Solucionario de

Granville

Cálculo Integral

Introducción

La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio

superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios

propuestos por el libro “Calculo diferencial e Integral” del autor Granville.

No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el camino

de la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide al

estudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y cálculo

diferencial.

Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de

página para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a

la obra expuesta.

Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del

razonamiento matemático en la solución de problemas más complejos sin

embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible serán

bienvenidas al siguiente correo: fisico_17@hotmail.com.

Éxitos y bendiciones.

41. x dx =

= 4 1

4 1

xc

=5

5

xc

2

2.dx

x = 2x dx

=2 1

2 1

xc

1

1

1

xc

cx

2/3

21

3

5

3

5/3

3.

21

3

5

3

3

5

x dx

xc

xc

xc

1/2

1/2

1/2 1

1/2

1/2

4.

1/ 2 1

1

2

2

1

2

dx dxx dx

xx

xc

xc

xc

x c

1/3

1/33

1/3 1

2/3

2/3

5.

1/ 3 1

2

3

3

2

dx dxx dx

xx

xc

xc

xc

2

2

2 1

3

3

6. 3

3

32 1

33

ay dy

a y dy

ya c

ya c

ay c

2

2

2

2 1

.1

27. 2

2

22 1

21

12

2

dtt dt

t

t dt

tc

tc

ct

ct

1

2

1/2

1

3/2

3/21/2 3/2

1/21/2

8.

11

2

3

2

2

3

2

3

2

3

ax dx a x dx a x dx a x dx

xa c

xa c

xa c pero x x x

x xa c pero x x

a x xc

2

3

pero a x ax

x axc

19. =

2 2 2

4. 2

1 1 22 min

22 2

22

2

2

2

dx dx dx

x x x

dxpero por el ejercicio x c

x

x c al racionalizar el deno ador

x c

x c

x c

1/33 3 33 3 3

1/3 1

3

4/3

3

4/31 4/33 3

4/3 4/3

4/3

10. 3 3 3 3

31

13

34

3

33 3 3 3

4

3

4

(3 )

4

t dt t dt t dt t dt

tc

tc

tc recordemos que

tc

tc

3/2 2/3

3/2 2/3

3/2 12/3

5/2 2/3 11/2

5/2 5/3 1/2 1

5/2 5/3 3/2

11. ( 2 5 3)

2 5 3

2 5 33

12

2 5 35 2

12 3

22 5 3

5 151

3 2

2 32 5

35 5

2

x x x dx

x dx x dx x dx dx

xx x dx dx

x xx x

x x xx c

x x x

5/2 5/3 3/2

3

2 6 103

5 5 3

x c

x x xx c

2

2

1/2

1 1

1/2

21/2

1/2 12

1/22

2 1/2

2 1/2

2

4 212.

4 2

4 2

4 21 1

4 22

2 21

12

2 21

2

2 2 2

2 4

2 4

x xdx

x

x xdx dx

x x

xx dx dx

x

x dx

x

xx dx

xx c

xx c

x x c

x x c

x x c

2

2

2

2

2

2

2 1 2 1

3 1

3

3

213.

2

2

2

12

2

12

2 2 1 2 1

12

2 3 1

12

6

2

6

xdx

x

xdx dx

x

dxx dx

x

x xc

x xc

xc

x

xc

x

3/2 1/2

3/2 1 1/2 1

5/2 3/2

5/2 3/2

5/2 3/2

14. 3 2

(3 2 )

3 2

3 2

3 2

3 23 1

1 12 2

3 25 3

2 2

2 23 2

5 3

6 4

5 3

x x dx

x x x dx

x x dx x dx

x x dx x dx

x dx x dx

x xc

x xc

x xc

x xc

3

3

2

3

6 515.

6 5

6 5

6 5ln3

x xdx

x

x xdx dx dx

x x x

dxx dx dx

x

xx x c

2

2

2

2

2

2 1

3 3

3

18. ( ) var :

dim .

1( ) ( )

1

1

1

2 1

1

3 3

( )

3

a bt dt hacemos el siguientecambio de iable

u a bt

du bdt

u dt multiplicamos por b y divi os por b

u b dtb

u bdt pero du bdtb

u dub

uc

b

u uc c

b b

pero u a bt

a btc

1/2

1/2 1

3/2

3/2

16. var :

dim

1( )

1

1 1

1

11

2

1

3

2

1 2

3

a bx dx hacemos el siguientecambio de iable

u a bx

du b dx

u dx multiplicamos por b y divi os por b

u b dxb

u b dx pero du b dxb

u du u dub b

uc

b

uc

b

u

b

3/2

3/2

2

3

2( )

3

c

uc

b

perou a bx

a bxc

b

1/2

1/2

1/2

1/2 1

1/2

17. var .

dim

1( )( )

1

1

11

2

1

1

2

1 2

dyhacemoselsiguientecambiode iable

a by

u a by

du b dy

dyu dy multiplicamos por b y divi os por b

u

u b dy pero u b dyb

u dub

uc

b

uc

b

b

1/2

1/2

1/2

1

2

2( )

uc

uc pero u a by

b

a by

b

2

2

2

2

2

2

2 1

32

2 3

19. 2 var :

2

2

1(2) 2 dim 2

2

12 2

2

1

2

1

2 2 1

26

(2 )

6

x x dx hacemos el siguientecambio de iable

u x

du x dx

u x dx

u x dx multiplicamos por y divi os entre

u xdx pero du xdx

u du

uc

uc pero u x

xc

2

2

1 1

2

20. ( ) var :

2

2 2

12

2

12 2

2

1

2

1

2 1 1

1

2 2

y a by dy hacemos el siguientecambio de iable

u a by

du by dy

uy dy vamos a multiplicar por b y dividir por b

u by dyb

u bydy pero du bydyb

u dub

uc

b

uc

b

2

22

var4

4

uc regresandoel valor dela iable u

b

a byc

b

2

2

1/2

1/2 1

3/2

3/2

21. 2 3 var :

2 3

4

dim 4

14 4

4

1

4

1

4

1

141

2

1

34

2

1 2

4 3

t t dt hacemos el siguientecambio de iable

u t

du t dt

t u dt multiplicamos y divi os por

u t dt pero du tdt

u du

u du

uc

uc

uc

3/2 3/2

3/22

2

12 6

2 3

6

u uc c regresandoel valor de u

tc

2

2

3 2

3 2

3 2

3 1 2 1

22. (2 1)

(4 4 1)

(4 4 ) int

4 4

4 4

4 43 1 2 1

x x dx desarrollamos el binomio al cuadrado

x x x dx aplicamos propiedad distributiva

x x x dx distribuimos cada egral

x dx x dx x dx

x dx x dx x dx

x x x

1 1

4 3 2

3 24

1 1

4 4

4 3 2

4

3 2

c

x x xc

x xx c

2 2

3

3

2

2

22

1/2 1

1/2

1/2

423. 4 var :

8

8

3

4 3

1 34 3

3

4

3

4

131

2

4

13

2

8

3

x dx x dxhacemos el siguientecambio de iable

ux

u x

du x dx

x dxvamos a multiplicar y dividir por

u

x dxpero u x dx

u

du

u

uc

uc

uc r

3

var

8 8

3

egresandoel valor dela iable u

xc

2

2

2

2

2

2

2

2 1

1

624. var :

5 3

5 3

6

61

1( 1)6

1

6

2 1

1

1var

z dzhacemos el siguientecambio de iable

z

u z

du z dz

z dzvamos a multiplicar y dividir por

u

z dz

u

u z dz

u du

uc

uc

c regresandoel valor dela iu

2

1

5 3

able

cz