4 Repaso Curso Calculo Rapido

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CAPITULO IV REPASO Est e capí tul o es un repaso  y  un resu men concis o de lo que ha apren- dido. Las demos tr aciones y expl icaciones detal ladas dadas en los tr es ca tulos ante ri or es, no se van a rep etir aq uí; en lugar de es o, se dan las re fer enci as de los p árr afo s apr opi ados. A difer enci a del rest o del libr o, es te cap ít ul o no ti ene pre gunt as , as í que se p uede leer de pr inci pi o a fin como un texto ordin ari o, exce pto que quiera ust ed ref erirse a disc usi ones anteriores. Rep as o del Capítulo 1. P RELI MI NA R  Sección  1 .  FUNCI ONES (párrafos  1 - 1 3 ) Un conjunto es una colección de objetos, no nec es ar iamente objetos ma te ri al es-descritos de tal manera qu e no haya duda si un ob je to en  particular pertenece o no al conjunto. El conjunto puede describirse me- diante una li st a o por una regl a. Si cada el emento del conj unto  A,  es aso ciad o' exact amen te con un element o del con jun to  B,  ent onces est a aso cia ción se llama una  función de  A a  B.  Al conjunto  A s e le lla ma domini o de la función. (Co men tar ios ac er ca de ot ra definición de funció n, se dan en el apénd ic e Bl , pági- na  272.) Si un símbolo, tal como  x  s e usa para rep res ent ar cualqui er elemento del con jun to  A  (el dominio de la función) se l la ma la  varia ble inde-  pendiente.  Si el símbolo  y  repre sen ta el element o del conjunto  B  asociado med iant e la función con el elemento  x,  ll amamos a  y  la  varia ble depen- diente. Una for ma de espec ifi car una función es es cri bie ndo detalladament e la as ociación entr e todos los el ementos cor respondientes de los dos con-  juntos. Otra forma es dar una regla para encontrar la va~iable dependiente en tér min os de la independiente. Así, por ejemplo, una funci ón aso cia ndo la variabl e indepen diente  t  con la variable dependi ent e  S,  pue de especi - ficarse por S  = 21 2 +  6/ . 243

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REPASO CÁLCULO

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  • CAPITULO IV

    REPASO

    Este captulo es un repaso y un resumen conciso de lo que ha apren-dido. Las demostraciones y explicaciones detalladas dadas en los trescaptulos anteriores, no se van a repetir aqu; en lugar de eso, se danlas referencias de los prrafos apropiados. A diferencia del resto del libro,este captulo no tiene preguntas, as que se puede leer de principio a fincomo un texto ordinario, excepto que quiera usted referirse a discusionesanteriores.

    Repaso del Captulo 1. PRELIMINAR

    Seccin 1. FUNCIONES (prrafos 1 - 13)

    Un conjunto es una coleccin de objetos, no necesariamente objetosmateriales-descritos de tal manera que no haya duda si un objeto enparticular pertenece o no al conjunto. El conjunto puede describirse me-diante una lista o por una regla.

    Si cada elemento del conjunto A, est asociado' exactamente con unelemento del conjunto B, entonces esta asociacin se llama una funcinde A a B. Al conjunto A se le llama dominio de la funcin. (Comentariosacerca de otra definicin de funcin, se dan en el apndice Bl, pgi-na 272.)

    Si un smbolo, tal como x se usa para representar cualquier elementodel conjunto A (el dominio de la funcin) se llama la variable inde-pendiente. Si el smbolo y representa el elemento del conjunto B asociadomediante la funcin con el elemento x, llamamos a y la variable depen-diente.

    Una forma de especificar una funcin es escribiendo detalladamentela asociacin entre todos los elementos correspondientes de los dos con-juntos. Otra forma es dar una regla para encontrar la va~iable dependienteen trminos de la independiente. As, por ejemplo, una funcin asociandola variable independiente t con la variable dependiente S, puede especi-ficarse por

    S = 212 + 6/.

    243

  • 244 Repaso

    A menos que otra cosa se especifique, consideremos que la variableindependiente puede tomar el valor de cualquier nmero real, por lo quela variable dependiente ser tambin un nmero real.

    Generalmente, representamos una funcin con una letra como f. Si lavariable independiente es x, la variable dependiente y asociada por la fun-cin f se escribe frecuentemente como f(x), que se lee "f de x". Se pue-den usar otros smbolos, tales como z = H ( v) .Seccin 2. GRAFICAS (prrafos 14 - 22)

    Una forma conveniente de representar una funcin es trazando unagrfica, como se indica en los prrafos 15 - 18. Los ejes de coordenadasmutuamente perpendiculares se intersectan en el origen. El eje horizontalse llama eje horizontal o eje x. El eje vertical se llama eje vertical oeje y. El valor de la coordenada x de un punto se llama abscisa y el valorde la coordenada y se llama ordenada.

    La funcin constante resulta de la asociacin de un nmero fijo contodos los valores de la variable independiente x. La funcin del valorabsoluto est definida por

    Ixl = x si x .2: O.Ixl = -x si x < O.

    Seccin 3. FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS(prrafos 23 - 39)

    Una ecuacin de la forma y = mx + b donde m y b son constantes,se llama lineal debido a que su grfica es una lnea recta. La pendientede una funcin lineal est definida por

    pendiente = y 2 - Y 1 = Y 1 - Y 2 X2-Xl x1-x2

    De la definicin se ve fcilmente que la pendiente de la ecuacin linealanterior es m. (Prrafo 29.)

    Una ecuacin de la forma y = ax2 + bx + c donde a, b y c son cons-tantes, se llama ecuacin cuadrlca. Su grfica se llama parbola. Losvalores de x para y = O satisfacen ax2 + bx + e = O Y se llaman lasraces de la ecuacin. No todas las ecuaciones cuadrticas tienen racesreales. La ecuacin ax2 + bx + c= O tiene dos races dadas por

  • Captulo 1. Preliminar 245

    Seccin 4.

    x = - b V b2 - 4ac2a

    TRIGONOMETRIA (prrafos 40 - 73)

    Los ngulos estn medidos en grados o radianes.

    eje x

    3601 rad =--.217

    Las funciones trigonomtricas estndefinidas de acuerdo con la figura.

    Las definiciones son

    Un crculo est dividido en 360 grados iguales. El nmero de radian esde un ngulo es igual a la longitud del arco subtendido dividido entrela longitud del radio (prrafo 42). La relacin entre grados y radianes es

    eje y

    Fig. 138

    sen eos () = ~T

    tan

    1 Tsee () =---=-

    eos () x

    1 xeot ()=-- =-

    tan () y

    1 Tese ()=---= -.sen () y

    Aunque r = V x2 + y2 es siempre positivo, x y y pueden ser pOSItIVOSo negativos y las cantidades de arriba pueden ser positivas o negativasde acuerdo con el valor de (j. A partir del teorema de Pitgoras se vefcilmente (prrafo 56) que

    Los senos y cosenos de la suma de dos ngulos se dan por:

    sen (() + ep) = sen () eos ep + eos () sen epeos (() + 4 = eos () eos ep - sen () sen ep.

    Las funciones trigonomtricas inversas designan el ngulo para el cualla funcin trigonomtrica tiene un cierto valor. As, la funcin trigo-nomtrica inversa a y = sen (j es (j = arcsen y, que se lee "arco seno de y"y significa el ngulo cuyo seno es y. El arccos, etc., se definen en formaanloga.

  • 246 Repaso

    Seccin 4. LOGARITMOS y EXPONENCIALES(prrafos 74-96)

    Si a se multiplica por si misma, como aaa . . . m veces, el pro-ducto se escribe amo Adems, por definicin a-""= 1/ amo Por tanto

    Si bn = a, b se llama la raz ensima de a y se escribe b = al/n,Si m y n son enteros

    ami" = (a1/")m,

    El significado de exponents puede extenderse a nmeros irracionales(prrafo 84) Y las relaciones anteriores tambin son aplicables conexponentes irracionales, as (a'") b = abx, etc.

    La definicin de log. x (logaritmo de x de base 10) es

    x = 1010g x

    las siguientes importantes relaciones se aplican a los logaritmos (prra-fo 91)

    log(ab) = log(a) + log(b)

    log(a/b) = log(a) - log(b)

    log(a") = n log(a).

    El logaritmo de x de base r se escribe como log,x y est definidopor

    las tres relaciones entre logaritmos de a y b son aplicables para loga-ritmos de cualquier base, siempre y cuando se use la misma base paratodos los logaritmos en cada ecuacin, Los logaritmos de x de base e

  • Captulo 11.Clculo Diferencial 247

    y 10 pueden relacionarse mediante

    logloxlogex =--- =2.303 logloxlog loe (prrafo 223)

    Repaso del Captulo 11. CALCULO DIFERENCIAL

    Seccin 1. LIMITES (prrafos 97-115)

    Definicin de 1m Umite: Sea f(x) definida para toda x en un inter-valo en la vecindad de x = a, pero no necesariamente en x = a. Si existeun nmero L tal que para cada nmero positivo E corresponda un n-mero positivo 8 tal que

    I { (x) - L I < ( considerando que O < I x - a I < 8decimos que L es el limite de f(x) cuando x se acerca a a y se escribe

    lim {(x) = L.x -+a

    La manipulacin algebraica normal puede efectuarse con los lmitesc;omo se indica en el apndice A2; As

    lim [F (x) + G (x)] = lim F (x) + lim G (x).x~a x ....a x-+a

    y

    Dos lmites trigonomtricos son de

    lim sen () = 1()-+o ()

    particular inters (apndice

    lim _l_-_c_o_s_() = O.()-+o ()

    A3) :

    El lmite siguiente es tan importante en el clculo; que se le ha dadoun.

  • 248 Repaso

    es v = limt2 ...t 1

    Esto es igual a la pendiente de la curva S, en el tiempo ti, trazada entrminos del tiempo (prrafo 131). A menudo es conveniente escribirS2 - SI = DS Y t2 - ti = 11t, as

    v = lim ~S.~t ...o ~t

    Seccin 3. DERIVADAS (prrafos 146-159)

    Si Y = (x), la rapidez de cambio de y con respecto a x es11y 11)'

    lim -. El lim - se llama la derivada de y con respecto a x y11x~O 11x 11x~O 11x

    . dyse escnbe -. (algunas veces se escribe y'). As

    dx

    dy =dx

    lim ~y =~x ...o ~x

    lim Y2 - YI lim

    dyes la derivada de y con respecto a x. La derivada - es igual a la pen-

    dxdiente de la curva de y trazada en trminos de x.

    Seccin 4. GRAFICAS DE FUNCIONES Y DE SUSDERIVADAS (prrafos 160-169)

    A partir de la grfica de una funcin podemos obtener la pendientede la curva en varios puntos y trazando una nueva curva con las pendien-tes, se puede determinar la forma general y el comportamiento de laderivada. Para ver ejemplos pase a la seccin 4.

    Secciones 5-8 DIFERENCIACION (prrafos 170-244)

    A partir de la definicin de derivada se puede obtener un cierto n-mero de frmulas para la diferenciacin. Examinaremos aqu slo unejemplo; el mtodo es tpico. Sean 11 y v variables que dependen de x.

    d(uv)--=dx

    lim~x ...o

    ~ (uv)--=~x

    lim~x ...o

    (u + ~u)(v + ~v) - uv~x

  • d(uv)--= limdx l!i.x->o

    Captulo 11.Clculo Diferencial 249

    uv + ul!i.v+ vl!i.u+ l!i.ul!i.v- uvl!i.x

    =u l. l!i.v1m -+ v

    l!i.x->0 l!i.xl!i.u

    lim - + liml!i.x->o l!i.x l!i.x->o

    l!i.ul!i.vl!i.x

    dv du= u - + v - + O.

    dx dx

    las relaciones importantes que debe recordar, se han puesto en lalista siguiente. Hay una lista ms completa en la tabla 1, pgina 293.En estas expresiones, u y v son variables que dependen de x, w dependede u, que a su vez depende de x, a y n son constants. los ngulosestn medidos en radianes.

    (prrafo)

    da = Odx

    d(ax) = a

    dx

    dxn n-l-= llXdx

    d du dv(u+v)=-+-

    dx dx dx

    d dv du(uv)= u- + v-

    dx dx dx

    d u 1 du dv- (-)= -[v- - u-]dx V v2 dx dx

    dw dw du-=-dx du dx

    dsenx---= cos x

    dx

    d cos x---=-sen x

    dx

    d In x 1--=-dx x

    172

    174

    180

    186

    189

    202

    194

    210

    211

    230

  • 250 Repaso

    dex x--= edx

    (prrafo) 239

    En la lista anterior, e= 2.71828 .... y In x es el logaritmo na-tural de x definido por In x = log.x.

    Funciones ms complicadas, pueden diferenciarse en forma normal,aplicando varias reglas de la tabla 1 sucesivamente. As

    d dx3 dx2 2 d sen 2x_(x3 + 3x2 sen 2x) =-- + 3-- sen 2x + 3x ----dx dx dx dx

    3 2 6 2 3 2 d sen 2x d (2x)= x + x sen x + x ----- - __d(2x) dx

    = 3x2 + 6x sen 2x + 6x2 cos 2x.

    Seccin 9. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR (prrafos 245-252)

    dySi diferenciamos - con respecto a x, el resultado se llama la segun-

    dxd2y

    da derivada de y con respecto a x y se escribe - En esta forma,dx2

    la ensima derivada de y con respecto a x es el resultado de diferenciardny

    y n veces sucesivamente con respecto a x y se escribe _dx"

    Seccin 10. MAXIMOS y MINIMOS (prrafos 253-264)

    Si f(x) tiene un valor mximo o mnimo para un cierto valor de x

    d . d df (R ..entonces su eflva a - es cero para esa x. estflcclOnes para estedx

    d2fenunciado se dan en la pgina 154). Si adems, dx

    2< O, f(x) tiene

    d2fun mximo. Por otro lado, s - > O, f(x), tiene un mnimo en este

    dx2punto.

    Seccin 11. DIFERENCIALES (prrafos 265-275)

    Si x es una variable independiente y y = f(x), la diferencial dx de xes igual a un incremento X2 - Xl, donde Xl es el punto de inters. Ladiferencial dx puede ser positiva o negativa, grande o pequea, como se

  • Captulo 111.Clculo Integral 251

    desee. Por tanto, dx, como x es una variable independiente. La diferen-cial dy est definida por la regla siguiente

    dydy = (-) dx.

    dx

    . Aunque el significado de la derivada dy, es lim ~y se ve del p-

    dx ~x~O ~xrrafo anterior que podemos interpretada como la razn de dos diferen-ciales dx y dy. Como se explic en los prrafos 268 y 269, dy no es lomismo que ~y, aunque.

    lim dy = 1.dx=/'t..x~ o /'t..y

    Las frmulas de diferenciacin pueden escribirse fcilmente en tr-minos de diferenciales. As, si. y = X"

    d (xn)dy =d(xn) =-- dx =nxn-1 dx.

    dx

    Una relacin til que se da implcitamente con la notacin diferen-cial y se discute posteriormente en el apndice A9 es

    dx = l/(dy).dy dx

    Repaso del Captulo III - CALCULO INTEGRAL.

    Seccin 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA (prrafos 289-301)

    dF(x)Supongamos que --- = f(x).

    dx

    Entonces F(x) se llama la integral indefinida de f(x). Este enunciadopuede escribirse simblicamente en la forma

    F(x)= {/(x)dx.

    La ecuaoon se lee "F(x) igual a la integral indefinida de f(x)." Lafuncin f(x) que se integra, se llama el integrando. Ya que la derivada deuna constante es cero, cualquier constante arbitraria puede agregarse auna integral indefinida y la suma sigue siendo la integral indefinida dela misma funcin f (x). Adems, dos integrales indefinidas de unafuncin dada, pueden diferir nicamente por una constante (prrafo296 y apndice A9).

  • 252

    Seccin 2. INTEGRACION (prrafos 302-325)

    Las integrales indefinidas pueden encontrarse frecuentemente, bus-cando una expresin tal que, cuando se deferencia, nos da el integrandoAs, del resultado anterior

    tenemos que

    d cos xdx

    = - sen x

    J sen x dx = - cos x + c.Empezando con las derivadas conocidas de la tabla 1, se puede haceruna lista til de integrales. Tal lista se da en el prrafo 307 y por con-veniencia se ha repetido en la tabla 2 de la pgina 295. Pueden obte-ner las frmulas ms importantes, de las expresiones de diferenciacinde la tabla 1. Integrales ms complicadas se pueden encontrar en tablasms completas, tales como las que se dan en las referencias de la p-gina 284.

    Frecuentemente se necesitan usar varios procedimientos diferentespara obtener una integral. En este ejemplo usaremos un cambio de va-riable, procedimiento asociado con la frmula 19 de la tabla y la frmula10 para la integracin del seno (prrafo 313)

    1 1r sen 3 x dx =- r sen 3x d(3x) =-- cos 3x + c.. 3 . 3Seccin 3. EL AREA BAJO UNA CURVA (prrafos 326-346)

    Sea A (x) el rea entre la curva f(x) el eje x y las lneas verticalesen a y x. Se ve que

    d A (x) _ f(x). (prrafo 333)dx

    Si F (x) es la integral indefinida de f (x) tal queF(x) = J f(x) dx,

    entonces (prrafos 340 y 344)

    A (x) = F(x) - F(a) = F(x) 1: = J f(x) dx 1:donde por definicin F(x) I~= F(b) - F(a).

  • Captulo 111.Clculo Integral 253

    Seccin 4. INTEGRALES DEFINIDAS (prrafos 347-365)

    Otra manera de expresar el rea bajo una curva f(x) entre x = ay x = b se puede encontrar dividiendo el rea en franjas estrechas pa-ralelas al eje y, cada una de rea f(x;) D,X, y sumando las franjas. Enel lmite, corno el ancho de cada franja tiende a cero, la suma se aproximaal rea bajo la curva. As (prrafo 352)

    nA = lim ~ {(Xi) !"ix.

    !"ix ...o i= 1

    Este lmite es tan importante que se le han dado un smbolo y nombre

    especiales. Se llama la integral definida y se transcribe b {(x) dx.a

    De aqu, por definicin

    (b {(x) dx = lim ~ {(xi) !"ix.Ja !"ix ...o

    Como resultado de lo anterior, se ve que

    A =Lb ((x) dx.Sin embargo, hemos visto que el rea puede encontrarse en trminosde la integral indefinida.

    F.(x) = ((x) dx,

    y

    A = F(b) - F(a) = F(x) 1: = r {(x) dx 1:Por lo tanto, igualando las dos expresiones para el rea A, tenemos elvalor de la integral definida en trminos de la integral indefinida.

    Lb ((x) dx = F(x) 1: = r {(x) dx 1:Este resultado se llama frecuentemente el Teorema Fundamental delClculo Integral.

  • eje x

    254 Repaso

    Seccin 5. APLICACIONES DE LA INTEGRACION(prrafos 366-380)

    Si conocemos v(t), la velocidad de una partcula como una funcindel t, podemos obtener la posicin de la partcula como una funcin deltiempo por integracin. Sabemos que

    dSv=-

    dt

    as

    dS = v dt

    SI mtegramos ambos miembros de la ecuacin desde el punto inicial(t = to, S = O) al punto final (t} S), tenemos

    S = (t v dt.Jto

    Seccin 6. INTEGRALES MULTIPLES (prrafos 381-399)eje y

    Y2(%)

    B1 y(%): :

    Ia % b

    Fig. 139

    Consideremos el rea indicada, encerrada por la curva, en la cualy depende de x como Y2(X) en la parte superior de la fIgura y comoYl (x) en la parte inferior. Entonces, el rea encerrada A est dada por

    A = lim Ix I lim Iy t1y 1 t1xt1x -+0 t1y -+0

    Una integral de esta forma se llama integral doble que es un casoparticular de una integral mltiple. Para encontrar el valor de las inte-grales mltiples, debe tenerse especial cuidado de seleccionar los lmi-tes correctamente. As, Yl y Y2 los lmites para integrar a y, son los va-lores mximo y mnimo de y para una cierta x.

  • Captulo 111.Clculo Integral 255

    Resultando que Y1 y Y2 en general dependen de x y consecuentementese introducen en el integrando para la integracin con respecto a x.

    En forma anloga, (prrafo 390) si g(x, y) es una variable que de-pende de x y y, podemos encontrar el valor de una integral mltiple dela forma

    G =fab

    [ f :12 g (x, y) dy ] dx.

    El procedimiento es directo: se encuentran los lmites de cada una delas integrales, se lleva a cabo la integracin sobre y, considerando a xcomo constante en g(x, y). A continuacin se hace la integracin sobrex. Este procedimiento se puede aplicar fcilmente a cualquier nmerode variables.

    Seccin 7. CONCLUSION (prrafos 400-403)

    Ya ha terminado. Felicidades! No necesita hacer nada ms paraacabar este libro. Sin embargo, si no ha visto todas las demostracionesdel apndice A, le aconsejamos los vea ahora. Quiz tambin quieraestudiar algunos de los tpicos adicionales del apndice B. Finalmente,si quiere un poco ms de prctica, debe tratar de resolver los problemasde repaso que mpiezan en la pgina 285.

    iBuena suerte!