Solucionario Calculo Diferencial Granville

-Luego: x =0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f''(xj-x'(x +2)(x - 2)f'(0,1)=(+0,1)2(0,1 +2)(0,1-2)f'(O,l)=( +)( +)( -)=" - ".Puesto que el signo de la derivada no cambia de signo=> No hay ni Mximos ni Mnimos.

MARCOS ANTONIO VALLADARES SOSAPRIMERA EDICiN

Valores Crticos: x- ; x- 2; x- 2.Para: x=Ox

20. + 20

;r 20.-2(-10)j

feO) - 2 f(3)

f (O) = 20 . Sustituyendo f (3) y f (O) en la funcin originar

feO) (0)3 + 5 (0)2- 4 (O) + 20 = O+ O - O+ 20 20

Luego, calculamos feO)

f(3) = (3)3 -5(3i - 4(3) + 20. 27 - 45 - 12 + 20 _ 47 - 57

f(3) = - ID

Primero calculamos f(3)

feS) _ c. f (O)_ - 2f(3)

a. rrn , 12rtn, (1)3_ 5 (1)2_ 4 (1) +20.1 - 5 -4+20. 21 -9:.

f(l) .12

b. feS) _ O

f(5) _ (5)3 - S (5)2- 4 (S)+ 20 = 125 - 125 - 20 + 20. O

1. Dado r(x) Xl - 5x2 - 4x + 20, demostrar que

Soluelonaro de Der .. das

bttp:/ /toboepl1.blog~pot.(Oln ~

~aotqlltlobos, .pobemoS'ijinete!

(.oOlllnii)\i) be

lo nete~ario para tngre~ar a la unibtrsilJab,

f(l/2 Tt) _ O

C. f(Tt)

'f(Tt) _ sen2(Tt) + cos Tt _ sen 3600 + cos 1800 O+ (-1).

b. f(lI2 n)

f(1/2 7t). sen~t:~ + cos fi-). sen Tt + COS ~Oo O+O.

feO) _ 1

feO) sen 2 (O) + cos (O) sen O+ cos O. O+ 1 _ 1

n. f (O)

S. Si f(8) _ sen 29 + cos 9_Hallar:

f(-2) 12

f(2) .12

e. f(-2)

f(-2).4 -2 (_2)2+ (_2)4.4 - 8 + 16.20-8.12

f(-l) _3

d. f(2)

f(2).4 _2(2)2+ (2)4 .4 - 8 + 16.20 - 8

c. f(-1),

f(-I).4 -2 (_1)2+ (_1)4.4 - 2 + 1 .5 - 2

.:~.~::;~:~Selucenarlo deDerlvadns ;:" ',-

feO) _ 4

b. f(l)

f(l) _4 - 2(1)2 + (1)4.4 - 2 + 1.5 - 2

f(J).3

n. feO)C(O) _ 4 - 2 (0)2+ (0)4.4 - O + O 4

2. SI f(x) 4'- 2x1+ x\ calcular:

f(7). 5. f(-I)

90 = 5(18)

90 _ 90

Sustituyendo, f(-I) y f(7) en la funcin original

f(7) = (7)3 - 5(7)2 - 4(7) + 20.343 - 245 - 28 + 20

f(7) & 363'- 273.90

Luego, calculamos f(7)

f(-I).18

f(-I).(-1)1-5(-1)2-4(-I)+20.-1-5+4+20.-6+24

Primero calculamos t( -1)

d. f(7) _5 f(-l)Soluciona ro de Derlvndas

5x'+xhhf(x + h) - f(x) _ x - x - h

(x + h)x

f(x + h) - f(x). X'- ex + h)(x + h) x

Luego: f(x + h) - f(x) = _1_ -_1x+h x

f(x +'h)'= _1 _x+h

Primero encontramos f(x + h) :

7, Dado f(x) .1.., demostrar que: f(x + 11)- f(x). - 1x x'+xh

Luego: f{x+ h) - f (x)

f(x + h) - f(x) =x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h - (x3 + 3x)

f(x + h) - f(x) _ ,*-l + 3x2h + 3xh2+ h3 + 3x + 3h _ ,,3 - 3x

Efectuando: f(x + h) - f(x) _ 3x2h + 3h + 3xh2 + h3

f(x + h). (x + h)3+ 3(x + h)

Solucionarlo de Derlvadas

4

Primero encontramos f(x + h)

f(y + h). i -2y + 6 + 2(y - I)h + h2f(y + h) = (y + h)2 - 2(y + h) + 6

f(y+ h)& i+ 2yh + h2 - 2y - 2h + 6f'(y + h) = y2 - 2y + 6 + 2yh - 2h + h2

f(y+h)~i-2y+6+h(2y-I)+h2

r(y + 11)= y2 _ 2y + 6 + (2y -1)11 + 112

6, Dado f'(x) Xl + 3x, demostrar que

f(x + h) - f(x). 3(x2+ l)h + 3xh2+ h3

S, Dado f(y) & y2 - 2y + 6 , demostrar que:

Haciendo operaciones:

f(l+ 1)=t3_2!2_ Ilt+ 12

f(t+ 1).(t+ 1)3-5(t+ 1)2-4(t+ 1)+20

f'(t + 1) = 1,3+ 312+ 3t + 1 - 5(t2 + 2t + 1) - 4t - 4 + 20

f(t + 1) = t3+ 3t2 + 3t + 1 - 5t2 - 10t - 5 ' 4t - 4 + 20

..4, Dado f(x) x3 - 5x2 - 4x + 20, demostrar que:

f(n). -1

Solucounrto de Derivadas

;'

...,~.. ,", .

1..~ . ,,'

7Sustituyendo en : sen (x + 2h)

sen x (cos2h - sen2h) + cos x (2 sen h. cos 11)

sen x (1 - 2 sen+h) + cos x (2 sen h. cos h)

Por Trigonometra: {COS 2x cos2 X - sen2 x. I - 2sen2 x.sen 2x 2sen x .cos x,sen (x + y) = sen x.cos y + cos x .sen y.

sen (x + 2h) sen x . cos 2h + cos x sen 2h.

Primero encontramos f'(x + 2h)

f(x + 2h) - f(x). 2cos (x + h).(sen h)

11. Dndo : f(x) = sen x , demostrar que

Ahora calculamos eI>[!Y...ll), sustituyendo en : + (x). log~.(1 + yz II+ xJ

+(y) + $(z) = log 1'. - z+ z - f(1 + yz) - (y + z)~1+ y+Z+ yz(l+yz) + (y+z)

.v

~.

Sclucionario de Dervndas

:1,;':\ "" !'"".o.,.~.,.....

6

Luegocalculamos + (70) sustituyendo en 4>(x) : 4>(z) 10S( I - z].. L1+ z)

Primero calculamos+ (y) , sustituyendo en +(x): $(y) _ log(J....:...y)ll+ yJ

Si: $(x) a< ~ (y).$ (2) aY +z _. (y + 2)

10.Dado + (x)alog[l. x],demostrar que: el> (y) + + (2). +CY....Dl+x LI+yzJ

~ ~(z + 1).$(z) _ 3$(z)

9. si $(x). a" .demostrar que: $(y).eI>(z). +(y+ 2)

{

+(y).aY$(z) _ a'$(y).$ (z)=aY.a' .aY+z

Pero :+(z) = 4-",

+(z + 1)- (z+1)_42~1, Primero encontramos el> (z + 1)

$(2+ 1). ~(2)= 3~(2)

8. Dado ~(z) _ 4' ,dcmostl'nr que:

Solucionorio de Derivndns'.

98

lim ex 2+ 3x(0) + (0)1)o.x2+ o +m.[oC -lt-,x) - Wh~ol 2x+5(O) -j l2x+0 J lhJ (2-lt-) l2J

Se sustituye h ~O tanto en el numerador como en el denominador.

\

=> f(x+2h) - ((x) _ 2eos (x+h}, sen h .

2 sen h (cos (x + h) 2sen h .cos(x + h) _ 2cos (x + h). sen h.

,-

lim [4 (0\2+ 3(0) + 2]_ [Q..O.2] _ .l._-_1HO (O) + 2(0) - 6 lo +O- 6, - 6 3

2sen h (cos x.cos h - sen x.sen h)Se sustituye t -tO en el numerador y denominador,

Sustituyendo en :3. lim (4t2+3t+~ .,-.1.

..... 0 l2 + 2t - 6 3. , .

Perc.segn formuln: COSx.cos y - sen x.sen y = cos(x +y)

Factorando : 2sen h(eos x.cos h - sen x.sen h)

2eos x.sen h.cos h - 2sen x.sen'h 4x + S 'H+ 5 H+ S .xx. x r ; 00_4+0~402l2 + 3 2 + l 2 + 3 [2 + JJ (1) .x x x 00

sen x - 2sen x .sen'h + 2cos x .sen h .cos h - sen x

Dividiendo numerador y denominador por x y luego sustituyendo por IXHaciendo operaciones, simplificando y ordenando:

2. JjJl1 4x + S.2x __ 2x +3

=> f(x +2h) - f(x)osen x (1 -2 sen'h) +2cos x.senh.cosh-

DEMOSTRAR CADA UNA DE !.AS SIGUIENl'ES IGUAI..DAI>ES:f(x + 2h) o senx(1 - 2 sen2h) + 2cos x .sen h .cos h

PROBLEMAS.- paINAS 21 Y 22Luego: f(x) o sen x

Soluciennr lc de DerivadAsSoluclonnrio de Dertvadas.' 2sen x (1 - 2 sen h) + 2 cos x .sen h .cos h

~.:.:."

'. :'>,','., ./'1"' l,

" :

~;'7~:. ,:,r' .' .

" :

.6y. - 511x + 4x.tox + 2. (llX)l

. 24. Y= (2 - x) (1 - 2x)y + 6y _ (2 - (x + x)( I - 2 (x + x)]

y + y _ y _ (2 _ (x + 6x)](1 - 2(x + x)- (2 - x)(l - 2x

Lly _ (2 _x - 6x)(1 - 2x - 2.x) - (2 - x)(l - '2x)

y = (2 + (-x) + (-Llx)](1 + (-2x) + (-2.6x)] - (2 - 4x - x

lly =~ 4x - 4.11x- lt + ~2 ~ . ~ - b:lt + ~ . ~.

2.(X)1 _ -t-.+ ~ _~2

Eg__ 0- 2ab + 2b1e _ 2b1e - 2abde..!!i- 2b(be - a)de

Solucion.ro de Derivadas'

6e _ (b2) (60) - (2a) (b) + (2b2) (9)oe:>iI

38

ss. _~. (bl.(6f) -.2a.b + 2b1.9}69 ~

-Q 7'''''+ -Eb{l'+(b.A9)'- ~(ber -2.(b.AO)+2(b9)(b.AI'l)-.' + ~,t.&-

Ae_ (b.Ll9)2 -2a ( b..~) + 2(bO) (b.9)

Ae= bl(6e)l_ 2a(h :tJ.e) + 2(b9)(b .69). f""",,".,dl,ldld.~

lIe _.'. f-bO)'. (. b.A6)'.1 a.(-bO)+2.( b.bO)+2.(bQ).(b. AO)'

23. e _ (a - bO)lQ + 6e = (a - b (e + 69 )]2

Q + 6e - Q _ (a - b C9+ lle )1- (a - bol

toe _ (a - bO - b.69)1 - (a - bO)l

t:.Q _ (a + (-be) + (- b.1l9)f - (a - bei

ro: ~3ax1 + O + O+ 2b:\: + O+ e _ 38X2+ 2bx + edx

. .Y _ '3ax1+ 3ftx (O)+ a.(Oi + 2bx -1- b.(O).Ax + e

Y _~(3axl+ 3ax.ax + a.(ax) + 2bx + b.ax + e)6x ~

Fnctoriznndo y dividiendo p~r. Ax :

Solucln.rlo de Derlvnd.s-y- + Ay. rr .a[xl + 3xl~ + 3x(AXi + (x)) + b[x2 + 2x. X +

+ ex + C. Ax + d - (nx) + bx2 + ex + d)Ay. -ffltl + 38X2.AX+ 3ax .(AXl)+ a.(Ax)1+ -bltl + 2bx.Ax +

+ __ + c. Ax+ ..fr _8'Jt1 - 1m2 - -ffi! - -tI-

41

xy + y - y x + xa + b(x + X)2

y + t.y = x + 6.xa + b(x + X)2

y. Xa + bx'

ds , {3b[a + (bt)J2}.dt

ds e O+ Ja2b + 3blt2 +O+O+ 6abZtdt

ds _ 3a2b + 3blt2 + 6ab2tdt

ds = 3a2b + 6ab2t + 3blt2dt

ds _ 3b(a1 + 2abe + b2t2)dt .

6.s -Bt- {(bt)2 + 382b + 3blt2 + 38b2t.t + 3blt.t + 6ab2t}t.t --Bt-

s _ [b(0)2 + Ja2b + Jblt2 + 3ab2.CO) + 3blt.(0) + 6ab2t]

Faetornndo , dtvtdendo y slmpliflcando pnrn dt '.

bs _~) ..*'+ (MI)'+ ..... ~ .. 3a'(b61)'" ..;~~' ...3(bt)'(b/;,t) + 3a(bbl)'+ 3(bl)(Mlf ...6a(bl)(bbl) _-trJ - .... 'EI>tl- - ..;e(-b~2_-fbtrl

s _ (b61)'+ 3a'(MI) + 3(bt)'(bbl) + 3a(bbl)'''' 3 (bl)(bbl)' +6a{bl}(b61)

Soluclcnarto de Derivados

s. [a + bt + b6.tp - [al + 3a2bt + 3a(bt)2 + (bt)l]

40

s + t.s ~ [a + b (e+ t)p

s + t.s - s _ [a + b(t + t.t)p - (a + bti

26. S = (a + bt)3

f!.y = 2ACX + AD +'BC .dx

{y 2ACX + 0+ AD + BC 40

tJy_ = 2ACX + [AC (O) + AD +BC.. 0

{y= 2ACX + AC.t.x + AD + BC =6x-.0

{y _ "'l(= (2ACX +AC.t.x + AD + BC)x . ~

Factornndo y dividiendo paro Ax

BC.t.x + -BB- - -Aelt-' - ~- - -BQ- - -!l-l)..

6y = 2ACx.6.x +AC(X)2 + AD. (ex) + BC .x

-y- - -y- + 6y _ {Ax+ A.6x + B) (ex +C.t.x + D). (Ax + B) (ex + D)

t.y. -MOlt-l + ACx .ex + -A:I},... + Aex.t.x + AC(6X)' + AD(t.x,) + B ll

43

_ {-2ax - a (x)} " (x + D.X)2.X2

t;,y_. -f*!tt {-2ax - a (6xll(x + 6X)2. X2.~

~ .I:>x {-2ax - a (!:>x)} (x + xi. x2, (6X)

FActor.ndo dividiendo Ysimplificnndo paro 6X :

Ay _ - 2ax.Ax - a(Axi(x +D.xi X2

+ 2bx) ,Ax + a CAxi + bx2,(Axi}(x + Axi x'

,Ay _ fIlt' +~. + ~1.-6l< + .Jer,i~- 1I'lt~-blx-(x +D.x)' X2

::Hm).~ - a (AX)2 - 4!nti,ff&l(x + xi Xl

y {a+ bx2 + 2bx. X+ b.(X)2} (x') - {ax2+ bx' + 2ax .Ax(x + !:>xi X2

y. fa + b ex + 4X)2}

4S44

y _Cx+ x)2 (a + bx2) - {a + b (x + X)2}( X2)[a + b (x + x/] (a + bx2)

y + t.y - Y _ (x + IJ.X)2[a + b (x + llX)2J

~_ 2ax + a(O) .,~o la+b(x+O)2J(a+bx2)

Qy= . 2ax + Odx (a + bx2) (a + bx2)

29. ya X2a + bx2

y + y _ Cx+ X)2a+b (x + xi

tu _ (28X + a,x).. -sc [a+b(x+lJ.xiJ (a+bx2)

y _ ~ {2ax + aCx)}[a+ b (x + X)2J (a + bx2) ~

[a + b (x + X)2] (a + bx2) (1J.x)(lJ.x) {2ax + aCtox)}

Facterando, ividiendo y simplificando para 6x:~a - 2ax - O...-.0 X2.X2

Qy. _ 2axdx x"

IJ.Yc 2ax ,lJ.x+ a(x)2[a + b (x + x)2] (a + bx2)

k --2ax - a ( O )_.,-.0 (x + Oi.x2

Sbleiouario 'de DerivadosSolucionarlo de Derivadas

,

",:'

~".,.,,",, '","

,." .,':' , .'O"

r

; ,:; .

4647

a are tg (O) O.m.tgO.O.

\y' _3 _3x2 .3 _3(_1)2 3 - 3(1) 3 - 3 O

la curva y. xl + X bailar los puntos en los que la tanstparalela a la recta y .4x.

10 - 4 6; y. 6; => P (2, 6)m.-4 ; tga_-4;, a .arctg(-4) a .1042'

4. y.3 +3x-x3 ,siendox.-l

Sustituyendo x _ 2, en y

Sustituyendo x 2 Cilla ecuacin original.

2 _x ; x. 2.Qy =.1:..&. !i{x-I). ~ .(1).U}.dx (x_I)2 dx (x_I)2 (x_I)2

Solucionandola ecuacin: 5 - 2x.o 1; 5 1 .2x.3. y. _4_ , siendo x 2x -1

m = y' 5 - 2x. 1.

m = Qy = _ l. m tg el = - 1. el = are tg - 1 # 135dx

y _ 5x - X2. Segn dato del problema tg 4S' - l.

y' = 5 - 2x. => m. 1.

fu:~2 __1 . (~) _ 2 - x = 2 - x = 2 - (3) = 2 - 3 = - 1 .dx -!-

6. Hallar el punto de 111C1ITVa y. sx - Xl en el que la nclinncde la tangente es de 45.

2. y. 2x - _!"Xl , siendo x = 32

DI.tga.-3; a.arctg(-3)=10826'5"

y'=) (1)1_ 6(1)03(1) - 6.3 -6.- 3

Sustituyendo: x _ 1, en y1. Y# X2 - 2, siendo x - 1,

Qy .2x = 2(1).2; tg el. 2. m; el. IITC tg 2.6326'5"

dx

y' 3x2 - 6x.Aplicando las Derivadas,hallar la pendlenle Y la inclinacin de laa cadauna de las curvas siguientes en el punto cuya abscisa se

SoluciOllado de DerivadasSolucionnrio de DerivadAs

49

Puntos de intercepcin:

e _126052' 11"

2 - (-2) _ 2 + 2. 4. - 4l + (2) (-2) I - 4 - 3 3

e _ mi - m2 =l+rn..m

'.1 =-2x =- 2(-1) =2

Cuando: x =-1

e _530 8'e = are tg _.1_3

tg El = m, - m2 = - 2 - 2 - ....:...i_ = :..._= _.1_l+ml.m2 1+(-2)(2) 1-4 -3 3

1112= 2

ml.-2(1)=-2

ml_ - 2x

Cuando: x _1

y _ X2 - 1y'.2x

y _ 1 _ X2y' = - 2x

Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes:

X 2 2/2 ; x 2 1 ; x , 1

Soluclonnrto deDertvades

48

1 - X2 _ Xl _ 1 " 1 + I 2 + 2 2 2 2.x x = x =

Igualamos las 2 curvas.

b) L. pendiente y la inclinocl6nde ,. tangente a c.d. curvo, y elngulo formado por las fangentes en cacfnpunto de Intercepetn.

a) Los puntos de iutercepcin del par de curvas dado.

En cada uno de los siguientes problemas hallar:

3 Y _ x3 +Xy= X + X.

YI =(1)+(1) Y2 = (-li + (-1)

YI _ l + 1 Y2=-1 -1 =-2'.

YI.2 Yl. -2

~ p (1,2) ~ Pl (-1, -2)

En la curva reemplazamos X_ l.\

.3Xl + l _ 4 . Solucionando: x _ 1.

Cuando 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales.

Solucionarlo de Derivadas

8. are tg (0,6).3057'49"51

50

tg 8 4 - 1 _L. 3 0,61 +(4)(1) 1 +4 S

ntl.1

m21

Cuando: x 2

y'. 1 mi

tg8. mi - m2 :I 1+ ml.mz

mi- 4

mi = 2x

Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes:

(x - 2) (x + 1) O. x ~2; x.-I

?x--x-2.0

Cuando x = -1(1)(2)

puntos de intercepcin:

2y. x .y.:X+2

Igualamos las 2 curvas en funci6n de "y" para encontrar susIntercepciones.

~rctg (3) .7133' 54" .

- 2 - (1)1+ (-2) (1)(1)

(2)

.-2-1 ..:.l._.3.1 - 2 -1

:FI(l,O) y Pl(-l,O)ml. 1

CUllndo: x ~- 1Solucionaro de Derivndns

Solution~rio de DerivndRs

y. X l.X - Y+ 2. O.

9.

53

...._,,~. 413 _ 3t 213) -Jl e13 _ 2t -1133

g_.Jv=_l_.dvdx 2.Jv dx

SOlucionado de Derivada

S2

.Q__(Z2) _ !L eL) _1 d (Z2) - _1 d(z7)dz 2 dz 7 2 7

12. g_ ( :z2 - Z7) _ z ' z'dz 2 7

a.!L(IS) - Sb.Q.(t) ,'s(5t') - 5b(3I'). Snt4 - ISbtldt dt

Q.(atl) - Q.(5br1)_ a.fL(rs) - 5b.Q.(e)dI di di dI

_ 3(1) - 2(3x2) _ 3 _ 6xl

11. g_(uf, 5btl). 5at" - 15bt2dt

!L

55.

. !L[.!l +Q_[b}+Q_ (e.x)dx .xJ dx dxL J

!L(Ji.+ lt + c.x .~dx x'*"'*" J

18. !L (JI + bx + cx~ = e -Ji.dx l x ) Xl

3e/(2.

b +2$ds , - a +- ~dt 2t.t

17. Q_(x2l3. 1\213)~1_xIIJdx 3

Q_(x2l3). Q_(a2l3)_ .l.x2ll, _ O _~XI/3 .~ ~ 3 3

1 I's, ..1,. X3l4.1 +'4..(:1).X1I4.,

"4- A'1

'-m.Q_(.{X)(RJ dx_ 2 4.(X3/4) + 4 Q_(X.'/4)

dx dx

1x.[x4Y._L+dx 4.[XQ_(2xJ/4) + 4.(4X'/4).dx dx

16. Q_(2xJ14+ 4X'/4) _ .1,X,/4 X)/4dx 2

2.i_. t 4/31 +..1.. 1213, _ Jlt 1/32 t -1/33 + 3

Solueionnrio de DerivAdos'.. Solucionario de Derivadas

+O + c.Q_(x). dx

S4

57

r _ (1 - 29)112

l!.((1 - 29)II2Jde

!l.L= - r.=l~d9 ,JI - 29

-r _ ,JI - 28

2x. ,faxa

2x. 5.raa21. adx 25. Fa

a

a112 al122xl12 al12

21dx

I\1ulliplicRnlo5 y dividimos por n1/1, n ("eln sumando:

ID::. al12 x 1/2 al12 X J12dx 2 2

Qy. al12._1 x 1121+ aI12..:..1.... x 1121dx 2 2

Qy. al12 .l!.(xl12) + al12 .i!..( x .112)dx dx dx

Soluciona.io d. De.lvad ..

56

2x.,axID:. adx 2.,fiiX

ds_ : +_b_ + 3c./Idt 2.t...t 2.,ft 2

ds .f~ +(...JLJ + !:kadI [2:(72] l2.tlllJ [2J

\

'l.

:'. '. i

Solucionnrlo de Derivadas

1,,'

'!J'. . f,'.. .,;. :ot' ~t. . 'J.._ .....1,1'... ".

:; (,.~(1'~:"1.

"""~:'~~"ti,-,

;.."

.1.(2 - 59)],1.1 . Q_(2- 59)5 de

.[3(2-5e)~(O-5).( 3 ](-+). s J +(2 - sei,sJS9

f (S) _ (2 SS)lJS f '(S) - 3{2 _ 5e)2Is

_(a'. Xl)" 1I2 .(0 - 2x)2

__L(a2 _xlr 1121.Q_(a1 - x')2 dx

../a1_ x'1

(4 _ 9X)11J3

_3(4 9x) .1IJ

..l.(4 - 9xr2/l (-,m.;5

Solucionftrio de Doriv.das

58

f'(x). (4 - 9X)If3

r-oo , _1 (4 - 9X)If3.I.Q_(4 - 9x).3 dx

f'(x) a _1(4 9x)'lIJ .(0 - 9)3

f'(x)= -3.(4 _9x)UJ

24. f (x) _ ~4 - 9x

r'( t ) = 3(2- 3t2)2 .(0 - 6t)

f'C t ) = 3(2 - 3t2)\-6t)

f '( t). -18t (2'_3(1)1

dr_- l'dS ,fI-28

23. f( t). (2 - 3)l f '(1). -181(2 - 3r)1

f'( t). 3(2 - 3t2)3.1.Q_(2- 3r)dt

dr _ - 1de (1_29)112

dr , (J .29)'112.(. ~)de ~dr = - (J - 29)'112de

dI' e _1 (1 2e)JnI.Q_(1 2S)de 2 de

Solucionario de Derivadas,.'~l.::.

61

y'_ 2a + 3bx2(a + bx)'12

y'. bx + 2a + 2bx2(a'+ bX/12

Y.bx + 2(3 + bx)2(a + bX)11l

y'. bx + 2Ca+ bx)"2{a + bX)11l2(a + bX)'12

y'. bx + (a + bX)1122(a + bx)'"

y'. xCa + bxrl12(b) + (a + bX)'122

y'. x. I .Ca+ bX)II2.I.d (a + bx) + (a + bX)"2(1)2 dx

y'-x ..!l(a+ bX)'12 + (a+ bx)II2.!l(X)dx dx

y.x (a +bx)112

y'" 2n + 3bx2(a + bx)'12

y_x.Ja+bx

y'. 3 [a +..lL)2 l..:.!!.l (2 -jI-)Xl [-!t4J

Solucionarlo d. Derivadas

60

y'. 3 (8 +..lL)J., . -(n +Jtl .X2 dx x J

Qy = 2 (ab~ [o (ob.x .1.1)]dx l x]

Qy=2 ( o..lLJ'[O o g_(b.x')dx L x dx J

Jb( - 2 (a o QJ . [ !lea) o .!lWldx l x dx dx x J

Qy = 2(no..lLJZ'1 .Q. [a o..Q)dx x dxx.)

...~

, ,'...;, '

f'(9) _ 03(2 o S9)lJS

27. y _(a o;J 2

'.~."

"Soluctonnre d. Dervadns

"63

x ..1.. (a' + X2)"1" .g_(8' + X2) _ (a' + x')Jn (ry'__ 1.2 Q;dx~------

x

x.g_(a1+ X')11l _ (a' + x2),n.4_(x)y'. dx dx

x

1y' - 8x'Ja' + x'

y_ Ja'+x'x

!.Ix. 4a'~dx (a1_X')'

(al _xl).sl(al +Xl)_(al + xI).g_(aI_Xl)9Y- dx dxdx (a2_ xli

~ = Cal_ x2)C2x) Cal+X2)(_ 2x)dx (a2 _ Xl)l

9Y' 2alx - 2lt1+ 2alx +2lt)dx (iXl)l

y' _ 4nIx(n' _x')'

Qy = _ 2adx (a + X)I

Qyc -a-*-a+-lt-dx (a + xl2

Solucionarlo I~p~rlvad.s

62

~. Ca+x)(I)Ca-x)(I)dx (a+ xi .

, y'. _ 2a.., (a + X)2

(a+x) .4_(a-x) - (a.x).4_(8+X)~= dx dxdx (a + X)2

31. y.~a+x

, , '

ds , t1 + (a2+ Il)lndt (a2 + rl"2ds = t2+ ~a2 + ~)1/2}2

(a + (2)112 ,

ds , t2 + ( a2 + (2)212(7+t')I~

ds , r2 + a2 + r( a2 + (2) 1/2

ds , al + 2t1'(al + ti)

ds t.g_(a2+ r)"2 + (a2+ r)ll2. dtdt dI dt

ds.t._J .( 02+ r)"2.1.g_(a' + t2)+ (al + r)If.!{I)dt 2 dt

ds _ ( al + rrl12.( al) + (al + r)112dt ' ~

30. s'. a2 + 2t2Jal+ p

s ( Jo' + t>

Soluclonnrio d. Derivados

6S

1

(a2 _ x') "2 + x'y'. (a2 - )(5'"

(a2 _ x2)

(al _X2)112.(82 _1Chl12 + X2y. (a_x2)112

(a2 _ X2)

y. x(a2 _ xljT

(a' - x~'I2 ..Q_(x) _ x.!L{(az _ x2)'/l}y'- dx dx

{(a' _X2)"Z} 2

(a' - X')"2(1) _x._L(al _ xZ)"2' ..Q_(a2_ x')}y'. 2 dx

(a2_x')/l

(a' - ,(2)'12. x.(a2 _ ,,')"112(_ ;xny'- 2------~~,r_-x>~~V~2~----

34. y. X.jnl - x'

y'. _alx1.jn' + x'

y'.

Setuclonarto d. Derivada.

64'

y'.

y'.

1

1

x(a2 + x\ln(~x) (82 + X2)112y'.__ -"~~---, -'-l _

X2

,x

x(a2 + x2rl12(2x) _ (a2 + X2)112y'. . 2

Sotuclonarlo de Derlvadas

67

_ e(l + ex )112_ di _ex )1122 (1 - ex)'12 2 (1 + ex )"2

(I+ ex )

(1 + ex)

(1 + ex)"2(l - ex)"'I2(_e) - (1 - ex)ll2(1 + cxyll2(e)2 2

(1 + ex)

(1 +cx)'' ..L.(I-

69

1

(al + X2)11l {a2_x2),,:!(a2 _ x')

2a'x

(a - x )

(al _ x')'i2,.L.(al+ xlr'I2(~x). (al +XI)III._, .(a'_xlrJII(_ ~x)-2- -2-

(0'_ ,,')'" ..1..(a'.. x')'"'.Jt(a'.. x') _(a' + x')Il2..1..(a'-x')'n.'.Jt(:2 dx 2 AA

Solucionarto de Derlvadns

68

,. ;".'_

.~:" .

;:,7

y': 2n'x(a' - x') J(a' - x')

.rly__ edx (1+ ex ) JI - c'x'

Q.y- -edx (1 + ex ) ..J(I - ex)(1 + ex)

!!y-~~~rP~~~==dx (1 +ex).J -ex .JI +ex

!!y. -edx (J - ex)ln(1 + ex )112(1 + ex)

!!y: -~edx r (J - ex)ln(1 + ex )112(1 + ex)

Q.y. 2 CI - ex)112(1 + ex )112dx (I+cx)

~ ~-e-elt-e+ex:

- c(\ + ClI.) - C( \ - ClI.)!!y.2 (1 - ex)lI} (1 + ex )Indx ( 1+ ex)

1

SOlllolOIlArlo de Derivadas

11

.:

Sustituyendo: y. ,J2px (2pX)'I2, en la derivada.

!!Y __1 . (2pX)'I2' .!l_(2px)dx 2 dx

y'._Ly

ds. 4dt (2 + 3t)z1J(2 _ 3t)413

ds = (2+ 3t)213(2- 3t)2/} =dt (2 - 31)21)

1

4

(2 - 3t) + (2 + 3~ds = (2 + 3t)2iJ(2 - 31) ) dt (2 - 3til3

Solutlonario de Derivad ..

10

(2 _3t)'0 + (2+ 3t)tllds _ (2 + 3t)!l (2 - 31)lildi (2 - 3t)jJ

(2 _ 3t)'13(2 - 31)21)+ (2 + 3~'1)(2 + 3d"ds _ (2 + 3021)(2 - 31) jdt (2 - 3t)V)

(2 _3t)1/3+Vl + (2 + 3t'+wds = (2 + 31)213(2 - 31)di (2 - 3t)213

s , (2 + 3t)11l(2.- 3t)l/3

(2 _ 3t)1Il.!l_(2 + 3t)11l _ (2 + 3t)IIl.!l_(2 - 31)1'3ds '" dt dtdt [(2 - 3t)I/J)2

38. s . )fiii..V2'-3t

_dy. 2 a2xdx (a2 - xl) .../(a' - .')

!l:i. 2 a2xdx (a~ - Xl) . ../(a' + x' (a'- x')

. . SolucloJlario de Derivadas

(2 _3t)II3 __1 .(2 + 3t)"213(+) - (2 + 3t)I/3._1 .(2 - 3t)"2I3(_~.------~----------~----~~-------dI (2 -

(2 _31J,nJ..,(2 + 3t),n'.!L(2 + 31) - (2 +31)Jn J..,(2 - 31)'Il-'.!L(2-~-------~----~~--~.---_------~---di

73

(2X)1I2+ (3X)II)

.J_.(2X)1/2.1.!L(2x) + ._1 .(3X)IIl.I.!L(3x)". 2 dx 3 dx

(2xyIl2(~) + (3xy%13(;)~ ..;..

f '(X)_ 1 + 1(2x) 1/2 (3X)1I3f(x) .J2x + ~

--wP . (2/3 lIl)lI2 ., y'ero. y. a x , SUSlltUtl1l0Sen .

3 (a213 _ Xl!)~ :V%

x

Elevando al cubo y sacando raJz cbica tanto al numerador Ydenominador.

y'_ ..;.. .(a2l) XV)II2( _ ~ X2/).,) __ (a2l3 _ X2lJ)1/2(x1l3'1) .1/)-r,. ..;..

Solucionarlo de Derlvndos

~ :~':l;",:"," .,.:< .'.r '.

y'.- sIi:Vx

'( b2 Jfu.. x.dx 112y'

b ( 2 2 )'/2 . 1 aSegn el problemB: y _ a x , _~...!L-.=a y b (a2 X2)112

Qy. - b.x.a.b.d b (

2 2 )'x 0.8 8 - X

2- b x.a.

y'.l.(a1l3 _ x1l3i12, :!L(alll - x1l3) 2 dx

y'. ~ .(a2/) _ x21)1/2~. ; X2l3'J

n

.' '1.'.

Qy = ,Q.J_.(a2 _ xl)'I2.I.!L(a2 _ x2) a .Q.._l .(al - xlr'I2(-dx a 2 dx a ~

Qy = _ bx . MultlpUCJlmOSy dividimos por: OO b"dx 1\ (ai _X2)lh

'.

40.. y = J!.. -la! - Xl. 11,'.

SoluciOnArlo de Derivada.

~.'.

75

t._l .( a + bt)'I2' .4..(a + bt) _ (a + bl)I12.(1ds _ 2 dIdt 12

I.g_(a + bl)"2 _ (a + bt)1I2.4..(t)~= di dIdI I

s , (a + bt)1I2I

; s'; - (2a + bt)2e(a + bt)1I1s .,1a + btt

y'. 2a - bx2(a - bx)/2

bx + 2a - 2bxy'. (a _bx) 112(a - bX)212

2

y', bx(a _ bxy'/2 (a - bxy212+ 2(a - bxyl/22

y'. (a _bxy'/2 Ibx(a - bxy212+ 2}2 .

Soluciona ro de Derivadas

74

. y= X(a _ bx)tn

y = x .(a - bx)"/2.

'1= x.Q_(a - bx)"'1l + (a - bx)"'Il.g_(x)dx dx

y',X f-..LI (a - bxr'I2'.g_(a - bx) + (a - bxr'/2(I)l2 J dx

y'_f:..lU (a - bX)"I/2(a - bxr212 (- b) + (a - bX)'I/2L 2J .

y'. 2a - bx2(a - bx)3/2

44. y. x.Ja - bx

'1= _ 1_2x2 - 8x + 4x2 (1 + 2X2)2

y'. 2x1_8)( - 1(1+2l)2

"!j'. _(l +2x'1) - 12 - x)(4x)(1 + 2X2)2

(J + 2x2).!1.(2 - x) _ (2 - x).Q_(1+ 2X2)y'. dx dx

(1 + 2X2)

y'. (1 T 2X2)( - 1) - F-x)(4x) =(1 + 2x )2

y'. 2x1 - 8x .. 1(1 + 2Xl)1

Soluclonario de Derivadas

77

ds _ - (2a + bt)dt 2t2 (a + bt)'/2

\

-i-.:~:/:'

:

be - 3(a + be)3(a + bel2l)

o e2

ds = - 28 - btdi 2r (a + bl)1h

- 2a - btds _ 2(&+ bl)11ldt t2

Simpun,nnilo:

be _ (a + be)'/Jdr 3(a + be)2JJ.ae e2

be - 3(a + bal"Jea + bel1lJ'dr _ 3(a + belllJ_ 2

e

bt - 2a - ~ds _ 2(a + bt)dt t2

a.(a + ber1lJ(bl _(a + be)'/)3

bt - 2(a + ~'~_ 2(a+btl'dt ~

e.Q_(a + be)1/J _ (a + b9)'/J.Q_(e)dra de dede e2

9._1 .(a + be)'/Jol.Q_(a + be) _ (a + be)'/J.(l)dr= 3 dede al

bt _ (a + bt)'12ds _ -2-(-a_'+"'-b-t)~I/;:;-21dI t2

bt - 2(a + btl,n(a + ~ds _ 2(8 +' bt) I~d- t2I .

000

r' e3a + 2be)3e1 (a + be)W

r_\Ffr _ (a + bell/)

e

t.( a + btr'12 . (bl _(a + bt),nds _ 2 1dt

SOludonnl'O de DerivadasSolucionnrioode Derivadas

76

79

ds -[21 .J.] 1/2dt dI 7J

s'. (f + 1)e (2f _ 1)112

-:t= 4x+2dx (2 + 3x)2Il

.I!!- 2(2x+1)dx (2 + 3x)2/J

Qx_ x+2+h,dx (2 + 3xi/J

Qx _ x + (2 + 3x)dx (2 + 3x)2/J

'Qy_(x,_1 .(2 + 3X)'J3.1.Q_(2+ 3x~ + (2 + 3X)'f3(I)dx L 3 dx ')~ = f.{2 + 3~r2/JH-) + (2 + 3X)'J

Qy_~ +(2+3x)'131dx (f2+3x )213 J

y x ( 2 + 3x ) In

. -:t_ x,!L( 2 + 3x ) In + (2 + 3x) 1I3,!L(X)dx dx dx

y_x . .q' 2 + 3x y'. 2(2 X + 1)(2 + 3x)1I3

Soluclonario de D,ervadas

78

-:t = - X2+ 10x - 4x2dx . (5 - 2X)ln

Qy _10)( - SXldx (S 2x)1n

-:t = X2+ (S - 2X)'/2,{5 2x)lI2{ 2x)dx .(5 .2x)tn

-:t - x2 + 2x{S 2x)dx (5 2x)'/2

Qy _ Xl + (5 2x)'/2(2x)dx (5 2x),n

y _X2(S _ 2X)'12

-:t = x2,!L(S - 2X)'12 + (S - 2X)'12,!L(X~dx dx dx

-:t. (x2,_1 ,(S - 2X)'12",Q_(S - 2x~ + (S - 2x)'12(2x)dx l 2 . dx JQy _ xl{5 _2xr'll(o +> + (S 2x),n( 2x)dx ~

.!!r.-- Da + 2b9)d9 3el (a + b9)l/3

47. Ysx2.jS-2x ; y'= lOx-5x2(5 - 2X)112

dr , - la - 2b6ea 362 (a + b6)l/3

Souetonarlc de Derivadu

8180

I

~ (x + 2)'(x1 + 2)""2(-2-x 1 + (x2 + 2)'I2,2(x + 2)(1)~

_'(x + 2)l,.l.,(X1+ 2)"l",~(xl + 2) + (,,2 + 2)Ll2,2(x + 2)2",!!..(X2 dx dx

2 + 2~. ?"dI2(2t;t,)1

( x + 2 i,Q_( x, + 2 )"12+ (Xl + 2 )IIl,Q_( x + 2 )2dx dx

y'. 3x3 + 6x2 + 8x + 8(Xl + 2)1/2

y _ ( X + 2 )2 "Xl + 2

~ -..L[2t -J..] ,111,fL{(2t - t '2)dt 2 t dtds __l ,(21_r2)'II2,[2 _(_2,t02-1)dI 2

~_ I (2 + 2t ,3)dt 2(2t _ t ' )112

2 fr + 1). t-s,-. (2t) _ I)Iil

(13 +n

ds __l [21-ilI120I,fL (21-1)dt 2 t2J dt l 7)

Solucionnrio de Derivadas, Soluclonaro de Derivadas

,r

.....~.., "

8183

!!YD (1 + 2x)th(l + 3x)lldx ( I + 3x )m

1

x

= 3 (36)(5)

(1+ 3x)'1Y (1...,xl ,no Qy ~ (1 + 2x)ln (1 + 3x}2J)'dx ( 1+ 3x )ID

O ...3xl'll(! ...3xll!l ~'l+ 2xl,nO + 2xl ,n!Ix. (1 ...2xlli (1 ...3x):I:

Solutlonario de DerivadasSolucionario de Del'ivadns

'.

84

+ J_.12.!!y. _..L

dx 12

_4__6.!!y._L

dx 48

43(2)!!Y ..L+]_dx 48 48

\

__L + _4,_,_.3(2)2 3(2)1

fu _L+_I_dx 48 16

_ 2 + 4 3(2)61) 3(2)JI)

2 + 43(2)t) 3 (2)IiJ

I

//

2 + 43(2x)'1l ,3(2x)/l

2 + 43(2.4i'J 3(2.4)"5

2 + 4 a3(8)1/! 3(8) In

!!Y- 1 + Idx 3(x)3 2(X)kCuondo X _ 64,

fu- I + Idx 3(64)215 2(64) lA

fu: I + Idx 3(26}l/3 2(26) ~

!!Y- I + Idx 3(2)12IJ 2(2)62

.!!ya l' + Idx ,3(2)4 2(2)3

.!!y._L + _Ldx 3(16) 2(8)

__1 .(2X)IIl-I.Q_(2x)+ .1.(2X)2IJ-1.9_(2x)3 dx 3 dx

= (2xyl/l(2) + .1.( 2x )'1/3(2).3 3

y _ {2X)lIl+ (2x)213 ; X _ 4

_ Q_(2X)"l + Q_(2X)21Jdx dx

!!Y a j__ (X)11),1.dx + j__. (X) In,1.dxdx 3 dx 2 dx

ID: a (xr'J> (1) + (xyln (1)dx 3 2

Solucionado de Derivadas

85

Solucional'lo de Del'ivndas

", .

;..:::-'." .

'.~'\-:?'< .~-~:~~'.

87

x'1..356. y - r==#:=-=.J25 - Xl

y. 1 ( 25 - '1.2)'"2(25_'1.2)'12

_Qy._Ldx S

f!y. 8'dx (25)%

Qy. . 4(2)dx [9+ (4)(2)2] y;

gy . 8dx (9 + 16){

(25 - 9 in3Qy _ 4x Cuando r ; 2

dx (9 +4x2)9.

3Qy _ (9 + 4x\~ (+'1.)dx ~

+ '" .Cu.ndox.3(25 _ X2 ){2y (9 + 4x1)'11 ; x , 2

Qy. _1 .( 9 + 4'1.2)JoI".!L(9 + 4X2)dx 2 dx

55. Y = .J9 + 4x'

rtY ._2_dx 6

-_1 (25 _x2 rI12".!L(25 - '1.2)dx 2 dx'

Soluciona r lo de DerivadasSoluclonnrlo de Derivad,

86

89

Q.y _ _;?; x2 + (8 _x2)y,-dx ~.(8 - X2)X

Q.y __ x2 + (8 _X2) y, (8 _x2) y,dx (8 - X2) l'\

Qy _ _ X2 + (8 _X2)dx (8 - x2)'1'

Q.y _ x(8 - X2)")\ (-2x) + (8 - X2)\dx 2

4Y. x ._1.(8 - X2) :r..I. !L(8- X2) + (8 - x2)\(I)dx 2 dx

x.2'58. y. x..[8-X'-y. x (8 - x2)*

Q.y. x..4.(8 - x2)y, + (8 - X2)\. si(x)dx dx dx

.!lY - =..i1.dx 90

Qy.~dx 18(5)


88

!!Y. -41dx 18(25) '"

Sustituyendo: x.3 en: dy/dx.4Y = - 32 - 3xdx 2X2,~6+ 3x)"l-

!!Y - 32 - 3(3}dx 2(3i[(I6 + 3(3)%

9:i _ - 32 - 9dx (2)(9)[16+9)")

31\ - 32 - 6xllx. 206 + 3111'"dx 2

3x -2 (16+ ~)ID:. 206 + 3x}'dx X2

3x - 2 (16 + 3x)I\(l6 + 3x}1\!!Y 206 +~x),adx x

3x _(16+3x)1I2!!Y. 206 + 3X)'12dx X2

x (16 + 3xy'12 ( 3 ) - (16 + 3x )'11!!Y. 2dx x

: .

x ,.l..(16 + 3x )1I1'.!!.(16+3.)- (l6 + 3x )'12(1)l!Y. ddx x

x.lL{16 + 31\ )"7 - (16 + 3x )'I2.lL(x)2:i. dx dxdx X2


"" . ; '.

.., ':'.

~.'-'

91

8(4 _9l

d 22QY_ 3(4 - X) (-2x)dx

y (4 _Xl) 3 ; X _ 3

Qy_ 3(4 - X2)30104..(4 - X2)dx dx

!lY.20dx

!ti. 7(16) + 8dx 2( 9 )1/2

!ti. 112+8dx 2(3)

Qy= llQdx 6

Solucionarlo de Del'iv.d,

!ti= 7 x + 4 x o sunlluye"do: x _l en!dx 2(1 + Xh"i

. 90

!:t:. 3 x' + 2x.(1 +x)~dx 2( 1+ )(l)il

!ti_3x' + c2x)(2) (1 + XJ)I/2(1 + X3)1/2dx oc 2(1 + xJ)'/2

!ti. 3x' +4x (1 + ~3)dx 2(1 + Xl) 12

!:t:_ x'(I +X\112 (3,,') + (1 + Xl)~ (2x)dx 2

!ti_x2,_1 , (1 + Xl)Y"I,Q.(1 + Xl) + (1 + x))\ (2x)dx 2 dx

59. Y _Xl .JI + x' ; X _ 2y.x2(I+X~~

!ti.X2,4..(1 + X3)\ + (1 + x3) 1I2,g_(X2)dx dx dl!- ...L.(.II)fI_y dx {5 - ~.l)y.{+....L.+ 1)1

->!- +

X -1- (3 + 2x)ln'(3+2x)lh

x + (3 + 2x)ln .(3 + 2X)112(3 + 2x )'i2

x + (3 + 2x)(3 + 2x )11l

-2x-I-10+4x.!h:. (5 - 2x )112dx (2x + 1)2

1

x._l .(3 + 2X)'I2I.Q_(3 + 2x) + (3 + 2X)112(1)2 dx

- x (3 + 2xyJI\t-) + (3 + 2X)11l~

- 2x - 1 - 2(5 - 2x)!h:. (5 _2X)'12dx (2x + 1)2

1

x.3y _ x ../(3 +21)

X (3 + 2x)In

x.g..(3 + 2X)11l+ (3 + 2X)IIl.s!..(X)dx dx

_ (2x + 1) - 2C5 - 2Xxn.C5 - 2X)1124Y. __ _:_._...LC5..:_-26.JX~)~1 _dx (2x + li

J


95

Solucionado de Derivndn,

97

dy ..:.Ldx . 18

!h:- -ldx 2(3) (3)

-22[3J[3}J

ID'.- -2dx 2(3) (27)

Q:l- -g'_dx 2[3] f211

2(8 +1)"[10 - l)lIl-9

"2[4(2) +1)"(5(2)-1 JM-9

'Cuando x ..l

Soludon.ro de Derivad"s

96

"@l!-4-~Glt-5

Q:i _ 2(4x + 1)'/2 ISx . I),ndx (Sx!)

J

4IS,,_'1)1Il(5x_ !\1I2-5J4x+ 1)1I2(4x+ !l,n!Ix- 2(4x+I),nC5x_!)1Ildx . (Sx - 1)

'1 ':o....4 5x - Il - S( 4x + 1)!Ix _ 2(4x + n'" (5x - 1)''1dx (Sx-I)

4(Sx - l)'ll. SC4x+ I~nID! _ 214x +1)'12 2(Sx-!)'dx (Sx - I ) .

(5x _1)'12.4. (4x + 1)'12_ (4x + 1)'I2.!l..(5x. 1)112lIx. dxdx [(5x - 1)'121'

y.(4x+ n'll(5x _ 1)'17

x_264. y- MXiVSx--=-t

_:', .

!!Y- 12 _4dx ' 3

Seluclcunrio de Derivadas

9998

x(lO "x2) + x{x2-5)dv _ ~il (10 _X2)112dx (JO _x2)

1

I

Qy.___lLdx (1)(2)

Qy- S(1tdx (la - 32)3 (32_ 5)112

Qy= 15dx (10-9)Ji2(9_5)1f2

Qy _ 15dx (I)JI2(4)1i2

x(lO _x2)112 + x{xl _5)1/2Qy =. {x2 _S)112 (lO _ x2)112dx (10 - X2)

I

Cuando x , 3

(10 _x,),n ._L.(x' -5) lnl .!L(x' -5) _ (x' 5)'"._L. (10 - x,),n., -!l(

~'----_-----=~~~~~----~dx ----------------~~~--------------__1

Qy. (x2_5)1/} (10 _X2)112dx (10 _x2)

I

5x .(lO _ X2)112.Q_(X2'_ 5)1n. _ (x2 _ 5)J12.Q_(10 _ X2)112

Qy. dx dxdx f(lO - X2)1 2

I

; X _ 3 10x - *' + ,,' _5xQy _ (x2_5)12(10 _X2)"2dx (lO _X2)

1

y-.~Vlil7

65.

Solucio1l3rio de DerivadnsScluciounrlo de Derlv~dM$,

101

u.M+X)'

)

b-lt-b+l

du _ ( 1 x? yY> ( i;x )dx -2-

,Jh: = 1dx (1+ y' +.y')

x-,fi+~

du _ j_. (1 X2)>'>-l. Q_(I X2)dx 2 dx

Qy e +.S-dx +.S- (1 + y2 + y.)

u _,:;!

u._ (1 . x2)y,

ill!_Q_( 1 - Xl )y,dx dx

15 .15!!y + 15y2.ro:+ ISy' ..Q_y = 15dx dx dx

lS.ro: (1 +i + y') _.1Sdx

15(1).15.ro:+ 15.i.!!x+ 15./.ro:dx dx dx

ro: = - u2 + a2 u2dx (a2 _ U2)112

ro:. a2 2 u2dx (a2 _ u2)112

15.Q_(x) 15_!!x+ 5.3.l-I.9-.Y + 3.5.yS.I.Q:idx dx dx dx

"

!!x. - u2 + ( a2 ul )dx (a2 u2)ln

lSx _ lSy + sl + 3ys

ID:= u ( a2 _ i r11l( ~ u ) + ( a2 u2 )112dx ~

Q.y= (al_ 2 u2) _ (-20_dx (a2.u2)li2(1. X2)11f

Q.y. _x(a2_2u2)2ndx (a2 u2)112 (1 x2)1h

ID:.u ._1 (a2 _ u2 )112-1. Q_( al. ul) + (a2 - u2 )112( 1du 2 du

;'Sustit1uyc:ndo : s!.Y y. du en Q.yduo dx "dxro:. U . Q_(a2 .u2 )112 + (a2. u2 )112. Q_(U)

du du du

Solucionado de Derivad.s

. 103

Solucionndo de DerivadAs

105

2b1x. + 2aly2-'.!ti ~Odx

gy--.x.dx y

9. b2xl + a1yl = a2b1!!_(blx.2)+ !!_(a1y2) _ !!_(a1b1)dx dx. dx

Qy __ +xdx. +y

2x. + 2y.Qy. Odx

8. Xl + y2 r 22x + 2l1.!ti - d_(r)

dx dx.

gy ..2...dx y

SoludolariO de Derivadr

104

2y.Qy _ 2p (1)dx.

dv _ 6y2JJdx (3y"6 + 2)

7. yl ~ 2px

2y2.1.~. 2p.dx.dx dx

Qy _ 2:///2. 3y2lldx Jyl + 2yl/2

4;l. 2 yl12 Jy2l1dx ~ln (3y"6 + 2)

~;:.

l. II.gy+_I_ ...Qy2y 12 dx 3y2ll dx

1=fu:(1+1;).dx L2y,h 37)

~_ 1dx 1 + 1

2yiii3ym

~..... .:.t" i:-::

:,:.

dx. ..l. . yl12.1 Qy +_1 . y'Il.I. Qydx 2 dx . 3 dx

1.~. Qy + y'2/). siY2dx. 3 dx

'. f' :' ." :O>.,.!'"

$ohl4:lonnl"lo de Derivados

2 _ 3ax.Qy - 3ay + 3igydx dx

107

x3 _ 3axy + y3 _ O

,'3x2 - 3a[x.QY + y.W + 3y2.!!y. dx dx dx

. gy, - - !!Y __ _yl/~dx 77>

gy. _ )/11l_dx 77>

-+!!y. -3- XI/3dx +

-3- v"

2.gy.- 23yUl dx 3x"J

2 +3x")

j_x'W + ]_y .I/l. !!Y _ O3 3 dx

j_.X2l3-1+ j_.y2ll.1 Q_(a2ll)3 3 dx

11.

SoludOllario de Derivod,

106

gy,- -1 fYdx V-X

- 1?

1~

.\'!Yodx

.!!y 12yin dx ?

+ 1 .gy"O~ 2yln dx

~ 112 + ::C!:... !!Y = O2 2 dx

_1 . X,n.1 + _1 . yln.1 . gy O2 2 dx

Q_(xln) +Q_(yln) Q_(aln)dx dx dx

Solutioundo de' Del'ivadQs

109

1 + 2 XIIl.Qy + 2 yI12+Qy_02 yll2 dx 2 X 1/2 dx

+~XII2.Qy + ~yll2+Qy=O~ y"l dx ~ xll dx

1 + X"l. Qy + 112 + Qy O? dx ;1/2 dxQy(l + XI/2~ _ - 1 _ 1/2dxl ylilj n-

:y dx + 2rxlll.Q._(ylll)+ ylll. Q._(XIIl~+ Qy = Q._(a)',dx L dx dx j dx dx

1 + 2 (XII2._J. ylll.l. Qy + ylll. j_. XII2.~ + Qy _ Ol 2 dx 2 J ,dx

1+ 2(xln.y.1/2. Q.y+ in.x .I/~+ Q.y_Ol 2 dx 2 J dx

x + 2 . Xl/l . yln + y a

Soluc!ollRro de Deriv.das

108

!U.-x ( x + 2y )dx (Xl +..)

Qy_ .-3-x~x+2y)dx -3-(x +l)

Q.y ( X 2 + 2xy )dx (x2 +..)

13. Xl + 3[x2Y1 +1_el3x2 + 3(x2.Qy + y.Q._(x2)]+ 3y2. gy. g_(cJ)

dx dx dx dx

3x2+3(x2.Qy+2xyJ+3l.Qy .0dx dx

3x2 + 3x2 Qy+ 6xy + 3";. Q'ydx dx

3.Qy (Xl + i) = - 3x2 - 6xydx

Q.y= 3)\2 - 6xydx 3(x2 +..)

,

Qy. 3aX. 3x2dx 3(y- 8X)

Qy -3- (8~- X2)dx -3- (y ax)

Qy. (or - X2)dx (y -Ox)

3Q.y(y2 ax) _ Jay .3x2dx

Solucionnrlo'de Derivadas

axl _ 3b2xy + cyl = 1.3b2(x.Qy+y.Ql1+3cl!!Y- Q_(I)"L dx dxJ dx dx 3b1(x. Qy + y (1)1+ 3cl Q.yl dx J dx

111

X2 eX + 3y)(xl + l)

4xl + 4 (xl. Qy+ 3x2y'1+ 4yJ. Qy- Ol dx J dx

4xl + 4x1.gy+ 12x2y+ 4y1.Qy- Odx dx

4xl.Qy+4l.!!Y 12 x2y. 4xldx dx

4Qy ( xl + yl ) e 4 X2 (3y + x)dx

4 X2 (3v + X)4 (Xl + i)

4xl + 4 [x1.!!y+ y.Q_(xl)) + 4l.Qy - Odx dx dx

Q_(X~)+ Q_(4x1y) + Q_(l) = Q_(20)dx dx dx dx

Soluciona rlo de Der

110

.lIY(2y + a.xll2l_ 2x ~dxl 2.yII2J' 2xl

2x + ~gy. ~ __ .=.2X~n

113112

18.

yl12 + 1/2 xl12M:O.ID!1/2 1/2 dx2' 1/2 2.y .ydx .x .X 2.x . y

1'/2 + -v-~ XII2 . M =O2.xl/2.X 2.x 112...".. 1/2 dxdx 2.y .y

- b" ..Multiplitnndo a nmbos mtem J'O$ I)Or -

1 s: X11.2.Qy2 1/2 + 2 1/2 21'/2 dx .0__ x_ _x__

_x_ _J_1 1

-ilY: 3 (b2f -sx2 )dx 3 (cy : b2x )

ilY e -3- ( b1- ax2 )dx -3- (ey - b2x )

gy. (b\_BICI )dx (elb2x)

...i!!.._. X 1/2 gy+ 2xl/2 2yl/2 dx 20

y

'2 2 ')3 . Qy (ey- . b x). 3(b y ax:dx

v". I .xln-I . xll2._1 .ylll-I.gy'2 2 dI(

yi12.x 112 /(112.y,II2.41

+ 2 2 dx .0 _y

3ax2 3b2[x . gy + y] + 3ey ,gydx dx

3ax2 - 3b2x . gy . 3b2y + 3ey2 o ilYdx dx

3ey2 o gy . 3b1x o gy~Jb2y Jax2dx dx

Soluclollnrlo de Derivadns

I .. " ,

,,-

O"

... "

'" '

:~, :7,-

114

115

Qy (y _2x) _ 3(l- x2)dx2x +(x. gy + y. dXJ+ 4y.4,Y - Q_(28)dx dx dx dx

f!y _6xy. Qy'"3'; - 3x'dx dxz 2]. 28,x+xy+ y=,19.

HRlllr lA pendiente de cnda una de ln~ wi:ulentcli curvas en el punto

_6xy.Qy- 3'; +3';.Qy. Odx dx

~ .1.dx x

_ 3(2xy.Qy + .; (1)1+ 3';.Qy- Ol dx ) dx'

(2, - 1)

.-y.- _1_dx 2

~x,n.'12dx ~x3n.y~x)

Qy~ x,n.yY2dx xY2.y,n

Qy __ {2(2) + 3} __ C4 + 3) - -'1-- - _Ldx {2+4(3)} (2+12) -14- 2

En el pun to (2 , 3)= _ (2x + y)(x + 4y)

x .Qy + 4y . 9.Y. - 2x - ydx dx(X + 4y) _(2x + y)

+ X Qy + y(l) + 4y. Qy. O. 2x + x . 4.Y + y + 4y . =dx dx dx d:4.Y.

dx

Solucionlll'io de DerivadosSoluciQllarlo de Derivndas

(2,3)

117

.2r-x~.s!.Y +LJ-2y. Qx. ~y~ dx 2x 1/2 dx

2~

In 1/2d 112 .112 ~_ X .y .gy+y .x .. (1) -2y.~.O2 dx 2' , dx

_2.X'I2.y'l2_y2.52

_ 2 [x 11l.!L(y"2)+ v" .!L(x 'Il~ - 2y.s!.Y = !L(S2)dx dx dx j dx dx

1) _ 2 (x 112._1 .(ylll.').Qx + y'12._L.(x'/2').dil- 2y.Qx, OL 2 dx 2 dxJ dx

__ '

'm D ~ _+ (-3-)dx +(~)

ID. ~ . 2(9)1/2dx 3(4)"2

m.'!!y. _ 213(3)]1ndx 3[2(2)'1l


116

~=_ 2(3y)'12, En.lpu"IO(2,3)dx 3 (2X)'1l

- 1~. (2X)'12dx 3

2(3 y) l2

_23~.sIx- - I2( 3y)'h dx (2x)'i'l

. I +__L. ..I!v O(2x)i 2(3 y) ti' "" '

21. '$ + FY _5 ; (2, 3)(2x) 112+ (3y)'12 S

_1 .(2X)I12'.~2x) + _1 (3y)IIl'.!L(3y) ', !L(S)2 dx 2 dx dx

C:zxrln.w + (3y r"'.(3).!IY =O+ 2., dx

,

m~~= -3dx (-1)(- 5)

m=.Qy.-...J_dx 5

m~~D (1-4)dx (-1)( -1 - 4)

.~I.. ,~~.-.. '"~.~~

,.-,.:..

,:;1'

o' l~!

Solucionarlo de Derivadas~.: -;-(l- X2) (1- x') '. En el punto (2,3)dx +y(y - 2x) y(y - 2x)m.~. f(_1)2_(2)2]

dx (-1)[ -1 - 2 (2)

.... tI,;;.." .-: :0.:'

119

ax.Qy _ ay + 6ay.lti =0dx dx

(1) - a (x:Qy+ YJ+ 6aylti Ol dx . dx

.dx - a (x.Qy + Y.dx,') + 3a.2y.Qy Q_(3al)j" dx l dx dx) dx dx

(a, a)

m. _1L(4)(3)

111.

m. _~31l-_24/2 (3))

m = _..gr2,,-ln~(;..2l~-2..I)l.Ll_[2l/2.22/2(3))

m = _-Hr1:._.m-f,(3~2'-T-,J1)1.L1 -[2!/2 .1:m.21/2(3)]


118

Soc."do rncloreomun: Qy (1'1/2+ 2y')_ 2x _.:i!:.dx l_y1/2 J Xl12

1/2 2 d 2 1/2.JL_.Qy + y.QY- X _.:J_yll2 dx dx X1/2

'Soh.iclnnl'o' dc.Dc"vndas

2x -.i!:_ ~ xl/2: f!y + 2y.QyX 1/2 yl/2 dx dx

121

1/2

x,ln . Qy + 4y. Qy = 2x. 3 XI/2,yll22yl/2 dx dx 2

Qy(. X3/1 + 4YI = 2x . 3 X1/2.yI/2L2yl/2 J 2

2x.,L:.!!y. 3xl'2.y"'2 .4y.!!:L_02y"1 dx 2 dx

2 G 1'1 d 3 112 'l. x , ll..,QY + .X .y 4y.!y.0, 2ylll dx 2 dx

Solucioll0l'io d. Derlvad.s

2x'(1). X312.y.'Il.Qy + yll2.3.xI/1 4y.Qy_ O2 dx 2 dx

110

.'

m=~--:.L. dx 5

m e gy = - 2+2 -; _L.dx S+~ S

2 1m. Qy~ a 3adx a(Sa}

a.Qy {6y - x} _ ay' 3x2dx

6aY.Qy - ax.Qy _ ay . 3x1dx, dx

Soluclonodo de Del'ivntl.s".

gy. a.y - 3X2 . En.l punto (1,.)dx a(6y x)

m.Qy- a(al-3(aidx a(6.6 a)

1'. .

312 1121d 112 3 3(1.'J 4 d2x.dx. x ._L.Y .gy + y '-' x . y.gy-

dx 2 dx 2 dx dx.,,/'

.~~.'..'.. ,"(:)" ' .~-;"".'"~:'':" ....... , , :. "

..~.'.

,.;.i~:

~.. '

123

2x + 2y.!!.Y, + 2(1) +s!Y.dx dx,"':J'" (IV -12( 1) - 6.!!.Y,+ O - O, dx ' dx

2x + 2y.J.l.y+ 2.g, + !!y -!Ldx dx dx dx'L"".' N.n, Il,~ . 6,b: +d.(25) - O

dx dx dx

25, DemostrRr que IRSparbolas y' _2px + 1" Yy' - p'- 2Jl!ngulorecto.

. 12x 6y + 2S O

DerivRndQ:

Demostrar que las circunferencias x' +y' - J2x - 6y + 2S OXl + y' + 2x + y. 10. son tRngentes en el punlo ('2.1 l

x

),' p' - 2px

y

2 parnbolQs son pel'pendiculares, sea que se cortan eu r. recto. porque el producto de SIlS pendientes es Iguol a - 1 '

'm. -..:.IL - + I,-p-...R-" L-p

-.p. _'. 1.P

::) In J.l.y. ...!l.. . ..JI_.dx y ipm.!!Y ..!l.. -_lL.dx y p

Soludon"I'io de DerIvadasPero: y.tp

~ . .lJl.. .dx 2y

m-jy-_.R.dx y

2y .jy_O - 2p.s!K - 2pdx dx

1_ p2 - 2px2y .lI:i O - 2p.d3

dx dx

Deriyando !

Sustiruyendo x _ O en,y- - py - p::) P (O p); P (O - p)

,l. ..',-' ...... ",,,.~.,

"J".lI:i-~ -.p..dx 2y y

2y .!!y _ 2pdx

2y.jy _ 2p(l} + Odx

yl. 2px + pl2y,!!y _ 2p.~ + ll(P'}

dx dx dx

Deriyando :

2px + p~ p' - 2px2px + 2px _ pl _ pl O4px _ Ox. 0------"

,gy.2._,dx 8

Qy ...w- dx *

gy. 10dx 8 +8

. ,:-1.

-:

.{::'Solucionarlo de Derivadas

Q.y. 06 -6\ (1).dx {(2612) + 8}

Q,y. (10)(1).dx { 2) + 8 }

12S124

+ y.dx} + 4y.!!x. 2.(28)dx dx dx

00y = 2x t}

cada curva para encontrar sus pendientes:

PI (2,4) }puntos de intercepcinP2(-2,-4)

y _'2(2).4

Y - 2(-2) = - 4

y = 2xSi sus pendientes son iguales => estas curvas SOI1

Sustituyendo el valor de x en t}

Sustituvendo el valor de y 2x en O

- x (2x) + 2(2x)1 _ 28m, _gy _- 2dx

- xy + 2/- 28 O.2x e!Ix - 212 ~ 1) ..:.........o~

d. (2(1)+1) (2H)

(-2,- 4)Qy D - 2(x + 1)dx (2y+ 1)

Qy(2y+ 1)'.-dx

2Qy (y - 3) _ 2(6 - x)dx

Qy. 4- (6 - x) _ (6 - x)dx 4- (y - 3) (y - 3)

- xy +2yl _282y oQy+ Qy _ - 2x -dx dx

2Yogy-60Qy= 12-2xdx dx

y2x+2Yogy+2+

dx2x + 2y ogy - 12 - 60gy O

dx dx'~'.~..

Sclueionarlo de Derivadas~~.r.!!.""JOque ngulo corta In recta y_ 2x ,n la curva x' - xy + 2yl 18 o

'Solllcion.,oio de Derivadas

En el punto (2 ,En el punto (2 , 1)

~ _ (6 - xl _ (6 - 2) ..s...dx (y - 3) (1 - 3) -2

\

127

(x-ri + ~ - 1 ea b

El centro de la elipse es el origen (0,0)

El semi eje principal de la elipse es: a p/2

El lado recto de f} ser la mitad 2p

Si el lado recto es 2p, por grfico obtenemos que F(p/2,O:

Si y2 4px O es el doble de:l.2px f}

El lado recto de O es 4p

y' _4px

-;..:.. d. l. parbcla y' .lpx es el centro el. IIn. elipse. El foe

!':lf!"b'lI'l,ol.es un extremo de uno de los ejes principale. d. la ellp

~P'"""U'. y In elipse se COItOIlen ngulo recto. Hallar la ccuacAY

PROBLEMAS ADIClONALES

Soluclonarod. Derivada.

126

e_63 26' 6"

e.are (g(2)tg a. 2,

20 --L= 21 + (O) (2) 1 + O .

tg a = m, -mL _. 1 +rnr.m,

m, =~_ Odx

~~ 4-2(2) _ 4+4 ---.=O.dx 4(-4)-(-2) -16+2 .14

~ e y - 2x . Sustituyendo el punto P (-2 4).dx 4y - x

gy{4y_x} .y.2xdi'. O 'dx

2y.b'\~ ~- 2X.8'2dx

Qy__ ~X.8,2 --*dx ~y.b,2 a y

Soluclonnrlo de Dervadns

\

131

ID: - ~b~" - b;.dx ;.y ay.

Aben la pendiente d. laNormalsu:

.1 -4_*- -Normal.-;; ~ b-,

o'Y

y

1 rocoso De-mostrar qUtlt "d~una thpst con os . ete

Se une un punlO cualquiera P t 1 urva en "P" nG,lIloS B&udos Iguestas rectas rorman con la norma a 1\ e

.Suponiendo la e~uaci6n de l. elipse:

b'x' + a''; - .'b . . do:Encontrando su pendiente, dcn van o.2b'x + 2.'Y,dY " O

dx

r ,p...~9a+3blr , J9.1+ 3b'

'2

. 1clr lo sustituimosComo nos piden hallar el radio de eu, .lci lo de centre ( 2a , O )., 3b'/4 en la ecuacin de circu

x al2/ y I- . ._9a' + 3b'(x-2a) + y - 4

, " ,,,1;y .~"-"!(..4. 4

_3a'b'4

" 'b' ,',,'! 1 .'b! . a y lO a ..Lv...+ay- > 4

+ a2yl_ a2b2

l;f + a2y2 - a2b2

Solucion3t'10 de Derivadas

130

Como en la ecuacin de la elipse hay 2 incgnitas "x" y "y".sustituirnos el valor d. x _A Y encontrarnos el valor de y.

2.

Tornamos la ecuacin de la elipse:b2 + a2 a2b2igualamos O y f)b'\2 + a2yl. a2b2b2x2 + a2l.2ab2x~ 2ab2x _ 1I2bz

Como el circulo corta 'en ngulo recto a la elipse, tomampendientes.mI ' m2. - 1

(x - 2a)y

m2 dy = -+(x-2a) _ -. ~y

2 (x-2a) +2y,Qx. Odx

Derivando:2 (x-2a) + 2y ..Qy. d (rZ)

dx

Solucionarlo de DerivndnsLuego se toma a la ecuacin del circulo y se obtiene su perldien~tcuyo centro es (2a,O).

( x _ 2a )2 +( y _0)2 r2}( x - 2a)2 + y r2

133

!jI , ,

a2y ( x+c) _b2xy(b2X )(,~ I cl!(X+C)(bx+a\2(x' e)(b x)

IilIt!.o r

1I

:1'1, ,

I!

_";'

tg a - er (9' ex r.bJ! 8ft r

Slmpucendo:

"

tg a x~(e')+ a1cy"litj b xc + a'b' - "~it~

tg a . e'xy + a'eyalb' b2xc

Solueionnrlo de Derivadastg a - xy ~al bl)+n'e~

b'xl - b xc+ (albl . bx')

-,

132,

Sustltuyende estos valores O y #} en tg a

PCI'O dt la eeuaeln de 111elipse ~

b'x' + ft')" a'b' , despejamos .')"

.'y' . 'b' . b'x' Oy segn la relaci de la elipse:

.' b' +e'a'. b' _e' #}

b'xy - (a'y'(x-e)'tg a (x-e)b2x)

b2x(x-e) + a2vl(b'x)(x -e)

tg ,a. b2xr - a2xy + a2etb2x _ b2xc + a2y "

tg ex. ,x~ (b2 - a2) + a'cib x Z b2xe + a2y

..::L'ntg o ; x-e b1x

,1+'~J'~-,,':.

Seluclonnro de DerivadasSegn el grAneo:

.,..: .

,)~

Aplicando la frmula de un ngulo formado por 2 rectas:cg9. ,nlnl, .

11'" 11\,.lnJPrimero para el ngulo a,

Pendiente FP - ~ -L ; Pendiente F'P -X..:...Q_ ___J___x - e x - c x (- e) x + e

134 .135

~.---dx A

B.~ +A.~= B +A.dY-Odx dx dx

~ I..~A2 b'e

137

Bx + Ay oAB ;B[~l+ A (~1-ABX ~ .i..Sustituyendo ahora.el valor de "x" y "y"en O

A

2 B 2 -o. 2X -lL=- - a .-0- - a

,JATP7 A. -& A

I

. X_, Ja1$' +A'b'A.b2

{L.q.q.d. (Lo que se quedo dOO10.51", r) }.X_ a~y. Ab2

a2.B.A.b1

Com~ @) esta en funcinde "y", e!ltoncesreemplazamosde-y en "x".

y.__!L ~B

Como AB est dividiendo, ahora lo pasamos a multiplicar.

a2.B2 + A2.b2 ~ ABAB

136

alB + Ab2 AB. Sacando el m.e.m.A B

y. A.b1,JAl.Bi

yo ...(.b1..k.B

Soluclolla"o de DerivadasSoluclOllorlo de Derlvadns

l39

41 (2y - x ) y - 4x ;Qy. y - 4x . Pero: P(3.2}dx dx 2y - x

4x - x.41- y + 2y41 Odx 'dx

4x - x.41- y(l) + 2y41. Odx dx

4x - (x.41+ y.dl\.1+ 2y41 Q_(I6)l dx dxJ dx dx

DerlvDndo para encontrar In pendleul~:

2x1- xy +i.16; (3,2)x+7y-37.0

Ecuacin de la Normal:y _y. __ .L (x - x.) y - 5. - _1(x - 2)

mi 77y - 35. - x + 2

Ecuacin de la tangente:y - y, = m (x - x.)y-S _ 7 (x - 2) ; y - 5. 7x - 14. O7x - Y = - 9. O

m. 7 _ 7 .7.7.m(3-2i (}2-1

m Qy_ 7 Pero: P (2,5)dx (3 - xl

7(3 - xiQy.6-~+~+1dx (3-xl

SolucionAdo de Del'h'ad.$

138

(3-x).L(2x+ 1) - (2x + 1).L(3-x)41. d dxdx (3-x,f

Qy_ (3-x)(2)-(2x+I)(-11.dx (3_X)1

3. y _ 2x + 1 ; (2,5)3-x

9y. 18 - x + 2 ; x + 9 y - 18 - 2 _ O. ~ x + 9y - 20 ~

Ecuacin de la Normal:y _y, - l(x - x.) y - 2 - -_L(x- 2)

mi 9

Ecuacin de )a Tangente:y - y,.;m (x - x.)y - 2 ~9 (x - 2)y-2.9x-18O.9,x-y-18+2-09x:Y-J6.0

m 41 3 (2)%- 3 _ 12 - 3 9dx

41- 3x%- 3 :Sustiluyendo: P(2.2l en la derivada o n"n,di",,,..1:dx

Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normallas curvas siguientes en el punto dado .

PROBLEMAS. PGINA 56

Solueionnrio de T>eriv~dn$

~.," ,:1. e-~.,',.... .':,' ..... ;;,: ..";~...

,.,.....t.-

'. " .

;:~.'..',;.. ".,' ..;. .:.' .

141

Ecuacn de la Tangente:y _y, _m(x - x.) en el punto P (x.. y,)

y _ y, .:..l22..(x - x.)a2y,

m.-*.ay

. Obtener las ecuacionesde la tangente Yde In l101'0181 ena la elipseb'x' + a'/ "lb'.

Derivando la curva: b1J(2+ a2l.a2b22b2x + 2a2y.Qy. d (a1b2)

dJ( dJ(

2b2x + 2a2y.Qye O ; 2a~.Qy. - 2b2xdx dx

Qy. _~b2X ~ _ b2xdx ~a2y 7Y

2y +4 J( - 1 _2y + 4 ::::> x - 2y - 5 - O

y+2._1 (x-l)2

y_y,.-! (X-XI) ;y-(-2) .-:..L(x-l)-2

Sotuclona"o d.Derivndas

Ecuacin de lA Tangente:_y, m (x - x.)

y _(-2). - 2 (x - 1)Y+ 2. - 2x + 22x + y +2 - 2 O2x +y e OEcuacin de la Normal:

_--- -----

140

m. 2 _ 2 _ - 2 ~m(-2)+ 1 -1

m. Qy. -.r _2_. Pero: P(I,-2)dx ~ (y + 1) (y + 1)

2y.gy+2.!!y-4.0 ; 2.gy(y+ 1).4dx dx dx

2y.gy +2_gy - 4(1} + o. Odx dx

2y.gy + 2.ID: - 4.~ +Q_(4). Odx dx dx dx

2 '5. y + 2y - 4x + 4 O .

x. lOy + 17 O,"

-1 O(y - 2) - (x - 3) ; - I Oy + 20 - x + 3 .

Ecuacin de la Normal;y _ y, ~ .-:..L(x - x.) ; y - 2 .-:..L(x - 3 )

m, -10

\

Ecuacin de la Tangente:y _ y, ~m(x - x.) . Sustituyendo: m. - 10 y P(3,2).y-2~-IO(x-3) ;y-2.-IOx+3010x + y - 32 _ O

m~~. 2-4(3) _ 2-12 .~.-!O_mdx 2(2) - 3 4 - 3 1

~ _ y - 4x . Peto: P (3,2)dx 2y - X

Soludonndo de Derlvadnsi-..",

143

x,.y - X,.y,. y,.X y,.X,Y'x _ x,y = x,y, y,x,. Ordenando: y,x - x.y = lt,y.-lt,y,x - x,y D O o tambin: x,y - y,x - O

X, (y - y,) YI (x - x.)y - y, = .1!.(X, x.)x,

y y, _ -_L(K - x.)~y,

y - y, -_L(X - x,)m,

Ecuacin de la Normal:

C 2,">omo: YI +XI .XI +YI .r,:::) X,X +y,y _r

pero:{x' ...y' _r2 , 1

XI + Ya - r

YI(Y - y,) e - x,(x- X,)YI'Y _ y'.YI _ - XIX + X,.X,

2 2YI'Y - YI e- X"X + XI

2 2XIX + YIY e y, + XI

Solucionario de Del'ivad,.s

Ecuaclu de IRTnugente:y'- YI m (x - XI)y. YI.2l(x - XI)

y,

142

!!.Y _ - ~ _ -ll. Ahora la pendiente en P (x yl)dx ?:y y

2x + 2y.dy. O

b2 b' 2 'x,.y - -X,.y, a a y,.x - a-y,.x,... 2 2 .,a")',.x,- ~ x'J'. a l"X - b-;,.yx,.y, _ (a - b ) _ a .y,.x - b .X,.y..Ordenando:a l. y l' x-b 2. x ,. y_x ,. y ,\(82 - b2)

7. Hallar las ecuaciones de Inkangcnte y la Normal,longitudes de la subtnngente y In sub-normal, en

," punto (XI,y,) de la circunferencia Xl + yl _.2.

Primeramente derivabdo la curva: Xl + l- r2.

y-y,.n.(X-x,)b1

.'., x,,

EcuAcin de la Normal:y _y, ~__1 (x - x.) y - y, ~..:.L(x - x.)

m, _~2X,R y,

bl1 1 1:::) X,X + a y,y ~ a b

144145

Ahora demostraremos que "P" es igual 8 lA sub-normal.

_YI - I (x - x.)_a ..:..L (x - a)

2_a) _ - (x - a)_2a = - x + a+ 2'1 -Za - a. O+2y - 3a. O

_.y, _a = 2 (x - a)- a _ 2x - 2a_y_2a+3.0-y-a.O

__L(2x) en el punto (a, a)a

y - y, m(x - x.)y - y, =..E. (X - x.)

y,y.y, - y,.y, p.x - p.x,

2y.y, - y, '_ p.x - p.x,Pero, la ecuacin de la parbola: {y2 . 2px

.' '. y,-.2px,~ y.y, - Zpx, _ p.x - p.x, .y:y, -'2px, + px, - p.x.'Oy.y, - p.x, - p.x O (~cuaci6n de la tangente)

Luego encontrando la intercepcin de la tangente, con ely _O x. - x, => las coordenadas de T (- x O)Las coordenadas de M (x"O) => demostraremos que TOTO. J 10 -(-XI) + (O - O)'J _ J(X,)' _ X, TOOM .J{{x, - O>, + {O - O)l} _ ffiJl x,

~TO _ OM

2 1 2- X - .x--a aE~uncinde la tangente:

ay. Xl ; (a, a)ID! -7!-p (1) ..p.., ~ m = ..p..dx -7!-y y, y,

.~-)'I.PP)'1

)bt.euI:r los ecuaciones de In Tangeute y la Normal, y las longitlldesl. sub-tnngente YIn sub-no"nlal de cada UIIOde las siguientes cur-en los puntos indicados,

Derivando para obtener la pendiente en P'(x., YI)y2 = 2px2y,Qy _2p.dx

dx dx

_ y"OI, .sabiendo quem. L':::) 011_ L .YI YI8. Demostrar que In sub-tnngeute de In pnrbolo y' _2px

por el vrtice, y que In sub-normnl es constante e euol n ,

Soludon.do de Derivad.sSoluelennt'lo de Detvnd ns

Segn grfico: MN sub-normal........:..... ";,:t'.' . t .~:I.j .....:",;-;."'~.:.' .....':.,''';',' :-, .. :,'

~:.

.... "

',',',

,"Y',.H" ,

,'. '1,

,. ,1., .. ,.:,'.r

..' ...' .; .

..

141

1j:cuacin de la Normal: ~'Y-YI.(:1..)(,(-X1) ;y-3- -1 (x-2), ,lm.J - 3

2(y - 3) .1.. (x - 2)

33)' - 9 - 2x - 4O o 2x - 3y + 9 - 4 _2x - 3y + S =O

_3) _ - 3 (x - 2) ; 2y - 6 - 3x + 6

3x +2)' - 6 - 6. O.3x + 2y -12 - O

y- 3. :J_ (x - 2)2

8" + 8y.Qy- Odx

m = Qy _ - 4&-" _ - 9x - 9(2) - 4&- .:2.dx -8-y 4y 4(3) ~,2

8x + 8y,Qy = Q_(72)dx dx

9X2+ 4/ o 72; (2,3)

Derivando para obtener la pendiente en P(2,3)

Solucionado de Derivad.s

146

'y -2 _(1j (x - 5)S(y - 2) _ - S (x - 5)'5y - 10. - 8" + 408x + 5y - 10- 408x + Sy- 50 o O

ECUAcin de l. Normal.

y- y, .~I (x - x.) ; y - 20ml(x - 5)..- ln S'

.',

y-y,om(x-x,) ,y- 2 = J..(x - 5)

sS(y - 2) _ 5(x - 5)8y_160Sx_25.5J_8y_25+16.5x-Sy-'oO

Ecuacin de la Tangente:

h.1y _.Lo_S_o m,8- y dx 4y 4(2) 8

2x - 8y.Q:ioOdx

Derivando para obtener la pendiente en P(S,2)

y"m,. (a) (2) o 2a .

lO, Xl - 4y' _9; (5,2)~'

)

Longitud de In Sub-normal:, '.1

y,.a} Y, .J!..111'02 m. 2l&ngitll!1 de I~ sub-!an~:

Sohicionnrio de Derivadas

-,

149

Ahora enconto1unos Laintercepcin de la tangente con el eje "x''.Cuando y O; 4x + y - 25 O

+ 0- 25. O_25

y_s-4y+l5

~~~~EU~~:~~---4----~~--~Xy _y, In (x - x.)_5 - 4(x - S)-5_-4x+20 '+ y - 5 - 20.0+y - 25.0

,n.nvnmn. paro encontrar la pendiente en P(S.5) . 6 - 2x

. Calcular el rea del tringulo que (ornun el eje de las "x", y l.tangente y la normal. 1. curva Y_6x - x'en el punto (5,5),

.........

2) _ x - 3+4_x-3_x 2y -34_.2y - 7 O

(-2) ..:...!..(x - 3)-2

m,

SoluciOnArlo de Del'iv.das

148

m.Qya V -_::..1(~2=..r..)_2 2_____ . " __ -2

o'. dx x + 2y 3 + 2(-2) 3 - 4 - I

Ecuacin de la Tangente:y - y, m (x - x.) "y - (-2) -2(x - 3)y + 2. -2x + 62x + y + 2 - 6. O

2x + y -4. O

ID:: (x + 2y) ydx

x.Qy + y(l) +2Y.ID:: _ O ; x.Q:x:+ y + 2y.ID::o Odx dx dx dx

x.ID:: + y + 2y.Qy. Odx dx

x.ID:: + YM + 2Y.ID:: + O= Odx dx dx

12. xy + yl +2. O; (3,- 2).Derivando para obtener la pendiente en P(3, 2)

Longitud de InSub-normal:

m,.y,_[ =tJ (3)0'; .,;':)

Longitud de InSub-tangente:

Setuelennrlo de Derivadas

150

2y,Qy. O- !~; 2y.ID! = - 1dx dx dx

MN. J(O - O)'+ (- 18- 13/4)'. Je- 85/4)'.85/4.

14. Hallar el rea del t"~lIgnlo que forman el eje de las. "y",la tangente y In normnl a la curva y' 9 - x en el puntot;erivamos para encontrar In pendiente en el punto (5,2).y .9 -x

, El intercepto de la normal con el eje "y"Cuando x O; 4x - y. 18 O4(O} - Y - 18. OO-y-18.0_18.y.-18N(O,-18) .Calculando la distancia MN base del tli~ngulo.

; 4x - y 18 Orea del Tringulo PMN b. h Base. 85

2 4~ (85) (5) (1) 425 unidades'.2 4(2) -8-

(~_(_15)}1+(0_0)1 4

y _2 = ..:J_(x - 5):.L4

Ecuacin de la Normal:y _YI = ..:J_(x - x.)

1111

El illtercepto con el eje "y".. Cuando x _ O; x + 4y - J3 O0+4y-13. O4y. 13. y. 13. M(O ,13/4)

4

- 4 (y - 5) - (x - 5)- 4y + 20 - x + Sx - 4y + 20 - 5 Ox - 4y + 15. OAhora encontramos la ntercepcin de laNormal con el eje de lasCuandoy.O ; x-4y+ 15.0x-4(0)+ 15.0x-O+ 15.0x.-15 :::> M(-15,O}Calculando la distancia MN base del tringulo,

_ 2) - (x - 5)_8.-x+5

x +4y - 8 - 5 Ox + 4y -13. O

y - 5 ..:...L(x - 5}-4

. Ecuacin de In Normal:y - y, ..:...L(x - x.)

m,

SOlucionAro de Derivadas

ID! ..:...L ..:..L :.Ldx 2y 2(2) 4

Solnccnarle de Derivadas

151

N (25/4, O)x ; 2S .. 4

153

2.6_ y ~}Xl. 32 -l ~

7

-y. 32 - .;7

7 (6 - y) 32 - y'

Primero encontramos los puntos de intercepcin.

tg e.::.l!.. -4 e. are tg

155

3x - 2 _ O1) (x+ 1) (x - 2) O

x.O

-3y. 2x

- 3x - 2). O

_3(i). 2x

154

m,. - 2x'_ - 2( 1 ) _ - 2.

m,.:.l.It..-7( I ).;L.y 5 5

Concluimos enccntrandc ~I ngulo de ir'llcl'ccpci6n PQrQ (1,5)

El valor de Ins pendientes df cad. eurva en (J,S)

G. are tg (0,1034482758621). S 54' 22".

ConchlinlOS encenrrandc ti Angulo de Jnrel'cepcln POI'R(2,2).

Ige. m,-mt -1-(-71 4+7 _ ]_.O.I03~148:21l +m,.m, ) + (1)(-4) 1+ (2B) 29

m, - Qy. -MlS. -..:.1L - 7e i!) - 7.dx i!y y i!

7x'+y2.32614x + 2y.Qy. O

dx

m, Qy. O- 2x. - 2x - 2(2) - 4dx

Ahora encontramos las pendientes de cada curva, tra,08Jfl!1lpara esto con los valores positivos, M(J ,5) ; N(2,2)Pata N(2,2).

-4 e are tgW. 0,1578947368421.8 58' 21"19

_7/5 + 2 3/5 .._j_1+14/5 19(5 19

- 7/5 - (- 2)1+ (-2)(-7(5)

SOlucionArlo de Derivadas

.x2 32_y2 _ 32-4 _~_4. -4 x_2. =>7 7, 7

y. S} Sustituyendo en O y f9 los valores de "y".y.2 x'.6-y.6- S.I. x. l. => M J(I,

. M 1.(-1,

.; . 7y +42 - 32 O

.; -7y+ 10.0(y - 5 )(y - 2 ) O

Soluelonario de Oer iv~da$

157156

+ 12x - 3x2 2x)12(1)-6x-6x2.12-6x_6x2;6(-2+x+x2).06 (x' + x - 2) O6 (x + 2)(x - 1) O(x + 2) O )C _ - 2

. (x - 1). O ; x _+ 1

Luego: Para x 3, se toma un nmero mayal'pequeo,este se sustituye en la primera derivada.x > 3 3,1f'(x). (x - 3)(x - 1).f '(x) (3,1 - 3)(3,1 - 1) = (+ )(+) _ " + ".Este signo positivo seria el segundo resultadoPuesto que el signo de la derivada cambia de " -la funci6n tiene un valor Mnimo.Para saber cuanto es este valor Mnimo, ree:mp,la.z@valor crtico: X 3 en f(x).f(x) x) - 6X2 + 9x.f(3). 3) - 6(3)2 +9(3).27 - 54 +27. 54 - 54. O=:) ell~x 3 hay un Mnimo. O.Tomando el otro valor critico: x _ 1.

saber cunto es este valor Mximo, reemplazamos elcrtico, x 1 en f (x)) 6 2_x - X + 9x

.1)-6(1i+9(1).1-6t9.4.x _ 1hay 1111 Mximo. 4

-Para: x .3, se toma un nmero menor ase sustituye en la primera derivada.x < 3 ~2,9.f'(x). (x - 3)(x - 1)r'(x).( 2,9 - 3)( 2,9 - l ). (- 0,1 )( + 1,9)= - 0,19 .Paro esta clase de resultados, no es necesario k.__numrico, solamente interesa el signo.Asi en el caso: (- 0,1)(+ 1,9)_ "-" ..Este slgno llcgnlivo lo almacenamos CODlO un primer

Lueao: para x. 1, se toma un nmero mayor que 1, el msttl>:q~leo,este se sustituye en la primera derivada

> I 1,1_ (x - 3) (x - 1)- (1,1-3)(1,1 - 1)~ (-){+) _ " - ". Este signo negativo es

egundo resultado. Puesto que el signo de la derivada cambia" +" " "1 f '6 ti 1M'a - , a unci n lene un va or " aximo".

tom~ un nmero menor que 1, el ms pequeo, est se sustihla pnmera derivada.< 1 .0,9

(x - 3)(x - 1) (0,9 -3) (0,9 -1) ( - ) ( - ) " + "signo" + " es el primer resultado.

1. x3 - 6,,2 + 9xPrimeramente derivamos:f(x) x3 - 6X2 + 9x.

.. f'(x) _ 3x2 - 12x+ 9.Luego igualamos la primera derivada igual a cero.f'(x). 3x2- 12x* 9. 3(x' - 4x + 3). O.f'(x). (x - 3)(x - 1). O de donde:

x _ 3 ; x = 1, estos serian los valores crticos.

Soluc.ionnrio de Der-ivadas

'.

,'.- .\ -;.

:.;.

t'".

.......~.:~.~ ., r': ~..,,;".-"" '.,

'..' .

159

Luego:x > - 3 _ - 2,9. .Se sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) _ (x + 3)(3x - S)f'(x). (-2,9 + 3)[3(- 2,9) - 5)f'(x). (+ 0,1)( - 5,7 - 5)

) '1 "f'(x) (+ )( - - .

"J + 2x1_ lsx - 20f(x) xJ + 2x2 - 15x - 20f '(x) ~ 3x2 + 4x - 15f'(x) (3X)2+ 4(3x) - 4~ - f'(x). (+x + -9-) (3x - : = O

3 " If '() (x+ 3)(3x - 5).x - x. _3 } Valores crticos.(x + 3) O , x ,(3x - 5) = O ; x _ 5/3

Para: x = - 3.

.( < - 3 - - 3,1. la nri . derivada.Se sustituye este valor en a primeraf'ix) (x + 3) (3" - 5)f '(x) _ (- 3,1 + 3)(3(- 3,1) - 5]- f'(x). (- 0,1) (- 9,1 - 5) _

( ) ,,+"f'(x). (-) - .

2,,3 +3l + 12" - 4f(x) = 2xJ + 3x1 + 12x - 4.f'(x). 6x2 + 6x + 12.f'(x) - 6(x2 + ~ + 2). e uede factorizar, ::> la funcrEl trinomio (x + x + 2) .no ~ .p .no tiene ni Mximos niMnimos.

. f(I).10+12-3-2~17.. 1 hayun M{n:lmo .17.::>enx. ,

Solucionario de Derivndas

158

Sustituimos x , l en f{x) para encontrar el valor numricoMximo.f'(x}; 10+ 12x - 3x2 _ 2xJf(I).IO.+ 12(1)-3(1)2_2(1)J

Se sustituye este valor en la primera derivada:f '(x) _ - 6(x +2) (x - 1)f'(x). - 6(1,1 + 2)(1,1 - 1)f'(x) _ - 6( +)( + ) = " _ "Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " _ "funcin tiene un valor Mximo.

,i"l' "-'po ..._ .' ara: x .1.. x-< 1 a,9. .

Se sustituye este valor en ia primera derivada.f.'(x). - 6(x + 2)(x _ 1)f'(x). - 6(0,9 + 2)(0,9 - 1)f'(x) - (+)(_) " + ".Luego:x>I.I,1.

Sustituimos x e - 2 en f{x) para encontrar el valor nUllnen!Mnimo.f(x). 10+ 12x _3x2 _2xJf{-2). 10+ 12("2)- 3(_2)2- 2(-2if(-2).10-?4-12+ 16.26-36.- 10.f(-2). - lO.~.en x.: 2 hay un Mnimo. -10.

:,oluclon3rio d. Oer lvndasLuego: x - 2. - 1,9.Se sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) ~ - 6(x + 2)(x - 1)f'(x). - 6 (- (,9 + 2)(- 1,9 - 1)f'(x).-(+)(_)."+".Puesto que el signo de 111derivada cambia de " _ ". "funcin tiene un valor Mnimo.

\.

)'

."

161

paral: )(0.91Se sustituye este valor en la primera derivada.x < - , .f'Cx) _4x(1 + x) (1 - x)f '(O 9) 4 (O 9) (1 + 0,9)(! - 0,9)f'(0:9).( +)(+)(+)-" +"

:x.Ox < O. - 0,1 .' dSe sustituye este valor en la primera deriva a.f'(x). 4x(1 - Xl)f'(- O1). 4x(I + x)(1 - x)f'C- 0:1) _4(- 0,1)[1 + (-0,1)[1 - (-0,1)f'(- O1). (- 4,1)(1 - 0,1)(1 + 0,1)f'C-O:1). ( - )( +)( + ) - .. - ".Luego' x> O- 0,1 . dSe sus~ituye este valor en la primeraderiva a.f'(x).4x(1 +x)(l-x)f'(O,I) _ 4(0,1)(1 +0,1)(1 - 0,1)

f'(O,i) _ (+ 4,4)C+ l,l)(~ O,~:, {'(O,I) ~ (+)( +)( +). + . bi d "_lO a .. +"

Puesto que el signo de la den~ada cam la ela funcin tiene un valor Mnimo .

. . O f (x) para encontrar el valor Mnimo.Sustrtullnos X _ en1 f(x).2x -x

f (O) _ 2(0)2 - (O)'feO) _ O-O. . .=:> en x _ O existe un MlDllno = O

2x2 - i2 4(X) 2x - x ) 4x - 4x

'CX).4xC1- X2)= O.0 ;x.o

1 _ x2 O ; 1 _ ,,_2 _ 1 ; X - 1Valores Crticos: x O,x 1, J( - 1

Solucionado de De"vadas

160

Sustituimos x 5/3 en f (x) para encontrar el valor M"".,..f(x) x) + 2X2- 15x -20 .f( 513). (5/3)+ 2 (5/3)2 - J 5(5/3) -20f( 5/3). 125127+ 2(25/9) - 75/3 - 20f( 5/3) 125/27 + 50/9 - 675/27 - 540/27f( 5/3) _ 125/27 + 150127- 675127 - 540127f( 5/3).275/27 - 1215127f( 5/3). - 940/27:::) en x 5/3 hay un Mnirno - 940127

Luego: x 5/3 6/3Se sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) = (x + 3)(3x - 5)f'(x) = (6/3 + 3)[3'(6/3) - 5Jf'Cx). (6/3 + 9/3)[3(6/3) - 5)J. (15/3)(18/3 -1513)f'(x)~(+)(+)_"+ "Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " " +funcin tiene un valor Mnimo

Para: x .5/3x

163

2 If(x) = x - x +f '(x) _4x) - 2x _Of'(X)=4Xr2- ~j=O

.2 + 1x - x .

Luego: x> 1 : 1,1.Se sustituyeeste valor en la primera derivada,f '(x) = 4 [(1,1) - l]C'(x) = 4 (1,331 - 1), ()(+) "+"f (x). + = bi d " " " + "puesto que el signo de la derivada cam la e - afuncin tiene un valor Mnimo.

f ( ) ontrar el valor MinimSustituimos x 1 en x, para ene .fOO~-~ .f(l). (1)' - 4(1)f(I)=1-4.-3,f(1)=-3.~ en x _ 1existe un Mnimo - - 3

x' - 4xf(x)=x4-4xf'(x) 4x) - 4 2f'(x) # 4(xJ _ 1)_O ; Xl - 1 _ (x: I)(x + X + 1) O(x2 + X + 1) _ O, no se puede factorzar.(x - 1) _ O ~ x = 1

Para: x _ 1x < 1 - 0,9 " dSe sustituye este valor en la pnmera deriva a.f'(x) = 4 (x3 - 1)f'(x) _ 4 [(0,9)3 - 1)f'(x) _ 4 [(0,729 - 1]C'(x)=(+)( -)." -".

Solucionarlo de Der-ivad

162

Luego: x> -1 - 0,9Se sustituye este valoren la primera derivada.f'(x)_ 4x(1 + x)(1 - x)('( - 0,9).4 (- 0,9)[ I + (-0,9)[1 - (- 0,9)f'( -0,9). (-3,6)(1 - 0,9)(1 + 0,9)f'(- 0,9).( -)( +)(+)." -"Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " la Funcin tiene un valor Mximo.Como colofn, sustituimos x _ - 1 en f(x) para encontrarvalor Mximo.f(x) = 2x2 _ X4'f(-I) _ 2(.1)2 - (_1)4~ 2 - I _ 1::::> en x _ - 1 existe nn Mximo. 1

Paro: x _- 1x 1 1,1.Se sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) _ 4x(J +x)(1 - x)f'(I,J).4{l,I)(1 + 1,1)(1- 1,1)f'(I,I).(+)(+)(-). _.Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " -Funcin tiene un valor Mximo.

165

Luego: x > - 0,7071 - 0,69Se sustituye este valor en la 1raderivada,f'(x) 4x(x2 - In) _Of'(- 0,69) = 4(-0,69)[(- 0,69i - 112]f'(- 0,69) e (- 2.76)(0.4761 - 0,5)f'(- 0,69).( -)( -)." +"

x < - 0,7071.... - 0,71Se sustituye este valor en la primeraderivada,

f'(x). 4(- 0,71){(- 0,71)2- In]f'(x). (-2,84)(0,5041 - 0,5)f '(x) ( - )( + ) " - "

Para: x _4. -1.414213562373 - 0,70710678118652 2

.: ". '.' .':::)'en x . .Ji_ hay un Minimo .l.2 4

f(,J2I2). JQ. - -- - Jl_.*=.l.16 16 16 * 4

Sustituimos x .[i., en 1\x) para encontrar el valor Mnimof (x) x' - X2 + 1 '1\.J'ii2) (.,fin)" - (.,fin)2 + 1f(.,f2n.) (.ffi4 -4 + 1 - 22 -.1.. + 1 -..1. - -- + J._

24 2 16 4 16 16 16

Luego: X> 0,7071.. , .0,71.Se reemplaza este valor en f '(x)f '(x) _ 4(0,71)[(0,71)2 - 1/2)f '(x) = (2,84)(0,5041 - 0,5]f '(x) - ( + )( + ) - " + "Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + " lafuncin tiene un valor Mnimo,

Solucionario de Deriv.das

164

)07001 'f'( )' ..,- 0,7.Se sustitux 4x(x2 _ 112) O ye este valor cola p ,f:(x) _ 4(0.7) [(0,7)t_ il2) nmerarx. (2,8)[(0,49 - 05)

x ( + )( - ) c " - :,

=>cnx.OhayunML' nxune = 1Para:.'t _+ Ff_

..Y.:_ 1,414213562372 . 2 3.0,7071067811865\

;xc+'2'V a:..:JI ,."" - - -ll1PRl'n:xcO __ o.i 2 2Se sustituye este 'vf:(x). 4X()(2 _ II2)a~~ en la primera derivada.f,(x). 4(- 0,1)[(_ 0,152_ 1f(x).(-44)[001 ]f'() , , -1)

X '(-)(_)'''+''.

Lueeo: y O..... > 01 l if:(x). 4(0,1)[(0:li8_ ~fal que la anrerior se reem I.,(x). (0,4)(0,01 _ 1) . paza en f(x). (+ ) ( _):= " _ "

Puesto que el si' .. fu ' gno de la de' d -nCI n tiene.un'vnjor '1" . ~lva a cambia de " ... " " . IY.lllXJtno. n - 11

Sustituimos v O .f()" "- enf(x) ,x _)( _X2 + 1 . ,pnl'n'CIlCOntl'a' 1f(O). (0)4 _ (O 2~ -s , I C valor lYI~iYn."f (O)._ 1. .) 1 O - 0+ I

X.1X2

Valorcs Cl'ticos: X O

. X2 =_1 =...l_ ..Ji.2 .J2 2

Solucionarlo de D Ier vl1dlls

X O .)(2 1t -_"" O

2.'.

167

Luego: x > - 1 - 0,9Se sustituye este valor en la primera derivadaf'(x) = (- 0,9)(- 0,9 -2)(- 0,9 + 1)

Para: " _- 1x 2 2,1Se sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) = x(x -2)(x + 1)['(x) = (2,1)(2,1 -2)(2,1 + 1)(+)(+)(+)."+"Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " +funcin tiene un valor Mnimo.

Sustituimos x en f(x) para encontrar el valor Mximf(x) 3x4 - 4xJ - 12x2f(x) = 3(0)4- 4(Oi - 12(Oif(x) = -0- = Cuando: ' {x_O

Mximo. O

Soluclonarlo d. Derivadas

166

8. 3)(4 - 4xJ _ 12)(2f(x}; 3x4 - 4xJ _ 12x2f'(x). 12xJ - 12x2_24xf'(x) = 12x(x2-x - 2) _O'f:(x) a X (x - 2)(x + 1)Valores Crticos: x-O, x 2', =,X ... -1.Para: x ; Ox

169

10. 3x5 - 20x3f(x) 3x' - 20x)f'(x) 15x - 60X2f'(x). 15x2(x2 - 4). Of'(x). x2(x + 2)(x - 2). OX2 O ; x _ Ox+2.0 ;x.-2"

,Sustituimos x 4 en f(x) para encontrar el valor Mnimo,f(x) x' - 5xf(4). (4)' - 5(4)'f(4). 1024 - 1280. - 256=> en x .4 exIste un Mnimo _ - 156

Puesto que el signo dc la derivada cambia de " - " a " + " lafuncin tiene un vnloi Muimo.

Luego: x > 4 4,1.Sustituimos este valor en la primera derivada,f'(x). 5x3(x - 4)f'(x). 5(4,1)3(4,1 - 4)roo , (+ 5)(68,921)(+ 0,1)f'(x). (+)(+)(+)." +"

Sustituimos x Oen f(x) para encontrar el valor Mximo.f(x) x' - 5xfeO) (0)' - 5(0)4. O- O. O=> en x O hay un Mximo. O .PAra: x ; 4x en x - 1 exist e uu MinillJo o _ 5

., .. '

f'(x). 2(x - a)(x2+ ax + a2) _ O171

3 al2 3 2a3 _ 2(x3 _ a3) . Fnctorando: x -f '(x) = x - - - 2X X

2 2 3X +--X

2 2 3f(x)=x +_ax

2 3-1f(x) = x + 2a . .1.1)['(x) 2x + (2a \( - I~~x_ 2x _ 2a3 f'(x) - 2)( + - (2a)(x ) - X2

11.

l ' . 64~ en x .2 existe unl\ mrmo _ _ '

Para: x = 2

x < 2 = 1,9 . en la primera derivada.Se sustituye este va 01f'(x) x2(x + 2) (x - 2)f'(1,9) _ (l,9f(l,9 + 2)(1,9 - 2)

) " ", ) (+)(+)(- = -f (1,9 1 I!i!.deriv

2 2 1 Se sustituye este valor en aLuego: x > _ , .'() x2(x + 2)(x - 2)~,(;,I).(2,1)2(2,1+ 2)(~:~-})f'(21).'(+)(+)(+)= bi de" "a"+'

' el signo de la derivda cam la _Puesto que . lnimo. , .funcin tiene un vaIO~(~lpara encontrar el valor MinimSustituirnos x = 2 en

5 O 3[() 3x - 2 x . 64(x e )5 20 (2)3 96 _ 160 = _ f(2) = 3(2 - =[(2) - 64.

Sotuclonarto de Der'lvadas8) 96 + 160 = 64.3( -32)-20(- .-f(-2). . ,. 64

2 existe un Mximo _ .~ en x __

170

Sustituimos x = - 2 en f(x) para encontrar el valor Mximo . f(x) = 3xs - 20x.F.f(- 2) = 3 (-2i - 20(-2)3.

Puesto que el signo deJa derivada cambia de" + "a" _" la"\ funcin tiene un valor'Mximo,

Luego: x > - 2 = - 1,9.Se SUstituye este valor en la 113 derivada.f'(x) = x2(x + 2)(x _2)f'(- 1,9)= (-1,9lc- 1,9 + 2)(-1,9 _2).f'(- 1,9). (+)( +)( _)." _".

Para: X _ - 2x

t ia 1" derivada.. este va or en- O 9a. Se sustituyeLuego: x> - a. ,

f '(x) 2x) t 2a)x

" tiJ + 2a) _ - 1.8a) + 2a) .l...l. -f'(x). 2(- O,9a - (_O,9ai (_)x

" 11 I. d "+"a .. ,. de la derivada cambia ePuesto que el signo . mo.funcin tiene un-valor MnxI

173

"+"f '(x) = l..:l..( - )

- 2,662a3 + :;-I,331a3

. J= 2( - 1,331a3) + 2a =

-1,33Ia11 )3 + 2a3f'(x).2(-1, a 3

(- 1,la)

1 1m derivada.Para: x - a tituye este valor en a- 1 18. Se sus Ix en x a existe un Mnimo _ 3aJ

fea) (a)2 + 2a)a

x

Sustituimos x a en ttx) para encontrar el valor Mnimo.tri) _ X2 + 2a1

Luego: x a = 1,1aSe SUstituye este valor en la l lA delivada.f'(x) e 2 (x - a) (Xl + ax + al)f'(l,la) - 2(1,la - a)[(I,Ja)2+ a(I,la) + a2)Jf'(I,la)=2(+)(+)k" +"Puesto que el signo de la derivada cambia de " _ " a " + "

:. la funcin tiene Un valOl' Mnimo.

x - a ~ O; x , n (vnlo,' crtico)22.X + ax + a = O no se puede factomar.Para: x ; a.x < a 0,9a.Se Sustituye este valor en la Plimera derivada.f '(x) 2(x - a)(x2 + ax + a2)f'(0,9a) k [2(0,9a - a)][(O,9ai+ a(0,9a) + a2)Jf '(0,9a) = 2 ( - ) ( + ) k " _ "

So/llcionnrio efeDel'ivadns

L

;" ' . ..~., .t>.

175

Sustituimos x a en f(x) para encontrar el valor Mnimo.f(x) M x2+_L

X2

Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + "la funcin tiene un Mnimo.

f'(x) = l...l- "+,,(+)

f'(x) = 2,9282a4 - 2a41,331 a3

f'(x) = 2CI,Iat - 2a4(1,lai

f'(x) = 2(1,464184) - 2a41,331a3

Luego: x > a = 1,1aSe sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) _ 2X4 - 2a4

x3

f'(0,9a) -U-"-"C +)

f'(0,9a) _ 1,3122a4 - 2a40,729a3

f'(0,9a) _2(0,9at - 2a4(0,9a)3

f'(0,9a) _ 2 (0,656Ia4) - 2a40,729a3


174\

PIll'S: X. aTomamos Un X< aSe susliruye eSle I = 0,9af '( va oren la .x) = 2X4 _ 2a4 pnmera derivada.

XJ-,

)( ,::-r . ('X2 _ a2 _ o a.l Imaginario)v2 2A _ aXa

==> en x ~_a hay un Mximo. _ 3a

((-a) = 2(-a) - aJ . 2 J_= - a - a 2 (_a)2 1- - a - a - 3a. a

. -_ ......

177

f'(x) _ (x2 + a2).a - ~ax)'2x. (x2 + a2)

f'(x). fI*~+al._2fI*~(x2 + a2)2

f'(x)_ al_ ax2 _ (Xl + a2i

(x2 + a2).4_(ax) _ (ax).4_(x2 + a2)f'(x) _ dx dx

(x + a)

Derivando:

3.X14.

:::> en x _ - a hay un Mnimo _ 201

2 2 2 1.f (- a) e 8 + 8 a.

2 4f(x). X +JL .X2

f(-a).(-a/+ ....L..a2 +~(- 8)2 7'

Sustituimos x - a en f (x) para encontrar el valor Mini,

Puesto que elsigno de la derivada cambia de" - " a" -+funcin tiene un valor Mnrno,

Solucionorio de DerIvadas

176

-ti = " + 11( - )

f'(- 0,9a). 0,86093442a4 _ 2a4. - 0,72963

Luego: x > -a. - 0,98. Se sus'i'uye estevaloren la 1"derivado.

f'(-I,la)_1...l_" _". (-)

f'(-I,la) _ 2(-l.lat _284(-I,la)3

f'(-I,la). 2(1,464Ia41-28'- 1,3318

f'(-1,18). 2,928284_ 2~4. - 1,331 a3

'.

Para: x _ - aX

179x ; - 2a2a + x ; O

x.Ox(2a + x). O

2(1)f '(x). 2x(x + al : -(x + a) "

2 _ 2ax + X2 _ x(2a +~) Of'(x) 2x2 + 2a~; x - (x + a)1 (x + a)

(x + a)

f '(x) - (x + a)

X2

x +8

2) 2 d (x + a)(x + a),Q_(x x ' ._dx dx

f(x)

x+a15.

M '10 -1/2hay 1111 mm =:> en x _ - a

, de DerivndasSolucionArlo

. valor en la I!l! derivad O9a. Se sUSlltuye este ,Luego: x > - a e ,3 ax2 3 II + .,

f'(x):a - l. (_09aial-0,8Ia . d' "_"a"+"laf'(- O,9a) a a de la derivada cambia ePuesto que el SignO. ,

.. tiene un MlOlnlO."W1ClOn M' . oL' , Ivalor mimo.en f(x) para encontrar eSustituimos x a

=> en x - a hay un M:\ximo 1/2Pnra:x._1Ix a. 1,1aSe sustituye este valoren f'(x)f'(x) = al _ax:Zf'(I,la).a3 -a(J,la)2.a3_1.2Ial~(_)Puesto que el signo de la derivada cambia de " +funcin tiene un Mximo,

V:llm'esCdticos: (x. 11; x ; _a}Para: x _ ax < 11 c,O,9a'Se sustituye este valor en Ill"primera derivada.f'(x) e al _ax2f '(0.9a) al - a (0,9ai a~_0.81 a3 " + "

(Xl + a2)2(0) ~ O=> f'(x).al -8X2 O

f'(x). a(a2 - X2). Oa (a + x) (a - x) Oa+x.O ; X ..... aa-x.O ; av x o x.a

,

....Solucionarlo de Derivadas

181

Para: x _ O)o.-O,la fO(x)Este valor se reemplaza en

2f'(x). 2a x 2 00 "f O( -O !a) = 2a (,0, I a). -

, laza en f'(x).. O! Este valor se reempLuego: x > O= ,a.

f'(x).2a2x 1 )-" +" " 01 ,,+f'(O,la) - 2a (O,la -M' imo el signo va de - a

fu . 'n nene un 1111 ,La ncio

x_O

Valor Crtico: x O

(x2 + a2lJ2x) - x2(2x) f (x) = - (x + i)2 .

2 ~;f'(x)- ~~+2a X-2 (xl + a2)

f '(x) _ 2a2x 2 e O(Xl + a2)

f'(x). 2a2x _ O

Solcionario de Deriv:ldas

-'

180

~ustituimos x e O en f(x), para encontrar el valor Mnirno ...f{x) _L_ =-- _O.

x+a O+a

~ en x = O hay un Mnimo. OPara: x.-2ax < -20 _ - 2,1aSe sustituye este valor en la primera derivada.fO(x) = x (2a + x)fO(-2,la). (-2,la)[2a + (-2,1a) (- 2,la)(28 _2,la)((-2,10) = (-)(_) ~ " +" \:Luego: x -2a. -1,90

\ Se sustituye este valor en la I!l! derivadaf '(x) x(2a + x)fO(-109a) e (-1 ,9a)[2a + (- I,9a)JfO(-1,9a)~(-109a)(20 -109a).( _)( +).00 _"La funcin tiene un Mxmo, el signo va de 00 + " a 00 _ 00X -Za se sustituye en f(x).

trx) L. {-2a)1 4a2 - 4ax + a -2a + a . - 8

~ en X _ - 2n existe un Mximo __ 411.

Valores Cdticos: x _ O; x _ - 2 o.Para: x _ Ox < O_ - O,la .Se sustituye este valor en la primera derivada.fO(x). x(2a + x)fO(-Oola). (- 0,(8)[23 + (- Oola)JfO(-Oola)c(-)(+)~ 10 _ 10

Luego: l' > 0_ O,la. Se sustituye este valor en la II!!f '(x) _'x(2a + x)fO(b,la) _ (0,la)(2a + O,la) .. (+)( +) _ "+ ".

. La funcin tiene un Mnimo, el signo va de 10 _ 10 10 + 10.

.-

Solucionarlo de Derivadas,.~.

.:)~

.. ,,_,'

,.'~..'.....

P3l'a:x.-2x < - 2 -2,1Se reemplaza este valor en f '(x).f'(x). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f'(-2,1) _ 2[2 + (-2,1)](-2,1 - 1)[2(-2,1) + 1]

183

f'(x):(2+X)2.2(I_X)1-'.(-1)+(I-X)2.2(2+X)2.'f'(x): -2(2 + x)2.(1 - x) + 2(1 - x)2.(2 + x)f'(x)=-2(2+x){I-x)[2+x -O-x)]f'(x): -2(2 + x)(1 - x) (2 + x- 1+x). - 2(2 + x)(1 - x)(2xf'(x): 2(2 + x}(x - 1)(2x + 1) = O2+X:0 ; x:-2x-I:O ; x.12x + 1 O ; X - InValores Crticos: x _ - 2; x.1 ; x _ - 1/2

18. (2+ X)2 (1 - X)lftx) (2 + xi (1 - x)2f'(x) =(2 + x)l. Q_(I- x)2+ (1 - x)l. Q_(2+ xi

dx dx

f(x) _ (0)1+ 2al : 2al ~ 2(0)2 + a2 7

::::> en x _ O hay un Mximo. 2

Sustituimos x _ O en ftx)f(x) _ X2 + 2al

X2 + a2

f'(x) _2alx['(_ O,la). _2a2(_ O,la) = " +"Luego: x O 0,1a. Se reemplaza este valor en f''(x)f'(x) _2alxf'{O,la) _ -2a\0,la) - " -"La funcin tiene un Mximo, el signo va de " + "a "-"

Solucionado de Deriv.das

182

x _ O valor crticoPara: x _ O.'1: < D. - D,laI Se reernpla za este valor en f '(x)

f(x) _ X2 + 2aiX2 + a2

~ en .'1: O hay un Mnimo. O

17. Xl + 2a2X2 + a2

....:......

Solucionaro deDerivadns

x - o se sustiruye t1()en x para encontrar el valorf(x) x2 "'Huml~.:

xl + a2

SS

Se sustituye ~ - 1/22en f(x).f(x) = (2 + x) (1 - x\ 'S 2f(- 0,5) G [2 + (- 0i5)] [1 - (; 0'dJS)2 (1,5)2. (1,5)4.5,0625f(- 0,5). (2 - 0,5) (1 + 0,5) = , '"f(x) 5,0625 h' UD Mximo _ 5,0625:::::> en x - 1/2 ay

2 )3' 19. (2 + x~ (1 - Xlf(x). (2 + x). Pd-(~)-x)3 + (1 _ xlQ_(2 + xif '(x) (2 + x) . - dx

dx

i 2(2+ xi-',Q_(2 + x)f'(X)=(2+x;Z,3(1-X)2,dd~I-X)+(I-X , dx

'2 )2(_I)+2(I_x)3(2+x)(I)f'(x)," 3 (2 ++x~~~I-~X)2+ 2(1 _ x)3(2 + x)f'(x).-3(2 ) )2(-3(2+x)+2(I-x)]f'(x) D (2 + XII-x )2( _ 6 _ 3x + 2 _2x]f '(x) = (2 + x - X 2f'(x).(2+x)(I-x) (-4-5x)

Para: x - - 1/2 laza este valor en f'(x)x < - 1/2 - 0.6. Se reemp

f:(x). 2(~~~~(-_~6~~(_~,2_1)(2(-0,6) + 1]~,~:~:~~:(2)(2 - 0,6](- 0,6 -}~-..',2+ 1]f'(-0,6) ( + )( + ) ( - ) ( - )

Luego: x > - 1/2 - 0,4 , ,Se sustituye este valor en : ~x)f'(x) D 2(2+ x)(x - 1)(2x"" 0)4 _ 1)[2(- 0,4) + 1)rt- 0,4). (2)[2 + ~~j~~(~_'1)[- 0,8 + 1]f '(- 0,4) (2)[2 -, ,:"f'(- 0,4). (+)(+) (-)(+):" - de" +" a " _ "La funcin tiene un Mximo va

Solucionario de Derlvadas

184

Se Sustituye x = 1 en f(x)f(x) (2 + X)20 _ X)2f(l) = (2 + 1)2(1 - 1)2. (3)2 (0)2. (9)(0). =:> en x 1 hay un Mnimo. O

Luego: x 1 _ 1,1Se reemplaza este valor en f '(x)f'(x)~2(2 + x)(x - 1)(2x+ 1)f'(I,I).(2)(2 + 1,1)(1,1 -1)[2(1,1)+ IJf'( 1,1) ( + )( + )( + )( + ). " + "La funcin tiene un Mnimo va de " _ " a " + "

Luego: x > - 2 - 1,9Este valor se reemplaza en f'(x)f'(x). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f'(-1,9). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f~(-1,9).2[2+(-1,9)J(_1,9_1)[2(_I,9)+ IJf'(-I ,9) = ( 2 )(2 - 1,9)(- 1,9 _ 1)(-3,8 + 1)f'(-/,9). (+)(+)( _)( _)." + ".La nlflcin tiene un Mnimo va de " _ " a "+"I ,

/ ',Se Sustituye x - 2 en f(x)f(x) = (2 + X)2 (1 _ X)2f(-2) - [2 + (-2)f [1 - (_2)J2,f(-2) = (2 -2i(J +2i = (0)2(3)2 = (0)(9). =:> en x , - 2 hay IIn Mnimo. OPara: x.1x < 1 ~ 0,9 , .Se reemplazlI este 'valor en f'(x).['(x). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f'(0,9) = (2) (2 +0,9) (0,9 - 1)[2(0,9)+ IJf '(0,9) ~ ( +)( + )( _)( + ) " _"

f'(-2,1). 2(2 - 2,1)( - 2,1 - 1)(- 4,2 + 1)f'(-2,1). (+)( _)( _)( _). "_ "

Soluciollario de Derivndas

187

, de DerivadasSoluclonarte+) H+lI ,

f'(-I ,9)~ ( ~)( + )( 1\1~imO,el signo cambia deLa funcin tiene un .

Se sustituye x - 2 e~ f(x)f(x).(2,..x)2(12-x) 2 3

f(-2) (2 + ~-)2~1[!;~i:~O)( 3)J Of(-2).(2- O

2 existe un Mnimo.=> en x.-Para: x " - 4/5" - 0,8

x < - 4/,5. - 0,9 lor en f'(x)Se sustituye este va 2 _ 4 _ 5x)f'(x) , (2 + x)(1 - x ) \ _(-O 9)]2(- 4 _ 5(- 0,9)f:(- 0,9). [; _~~~i~)I(o,912 [: 4 + 4,5)f (-0.9) [ (') (+) "+".f'(- 0,9). (+) + - 7

' x > - 4/5 _ - O,Luego. lor en f'(x) .Se sustituye este va 2 _ 4 _ 5x)f'(x).(2+x)(I-x) ( -(-07)2[-4- 5(-0,7)f' (-0,7). (2 ~J-7~'r~)~(6,7)2['_4 + 3.5] ,f'(-0,7). [2, "_"f'(- 0,7). (:-)( + )~~;imo el signo va de" +":La funcin ~e;es~nsustiruye ~ f{x)x - 4/5 e - , ' J

f ("x) - (2 +xr g0;;)2 [1 _ (_ 0,8)3 ,f(-0,8)=[2 i 1+08)3f (-0,8) " [2 .~'~J)J ci 44) (5,832) =8,39808f (- 0,8) (1,2) : ,,'1ximo 8,398084/5 existe un=> en x _ - .

2/3, 20. b + c(x - a~Jf(x) b + c(x - a) a)2/3f'(x). Q_(b)+ c.Q_(x-

dx dx

2/J,' d (x - a)f'(x). 0+ c,l(x - a) 'dx3

186

Luego: x> - 2 __ 1.9SUstituyendo este valor en f'(x)('(X)0(2+X)(1_X)2(_4_ 5x)('(-1,9) e (2 + (-1,9)J [1,- (-1,9)]2 I- 4 _ 5(-1,9)]f'(-I,9). (2 - 1,9] [1+ 1,9]2[_ 4 + 9,5]

Nota, (no es IIecesa,'io elevlI" (+)' pues si~",pre es positivo; .Pe,'o si Cllaudo ( - )',Pllts al eJeva"se 111cuadrado se ace " +

f'(x). (2 +x)( 1- X )2 ( _4 _ 5x). O(2 + x) - O ; x , _ 2(/ - x) O~ 1 - x ; x , 1- 4 - 5x O ; 5x. - 4 ; x , _4/5Valo,'cs Crticos: X -] ; x ; _ 2 ; x. _ 4/5Panl: X. 1x < 1_0.9SUstituyendo este vlllor en f '(x),f'(x). (2 + x)(1 - X )2(_ 4 _ 5x)('(0.9) o (2 +0,9)(1 - 0,9 )2 [_ 4 _ 5(O,9)J('(0,9). (2 + 0,9)( 1 - O,9l [_4 _4,5Jf'(O,9). (+)( + )2( _J. (+)( + J( _J." _"lLllego: x > 1 1.1Sustituyendo este valor en f'(x)ri, (2 + x)(I - xi (_4 _ 5x)f'(I.l). (2 + 1,1)(1 - 1,1 )2 [_4 _ 5(1,1)Jf'(I,I)0(2 + 1,1)(1 - 1,1i [-4 - .s,5Jf'(I,I) _ (+)( _)( _)2. (+ )( _)( +) , " _"La funcin no tfene ni MXiJ!lQnI Mnlllli!. no hoy cambio dePara: x _ - 2,

x < - 2 - , 2,1, SUstituyendo este valor en f '(x),f'(x) = (2 + x)(I - X)2 (_ 4 _ 5x)('(-2,1). [2 + (-2,1)J[I'- (-2,I)J2 : 4 _5(-2,I)J('(-2,1). [2-2,11fl +2,IJ2'[-4+10,51('(72, 1) ~ ( -) (+)2 (+ ). " _"

..... ., \ft'" UCJ"vndns

'J\

;.

.,

-{

.. /'.~,

'.

189

VJ O1 _ - 3(x - e) -f'(x) b.

)Vl Of '(x) = - 3(x ur O['(x) - (x - e) VJ)j/2 OJ/2f'(x). (x - e) ('(x) = ex - e). Ox-coa; x.e

IIIf(x) = a - b(x - e)

) 113f'(x) _ Q_(a) - b .Q_(x - edx dx

. )1/l.1 d (x - e)f '(x) O - b ._L. (x - e . dx3 .Vl(1) _b = O

f'(x). -.!!..(x- e) 3(x _c)2l3

21.

d It 11 a "+". Mnimo, va e -La funcin tiene un trar el valor Mnimo.

a Se reemplaza en f(x), para enconx - 11Jf(x) - b+ e(x - a)VJ b+ e(Oi'J _ b+ O= bfea) b + c(a - a)

=> en x = a existe un MJnimo - bIIJa - b(x - e)

U+"f'(x) = ....+

++ ,,+"._0, f '(x)= 2e

3YO,1a

f'(x). 2e )I/j3(1,la - a

Solucionado de Derivadas

.. .w__

i88

f'(x) _ 2c3(x-a)lll

Luego: x > a , 1,la. Se sustituye este valor en f '(x)

f '(x) .. + 2c ' ... ". La ra12cubica de un negarivo es negativo.3J!-O,Ja

f'(x). 2c. 3(0,98 _8)1/3

Se sustituye este valor en f'(x)f'(x) '" 2c

3(x - a) Ii'l

Parn: x _ ax< a. 0,99

3(x - a)I/J _O2cf'~X) -F-t-]-

~

3 (x - a) I/J (2c) (O)3(x-a)IIJ.0(x _n)I/J _ O[(x -a) 1/J1l OJ(x -a) O ; x ; 11

Si ['(x) - O,se anulan los valores criticos; por tanto hacemoS:-l_

['(x) '.

SoluclonArio de Derivndasf'(x). ff]

191

f'(-2,1). [2+.- '[1-(-2,1)](2+(-2,1)

I/l 2 1)2/3 (2.1 - 1), (2 - 2,1)" (1 + , _f(-2). (1+2,1)(2-2,1)

1 . 'o _ 12x. ,A.Valores Crttccs: x - - ,

Para: x , - 2 I a este valor en f'(x)2 1 Se reemp 81..x

""

Pnrn: x - 1x < - 1 _- 1,1. Se sustituye este valor en f'(x)

Se reemplaza x 1 en f(x){(x). (2 + x)'/J(I . x)"Jf(l) _ (2 + 1)"1(1 -'Ifl_ (3 )"3( CJ)2I3.O::::> en x 1 hay un Mlnimo O

La funcin tiene un Mnimo va de "- "a "+"

f'(I,I)-U-" +"( - )

f'(I,I).(+)(+)(-)( - )

. ,

{'( 1,1). (+) ( )11}( _ ) , Haciendoftnificios paro solucionar (_)lJI(.)(+)

f'(I,I).(+H( - )11iI( -)( - )

f'(I,I).(+)(+)IiI( _)( - )

f'(x). (2 + x)~( 1 - x)V)(_ x - 1)(1 - x)(2 + x)

f'(I,I). (2 + I,))~(1 - 1,1)213(_ 1,1 - I}(1 - 1,1}(2+ 1,1)

,Luego: x > 1_ 1,1. Se remplaza este valor en f;(x)

f'(O,9) _ (+)( +)( - ) -..L:.l. - "-"(+}(+) (+)

SoludonnJ"lo de Derivadas

192

Pan: x, 1~< I .0,9, Se remplaza este valor en f'(x)t '(x). (2 + X}'/l( I _ X}2/J(_ x: 1)

(1 - x)(2 + x) ,

f'(0,9) = (2+0,9)"J(1 -O,9)2IJ(_O,9_1)(1 - 0,9)(2 + 0,9)

f'(O,9) _ (2 + 0,9)IIl(l - O,9)Vl(_0.,9_ 1)(1 - 0.9}(2 + 0,9)

Luego: x > - 2 - 1,9 .Se reemplaza este valor en f'(x)

f'(x) = (2 + xlI/le I - X)2Ile_ x - 1)(J - x)(2 + x)

f'{-1,9). [2+(-1,9)J"3(1-(-1,9)J2Il[_(_1,9)_I](l-x)(2+x)

('(-1,9).(2_ 1,9)"J(I ~ 1,9}2IJ(I,9_1)[1 - (-1,9)](2 + (-1,9)J '

f'(-1,9) _ (+) 1/3(+)211( +) - (+)( +)( +) i.:!:.l." +(1+1,9)(2-1,9) (+)(+) (+)

La (unci" no combo d 1MiJllnto en x _ :2, In e. ~no, por rnnto no tiene ni MxImo nI

f'(-2) -1..:J.. ~ " +"(-)

f' (-2).(_ )11l( + )213( +)(+)(-)

f'(-2). (-)(+)(+) -1..:J..-"+"(-) (-)

..."

Sollloionndo de Derivada.

19S

a - 3x _ O ; a _ 3x ; 3x _ a ; x allValores Crticos: x , - a; x , 8; X_ - 812; X. alJ}

. PHI'a: x _ - ax < -a. 1,1a, Se reemplaza este valor en f '(x) .

. f'(x). (a+ x)(a . x)2 (2x + alea - 3x)f'(.I,la). (a+(-I,la)}{a-(.I,la)}' (2(-I,la)+alla-3(-I,la)}.0

1,la). (a - 1,la)(a + 1,la)21' 2,2a+ a)(a + 3,3a). Of'(.I,la). (_)(+)2(_)(+)." +",

2

CtlmbilldoJ.,1stguotll~lClor: (3x a) y anulandoel signo negativo.f'(x) = (a + x) (a - x-(2x + a) (a 3x) c O.(a+x).O => x.-nn.x.O => OcX2x + a _ O => x ~

f'(x) _ xCa -1- xfQ_(a. x) + (a - xi,Q_[x(a + xi]dx dx

f'(x) x(n + x)'. 3(a. x)}", !l(a - x) + (a - x)}[x . !lea+ x)1 + (a + x)' . !ldx dx d,

f' (x). x(a + x)'. 3(. xi( - 1) + (a - x)'!" , 2(8+ X)'" + (a+ )1(1~1f'(x) _ 3X(8 + x.2(a - x)' + (a - x) (2x(a + x) + (a + x) ]f '(x) = -3x(a + x)2(a x)' + (a x) (a + x) (2x + a + x)f'(x) _ 3x(a + x)2(a xi + (a x) (a + x)(a + 3x)Faaorixando: (a + x) (a - X)2f'(x) _ (a + x) (a - X)2 (3x(a +' x) + (a; x) (a + 3x)} .01f'(x).(a+x)(a-x)l {_~.3x2+a +~llx3x}f'(x) = (a + x) (a - xi { _6X2 -ax + a2} = OCambindole el signo alfactor: l6x2 - nx + a2}f'(x} = (a + x)(a . xi {6x2 + ax - a2} O.f'(x) _. (a + x)(a X)2(2x + a) (3x a). O.

Suponiendo que: u. x(a + X)2 y v ; (a X)3, aplicamos laderivada del producto: y'. U.v' + v.u'


194

x -1 se sustituye en ((x) para clcular el valor Mxnnf(x). (2 + x)"J(1 x)2n ,f(.I). [2 + (.I)IIJ(I . (_1)213f(l) _ [2.1)"3[1 + I]W. ( 1 }"J( 2 )2I~. ':;4=> en x _.' 1 hay un Mximo _ ~

23, x (a + x)2~a _ x)Jf(x). x(a + x) (a- x)

La funcin tiene un Mximo va de " + " a " . "

f' (.O,Q) _ (+) 113( + )VJ ( .) = U =" "(+)(+) (+)

f'(x). (2 + x)ln( 1 - xlV)(. x - 1)(1 x)(2 + x)

f'( 0,9). (2+ (0,9)1/3 (l . (_0,9))2/3(. (0,9) J)(1 + 0,9)(2.0,9)

f'(- 0,9). (2 - O,9)1/3( 1 +O,9)2IJ( + 0,91)(1 + 0,9)(2 0,9)

Luego: x > -1 = 0,9 . Se reemplaza este valor en f '(x).

f'(x). (2 + x)"J(1 x)2/) (x l)(l . x){2 + x)

f'(J,I). (2 + (.I,I)}UJ(I. (I,I~2/3(. (1,1) I)[1(I,J)J[2+(J,I))

f'(I,I). (21,1)"3 (1+ I,fl f+ J,I 1)(1 + 1,1) (21,1)

f'(.I,I). (+)"J(+)213(+).W."+"(+)(+) (+)

.Seluctennrtc d. Derivadas

.-

x. al3 se sustituye en f(x) para encontrar el valor Mximof(x) _ x(a + X)2 (a _x)'

Para: x a/3 _ 0,33 ... ax < O,33a. 0,32a. Se reemplaza este valor en f '(x)f'(x) (a + x)(a _X)2 (2x + a) (a - 3x)('(0,32a) .{a + (O,32a)}{a _ (O,32apl{2(O,32a) + a} (a - 3(O,32a)}f'(O,32a) _ (a + 0,32a) (a - O,32a) (0,64a + a) (a _O,96a)f'(0,32a). (+)( + )2( +)( +). ,,+ lO

Luego: x> al3 _ 0,34a. Se reemplaza este valor en f'(x)f'(x) =(a + x)(a - x)2(2x + a) (a - ~x)f'(0,348) .{a + (0,34a)} (a - (O,34a)}2(2(O,34a) +a}(a - 3(O,34a)}f'(0,34a) (a + 0,348)(a - 0,34a)2(0,68a + alea - 1,02a)f'(O,34a). (+)( + )2( +)( - ) " - "La funcin tiene un Mximo, va de " + lO " - "

=:> en x - n/2 existe un Mnimo _ - 27 a' _.c64

Dividiendo tanto .1 numerador y denominador para 15.625f(- 0,5a) - 421875 - 27 a6

1'000000 64

x - 012 _ - O,Sa.Se reemplaza en f{x)f(x) x(a + xi (a - xif(- 0,5a). (- 0,5a){a. + (- 0,5a)}2{a - (-0,5a)})f(- O,5a) ~ (- 0,5a)(a - 0,5a)1(a + 0,5a)Jf(- 0,58). (- 0,58)( O,58f( 1,5ai.f{- 0,5a). (-0,5a)( 0,25a2)( 3,37583)f(- O,5a) = - 0,421875 _-421.875 a6

1'000.000

Soluclonnrlo de Derivadas'(_O,4a) {a+ (- O,4a)}{a - (- 0,4a)}' (2(- O,4a) + a}{a - 3 (- O,4a)}f'(- O,4a) = {ti _0,4a)(a + O,4a)2( - 0,8a + a) (a + 1,2a)f'(- 0,4a) - (+)( + i( +)( +) -" + "La funcin tiene un Mnimo va de lO - " 8 " + ",

._---,......_--

196

Luego: x > - a - O9 S lf'(x) ( + )(- 'la. e reemp aza este valoren f'(x), a x a - x) (2x + a)(a - 3x)~,~~~9;!)(a{... (-~,9a (a - (- O,~a)}l (2(- O,9a) + al(a-f'(- 0'9 ). (a - ,9a)(a +O,9a) (-l,8a + a)(a + 2,7a)

'~.' .+)(+)(-)(+)."_10La funcin tiene un Mximo va de " + lO a " _ "X - a se sustituye en f(x){(x) _ x(a + X)l (a _x) para encontrar el valor delf(-a). (-a) {a + (-a) 1{a - (-a))'fe-a) _ (-a) {a - a)l (a + a)' .. (- a) (0)(2a)J O=> en x _ a existe un Mximo _ Para: x _ ax < a. 0,93Se reemplaza este valor en ('(x)f:(x) _ (a + x)(a - x)2(2x + a) (a o 3x),~g,;a? -la + (O,9a)} {a o (0,9a)}2 (2{O,9a) + a) {a-f'(0'9 a) (a + 0,9a~(a - O,9a)2(1,8a + a) (a - 2,7a)

, a _ +)( +) (..)( _) _ (+){ +)( +)( _) _ lO _ lO

Luego:x>a_l,la .Se reemplaza este valor en f'(x):(x). (a + x)(a - x)1(2x + a)(a - 3x)f,~:,:a~-/a+(I,la)} (a-(I,18)}2{2(1,la)+a} {a-3(1f'(I'la) _(a+ 1,lai(a-I,la)2(2,2a+a)(a-3,3a) .

.' a - +)(-) (+)(-)-(+)(+)(+)(-)a"-"PSI a x a la funcin no tiene Mximos ni M' .no cambian los signos. numos,Para: x _ - al2 _ - 0,511X < -al2 O 68 SI'"f" - , . e reernp aza este valor en f'(x),(x) _ (a + x)(a - x)2(2x + alea - h)f (-0,6a) (a + (o O6a)} ( (O '['(-06) ( , a- - ,6a)} (2(.0,6a)+a}{a-3{_f'(- 0'68). (a -)0,6a)}a + O,68}2{- 1,2a + alea + 1,8a)

,a. + (+)(_)(+)."_"Luego: x > - af2 4 S{'() ( - - 2 ' a. e reemplaza este valor en

x a + x) (a - x) (2x + a)(a

Solucionario Calculo Diferencial Granville

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