Apuntes Calculo Integral Unidad I

5/14/2018 Apuntes Calculo Integral Unidad I

1/37

iIiIIliIII~~1Ii~}IIIIII

deMartinez

APUNTIESQE CALCULO INTEGRAL

..... .............NIDAD 1 . ,TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCUlO

PRE S E N T A

ING.RAFAqL CUEllAR LAzARO

Miguel Hidalqo No.1 01, Col. Adolfo RuizCortlnezCP o 93600, i/artinez de laTorre, Veracruz.Tel. y Fax: 012323735240


2/37

deMartinezjl!l! .w

INTRODUCCION.,Jill

La integraci6n es un -concepto fundamental de las rnaternaticas avanzadas,especialmente en los campos del calculo yodel analisls rnaternatico. Basicamente,una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequerios.EI calculo integral, encuadrado en el calculo infinitesimal, es una rama de lasmaternaticas en el proceso de integraci6n 0 antiderivaci6n, es muy cornun en laingenieria y en la matematica en general y se utiliza principalmente para el calculode areas y volurnenes de regiones y s61idos de revoluci6n.Fue usado por primera vez por cientificos como Arquimedes, Rene Descartes,Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este ultimo. y losaportes de Newton generaron el teorema fundamental del calculo integral, quepropone que la derivaci6n y la integraci6n son procesos inversos.La construcci6n de modelos mate maticos para tratar los problemas del mundo realse ha destacado como uno de los aspectos mas importantes en el desarrollote6rico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelosimplican una ecuaci6n en la que una funci6n y sus derivadas desernpefian papelesdecisivos.

Es un area activa que tiene conexiones con muchas areas dentro y fuera de lasrnaternaticas como analisis funcional, metodos nurnericos, ecuacionesdiferenciales, investigaci6n de operaciones, qraficas por computadora, ingenieria,etc.EI presente trabajo es fundamental para "facilitar" el proceso "ensefianza-aprendizaje" en la asignatura. EI mismo cubre temas basicos y se apega alprograma vigente de todas las ingenierias con el prop6sito de estandarizar nivel yconceptos en dicha materia, desde luego, representa el punta de vista derivadotanto de la experiencia frente a grupos que he tenido; como mi formaci6nacadernica, Dicho material puede ser empleado como texto para estudiantes delnivel superior que cursen la asignatura 0 cualquier otra a fin en diferentes areas deconocimiento relacionados con la Ingenieria, se ha procurado hacer un balanceequilibrado entre la formalidad y confianza; en la intuici6n de aquellas personasinteresadas en aprender esta asignatura.

Miguel Hidalgo No.1 01. Col. Adolfo RuizCortinezcr. 93600, Martinez de laTorre, Veracruz.reI. y Fax: 01 2323735240www.tecmarti


3/37

UNlOAD ITeorema Fundamental del Calculo .

.JIll1.1 Medici6n aproximada de figuras arnorfas.

Definiremos, un rectanqulo generico. EI mismo se fermata teniendo como baseel eje de coordenadas, (bien sea eje X 0 el eje Y), dependiendo de la curvaque estemos estudiandoEn ocasiones el rectanqulo qenerico puede ser vertical, si tiene como base eleje X. (Ver Figura 1). Pero es posible que el rectanqulo sea horizontal, paraeste caso la base esta sobre el eje Y. (Ver Figura 2)

Figura 2

Ahora bien, la lonqitud de los rectanqulos vendra determinada por la curva. Esdecir; donde toque el rectanqulo a la curva, esa sera la longitud. EI ancho delrectanoulo vendra dado por la exactitud del calculo que deseamos hacer. Paraestudios siguientes, haremos que el ancho del rectanqulo se haga tan pequenocomo el limite cuando tiende a cero.

1

Figura1


4/37

1.2 Notaci6n sumatorla.

Empezamos introduciendo ~na notaci6n concisa para las sumas, que sedenomina notaci6n Sigma debido a que utiliza la letra griega L, la sigmamayuscu!a.DEFINICION: La suma de n terrninos apaZ,a}, an se escribe como

nIa, = al + az + a3 , ' : + a ni~l

Donde i es el indice de la suma, Cl i es el i-esimo termino de la surna, y loslimites inferior y superior de la suma son 1 y /1.

TEOREMA: (Propiedades de Linealidad de L )Si ees una constante, entonces

n 111) L e a ; = cL a ;;~l ;~l

Ejemplo 1: Exprese en notaci6n desarrollada las siguientes sumas.6a) Li=1+2+3+4+5+6;~l

5b) Ii + 1 ) = 2 + 3 + 4 + 5 + 6i~1

.,

7c) L j2 =32 +4 2 +52 +62 +72j~3

~ 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 ) -) L- k + 1 = - 1 + 1 + - 2 + 1 + .,.+ -- n + 1k~ 1 n /1 n nne) L:f(xJ&:= f(x)&+ f(x1)fu:+,,+ f(xJ!ll

i~l


5/37

100 100 100Ejemplo 2: Supongamos que L ' > ; = 60 Y Ib; = 11 calcule I2a; --3bi +4)i=l

SOLUCION:100 100 100 100 100 100 100I2a; - 3b; +_4) =_2)a; - I)b; +I=2Iai - 3Ib; + I4 = 2(60) ::-3(1_1)+ 100(4) =487i=1 i=1 i=l ;= 1 i=1 ;=1TEOREMA: Formulas basicas de Suma

n1) Ic = en;=1

3) i > 2 = 7 1 ( 1 1+ 1 ) ( 2 1 1 + 1 )i= 1 65) i > 4 = 7 1 ( n + 1 ) ( 2 1 1 + 1 ) ( 3 1 1 2 + 3 7 1 -1)

;=1 30

Ejemplo 3: Encuentre una formula para ij + 2)(j - 5)j=1

SOLUCION:Ij + 2Xj - s ) = tj 2 - 3j - 10) =I2 - 3I-IIj=1 j= 1

= 11(71 + 1)(271 + 1) _ 3 n(n + 1) -1 On = r z _ _ [ 2 1 1 2 + 311+ 1- 911 -- 9 - 60]626nin" -- 3 7 1 - 3 4 )= -~ - - - - - - . 3

Ejemplo 4: Calcule la siguiente suma para los valores de n dados.n i + 1I-2 para n = 10,100,1000,10000i=1 n

3


6/37

EJERCICIOS;'1) Hallar la suma de las siguientes expresiones.

5 .JIII a) '2)2i + 1) SOL. 35

i=1

5b) 2)k + l ) ( k - 3 )

k= 2

4 1 158c) I-)-~- SOL.k=O k :' +1 5

5 1d) I - : -j=3 j

7 1e) I~-k= ! k + 1 SOL. 4812808

f) I(i + i)'i=3

2) Exprese en notaci6n sigma las siqulentesA) 1+2+3+ ...+41b) 2+4+6+8+ ...+50

1 1 1c) 1+-+-+ ...+-2 3 1001 1 1 1d) 1--+---+ ...--2 3 4 100

5 5 5 5h) -+--~+-+ ...+---.1+1 1+2 1+3 1+15

4k) Ie

i=!

6 m) Ik -1) SOL. 15k= !


7/37

3) Use las propiedades de la notaci6n sigma y formulas de sum a para calcular 8 1valor de la surna.

20 20a) I2i SOL. 4~ g) I(i2 +3} SOL 2930_

i~1 i~1

- 15 h)I(i3-2i)) I(2i - 3 )i=! i~1

fa 100c) 1)i --,? SOL. 2470 i) I(3i-2) SOL. 14950

i~1 i~1

10 10d ) I V 2-1 ) j) I[(i-1X4i+3)]i~1 i~1

15 10e) Ii(i - lY SOL. 12040 k) I ( k 3 - k 2) SOL. 2640

i~1 k~1

10 10 "f) 2 : > V 2 + 1 ) I) I5i2( i + 4 )i~1

1.3 Sumas de Riemann.La suma de Riemann en honor al matematico Georg Friedrich BernhardRiemann (1826 - 1866) es de importancia fundamental para la definici6n delaintegral definida; sin embargo fueron Newton y Leibniz quienes introdujeron lasprimeras versiones de este concepto.Consideremos una funci6n f definida en un intervalo cerrado [ a , b L Puedehaber valores tanto positivos como negativos en el intervalo; incluso, nonecesita ser continua. Su grafica pod ria ser como la que se muestra acontinuaci6n.

Supongamos una particion P del intervalo [ a , b ] en n subintervalos (nonecesariamente de la misma longitud) por medio de los puntosa = Xo < XI < X2 < ...< Xn-1 < Xn ::::b y sea LUi = Xi - Xi-!' En cada subintervalos[X i-I' X i] seleccionese un puntox i (que puede ser un punto frontera; Ie


8/37

Ilamamos punta muestra para el i-esirno subintervalos. Como se muestra en lassiguientes figuras.

Puntosdela

t1 x1 ...... L \ X2 t1 X3 L \ X4 t1 Xs t1 Xtlf____A_--..V-__./~~~~\

--~-~__+_-~.----,-~~1-~----~~---,--~-4particion a = Xo 4 XI

.~,: ji'.

Una particion de [a, b] con puntos muestra Xi

Si evaluamos los puntos rnuestra Xi en la funcion f y sumamos dichasirnaqenes, obtenemos el concepto "suma de Riemann".

Asi, a la suma11n, = 2:f(x;)t1xii=l

Se Ie llama sum a de Riemann para f correspondiente a la particion p. Suinterpretacion qeornetrica se muestra en la siguiente figura.

Una suma de Riemann interpretada comouna suma algebraica de areas(,Lf(Xi) isx, =A, +Az +A3 +A4 + A, +A6i=]y

,IA 3 1 ,,,A2 I

~l'=--i~~, II

.r

r - - - - " - - NI,,,I

X5 Xfo= h

Si la funcion es positiva, la suma de Riemann puede interpretarse como unasuma de areas de los rectanqulos de aproxirnacion.DEFINICION: Sea f definida en el intervalo cerrado [ a , b ] y sea L \ unaparticion de [ a , b ] dada por a = Xo < XI < X2


9/37

nIf(cJ~\"i '1=1

Es la suma de Riemann de r asociada a la particion ! 'I . ,. . . I f I I .En la definicion ant~rior, fCc,) no es necesariamente el maximo 0 el mlnimo def en [Xi_i,Xj]. Si se construye el rectanqulo de altura f(ci) y anchura ~\'i'este puede no estar inscrito ni circunscrito. Adernas, como f(x) puede sernegativo para alqun x , algunos de los terminos de la suma de Riemannpueden ser negativos. Por 1 0 tanto, la suma de Riemann no siempre representauna suma de areas de rectanqulos. Como se muestra en la figura.

Por 1 0 tanto la suma de Riemann es la suma de las areas de los rectanqulosque se encuentran arriba del eje X y los negativos de las areas de losrectanqulos que estan debajo del eje X.

DEFINICION: Sea f una funcion definida en un intervalo cerrado [ a , b ] y seaIun numero real. Entonces,

Significa que para todo E : > 0 existe un t 5 > 0 tal que si P es una particion de[ a , b ] con I l p l l < t 5 , entonces

Para cualquier elecci6n de numeros Wk en los subintervalos [Xk-!' xk] de p, EInurnero IS8 llama limite de la suma de Riemann.Ejemplo 1: Evalue la Suma de Riemann s,paraf(x) = Xl + 1, en el intervale [- 1,2]; utilice la particion de puntos igualmenteespaciados --1 < --0.5 < 0 < 0.5 < 1< 1.5


10/37

SOLUCION;6-, - ' - -R; - .....Jf(Xi)tu;-

i= 1 .Jill[IC-0.75) + f( -0.25) + /(0.25) + f (0 .75) + f (1.25) + f (1.75)](0.5)= [1.5625-t 1.0625+ 1.0625+ 15625 + 2.5625+ 4.0625kO.5) = = 5.9375,Ejemplo 2: Evalue la Suma de Riemann R; para

-lex) :::X3 _5x2 + 2x + 8 en el intervale [0,5]; utilice la particion P con puntos dela partici6n 0 < 1.1< 2 < 3.2 < 4 < 5 Y los correspondientes puntos muestra~~I =0.5, ~2 =1.5, ~3 =2.5, ~4 =3.6 Y ~5 =5.

SOLUCION:5s, = L f(~ i ) tu i

i=l

= /(0.5)(1.1- 0)+ f(1 .5 X2 - 1.1)+ f(2.5 X3 .2 - 2)+ f(3 .6X4 - 3.2)+ f(5 X 5 -- 4)= (7.875X1.1)+ (3.125XO.9)+ (~J2.625X1.2)+(- 2.944XO.8)+ 18(1):::23.9698

EJERCICIOS:Para los siguientes ejercicios calcule la suma de Riemann.

1)f(x)=x-l; P:3


11/37

5) Calcule la suma de Riemann de las funciones dadas correspondiente a laparticion uniforme P de [ l , S ] en los cuatro subintervalos determinados parXo = 1, XI = 2, x2 = 3, X3 = 4, x4 = 5, eligiendo

,JIlla) 1 ' 1 \ el extremo derecho del subintervalob) We el extremo izquierdo del subintervaloc) We el punta medio del subintervalo

f(x) = 2x + 3, f(x) = 3 ' - < - 4x16) Sea I(x) = 8 - - X2. Calcule la suma de Riemann de f para la partlcion2

uniforme P de [0,6] en los seis subintervalos iguales, eligiendo IVk al puntamedio del subintervalo.7) Sean f(x) = x3 y P la partici6n de [- 2,4] en los cuatro subintervalosdeterminados por Xo = -2, XI := 0, x2 = 1, X3:= 3 y x4:= 4. Calcule la surna deRiemann de la funci6n para WI = -1, w2 =1, W3 =2 Y 11'4 = 4

1A Definicion de integral definida.

DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA: Si f esta definida en el intervalocerrado [ a , b ] y existe ellimitefllim If(c)L~X~!Ll)!-+Oi=l I 1

Entonces f es integrable en [ a , b ] y ellimite se denotafl b: 1 il!;oIf(cJLlli= J f(x)dx,- - , i=1 Q

Este limite se llama Ia integral definida de f entre a y b. EI numero a sellama limite inferior de integraci6n y el b limite superior de inteqracion.

9


12/37

1.5 Teorerna de exlstencla.

TEOREMA DE INT~RABIUDAD: Si f es acotada en [ a , b ] y si f escontinua, excepto en un numero finito de puntos, entonces f es integrable en[ a , b ] . En particular, S I fes continua en todo el intervalo [ a , b ] , es integrable en[ a , b ] .

TEOREMA: (La integral definida como area de una funci6n)/Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [ a , b ] , el area de la regi6n

limitada por la grafica de f, el eje X y las rectas verticales x = a y x = b vienedada por

bArea = J f(x)dx

a

Como se muestra en la figura.

1.5 Propiedades de la integral definida.d c

DEFINICION: Si c > d ,entonces f f(x) = - f f(x)dxd'aDEFINICION: Si f(a) existe, entonces f f(x)dx =0

TEOREMA: Si una funci6n f es continua en [ a , b ] , entonces fes integrableen [ a , b ]


13/37

bTEOREMA: f cdx =: c ( b - - a ) ; donde c es una constante.TEOREMA: Si f es..;ntegrabie en [ a , b ] Y c es un numero rea! arbitrario.

b bentonces c f es integrable_en l a , b 1 y f cf(x)dx =cj f (x)dxTEOREMA: Si f Y g son integrables en [ a , b ] , entonces f g son

b 6 bintegrables en [a,b] y f[f(x) g(x)}/x = j f (x)dx jg(x)dx

a a

TEOREMA: (Propiedad aiHtiva de Intervalos)Si a < c < b y f es integrable en [ a , e ] yen [ c , b ] , entonces fes integrable en

b c b[a,b] y f f(x )d x = ff(x )dx+ f f(x )dx

a

TEOREMA: Si f es integrable en [a , b ] Y f (x) 2 0 para todo x en [a , b ] ,entonces

bJ f (x)dx 2 0a

TEOREMA: Si f Y g son integrables en [a,b] y f(x) ~ g(x ) para todo x en[ a , b ] , entonces

b bJf(x)dx 2: J g(x)dxa a

11


14/37

y

v =g(x)

u b

TEOREMA:(PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO)Si fes integrable en [a,b] ~ In < : : : : f(x) < : : : : M para toda x en [a,b], entonces

bm ( b - a ) < : : : : f f(x)dx


15/37

je) f (5~x)dx

o

3f ) J dx SOL~7T-3 2

/

13


16/37

f;\ntologia

5 73) Sabiendo que J f(x)dx = : to y J f(x)dx = = 3, calcular:oJ's

7a) J f(x)dx SOL. 13o

ob) f f(x)dx SOL. -10

5c) j 3f(x)dx SOL. 30o

3 64) Sabiendo que J f(x)dx:= 4 y jf(x)dx = = -1, calcular:o 3

6a) f f(x)dx

o

3b) J f(x)dx

6

6c) J - 5f(x)dx3

6 65) Sabiendo que J f(x)dx = lO y J g(x)dx = - 2, calcular:6a) f[f(x) + g(x)}ix SOL. 8

6

b) Hg(x) - f(x)}ix SOL. -126c) J 2g(x)dx SOL.-46

d) J 3f(x)dx SOL. 301. 16) Sabiendo que J f(x)dx = 0 y J f(x)dx = = 5 , calcular:-I 0

oa) J f(x)dx

-1

1 0b) f f(x)dx - J f(x)dx

o -- 1

1c) f 3f(x)dx

o

Paqina 114


17/37

Calculo Integral.

7) Consideremos una funci6n f continua en ei intervale [- 5,5] Y tal que5I f(x)dx = 4, calcular.wo

sa) f L r e x ) + 2}lxo -5

5c) f f(x)dx ( J es impar )-5

5 "b) f f(x)C!x ( f es par)I 2 I 2

8) Suponga que f f(x)dx = 2, f f(x)dx = 3, f g(x)dx = -1 Y f g(x) = 4 J utilice laso 0 0

propiedades de lasintegrales definidas, para calcular cada una de las siguientesintegrales.

2a) f 2f(x)dx SOL.6

2b) J 2f(x)dx

o

2c) f[2f(x) + g(x)ix SOL. 14

o

Id) f[2f(x) + g(x)ix

oIe) J[2f(x) + 5g(x)ix SOL. -31

If) f[3f(x) + 2g(x)ix

1

2g) f[3f(x)+2g(x)}ix SOL. 23o

1.7 Propiedades de la integral definida.

DEFINICION: Una funcion F es una antiderivada (primitiva) de f en un intervalo J si F'(x) = f(x) para toda x en I.

Paqina 115


18/37

Antoloqia

EI proceso que permits hallar la funci6n primitiva de una funci6n f(x) se llamaintegraci6n de la funci6n l(x),~EJEMPLOS: Calcule la antiderivada I(x) de las siguientes funciones.1 ) I(x) = 2xSOLUCION:Una posible antiderivada para la funci6n I(x) esF'(x) = 2x = f(x)

F(x) = x2, puesto que

2) lex) = 4x2SOLUCION:

4Una posible antiderivada para la funci6n f(x) seria F(x) = - x3 , puesto que3F(x) = 4x2 = I(x)3) lex) = x5SOLUCION:

1Una posible antiderivada para la funci6n .r(x) seria F(x) = - x6 , puesto que6F(x) = x5 = lex)Sin embargo existe otra antiderivada para la funci6n lex) = x5 , esta puede ser

1F(x) =- x6 + 5, puesto que F' (x) = XS = lex) .6

Paqina 116


19/37

/ Calculo Integral.

De 1 0 anterior podemos deducir que una funci6n tiene una familia de antiderivadas,as! la familia de antiderivadas de los ejemplos anteriores se pueden expresar de la,JIllforma:

~----.--- -----------

[(x) = x5

Funci6n antiderivada~-------~--------f (x) = 2x F (x) = X 2 + c1------------ ------. --f(x) = 4x2 4 3F(x) = -x +c3

1 6F(x)=-x +c6

DEFINICION: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , la antiderivada masgeneral de fe n el intervalo I esta dada por la expresi6n F(x) + C , dondeC es una constante arbitraria.

Funci6n Antiderivada generalx" 1 1 + 1x--+C , n :;t: -1

-_ n +1~- senkx _ coskx +C k constante, k:;t:Ok ,c----coskx senkx C k, constante, k:;t:O-+k 'f--.-sec'' x tan x +Cf--- .esc" x -cotx+ Ct sec x tan x ._---secx+ C

------ --

Paqina 117


20/37

/

Antologia

[--.-~---- -- -----------------__----------------1cscxcotx +cscxr C I_ _ _ _ - J

EJ~RC.ICIOS: Calcular las antiderivadas de las siguie_nte~ funciones.1) f(x)=cosx2) f(x)=2x+cosx

13) f(x) = =r-J x

4) f(x) = sen2x

5) f(x) = co{~)

1.8 Teorema fundamental del calculo,

EI nombre Teorema Fundamental del Calculo es apropiado, por que dicho teoremaestablece una conexion entre las dos ramas del calculo: el calculo diferencial y elcalculo integral. EI calculo diferencial surqio del problema de la tangente, mientrasque el calculo integral se debe a un hecho aparentemente ajeno, el problema delarea. Isaac Barrow (1630 - 1677), el profesor de Newton en Cambridge, descubrioque estos dos problemas se relacionan. Se dio cuenta de que la diferenciacion y lainteqracion son procesos inversos. EI teorema fundamental del Calculo proporcionala relaci6n inversa precisa entre la derivada y la integral. Newton y Leibnizaprovecharon esa relaci6n y la emplearon para convertir el calculo en un rnetodomaternatico sistematico. En particular vieron que el teorema fundamental del calculoles permitia calcular areas e integrales con suma Iacilidad, sin tener quedeterminarlas como limites de sumas.Para Ilegar al teorema fundamental, sea f una funci6n continua en [ a , b ] , ydefinamos una nueva funci6n, g, mediante

xg(x) = f f( t)dt

a

Paqina 118


21/37

Calculo Integral,

Can a < x < b, Observe que g solo depende de x, aparece como el limite superior.v

variable en la integral. ~ x es un nurnero fijo, la integral f f ( t)dt es un numero... xdefinido. Si dejamos que x varfe, 8 1 numero J I(t)dt tambien varia y define a una

funcion de x representada par g(x). Como se muestra en la siguiente fiqura.

Para ver por que podria ser cierto esto en general, nos fijaremos en cualquier funcionx

continua I donde I(x) ? > : O. Entonces g(x) = J I(t)dt se puede interpretar como elarea bajo la grafica de I, de a a x, donde x puede variar de a a b.Una funcion como esta se denomina Funci6n de Acumulaci6n, ya que acumula elarea bajo una curva desde un punta fijo.

Para calcular g'(x) a partir de la definicion de derivada observamos que cuandoh > 0, g(x + h) -- g(x) se obtiene restando areas, de modo que es el area bajo lagrafica de Idesde x hasta x+ h . Cuando h es pequena en la figura puede verseque esta area es, aproximadamente, igual al area del rectanqulo de altura I(x) yanchura h.

Paqina 119


22/37

Antologfa,

Esto es: .g(x + h) - g(x) ~ hf(x)

A ' g(x+h)-g(x) f( )SI que = xh

Por eso a nivel intuitivo esperamos queg'(x) = lim g(x ~h) - g(x) = f(x)

/'->0 h

EI hecho de que 1 0 anterior sea cierto, aun cuando f no necesariamente seapositiva, es la primera parte del teorema fundamental del calculo.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (Primera parte)Si f es continua en [a,b], la funci6n g definida por

xg(x) = J f(t)dt , a ~ x < b

a

Es continua en [a,b] y derivable en (a,b), y g '(x) = f(x)

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (Segunda parte)bSi f es continua en [a,b], entonces f f(x)dx = F(b) - F(a)a

Pagina 120


23/37

Calculo Integral,

Donde F es cualquier antiderivada de f 1 esto es, una funcion tal que F"= f

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA LA INTEGRAL DEFINIDA:Si f es continua en un intervalo cerrado [ a , b ] , entonces existe un numero z en elintervalo abierto ( a , b ) tal que

bf f(x)dx = f(z)(b - a )a

DEFINICION: Sea fcontinua en [ a , b ] . EI valor medio (0 promedio) f i l l e d de f en[ a , b ] es

1 bi.: = b _ a J f(x)dxa

1.9 Calculo de integrales definldas.

TEOREMA: (Regia de Sustitucion para Integrales Definidas)Suponga que g tiene una derivada continua en [a , b ] , Y sea f continua en el rangode g. Entoncesb g(b)f f(g(x))g'(x)dx = f f(u)dua g(a)

Donde u = g(x)

Paqina 121


24/37

Antologfa

EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2:If ~~_~~_l_-dxo (x2 + 2x+ 6 ySOLUCION:Haciendo la sustituci6n a cambia de variable tenemas:u = x2 + 2x+ 6Derivando u :

-= x+l)dx2Ahara abservemas que cuando x = 0, se tiene que u = 6Por otro lado, cuando x = 1, se tiene que u = 9Por 1 0 tanto, replanteando la integral tenemos:

f r: x + ~--7-dx = J ~ du = 2 _ J U-2du = 1 [ _ 1 ] 9 =.. [ . l _ l ] = J~o (x + 2x + 6)- 6 U 2 2 6 2 u 6 2 9 6 36EJEMPLO 3:

Pagina 122 '


25/37

Calculo Integral.

EJEMPLO 4:4 4 ~ _ [ } ! ' ! _ 5 / ) ] 4 [ , ] 4i2 ,'2 X - X - 2 3 2 2 5, 2f ( 1 - - x)Edx = f (x - x x = -_ --_----- = - x - - XI I 3/2 5/2 I 3 5 J

EJEMPLO 5:2 2 [ 6 3 ] 2 [ ]3 5 2 X x 64 8 40Ix (x + 1~x = f(x + x }Ix = -- + -- = -- + - - [ 0 ] = --o 0 63063 3EJEMPLO 6:

I - , I 1 [ 2 5 0 3 ] 1112 3/2 2 X X - xfX (l--E ) dx= fx(1-2x +x)dx= f(x-2x +x ~x= --2--+-o 0 0 2 5/2 3 0

= [_~ _ _ i + ~] _ [ 0 ] = _ 12 5 3 30

EJEMPLO 7:n/4f tan x sec' xdx

o

SOLUCION:Planteando el cambio de variable:U ::: tan xDerivando:du:::; sec' xdx

Pagina 123


26/37

Antologia

Calculando los nuevos Ifmites de intsqraclon:Si x = 0 entonces Ii::::: 0 .JI'S n tIX = - en onces4 It 0:: 1Replanteando la integral:

[ 1 1,7/4 I u2 1 2 I 1 1ftanxsee2xdx=Judu= -. =-~l ]0=-[1-0]=-2 2 2 2o o . 0EJERCICIOS:

I9) J (1 - 2x) dx

o2

1) J ( 3 X 2 + X - 5 } : I xoI

2) J ( 3 X 2 + X - 5~xo

j --

11) J xH +ldxo

3) t ( 3 x - x : } x SOL. 8 512) J(-3x+4)ix2

24) J(x3 -2x+3~x

-2

313) J ( 3 X 2 + X - 2~x

oj

5) J ( 1 : 2 + F x ~ x SOL. 1o

I 114) J(2x-lYdx SOL. : 3

off

6 ) J (1 + eosx}tx SOL.0

ff 13'7 ) f Zsec ' xdx SOL. 2 - 1 3

0

5ff 168) f csc ' xdx

1(/ 6

11 5) f(x3 -9x~x

-1

- l ( 1 )17) 1 x - : x2dxPaqlna 124

4x-2 21 8) J - C - dx SOL. 3tVX


27/37

\" 319) J(x+l)(x2 +4}Ix

- ; : 3

1 ( 7 1 }0) J ~--5 x SOLo,2 2 X 341 ( 1 1 )1) J ~ - ~ dx

112 X X

Ji 2 J-22) J ~;-_!_dx SOL. 1 2 - V s + 11 X

8~23) J -dxI x24) J x - E dx SOL.-l_

o 3 182

25) J (2 - X )Fxdxo

o26) J (XI I 3 - x2/3 }Ix SOL.-1 2720

-1 227) J x- x dx-8 2V;2

28) J (3X2 - 2x + 3}Ix SOL. 15-t

- 2 ( 2 1 '\ 178330) J x + - 3 . ) dx SOL. .----4 X, 96

Calculo Integral,

131 ) J ( X 4 / 3 -2xl!3}lx

oI 10f ( 2 ) 204732) . x + 1 (2x)dx SOt. -~-11oo

33) f ~ x3 + 1(3x2}dx-1

3 1 434) J---2 dx SOL. --_I ( x + 2) 510

35) f~dx2

8 12236) J Ex + Idx SOL. 97 1

37) J . J dx1 2x+23

38) J~7+2x2(8x)dx SOL. 0-3

3 239) r x + 1 dxI~X3 + 3xtr12

40) J cos' xsenxdxo

1SOL. -3

Pagina 125


28/37

Antologfa

1.10 Integrales lmproplas.En esta seccion extenderemos el concepto de una integral definida al caso donde el~intervalo es infinito y tambien al caso donde f tiene una discontinuidad infinita en[ a , b ] , en u~o'y otro caso la integral se llama Integral l':lp~opia. Una de lasaplicaciones mas importantes de esta idea son las distribuciones de probabilidad.Recordemos que la integral definida solamente 1 0 esta para funciones acotadas ysabre un intervalo finito. La definicion de integral definida de Riemann no puedeaplicarse ni en el caso en que la funcion no es acotada ni en el caso en que elintervalo es infinito. Cuando este es el caso, la definicion de la integral se generalizatomando la integral sobre intervalos finitos adecuados sobre los que la funcion esacotada y considerando despues el limite de estas integrales. Si el limite existe, laintegral generalizada se dice que converge y si el limite no existe, se dice quediverge. Tales integrales se Ilaman impropias 0 infinitas.

Integrales Impropias de tipo I

DEFINICION: Si existe ellimite finitob

lim Jf(x)dxb - - + + ( J ) a

Este Ifmite se llama integral impropia de la funci6n f(x) en el intervalo [ a , + o o ) y sedesigna por

+o:lJ f(x)dxa

Es decir:+00 bJ f(x)dx = 1~~,J(x)dxa a

Paqina 126


29/37

Calculo Integral. ,

DEFINICION: Supongamos que Ies integrable sobre [a,b] para todo b > a y seah w

F(b) = f I dondeb E [ a , ~ , Entonces f Ise llama integral impropia de primersa

clase.~ ~

Decimos que f I converge si li~n! existe y en tal caso el valor de J I es li~n!a a

, es decir: 00 bSI= lirnF(b) = limS!b~oo b-}Cf)a aco

Si li;,l1!no existe, J I se dice que diverge.a

coDEFINICION: La integral impropia S I se define como a a)f f + f! donde a es un

-00

a 00 C / : Jnurnero real cualquiera. Si ambas integrales f! e J Iconvergen, entonces f!se dice que converge y si cualquiera de las dos

cof! diverge, entonces la-0) (f

00

integral f! se dice que diverge.-a)DEFINICION DE UNA INTEGRAL IMPROPIA DE TIPO I

Ia) Si existe f f(x)dx para todo numero t > a, entoncesa

Cf) IJ f(x)dx = = ~~~J(x)dxa a8iempre y cuando exista este limite.

Paqina 127


30/37

Antologfa

bb) Si existe J f(x)dx para todo numero t : b s entoncesb b

f f(x)dx = , ~ ~ ff(x)dx[8iempre y cuando exista este limite

Cf) bLas integrales impropias de f f(x)dx y f f(x)dx se lIaman convergentes si hay tal

a -0)limite y divergentes si no existe tal limite.

if) ac) Si f f(x)dx e f f(x)dx son convergentes, entqncos por definicion

a -U)0) a rof f(x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx

a

Cualquiera de las integrales impropias de la definicion anterior se puede interpretarcomo un area, siempre que f sea una funcion positiva.

00Por ejemplo, para el caso (a) si f(x) 2 0 Y la integral f f(x)dx es convergente, elarea de la region se muestra en la siguiente figura.

J i

Paoina 128


31/37

Calculo Integral.

Regi6n Infinita prolongada en sentido HorizontalCfJ.~EJEMPLO 1: Evalue J --~?dx.)+x-

SOLUCION:Conviene elegir a = 0 por definici6n se tiene

:2

oEJEMPLO 2: Evalue la integral J eidxSOLUCION:

00.J e X dx ;::}~~;JX dx = }_~ ~)e X ] ~ = }~~[1 e G ] = 1w a

+0 0 dEJEMPLO 3: Hallar los valores de a. para los cuales la integral J ~ converge 0IX

diverge.

SOLUCION:

Paqina 129


32/37

Antologia

Puesto que (para a 1: 1 ), la integral existe:

Por definicion de integral impropia se tiene:

Por 1 0 tanto+ J O O dx 1 ..Si a > 1, tenemos - = ~-, es decir la Integral converge.x O : 1- a1+0 0 dxSi a < 1, tenemos r - = = 00, es decir la integral diverge.J x"1

+CfJ dSi a::: : 1 ,tenemos J - ~ = [I n x ] ; 0 0 = 00, es decir la integral diverge.J x

Integrales Impropias de Tipo II

Sea una funci6n positiva continua, definida en un intervalo finito, [ a , b ) , con unaasfntota vertical en b . sea S la region no acotada bajo la grafica de f, y sobre eleje X, entre a y b. Recordemos que para las integrales impropias de Tipo 1 lasareas se prolongan indefinidamente, en direccion horizontal. En este caso, la regi6nes infinita en sentido vertical. EI area de la parte de S entre a y t regi6n sombreadaes

tA(t ) := J f(x)dx

a

Si ACt ) tiende a un nurnoro definido A, cuando t ~ b , se dice que el area de laregi6n S 8S A, YS8 escribe

b If f(x)dx:= } ~ ~ f f(x)dxa a

Pagina 130


33/37

Calculo Integral,

Regiones infinitas prolongadas en sentido verticalDEFINICION: Si f es acotada e integrable sobre todo el intervalo [ a , e ] , donde

ce E [ a , b), pero no acotada sobre [ a , b) Y sea F( e) = f f .Entonces la integral

a

bS f se llama integral impropia de segunda clase y su valor esta dado pora

b cJ f(x)dx = lim F(c) = lim Sf(x )dxc--+b- c--+b-a aDEFINICION DE UNA INTEGRAL IMPROPIA DE TIPO II

Paqina 131


34/37

Antologia

a) Si f es continua en [ a , b ) y discontinua en b entonces la integralb tf f(x )dx::::; 1 i~Jf(x)dx ...,t=vb aSi este limite existe como un numero fini tob) Si f es continua en ( a , b ] Ydiscontinua en a entonces la integralb bJ f(x)dx = l i m f f(x)dx

t--+aII t

5i este limite existe como un numero finite.

FORMULAS BASICAS

1) f udv = uv ~ f vdu 16) f du l ( U )J 2 2 = sen - + ca -- u a2} f lid 1 1 1 + 1 + n -I- ~1u::::;~-u c; -r-n +1 17) f du 1 - l ( U )2 -2=~ tan - + ca +u a a

J du I I) ~ =lnu +cu 18) f du 1 - l ( U )-sec - +cr - ; - 2u-iu: + I; a a4) f e l l du = e" + c

II5) Jalldu =-q__+cIna6) f sen(u)du = --eos(u) + c 20) f ~ - - : : : : ; ~l lnlu ~al + cu2 - a' 2a u + a7) f eos(u)du = sen(u) + c8) f sec' udu :::::anu + c9) J esc} udu = ~ cot u + c10 ) fsecutanudu=secu+c

Pagina i 32


35/37

Calculo Integral.

11) f cscu cotudu ==cscu +c12) f ta n udu = lnlsec ul + c,JIll13} J cot udu = lnlsenu\ + c14) J secudu = Inlsecu + tanul + c15) f cscudu = ln lc sc zz - cot t t l + c

Paqina ! 33


36/37

TECNOtOmCoDE MARTiNEZ'"

PR OPIED AD ES D E LA S D ES !G UA LD AD ESSi a > b y b > c, entonces a > cSi a > b entonces a + c > b + cSi a > b entonees a - c > b - c

si a > bye es positivo, entonees ae > beSi a > b y c es negativo, entonees ac < be.Sea a un numero real. El valor absoluto de se denota por

!a: y esta dado por:I a I = { a si, a > 0-a S[ a < 0

PROPL'.DADES DE LOS VALORES ABSOLljTOSSea bun numero real positivo. Entonces

la l < b si Y solo si - b < J< bla l > b si s6lo si a > b a bien a < =bl a l = b si y solo si a = b a bien a = +b

Desigualdad del triangulo I a + b I < I a I + I b IIntervalos infinitos: (a,co) = [z /x > a;x E R}

[a,co) = {xix > a;x E R }(-co, a) = {xlx


37/37

2,1 Generalidades y diagramas de procesos.UNlOAD 11.-ESTUDIO DE TIEMPOS Y MOVIMIENTOSActividad 1.- Un trab.dor etectua una determinada tarea sobre un producto varlasveces al dla, Un estudio de tlernpos mostro la distancias y tiempos requeridos paraefectuar esa operacion. Realiceel diagrama de proceso.Obtener y colocar la unidad (10s), Efectuar la calibraci6n (50s), Efectuar pruebas mspeccion(12s), caminar 3m a la pulidora(4s), Pulir la pieza (25s), Verificar pulido (15s), regresar a laestaci6n de trabajo, Colocar en caja (15s), Sellar la caja (20s) Colocar la caja en productosterm inados (12s)

Actividad 2 Contesta las siguientes preguntas1.- i,Que es un diagrama trabajador - maquina?2.- Menciona 3ejemplos donde se podria determinar el tiempo Con el apoyo de undiagrama trabajador -- rnaquina.3.- l.Cual es la utilidad de un diagrama trabajador - maquina?4.- l,Cuiti es la unidad de medida apropiada para medir el trabajo?5.- l,Que es un estandar de mane de obra?6.- l,Cual es la meta de realizar la medlcion del trabajo?7.- LA que se refiere un sistema de pago por incentlvos?8.- l.Que esel muestreo del trabajo?9.- l,Cwl!es son los tipos de diagramas utilizados en el estudio de tiempos ymovimientos?10.- Realizar un cuadro sinoptico de los pasos para determlnar los estandares de manade obra a partir del estudio de tiempos.

Apuntes Calculo Integral Unidad I

Documents

Transcript of Apuntes Calculo Integral Unidad I