Fasciculo15 Sistemas de Ecs

7/25/2019 Fasciculo15 Sistemas de Ecs

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PuenteAngostura sobre el ro Orinoco,

estado Bolvar, Venezuela.

S i s t e m a d e e c u a c i o n e s

El 6 de Enero de 1967 fue inaugurado el Puente Angostura

sobre el ro Orinoco, cuya longitud total es de 1 678,5 metros.

Su parte colgante est conformada por dos cuerpos lateralesy un cuerpo central.


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Ecuaciones lineales con tres incgnitas

Fundacin Polar ltimas Noticias El mundo de la matemtica Sistema de ecuaciones 15114

As como se estudian las ecuaciones lineales con dos incgnitas, hay mltiples

situaciones que conducen a plantear ecuaciones lineales con tres o ms incgnitas.

Por ejemplo, las edades de los miembros de algunas familias suman 60 aos.

Si designamos porp la edad del padre, por m la edad de la madre y por h la edad

del hijo, tenemos que:p + m + h= 60 Ecuacin lineal con tres incgnitas

Observa que p, m y h son variables. Los valores de dos de ellas determinan el

valor de la tercera.

En general, una ecuacin lineal con tres incgnitas es una igualdad de la forma

ax + by + c z = d

donde a, b, c y d son nmeros reales, con a, b y c no todos nulos.

Una solucin de la ecuacin ax + by + c z = des una terna de nmeros reales(x

0, y

0, z

0) que la satisface.

Padre, madre e hijoPlaza del Louvre, Paris, Francia.

Rubens, su esposaHelena Fourment, y suhijo Peter Paul.Peter Paul Rubens.

Pintor flamenco(1577-1640).

Una misma expresin tiene diferentes representaciones, dependiendo del conjunto en consideracin: , 2, 3...

EN LA RECTA EN EL PLANO EN EL ESPACIO

La expresin x = 3 corresponde, en

la recta, al punto de abscisa 3.

En el espacio, la expresin x = 3

representa el plano que pasa por el punto

(3, 0, 0) y es paralelo al plano yz.

En el plano, la expresin x = 3corresponde a los puntos de la rectaparalela al eje y que pasa por el punto(3, 0).

x1 2 3 40

x= 3

y

x1 2 3 40

x= 3

z

x

1

2

3

0

x= 3

y

En la regin de mesopotamia se desarrollaron civilizaciones de las ms prolficas de la antigedad

en invenciones. All se conoci el uso de la escritura, de la rueda y de metales. Hace cerca de 4 000

aos, los matemticos babilonios resolvan ecuaciones de primer y segundo grado y algunos

tipos de ecuaciones cbicas y bicuadrticas. Tambin resolvan ciertos sistemas de dos

ecuaciones con dos incgnitas, por ejemplo: en notacin actual x2 + y2 = e y = referidos

a un problema de reas de cuadrados.

Las incgnitas venan representadas por palabras como longitud, ancho, rea y volumen,

utilizadas, probablemente, en sentido abstracto por la forma como operaban con ellas.

Asimismo, otras civilizaciones de la antigedad, como la egipcia y la china, resolvieron algunos

sistemas de ecuaciones.

854

6x7

Tableta bab i lnica q uecontiene problemas quese resuelven med ianteecuaciones de segundo

grado.


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El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales (SEL) forma parte del lgebra lineal, rea sta cuyo uso se ha expandidoa las diversas ciencias utilizadoras de la matemtica: la economa, la ingeniera, la fsica, la qumica, etc. Este tipo deuniversalidad del lgebra lineal tom realmente auge a partir de la dcada 1920-1930.

Desde la antigedad, en civilizaciones occidentales y orientales, existan tcnicas de eliminacin y de sustitucin pararesolver tales SEL.

Sin embargo, fue solamente a partir de la segunda mitad del siglo XVIII, con un trabajo de Leonhard Euler y otro de GabrielCramer, en 1750, en los que se comenz a investigar sobre los SEL como objeto de estudio en s mismos.

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Balanza siglo XVIII.

Supongamos que las tres balanzas, A, B y C, que se muestran en la figura,estn en equilibrio y se quiere hallar el peso de cada uno de los objetos:

35

x + y + z = 35

A

3x + 3z = 4y

B

3z + 4y = 7x

C

Si designamos los pesos de la esfera, el cilindro y el cono, en gramos, por

x, y, z, respectivamente, se pueden escribir las ecuaciones:

x + y + z = 35

3x4y + 3z = 0

7x4y3z = 0

que es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas.

En general, un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas es

de la forma:

a1x + b

1y + c

1z = d

1

a2x + b

2y + c

2z = d

2

a3x + b

3y + c

3z = d

3

En cada una de las ecuaciones del sistema, por lo menos uno de los

coeficientes de las incgnitas es diferente de cero.

Una solucin comn de estas ecuaciones, si existe, es una terna de nmeros

reales (x0, y

0, z

0) tal que satisface simultneamente las tres ecuaciones:

a1x

0+ b

1y

0+ c

1z

0= d

1

a2x

0+ b

2y

0+ c

2z

0= d

2

a3x

0+ b

3y

0+ c

3z

0= d

3

x y z

Esfera Cilindro - Cono


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1y

2se intersecan con

3en la recta r.

El sistema es compatible indeterminado.1

y2son paralelos con

3.

El sistema es incompatible.

1= 2

3

r

3

1=

2

Tres ecuaciones lineales con tres incgnitas


Si representamos grficamente un sistema de tres ecuaciones, cada una de stas corresponde a un planoen el espacio de tres dimensiones. Si

1,

2y

3son los planos que describen las ecuaciones del

sistema, hay las siguientes posibilidades:

1,

2y

3son diferentes.

Dos de ellos coinciden (por ejemplo,1

coincide con2

y3

es diferente).

1,

2y

3coinciden.

Analicemos cada situacin:

Los tres planos son diferentes

Los tres planos1,

2y

3tienen un nico punto comn.

El sistema es compatible determinado

(tiene solucin nica).

Los planos1,

2y

3se intersecan en la recta comn

r. El sistema es compatible indeterminado

(tiene infinitas soluciones).

Los tres planos son paralelos.

El sistema es incompatible.

1

2

3

Los planos1y

2se intersecan en la recta r

y el plano3no corta a r.

El sistema es incompatible (no tiene soluciones).

3

2

1

r

1

2

3

r

1

2

3

A

Dos planos coinciden y el tercer plano es diferente


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Los tres planos coinciden.

El sistema es compatible indeterminado.

1=

2=

3

Grficamente

Se representan en un sistema de

coordenadas cartesianas los

planos que corresponden a lasecuaciones del sistema, y se

determinan, con la mayor precisin

posible, las coordenadas de los

puntos de corte, en caso de que

existan.

Analticamente

Usando mtodos algebraicos: por

igualacin, sustitucin o

reduccin, se puede llegar a unsistema ms pequeo (esto es,

con una incgnita menos) y se

resuelve entonces un sistema de

dos ecuaciones lineales con dos

incgnitas. Adems, se pueden

aplicar mtodos que emplean

matrices o determinantes.

Varios programas

informticos (Maple, Matlab,

Mathematica,...) permiten

resolver sistemas de

ecuaciones.

En el tratado de matemtica ms importante de China, el que ejerci mayor influencia,

titulado El arte matemtico en nueve secciones (Zhui Zhang Suan Shu,s. III a.C.),

en su seccin octava (Faang -C hng, que significa ecuacin) se relacionan ecuacioneslineales simultneas como el siguiente sistema (en notacin actual):

3x + 2y + z = 39

2x + 3y + z = 34

x + 2y + 3z = 26

Operando sobre ese sistema lo reducen al 36z = 99, 5y + z = 24, 3x + 2y + z = 39,

de dnde calculan los valores para x, y, z.


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Solucin al problema de las balanzas


Grficamente

Aqu se presenta una grfica de los tres planos y se observa que la solucin delsistema (x

0, y

0, z

0) verifica:

11,9 < x0< 12,1 14,95 < y

0


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Tengo que pensarlo

Distancia recorrida

En la figura de la izquierda tenemos un plano con una rejilla

de cuadrados (de 1 m x 1 m). Si marcamos un punto de

partida Pen algn nodo de la rejilla y colocamos un puntode llegada Fen otro nodo cul es la ruta ms corta quedebemos recorrer de P a F, si al estar en un nodo slopodemos movernos al adyacente a la derecha, hacia arriba

verticalmente o diagonalmente? Cunto mide esa ruta?

es la nica?

En la figura de la derecha se plantea una situacin similar en un sistema

de coordenadas polares. Las circunferencias consecutivas tienen una

diferencia de radios de 1 m que es el radio de la circunferencia ms

pequea; y los segmentos las dividen en 8 partes iguales. Los movimientos

permitidos son a un nodo adyacente yendo por un arco de circunferencia

o por un segmento que une dos circunferencias consecutivas.

y

x

Coordenadas de un punto

Indica en un sistema de coordenadas cartesianas los puntos P(1,2) y

Q(9,6). Sobre el segmento PQ se marcan tres puntos A, B y C, de tal

forma que el segmento PQ queda dividido en cuatro partes iguales.Determina las coordenadas del punto C.

y

x

Q

P

A

B

C

Un sistema no lineal

Las reas de las caras de un paraleleppedo rectangular, en centmetros

cuadrados, son 6, 8 y 27. Cules son las longitudes de las aristas?

En el Metro

Supongamos que para los viajeros regulares del Metro la empresa propone dos

opciones:

Opcin A: Pagar cada viaje con tarifa completa, es decir, Bs. 400 por viaje.

Opcin B: Comprar un abono de Bs. 5 000 y pagar cada viaje a mitad de tarifa,es decir, Bs. 200 por viaje, para lo cual debe comprar una tarjeta de Bs. 5 000.

A partir de cuntos viajes resulta la opcin B preferible a la opcin A?

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RESPUESTAS:

Distancia recorrida: a. (5 2 + 1)m. b.La ruta ms corta es: partir de P y llegar al centro O de la circunferencia mas pequeamovindose por el segmento que une P y O, luego se llega a F recorriendo el segmento OF. Esta ruta mide 13 m.

Coordenadas del punto C(7, 5).

Un sistema no lineal:L1=4/3 cm, L2=9/2 cm, L3=6 cm.

En el Metro:25 viajes.

a

b

O

P

F


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Juego: Quin llega primero?

MaterialesUna hoja de papel cuadriculado

Un lpiz o un bolgrafo

Una regla

Una moneda o un dado

Preparacin del juego

Con la regla y el lpiz alguno de los

jugadores dibuja un sistema de

coordenadas rectangulares y marca un

punto P de partida en algn nodo de la

rejilla del papel, indicando suscoordenadas. El otro jugador marca un

punto F de llegada en otro nodo,

sealando sus coordenadas.

En la figura las coordenadas de P son(0,5 ; -0,5) y las del punto F son (6 , 6).

Forma de jugar

Este juego lo realizan dos jugadores.

Lanzando la moneda o el dado (o por otro medio) se decide quin inicia el juego.

El jugador que inicia el juego debe marcar con el lpiz en un nodo adyacente al punto P, sealando las

coordenadas del nuevo punto.

El segundo jugador debe seleccionar un punto adyacente al punto elegido por el primero, indicando sus

coordenadas y marcndolo con el lpiz.

Gana el jugador que marque primero el punto F.

Inventa nuevas variantes de quin llega primero? o trata de hacer un juego similar en un sistema decoordenadas polares o que te permita siempre ganar.

y

x

F

0

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