OVA DE NUMEROS REALES

OBJETIVO: Desarrol lar el pensamiento racional lógico que le permiten

plantear, razonar, analizar las característ icas y estructuras de los

números reales como la aplicación de las propiedades básicas en la

solución de problemas contextualizados.

CONTENIDOS:

1. Que son los números reales?

2. Como se representan los números reales?

3. Que operaciones se realizan con los números reales?

4. Ejercicios de practica

5. Actividades

6. Autoevaluación

1. Que son los números reales?

Conjunto formado por los números racionales e irracionales es el

conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la

radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

La re c ta re al

A todo número real le c orresponde un punto de la rec ta y a todo punto de la recta

un número real.

2. Como se representan los números reales?

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos

representarlos de forma exacta.

3. Que operaciones se realizan con los números reales?

Propiedades de la Suma de números reales

1 Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

a + b

+

2 Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3 Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4 Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

+ 0 =

5 Elemento opuesto:

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

e − e = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(− ) =

Diferencia de números reales

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del

sustraendo.

a − b = a + (−b)

Producto de números reales

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo

con los números reales.

Propiedades:

1 Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a · b

2 Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales

cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(e · ) · = e · ( · )

3 Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

4 Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a ·1 = a

· 1 =

5 Elemento opuesto:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento

unidad.

6 Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho

número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

· (e + ) = · e + ·

7 Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto

extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

· e + · = · (e + )

Div isión d e números re ales

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo

por el inverso del divisor.

Ejercicio 1 y Soluciones

1. Clasifica los números:

Soluciones:

2. Representa en la recta:

Soluciones:

3. Representa en la recta real los números que verifican las siguientes

relaciones

1 |x| < 1

2 |x| ≤ 1

3 |x| > 1

4 |x| ≥ 1

Soluciones:

1 |x| < 1 -1 < x < 1 x ( −1, 1)

2 |x|≤ 1 -1 ≤ x ≤1 x [ −1, 1]

3 |x| > 1-1 > x > 1 x ( -∞, −1) (1, +∞)

4 |x| ≥ 1-1 ≥ x ≥ 1 x ( -∞, −1] [1, +∞)

4. Calcula los valores de las siguientes potencias:

1

2

3

4

Soluciones:

1

2

3

4

5. Halla las sumas:

1

2

3

4

Soluciones:

1

2

3

4

6. Realiza las operaciones:

1

2

3

4

Soluciones

1

2

3

4

7. Opera:

Soluciones

8. Efectúa:

Soluciones:

9. Calcula:

1

2

Soluc iones:

1

2

10. Racionalizar

1

2

3

4

Soluciones:

1

2

3

4

Ejercicio 2 y Soluciones

1 Representa en la recta:

Soluciones:

2 Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones: 1|x − 2| < 1 2|x − 2| ≤ 1

3|x − 2| > 1 4 |x − 2| ≥ 1

Soluciones:

1|x − 2| < 1 x (1, 3)

2|x − 2| ≤ 1 −1 ≤ x −2 ≤ 11 ≤x ≤ 3

x [1, 3]

3|x − 2| > 1 −1 > x −2 > 1 1 > x > 3

x (−∞ , 1) (3, +∞)

4 |x − 2| ≥ 1 |x −2| ≥ 1 −1 ≥ x −2 ≥ 11 ≥ x ≥ 3

x (−∞ , 1] [3, +∞)

3 Opera:

4 Calcula:

5 Racionalizar:

Ejercicios con Radicales y Solución

1Calc ula los valores de las siguientes potenc ias:

1

2

3

4

Solución

1

2

3

4

2Extraer factores: 1

2

Solución:

1

2

3 Introducir factores: 1

2

Solución

1

2

4 Poner a común índice:

Soluciones:

5 Realiza las sumas: 1

2

3

4

Solución

1

2

3

4

6Halla las sumas:

1

2

3

4

Soluciones:

1

2

3

4

7 Efec túa las sumas:

1

2. 2

Soluciones:

1.

2

8 Realizar los produc tos:

1

2

3

Soluciones:

1

2

3

9Efec túa las divisones de radic ales:

1

2

3

Soluciones:

1

2

3

10Calc ula:

11Opera:

Solución

12Realiza las operac iones c on potenc ias:

1

2

Soluciones:

1

2

13Realiza las operac iones:

1

2

3

4

Soluciones:

1

2

3

4

14Calc ula:

1

2

Soluciones:

1

2

15Efec tuar:

1

2

3

Soluciones:

1

2

3

16 Rac ionalizar los radic ales:

1

2

3

4

5

Soluciones:

1

2

3

4

5

17Rac ionalizar:

1

2

3

4

5

Soluciones:

1

2

3

4

5

EJERCICIO 3 Resolución de Problemas con Fraccionarios

1. Cuantos l itros de agua contiene un deposito de 400 litros

que está ocupado en sus 3/5 partes?

a) 210 litros b) 240 litros c) 180 litros d) 270 litros

Solución

Hay que calcular los 3/5 de 400

Contiene 3/5 400 3*400/5 240 litros

2. Un depósito contiene 320 litros de agua y esta l lenos las

dos tercera partes. Que capacidad tiene?

a) 600 litros b) 540 litros c) 480 litros d) 320 litros

Solución

Los 2/3 del TOTAL son 320 litros,

Luego el total es 320*3/2 480 litros

3. María leyó la semana pasada la mitad de un libro y esta

semana le tercera parte, pero aun le faltan 30 páginas,

Cuantas páginas tiene el l ibro? a. 120 páginas b.180 paginas c. 160 páginas d. 210 paginas

Solución

1/2+1/3 igual a 5/6

Si ha leído las 5/6 partes le falta una sexta parte del TOTAL

son 30 páginas, luego el l ibro tiene 30*6 igual a 180

páginas.

4. Si un curso está compuesto por 23 hombres y 15 mujeres,

entonces cual es la fracción que representa el número de

hombres del curso?

a) 23/38 b) 15/38 c) 15/23 d) 23/15

Solución:

Debes realizar una suma de hombres y mujeres: 23+15

igual a 38. Entonces la fracción que representa el numero

de hombres del curso es :23/38

5. Antonio demora 13/20 de hora en hacer una tarea y

Rodrigo 4/15 de hora en hacer la misma actividad. ¿Quién

se demora menos?

a) Demoran lo mismo b) Antonio c) Rodrigo d) Rodrigo demora más

Solución

Se observan sus denominadores en cada fracción y se

observa que el de menor denominador es Rodrigo, por lo

tanto quien se demora menos es RODRIGO.

EJERCICIOS DE REFUERZOS

1.Observa el siguiente tangram chino y responde a la pregunta: ¿qué

fracción, respecto del tangram, le corresponde a cada pieza?

Te daremos una pista:

1.Fíjate bien en los cuadrados en los que está dividido el tangram.

2. Por ejemplo, a la pieza A le corresponde 4

16.

2. El siguiente dibujo se llama diagrama de Freudenthal y lo vamos a utilizar para las dos actividades que vienen

a continuación.

Vamos a ver si 2

3 y

4

6 son equivalentes. Observa el siguiente proceso.

1.º Coloreamos 2

3 en el diagrama (gris oscuro).

2.º Ahora hacemos lo mismo con 4

6 (gris claro).

3.º Trazamos una línea horizontal por 2

3.

4.º Si la línea coincide con4

6, es que las fracciones son

equivalentes, como pasa en nuestro caso.

Utilizando el diagrama anterior, ¿sabrías decir si son equivalentes 1

2 y

6

12? ¿Qué pasa con

2

3 y

7

12?

3. Ahora lo utilizaremos para comparar fracciones.

¿Qué fracción es mayor, 2

3 ó

3

5?

Procedemos como en el ejercicio anterior y nos damos cuenta

de que 2

3 es mayor que

3

5.

Ahora tú: ¿3

4 es mayor que

5

6? ¿

3

4 es mayor que

5

7?

4. Observa las partes que hemos coloreado en el rectángulo.

¿Sabrías decir cuál de los círculos tiene coloreada la misma parte que el rectángulo? ¿Qué fracción representa esa parte?

ACTIVIDADES CON FRACCIONARIOS

1. Teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones y simplificando siempre que sea posible, calcula:

a)

8

1

8

7

2

32

9

2

8

3

12

11

5

2:

5

4

3

11

4

31

b)

4

7:

8

72

3

1

6

1

5

32

5

4

3

13

2. Ana pesa 4

3 del peso de Blanca, y Blanca,

7

9 del de Carmen. ¿Cuál de las tres pesa más?

3. Un grifo llena un depósito en 5 horas, y otro, en 3 horas. ¿Cuánto tardarán en llenar el depósito si se

abren los dos grifos a la vez?

4. Un pintor tarda 6 horas en pintar una pared; otro pintor, 5 horas, y un tercero, 4 horas. ¿Cuánto tardarán

en pintar la pared los tres a la vez?

5. María gasta 2

5 de su dinero en comprar un pantalón y

1

3 de lo que le queda en un libro. Al final le quedan

52 €. ¿Qué dinero tenía inicialmente?

6. Queremos plantar 300 árboles en un huerto. Un cuarto van a ser naranjos; del resto, 2

9 serán limoneros,

y los demás, ciruelos. Plantar cada naranjo cuesta 5 €; cada limonero, 6 €, y cada ciruelo, 4 €. Calcula el

coste total.

7. Tenemos cuatro pizzas redondas iguales. De la primera, un quinto que queda se corta en 3 porciones iguales. De la segunda, un sexto que queda se corta en 2 porciones iguales. De la tercera, dos séptimos se cortan en 4 porciones iguales. Y de la última, un tercio se corta en 5 porciones iguales. ¿De qué pizza

deberemos tomar un trozo si queremos coger una de las porciones más grandes?

8. El denominador de una fracción es el triple del numerador. Calcula su fracción irreducible.

9. Javier le dice a Gonzalo que en su clase, de 28 alumnos, 3

7 han suspendido Lengua, y de estos,

2

5 son

chicas. Gonzalo cree que eso no es posible. ¿Podrías explicar por qué?

10. ¿Cómo repartirías 21 vasos de agua entre tres personas, sabiendo que 7 están llenos, 7 medio llenos y 7

vacíos, de tal manera que cada una reciba la misma cantidad de agua y el mismo número de vasos.

Si la capacidad de cada vaso es de 1

4 de litro, ¿qué fracción de litro recibe cada una?

11. Si los dos quintos de un recorrido son 840 metros, ¿cuántos metros son los tres cuartos?

AUTOEVALUACION 1

Elige la propiedad de las operaciones con números reales que se

aplica en cada caso:

11.1

Propiedad dist ribut iva de la suma.

Propiedad asoc iat iva de la suma.

Propiedad c onmutat iva de la suma.

2

Propiedad c onmutat iva del produc to.

Propiedad dist ribut iva de la suma respec to del produc to.

Propiedad dist ribut iva del produc to respec to de la suma.

3

El neut ro de un neut ro es el mismo número de part ida.

El opuesto de un opuesto es el mismo número de part ida.

El opuesto de un opuesto es el mismo número opuesto.

4

Propiedad asoc iat iva de la resta.

La suma de un número y su opuesto es el elemento nulo.

La suma de un número y su inverso es el elemento nulo.

55

Propiedad c onmutat iva del produc to.

Propiedad dist ribut iva del produc to.

Elemento neut ro del produc to.

6

Elemento neut ro del produc to.

Propiedad neut ra de los números reales.

Ninguna de las respuestas anteriores es c orrec ta.

7

Todo número mult iplic ado por su inverso es igual a la unidad.

Todo número mult iplic ado por su neut ro es igual a la unidad.

Ninguna de las respuestas anteriores es c orrec ta.

8

Propiedad interior de la suma de números reales

Propiedad interna de la suma de números reales.

Las dos respuestas anteriores son c orrec tas

AUTOEVALUACION 2

Señala en cada caso el número real al que corresponde la

representación gráfica dada. Observa el punto gris.

1.

1

2.

2

3.

3

4.

4

AUTOEVALUACION 3

1. En un aparcamiento hay 380 coches, de los que 3/10 son

blancos. Cuantos coches blancos hay?

Coches blancos

2. Un kilo de chuletas cuesta 13,80Euros Cuánto

cuestan tres cuartos de kilo?

3. En un colegio hay 845 alumnos. Si dos quintos de los

alumnos han pasado la gripe, ¿Cuántos han pasado la

gripe?

Alumnos

4. Un queso pesa2.170 gramos y tiene 5/ de materia

grasa. Cuantos gramos de grasa contiene el queso?

gramos

5. Alberto se ha gastado 3/5 de su paga en cine. La entrada le ha costado 3,6 euros. Cuanto le dan de paga?

euros

6. Tres cuartos de ki los de salmón han costado 9 euros. A como

está el ki lo?

euros

7. Una tarta l leva 3/10 de su peso en azúcar. Sabiendo que han empleado 450 gramos de azúcar, cuánto pesa la tarta?

Gramos

8. En un colegio, 338 alumnos han pasado la gripe, lo que

supone dos quintas partes del total. Cuantos alumnos y

alumnas tiene el colegio?

Alumnos

WEBIOGRAFIA

http://www.vitutor.com/di/re /r3.html

http://aulavirtual.tecnologicocomfenalcovi rtual.edu.co/aulavi rtual/o

vas/matematicas/unidad1-2/math-unidad2-reales-topic2.html

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algoritmos

ht tp://wmatem.eis.uva.es/~matpag/PROBLEMAS/puente/total.htm ingeneira