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Capitulo 5Capitulo 5

Soluciones analSoluciones analííticas para ticas para problemas de flujoproblemas de flujo

Se escriben ecuaciones gobernantes para describir Se escriben ecuaciones gobernantes para describir sistemas de flujo subterrsistemas de flujo subterrááneo porque las soluciones a neo porque las soluciones a esas ecuaciones dicen como se comportan los sistemas esas ecuaciones dicen como se comportan los sistemas de aguas subterrde aguas subterrááneas. Es decir, si se resuelve la neas. Es decir, si se resuelve la ecuaciecuacióón de flujo de agua subterrn de flujo de agua subterráánea, para la carga nea, para la carga hidrhidrááulica, podemos predecir el comportamiento del ulica, podemos predecir el comportamiento del sistema en cualquier punto del espacio, y para cualquier sistema en cualquier punto del espacio, y para cualquier tiempo t. La derivada de h y las subsecuentes tiempo t. La derivada de h y las subsecuentes substituciones en la ley de Darcy nos permiten calcular substituciones en la ley de Darcy nos permiten calcular la razla razóón de flujo en combinacin de flujo en combinacióón con la porosidad, la n con la porosidad, la velocidad del campo de flujo. Esto nos puede decir velocidad del campo de flujo. Esto nos puede decir cuanta agua se puede extraer de algcuanta agua se puede extraer de algúún suministro de n suministro de agua. Tambiagua. Tambiéén nos dice como se movern nos dice como se moveráán los n los contaminantes en este sistema hidrcontaminantes en este sistema hidrááulico. ulico.

Se aplica a fin de calcularSimple

parametros.Ecuación gobernante (ecuación diferencial)

Metodos númericosCompleja

(elemento finito, diferencias finitas)

⎧ ⎧⎨⎪

⎪ ⎩⎨

⎧⎪⎨⎪ ⎩⎩

Cuando se escriben ecuaciones Cuando se escriben ecuaciones gobernantes para sistemas de flujo gobernantes para sistemas de flujo subterrsubterrááneo, el resultado a menudo es neo, el resultado a menudo es una ecuaciuna ecuacióón diferencial parcial que tiene n diferencial parcial que tiene como variables independientes, una, dos como variables independientes, una, dos o tres coordenadas espaciales y el tiempoo tres coordenadas espaciales y el tiempo..

Para alguna de estas ecuaciones el dominio en Para alguna de estas ecuaciones el dominio en que se aplica debe ser definido, las condiciones que se aplica debe ser definido, las condiciones de frontera y las condiciones iniciales deben ser de frontera y las condiciones iniciales deben ser especificadas. Debido a que la ecuaciespecificadas. Debido a que la ecuacióón de flujo n de flujo subterrsubterrááneo envuelve segundas derivadas en el neo envuelve segundas derivadas en el espacio, los requerimientos para las condiciones espacio, los requerimientos para las condiciones de frontera debe ser especificada y una de frontera debe ser especificada y una ecuaciecuacióón de frontera debe ser proporcionada en n de frontera debe ser proporcionada en cada punto a lo largo de toda la frontera.cada punto a lo largo de toda la frontera.

Para problemas transitorios, una condiciPara problemas transitorios, una condicióón n inicial debe ser especificada para todos inicial debe ser especificada para todos los puntos dentro del dominio. Los los puntos dentro del dominio. Los problemas estacionarios no envuelven problemas estacionarios no envuelven cambios en el tiempo y por tanto no cambios en el tiempo y por tanto no requieren condiciones iniciales.requieren condiciones iniciales.

solo pueden ser derivadas para sistemas Regla general para obtener con fronteras que se alineen con los ejes coordenados

y para ecuaciones que tengan coeficientes constantes.una solución analítica

⎧⎪⎨⎪⎩

estas condiciones hay que tomarlas en cuenta estas condiciones hay que tomarlas en cuenta cuando se planea obtener una solucicuando se planea obtener una solucióón analn analííticatica

Problemas de flujo Problemas de flujo unidimensionalunidimensional

SecciSeccióón 5.1n 5.1

Flujo unidimensionalFlujo unidimensional

La consideraciLa consideracióón de problemas n de problemas unidimensionales tiene unidimensionales tiene implicaciones importantes.implicaciones importantes.


TambiTambiéén se introducen las asunciones de n se introducen las asunciones de Dupuit.Dupuit.


TambiTambiéén se introducen ideas respecto a la n se introducen ideas respecto a la recarga del nivel hidrrecarga del nivel hidrááulico y fugas a ulico y fugas a travtravéés de acuitardos, ass de acuitardos, asíí como tambicomo tambiéén n una introducciuna introduccióón del flujo radial hacia n del flujo radial hacia pozos de bombeo.pozos de bombeo.

Experimento de DarcyExperimento de Darcy

Experimento de DarcyExperimento de DarcyConsidConsidéérese la ecuacirese la ecuacióón de flujo simple, estado n de flujo simple, estado estacionario, flujo unidimensional en un medio poroso estacionario, flujo unidimensional en un medio poroso homoghomogééneo de longitud finita con condiciones de carga neo de longitud finita con condiciones de carga especificada en cada extremo del dominio. La ecuaciespecificada en cada extremo del dominio. La ecuacióón n diferencial gobernante se deriva de la ecuacidiferencial gobernante se deriva de la ecuacióón siguiente n siguiente

( ) ( )( )( , ) , 0szzK h z t S h z tz z t∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠


la cual para un medio homogla cual para un medio homogééneo sin flujo neo sin flujo lateral se reduce a:lateral se reduce a:

2

2 0 , 0

( 0 , ) ( ) ,( , ) ( ) .

L

R

hK x lx

h t h th l t h t

⎛ ⎞∂− = < <⎜ ⎟∂⎝ ⎠

==

En esta ecuaciEn esta ecuacióón n hhLL y hy hRR son valores de la son valores de la carga hidrcarga hidrááulica en las fronteras izquierda ulica en las fronteras izquierda y derecha respectivamente. Si estos y derecha respectivamente. Si estos valores no cambian en el tiempo, valores no cambian en el tiempo, entonces la solucientonces la solucióón h solo es funcin h solo es funcióón den dexx, por tanto, la parcial en la ecuaci, por tanto, la parcial en la ecuacióón sern serááuna derivada total. La ecuaciuna derivada total. La ecuacióón es n es entonces una ecuacientonces una ecuacióón diferencial n diferencial ordinaria. En otra forma h seria una ordinaria. En otra forma h seria una ecuaciecuacióón diferencial parcial en n diferencial parcial en hh y y tt. .

En cualquier caso la soluciEn cualquier caso la solucióón es una ln es una líínea recta nea recta en el espacio los dos valores de frontera.en el espacio los dos valores de frontera.

( ( ) ( ))( , ) ( ) R LL

h t h th x t h t xl−

= +

Experimento de DarcyExperimento de DarcyNNóótese que esta ecuacitese que esta ecuacióón con condiciones de n con condiciones de frontera invariantes en el tiempo corresponden frontera invariantes en el tiempo corresponden al experimento de Darcy donde el flujo al experimento de Darcy donde el flujo unidimensional en una columna de dimensiunidimensional en una columna de dimensióón n finita fue dada para valores de carga hidrfinita fue dada para valores de carga hidrááulica ulica fija en las fronteras inferior y superior. En efecto, fija en las fronteras inferior y superior. En efecto, el conocimiento de esta soluciel conocimiento de esta solucióón analn analíítica nos tica nos permite implementar experimentos destinados a permite implementar experimentos destinados a la estimacila estimacióón de parn de paráámetros. En este caso el metros. En este caso el desarrollo de la prueba en la columna nos desarrollo de la prueba en la columna nos permite el calculo de la conductividad.permite el calculo de la conductividad.

Experimento de DarcyExperimento de DarcyDada la soluciDada la solucióón apara la carga, se deriva y se n apara la carga, se deriva y se inserta en la ecuaciinserta en la ecuacióón de Darcy donde basados n de Darcy donde basados en la razen la razóón de flujo, la conductividad puede ser n de flujo, la conductividad puede ser determinada de la ecuacideterminada de la ecuacióón de Darcy puesta en n de Darcy puesta en forma distintaforma distinta..

( )R L

Q QlK h A h hAx

= =∂ −∂

Experimento de DarcyExperimento de DarcyDado que la soluciDado que la solucióón para el estado estacionario n para el estado estacionario asociado a al experimento de Darcy resulta asociado a al experimento de Darcy resulta úútil, es til, es deseable saber como se llega a este estado. deseable saber como se llega a este estado. ConsidConsidéérese una columna de suelo en la cual no haya rese una columna de suelo en la cual no haya flujo inicialmente( implica n es constante en el espacio). flujo inicialmente( implica n es constante en el espacio). Entonces en algEntonces en algúún momento se le imponen condiciones n momento se le imponen condiciones de frontera las cuales inducen un flujo a travde frontera las cuales inducen un flujo a travéés de la s de la columna. Si deseamos escribir la respuesta transitoria columna. Si deseamos escribir la respuesta transitoria de este sistema a las condiciones de frontera impuestas, de este sistema a las condiciones de frontera impuestas, es necesario resolver la versies necesario resolver la versióón transitoria de la n transitoria de la ecuaciecuacióón de flujo.n de flujo.

Experimento de DarcyExperimento de DarcyAsumiendo homogeneidad espacial de los parAsumiendo homogeneidad espacial de los paráámetros, metros, una columna unidimensional sin flujo en las fronteras en una columna unidimensional sin flujo en las fronteras en los lados, una condicilos lados, una condicióón de frontera e carga en dos n de frontera e carga en dos extremos de la columna, el sistema de ecuaciones extremos de la columna, el sistema de ecuaciones gobernantes toman la formagobernantes toman la forma

2

2 0 , 0 , 0

( 0 , ) ( ) ,( , ) ( ) ,( , 0 ) ( )

s

L

R

i n i

h hS K x l tt x

h t h th l t h th x h x

∂ ∂− = < < >

∂ ∂

===

Experimento de DarcyExperimento de DarcyConsidere un flujo transitorio ocasionado por un cambio Considere un flujo transitorio ocasionado por un cambio instantinstantááneo de la carga en una de las fronteras, lo cual neo de la carga en una de las fronteras, lo cual sirve para perturbar el estado estacionario inicial de la sirve para perturbar el estado estacionario inicial de la columna. Si la condicicolumna. Si la condicióón inicial esta dada por h=0, n inicial esta dada por h=0, podemos cambiar una de las condiciones de frontera en podemos cambiar una de las condiciones de frontera en el tiempo t=0 para inducir el flujo.el tiempo t=0 para inducir el flujo.

2 2

2

1

(0, ) .( 0 ), ( , ) 0

( , 0) 0

2( , ) ( )[1 ]s

L

L R

ini

kn tS lL

n

h t h cteh h L t h

h x h

h n xh x t Seno en l

ππ

π

+∞

=

= => = =

= =

= −∑


La figura 5.1 muestra La figura 5.1 muestra la carga hidrla carga hidrááulica ulica como funcicomo funcióón de su n de su localizacilocalizacióón espacial n espacial para tres tiempos para tres tiempos distintos.distintos.usando los usando los parparáámetros metros hhLL=1.0, =1.0, hhRR=in=0, l=1 y =in=0, l=1 y K/SK/Sss=0.1=0.1

Experimento de DarcyExperimento de DarcyEl primer tiempo corresponde a un tiempo inicial, donde El primer tiempo corresponde a un tiempo inicial, donde la presila presióón ha comenzado a dirigirse hacia el dominio n ha comenzado a dirigirse hacia el dominio pero permanece lejos de la frontera derecha.pero permanece lejos de la frontera derecha.El segundo tiempo al cual nos referiremos como tiempo El segundo tiempo al cual nos referiremos como tiempo intermedio, muestra la influencia de ambas condiciones intermedio, muestra la influencia de ambas condiciones de frontera s en la solucide frontera s en la solucióón, pero la solucin, pero la solucióón aun esta n aun esta cambiando con el tiempo.cambiando con el tiempo.el tercer tiempo al cual llamaremos tiempo final, en el el tercer tiempo al cual llamaremos tiempo final, en el cual estaremos llegando a estado estacionario. Para cual estaremos llegando a estado estacionario. Para este problema, el estado estacionario es una leste problema, el estado estacionario es una líínea recta nea recta en el espacio conectando los dos valores de frontera.en el espacio conectando los dos valores de frontera.

Experimento de DarcyExperimento de DarcyPara la soluciPara la solucióón en el tiempo final, se tiene una n en el tiempo final, se tiene una situacisituacióón de estado estacionario que reduce a la n de estado estacionario que reduce a la ecuaciecuacióón gobernante a una simple ecuacin gobernante a una simple ecuacióón diferencial n diferencial ordinaria Para la soluciordinaria Para la solucióón para en el tiempo inicial, n para en el tiempo inicial, tambitambiéén podrn podrííamos usar una simplificaciamos usar una simplificacióón que envuelve n que envuelve la observacila observacióón que la condicin que la condicióón de frontera en el lado n de frontera en el lado derecho no tiene injerencia alguna en la soluciderecho no tiene injerencia alguna en la solucióón. para n. para tales casos a menudo se trata al dominio como si la tales casos a menudo se trata al dominio como si la frontera derecha estuviera infinitamente lejos, de donde frontera derecha estuviera infinitamente lejos, de donde se dice que el dominio es semise dice que el dominio es semi--infinito, lo que significa infinito, lo que significa que solo se tiene una frontera bien definida, y la que solo se tiene una frontera bien definida, y la segunda esta muy lejos y no influye en la solucisegunda esta muy lejos y no influye en la solucióón. En n. En este caso la solucieste caso la solucióón analn analíítica resulta ser mas ftica resulta ser mas fáácil.cil.


En el caso de la aproximaciEn el caso de la aproximacióón semin semi--infinita al infinita al dominio, la ecuacidominio, la ecuacióón gobernante toma la forma:n gobernante toma la forma:

2

2 0 , 0 , 0

(0 , ) ,lim ( , ) ,

lim 0 ,

( , 0 )

s

L

in ix

x

in i

h hS K x tt x

h t hh x t h

hx

h x h

→ +∞

→ +∞

∂ ∂− = < < +∞ >

∂ ∂

==

∂=

∂=

Experimento de DarcyExperimento de DarcyNuevamente se puede derivar una soluciNuevamente se puede derivar una solucióón n analanalíítica para este caso. Para el caso especifico tica para este caso. Para el caso especifico que se esta considerando, se encuentra que la que se esta considerando, se encuentra que la solucisolucióón para la propagacin para la propagacióón de la carga en un n de la carga en un dominio semidominio semi--infinito esta dada por:infinito esta dada por:

( , ) ( ) ( )4( / )ini L ini

s

xh x t h h h erfK S t

− = −


donde erfc es la funcidonde erfc es la funcióón complementaria de n complementaria de error, se define porerror, se define por ::

22( ) z

xerfc x e dz

π+∞ −= ∫

Flujo regional unidimensionalFlujo regional unidimensional

Como segundo ejemplo considere el flujo Como segundo ejemplo considere el flujo en el nivel en el nivel freaticofreatico un acuun acuíífero, sujeto a fero, sujeto a recarga por encima. Consideraremos una recarga por encima. Consideraremos una secciseccióón vertical transversal bidimensional n vertical transversal bidimensional y aply aplííquese un promedio vertical. Para quese un promedio vertical. Para obtener una ecuaciobtener una ecuacióón gobernante n gobernante unidimensional. unidimensional.

Flujo regional unidimensionalFlujo regional unidimensionalEn la figura se muestra En la figura se muestra un esquema del sistema, un esquema del sistema, el cual muestra una el cual muestra una secciseccióón transversal n transversal vertical con variables vertical con variables independientes x y z. las independientes x y z. las fronteras se ubican en fronteras se ubican en x=0 y en x= l, por x=0 y en x= l, por simplicidad asumimos simplicidad asumimos que el acuque el acuíífero esta fero esta debido de una formacidebido de una formacióón n impermeable (en z=0). impermeable (en z=0).

Flujo regional unidimensionalFlujo regional unidimensionalLa frontera superior corresponde a al nivel La frontera superior corresponde a al nivel frefreáático, cuya ubicacitico, cuya ubicacióón necesita ser n necesita ser determinada como parte de la solucideterminada como parte de la solucióón. La n. La condicicondicióón de frontera apropiada para el n de frontera apropiada para el nivel frenivel freáático se mostrtico se mostróó en la seccien la seccióón 4.4 n 4.4 debido a la complejidad de esa condicidebido a la complejidad de esa condicióón n de frontera, buscaremos simplificaciones de frontera, buscaremos simplificaciones que permitan obtener una solucique permitan obtener una solucióón n analanalíítica.tica.

Flujo regional unidimensionalFlujo regional unidimensionalConsidConsidéérese que la razrese que la razóón de infiltracin de infiltracióón es conocida y n es conocida y supsupóóngase constante tanto en espacio como en tiempo, ngase constante tanto en espacio como en tiempo, que corresponde a la razque corresponde a la razóón n de infiltracin n de infiltracióón promedio ( n promedio ( basado en la precipitacibasado en la precipitacióón anual promedio). Dado que n anual promedio). Dado que este sistema exhibe flujo multidimensional, usaremos este sistema exhibe flujo multidimensional, usaremos promedio vertical para reemplazar la ecuacipromedio vertical para reemplazar la ecuacióón n gobernante bidimensional con una ecuacigobernante bidimensional con una ecuacióón n unidimensional que ubique el nivel hidrunidimensional que ubique el nivel hidrááulico dada la ulico dada la introducciintroduccióón apropiada de la produccin apropiada de la produccióón especifica, n especifica, modificacimodificacióón de la transmisividad que incluya el grosor n de la transmisividad que incluya el grosor saturado, y la inclusisaturado, y la inclusióón de la recarga como termino ( n de la recarga como termino ( fuente) en la ecuacifuente) en la ecuacióón gobernanten gobernante


bajo la suposicibajo la suposicióón de flujo horizontal y estado n de flujo horizontal y estado estacionario la ecuaciestacionario la ecuacióón gobernante toma la n gobernante toma la formaforma

.

, 0 ,

(0, ) ,

( , )L

R

d d h d d hT K h N x ldx dx dx dx

h t h

h l t h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = < <⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

=


en esta ecuacien esta ecuacióón la barra encima significa n la barra encima significa cantidad verticalmente promediada, la razcantidad verticalmente promediada, la razóón de n de recarga esta dada por N, y las condiciones de recarga esta dada por N, y las condiciones de frontera izquierda y derecha se toman como frontera izquierda y derecha se toman como valores de carga fijos que son constantes en el valores de carga fijos que son constantes en el tiempo. Ntiempo. Nóótese que la transmisividad es una tese que la transmisividad es una funcifuncióón de la carga hidrn de la carga hidrááulica. Dado que el ulica. Dado que el grosor del acugrosor del acuíífero depende de la localizacifero depende de la localizacióón n del nivel hidrdel nivel hidrááulico, y esa localizaciulico, y esa localizacióón depende n depende de la carga hidrde la carga hidrááulicaulica

Flujo regional unidimensionalFlujo regional unidimensionalEsta dependencia de la transmitividad sobre la variable Esta dependencia de la transmitividad sobre la variable dependiente (carga) hace que la ecuacidependiente (carga) hace que la ecuacióón sea non sea no--lineal. lineal. Muchas ecuaciones noMuchas ecuaciones no--lineales no tienen solucilineales no tienen solucióón n analanalíítica, pero en este caso la solucitica, pero en este caso la solucióón pede ser n pede ser obtenida, para hacerlo, observe que el lado izquierdo de obtenida, para hacerlo, observe que el lado izquierdo de la ecuacila ecuacióón anterior se puede ren anterior se puede re--escribir (quitando las escribir (quitando las barras y considerando K constante) comobarras y considerando K constante) como

2 2

2 .2

d dh K d hK hdx dx dx

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Flujo regional unidimensionalFlujo regional unidimensionalpor lo tanto, la ecuacipor lo tanto, la ecuacióón gobernante nos dice que el n gobernante nos dice que el cuadrado de la carga hidrcuadrado de la carga hidrááulica tiene una segunda ulica tiene una segunda derivada constante en el espacio, proporcional a la derivada constante en el espacio, proporcional a la razrazóón de infiltracin de infiltracióón N por tanto la solucin N por tanto la solucióón para h(x) es n para h(x) es un polinomio cuadrun polinomio cuadráático en x. La forma de la solucitico en x. La forma de la solucióón es n es ffáácilmente determinada y es:cilmente determinada y es:

2 2 2 2( ) ( ) ( )R L LN xh x x l x h h hK l

= − + − +

Flujo regional unidimensionalFlujo regional unidimensionalcomo ejemplo considcomo ejemplo considéérese el caso de una isla extensa y rese el caso de una isla extensa y esta limitada a la derecha y a la izquierda por las esta limitada a la derecha y a la izquierda por las condiciones , donde B es la distancia entre el fondo del condiciones , donde B es la distancia entre el fondo del acuacuíífero y el nivel del mar. Entonces la solucifero y el nivel del mar. Entonces la solucióón para n para h(x) toma la forma:h(x) toma la forma:

2( ) ( )Nh x x l x BK

= − +


se puede ver que sin recarga no hay nada que se puede ver que sin recarga no hay nada que incite al flujo y la soluciincite al flujo y la solucióón es simplemente n es simplemente h(x)=B. Con recarga la solucih(x)=B. Con recarga la solucióón se puede ren se puede re--escribir como:escribir como:

2 2( ) [ ( ) ][ ( ) ] ( )Nh x B h x B h x B x l xK

− = − + = −

Flujo regional unidimensionalFlujo regional unidimensionalDe esta soluciDe esta solucióón se obtienen dos observaciones: la n se obtienen dos observaciones: la primera; la soluciprimera; la solucióón es simn es siméétrica respecto del punto trica respecto del punto medio del dominio (x= l/2), que es donde se encuentra el medio del dominio (x= l/2), que es donde se encuentra el nivel mnivel mááximo del nivel freximo del nivel freáático. Esto es porque las dos tico. Esto es porque las dos condiciones de frontera tienen el mismo valor. Entonces condiciones de frontera tienen el mismo valor. Entonces el agua se infiltra y se une al sistema de flujo, y fluye el agua se infiltra y se une al sistema de flujo, y fluye hacia fuera horizontalmente, de la mitad del dominio hacia fuera horizontalmente, de la mitad del dominio hacia las fronteras izquierda y derecha. La segunda hacia las fronteras izquierda y derecha. La segunda observaciobservacióón, es que cuando el incremento en la carga h n, es que cuando el incremento en la carga h sobre B es pequesobre B es pequeñño respecto del grosor de B, la no o respecto del grosor de B, la no linealidad del problema no es significativa y la linealidad del problema no es significativa y la transmisividad puede ser razonablemente aproximada transmisividad puede ser razonablemente aproximada por . esto puede ser afirmado representando la carga por . esto puede ser afirmado representando la carga como como


Entonces cuando , la carga h no difiere mucho Entonces cuando , la carga h no difiere mucho del grosor de B. en ese caso tdel grosor de B. en ese caso téérminos con e2 , rminos con e2 , se pueden despreciar porque son muy se pueden despreciar porque son muy pequepequeñños. la sustitucios. la sustitucióón de h en la solucin de h en la solucióón dan da

[ ][ ] [ ][ ]

[ ]

2 2 2 2( ) ( ) 2 2 2

2 ( ) 2 ( ) ( )

h x B h x B B B B B B BNB B B h x B x l xK

ε ε ε ε ε

ε

− + = + = + ≈

= = − = −


La cual resuelta para h(x) daLa cual resuelta para h(x) da

( ) ( )2

Nh x B x l xKB

= + −

Flujo en coordenadas radialesFlujo en coordenadas radiales

Como ejemplo final de soluciones Como ejemplo final de soluciones analanalííticas en una dimensiticas en una dimensióón, considn, considéérese rese el caso de flujo radial a un pozo en un el caso de flujo radial a un pozo en un acuacuíífero confinado uniforme. fero confinado uniforme.


El dominio del medio poroso comienza en el El dominio del medio poroso comienza en el radio del pozo denotado como rradio del pozo denotado como rww, y se extiende , y se extiende hacia el radio exterior denotado por rhacia el radio exterior denotado por rextext . . Se asume simetrSe asume simetríía radial, entonces no hay a radial, entonces no hay variacivariacióón en la carga hidrn en la carga hidrááulica con la variaciulica con la variacióón n angular, el promedio vertical es aplicado. angular, el promedio vertical es aplicado. El grosor del acuEl grosor del acuíífero esta denotado por Bfero esta denotado por B


En base a la ecuaciEn base a la ecuacióónn

2*

2

1( , ) ( , ) ( ( , )) ( , ) 0iT h r t h r t S h r t q r t Qr r r t

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠


La ecuaciLa ecuacióón gobernante de flujo escrita en n gobernante de flujo escrita en coordenadas radiales y bajo condiciones coordenadas radiales y bajo condiciones estacionarias toma la forma:estacionarias toma la forma:

0, w exthT r r r r

r r∂ ∂⎛ ⎞− = < <⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠


Para resolver esta ecuaciPara resolver esta ecuacióón deben especificarse n deben especificarse las condiciones de frontera interior y exterior. las condiciones de frontera interior y exterior. Para el caso de condiciones de carga fijasPara el caso de condiciones de carga fijas

,

.

( )( )

w w

ext ext

h r hh r h

=

=


la solucila solucióón es un n es un logaritmo con la logaritmo con la siguiente forma:siguiente forma:

ln( )( ) ( )

ln( )w

w ext wext

w

rrh r h h h rr

= + −


Si se da la razSi se da la razóón de flujo en el pozo, la n de flujo en el pozo, la condicione de frontera en el interior es una condicione de frontera en el interior es una condicicondicióón de flujo, la cual puede ser ren de flujo, la cual puede ser re--escrita escrita comocomo

(2 )w

wr r

hKB r Qr

π=

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠


Con lo cual la soluciCon lo cual la solucióón toma la forma:n toma la forma:

( ) ln2

w extext

Q rh r hT rπ

= −


En el caso de dos condiciones de carga fijas la En el caso de dos condiciones de carga fijas la razrazóón esta dada porn esta dada por

2ln

ext w

ext

w

h hTrr

π −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


En el caso de una razEn el caso de una razóón de flujo dada en n de flujo dada en el pozo, la razel pozo, la razóón total de flujo hacia el n total de flujo hacia el mismo para algmismo para algúún radio r esta dada por n radio r esta dada por QQww. .


Esto es consistente con la ecuaciEsto es consistente con la ecuacióón gobernante, n gobernante, la cual establece que el flujo total en la direccila cual establece que el flujo total en la direccióón n radial no varia con un cambio en la coordenada radial no varia con un cambio en la coordenada radial; radial;

2 0hrTr r

π∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠


Esto es consistente con un simple Esto es consistente con un simple razonamiento frazonamiento fíísico, en el sentido de que sico, en el sentido de que en algen algúún lugar en donde no haya fuentes n lugar en donde no haya fuentes o sumideros dentro de algo sumideros dentro de algúún dominio, los n dominio, los flujos entrantes y salientes se atribuyen a flujos entrantes y salientes se atribuyen a las fronteras. Por tanto , dentro del las fronteras. Por tanto , dentro del dominio, en estado estacionario, la razdominio, en estado estacionario, la razóón n de flujo total debe ser constante para de flujo total debe ser constante para algalgúún radio r.n radio r.

Flujo en coordenadas radialesFlujo en coordenadas radialesQue forma tendrQue forma tendríía una fuente o sumidero en a una fuente o sumidero en este caso radial y cuales serian las este caso radial y cuales serian las implicaciones. Una posibilidad seria tener implicaciones. Una posibilidad seria tener recarga como en el caso anterior. Pero en el recarga como en el caso anterior. Pero en el caso de un acucaso de un acuíífero confinado, a menudo se fero confinado, a menudo se tiene fluido fluyendo hacia o desde un acutiene fluido fluyendo hacia o desde un acuíífero fero vvíía goteo hacia o desde un acua goteo hacia o desde un acuíífero adyacente fero adyacente a trava travéés de un acuitardo que separa a los dos s de un acuitardo que separa a los dos acuacuííferos. Debido a la ley tangente se considera feros. Debido a la ley tangente se considera que el flujo en un acuitardo esencialmente que el flujo en un acuitardo esencialmente vertical y en un acuvertical y en un acuíífero horizontalfero horizontal..


Si se considera que las fugas de agua a travSi se considera que las fugas de agua a travéés de un s de un acuitardo como debidas a un decremento en la carga acuitardo como debidas a un decremento en la carga en el acuen el acuíífero causado por bombeo de un pozo en fero causado por bombeo de un pozo en ese acuese acuíífero, entonces bajo la suposicifero, entonces bajo la suposicióón de carga n de carga constante en el acuconstante en el acuíífero encima del acuitardo y flujo fero encima del acuitardo y flujo estacionario tanto en el acuitardo como en el estacionario tanto en el acuitardo como en el acuacuíífero, se podrfero, se podríía escribir la ecuacia escribir la ecuacióón para el flujo n para el flujo en el acuitardo comoen el acuitardo como

2

2 0, ,

( ) ( ),

( ) encima

hK B z B Bz

h B h r

h B B h

∂− = < < +

∂

=

+ =


donde la carga hidrdonde la carga hidrááulica en el acuitardo se ulica en el acuitardo se denota con , la conductividad hidrdenota con , la conductividad hidrááulica en el ulica en el acuitardo se denota con y el grosor del acuitardo se denota con y el grosor del acuitardo con . Nacuitardo con . Nóótese que la dependencia tese que la dependencia radial viene de la condiciradial viene de la condicióón de frontera del n de frontera del fondo, la cual sirve para acoplar el flujo en el fondo, la cual sirve para acoplar el flujo en el acuitardo con la carga del fondo del acuacuitardo con la carga del fondo del acuíífero fero (h(r)). No hay derivadas de con respecto a r en (h(r)). No hay derivadas de con respecto a r en la ecuacila ecuacióón dado que se considera flujo vertical n dado que se considera flujo vertical en el acuitardo. en el acuitardo.


La soluciLa solucióón de esta ecuacin de esta ecuacióón es simple y esta n es simple y esta dada por:dada por:

( , ) ( ) ( ( ))cimaz Bh r z h r h h r

B−

= + −


La derivada de esta ecuaciLa derivada de esta ecuacióón da el flujo n da el flujo volumvoluméétrico a travtrico a travéés del acuitardos del acuitardo

( ( ))cimazKq h h rB

= − −


dado que la cantidad de agua que sale de dado que la cantidad de agua que sale de la base del acuitardo es la misma que la la base del acuitardo es la misma que la cantidad de agua que entra por parte cantidad de agua que entra por parte superior del acusuperior del acuíífero esta dada por la fero esta dada por la ecuaciecuacióón anteriorn anterior


Esto debe aparecer en la ecuaciEsto debe aparecer en la ecuacióón gobernante n gobernante para el acupara el acuíífero, de forma tal que la ecuacifero, de forma tal que la ecuacióón n gobernante para el acugobernante para el acuíífero se transforma en:fero se transforma en:

( ) 0, cima w salh KT r h h r r r

r r B∂ ∂⎛ ⎞− − − = < <⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠


Dado que esta ecuaciDado que esta ecuacióón es mas n es mas complicada que las que se han resuelto complicada que las que se han resuelto hasta el momento, las soluciones hasta el momento, las soluciones analanalííticas pueden ser obtenidas para h(r) ticas pueden ser obtenidas para h(r) por medio de series, especpor medio de series, especííficamente ficamente Bessel.Bessel.

Flujo en coordenadas radialesFlujo en coordenadas radialesUna observaciUna observacióón interesante es que tn interesante es que téérminos rminos para fuentes internas ( goteo), significa que la para fuentes internas ( goteo), significa que la importancia de las fronteras externas decrecen, importancia de las fronteras externas decrecen, hasta el limite de un dominio semihasta el limite de un dominio semi--infinito, toda infinito, toda el agua que suministra al pozo viene de goteo. el agua que suministra al pozo viene de goteo. Por tanto soluciones significativas pueden ser Por tanto soluciones significativas pueden ser derivadas en dominios semiderivadas en dominios semi--infinitos cuando un infinitos cuando un termino de goteo esta presente, esto no es termino de goteo esta presente, esto no es cierto en ausencia de tales fuentes debido a que cierto en ausencia de tales fuentes debido a que todo el suministro debe venir de la frontera, y todo el suministro debe venir de la frontera, y para dominios semi infinitos esto conduce a para dominios semi infinitos esto conduce a cargas que no estcargas que no estáán limitadas, y por tanto no n limitadas, y por tanto no tiene significado practicotiene significado practico


En el caso semiEn el caso semi--infinito, la ecuaciinfinito, la ecuacióón n gobernante y las condiciones de frontera gobernante y las condiciones de frontera apropiadas pueden ser escritas comoapropiadas pueden ser escritas como


2

( )( ) 0, ,

(2 )

lim ( )

lim ( ) 0

w

cimcim w

wr r

salr

r

h hd dh K d dhr h h r r rdr dr dr drKBB

dhKB r Qdr

h r h

dh rdr

λ

π=

→∞

→∞

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = + = < <∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=


En esta ecuaciEn esta ecuacióón la longitud de escala , se n la longitud de escala , se ha introducido. Esta es una longitud de ha introducido. Esta es una longitud de escala caracterescala caracteríística llamada factor de stica llamada factor de goteo. La ecuacigoteo. La ecuacióón gobernante es una n gobernante es una ecuaciecuacióón diferencial ordinaria de segundo n diferencial ordinaria de segundo grado cuya solucigrado cuya solucióón general es una n general es una combinacicombinacióón lineal de funciones de bessel n lineal de funciones de bessel I0 y K0 de la forma , estas funciones de I0 y K0 de la forma , estas funciones de bessel, nbessel, nóótese que la solucitese que la solucióón es la razn es la razóón n r/r/λλ, ,


Para el caso de un dominio semiPara el caso de un dominio semi--infinito la infinito la solucisolucióón se simplifica a n se simplifica a

0

1

( / )( )2 ( / ) ( / )

wsal

w w

Q K rh h rT r K r

λπ λ λ

− =


Donde k1 es una funciDonde k1 es una funcióón de bessel de n de bessel de segundo tipo de orden 1, tsegundo tipo de orden 1, tíípicamente se picamente se tiene que rx/tiene que rx/λλ


En este caso el comportamiento de la funciEn este caso el comportamiento de la funcióón de n de bessel k1 en el limite de un argumento pequebessel k1 en el limite de un argumento pequeñño o es tal quees tal que

1( / ) 1 para / 1ww w

r K r rλ λλ

≈ <<


Por tanto la soluciPor tanto la solucióón se simplifica a la siguiente n se simplifica a la siguiente forma:forma:

0( ) ( / )2

wsal

Qh h r K rT

λπ

− =

dudasdudas

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