grupo de Van Schooten, Jan de Witt reduce todas las ecuaciones de segundo grado en x e y a formas canónicas, por medio de rotaciones y traslaciones de los ejes. De Witt sabía cómo reconocer cuándo tal ecuación representaba una elipse, cuándo una parábola y cuándo una hipérbola, según que el llamado discriminante fuera negativo, nulo o positivo.

1.4.-Ecuaciones de la Circunferencia

La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro.

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígonode infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.

Elementos de la circunferencia

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;

Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);

Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros)

Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;

Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación de una circunferencia se simplifica a:

A está ecuación se le conoce como ecuación canónica y se da cuando el centro de la circunferencia es el punto C(0,0), por lo que la expresión ordinaria queda reducida a:

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 6,3 y cuyo centro se encuentra en C(0,0)

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así

Ejemplo:

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

X² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²

X² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16

X² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0X² + y² - 4x - 12y + 24 = 0

1.5.-Ecuaciones de la Parábola

Una parábola: es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que se denomina foco.

El lado recto. El lado recto mide 4 veces la distancia focal, Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto y mide 4 veces la longitud de p.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

La Directriz: es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco.

El eje focal: es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vertice: Es el punto en el cual la parábola corta el eje focal.

Lado Recto:  Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la parábola (A,B). La distancia entre el vértice y la directriz que es la misma entre el vértice y el foco de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).

Aplicaciones prácticas

Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: lasantenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.

La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.

Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.

Parabola Con vértice en (0,0)

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio.

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el

vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz.

Tipo Ecuación Foco Directriz

Vertical X2=4PY F(0,P) D=Y= -P

Horizontal Y2=4PX F(P,0) D=X= -P

1.6.-La elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos f i jos l lamados focos es constante.

Elementos de la elipse

Focos

Son los puntos f i jos F y F' .

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario

Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro

Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal

Es el segmento   de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

Vértices

Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor

Es el segmento   de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor

Es el segmento   de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría

Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría

Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

 

Excentricidad de la elipse

La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

Ecuaciones de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)Cualquier punto de la el ipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones l legamos a:

Ejemplo

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentr ic idad

Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

Si el e je pr incipal está en el de ordenadas  se obtendrá la s iguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(o, c)

Ejemplo

Dada la ecuación reducida de la elipse  , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse  C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas  F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejemplos

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

Dada la elipse de ecuación  , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse  C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:

Hiperbola

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:F'(-c,0) y F(c,0)Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y sabiendo que    , b y c" class="i" />, l legamos a:

EjemplosHallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).

Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x 2 - 16y2 = 144.

Ecuación reducida de eje vertical de la hipérbola

F'(0, -c) y F(0, c)La ecuación será:

EjemploHallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5),

de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).

Ecuación de la hipérbola

Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

EjemplosAl quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).

Ecuación de la hipérbola de eje vertical

Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y0+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la hipérbola será:

EjemploAl quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).

GEOMETRIA DEL ESPACIO

Geometría del espacio, rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

Cono (geometría), o cono circular recto, es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos.

La hipotenusa del triángulo es la generatriz, g, del cono. El cateto sobre el cual se gira es la altura, h. El otro cateto es el radio, r, de la base.

El desarrollo de la superficie de un cono en el plano da lugar a un sector circular de radio g y ángulo (r/g)·360º:

La superficie lateral de un cono recto es rg. Por tanto, su superficie total es: 

Atotal = rg + r2

TRONCO DE CONO

Un tronco de cono recto de bases paralelas es la porción de cono comprendido entre la base y una sección paralela a ella. Es el cuerpo de revolución generado por un trapecio rectángulo al girar alrededor del lado perpendicular a las bases.

Queda caracterizado por los radios de las bases, r y r’, la altura, h, y la generatriz, g, entre las cuales se da la siguiente relación: 

g2 = (r – r’)2 + h2

El área lateral de un tronco de cono es: 

Alat = ·(r + r’)·g

Su volumen es: 

V = · (r2 + r’2 + rr’) ·h/3

CONO OBLICUO

Un cono oblicuo es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje y que corte a todas sus generatrices.

Cilindro (matemáticas), o cilindro circular recto, es el cuerpo de revolución engendrado por un rectángulo al girar alrededor de uno de sus lados. El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del cilindro. Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se llaman generatrices.

Un cilindro recto queda determinado mediante el radio de la base, r, y la altura, h. Su área total es: 

Atotal = Alateral + 2Abase = 2rh + 2r2

Su volumen es: 

V = Abase · altura = r2h

CILINDRO OBLICUO

Un cilindro oblicuo es el que resulta de cortar un cilindro recto por dos planos paralelos que cortan oblicuamente a todas las generatrices.

Las bases de un cilindro oblicuo son elipses. Su altura es la distancia entre los planos que contienen las bases. Su volumen es: 

V = Abase · altura

ESFERA

Esfera, el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. El centro y el radio de la esfera son los del semicírculo que la genera.

La superficie de la esfera o superficie esférica puede definirse también como el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al centro es igual al radio.

Un plano y una esfera pueden ser exteriores (sin puntos comunes), tangentes (con un solo punto común) o secantes, si el plano atraviesa la esfera.

La intersección de una esfera con un plano es un círculo cuyo radio, r, se obtiene conociendo el radio de la esfera, R, y la distancia, d, del plano al centro de la esfera: r2 = R2 – d2

Si el plano pasa por el centro de la esfera (la corta diametralmente), el círculo que determina en ella se llama círculo máximo y la circunferencia correspondiente circunferencia máxima.

El área de la superficie esférica es: 

A = 4R2

El volumen de una esfera es: 

V = 4R3/3

PIRAMIDE

Pirámide, poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono…

Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es:

y el área total: 

Atot = Alat + Abase

El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:

TRONCO DE PIRAMIDE

Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.

Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de estos troncos.

El área lateral de un tronco de pirámide de bases paralelas es: 

Alat = semisuma de los perímetros de las bases · apotema

1.9.-Ecuaciones Paramétricas

Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cadauna separadamente, están expresadas en función de la misma terceravariable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable,comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representanen la siguiente forma general:

x = F (z)y = F (z)

Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representanuna sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos.

Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas.En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual lasecuaciones paramétricas determinan los valores correspondientes a x, y, querepresentan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos asídeterminados resulta una curva, que es la representación gráfica de lasecuaciones paramétricas.

Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación grafica.

CIRCUNFERENCIA

Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x,y) un puntode la curva y Θ=ángXOM.

Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia:𝑥 = 𝑎 cos 𝜃𝑦 = 𝑎 sin 𝜃CICLOIDE

Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sinresbalar, a lo largo de una recta fija.

Tomese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar lacircunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe lacurva.

En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincideen el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando My T lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2pr, es decir, entodo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presenteque cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radiomultiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir:

𝑥 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑇 - 𝑀𝑁 = r 𝜃 - 𝑟 sin 𝜃 ;𝑦 = 𝑃𝑀 = 𝑇𝐶 - 𝑁𝐶 = 𝑟 - 𝑟 cos 𝜃 ;𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:𝑥 = 𝑟 ( 𝜃 - 𝑟 sin 𝜃);𝑦 = 𝑟 (1 - cos 𝜃;que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.

Coordenadas Polares

Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares.

Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura 10.36. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, _), como sigue. r _ distancia dirigida de O a P _ _ ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje polar hasta el segmento OP

La figura 10.37 muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias concéntricas intersecadas por rectas radiales que pasan por el polo

En coordenadas rectangulares, cada punto tiene una representación única.Esto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas y representan el mismo punto [ver los apartados b) y c) de la figura 10.37]. También, como r es una distancia dirigida, las coordenadas yre-presentan el mismo punto. En general, el punto puede expresarse como o donde es cualquier entero. Además, el polo está representado por donde es cualquier ángulo.