00. Repaso de Calculo e Introduccion a Las Ecs Difs

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CAPITULO I CAPITULO I Funciones CAPITULO II CAPITULO II Integrales CAPITULO III CAPITULO III Ecuaciones diferenciales CAPITULO IV CAPITULO IV Método para resolver una ecuación diferencial

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Es un repaso de ecuaciones

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  • CAPITULO IFunciones

    CAPITULO IIIntegrales

    CAPITULO IIIEcuaciones diferenciales

    CAPITULO IVMtodo para resolver una ecuacin diferencial

  • Funciones

    1.1 Exponenciales y Logartmicas

    1.2 Diferenciacin de una Funcin Exponencial

    1.3 Diferenciacin de una Funcin Logartmica 1.3.1 Diferenciacin Logartmica

  • Integrales

    2.1 Integral Indefinida

    2.2 Integracin de Funciones Trigonomtricas

    2.3 Teorema Fundamental del Clculo

    2.4 Mtodo de Sustitucin 2.4.1 Sustitucin para integrales definidas

    2.5 Integracin por partes

  • Ecuaciones Diferenciales

    3.1 Introduccin

    3.2 Solucin de una Ecuacin Diferencial 3.2.1 Comprobacin de la solucin de una ED

    3.3 Obtencin de una Ecuacin Diferencial a partir de la solucin general.

  • Mtodos Para Resolver una ED

    4.1 Introduccin 4.1.1 Objetivo de los mtodos para la obtencin de la solucin general.

    4.2 Ecuaciones de Variables Separables

    4.3 Ecuaciones Homogneas

    4.4 Ecuaciones Exactas

  • Clculo con Geometra AnalticaR. E. Larson y R. P. HostetlerMc. Graw-Hill, 2000 Clculo con GeometraL. LeiitholdHarla, 1992

    Clculo, Concepto y ContextosJ. StewartInternacional Thompson, 1999

  • Ecuaciones DiferencialesE. D. RainvilleNueva Editorial Interamericana, 1987 ClculoFrnakes Ayres Jr., Elliot MendelsonMc. Graw-Hill, 2001

    Matemticas Superiores para IngenieraC. Ray WyleMc. Graw-Hill, 1994

  • Definicin

    La funcin denota una regla que asigna a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento, denotados por f(x) del conjunto B.f Funcin

    A y B Conjuntos

  • Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de nmeros reales:

    Dominio es el conjunto A de la funcin, denotado por D(f).

    Rango es el conjunto de todos los valores posibles f(x) conforme vara en todo el dominio A.

    El nmero f(x) es el valor de f en x.

  • Ejemplo

    Encuentre el dominio y rango de cada funcin: f(x)=2x-1 g(x)=x2

  • Solucin La ecuacin de la grfica es y=2x-1, la cual es la ecuacin de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La expresin esta definida por todos los nmeros reales, de manera que D(f)=R y su rango es tambin R(f)=R.

  • Solucin La ecuacin de la grfica g(x)=x2, la cual representa una parbola. La funcin g esta definida para cualquier nmero real, as D(g)=R y su rango es positivo.

  • Funciones Potencia

    Funciones donde la base es una variable y la potencia es una constante, tiene la siguiente forma:

    Ejemplos:

  • Funcin Exponencial

    Funcin donde la base es una constante y la potencia es una variable, es la funcin exponencial de base a, tiene la siguiente forma:

    Ejemplos:

  • Propiedades de la Funcin Exponencial

    Siendo:

    4.

    5.

    6.

  • En clculo se decide trabajar como base el nmero irracional e que tiene un valor aproximado de 2.718281828.

    DefinicinLa funcin exponencial para cualquier x R se define como:

    Cuenta con las mismas propiedades que cualquier funcin exponencial de base a.

  • Grfica de la Funcin Exponencial base e

  • Funcin LogartmicaPara a>0 y a1 y x>0 denotamos la funcin logaritmo de base a por logax, y se define como:

    Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse la base a para dar x.

  • Las funciones exponenciales y logartmicas son funciones inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

    Forma LogartmicaForma Exponenciallog28=323=8loga1=0a0=1log10 0.1=-110-1=0.1log10 1000=3103=1000

  • Propiedades de la Funcin Logartmica

    Siendo: a, b 1 y x, y >0 se tienen las siguientes caractersticas:

    1. 2.

    3.4. 5.6.

    7.

  • Logaritmo Natural

    Es la funcin para un x>0 se define como la funcin logaritmo cuya base es el nmero e y se denota por:

    Esta funcin goza de las mismas caractersticas que la funcin logartmica de base a, dados x, y > 0.

  • Funcin de Logaritmo Natural

  • Propiedades como Funciones Inversas

    Si a > 0 y a 1 se tiene:

    Si a = e se tiene:

  • Ejemplo:

    Desarrolla las siguientes expresiones:

  • Solucin:

    1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:

  • Solucin:

    2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:

  • Solucin:

    3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:

  • Solucin:

    4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:

  • Ejercicios para Resolver en Clase:

    1. Escribir cada ecuacin logartmica mediante exponencial y viceversa: a) ln8.4 = 2.128 b) 491/2 = 7

    2. Desarrolla cada una de las siguientes ecuaciones: a) log2x2y b) ln(z-1)2

  • Ejercicios de Tarea:

    1. Desarrolla la siguiente expresin:

    2. Despejar x de las siguientes expresin:

    a) b)c)

  • Funciones de Base Arbitraria

    Para a>0 y a1 y u=u(x) una funcin diferencial en x donde xR entonces la derivada de ax es:

    y para la derivada de au es:

  • Ejemplo:

    1. Derivar las siguientes funciones:y=2x (b) y=2senx

    Solucin:

    (a)(b)

  • Funciones de Base e

    Para a>0 y a1 y u=u(x) una funcin diferencial en x donde xR entonces la derivada de ex es:

    y para la derivada de eu es:

  • Ejercicios para Realizar en Clase:

    1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=e3x+1 b) y=(ex+1)2 c) y=e3x d) y=etan3x

  • Ejercicios de Tarea:

    1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=a5x-1 b) y=x2ex c) y=e5x

  • Derivacin con Base Arbitraria:

    Si a>0, a1 y u=u(x), es una funcin diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de logax es:

    y la derivada de logau es:

  • Ejemplo:

    Derivar las siguientes funciones:y=log10cosx(b) y=log5(2+senx)

    Solucin:

    (a)(b)

  • Derivacin con Base e

    Si a>0, a1 y u=u(x), es una funcin diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de lnx es:

    y la derivada de lnu es:

  • Ejemplo:

    Derivar las siguientes funciones:(a)(b)

    Solucin:

    (a)(b)

  • Ejercicios para Resolver en Clase:

    1.Derivar las siguientes funciones: a)

    b)

    c)

  • Ejercicios de Tarea:

    1.Derivar las siguientes funciones: a)

    b)

  • El clculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos.

    Mtodo de la Derivacin Logartmica:1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una ecuacin y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos para simplificar.2. Derive con respecto a x.3. Resuelva la ecuacin resultante para y.

  • Ejemplo:1. Derivar las siguiente ecuacin:

    Solucin:

  • Ejercicios para Resolver en Clases:

    1. Aplique la derivacin logartmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:

    a)b)

  • Ejercicios de Tarea:

    1. Aplique la derivacin logartmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:

    a)b)

  • DefinicinUna funcin F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F(x)=f(x) para todo x I.

    EjemploSe necesita encontrar una funcin F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciacin se dira que:

    Por lo tanto F es una primitiva de f.

  • Familia de Primitivas:Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:

    EjemploSabemos que la funcin F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3 as que las siguientes funciones:G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123 tambin son primitivas de f(x).Es la familia de primitivas de f(x)

  • Para denotar la primitiva de una funcin f se usa la notacin:

    DefinicinEl proceso de calcular las primitivas de una funcin f se denomina integracin, as que tenemos:

    lo que significa que:

  • Partes de la Integracin:

  • Reglas de la Integracin:

    1.

    2.

    3.4.

    5.6.

    7.8.

  • Reglas de la Integracin:

    9.10.

    11.12.13.14.

  • Ejemplo:

    Encuentre las siguientes integrales indefinidas:

    1.2.

    3.4.

    5.

  • Solucin:1.2.3.

  • Solucin:4.5.

  • Ejercicios para resolver en Clase:

    Encuentre las siguientes integrales indefinidas:

    1.

    2.

    3.

  • Ejercicios de Tarea:

    Encuentre las siguientes integrales indefinidas:

    1.

    2.

    3.

  • Identidades Fundamentales:

    1.2.

    3.4.

    5.6.

    7.8.

  • Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las frmulas bsicas de integracin:

    15. 16.

    17. 18.

  • Ejemplo:

    Calcular la siguiente integral

    Solucin:

  • Ejercicios para Resolver en Clases:

    1. Resolver las siguientes integrales

    a) b)

    c)

  • Entre ambas ramas existe una relacin descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Clculo, el cual afirma que la diferenciacin e integracin son operaciones mutuamente inversas.

  • Teorema Fundamental de Clculo

    Si f(x) es una funcin continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces:

    Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notacin:

  • Propiedades de la Integral Definida

    Sea f(x) una funcin integrable en [a, b], entonces:

    1. Si k es cualquier constante entonces:

    2. Si g(x) es una funcin integrable en [a, b], entonces:

  • Propiedades de la Integral Definida

    3. Sea c [a, b], es decir, a

  • Propiedades de la Integral Definida

    5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir:

  • Ejemplo

    Resuelva las siguientes integrales:

    1.

    2.

  • Solucin:1. Geomtricamente la integracin de la funcin (1) en el intervalos [1, 2] es el rea de la regin sombreada:

  • Solucin:2. Geomtricamente la integracin de la funcin (2) en el intervalos [1, 4] es el rea de la regin sombreada:

  • Ejercicios para Resolver en Clase

    Resolver las siguientes integrales:

    1.

    2.

    3.

  • Ejercicios de Tarea

    Resolver las siguientes integrales:

    1.

    2.

    3.

  • Mtodo de SustitucinSea g una funcin cuyo rango es un intervalo I, y sea f una funcin continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:

    Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g(x)dx y:

    Este mtodo es comparable a la regla de la cadena en la diferenciacin.

  • Ejemplo:

    1. Resolver la integral:

    Solucin:

  • Ejercicios para Resolver en Clases

    1. Resuelva las siguientes ecuaciones:

    a)

    b)

    c)

  • Existen dos mtodos para evaluar una integral definida por sustitucin.

    Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo:

  • El otro mtodo suele ser el mas adecuado, en este se cambian los lmites de integracin cuando se cambie la variable, como se explica a continuacin:

    Si g es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces

  • Ejemplo

    SolucinTomando la sustitucin u=2x+1 tenemos que

    Hallamos los nuevos lmites de integracin:

  • Ejercicios para Resolver en Clase

    Evaluar las siguientes integrales:

    1.

    2.

    3.

  • Ejercicios de Tarea

    Calcular las siguientes integrales

    1.

    2.

    3.

  • Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:

    Se puede utilizar otra notacin, que es ms fcil de recordar, la cual se muestra a continuacin:

  • Ejemplo

    Solucin

    De manera que:

  • Ejemplo

    Solucin

    De manera que:

    La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integracin por partes.

  • Ejercicios para Resolver en Clase

    Resuelva las siguientes integrales:

    1.

    2.

    3.

    4.

  • Ejercicios de Tarea

    Resuelva las siguientes integrales:

    1.5.

    2.6.

    3.7.

    4.

  • DefinicinUna ecuacin diferencial (ED) es una ecuacin que involucra derivadas de una funcin desconocida de una o varias variables.

    EjemploLas siguientes expresiones son ejemplos de EDs:

  • En basa a la definicin anterior se tiene que:

    a)Si la funcin desconocida depende de solo una variable la ecuacin se llama Ecuacin Diferencial Ordinaria.

    b)Si la funcin desconocida depende de ms de una variable la ecuacin se llama Ecuacin Diferencial Parcial.

  • Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y grado.

    OrdenEl orden de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuacin.

    EjemploDeterminar el orden de las ecuaciones diferenciales:

  • Solucin

    La ecuacin diferencial:

    Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figura en la ecuacin diferencial es la primera derivada.

    La ecuacin diferencial:

    Es de segundo orden dado que la derivada ms alta que figura en la ecuacin diferencial es la de la segunda derivada.

  • Ejercicios para resolver en clase

    Determinar el orden de las siguientes ecuaciones:

    a)

    b)

  • GradoEl grado de una ecuacin diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuacin diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuacin diferencial.

    EjemploEl grado de la ecuacin diferencial es:

    de tercer grado, dado que la primera derivada est elevada cubo.

  • Ejercicios para resolver en clase

    Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:

    a)

    b)

  • NOTA: cuando alguna derivada este dentro de un radical o en polinomio, el cual este elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para despus determinar el grado de la ecuacin diferencial.

  • Ejercicios para resolver en clases

    Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

    a)

    b)

  • Ejercicios para resolver en clases

    Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

    a)

    b)

  • Ejercicios de Tarea

    Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

    a)b)

    c)

    d)

  • Una solucin de una ED es cualquier funcin que satisface la ED, este es, la reduce a una identidad.

    EjemploLa funcin definida por es una solucin de la ecuacin diferencial:

    puesto que:

    y al sustituir en la ED se obtiene una identidad

  • Una solucin particular de una ED es toda solucin obtenida asignando valores especficos a las constantes que intervienen en la solucin general.

    EjemploVerificar que y=Cx3 es solucin de la ecuacin diferencial

    Hallar la solucin particular sujeta a la condicin inicial:

  • SolucinDerivando y=Cx3 tenemos que y=3Cx2, luego, sustituyendo en la ED:

    de esta manera y=Cx3 es solucin de la ED.

    Para obtener la solucin particular, apliquemos la condicin inicial y(-3)=2 en la solucin general esto es:

    La solucin particular es:

  • Para comprobar que una ecuacin es o no la solucin de una ecuacin dada, se aplica el siguiente mtodo:

    MtodoObservemos que derivada o derivadas aparecen en la ecuacin diferencial.Estas derivas las encontramos al derivar la ecuacin que se supone solucin.La ecuacin ser solucin cuando al sustituir el valor de las derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuacin diferencial, aparezca una identidad a=a (donde aR) al reducir la ecuacin ya sustituida.

  • EjemploComprobar que la y=x2+C no es solucin de la ecuacin diferencial

    SolucinObservando la ecuacin diferencial vemos que aparece una derivada por lo tanto, encontramos su valor derivando la supuesta solucin.Derivando y=x2+C tenemos

  • SolucinSustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuacin diferencial tenemos:

    Por lo tanto y=x2+C si es solucin de la ecuacin diferencial

  • Ejercicios para resolver en claseDetermine si cada ecuacin es solucin o no de la ecuacin diferencial dada:

    1.

    2.

    3.

  • Ejercicios de tareaDetermine si cada ecuacin es solucin o no de la ecuacin diferencial dada:

    1.

    2.

    3.

  • Para obtener la ED a partir de su solucin general, aplicaremos el siguiente mtodo:

    Observemos el nmero de constantes de integracin que aparecen en la solucin general dada.

    Derivemos la solucin general tantas veces como el nmero de constantes de integracin aparezcan en ella. En otras palabra, si la solucin general tienen n constantes de integracin diferentes, entonces derivaremos n veces tal solucin.

  • Tomando en cuenta el resultado de la ltima derivada obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:Si en la ltima derivada ya no aparecen constantes de integracin, esta ser la ED que de la solucin general dada.

    Si la ltima derivada contiene constantes de integracin, habr que eliminarlas, pudiendo utilizar para esto, las ecuaciones de las derivadas encontradas, as como tambin la solucin general dada. En la ED NO deben aparecer constantes de integracin.

  • EjemploEncuentre la ED cuya solucin general es y=x2+C

    SolucinObservemos que slo aparece una constante de integracin, de manera que derivamos una sola vez la solucin general y=x2+C. As

    Como en esta derivada no aparecen constantes de integracin, quiere decir que esta es la ED de la solucin general presentada al inicio.

  • EjemploEncuentre la ED cuya solucin general es y=Cx2

    SolucinObservemos que slo aparece una constante de integracin, de manera que derivamos una sola vez la solucin general y=Cx2. As

    Se va a despejar C de la solucin general y se sustituye el valor encontrado en la ED.

  • SolucinPor lo tanto:

    Es la ED de la solucin general puesto que ya no aparecen constantes de integracin.

  • Ejercicios para resolver en claseEncuentre la ED de las siguientes soluciones generales

    1.

    2.

  • Ejercicios de tareaEncuentre la ED de las siguientes soluciones generales

    1.

    2.

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