1. 1 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales La expresin decimal es peridica mixta: Todo nmero fraccionario puede expresarse en forma decimal sin ms que efectuar la divisin entre el numerador y el denominador. Pueden entonces ocurrir los siguientes casos: La expresin decimal es exacta: 9 4 =2,25 La expresin decimal es peridica pura: 5 3 =1,666... 17 6 =2,83333... Cuidado: algunas calculadoras redondean 1. Expresin decimal de los nmeros fraccionarios MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez

2. 2 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Perodo: primer bloque.Anteperodo Perodo: cuarto bloque.Parte entera Notacin: reducimos la escritura. x = 2,47878.... = x = 2 4 78 78 78 78 . 2.1 Partes de un decimal peridico MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 2,4 78 3. 3 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Pasos: Primero. 1000q = 2478,787878. Segundo. 10q = 24,78787878. Tercero. Restamos 990q = 2478 - 24 Cuarto. Despejamos q 2.2 Expresin fraccionaria de un nmero decimal MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez q= 247824 900 = 2454 990 = 409 165 4. 4 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Las dcimas, centsimas, milsimas, ... se obtienen mediante divisiones de la unidad en 10, 100, 1000, ... partes iguales. 1 dcima= 1 10 u=0,1u 1 centsima= 1 10 d=0,01u 1 milsima= 1 10 c=0,001u Una aproximacin de un nmero decimal es otro nmero decimal que se obtiene suprimiendo los decimales a partir de un orden dado. Formas de aproximar: Truncamiento. Se suprimen las cifras a partir del orden elegido. Redondeo. Se suprimen las cifras a partir del orden elegido - Si la primera cifra suprimida es menor que 5, dejamos igual la ltima cifra. - Si la primera cifra es mayor o igual a 5, aumentamos en una unidad la ltima cifra que se conserva. 2.3 Aproximacin decimal de un nmero racional MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 5. 5 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Las expresiones decimales no peridicas se llaman nmeros irracionales. Los nmeros irracionales no se pueden escribir en forma de fraccin. El conjunto de los nmeros racionales e irracionales se llaman nmeros reales. El conjunto de los nmeros reales se designa por la letra R Ejemplos El nmero con 1000 cifras decimales 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406 28620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940 81284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461 28475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249 14127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053 05488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931 05118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656 64308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846 76694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249 53430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629 77477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534 69083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206 17177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532 17122680661300192787661119590921642 ... Un nmero decimal cuya ley de formacin es no peridica. 2,020020002000020000020000002000000020000000020000000002... 3.1 Idea de nmero real MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 6. 6 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales -1 RR RR 0 1 21/2-2 -1-2 QQ QQ 0 1 2-1-2 1/2 2 0 1 2ZZ ZZ NN NN 0 1 2 NZQR 3.2 Ampliacin de conjuntos MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 7. 7 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Para trabajar con nmeros irracionales es necesario hacerlo con aproximaciones, lo que genera errores. El error absoluto es la diferencia positiva entre valor verdadero y aproximacin. El error relativo es el error por unidad, es decir el cociente entre el error absoluto y el nmero. El error puede ser por defecto o por exceso segn sea mayor o menor que el nmero al que representa. Si aproximamos por 3,14 el error absoluto es: 3,14 3,14159265... = 0,019265... E = 0,019265 El error relativo ser: 0,019265 3,1415926535897932384626433832795... =0,00613223995733072728717509.... Se dice que al tomar por 3,14 cometemos un error relativo menor que 0,006 3.3 Acercamiento al nmero real MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 8. 8 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales -1 0 1 2 3 4 5 6 Aproximacin entera: Aproximacin decimal: 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 1,4 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5 Aproximacin centesimal: Y as sucesivamente est entre 1 y 2 est entre 1,4 y 1,5 est entre 1,41 y 1,42 23.4 Aproximacin al nmero real MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 9. 9 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Aproxim a cione s pa ra De fe cto Exce s o Error < dife re ncia 1 a proxim a cin 1 2 1 2 a proxim a cin 1 ,4 1 ,5 0 ,1 3 a proxim a cin 1,4 1 1 ,4 2 0 ,0 1 4 a proxim a cin 1,1 4 2 1 ,4 1 3 0 ,0 0 1 ... 4. Aproximaciones y errores para MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 2 10. 13 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Es imposible sumar exactamente dos nmeros irracionales ya que tienen infinitas cifras decimales. Se opera con ellos sustituyndolos por nmeros aproximados con un nmero finito de cifras. 5.1 Operaciones con nmeros reales MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 11. 14 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Es imposible multiplicar exactamente dos nmeros irracionales ya que tienen infinitas cifras decimales. Se opera con ellos sustituyndolos por nmeros aproximados con un nmero finito de cifras. 2 10 2 10 Por exceso 1,4143 3,1623 4,472440 Por defecto 1,4142 3,1622 4,471983 Error < diferencia 0,0001 0,0001 0,000457 10=3,1622777... 2=1,4142135623... 5.2 Operaciones con nmeros reales MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 12. 15 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Las operaciones con nmeros irracionales se suelen dejar indicadas, y si se necesita se escribe su valor con los decimales adecuados al problema. Las operaciones con nmeros reales verifican las mismas propiedades que las de los nmeros racionales La longitud de una circunferencia de dimetro 8 cm es: 8 cm. La suma de3 y 7 se deja indicada: 3 7 Siempre que se pueda se debe simplificar la expresin obtenida: 37=21 8 2 =4=2 5.3 Operaciones indicadas con nmeros reales MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 13. 10 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un nmero real equivale asealar un punto en la recta 1 u 1 u 1 u 2 3 3 2 2 6 Representacin de nmeros reales MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 14. 11 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Para comparar nmeros reales se pasan previamente a forma decimal Luego se comparan los nmeros decimales. 10 Cul es menor? 10=3,16... =3,14... Se deduce que10 o que 10 Una interpretacin 7.1 Ordenacin de nmeros reales MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 15. 12 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Se define el valor absoluto de un nmero real x de la siguiente forma: Significado geomtrico del valor absoluto de la diferencia de dos nmeros Longitud del segmento AB =distancia entre los puntos A y B = |b a| = |a b| O A a B b x= { x si x0 x si x0 7.2 Valor absoluto de un nmero real MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 16. 16 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Intervalo abierto: (a, b) a b Los extremos no pertenecen al conjunto Intervalo cerrado: [a, b] a b Los extremos s pertenecen al conjunto 8.1 Intervalo abierto y cerrado MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 17. 17 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales Intervalo abierto por la derecha: [a, b) a b Intervalo abierto por la izquierda: (a, b] a b El extremo izquierdo pertenece al conjunto; el derecho no. El extremo izquierdo no pertenece al conjunto: el derecho s. 8.2 Intervalo semiabierto y semicerrado MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 18. 18 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales a a El extremo izquierdo pertenece al conjunto. El extremo izquierdo no pertenece al conjunto. [a, +) (a, +) 8.3 Semirrecta a la derecha MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez 19. 19 Matemticas 3 de ESO 2 Nmeros reales ( , b) b ( , b] b El extremo derecho no pertenece al conjunto. El extremo derecho s pertenece al conjunto. 8.4 Semirrecta a la izquierda MATEMTICAS 3 ESO TEMA 2. NMEROS REALES Javier Fernndez