COLEGIO CATLICO JOS ENGLING

EDUCAR AL HOMBRE NUEVO PARA EL MUNDO DEL MAANA

CALCULO DIFERENCIAL.-

Introduccin a los lmites.-Nocin intuitiva de lmite.- Consideremos la funcin determinada por la siguiente expresin algebraica

Ntese que la funcin no est definida para , ya que si reemplazamos el valor de 1 en en ese punto tiene la forma y carece de significado. Podemos, sin embargo, preguntar todava que sucede a cuando se aproxima a 1. Dicho de otra manera, se aproxima a algn nmero especfico cuando x tiende a 1?Para responder con esta inquietud vamos a calcular algunos valores de para x prxima a 1, en una tabla colocaremos los mismos y vamos a graficar estos valores.

x

1.25 3.813

1.10 3.31

1.01 3.030

3

1.001 3.003

1.000 ?

0.999 2.997

0.99 2.970

0.9 2.710

0.75 2.313 1

Graficar la funcin: Encontramos las asntotas de la funcin Para la cual igualamos a cero el denominador y nos dar la asntota Vertical x = 5

Luego despejamos y, nos dar la asntota Horizontal y = 6

La asntota oblicua existe cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se divide normalmente y el cociente nos dar la recta de la asntota

Sea la funcin definida por

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la funcin f (x):

x

1.9 2.611.99 2.96011.999 2.9960011.9999 2.999600012.0001 0.000400012.001 3.0040012.01 3.04012.1 3.41

Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez ms a 3; y cuanto ms cerca est x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es ms pequea asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez ms pequea. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). O sea, la funcin se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima tambin a un valor constante. De lo anterior se deduce intuitivamente que el lmite de la funcin f (x) cuando x tiende a 2, es 3.En los siguientes ejercicios completar la tabla y usar el resultado para estimar el lmite correspondiente

x1.91.991.9992.0012.012.1

f(x)

x1.91.991.9992.0012.012.1

f(x)

x -0.1-0.01-0.0010.0010.010.1

f(x)

x-3.1-3.01-3.001-2.999-2.99-2.9

f(x)

x2.92.992.9993.0013.013.1

f(x)

x3.93.993.9994.0014.014.1

f(x)

x

f(x)

x

f(x)

Teoremas de lmites

Lmite de una funcin.- De aqu en adelante consideraremos nicamente funciones reales de variable real dadas por ecuaciones, o sea funciones de la forma donde es la ecuacin que define la funcin.

Definicin.- Una funcin tiene un lmite b, cuando x tiende a a y se escribe

Esto quiere decir que f(x) se aproxima a b como lmite cuando x se aproxima a a si la diferencia entre f(x) y b, en valor absoluto, es tan pequea como queramos cada vez que la diferencia entre x y a en valor absoluto es pequea.

Teoremas de lmites

Para facilitar la obtencin del lmite de una funcin sin tener que recurrir cada vez a la definicin psilon - Delta se establece los siguientes teoremas.

Los teoremas se enumeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.

Nota: los teoremas se presentan sin demostracin.Teorema de lmite1:

Si k es una constante y a un nmero cualquiera, entonces

Teorema de lmite2:

Para cualquier nmero dado a,

Teorema de lmite3:Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de lmite4:

Teorema de lmite5:

Teorema de lmite6:

Si f es un polinomio y a es un nmero real, entonces

Teorema de lmite7:Si q es una funcin racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de lmite8:

Procedimiento para calcular lmites

Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el lmite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinmicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el lmite de una funcin polinmica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una funcin racional y la propiedad 4 (III) tambin.

Cuando al sustituir la a por x en la funcin nos da la forma indeterminada 0/0 es posible calcular el lmite pero, previamente, hay que transformar la frmula de la funcin de tal modo que, una vez hecha la simplificacin pertinente, se pueda evitar la divisin por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacin, la conjugada, etc.Evalu los siguientes lmites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:

Aplicando el teorema 1 Se tiene que

, tiene la forma Entonces aplicamos el teorema de lmites 3 Entonces

Por lo tanto si aplicamos el teorema de lmites 6

Entonces

Si aplicamos el Teorema de lmites 7, se tiene que Siendo y es una funcin racional, por lo tanto

EMBED Equation.3 Entonces

Aplicando las propiedades teorema de lmites 8, 7 y 3 se obtiene

Entonces

No es posible aplicar directamente el teorema de limites 7, pues se obtendra la forma indeterminada ; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin para levantar la indeterminacin

Entonces ahora si se obtiene fcilmente el lmite aplicando el teorema de lmites 1.

Por lo tanto

No es posible aplicar directamente el teorema de lmites 7, pues se obtendra la forma indeterminada . Por lo tanto hay que levantar la indeterminacin

No obstante, luego de factorizar y simplificar la expresin se obtiene fcilmente el lmite aplicando los teoremas de lmites 7 y 4 entre polinomios.

Entonces

Si pretendiramos aplicar el lmite directamente a partir del teorema de lmites, nos dara la forma indeterminada Por lo que, se debe factorizar para levantar la indeterminacin y luego simplificar la expresin antes de poder hacer uso del teorema de lmites 6:

Usando el teorema respectivo tenemos que: Entonces

No se puede aplicar el lmite directamente, dara la forma indeterminada ; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada (o factor racionalizante) de la expresin del numerador para poder levantar la indeterminacin, luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el teorema respectivo para hallar el lmite:

Racionalizando el denominador se tiene que:

Buscando un factor racionalizante conveniente aplicamos los teoremas de lmites 7 y 8 respectivamente

Por lo tanto

El lmite no se puede aplicar directamente, resultara la forma indeterminada ; no obstante, una vez factorizando aplicando el Teorema de Ruffini y simplificando, la expresin queda expedita para hallar el lmite mediante los teoremas de los lmites 7 y 6 respectivamente:

Ejemplos.

Hallar los siguientes lmites

Si , encontrar

Si , calcular

Encontrar los siguientes lmites de las funciones dadas

Recordemos que al evaluar una fraccin y determinar el valor numrico nos pueden dar los siguientes resultados

Existe el valor que es cero

Es una forma indeterminada por lo que se admite que los trminos de la fraccin tienen un factor comn por lo que hay que hallar el verdadero valor. Para ello hay que factorar el numerador y el denominador y se simplifica los factores comunes que tenga y ah se halla el verdadero valor.

Para hallar los siguientes lmites hay que racionalizar el numerador o el denominador dependiendo de lo que se necesite. Racionalizar donde se encuentra la raz.

Lmites al infinito.- Puede ocurrir que cuando la variable independiente x se aproxima a un valor constante a, la funcin se hace muy grande. Esto es cuando x tiende a a, f(x) crece sin lmite, esto quiere decir que f(x) tiende al infinito. Lo denotaremos .Algo semejante ocurrir cuando f(x) decrece sin lmite lo denotaremos

Decimos entonces que no existe, por lo tanto lo denotaremos de la siguiente manera

Si x se acerca a 0 por la derecha .

Si x se acerca a 0 por izquierda

El smbolo + y - no son nmeros reales; son smbolos que nos representan cantidades exageradamente grande o exageradamente pequeo

Puede ocurrir tambin que cuando x tiende a + 0 -, la funcin tiende a estabilizarse en un valor constante k. Escribiremos o

Cuando el denominador de la fraccin se hace muy grande el resultado de sta es muy pequeo por lo tanto:

Calcular el

Tambin tenemos los lmites al infinito que son los de la forma y los de la forma

Aplique los criterios o el criterio ms conveniente para hallar los lmites indicados.

Comprobar los siguientes lmites.-

LA DERIVADA DE UNA FUNCIN POLINMICA.-Histricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raz del concepto de lmite.

Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada, los comunes son los siguientes: Definiciones de Derivada: Definicin: Pendiente de una curva. La pendiente del grfico de la funcin f en el punto

(x , f(x) ) es la derivada de f en x. Definicin: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la funcin f en el punto P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.

Una forma clsica de construir el concepto de derivada es la segunda definicin, la de recta tangente a una curva, podramos iniciar por tomar una lnea que corta a la grfica de la funcin en ms de un punto, como se muestra a continuacin:

A medida que los intervalos de posicin en x son ms pequeos como el esquema que se muestra a continuacin, la lnea recta tiende a ser ms semejante a una lnea tangente que a una lnea recta secante:

La derivada es la pendiente de la recta tangente del grfico en el punto x. Esto quiere decir es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera.

Analizando esta lnea tangente podemos ver que:

El tringulo rectngulo que se forma puede conducirnos a analizar cul es la ecuacin de la pendiente de la lnea recta tangente. Ntese la hipotenusa dentro del tringulo rectngulo corresponde a la lnea recta.

Como podemos apreciar la ecuacin que relaciona la lnea recta est dada por la tangente:

Pero como sabemos para la lnea recta dicha relacin nos da la pendiente de una lnea recta

Como hemos dicho esta relacin, de recta tangente se logra solo que los intervalos:

sean pequeos lo que equivale a decir que se genera el lmite cuando o lo que equivale a decir que se genera el lmite:

Fue a este lmite al que se le dio el nombre de derivada:

donde es una notacin para indicar el operador de derivada.

Derivada en un punto

Teniendo presente el concepto anterior se llega a que:

La derivada de una funcin f(x) en un punto x = a es el valor del lmite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Si acercamos el punto Q al punto P de tal manera que h tienda a cero, entonces la pendiente de la recta secante al punto m es

Entonces; dada la funcin y= f(x) la derivada mide la variacin de y cuando hay una pequea variacin de x. Por lo tanto la definicin viene dada por la expresin

Ejercicios de aplicacinCalcular la derivada de la funcin en el punto x = 2.

Hallar la derivada de la funcin f(x) = x2 + 4x 5 en x = 1.

Definicin: Se dice que la funcin f es derivable en el punto x, si el siguiente lmite existe.

Al valor de este lmite le llamamos LA DERIVADA de f en el punto x.

Por lo tanto, para que exista la derivada de una funcin en un punto tiene que existir el lmite. Cuando no existe este lmite, se dice que la funcin no es derivable en ese punto.

Ejemplos:Calcular la derivada de en x = 5.

Hallar la derivada de en x = 1.

Determinar la derivada de en x = 2.

Calcula el valor de la derivada en x = 2.

Hallar la derivada de en x = 3.

Este proceso por lo general es laborioso, por tanto es necesario establecer frmulas que nos permitan, de una manera ms gil, calcular la derivada de una funcin dada.

Derivadas de las funciones polinmicas. A las derivadas las denotaremos

Derivada de una constante. Donde k es una constante cualquiera, entonces

Derivada de , donde n es un entero positivo, entonces

Derivada de una constante por una funcin. Si k es una constante y f es una funcin diferenciable

Derivada de la funcin identidad, si la funcin es igual a x, entonces

Derivada de una suma, si f y g son funciones diferenciables, entonces

Derivada de una diferencia, si f y g son funciones diferenciables, entonces

Derivada de un producto, si f y g son funciones diferenciables, entonces

Derivada del cociente, si f y g son funciones diferenciables, entonces

Regla de la cadena, que determinan una funcin compuesta . Si g es diferenciables en x y f es diferenciables en entonces es derivable en x y

La derivada del logaritmo neperiano (ln) de una funcin de x es igual a la derivada de la funcin de x dividida entre dicha funcin

Encontrar las siguientes derivadas usando los principios dados.

EMBED Equation.3

11

_1429890684.unknown

_1431189741.unknown

_1461162582.unknown

_1461770565.unknown

_1461811401.unknown

_1462025799.unknown

_1462025886.unknown

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_1483274857.unknown

_1462025922.unknown

_1462025943.unknown

_1462025822.unknown

_1462025840.unknown

_1462025811.unknown

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_1461811711.unknown

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