Algebra Numeros Reales

U.T.A. ALGEBRA F.I.S.E.I.

52 L. Vega C.

LGEBRA MDULO INSTRUCCIONAL

UNIVERSIDAD TCNICA DE AMBATO

U. T. A. FACULTAD DE INGENIERA EN SISTEMAS,

ELECTRNICA E INDUSTRIAL F. I. S. E. I.

Lic. M. Sc. Leopoldo H. Vega Cuvi

2010


53 L. Vega C.

UNIVERSIDAD TCNICA DE AMBATO

U. T. A.

FACULTAD DE INGENIERA EN SISTEMAS, ELECTRNICA E INDUSTRIAL

F. I. S. E. I.

LGEBRA MDULO INSTRUCCIONAL

I SEMESTRE

Lic. M. Sc. Leopoldo H. Vega Cuvi.


54 L. Vega C.

CAPITULO 2 CONJUNTOS DE NMEROS Aunque la teora de conjuntos es completamente general, en la matemtica elemental se encuentran ya conjuntos importantes que son conjuntos de nmeros. De particular inters, en especial en el anlisis, es el conjunto de los nmeros reales, que se denota por R

En este captulo se supone de hecho, al menos que se diga otra cosa, que el conjunto universal es el conjunto de los nmeros reales. Se revisaran en primer lugar algunas propiedades elementales de los nmeros reales antes de aplicar los principios fundamentales de la teora de conjuntos a conjuntos de nmeros. El conjunto de los nmeros reales con sus propiedades se llama el sistema de los nmeros reales. NMEROS REALES, R Una de las propiedades ms importantes de los nmeros reales es el poderlos representar por puntos de lneas rectas. Como en la Fig. 3-1, se elige un punto llamado origen, para representar el 0, y otro punto, por lo comn a la derecha, para representar en el 1. Resulta as de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los nmeros reales, es decir, que cada punto representa un nmero real nico y que cada nmero real viene representado por un punto nico. Llamado a esta recta la recta real, podrn emplearse uno por otro los conceptos de punto y de nmero.

- - 2 e=2.718

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Fig. 3 - 1 Los nmeros a la derecha del 0, o sea al mismo lado que el 1, son los llamados nmeros positivos, y los nmeros a la derecha de 0 son los llamados nmeros negativos. El 0 mismo no es ni positivo ni negativo. NMEROS ENTEROS, Z Los enteros son los nmeros reales ,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3 Se denotan los enteros por Z; as que se escribe Z= {,-2,-1, 0, 1,2,,}

Propiedad importante de los enteros es que son respecto de las operaciones de adiccin, multiplicacin y sustraccin; es decir, que la suma, producto y diferencia de dos enteros es a su vez un entero. Ntese que el cociente de dos enteros, por ejemplo, 3 y 7, no es necesariamente un entero; as que los enteros no son cerrados respecto de la operacin divisin. NMEROS RACIONALES, Q Los nmeros racionales son los reales que se pueden expresar como razn de dos enteros. Se denota el conjunto de los nmeros racionales por Q, as que,

Q = {x | x =p/q donde p Z, q Z}


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Obsrvese que todo entero es un nmero racional, ya que, por ejemplo, 5 0 5/1; por tanto, Z es un subconjunto de Q. Los nmeros racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adicin, multiplicacin y sustraccin, si no tambin respecto de la divisin (excepto por 0). Es decir, que suma, producto, diferencia y cociente (excepto por 0) de dos nmeros racional nuevamente. NMEROS NATURALES, N Los nmeros naturales son los enteros positivos. Se denota el conjunto de los nmeros naturales por N; as que: N = {1, 2,3,} Los nmeros naturales fueron el primer sistema de nmeros que se formo y se les usaba primordialmente antes para contar. Ntese las relaciones siguientes entre los anteriores sistemas de nmeros: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19,

NMEROS IRRACIONALES; Q Los nmeros irracionales son los reales que no son racionales, esto es, el conjunto de los nmeros irracionales es el complemento del conjunto de los nmeros racionales Q en los nmeros reales R; por eso se denotan los nmeros irracionales por Q. Ejemplos de nmeros irracionales

son 3 , , 2 etc.

DIAGRAMA LINEAL DE LOS SISTEMAS NUMRICOS La Fig. 3 -2 siguiente es un diagrama lineal de los distintos conjuntos de nmero vistos hasta ahora. (Para que quede completo, se incluye en el diagrama el conjunto de los nmeros complejos, que son los de la forma a + bi, con a y b reales. Obsrvese que el conjunto de los nmeros complejos es un sper conjunto del conjunto de los nmeros reales.) CONJUNTOS DE NMEROS

Fig. 3-2 DECIMALES Y NMEROS REALES Todo nmero real se puede representar por un decimal con infinitas cifras. La representacin decimal de un nmero racional p/q se encuentra dividiendo el numerador por el denominador q. Si la divisin dicha se acaba, como en: 3/8=0.375 se escribe 3/8=0.375000

Nmeros primos

Nmeros complejos

Nmeros reales

Nmeros racionales Nmeros irracionales

Enteros

Enteros Negativos Cero Nmeros naturales


56 L. Vega C.

o bien 3/8=0.374999 Si la divisin p por q no acaba, se sabe entonces que hay un tramo de cifras que se repite continuamente; por ejemplo: 2/11=0.181818 Ahora bien, lo que caracteriza a los nmeros reales respecto de los decimales, es que en tanto que los nmeros racionales corresponden precisamente a los decimales en que se repite continuamente un tramo de cifras, los nmeros irracionales corresponden a los otros decimales de infinitas cifras. ECUACIONES Y DESIGUALDADES La representacin de nmeros reales mediante smbolos hace posible el planteamiento de problemas de la vida real que requieren, para su solucin, encontrar valores especficos de estos smbolos (incgnitas) que satisfacen una relacin de igualdad. Estas relaciones de igualdad se llaman ecuaciones y los nmeros reales que las satisfacen son soluciones de las mismas. Basados en la relacin de orden que tiene el conjunto de los nmeros reales tambin se plantean expresiones simblicas que se llaman desigualdades (o inecuaciones). En este captulo se estudian ecuaciones y desigualdades de primer grado y la manera de encontrar los conjuntos solucin de las mismas. Se plantean problemas de aplicacin que conducen a una ecuacin o desigualdad y se muestra la manera de resolverlos. OBJETIVOS: Al finalizar el estudio y prctica de este captulo, el estudiante deber ser capaz de: I. Hallar el conjunto de ecuaciones de primer grado con una variable. II. Representar los intervalos como subconjuntos de los nmeros reales. III. Hallar el conjunto solucin de una inecuacin de primer grado con una variable. IV. Resolver problemas que den lugar a ecuaciones e inecuaciones de primer grado con una variable. V. Plantear y resolver sus propios ejercicios y problemas de este tipo, que se presenten en su vida cotidiana. ECUACIONES DE PRIMER GRADO El planteamiento de problemas especficos conduce a buscar solucin a preguntas del siguiente tipo: Encontrar el valor (o valores) de x que satisfacen una relacin del tipo:

ax + b = 0 donde a, b R, a 0

En otras palabras, muchos problemas conducen al conocimiento explicito del conjunto:

A= {x/ax + b = 0 a, b R a 0} (2)

El conjunto A= {x/ax + b = 0 a, b R a no es igual a 0} es el subconjunto solucin de la ecuacin ax + b = 0.


57 L. Vega C.

La expresin (1) se llama una ecuacin de primer grado en x y el conjunto (2) se llama el conjunto solucin de (1). Encontrar explcitamente el conjunto A se llama resolver la ecuacin. Ejemplo 1 Resolvamos la ecuacin 3x + 2 = 0. Solucin Es necesario encontrar explcitamente el conjunto A= {x: 3x + 2 = 0, x R}.

Si x A, entonces 3x+2= 0. Si sumamos a ambos lados la cantidad -2, se tiene: (3x+2) + (-2)= 0 + (-2)= -2 Luego: 3x+ (2 + (-2))= -2; 3x+0= -2; 3x= -2 (Observemos que se ha trasladado es 2 con signo contrario, al segundo miembro de la igualdad.) Multiplicando ambos lados por 1/3, se tiene: 1/3 (3x)= (-2) 1/3; (1/3. 3) x = -2/3; x= -2/3 El conjunto solucin es, explcitamente: A= {-2/3}. Ejemplo 2 Resolvamos la ecuacin: 4x -7= 2. Solucin Es necesario encontrar, explcitamente, el conjunto B= {x/4x-7=2}.

Si x B, entonces 4x-7= 2. Sumando 7 ambos lados, se tiene: 4x-7+7= 2+7. Luego, 4x= 9. Multiplicando por , se tiene: (4x) = () 9; (. 4) X= 9/4; X = 9/4 El conjunto es: B= {9/4} Ejemplo 3 Despejemos x, en la ecuacin: 3/2 x = Solucin Sumando a ambos lados, se tiene: 3/2x + = + 1/2; 3/2x = + 2/4 ; 3/2x = Multiplicando por 2/3: 2/3 (3/2 x) = 2/3. (2/3. 3/2) x= 6/12 = ; x=1/2 Ejemplo 4 Despejemos x, en la ecuacin: 2x + 5 = 7 3x + 2 Solucin Multiplicamos ambos lados por 3x + 2, para eliminar el denominador: (3x + 2) 2x + 5 = 7 (3x + 2) 3x + 2 (3x + 2) (2x + 5) = 21x + 14; 2x + 5= 21x + 14 3x + 2


58 L. Vega C.

Sumando a ambos lados -2x-14, con el fin de agrupar los trminos que contienen x en un solo lado: -2x-14+2x+5 = 21x+14-2x-14 -9= 19x Esto es, 19x= -9

Multiplicando por 9

1, finalmente, se tiene:

)9(19

1)19(

9

1x

19

9;

19

9)19.

9

1( xx , que es la solucin

Para resolver una ecuacin de primer grado, procedemos mediante la siguiente Regla Prctica: 1. Quitar denominadores (se multiplica los dos miembros de la ecuacin por el mnimo comn mltiplo de los denominadores que aparecen) 2. Efectuar las operaciones indicadas en los parmetros (destruir los parntesis) 3. Agrupar y reducir trminos en los dos miembros de la igualdad (reunir trminos semejantes) 4. Colocar los trminos en x en un miembro y los numricos en otro 5. Resolver la ecuacin equivalente de primer grado obtenida 6. Comparar el resultado de la ecuacin Ejemplo 5 Resolvamos la siguiente ecuacin fraccionaria:

12

17

12

12

2

3

4

5

xxx

Solucin 1. Tomamos el mnimo comn mltiplo: M.C.M. (4,2,12)=12 y multiplicamos cada miembro

12

17.12

12

)12(.12

2

3.12

4

5.12

xxx

2. Efectuando las operaciones indicadas:

15x+6x(x-3) = (2x-1)-17 15x+6x-18 = 2x-1-17

3. Agrupando y reduciendo se obtiene: 21x-18=2x-18 4. Al colocar los trminos en x en un miembro y los numricos en otro:

21x-2x = -18+18 19x = 0

5. Resolver la ecuacin 19x=0 es equivalente a resolver ecuacin dada

19x=0

x=19

0=0 x=0 es la solucin


59 L. Vega C.

6. Al comprobar para x=0 en la ecuacin dada, obtenemos

2

3

2

3

12

18

2

3

12

17

12

1

2

3

12

17

12

10.2

2

300.

4

5

Luego 0 es la solucin de la ecuacin Algunas veces es necesario que la incgnita se restringa a un conjunto numrico en particular (naturales, enteros, racionales, reales) Ejemplo 6 Encontremos la solucin de la ecuacin 4x+7=0, si x debe ser un entero Solucin Sumando-7 a ambos lados: 4 x + 7 7 = 0 7 = -7 4x = - 7

Multiplicado por 4

7;

4

7)7(

4

1)4(

4

1:

4

1 xx

Como -4

7no es un entero, entonces la ecuacin 4x+7=0; no tiene solucin en el conjunto de los

nmeros enteros.

El conjunto solucin es: zexxA 074: INFRMESE

1. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solucin. 3x-6=0 y 3x+6=12 son equivalentes ya que admiten el mismo conjunto solucin (2).

2. Si se multiplican ambos miembros de una ecuacin por una constante, se obtiene una ecuacin equivalente a la dada:

4x=12 x=3

Si se multiplica por 2

1

2x=6 x=3 Ejercicio 7.1 Encontrar el conjunto solucin, en cada una de las siguientes ecuaciones lineales: 1. 3x-5=0 2. 2x-4=0 3. 3x+9=0 4. 2x+1=3 5. x+4=17 6. 3x+8=24 7. 9 x 3= 21 8. 1/2 x + 3/4=2 9. 1/2 x + 3/4 = 1/8 10. x - 1/2= 1/2 11. x + 1/2 = 1/2 12. 4 x 3/4 = 3


60 L. Vega C.

13. 7 x 21 = 28 14. x b c = 0 15. 5 ( x 12) = 27 16. (x-1/2)2 = 1/3 17. 3 (x + 4) = 2 (x - 5) 18. 2 (2x 1) = 2 + 3x 19. 5 (x 17) = 2 (x 3) 20. x- 5 =4 (x + 2) + 5 X 12 x x x 21. = 2 22. + = + 8 X + 15 2 3 5 X 1 - 2x + 17 2 2 1 23. = 4 24. = 3x 3 3 4 x - 5 2 3 3 3 1 3 9 25. (x + ) + (x - ) + x = 4 2 2 2 2 4 2x 16 4x 6 4x - 8 26. + = - 1 5 15 20 3 5 6 27. + 18 = + - 5 28. ax + b = cx + d (con a c) x x x 2 6 2 3 1 29. - = + - x x 3 4 x 4 (x 2) x 8 5 (x 1) 2 (x + 5) 30. - + = 3 6 3 3 2x + 8 4x + 3 31. - 2 (3x 5) + 2x = 2 3 32. 0,9x 1,6 = 3,7 + 6,8 Resolver las siguientes ecuaciones, restringidas al conjunto numrico respectivo. 33. 2x 6 = 4, x N 34. 3X 8 = 7, X Z 3X + 2

35. 2X 3 = 27, X Q 36. = 7, x Q 2x + 1 X 2 x + 5 x - 2 37. = 4, x Z 38. = , x Q X 1 X + 4 X 7


61 L. Vega C.

RESPUESTAS: EJERCICIO 7.1 5 16 8 1. { }. 2. {2}. 3. {-3}. 4. {1}. 5. {13}. 6. { }. 7. { }. 3 3 3 4 5 15 8. { - }. 9. {- }. 10. {1}. 11. {0}. 12. { }. 13. {7}. 14. {b + c}. 3 4 16 87 2 79 15. { }. 16. { } 17. {-22} 18. {-4}. 19. { } 20. {-6} 21. {-42} 5 3 3 240 29 1 8 22. { }. 23. { }. 24. {-6}. 25. { }. 26. {-6}. 27. { }. 19 10 2 23 d b 36 38 28. { }. 29. { }. 30. { }. 31. {3}. 32. {-3}. 33. {5}. 34. {5} a - c 17 13 - 5 - 27 35. {15}. 36. { }. 37. . 38. { }. 11 4 EJERCICIO 40. Resolver las ecuaciones siguientes y comprobar la solucin encontrada: 1) 4x 2 = 10 2) 6x 3 = x + 7 3) 2x + 5 = 3 4) 7x = 4x + 6 5) 2x = 9 + x 6) 6x = 24 2x 7) 10 = 15 5x 8) x 8 = 4 x 9) 3x 10 = 18 x 10) 7x 8 = 3x + 4 11) 2 3x 5 = 5 8x + x 12) x + 2 = 3 2x + 8 13) 4 y + 2y = 6 2y + 1 14) 2z + 3 = 1 + z + 4 15) 0,6x 0,3 = 1,2 + 0,4x 16) 0,26y + 0,21 = 0,04y 0,06 18) 3(x + 6) 40 = 6(x 3) 19) 2(3x 2) 5x = 2(x 3) + 90 20) 4(x 1) 5(3 x) 14x 2(5x 3) 21) 12x 3(x 2) 3(x + 4) 22) 4x (x + 6) (x 2) = 16 2x 23) x + 3x (x 2) = 2(x 1) + (x x) 24) 3(x 1) + 5(x 2) (x 3) = 18 25) 2(x 3) 4(x 1) + 3(x 5) = 2x + 20 26) 10 4(x + 2) = 32 6(3x 2) 27) 8(x 2) 5(3 x) + 16 = 15 4(3 x) 28) (3x 2) (x + 3) x = 0 29) 0 = 6x + (11 x) + 2(x 2) 30) (2x + 3) (x + 4 2x) = 5 (x + 2) 31) 3x + ( x + 1) (x 5) = 8 (2x 6 + x) 32) 4x + [ x (5 + x)] = 3 33) 15 [ 3x + (8x 2)] = 7 34) 6 + {3x [3 + (4x 1)]} = 2


62 L. Vega C.

35) x {2 + [x (3x 1)]} = 2 x 36) 3x [ 6x (3 x)] = 9 + (x 1) 37) 6 + (3x 4) = 2x {3 + [4x (3 x)] x} 38) x (x 3) (x + 2) = 8 39) 3x (x 1) (x + 5) = 2x + 3 40) (4 x) (x + 3) = x 40 41) 5x 3[x (2x 1)] = 3 42) x + 4 (x 2) (x 1) = 3(3 x) x 43) 22 [3x (2x 1)] = 5x + {6 [2x 7(x 1)]} 44) 4(x 5) (x + 2) = 11 3[x(x + 2) + 3] + 7x 45) (y + 2) (y 1) + ( y ) = (2y 1) (y + 2) 4 46) (z + 1) (z + 4) + 3(z 2 ) (z 1) = 4z(z 6) 47) x(x + 1) (x + 2) (x + 1) (x 2) (x + 3) = x 1 48) (y 3) (y + 5) 2y(y 1) = (y 3) (y 2) + 6 2y 49) (z + 1) (z 3) (z + 2) (z + 4) = 3z [4z 2(z 1)] 50) (2x 3) (3x 2) + (4x 1) (2x 6) = 2x(7x 5) + 70 RESPUESTAS DEL EJERCICIO 40. 1 ) x = 3 2 ) x = 2 3 ) x = 1 4 ) x = 2 5 ) x = 9 6 ) x = 3 7 ) x = 1 8 ) x = 6 9 ) x = 7 10 ) x = 3 11 ) x = 2 12 ) x = 3 13 ) x = 1 14 ) x = 2 15 ) x = 7,5 16 ) x = 0,9 17 ) x = 1,25 18 ) x = 4/3 19 ) x = 88 20 ) x = 5 21 ) x = 1 22 ) x = 5 23 ) x = 4 24 ) x = 4 25 ) x = 37 26 ) x = 3 27 ) x = 2 28 ) x = 5 29 ) x = 1 30 ) x = 1 31 ) x = 2 32 ) x = 4 33 ) x = 2 34 ) x = 6 35 ) x = 1,25 36 ) x = 5 37 ) x = 0,4 38 ) x = 2 39 ) x = 0,5 40 ) x = 28 41 ) x = 0 42 ) x = 1 43 ) x = 2 44 ) x = 7 45 ) y = 2 46 ) z = 0,5 47 ) x = 1 48 ) y = 3 49 ) z = 1 50 ) x = 2. PLANTEAMIENTO Y SOLUCIN DE PROBLEMAS Muchos problemas de la vida real pueden plantearse en trminos de ecuaciones y por lo tanto, una vez planteados, pueden resolverse por los mtodos expuestos anteriormente. El xito alcanzado para resolver un problema, depende de la habilidad que se adquiera en la traduccin del lenguaje usual un lenguaje simblico. Es muy conveniente saber traducir el lenguaje corriente al matemtico. INFRMESE: Para entender un problema se debe tener en cuenta:

1. Entender lo que se lee. 2. Captar las relaciones entre las condiciones dadas en el enunciado. 3. Percibir matemticamente lo establecido en el enunciado.


63 L. Vega C.

Algunas expresiones frecuentes son: Lenguaje usual: El doble de un nmero x...2x Un nmero par.....2x Un nmero impar....2x+1 Dos nmeros impares consecutivos.......2x+1,2x+3 La tercera parte de un nmero aumentado en 3..x/3 + 3 El triple de un numero disminuido en la unidad..3 ( x 1 ) La edad, hace 4 aos, de una persona que tiene actualmente x aos ...x 4 La edad, dentro de x aos, de una persona que tiene actualmente 50 aos .50 + x Los enunciados formulados en lenguaje corriente para ser traducidos a preposiciones matemticas y que las hagan ms fciles que presentar y entender, deben ser preposiciones lgicas que al ser traducidas no se presten a interpretaciones equivocadas. Es necesario elegir propiamente los smbolos desconocidos (incgnitas) y traducir el enunciado del problema a ecuaciones o desigualdades que envuelvan estos smbolos y. finalmente, encontrar el conjunto solucin de la ecuacin correspondiente. Los siguientes ejemplos ilustran la manera como debe procederse en la mayora de los casos. Ejemplo 1 Un estudiante gasta la mitad de su dinero en golosinas y una dcima parte en transporte. Si al final queda con: $200.00, Cunto dinero tenia? Solucin Sea x la cantidad de dinero que tenia al principio, x/2 es lo que gasta en golosinas, x/10 es lo que gasta en transporte. Despus de hacer sus gastos le quedan x x + x (la cantidad original menos los gastos).

2 10 Luego: x x + x = 200. 2 10 Se trata, entonces, de resolver la ltima ecuacin. Se tiene: X 5x + x = 200; X 5x + x = 200; x 6x = 200 10 10 10 10 10x _ 6x = 200; 10x - 6x = 200 ; 4x = 200 10 10 10 10 Multiplicado por 10 , se tiene: x = 10 . 200 = 500 4 4 Luego, tena $500,00 Ejemplo 2 La suma de dos nmeros reales es 40 y su diferencia 10. Cules son los nmeros: Solucin Sea x uno de los nmeros.


64 L. Vega C.

Como la suma es 40, el otro nmero es 40 x. La diferencia entre los dos e: x (40 x ). Luego: x ( 40 x ) =10. Es necesario resolver la ecuacin anterior: X 40 + x = 10; 2x 40 = 10; 2x = 10 + 40 2x = 50 X = 25 La solucin es 25 y 15. Ejemplo 3 Sabemos que la distancia d de un cuerpo con movimiento uniforme, es igual al producto de la velocidad por el tiempo. Es decir: d = vt La distancia del sol a la tierra es aproximadamente 150 millones de kilmetros, Qu tiempo tarda la luz del sol en llegar a la tierra si la velocidad de la luz es 300 000kilmetros por segundo? Solucin Sea t el tiempo que tarda la luz en llegar del sol a la Tierra. Sabemos que d = vt , donde d = 150 000 000 y v = 300 000; luego 150 000 000 = 300 000 t

500300000

150000000yt Segundos = 8 minutos 20 segundos.

Ejemplo 4

En un colegio los alumnos de 8. Y 9 grado suman 108. Si loa alumnos de 9. Son 5

1 de los

alumnos de 8, Cuntos alumnos tiene cada grado? Solucin Sea x el nmero de alumnos de 8.

Los alumnos de 9 son 5

x, segn el enunciado.

Luego: 5

xx = 108;

5

5 xx = 108;

5

6x= 108

5406 x

6

540x = 90

Los alumnos de 8 son 90 y los de 9. 185

90

5

xAlumnos.

Ejemplo 5 En una canasta hay 90 frutas entre naranjas, manzanas y mangos. Si el nmero de naranjas es el doble del nmero de manzanas y el de mangos es la tercera parte del de manzanas, hallemos el nmero de frutas de cada clase. Solucin x : Nmero de manzanas

x2 : Nmero de naranjas

3

x : Nmero de mangos


65 L. Vega C.

Luego,

3290

xxx (Nmero de frutas en la canasta)

3390

xx

3

1090

x

27x Manzanas; 54)27(22 x Naranjas; 9

3

27

3

xMangos.

Ejemplo 6 Un obrero A puede realizar un trabajo en seis das y uno B puede hacer el mismo trabajo en 4 das. Cunto tiempo les tomar a A y B, trabajando juntos, para realizar el trabajo? Solucin

Como A puede hacer el trabajo en 6 das, entonces en un da har 6

1 del trabajo.

Como B puede hacer el trabajo en 4 das, entonces en un da har 4

1del trabajo.

Si x es el nmero de das que gasta juntos para hacer el trabajo, entonces x

1 es la parte del

trabajo que hacen juntos en un da.

Luego, 4

1

6

11

x

12

51

x

5

22

5

12x Das.

Los dos hombres trabajando juntos pueden realizar el trabajo en 5

22 das.

Ejemplo 7 Hace tres aos un padre tena cinco veces la edad de su hija, pero dentro de tres aos el tendr slo tres veces la edad de su hija. Hallemos la edad actual de la hija. Solucin Edad actual de la hija: x Edad de la hija hace tres aos: x 3 La edad del padre hace tres aos: 5 (x 3) Edad de la hija dentro de tres aos: x +3 Edad del padre dentro de tres aos: 3 (x +3) La ecuacin la planteamos al cumplirse que: (2) (1) = 6 aos 3 (X+3) 5 (x3) = 6 3x + 9 5x + 15 = 6 2x = 18 X= -18/-2 = 9. La edad actual de la hija es 9 aos.


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EJERCICIO 7.2 Elaborar una ecuacin para cada uno de los siguientes problemas y resolverla: 1. La suma de dos nmeros reales es 120 y su diferencia 40. Encontrar dichos nmeros. 2. La suma de un nmero y 3 veces el mismo es 120. Encontrar el nmero. 3. La diferencia entre un nmero y su mitad es 40. Cul es el nmero? 4. La suma de dos nmeros enteros consecutivos es 227. Cules son estos nmeros? 5. L suma de dos nmeros enteros consecutivos es 57. Cules son esos nmeros? 6. Si a los dos trminos de la fraccin 7/2 se les suma el mismo nmero, se obtiene una fraccin equivalente a 4/3 . Qu nmero hay que sumar? 7. En un baile el 60% son mujeres. Si hay 36 hombres, cuntas personas hay en el baile? 8. De un saco de caf se han vendido 3/7 de su peso durante la maana y 1/5 del resto por la tarde. Cuntos Kg. tena el saco si quedan 57 Kg? 9. Juan ha gastado la tercera parte de su dinero en un libro y la dcima parte del resto en ir al cine. Si al final queda con $300, cunto dinero tena al principio? 10. Si dividimos un nmero entre 7, 5 y 3, la suma de los cocientes es igual a los 2/3 del nmero ms 1. Cul es el nmero? 11. Descomponer el nmero 62 en dos partes, tales que dividiendo una por otra se obtenga 2 de residuo y 3 de cociente. 12. La edad actual de Jorge es el triple de la de Pedro y dentro de 10 aos ser el doble, Cul es la edad actual de ambos? 13. Dentro de 12 aos la edad de un hombre ser el doble de la edad que tena hace 4 aos. Cul es la edad actual? 14. Mi madre tiene 4 aos ms que mi padre. Cuntos aos tiene cada uno si dentro de 7 aos la suma de sus edades ser 88 aos? 15. El aire es un componente de gases de los cuales 1/5 es oxgeno. En cuntos litros de aire habr 480 litros de gases que no son oxgeno? 16. Al producirse una explosin, trascurren 3 segundos entre el momento de observar las luces y el momento de escuchar el ruido. A qu distancia sucedi la explosin si sabemos que la velocidad del sonido es 340 metros por segundo? 17. Un nmero de dos cifras es tal que la suma de sus dgitos es 7; si se intercambian las cifras el nmero queda disminuido en 9. Cul es el nmero? 18. Dos autos A y B parten en direcciones opuestas, de dos ciudades distantes 30 kilmetros. EJ auto A va a 60 kilmetros por hora y el segundo a 30 kilmetros por hora. Al cabo de cunto tiempo se encuentran? 19. Una llave puede llenar un tanque en 24 minutos y otra lo puede llenar en 18 minutos. En cunto tiempo llenarn el tanque ambas llaves si se abren simultneamente? 20. Si un hombre trabaja 9 das, un segundo hombre puede terminar el trabajo en dos das ms. Si el primero trabaja 3 das, el segundo puede terminarlo en 6 das ms. Cuntos das necesitar cada hombre para hacer el trabajo individualmente? 21. Una seora gasta 2/5 de su dinero, despus 1/2 del resto y, finalmente, los 2/3 del nuevo resto y le quedan $15. Cunto dinero tena al principio? 22. El ancho de un rectngulo es 2/3 de su largo y su rea es 54cm2. Hallar las dimensiones del rectngulo. 23. Determinar la altura de un trapecio de bases 15 y 35 centmetros, respectivamente, si su rea es 300 centmetros cuadrados. 24. El permetro de un tringulo issceles es 120 cm. Y la longitud de uno de los lados congruentes es tres cuartos de la longitud de la base. Hallar la longitud de la base. 25. Un terreno rectangular tiene un permetro de 860 metros. Su largo es 30 metros mayor que el triple de su ancho. Encontrar el largo del terreno. 26. Un profesor de matemticas califica en un da 20 exmenes y al otro da los 2/7 de los que le faltan. Si todava le quedan los 3/5 del total, cuntos exmenes debe calificar en total?


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27. Tenemos dos tanques de igual capacidad llenos de agua. Si sacamos 20 galones del primero y 90 del segundo, queda en el segundo la mitad de la cantidad de agua que queda en el primero. Hallar la capacidad de los tanques. 28. Nuestra seleccin nacional de ftbol, en su etapa de preparacin para el prximo mundial, ha jugado 18 partidos de los cuales ha perdido 4. S totaliza 40puntos, Cuntos partidos ha ganado y cuntos a perdido? Sugerencia: recuerde que partido ganado da tres, empatado un punto y perdido cero puntos. 29. POEMA En mi quinta hay... rboles bellos: ciruelos redondos, limoneros rectos, y naranjos de brotes lustrosos J. DE IBARBOUROU Supuesto que cada limonero vale $30, cada ciruelo $50 y cada naranjo $45. Averiguar cuntos rboles bellos hay en la quinta si se sabe que dos quintos son limoneros, un tercio del resto ciruelos y que el total vale $4 000. Solucin: 100 rboles bellos. 30. EDAD DE DIOFANTO El tiempo que dur la vida matemtico griego Diofanto, se conserva gracias al epitafio su tumba tiene en el que su aparece fraccionada, cada una las cuales constituye cierta de su edad total x y que dice. Esta tumba contiene a Diofanto. Dios hizo que fuera nio sexta parte de su vida. Aadiendo un doceavo, sus mejillas la primera barba. Le encendi el fuego nupcial despus sptimo, y en el quinto ao de la boda le concedi un hijo. Pero ay! nio desgraciado, en la mitad de a vida de su padre lo arrebat la helada tumba. Cuatro aos despus lleg al de su vida. Cuntos aos vivi Diofanto? x x x x Solucin: 84 aos. Modelo: + + + 5 + 4 = x 6 12 7 2 Soluciones: EJERCICIO 7.2 1. 80 y 40. 2. 30. 3. 80. 4. 113 y 114 5. -28 Y -29. 6. 13. 7. 90 personas. 8. 124.68 Kilogramos 9. $500. 10. 105. 11. 47 y 15. 12. 30 y 10 aos. 13. 20 aos. 14. 39 y 35 aos. 15. 600litros. 16. 1020 metros. 17. 43. 18. 1/3 hora. 19. 10,29 minutos. 20. 8y 12 das. 21. 150. 22. 9 y 6 cm. 23. 12 cm. 24. 48 cm. 25. 330 m. 26. 125 exmenes. 27. 160 galones. 28. 12 y 4. EJERCICIO 42. Resulvanse los problemas siguientes: 1) El duplo de un nmero es igual al nmero aumentado en 15. Hallar el nmero. 2) Cuatro veces un nmero es igual al nmero aumentado en 30. Hallar el nmero. 3) El duplo de un numero ms el triplo del mismo nmero es igual a 20. Hallar el numero.


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4) Si el triple de un nmero se resta de ocho veces el nmero el resultado es 45. Hallar el nmero. 5) Pedro tiene tres veces el nmero de naranjas que tiene Juan y entre los dos tienen 48 naranjas. Cuntas naranjas tiene cada uno? 6) Julio y su hermano tienen conjuntamente 10 $ y Julio tiene 1 $ ms que su hermano. Cunto tiene cada uno? 7) La suma de las edades de un padre y su hijo es de 60 aos y la edad del padre es el quntuplo de la edad del hijo. Cul es la edad de cada uno? 8) Hallar dos nmeros consecutivos cuya suma sea 51. 9) Hallar tres nmeros consecutivos cuya suma sea 63. 10) La suma de dos nmeros es 27 y su diferencia es 7. Hallar los nmeros. 11) Hallar dos nmeros que sumados den 131 y restados den 63. 12) Tres personas A, B y C reciben una herencia de 3500 $, B recibe el triple de lo que recibe A ; y C el duplo de lo que recibe B. Cunto corresponde a cada uno? 13) Un aeroplano va de la Habana a Miami y regresa en 100 minutos. A causa del viento el viaje de ida demora 12 minutos ms que el de regreso. Cuntos minutos demora cada viaje? 14) En una clase de 47 alumnos hay 9 varones ms que nias. Cuntos varones y cuntas nias hay? 15) En una clase de 80 alumnos el nmero de aprobados es 4 veces el nmero de suspensos. Cuntos aprobados y cuntos suspensos hay? 16) El cuerpo de un pez pesa 4 veces lo que pesa la cabeza y la cola 2 libras ms que la cabeza. Si el pez pesa 22 libras, cul es el peso de cada parte? 17) El largo de un rectngulo es el triple del ancho y su permetro (suma de los lados) es de 56 cm. Hallar sus dimensiones. 18) En una batalla area en Corea los norcoreanos perdieron 17 aviones ms que los norteamericanos. Si en total se perdieron 25, cuntos aviones perdi cada uno? 19) Una compaa gan 30000 dlares en 3 aos. En el segundo ao gan el doble de lo que haba ganado en el primero y en el tercer ao gan tanto como en los dos aos anteriores juntos. Cul fue la ganancia en cada ao? 20) Un terreno rectangular tiene de ancho 5 metros menos que de largo y su permetro es de 95 m. Hallar sus dimensiones. 21) Hay cuatro nmeros cuya suma es 90. El segundo nmero es el doble del primero, el tercero es el doble del segundo y el cuarto es el doble del tercero. Cules son los nmeros? 22) La suma de cuatro nmeros consecutivos es 198. Hallar los nmeros. 23) La suma de tres nmeros impares consecutivos es 99. Hallar dichos nmeros. 24) Un caballo con su silla valen 1400 $. Si el caballo vale 900 $ ms que la silla, cunto vale cada uno? 25) Se han comprado dos piezas de una maquina de la misma medida y del mismo fabricante. Una de ellas se compr al precio de lista y la otra con rebaja del 25%. Si por las dos se pagaron 52,50 dlares, cunto se pag por cada una? RESPUESTAS EJERCICIO 42. 1) 15 2) 10 3) 4 4) 9 5) Pedro, 36 ; Juan, 12 6) Julio, 5,50 $; hermano, 4,50 $ 7) Padre, 50 ; hijo, 10 8) 25 y 26 9) 20, 21 y 22 10) 10 y 17 11) 34 y 97 12) A, 350 $; B, 1050 $; C, 2100 $ 13) 44 y 56 14) 19 y 28 15) 16 y 64 16) cabeza, 3 lbs; cuerpo, 12 lbs; cola, 5 lbs 17) ancho, 7 cm; largo, 21 cm 18) norcoreanos, 21; norteamericanos, 4

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19) 5000 $, 10000 $, 15000 $ 20) 21,25m y 26,25m 21) 6, 12, 24, 48 22) 48, 49, 50, 51 23) 31, 33, 35 24) 1150 $ y 250 $ 25) 30 $, 22,50 $ DESIGUALDADES Se introduce el concepto de orden en el sistema de los nmeros reales por la Definicin: El nmero real a es menor que el nmero real b, lo que se escribe: a < b si b a es un numero positivo Se pueden demostrar las propiedades siguientes de la relacin a < b. Sean los nmeros reales a, b y c; entonces: P: 0 bien a < b, o a = b, o b < a. P: Si a < b, y b < c, entonces a < c. P: Si a < b, entonces a + c < b + c P4: Si a a Lo que se lee b es mayor que a asimismo, se escribe a b o b a si a -8 Ejemplo 1-2 La Notacin x < 5 significa que x es un numero real menor que 5; asi que x esta a la izquierda de 5 en la recta real. La notacin 2 < x < 7 significa 2 < x y x < 7; con lo que x estar entre 2 y 7 en la recta real Observacin 3-1: Es de notar que el concepto de orden, o sea la relacin a < b, se define mediante el concepto de numero positivo. La propiedad fundamental de los nmeros positivos que se utiliza para demostrar propiedades de la relacin a < b, es que tales nmeros son cerrados respecto de las operaciones de adicin y multiplicacin, hecho que, adems, est ligado ntimamente al de que los nmeros naturales tambin son cerrados respecto de las operaciones de adicin y multiplicacin. Observacin 3-2: Son ciertas las afirmaciones siguientes para a, b y c nmeros reales cualesquiera: (1) a a. (2) Si a b y b a entonces a = b (3) Si a b y b c entonces a c. Puede verificarse que este es un orden en R, de acuerdo con la definicin de la relacin de orden. En efecto: A. Reflexiva: , R evidentemente. B. Anti simtrica: Si b y b ,


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Entonces el punto representativo de a esta a la izquierda o coincide con el punto representativo

de , para que se cumpla que .

Por otro lado, si se cumple que , el punto representativo de esta a la izquierda o coincide

con el punto representativo de .

En resumen, los dos puntos coinciden y .

C. Transitiva: Si

Entonces el punto representativo de esta a la izquierda o sobre el punto representativo de .

Tambin el punto representativo de esta a la izquierda o sobre el punto representativo de . Por

tanto, el punto representativo de esta a la izquierda o sobre el punto representativo de a esta a

la izquierda o sobre el punto representativo de . Esto es: .

, entonces .

Figura 7.2 Nota. La relacin ser mayor o igual que, denotada por , tambin es una relacin de orden en los nmeros reales. Si a es estrictamente menor que b, se escribe a

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Tambin se puede mostrar que si b es cualquier nmero positivo, entonces |a| b si y slo si a > b o a < b |a| = b si y slo si a = b o a = -b El valor absoluto de un numero real x, denotado por Se define as lxl x si x 0 lxl = -x si x < 0 es decir, que si x es positivo o cero, entonces lxl es igual a x, y si x es negativo, entonces lxl es igual a x. en consecuencia el valor absoluto de cualquier numero es siempre no negativo, esto es lxl 0 para todo x R. Desde el punto de vista geomtrico, el valor absoluto de x es la distancia del punto x de la recta real al origen, esto es, al punto 0. Asimismo, la distancia entre dos puntos cualesquiera, o sea entre dos nmeros reales a y b, es l a b l = l b a l. Ejemplo 2-1: l-2l = 2, l7l = 7, l-l = l 3 8 l = l-5l = 5, l8-3l = l5l = 5, l-3 -4l = l-7l = 7. Ejemplo 2.2: La relacin lxl < 5 Significa que la distancia entre x y el origen es menor que 5, esto es, que x debe estar entre -5 y 5 sobre la recta real. Dicho de otro modo: lxl < 5 y -5 < x < 5 tienen el mismo significado. De modo anlogo lxl 5 y -5 x 5 significan lo mismo INTERVALOS Examnense los siguientes conjuntos de nmeros: A1 = {x | 2 < x < 5} A2 = {x | 2 x 5} A3 = {x | 2 < x 5} A4 = {x | 2 x < 5} Ntese que los cuatro conjuntos contienen solamente los puntos que estn entre 2 y 5 con las excepciones posibles de 2 y/o 5. Estos conjuntos se llaman intervalos y los nmeros 2 y 5 son los extremos de cada intervalo. Por otra parte, A1 es un intervalo abierto, pues no contiene los extremos ; A2 es un intervalo cerrado, ya que contiene ambos extremos, y A3 y A4 son abiertos - cerrados y cerrados - abiertos, respectivamente. Se representa grficamente estos conjuntos sobre la recta real como sigue: -5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 A1 -5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

A2

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-5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 A3 -5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 A4 Obsrvese que en cada diagrama se encierran con un circulo los extremos 2 y 5 y que se repintan el segmento entre los puntos dichos. Cuando un intervalo incluye un extremo, esto se hace ver llenando el circulo del extremo. Como los intervalos aparecen con mucha frecuencia en las matemticas, se emplea generalmente una notacin abreviada para designar intervalos. Por ejemplo, los intervalos anteriores se denotan, a veces, por

A1 =]2, 5[ A2 = [2, 5] A3 =]2, 5] A4 = [2, 5[

Ntese que se usa un corchete al revs para designar un extremo abierto, es decir, un extremo que no pertenece al intervalo, y que se usa corchete para designar un extremo cerrado. PROPIEDADES DE LOS INTERVALOS Sea I la familia de todos los intervalos de la recta real. Se incluyen en L el conjunto vacio y los puntos a = [a, a]. Tiene entonces los intervalos las propiedades siguientes: (1) La interseccin de dos intervalos es un intervalo, es decir:

A I , B I implica A B I (2) La unin de dos intervalos no disjuntos es un intervalo, es decir:

A I, B I, A B implica A B I, (3) La diferencia de dos intervalos no comparables es un intervalo, es decir: A I, B I, A B, B A implica A-B I Ejemplo 3-1: sea A = [2,4) B = (3,8). Entonces A B = (3, 4), A B = [2, 8 [ A B = [2, 3], B A [4, 8[ INTERVALOS INFINITOS Los conjuntos de la forma A = {x | x > 1} B = {x | x 2} C = {x | x < 3} D = {x | x 4} E = {x | x R} Se llaman intervalos infinitos y se les denota tambin por A = (1, ), B = [2, [, C = (- , 3) D =] -, 4], E = (-, )


73 L. Vega C.

Se representa estos intervalos infinitos sobre la recta real como sigue: -5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

A esta repintada -5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

B esta repintado -5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

C esta repintado -5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 D esta repintado -5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

E esta repintado Problemas Resueltos En los problemas siguientes, R, Q, Q', Z, N y P designan, respectivamente, los nmeros reales, racionales, irracionales, enteros, naturales y primos. 1. Entre lo que sigue, decir qu es verdadero y qu falso.

(1) -7N (6) -6Q (11) 38N

(2) 2Q (7) 11P (12) 9/4Q

(3) 4Z (8) 1/2Z (13) -2Z

(4) 9P (9) -5Q (14) 2R

(5) 3Q (10) 1R (15) -4R SOLUCIONES: (1) Falso. N solo contiene los enteros positivos; -7 es negativo

(2) Cierto. no se puede expresar como razn de dos enteros, as que no es racional

(3) Cierto. Z, el conjunto de los enteros, contiene todos los enteros, positivos y negativos. (4) Falso. 3 divide a 9, as que 9 no es primo. (5) Falso. no es racional ni tampoco 3

(6) Cierto. Los nmeros racionales incluyen a los enteros. As, -6= (-1/1). (7) Cierto. 11 no tiene divisores excepto 11 y 1; as que 11 es primo. (8) Falso. no es entero.

(9) Falso. no es un nmero real; por tanto, en particular, no es un nmero irracional.

(10) Cierto. 1 es un nmero real.

(11) Cierto. = 2 que es un entero positivo.

(12) Falso. = 3/2 que es racional.

(13) Cierto. Z consta de los enteros positivos y negativos. (14) Cierto. es real y tambin lo es .

(15) Falso. = 2i no es real.


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2. A cuales de los conjuntos R, Q, Q', Z, N y P pertenece cada uno de los nmeros siguientes?

(1) -3/4 (2) 13 (3) .

Solucin: (1) -3/4 Q, de los nmeros racionales, ya que es la razn de dos enteros -3 y 4. Asimismo, -3/4 R, ya que Q R. (2) 13 P, porque los nicos divisores de 13 son 13 y 1. 13 pertenece tambin a N, Z, Q y R, pues P es subconjunto de cada uno de estos.

(3) . No es un nmero real; as, pues, no pertenece a ninguno de los conjuntos dados.

3. Dados E= {2, 4, 6,. . .} y F= {1, 3, 5,. . .}, son E y F cerrados respecto de las operaciones de (1) adicin, (2) multiplicacin? Solucin: (1) La suma de dos nmeros pares es par; por tanto, E es cerrado respecto de la operacin adicin. La suma de dos nmeros impares no es impar; luego F no es cerrado respecto de la operacin de adicin.

(2) El producto de dos nmeros es par, y el producto de dos nmeros impares es impar; luego ambos E y F son cerrados respecto de la operacin multiplicacin. 4. De los conjuntos R, Q, Q', Z, N y P, Cules no son cerrados respecto de las operaciones de (1) adicin, (2) sustraccin? Solucin:

(1) Q' y P. Por ejemplo, - Q' y Q', pero - + = 0 Q'; 3 P y 5 P, pero

3+5=8 P.

(2) Q', N y P. Por ejemplo, Q', pero - = 0 Q'; 3 N Y 7 N, pero 3-7= -4 N;

7 P ALGEBRA DE BALDOR Ejercicio 164 Desigualdades. Hallar el lmite de x en las siguientes inecuaciones: 1. x-5 x/3 6. 3x-4+(x/4)(x-2)2 16. 1/(x2+x)>1/(x2-x)-1/(x2-1) 8. (x+2)(x-1)+26(2x-1)(x+4)

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INECUACIONES SIMULTNEAS Son inecuaciones que tienen soluciones comunes. Ejemplo 1 Hallar los valores que satisfacen las inecuaciones: 2x-4>6 3x+5>14 Resolviendo la primera: 2x>6+4 2x>10 x>5 Resolviendo la segunda: 3x>14-5 3x>9 x>3 La solucin general ser x>5, porque cualquier valor mayor que 5 ser mayor que 3. Luego el lmite inferior de la solucin comn es 5. Ejemplo 2 Hallar el lmite de las soluciones comunes a las inecuaciones: 3x+4-8 Resolviendo la primera: 3x4 Resolviendo la segunda: x x/4 +2 2x+3/5 < 6x-117/5 2. 5-x > -6 2x+9 > 3x 6. 2x-3 < x+10 6x-4 > 5x+6 3. 6x+5 > 4x+11 4-2x > 10-5x 7. x/4 -1 > x/3 -3/2 2x 18/5 > x+2/5 4. 5x-4 > 7x-16 8-7x < 16-15 8. (x-1)(x+2) < (x+2)(x-3) (x+3)(x+5) > (x+4)(x+3) > (x+4)(x+3) 9. (x+2)/(x+8) > (x-2)/(x+3) (x-1)/(x+4) < (x-5)/(x-1)

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DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS 5. Valindose de la notacin, escribir las afirmaciones siguientes: (1) a es menos que b. (4) a no es menor que b. (2) a no es mayor o igual que b. (5) a es mayor o igual que b. (3) a es menor o igual que b. (6) a no es mayor que b. Solucin: Recurdese que un trazo vertical u oblicuo que atraviesa un signo indica el significado opuesto del signo. Se escribe: (1) a < b, (2) a b, (3) a b, (4) a < b, (5) a b, (6) a > b. 6. Insertar entre los siguientes pares de nmeros el signo adecuado: o =. (1) 3-9 (3) 3.....7 (5) 3..9 (2) -4.-8 (4) -5..3 (6) - ..

Solucin: Se escribe a b si b a es negativo y a = b si b a = 0. Entonces (1) 3 > -9 (2) -4 > -8 (3) 3 > 7 (4) -5 < 3 (6) 3 = 9 (7) <

7. Demostrar: Si a < b y b < c, es a < c. Solucin: Por definicin, a < b y b < c significan que c b es positivo y que b a tambin lo es. Como la suma de dos nmeros positivos es positiva, (b a) + (c b)= c a Es positivo. As que, por definicin, a < c. 8. Demostrar: si a < b, entonces a + c < b + c. Solucin: Obsrvese que (b + c) (a + c)= b a Que, por hiptesis, es positivo. Entonces a + c < b + c. 9. Escribir las siguientes relaciones geomtricas entre nmeros reales con la notacin de las desigualdades: (1) y est a la derecha de 8. (3) x est entre -3 y 7. (2) z est a la izquierda de 0. (4) w est entre 5 y 1. Solucin: Recurdese que a 8 o tambin 8 < y (2) z < 0 (3) -3 < x y x < 7, o mas brevemente, -3 < x < 7. (4) 5 > w y w > 1, o bien w < 5 y 1 < w. o tambin 1 < w < 5. No es costumbre escribir 5 > w > 1.

77 L. Vega C.

11. Dar la definicin precisa de la funcin valor absoluto, es decir, definir x .

Solucin:

Por definicin, x = six

x

0

0

x

x

12. Dado x 0. Averiguar x

Solucin: Tngase en cuenta que el valor absoluto de un nmero es siempre no negativo, es decir que para

todo nmero x, x 0; por tanto x =0. Por consiguiente, x=0

13. Calcular:

(1) 53 (6) 8 + 13

(2) 53 (7) 52 - 74

(3) 53

4) 2 - 6 (8) 13+ 41 -3- 8

(5) 73 - 5 1 (9) 2 - -6

(10) -5

Solucin

(1) 53 = 2 =2 (6) 8 + 13 = 8 + 2 = 8+2 = 10

(2) 53 = 2 =2 (7) 52 - 74 = 3 - 3 = 3-3 = 0

(3) 53 = 8 =8 (8) 13+ 41

(4) 2 - 6 =2-6=-4 (9) 2 - 6 = 62 = 4 = 4

(5) 73 - 5 = 4 - 5 =4-5= -1 (10) - 5 = 5 = 5

14. Escribir de manera que x quede sola entre los signos de desigualdad: (1) 3< x -4

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15. Escribir sin el signo de valor absoluto

(1) x < 3, (2) 2x < 5 (3) 32 x

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19. Representar los intervalos R= 3,11,0,2,2,2,1 yWTS sobre la recta real. Solucin: Para representar R, selese primero cada extremo suyo -1 y 2 con un crculo:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Como el extremo 2 pertenece a R, repintar el crculo que rodea el 2: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Por ltimo, repntese la recta entre los extremos: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Representacin de R De la misma manera

20. Sean A = {x | x < 3}, B = {x | x 2}, C = {x | x 1} y D = {x | x > - 1}. Representar Los conjuntos sobre la recta real y escribir luego los conjuntos en notacin de intervalos. Solucin: Los conjuntos son todos intervalos infinitos. Encirrese con un crculo el extremo y dibjese una semirrecta dirigida hacia el lado del extremo en que esta el conjunto, como se muestra en seguida:

Con la notacin de intervalos, los conjuntos se definen as: A =] -, 3[, B = [2, [, C =] -,1] y D = ] -1, [. Ntese que se usa corchete al revs del lado del smbolo infinito.

80 L. Vega C.

PROBLEMAS PROPUESTOS CONJUNTO DE NMEROS 28. Entre lo que sigue decir que es cierto y que es falso: (1) Q (3) -3 N (5) 7 P (7) -5 Z (9) 15 E (11) 2/3 Z

(2) 3 Z (4) (6) N (8) R (10) (12) 2 Q

30. Entre los conjuntos R, Q, , Z, N y P, Cules no son cerrados respectos de las operaciones

de (1) multiplicacin, (2) divisin (excepto por 0 )? 31. dados los conjuntos

A = {x | x = , n N} = {2, 4, 8, 16,} B = {x | x = 3 n, n N} = {3, 6, 9, 12,} C = {x | x = 3 n, n Z} = {, -6, -3, 0, 3, 6,} Cules de estos conjuntos son cerrados respecto a la operacin de (1) adicin, (2) sustraccin, (3) multiplicacin? 32. Entre lo que sigue, decir que es (a) siempre cierto, (b) cierto a veces, (c) nunca cierto. Aqu es a 0 y b 0. (1) a Z, b Q y a b N (5) a P, b P y a + b P (2) a P, b Y ab Q (6) a N, b y a + b (3) a N, b Z y ab Z (7) a Z, b Q y a / b N (4) a N, b y a/b Q (8) a P, b Z y b / a Q DESIGUALDADES Y VALORES ABSOLUTOS 33. Escribir las afirmaciones siguientes con la anotacin de orden: (1) x no es mayor que y (3) r no es menor que y (2) el valor absoluto de x es menor que 4 (4) r es mayor o igual que t 34. Entre loa siguientes pares de nmeros insertar el smbolo correcto: o =, siendo x un numero real cualquiera.

(1) 5.-8 (3) .8 (5) .19 (7) -7.4

(2)|x |.-3 (4) ./3 (6) - |x|.1 (8) -2.-5 35. Escribir las relaciones geomtricas entre los nmeros utilizando la notacin de las desigualdades: (1) a esta a la derecha de b. (2) x esta a la izquierda de y. (3) r esta entre -5 y -8. 36. Calcular: (1) |4 - 7| (4) |3| - | - 5| (7) |3 8| - |2 - 1| (2) |- 4 - 7| (5) |2 - 3| + |- 6| (8) ||- 3| - |- 9|| (3) |- 4 + 7| (6) |3 - 8| - |2 - 1| (9) ||2 - 6| - |1 - 9|| 37. Escribir de modo que x quede solo entre los signos de desigualdad: (1) - 2 < x 3 < 4 (3) -12 < 4x < - 8 (5) - 1 < 2x 3 < 5 (2) - 5 < x + 2 < 1 (4) 4 < - 2x < 10 (6) - 3 < 5 2x < 7 38. Escribir sin el signo de valor absoluto: (1) |x| 8, (2) |x 3| 8, (3) |2x + 4| 8. 39. Escribir con el signo de valor absoluto: (1) 3 < x < 9, (2) 2 x 8, (3) - 7 < x < - 1 40. Demostrar : Si a < b y C es negativo, entonces bc < ac. (Nota: Se da por sentado que el

producto de un nmero negativo y un nmero positivo es negativo.)

81 L. Vega C.

INTERVALOS 41. Escribir los siguientes intervalos en forma constructiva: A = [ - 3, 1[, B = [ 1 , 2], C = ]- 1, 3 ], D = ] 4, 2[. 42. Entre los conjuntos del Problemas 41,Cul es (1) un intervalo abierto, (2) un intervalo cerrado? 43. Representar los conjuntos del problema 41 sobre la recta real. 44. Escribir los siguientes intervalos infinitos con la anotacin de intervalos: R = {x |x 2}, S = {x |x > - 1}, T = {x |x < - 3}. 45. Representar los conjuntos del problema 44 sobre la recta real. 46. Sean A = [- 4, 2 [, B = ] 1,6 [. C =]- , 1]. Hallar y escribir connotacin de intervalos (1) (3) A B (5) (7) A - C (9) (11) B C

(2) (4) B A (6) (8) C A (10) (12) C B Solucin: 30. (1) Q y P. (2) Q, Z, N y P. 31. (1) B y C. (2) C. (3) A, B y C. 32. (1) Cierto a veces. (3) Siempre cierto (5) A veces cierto. (7) A veces cierto. (2) Nunca cierto. (4) Nunca cierto. (6) Siempre cierto. (8) Siempre cierto.

33. (1) tryrxyx )4()3(4)2(

34. (1) > (2) > (3) = (4) < (5) < (6) < (7) < (8) > 35. (1) a > b or b < a (2) x < y (3) -8 < r < -5 36. (1) 3 (2) 11 (3) 3 (4) -2 (5) 7 (6) 6 (7) 4 (8) 6 (9) 4 37. (1) 1 < x < 7 (3) -3 < x < - 2 (5) 1 < x < 4 (2) -7 < x < 7 (4) -5 < x < -2 (6) -1 < x < 4 38. (1) -8 x 8 (2) -5 < x < 11 (3) -6 < x < 2

39. (1) 3x < 6 (2) 35 x (3) 4x < 3

40. Como a < b, b a es positivo. Como c es negativo, el producto (b a)c = bc ac es tambin negativo; luego ac bc es positivo, es decir, bc < ac.

41. A = 13 xx C = 31 xx B = 21 xx C = 24 xx 42. D es un intervalo abierto y B es un intervalo cerrado. 43. 44. R = ] - , 2 ], S = ] -1, [, T = ] - , - 3[ 45.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

A lo repintado C lo repintado

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

B lo repintado D lo repintado

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

R lo repintado

82 L. Vega C.

46. .6,4BA .2,CA .6,CB

.2,1BA .1,4CA 1,1CB

A-B = .1,4 .2,1CA .6,1CB

.6,2 AB .4, AC .1, BC

El lector debe dar razones para las soluciones de las siguientes desigualdades. Ejemplo 3 Resuelva la desigualdad 4x +3 > 2x -5 Solucin: Las siguientes desigualdades son equivalentes:

4x + 3 > 2x 5 4x > 2x 8 2x> -8 x > -4

Por lo tanto las soluciones son todos los nmeros reales mayores que -4, es decir los nmeros en el intervalo (-4, ). Ejemplo 4

Resuelva la desigualdad -5 < 2

34 x< 1

Solucin:

Podemos proceder como sigue: -5 < 2

34 x< 1

-10

83 L. Vega C.

Ejemplo 5

Resuelva 2x -7x + 10 > 0 Como la desigualdad se puede escribir ( x 5) (x 2) > 0

resulta que x es una solucin si y solo si ambos factores x 5 y x 2 son positivos o ambos son negativos. El diagrama en la figura 1.7 indica los signos de estos factores para varios nmeros reales. Evidentemente ambos factores son positivos si x esta en el intervalo (5, ) y ambos son negativos si x esta en (- ,2). Por lo tanto las soluciones son todos los nmeros reales en la unin (- ,2) (5, ). Signo de x 2: - - - - - - + + + + + + + + + + + + Signo de x - 5: - - - - - - - - - - - - + + + + + + -----l-----l-----l-----l-----l-----)-----l-----l-----(-----l-----l----l---- -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 1.7 Entre las desigualdades ms importantes que aparecen en el clculo estn aquellas que contienen valores absolutos como las que ilustra en el siguiente ejemplo. Ejercicio 6

Resuelva la desigualdad 3x < 0.1

Solucin Usando 1.4 esta desigualdad es equivalente a -0.1< x -3 < 0.1 y por lo tanto -0.1 + 3 z (x-3) +3 3 Solucin Por (1.4), x es solucin de [ 2x 7 ] > 3 si y slo si 2x 7 > 3 o 2x 7 < -3 La primera de estas desigualdades es equivalente a 2x > 10, o x> 5. La segunda es equivalente a 2x < 4 o x < 2. Por lo tanto las soluciones de [ 2x 7 ] > 3 son los nmeros en la unin

(- ,2) (5, 8 ) 1.1 EJERCICIOS En los ejercicios 1 y 2 sustituya la coma entre cada par de nmeros reales por el smbolo apropiado o = 1. (a) -2, -3 (b) -2, 5 (c) 6 1, 2 + 3

(d) 2/3, 0.66 (e) 2, 4 (f) , 22/7 2. (a) -3, -0 (b) -8, -3 (c) 8, 3

(d) - 2/3 , 1/15 (e) 2 , 1.4 (f) 4053/1110, 3.6513

84 L. Vega C.

Reescriba las expresiones en los ejercicios 3 y 4 sin usar el smbolo de valor absoluto. 3. (a) |2 5| (b) |-5|+|-2| 4. (a) |4 8| (b) |3 - | (c) |5| + |-2| (d) |-5|-|-2| (c) |-4| - |-8| (d) |-4 + 8|

(e) | -22/7| (f) (-2)/|-2| (e) |-3|2 (f) |2- 4 | (g) |1/2 0.5| (h) |(-3)2| (g) | 0.67| (h) - |-3| 5. Suponiendo que A, B, y C son puntos sobre una recta coordenada con coordenadas -5, -1 y 7 respectivamente, encuentre las distancias siguientes: (a) d(A , B) (b) d(B, C) (c) d(C, B) (d) d(A, C) 6. Haga el ejercicio 5 en el caso de que A, B y C tengan coordenadas 2, -8 y -3 respectivamente Resuelva las desigualdades en los ejercicios del 7 al 34 y exprese las soluciones en trminos 7. 5x 6 > 11 8. 3x 5 < 10 9. 2 7x 16 10. 7 - 2x - 3 11. |2x + 1| > 5 12. |x+2| < 1 13. 3x +2 < 5x 8 14. 2 + 7x < 3x 10 15. |2 5x -3 > -7 16. 5 > 2 9x > -4 17. -1 < 3 -7x / 4 6 18. 0 4x 1 2 19. 5 / 7 2x > 0 20. 4 / x2 + 9 > 0 21. |x - 10| < 0.3 22. |2x + 3 / 5| < 2 23. |7 3x / 2| 1 24. |3 11x| 41 25. |25x 8| > 7 26. |2x + 1| < 0 27. 3x2 + 5x -2 < 0 28. 2x2 9x + 7 < 0 29. 2x2 + 9x + 4 0 30. x2 10x 200

31. 1/x2 < 100 32. 5 + x < 1 33. 3x+2 / 2x-7 0

34. 3 / x 9 > 2 / x + 2 35. Demuestra que |a b| |a| - |b|. Sugerencias: Escriba |a| = |(a b) + b| y aplique (1.5).) 36. Suponiendo que n es cualquier entero positivo y |a1,a2,,an | |a1| + |a2| + |an| (Sugerencia: Observe que por (1.5) 37. Demuestre que si 0 < a (1/b). Por qu se necesita la restriccin 0 < a? 38. Demuestre que si 0 < a < b entonces a2 < b2. Por qu se necesita la restriccin 0 < a? 39. Demuestre que si a < b y c < d entonces a + c < b +d 40. Si a < b y c < d, se cumple siempre que ac < bd?. Explique su respuesta 7.3 ORDEN DE LOS REALES. DESIGUALDADES. El conjunto de los nmeros reales puede ordenarse mediante la relacin menor o igual que (),de la siguiente manera: Orden. Desigualdades. Si a, b R, diremos que a es menor o igual que b y se escribe a b, si b a es un nmero real no negativo. Por ejemplo, 8 10,5 por ser 10,5 8 = 2,5 que es positivo. Tambin: -10,3 - 8,7 por ser -8,7 -( - 10,3 ) = - 8,7 + 10,3


85 L. Vega C.

= 1,6 que es positivo. En un sistema de coordenadas de una dimensin a b significa que el punto representativo de a est a la izquierda o coincide con el punto representativo de b ( figura 7.1 ) P a b Q 0 a b Fig. 7.1 Esta relacin de orden podra, entonces, establecerse de la siguiente manera: precede a b si P ( ) est a la izquierda o coincide con Q ( b ).

, porque que es positivo.

Si sumamos, a ambos lados, el real 2,6, se tiene (por la propiedad 1):

Esto es, .

Si entonces, como es positivo, multiplicando ambos lados de la desigualdad por se

tiene:

(propiedad 2); ;

Si entonces: (propiedad 3),

Algunas veces es necesario conocer los valores de que satisfacen determinada desigualdad. En

otras palabras, es necesario saber que valores de hacen que la desigualdad sea vlida.

Encontrar los valores de que satisfacen una desigualdad se llama y

el conjunto de dichos valores se llama el

Para encontrar dichos valores, basta aplicar en forma adecuada las propiedades de 1,2 y 3 dadas atrs, como se muestra en los siguientes ejemplos:

Encontremos los valores naturales de que satisfacen la desigualdad

Sumamos a ambos lados-4 con el fin de colocar -4 al lado derecho:

propiedad 1)

Con el fin de despejar , multiplicamos por el nmero positivo :

(propiedad 3);

Para que se cumpla la desigualdad, se requiera que sea menor o igual que 5. El conjunto

solucin est compuesto por 1,2,3, 4 y5.

Esto es, conjunto solucin de

=


86 L. Vega C.

Encontremos, especficamente, el conjunto

Solucin Debemos resolver la desigualdad

8 + 3x 20 ^ x N

Sumando - 8 a ambos lados: - 8 + 8 + 3x - 8 + 20

3x 12

Multiplicando : (3 x) (12) x = 4 x 4 La solucin la constituyen todos los nmeros naturales menores o iguales que 4. Ellos son: 1, 2, 3 y 4. Por tanto, A = {x: 8 + 3x 20 ^ x N}= {1, 2, 3, 4}

Ejemplo 6

Resolvamos la desigualdad 8 - 2x x+12 ^ x N. Solucin Necesitamos agrupar las x a la izquierda y los trminos que no contienen x a la derecha. Sumamos a ambos lados -8 - x: -8 x+8+2x -8-x+x+12; x 4 La solucin es el conjunto de todos los naturales menores o iguales que 4. Luego, el conjunto solucin es: A = {1, 2, 3 , 4 } Ejemplo 7

Encontremos A = {y: 2+5y y +l ^ yN}. Solucin

2 + 5y y + 1 Sumamos - 2 - y: -2 -y + 2+5y-2-y+y+1

4y-l

Multiplicando por : (4y) (-1); y - ; y - La solucin la constituyen todos los naturales menores (o iguales) que - , pero como todos los naturales son positivos, entonces no hay naturales y que sean menores o iguales de -

La solucin es: A= {y: 2+5yy +l ^yN} = .

87 L. Vega C.

Ejemplo 8 En un sistema de coordenadas de una dimensin representemos el siguiente conjunto de puntos:

A = {x: 2 + 7x 5 ^ x R} Solucin 2 +7x 5

Sumando 2+2+ 7x -2 + 5 = 3

Multiplicando por 1/7: (1/7.7x3/7); x3/7 La solucin la constituyen todos los reales menores o iguales que 3/7. En la recta metrizada son todos los reales situados a la izquierda de 3/7, incluyendo 3/7 (figura 7.3). Figura 7.3 La parte rayada de la figura 7.3 muestra el conjunto A. Ejemplo 9 Dibujemos en un sistema de coordenadas de una dimensin, el conjunto A B, si A = {x: 4x 7 ^ x e R} y B = {x: 1 2x< 5Ajce R}. Solucin

Si resolvemos 4x 7, se tiene: () (4x) (1/4) (7) x 7/4 Esto es, A = Si resolvemos 1 - 2x 5, se tiene: -1 + 1 - 2x - 1 + 5; -2x 4

Multiplicamos por -1/2, con lo cual se cambia el sentido de la desigualdad (propiedad 2 b):

(-2x) 4; x - = -2 Entonces B= {x: x -2 ^ x R}

es el conjunto de valores de x que simultneamente son menores o iguales que , pero mayores o iguales que -2, entonces: La figura 7.4 muestra ambos conjuntos y la interseccin (porte comn): es la parte doblemente reyada. Figura 7.4 Ejemplo 10 Hallemos el mayor nmero entero cuyo triple sea menor que 54. Solucin Sea x el nmero entero, luego: 3x < 54, x


88 L. Vega C.

Ejemplo 11 Alonso tienen $200 en su cuenta de ahorros y puede ahorrar este mes, como mximo, hasta completar $500. Luego Se trata, entonces, de resolver la desigualdad anterior: Como el ahorro no puede ser negativo en este caso, entonces es la solucin. Ejercicio 7.3 1. Ordenar los siguientes conjuntos de nmeros reales mediante la relacin .

2. Ordenar los siguientes nmeros reales mediante la relacin : 3. En un sistema de coordenadas en una dimensin, dibujar los conjuntos del ejercicio 1 y comprobar que su ordenacin es correcta. 4. En un sistema de coordenadas de una dimensin, dibujar el conjunto del ejercicio 2d) y comprobar que su ordenacin es correcta. 5. Encontrar el conjunto solucin de la desigualdad; 6. Encontrar el conjunto solucin de la desigualdad: 7. Encontrar el conjunto solucin de 8. Resolver la desigualdad: 9. Resolver la desigualdad: 10. Encontrar el conjunto 11. Encontrar 12. Encontrar A U 5 con los datos del ejercicio 11. 13. En un sistema de coordenadas de una dimensin, dibujar el conjunto:

.500200 x

300

500200200200

x

x

3000 x

3000 x

5,7,3)

4,4

3,

2

1)1,

3

4,

2

3)1,3,2,1,4)

d

cba

.2,3,7,1)8;9,1;5,3;3)

2;5,4;2,1)8;2

3;7,0;5,0)

dc

ba

.1534 Nxx

.1752 Nxx

.2547 Nxx

.42

1Nxx

.83

34

Nxxx

.172: NxxxA

yNxxxAsiBA 1512: .422

13:

NyyyB

.2

1274:

RxxxA

PARE

RECUERDA

bxa

entoncesbxyxaSi

,


89 L. Vega C.

14. En un sistema de coordenadas de una dimensin, dibujar 15. En un sistema de coordenadas de una dimensin, encontrar si 16. Dibujar A U B con los datos del problema 15. 17. Dibujar 18. Dibujar 19. Dibujar 20. Dibujar 21. La longitud de un segmento es 3x 12. Qu valores puede tomar x? 22. La base mayor de un trapecio tiene por medida 4x 13 y la base menor 6x 23. Qu valores puede tomar x? 23. Una mquina impresora de papel puede imprimir 5 000 hojas por hora como mximo. Si en la primera media hora ha impreso 2 000 hojas, en qu rango de posibilidades se imprime en la segunda hora? 24. La suma de un nmero real positivo y su triple no puede sobrepasar a 2. Cules son las posibilidades para este nmero? 25. La diferencia entre un nmero real positivo y su mitad no puede sobrepasar a 4,2. Cules son las posibilidades para ese nmero? 26. Al fabricar un enlatado, el producto debe pasar por dos mquinas consecutivamente. Si el producto se gasta en su proceso de produccin el doble del tiempo en la segunda mquina que en la primera, y si las dos mquinas solamente pueden trabajar como mximo 20 horas en total, cul es el rango de posibilidades en cuanto a unidades del enlatado?

.4175: RsssB

BA .33:

412:

RyyyB

yRxxxA

.37: RxxxxS

.41: RhhhhI

.12253: RxxxxS

.24334

1:

Ryyyyk

90 L. Vega C.

Respuestas Ejercicio 7.3

EJERCICIO 7.4 Dibujar los siguientes intervalos y clasificarlos como abiertos, cerrados o semiabiertos.

1. I = {x/ 0 x < 2 x R } 2. I = {x/ 3 x 4 x R } 3. I = {y/ - 1 < y 1 y R } 4. S = {z/ - 1 < z < 3 z R } 5. L = {m/ - 3 m < -2 m R } 6. T = {t/- 5 < t < -2,5 t R } 7. K = {p/ 1 < p < -2,5 p R } 8. t = {t/ 0 < t < 1/n t R n natural fijo } 9. H = {t/0 < t < n t R n natural fijo } 10. R = {r/ -n < r < n r R n natural fijo }

91 L. Vega C.

Encontrar y dibujar cada uno de los siguientes conjuntos:

11. A B si A = {x/1 x 3 x R } y B = {y/1 < y < 5 y R }

12. A B si A = {x/1 x 3 x R } y B = {y/1 < y < 3 y R }

13. A B si A = {x/1 x 3 x R } y B = {y/1 < y < 3 y R } 14. A B si A y B son los conjuntos del ejercicio 13. 15. (A B) (A B) si A y B son los conjuntos del ejercicio 13. RECUERDE 16. Encontrar A X B si A = {x/2 x 4 x N } Y B = {Y/ 0 y 2 Y N}.

17. Encontrar A X B si A = {x/ 2 x 4 x R } Y B = {Y/ 0 y 2 Y R}.

18. Encontrar A1 A2 si A1 = {x/0 x 1 x R } Y A2 = {X/0 x 2 X R}.

19) Encontrar A1A2 A3 si A1= {x/0x1 xR}, A2={X/0X2xR} y A3={X/0X3xR}. 20) Encontrar A1 A2 A3 .A si Ai= {x/0xi^xR^i natural} i= 1,2,3,,n 21) Decir si el siguiente enunciado es verdadero o falso: A= {x: 1

92 L. Vega C.

Intervalo cerrado de conjunto C= {x: a x b, x R} = [a, b] Intervalo semiabierto a la izquierda S= {x: a < x b, x R} = (a, b] Intervalo semiabierto a la derecha T= {x: a x < b, x R} = [a, b) AUTOEVALUACIN. 1. El ultimo da del ao A un padre y su hijo cumplen 30 y 5 aos respectivamente. en que ao la edad del hijo ser la mitad de la del padre? A.A+30 B.A+20 C.A+15 D.A+10

2. En la ecuacin solucin es cero si:

A. a=1 B. a=0 C .b=0 D.ab0 3. Para que la ecuacin ax+2x+a-7=0 tengan solucin, es necesario que:

A. a -2 B. a -2 C. a = -2 D. a -2

4. El numero real cuya mitad mas uno sea mayor o igual a es:

A. 1 B. c. 5 D.

5. Un individuo posee cierto nmero de pesos y regala la mitad ms $50; luego, regala la mitad del resto ms $25; y finalmente, regala la mitad del resto ms $50. Cuntos pesos tenia inicialmente, sabiendo que al efectuar el tercer regalo no le queda ningn peso? A. $125 B. $200 C. $600 D. $1200 6. El peso normal de una persona debe estar entre 61 y 67 kilogramos. Si pesara 45 kilogramos menos que el doble de su peso actual, estara entre los lmites normales. Entre que limites esta su peso? A.61 Y 67 kilogramos B.45 y 61 kilogramos C.45 y 67 kilogramos D.53 y 65 kilogramos 7. El conjunto de los nmeros reales cuya mitad mas dos esta comprendida entre -20 y 20 es: A. -44 < x < 36 B. -44 < x < 44 C. -8 < x < 10 D.-8 < x < 8 8. En un grupo de colegio hay 37 alumnos. Entonces usted esta seguro de: A. Exactamente tres estudiantes cumplen aos el mismo mes b. Al menos cuatro estudiantes cumplen aos en el mismo mes. c. Exactamente dos estudiantes en el mismo mes. d. Exactamente cuatro estudiantes cumplen aos en el mismo mes. 9. Una persone navega a favor de la corriente de un rio con la velocidad de 5 Km por hora y en contra de la corriente con una velocidad de 2 Km por hora. La longitud que a favor de la corriente debe navegar si tiene que regresar (al punto de partida) 1 hora y 3/ 4 despus de haber salido es:

A. 2 Km B. 1 Km C. 2 Km D. 3 Km

10. Dados los intervalos reales: P = {x: -3 x < 5} Q = {x: 2 < x < 6} R = {x: 0 x 6} Entonces la afirmacin verdadera es: A. (P Q) R = {x: 0 x 5} B.(P U Q) U R = {x: -3 x < 6} C. Q - (P U R) = D. P (Q - R) = Resolver para x real las ecuaciones dadas en 11a 17.

11 .7 (-x + 4 5) + 3x = -8 12. 2 + x =

93 L. Vega C.

13. 14.

15. 16.

17.

18. Cul debe ser el valor de k para que 4 sea una solucin de la ecuacin 4x + 3k 7 = 0? Resolver para x real las inecuaciones dadas e interpretar grficamente el resultado

19. 3x 1 0 20. -3x 4 0 21. 2 + x < 2x + 5 22.

23. Actualmente la edad de A es el cudruplo de la edad de B y dentro de 2 aos ser el doble. Cul es la edad actual de B? 24 Si al cuadrado de un nmero natural se le resta su sucesor se obtiene el cuadrado de su

antecesor. Hallar el nmero. 25 En un gran restaurante hay 182 mesas de 3 y 6 patas. Si el nmero total de patas es

792, determinar el nmero de mesas de cada clase. 26. En el restaurante del ejercicio anterior, en la dieta balanceada que sirven a sus clientes,

el 32% de las caloras las proporcionan los lpidos, el 18% los prtidos y los glcidos proporcionan1400caloras.Si las caloras de una dieta estn dadas por prtidos, lpidos y glcidos, hallar el nmero de caloras que tiene la dieta.

27. Rodolfo tiene 4 aos ms que Alberto y Norberto, que son mellizos. Si la suma de las edades de los tres hermanos es 121, hallar la edad de los mellizos.

28. Un hombre que est en una ciudad dispone de 8 horas libres y decide dedicarlas completamente en un viaje al campo. Qu distancia podr recorrer hacia el campo en una bicicleta que viaja a un promedio de 28 km por hora, si el viaje de regreso debe hacerlo caminando a un promedio de 4 km por hora?

29.Tres socios forman una empresa. El primero aporta los 2/5 del capital, el segundo 1/3 y el tercero $3 000 000. Hallar el capital de la empresa y el aporte de cada socio. 30. A qu horas entre las 4 y las 5 coinciden las agujas (horario y minutero) de un reloj? 31. Una llave puede llenar un tanque en 4 horas, otra llave en 8 horas y un desage puede

vaciarlo, estando lleno, en 20 horas. En cunto tiempo se llenar el tanque si se abren las dos llaves estando vaco el tanque y abierto el desage?

32. El problema de las cien palomas Al volar sobre un palomar, dijo el gaviln: Adis mis cien palomas.

A lo que una paloma respondi: No somos cien. Pero con nosotras, ms nosotras, ms la mitad de nosotras, ms un cuarto

de nosotras, ms tu gaviln, s seremos cien. Cul es el nmero de palomas? 33. Si en todo tringulo la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los

otros dos, y menor que la diferencia, determinar los valores que puede tomar / en el tringulo de la figura 7.13.

2

94 L. Vega C.

AUTOEVALUACION 1. B. 2. B. 3. D. 4. A. 5. C. 6. D. 7. A. 8. B. 9. A. 10.C.

11. -4 12. 13. 2 14. 11 15. -11 16. 17. 2 . 18. -3

19 X 20 x 21 x > -7 22x> 23. 10 aos 24. 2. 25. 100 y 82. 26. 2800 caloras. 27. 39 aos. 28. 28 km. 29. $ 11 250 000; $ 4 500 000, $ 3 750 000 y S 3 000 000. 30. 4 y 21 horas 31. 3(1/3) horas 32. 36 palomas. 33. 1 < y < 7.


95 L. Vega C.

BIBLIOGRAFA

AUTOR(ES) TTULO

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