Cálculo diferencial e integral [Granville] - by CXPA

QA371 R 293 1998 GRANVILLE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

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Temas que trata la obra:

Resumen de frmulas Variables, funciones y lmites Derivacin Reglas para derivar funciones algebraicas Aplicaciones de la derivada Derivadas sucesivas de una funcin.

Aplicaciones Derivacin de funciones trascendentes.

Aplicaciones Aplicaciones a las ecuaciones para mtricas y polares

y al clculo de las races de una ecuacin Diferenciales l . Curvatura. Radio de curvatura. Crculo de curvatura Teorema del valor medio y sus aplicaciones Integracin de formas elementales ordinarias Constante de integracin Integral definida La integracin como suma Artificios de integracin Frmulas de reduccin. Uso de la tabla de integrales Centros de gravedad. Presin de lquidos Trabajo. Valor medio Series Desarrollo de funciones en serie de potencias Ecuaciones diferenciales ordinarias Funciones hiperblicas Derivadas parciales Aplicaciones de las derivadas parciales Integrales mltiples Curvas importantes Tabla de integrales

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http://carlos2524.jimdo.com/

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL


SIR ISAAC NEWTON


,


WllLlAM ANTHONY GRANVlllE Doctor en Filosofa. Doctor en Leyes

Ex Presidente del Colegio de Gettisburg

Edicin revisada por:

PERCEY F. SMITH WllLlAM RAYMOND lONG lEY Doctores en Filosofa y Profesores

de Matemticas de la Universidad de Yale

LIMUSA


Granville. William Anthony Clculo diferencial e integral = Elements of differential

and integral calculus / William Anthony Granville. -- Mxico: Limusa, 2009. 704 p. : il. ; 23 x 15.5 cm. ISBN-13: 978-968-18-1178-5 Rstica.

1. Clculo diferencial 2. Clculo integral 1. Byngton, Steven, tr. 11. Romero Jurez, Antonio, colab.

Dewey: 515.33 122/ G765c Le: QA303

VERSiN AUTORIZADA EN ESPAOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLS CON EL TTULO: ELEMENTS OF DIFFERENTIALAND INTEGRAL CALCULUS JOHN WILEY & SONS, INC. C OLABORADOR EN LA TRADUCCiN: STEVEN T. BYNGTON REVISiN: ANTONIO ROMERO JUREZ PROFESOR EN LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO. LA PRESENTACiN Y DISPOSICiN EN CONJUNTO DE CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGN SISTEMA o MTODO, ELECTRNICO O MECNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACiN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACiN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACiN) , SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.

DERECHOS RESERVADOS:

2009, EDITORIAL LlMUSA, S.A. DE C.v. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDE RAS 95, MXICO, D .F. C.P. 06040

~ 51300700 r2J 5512 2903 )iiii [email protected] 'T"' www.nonega.com.mx

CANIEM NM. 121 HECHO EN MXICO

ISBN-13: 978-968-18-1178-5 45.1


PROLOGO

Esta obra es, en sus lneas generales, una edicin revisada y aumentada del texto debido al profesor Grall\' ille. Los nicos cambios introducidos se reducen a pequefios detalles en las demostraciones, a la revisin de los problemas - afiadiendo algunos de aplicacin a la Economa y otros adicionales al final de cada captulo para alumnos ms aventajados- y a la redaccin de un captulo sobre Funciones hiperb6-licas, junto con algunos pjelllplos de aplicacin de las eoorrlenadas ciln-dricas en las integrales dobles. El captulo a11adido ha sido p,.;crito siguiendo el Illtodo del libro , procurando quP fOl'llle un todo armnico con pI resto de la obra.

Lai::l soluciones de la mayor parte de 10i::l problemaf' i-'P dan en pi texto. Algunas soluciones f'e Ollliten de intento para a,costulllbl'ar al estudiante a tener confianza en s mismo.

El trabajo de los autores de esta edicin. se ver ampliamente COI1l-pensado si tiene la misma acogida que tUYO la primpra edicin de la obra de Granville .

PERCEY F. SMITH \VILLIAM R. LONGLEY


INDICE

CALCULO DIFERENCIAL

CAPITULO 1

Resumen de frmulas

Frmulas de Algebra y de Geometra elementales, 3. Frmulas de Trigo -nometra plana, 4. Frmulas de Geometra analtca plana, 6. Frmulas de Geometra analtica del espacio, 8. Alfabeto griego, 10.

CAPITULO 11

Variables, funciones y lmites

Variables y constantes , 11. Intervalo de una variable, 11. Variacin con-tinua, 12 . Funciones, 12. Variables independientes y dependientes, 12. No-tacin de funciones. 13. La divisin por cero, excluda , 13 . Grfica de una funcin: continuidad, 15 . Lmite de una variable, 16. Lmite de una fun-cin , 16. Teoremas sobre lmites, 17. Funcones contnuas y discontinuas. 17 . Infinito , 19. Infinitsimos, 22.. Teoremas relativos a infinitsimos y lmi-tes , 23.

CAPITULO III

Derivacin

Introduccin, 25. Incrementos , 25. Comparacin de incrementos 26. Derivada de una funcin de una variable, 27. Smbolos para representar las derivadas, 28, Funciones derivables, 30 . Reg la general para la derivacin, 30. Interpretacin geomtr ica de la derivada, 32.

CAPITULO IV

Reglas para deri v ar funciones alge bracas

Importancia de la regla general. 36. Derivada de una constante. 37 . Deri-vada de una variable con respecto a, si mIsma, 38. Derivada de una suma, 38. Derivada del producto de una constante por una funcin, 39 . . Derivada del


VIII INDICE

producto de dos funciones. 39. Derivada del producto de n funciones. siendo n un nmero fijo. 40. Derivada de la potencia de una funcin. siendo el exponente constante. 41 . D eri vada de un cociente. 41. Derivada de una fun-cin de funcin. 46. Relacin entre las deri vadas de las funciones inver-sas . 47. Funciones implicitas . 49. Derivacin de funciones implcitas. 49 .

CAPITULO V

Aplicaciones de la derivada

Direccin de un;l curva . 52. Ecuaciones de la tangente y la normal: longi-tudes d e la subtangente y la subnormal, 54. Valores mximo y mnimo de una funcin: introdu cc i n . 58. Funciones crecientes y decrecientes. 62. Mximos y mnimos de una funcin; definiciones. 64. Primer mtodo para calcular los rr.ximos y minimos de una funcin. Regla gua en las aplicaones. 66. Mximos o mnimos cuando f' (x) se vuelve infinita y f (x) es continua. 68. Problemas sobre m

INDICE IX

CAPITULO VIII

Aplicaciones a las ecuaciones paramtricas y polares y al clculo de las races de una ecuacin

Ecuaciones paramtricas de una curva. Pendiente, 138. Ecuaciones param-tricas. Segunda derivada, 143. Movimiento curvilneo. Velocrdad, 144. Mo-vimiento curvilneo. Aceleraciones componentes, 145. Coordenadas polares. Angula que forman el radio vector y la tangente . 148. Longitudes de la subtan-gente y la subnormal en coordenadas polares, 152. Races reales de las ecuacio-nes. Mtodos grficos , 154 . Segundo mtodo para localizar las races reales. 156. Mtodo de Newton , 158 .

CAPITULO IX

Diferenciales

Introduccin, 164. D2finiciones. 164. La diferencial como aproximaci n del incremento. 165. Errores pequeos, 166. Frmulas para hallar las diferen-ciales d.e funciones. 169. Diferencial del arco en coordenadas cartesianas rectan-gul a res, 171. Diferencial del arco en coordenadas polares, 173. La velocidad como rapidez de variacin de la longitud del arco con respecto al tiempo, 175 . Las diferenci a les como infinitesimo s, 176. Ordenes de infinitesimos. Diferen-ciales de orden superior. 177 .

CAPITULO X

Curvatura. Radio de curvatura. Crculo de curvatura

Curvatura, 179. Curvatura de la circunferencia, 180. Frmulas para la curvatura (coordenadas rectangulares), 180. Frmula especial para las ecuacio-nes paramtricas, 182. Frmula para la curvatura (coordenadas polares), 182. Radio de curvatura, 183. Curvas de ferrocarril: curvas de transicin, 183. Circulo de curvatura , 184. Centro de curvatura, 188 . Evolutas, 190. Propie-dades de la evoluta, 194 . Las evol ventes y su construccin mecnica, 196. Transformacin de deri vadas, 199.

CA.PITULO XI

Teorema del valor medio y sus aplicaciones

Teorema de Rolle. 203. Circulo osculador. 204. Punto limite de la inter-seccin de dos normales infinitamente prximas. 206. Teorema del valor medio, 207 Formas indeterminadas. 209. Determinacin del valor de una funciAn cuando sta toma una forma indeterminada. 210. Determinaci n

O del valor de la forma indeterminada O. 210. Determinacin del valor de

la forma indeterminada :' 214. Determinacin del valor de la forma in-


x INDICE

determinada O . 00, 214. Determinacin del valor de la forma indetermi-nada 00 - oo. 215. Determinacin del valor de las formas indeterminadas 0, )"", 00, 216. Generalizacin del teorema del valor medio, 218. Los m -ximos y mnimos, tratados analticamente, 219.

CALCULO INTEGRAL

CAPITULO XII

Integracin de formas elementales ordinarias

Integracin, 227. Constante de integracin. Integral indefinida, 229. Reglas para integrar las formas elementales ordinarias, 230. Demostracin de las frmulas (3), (4) Y (5), 233. Demostracin de las frmulas (6) y (7), 140. Demostracin de las frmulas (8) a (17), 242. Demostracin de las frmulas (18) a (21), 246. Demostracin de las frmulas (22) y (23), 254. Integracin de diferenciales trigonomtricas, 257. Integracin, por sustltuclOn trigonomtrica, de expresiones que contienen V a2 - u 2 o V u 2 a2 , 266. Integracin por partes, 269 . Observaciones, 274.

CAPITULO XIII

Constante de integracin

Determinacin de la constante de integracin por medio de condiciones ini-cia les, 277. Significado geomtrico, 277. Significado fsico de la constante de integracin, 28\.

CAPITULO XIV

Integral definida

Diferencial del rea b aj o una Clculo de una integral definida, a un cambio de la variable, 290.

curva, 287 . La integral definida, 288 . 289. Cambio de limites correspondientes Clculo de reas, 292. Clculo del area

cuando las ecuaciones de la curva se dan en forma para mtrica, 293. Represen-tacin geometrica de una integral. 297. Integracin aproximada. Frmula de los trapecios, 297. Frmula de Simpson (frmula parablica), 300. Inter-cambio de limites, 303. Descomposicin del intervalo de integracin en una integral definida, J03. La integral definida es una funcin de sus limites, 304. Integrales mpropias . L mi tes infini tos, 304. In tegrales impropias, 305.

CAPITULO XV

La integracin como suma

Introduccin, 309. Teorema fundamental del Clculo integral. 309. De -mostracin analtica del teorema fundamental. 312. A r e a s de superficies limitadas por curvas planas: coordenadas rectangulares, 314. Areas de curvas


INDICE XI

planas; coordenadas polares . 31 9. Volmenes de slidos de revolucin . 322. Longitud de un arco de curva. 330. Longitudes de arcos de curvas planas;. coordenadas rectangulares. 331. Longitudes de arcos de cur vas planas; coorde-nadas polares . 334. Areas de superficies de revoluci n. 337. Slidos cuyas secciones transversales se conocen. 344.

CAPITULO XVI

Artificios de integracin

Introduccin. 352. Integraci n d e fracciones racionales. 352. Integracin por sustitucin de una nueva variable; racionalizacin. 361. Diferenciales binomias. 365. Condiciones de racionalizacin de la diferencial binomi a . 368. Transformacin de las diferenciales trigonom tricas . 369. Sustituciones di-versas. 371.

CAPITULO XVII

Frmulas de reduccin. Uso de la tabla de integrales

Introduccin . 374. Frmulas de reducci n para las diferenciales bino-mias. 374. Frmulas de reduccin para las diferenciales trigonomtricas. 380 . Empleo de una tabla de integrales. 384.

CAPITULO XVIII

Centros de gravedad. Presin de lquidos. Trabajo. Valor medio

Momento de superficie; centro de gravedad. 390. Centro de gravedad de un slido de revolucin. 394. Presin de liquidos . 396. Trabajo. 400. Valor medio de una funcin . 406.

CAPITULO XIX

Series

Definiciones. 412. La serie geomtrica . 413. Series convergentes y di ver-gent~s . 415 . Teoremas generales.' 416. Criterios de comparacin. 417. Cri-terio de D' Alembert. 422. Series alternadas. 423. Convergencia absolu-ta . 424. Resumen. 425 . Siries de potencias. 428. La serie binmica . 431. Otro tipo de serie de potencias. 433.

CAPITULO XX

Desarrollo de funciones en serie de potencias

Serie de Mac\aurin. 435. Operaciones con series infinitas. 441 . cin e integracin de series de potencias. 445. Deduccin de

Dertva-frmulas


XI! INDICE

aproximadas de la serie de Maclaurin. 448. Seri e de Taylor. 450. Otra forma de la serie de Taylor. 452. Frmulas aproximadas deducidas de la serie de Taylor. 454.

CAPITULO XX I

E cuaciones di f erenci ales ordinarias

Ecuaciones diferen ciales: orden y grado. 458. Soluc io ne s de una ecuacin diferencial. Constantes de integracin. 459 . Verificacin de las soluciones de ecuaciones diferenciales. 460 . Ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado. 462. Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior. 473. Ecuaciones difere nciales lineales de segundo orden con coeficien-tes constantes. 476. Aplicaciones. Ley del inters compues to. 486. Aplica-ciones a problemas de Mec nica. 490 . Ecuaciones diferenciales lineale, de ensimo orden con coeficientes constantes. 496.


CAPITULO XXII

Funciones hiperblicas

S~ no y coseno hiperblicos . 507. Otras funciones hiperblicas . 508. Tabla de valores de senos. cosenos y tangentes hiperblicos . Grficas. 510. Funcio-nes hiperblicas de [} y UJ . 511 . Derivadas. 51 4. R elaciones con la hiprbola equiltera. 514. Funciones hiperblicas inversas. 51 8 . Deri vadas (continua-cin).52!. Lnea telegrfica. 523. Integrales. 526 . Integ rales (conti-nuacin). 529. El g udermaniano. 532. Carta de Mercator. 535. Relaciones entre las funcion es trigonom tricas y las hiperblicas. 538 .

CAPITULO XX III

Deri v adas parciales

Funciones de dos o ms variables. Continuidad. 543. Derivadas par-ciales. 544. Interpretacin geomtrica de las deri vadas parciales. 546. Dife-rencial total. 549. Valor aproximado del incremento total. Errores peque-os. 552. Derivadas totales. R a z o n e s de variacin. 556. Cambio de variables. 558. Derivacin de funciones implcitas. 560. Derivadas de orden superior. 565.

CAPITULO XXIV

Aplicaciones de las derivadas llarciale s

Envolvente de una familia de curvas. 570. La evoluta de una curva dada considerada como la envolvente de sus normales. 575. Ecuaciones de la tangente y del plano normal a una curva alabeada. 577. Longitud de un arco


INDICE XIII

de curva alabeada. 580. Ecuaciones de la normal y del plano tangente a una superficie. 582. Interpretacin geomtrica de la diferencial total. 584. Otra forma de las ecuaciones de la tangente y el plano normal a una curva ala-beada. 587. Teorema del valor medio. 590. Mximos y mnimos de funciones de varias variables. 592. Teorema de Taylor para funciones de dos o m s variables . 598 .

CAPITULO X X V

Integrales mltiples

Integracin parcial y sucesiva. 602. Integral d0ble definida. Interpretacin geomtrica. 603. Valor de una integ ral doble definida extendida a una regin S. 609. Area de una superficie plana como integral doble definida. 6,1 0. Volumen bajo una superficie. 614. Instrucciones para establecer. en la prc-tica. una integral doble . 617. Momento de una superficie y centros de grave-dad. 617 . Teorema de Pappus. 619. Centro de presin de lquidos. 622. Momento de inercia de una superficie. 623. Momento polar de inercia. 627. Coordenadas polares. Area plana. 629. Frmulas que emplean coordenadas polares. 632. Mtodo general para bailar las reas de las superficies cur-vas. 635. Clculo de volmenes por integracin triple. M I. Clculo de volmenes . empleando coordenadas cilndricas . 644.

CAPITULO XXVI

Curvas importantes

Parbola cbica . parbola semicbica. la bruja de Agnesi. cisoide de Diocles. 653. Lemniscata de Bernoulli . concoide de Nicomedes . cicloide ordinaria. cicloide con v rtice en el origen . catenaria. parbola. 654. Astroide. evoluta de la elipse. cardioide. hoja de Descartes . sinusoide y cosinusoide. 65 5. Caracol de Pascal. estrofoide. espiral de Arqumedes. espiral logartmica , espiral hiperblica. lituus. 656, Espiral parablica. curva logartmica. curva exponencial. curva de probabilidad. secantoide. tangentoide. 657. Rosa de tres hojas. rosa de cuatro hojas . ro sa de dos hojas. rosa de ocho hojas. 658. Parbola . hip rbola equiltera . evol vente de crculo . tractriz . 659

CAPITULO X XVII

Tabla de integrales

Algunas formas elementales . 660. Formas r a c ton a I e s q u e contienen a + bu . 660. Formas racionales que contienen a2 + b 2 u 2 661 . Formas que contienen V a + bu. 662. Formas que contienen V u 2 a2 663. For-mas que contienen V a2 - ,,2. 665. Formas que contienen V 2 au u 2 , M 7. Frmulas de reduccin para las integrales binomias. 668 . formas que


XIV INDICE

contienen a + bu cu 2 (e > O), 669. Otras formas algebraicas , 670. For-mas exponenciales y logartmicas, 671. Formas trigonomtricas, 672. Formas de reduccin para integrales trigonomtricas , 674. Funciones trigonomtricas inversas, 675. Funciones hiperblicas , 676.

INDI CE ALFABETICO . . .... 679


GUILLERMO LEIBNIZ


CAPITULO PRIMERO

RESUMEN DE FORMULAS

1. Frmulas de Algebra y de Geometra elementales. Para como-didad del estudiante, en los Artculos 1 a 4 damos un resumen de f()rmulas elementales. Empezaremos por las relativas al Algebra.

(1) Resolucin de la ecuacin de segundo grado AX2 + Ex + C = O.

1. Factorizando: Se descompone AX2 + Bx + C en factores, se iguala cada factor a cero y se resuelven las ecuaciones que resultan, con respecto a x.

2. Completando el cuadrado: Se transpone C al segundo miem-bro, se divide la ecuacin por el coeficiente de x 2 , se aade a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x y Re extrae la raz cuadrada.

;~ . Empleando la frmula

x= -B v B2 - 4 AC

2A

Carcter de las races. La expresin B 2 - 4 AC, que aparece en la frmula debajo del signo radical, se llama discriminante de la ecuacin. Las dos races son reales y desiguales, reales e iguales, o imaginarias, segn que el discriminante sea positivo, cero o negativo.

(2) Logaritmos.

log ab = log a + log b . a log b = log a - log b .

log a" = n log a. . " / - 1 log v a = - log a.

n

log 1 = O .

loga a = 1.


4 CALCULO DIFERENCIAL

(3) Frmula del binomio de Newton (siendo n un nmero enteropositivo) .

n(n -1)(a + b)" = a" + nan-1b + a,,-2 b2+I~

+ n (n-ti (n - 2) a,,-3 b3++ n(n -1) (n - 2) ... (n - r + 2) an-J'+1br-1 +

I r - 1(4) Factoral de un nmero,

n!=I~=1234 ... (n-l)n.

En las siguientes frmulas de la Geometra elemental, r o R repre-senta el radio, a la altura, B el rea de la base y s el lado o alturainclinada.

(5) Crculo. Longitud de la circunferencia = 2n:r. Area = n:r2(6) Sector circular. Area = Yz r2a, siendo a = ngulo central del

sector, medido en radianes .(7) Prisma. Volumen = Ba.(8) Pirmide. Volumen = HBa.(9) Cilindro circular recto. Volumen= n:r2a. Area lateral =2 n:ra.

Area total = 2 n:r(r + a).(10) Cono circular recto. Volumen =}~ m2a. Area lateral = nrs .

Area total = n:r(r + s).(11) Esfera. Volumen = j( n:r3. Area = 4 n:r2.

(12) Tronco de conocircular recto. Volumen = % n:a (R2 +1'2+Rr) .Area lateral = ns (R + r) .

2. Frmulas de Trigonometra plana. Son de uso frecuente mu-chas de las siguietes frmulas.

(1) Medida de ngulos. Hay dos mtodos generalmente usadospara medir ngulos; es decir, hay dos sistemas de unidades angulares.

Medida en grados. En este sistema el ngulo unidad es %60 de unarevolucin completa y se llama grado.

Medida circular. En est sistema el ngulo unidad es el que sub-tiende un arco de longitud igual al radio del arco, y se llama radin.

La ecuacin que da la relacin entre los dos ngulos unidad es180 grados = ]( radianes (n: = 3,14159 ... ) ,

RESUMEN DE F'

de donde: 1 grado = ~= O01'180 '

1 radin = 180 = 57 2'n: '

De dicha definicin tenemos

N mero de radianes en un ngnl

Estas ecuaciones permiten pasar de

(2) Relaciones entre las funciones1ctg x = --' sec x = -

tg x ' csen x eT,g x = --' ctg x = -cos x ' s

sen" x + cos" X = 1; 1+ tg2 X =(3) Frmulas para reducir ngulo:

Angulo Seno Coseno Tangente

-x - sen x cos x - tg x900-x cos x sen x ctg x90+ x cos x - sen x - ctg x180- x se n x - cos x - tg x180+ x - sen x - cos x tg x2700-x - cos x - sen x ctg x270+ x - cos x se n x - ctg x360_ x - sen x cos x - tg x

(4) Funciones trigonomtricas de

sen (x+ y) = sen z COEsen (x - y) = sen x coscos (x + y) = cosz coscos (x - y) = cos x cos

tg (x + ) = tg x + tg Y tiY. l-tgxtgy'

(5) Funciones trigonomtricas de~n2x=2~nxoosx;oos2x=oo~

x /1- C.os x z !1sen2= \j 2 ; cos'2= \j-

sen2 x ;:; Yz - Yz cos 2 x i co


un nmero entero

1l-r+lbl'-1 + ....

tal, r o R repre-el lado o altura

nr , Area = n:r2ngulo central del

ea lateral= 2 xra .

rea lateral = nrs ,

so frecuente mu-

eralmente usados.dades angulares.dad es 7~60 de una

ad es el que sub-se llama radin.

ngulos unidad es. . ) ,

RESUMEN DE FORMULAS

de donde: 1 grado = I~O= 0,0174 radianes :

1 radin = 180 = 57 ,29 gradosJt

De dicha definicin tenemosN ' d d' , l arco correspondienteumero e ra wnes en un anqu. u = radio

Estas ecuaciones permiten pasar de una medida a la otra.

(2) Relaciones entre las funciones trigonomtricas.1 1 1ctg x = --' sec x = --' csc x = -- .tg x ' cos x ' sen z '

sen x cos zT.gX = --' ctg x = -- .cos x ' sen x

sen" z + cos" X = 1; 1+ tg2 X = sec" x; 1+ ctg" X = ese" x.(3) Frmulas para reducir ngulos.

IAnzulo Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

-x - sen x eos x - tg x - etg x see x -ese x900-x eos x sen x etg x tg x ese x see x90+ x cos x - sen x - etg x - tg x - ese x see x180- x sen x - eos x - tg x - etg X - see x ese x1800+x - sen x - eos x tg x etg x - see x - ese x270- x - eos x - sen x etg x tg x - ese x - see x270+ x - eos x sen x - etg x - tg x ese x - sec x360- x - sen x eos x - tg x -etg x sec x - cs~ .A

i

(4) Funciones trigonomtricas de (x + yJ y (x - y).sen (x + y) = sen z cos y + cos x sen y .sen (x - y) = sen x cos y - cos x sen y.cos (x + y) = cos x cos y - sen x sen y.cos (z - y) = cos x cos y + sen x sen y.

tg (x + ) = tg x + tg Y . t (x _ ) = tg x - tg Yy, l-tgxtgy g. y l+tgxtgy'

(5) Funciones trigonomtricas de 2 x y de Y2 x.2tg x

sen 2 x = 2 sen x cos x; cos 2 x = cos" X - sen2 x; tg 2 x = 1-tg2 X .x /1 - c.osx x /1 + cos x t z /1 - cos x

sen2= '\j 2 ; cos2= '\j 2 ; g2= '\j 1+ cos x'sen" x = Y2 - Y2 cos 2 x i cos? X = ~:!+ .Y:! 00S 2 x .

5



(6) Transformacin de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos.

sen x + sen y = 2 sen ~ (x + y) cos ~ (x - y) . sen x - sen y = 2 cos ~ (x + y) sen Yz (x - y). cos x + cos y = 2 cos Yz (x + y) cos Yz (x - yj. cos x - cos y = - 2 lOen Yz (x + y) sen Yz (x - y).

(7) Relaciones en un tringulo cualquiera.

Ley de los senos.

Ley de los cosenos. Frmulas para el rea.

a b e sen A = sen B = sen C .

a2 = b2 + c2 - 2 be cos A . K = Yz be sen A . K = Yz a2 sen B sen C

sen (B+C) K = ,/ ses - a) (s - b) (s - e) , siendo s = Yz (a + b + e).

3. Frmulas de Geometra ana!Hica plana. Las frmulas ms importantes son las siguientes:

(l) Distancia entre dos puntos Pl (Xl, yd y P2{X2, Y2). d = y' (Xl - X2)2+ (y - Y2)2 .

Pendiente de P l P2 . m = Jll - y2 Xl - X2

Coordenadas del punto medio.

x = Yz (Xl + X2), y = Yz (Yl + Y2) . (2) Angulo de dos rectas en funcin de sus pendientes.

tg () = ml - m2 . 1 +ml m2

(Si las rectas son paralelas es ml = m2; si las rectas son perpen-diculares es ml m2 = - 1 . )

(3) Ecuaciones de la lnea recta. En funcin de uno de sus puntos y de la pendiente.

y - yl = m (x - Xl) En funcin de la pendiente y de la ordenada en el origen.

y=mx+b.


RESUMEN DE FORMULAS

En funcin de dos de sus puntos . y - YI X -Xl

En funcin de los segmentos que determina s()/Yre los ejes

(4) Distancia del punto PI(XJ, y} a la recta Ax + By + e = o. d = AXl + BYI + C .

VA2+ B2

7

(5) Relacior. cos () , y = sen (), = V x2 + y2 , (6) Ecuacin de la circunferencia.

Centro (h, k). (7) Ecuaciones de la parbola.

Con vrtice en el origen. y2 = 2 px, foco (Y2 P., O) . x2 = 2 py, foco (O, Y2 p) .

Con vrtice en (h, k) .

() = are tg]L X

(y - k)2 = 2 p (x - h), eje y = k . (X - h)2 = 2p(y-k), ejex = h.

Con eje en el eje de las y. y = AX2 + c. (8) Ecuaciones de otras curvas. Elipse con centro en el on'gen y focos en el eje de las x .

X2 y2 ~+b2 = 1. (a>b).

Hiprbola con centro en el origen y focos en el eje de las x .

Hiprbola equiltera con centro en el origen y los ejes de coordenada~ como asntotas .

xy = C.

Vase tambin el Capitulo XXVI



4. Frmulas de Geometra analtica del espacio. He aqu algunas de las frmulas ms importantes.

(1) Distancia entre PI (Xl, gl, Zl) y P'1 (X2, g2, Z2). d = V (Xl - X2)2 + (YI - Y2) 2 + (Zl - Z2)2 .

(2) Lnea recta. Cosenos directores: co~ u, cos (:\, cos y. N lImeros directores: a, b, c.

Entonces cos (( cos [1 cos y -a- = --b - = -c--

cos2 a + cos2 (3 + cos2 y = l. a

cos a = - , , / a2 + b2 + c2

b cos ~ = ,

,/ a2 + b2 + ,.2 c

cos y = --:=~=== V a2 + b2 + c2

Para la recta que une los puntos (Xl, yl, Zl ) y (X2, y2, Z2), se tiene:

cos a X2 - Xl

(3) Angulo de dos rectas.

cos ~ y2 - yl

ros y Z2 - ZI

Cosenos directores: cos a, cos ~, cos y; cos a', cos W, cos y' . N illeros directores: a, b, c; a', b

' , c'.

Si 8 = ngulo de las dos rectas, se tiene: eos 8 = cos a cos a' + cos ~ cos W + cos y cos y' ,

aa' + bb

' + cc' cos 8 = ----;-==~~~..:....:...:=====:=====. V a2 + b2 + c2 V a/2 + b'2 + C/2

Rectas paralelas .

Rectas perpendiculares. aa' + bb' + cc' = O.

(4) Ecuaciones de la recta que pasa por el punto (Xl, gl, Zl), y sus nmeros directores son a, b, c.

x - Xl Y - Yl Z - Zl ---a-=--b--= --c-


RESUMEN DE FORMULAS 9

(5) Ecuacin del plano. En el plano Ax + By + Cz + D = O, los cueficientes A, B, C sun los nmeros directores de la recta perpen-dicular al plano.

Ecuacin de un plano que pasa por el punto (Xl, Yl, z) y es per-pendicular a la recta que tiene los nmeros directores A, B, c.

A (x - x) + B (y - Yl) + C (z - z) = O. (6) Angulo de dos planos. Ecuaciones: Ax + By + Cz + 1J = O.

A'x + B'y + C'z + D' = O. Nmeros directores de la recta de interseccin:

BC'- CB', CA'-AC', AB'- BA'. ~i () es el ngulo de los dos planos, se tiene:

cos () = --;-==~A=A='=+~B:..:B=-:-=' =+===,C=,C='====-.... / A 2 + B2 + C2 V A,2 + B,2 + C/2 .

(7) Coordenadas cilndricas. La distancia z (fig. 1) de un punto p (x, y, z) al plano XY y las coordenadas polares (Q, ()), de que forma OP con el eje de las z y el ngulo () que forma la proyeccin de OP sobre el plano XY con el eje de las x, se llaman coordenadas esfricas de P. El ngulo cf> se llama



la colatitud y (j la longitud. Las coordenadas esfricas de P se escriben(1-, cf>, 8).

Si x, y, z son las coordenadas rectangulares de P, entonces, delas definiciones y de la figura, tenemos:

x = r sen cf> eos 8 , y = r sen cf> sen 8 ,

8 = are tg JL,x

z = r cos ,~---c

V x2 + y2cf> = arc tg .z

5. Alfabeto griego. CAPITU

LETRAS NOMBRES LETRAS NOMBHES LETRAS NOMBRESA a Alfa I lota l' Ro/1 (i Beta J{ Kapa \" rr SigrnaKr r Gama A ,\ Lambda t :- TauLl o Delta M p. Mi o mu r u IpsilonE Epsilon N ~ Ni o nu 1/1 l' FiZ t Dseta o zeta E , Xi X 1. Ji o kiH YJ Eta O o Omieron '1' ~" Psie o Teta H t: Pi !! w Omega

VARIABLES, FUNCII

6. Variables y constantes. Unse le puede asignar, durante el CUTnmero ilimitado de valores. Las valas ltimas letras del alfabeto

Una cantidad que durante el cursse llama constante.

Constantes numricas o absolutasvalores en todos los problemas, corr

Constantes arbitrarias, o parmetroasignar valores numricos, y que desos valores asignados. Usualmenteletras del alfabeto.

As. en la ecuacin de la recta,

~+JL.a b

x y y son las coordenadas variables dlnea, mientras que a y b son las consla abscisa en el origen y la ordenada Eque son valores definidos para cada rE

El valor numrico (o absoluto) de ude su valor algebraico , se representa 1smbolo Ia I se lee "valor numrico d

7. Intervalo de una variable. Aa una porcin del sistema de nmerosgir nuestra variable de manera que todidos entre a y b. Tambin puede SE


AL

sfricas de P se escriben

res de P, entonces, de

z = r cos cf> ; ---vi x2 + y2cp = arc t.g .

z

LETRAS NOMBRESr Ro\" rr Sigmar :- Taur u Ipsilonp l' FiX 1 Ji o ki'r ~" Psi~l w Omega

CAPITULO II

VARIABLES, FUNCIONES y LIMITES

6. Variables y constantes. Una variable es una cantidad a la quese le puede asignar, durante el curso de un proceso de anlisis, unnmero ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente porlas ltimas letras del alfabeto

Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijose llama constante.

Constantes numricas o absolutas son las que conservan los mismosvalores en todos los problemas, como 2, 5, "";7, cr , etc.

Constantes arbitrarias, o parmetros, son aquellas a las que se puedenasignar valores numricos, y que durante todo el proceso conservanesos valores asignados. Usualmente se representan por las primerasletras del alfabeto.

As. en la ecuacin de la recta,

x y-+-= 1a b 'x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre lalnea , mientras que a y b son las constantes arbitrarias que representanla abscisa en el origen y la ordenada en el origen, las cuales se suponeque son valores definidos para cada recta.

El valor numrico (o absoluto) de una constante a, para diferenciarlode su valor algebraico , se representa por 1al. As, 1- 21= 2 = 121. Elsmbolo 1 a I se lee "valor numrico de a" o "valor absoluto de a' , .

7. Intervalo de una variable. A menudo nos limitamos solamentea una porcin del sistema de nmeros. Por ejemplo, podemos restru-gir nuestra variable de manera que tome nicamente valores compren-didos entre a y b. Tambin puede ser que a y b sean incluidos o que



uno () ambos sean excludos. Emplearemos el smbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los nmeros a y b y todos los nme-ros comprendidos entre ellos, a menos que se diga explcitamente otra cosa . Este smbolo [ a, b] se lee "intervalo de a a b' , .

8. Variacin continua,. Se dice que una variable a vara de una manera continua en un intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores

o---------

VARIABLES. FUNCIONES y LIMITES 13

Frecuentemente, cuando se consideran dos variables ligadas entre s, queda a nuestro arbitrio el elegir a una de ellas como variable inde-pendiente; pero una vez hecha esta eleccin, no es permitido cambiar de variable independiente sin tomar ciertas precauciones y hacer laE transformaciones pertinentes. El rea de un cuadrado, por ejemplo, es una funcin de la longitud del lado , y, recprocamente, la longitud del lado es una funcin del rea.

11. Notacin de funciones. El smbolo f(x) se emplea para desig-nar una funcin de x, y se lee f de x . Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se carp.bia la letra inicial, como en F (x), 4> (x) , J' (x), etc.

Durante todo el curso de un proceso, un mismo smbolo de funcio-nalidad indicar una misma ley de dependencia entre una funcin y su variable. En los casos ms simples, esta ley expresa la ejecucin de un conjunto de operaciones analticas con la variable . Por consiguiente, en un caso de esta clase el mismo smbolo de funcin indicar la misma operacin, o conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores de la variable. As, por ejemplo, si

f(x) = X2 - 9 x + 14, entonces,

f ( ?I) = y2 - 9 Y + 14 ; f(b+1)= (b+1) 2- 9(b + 1)+14=b2 -7b + G

f( O) = 02 - 9 0 + 14 = 14, f( - 1) = (_1)2 - 9 ( - 1) + 14 = 24,

f(3) =32 - 9. 3 + 14= - 4 .

12. La divisin por cero, excluida. El cociente de dos nmeros a y b es un nmero x tal que a = bx. Evidentemente, con esta defini-cin la divisin por cero queda excluda. En efecto, si b = O , Y recor-dando que cero tomado cualquier nmero de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = O. Si a = O, entonces x puede ser cualquier nmero. Por lo tanto, las expresiones que se presentan en una de las formas

a O O' O I

carecen de sentido por no ser posible la divisin por cero.


14 CALC ULO DIFERENCIAL

Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero. La siguiente paradoja es un ejemplo .

Supongamos que a = b. ab = a2 Entonces, evidentemente,

Restando b2 , Descomponiendo en factores, Dividiendo por a -/ ,

ab - b2 = a~ - b~ . h(a- b) = (a+b) (a- /; ) .

b=a+b. Pero, a = b;

luego, o ~ea que

b = 2 b, 1 = 2 .

E l resultado absurdo proviene de haber dividido por a - b = O.

PROBLEMAS

1. Dado f (x) = x a - 5 X2 - 4 x + 20 , d emostrar qu e f ( I )=12, f(5)=0, ( 0) = - 2(3), (7)=5( -1 ).

2 . S i {(x)=4-2 x2+x, calcular (O), f( I ), f( - I), (2), (-2) 3 . Si F (e) = sen 2 e + cos e, hallar F (O), F ( Yz n), F (n). 4. Dado f (x) = x 3 - 5 X2 - 4 x + 20, demostrar que

f(t+I)=t3 - 2r 2 -11 t+ 12. 5. Dado f (y) = y2 - 2 y + 6, demos trar 'q U C

f (y + h) = y2 - 2 y + 6 + 2 (y - 1) h + !-J2. n. 0 .1

VARIABLES . FUNCIONES Y LIMITES 15

13. Grfia de una funcin; continuidad. Consideremos la funcin x2 y hagamos

(1) Y = Xl.

Esta relacin da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unvocamente a y para todos los valores de la variable inde-pendiente. El lugar geomtrico de (1) es una parbola (fig. 4) Y se llama la grfica de la funcin X2. Si x vara continuamente (Art. 8) desde x = a hasta x = b, entonces y variar continuamente desde y = a2 ha"ta y = b2 , Y el punto P (x, y) se mover continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2 ) hasta (b, b2 ). Adems, a y b pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que , 'In. funcin X2 es continua para todos los valores de x".

Fig.4 Fig. 5

1 Consideremos ahora la funcin Hagamos x

(2) 1 Y = -X' EflL p.cuacn da un valor de y para cada valor de x, con p.xcep-

ci{m de x = O (Art.. 12) ; para x = O la funcin no est definida. La grfica (fig. 5), que es el lugar geomtrico de (2), es una hipr-bola equiltera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalo la, bl que no incluya x = O, entonces y decrecer continuamente dp.sde ~ hasta ~ , y el punto P (x, y) describir la curva entre los puntos correspondientes ( a, ~), (b, ~ ). En este caso decimos quc "la funcin 1- es continua para todos los valores de x con excep-

x

cin de x = O' '. No existe en la grfica un punto correspondiente a x = O.

Estos ejemplos ilustran el concepto de continuidad de una funcin. Una definicin se dar en el Artculo 17.



14. Lmite de una variable. La nocin de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, en la Geometra elemental, al establecer o deducir la frmula que da el rea del crculo. Se considera el rea de un polgono regular inscrito con un nmero n cualquiera de lados, y se supone, despus, que n crece infinitamente. El rea variable tiende as haca un limite, y este lmite se define como rea del crculo . En este caso, la variable v (rea) aumenta indefinida-mente, y la diferencia a - v (siendo a el rea del crculo) va disminu-yendo hasta que, finalmente, llega a ser menor que cualquier nmero positivo escogido de antemano, sin importar lo pequeo que ste se haya elegido.

El concepto de lmite se precisa mediante la siguiente

DEFINICIN. Se dice que la variable v tiende a la constante l como lmite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor num-rico de la diferencia v - l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier nmero positivo predeterminado tan pequeo como se quiera.

La relacin as definida se escribe lim v = l. Por conveniencia, nos serviremos de la notacin v -7 l, que se leer "v tiende hacia el lmite l" o, ms brevemente, "v tiende al". (Algunos autores usan la notacin v -:"l . )

EJEMPLO. Si u toma la sucesin infinita de va lores

es evidente que u -72 al crecer n . es decir . lim u = 2.

Si sobre una lnea recta, como en el Artculo 8, se seala el punto L que corresponde al limite l, y se coloca a ambos lados de L la longitud E, sin importar lo pequeo que ste sea, entonces se observar que los puntos determinados por v caern todos, finalmente, dentro del seg-mento que corresponde al intervalo [l - E. l + E ] .

15. Lmite de una funcin. En las aplicaciones de la definicin de lmite, se presentan usualmente casos como el siguiente: se tiene una variable v y una funcin dada z de v, y se supone que la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende tambin a un limite. Si efectivamente existe una constante a tal que lm z = a, entonces se expresa est.a relacin escribiendo

lmz=a, V-71

y se leer: "el lmite de z. cuando v tiende a l, es a . ' ,


VARIABLES . FUNC IO NES Y LIMITES 17

16. Teoremas sobre lmites. En el clculo del lmite de una fun-cin tienen aplicacin los teoremas siguientes. Las demostraciones se darn en el Artculo 20 .

Supongamos que u, v y w sean funciones de una variable x y que lm u = A, lm v = B, lm w = c. ",~a ",~a x~a

Entonees son ciertas las siguientes relaciones. (1)

(2)

(3)

lm (u + v- w) = A + B - C. x~a

lm (uvw) = ABC. x~a

1, u A . B 1m - = -, SI no es cero. x~a V B En breves palabras: el lmite de una suma algebraica, de un producto

o de un cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al pro-ducto o al cociente de los lmites respectivos, con tal de que, en el ltimo caso, el lmite del divisor no sea cero.

Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de lo anterior se deduce:

(4 ) Hm (u + c) = A + c, lm cu = cA , lm ~ = ~. x~a x~a x~" V B Consideremos algunos ejemplos.

1. Demostrar q ue l i m (x 2 + 4 x) = 12. x~2

Demostracin. La f uncin dada es la suma de X2 y 4 x. En primer lugar hallaremos lo s li mites de estas dos funciones.

Seg n (2).

Seg n (4).

lim X2 = 4. p uesto q ue xc = xx. x~2 lim 4x=4 lim x = 8. :t ~ 2 x~2

Luego. seg n (1). el limite bu scado es 4 + 8 = 12.

2. "Demostrar q ue l im Z2 - 9 = _ 2.. z~2 z +2 4

Demostracin. Co nside rand o el num erador. lim (Z2 - 9) = - 5. segn 2~2

(2) Y (4). E n cuanto al denominador . li m (z + 2) = 4 . Lu ego. de (3). 2~~

tenemos el resultado buscado.

17. Funciones continuas y discontinuas. En el ejemplo 1 del Artculo 16 , donde se demostr que

lm (X2 + 4 x) 12, x-;'2



observamos que la solucin es el valor de la funcin para x = 2 ; es decir, el valor lmite de la funcin cuando x tiende a 2 es igual al valor de la funcin para x = 2. En este caso decimcs que la funcin es continua para x = 2. La definicin general es la siguiente:

DEFINICIN. Se dice que una funcin f(x) es continua para x = a si el lmite de la funcin, cuando x tiende a a, es igual al valor de la funcin para x = a. En smbolos, si

lm (x) = (a), X-7a

entonces f (x) es continua para x = a. Se dice que la funcin es discontinua para x = a si no se satisface

esta condicin. Llamamos la atencin de los dos casos siguientes, que se presentan

frecuentemente.

CASO l. Como ejemplo sencillo de una funcin que es continua para un valor particular de la variable, consideremos la. funcin

X2 - 4 f(x) = - -o x - 2

Para x = 1, f e x) = fe 1) = 3. Adems, si x tiende al, la fun-cin f(x) tiende a. 3 como lmite (Art. 16). Luego la funcin es continua para x = 1 .

CASO n. La definicin de funcin continua supone que la funcin est definida para x = a . Sin embargo, si este no es el caso, a veces es posible asignar a la funcin tal valor para x = a que la condicin de continuidad se satisfaga. En estos casos se aplica el siguiente teorema:

Teorema. Si f (x) no est definida para x = a, pero lm (x) = B,

X-7 a entonces fex) ser-continua para x = a, si se toma como valor de f ( x) para x = a el valor B.

As, por ejemplo, la funcin X2 - 4 x-2

no est definida para x = 2 (puesto que entonces habra divisin por cero ) . Pero para todo otro valor de x

x~ - 4 x_2=x-l-2;


y

luego,

VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITE S

lm (x + 2) = 4; :

2U CALCULO DIFERENCIAL

Segn el Artculo 17 , es evidente que si

lm f(x) = 00 , x -,)a

0S dccir, si f (x) se hace infinita cuando x tiende a a, entoncc;; f (x) es discontinua para x = a .

Una funcin puede tender hacia un lmi te cuando la. variable inde-pendien te se hacc infinit.a . Por ejemplo,

lm ~ = o. x-,)oo X

En general, si f (x) tiende al valor constante A como lmite cuando x-,) 00 , empleamos la notacin del Artculo 17 y escribimos

lm f(x) = A . x -,)"-

Ciertof' lmite:;: particulares que se presentan frecuentemente se dan a continuacin. La constante e no es cero.

Escrito en forma de lmites Forma abreuiada. fr ec u ent emente usada

(1 ) lm .!:... = e 00 00 ,'-,)0 v O

(2) lm '/"-,)00

cv = 00 c 00 00

(3 ) lm ...!!... = 00 00 00 ,.-,)", e e

(4 ) lm .!:... = O. .!:... = O. /"-,) 00 V 00

Estos lmites particulares Ron t.ilef' pa ra hallar el lmite del cociente de dof' polinomios cuando la variable se hace infinita . E l siguif'nte ejemplo ilustrar el mtodo .

EJEMPLO IL USTR ATIVO. D emostrar que lm 2 x3

- 3 XZ + 4 = _ ~. x-,) 00 5 x - X2 - 7 x 3 7

Demostracin. Di v danse el numerador y el denominador por x 3 que es la mayor ' potencia de x que entra en la fraccin . Entonces tenemos:

lm 2 x 3 - 3 X2 + 4 ",-,) oC 5 x - X2 - 7 x 3

2-2. -I- ' = l m x ' x 3

x-,)oo2. _ ~_7 X2 x

El l mite de cada trmino que contiene a x. tanto en el numerador como en el denominador del segundo miembro. es cero. de acuerdo con (4). Por consi-gui ente. se obtiene la solucin aplicando las frmulas (1) y (3 ) del Artculo 16. En cualquier caso anlogo se procede . por lo tanto. como sigue:

Se diuiden numerador y d enominador por la mayor potencia de la uariable que entre en la fracci n.


nte se dan

VARIABLES. FUNCIONES Y LIMITES 21

Si u y v son funciones de x, y

lm u = A,"'-7a

lrn v = O,"'-7 u

r" f (x) esy A no es igual a cero, entonces

uble inde-lm ~ = 00"'-7a v

Esta frmula resuelve el caso excepcional de (3), del Artculo 16 Icuanclo B = O Y A no es cero. Vase tambin el Artculo 20.

mo lmit.eescribimos

PROBLEMAS

Demostrar cada una de las siguientes igualdades:

mente usada Demostracin.

2. - 25-2x2 x2

lm = lm --oX-7",,3x+5x2 x-7",,1.+5

x

[Dividiendo numerador y denominador por X2.]

el cociente1 siguiente

El lmite de cada trmino conteniendo a x. en el numerador y en el denomi-nador. es cero. de acuerdo con (4). Aplicando (1) y (3) del Artculo 16 seobtiene la solucin.

=-~7

2. lm 4x+5 =2. 7. lm ax' + b x? + e = O.%-700 2 x + 3 X-7'" d x? + ex3 + fx

3. lm 4 (2 + 3 (+ 2 1 8. lm ax' + b x? + e = oo.t-70 (3 +2 t r-: 6 T X-7oo dx3+ex2+fx+g

4. lm x2h + 3 xh? + h3 X 9. lm s'-a4=2a2.

/1.-70- 2 xh + 5 h2 -1' 8-7a,S2 - a2

' 5. lm 6 x3 - 5 x2 + 3 = 3. 10. lm x2 + x - 6 = 2.. .

%-700 2 x3 + 4 x - 7 ",-72 x2 - 4 4

6. lm (2 z + 3 k) 3 - 4 k2z =1. 11. lm 4 y2 - 3 = O.k-70 2 z (2 z - k) 2 -7002y3+3y2

r x3 que es

r como en elPor consi-

Artculo 16.

12. l m 3 h + 2 xh2 + x2h3 = __ 1_"-7'" 4-3xh-2x3h3 2x

e la variable

13. l m aox" + ax"b-l + '" +an e o:


(n = nmero entero y posit ivo . )

. V x + h - ,/~ I 16 . 11m =--

h---70 h 2 V~

Demostracin. No se p ued e hallar el limite su st itu ye nd o h = O, porque se obtiene la fo rma indeterminad a ~ (A rt. 12). P or esta ra z n hay que trans-

O fo rmar la exp resin d e una m a nera convenie nte, como se indica abajo, a saber, rac io nali za nd o el num era dor.

V x + h - V-; V x + h + V-; X _ h ~+vx

P or tanto , . V x+ h - V-; 11m = lim ---

h---7 0 h 11---70 Vrl-h + V-; 2V-; 17. Dado f(x) = x 2 , demostrar que

lim r(x+h)--f(x~ =2 x . h---7 0 h

18. Dado f (x ) = ax 2 + bx + c. demostrar que

lm f(x+h ) - f(x) = 2ax+b. h---70 h

19. Dddo f (x) = ~ d emostrar q ue x

m f(x+h)-f(x) h---70 ' h -;z .

20. Si f (x) = x 3 , hallar lm f(x +h ) - f(x)

h---70 h

19. Infinitsimos. Una variable v que tiende a cero se llama un infi:nitsimo. Simblicamente se escribe (Art. 14)

lm v = O o v ---7 O ,

Y quiere decir que el valor numrico de v llega a ser, y permanece, menor que cualquier nmero positivo asignado de antemano, por pequeo que sea.

Si lm v = l, entonces lm (v - l) = O; es decir, la diferencia entre una variable y su lmite es un infinitsimo .

Recprocamente, si la diferencia entre una variable y una constante es un infinitsimo, entonces la constante es el limite de la variable .


VARIABLES, FUNCIONES y LIMITES 23

20. Teoremas relativos a infinitsimos y lmites. En las siguientes consideraciones todas las variables se suponen funciones de la misma variable independiente, y, adems, que tienden a sus lmites respec-tivos cuando esta variable tiende a un valor fijo a . La constante E es un nraero positivo asignado de antemano, tn,n pequeo como se quiera, pero no cero.

En primer lugar demostraremos cuatro teoremas sobre infinitsimos.

1 . La suma algebraica de n infinitsimos, siendo n un nmero finito, es otro infinitsimo.

En efecto, el valor numrico de la suma llegar a ser, y permane-cer, menor que E cuando el valor numrico de cada infini tsimo llega

E a ser, y permanece, menor que n .

II . El producto de una constante c por un infinitsimo es otro infi-nitsimo.

EH efecto , el valor numrico del producto ser menor que E cuando

el valor numrico del infinitsimo sea menor que I~I . III . El producto de un nmero finito n de infinitsimos es otro

infinitsimo. En efecto, el valor numrico del producto llegar a ser, y perma-

necer, menor que E cuando el valor numrico de cada infinitsimo llega a ser, y perma.nece, menor aue la raz n de E .

IV. Si lm de v = l Y l no es cero, entonces el cociente de un 1:nfini-tsimo i dividido por v es tambin un infinitsimo.

En efecto, podemos elegir un nmero positivo c , numricamente menor que l, tal que el valor numrico de v llega a ser, y perma-nece, mayor que c, y tambin tal que el valor numrico de i llega a ser, y permanece, menor que CE. Entonces el valor numrico del cociente llegar a ser, y permanecer, menor que E.

Demostraciones de los teoremas del Artculo 16. Sea

(1 ) u-A=i, v-B=j, w-C=k. Entonces i, j, k son funciones de x, y cada una tiende a cero cuando x -7 a; es decir, son infinitsimos (Art. 19). De las igual-dades (1) obtenemos

(2) u + v - w - (A + B - C) = i + j - k .



El segundo miembro es un infinitsimo ::egn el teorema l. Luego, segn el Artculo 19,

(3 ) lm (u + v - w) = A + B - c. x~a

Segn (1) t.enemos u = A + i, v = B + j. Multiplicando y trans-poniendo AB resulta:

(4) uv - AB = Aj + Bi + ij. Segn los teoremas I a III que hemos demostrado, el segundo miembro es un infinitsimo . Luego,

(5 ) lm uv = AB. x~a

La demostracin se extiende fcilmente al producto uvw. En fin, podemos escribir,

(6 ) u v

A A+ i A Bi - Aj B = B + j - B = B (B + j) .

El numerador es un infinitsimo segn los teoremas I y II. Segn (3) Y (4), lm B (B + j) = B2 . Segn el teorema IV, el segundo miembro de (6) es un infinitsimo y, por lo tanto,

(7 ) lm ~ = .!l. x~a v B Luego las proposiciones del Artculo 16 estn demostradas.


CAPITULO III

DERIVACION

21. Introduccin. En este captulo vamos a investigar cmo vara el valor de una funcin al variar la variable independiente. El proble-ma fundamental del Clculo diferencial es el de establecer con toda precisin una medida de esta variacin. La investigacin de problemas de esta ndole, problemas que trataban de magnitudes que variaban de una manera continua, llev a Newton * al descubrimiento de los prin-cipios fundamentales del Clculo infinitesimal, el instrumento cientfico ms poderoso del matemtico moderno.

22. Incrementos. El incremento de una variable que pasa de un valor numrico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa por el smbo-lo ~x, que se lee "delta x' '. El estudiante no debe leer este smbolo , , delta veces x' ,

Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo, ** segn que la variable aumente o disminuya al cambiar de valor. Asimismo,

~y ~cp ~f(x)

significa incremento de y, significa incremento de cp 1 sig?ifica incremento de f (x), etc.

" El clebre matemtico y fsico ingls Isaac Newton (1642-1727) ha sido uno de los genios ms grandes que han existido. Desarroll la ciencia del Clculo diferencial e integral bajo el nombre de fluxiones. Aunque Newton descubri y emple la nueva ciencia desde 1670, su primera obra publicada que la exhibe est fechada en 1687, teniendo el ttulo " Philosophiae Naturalis Principia Ma-thematica". Esta es la obra principal de Newton. De ella dijo Laplace: " Siempre pe!manecer preeminente sobre todas las otras producciones de 1.1 mente humana."

** Algunos autores al incremento negatilJo le llaman" decremento".



Si en y = f (x) la variable independiente x toma un incremento ~x , entonces ~y indicar el incremento correspondiente de la funcin f (x) (o sea, de la variable dependiente y).

El incremento ~y siempre ha de contarse desde el valor inicial defi-nido de y, que corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de x desde el cual se cuenta el incremento ~x. Por ejemplo, consideremos la funcin

Si tomamos x = 10 como valor in icial de x, est.o fija y = 100 corno valor inicial de y.

Supongamos que x aumenta hasta x = 12, es decir , ~x = 2 ; entonces y aumenta hasta y = 144, y ~y = 44 .

Si se supone que x decrece hasta x = 9, es dec'ir, ~x = -1 ;

entonces y decrece hasta y = 81 , y ~y =-19.

En este ejemplo, y aumenta cuando x aumenta, y y decrece cuan~ do x decrece. Los valores correspondientes de ~x y ~y tienen un mismo signo. Puede acontecer que y decrezca cuando x aumenta, o viceversa; ~x y ~y tendrn entonces signos contrarios.

23. Comparacin de incrementos. Consideremos la funcin

(1 ) . y = X2. Supongamos que x tiene un valor inicial fijo y le damos despus un

incremento ~x . Entonces y tomar un incremento correspondiente ~y, y tendremos:

y + ~y = (x + ~xr, o sea, y + ~y = X2 + 2 x ~x + (~X)2.

Restando (1), Y = X2 (2)

obtenemos el incremento ~y en funcin de x y ~x. Para hallar la razn de los incrementos, basta dividir los dos

miembros de (2) por ~x, y resulta:

~~= 2 x + ~x.


DERIVACION

remento x,funcin f (x)

Si el valor de x es 4, es claro (Art. 16) que

l1ylm - = 8.

6x---;>0 X

Observemos ahora con cuidado, mediante una tabla, cmo secomporta la razn de los incrementos de x y de y cuando el incre-mento de x decrece.

r inicial defi-e fijado de xconsideremos

fija y = 100Valor Valor Incremento Valor Valor \ Incremento 1'1!J

inicial de x final de x 1'1x inicial de !J final de !J 1'1!J 1'1x

4 5.0 1.0 16 25 9 94 4.8 0.8 ; 16 23.04 7.04 8.84 4.6 0.6 16 21. 16 5.16 8.64 4.4 0.4 16 19.36 3.36 8.44 4.2 0.2 16 17.64 1.64 8.24 4.1 0.1 16 16.81 0.81 8.14 4.01 0.01 I 16 16.0801 0.0801 8.01

, ."C = 2;

y = 44.

Esta tabla pone de manifiesto que al decrecer -x tambin dismi-nuye -y, mientras que la razn de los dos incrementos toma losvalores sucesivos 9, 8,8, 8,6, 8,4, 8,2, 8,1, 8,01. Esta sucesin

de '.'al ores nos dice que podemos hacer que el valor de la razn ~~ sea

tan prximo a 8 corno deseemos con slo tornar a -x suficientementepequeo. Luego,

, x = -1;

y=-19.

ecrece cuan-y tienen unaumenta, o

ncin ~lm -...1!.. = 8.6x---;>0 I1x

24. Derivada de una funcin de una variable. La definicin fun-damental del Clculo diferencial es la siguiente:

La derivada * de una funcin es el lmite de la Tazn del incrementode la funcin al incremento de la variable independiente cuando stetiende a cero.

s despus unondiente y,

idir los dos

Cuando el lmite de esta razn existe , se dice que la funcin esderiooble o que tiene derivada.

La definicin puede darse mediante smbolos, en la forma siguiente:Dada la funcin

(1) y =f(x),

consideremos un valor inicial fijo de z .

. Llamada ta mb i n coeficiente diferencial o funcin derivada.

27



Demos a x un incremento ~x; entonces obtenernos para la funcin y un incremento ~y, siendo el valor final de la funcin

(2) y + ~y = f (x + ~x) . Para hallar el incremento de la funcin, restarnos (1) de (2); se

obtiene (3) ~y = f (x + Sx) - f (x) Dividiendo los dos miembros por ~x, incremento de la variable

independiente, resulta:

(4 ) ~y f(x+~x) - f(x) ~x ~x El lmite del segundo miembro cuando ~X-70 es, por definicin,

la derivada de f( x), o sea, segn (1), de y, y se representa por el dy

smbolo dx. Luego, la igualdad

(A) dy = lm (x + ~x) - (x) dx 6 X-70 ~x define la derivada de y ro de f ( x) 1 con respecto a x.

De (4) obtenemos tambin dy _ lm ~y. dx - 6 X-70 ~x

Asimismo , si u es funcin de t, entonces,

du ~u . dt = 6~~0 ~t = derIvada de u con respecto a t. La operacin de hallar la derivada de una funcin se llama derivacin.

25. Smbolos para representar las derivadas. Puesto que l1y y I1x son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresin

es una verdadera fraccin. Pero el smbolo

dy dx

ha de mirarse no como una fraccin, sino como el valor lmite de una f?"ac-cin. En muchos casos veremos que este smbolo s tiene propiedades de


DERIVACION 29

fraccin, y ms adelante demostraremos el significado-que puede atri-

buirse a dy y dx, pero, por ahora, el smbolo ~; ha de considerarse como conjunto.

Puesto que, en general, la derivada de una funcin de x es tambin funcin de x, se emplea tambin el smbolo J' (x) para representar la derivada de j(x). Luego, si

podemos escribir la igualdad y=j(x),

dy = J' (x) dx '

que se lee "la derivada de y con respecto a x es igual a j prima de x" El smbolo

d dx'

considerado por s mismo, se llama operador derivada; indica que toda funcin que se escriba despus de l ha de derivarse con respecto a x. As,

dy d - (1 - y indica la derivada de y con respecto a x; dx dx

ix f (x) indica la derivada de j (x) con respecto a x;

d~ (2 x2+5) indica la derivada de 2 x2+5 con respecto a x. El smbolo y es una forma abreviada de ~~ .

d El smbolo Dx se emplea por algunos autores en lugar de dx Llle-go, si

y=j(x), podem-os escribir las identidades

dy d d y' = - = -y =- j(x) = Dxj(x) = j'(X). dx dx dx Debe hacerse hincapi en esto: en el paso esencial de hacer que t1x~O, la variable es t1x y no x. El valor de x se supone fijo desde el principio. Para hacer resaltar que x = Xo desde el principio hasta el fin, podemos escribir:

J' (xo) = Hm j(xo + t1x) - j(Xo) 6x~O t1x



26. Funciones derivables. De la teora de los lmites se deduce que si existe la derivada de una funcin para cierto valor de la variable independiente, la funcin misma debe ser continua para aquel valor de la variable.

Sin embargo, la recproca no es siempre cierta: se han descubierto funciones que son continuas y, a pesar de eso, no t ienen derivada. Pero tales funciones no son frecuentes en las Matemticas aplicadas, yen este libro se consideran solamente las funciones derivables, es decir, las funciones que tienen derivada para todos los valores de la variable independiente, con excepcin, a lo ms, de valores aislados.

27. Regla general para la derivacin. derivada se puede ver que el procedimiento y = f (x) comprende los siguientes pasos:

Segn la definicin de para derivar una funcin

REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIN

PRIMER PASO. Se sustituye en la funcin x por x + !::..x, y se calcula el nuevo valor de la funcin y + /1y .

SEGUNDO PASO . Se resta el valor dado de la funcin del nuevo valor y se obtiene /1y ( incremento de la funcin ) .

TEIWEH PASO. Se divide /1y ( incremento de la funcin ) por /1x (1:ncremento de la variable independiente) .

CUARTO PASO. Be calcula el lmite de este cociente cuando llx ( incremento de la variable independiente) t'iende a cero. El lmite as hn'uado es la den:vada buscada .

El estudiante debe familiarizarse con esta regla, aplicando el pro-cedimiento a muchos ejemplos . La resolucin detallada de tres de estos ejemplos se da a continuacin. Ntese que los teoremas del Artculo 16 se emplean en el cuarto paso, mantenindose x constante .

EJEMPLO 1. Hal lar la derivada de la f un cin 3 X2 + 5.

Resolucin. Ap l icando los pasos s ucesi vos de la regla ge neral, obtenemos, despus de h acer

y = 3 X2 + 5,

Pri mer paso. y + Ay = 3 (x + 1'1 x ) 2 + 5 = 3 X2 + 6 x 1'1 x + 3 (1'1 x ) 2 + 5,

Segundo paso. y + l'1y = 3 x2+6 x.l'1x+ 3 (l'1x) 2 + 5 y - 3 X2 + 5

1'1 y = 6x'l'1x+3(X)2


Tercer paso.

Cuarto paso.

o bien,

EJEMPLO 2.

DERIVACION

11/j = 6 x + 3.l1x . I1x

31

En el segundo m iembro haga m os I1x----;'O. Seg n CA) re-sul ta :

d/j = 6 x . dx

/j' = ~ (3 X2 + 5)'-~ 6 x. dx

Hallar la der i vada de x 3 - 2 x + 7 . Resol ucin. Hagamos /j = x 3 - 2 x + 7. Primer paso.

Segundo paso.

Tercer paso.

Cuart o paso.

o bi e n ,

EJEM PLO 3.

Resol ucin.

Primer paso .

Segundo paso .

Tercer paso.

Cuarto paso.

/j + 11/j = (x + I1x) 3 - 2 (x + I1x) + 7 = x 3+3 X2 'l1x+3 x. ( l1x ) 2 + (l1x) 3- 2 x-2 .l1x+ 7.

/j + 11/j = x 3 +3 X2 .l1x+ 3 x. (l1x) 2+ (l1x) 3-2 x - 2.l1x+7 /j = x 3 - 2 x +7

11/j =

11/j =3 x 2+3 x.l1x+(l1x)2-2. I1x

- 2l1x

En el se g undo mi em bro hagam os I1x----;'O. Segn (A) ten -dremos:

'.!J=3x 2 - 2. dx y' = ~ ( x 3 - 2 x + 7) = 3 X2 - 2 .

dx

Ha l lar la deri vada d e la funcin c ? Hagamos y = -~ .

X2

/j + l1y = C (x + l1x)2

y + 11/j = c (x + I1x) 2

y

11 _ c y - -:-( x--:+---;-I1-x -'-) -;:2

11/j = -e 2 x + I1x I1x X2 (x + I1x) 2

- c l1x (2 x + I1x) x2(x+l1x)2

En e l segu n do miembro hagamos I1x ----;'O. Segn (A) ten -dremos :

d/j = _c.~ =_ ~. dx X2(X)2 x 3 [ /_ d(C) _ 2e ] /j - d x X2 - - x 3 '



PROBLEMAS . Procedamos ahora a deria interpretar cada paso gEpunto P (x, y) de la curva,tambin de la curva y cerca

Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la reglageneral.

lo y=2-3 x . Sol. y' = -3. 16. 1 dy=_ 2xy=--.2. y=mx+b. y' = m. x2+a2 dx {x2+(2)2

3. y=ax2. y'=2ax. 17. x v : l-x2s =2 (_(2. s' = 2-2 t.

Y = x2+1 . dx (x2+1)24.5. q=c x" . y'=3cx2. 18. x2 v : 8xy =4-x2' dx (4-X2)26. y =3 x-x3. y' = 3-3 x2.

u=4 v2+2 v3. u'=8v+6v2.19. y = 3 x2 - 4 x - 5.7.

y' = 4 x3. 20. s = a(2 + bt + e.8. y=x'.2 dQ = ___ 2_

2lo u = 2 v3 - 3 v2.9. Q=--.0+1 dO (8+1)2 22. Y = ax3 + bx? + ex + d.10. 3 d u __ 6x 23. (a-bO)2.y=--. Q=

x2+2 dx (x2+2) 2

t+4 ~= 424. y= (2 - x) (l-2x).1lo S=-.

t dt t2 25. y= (Ax + B) (Cx+D).12. 1 dy = 2 26. (a+bt)3.y=I-2x' s =dx (l--2x) 2

O dQ = 2 27. x13. Q=--. (0+2) 2' y=~+bX2'0+2 dOAt+B ds AD-BC 28. a + b x?14, s=-- (j(- y=---.Ct+D (Ct+D) 2 x2

15. x3+1 r!:l = 2 x __ 1_. 29. x2y=--. y = a + bX2'x dx x2

PRIMJ.:H. PASO. y+L

y+Ly

SEGUNDO PA .O.

TERCER PASO.

Con este paso vemos que laa la pendiente de la secante

P (x, y)

en la grfica de f( x) .Examinemos el sentido g

sidera el valor de x como fi;Asimismo , ~:l: vara tendiepunto Q ha de moverse a uposicin limite Luego la scorno lm ite la tangon te en

28. Interpretacin geomtrica de la derivada. Ahora vamos aconsiderar un teorema que es fundamental en todas las aplicaciones

del Clculo diferencial a la Geometra.Primero es necesario recordar la definicinde tangente a una curva en un punto P dela misma, Supongamos una secante quepase por P y un punto prximo Q de lacurva (fig. 6). Hagamos que el punto Qse mueva sobre la curva aproximndoseindefinidamente a P: La secante giraralrededor de P, y su posicin lmite es,

por definicin, la tangente a la curva en P. Consideremos ahora la grficade la funcin f (x) , o sea, la curva AB (fig. 6) , dada porla ecuacin

= inclin

7 = inclin

A

Luego lm _. Suponi6.1'---70

(vase el Art , 70), tenemo

dy _d~-CUARTO PAi-iO.

y

N xo

Fig. 6

As hemos establecido el im

(1) y=f(x).

Teorema. El valor de leiqual. a la pendietue de la tal


DERIVACION 33

. Procedamos ahora a derivar la funcin ( 1) segn la regla general y a in terpl'etar cada paso geomtricamente. P ara ello pscogemoR un punto P(x, y) de la curva, y un segundo punt.o QCx + }. :r, y + }.y), tambin de la curva y cercano a P.

PRIMIC]i PASO. Y + \y = f( x + }.:r) =NQ =NQ S~iGUNDO PASO . Y + }. y = f(x + }.x)

TERCER PASO .

y = f(x) =ll1P = N R }.Y = ;(x + \x) - f (x) ;= RQ

}.y _ f(x + }.x) - f(x) RQ RQ }.X - }.x = M = PR

= tg L RPQ = tg 1> = pendiente de la secante PQ .

Con cRLe pa:;;o vemos que la raz

14 CALCULO DIFERENCIAL [

Este problema de la t.angente llev a Leibnitz * al descubrimientodel Clculo diferencial.

6. Hallar el punto de la curtangente es de 45.

EJ ElvIPLO. Hallar las pendientes de las tangentes a la parbola y = x2(fig. 7) en el vrtice y en el punto de a bscisa x = Yz .

7. En la curva y = ;(3 + )paralela a la recta y = 4 x .

Solucin. Derivando segn la regla general (Arr. 27)resulta:

(2) dy = 2 x = pendiente de la tangente en cualquierdx

punto (x, y) de la curva.Para hallar la pendiente de la tangente en el vrtice,

bastar sustituir x = O en (2), obteniendo:

E n cada uno de los tres sig u ierseccin del par de curvas dado; 1a cada curva, y el ngulo formaseccin (vase (2) del Artculo

o x dy = O.dx

8. y=l-x2, Sol.

y = x2 - 1,

9. Y = x2,

X - Y + 2 = O.Fig. 7

11. Hallar el ngulo de las C1de interseccin (3, 3).

Luego la pendiente de la tangente en el vrtice es cero;es decir, la tangente es paralela al eje de las x , y en este caso coincide con l.

Para hallar la pendiente de la tangente en el punto P, de ahscisa x = Yz 'bastar s u st it u i r x = Yz en (2). Se obtiene:

dy = l :dx '

es de cir , la tangente en el punto P forma con el eje de las x un a n g ul o de 45".

PROBLEMAS

Aplicando las derivadas hallar la pendiente y la inclinacin de la tangente acada una de las curvas siguientes en el punto cuya absc isa se indica. Verificar elres u l t ad o r ra z.an do la curva y la tangente,

1. Y x2 - 2, s ie n do x .. 1.

2. lJ 2x - Yz x2, s ie n do x 3.

3. 4 siendo 2.y - x-l x =

4. Id = 3 + 3 x - x3 siendo x = - J.5. Y = x3 - 3 x2, siendo x = 1.

So!' 2; 63" 26'.

Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) naci en Le ipz ig . Su grantalento se manifest con investigaciones originales en varios ramos de la Cienciay de la Filosofa, Fu el primero que public sus descubrimientos de Clculoinfinitesimal en un breve ensayo que apareci en la revista Acta Eru d i t or um .de Leipzig. en 1684. Se sabe, no obstan te, que ya existan manuscritos deNe w to n sobre las" fluxiones", y algunos hi si or i.idores creen que Leibnitzrecibi las nuevas ideas de aqullos. Actualmente se cree, a lo que parece, queNe w to n y Leibnitz inventaron el Clculo inf in ite si mal independientementeel uno del otro. La notacin que hoy se usa es la que Le ibn itz introdujo.


DERIVACION 3 5

6. Hallar el p un to de la cu rva y = ' x - X 2 en el qu e la inclinaci n de la tan ge nte es de 45 . S ol . (2, 6 ) .

7. En la cur va y = x 3 + x h allar los puntos en los que la tangente es paral ela a la recta y = 4 x. Sol . (1. 2) . (-1. -2) .

E n cada uno de los tres siguientes problemas hallar: a) los puntos de intei. seccin del par de curvas dado; b) la pendiente y la inclinacin de la tallgente a cada curva, y el ngulo formado por las tangentes. en cada punto de inter-seccin (vase (2) del Artculo 3) .

8. y=l-x2 , y = X2 - 1.

9. Y = X2. X - !J + 2 = O.

Sol. Angulo de interseccin arc tg %

10. !J = x 3 - 3 x. 2 x +!J "" O.

53 8'.

11. Hallar el ngulo de las curvas 9!J - x 3 y !J - 6 + 8 x - x 3 en el punto de interseccin (3, 3). Sol. 21 27'.


CAPITULO IV

REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS

29. Importancia de la regla general. La regla general para derivacin, dada en el Artculo 27, es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definicin de derivada, y es muy impor-tante que el lector se familiarice completamente con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la regla en la resolucin de problemas es largo o difcil; por con>iguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la tarea, reglas especiales para derivar ciert.as formas normales que se presentan con frecuencia.

Es cmodo expresar estas reglas especiales por medio de frmulas, de las cuales se da a continuacin una lista . El lector no slo debe aprender de memoria cada frmula cuando se ha deducido, sino tam-bin poder enunciar en palabras la regla cOlTespondiente .

En estas frmulas 1l, v, w representan funciones derivables de x.

1

II

III

IV

v

FHMULAS DE 1)b~RJVAC16N

de = O dx .

d:r = 1 dx .

d du do dw - (u + v - w) = -, + - - -. dx dx dx dx

d dv -(ev) = e-. dx dx d dv du - (uv) = u - + v-o dx dx dx


REG LAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 37

VI

VIa

VII

VIIa

VIII

IX

d dv _(vn) = mi'-l -. dx dx

d dx (xn) = nXn- l.

du dv v dx -- ud;

V 2

du

~ (~) = d;. dy dy dv - - - . - siendo y funcin de v. dx - dv dx'

dy 1 - - - siendo y funcin de x. dx - dx'

dy

30. Derivada de una constante. Si se sabe que una funcin tiene el mismo valor para cada valor de la variable independiente, esta funcin es constante, y podemos representarla por

y = c .

Cuando x toma un incremento .1x, el valor de la funcin no se altera j es decir, .1y = O, Y

Ay = O .1x .

Pero , .1y dy hm --=-= o. 1\"' -70 I1x dx

I :. ~~ = o. La derivada de una constante es cero.

Este resultado se prev fcilmente. En efecto, la grfica de la ecuacin y = c es una recta paralela a OX j luego su pendiente es cero . Y como la pendiente es el valor de la derivada (Art. 28) resulta que la derivada es cero.



31. Derivada de una variable con respecto a s misma.

Sea y = x.

Siguiendo la regla genera.! (Art. 27), tenemos: PRIMER PASO.

SEGUNDO PASO.

TERCER PASO.

CUARTO PASO.

11

y + f'..y = x + f'..x . f'..y = f'..x .

f'..y = Al. o;;

dy -= 1 dx .

dx = 1. dx

La derivada de una variable con respecto a s misma es la unidad.

Este resultado se prev fcilmente. En efecto, la pendiente de la recta y = x es la unidad.

32. Derivada de una suma.

Sea 1! = u + v - -w .

Segn la regla general:

PRIMER PASO.

SEGUNDO PASO.

y + f'..y = u + f'..u + v + f'..v - It' - f'..w. f'..y = f'..u + f'..v - f'..w.

TERCElt PASO. f'.. y = f'..u+ f'..v _ f'..U) f'..x I1x f'..x f'..x

Ahora bien (A;-t. 24) , lm f'.. u = du lm f'..v = dv lm f'..1Jj = dw

6.>:-)0 f'..x dx' 6 :1:--70 f'..x dx' 6X--70 f'..x dx .

Luego, segn (1) del Artculo 16 ,

CUARTO PASO. dy = du + dv_ dy; . dx dx dx dJ;

III d . du dv dw -(u+v-- w) = -+---. dx dx dx dx


REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS 39

Una demostracin semejante es vlida para la suma algebraica de cualquier nmero de funciones.

La derivada de la suma algebraica. de un n"lmero finito n de funciones es 1:gual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones.

33. Derivada del producto de una constante por una funcin.

Sea y = cv .


PRIMER PASO

SEGUNDO PASO

TERCER PASO

y + f1y = e (v + f1v) = cv + c/).v. f1y = cf1v f1,!/ f1v - =c -f1x /).x

De donde, segn (4) del Artculo 16,

CUARTO PASO

IV d dv - (ev) = e-. dx dx

La derivada del producto de una constante por una funcin es 1gual al producto de la constante por la derivada de la funcin .

34. Derivada del producto de dos funciones.

Sea y = uv.


PRIMER PASO y + f1y = (u + f1u) (v + f1v) .

Efectuando la multiplicacin:

SEGUNDO PASO.

TERCER PASO.

?J + l1y = uv + uf1v + vf1u + f1uf1v. f1y = uf1v + vf1u + f1uf1v . i1y /10 f1u /).V -=u-+v-+/).u-. /).x /).x /).x /).x



Aplicandn (2) Y (4) del Artculo 16, notando que lm l1u = O, 6X-7 0

I1v y que, por tant.o, el lmite del producto l1u I1x es cero, tenemo,;:

CUARTO PASO.

v

dy = u dv + u du . dx dx d.l:

d dv du -(uv) = u- + v-o dx dx dx

T,a derivada di! un JHvdw to de dus funciones es igual al producto de la primera funcin por la derivuda de la segunda, ms el producto de {n segunda por ln dr!1'1'vadn de la prirnem .

35. Derivadadel producto de n funciones, siendo n un nmero fijo. Si se dividen am bos miembros de la fnl'mula V por


36. Derivada de la potencia de una funcin, siendo el exponente constante. Si en el resultado obtenido en el artculo anterior, cada uno de los n factores es igual a v, se tiene

.!i (vn ) dv dx dx --- =n -

an v '

VI ~ (un) -=- nUn 1 du dx dx Cuando v = x eRl,o se convierte en

d VIa dx(xn) = nxn-l.

En esta demostracin VI hemos supuesto que n es nmero entero positivo. En el Artculo 65 se demostrar que esta. frmula. es vlida ')nra cualquier valor de n, y nos serviremos desde ahora. de est,e resul tado general.

La derivada de la potencia de una funcin de exponente constante es ignal al producto del exponente por la funcin elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la funn.

Esta regla se llama, a veces, regla de potencias.

37. Derivada de un cociente. Sea u y= - .

v

Segn la regla general: u + L1u

PRIMEH PASO. Y + L1y = --- . v + L1v

SEGUNDO PASO. L1 _ u + L1u y - v + L1v u

v

L1u L1v

TBRCER PASO. v--u-

L1x L1x 1I(v+L1v)

Aplicando 1013 teoremas del Artculo 16 : du dv

v--u-dy dx dx dx = v2 CUARTO PASO.

du du

VII .E-. (.!:..) = v;x - u ;x dx V v2

(v ~ O)

vL1u-uL1v v(v + L1v)



La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del nume-rador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

Cuando el denominador es constante, basta poner v = c en VII; esto da:

du VII a .!!...(~) = dx. dx e e

ueSTO que - =- = o. l P d () ele ] dx dx Podemos tambin obtener VII a de IV como sigue:

du

:x ( ~ ) = ! ~: = :x. La derivada del cociente de una funcin d1'vidida p01' una constante es

igual a la derivada de la funcin dividida por la constante .

PROBLEMAS *

Hallar la derivada de las sig uientes funciones:

1. Y = x 3

Solucin. dy = ~ (x 3 ) = 3 X2. dx dx

Segn VI a

2. y = ax 4 - bX2.

Solucin. dy = !!...- (ax4 - I>x2) = !!...- (ax 4) - ~ (bX2) dx dx dx dx

segn II!

= a~ (x 4 ) - ,~ (X2) dx dx

seg n IV

= 4 ax 3 - 2 bx. Segn VI a

3. Y = x% + 5. Solucin. dy = !!...- (x%) + _~ (5)

dx dx dx . segn JII

= % x Va . Segn VI a y

* Mientras el estudiante aprende a derivar. debe recibir leccin oral de derivacin de funciones sencillas.



segn IIr

Seg n IV y vr a 5. y=(x2-3)~.

Solucin. dy = 5 (x 2 -- 3) 4~(.X2 -)) dx dx

segun VI

l () = X2 - 3 y 11 = 5. J =5(x2 -3)4.2x= IOx (x 2 - 3)4

Es posible desarrollar esta funcin segn la frmula del hinomi0 de Newtoll l (3 ). Art. 11 y ento nces aplicar III. etc .. pero el procedimiento aqui dado es preferible.

6. 1} = Va 2 - x2 Solucin. dy =.!!... (a2 _ x2)Yo=.l (a2_ xZ ) -Yo .!!... (a Z -x2)

dx dx 2 dx segn VI

[() = a2 - X2 y n = l1z .1 =..!...(a2 - x 2)-Yo(-2x) =- x

2 V a2 - X2 7. y = (3 x2 + 2) vi 1 + 5 X2.

Solucin. dI} = (3 x2+2)~ ( 1 +5 x 2 )v, + ( 1 +5 X2)Y, ~ (3 x2+2) dx dx dx

segn V

..!... (1 + 5 X2) -Yo .!!... (l +' 5 X2) + 2 dx

+ (1 + 5 x2) Y, 6 x segn VI. etc. (1 +5 x 2)-y, 5 x+6x(1 +5 x 2) y,

5x(3x2+2) ./ 5 . 45x3 +16x = V 1 + 5 X2 + 6 x v 1 + X2 = V l + 5 X2 .

a2 + X2 y = .

V a2 - X2

Solucin. (a 2 - X2) y, ~ (a 2 + X2) - (a 2 + x2) .!!... (a 2 - X2) y,

dy = . dx dx dx a2 - X2

2 x (a 2 - x2) + x (a 2 + X2) (a 2 - X2) %

segn VII

[Multiplicando num erado r y denominador por (a 2 - x2L 1 3 a2x - x 3

(a 2 - X2) %


44 CALCULO DIFERENCIAL REGLAS PARA DER

28. y=(a+~y

29. y = X\/ II+b x .

~O. s = t V a2 +t2

Comprobar cada una de las s ig u ie n t es derivadas.

10. s. (4+ 3 x - 2 x3) = 3- 6 x2dx

11. ~ (at -- 5 b(3) =5 at" - 15 bt>.dt

:z (~ - z77) = Z - Z6. 31. a - xy=--.a+xa2 + x2y=---.a2 - x2

12.32.

15.

~vv=~elud x 2vudx'

:x (~ - ;) = - ~ +~.~(2t%-3 t%) =.2t~-2 t-~.dt 3

~ (2 x% + 4 x-X) = 2. x-X - x-X.d x 2

33. V~2y= x13.

14.34. y= .. V a2 - x2

x

16. 35. r = 02V3=40.,

17. 36.

18. s: ( a + bx + cx2 ) = C _ .z .d x X x" 37.

19.V-:; 2

y=------.2 V-:;

dy __ 1__ I_d x - _ /- + _/- .

4vx xvx 38.s ~ H/2 + 3 t.

"\j2-3t

20. a + bt + ct2s = ved s a b 3 cve-=---+--+---.dt 2 t Ve 2 ve 2 39.

lj = .y-:-; .

21. Y = I/-;; + _a_ovaxdy a_ udx - 2,/ax 2 xV-ax

40. Y = ~ V {/~- x2(/

24. F (x ) = ~ 4 - 9 x.

de 1dO = - V 1- 2O'

F'(t) = -18 t(2 - 3 t2)2.

3

Hallar la derivada de cada UI

22. e=v~_23. F(t) = (2-3t2)3.

42. f (x) = V2x + ~3F' (x) = 43. 2-xy = J ~- 2.\2 .

y= .V a2 - x2

dy xdx = 31 (a2 _ X2) 12

x25. 44.

26. F (O) = (2 - 5 O) %. F'(O) = 3

y = .. V a - hxV~

s =

27.

- 2/'(2 - 5 IJ) 15

dy=2b(a_~).dx x2 x

45.

46.



28. y=(a+~t rjy = -?J>.(a + ~)2.d x x3 x229. y = x\/ ({+ bx . d Y 2 a + 3 'X

dX=2v/a+'-;;

30. s = / V a2 + /2. lis a2+2/2di = V a2 + {2d u 2 ad~ = - (a +;)231.

a - x.y=-;+x

a2 + x2y = a2 - x2

dy _ 4 a2xdx- (a2-x2)~32.

33. V~2y= xti Y u2

"d.; = - x2V ~2 + x2dy a2- = 3/'d x (a2 _ X2) /2

d r 6 (1 - 10 (12

liH - \li 3 - 4 ()

dy _d x -

e

34.y =V a2 - x2

x

35. r = 02 V 3 - 4 O.._ ..

1I - ex36. y=\j~'

1 a2 + x2 y = \j a2 - x2

(l+ex)VI-e2x2

40. y = .!2- V {/2 - x2(/

is : 2a2xd.x - _ ----. (a2 - x2) V {/4 - x"

d s 4'T:" (2+3/)% (2 -3/)%'e/y = E...dx yd!J _ /)2.'~,:~- - lI2~1

~

.-d u _ _ Ye/x - -:;.

37.

3R..:.. H/2 + 3 t

s-\j2_3/

+3 ,VI2

::9 . lj -e- ...;-=-;; .

ax41. ti = (a% _.. \Y


En cada uno de los siguientes ejercicios. hallar el valor de dy para el valor dx

dado de x.

52. Y = (x 2 - x) 3; X = 3. 53. Y = "';;; + Vx; x = 64. 54. y=(2x) Y: +(2 x)% ; x =4. 55. !J = v' 9 + 4 x 2; X = 2.

56. y= ; v' 25 - X2

x = 3.

57. v' 16 + 3 x

y= x

x = 3.

58. y = xv' 8 - X2; x = 2.

59. y=x 2 v'I+x3; x=2 .

60 . 1J = (4 - X2) 3; X = 3.

x~ + 2 y = 2 -x'! ; In. .\' = 2.

v'5-2 x '/ = . . 2 x+ l

I x =-.

2

Sol. 540 .

%. %.

o.

20.

63. y= xv'3 +2x; x [=3.

64.

(i!j.

/4\'+ l Y = \JT7=I';

",2 - 5 ~-, - . .1 - IV _ x"' x = 2.

.\' = 3.

32. Derivada de una funcin de funcin. A veces acontece que y no se define directamente como funcin de x, sino que se da como funcin de otra variable v que se define como funcin de x. En est,p.

(~a::;o, y es funcin de x por int.errnedio ele 1/ , Y :;;f> lIalJla. funcin d.: f;~nr:i,n .

Por ej(~fltplo, si

y

2/, Y = 1 - v~

entonces y es una funcin de funcin. Eliminando v podemos expre-sar y directamente como funcin de x, pero, en genera!, este mtodo

dy no es el mejor cuando deseamos hallar dx'

Si y = f (v) y v = 4> (x), decimos que y es funcin de x por intermedio de v. Entonces, si damo~ a x un incremento ~x, obten-dremos para v un incremento ~v y para y un incremento correspon-diente L1y. Teniendo esto en cuenta, apliquemos la regla general de derivacin sirnultrieamente a las dos funcione:;;

y = f(v) y ; = cp(x).



PlUM';lt PASO. v+l1y=f(v+l1v)

SEGUNDO PASO. y+l1y=f(v+l1v)

y =f(v)

ara el valor v+l1v=1> (X+I1X) .

V+I1V= (X+I1X)

V = (X)o/ . 540.7\2'

%.%.

%.

l1y=f(v+l1v) - f(v)

l1y _f(v+l1v)-f(v)I1v - I1v

I1v= (X+I1X)- (X)

I1v (X+I1X)- (X)I1x- I1x

TERCER PASO.

Los miembros de la izquierda expresan la razn del incremento decada funcin al incremento de la variable correspondiente, y losmiembros de la derecha expresan las mismas razones en otra forma.Antes de pasar al lmite, formemos el producto de las dos razones.tomando las formas de la izquierda. Resulta:o.

20.

(B) ~~= f'(v). '(x).

= 3.l1y I1v . l1y-. - que e$ Igual a '\x.I1v I1x' , .. L\

= l. l1y = l1y . l1.u!1:r !1/! 11. x .

= J. ( 'l' AttT') l' A~u .litnitr: . SI' obtiene :

Cuando ~;: ---70, igua Imen te 11.r-7(). Paliando al

dy dy dvdx = dv' dx '

tece que yda como. En esteuncin de

(A) Segn (2), A rt , !ti

Esta igualdad puede tambin escribirse en la forma:

Si y = f (v) y v = (x) , tu derioada de y ('un respecto a x es 'igualal producto de la derivada de y con. respecto a v por la derivada de v corirespecto a x ,

os expre-te mtodo 39. Relacin entre las derivadas de las funciones inversas. Sea

una funcin V llana como funcin de x segn la ecuacin

y=f(x).de x porx, obten-orrespon-eneral de

.A menudo es posible, en el caso de las funciones que se consideranen e:-;I e libro, resolver la ecuacin con respecto a x y hallar

x=(y);

es decir, poclemos tambin considerar V como la variable indepeu-diente y x como la dependiente En este caso se dice que f(x) y (y)


48 CALCULO DIFER ENCIAL

son funciones inversas. Cuando deseamos distinguir la una de la otra , es usual llamar funcin directa la que se di al principio, y funcn 'inversa a la segunda. As, en los ejemplos que siguen, si los segundos llliemul'Os en la primera columna se Loman como laR funciones directas ) entonces los miembros co rrespondientes en la segllnda serin respeeti--varncnf.e las funciones /;nversas.

y = X2 + 1,

y = aX ,

x= , / y-l.

x = log" y.

y= scnx, x = arc sen y.

Ahora derivemos las funciones inversas y = f(x) y x = 1> (y) SI-multneamente segn la regla general.

PHIMr,m PASO. y+~y= f(x+~x)

SEGUNDO PASO. y+!\y= f(x+~x)

Tlc l tC~~R PA SO.

y = f(x) ~y= f(x+~x) - f(x)

~y f(x+~x)-f(x) ~x ~x

x+~x=1> (y+Ay).

x+!\x= 1> (y-t,1y) x = 1> (y)

~x =1> (y + ~y) - 1> (y).

~x _ 1>(y+ ~y) - 1>(y) ~y- ~y

Multiplicando e:-;Las ra zo,n es , Lomando las formas de la izquierda, tenemos:

l1y I1x - -=1 11~: l1y ,

~y =-I1x ~x '

Ay

CUARTO PAS. Cuando Ax-;'O, entonces, en general, tamhin [). y -;. O. Pasando al lmite,

(e)

(n)

dy 1 dx = dx'

dy

1 f'(x) = cf>/{y)

segn (3), Art. Hi

La derivada de la funcin inversa es igual al1'ecproco de la derivada de la funcin directa.



40. Funciones implcitas. Cuando se da una relacin entre x y y por medio de una ecuacin no resuelta para y, entonces y se llama funcin implcita de x. Por ejemplo, la ecuacin

(1 ) X2 - 4 Y = O define y como funcin implcita de x . Es claro que por medio de esta ecuacin x se define igualmente como funcin implcita de y.

A veces es posible resolver la ecuacin que define una funcin impl-cita con respecto a una de las variables, obteniendo as una funcin explcita. As, por ejemplo, la ecuacin (1) puede resolverse con res-pecto a y, obtenindose

1 Y = -x2 , 4

donde aparece y como funcin explcita de x. En un caso dado, sin embargo I puede ocurrir que semejante resolucin sea imposible I o demasiado complicada para una aplicacin cmoda.

41. Derivacin de funciones implcitas. Cuando y se define como funcin implcita de x I puede no ser conveniente (como hemos dicho en el artculo anterior) el resolver la ecuacin para obtener y como funcin explcita de x, o x como funcin explcita de y.

Entonces para calcular la derivada seguimos la siguiente regla:

Derivar la ecuacin, trmino a trmino, considerando y corno funcin de X, y de la ecuacin resultante despejar ~~ .

La justificacin de este mtodo se dar en el Artculo 231. En la derivada pueden sustituirse solamente los valores correspondientes de x y y que satisfacen a la ecuacin dada.

Apliquemos esta regla en hallar ~; en la funcin

Tendremos: d d d d

- (ax6) +.- (2 X3 y ) - - (y7:x;) = - (10); dx dx dx dx dy dI} 6 ax" + 2 xa - + 6 x2y - y7 - 7 xy6 ~ = O . dx dx )

(2 x3 - 7 xl;) dy = y7 - 6 ax .- 6 xly ; dx


50 CALCULO DIfERENCIAL REGLAS PARA DER

desneu de dyY espejan O dx' resulta:dy _ yl - 6 ax5 - 6 :J.;~ydx - 2 x3 - 7 xl

El estudiante debe notar que, en general, el resultado contendrtanto u T como a y.

25. Demostrar que las partan en ngulo recto.

26. Demostrar que las cirx2 -\- y2 -1- 2 x -1- y = 10 son t

27. Bajo qu ngulo co rt:

PROBLEMAS

28. Si f (x) y 2.

10. V~+ Vy = V~.2' 2/ 2/11. xl3 + yl3 = a/3 .

12. x3 - 3 axy + y3 = O.

5. Hallar la ecuacin de lacualquiera. Demostrar que la >

dividida en la razn m por eln

6. Si k es la pe n dren .e de

demostrar que su ecuacin es yde los puntos de interseccin decuacin x2 -1- y2 = a2 - b2.

Hallar la pendiente de cada una de las siguientes curvas en el punto dado.

19. x2 + xy -1- 2 y2 = 28; (2, 3) . Sol. - );:1.20. x3 - 3 x q? -1- y3 = 1 ; (2, -1) . ~t.21. V2x + ../'3Y = 5; (2, 3) .22. x2-2Vxy- 'l2 = 52 ; (8, 2) .23. x3 - ax q + 3 Cl9:!. = 3 a3 ; (a, a) .21, x2 - x'V xy - 2 'l2 = (,; (4, 1) .


REGLAS PARA D ERIVAR FU N CIONE S ALGEBRA ICAS 5 1

25. Demostrar que las parabolas y2 = 2 p x + p2 Y y 2 = p2 - 2 px se cor'-tan en ngulo recto.

26. Demostrar que las circu nferencias X2 + y 2 - 12 x - 6 y + 25 = O y X2 + y2 + 2 x + y = 10 son tangentes en e l punto (2, 1).

27. Bajoqu ngulo corta la recta y =2x alacurvax 2 -xy+2 y2=28? 28. Si f (x) y '" (y) son funciones in ve rs as, demostrar que la grfica d e

'" (x) puede dibujarse construyendo la grfica de -f (x) y haciendo girar sta a la izquierda 90 alrededor del origen.

PROBLEMAS ADICIONALES

1. El vrtice de la parbola y2 = 2 px es el centro de una elipse. El foco de la parbola es un extremo de uno de los ejes principales de la elipse, y la parbola y la elipse se cortan en ngulo recto. Hallar la ecuacin de la elipse.

Sol. 4X2+2y2=p2.

2. Se tra za un circulo de centro (2 a . O) con un radio tal que el crculo COrla en ngulo recto a la elipse 1> 2 x 2 + a2 y 2 a2 b 2 Hallar el radio.

Sol.

3 . Se un e un punto cualquiera P d e una elip se con los focos. Demostrar que es tas rec ta s fo rman con la nor mal a la curva en P ngul os ag udos igual es.

4. D em ost ra r qu e l.1 re cta Bx + Ay = AH es tangente a la elipse

ni ca mente si se verifica que IF,, 2 + .tP'2 = A2/F.

5 . Hallar la Hitacin de la tangente a la curva xmyll = u m+1l en un punto cua lquiera. Demostrar que la parte de tangente comprendida entre los ejes queda di v idida en la ra z n m por el p unto de contacto.

n

Sol. mYI (x - XI) + nx (y -YI) = o. 6. Si k es la pendlerLe d e una tangente a la hip rbola b 2 x2 - a 2 y2 = u 2b 2.,

demostrar qu e s u ecuacin es y = kx V a 2 k 2 - b 2 , y que el lugar geomtrico de los puntos de interseccin de las tangentes perpendiculares est dado por la ecuacin X2 + y2 = a

Cálculo diferencial e integral [Granville] - by CXPA

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