CURVAS, INTEGRALES CURVILÍNEAS, INDEPENDENCIADEL CAMINO, TEOREMA DE GREEN

Índice

1. Concepto de arco 31.1. Funciones vectoriales de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Arco parametrizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Cambios de parámetro. Parametrizaciones equivalentes. Curvas 9

3. Métodos para parametrizar curvas 123.1. Parametrización de rectas y segmentos de recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2. Parametrización de curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3. Parametrización de curvas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Curvas de clase 1. Vector tangente a una curva. Recta tangente 174.1. Recta tangente y normal a una curva en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. Recta tangente a una curva de�nida por ecuaciones cartesianas . . . . . . . . . . . . . 22

5. Longitud de arco 23

6. Caminos de clase 1 a trozos 26

7. Integral curvilínea 277.1. Integral curvilínea de un campo vectorial. Circulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2. Integral curvilínea de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.3. Simetrías en las integrales curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8. Independencia del camino en la integral curvilínea. Campos conservativos 36

9. Teorema de Green 429.1. Orientación de una curva de Jordan plana. Conjuntos simplemente conexos . . . . . . 429.2. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.3. Algunas consecuencias y aplicaciones del teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . 45

9.3.1. Aplicación del teorema de Green al cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . 459.3.2. Condición su�ciente para que un campo en R2 sea conservativo . . . . . . . . . 469.3.3. Invariancia de una integral curvilínea plana al deformar el camino . . . . . . . 479.3.4. �Teorema de Gauss en R2� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1

9.3.5. Fórmulas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2

CURVAS, INTEGRALES CURVILÍNEAS, INDEPENDENCIADEL CAMINO, TEOREMA DE GREEN

Ampliación de Cálculo - 2010-2011- Grupo 2M1

1. Concepto de arco

Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es una curva. Sin embargo, para trabajar con curvases preciso dar una de�nición precisa de lo que son.

Nuestra idea intuitiva de curva en Rn es la de un cierto subconjunto de Rn que tiene �longitud�perono tiene�area�ni �volumen�. En esta sección seremos más precisos y de�niremos con rigor el conceptode �curva�. En concreto, comenzaremos trabajando con lo que se denomina �arco parametrizado�.

Antes de introducir el concepto de arco parametrizado recordemos algunas propiedades, estudiadasen Cálculo II, de las funciones vectoriales de variable real.

1.1. Funciones vectoriales de variable real

Sea I un intervalo de R, y sea la función vectorial de variable real

~r : I ! Rnt ! ~r(t) = (r1(t); r2(t); :::; rn(t))

Pues bien, se tienen las siguientes de�niciones y propiedades:

I Continuidad.

De�nición 1 ~r es continua en t0 2 I � ~r(t0) = l��mt!t0 ~r(t)

Proposición 1 ~r es continua en I � 8t 2 I, ~r es continua en t.

Proposición 2 ~r es continua en t0 , las funciones r1(t); :::; rn(t) son continuas en t0.

I Derivación.

De�nición 2 ~r es derivable en t0 2 I � existe y es �nito el límite l��mh!0 ~r(t0+h)�~r(t)h y en tal caso sede�ne dicha derivada ~r0(t0) como el valor del límite.

Proposición 3 ~r es derivable en t0 2 I , las funciones r1(t); :::; rn(t) son derivables en t0, y en talcaso ~r0(t0) = (r01(t0); :::; r

0n(t0))

T

Nótese que según la notación habitual, la matriz jacobiana de ~r(t) es ~r0(t) considerada como vectorcolumna. En lo sucesivo siempre consideraremos a ~r0(t) como vector columna.

Proposición 4 Regla de la cadena. Si f es una función real de variable real, la derivada de laaplicación ~r(f(t)) es, aplicando la regla de la cadena

d

dt~r(f(t)) = ~r0(f(t))f 0(t)

3

Proposición 5 Derivada del producto escalar y el producto vectorial.d

dt(~r(t) � ~w(t)) = d~r

dt(t) � ~w(t) + ~r(t) � d~w

dt(t)

d

dt(~r(t)� ~w(t)) =

d~r

dt(t)� ~w(t) + ~r(t)� d~w

dt(t)

I Integración.

De�nición 3 Se dice que ~r es integrable en [a; b] cuando todas las funciones componentes r1; :::; rnson integrables en dicho intervalo y entonces se de�neZ b

a~r(t)dt :=

�Z b

ar1(t)dt; :::;

Z b

arn(t)dt

�Ejercicio 1 Calcular la derivada de g(t) = k~r(t)k2.

Ya estamos en condiciones de introducir el concepto de arco:

1.2. Arco parametrizado

De�nición 4 Arco parametrizado. Ecuaciones paramétricas del arco. Un arco es una apli-cación

~r : [a; b] ! Rnt ! ~r(t) = (r1(t); r2(t); :::; rn(t))

(1)

continua. A t se le denomina �parámetro�. Las ecuaciones paramétricas del arco (1) son las ecua-ciones

x1 = r1(t); x2 = r2(t); :::; xn = rn(t); t 2 [a; b] (2)

I Comentarios:

Normalmente, aunque no necesariamente, n es 2 o 3.

Las aplicaciones continuas deforman los conjuntos sin �romperlos�. Por ello, la aplicación ~r anteriorse puede interpretar de la siguiente forma: se toma un alambre que inicialmente ocupa el intervalo[a; b] y se lleva a Rn deformándolo sin romperlo. La siguientes �guras muestran ejemplos de arcosen R2 y R3 :

Arco en R2 Arco en R3

4

El parámetro se puede interpretar físicamente como tiempo y ~r(t) como la posición de un móvilen función del tiempo.

Orientación. La parametrización lleva implícita una �orientación� o sentido de recorrido delarco.

Trayectoria. Ecuaciones cartesianas del arco. La idea intuitiva que tenemos de una �curva�es la de la imagen de la aplicación anterior, es decir, del conjunto

Im(~r) = f~r(t) : t 2 [a; b]g

que, siguiendo con la interpretación física anterior, es la trayectoria del móvil, es decir, el conjuntode puntos por los que pasa. Como ya se estudió en el capítulo dedicado a la integral múltiple,el conjunto Im(~r) también puede describirse mediante ecuaciones cartesianas. En concreto, si setrabaja en R2 la ecuación será del tipo

g(x; y) = 0

mientras que en R3 tendremos las ecuaciones

g(x; y; z) = 0

h(x; y; z) = 0

que se puede interpretar como la intersección de 2 super�cies.

Obsérvese que la aplicación ~r : [a; b] ! Rn, es decir, las ecuaciones paramétricas, contiene másinformación que Im(~r), es decir, que las ecuaciones cartesianas, pues las primeras nos dicen en quépunto está el móvil en cada instante de tiempo, mientras que las segundas sólo informa sobre lospuntos sobre los que ha pasado el móvil.

Por ejemplo, las siguientes ecuaciones

x = R cos ty = R sen t

; t 2 [0; 2�]

corresponden a una circunferencia de centro el origen y radio R recorrida en sentido contrario alas agujas del reloj y empezando (y terminando) en el punto (R; 0)

La ecuación cartesiana correspondiente a dicho arco es

x2 + y2 = 1

5

Veamos algunas de�niciones:

De�nición 5 Extremos del arco: Los extremos del arco ~r : [a; b]! R son los puntos ~r(a) y ~r(b).

I Comentario: los extremos del arco no tienen por qué coincidir con los extremos del mismo en elsentido geométrico habitual.

De�nición 6 Arco cerrado. Arco parametrizado en el que ~r(a) = ~r(b).

IComentario: Según la de�nición, un arco es cerrado cuando el móvil empieza y acaba en el mismopuntos. Por ello, un arco cerrado no tiene por qué ser cerrado en el sentido geométrico habitual.

De�nición 7 Arco simple. Un arco simple es un arco ~r : [a; b] ! R inyectivo, es decir, tal que~r(t) = ~r(s) implica t = s.

De�nición 8 Arco cerrado simple o curva de Jordan. Es un arco cerrado y que cumple que esinyectivo salvo en los extremos, es decir, ~r : [a; b] ! Rn continua con ~r(a) = ~r(b) y ~r(t) inyectiva en[a; b).

Curva de Jordan (en R2) Arco cerrado no inyectivo (en R2)

Ejemplos de arcos

1.~r1 : [0; 2�] ! R2

t ! ~r1(t) = (cos t; sent)

cuya ecuación cartesiana esx2 + y2 = 1

6

2.~r2 : [0; 2�] ! R2

t ! ~r2(t) = (cos 2t; sen2t)

Representa la misma circunferencia del ejemplo 1 pero recorrida dos veces.

3.~r3 : [0; 2�] ! R2

t ! ~r3(t) = (cos t;�sent)Representa la misma circunferencia del ejemplo 1 pero recorrida en sentido contrario

4.~r4 : [0;

p2�] ! R2t ! ~r4(t) =

�cos t2; sent2

�Representa la misma circunferencia del ejemplo 1 pero recorrida con mayor velocidad. Se tardasólo

p2� segundos, en vez de 2�, en recorrer la circunferencia.

5.

~r5 : [0; 2�] ! R3t ! ~r5(t) = (�10 cos t� 2 cos(5t) + 15 sin(2t);�15 cos(2t) + 10 sin t� 2 sin(5t); 10 cos(3t))

Esta parametrización tan complicada corresponde a la siguiente curva

7

I Noción de �punto� en un arco Cuando se habla de �punto�de un arco, geométricamente nosestamos re�riendo a un punto de la imagen de la parametrización, pero sin embargo matemáticamenteesto es incompleto, pues, en arcos no inyectivos, un punto de la imagen puede corresponder a variosvalores del parámetro (es decir, el móvil pasa por el mismo punto en distintos instantes de tiempo).A efectos de cálculo de la recta tangente en el punto esto no importa, pero sí lo hace si hablamos delvector tangente, pues podría cambiar el sentido

8

2. Cambios de parámetro. Parametrizaciones equivalentes. Curvas

A continuación de�niremos el concepto de �arcos equivalentes�, que intuitivamente corresponde alde arcos que recorren los mismos puntos el mismo número de veces. En primer lugar introducimos elsiguiente concepto:

De�nición 9 Cambio de parámetro. Un cambio de parámetro es un difeomor�smo de clase C1

entre intervalos cerrados, es decir, una aplicación

� : [c; d] ! [a; b]s ! t = �(s)

(3)

que cumple:a) � es biyectiva luego admite inversa ��1

b) � es de clase C1 en [a; b]c) ��1 es de clase C1 en [a; b]

Tipos de cambio de parámetro Sea � el cambio de parámetro de (3) y sea h = ��1. Se tieneentonces que h(�(s)) = s y derivando se deduce que h0(�(s))�0(s) = 1, por lo que �0(s) 6= 0 para todos 2 [a; b]. De esta forma, como �0 es continua, sólo hay dos posibilidades:

1) �0(s) > 0 para toda s 2 [c; d] en cuyo caso � es estrictamente creciente.

Cambio de parametrocreciente

9

2) �0(s) > 0 para toda s 2 [c; d] en cuyo caso � es estrictamente decreciente

Cambio de parametrodecreciente

Ahora diremos que dos arcos son equivalentes cuando uno se puede obtener del otro a partir de uncambio de parámetro. Concretamente de�nimos:

De�nición 10 Arcos equivalentes (directa e inversamente). Se dice que dos arcos ~r : [a; b] !Rn y ~w : [c; d]! Rn son equivalentes cuando existe un cambio de parámetro que los relaciona es decir,cuando existe un difeomor�smo de clase C1

� : [c; d] ! [a; b]s ! t = �(s)

tal que ~w = ~r � �, es decir,

[c; d]�! [a; b]

~r! Rn

[c; d]~w=~r��! Rn

Se dice que los arcos son:a) Directamente equivalentes: cuando el cambio de parámetro es creciente.b) Inversamente equivalentes: cuando el cambio de parámetro es decreciente.

La siguiente �gura ilustra la de�nición de arcos equivalentes:

10

Ejercicio 2 Estudiar las equivalencias entre los arcos de los ejemplos que siguen a la de�nición 8.

Propiedades de los arcos equivalentes

1. De la de�nición de arcos equivalentes se deduce:

� Los arcos equivalentes tienen la misma imagen.� En los arcos directamente equivalentes, se recorren los mismos puntos el mismo número de vecesy en la misma dirección.

� En los arcos inversamente equivalentes, se recorren los mismos puntos el mismo número de vecesen sentido contrario.

2. Si ~w = ~r � � es derivable, ~w0(s) = ~r0(�(s))�0(s) por lo que k~w0(s)k = k~r0(t)k j�0(s)j. Como engeneral �0(s) 6= 1, la velocidad de recorrido de cada arco es distinta.

3. Se puede demostrar fácilmente que si ~r y ~w son arcos que recorren los mismos puntos el mismonúmero de veces y en el mismo sentido (resp. sentido contrario), y además ~r0 y ~w0 no se anulanen ningún punto, entonces ~r y ~w son directamente equivalentes (resp. inversamente equivalentes).

Como resumen intuitivo: dos arcos equivalentes representan el movimiento de un mismo móvil enlos que la única diferencia es la velocidad con la que se recorre el arco.

A continuación introduciremos un concepto para denotar al conjunto de todos los arcos que sonequivalentes a uno dado, es decir, al conjunto formado por ese arco y todos los que pasan por losmismos puntos el mismo número de veces. Para ello, primero veremos el siguiente resultado:

Proposición 6 La relación �ser equivalente a� es una relación de equivalencia. En otras palabras,(i) un arco ~r : [a; b] ! Rn es equivalente a sí mismo (propiedad re�exiva), (ii) si ~r : [a; b] ! Rnes equivalente a ~w : [c; d] ! Rn entonces ~w es equivalente a ~r (propiedad simétrica) y (iii) si ~r esequivalente a ~w y ~w es equivalente a ~� entonces ~r es equivalente a ~� (propiedad transitiva).

La proposición anterior garantiza que el conjunto de los arcos queda dividido en subconjuntos (de-nominados �clases de equivalencia�) en los que cada subconjunto está formado por arcos equivalentesentre sí. Entonces podemos de�nir:

De�nición 11 Arco geométrico correspondiente a un arco parametrizado ~r : [a; b]! Rn, es la clasede equivalencia correspondiente a todos los arcos equivalentes a ~r : [a; b]! Rn, es decir, es el conjuntoformado por el arco ~r y todos los que son equivalentes a ~r.

Cuando además de recorrerse los mismos puntos el mismo número de veces se haga en el mismosentido, hablaremos de �curva�. Concretamente de�nimos:

De�nición 12 Arco geométrico orientado, curva o camino correspondiente a un arco para-metrizado ~r : [a; b] ! Rn es la clase de equivalencia correspondiente a todos los arcos equivalentesdirectamente a ~r, es decir, es el conjunto formado por el arco ~r y todos los que son directamenteequivalentes a ~r.

Hablaremos de propiedades intrínsecas de una curva como las propiedades que no dependen delrepresentante

11

De�nición 13 Propiedades intrínsecas de una curva: son aquellas que son independientes dela parametrización que se elija (que conserve la orientación).

Una vez �jadas estas de�niciones, hacemos constar que en lo sucesivo, y siguiendo el uso habitualen la física, se hará un uso muy amplio (y a veces ambiguo) de la palabra �curva�. En algunas ocasioneshará referencia a una clase de equivalencia de arcos, y en otras a la trayectoria que deja el móvil ensu movimiento.

3. Métodos para parametrizar curvas

No existe ningún procedimiento general que sirva para parametrizar una curva dada por sus ecua-ciones cartesianas. A continuación se dan algunas ideas sencillas sobre algunos casos particulares deinterés.

3.1. Parametrización de rectas y segmentos de recta

Sean A;B dos puntos de Rn y considérese la siguiente �gura

La recta que pasa por los puntos A y B se puede parametrizar de la siguiente forma: el vector��!OP se

puede expresar en la forma��!OP =

�!OA +

�!AP . Además el vector

�!AP es proporcional a

��!AB, es decir,�!

AP = ���!AB para algún � 2 R. Finalmente, como ��!AB = ��!OB ��!OA tenemos

��!OP =

�!OA+ �

��!AB =

�!OA+ �

���!OB ��!OA

�; � 2 R

es decir, la parametrización de la recta buscada es

~r(�) =�!OA+ �

���!OB ��!OA

�; � 2 R

En el caso de considerar únicamente el segmento que une los puntos A y B se toma � 2 [0; 1].

3.2. Parametrización de curvas en el plano

El objetivo de esta sección es el siguiente: dada la ecuación cartesiana de una curva en R2, encontraruna parametrización de la misma. No existe un procedimiento general que permita parametrizar curvas,por lo que nos restringiremos a algunos casos sencillos y que aparecen mucho en las aplicaciones:

12

1. Curvas de�nidas por una ecuación explícita: y = f(x), x 2 [a; b]

Una curva de este tipo se parametriza de forma inmediata mediante

x = ty = f(t)

t 2 [a; b]

A esta parametrización se le denomina parametrización trivial de la curva de�nida en forma cartesianaexplícita.

2. Curvas de�nidas por una ecuación implícita g(x; y) = 0

2.1. Si la curva es algébrica de grado 2 (es decir, si g es un polinomio en las variables x e y degrado dos, por ejemplo 2x2 + y2 + 2xy = 1) se pueden utilizar las igualdades

sen2t+ cos2 t = 1 ; ch2t� sh2t = 1

2.2. Si g es algébrica de grado mayor que dos, en algunas ocasiones se puede utilizar la técnica deparametrización racional de curvas planas, que no describimos en estos apuntes.

Ejercicio 3 Parametrizar las siguientes curvas:(1) x2

a2+ y2

b2= 1

Posible solución:x = a cos ty = bsent

; t 2 [0; 2�]

(2) x2

a2� y2

b2= 1

Posible solución:x = achty = bsht

; t 2 R

para una rama (x > 0) yx = �achty = bsht

; t 2 R

para la otra rama (x < 0).(3) y2 = 2x2 + 3x+ 1.Posible solución:

x = 14cht�

34

y = 12p2sht ; t 2 R

para una rama yx = �1

4cht�34

y = 12p2sht ; t 2 R

para la otra.

13

2.3. Parametrización polar. Se puede entrar con x = � cos �, y = �sen� en la ecuación de la curvae intentar despejar � en función de � en la forma � = h(�), � 2 [�1; �2] Entonces, proyectando �sobre los ejes x e y se obtiene que la curva se puede parametrizar en la forma

x = h(�) cos �y = h(�)sen�

� 2 [�1; �2]

Ejercicio 4 Parametrizar la curva con ecuación cartesiana�x2 + y2

�2= x2

y dibujarla.

Obtención de la ecuación cartesiana a partir de las paramétricas Nos planteamos aho-ra el problema inverso del considerado anteriormente: dadas unas ecuaciones paramétricas de unacurva en R2, queremos encontrar la ecuación cartesiana de la misma. Para obtener las ecuacionescartesianas de una curva a partir de unas ecuaciones paramétricas, basta con eliminar el parámetro deéstas y luego identi�car la porción de la misma que nos interesa. Por ejemplo, consideremos la curva� con parametrización

x = t cos ty = sent

; t 2 [0; �=2]

Si (x; y) 2 � entonces (x; y) cumple x2 + y2 = t2 es decir, t =px2 + y2 por lo que entonces

x =px2 + y2 cos

�px2 + y2

�(4)

Obsérvese que la curva � corresponde a sólo una parte de las soluciones de (4), pues sólo nos estamosmoviendo del punto (x(0); y(0)) = (0; 0) al (x(�2 ); y(

�2 )) = (0; �2 ) en el sentido contrario a las agujas

de reloj. Esta situación (que las ecuaciones paramétricas corresponden sólo a una parte de la curvacartesiana obtenida al eliminar el parámetro) se da en muchos casos.

3.3. Parametrización de curvas en el espacio

El objetivo de esta sección es el siguiente: dadas dos ecuaciones cartesianas que representan unacurva en R3, encontrar una parametrización de la misma. Como en la sección anterior, no existeun procedimiento general que permita parametrizar curvas, por lo que nos restringiremos a algunassituaciones concretas.

14

La representación cartesiana general de una curva en R3 está de�nida por dos ecuaciones del tipo

g (x; y; z) = 0 (5)

h (x; y; z) = 0

es decir, como intersección de las dos super�cies de�nidas por

Veamos dos enfoques:

1. Proyectando sobre un plano coordenado. Un procedimiento para parametrizar curvas deeste tipo es proyectar sobre un plano coordenado (normalmente el plano xy), parametrizar dichaproyección y luego �sustituir en la variable restante� (normalmente la z). Matemáticamente, sedebe encontrar un sistema de 2 ecuaciones

g (x; y; z) = 0

H (x; y) = 0

equivalente a (5) (es decir, que representa la misma super�cie que (5)) y parametrizar H (x; y) = 0en la forma

x = �(t)y = �(t)

; t 2 [a; b]

Ahora, se despeja z en g (x; y; z) = 0 (suponiendo que esto sea viable) obteniendo una expresióndel tipo z = G(x; y) y entonces

x = �(t)y = �(t)z = G(�(t); �(t))

; t 2 [a; b]

es una parametrización de la super�cie.

2. Parametrizando una super�cie y encontrando una relación entre los parámetros dela misma. Otra posibilidad es parametrizar una super�cie, por ejemplo la de�nida por g (x; y; z) =0, en la forma (x; y; z) = �(u; v); (u; v) 2 . Ahora, entrando en la ecuación h (x; y; z) = 0 de laotra super�cie, se tiene h(�(u; v)) = 0, es decir, una expresión del tipo H(u; v) = 0. Pues bien,

15

si de esta expresión se puede despejar una de las variables u; v en función de la otra, tenemosv = f(u); u 2 [a; b] y, entrando en (x; y; z) = �(u; v) resulta que

(x; y; z) = �(u; f(u)); u 2 [a; b]

es una parametrización de la curva �.

Ejercicio 5 Parametrizar las siguientes curvas1) x2 + y2 + z2 = 1 ; z = 2x� 2yPosible solución:

x =

p5

5cos t+

4p5

15sent ; y =

p5

3sent ; z =

2p5

5cos t� 2

p5

15sent ; t 2 [0; 2�]

2) x2 + y2 + z2 = r2 ; x2 + y2 � rx = 0, x; y; z � 0.Posible solución:

x =r

2+r

2cos t ; y =

r

2sent ; z = rsen

t

2; t 2 [0; �]

16

4. Curvas de clase 1. Vector tangente a una curva. Recta tangente

Ahora consideraremos los arcos de�nidos por una aplicación derivable con continuidad:

De�nición 14 Arco C1. Se dice que el arco ~r : [a; b] ! Rn es de clase C1 si ~r(t) es una aplicaciónde clase C1, es decir, admite derivada continuas en [a; b], donde, en los extremos, por derivada hayque entender las derivadas laterales correspondientes.

Ahora nos preguntamos si la propiedad �ser de clase C1� es intrínseca, es decir, dado un arcode clase C1, ¿son también de clase C1 todos los arcos equivalentes al mismo? Es sencillo ver que larespuesta es a�rmativa:

Proposición 7 La propiedad �ser de clase C1� es intrínseca, es decir, si un arco es C1 también loson todos los arcos equivalentes al mismo. Por ello se puede hablar de �caminos de clase C1�.

El siguiente resultado presenta una importante propiedad del vector derivada ~r0(t), y que ya cono-cemos de Física, pues sabemos que la velocidad es tangente a la trayectoria:

Proposición 8 La velocidad como vector tangente a la trayectoria. Vector tangente a unacurva. Sea un arco ~r : [a; b]! Rn de clase C1 y sea t 2 [a; b]. Entonces se veri�ca que �el vector ~r0(t)es tangente a la Im(~r) en el punto ~r(t)�, es decir, ~r0(t) tiene la dirección del límite de las secantes��!mm0 = ~r(t+ h)� ~r(t) cuando el punto m0 tiende a m.

~r0(t) = l��mh!0

��!mm0

h= l��mh!0

~r(t+ h)� ~r(t)h

(en el caso de los extremos del intervalo, a y b, se debe entender por vector tangente el de�nido por laderivada lateral correspondiente).

Comentario: Nótese que ~r0(t) está orientado en la dirección del movimiento sobre la curva. Por ello,si se cambia el sentido de recorrido de la curva el vector ~r0(t) cambia de signo.

A continuación introduciremos la noción de curva en la que la velocidad de recorrido es distintade cero en todos los puntos:

De�nición 15 Punto regular/punto singular de un arco. Se dice que t0 2 [a; b] es un puntoregular del arco ~r : [a; b] ! Rn de clase C1 � ~r0(t0) 6= ~0, es decir, cuando el vector velocidad en elpunto es no nulo. Se dice que t0 es un punto singular � ~r0(t0) = ~0.

De�nición 16 Arco regular. Arco parametrizado tal que todos sus puntos son regulares.

I Comentarios:

17

Al ser, para arcos ~w y ~r equivalentes, ~w0(s) = ~r0(t)�0(s) y �0(s) 6= 0 para todo s 2 [c; d] se sigueque ~r0(t) 6= ~0 si y sólo si ~w0(s) 6= ~0. Por tanto:

� a) La regularidad de un punto es una propiedad intrínseca del arco.� b) La dirección y el sentido del vector tangente es una propiedad intrínseca del arco.

Por de�nición, un punto singular es aquel en el que la velocidad instantánea de movimiento esnulo. Por ello, no tiene que ver con una propiedad geométrica de la imagen, sino con la forma enla que se recorre dicha imagen. Por ejemplo, la porción de recta x = y = z contenida en el primeroctante se puede parametrizar en la forma ~x = ~r(t), t 2 [0;1)

x = t2 ; y = t2 ; z = t2 ; t 2 [0;1)

que en t = 0 tiene un punto singular. Sin embargo, si parametrizo la recta en la forma ~x =~w(s); s 2 [0;1)

x = s ; y = s ; z = s ; s 2 [0;1)todos los puntos son regulares. Es decir, s = 0 es un punto regular de ~w pero t = 0 es puntosingular de ~r(t). Esto se debe a que el cambio s = t2 es un difeomor�smo de clase 1 en (0;1)pero no en [0;1) pues la derivada se anula en t = 0. En de�nitiva, ~r y ~w no son equivalentes conla de�nición dada anteriormente, a pesar de que se recorren los mismo puntos y el mismo númerode veces.

Vector tangente unitario a una curva Dado un arco ~r : [a; b] ! Rn, de clase C1 y regular(para que ~r0(t) no se anule), a cada punto ~m = ~r(t0) 2 Im(~r) se le puede asociar el vector tangenteunitario ~t a la curva en ese punto, dado por

~t(~r(t0)) :=~r0(t0)k~r0(t0)k

Recta tangente a un arco en un punto regular. Ecuaciones paramétricas y cartesianasSea el arco ~r : [a; b]! Rn de clase C1 y sea t0 2 [a; b] un punto regular del mismo. La recta tangentea ~r en el punto ~m := ~r(t0) se de�ne como la recta de�nida por el punto ~r(t0) y el vector ~r0(t0). Suecuación paramétrica será, por lo tanto ~h(�) = ~m+ �~r0(t0). En cuanto a sus ecuaciones cartesianas:

a) Si trabajamos en R2 tenemos

r02(t0)(x�m1) = r01(t0)(y �m2)

o, lo que es lo mismo, en el caso en que r01(t0) y r02(t0) sean no nulos,

x�m1

r01(t0)=y �m2

r02(t0)

b) Si trabajamos en R3, las ecuaciones son

r02(t0)(x�m1) = r01(t0)(y �m2)

r03(t0)(x�m1) = r01(t0)(z �m3)

o, lo que es lo mismo, si r01(t0), r02(t0) y r

03(t0) son no nulos,

x�m1

r01(t0)=y �m2

r02(t0)=z �m3

r03(t0)

18

Ejercicio 6 Calcular la recta tangente a la curva de ecuaciones

x = cos t+ sent

y = t2 � cos tz = sent

en el punto correspondiente a t = 0.

Recta tangente a una curva en un punto singular Si t0 es un punto singular del arco de claseC1, ~r : [a; b] ! Rn, para hallar la recta tangente en en dicho punto, hay que intentar parametrizarel arco de otro modo, de forma que con la nueva parametrización, el punto ~m ya no sea un puntosingular (obviamente esas dos parametrizaciones no pueden ser equivalentes, ya que éstas conservanlos puntos singulares). Por ejemplo dada la curva en R2

x = t2

y = t4 + t2t > 0

el punto (0; 0); correspondiente a t = 0; es un punto singular. Sin embargo la curva puede ser para-metrizada también en la forma

x = uy = u2 + u

; u > 0

y entonces el punto (0; 0); correspondiente a u = 0; es un punto regular. Como (x0(0); y0(0)) = (1; 0),el vector tangente unitario en el punto es (1; 0) y la ecuación de la recta tangente buscada es y = 0.

Ejercicio 7 Calcular las asíntotas del arco de curva

x(t) =t

1� t2 ; x(t) =t(1� 2t2)1� t2 ; t 2 (�1; 1) :

y dibujarlo.

4.1. Recta tangente y normal a una curva en R2

En primer lugar veremos cómo se calcula el vector normal unitario a una curva en R2.

Normal unitaria a una curva de R2 Sea � un camino de clase C1 en R2 y sea ~r : [a; b] ! R2una parametrización de � de�nida por ~r(t) = (�(t); �(t)). Entonces, los vectores � (�0(t);��0(t)) sonperpendiculares a � en el punto ~r(t). Por ello, si el punto t es regular, el vector

� (�0(t);��0(t))k~r0(t)k

es unitario y normal a la curva en en el punto ~r(t).Obsérvese que si ~t = (t1; t2) es el vector tangente unitario a la curva en un punto, el vector

~n := (t2;�t1) (6)

19

es perpendicular a la curva en ese punto y forma un ángulo de -90o con ~t.

Por tanto, si � es una curva de Jordan en R2 con orientación positiva (es decir, tal que al recorrerlase deja el interior de la curva a la izquierda), el vector

~n(~r(t)) =(�0(t);��0(t))

k~r0(t)k

es el vector normal unitario saliente a la curva en el punto ~r(t).

20

Recta normal y tangente a una curva en R2 de�nida mediante una ecuación cartesianaEn el caso de que una curva esté de�nida mediante una ecuación cartesiana g(x; y) = 0, para calcularla recta tangente y/o la recta normal, se puede utilizar el siguiente resultado, que también será útilen un capítulo posterior para calcular el plano tangente a una super�cie:

Proposición 9 Sea A un abierto de R3 (respectivamente R2) y sea g : A ! R una función C1(A).Considérese un punto (x0; y0; z0) de la super�cie g(x; y; z) = 0. Entonces si el vector rg(x0; y0; z0) (re-sp. rg(x0; y0; z0)) es no nulo, dicho vector es perpendicular a la super�cie, es decir, al plano tangente,en el punto (x0; y0; z0) (resp. perpendicular a la curva en el punto (x0; y0)). En la terminología de lafísica decimos que rg(x0; y0; z0) es perpendicular a la super�cie equipotencial que pasa por (x0; y0; z0).

Caso de R3 Caso de R2

Dem: ver el capítulo dedicado a super�cies �Por ello, si rg(x0; y) 6= (0; 0), el campo de normales unitarias a una curva en R2 de�nida por

g(x; y) = 0 está dado por

~n(x; y) = � rg(x; y)krg(x; y)k

Por ejemplo, para una circunferencia en R2 de radio R y centrada en el origen, el campo de vectoresnormales unitarios está de�nido por

~n(x; y) = �(x; y)R

donde + corresponde a la normal saliente.

Es sabido que la ecuación de la recta que pasa por un punto (x0; y0) y perpendicular a una direcciónde�nida por ~d = (d1; d2) tiene la ecuación

(x� x0; y � y0) � ~d = 0; ;

es decir,d1(x� x0) + d2(y � y0) = 0

Análogamente, como (d2;�d1) es perpendicular a ~d, la ecuación de la recta que pasa por (x0; y0) yque tiene la dirección de�nida por ~d es

d2(x� x0)� d1(y � y0) = 0

21

Como conclusión tenemos: si rg(x0; y0) 6= (0; 0), la ecuación de la recta tangente a la curvag(x; y) = 0 en el punto (x0; y0) es

@g@x(x0; y0)(x� x0) +

@g@y (x0; y0)(y � y0) = 0

mientras que la ecuación de la recta normal en dicho punto es

@g@y (x0; y0)(x� x0)�

@g@x(x0; y0)(y � y0) = 0

4.2. Recta tangente a una curva de�nida por ecuaciones cartesianas

Sea la curva � de�nida en la forma

g(x; y; z) = 0

h(x; y; z) = 0

y sea (x0; y0; z0) un punto de la misma. Queremos calcular la ecuación de la recta tangente a � endicho punto.

Una posibilidad sería intentar parametrizar � y luego aplicar los resultados vistos anteriormentepara el cálculo de la recta tangente a una arco parametrizado. Sin embargo es mucho más direc-to proceder de la siguiente forma: haciendo uso de un resultado anterior, si no es nulo, el vectorrg(x0; y0; z0) es perpendicular a la super�cie g(x; y; z) = 0 en el punto (x0; y0; z0). Algo análogosucede para rh(x0; y0; z0), que de ser no nulo es perpendicular a la super�cie h(x; y; z) = 0 en elpunto (x0; y0; z0). Por consiguiente, de ser no nulos los dos vectores anteriores, el vector

~T = rh(x0; y0; z0)�rg(x0; y0; z0)

es tangente a la curva � en el punto es cuestión, como muestra la �gura

22

5. Longitud de arco

Para de�nir la longitud de un arco ~r, seguiremos el siguiente procedimiento: tomaremos puntossobre la curva y construiremos la poligonal inscrita a la curva correspondiente a dichos puntos. Lalongitud de esta poligonal es la suma de las longitudes de los segmentos que la forman. Pues bien,de�niremos la longitud de ~r como �la longitud de la poligonal cuando se re�na la poligonal�. De formarigurosa tenemos:

De�nición 17 Arco recti�cable y longitud de arco. Sea un arco parametrizado ~r : [a; b] ! Rn.Denotemos S(P1; P2) al segmento que une P1 y P2 y LS(P1;P2) =

��!OP2 ���!OP1 a su longitud.Sea P = fa = t0 < t1 < ::: < tm = bg una partición de [a; b]. La poligonal inscrita asociada a ~r

y a P es �(~r; P ) =m�1[k=0

S(~r(tk); ~r(tk+1)) y la longitud de poligonal correspondiente es L�(~r;P ) :=

m�1Pk=0

k~r(tk)� ~r(tk+1)k

Entonces se dice que ~r es recti�cable � supP2P

L�(~r;P ) <1. En tal caso su longitud de arco se de�ne

como el número no negativoL~r = sup

P2PL�(~r;P )

En la siguiente �gura se muestra la poligonal inscrita asociada a una partición con 4 puntos:

De forma intuitiva vemos que la longitud de un arco debe ser igual a la de todos los arcos equivalentea él, es decir, que la longitud de arco es una propiedad intrínseca. La siguiente proposición estableceque eso es así:

Proposición 10 a) Se veri�ca que la propiedad de ser recti�cable y la longitud de arco son propiedadesintrínsecas. En concreto, si ~r y ~w son equivalentes (directa o inversamente), ~r es recti�cable si y sólosi lo es ~w y además en ese caso su longitud es la misma. Por ello se puede hablar de camino recti�cabley de longitud de arco de un camino.

b) Se cumple que cualquier subarco de un arco recti�cable es recti�cable y además

L~r [a; c] + L~r [c; b] = L~r [a; b]

para todo c 2 [a; b], donde L~r [a; c] denota la longitud de la porción del arco correspondiente a hacervariar el parámetro entre a y c; y algo análogo se tiene para L~r [c; b].

23

Ejemplo de arco no recti�cable A continuación veremos un ejemplo de arco no recti�cable.El arco

~r : (0; 1] ! R2t ! ~r(t) = (t; sen1t )

cuya grá�ca se muestra en la siguiente �gura,

no es recti�cable.La De�nición 17 no parece muy útil para calcular en la práctica la longitud de un arco. El siguiente

resultado establece que, en el caso de arcos de clase 1, la longitud de arco se puede calcular medianteuna integral simple:

Proposición 11 Cálculo de la longitud de arco para arcos C1. Sea � un camino C1 con para-metrización ~r : [a; b]! Rn. Entonces:

1) � es recti�cable2) La longitud de � está dada por

L� =R ba k~r

0(u)k du (7)

IComentario. La fórmula (7) permite interpretar la longitud de arco como la integral de la celeridad,es decir, como la integral del módulo de la velocidad. Esto coincide con la idea física de que el espaciorecorrido por un móvil es la integral de la celeridad.

Un resultado anterior a�rmaba que la longitud de arco es una propiedad intrínseca. En el casode arcos de clase C1, la expresión (7) permite demostrar fácilmente dicha propiedad. En efecto, severi�ca:

Proposición 12 Si ~w : [c; d] ! Rn es un arco de clase 1 equivalente (directa o inversamente) a~r : [a; b]! Rn, se cumple, Z b

a

~r0(u) du = Z d

c

~w0(u) du:

24

Dem.

El siguiente ejercicio es muy útil para calcular la longitud de curvas de�nidas en forma cartesianaexplícita:

Ejercicio 8 Cálculo de la longitud de una curva en R2 dada en cartesianas explícitas.Deducir la expresión que proporciona la longitud de la curva � de�nida por por y = f(x), x 2 [a; b],donde f es una función de clase uno en [a; b].

SoluciónL� =

R ba

p1 + f 0(x)2dx

Ejercicio 9 Calcular la longitud de la curva

x = e�t cos t; y = e�tsent

entre el punto (1; 0) y el punto límite cuando t ! 1. Asimismo, hallar la ecuación cartesiana de lacurva. Solución:

p2

Ejercicio 10 Calcúlese la longitud del arco de curva

x(t) =

Z t

1

cosu

u2du; y(t) =

Z t

1

senuu2

du

desde el punto (0; 0) hasta el punto más próximo (donde la distancia se mide sobre la curva) que tengatangente vertical. Solución: ��2�

Ejercicio 11 Calcular la longitud de un paso de hélice cuyo eje de giro es el eje z, cuyo radio de giroes a y tal que la velocidad de desplazamiento en la dirección z es b.

Solución: 2�pa2 + b2

25

6. Caminos de clase 1 a trozos

Motivación Hay muchos caminos que se utilizan en las aplicaciones y que no son C1. Relajaremosla condición de que la parametrización sea derivable en todos los puntos permitiendo que exista unnúmero �nito de puntos en los que dicha derivada no exista debido a que las derivadas por la izquierday por la derecha existan pero no coincidan. Así, introducimos la siguiente de�nición:

De�nición 18 Arco C1 a trozos. Se dice que un arco ~r : [a; b] ! Rn es C1 a trozos si existe unapartición a = t0 < t1 < : : : < tm = b de [a; b] tal que ~r (que, como ya sabemos, es continuo en [a; b])es C1 en cada [ti; ti+1], i = 0; :::;m� 1 es decir, derivable en (ti; ti+1), existen las derivadas lateralesen los extremos y la función derivada así de�nida es continua.

En la siguiente �gura se representa un arco C1 a trozos. La aplicación ~r no es derivable en lospuntos t1 y t2, pero sí lo es en los intervalos [t0; t1], [t1; t2] y [t2; t3]

Como parece intuitivo, se tiene:

Proposición 13 La propiedad �ser arco C1 a trozos�es una propiedad intrínseca, con lo que se puedehablar de la noción de �camino C1 a trozos�.

Como consecuencia inmediata de la Proposición 11 tenemos:

Proposición 14 Cálculo de la longitud de arco para arcos C1 a trozos. Sea � un camino C1

a trozos con parametrización ~r : [a; b]! Rn. Entonces:1) � es recti�cable2) La longitud de � está dada por

L� =R ba k~r

0(u)k du (8)

donde por la expresión anterior hay que entender

L� =m�1Xi=1

Z ti+1

ti

~r0(u) du (9)

I Comentario: En lo sucesivo, todos los caminos que se considerarán son caminos C1 a trozosy, como sucede en (9), cuando aparezca una expresión integral en la que aparezca la derivada de laparametrización, se entenderá siempre dicha integral como suma de integrales en los trozos en los quela parametrización es C1.

26

7. Integral curvilínea

Tipos de integrales curvilíneas Estudiaremos dos tipos de integrales curvilíneas, cada una de lascuales tiene importantes aplicaciones físicas:

1. Integral curvilínea de un campo vectorial o �circulación�.

2. Integral curvilínea de un campo escalar.

7.1. Integral curvilínea de un campo vectorial. Circulación

Motivación Supóngase un campo de fuerzas ~F y una partícula que se desplaza en el mismosegún una curva �. La �circulación�de ~F sobre � corresponde al concepto físico de trabajo de ~F sobre�.

Introduzcamos la de�nición de circulación:

De�nición 19 Circulación de un campo vectorial a lo largo de un camino.(i) Sea � un camino (arco geométrico orientado) C1 a trozos con parametrización ~r : [a; b]! Rn.(ii) Sea ~F un campo vectorial en Rn al que por ahora sólo le pedimos que esté de�nido sobre la

curva � salvo quizás en un número �nito de puntos. ~F tendrá la forma

(x1; :::; xn)! ~F (x1; :::; xn) := (F1(x1; :::; xn); :::; Fn(x1; :::; xn))

un campo vectorial.Se de�ne la �circulación de ~F a lo largo de ��mediante el escalarR

�~Fd~r :=

R ba~F (~r(t)) � ~r0(t)dt (10)

en el caso en que la integral en [a; b] de la función real de variable real g(t) := ~F (~r(t)) �~r0(t) del segundomiembro exista (ya sea como integral propia o como integral impropia convergente).

Obsérvese que una condición su�ciente para que dicha integral exista (en sentido propio) es que ~Festé acotado en � y sea continuo en � salvo quizás en un número �nito de puntos.

I Comentario: Obsérvese que para que la de�nición anterior esté bien dada, el resultado de lacirculación no debe depender de la parametrización que se elija para �. En términos precisos, debeveri�carse que si ~w : [c; d]! Rn es otra parametrización de �, entoncesZ b

a

~F (~r(t)) � ~r0(t)dt =Z d

c

~F (~w(s)) � ~w0(s)ds (11)

Pues bien, se tiene:

Proposición 15 Supónganse las condiciones de la de�nición anterior y sea ~w : [c; d] ! Rn un arcodirectamente equivalente a ~r. Entonces se veri�ca la expresión (11) con lo que la de�nición de circu-lación es independiente de la parametrización que se elija para la curva. Además, si ~w : [c; d]! Rn esinversamente equivalente a ~r, es decir, si ~w es una parametrización de � pero con sentido contrariode movimiento, entonces Z b

a

~F (~r(t)) � ~r0(t)dt = �Z d

c

~F (~w(s)) � ~w0(s)ds

27

que permite a�rmar que la circulación es una integral orientada en el sentido de que depende delsentido de recorrido del camino, y que la circulación cambia de signo cuando se cambia la orientacióndel camino.

Dem.

Interpretación de la circulación De la teoría de la integral simple (concretamente de la con-

strucción de la integral mediante las sumas de Riemann) sabemos que cuando la integralR ba g(t)dt

existe, se puede obtener considerando una partición a = t0 < t1 < � � � < tn = b de [a; b], eligiendo unpunto �i en cada intervalo de la partición, es decir, �i 2 [ti; ti+1], i = 0; :::; n � 1 y considerando lasuma

n�1Xi=0

g(�i)(ti+1 � ti)

Entonces,R ba g(t)dt es el valor de la suma anterior cuando la partición �se re�na�haciendo tender n

a in�nito (dicho límite es independiente de los puntos �i elegidos).Por tanto, de (10) tenemos que, cuando la integral existe, la circulación se puede interpretar como

el límite cuando n!1 den�1Xi=0

~F (~r(�i)) � ~r0(�i)(ti+1 � ti)

Obsérvese que los sumandos de esta suma son el producto escalar de la fuerza en ciertos puntos de lacurva por la velocidad de movimiento en dichos puntos y por las longitudes ti+1 � ti.

En la siguiente �gura se muestra la suma anterior cuando n = 3:

I Comentarios:

De (10) se observa que la circulación de ~F sobre � sólo depende del valor de ~F sobre �. Enparticular, aunque ~F esté de�nido en un conjunto mayor y no sea nulo en todo , si ~F es nulosobre la curva entonces la circulación de ~F sobre � es nula.

Circulación y componente tangencial . La componente tangencial de ~F según la curva � se de�necomo

FT�(~x) =~F (~x) � ~t(~x)

donde ~t es el vector tangente unitario a � en el punto ~x y coherente con la orientación de �. Sea

t 2 [a; b]. Si ~x = ~r(t) corresponde a un punto regular de la curva entonces FT�(~r(t)) =~F (~r(t))k~r0(t)k .

En el caso en que ~x = ~r(t) corresponda a un punto singular de la curva, ~t no se puede calcular

28

con la parametrización ~r. En cualquier caso, lo que siempre se veri�ca es que ~F (~r(t)) � ~r0(t) =FT�(~r(t)) k~r0(t)k (en el caso de un punto singular, ambos miembros valen cero).Por ello, (10) se puede escribir

R�~Fd~r =

R ba FT�(~r(t)) k~r

0(t)k dt

En particular, la expresión anterior indica que si el campo ~F es perpendicular a � en todos suspuntos, entonces

R�~Fd~r = 0. Esa situación se ilustra en la siguiente �gura:

Si � es una curva cerrada, se demuestra fácilmente que la circulaciónR�~Fd~r es independiente del

punto a partir del cual se empieza a recorrer la curva. Por ello, para calcular la circulación sobreuna curva cerrada, podemos tomar un punto cualquiera como inicio del recorrido.

Expresiones para la circulación en R2 y R3

R2. Sea~r : [a; b] ! R2

t ! ~r(t) = (�(t); �(t))

una parametrización de � y~F (x; y) = (P (x; y); Q(x; y))

Entonces Z�

~Fd~r :=

Z b

a

~F (~r(t)) � ~r0(t)dt =

=

Z b

a(P (�(t); �(t)); Q(�(t); �(t))) �

��0(t); �0(t)

�dt =

=

Z b

a

�P (�(t); �(t))�0(t) +Q(�(t); �(t))�0(t)

�dt

La expresión anterior sugiere la notaciónR�~Fd~r �

R� Pdx+Qdy,

muy utilizada en la práctica, para la circulación.

R3. Sea~r : [a; b] ! R3

t ! ~r(t) = (�(t); �(t); (t))

29

una parametrización de � y

~F (x; y; z) = (P (x; y; z); Q(x; y; z); R(x; y; z))

EntoncesZ�

~Fd~r :=

Z b

a

~F (~r(t)) � ~r0(t)dt =

=

Z b

a(P (�(t); �(t); (t)); Q(�(t); �(t); (t))) �

��0(t); �0(t); 0(t)

�dt =

=

Z b

a

�P (�(t); �(t); (t))�0(t) +Q(�(t); �(t); (t))�0(t) +R(�(t); �(t); (t)) 0(t)

�dt

Como en el caso de R2, la expresión anterior sugiere la notaciónR�~Fd~r �

R� Pdx+Qdy +Rdz

Algunas notaciones: A continuación introducimos las siguiente notaciones:

Sean �1 y �2 dos caminos de�nidos por parametrizaciones inversamente equivalentes (es decir, �1y �2 son la misma curva pero recorrida con sentidos distintos). Entonces escribiremos �2 = ��1.

Sean �, �1 y �2 caminos de�nidos por parametrizaciones

� ; ~r : [a; b]! Rn

�1 ; ~r : [a; c]! Rn

�2 ; ~r : [c; b]! Rn

donde c 2 [a; b]. Entonces escribiremos � = �1 [ �2 (nótese que �1 y �2 no se solapan salvo en losextremos)

A continuación introducimos algunas propiedades de la circulación que se deducen directamentede su de�nición:

Proposición 16 Propiedades de la circulación. Sean �, �1 y �2 caminos C1 a trozos y sean ~f , ~f1y ~f2 campos vectoriales continuos (para garantizar que la circulación existe) en �, �1 y �2. Entoncesse cumple:

(1) Linealidad en el integrando. 8�; � 2 R,Z�

��~f1 + �~f2

�d~r = �

Z�

~f1d~r + �

Z�

~f2d~r

(2) Aditividad en el recinto de integración. Si son caminos que no se solapan (salvo en los extremos)y � = �1 [ �2 entonces Z

�

~fd~r =

Z�1

~fd~r +

Z�2

~fd~r

(3) Acotación. Si se cumple que existe M 2 R tal que 8~x 2 �, ~f(~x) �M , entonces����Z

�

~fd~r

���� �ML� (12)

donde L� es la longitud de �.Dem.

30

Corolario: Como consecuencia de la acotación (12), si � es una curva con longitud nula (por ejemplo,un punto) se tiene que

R�~fd~r = 0 para cualquier campo vectorial ~f .

Ejercicio 12 Calcúlese la integral curvilíneaI�(xy + x+ y) dx+ (xy + x� y) dy

siendo � la circunferencia x2 + y2 = ax con orientación contraria a las agujas del reloj.Solución: ��a3

8

Ejercicio 13 Hállese el trabajo realizado por la fuerza

F(x; y) = (3y2 + 2)i+ 16xj

al mover una partícula desde (�1; 0) a (1; 0) siguiendo la mitad superior de la elipse b2x2 + y2 = b2.Solución: 4b2 � 8b� + 4

7.2. Integral curvilínea de un campo escalar

A continuación se introduce la siguiente noción

De�nición 20 Integral curvilínea de un campo escalar(i) Sea � un camino (arco geométrico orientado) C1 a trozos con parametrización ~r : [a; b]! Rn.(ii) Sea g un campo escalar en Rn al que por ahora sólo le pedimos que esté de�nido sobre la curva

� salvo quizás en un número �nito de puntos.Se de�ne la �integral curvilínea de g a lo largo de ��mediante el escalarR

� gdr :=R ba g(~r(t)) k~r

0(t)k dt (13)

en el caso en que la integral en [a; b] de la función real de variable real h(t) := g(~r(t)) k~r0(t)k delsegundo miembro exista. Obsérvese que una condición su�ciente para que dicha integral exista (ensentido propio) es que g esté acotado en su dominio y sea continuo salvo quizás en un conjunto �nitode puntos.

I Comentarios:

1. Obsérvese que para que la de�nición anterior esté bien dada, el resultado de la circulación nodebe depender de la parametrización que se elija para �. En términos precisos, debe veri�carseque si ~w : [c; d]! Rn es otra parametrización de �, entoncesZ b

ag(~r(t))

~r0(t) dt = Z d

cg(~w(s))

~w0(s) ds (14)

Pues bien, esta propiedad se veri�ca. Además, si ~w : [c; d]! Rn es inversamente equivalente a ~r,es decir, si ~w es una parametrización de � pero con sentido contrario de movimiento, (14) se sigueveri�cando. Esto permite a�rmar que la integral curvilínea de un campo escalar es independientedel sentido de recorrido del camino.

2. De nuevo se observa queR� gdr sólo depende del valor de g sobre �.

31

3. De la De�nición 20 y de (8) se sigue inmediatamente que

Long� =R� 1 dr

4. Relación con la circulación. Ya se vio queZ�

~Fd~r =

Z b

aFT�(~r(t))

~r0(t) dtcon lo que se puede escribir Z

�

~Fd~r =

Z�FT�dr

o bien, si de�nimos el campo

~t(~r(t)) :=

(~r0(t)k~r0(t)k si ~r

0(t) 6= 0~0 si ~r0(t) = 0

)

es decir, en los puntos regulares ~t(~r(t)) es el vector tangente unitario a la curva en ~r(t), entoncesR�~Fd~r =

R�~F � ~t dr

Por ejemplo, para una circunferencia en R2 de radio R y centrada en el origen, el campo devectores tangentes unitarios está de�nido por

~t(~x) = �(y;�x)R

Interpretación física de la integral curvilínea de un campo escalar La integral curvilíneade un campo escalar tiene una interpretación análoga a la que se presentó anteriormente para lacirculación. En este caso tenemos que, cuando la integral

R� gdr existe, se puede interpretar como el

límite cuando n!1 den�1Xi=0

g(~r(�i)) ~r0(�i) (ti+1 � ti)

Obsérvese que los sumandos de esta suma son el producto de g en ciertos puntos de la curva por elmódulo de la velocidad de movimiento en dichos puntos y por las longitudes ti+1 � ti.

Integral curvilínea de un campo escalar en R2 y R3 Particularicemos la fórmula (13) al casode integrales curvilíneas en R2 y R3:

En R2. Sea~r : [a; b] ! R2

t ! ~r(t) = (�(t); �(t))

una parametrización de � y sea g un campo escalar en R2. Entonces

R� gdr =

R ba g(~r(t)) k~r

0(t)k dt =R ba g(�(t); �(t))

q(�0(t))2 + (�0(t))2dt

32

En R3. Sea~r : [a; b] ! R3

t ! ~r(t) = (�(t); �(t); (t))

una parametrización de � y sea g un campo escalar en R3. Entonces

R� gdr =

R ba g(�(t); �(t); (t))

q(�0(t))2 + (�0(t))2 + ( 0(t))2dt

Proposición 17 Propiedades de la integral curvilínea de un campo escalar. Sean �, �1 y �2caminos C1 a trozos y sean g; g1 y g2 campos escalares continuos salvo quizás en un número �nito depuntos (para garantizar que la circulación existe) en �, �1 y �. Entonces se cumple:

(1) Linealidad en el integrando. 8�; � 2 R,Z�(�g1 + �g2) dr = �

Z�g1dr + �

Z�g2dr

(2) Aditividad en el recinto de integración. Si �1 y �2 son caminos que no se solapan (salvo en losextremos) y � = �1 [ �2 entonces Z

�gdr =

Z�1

gdr +

Z�2

gdr

(3) Acotación. Si se cumple que existe M 2 R tal que 8~x 2 �, jg(~x)j �M , entonces����Z�gdr

���� �ML�donde L� es la longitud de �.

(4) Teorema del valor medio. Si � es de clase C1 a trozos y g es continuo en �, entonces existe~� 2 � tal que Z

�gdr = g(~�)L�

donde L� es la longitud de �.

IComentario: Obsérvese el paralelismo entre las propiedades previas y las propiedades de linealidad,aditividad, acotación y teorema del valor medio para integrales simples

R ba f(x)dx y también con las

propiedades ya estudiadas de la circulación. Nótese también que en el caso de la circulación no existeningún análogo del teorema del valor medio para integrales curvilíneas de un campo escalar.

Algunas aplicaciones físicas de la integral curvilínea de un campo escalar Si � representaun alambre con densidad lineal �, entonces la masa del alambre es

Masa(�) :=R� �dr

De forma análoga, si c denota la densidad lineal de carga en el alambre, entonces la carga total delalambre es

R� cdr

Asimismo, el �valor promedio�de un campo escalar g a lo largo de un arco de curva � se de�ne através de la expresión:

�g� :=

R� gdr

Long(�)

33

En particular, las coordenadas del centro de gravedad de un alambre con densidad lineal � están dadaspor

xgrav� =R� x�dr

Masa(�) ; ygrav� =R� y�dr

Masa(�) ; zgrav� =R� z�dr

Masa(�)

Ejercicio 14 (a) Determínese la masa de un alambre que es la intersección de la esfera x2+y2+z2 = 1con el plano x + y + z = 0, sabiendo que la densidad en cada punto es � (x; y; z) = x2. (b) Idem si� (x; y; z) = x+ y + z ¿tiene este caso sentido físico?

Solución a (a). 2�3

Ejercicio 15 Calcúlese el valor promedio del campo escalar f(x; y) = 2x � y a lo largo del arco decurva x(t) = t4, y(t) = t4, t 2 [�1; 1].

Solución. 12

Ejercicio 16 Dada una curva � en coordenadas polares � = �(�), � 2 [�1; �2], de longitud l, decircuáles de las fórmulas siguientes son válidas para calcular las coordenadas (x0; y0) � (�0; �0) de sucentro de gravedad supuesta la curva homogénea

1) x0 =1

l

Z�x ds ; y0 =

1

l

Z�y ds

2) x0 =1

l

Z x2

x1

x dx ; y0 =1

l

Z y2

y1

y dy

3) x0 =1

l

Z �2

�1

x d� ; y0 =1

l

Z �2

�1

y d�

4) �0 =1

l

Z �2

�1

� d� ; �0 =1

l

Z �2

�1

� d�

5) x0 =1

l

Z�x dxdy ; y0 =

1

l

Z�y dxdy

Ejercicio 17 Dada una curva � en coordenadas polares � = �(�), � 2 [�1; �2], decir cuáles de lasfórmulas siguientes son válidas para calcular la integral curvilínea de un campo escalar f(x; y)

1)

Z�f(x; y) ds =

Z �2

�1

f(x(�); y(�))p�(�)2 + �0(�)2 d�

2)

Z�f(x; y) ds =

Z �2

�1

f(x(�); y(�))� d�

7.3. Simetrías en las integrales curvilíneas

Las integrales curvilíneas de campos escalares veri�can propiedades de simetría análogas a lasestudiadas para integrales dobles y triples.

Por ejemplo, para integrales curvilíneas en R2 se tiene:

Proposición 18 Sea � camino C1 a trozos simétrico respecto del eje x = 0 y sea g : ! R un campoescalar continuo. Entonces:

a) Si g es par en x,R� gdr = 2

R�1gdr donde �1 es cualquiera de las dos curvas en las que el eje

x = 0 divide a �.b) Si g es impar en x,

R� gdr = 0.

34

I Comentario: Las reglas de simetría anteriores no son directamente aplicables a las integrales de uncampo vectorial. Esto es así porque en la circulación de un campo habría que tener en cuenta, ademásde la simetría en la curva y en el campo a integrar, la �simetría� en el vector tangente unitario. Loque se puede hacer es utilizar que Z

�

~Fd~r =

Z�

~F � ~t dr

y ahora intentar aplicar simetrías en la segunda integral, que es una integral del campo escalar g(~x) :=~F (~x) � ~t(~x).

35

8. Independencia del camino en la integral curvilínea. Campos con-servativos

A continuación estudiaremos las condiciones en las que la circulación de un campo vectorial ~F sobreuna curva que une los puntos ~a y ~b es independiente del camino seguido para ir de ~a a ~b. En tal caso lacirculación sólo depende de ~F y de dichos puntos inicial y �nal. Si esta propiedad se veri�ca para todoslos puntos de un determinado conjunto , se dice que �en ; la circulación de ~F es independiente delcamino�.

Introduzcamos la siguiente noción:

De�nición 21 Conjunto conexo. Un conjunto C es conexo cuando todo par de puntos de C puedeser unido por un camino C1 a trozos contenido en el conjunto.

Conjunto conexo Conjunto no conexo

En lo sucesivo trabajaremos casi siempre en conjuntos abiertos y conexos:

A le pedimos que sea abierto para poder hablar de derivadas parciales de un campo en lospuntos de (si contuviese a algún punto de su frontera, en esos puntos no estarían de�nidaslas derivadas parciales del campo)

A le pedimos que sea conexo para que dos puntos cualesquiera de puedan siempre ser unidospor un camino contenido en .

El siguiente resultado

Proposición 19 Sea un abierto conexo de Rn y sea ~F : ! Rn continuo. Entonces se veri�ca:La circulación de ~F entre dos puntos cualesquiera de es independiente del camino (C1 a trozos

y contenido en ) que los une si y sólo si la circulación de ~F a lo largo de cualquier camino cerrado(C1 a trozos y contenido en ) es nula.

Dem.

Introducimos ahora la de�nición de campo conservativo en un dominio como aquel campo para elque la circulación sólo depende de los puntos inicial y �nal del recorrido. En concreto tenemos:

De�nición 22 Campo conservativo. Sea un abierto conexo de Rn y sea ~F : ! Rn continuo.Se dice que ~F es conservativo (en ) cuando la circulación de ~F entre dos puntos cualesquiera de es independiente del camino (C1 a trozos y contenido en ) que los une.

36

A continuación se aborda el estudio de la relación entre campos conservativos y campos que admitenun potencial escalar.

De�nición 23 Potencial escalar de un campo vectorial. Sea un abierto de Rn y sea ~F : !Rn. Se dice que U : ! R (que admite derivadas parciales de primer orden) es un potencial escalarde ~F cuando ~F = gradU .

I Comentario. En Física se suele adoptar como de�nición de potencial escalar, la de ~F = � gradUUnicidad del potencial escalar Obviamente, si U es un potencial escalar de ~F y c 2 R, U + c

también es un potencial escalar de ~F . La pregunta que nos hacemos ahora es si todos los potencialesescalares de ~F son de la forma U + c, c 2 R. Veamos: sean U y V potenciales escalares de ~F . Entoncesgrad(U � V ) = ~F� ~F = ~0 en . Si un campo escalar tiene gradiente idénticamente nulo en un conjuntoconexo necesariamente debe ser un campo constante. De aquí se sigue que U � V debe ser constanteen , con lo que se ha obtenido:

Proposición 20 Sea U : ! R, U 2 C1() un potencial escalar de ~F : ! Rn y sea abiertoconexo. Entonces el conjunto de los potenciales escalares de ~F es

fU + c : c 2 Rg

El siguiente resultado muestra que los campos vectoriales que derivan de un potencial son conser-vativos:

Proposición 21 Sea un abierto conexo de Rn y sea ~F : ! Rn, tal que existe un campo escalarU : ! R, U 2 C1() tal que ~F =gradU . Entonces ~F es conservativo (en ) y además, si ~a;~b 2 y� es un camino C1 a trozos y contenido en que une ~a con ~b se veri�caR

�~Fd~r = U(~b)� U(~a)

Dem.

I Comentario: Obsérvese que el resultado anterior es en cierto sentido �análogo� a la regla deBarrow para funciones reales de variable real, puesto que relaciona la �derivada� de un campo (sugradiente) sobre una curva con el valor del campo en los extremos de la curva.

El recíproco del resultado anterior también se cumple en el sentido de que los campos conservativosderivan de un potencial:

Proposición 22 Sea un abierto conexo de Rn y sea ~F : ! Rn, ~F 2 C() un campo que cumplela siguiente propiedad: la circulación de ~F entre dos puntos cualesquiera de es independiente de lapoligonal (contenida en ) que una dichos puntos.

Entonces ~F es conservativo en , es decir, la circulación de ~F entre dos puntos cualesquiera de es independiente del camino que los une. Todavía más, existe un campo U : ! R, U 2 C1() talque ~F =gradU . Además, un potencial escalar U se puede calcular de la siguiente forma: Sea ~a 2 arbitrario. Entonces

8~x 2 , U(~x) :=R�(~a;~x)

~Fd~r

37

donde �(~a; ~x) denota cualquier camino C1 a trozos y contenido en que una el punto ~a con el punto~x.

Dem. Sea ~x 2 . Sea i 2 f1; :::; ng. Queremos demostrar que @U@xi(~x) = Fi(~x). Para ello, aplicando

la de�nición,@U

@xi(~x) = l��m

h!0

U(~x+ h~ei)� U(~x)h

donde ~ei = (0; � � � ; 0; 1; 0; � � � ; 0) es el i�ésimo vector canónico de Rn. Ahora, por de�nición de U , sivamos de ~a

U(~x+ h~ei)� U(~x) =Z�(~a;~x+h~ei)

~Fd~r �Z�(~a;~x)

~Fd~r =

Z�(~x;~x+h~ei)

~Fd~r

Elegimos como �(~x; ~x+ h~ei) el segmento rectilíneo S(~x; ~x+ h~ei) que une ~x con ~x+ h~ei, con parame-trización ~r(t) = ~x + t(h~ei); t 2 [0; 1], donde tomamos h lo su�cientemente pequeño para que dichosegmento esté contenido en : Entonces

l��mh!0

U(~x+ h~ei)� U(~x)h

= l��mh!0

RS(~x;~x+h~ei)

~Fd~r

h=

= l��mh!0

R 10~F�~x+ th~ei

�� h~eidt

h= l��mh!0

Z 1

0Fi�~x+ th~ei

�dt

Ahora queremos �meter el límite dentro de la integral�. Pare poder hacerlo consideramos la funcióng(t; h) = Fi

�~x+ th~ei

�y observamos que, al ser Fi continua en , g(t; h) es continua en [0; 1]� [�"; "]

con lo que por un resultado ya estudiado,

l��mh!0

Z 1

0Fi�~x+ th~ei

�dt =

Z 1

0l��mh!0

Fi�~x+ th~ei

�dt =

Z 1

0Fi (~x) dt = Fi (~x)

como se quería demostrar �I Comentarios:

Obsérvese que tomando distintos puntos ~a 2 en el teorema anterior se obtienen los in�nitospotenciales escalares del campo ~F . En efecto, si ~b 2 podemos escribir

U(~x) :=

Z�(~b;~x)

~Fd~r =

Z�(~b;~a)

~Fd~r +

Z�(~a;~x)

~Fd~r

El resultado anterior se puede considerar como el �análogo� en este contexto al teorema fun-damental del cálculo para las funciones reales de variable real, que recuérdese, asegura que sif : [a; b]! R es continua, entonces la función

U(x) :=

Z x

af(t)dt

es derivable y U 0(x) = f(x) en [a; b].

38

Se he visto que los campos conservativos en un abierto conexo son los campos que derivan de unpotencial. Sin embargo, dado un campo ~F , el comprobar si deriva o no de un potencial no parecesencillo. Por ello, buscamos si existen condiciones necesarias y/o su�cientes, sencillas de comprobaren la práctica, para que un campo sea conservativo. En primer lugar se tiene:

Proposición 23 Condición necesaria para que un campo sea conservativo. Sea un abiertode Rn y sea ~F : ! Rn, ~F 2 C1(). Entonces, si ~F es conservativo se cumple que 8i; j = 1; :::; n,@Fi@xj

=@Fj@xi

en , es decir, el campo ~F veri�ca en la denominada �igualdad de derivadas cruzadas�.

Dem

La condición anterior de igualdad de derivadas cruzadas es necesaria, pero no su�ciente, para queun campo sea conservativo. En efecto, considérese := R2 � f(0; 0)g y el campo

~F : ! R2

(x; y) ! ~F (x; y) =�

�yx2+y2

; xx2+y2

� (15)

Claramente ~F 2 C1(). Además, es fácil comprobar que para todo (x; y) 2 , @F1@y = @F2@x ; y sin

embargo si C es la circunferencia de centro el origen y radio R recorrida una vez en sentido contrarioa las agujas del reloj, se obtiene Z

�

~Fd~r = 2� 6= 0

Por tanto ~F no puede ser conservativo en .

Ejercicio 18 a) Calcular I =R�~F d~r donde ~F (x; y) =

��y

x2+y2; xx2+y2

�y � es la curva de ecuaciones

(x�3)22 + (y�4)2

4 = 1 recorrida una vez en sentido positivo.

b) Idem si � es la curva de ecuaciones (x�1)22 + (y�1)2

4 = 1 recorrida una vez en sentido negativo.

Se ha visto que la �igualdad de derivadas cruzadas� no es su�ciente para que un campo seaconservativo. Sin embargo, veremos que si al dominio se el ponen condiciones adicionales, entoncesla �igualdad de derivadas cruzadas� es también una condición su�ciente para que el campo seaconservativo. Introduzcamos primero la siguiente noción:

De�nición 24 Conjunto estrellado. Sea � Rn. Se dice que es estrellado si existe un punto~p 2 (denominado polo) que cumple que 8~x 2 , S(~p; ~x) � , es decir, para todo punto ~x de elsegmento que une ~p y ~x está contenido en .

39

I Comentario: Obsérvese que estrellado) conexo, pero el recíproco no es cierto. Por ejemplo,el conjunto de la siguiente �gura es conexo, pero no es estrellado

Proposición 24 Condición su�ciente para que un campo sea conservativo. Sea un abiertoestrellado de Rn y sea ~F : ! Rn, ~F 2 C1(). Entonces, si ~F veri�ca la �igualdad de derivadascruzadas� en , se sigue que ~F es conservativo en .

Comentario: Obsérvese que en el caso del campo de�nido por (15), no se cumple la hipótesis deque R2 � f(0; 0)g sea estrellado.

Una vez estudiadas las condiciones bajo las cuales un campo es conservativo, es decir, admite unpotencial escalar, veamos cómo calcular dicho potencial.

Cálculo del potencial escalar de un campo vectorial Supongamos que es un abierto conexo

estrellado y que ~F : ! Rn es un campo C1() que cumple la igualdad de derivadas cruzadas, conlo que admite un potencial escalar U en . Para calcular U se puede proceder de las dos formassiguientes:

1. Utilizar que para cualquier ~a 2 el campo U de�nido por

U(~x) :=R�(~a;~x)

~Fd~r ; ~x 2 ;

es potencial de ~F .

2. Imponer que gradU = ~F y resolver el sistema de ecuaciones en derivadas parciales resultante

@U@x = F1;

@U@y = F2;

@U@z = F3

donde U es la incógnita.

Ejercicio 19 Sea � Rn abierto, sea ~F : ! R, ~F 2 C1() y sea � una curva de clase C1 atrozos contenida en . ¿Bajo qué condiciones podríamos asegurar que la circulación

R�~Fd~r es nula

sin necesidad de calcular explícitamente la integral?

Ejercicio 20 Calcular la circulación del campo

~F (x; y) =�2xy2 + yey; 2yx2 + x(y + 1)ey + 1

�cuando se recorre la curva de ecuación

�x2 + y2

�2+ 2 (x+ y)2 = 5

4 desde el punto (1p2; 0) hasta el

punto (0; 1p2) en el sentido contrario a las agujas del reloj.

40

Ejercicio 21 Determínese la función h(y) con h(0) = 0 que hace conservativo el campo vectorial

F(x; y) = (2x2 + 4xh(y); 2x2 � y2)

En ese caso, hállese la circulación de F sobre una curva arbitraria que una el punto (0; 0) con el (1; 2).Sol: h(y) = y. Circulación=2.

Ejercicio 22 Relación entre trabajo y energía cinética. Sea una partícula con masa m que semueve en un campo de fuerzas según una cierta curva �. La energía cinética de la partícula en uninstante t está dada por 12m k~v(t)k

2 donde ~v es la velocidad de la partícula. Demostrar que la variaciónde energía cinética de la partícula es igual al trabajo realizado por ~F .

Ejercicio 23 Principio de conservación de la energía mecánica para campos conserva-tivos. Sea una partícula con masa m que se mueve en bajo un campo ~F de fuerzas conservativo, demodo que existe un potencial U tal que ~F = rU . Demostrar que la energía mecánica de la partícula,de�nida como 1

2m k~v(t)k2 � U(~r(t)), donde ~r(t) es el vector de posición de la partícula, es constante

durante la trayectoria. Si de�nimos la energía potencial como �U , el resultado anterior se puedeenunciar diciendo que si un campo de fuerzas es conservativo en , la suma de las energías cinéticay potencial de una partícula que se desplaza en es constante. Obsérvese que el cali�cativo �conser-vativo�para los campos en los que la integral es independiente del camino viene precisamente de estapropiedad, pues son campos para los que se conserva la energía mecánica total.

Ejercicio 24 Sea � la curva de�nida por las ecuaciones cartesianas

2x � y = 0; z � x3=2 = 0 (x; y; z � 0)

y F el campo vectorial dado por

F(x; y; z) = (xy2; x2y;�zx2) :

Se pide:1) Hallar la longitud del arco de � determinado por los puntos (0; 0; 0) y (1; 2; 1).2) Sea C la circulación de F sobre el arco de la curva � determinado por el punto (0; 0; 0) y un

punto P arbitrario de la misma. Estudiar si el valor de C alcanza un máximo. En caso a�rmativo,determinar las coordenadas del punto P correspondiente.

3) Sea � una función de clase C1 en R tal que �(0) = 0 y � una curva de�nida por las ecuacionescartesianas

2x� y = 0 ; z � �(x) = 0 :

Determinar las funciones � tales que se anule la circulación de F desde (0,0,0) hasta cualquier puntode la curva �.

41

9. Teorema de Green

El teorema de Green relaciona, bajo ciertas condiciones, la integral de un campo vectorial planosobre una curva de Jordan en R2 con la integral doble de una cierta función extendida al interior dela curva.

9.1. Orientación de una curva de Jordan plana. Conjuntos simplemente conexos

En primer lugar veremos algunos conceptos que serán necesarios para introducir el teorema.Obsérvese que, dada una curva cerrada en R3, no tiene sentido hablar de �interior�o �exterior�

de la curva. En el caso de curvas cerradas en R2 se puede decir lo siguiente:

Proposición 25 Teorema de la curva de Jordan en R2. Interior y exterior de una curvade Jordan en R2. Toda curva de Jordan � en R2 divide al plano en dos abiertos conexos, de loscuales uno es acotado y el otro no acotado. Al no acotado se le denomina �exterior�de � y al acotado�interior�de �.

Utilizando el resultado anterior se puede de�nir la orientación de una curva de Jordan en R2:

De�nición 25 Orientación de una curva de Jordan en R2. Se dice que una curva de Jordantiene orientación positiva cuando al recorrerse se deja su interior a la izquierda. Las siguientes �gurasmuestran curvas de Jordan con orientación positiva

El concepto que aparece a continuación es clave en los desarrollos posteriores. Intuitivamente, sedice que un subconjunto de R2 es simplemente conexo cuando �no tiene agujeros�. A continuación sepresenta la de�nición rigurosa:

De�nición 26 Conjunto simplemente conexo en R2. Sea un subconjunto de R2. Se dice que es simplemente conexo cuando se cumple que para toda curva de Jordan � contenida en � se veri�ca

42

que el interior de � está contenido en .

Conjunto simplementeconexo

Conjunto que no essimplemente conexo

Claramente se veri�ca:

Proposición 26 Sea � R2. estrellado =) simplemente conexo.

I Comentario: El recíproco del resultado anterior no es cierto, como es fácil poner de mani�estomediante ejemplos.

9.2. Teorema de Green

Veamos primero un resultado previo que permite demostrar el teorema de Green:

Proposición 27 (i) Sea � R2 abierto simplemente conexo.(ii) Sea � curva de Jordan, C1 a trozos, contenida en y con orientación positiva.(iii) Sea U : ! R, U 2 C1()Entonces se cumple R

� Udx = �R R

int�@U@y dxdy (16)R

� Udy =R R

int�@U@x dxdy (17)

Dem. Haremos la demostración para el caso particular en el que el interior de � es una unióndisjunta �nita de recintos simples respecto de x y respecto de y. La generalización al caso general esmuy elaborada y la omitiremos.

Las igualdades (16) y (17) se pueden escribir en una forma más más fácil de memorizar. Para ello,recordamos la relación (6)

n1 = t2

n2 = �t1

43

entre el vector ~t tangente unitario a una curva de Jordan � orientada positivamente y el vector ~nnormal unitario saliente a dicha curva. Entonces, entrando en las expresiones (16) y (17) se tieneZ

�Udx =

Z�(U; 0)d~r =

Z�(U; 0) � ~t dr =

Z�Ut1 dr = �

Z�Un2 drZ

�Udy =

Z�(0; U)d~r =

Z�(0; U) � ~t dr =

Z�Ut2 dr =

Z�Un1 dr

es decir, se ha llegado al siguiente resultado:

Proposición 28 (i) Sea � R2 abierto simplemente conexo.(ii) Sea � curva de Jordan, C1 a trozos, contenida en .(iii) Sea U : ! R, U 2 C1()Entonces se cumpleR R

int�@U@x dxdy =

R� Un1 dr ;

R Rint�

@U@y dxdy =

R� Un2dr (18)

donde ~n = (n1; n2) es el vector normal saliente unitario a �. Estas expresiones se puden escribir, deforma más compacta, como R R

int�@U@xidxdy =

R� Uni dr ; i = 1; 2

A partir de lo anterior se sigue el siguiente resultado:

Proposición 29 Teorema de Green.(i) Sea � R2 abierto simplemente conexo.(ii) Sea � curva de Jordan, C1 a trozos, contenida en y con orientación positiva.(iii) Sea ~F : ! R2, de�nido por ~F = (P;Q) y tal que ~F 2 C1(),Entonces R

�~Fd~r =

R Rint�

�@Q@x �

@P@y

�dxdy (19)

Dem

Ejercicio 25 Calcúlese la integral curvilíneaI�(xy + x+ y) dx+ (xy + x� y) dy

siendo � la circunferencia x2 + y2 = ax con orientación positiva.Solución: ��a3

8

Ejercicio 26 Determinar todas las circunferencias del plano tales que la integral curvilíneaZ�y2dx+ x2dy

es nula.

44

9.3. Algunas consecuencias y aplicaciones del teorema de Green

9.3.1. Aplicación del teorema de Green al cálculo de áreas

Proposición 30 Aplicación del teorema de Green al cálculo de áreas. Sea R � R2 tal que sufrontera es una curva de Jordan C1 a trozos, que denotamos � y que suponemos orientada positiva-mente.

Entonces, el área de R se puede calcular mediante cualquiera de las siguientes expresiones:1. Área(R) =

R� xdy

2. Área(R) = �R� ydx

3. Área(R) = 12

R� xdy � ydx

Dem.

Ejercicio 27 Calcular el área de una elipse mediante una integral curvilínea.

Ejercicio 28 Determínese el área de la región del interior de una elipse que es también interior auna circunferencia cuyo centro es el mismo que el de la elipse y cuyo radio es la media geométrica delas longitudes a y b (a > b) de los semiejes de la misma. Sol: 4abarcos

qaa+b .

Ejercicio 29 Se considera una elipse de semiejes a y b recorrida en sentido directo y en cada puntoM de la misma, el vector MP = L� , en donde � es el vector tangente en dicho punto y L > 0 es unacantidad constante. Sea � la curva descrita por los puntos P anteriores. Se pide:

1. Escribir unas ecuaciones paramétricas de �.2. Expresar el área de la región comprendida entre la curva � y la elipse en términos de la longitud

L.

45

9.3.2. Condición su�ciente para que un campo en R2 sea conservativo

Utilizando el teorema de Green es posible encontrar una condición su�ciente para que un camposea conservativo más fuerte que la que se dio en la sección anterior para campos en Rn, en la que serequería que el dominio en el que el campo era de clase 1 fuese estrellado. En efecto, en el siguienteresultado, al conjunto en el que el campo en cuestión veri�ca la igualdad de derivadas cruzadas sólotiene que ser simplemente conexo, no necesariamente estrellado:

Proposición 31 Condición su�ciente para que un campo en R2 sea conservativo. Sea unabierto simplemente conexo de R2 y sea ~F : ! R2, ~F 2 C1(). Entonces, si ~F veri�ca la �igualdadde derivadas cruzadas� en , se sigue que ~F es conservativo en .

Dem.

Ejercicio 30 Calcular un potencial escalar del campo ~F (x; y) =�

�yx2+y2

; xx2+y2

�en aquellos conjuntos

en los que sea posible. Discutir si existe un potencial escalar en R2 � f(0; 0)g.

Sea un abierto conexo (no necesariamente simplemente conexo) de R2 y ~F : ! R2, ~F 2 C1()que suponemos que veri�ca la igualdad de derivadas cruzadas. Si � es una curva de Jordan, sabemosque en principio no es posible asegurar que la circulación de ~F sobre � sea nula. Sin embargo, cuandoexista un conjunto 0 simplemente conexo contenido en y que contenga a la curva �, entonces sepuede aplicar el teorema de Green a 0 y asegurar que la circulación de ~F sobre � es nula. Por ejemplo,considérese la siguiente �gura

En las hipótesis anteriores (~F 2 C1() y que veri�ca la igualdad de derivadas cruzadas), no se puedeasegurar que

R�1~Fd~r valga cero, pero sin embargo, aplicando el teorema anterior (o, equivalentemente,

el teorema de Green) a ~F y 0 se sigue queR�2~Fd~r = 0.

46

9.3.3. Invariancia de una integral curvilínea plana al deformar el camino

Ya se ha visto que la igualdad de derivadas cruzadas de un campo vectorial en un recinto queno sea simplemente conexo, no garantiza que el campo sea conservativo. Sin embargo, la igualdad dederivadas cruzadas permite que las integrales sobre curvas cerradas mantengan su valor si la curva se�deforma de manera suave�en el conjunto en cuestión:

Proposición 32 Invariancia de una integral curvilínea plana al deformar el camino cuan-do se veri�ca la igualdad de derivadas cruzadas en el dominio. Sea � R2 abierto conexo(no necesariamente simplemente conexo) y sea ~F : ! R2, ~F 2 C1(), tal que ~F veri�ca la igualdadde derivadas cruzadas en . Sean �1 y �2 curvas de Jordan C1 a trozos contenidas en tales que�2 se puede obtener �deformando �1 de manera continua sin salirnos de � (el signi�cado de estaa�rmación se dejará a nivel intuitivo aunque para proceder con rigor habría que precisar exactamentequé se entiende por �deformar de manera continua� una curva, noción que corresponde al conceptomatemático de homotopía) (ver �gura)

Entonces R�1~F d~r =

R�2~F d~r

Idea de la demostración.

Ejercicio 31 a) Calcular I =R�~F d~r donde ~F (x; y) =

�y3

(x2+y2)2; �xy2(x2+y2)2

�y � es la curva de ecua-

ciones x2

4 +y2

3 = 1 recorrida una vez en sentido positivo. d) Idem cuando � es la curva de ecuaciones(x�3)22 + (y�4)2

4 = 1.Sol: a) I = ��.

47

Ejercicio 32 Sea ~F (x; y) =�

�yx2+y2

; xx2+y2

�y sea � una curva de Jordan de clase C1 a trozos que no

pasa por el origen. Calcular razonadamente los posibles valores que puede tomar la circulación de ~Fsobre �.

Veamos una aplicación del resultado anterior. Considérese el conjunto y las curvas �, �1 y �2en la siguiente �gura.

Supongamos que ~F 2 C1() y que veri�ca la igualdad de derivadas cruzadas en . Pues bien, entoncesse cumple que Z

�

~F d~r =

Z�1

~F d~r +

Z�1

~F d~r

En efecto, por el resultado anterior podemos deformar � hasta obtener �0 y posteriormente deformar�0 hasta obtener �1 [ �2 [ S [ (�S), donde S es el segmento de la �gura.

Por ello, como las integrales de ~F sobre S y sobre �S se anulan se tieneZ�

~F d~r =

Z�1

~F d~r +

Z�1

~F d~r +

ZS

~F d~r �ZS

~F d~r =

Z�1

~F d~r +

Z�1

~F d~r

como se quería demostrar.

Ejercicio 33 Esquema de ideas para el cálculo de una circulación en R2:Enumérense todas las formas de calcular la circulación de un campo ~F en R2 sobre una curva �.

Discutir las ventajas e inconvenientes de cada método en función del tipo de campo ~F y del tipo decurva �.

48

9.3.4. �Teorema de Gauss en R2�

Como consecuencia del teorema de Green se sigue el siguiente resultado

Proposición 33 �Teorema de Gauss en R2�(i) Sea � R2 abierto simplemente conexo.(ii) Sea � curva de Jordan, C1 a trozos y contenida en .(iii) Sea ~F : ! R2, ~F 2 C1()Entonces R

�~F � ~n dr =

R Rint� div

~F dxdy

donde ~n es el vector normal unitario saliente a la curva y donde div~F :=�@F1@x ;

@F2@y

�.

Dem.

49

Consecuencias del teorema anterior

Si � R2 es simplemente conexo y ~F es de clase 1 y solenoidal en (es decir, si div~F = 0 en )entonces

R�~F � ~n dr = 0 para toda curva de Jordan � (C1 a trozos y contenida en )

En un resultado anterior vimos que en el caso de campos que veri�caban la igualdad de derivadascruzadas en un recinto conexo , la circulación sobre una curva cerrada no varía si la curva sedeforma de manera continua sin salirnos de . Pues bien, razonando de forma análoga se sigue deforma inmediata:

Proposición 34 Sea � R2 conexo (no necesariamente simplemente conexo) y ~F : ! R2 de clase1 y solenoidal en . Sean �1 y �2 curvas de Jordan C1 a trozos contenidas en tales que �2 se puedeobtener �deformando �1 de manera continua sin salirnos de �.

EntoncesR�1~F � ~n dr =

R�2~F � ~n dr

9.3.5. Fórmulas de Green

Proposición 35 Fórmulas de Green.(i) Sea � R2 abierto simplemente conexo y sea � curva deJordan, C1 a trozos, contenida en y con orientación positiva. Denotemos por R al interior de �

(ii) Sean u; v : ! R, u; v 2 C1(). Entonces se veri�ca:(1) Z Z

R

@u

@xvdxdy =

Z�uvn1ds�

Z ZRu@v

@xdxdyZ Z

R

@u

@yvdxdy =

Z�uvn2ds�

Z ZRu@v

@ydxdy

(obsérvese que estos resultados guardan cierta analogía con la integración por partes de funcionesreales de variable real)

(2) Z�uvdx+ uvdy =

Z ZR

�v

�@u

@x� @u@y

�+ u

�@v

@x� @v@y

��dxdy

(3) Si u 2 C2() Z ZRv�udxdy =

Z�v@u

@ndr �

Z ZRgradu � gradvdxdy

donde @u@n :=gradu � ~n siendo ~n el vector normal unitario saliente a la curva.

50