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INSTITUTO TECNOLOGICO DE OAXACA

MATEMATICAS: CALCULO DIFERENCIAL CLAVE: ACF0901 GRUPO: C HORA: 13:00-14:00

TEMA: CARPETA DE EVIDENCIAS QUIEN REALIZA: Orozco Ordaz José Edwin

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES TURNO: MATUTINO

REBISA: ING. GREGORIO GUTIERREZ LOPEZ No. DE TRABAJO: 1 FECHA DE ENTREGA: 10 de enero del 2011

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Objetivo general Plantear y resolver problemas que requieren del concepto de una función de una variable para modelar y de la derivada para resolver. Competencias mínimas a cubrir: Argumentación: usar procedimientos y conocimientos para clasificar y conjeturar (relacionar). Competencias Competencia Interpretativa Comprensión de información en cualquier sistema de símbolos o formas de representación. Acciones: Interpretar textos, comprender preposiciones y párrafos, identificar argumentos, ejemplos, contra ejemplos y demostraciones, comprender problemas, interpretar cuadros, faldas, grafos, diagramas dibujos y esquemas, interpretar mapas, planos y modelos. Competencia Argumentativa Explicación y justificación de enunciados y acciones. Acciones: Explicar el porqué, como y para que, demostrar hipótesis, comprobar hechos, presentar ejemplos y contra ejemplos, articular ejemplos, sustentar conjunciones. Competencia Propositiva Producción y creación. Acciones: Plantear y resolver problemas, formular proyectos, generar hipótesis, descubrir regularidades, hacer generalizaciones, construir modelos. Reconocer, distinguir, describir objetos matemáticos. La comprensión, interpretativa comprende las acciones orientadas a encontrar el sentido de un texto; comprende la información en cualquier sistema de símbolos o formas de representación. De una proposición, de un problema, de un problema, de una gráfica, de un esquema, entre otros. Se proponen acciones específicas de esta competencia como comprender proposiciones, conceptos y problemas. Identificar ejemplos y demostraciones. Interpretar o describir tablas, diagramas, etc. Para desarrollar dichas competencias podemos utilizar varias estrategias. Al iniciar un nuevo tema, generalmente se hace con situaciones que guían al estudiante en la interpretación de los algoritmos u otras reproducciones matemáticas. Es necesario que el conocimiento adquirido no solo sea una evocación de procedimientos, si no que el conjunto de procedimientos, junto al concepto, pueda verse como un todo, que debe ser transferido a otras situaciones. El estudio interpretara, reconocerá y distinguirá que concepto o procedimiento se aplica en una nueva situación. Los pasos a desarrollarse en los procedimientos sean estos una operación, transformación, regla, búsqueda de información, traducción de un leguaje a otro, reconocimiento de otra condición o eliminación de datos superfluos, permite al docente interferir al desarrollo de esta competencia y evaluar. Se debe poner énfasis en estos pasos para un aprendizaje significativo; tenga sentido de asegure los conocimientos necesarios para comprender un problema y llegar a su conclusión.

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INTRODUCCIÓN A LAS COMPETENCIAS Y

APRENDIZAJE.

TIPOS DE COMPETENCIAS

APRENDIZAJE

ACTITUDES APTITUDES CONTENIDO

INTELECTIVAS PROCEDIMENTALES

SER PENSAR HACER SABER

COMPETENCIAS

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Cronograma del curso

Taller de funciones

FECHA ACTIVIDAD 4 de octubre de 2010 Diagrama de referencia

5 de octubre de 2010 Productos cartesianos. Relación,

definición y tipos de relación.

7de octubre de 2010 Ejemplos de conjuntos y productos

cartesianos

8 de octubre de 2010 Ejercicios de productos cartesianos,

interpretar problemas.

12 de octubre de 2010 Funciones algebraicas

13 de octubre de 2010 Función lineal, ejemplos.

19 de octubre de 2010 Función exponencial

20 de octubre de 2010 Observaciones, dominio e imagen.

Función logaritmo.

21 de octubre de 2010 Invertir función logaritmo y función

exponencial. Ejercicios.

25 de octubre de 2010 Función inversa, ejercicios. Propiedades

de logaritmos

26 de octubre de 2010 Ejercicios cambio de variable. Función

composición.

27 de octubre de 2010 Función inversa. Ejemplos y ejercicios.

Participación al pizarrón.

3 de noviembre de 2010 Grafica de funciones tipo.

4 de noviembre de 2010 Ejercicios, funciones y graficas con valor

absoluto.

5 de noviembre de 2010 Representar funciones matemáticas,

ejemplos y ejercicios.

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Taller de límites

FECHA ACTIVIDAD 8 de noviembre de 2010 Contenido del portafolio

9 de noviembre de 2010 Funciones y graficas

10 de noviembre de

2010

Lectura del cuadernillo (hasta pag. 7)

11 de noviembre de

2010

Propiedades de los limites (hasta pag. 12)

16 de noviembre de

2010

Aplicando concepto de limite, ejemplos.

17 de noviembre de

2010

Interpretar teoremas 1 al 10, ejercicios.

18 de noviembre de

2010

Aplicando teoremas de limites

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Taller de derivadas

FECHA ACTIVIDAD 22 de noviembre de

2010

Introducción, derivada de una función en

un punto, nomenclatura, regla de los 4

pasos, ejemplos.

23 de noviembre de

2010

Interpretación grafica de la derivada

24 de noviembre de

2010

Ejemplos y ejercicios resolviendo

mediante la regla de los 4 pasos.

Derivabilidad y continuidad.

2 de diciembre de 2010 Ejemplos para resolver derivadas,

aplicando formulas.

7 de diciembre de 2010 Resolviendo derivadas con log, ln y

funciones trigonométricas

8 de diciembre de 2010 Resolviendo derivadas aplicando

formulas, participaciones al pizarrón.

9 de diciembre de 2010 Aplicando fórmulas para resolver

derivadas, participaciones al pizarrón.

10 de diciembre de

2010

Aplicando fórmulas para resolver una

derivada.

14 de diciembre de

2010

Derivadas logarítmicas

16 de diciembre de

2010

Derivaciones implícitas, ejemplos.

17 de diciembre de

2010

Derivadas implícitas, ejercicios,

participaciones al pizarrón.

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Unidad 1

Objetivo: Comprender las propiedades de los números reales, para resolver desigualdades

de primero y segundo grado, con una incógnita y desigualdades con valor absoluto

representando las soluciones en la recta numérica real.

Índice UNIDAD 1.- LOS NUMEROS REALES 1. La recta numérica................................................................................................................ 8 2. Los números reales.............................................................................................................. 9 3. Propiedades de los números reales..................................................................................... 11 - Transitividad........................................................................................................................ 11 - Tricotomía............................................................................................................................ 12 - Densidad.............................................................................................................................. 12 4. Intervalos y su representación mediante desigualdades................................................................................................................................... 13 5. Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita.......................................................................................................... 16 6. Valor absoluto y sus propiedades........................................................................................ 22 7. Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto............................................................................................................................................ 23

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Unidad 1 números reales

1.-Recta numérica Competencia: Argumentación. Es el dibujo de una línea horizontal en donde se muestran puntos uniformemente separados, a cada uno de esos puntos se le asigna un único número racional. La recta numérica se ocupa como soporte para comparar fracciones. Más bien muestra gráficamente el espacio que se encuentra entre dos elementos dados llamado distancia, también podemos tomar ese espacio o distancia y utilizarlo con algún fin específico, pues una de las características de los números racionales es que ya dados dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Con la recta es más fácil comparar los tamaños de un número decimal y una fracción, para así determinar o demostrar resultados, en pocas palabras, decir cual es más grande o chico o si son iguales, ya que en un intervalo puede que haya comparaciones que generen desigualdades. Por eso es importante mencionar que un número se puede acercar a otro milimétricamente sin embargo nunca va a tocar el punto correspondiente al otro. Competencia: Interpretación y Proposición. Como ya mencione la forma de utilizar la recta numérica es con una línea horizontal

Asignándole a cada intervalo un número racional (positivo, negativo y fraccionario), por ejemplo:

si queremos mostrar la desigualdad

en la recta numérica, primero buscamos las

equivalencias en cuartos de los números de la recta y encontramos que 2 = 8/4 y 3 = 12/4 y ubicamos a 9/4 entre los puntos 2 y 3. Enseguida hacemos lo mismo con 5/2 y quedaría: 2 = 4/2 y 3 = 6/2

Hay varias maneras diferentes de demostrar esto, pero en lo personal esta forma e la que se me facilita más.

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2-Números reales

Competencia: Interpretación.

Mi forma de interpretar esto seria que dentro de Q que son los números racionales, esta la variable “x” (le ponemos x porque no sabemos si hablamos de algo en especifico pueden ser personas, animales, peras, manzanas, etc…), x siendo la razón de la relación de a y b (al hablar de relación me refiero a la división de “a” entre de “b”), ósea que dividir “a” entre de” b” nos dará “x”. Y en esa división la variable “b” no puede ser cero ya que al dividir cualquier cosa entre de cero siempre te dará cero, entonces si es cero significa que no existe nada y no habría ni relación ni conjunto ni nada, en pocas palabras si el valor de “b” es cero no hay nada que hacer. Entonces esa relación de “a” y “b” cuya razón será “x” dice que esta “x” siempre será un numero decimal finito o decimal infinito periódico. La división de a entre de b nos dará un número decimal finito o decimal infinito periódico.

Para el conjunto de los números irracionales la interpretación es casi la misma solo que x será igual a un numero infinito no periódico. Dentro de I que son los números irracionales, esta la variable “x” (le ponemos x porque no sabemos si hablamos de algo en especifico pueden ser personas, animales, peras, manzanas, etc…), x siendo la razón de la relación de a y b (al hablar de relación me refiero a la división de “a” entre de “b”), ósea que dividir “a” entre de” b” nos dará “x”. Y en esa división la variable “b” no puede ser cero ya que al dividir cualquier cosa entre de cero siempre te dará cero, entonces si es cero significa que no existe nada y no habría ni relación ni conjunto ni nada, en pocas palabras si el valor de “b” es cero no hay nada que hacer. Entonces esa relación de “a” y “b” cuya razón será “x” dice que esta x siempre será un número infinito no periódico.

Entero decimal finito o

decimal infinito periódico | , 0,a

Q x b xb

2 14

2b ac

Decimal infinito no

periódico , 0,a

I x b xb

, 0,a

I x b xb

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En el conjunto de los números reales yo entendí que x siendo elemento, o más bien dicho perteneciendo al conjunto de los números racionales (Q) y al conjunto de los números irracionales (I), x será un subconjunto de los números reales. Dentro del universo de los números reales(R) se encuentran los números racionales (Q); e irracionales (I) que son los que simplemente no son números racionales pero si son números reales. Los números racionales son todos los números que da como resultado una división de dos enteros, matemáticamente se le llama cociente, por eso se representan con una “Q” porque viene de la palabra Quotient que significa cociente. El maestro Goyo nos explico que estos números racionales son la “razón” de relacionar el conjunto de “algo” con otro “algo”. Competencia: Argumentación Por ejemplo, tenemos cuatro manzanas que se quieren ser repartidas a dos personas…. Entonces se dice que:

Hay una relación entre el conjunto de manzanas y el conjunto de personas de lo cual nuestro numero real será la razón, coeficiente, o como sea que quieras llamarlo, resultado de esta división o relación. Se puede dejar esta división mostrada tal y como esta, y seguirá siendo un número racional, pero será llamado fraccionario, o se puede efectuar la

división y nos dará como resultado un número decimal (decimal exacto o decimal periódico), o un entero (Z) ya sea positivo o negativo (por ejemplo: positivo +2 y negativo -2) que por supuesto seguirá siendo racional. Y al hablar de números enteros ocupamos los números naturales (N) que son los que se usan para contar, en pocas palabras todos los números. También existen los números imaginarios son números cuyo cuadrado es negativo y se les llama imaginarios porque es imposible que un numero elevado al cuadrado nos de cómo resultado un numero negativo, entonces solo lo “imaginamos” porque esos números son útiles para resolver problemas reales. Pero estos son aparte y como su nombre lo dice son imaginarios y no entran en el universo de los números reales.

, ,R x x Q x I x R

Manzanas

Personas

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3.-Propiedades de los números reales

Competencia: Argumentación y Proposición. Transitividad. Cuando hablamos de números reales, decimos que es un conjunto ordenado, los elementos de dicho conjunto tienen un orden y una relación. Por ejemplo tomando los elementos x, y, z decimos que x<y a su vez y<z, representándolas en una recta decimos que x esta a la izquierda de y. Y y esta a la izquierda de z. Existe relación entre el primer elemento x con el segundo elemento y, también existe relación entre el segundo elemento y con el tercer elemento z Entonces por lógica x debe de ser mas pequeño que z por lo tanto x debe de estar a la izquierda de z porque no se debe de perder ese orden en la recta. La ley se cumple al demostrar que el primer elemento tiene relación con el tercero por medio de la relación que ambos tienen con el segundo elemento.

x<y

y<z

x<z

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Tricotomía Esta ley dice que dados dos elementos por ejemplo a y b solo se tiene que cumplir una sola de estas condiciones. a > b Si un número es mayor que otro, no puede ser igual o menor que el. a = b Si un número es igual que otro, no puede ser mayor o menor que el. a < b Si un número es menor que otro, no puede ser igual o mayor que el. Densidad Como ya se menciono antes una de las características de los números racionales es que ya dados dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados, a esto se le llama densidad, en el intervalo de dos puntos en la recta siempre una infinidad de números en medio de dichos puntos. Por ejemplo los números 1 y 3

También hay densidad entre dos números seguidos:

La densidad existente de 2 y 3 son todos los números comprendidos entre ellos. Pueden existir infinidad de números en la densidad, como por ejemplo 2.99999999.

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4.-Intervalos y su representación mediante desigualdades. Competencia: Argumentación Un intervalo es el conjunto de los números reales que se encuentran en medio de dos números reales. Retomando el ejemplo del tema de densidad, dados dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados, usaremos 2 y 3

Aquí podríamos decir que dos es menor que tres 2<3 y aplicando la propiedad de densidad debe de existir un conjunto de números entre estos dos. Entonces lo que se deduce es que mientras dos puntos en la recta numérica tengan densidad habrá abra una desigualdad, por lo tanto existirá un intervalo entre ellos dos (Ojo la densidad y el intervalo no son lo mismo ya que tanto la desigualdad y el intervalo tienen su propia densidad), esto quiere decir que en 2<3 abra un intervalo x entre los dos: 2<x<3. Competencia: Interpretación La forma de interpretar algebraicamente un intervalo, utilizando las variables “a” y “b”, con un intervalo “x” a<x<b En un intervalo hay comparaciones que generan desigualdades.

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Competencia: Argumentación e Interpretación. Intervalo abierto, (a, b), es un elemento “x” que pertenece al conjunto de todos los números reales mayores que “a” y menores que “b”.

( a, b) = {x / a < x < b} El intervalo siempre estará “cerca” de los puntos “a” y “b” pero al ser menor que ellos, nunca tocara el lugar que les corresponde en la recta numérica. Esto es para que se cumpla la desigualdad. Intervalo cerrado, [a, b], es un elemento “x” que pertenece al conjunto de todos los números reales mayores o iguales que “a” y menores o iguales que “b”.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b} El intervalo puede llegar a ser igual a los puntos “a” y “b”, tener su mismo valor. Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es un elemento “x” que pertenece al conjunto de todos los números reales mayores que “a” y menores o iguales que “b”.

(a, b] = {x / a < x ≤ b} Se considera “b”, ya que el intervalo puede tener el mismo valor que “b”. Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es un elemento “x” que pertenece al conjunto de todos los números reales mayores o iguales que “a” y menores que “b”.

[a, b) = {x / a ≤ x < b} Se considera “a”, ya que el intervalo puede tener el mismo valor que “a”.

Abierto

Cerrado

Abierto en “a” y

cerrado en “b”

Abierto en “b” y

cerrado en “a”

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Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.

x > a

(a, +∞) = ,x / a < x < +∞-

x ≥ a *a, +∞) = ,x / a ≤ x < +∞-

x < a (-∞, a) = ,x / -∞ < x < a-

x ≤ a (-∞, a+ = ,x / -∞ < x ≤ a-

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5.-Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas

con una incógnita. Competencia: Argumentación y Proposición Desigualdad de primer grado con una incógnita Teniendo la desigualdad Primero eliminamos el número 6 del primer miembro, para eso le sumamos su opuesto que es -6. Aplicando una de las propiedades de las desigualdades, tenemos que aplicar lo mismo a los dos miembros, entonces también ponemos -6 en el segundo miembro.

Luego eliminamos el 4x de igual manera, aplicando propiedades.

Ahora como la “x” es negativa la desigualdad cambia de orientación

Después se multiplica por -1 porque la “x” no puede ser negativa, y como el primer miembro es multiplicado por -1 también el segundo miembro.

X<1 es la solución. Esto quiere decir que todos los números menores a 1 satisfacen la desigualdad, después expresamos la desigualdad de manera grafica y con un intervalo.

3 6 5 4x x

3 1 4x x

1x

( 1) 1( 1)x

1x

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Esta es una semirrecta ya que esta determinada por un número y en ella se encuentran todos los números reales menores a dicho número. Desigualdades cuadráticas con una incógnita. Competencia: Argumentación y Proposición. Para resolver una desigualdad cuadrática con una incógnita hay dos formas de hacerlo por sistemas de signos y con la recta real. Aplicando lo aprendido en los temas anteriores, estos son los pasos a seguir: 1 Ordenar la desigualdad 2 Cambiar la literal de mayor grado a positiva en caso de que sea negativa 3 Aplicamos la formula general. Después se siguen dos caminos diferentes: Sistema de signos Recta Real 4 Factorizar 4 Representar en la recta 5 Utilizar el sistema de signos 5 Dar valores 6 Resolver Como ejemplo y para explicar estos pasos utilizaremos la desigualdad 1 ordenamos la desigualdad de tal forma que uno de los dos miembros quede como 0, aplicando propiedades.

2 buscamos la literal de mayor grado, y si es negativa multiplicamos todo por -1 cambiamos la orientación de la desigualdad ,si no, no se hace nada. Enseguida aplicamos la formula general.

2 4

2

b b ac

a

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Para ello buscamos los elementos que pertenecen a

Teniendo esto ahora si podemos sustituir en la formula general y resolver para encontrar 2 números nada más:

Ya que tenemos los resultados que son 6 y -1decidimos por que método resolver, primero lo haremos por sistema de símbolos y luego por recta real.

1

5

6

a

b

c

Entonces tenemos que:

Nota: el 1 no se escribe pero esta allí

2( 5) ( 5) 4(1)( 6)

2(1)

5 25 ( 24)

2

5 49

2

5 7

2

5 7

2

21

2

12

62

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Sistema de símbolos Siguiendo los pasos ya mencionados procedemos por Factorizar. Para esto cambiamos los signos de los dos números 6 a -6 y -1 a 1, y los sumamos con x, x-6 y x+1, luego los dejamos representados como multiplicación sin multiplicarlos solo demostrados así y le llamaremos el producto de dos factores (x-6) (x+1) Interpretamos que la desigualdad muestra que es mayor que 0, entonces hablamos de un número positivo Para que el producto de (x-6) por (x+1) sea positivo hay dos formas con la ley de los signos

Para demostrar esto no hay que cambiar nada simplemente interpretarlo en una desigualdad. Ahora resolvemos estas desigualdades de primer grado y las expresamos como intervalos en la recta. Esto lo aremos para encontrar la solución 1 de la intersección de a y b para unirla con la solución 2 de la intersección de c y d.

( 6)( 1) 0 " "x x

Si es menor a 0

es negativo

Si es mayor o

igual a 0 es

positivo

x-6 <0 x+1<0 x-6>0 x+1>0

) 6 0 6

) 1 0 1

a x x

b x x

) 6 0 6

) 1 0 1

c x x

d x x

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La solución 1 es la parte de la grafica donde se intersectan los intervalos a y b entonces decimos que la solución se da desde el punto -1 hasta todos los números menores a el ósea el menos infinito S1= (-∞, -1)

La solución 2 es la parte de la grafica donde se intersectan los intervalos c y d entonces decimos que la solución se da desde el punto 6 hasta todos los números mayores a el ósea el mas infinito S2= (6,+∞) Solución final: la solución de la desigualdad inicial es la unión de las soluciones anteriores S=S1 U S2 S= (-∞, -1) U (6,+∞). Ahora resolvamos por el método de la recta real. Recta real. Recordemos que hasta el paso 3 tenemos dos valores 6 y -1, lo que vamos a hacer es representarlos en una sola recta.

Sa x<6

Sb x<-1

S1=Sa∩Sb

0

0

0

6

6

-1

-1

0

0

0

6

6 -1

-1

Sc x>6

Sd x>-1

S2=Sc∩Sd

-1 6 0

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Como podemos observar se forman 3 intervalos (-∞,-1), (-1,6), (6,+∞) Entonces tomamos cualquier valor de cada uno y sustituyéndolo en la desigualdad inicial verificamos si la satisface, si si la satisface esto quiere decir que en ese intervalo se encuentra la solución. Primero tomaremos 7 y lo sustituimos Tomamos 3 y lo sustituimos Y por ultimo tomamos -2 y lo sustituimos

Entonces la solución se encuentra en los intervalos (-∞, -1) unión (6,+∞).

Para saber si los puntos son abiertos o cerrados, tomamos los valores y los sustituimos de igual

forma en la desigualdad. Si satisfacen la desigualdad son cerrados, si no, son abiertos.

x<-1 -1<x<6 6<x

-2 3 7

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6.-Valor absoluto y sus propiedades. Competencias: Argumentación e Interpretación. Cualquier número tiene su representación en la recta numérica, ya sea negativo o positivo, los números tienen un valor absoluto, por ejemplo, 3 y -3.primero lo representamos en la recta numérica. Tres y menos tres, ambos tienen 3 espacios hacia el cero u origen, por lo tanto 3 es el valor absoluto de 3 y -3. Esto también lo podemos interpretar algebraicamente así:

Nota: por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo. Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10

3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los

sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + | −2| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

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7.-Resolución de desigualdades que incluyen valor absoluto. Teniendo como ejemplo la desigualdad |2x-3|≥ 7 Lo primero que debemos que hacer es interpretar que quiere decir esto. Esto significa que al hablar de un valor absoluto tiene dos formas de interpretarlo en la recta numérica. La primera es con números positivos, la escribimos ya sin los signos de valor absoluto. Y la otra es con números negativos, de igual forma la escribimos sin los signos de valor absoluto. El signo de la desigualdad cambia de sentido para ser menor o igual a -7. Ya que tenemos expresado esto, procedemos a resolver las dos desigualdades 2x-3≥ 7 y 2x-3≤- 7 Ahora que sabemos estos dos intervalos los ponemos en la grafica Entonces decimos que la solución esta entre el intervalo (-∞,-2+ unido con el intervalo *5,+∞)

( , 2] 5,S

2x 3 7 

2 7 3

7 3

2

5

x

x

x

2x 3 7

2 7 3

7 3

2

2

x

x

x

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CONCLUSIONES Hemos llegado a la conclusión de que la solución de una desigualdad es el conjunto de todos los números que la satisfacen, satisfacer una desigualdad significa convertirla en una proporción verdadera. Las desigualdades lineales son expresiones que indican que dos cantidades no son

necesariamente iguales (≥ ≤ < >). Para resolverlas utilizamos las propiedades de suma, resta, multiplicación y división aprendidas en clase. Con el apoyo de las desigualdades lineales podemos resolver simultáneamente ciertas actividades cotidianas de la vida, llevar registros en los distintos trabajos que se nos presentan.