Termodin´amica de Agujeros Negros y Teor´ıa de Informacion

Termodinamica de Agujeros Negrosy Teorıa de Informacion

PorLuis Anıbal Garcıa Lopez

Codigo: 200315095

Dirigido porProf. Jose M. Rolando Roldan, Ph.D.

MONOGRAFIA

Presentada como requisito para laobtencion del tıtulo de

Fısico

Departamento de Fısica de la Universidad de los AndesBogota, Colombia

Mayo de 2007

Agradecimientos

Es un gran placer para mı agradecer a la gente que hizo que todo esto fuera posible,toda la gente que me ha apoyado a lo largo de esta aventura. En primer lugar quisieraagradecer a mi Madre, que con su pedagogıa y gran dedicacion me enseno siempre air mas alla. A toda mi familia, que me apoyo en todo momento; me gustarıa deciralgo de cada uno, pero saben que siempre estan en mis pensamientos. Las gracias masprofundas a mis dos grandes, grandes amigas por existir y por compartir triunfos, tris-tezas, locuras y sobretodo las alegrıas mas grandes. A todos mis companeros y amigosde lucha, desde Armenia hasta Bogota, muchas gracias por estar ahı. Agradezco amis profesores, que mas que ensenarme un punado de formulas, fueron maestros parala vida. Gracias especiales al director de este proyecto, el Profesor Jose M. RolandoRoldan, por las charlas que tuvimos y por darme soporte cuando lo necesite. Un saludocalido a Martha Cecilia Bustamante y Mauricio Hoyos, que me abrieron las puertas desu hogar y cambiaron mi forma de ver el mundo. Y finalmente, gracias a todos los quede una u otra forma me ayudaron a crecer y a cumplir con la primera mision de estacampana.

Luis Anıbal Garcıa Lopez

Universidad de los AndesBogota, Mayo de 2007

i

Prefacio

Los agujeros negros, defectos en el tejido del espacio-tiempo, entraron en el mundode la astrofısica a partir el siglo XVIII, por descripciones teoricas dadas separadamentepor el cientıfico ingles John Michell y el matematico y astronomo frances Pierre-SimonLaplace, de cuerpos celestes cuya razon masa-radio es suficiente para que su velocidadde escape exceda la velocidad de los corpusculos de luz. Mediante la teorıa de laRelatividad General de Einstein, esta definicion se agudiza, siendo los agujeros negrossoluciones a las ecuaciones de esta teorıa gravitacional, teorıa que requiere su existencia.Los agujeros negros son entonces regiones espaciales aisladas gravitacionalmente, enel sentido de que ninguna senal en forma de luz o partıculas masivas puede llevarinformacion sobre su naturaleza y estado al exterior de dichas regiones. El conceptoclave aquı es la informacion. Durante las tres ultimas decadas se han revelado lazosprofundos entre la informacion fısica y la naturaleza de los agujeros negros, cuyasconsecuencias van mas alla de lo que ha sido deducido de los axiomas de la teorıa dela informacion y tienen gran paralelismo con el tratamiento termodinamico de estosparadigmas astrofısicos.

El presente documento pretende hacer un estudio de la teorıa termodinamica paraagujeros negros y los diferentes avances que ha sufrido a lo largo de las ultimas decadas.El documento se divide en dos partes mas una conclusion. La primera parte trata ini-cialmente las principales caracterısticas de los agujeros negros, desde el papel quecumple la relatividad general, pasando por el proceso de colapso y la geometrıa delespacio-tiempo en presencia de un agujero negro; y finalmente, estudiando los difer-entes teoremas que llevaron a la primera conexion con la termodinamica antes deldescubrimiento de Hawking de la radiacion por agujeros negros. La segunda parte, porotro lado, empieza describiendo este nuevo fenomeno y algunas de sus consecuencias,como la definicion exacta de entropıa de un agujero negro y la segunda ley generaliza-da; consecuencias que dan paso finalmente a la relacion con la teorıa de informacioncuantica y el planteamiento de los diferentes lımites entropicos. Por ultimo, se resumenlos resultados mas importantes y se concluye, planteando problemas actuales de lateorıa.

ii

Indice general

Agradecimientos I

Prefacio II

I Agujeros negros y termodinamica 1

1. Defectos del tejido espacio-temporal 21.1. Un acercamiento historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. El papel de la Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Movimiento de partıculas de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Campos gravitacionales esfericamente simetricos . . . . . . . . . 7

1.3. Generalidades sobre agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1. Horizonte de eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2. Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3. Esfera fotonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.4. Aforismo de Wheeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Colapso gravitacional y geometrıa 112.1. El destino final de las estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Agujero negro de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Agujeros negros rotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1. Metrica de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2. Observadores estacionarios en geometrıa de Kerr . . . . . . . . . 162.3.3. Metrica de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. La conexion con la termodinamica 193.1. Teorema de “no-cabello” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2. Calculo de areas para agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Primera Ley Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4. Teorema del area y entropıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.1. Transformaciones de agujeros negros y masa irreducible . . . . . 23

iii

INDICE GENERAL iv

3.4.2. La relacion entre area y entropıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II Radiacion de Hawking: entropıa e informacion 28

4. El descubrimiento de Hawking 294.1. Segunda Ley Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2. Emision de partıculas por agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3. Un modelo sencillo para radiacion de Hawking . . . . . . . . . . . . . . 344.4. La paradoja de informacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5. Lımites entropicos y la segunda ley 395.1. Informacion y entropıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2. El principio holografico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3. El lımite universal de informacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III Conclusion 47

6. Conclusion 48

Parte I

Agujeros negros y termodinamica

1

Capıtulo 1

Defectos del tejidoespacio-temporal

1.1. Un acercamiento historico

El concepto de un cuerpo tan masivo que ni siquiera la luz podıa escapar de suatraccion gravitacional fue propuesto por el geologo John Michell en un artıculo de1784 enviado a Henry Cavendish y publicado por la Royal Society; en el decıa: “Siel semidiametro de una esfera con la misma densidad del Sol excediera el de este enuna proporcion de 500 a uno, un cuerpo cayendo desde una altura infinita hacia ellaadquirirıa en su superficie una velocidad mayor a la de la luz, y por consiguiente,suponiendo que la luz es atraıda por la misma fuerza en proporcion a su vis inertiaecon otros cuerpos, toda luz emitida por tal cuerpo serıa regresada hacia el por su propiagravedad.”[1]

El analisis de Michell se basa en el concepto de velocidad de escape, que puedededucirse de la Ley de Gravitacion de Newton. Pero esta ley asume un par de masas,no una sola. Ası que cualquier analisis basado en velocidad de escape asume una masaen reposo (vis inertiae) diferente de cero para los fotones, lo cual sabemos que no esverdad.

Por otro lado, el matematico Pierre-Simon Laplace promovio la misma idea en lasprimeras ediciones de su libro Exposition du systeme du Monde. Sin embargo, la ideade estas “estre-llas oscuras” fue muy ignorada durante el siglo XIX, y no fue retomadahasta las primeras decadas del siglo posterior.

En 1915, Albert Einstein desarrollo su teorıa de gravedad: la Relatividad General,habiendo ya predecido que la gravedad influenciaba la luz. Unos pocos meses despues,Karl Schwarzschild dio la solucion para el campo gravitacional de una masa esferica,mostrando la posible existencia de un cuerpo con las caracterısticas de un agujeronegro; sin embargo, este resultado no se entendio muy bien en ese tiempo, inclusoSchwarzschild pensaba que no tenıa sentido fısico.

2

CAPITULO 1. DEFECTOS DEL TEJIDO ESPACIO-TEMPORAL 3

En 1930, el astrofısico Subrahmanyan Chandrasekhar argumento que, de acuerdocon la relatividad general, un cuerpo no radiante con mas de 1,4 masas solares (el lımitede Chandrasekhar), colapsarıa, ya que no habıa mecanismo conocido que lo evitara.Sus argumentos se oponıan a los de Arthur Eddington quien creıa “que deberıa existiruna ley de la Naturaleza que evitara que la estrella se comportara de esta maneraabsurda”[2]. Y tenıa razon en cierto modo: una enana blanca con masa un poco porencima del lımite de Chandrasekhar colapsarıa en una estrella neutronica. Pero en1939, Robert Oppenheimer publico artıculos (con diversos coautores) que predecıanque estrellas por encima de tres masas solares (el lımite Tolman-Oppenheimer-Volkoff)colapsarıan en agujeros negros por las razones dadas por Chandrasekhar.

Los agujeros negros y el problema del colapso gravitacional fueron generalmente ig-norados hasta los anos sesenta. Sin embargo, a finales de la decada de 1950, J. A. Wheel-er y sus colaboradores empezaron una investigacion seria sobre el problema del colapso.Wheeler propuso el termino “agujero negro” en 1968.

Roy Kerr descubrio en 1963 una familia de soluciones exactas (sin carga electrica)a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacıo. La generalizacion a fuentes cargadasfue encontrada al poco tiempo por E. Newman et al. como solucion a las ecuacionesde campo de Einstein-Maxwell (1965). Hoy en dıa sabemos que la geometrıa de Kerr-Newman descrita por estas soluciones da una descripcion unica y completa de loscampos electromagnetico y gravitacional externos a un agujero negro estacionario.

Un gran numero de propiedades importantes de los agujeros negros fueron descu-biertas y muchos poderosos teoremas probados durante este periodo. El descubrimientode cuasares en 1963, de pulsares en 1968, y fuentes compactas de rayos X en 1962 ayu-daron a motivar el intenso estudio teorico sobre agujeros negros. Observaciones de lafuente binaria de rayos X, Cygnus X-1, a comienzos de los setentas dieron la primeraevidencia plausible de que los agujeros negros podıan existir.

1.2. El papel de la Relatividad General

La teorıa general de la relatividad, desarrollada por Einstein, es de suma impor-tancia en nuestro estudio de agujeros negros, ya que estos son precisamente solucionesestables a las ecuaciones de Einstein: la relatividad general requiere la existencia deagujeros negros. Por esta razon, repasaremos algunos aspectos fundamentales de lateorıa que resultaran de gran ayuda a lo largo de la disertacion.

La relatividad general es una teorıa relativista de gravitacion; en ella la gravedad yano es una fuerza sino la que refleja la curvatura del espacio-tiempo. Para entender estoun poco mejor, miremos los problemas que surgen al intentar “relativizar” la teorıanewtoniana.

La gravitacion newtoniana puede ser descrita como una teorıa de campo escalarque satisface la ecuacion de Poisson

∇2Φ = 4πGρ0. (1.1)


Pero la relatividad nos ensena que todas las formas de energıa son equivalentes amasa, ası que las fuentes del campo gravitacional en una teorıa relativista de gravitacionserıan todas las formas de energıa, y no solo ρ0. Ası que esperamos una teorıa relativistaque envuelva ecuaciones diferenciales no lineales para el campo gravitacional

F (g) ∼ GT, (1.2)

donde g representa el campo gravitacional, que se reduce a Φ en el lımite de campodebil, F es un operador diferencial no lineal, que se reduce a ∇2 en el lımite de campodebil, y T es una cantidad que describe todas las formas no gravitacionales de energıa,con ρ0 como su termino dominante en el lımite no relativista. Una de las grandes ideasde Einstein fue hacer de la relatividad general una teorıa geometrica de gravitacion.El espacio-tiempo, por ejemplo, esta representado por una variedad tetradimensional(“superficie”), donde un evento corresponde a un punto en el, y la geometrıa de estasuperficie curva esta descrita completamente por el llamado tensor metrico gαβ, quese puede representar por medio del elemento de lınea (intervalo o distancia entre doseventos en el espacio-tiempo)

ds2 = gαβ(xγ) dxαdxβ. (1.3)

Un caso especial es la metrica de Minkowski1 ηαβ usada en relatividad especial

ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2; (1.4)

las metricas mas generales pueden reducirse a esta mediante una buena escogenciade marco de referencia, evaluando la metrica en la vecindad de un punto fijo: ds2 =[ηαβ +O (|x|2)] dxαdxβ, estos marcos especiales son conocidos como marcos inercialeslocales.

Como se dijo, Einstein propuso que cada espacio-tiempo curvo representaba un cam-po gravitacional particular. Ası pues, al escribir las ecuaciones fısicas no-gravitacionalesen un espacio-tiempo como este, en lugar del espacio-tiempo de Minkowski (1.4), au-tomaticamente se toman en cuenta los efectos de la gravedad. Esto es conocido comoel principio de equivalencia de Einstein, quien tuvo esta idea revolucionaria de la uni-versalidad de la caıda libre: todos los objetos que caen libremente en un campo grav-itacional dado, desde posiciones y velocidades iniciales identicas, se mueven a lo largode lıneas de mundo identicas, sin importar las diferencias en estructura y composicion[3].

Para terminar, falta especificar la manera como la distribucion de masa-energıadetermina la geometrıa, gαβ, por medio de una ecuacion (o sistema de ecuaciones) dela forma (1.2). Las famosas ecuaciones de campo de Einstein nos dan esta relacion

Gαβ = 8πTαβ, (1.5)

1De ahora en adelante se usaran unidades geometrizadas, esto es c = G = 1, a menos de que seindique lo contrario.


donde Gαβ, el tensor de Einstein, es un operador no lineal de segundo orden actuandosobre gαβ. El termino de la fuente es el tensor de energıa-esfuerzos no-gravitacional.Es importante notar que esta complicada ecuacion se reduce a la ecuacion de Poisson(1.1) en el lımite newtoniano.

Ahora se estudiaran dos temas de interes: el movimiento de partıculas de pruebaen presencia de un campo gravitacional y los campos con simetrıa esferica que nosconectaran con la primera y mas fundamental solucion a las ecuaciones de campo2.

1.2.1. Movimiento de partıculas de prueba

Una partıcula de prueba es una idealizacion de un objeto material. Se suponepequena (no perturba el espacio-tiempo a su alrededor), sin carga (no responde afuerzas electromagneticas), esferica (no torques), entre otras caracterısticas. Simple-mente se mueve libremente en el campo gravitacional.

En relatividad especial (sin campos gravitacionales), las partıculas de prueba semueven con velocidad uniforme. Podemos obtener sus ecuaciones de movimiento desdeun principio variacional que extremice la distancia (intervalo) a lo largo de la lınea demundo

δ

∫ds = 0. (1.6)

Para verificar esto, escribimos el integrando en la forma

ds =(−ηαβxαxβ

)1/2dλ, (1.7)

donde xα ≡ dxα/dλ. Aquı λ es algun parametro a lo largo de la lınea de mundo. Laexpresion (1.7) para ds es invariante bajo un cambio de parametro λ → λ(λ′). Ellagrangiano para la ec. (1.6) es entonces

L =(−ηαβxαxβ

)1/2. (1.8)

y ası, las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange obtenidas de la ec. (1.6) sonsimplemente

d

dλ

(∂L

∂xα

)=

∂L

∂xα. (1.9)

El lado derecho de la ecuacion es cero, ya que L es independiente de xα. Obteniendoentonces

ηαβxβ − 1

L

dL

dληαβxβ = 0. (1.10)

Haciendo un cambio de parametro, podemos hacer L constante a lo largo de la curva,donde el nuevo parametro se conoce como parametro afın. En particular, se puedeparametrizar la lınea de mundo de una partıcula por la longitud s sobre la curva,

2Para profundizar mas sobre topicos en relatividad general ver por ejemplo [4, 5, 6].


o simplemente el tiempo propio denotado τ . Por esto, el segundo termino en (1.10)desaparece, quedando

ηαβxβ = 0 ⇒ xγ =d2xγ

dτ 2= 0, (1.11)

que es precisamente la ecuacion para una partıcula con velocidad uniforme en movimien-to rectilıneo.

Geometricamente, las curvas de longitud extremal son llamadas geodesicas. La ideade hacer los calculos anteriores para relatividad especial es que podemos llevarlos in-mediatamente a relatividad general. Por el principio de equivalencia, la ec. (1.6) debeser un principio variacional para el movimiento de partıculas de prueba en relatividadgeneral: la lınea de mundo de una partıcula libre de fuerzas externas es un tipo par-ticular de geodesica, o en otras palabras, las partıculas libres se mueven a lo largo degeodesicas en el espacio-tiempo. Ahora, el nuevo lagrangiano serıa

L =[−gαβ (xγ) xαxβ

]1/2, (1.12)

ası que obtenemos de la ec. (1.9)3

1

L

d

dλ

(gαβxβ

)− 1

L

(1

2gγβ,αxγxβ

)= 0

gαβxβ + xβ d

dλgαβ −

1

2gγβ,αxγxβ = 0

gαβxβ + gαβ,γxγxβ − 1

2gγβ,αxγxβ = 0. (1.13)

Ahora escribimos el segundo termino de la forma

gαβ,γxβxγ =

1

2(gαβ,γ + gαγ,β) xβxγ, (1.14)

de modo que la ec. (1.13) queda (multiplicando por el tensor metrico inverso gαβ)

xα + Γαβγx

βxγ = 0, (1.15)

donde

Γαβγ ≡

1

2gαλ (gλβ,γ + gλγ,β − gγβ,λ) , (1.16)

componentes conocidas con el nombre de sımbolos de Christoffel.La ecuacion (1.15) es la forma final de la ecuacion de la geodesica en relatividad

general. Notese como se satisface el principio de equivalencia: en un marco inerciallocal, se pueden escoger coordenadas tales que gαβ,γ = 0 (los sımbolos de Christoffelson cero). Ası que el movimiento de la partıcula en tal marco es rectilıneo y uniforme.

3Asumimos una parametrizacion afın, de tal modo que L es constante.


Estas ecuaciones halladas son ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden,presentandose como vimos, en la forma de las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange. Sin embargo, tambien pueden presentarse como un conjunto de ecuacionesacopladas de primer orden, como lo son las ecuaciones de Hamilton.

Esta vez usamos el principio variacional que extremice la energıa de la curva

E =1

2

∫gαβxαxβdλ, (1.17)

y definimos el hamiltoniano de la forma

H =1

2gαβxαxβ

=1

2pαgαβgβγx

γ

=1

2gαβpαpβ. (1.18)

donde pα = gαβxβ, para determinado parametro λ. Con este hamiltoniano podemostambien usar las ecuaciones de Euler-Lagrange y recuperar la ecuacion de la geodesica(1.15), pero como dijimos, puede reexpresarse como ecuaciones diferenciales ordinariasde primer orden, tomando la forma de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi al introducirvariables independientes adicionales, como se vera a continuacion

xα =∂H

∂pα

= gαβpβ, (1.19)

pα = − ∂H

∂xα= − 1

2gβγ

,αpβpγ. (1.20)

Ası, podemos entender las geodesicas como flujos de campos vectoriales hamilto-nianos definidos en el espacio cotangente de la variedad4.

1.2.2. Campos gravitacionales esfericamente simetricos

Una metrica esfericamente simetrica puede depender de las coordenadas temporaly radial, y tambien de los angulos (especıficamente del angulo solido dΩ2 ≡ dθ2 +sin2 θdφ2). Esto es, en su forma mas general

ds2 = −A(t, r) dt2 + B(t, r) dr2 + 2C(t, r) dt dr + D(t, r) dΩ2. (1.21)

4En geometrıa diferencial, se puede asignar a cada punto P de una variedad diferenciable un espaciovectorial llamado espacio cotangente a P. Generalmente, el espacio cotangente esta definido como elespacio dual del espacio tangente a P.


Ahora, sin perdida de generalidad, podemos cambiar r por D1/2(t, r) en (1.21)

ds2 = −E(t, r) dt2 + F (t, r) dr2 + 2G(t, r) dt dr + r2 dΩ2, (1.22)

con relaciones entre E, F y G y A, B y C. Podemos eliminar ahora el coeficiente dtdr,cambiando la coordenada t por medio de un diferencial perfecto

dt′ = H(t, r) [E(t, r) dt−G(t, r) dr] , (1.23)

la sustituimos en (1.22) y obtenemos (ignorando las primas)

ds2 = −E−1(H−1dt + G dr)2 + F dr2 + 2GE−1(H−1dt + G dr) dr + r2 dΩ2

= −H−2

Edt2 +

G2

Edr2 + r2 dΩ2

= −e2Φdt2 + e2Λdr2 + r2 dΩ2, (1.24)

donde e2Φ ≡ H−2/E y e2Λ ≡ G2/E son funciones de r y t, y se escogen de esta formapor conveniencia.

Un resultado importante de la gravitacion newtoniana es que en cualquier puntofuera de una distribucion esferica de masa, el campo gravitacional solo depende de lamasa interior a ese punto. Mas aun, incluso si la masa interior esta moviendose consimetrıa esferica, el campo afuera es constante en el tiempo (simplemente Φ).

Este resultado es tambien cierto en relatividad general, donde se conoce comoteorema de Birkhoff : el unico campo gravitacional esfericamente simetrico en el vacıo esestatico. Una definicion mas profunda de este teorema y sus consecuencias se estudiaranmas adelante.

1.3. Generalidades sobre agujeros negros

Como vimos, la relatividad general ve la masa como el factor que deforma el espacio-tiempo, y es la forma del espacio-tiempo tiempo la que determina el movimiento de lamateria a traves del espacio. Para objetos mucho menos densos que los agujeros negros,estas caracterısticas resultan en algo similar a las leyes gravitacionales de Newton: losobjetos con masa se atraen entre sı, pero es posible definir una velocidad de escape quepermita a un objeto de prueba abandonar el campo gravitacional de un objeto mayor.Para objetos tan densos como los agujeros negros, este ya no es el caso. El esfuerzorequerido para abandonar el agujero se vuelve infinito, sin una velocidad de escapedefinida.

Los agujeros negros, en general, tienen ciertos aspectos caracterısticos que definire-mos a continuacion:


1.3.1. Horizonte de eventos

Es la frontera de la region de la cual ni siquiera la luz puede escapar. El horizontede eventos no es una superficie solida, y no obstruye o disminuye la velocidad de lamateria o radiacion que este viajando hacia la region en el interior de el.

El horizonte es la caracterıstica que define un agujero negro: es negro porque nila luz ni ninguna otra radiacion puede escapar de el. Ası que el horizonte esconde loque sea que pase en su interior y solo podemos calcular lo que sucede usando la mejorteorıa de la que dispongamos, que en la actualidad es la relatividad general.

El campo gravitacional producido por un agujero negro (que se caracteriza por estehorizonte de eventos) es identico al campo exterior a cualquier otro objeto esfericamentesimetrico de la misma masa.

La popular concepcion de los agujeros negros como objetos succionadores es falsa:una partıcula puede mantener una orbita alrededor de un agujero negro indefinida-mente mientras este por fuera del horizonte. Mas adelante veremos que para agujerosnegros rotantes existen otros horizontes ademas del horizonte de eventos.

1.3.2. Singularidades

De acuerdo con la relatividad general, la masa de un agujero negro esta completa-mente comprimida en una region con volumen cero, lo cual implica que su densidad yatraccion gravitacional sean infinitas, al igual que la curvatura del espacio-tiempo quecausa. Estos valores infinitos causan que la mayorıa de ecuaciones fısicas, incluyendolas de la relatividad general, dejen de trabajar en el centro de un agujero. Ası que losfısicos denominan a la region de volumen cero e infinitamente densa en el centro de unagujero negro como singularidad.

Sin embargo, existe una incertidumbre importante con respecto a esta descrip-cion, hace falta una teorıa mas completa que no permita objetos de tamano cero. Enel presente, no se tiene una teorıa establecida que combine mecanica cuantica conrelatividad (llamada gravedad cuantica), pero se cree que evitarıa las singularidades,reemplazandolas por nuevas condiciones fısicas increıblemente extremas.

Las singularidades que surgen en las soluciones a las ecuaciones de Einstein estannormalmente escondidas tras horizontes de sucesos, por lo tanto no pueden ser ob-servadas desde el resto del universo. Las singularidades que no lo estan se llamancomunmente “singularidades desnudas”. Roger Penrose en 1969 propuso lo que seconoce como la hipotesis de censura cosmica que dice que no hay las singularidadesdesnudas en relatividad general: toda singularidad esta tras un horizonte de sucesos sinposibilidad de sondearla (la singularidad esta “desconectada causalmente” del mundoexterior). Pese a esto, existen diversas dificultades para formalizar la hipotesis, em-pezando por los problemas existentes con la nocion de singularidad.


1.3.3. Esfera fotonica

La esfera fotonica de un agujero negro no-rotante es una frontera esferica de grosorcero, tal que los fotones que se mueven tangentes a la esfera queden atrapados en unaorbita circular. Ningun foton durara mucho en una orbita ası, por dos razones. Primero,porque puede interactuar con materia de la vecindad (siendo absorbida o dispersada).Segundo, porque la orbita es dinamicamente inestable, pequenas desviaciones de unatrayectoria perfectamente circular se convertiran rapidamente en desviaciones cada vezmayores, provocando el escape o caıda del foton dentro del agujero.

Otros objetos compactos como las estrellas de neutrones pueden tener esferasfotonicas. Esto se debe a que la luz “capturada” por una esfera fotonica no atraviesael radio que formarıa el horizonte de sucesos si el objeto fuera un agujero negro de lamisma masa, por lo tanto su comportamiento no depende de la presencia del horizonte.

1.3.4. Aforismo de Wheeler

El teorema de “no-cabello” establece que la solucion mas general de un agujeronegro estacionario depende unicamente de tres parametros internos independientes: lamasa, el momento angular y la carga electrica. Toda otra informacion sobre el estadoinicial es radiada en forma de ondas electromagneticas y gravitacionales durante elcolapso. Esta teorıa toma su nombre de un comentario del famoso astrofısico JohnWheeler, quien dijo que “los agujeros negros no poseen cabello.”

En capıtulos posteriores veremos la importancia de este teorema como primeraconexion de la teorıa de agujeros negros con la teorıa termodinamica.

Capıtulo 2

Colapso gravitacional y geometrıa

La geometrıa de un agujero negro esta determinada por el estado de la estrellamoribunda justo antes del colapso, es decir, por el valor de los tres parametros antesmencionados en el teorema de “no-cabello.”

De esta manera, podemos clasificar los agujeros negros dependiendo de la solucionexterior de la estrella antes de colapsar, segun su momento angular y su carga electrica:

No Rotante RotanteNo Cargado Schwarzschild Kerr

Cargado Reissner-Nordstrom Kerr-Newman

Cuadro 2.1: Tipos de agujeros negros.

No se espera que se formen agujeros negros con carga electrica significativa, debido aque la repulsion electromagnetica que se resiste a la compresion de una masa cargadaelectricamente es 40 ordenes de magnitud mayor que la atraccion gravitacional quecomprime la masa.

Por otro lado, se espera que casi todos los agujeros negros sean rotantes, ya que lasestrellas de las que se formaron rotan. De hecho, se espera que roten muy rapido, yaque conservan el momento de la estrella inicial pero concentrado en un radio muchomas pequeno.

Empezaremos entonces con un breve recuento sobre el proceso de colapso gravita-cional al que estan sujetas las estrellas.

2.1. El destino final de las estrellas

Una estrella normal es estable mientras las reacciones nucleares en ella proveanla presion termica (o cuantica) para contrarrestar la gravedad. Pero la combustionnuclear convierte gradualmente el hidrogeno del nucleo de la estrella en helio, y para

11

CAPITULO 2. COLAPSO GRAVITACIONAL Y GEOMETRIA 12

nucleos masivos (M > 5M) este se transforma en carbono, y ası en elementos maspesados hasta alcanzar el grupo del hierro. El nucleo se contrae a medida que cada tipode combustible se acaba, ya que pierde presion temporalmente hasta que el calor queresulta de la contraccion dispara la siguiente reaccion. Debido a que la nucleosıntesisde nucleos pesados a partir de livianos aumenta la masa promedio de las partıculas,esta contribuye a la perdida de presion.

Al final, la desintegracion endotermica de los nucleos del grupo del hierro (los masfuertemente ligados) precipita el colapso del nucleo estelar. Calculos de la evolucionestelar [7] muestran que estrellas con masas iniciales entre 20 y 30M dejan nucleos demas de 1,8M. Estos colapsan rapidamente a “agujeros negros masivos” (M > 1,8M)sin mostrar efectos opticos, pero con una emision intensa de neutrinos debida a la neu-tronizacion. Para masas iniciales entre 18 y 20M la implosion del nucleo (acompanadatambien por neutronizacion) genera una onda de choque que puede arrancar parte dela estrella (supernova tipo II). Queda un nucleo de masa 1,5M < M < 1,8M mo-mentaneamente rico en neutrones que colapsa en un “agujero negro poco masivo”.Estrellas con masas iniciales entre 10 y 18M apareceran formando supernovas que de-jan remanentes de estrellas neutronicas. El destino de estrellas con un rango de masainicial ∼ 35 − 80M es incierto.

2.2. Agujero negro de Schwarzschild

En relatividad general, la solucion de Schwarzschild (o vacıo de Schwarzschild)describe el campo gravitacional exterior a una masa esferica y no rotante como unaestrella, un planeta o un agujero negro. Tambien es una buena aproximacion al campogravitacional de un cuerpo que rota lentamente como la Tierra o el Sol.

Segun la clasificacion vista, una agujero negro de Schwarzschild (o agujero estatico)no posee carga ni momento angular; su geometrıa esta dada por la metrica de Schwarz-schild, y no puede ser distinguido de otro agujero estatico excepto por su masa. Unagujero negro de Schwarzschild se caracteriza por el area que lo rodea, su horizontede eventos, situado en el radio de Schwarzschild (algunas veces referido historicamentecomo radio gravitacional). Cualquier objeto no rotante y sin carga con un radio menora su radio de Schwarzschild formarıa un agujero negro. Como veremos a continuacion,la solucion de las ecuaciones de campo de Einstein es valida para cualquier masa M ,ası que en principio podrıan existir agujeros negros de este tipo de cualquier masa sila naturaleza lo permitiese.

La metrica de Schwarzschild, en coordenadas de Schwarzschild, esta dada por

ds2 = −(

1− 2M

r

)dt2 +

(1− 2M

r

)−1

dr2 + r2dΩ2, (2.1)

que es independiente del tiempo y con simetrıa esferica (ver seccion 1.2.2), dos aspectosque determinaran el movimiento de partıculas de prueba alrededor de cuerpos con esta


geometrıa; notar por ejemplo, segun la ecuacion (1.20), que las componentes p0 y pφ

se conservan.Estas simetrıas nos conectan con el ya mencionado teorema de Birkhoff, que dice

que cualquier solucion esfericamente simetrica de las ecuaciones de campo en el vacıodebe ser estacionaria y asintoticamente plana1. Esto implica que la solucion exterioreste dada por la metrica de Schwarzschild (una demostracion del teorema se puede en-contrar en [5, 8]). La conclusion de que el campo exterior debe ser tambien estacionarioes bastante sorprendente y tiene una consecuencia interesante. Suponga una estrellaesfericamente simetrica de masa fija que sufre pulsaciones esfericas. Por consiguiente,el teorema nos dice que la geometrıa exterior debe ser la de Schwarzschild; el unicoefecto de la pulsacion es cambiar la ubicacion de la superficie estelar. Esto implica queestrellas que pulsen esfericamente no pueden emitir ondas gravitacionales.

Ahora, el radio de Schwarzschild2 esta ubicado en rs = 2M . Al reemplazar estevalor en la metrica (2.1), vemos como el termino temporal se va a cero, lo que le dael nombre de lımite estatico al radio de Schwarzschild: en su interior las partıculas nopueden estar en reposo, estaran supeditadas a movimiento perpetuo; mientras que eltermino radial genera una singularidad, en este caso coordenada, ya que al escogerun conjunto apropiado de coordenadas se puede demostrar que la metrica esta biendefinida en el radio de Schwarzschild.

2.3. Agujeros negros rotantes

Los agujeros negros rotantes se forman durante el colapso gravitacional de estrellasrotantes masivas (o de un conjunto de estrellas con momento angular promedio difer-ente de cero). Debido a que las estrellas (y demas cuerpos celestes) rotan, se esperaque los agujeros negros presentes en la naturaleza sean rotantes.

Los agujeros negros rotantes comparten muchas caracterısticas con aquellos norotantes: incapacidad de la luz o de cualquier otro objeto de escapar desde el horizontede eventos, discos de acrecimiento, etc. Pero la relatividad general predice que lasrotaciones rapidas de un cuerpo masivo producen otras distorsiones del espacio-tiempoaparte de las descritas en la seccion anterior, y son estos efectos adicionales los quehacen la gran diferencia entre agujeros rotantes y no rotantes.

Dos horizontes de eventos. Si dos agujeros negros rotantes tienen la misma masapero diferente velocidad angular, el horizonte de eventos interior del agujero mas rapidotendra un radio mayor; y su horizonte exterior, un radio menor que en el agujero maslento. En el caso mas extremo los dos horizontes tendrıan radio cero, por lo tanto laregion escondida por ellos tendrıa tamano cero y dejarıa de ser un agujero negro parapasar a ser una singularidad desnuda. Segun la hipotesis de Penrose (seccion 1.3.2),

1Debe tender a la metrica de Minkowski a distancias muy alejadas de la fuente gravitacional.2Puede deducirse simplemente a partir de la expresion para velocidad de escape, igualando esta

velocidad a la velocidad de la luz.


debe existir algun principio sin descubrir que prevenga la existencia de sigularidadesdesnudas, y que por lo tanto evite que un agujero negro rote tan rapido como paracrear una.

Dos esferas fotonicas. La relatividad general predice la existencia de dos esferasfotonicas, una para cada horizonte de eventos. Un rayo de luz viajando en direccion op-uesta al movimiento de rotacion del agujero orbitara circularmente en la esfera fotonicaexterior; mientras que un rayo de luz que viaja en la misma direccion tendra una orbitacircular en la esfera interior. Este rayo se partira entonces en dos; ambas partes caeranfinalmente al agujero negro.

Ergosfera. Un agujero negro rotante tiene un horizonte de eventos analogo al radiode Schwarzschild, pero tiene una superficie adicional exterior a este lımite llamada ergo-superficie, que puede ser caracterizada intuitivamente como la esfera espacio-temporalque es arrastrada rotacionalmente a la velocidad de la luz. En el interior de esta esfera(y por fuera del horizonte), la velocidad de arrastre es mayor a la velocidad de la luz3,esta region es la conocida como ergosfera. Ası que dentro de ella, ningun observadoro partıcula se puede mantener en una orbita no rotante, sino que esta forzado a ser“co-rotado.”

Figura 2.1: Vista esquematica de un agujero negro rotante. La esfera interior es elhorizonte de eventos, y es la frontera interior de una region llamada ergosfera (regionsombreada). La superficie esferoidal o lımite estatico, que toca al horizonte en los polos,es la frontera exterior de la ergosfera.

Los objetos y la radiacion pueden mantenerse en orbita en el interior de la ergosfera

3La relatividad general prohibe que objetos materiales se muevan con velocidades mayores a c,pero permite que regiones de espacio-tiempo se muevan mas rapido que la luz con respecto a otrasregiones.


sin caer al centro. Pero no pueden levitar (permanecer estacionarios con respecto a unobservador externo) porque aquello requirirıa que se movieran hacia atras con velocidadmayor a la velocidad de la luz relativa a sus propias regiones de espacio-tiempo, quese mueven mas rapido que la luz con respecto al observador externo. Por otro lado,cabe la posibilidad de escapar de la ergosfera. Debido a que las partıculas que caen enella son forzadas a rotar mas rapidamente, estas ganan energıa; el proceso neto implicala emision de partıculas energeticas por el agujero negro a costa de su propia energıarotacional. La posibilidad de extraer energıa de rotacion de un agujero negro rotantefue propuesta por primera vez por Roger Penrose en 1969 y es llamada entonces procesoPenrose. Si una gran masa de objetos escapan de esta manera, el agujero rotarıa maslentamente y podrıa llegar a parar en algun momento.

2.3.1. Metrica de Kerr

Un agujero negro rotante es entonces una solucion a las ecuaciones de campo deEinstein. Esta solucion, la metrica axialmente simetrica del espacio-tiempo asociado auna masa puntual con momento angular y vacıo en el exterior, fue obtenida por RoyKerr en 1963 y se conoce como metrica de Kerr.

La solucion en el vacıo de Kerr, escrita en coordenadas de Boyer-Lindquist4, esta da-da entonces por

ds2 = −(

1− 2Mr

Σ

)dt2 − 4aMr sin2 θ

Σdt dφ +

Σ

∆dr2 + Σ dθ2 +[

∆ +2Mr(r2 + a2)

Σ

]sin2 θ dφ2, (2.2)

donde Σ ≡ r2 + a2 cos2 θ y ∆ ≡ r2 − 2Mr + a2. La masa del objeto rotante es M , ya describe la rotacion del agujero negro, estando relacionada con el momento angularJ de la forma a ≡ J/M . Cuando este parametro de rotacion (llamado frecuentementemomento angular especıfico) tiene valor cero, no hay rotacion y recuperamos la solucionde Schwarzschild. El caso a = M corresponde a un cuerpo masivo rotando maximal-mente5.

Algunos detalles importantes de la metrica de Kerr bueden ser descubiertos cuandose escribe de la forma (2.2). Por ejemplo, el horizonte de eventos esta ubicado dondeel termino radial grr diverge, es decir, en la superficie donde ∆ = 0

r2 − 2Mr + a2 = 0

r± = M ±√

M2 − a2; (2.3)

4Son una generalizacion de las coordenadas usadas en la metrica de Schwarzschild, donde la coor-denada r es reemplazada por

√r2 + a2; el parametro a toma en cuenta los efectos rotacionales.

5Rotacion maximal se refiere al maximo valor de a para el cual un agujero negro puede existir, noel valor maximo de a que puede tener un objeto rotante masivo.


tomamos la raız positiva r+ como el radio del horizonte.Por otro lado, la ergosfera llega hasta la superficie donde 1 − 2Mr/Σ = 0 (donde

el termino gtt se hace cero)

r2 − 2Mr + a2 cos2 θ = 0

r0 = M +√

M2 − a2 cos2 θ, (2.4)

donde r0 define el radio del lımite estatico6.

2.3.2. Observadores estacionarios en geometrıa de Kerr

Un observador estatico en un campo gravitacional de Schwarzschild es uno quetenga r, θ y φ fijos. Estudiar este tipo de observadores es bastante util para entenderla metrica de Schwarzschild. En esta seccion, generalizaremos el concepto para agujerosnegros rotantes, introduciendo los observadores estacionarios, que estan a r y θ fijos,pero que rotan con frecuencia angular constante

Ω =dφ

dt=

uφ

u0. (2.5)

La condicion ~u · ~u = −1 nos da una ecuacion mas (los observadores siguen una lıneade mundo temporal)

− 1 = gtt

(u0

)2+ 2gtφu

0uφ + gφφ

(uφ

)2

−1 =(u0

)2 [gtt + 2Ωgtφ + Ω2gφφ

]. (2.6)

La cantidad entre corchetes debe ser negativa. Como la componente gφφ en la ecuacion(2.2) es positiva, esto es cierto solamente si Ω esta entre las raıces de la ecuacioncuadratica que se obtiene al igualar a cero la expresion entre corchetes. Por lo tanto,Ωmin < Ω < Ωmax, donde

Ωmaxmin

=−gtφ ±

(g2

tφ − gttgφφ

)1/2

gφφ

. (2.7)

Haciendo uso de esta ecuacion, se calcularan los valores lımites de Ω justo sobre elhorizonte de eventos. Los valores que necesitamos de la metrica podemos escribirlos de

6Notar que el lımite estatico es el mismo horizonte de eventos para un agujero negro de Schwarz-schild.


la siguiente forma

gtt = − Σ− 2Mr

Σ

= − ∆− a2 sin2 θ

Σ(2.8)

gφφ =

[∆ +

2Mr(r2 + a2)

Σ

]sin2 θ

=

[∆ +

2Mr(∆ + 2Mr)

Σ

]sin2 θ, (2.9)

y para el horizonte de eventos, tenemos ∆ = 0 y r = r+, por lo cual podemos simplificar(2.8) y (2.9) aun mas

gtt =a2 sin2 θ

Σ+

(2.10)

gφφ =4M2r2

+ sin2 θ

Σ+

=2Mr+(r2

+ + a2)

Σ+

sin2 θ. (2.11)

Finalmente, reemplazamos en la ecuacion (2.7)

Ω+ =2aMr+ sin2 θ ±

√4a2M2r2

+ sin4 θ −(a2 sin2 θ

) (4M2r2

+ sin2 θ)

2Mr+ (r2+ + a2) sin2 θ

; (2.12)

simplificando encontramos la expresion deseada para la frecuencia angular uniformeque adquieren las partıculas justo antes de penetrar el horizonte.

Ω+ =a

r2+ + a2

. (2.13)

Esta frecuencia es tambien una buena definicion de la frecuencia de rotacion del agujeronegro en cuestion, ya que las partıculas (u observadores) consideradas son estacionariasy su movimiento se debe unicamente al efecto de arrastre de la ergosfera, en este casojusto sobre el horizonte de eventos.

2.3.3. Metrica de Kerr-Newman

La metrica de Kerr-Newman es una solucion a las ecuaciones de campo en relativi-dad general que describe la geometrıa del espacio-tiempo en la region exterior de unagujero negro cargado, rotante y de masa M .

El resultado obtenido por Newman representa entonces la solucion estacionaria, ax-ialmente simetrica y asintoticamente plana mas general de las ecuaciones de campo enpresencia de un campo electromagnetico en cuatro dimensiones. Sin embargo, aunque


representa una generalizacion de la metrica de Kerr, no se considera muy importantepara propositos astrofısicos, ya que como se dijo anteriormente, no se espera encontraragujeros negros con una cantidad importante de carga electrica.

La expresion matematica para la metrica (en coordenadas de Boyer-Lindquist gen-eralizadas) es

ds2 = − ∆

Σ

(dt− a sin2 θd φ

)2+

sin2 θ

Σ

[(r2 + a2

)dφ− a dt

]2+

Σ

∆dr2 + Σ dθ2, (2.14)

donde Σ ≡ r2 + a2 cos2 θ y ∆ ≡ r2 − 2Mr + a2 + Q2 (Q siendo la carga del agujero).Vemos como la metrica de Kerr-Newman se reduce a la metrica de Schwarzschild enel caso Q = a = 0; a la metrica de Reissner-Nordstrom en el caso no rotante a = 0; ya la metrica de Kerr en el caso sin carga Q = 0.

Podemos reescribir (2.14) de la forma usual, obteniendo

ds2 = − 1

Σ

(∆− a2 sin2 θ

)dt2 +

2a sin2 θ

Σ

(∆− r2 − a2

)dt dφ +

Σ

∆dr2 + Σ dθ2 +

sin2 θ

Σ

[(r2 + a2)2 −∆ a2 sin2 θ

]dφ2. (2.15)

Con la metrica escrita de esta forma, podemos aplicar el mismo metodo que usamospara encontrar las ecuaciones (2.3) y (2.4). El horizonte de eventos y el lımite estaticopara una agujero de Kerr-Newman tienen los siguientes radios respectivamente

r+ = M +√

M2 −Q2 − a2 (2.16)

r0 = M +√

M2 −Q2 − a2 cos2 θ. (2.17)

Con respecto a lo obtenido con la solucion de Kerr, lo unico que cambia es el factoradicional correspondiente a la carga Q. Por lo tanto, la nueva metrica define un agujeronegro unicamente cuando a2 + Q2 ≤ M2.

Ademas, podemos hacer el mismo razonamiento que seguimos en la seccion 2.3.2para observadores estacionarios, pero usando las componentes de la metrica de Kerr-Newman en la ecuacion (2.7) y con ∆ = 0. Como era de esperarse, el resultado es elmismo (ec. (2.13)), pero con r+ definido por la expresion (2.16).

A pesar de que las metricas de Kerr y Kerr-Newman son soluciones validas para lasecuaciones de campo de Einstein, se debe tener cuidado a la hora de distinguir entre lageometrıa interior axialmente simetrica de ellas y la geometrıa interior de un agujeronegro que se forma por colapso, que probablemente no posee simetrıa axial.

Capıtulo 3

La conexion con la termodinamica

Los procesos que sigue un agujero negro estan gobernados por las leyes fısicas queconocemos: relatividad general, electrodinamica de Maxwell, hidrodinamica, mecanicacuantica, y otras leyes para la fısica de la materia y la radiacion. De estas leyes estandar,se pueden derivar ciertas “reglas” o “restricciones” que todo proceso para agujeros ne-gros debe satisfacer. Estas reglas tienen un poder, elegancia y simplicidad que rivalizany recuerdan el poder, elegancia y simplicidad de las leyes de la termodinamica.

¿Como se le puede dar a un agujero negro un tratamiento termodinamico? Mediantela termodinamica se logra una descripcion exitosa de un sistema ya que este se puededescribir con unos pocos parametros: energıa, volumen, magnetizacion, etc., por lomenos a una escala suficientemente grande. Hemos visto como un agujero negro puededescribirse completamente con solo tres parametros: M , Q y J ; no hay necesidadde describir la materia que formo al agujero con lujo de detalles. Por esta razon, latermodinamica parece ser un paradigma apropiado para los agujeros negros.

¿Cuales serıan sus variables? La masa del agujero negro M , en el papel de la energıa,es un parametro tıpico de la termodinamica. Sistemas termodinamicos cargados yrotantes son tambien conocidos, ası que se admiten Q y J . Pero para tener un conjuntocompleto de parametros termodinamicos, se necesita ademas una entropıa. Y es claroque la entropıa de un agujero negro no puede identificarse con la entropıa de la materiaque lo formo (o la que ha caıdo en el), ya que esta, junto con la materia, se vuelveinobservable en el curso del colapso.

En este capıtulo, se exponen diversos teoremas y resultados que llevaron a hacereste vınculo entre agujeros negros y termodinamica, y al planteamiento de las leyesgeneralizadas de la termodinamica.

19

CAPITULO 3. LA CONEXION CON LA TERMODINAMICA 20

3.1. Teorema de “no-cabello”

En astrofısica, el teorema de “no-cabello” formula: “En teorıa gravitacional estandar,la geometrıa exterior del agujero negro mas general esta dada por la solucion de Kerr-Newman con M , Q y J como unicos parametros.”[10]

Toda informacion adicional de la materia que formo al agujero o que cae en el,“desaparece” tras el horizonte de eventos y es por tanto permanentemente inaccesiblea observadores externos. Por ejemplo, si se “construyeran” dos agujeros negros con lamisma masa, carga electrica y momento angular, pero con un agujero hecho de materiaordinaria mientras el otro hecho de antimateria, serıan completamente indistinguibles.

¿Como conocer estos tres parametros? Hay dos posibilidades: un observador quepresencia el colapso podra medir directamente los parametros, ya que estos son hereda-dos directamente de la estrella moribunda (justo antes del colapso); si, en caso con-trario, tenemos un agujero negro y no conocemos nada de la estrella que lo formo,podemos hacer uso de simples fenomenos fısicos para medirlos. La masa es observable,por ejemplo, al aplicar la tercera ley de Kepler a satelites en un campo gravitacionalnewtoniano a una gran distancia del agujero; la carga, con la fuerza de Coulomb quesiente una carga de prueba lejana; hasta aquı, se usan efectos newtonianos, pero en elcaso del momento angular, se debe recurrir a un efecto puramente relativista conocidocomo efecto Lense-Thirring o de arrastre de marcos, que discutimos brevemente en laseccion 2.3.2 para el caso de agujeros negros rotantes1.

3.2. Calculo de areas para agujeros negros

Para las secciones posteriores sera de gran utilidad conocer el area superficial delos horizontes de eventos para los diferentes tipos de agujeros negros, ya que estadependera exclusivamente de los tres parametros M , Q y J , y proveera de la primeragran conexion con la teorıa termodinamica. Procederemos entonces a hacer los calculospertinentes para hallar el area de un agujero negro de Kerr-Newman (KN), ya que esel mas general.

Tomamos el elemento de lınea para KN, que esta dado por la ecuacion (2.15), y loevaluamos para tiempo y distancia radial constantes (r = r+, ∆ = 0), es decir sobre lasuperficie definida por el horizonte:

ds′2 = Σ+ dθ2 +(r2 + a2)2

Σ+

sin2 θ dφ2, (3.1)

1El efecto se extiende para cualquier cuerpo rotante y fue derivado por primera vez por los fısicosaustrıacos J. Lense y H. Thirring. Predijeron que la rotacion del objeto en cuestion alterarıa el espacio-tiempo de modo tal que arrastrarıa un objeto cercano en la direccion de rotacion.


donde Σ+ ≡ Σ(r+). Ahora, el area de cierta superficie en una geometrıa dada, es

A =

∫∫g1/2dθ dφ, g = det

[g′αβ

]. (3.2)

La cantidad g, usando (3.1) es simplemente

g = (r2 + a2)2 sin2 θ, (3.3)

y reemplazando esto en la integral del area obtenemos

A = (r2 + a2)2

∫ 2π

0

∫ π

0

sin2 θdθ dφ

= 4π(r2+ + a2

)= 4π

[(M +

√M2 − a2 −Q2

)2

+ a2

]. (3.4)

Hemos hallado ası el area para el agujero negro com metrica de KN, y a partir deesta podemos calcular la de los agujeros menos generales. Los resultados se presentanen la tabla 3.1.

Kerr 4π[(

M +√

M2 − a2)2

+ a2]

Reissner-Nordstrom 4π(M +

√M2 −Q2

)2

Schwarzschild 16πM2

Cuadro 3.1: Areas del horizonte de eventos para diferentes agujeros negros.

3.3. Primera Ley Generalizada

El area que acabamos de hallar (ec. (3.4)), depende unicamente de los paramet-ros del teorema de no-cabello que discutıamos con anterioridad, como una especiede ecuacion de estado para agujeros negros. Si calculamos un diferencial de la formadA = (∂A/∂M)dM + (∂A/∂Q)dQ + (∂A/∂J)dJ , esperamos poder compararlo con laprimera ley termodinamica de conservacion de energıa.

Primero, reescribimos A de la forma

A

8π= M2 − Q2

2+ M

√M2 −Q2 − J2M−2, (3.5)


y diferenciando

dA

8π=

[2M +

(M2 −Q2 − a2

)1/2+

M2 + J2M−2

(M2 −Q2 − a2)1/2

]dM −[

Q +MQ

(M2 −Q2 − a2)1/2

]dQ− a

(M2 −Q2 − a2)1/2dJ

= 2M2 − Q2

2+ M (M2 −Q2 − a2)

1/2

(M2 −Q2 − a2)1/2dM −Q

M + (M2 −Q2 − a2)1/2

(M2 −Q2 − a2)1/2dQ−

a

(M2 −Q2 − a2)1/2dJ ; (3.6)

recordar A de la ecuacion (3.4), y (M2 −Q2 − a2)1/2

= r+−M , obteniendo finalmente

dA

8π=

A

4π (r+ −M)dM − Qr+

r+ −MdQ− a

r+ −MdJ. (3.7)

Por ultimo, despejamos dM , que hara el papel de la energıa termodinamica del sistema

dM =r+ −M

2AdA +

4πQr+

AdQ +

4πa

AdJ

=

(r+ −M

2A

)dA +

(Qr+

r2+ + a2

)dQ +

(a

r2+ + a2

)dJ. (3.8)

A partir de esta ecuacion, definimos las siguientes cantidades

Θ =r+ −M

2A(3.9)

Φ =Qr+

r2+ + a2

(3.10)

Ω =a

r2+ + a2

, (3.11)

donde Φ es el potencial electrico en el horizonte del agujero, mientras que Ω es lafrecuencia de rotacion del agujero negro, que ya calculamos en la seccion 2.3.2 (noteseque es el mismo resultado obtenido en (2.13)). Esta es entonces la forma analoga de laprimera ley de la termodinamica, con Θ sin una interpretacion fısica aun,

dM = Θ dA + Φ dQ + Ω dJ. (3.12)

Si comparamos esto con dE = T dS+ΦdQ+ΩdJ , y si queremos que los agujeros negrospuedan describirse termodinamicamente (o que por lo menos tengan una primera ley),tendrıamos que identificar Θ dA ↔ TANdSAN , la temperatura y entropıa del agujero


negro respectivamente. Por ahora asumiremos la entropıa del agujero como una funcionque crece monotonamente con su area [9, 12]

S = f(A) (3.13)

T dS = Tf ′(A)dA

T =Θ

f ′(A), (3.14)

con f ′(A) = df/dA. El por que de la escogencia de f(A) se vera en la siguiente seccion.

3.4. Teorema del area y entropıa

Un agujero negro exhibe una notable tendencia a incrementar su area cada vez quesufre una transformacion. Esto fue notado por primera vez por Floyd y Penrose, enun ejemplo de la extraccion de energıa de un agujero rotante de Kerr por medio delproceso Penrose (sec. 2.3.1). Se sugirio entonces que el incremento del area era unacaracterıstica general de las transformaciones de agujeros negros.

Por otro lado, Hawking [8] expuso y probo lo que se conoce como el teorema delarea (o teorema de Hawking): cuando materia o radiacion caen en un agujero negro,o varios agujeros colisionan y se fusionan, o colisionan y se dispersan, o en cualquierotro proceso que concierna agujeros negros, la suma de las areas superficiales de todoslos agujeros negros en cuestion nunca puede decrecer. A continuacion desarrollaremosuna demostracion a este teorema desde un acercamiento muy diferente al usado porHawking, pero con los mismos resultados.

3.4.1. Transformaciones de agujeros negros y masa irreducible

El razonamiento que usaremos fue desarrollado por Christodoulou [13, 14] de for-ma independiente y simultaneamente al planteamiento de Hawking. Consideremos unagujero negro de KN interactuando con la materia y campos adyacentes. Su area super-ficial esta dada por (3.4). La interaccion con la materia y los campos pueden cambiarM , Q y a de diferentes maneras; M puede inclusive decrecer (extraccion de energıa delagujero vıa el proceso Penrose). Pero sin importar los cambios, nunca podran reducirel area superficial A. Mas aun, si alguno de estos cambios incrementa el area, ningunproceso futuro podra reducirla a su valor inicial.

De esta forma, podemos clasificar los procesos de agujeros negros en dos grupos:

1. Las transformaciones reversibles cambian M , Q o a (o combinaciones), dejandoel area superficial fija. Pueden invertirse, regresando al agujero negro a su estadooriginal.

2. Las transformaciones irreversibles cambian M , Q o a (o combinaciones), e in-crementan el area superficial en el proceso. Tal transformacion nunca podra ser


invertida. Un agujero negro no podra regresar a su estado inicial despues de unatransformacion irreversible.

Una extraccion reversible de carga y momento angular de un agujero negro (dismin-ucion de Q y a manteniendo A fija) reduce necesariamente la masa del agujero negro.En el momento en el que toda la carga y todo el momento angular sean removidos, lamasa habra caıdo a un valor irreducible final

Mir =

(A

16π

)1/2

, (3.15)

que es la masa de un agujero negro de Schwarzschild con area superficial A. La masa-energıa inicial del agujero negro en terminos de la masa irreducible se calcula a partirde las expresiones (3.4) y (3.15)

A

4π= 2M2 −Q2 + 2M

(M2 −Q2 − a2

)1/2

(4M2

ir + Q2 − 2M2)2

= 4M2

(M2 −Q2 − J2

M2

)(4M2

ir + Q2)2

+ 4J2 = 16M2M2ir,

obteniendo finalmente

M2 =

(Mir +

Q2

4Mir

)2

+J2

4Mir

. (3.16)

Por lo tanto, se puede considerar que la masa-energıa total de un agujero negrocontiene un termino de masa irreducible, otro de masa-energıa electromagnetica y otrode energıa rotacional. Sin embargo, estas contribuciones no se suman linealmente entresı; por el contrario, se combinan de una manera analoga a la manera como se combinanla masa en reposo y el momento lineal para dar energıa (E2 = m2 + p2).

Como vimos, la masa irreducible para un agujero negro es proporcional a la raızcuadrada de su area superficial, por consiguiente podemos replantear el teorema delarea de la forma: en procesos de agujeros negros, la suma de los cuadrados de las masasirreducibles de todos los agujeros negros en cuestion nunca puede decrecer.

3.4.2. La relacion entre area y entropıa

De la seccion anterior, es claro como los cambios que sufre un agujero negro gen-eralmente se ven evidenciados en un aumento del area del horizonte de eventos. Estefenomeno nos hace recordar la segunda ley de la termodinamica, que establece quelos cambios sobre un sistema termodinamico cerrado toman lugar en direccion de laentropıa creciente. Veremos que este paralelismo es mas profundo aun. Procederemos


a demostrar que es posible dar una definicion precisa para la entropıa de un agujeronegro.

Resulta ser que el area de un agujero negro esta tan ıntimamente ligada a ladegradacion de la energıa como lo esta la entropıa. En termodinamica, decir que seha incrementado la entropıa implica que cierta cantidad de energıa se ha degradado(no se puede seguir transformando en trabajo). Ahora, como enfatiza Christodoulou,la masa irreducible representa energıa que no puede ser extraıda por medio de proce-sos Penrose. En este sentido es energıa inerte que no puede transformarse en trabajo.Ası, un incremento en el area superficial corresponderıa a la degradacion (en el sentidotermodinamico) de cierta cantidad de energıa del agujero negro.

La masa irreducible de un agujero negro de Schwarzschild es simplemente igual a sumasa total. Por tanto, no se puede extraer energıa por medio de procesos Penrose, sedice entonces que un agujero de Schwarzschild esta “muerto.” Sin embargo, la union dedos (o mas) agujeros negros de Schwarzschild puede radiar energıa en forma de ondasgravitacionales. La unica restriccion del proceso es que el area total no decrezca comoresultado de la fusion. A pesar de esto, la suma de las masas irreversibles de cadaagujero negro decrece; esto es, para un sistema de varios agujeros negros la energıadegradada esta dada mejor por

Ed =(∑

M2ir

)1/2

(3.17)

que por∑

Mir. De acuerdo a esto, la energıa degradada de un sistema de agujerosnegros es menor que la suma de las energıas degradadas de cada agujero consideradopor separado. Entonces, el combinar agujeros que ya estan “‘muertos” se puede aunobtener energıa. Analogamente, al dejar interactuar dos sistemas termodinamicos (sep-aradamente en equilibrio), se puede obtener trabajo, mientras que cada sistema porseparado no lo conseguirıa.

Con esta relacion bien establecida, podemos retomar nuestro estudio de la fun-cion de entropıa dada por (3.13). Aunque nuestra motivacion para la introduccion delconcepto de entropıa para agujeros negros usaba ciertas propiedades de agujeros esta-cionarios, podemos tomar (3.13) como valida para cualquier tipo de agujero, inclusouno que evoluciona dinamicamente, ya que el area superficial esta bien definida paratodo agujero negro. Las siguientes observaciones soportan esta escogencia.

El incremento de la entropıa de un sistema termodinamico en evolucion se debe ala perdida gradual de informacion de las condiciones iniciales de la estrella colapsante.Ahora, cuando un agujero negro se acerca al equilibrio, los efectos de las condicionesiniciales se pierden (el agujero pierde su cabello); solo la masa, la carga y el momentoangular determinaran el agujero cuando alcance el equilibrio. Debemos esperar entoncesque la perdida de informacion sobre las peculiaridades iniciales del agujero se reflejeen un aumento gradual de S, que es lo que predice precisamente (3.13); por el teoremade Hawking, S incrementa monotonamente a medida que el agujero negro evoluciona.


Por otro lado, sabemos que la posibilidad de provocar el decrecimiento de la entropıade un sistema termodinamico esta ligada con la posibilidad de obtener informacionsobre su configuracion interna. En oposicion, un observador externo no puede adquiririnformacion acerca del interior de un agujero negro; la naturaleza del horizonte deeventos previene esto2. Por consiguiente, no se espera que agente externo alguno causeun decremento en la entropıa del agujero. La ecuacion (3.13) esta de acuerdo con estaexpectativa; por el teorema de Hawking, S nunca disminuye.

Finalmente, ¿cual funcion hemos de escoger? Una escogencia posible para f , f(A) ∝A1/2, no es viable por varias razones. Consideremos dos agujeros negros muy alejadosentre sı inicialmente. La entropıa de cada agujero vendrıa dada por S ∝ A1/2 ∝ Mir enterminos de la masa irreducible. La entropıa total es entonces la suma de las entropıasindividuales Si ∝

∑Mir,i. Ahora, los agujeros se acercan y se fusionan, formando

un nuevo agujero negro que alcanza el equilibrio. Durante el proceso, no se conoceinformacion del interior del agujero, por el contrario, mucha informacion se pierdemientras el agujero “pierde cabello.” Ası que esperamos que la entropıa final Sf ∝ Mir,t

exceda la inicial (Sf > Si); comparando, obtenemos que Mir,t >∑

Mir,i. Si suponemosque los tres agujeros son agujeros negros de Schwarzschild (M = Mir), nos enfrentamosa la prediccion de que la masa final del agujero es mayor a la suma de las iniciales.Esto nos conlleva a una contradiccion, ya que como vimos mas arriba la masa finaldecrecerıa por la emision de ondas gravitacionales. Por tanto, esta escogencia no esvalida.

La siguiente opcion sencilla para f es

f(A) = γA, (3.18)

donde γ es una constante. Siguiendo el mismo razonamiento que usamos con la opcionanterior nos lleva a la conclusion de que el area final del agujero excede el area totalinicial (Af >

∑Ai). Pero esto es cierto por el teorema del area, ası que no recuperamos

la contradiccion.Comparando (3.13) y (3.18), vemos que la constante γ deberıa tener unidades de

(longitud)−2, pero no tenemos una constante con tales unidades en relatividad generalclasica. Debemos acudir entonces a la teorıa cuantica, aunque por ahora la conexionsea bastante nebulosa. Es ası como entra en juego la unica constante con unidades ası,

presente en la mecanica cuantica: la longitud de Planck `P ≡ h1/2 = (Gh/c3)1/2

; segunWheeler esta constante debe jugar un papel crucial en nuestra definicion de entropıa.Reemplazando en (3.18) tenemos nuestra primera expresion para la entropıa de unagujero negro

S = ηh−1A, (3.19)

donde η es una constante adimensional, que se espera sea del orden de la unidad. Estasimple expresion propuesta por Bekenstein [11, 12], nos da un primer acercamiento

2Recordar la hipotesis de censura cosmica discutida en la sec. 1.3.2.


cualitativo al tratamiento termodinamico de agujeros negros. La aparicion de la lon-gitud de Planck en (3.19) no es sorpresiva (la constante h aparece en la entropıa dediversos sistemas termodinamicos que se tratan clasicamente). De hecho, esto reflejaque la entropıa es, en cierto sentido, un conteo de estados del sistema, donde estosestados son siempre de naturaleza cuantica. Sin embargo, hasta ahora el tratamien-to termodinamico se ha hecho con base en analogıas, sin entenderse aun la realidadcuantica que subyace a un agujero negro “clasico.”

Parte II

Radiacion de Hawking: entropıa einformacion

28

Capıtulo 4

El descubrimiento de Hawking

Como se analizo en el capıtulo anterior, podemos caracterizar un agujero negro consu entropıa termodinamica. Mas aun, podemos encontrar la temperatura asociada adicha entropıa combinando las ecuaciones (3.14) y (3.19), para el agujero de KN quevenıamos estudiando

TAN =Θ

f ′(A)

=h

ηΘ, (4.1)

y reemplazando Θ de la ecuacion (3.9) obtenemos

TAN =

(h

2ηA

) √M2 −Q2 − a2, (4.2)

que para un agujero de Schwarzschild se reduce a la simple expresion

Ts =h

32πηM. (4.3)

Un agujero masivo tendrıa entonces una temperatura pequena comparado con unomenos masivo.

La entropıa de un agujero negro compensarıa entonces la entropıa perdida de la ma-teria que cae en el. Por tanto, Bekenstein sugirio [15] una Segunda Ley Generalizada:la suma de la entropıa de agujeros negros mas la entropıa ordinaria por fuera de ellosnunca puede decrecer. Sin embargo, la presencia de entropıa implica, como ya vimos,una temperatura para agujeros negros, y sabemos que un cuerpo con temperatura de-terminada debe emitir radiacion a cierta rata. Se requiere de esta radiacion para evitaruna violacion de la segunda ley. Bekenstein trato de desarrollar una termodinamicapara interacciones entre agujeros negros en relatividad general clasica, pero en estateorıa no hay un estado de equilibrio para agujeros negros: si un agujero esta inmerso

29

CAPITULO 4. EL DESCUBRIMIENTO DE HAWKING 30

en un bano de radiacion de cuerpo negro, este la absorbe continuamente sin llegar alequilibrio (notar que cuando la temperatura de la radiacion es menor a la del agujero,la segunda ley es violada).

Fue Hawking [16], en 1975, quien demostro teoricamente que un agujero negroformado por colapso gravitacional radıa con un espectro termico definido. Usandoteorıa de campos cuanticos, con un campo gravitacional clasico de fondo, se deduceque si un campo cuantico esta en el estado de vacıo en presencia de un objeto quecomienza a colapsar en un agujero negro, entonces a medida que el radio del objetose aproxima al radio del horizonte de eventos, el estado del campo en el exterior delagujero se acerca a un estado tıpico de radiacion distribuida termicamente con unatemperatura de la forma (4.1) con η = 1/4. Esta temperatura es la misma sin importarel campo usado, ya sea escalar, electromagnetico, neutrino, etc.

Ahora podemos escribir (3.19) y (4.1) de forma completa

SAN =A

4h

=4πM2

hh1 (Q/M, a/M)

≈ 1× 1077

(M

M

)2

h1, (4.4)

TAN =2h

A

√M2 −Q2 − a2

=h

8πMh2 (Q/M, a/M)

≈ 5× 10−75

(M

M

)h2 m, (4.5)

donde h1(Q/M, a/M) y h2(Q/M, a/M) son dos funciones adimensionales del orden dela unidad (iguales a uno para Q = a = 0). Es consistente con la segunda ley generaliza-da que un agujero negro de una masa solar tenga una entropıa mayor a la entropıa deuna estrella de la misma masa que pudo ser su predecesora. Pero, ¿por que la superaen tantos ordenes de magnitud? El principio de Boltzmann que dice que la entropıade un sistema es el logaritmo del numero de configuraciones microscopicas compatiblecon las propiedades macroscopicas del sistema, junto con el teorema de “no-cabello”,sugiere que la entropıa de un agujero negro es grande porque su aspecto no puededarnos precisamente el tipo de sistema que le dio origen. Esta falta de “informacionde composicion” adicional aumenta el numero de configuraciones microscopicas accesi-bles, aumentando ası la entropıa. Un agujero negro es sinonimo de una gran cantidadde informacion perdida.


4.1. Segunda Ley Generalizada

Supongamos un cuerpo con cierta entropıa ordinaria que cae a un agujero negro(ver figura 4.1). La entropıa del universo visible disminuye entonces en el proceso.Aquı parecerıa que la segunda ley de la termodinamica es trascendida, ya que ningunobservador externo puede verificar directamente que la entropıa total del universo nodecrece en el proceso. Sin embargo, sabemos que el area del agujero negro “compensa”la desaparicion del cuerpo incrementandose irreversiblemente. Entonces no hay necesi-dad de cambiar el sentido de la ley, sino que la replanteamos en forma generalizada:la entropıa ordinaria en el exterior de un agujero negro mas la entropıa de este nuncadecrece. Ası podemos considerar la entropıa de agujeros negros como una contribuciongenuina al contenido entropico del universo.

Figura 4.1: Ilustrando la segunda ley generalizada. Caja de gas altamente entropico(entropıa S) que cae en un agujero negro (entropıa SAN); la entropıa del agujero negrodebe incrementar por lo menos en una cantidad igual a la entropıa de la caja que caeen el.

El siguiente experimento mental nos ayudara a entender esta nueva ley. Consider-emos un cuerpo con entropıa S que cae en un agujero negro. Como sabemos, S es laincertidumbre en nuestro conocimiento de la configuracion interna del cuerpo. Mientrasel cuerpo se encuentra fuera del agujero podemos efectuar mediciones para desaparecerdicha incertidumbre y adquirir una cantidad maxima de informacion S; pero una vezatraviesa el horizonte de sucesos, esta informacion es completamente inaccesible. Portanto esperamos que la entropıa del agujero negro (que mide la cantidad de informa-cion inaccesible) aumente en S. De hecho, el incremento en SAN serıa incluso mayor,debido a la perdida de toda la informacion disponible en el cuerpo antes de caer en elagujero. Entonces tenemos

∆SAN > S ⇒ ∆SAN − S > 0.


Denotando ∆SO como el cambio en entropıa ordinaria en el exterior del agujero ynotando que ∆SO = −S, obtenemos finalmente

∆ (SAN + SO) > 0, (4.6)

que es simplemente la segunda ley generalizada propuesta mas arriba: la entropıageneralizada SAN + So nunca decrece.

¿A que entropıa se refiere exactamente el enunciado de la segunda ley generalizadacomo “entropıa ordinaria”? Despues de todo, la entropıa que asociamos con cierto tipode materia depende de la resolucion de nuestra descripcion. Si esta es mas bien pobre eignora grados de libertad atomicos, entonces nos referimos a la entropıa termodinamicaquımica. Pero si incluimos grados de libertad atomicos y subatomicos, entonces podranexistir nuevas contribuciones a la entropıa a temperaturas suficientemente altas. Esfacil de percibir entonces que la “entropıa ordinaria” debe tomarse como la entropıacalculada usando mecanica estadıstica aplicada a todos los grados de libertad de lamateria y la radiacion, sin importar que tan reconditos estos sean. La razon es que laley es una ley fundamentalmente gravitacional, y la relatividad, mediante el principiode equivalencia, toma en cuenta la energıa que reside en todos los grados de libertad.

4.2. Emision de partıculas por agujeros negros

¿Como es posible que un agujero negro emita partıculas cuando sabemos que nadapuede escapar del interior del horizonte de eventos? Este fenomeno se deduce direc-tamente de la teorıa cuantica: las partıculas emitidas no provienen del interior delagujero, sino del espacio “vacıo” justo afuera del horizonte de eventos. Esto se puedeentender de la siguiente manera: lo que pensamos como espacio vacıo no puede sercompletamente vacıo, ya que esto implicarıa que todos los campos, como el gravita-cional o el electromagnetico, tendrıan que ser exactamente cero. Sin embargo, el valorde un campo y su rata de cambio con el tiempo en un punto son como la posicion y lavelocidad de una partıcula: el principio de incertidumbre implica que el conocimientopreciso de una de estas cantidades generara un conocimiento pobre de la otra. Ası queen el espacio vacıo un campo no puede fijarse en cero, porque tendrıa tanto un valorpreciso (cero) como una razon de cambio precisa (cero tambien). Por consiguiente,debe exisir cierta cantidad de incertidumbre, o fluctuaciones del vacıo, en el valor delcampo. Podemos pensar en estas fluctuaciones como pares partıcula-antipartıcula queaparecen en algun momento, se separan, vuelven a unirse y se aniquilan entre sı. Laspartıculas (y antipartıculas) en cuestion son virtuales, es decir, no pueden ser obser-vadas directamente con un detector de partıculas. Sin embargo, sus efectos indirectos,como pequenos cambios en la energıa de las orbitas del electron en el atomo, puedenmedirse y concuerdan con las predicciones teoricas bajo un buen nivel de precision.

Por simple conservacion de energıa, esta no puede crearse de la nada, ası que enun par partıcula-antipartıcula, uno tendra energıa positiva, y el otro, energıa negati-


va. El que tenga energıa negativa tendra una vida corta, ya que las partıculas realestienen energıa positiva en situaciones normales. Ası que debe buscar a su companero yaniquilarse entre sı. Sin embargo, una partıcula real en la vecindad de un cuerpo masi-vo tiene menos energıa que la que tendrıa si estuviese lejos, ya que se requiere energıapara llevarla lejos en contra de la atraccion gravitacional del cuerpo. Normalmente, laenergıa de la partıcula sigue siendo positiva, pero el campo gravitacional producidopor un agujero negro es tan fuerte que incluso una partıcula real puede tener energıanegativa allı.

Figura 4.2: Diagrama esquematico de fluctuaciones del vacıo en presencia de un agu-jero negro. Si el par se crea lo suficientemente cerca del horizonte de eventos, unacomponente caera en el agujero, mientras que la otra tiene la posibilidad de escapar:el agujero emite una partıcula (o antipartıcula).

Es por tanto posible que en presencia de un agujero negro, la partıcula virtual conenergıa negativa caiga en el agujero y se vuelva una partıcula o antipartıcula real. Eneste caso ya no necesita aniquilarse con su companera, que puede tambien caer en elagujero; o, teniendo energıa positiva, podrıa escapar la vecindad del agujero como unapartıcula o antipartıcula real (ver figura 4.2). Para un observador a cierta distancia,parecera que la partıcula fue emitida por el agujero mismo. Entre mas pequeno elagujero negro, es menor la distancia que la partıcula con energıa negativa debe atrav-esar antes de convertirse en real, y por consiguiente mayor la tasa de emision y latemperatura aparente del agujero negro.

La energıa positiva de la radiacion saliente sera balanceada por un flujo de partıculascon energıa negativa hacia el interior del agujero. Debido a la proporcionalidad masa-energıa, un flujo de energıa negativa hacia el agujero reducirıa su masa. Como el agujeropierde masa, el area del horizonte de eventos decrece, pero esta disminucion en laentropıa del agujero negro es mas que compensada por la entropıa de la radiacionemitida, de modo que la segunda ley generalizada nunca es violada1. Este efecto de

1Notar el poder de la segunda ley generalizada: aunque los efectos cuanticos violan el teorema


perdida de masa se conoce como “evaporacion de agujeros negros.”

4.3. Un modelo sencillo para radiacion de Hawking

El siguiente metodo [17] trata la evaporacion de agujeros negros usando el hecho deque las fluctuaciones mecanico-cuanticas permiten el paso de energıa a traves de unabarrera impenetrable clasicamente, como explicabamos mas arriba.

Consideremos un agujero negro de Schwarzschild con extension espacial determi-nada por el radio de Schwarzschild rs = 2M . Podemos decir que la incertidumbre enla medicion de la posicion de la materia en el interior del agujero es del orden de 2rs.

Del principio de incertidumbre tenemos

∆px∆py∆pz∆x∆y∆z ≈(

h

2

)3

. (4.7)

Sabemos que la energıa para partıculas relativistas es E = p con p2 = p2x+p2

y+p2z. Como

el agujero negro esta en reposo, ∆px, ∆py y ∆pz no solo representan fluctuaciones demomento, sino tambien son las componentes del momento fluctuante ∆p, por lo cualpodemos escribir

∆px∆py∆pz ≈4π

3(∆p)3 =

4π

3(∆E)3 . (4.8)

Por otro lado, ∆x∆y∆z es la incertidumbre espacial en tres dimensiones, y correspondeal volumen del agujero negro

∆x∆y∆z =4π

3r3s =

4π

3(2M)3 . (4.9)

Finalmente sustituimos estos resultados en (4.7)

∆E =h

M

(9

1024π2

)1/3

(4.10)

∆E ≈ 2× 10−74

(M

M

)m (4.11)

Podemos interpretar este resultado de la siguiente manera: clasicamente, la energıaque esta en el interior de un agujero negro no puede dejarlo e ir hasta infinito, ya quela velocidad de escape mas alla del horizonte de eventos excede la velocidad de la luz.Sin embargo, el principio de incertidumbre nos permite “conseguir” cierta cantidad deenergıa ∆E por un tiempo ∆t. Si este tiempo es suficiente para que la energıa viaje una

clasico del area, la cantidad S + A/4h nunca decrecera, ya que dependiendo del proceso en cuestionun termino compensara al otro o viceversa, obteniendo siempre una cantidad mayor a cero.


distancia igual al radio de Schwarzschild, una cantidad de energıa ∆E puede aparecerjusto por fuera del horizonte. Esto es simplemente el efecto tunel, con una barrerade potencial gravitacional que se extiende hasta el infinito. La energıa no tiene quetunelar hasta infinito (lo que tomarıa un tiempo infinito, dejando como unica opcionla no emision energetica), sino simplemente hasta justo en el exterior de la superficiedefinida por rs.

Hawking introdujo la radiacion de cuerpo negro efectiva en terminos de la con-stante de Stefan-Boltzmann y la cuarta potencia de la temperatura del cuerpo negro.A medida que un agujero negro radıa, su masa se comporta como una funcion decre-ciente. Podemos calcular la potencia radiada por el agujero por dos caminos. La ley deStefan-Boltzmann nos proporciona uno de ellos [18]: P = (4πr2

s)σT 4s , usando rs = 2M

y la ecuacion (4.5) con h2 = 1

P =h

15,360πM2

≈ 4× 10−80

(M

M

)2

. (4.12)

Para entender mejor el significado de este resultado, podemos ver esta potencia comola razon de cambio de la masa del agujero negro con respecto al tiempo P ≈ −dM/dtcon correcciones al orden de magnitud que vienen del efecto del corrimiento al rojogravitacional, factores geometricos relativistas, y la estadıstica de las partıculas (Boseo Fermi). En CGS

dM

dt≈ −10−42

(M

M

)2

g s−1; (4.13)

obviamente a medida que el agujero pierde masa, este radıa mas rapidamente y laperdida de masa se acelera. Todavıa no se sabe que pasa cuando la masa del agujerodesciende a la escala de Planck, en cuyo momento se estarıa tratando con un fenomenopuramente de gravedad cuantica. La evaporacion completa de un agujero negro, o porlo menos a un objeto en la escala de Planck, debe tomar alrededor de 1072 (M/M)3 s.Un agujero negro ligeramente mas pequeno que un proton tendrıa entonces un tiempode vida menor que la edad del universo. La evaporacion es lenta, pero no es un fenomenocompletamente hipotetico.

Por otro lado, podemos estimar el mismo resultado para la potencia a partir de laecuacion (4.10) y el principio de incertidumbre ∆E∆t ≈ h/2

P =∆E

∆t≈ 2 (∆E)2

h

=2h

M2

(9

1024π2

)2/3

≈ 2× 10−78

(M

M

)2

. (4.14)


Comparando este resultado con el obtenido por Page [18] y recuperado por nosotrosen (4.12), PPage = 2 × 10−2Pnuestro. Tenemos entonces una sobreestimacion, en partepor no tomar en cuenta el efecto del corrimiento al rojo gravitacional. Una conse-cuencia importante de todo este desarrollo es que la potencia radiada es una funciondecreciente de la masa de un agujero negro. Esto puede entenderse cualitativamentede la siguiente forma: el radio de Schwarzschild de un agujero negro es proporcionala su masa. Las fluctuaciones de momento, y por ende de energıa, son inversamenteproporcionales a la extension espacial del agujero, los agujeros mas pesados con may-or extension espacial fluctuan con menos “violencia”, ası que menos energıa puedeescapar. Alternativamente, entre mayor el agujero negro, mayor es la duracion de la“deuda” de energıa cuantica, y por tanto menor su valor permitido. Incidentalmente,esto es tambien un indicador de por que el estimado es tan alto: la energıa deberıatunelar a una distancia bien por fuera del radio de Schwarzschild, ya que la velocidadde escape sobre el horizonte es la velocidad de la luz c.

4.4. La paradoja de informacion

Como hemos mencionado, no solo las partıculas y todo lo que cae en un agujeronegro es lo que no puede escapar, sino que tambien la informacion que se transportaesta perdida para siempre, por lo menos en nuestra region del universo, y todo lo queel agujero negro recordara sera la masa total y el estado rotacional. Esta perdida deinformacion no era un problema en la teorıa clasica. Un agujero negro clasico durarıapor siempre, ası que podıa pensarse que la informacion se preservaba en su interior,simplemente que no era accesible.

Sin embargo, la situacion cambio cuando Hawking descubrio que efectos cuanticoscausarıan que el agujero negro radiara a una rata continua. Como los agujeros negrosno tienen cabello, la radiacion sera independiente de lo que caiga en el agujero: todala emision sera de la misma naturaleza. Por lo tanto, no hay una correspondencia unoa uno entre el estado inicial y el estado final en el exterior del agujero, el principiode unitariedad de la teorıa cuantica parece ser violado. Si por ejemplo imaginamos unagujero negro formado por materia en un estado puro (p. ej. una esfera de superfluidoa T = 0K), este principio requerirıa que el sistema se mantuviera en un estado deeste tipo. Pero la radiacion producida es termica, segun el calculo original de Hawking[16], por su espectro a la Planck y la falta de correlaciones entre diferentes modos deradiacion. ¡Parecerıa entonces que un estado puro puede convertirse en uno mixto atraves de la influencia catalizadora de un agujero negro!

Otro punto importante es que la emision de partıculas y radiacion causara que elagujero pierda masa, y se vuelva mas pequeno. En algun momento, esta evaporacionllevara al agujero a una masa mınima, desapareciendo finalmente. ¿Que pasa entoncescon toda la informacion de la materia y radiacion que cayo en algun momento en elagujero? La informacion no puede propagarse por sı misma, necesita energıa que la


transporte, por tanto no podra escapar, ya que no hay energıa suficiente en lo quequeda del agujero negro para tal fin.

Lo que esto significa finalmente es que la informacion quedara perdida en nuestraregion del universo al formarse agujeros negros y luego evaporarse. Esta perdida deinformacion implicara que ahora podemos predecir aun menos de lo que pensabamos,con base en la teorıa cuantica. En el proceso de emision que explicabamos mas arriba,solo podrıamos conocer la informacion de la funcion de onda de la partıcula emitida;no hay manera, ni siquiera en principio, de medir la funcion de onda de la partıcula quecae en el agujero, podrıa estar en cualquier estado. Es decir que aunque conozcamosla funcion de onda despues de la evaporacion total de un agujero negro, no podrıamosusar la ecuacion de Schrodinger para calcular la funcion de onda antes de la formaciondel agujero: nuevamente violacion de unitariedad. Este estado inicial dependera de laotra partıcula, con la cual perdimos todo contacto. Estamos acostumbrados a pensarque podemos conocer el pasado con precision, pero si realmente se pierde la informacionen los agujeros negros, cualquier cosa pudo haber ocurrido.

Diversas salidas a esta paradoja se han propuesto desde que fue notada por Hawk-ing. Podemos categorizarlas usando una analogıa entre nuestro problema y el siguienteexperimetno mental atribuido a S. Coleman.

Sea un pedazo de carbon frıo que es iluminado por un laser. El sistema esta en unestado puro: el carbon esta en su estado base, y el haz de luz, en un estado coherente(analogo a la esfera de superfluido). La experiencia nos dice que el carbon comenzara acalentarse y a radiar (formacion y radiacion del agujero negro). El haz es entoncesinterrumpido (no se arroja materia al agujero despues de su formacion). El carbonse enfrıa mientras radıa termicamente (radiacion de Hawking). El carbon se enfrıatotalmente y regresa a su estado base (evaporacion del agujero negro), que es, porsupuesto, puro. En ambos casos quedamos con estados mixtos: la radiacion termica estan mixta como se quiera. No hay duda, sin embargo, de que el sistema carbon-laserrespeta el principio de unitariedad. La paradoja se resuelve en este caso al notar lassutiles correlaciones entre la radiacion inicial y la mas tardıa que preservan la pureza delestado una vez se rompe la correlacion con el carbon al acercarse este a su estado base.Cualquier inspeccion burda de la radiacion, que sera necesariamente local, revelarıa unestado termico mixto.

Muchos han argumentado por analogıa que correlaciones sutiles en la misma ra-diacion de Hawking preservan su categorıa de estado puro despues de la desapariciondel agujero. El hecho de que los calculos originales de Hawking y otros similares norevelen dichas correlaciones, se debe a su caracter semiclasico que ignora los grados delibertad cuanticos de la gravedad. Recientemente, Hawking mismo [19] parece haberresuelto el problema usando AdS/CFT: una dualidad conjetural entre teorıa de cuer-das en un espacio anti de Sitter y teorıa de campo conforme (conformal field theory eningles) sobre la frontera del espacio anti de Sitter en el infinito. Debido a que la CFTes unitaria, el argumento es que la teorıa de cuerdas debe preservar la informacion.


Cualquier informacion que caiga en un agujero negro en un espacio anti de Sitter debesalir de nuevo. La publicacion muestra como se da este proceso.

Un acercamiento diferente para resolver la paradoja, serıa suponer un remanente dela escala de Planck despues de la evaporacion, de modo que el agujero escape su destinode evaporacion total por medio de modificaciones a la ecuacion (4.13) provenientes deuna teorıa de gravedad cuantica. Esta posibilidad envuelve la creencia en objetos dedimension 10−33 cm cuyo contenido de informacion corresponde por lo menos a unaentropıa de 1040, caracterıstica de un agujero negro lo suficientemente liviano paraevaporarse hasta una escala de Planck en la edad de nuestro universo. Pero esto esproblematico ya que, como veremos, tal cantidad de informacion en un espacio tanreducido entra en conflicto con ideas recientes.

Un tercer camino para salir de la paradoja de informacion es la suposicion de que unagujero negro siempre da origen a otro universo que puede ser alcanzado, en principio, atraves del agujero. De esta manera, la idea de evolucion unitaria procede como siempreen el nuevo universo, ası que no hay perdida de informacion desde un punto de vistauniversal. Un observador local en el universo donde se formo el agujero, sin embargo,mantendra la impresion de que la informacion se pierde tras el horizonte de sucesos.

En resumen, pueden existir modos de resolver la paradoja. Pero la preservacion de lainformacion se manifiesta solamente a un nivel ideal de meticulosidad. Para propositospracticos, la informacion se pierde en presencia de agujeros negros.

Capıtulo 5

Lımites entropicos y la segunda ley

El termino “entropıa” debe ser uno de los mas abusados en fısica. Todos estamosde acuerdo en que la entropıa de Boltzmann derivada de la funcion de distribucion deuna partıcula en un gas, y la entropıa del ensemble canonico de Gibbs estan fuerte-mente relacionadas con la entropıa termodinamica de Clausius. Un poco mas lejana,pero todavıa claramente relacionada a la entropıa fenomenologica, esta la entropıa deShannon: la medida de informacion no disponible

S = −∑

A

pA log pA. (5.1)

Entre otras entropıas no relacionadas esta la entropıa de Kolmogorov en la teorıa deflujos caoticos o la entropıa algorıtmica de Chaitin en teorıa de computacion.

Aunque hay pocas dudas acerca de la correspondencia entre la entropıa de unagujero negro y una entropıa fenomenologica, su significado mas profundo sigue siendoun misterio. ¿Es similar al sentido de la entropıa ordinaria? ¿El logaritmo del numerode estados internos del agujero asociado a un estado exterior singular? ¿El logaritmodel numero de posibles maneras en las que el agujero negro pudo formarse? ¿O es acasoel logaritmo del numero de estados cuanticos del horizonte? Podemos decir, por ahora,que la utilidad de cualquier interpretacion propuesta para la entropıa de un agujeronegro dependera de que tan bien se relacione con el aspecto “estadıstico” original de laentropıa como medida de desorden, informacion faltante, multiplicidad de microestadoscompatibles con un macroestado dado, etc.

El objetivo de este capıtulo es precisamente profundizar en el entendimiento de laentropıa de agujeros negros y las consecuencias de la segunda ley generalizada, perodesde el punto de vista de la teorıa de informacion.

5.1. Informacion y entropıa

La conexion entre entropıa e informacion es bien conocida; en efecto, hemos hechouso de ella en diversas ocasiones a lo largo de la monografıa. Veamos primero un poco

39

CAPITULO 5. LIMITES ENTROPICOS Y LA SEGUNDA LEY 40

sobre teorıa de informacion.Es claro que la informacion puede ser guardada en un sistema, por el hombre o

la naturaleza, solamente si dicho sistema tiene mas de un estado accesible para latarea. Nada puede saberse de un sistema que se ve igual bajo toda circunstancia.Con dos estados distinguibles sin influencia mutua (SIM), ya se puede almacenar yrecuperar informacion, por ejemplo, la respuesta a una pregunta “sı o no.” Un sistemacon dos estados posibles puede almacenar entonces un bit de informacion. ¿Que hayde un sistema con N estados accesibles SIM? Tiene sentido asignarle una capacidadde informacion de log2 N bits. Por un lado, esto se reduce al caso anterior para N = 2.Adicionalmente, si tenemos dos sistemas clasicos apropiadamente separados, A y B,con NA y NB estados SIM, respectivamente, hay un total de NANB estados, ası que leasignaremos al sistema compuesto la capacidad de infomacion log2 (NANB). Pero estoes simplemente la suma de las capacidades de informacion para A y para B; ası quela funcion logarıtmica es la relevante a la hora de cuantificar informacion. Los estadosmencionados deben ser completamente distinguibles. En fısica clasica podrıan ser, porejemplo, celdas que no se solapen mutuamente en el espacio de fase de un sistemade muchas partıculas. En teorıa cuantica deben ser estados ortogonales entre sı, yaque estados no ortogonales no pueden distinguirse con certeza por medio de algunamedicion.

¿Que pasa si los estados estan relacionados entre sı? Por ejemplo, podrıa ser queantes de hacer alguna medicion, el estado 1 sea dos veces mas probable que el estado2. ¿Afecta esto la capacidad de informacion? Consideremos un sistema con N estadosigualmente probables, pero los dividimos en subgrupos de N1, N2, . . . estados con∑

i Ni = N . Si nuestra resolucion experimental no nos permite mirar en los subgrupos(o si simplemente no nos importa hacerlo), tendremos que considerarlos como estadosregulares con probabilidades p1 = N1/N , p2 = N2/N , . . . Es razonable esperar entoncesque la capacidad de informacion del sistema, Imax, dependa unicamente del conjunto deprobabilidades pi : Imax = Imax (p1, p2, . . .). Sin embargo, si insistimos y conseguimosfinalmente “espiar” los subgrupos, podrıamos obtener informacion adicional log2 N1

del primer subgrupo con probabilidad p1, y ası sucesivamente. Por consiguiente, lacapacidad de informacion total del sistema puede escribirse como

Imax (p1, p2, . . .) +∑

i

pi log2 Ni = log2 N, (5.2)

y usando la condicion de normalizacion∑

i pi = 1 y Ni = Npi, podemos despejar Imax

Imax = −∑

i

pi log2 pi, (5.3)

que no es otra sino la formula de Shannon (5.1) para la capacidad de informacionmaxima de un sistema con estados distinguibles que ocurren con probabilidades apriori pi.


Esta ecuacion se parece mucho a la expresion de Boltzmann para la entropıa deun gas, con las unicas diferencias siendo el hecho de que Boltzmann usaba logaritmosnaturales, y la constante k, un accidente historico debido al uso de diferentes unidadespara la energıa y la temperatura. Mas alla de estas nimiedades, ambas son la misma ex-presion: la entropıa termodinamica es la capacidad de almacenamiento de informacionde la materia.

5.2. El principio holografico

Una vision ingenua de la fısica (clasica o cuantica) nos harıa creer que una can-tidad infinita de informacion puede almacenarse en un espacio tridimensional finito.Despues de todo, la materia puede tener una infinidad de configuraciones clasicas allı,y los campos cuanticos tienen infinitos modos en dicha region. El principio holograficopropuesto por Gerard ’t Hooft y mejorado y promovido por Leonard Susskind [20, 21]ha destruido esta vision popular: sostiene que en el sentido de la informacion requeridapara describirlos, los sistemas fısicos son inherentemente bidimensionales en el espacio.En particular, la informacion o entropıa en un sistema aislado se espera que tenga unlımite superior de un cuarto del area de una superficie limitante. Tal lımite se conocecomo lımite holografico.

Para entender este lımite, estudiaremos el siguiente experimento mental propuestopor Susskind. Tomemos un objeto esferico, neutro y no rotante con cierta entropıaS que encaja perfectamente dentro de una superficie esferica de area A, y dejemoslocolapsar en un agujero negro, que por simetrıa debe ser tipo Schwarzschild. Por lasegunda ley generalizada tenemos

SAN + SO ≥ 0AAN

4h− S ≥ 0,

y evidentemente, el area del horizonte de eventos del agujero es menor que A, obte-niendo ası la expresion que buscabamos para el lımite holografico

S ≤ A4h

. (5.4)

La igualdad se incluye para que los agujeros negros tambien hagan parte de este lımite.Por consiguiente, el lımite maximo de entropıa para cualquier region ordinaria de

espacio es directamente proporcional al area superficial de la region, no a su volumen.Esto es contraintuitivo, ya que la entropıa es una variable extensiva directamente pro-porcional a la masa y por tanto al volumen (todo lo demas siendo igual, incluyendo ladensidad de masa). El lımite por tanto nos dice que el volumen es en cierto sentido algoilusorio: la masa ocupa area, no volumen, y ası el universo resulta ser un hologramaisomorfo respecto a la informacion “inscrita” en sus fronteras.


Pero, ¿que tan general es el lımite (5.4)? Pareciese que no es posible aplicarlo enun objeto que no pueda colapsar espontaneamente, como un planeta por ejemplo.Sin embargo, bajo dos circunstancias, su aplicabilidad es justificable incluso en estasituacion. Si el sistema en cuestion es debil gravitacionalmente (como la mayorıa delos sistemas cotidianos), con masa µ y radio R tal que satisfacen µ R, el colapsoesferico planteado por Susskind puede ser suplantado por la caıda del objeto en unagujero negro preexistente mucho mas grande y masivo. Alternativamente, para unsistema compuesto fuertemente gravitante (µ ∼ R), que es al mismo tiempo muchomas grande y pesado que una partıcula fundamental, como una estrella neutronica, unagujero negro miniatura que ya exista puede usarse para catalizar el eventual colapso,sin contribuciones apreciables al resultado. En ambos casos la segunda ley generalizadapuede utilizarse para recuperar el lımite de Susskind (5.4).

El argumento seguido tambien aplica a objetos cargados que puedan colapsar apesar de la repulsion de Coulomb. Debido a caprichos de la relatividad, es menos clarosi el colapso de un objeto compacto rotante a un agujero negro rotante (Kerr) implicanecesariamente una contraccion del area frontera, aunque parece que ası sucede. Porconsiguiente, el rango de aplicabilidad del lımite holografico es bastante amplio. Esinapropiado, sin embargo, aplicar el lımite a un sistema que no este bien aislado desus alrededores, porque el colapso gravitacional en este caso no es controlable. Porotro lado, el lımite no esta libre de defectos. Fallarıa, por ejemplo, si lo aplicamos atodo el universo, particularmente si este es infinito, como lo sugieren datos cosmologi-cos contemporaneos. En el modelo cosmologico estandar el universo contiene entropıa(de radiacion principalmente) con cierta densidad uniforme. Una esfera suficientementegrande puede contener entonces mas entropıa de la permitida por (5.4) si A es interpre-tada como su area fronteriza, porque entonces A escala unicamente como el cuadradodel radio del volumen mencionado.

Mucho del estado actual del lımite holografico, en cualquiera de sus formulaciones,se debe a su conexion ıntima con el principio holografico que discutıamos al comienzode la seccion. El principio holografico afirma que toda la informacion contenida en unvolumen de espacio puede ser representada por una teorıa que viva en la frontera dela region. En otras palabras, si se tiene una habitacion, se pueden modelar todos loseventos dentro de ella creando una teorıa que solo tome en cuenta lo que pasa en lasparedes de la habitacion. El principio tambien establece que hay maximo un grado delibertad por cada cuatro areas de Planck en tal teorıa.

La relacion entre el principio y el lımite holografico es una relacion comunicativa. Siprocesos en el espacio-tiempo volumetrico pueden entenderse al generar corresponden-cias con procesos en la frontera, entonces de alguna manera la medida de informacionde la parte volumetrica no es tan grande como para que no pueda ser limitada en termi-nos de la dimension de la frontera, que serıa la medida natural de la informacion quehay en el interior. Para sistemas en el espacio tridimensional, esto sugiere un contenidode informacion que no crece mas rapido que el area de la frontera del espacio, como


en el lımite holografico. Hay tambien contraste entre el lımite y el principio. El lımiteholografico es aplicable tambien a parte del espacio y su frontera correspondiente, contal de que el sistema este apropiadamente aislado, como decıamos. Esto esta en grancontraste con el principio holografico que reclama una equivalencia detallada de lafısica unicamente en dos “universos” diferentes.

5.3. El lımite universal de informacion

El lımite holografico de informacion que acabamos de estudiar es bastante simpley extremadamente laxo. Por ejemplo, un objeto del tamano de un disco compactotendrıa una capacidad de informacion maxima de alrededor de 1068 bits. La tecnologıaactual permite almacenar solo 1010 bits en el, y se espera que mejore por unos cuantosordenes de magnitud. Es claro entonces que el lımite holografico, aunque importanteen cuestion de principios, no es de gran uso practico. ¿Existe alguna otra alternativaque mejore esta situacion sin perder generalidad? Efectivamente, el lımite entropicouniversal [23] lo hace mucho mejor que el lımite holografico. Mostraremos entonces unacercamiento simplificado a este lımite.

Figura 5.1: Caıda libre de un objeto macroscopico en un agujero negro de Schwarzschild.Experimento mental usado para derivar la version debil del lımite universal de laentropıa.

Consideremos el siguiente experimento mental. Dejamos caer un sistema compuestoU de radio R, energıa total E (energıa en reposo) y entropıa S en un agujero negrode Schwarzschild de masa M E desde una distancia lejana d M ; d se escogede tal forma que la radiacion de Hawking transporte energıa igual a E mientras Uesta cayendo hacia el horizonte, donde sera asimilado por el agujero negro (ver figu-ra 5.1). Para completar el proceso, la masa del agujero regresa a M y su entropıapermanece inmutable. Si la emision fuese reversible, la entropıa radiada serıa E/TAN


con TAN dado por (4.5) con h2 = 1. La curvatura del espacio tiempo hace la entropıaemitida mayor por un factor ν, que depende de las especies de partıculas. Por tanto,el cambio universal de la entropıa es

∆S = νE/TAN − S. (5.5)

Se puede escoger M mayor que R por un orden de magnitud tal que el sistema caigaen el agujero sin ser destruido: M = ζR con ζ del orden de 10. Usando la segunda leygeneralizada obtenemos el lımite

S < 8πνζRE/h, (5.6)

que aplica para un sitema compuesto arbitrario. Esto significa que debemos requerirR h/E (U mucho mayor que su propia longitud de Compton). Adicionalmente, Uno tiene permitido ser fuertemente gravitante, ya que M no serıa grande comparadocon E, como asumimos, si insistimos que ζ sea del orden de 10. Por tanto, debemosasumir ademas E R. En SI, el lımite resultante (5.6) no depende de G; la gravitacionfue central durante la derivacion, pero parece esconderse en el resultado. Notar que eldesarrollo se hizo sin tener en cuenta la termodinamica de U , el papel central lo tuvoel agujero negro en cuestion.

La derivacion anterior ignora el efecto de la presion de la radiacion de Hawking.¿Serıa capaz este efecto de expulsar a U? Podemos darnos una idea de lo que sucedecalculando el flujo de radiacion de Hawking F usando la ley de Stefan-Boltzmann enuna esfera con temperatura TAN y radio 2M y a una distancia r del agujero.

F =Energıa

Area× Tiempo

=Potencia

Area,

donde la potencia esta dada por la ecuacion (4.12) y el area es el area de la superficieesferica de radio r donde se quiere calcular el flujo:

F(r) =ΓN h

61,440(πMr)2. (5.7)

Aquı,N , una constante natural, es el numero efectivo de partıculas sin masa radiadas, yΓ es un termino de correcciones por efectos relativistas (Γ ∼ 2). Este flujo de energıa (ymomento) tiene una fuerza de presion de radiacion frad(r) = πR2F(r) sobre U . Ahora,como la fuerza gravitacional newtoniana sobre U es fgrav(r) = ME/r2, tenemos

frad(r)

fgrav(r)=

ΓNefechR2

61,440πM3E. (5.8)


Escribimos un numero efectivo de especies, Nefec, porque algunas especies pasan atraves de U sin ejercer fuerzas sobre el. Adicionalmente, solo aquellas especies de ra-diacion que estan realmente representadas en el flujo de radiacion durante la caıda de Utienen oportunidad de ejercer fuerzas. Un cuanto de Hawking, ası como cualquier cuan-to de radiacion termica, lleva una energıa de orden TAN , ası que el numero de cuantosradiados junto con la energıa E es aproximadamente 8πME/h. Nuestra suposicion deque U es un sistema compuesto (R h/E) y nuestro estimado M = ζR > R ha-cen este numero grande comparado con la unidad. Puesto que una especie solo puedeejercer presion si esta representada aunque sea por un cuanto, se tiene obviamenteNefec < 8πME/h. Por lo tanto,

frad(r)

fgrav(r)<

ΓR2

7680M2=

Γ

7680ζ2 1. (5.9)

La presion de radiacion es entonces despreciable.Todavıa nos falta revisar nuestra suposicion tacita de que d M , la cual, haciendo

que la mayorıa de la caıda tenga lugar en el regimen Newtoniano, nos exenta de tenerque manejar correcciones relativistas. Recordemos que d debe ser tal que el tiempo decaıda iguale el tiempo t en el que el agujero radıa una energıa E. Usando Newton, eltiempo de caıda libre de un cuerpo de prueba, desde d hasta 2M en el campo de una

masa M esta dado implıcitamente por d ≈ 2 (t2M/π2)1/3

, mientras que la expresion(5.7) nos da el estimado t ≈ 7680πEM2h−1N−1 (tomamos Γ ≈ 2 y N como el numerode especies completo). De estas ecuaciones y M = ζR encontramos que

d ≈ 780 (ζER/N h)2/3 M. (5.10)

Ası que para N < 102 (estimado del contenido de partıculas sin masa de nuestromundo) y tomando en cuenta R h/E, tenemos finalmente d 36ζ2/3M para todosistema debil gravitacionalmente U . Ası terminamos la justificacion del lımite entropico(5.6).

Es importante notar ahora que la condicion de gravitacion debil, E R, nospermite inferir imediatamente que el lımite holografico (5.4) se satisface con abundanteespacio de sobra como una consecuencia del lımite universal de la entropıa. En otraspalabras, para sistemas gravitando debilmente (lo que incluye la mayorıa de los sistemasconocidos), el lımite universal es mucho mas ajustado que el holografico.

Siendo una afirmacion sobre la entropıa de un sistema, el lımite universal puedeser tambien derivado usando mecanica estadıstica para sistemas (cuanticos) simples.Ninguno de estos argumentos analıticos o numericos tienen la simplicidad y ampliaaplicabilidad del argumento descrito arriba. Pero sin importar la manera de derivarlo,el lımite universal nos provee con un lımite de informacion. En palabras, el tope de lacapacidad en bits es del orden de la razon entre la dimension mas grande del sistema ysu longitud de Compton formal. Para usar la ilustracion previa, el lımite de informacionde un disco compacto es ahora de alrededor de 1040, 28 ordenes de magnitud por debajo


del lımite holografico. Sin embargo, el lımite universal esta todavıa muchos ordenesde magnitud por encima de una capacidad predecible. ¿Podemos mejorar esto? Unasituacion donde es posible es en sistemas extensivos en el sentido termodinamico. Portanto, otros lımites mas ajustados para situaciones restringidas seguramente deberanexistir.

Parte III

Conclusion

47

Capıtulo 6

Conclusion

A traves de la monografıa se repaso el trabajo de una gran cantidad de cientıficosque ayudaron a desarrollar teoricamente las implicaciones de la existencia de agujerosnegros. Empezando por su descubrimiento teorico a principios del siglo XX, pasandopor su perıodo de prueba en el mundo cientıfico, el descubrimiento de diversos mod-elos de agujeros negros, y el desarrollo de los teoremas que llevaron a formular unateorıa termodinamica de agujeros negros, hasta llegar a los problemas actuales comola paradoja de informacion y el significado fundamental de la entropıa de un agujeronegro.

Los dos ultimos capıtulos tienen como hilo conductor a la segunda ley generalizadapropuesta por Bekenstein y formalizada por Hawking, y de ella se desprenden todas laspeculiaridades, como la fuerte relacion con teorıa de informacion, ejemplificada en loslımites entropicos ya descritos. El lımite holografico, en particular, que se desprendedirectamente de esta segunda ley, esta muy relacionado con el principio holograficode ’t Hooft que, aunque no esta completamente establecido, tiene consecuencias masprofundas que las dadas por los diferentes lımites entropicos. Muchos investigadoresen el area creen que el principio nos provee de lineamientos para la teorıa final de lanaturaleza.

Es interesante ver los ultimos avances para resolver la paradoja de informacionhechos por Hawking [19], donde hace uso de una teorıa de gravitacion cuantica quesigue el principio holografico y logra establecer un mecanismo que evite la perdidade informacion. Por otro lado, se hacen enormes esfuerzos por entender la verdaderanaturaleza de la entropıa de agujeros negros; la salida podrıa estar en la teorıa deinformacion cuantica, que establecerıa un puente entre esta entropıa fenomenologica yla entropıa de enredamiento.

Finalmente, cabe anotar que el tema es uno de los mas excitantes de la fısicacontemporanea, por su exquisitez teorica y su amplio rango de investigacion, ademasde darnos una clave para esa resbalosa teorıa del Todo.

48

Bibliografıa

[1] Michell, J., 1784, Phil. Trans. R. Soc. (London) 74, 35.

[2] Eddington, A. S., 1935, Observatory 58, 37.

[3] Bekenstein, J. D., 2004, Black Holes: physics and astrophysics, LANL preprintastro-ph/0407560.

[4] Schutz, B. F., 1990, A first course in General Relativity (Cambridge: CambridgeUniversity Press).

[5] Misner, C. W., Thorne, K. S. and Wheeler, J. A., 1973, Gravitation (USA: W. H.Freeman).

[6] Shapiro, S. L. and Teukolsky, S. A., 1983, Black holes, White Dwarfs, and NeutrinoStars (New York: Wiley-Interscience).

[7] Brown, G. E., et al., 2000, The evolution of Black Holes in the galaxy, PhysicsReports astro-ph/9910088.

[8] Hawking, S. W. and Ellis, G. F. R., 1973, The large scale structure of Spacetime(Cambridge: Cambridge University Press).

[9] Bekenstein, J. D., 2003, Black Holes and Information Theory, LANL preprintquant-ph/0311049.

[10] Ruffini, R. and Wheeler, J. A., 1971, Physics Today, 24, no. 12, 30.

[11] Bekenstein, J. D., 1972, Lett. Nuovo Cimento, 4, 737.

[12] Bekenstein, J. D., 1973, Phys. Rev. D, 7, 2333.

[13] Christodoulou, D., 1970, Phys. Rev. Letters, 25, 1596.

[14] Christodoulou, D. and Ruffini, R., 1971, Phys. Rev. D, 4, 3552.


49

BIBLIOGRAFIA 50

[16] Hawking, S. W., 1975, Commun. math. Phys., 43, 199.

[17] Celnikier, L. M., 1980, Am. J. Phys., 48, 9.

[18] Page, D. N., 1976, Phys. Rev. D, 13, 198.

[19] Hawking, S. W., 2005, Phys. Rev. D, 72, 084013.

[20] ’t Hooft, G., 1993, Dimensional reduction in quantum gravity. In Salam-festschrifft, edited by Aly, A., Ellis, J. and Randjbar-Daemi, S. (Singapore: WorldScientific), LANLm preprint gr-qc/9310026.

[21] Susskind, L., 1995, J. Math. Phys., 36, 6377.

[22] Bekenstein, J. D., 2002, Quantum Information and Quantum Black Holes. LANLpreprint gr-qc/0107049.


Termodin´amica de Agujeros Negros y Teor´ıa de Informacion

Documents

Transcript of Termodin´amica de Agujeros Negros y Teor´ıa de Informacion