CAPTULO 2

ARITMTICA

CAPTULO 2

ARITMTICA

2.1. Nmeros reales2.1.1.

Caso de estudio: La importancia de los nmeros

Desde hace miles de aos se utilizan los nmeros para contar y ordenar los elementos de un conjunto de objetos. Ninguna sociedad puede sustraerse del uso de los nmeros. Ellos estn presentes en las diferentes etapas de nuestra vida, en el ejercicio de todo oficio, arte o profesin y de manera muy sofisticada en la tecnologa actual. Toda gran sociedad debe su grandeza a la comprensin numrica. Los antiguos egipcios, por ejemplo, desarrollaron una arquitectura de enormes pirmides, templos, obeliscos, esfinges, etc. Gracias a que tenan una buena comprensin numrica. Ellos definieron el ao con 365 das y tres estaciones de cuatro meses cada una, con lo cual comprendieron la regularidad del ro Nilo, su recurso ms preciado. La numeracin egipcia se represent con smbolos que conocemos como jeroglficos numricos egipcios.

En el imperio romano se utiliz el sistema de numeracin que asignaba una letra para cierto valor numrico: Letra I V X L C D Valor 1 5 10 50 100 500 M 1000

Los romanos y los egipcios desconocan el cero; este fue introducido posteriormente por los hindes y adoptado por los rabes, as que no existe ningn smbolo en los sistemas de numeracin romana y egipcia que represente el valor cero. Se cree que la sociedad incaica administr eficientemente un territorio de dos millones de kilmetros cuadrados debido a que imitaba la sincronizacin de un mecanismo de relojera. O otras palabras, gracias a que comprenda los nmeros. De lo contrario, cmo sus pobladores podran haber construido gigantescos complejos arquitectnicos con parmetros de exactitud e igualdad a lo largo de este vasto territorio sin tener alguna base de datos? Pablo Macera sosiene que el quipu es el elemento matriz de la cultura inca y que el control poltico se debi en parte a que a travs de este podan llevar informacin numrica de los pueblos que controlaban. El quipu era un sistema de informacin que consista en cuerdas anudadas. Fue empleado por los incas para administrar su imperio. Ellos registraban en estos instrumentos informacin censal, tributaria, de calendario, etc.

38

CAPTULO 2

ARITMTICA

El sistema numrico de los quipus era de base decimal. La posicin de los nudos de las unidades se registraba en la parte inferior, arriba iban las decenas, luego las centenas, etc. El cero era representado por la ausencia de nudos y los diferentes colores de las cuerdas indicaban diferentes objetos. Vase la siguiente figura.

Quipu incaico. Hace ms de un siglo, Lord Kelvin dijo unas frases muy aleccionadoras sobre la importancia de los nmeros: Cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en nmeros, se sabe algo de ello; pero cuando no se puede medir, cuando no se puede expresar numricamente, el conocimiento que se tiene es de calidad dbil y poco confiable. Esto vale tanto para la naturaleza como para la tecnologa. Galileo Galilei demostr que la naturaleza est escrita en lenguaje matemtico, lo que fue refrendado por Albert Einstein: Lo ms incomprensible del universo es que pueda ser comprendido en una frmula matemtica.

puedes medir y expresar en nmeros. Por este motivo, hoy ms que nunca toda opinin econmica y comercial precisa de nmeros. Las empresas se autoevalan y evalan a su personal practicndoles constantes mediciones, sobre las cuales se toman decisiones segn las metas propuestas.

scorecard se basa en el siguiente principio: No puedes controlar aquello que no

Por otro lado, la tendencia contempornea de administracin entre ellas el balance

Empezaremos el estudio de los nmeros con la disciplina conocida como Aritmtica, la cual es la ms antigua y elemental rama de la Matemtica utilizada en tareas cotidianas como contar y en los ms avanzados clculos cientficos. La Aritmtica estudia ciertas operaciones con los nmeros y sus propiedades elementales. La palabra aritmtica proviene del trmino de origen griego arithmos que quiere decir nmero y techne que significa habilidad. La idea de nmero ha evolucionado y se ha sofisticado a lo largo de nuestra historia como respuesta a las necesidades de los clculos o como consecuencia de la creatividad humana.

39

CAPTULO 2 2.1.2.

ARITMTICA

La Leyenda del ajedrez

La invencin del ajedrez se atribuye a los hindes, rabes, persas, egipcios, babilonios, chinos, griegos, romanos, judos, araucanos, castellanos, irlandeses, italianos, galos, entre otros. Las lagunas histricas acerca de su origen contribuyeron al florecimiento de diversas leyendas; entre ellas, podemos destacar la del joven Lahur Sissa. Este personaje era un pobre y modesto brahmn (miembro de una casta sacerdotal hind que reconoce a Brahma como su Dios) que vivi hace muchos siglos en la provincia de Taligana, al norte de la India, en el continente asitico. En aquellas lejanas tierras gobernaba un magnnimo rey llamado Iadava. Cierto da, las huestes del aventurero Varangul invadieron el reino, desatndose una cruenta guerra. Iadava, que era un excelente estratega, derrot a sus enemigos en los campos de Dacsina, pero en el fragor de la lucha perdi a su hijo, el prncipe Aljamir. Este incidente lo abati profundamente y se pas los das subsiguientes encerrado en su palacio reproduciendo, en una gran caja de arena, las alternativas del combate donde perdi al nico heredero de la dinasta. Los sacerdotes elevaban sus plegarias y de todas partes llegaban obsequios y diversiones para tratar de sacar al rey de su afliccin; mas todo pareca en vano. Algn tiempo despus, un inesperado visitante lleg al palacio solicitando una audiencia con el rey. Al interrogrsele sobre el motivo de su peticin, el joven se identific como Lahur Sissa y haba viajado durante treinta das desde la aldea de Namir, para entregarle a su majestad un modesto presente que lo sacara de su tristeza, le brindara distraccin y abrira en su corazn grandes alegras. Iadava, al enterarse de las intenciones del desconocido, orden que lo hicieran pasar de inmediato. Sissa present al monarca un gran tablero dividido en 64 cuadrados y sobre ste coloc dos colecciones de diferentes piezas. Le ense pacientemente al rey, los ministros y los cortesanos de la corte la naturaleza del juego y las reglas fundamentales: Cada uno de los jugadores dispona de ocho piezas pequeitas, llamadas peones. Representaban la infantera que avanza sobre el enemigo para dispersarlo. Secundando la accin de los peones iban los elefantes de guerra (las torres), representados por piezas mayores y ms poderosas. La caballera, indispensable en el combate, apareca igualmente en el juego, simbolizada por dos piezas que podan saltar como dos corceles sobre las otras, y para intensificar el ataque se incluan representando a los guerreros nobles y de prestigio los dos visires (alfiles) del rey. Otra pieza dotada de amplios movimientos, ms eficiente y poderosa que las dems, representaba el espritu patritico del pueblo y era llamada la reina (la dama). Completaba la coleccin una pieza que aislada vale poco, pero que amparada por las otras se tornaba muy fuerte: el rey. En pocas horas el soberano comenz a jugar fascinado por el nuevo pasatiempo, consiguiendo derrotar a varios miembros de su corte en partidas que se desenvolvan impecablemente sobre el tablero.

40

CAPTULO 2

ARITMTICA

En determinado momento el rey hizo notar, con gran sorpresa, que la posicin de las piezas, por las combinaciones resultantes de diversos lances, pareca reproducir exactamente la batalla de Dacsina. Intervino entonces Sissa para decirle: Piensa que para el triunfo es imprescindible que sacrifiques a este visir (alfil), pero te has empeado intilmente, Seor, en defenderlo y conservarlo. Con esta aguda observacin el monarca comprendi que, en cierta circunstancia, la muerte de un prncipe (su hijo) es una fatalidad que puede conducir a la libertad y la paz de un pueblo. Quiero recompensarte por este magnfico obsequio dijo el rey . respondi Sissa .

Mi mayor premio es haber recobrado la felicidad de Vuestra Majestad

Me asombra tu humildad y el desprecio por las cosas materiales, pero exijo que selecciones, sin demora, una retribucin digna de tan valioso regalo. Quieres una bolsa llena de oro?, Deseas un arca llena de joyas? Pensaste en poseer un Palacio? Aspiras a la administracin de una provincia? Aguardo tu respuesta, ya que mi palabra est ligada a una promesa. Aprecio vuestra generosidad, majestad, y como obediente sbdito me veo en la obligacin de escoger; pero no deseo joyas, ni tierras, ni palacios. Deseo que me recompenses con granos de trigo, los cuales debern ser colocados en el tablero, de la siguiente forma: un grano por la primera casilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta y as duplicando sucesivamente hasta la ltima casilla. Iadava, al or el extrao e nfimo pedido del joven, lanz una sonora carcajada y, tras burlarse de su modestia, orden que se le diera lo que haba solicitado. Al cabo de algunas horas los algebristas ms hbiles del reino le informaron al soberano que se necesitaran: 18 446 744 073 709 551 615 Dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo. Los algebristas y gemetras ms sabios concluyeron que la cantidad de trigo que deba entregarse a Lahur Sissa equivala a una montaa que, teniendo como base la ciudad de Taligana, fuese 100 veces ms alta que el Himalaya. La India entera, sembrados todos sus campos y destruidas todas sus ciudades, no bastara para producir durante un siglo la cantidad de granos calculada. El rey y su corte quedaron estupefactos ante los clculos estimados. Por primera vez el soberano de Taligana se vea en la imposibilidad de cumplir una promesa. Acto seguido, Sissa renunci pblicamente a su pedido y llam la atencin del monarca con estas palabras: Los hombres ms precavidos eluden, no slo la apariencia engaosa de los nmeros, sino tambin la falsa modestia de los ambiciosos. Infeliz de aquel que toma sobre sus hombros los compromisos de honor por una deuda cuya magnitud no puede valorar por sus propios medios. Ms previsor es el que mucho pondera y poco promete. Estas inesperadas y sabias palabras quedaron profundamente grabadas en el espritu del rey. Olvidando la montaa de trigo que, sin querer, prometiera al joven brahmn, lo nombr

41

CAPTULO 2

ARITMTICA

su primer ministro. Cuenta la leyenda que Sissa orient a su rey con sabios y prudentes consejos y, distrayndolo con ingeniosas partidas de ajedrez, prest los ms grandes servicios a su pueblo. Clculo de los granos de trigo En la siguiente tabla se presenta las primeras 5 casillas que incluyen los granos de trigo que les corresponden, los granos acumulados y una expresin matemtica que la comprende. Casilla (n) 1 2 3 4 5 Nmero de granos en la casilla 1 = 20 2 = 21 4 = 22 8 = 23 16 = 24 Nmero de granos acumulado (N) 1 3 7 15 31 Expresin para el nmero de granos acumulado (N) 21-1 22-1 23-1 24-1 25-1

El nmero de granos por casilla es una potencia de base 2, cuyo exponente es el nmero de casilla menos la unidad (2n-1). El nmero de granos acumulados tambin es una potencia de base 2 cuyo exponente es el nmero de casilla, disminuido en la unidad (2 n-1); lo que se podr expresar como: n 64 2n-1 . 263 2n-1 264-1 N = 2n-1 18 446 744 073 709 551 615

2.1.3.

Conjunto de los nmeros naturalesse recurre

Para definir formalmente el conjunto de los nmeros naturales habitualmente a los axiomas de Peano: A.1. 0 es un nmero natural. A.2. Todo nmero natural tiene un sucesor. A.3. Si dos nmeros naturales tienen el mismo sucesor, entonces son iguales. A.4. 0 no es el sucesor de ningn nmero natural.

Entonces, se puede escribir que el conjunto de los nmeros naturales est formado por los nmeros 0, 1, 2, 3... Estos nmeros se usan para contar los elementos de un conjunto finito.

2.1.4.

Conjunto de los nmeros enteros

El conjunto de los nmeros enteros est formado por los nmeros naturales y sus respectivos opuestos (negativos) y el cero; es decir: -3, -2, 0, 1, 2, 3 . Se puede decir que el conjunto de los nmeros naturales est incluido en el conjunto de los nmeros enteros, es decir: .

42

CAPTULO 2 2.1.5.

ARITMTICA

Conjunto de los nmeros racionalestiene como elementos a todo nmero que se

El conjunto de los nmeros racionales

obtiene por la divisin de dos nmeros enteros:

a , donde b b

0. Se puede decir que el

conjunto de los nmeros enteros estn incluidos en el conjunto de nmeros racionales, es decir:

2.1.6.

Conjunto de los nmeros irracionales

Al representar los nmeros racionales en una lnea recta (llamada recta numrica), puede parecer que se ha terminado con la clasificacin de los nmeros, pero eso no es as. Quedan muchos "huecos" por rellenar en dicha recta. Se trata de los nmeros irracionales. El conjunto de los nmeros irracionales est conformado por los nmeros que no pueden expresarse como racionales. Los nmeros irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningn patrn repetitivo. Ejemplos:

2 = 1.414213562 = 3.141592653 3 = -1.732050807 e = 2.718281828 1 5 = 1.618033988 = 22.1.7.

Conjunto de los nmeros reales

El conjunto de los nmeros reales se define de manera intuitiva como el conjunto de nmeros formados por los racionales y por los irracionales, es decir: = .

A continuacin, se tiene un modelo de la recta numrica real:

Axiomas de los nmeros reales. La adicin de los nmeros reales goza de los siguientes axiomas: 1) Conmutatividada b b a;

A)

a,b

(1.1)

43

CAPTULO 2 2) Asociatividad(a b) c a (b c) ;

ARITMTICA

a,b,c

(1.2)

3)

Elemento Neutro Existe un nico nmero real, llamado cero o elemento neutro de la adicin, denotado con 0, tal que:a 0 a; a

(1.3)

4)

Inverso aditivo Para cada nmero real a, existe un nico nmero real, opuesto o simtrico de a, denotado por a, tal que:a ( a) 0

(1.4)a b

5)

Cancelacina c b c

(1.5)

B)

La multiplicacin de los nmeros reales goza de los siguientes axiomas 1) Conmutatividadab ba; a,b

(1.6)

2)

Asociatividad(ab)c a(bc); a,b, c

(1.7)

3)

Elemento Neutro Existe un nico nmero real, llamado uno o elemento neutro de la multiplicacin, denotado con 1, tal que:a.1 a; a

(1.8)

4)

Inverso multiplicativo Para cada nmero real a, existe un nico nmero real, recproco (inverso) de a, denotado por aaa1

1

tal que:0

1; a

(0.9) (1.10)

5)

Distribucin de la multiplicacin con respecto de la adicin.a(b c) ab ac ; a,b, c

6)

Cancelacin de la multiplicacin.ac bc c 0 a b

(1.11)

7)

Si a, b son nmeros reales entonces se cumplea0ab

0; a0 c 0 b 0

(1.12) (1.13)(1.14)

8)

El opuesto aditivo a de un nmero real, goza de las siguientes propiedades:a a a 0

44

CAPTULO 21a a

ARITMTICA (1.15)a( a) ( b)a( b)

( a)(a b)(ab)

(1.16) (1.17) (1.18) (1.19)

( a)b

( a)( b)

ab

C)

La divisin goza de las siguientes propiedades:a c a a c a bab c d

b c b b

; c

0 a c

a

b b c 0

(1.20) (1.21) (1.22)0

c a c

0 b c

; c bc

c dac db

ad

; b, d

(1.23) (1.24)

bd; b, d 0

a b

c d

a b

d c

ad bc

; b, c, d

0

(1.25) (1.26)

a b

a b

a ;b b

0

Ahora se dar algunas propiedades de la relacin menor o menor igual de nmeros se cumple: reales. Es decir, para todo a, baa

bb

aa

bb

aa

bb

(1.27) (1.28) (1.29)

c

0

a

b

a b c c a.c b.c c b a b c c a.c b.c c b

c

0

a

b

(1.30)

2.1.8.

Potenciacin

1) Definicin: Es una operacin matemtica que se denota como an y que se lee " a elevado a n" e involucra dos nmeros: la base a y el exponente n. Su definicin vara segn el conjunto numrico al que pertenezca el exponente:

45

CAPTULO 2

ARITMTICA

Cuando el exponente es un nmero natural, la potenciacin corresponde a una multiplicacin de varios factores iguales: el exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por s misma. Exponente

an = a.a.a aBase

a n veces

=P;n

Potencia

Cuando el exponente es un entero negativo -n, una potencia que tenga exponente negativo es el resultado de elevar la fraccin inversa de la base 1/a al exponente positivo n.an

1 a

n

;a

0

(1.31)

Cuando n=0 entonces se define:a0 1; a 0

(1.32)

La definicin de potenciacin puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales. Ejemplos: Usando el software Derive 6 se puede calcular: a) 22

2,665144142

b) 2

8,824977827

2) Propiedades de la potenciacin Producto de potencias de bases iguales:am an am n

(1.33)

Cociente de potencias de bases iguales:am an

am

n

;a

0

(1.34)

Potencia de un producto:(a b)mam b m

(1.35)

Potencia de un cociente:a bm

am bm

;b

0

(1.36)

46

CAPTULO 2 Potencia de una potencia:amn

ARITMTICA

a mn

(1.37)

Exponente de exponente:m np

am

np

a

(1.38)

2.1.9.

Radicacin

1) Definicin: Es la operacin inversa de la potenciacin. Suponga que le dan un nmero a y le piden calcular otro tal que multiplicado por s mismo un nmero n de veces le da el nmero a. Es decir: ndice de la razn

a

b

a

bn

Radicando

Raz

2) Propiedades de la radicacin Exponente fraccionario:m

a

am ; a1 am ;

1

0 ,m , impar

(1.39)

a

Exponente fraccionario irreduciblem an

m : n(1.40)0 ,m i m p a r

n m a ;a

0

Raz de un producto:m m

ab

a m b ; a,b a am

m

b ; a,b a

(1.41)

Raz de un cociente:m m

a b a b

a b

mm

;a ;a

0,b ,b

0

(1.42)0 ,m i m p a r ,

m

47

CAPTULO 2 Raz de una raz:m n mn

ARITMTICA

a

a; a a; an n

0 m,n m,n i m p a r

mn

(1.43)

Raz de una potencia:m m

anm

a a

;a ;a

0 , m impar

(1.44)

2.1.10.

Nmero decimal

1) Definicin: Consta de una parte entera y una parte decimal; ambas estn separadas por una coma. Es decir:

a, b c d. . .xParte entera Coma decimal Ejemplos: a) b) c)7 5 7

Parte decimal

= 1,4 =1,1666 = 0,428571428571

6 37

2) Clases de nmeros decimales Los nmeros decimales se clasifican en exactos e inexactos. A. Nmeros decimales exactos. Son aquellos que tienen finitas cifras decimales. Ejemplos: a) 1,3 se lee uno coma tres o un entero tres dcimos b) 0,34 se lee cero coma treinta y cuatro o 34 centsimos c) 3,787 se lee tres coma setecientos ochenta y siete o 3 enteros y 787 milsimos Nota: Una fraccin irreducible genera un nmero decimal exacto si su denominador est formado por slo potencias de 2 y 5, o ambas.

48

CAPTULO 2 Ejemplos: a) b) c)23 5 7 2 0, 6 3, 5

ARITMTICA

192

0, 9 5 5

Fraccin generatriz0, a b c xn cifras

abc x 1000 0n cifras

B. Nmeros decimales inexactos. Son aquellos que tienen infinitas cifras decimales. Estos nmeros a su vez se clasifican en: peridicos y no peridicos. B.1. Nmeros decimales peridicos. Son puros o mixtos. B.1.1. Nmeros decimales peridicos puros: Se llaman as porque la o las cifras de la parte decimal se repite infinitamente. A estas cifras se le llama periodo. Ejemplos: a) 0, 2 2 2 2 2 2 2 . . . b) 3, 4 5 4 5 4 5 . . . c) 0,3 2 1 3 2 1 3 2 1 . . . Nota: Una fraccin irreducible origina un nmero decimal peridico puro si su denominador es diferente de un mltiplo de 2 y/o mltiplo de 5. Ejemplos:2 0, 2 9 3 b) 0, 2 7 11 1 c) 0,1 4 2 8 5 7 7

0, 2

(periodo 2) (periodo 321)

3, 4 5 (periodo 45)

0,3 2 1

a)

Fraccin generatriz0, a b c d...xn c i fra s

a b c d...x 9 9 9 ...9n c i fra s

B.1.2. Nmeros decimales peridicos mixtos: Se llaman as porque el periodo se inicia despus de un grupo de cifras. Al grupo de cifras que no se repite se le llama parte no peridica.

49

CAPTULO 2 Ejemplos: a) 0,1 2 3 3 3 3 3 . . . b) 5,0 2 4 5 4 5 4 5 . . . c) 2, 0 2 0 2 2 2 2 2 . . . Nota:0,1 235,0 24 5

ARITMTICA

0, 0 2 02

Una fraccin irreducible origina un nmero decimal peridico mixto si su denominador tiene potencias de 2 y/o 5 y, adems, algn otro factor necesariamente diferente. Ejemplos: a) b) c)7 30 4 155 12

7 2 3 5 4 3 55 22

0, 23

0, 260, 4 16

3

Fraccin generatriz0, A B C abc n c i fr a s m c i fr a s ABC abc ABC 99 9 00 0 m c i fr a s n c i fr a s

B.2. Nmeros decimales no peridicos Son todos aquellos nmeros cuya parte decimal tiene infinitas cifras, aunque carecen de una parte que se repite. Ejemplos: = 3,1415926535897932384 e = 2,7182818284590452354 = 1,6180339887498948482 Estos nmeros decimales reciben el nombre de nmeros irracionales y no tienen una fraccin generatriz.

2.1.11.

Ejercicios resueltos

1. Efecta las siguientes operaciones combinadas. a) E2 15 3 8 18 3 12 3 4

50

CAPTULO 2 Solucin Primero reducir las expresiones a su mnima expresin.E 2 5 4 9 1 4 3 4

ARITMTICA

Luego, se efectan las operaciones indicadas, de acuerdo al orden jerrquico, de izquierda a derecha. Es decir:E 10 4 9 1 4 3 =1 0 4 9 4 1 4 3 4 90 4 1 4 3 4

Posteriormente, se efecta la sustraccin y la adicin:E 90 1 4 3 4 89 4 3 4

Finalmente:E 89 3 4

92 4

23

b) N

2

15 3

8 18

3 12

3 4

Solucin Al igual que en el ejercicio anterior, primero se debe simplificar a su mnima expresin:E 2 5 4 9 1 4 3 4

Primero se realiza la divisin, debido a que se debe respetar el orden jerrquico de las operaciones:E 2 1 5 4 9 1 4 3 4 8 45 1 4 3 4

Para operar las fracciones, extraer el m.c.m. de los denominadores, as se obtiene:E 32 45 135 180 122 180 61 90

2. Simplifique: M= (-2)0 + (-2)2 + (-2)4 + (-2)5 Solucin Primero, ejecutar cada una de las potencias y luego operar las adiciones y sustracciones, es decir: M= 1 + 4 + 16 - 32 = -11

51

CAPTULO 23 2 5 2 3 4 3 3 2 3 4 1 1 2 3 1 8 4

ARITMTICA

3. Efecte: M

Solucin Extrayendo el m.c.m. de cada factor y simplificando, se tiene:9 M 8 3 217 6 17 6 5 4 1 8

6 20 9 6

4 6 3 2 8

=

=

5 =10 1 2

4. Simplifique: M

1 1 1 2 6 12 1 1 5 18 6 18

1 72 1 1 3 9

Solucin Los denominadores de las fracciones en el numerador se pueden expresar como el producto de dos nmeros consecutivos. Es decir:1 M 1 2 1 2 3 1 1 18 6 1 3 4 5 1 18 3 1 9 1 8 9

Descomponer en el numerador y extraer el m.c.m. de los denominadores en el denominador, luego simplificar; es decir:1 M 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 2 1 7 1 8 1 8 1 9

1

1 3 5 6 18

1 9 17 18

8 9 17 18 16 17

5. Halle el producto de: M Solucin

6 15 3 24 72 4 6 5 48 36 8

Al simplificar se obtiene:M 6 4 6 15 5 3 24 48 72 36 8

=

3 3 4 2

2 8

=

9 32

52

CAPTULO 2 6. Halle el valor de la siguiente expresin: E2 1 2 1 2 1 2 1 2

ARITMTICA

Solucin Para operar, se inicia el proceso de abajo hacia arriba. Luego, se aplica el mnimo comn mltiplo y el producto de extremos y medios y se tiene:E= 21 2 1 2 1 2 1 2

=21

2 1 2 2 3 2

=21

2 1 2 4 3

=21

2 1 2 3

=21

2 3 2

=2

2 = 2 5 2

4 5

=

6 5

7. Simplifique: N Solucin

3k

3

3k 3k

2 1

3k 3k

1

3k

Para simplificar este tipo de ejercicios, primero se debe descomponer cada potencia, tanto del numerador como del denominador:3k 33 3k 32 3k 3 3k

N

3k 3 3k

Ahora, se factoriza el factor comn tanto en el numerador como en el denominador y luego se simplifica. Es decir: N=3 k (3 3 3k

32 (31

31 1)

1)

=

27

9 3

3 1

1

=

40 4

10

8. Efecte: E Solucin

7

0 25

34

El cero elevado a cualquier nmero real es cero. Es decir:034

0

Adems, todo nmero diferente de cero elevado al exponente cero es 1. Entonces, la expresin dada se reduce:

53

CAPTULO 21

ARITMTICA

2 2 E = 7 = 7 = 49

9. Simplifique:

R

1 08

3 05

65 5 0 0 4

Solucin Es preferible empezar con la descomposicin prima de cada factor y cancelar los factores comunes del numerador y del denominador. R=(2 (2 5) 8 3) 5 (2 (2 2 3 5) 5 53)4 (2 8 (2 5 5 8 ) (2 5 3 5 ) (2 8 35 55)

luego

=

5 12 )

=

21 3 21 3

35 35

51 3 51 2

=5

10. Simplifique: M

2n 2n

290 291

2n 2n

291 292

Solucin Se trabaja con las propiedades de potencias de igual base y se buscan factores comunes que luego se cancelen entre s. M=2 n. 2 9 0 . 1 2 . 2n 90

2 n. 2 9 0 . 2 2 . 2n 90

.2

.2

2

=

2n . 2 9 0 . (1 1 2 2n . 2 9 0 . (2

2) 22 )

=

3 6

=

1 2

11. Simplifique: N

4

3

27 8

Solucin Aplicando la propiedad de la raz de un cociente se tiene:3

N

4.128

27 82

3

= 4

3 2

=

12 2

= 6

6.

Efecte: A Solucin

3 8

32

Descomponer cada radicando y se obtiene:A 3 22. 2 2 4. 2 26. 2 2

Simplificar en cada raz y se tiene:

54

CAPTULO 2A 3.2 2 22 2 23 2 2 = (6

ARITMTICA4 8 1) 2 = 3 2

12. Efecte: E

3

1 5

2

5 2

2

1

3

3 8

1

1

Solucin Primero se realizan las operaciones internas y luego se simplifica progresivamente:1 25 2 5121

E

3

3

8 31

1

3

1 253

4 253

1

1 3

1

3

5 25

3

3

1 5

3

3

5

8

2

52

5 0

13. Simplifique:

E

4

3

5

(5 2 ) 1 1 5 4.5 6.5 1 0

Solucin En el primer sumando se simplifica los exponentes y los ndices, mientras que en el segundo se aplica la propiedad de las potencias de bases iguales. E = = 54 324 12

25

1

55 2220

52 54

11

6 10

=

12

24

5

5 22 5 20

2 = 5

5 2 = 25 + 25 = 50

14. Efecte: E= (4,1818.....+ 0,2020.....) x 4,95 0,844.....

Solucin Pasando todos los decimales a fraccin se tiene:

E

4

18 99

20 995

495 100

84 8 = 901 217

4 99 18 20 99

495 100

84 8 90

E

434 991

49 495 100

76 90

434

5 10 10020 10

76 90

55

CAPTULO 2 E=1877 90

ARITMTICA

15. Halle el valor de C, si C

0,1 0 2 1 0, 01 0,01 0,02

0,3 3 0,03

0,9 0 09 0,09

Solucin Escriba cada nmero decimal en fraccin y se tiene:1 2 9 2 90 3 9 3 90 9 9 9 901 2 3 9 1 2 3 90 9 9

C=

9 1 90

=

=

1 1 10

= 10

2.1.12. Nivel 1 1. 2. 3.

Ejercicios propuestos

Efecte: R= 3 Efecte: N= Efecte: S= Efecte: T=1 310 7

6 5 ( 2 5( 1 7

3 3 7

1 2 14 ) 63 4

2 151 5

3 4

1 ) 2

4.

(8 1 2) ( 3) 2 22

( 2 5 42 23

6)

( 3

2

)3 2 2 33

5.

Efecte: M= 11 16

8 ( 3) 2 93

1 2 3 44 50

6. 7. 8. 9.

Efecte: E=

27

Efecte: R= 3 8 Efecte: N= 4 3 5 Efecte: H= 5 3 1 61 362

2 18 2 3 135

3 6 1600 76 2 5 63 2

23 1 2 8

10. Halle el valor de las siguientes potencias: a) b)1 0,1 2 5 3

c) 3 2

1 4

d)

4 9

56

CAPTULO 2 11. Halle la fraccin generatriz: a) 0,018 f) b) 1,186 c) 0,2020... d) 0,123123... e) 0,1844... g) h) i) j) 0,51919... 3,55... 1,033... 0,3622... 0,198 k) l) m) n) o) 4,186186... 3,004 0,2366... 0,1244... 0,8181...

ARITMTICA

12. Efecte los siguientes ejercicios: a) b) c) d) e) A = 0,133...+ 0,6444... 0,14333... B = 0,06 +2 + 0,988... 0,05 0, 3 3 3 . . .

C = 5,1818... + 1,31515... 0,0303... D = (1,033...) (0,344...) 1,7272... + 0,199 E = 0,1414...+ 0,8181... 3, 4141p82 15

13. Calcule el valor de: a)81 14

q r , si: p

3

1 2

; q

1 5

; r

2

1 6

b)

c)

87 15

d) 6

e)

1 6

14. Calcule el valor de: M= [ (41)+(2437)]+[(13+18)+(2915)] a) 19 b)20 c)18 d) 19 e) 20 15. Si E a) 292 5 3 , calcule el valor de 5E 1 2 b) 20 c)30(0, 4949...

d) 180,1616...)1

e) 32

16. Determine el valor de: P a) 3 b)1 3

c) 0,3

d) 6

e)

1 6

17. Efecte: E=(-2)2 + (-2)3 + (-2)4 + (-2)5 a) 20 b) 20 c) 22 18. Efecte: E=(-3)0 + (-3)1 +(-3)2 + (-3)3 a) 20 b) 18 c) 18 19. El equivalente de a) 183

d) 22 d) 20

e) 25 e) 21

5 4 es:

b) 6 3 3

c) 3 3 1 6

d) 3 3 2

e) 6 3 2

20. Cul es el equivalente a a)4

3

3 ?c)4

27

b) 3 4 30,7 5 4

9

d)

27

e) 3

6

21. El equivalente a a) 125

1 2 5 es:

b) 75

c) 5

d) 25

e)

16

58

57

CAPTULO 2 22. El equivalente de 5 a) 2 b)2 es: 510

ARITMTICA

c)

2

d)

7 5

e)

2 5

23. El equivalente de a) 24.10

233

2

es: c)a 1420

23

b)12

2 1015

2

d) 2

e)

6

4

Efecte: E a)3

a560

a

13

b)

a

31

c)

13

a

60

d) a

9

6 e) a

25.

Determine el valor de A + B, si A = el intervalo 1;6

2A y B

6B , sabiendo que A y B estn en

a) 2 Nivel 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 10

Resuelva los siguientes ejercicios y marque la alternativa correcta en cada caso siguiente: 1. Simplifique: E a) 1 2. Simplifique: E a) 14 3. Simplifique: E a) 4 4. Simplifique: E a) 1 Efecte: E= a) 14 6. Efecte: E a) 21 92 16 3 53 8 03 3 02 1 54 1 4 9 3 56

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

4 24

b) 204 26

52

76 1 0 5 4 7 04

c) 12

d) 8

e) 16

5 02 200

b) 12

1 4 9 1 56 350

c) 7

d) 81 7 7100

e) 10

650 1 0100 3 350

b) 2

2 150 1 4502 1

c) 3

5 550

2 050

d) 85 1

e) 10

5.

1 27

3 1

1 32

b) 201 5 20

c) 1222 23 233

d) 18253

e) 8

2

64 8

b) 4

c) 8

d) 10

e) 12

58

CAPTULO 215 3 0

ARITMTICA210 3

7.

Efecte: E= a) 54 Calcule: E a)23

4

9

3

64 27

22

b) 300,5

c) 321 42

d) 44

e) 36

8.

4

6

b) 5

c)3

2

d)

3

21

e) 31

9.

Efecte: E= a) 4

9 2

1

3 5

2

2

18 35

1

2

b) 11 3 21

c) 27 2 4 31 2

d) 3

e) 1

10. Efecte: E a) 1

4

1

b) 2

c)

1 4

d)

3 4

e)

4 3

11. Simplifique: E = 8 a) 4 b) 1 12. Si A3 325 veces

2 1 9 4 27

c) 23 ... y B 12

d) 31225 25veces

e) 112 ... .

Halle: R =4 3 a) 5 3

A

B

b) 52 4

3

c)1 16

3

d) 4

3

e) 3

3

13. Efecte: E= a) 14-2

1 3

15

b) 11

c) 12-21

d) 31 1 1 1 1 1 1 2

e) 25

14. Halle el valor de la siguiente expresin: E

a)

9 5

b)( 23 )

6 82 0,5 5

c)

3 8

d)4 0 0,7 5

5 8

e)

13 8

15. Evale: E a) 64

( 0,53 )

b) 64

c) 63

d) 60

e) -63

59

CAPTULO 2 16. Efecte: P= (11 a) 97 0, 033033...) (0,1111... 0, 037037...)

ARITMTICA

b) 270, 432432

33

c) 330, 0909

d) 900, 8181

e) 11407 546

17. Simplifique la siguiente expresin:2, 75 0, 3636

a) 9

b) 37

c) 40

d) 03 42a

e) 13a 5 7 3a

18. Determine el valor de la siguiente expresin: E9 a) 19

0, 7 51 e) 32a

b)

3 42 2 2

c)

1 4

d)

3 4

19. Reduce: a) 7 5

7

2 1

.7 53

.7 32

2

72

.7 2

b) 7

c) 7 421 99

d) 4922 7

e) 7 6

20. Halle el rea del crculo mostrado a continuacin. Usa la frmula a) 22 mr 2 , donde: rm y

r e) 1 m

b) 21 m

c) 14 m

d) 7 m

21. Halle el permetro de la figura mostrada a continuacin:

a) 4

2

2

b) 2 2

2

1

c) 4 2

2

1

d) 8

2

2 e) 2 4

2

1

22. Un tanque de petrleo tiene las siguientes dimensiones: la base tiene una longitud de 4 5 m, el ancho 2, 4 5 0 m y la altura 1 0 1 0 m. El volumen de dicho tanque en a) 1800 23. Hallem 3 ser:

b) 2000 dados: M

c) 21003 3

d) 46003 ... y N 5

e) 48005 5 ...

2M N,

siendo M y N

nmeros positivos. a) 1 b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

24. Siendo 32 cm el rea del crculo pequeo de la figura. Determinar el dimetro del crculo mayor en cm. c) 4 2 d) 16 2 e) 8 a) 4 b) 12 2

2

25. Dos cuadrados de 169 m y 49 m de rea se juntan formando una ele (L). La medida M del permetro de la figura formada es: a) 56 m b) 63 m c) 66 m d) 67 m e) 30 2 m

60

CAPTULO 2 Nivel 3

ARITMTICA

Resuelva los siguientes ejercicios y marque la alternativa correcta en cada caso: 1. Cuntas fracciones irreductibles con denominador 14 existen, de tal modo que sean mayores que a) 1 2.2 5 pero menores que ? 7 7

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

0 0, 9 1 6 6 6 Simplifique: w a) 2,87 b) 2,85

3, 6 6 6

c) 8,521, 4

d) 2,58 d) 13x yz

e) 2,97 e) 5 ? e) 5

3.

Halle x a) 10 Si1 x

y

, si 0, x y 0, y x b) 11

c) 12

4.

0,1z2y5x . Cuntas cifras no peridicas genera

a) 1 5.

b) 2

c) 3

d) 4

Cuntos nmeros de tres cifras existen tales que su cuadrado al dividirse entre 71 deja residuo 16? a) 11 b) 22 c) 23 d) 24 e) 26 El nmero a b c d e f g tiene cifras diferentes, adems su raz cuarta y su raz quinta son exactas. Halle la diferencia de las races cuarta y quinta del nmero. a) 27 b) 26 c) 16 d) 17 e)7 La diferencia de dos cuadrados perfectos de cuatro cifras cada uno es 5320 y la diferencia entre los complementos aritmticos de sus races cuadradas es 38. Halle la suma de las cifras del menor de los cuadrados. a) 7 b) 8 c) 9 d) 4 e) 1 Sobre una caja cbica de 512 000 cm3 se coloca otra similar de 8000 cm3. Halle el rea total de la superficie externa del nuevo slido en m. a) 4 b) 400 c) 758 d) 360 e) 3,363 4 3 8 2 7 1 6 7 6 3 5 2 1 3 3 2 1 1 2 4 925 351

6.

7.

8.

9.

Calcule el valor de : a) 42 0,1 20

b)32 3 7 12 0, 3 1, 6

c) 52 3 7 1 4 3

d) 65 8 5 12 2 5

e) 727 20 1 8 2 13 21 25

10. Calcule

1

0, 0, 9

a) 4

b)3

c) 5

d) 6

e) 7

61

CAPTULO 2 11. Sume a

ARITMTICA

1 2 1 3 los de 4 ; reste de esta suma la mitad de ; divide esta diferencia por el 2 3 5 5 1 1 5 los de , y el cociente multiplquelo por el resultado de resultado de sumar a 3 4 4 1 1 sumar a la quinta parte de . Exprese este ltimo producto en nmero decimal. 4 4

a) 1

b)3

c) 1,343 4 2 5

d) 1,362 5 3 2 3 4

e) 1,353 4

12. Calcule el valor de:

3 4

2 5 3 2

2

3 2

2

2

3 4 2 5

3 22

2 52

2 5 3 4

3 22

3 2

a) 0,074

b) 0,063

c) 0,064

d) 0,067

e) 0,077

13. Calcule el valor de1 1 3 3 0, 3 1 6 0, 0 3 1 3 3 8 9 0,1 2, 5 2,5 5 9 2 45 29 30 4 37 45 3 2 4 6 1 1 8 3 1, 0 6 2 5

1

a) 0

b) 10,1 5 0, 8 1 0,5 1 6, 8 2197 1,1 1,1

c) 20, 2 5 13 0,13 117 130 117

d) 35 13 5 8

e) 4

14. Calcule el valor

0, 0 7 6 9 2 3

a) 0,4

b) 2,53 8 2

c) 5,22 0, 0 9 0, 5 0,5 6 63 6 0, 2 3 3 1 4 2 7 3 5 1 0, 2 0, 9 1 2

d) 3,68 9 1 6

e) 1,7

15. Calcule el valor de :

4 5

9 39

1 0, 6 3

a) 4

b)3

c) 5

d) 6

e) 7

16. An tengo tanto como la mitad de lo que he perdido. De no haber perdido me hubiera sobrado tanto como lo que me falta hoy para comprar un par de zapatos de S/. 30 Cunto tena inicialmente? a) 20 b) 45 c) 30 d) 40 e) 25 17. Yo tengo el triple de la mitad de lo que t tienes, ms 10 soles. Si tuvieras el doble de lo que tienes, tendras 5 soles ms de lo que tengo. Cunto me quedara si comprara un artculo y gastara la cuarta parte de lo que no gastara? a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 44

62

CAPTULO 2

ARITMTICA

18. El costo de fabricacin de un libro es a soles, el cual se vende ganando tanto como se rebaj al momento de vender. De no haber rebajado, se hubiera ganado b soles ms de lo que cost. Cunto se rebaj? a)b 4

b)

a 2

b

c)

b 2

a

d)

b 2

e)

a 2

19. De dos velas de igual calidad una tiene 24 cm de longitud ms que la otra. Se prenden ambas y se observa que 30 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la menor. Cul fue la longitud inicial de la vela mayor, si la menor dur 150 minutos en total? a) 50cm b) 58cm c) 60cm d) 64cm e) 67cm 20. Para un arreglo floral se dispone de 48 flores entre rosas y margaritas. Si disponemos las flores por parejas de rosas con margaritas, se observa que el nmero de margaritas que sobran es el menor que se puede disponer en cinco lneas de a 4. Halle el nmero de rosas. a) 14 b) 15 c) 18 d) 19 e) 13

2.1.13.

Respuestas

Nivel 11. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.39 10 67 12 69 20 8 3 35 12 19 8 27 8 9 a) 500 593 b) 500 20 c) 99 41 d) 33 83 e) 450 257 f) 495 32 g) 9 31 h) 30 163 i) 450 99 j) 500

d) 11.

12.

20 2 435 16 ( 3 2 ) a) 6 b) 0,5 c)1 2 24

676 225 71 m) 300 28 n) 225 9 0) 11 571 a) 900 6299 b) 900 97 c) 15 81 d) 55 27 e) 11

l)

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

A B D D A C B E B D

13. 14. 15.

B A E

k)

1394 333

63

CAPTULO 2 Nivel 2 1. B 2. E 3. C 4. A 5. E 6. B 7. D 8. D 9. D 10. C 11. C 12. A 13. E 14. E 15. A 16. D 17. E 18. B 19. A 20. C 21. C 22. E 23. A 24. D 25. C Nivel 3 1. B 2. A 3. D 4. B 5. E 6. C 7. C 8. A 9. B 10. D 11. E 12. C 13. A 14. B 15. E 16. B 17. E 18. B 19. D 20. D

ARITMTICA

64