LOS REGISTROS SEMIÓTICOS EN MATEMÁTICAS COMO …Revista de Investigación Educativa Conect@2,...

Macías Sánchez, J. (2014) Los registros semióticos en Matemáticas como elemento personalizado en el aprendizaje.

Revista de Investigación Educativa Conect@2, 4(9): 27-57

Revista Conect@2 ISSN: 2007-6649 Encuentro Internacional EPEDIG de Educación Personalizada

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LOS REGISTROS SEMIÓTICOS EN MATEMÁTICAS COMO ELEMENTO DE PERSONALIZACIÓN EN EL APRENDIZAJE

Macías Sánchez, Jesús

Universidad Internacional de La Rioja (UNIR) [email protected]

Fecha recepción: 21 de mayo de 2014.

Fecha aceptación: 2 de julio de 2014

Resumen: Una característica propia de los conceptos matemáticos es la

necesidad de emplear diversas representaciones para asimilarlos y

aprehenderlos en toda su complejidad. El papel que juegan los símbolos en el

desarrollo del pensamiento matemático es determinante, lo que implica, desde

una perspectiva cognitiva, que para la total comprensión de las nociones

matemáticas sea preciso emplear y coordinar más de un sistema de

representación. Del mismo modo, juega un papel de importancia dentro de la

enseñanza personalizada en matemáticas. Por ello, la semiótica y todos

aquellos aspectos que forman parte de dicho campo, se han incorporado como

ámbito de estudio en el área de la educación matemática, suscitando un interés

creciente en los últimos años.

El objetivo general de este artículo es estudiar la importancia que se concede a

los registros de representación semiótica y a la coordinación entre ellos en la

enseñanza obligatoria a través del estudio de los currículos oficiales,

centrándonos, más concretamente, en el análisis de los contenidos y criterios

de evaluación del Decreto de Enseñanzas Mínimas de Educación Primaria

para el área de Matemáticas. Para ello, nos hemos apoyado en las

investigaciones realizadas por Raymond Duval, Bruno D’Amore y Luis Radford,

entre otros, en el campo de los registros de representación, y en resultados

provenientes del ámbito de la neurociencia.




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Entre los resultados más importantes del análisis podemos destacar que se

concede poca importancia a la pluralidad de registros de representación con

los que se puede trabajar, lo que se traduce, por un lado, en una pérdida de

posibles alternativas mediante las cuales los estudiantes puedan acceder a los

conocimientos en función de su propia singularidad en la tarea de aprender, y

por otro lado, en la consideración, de que todas las representaciones de un

objeto matemático determinado tienen el mismo contenido, privándose así al

estudiante de elementos esenciales y necesarios para la correcta

conceptualización de los conceptos matemáticos. Además, podemos subrayar

que la preparación que recibe el alumno durante la Educación Primaria en lo

que a coordinación entre representación se refiere, es prácticamente

inexistente según el estudio realizado.

Palabras clave: Registros de Representación Semiótica, Enseñanza de las

Matemáticas en Educación Primaria, cognición, curriculum, conversión de

representaciones, neurociencia.

Abstract: A characteristic of mathematical concepts is the need to use different

representations to assimilate them and apprehend them in all their complexity.

The role of symbols and signs in the development of mathematical thinking is

critical, which implies, from a cognitive perspective, which for a complete

understanding of mathematical concepts is necessary to use and coordinate

more than one system of representation. Thus, semiotics and all those aspects

that are part of the field, have been incorporated as an area of study in the area

of mathematics education, raising a growing interest in recent years.

The overall objective of this paper is to study and evaluate the importance

attached to the registers of semiotic representation and coordination between

them in compulsory education through the study of the official curriculum,

focusing more specifically on the content analysis and evaluation criteria of the

Decree of Minimal Educations of Primary Education Mathematics area. We

have relied on research conducted by Raymond Duval, Bruno D'Amore and




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Luis Radford, among others, in the field of representation registers, and results

from the field of neuroscience.

Among the most important results of the analysis, we emphasize that it attaches

little importance to the plurality and diversity of representation registers with

which to work, which means, therefore, into consideration, by the student, that

all representations of a given mathematical object have the same content, thus

depriving the student of the essential and necessary for the proper

conceptualization of mathematical concepts. In addition, we emphasize that the

preparation that the student receives during primary education as far as

coordination between the registers of representation is concerned, it would be

essential for proper cognitive functioning of the student for secondary education

is almost non-existent according to the study.

Keywords: semiotic registers, Primary Education, cognition, curriculum,

conversion of representations, neuroscience.




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Introducción

Durante mucho tiempo, hasta la década de los 70, la enseñanza de las

matemáticas se fundamentaba en principios generales derivados de la

investigación psicológica, cuyo foco de atención eran únicamente los

estudiantes y su perfil cognitivo, sin que se tomase en consideración la

naturaleza de las matemáticas o su contenido, que pasaban inadvertidos.

Debido a la generalidad de los objetos matemáticos, se podría catalogar la

actividad matemática como una actividad fundamentalmente simbólica

(D’Amore, 2003, 2004, 2006; Duval, 1993, 1995, 1996; Godino, 2002, 2003;

Kaput, 1987a, 1987b, 1998). El papel que juegan los símbolos y signos en el

desarrollo del pensamiento matemático es determinante, y por ello, la semiótica

y todos aquellos aspectos que forman parte de dicho campo, se han

incorporado como ámbito de estudio en el área de la educación matemática,

suscitando un interés creciente en los últimos años por considerarse que la

consecución de un conocimiento profundo y la presencia de continuas

dificultades que experimentan los estudiantes, guardan una estrecha relación

con las diferentes maneras de representar las ideas matemáticas. Destacan,

entre otros, los trabajos de autores como Janvier (1987a, 1987b), Goldin y

Janvier (1998), Hiebert y Carpenter (1992), Duval (1993, 1995, 2006a, 2006b,

2006c, 2006d), Radford (1998, 2004, 2006a, 2006b), Radford y André (2009).

El aprendizaje de las matemáticas introduce a los estudiantes en un mundo

nuevo, tanto conceptual como simbólico, pero sobre todo representativo:

enunciados dados en las lenguas vernáculas, organizaciones visuales,

gráficas, geométricas, icónicas, etc. son algunos de los medios más empleados

en la formación, comunicación y transferencia del conocimiento matemático.

El uso del concepto de representación para caracterizar y definir los estados

mentales y las actividades de los individuos es un factor destacable en el

desarrollo reciente de la psicología cognitiva, pues dicha noción y los




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conceptos ligados o vinculados a ella, parecen resultar claves para entender,

estudiar e interpretar el modo en que los sujetos conocen, aprenden y

comprenden.

En definitiva, las representaciones son parte esencial de la estructura

conceptual necesaria para poder realizar un análisis de los procesos de

comprensión, aprendizaje y asignación de significados que llevan a cabo los

estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas, de ahí su interés didáctico

(Radford, 1998).

El objetivo general de este artículo es estudiar y evaluar la importancia y

relevancia que se concede a los registros de representación semiótica y a la

coordinación entre ellos en la enseñanza obligatoria a través del estudio de los

currículos oficiales, centrándonos, más concretamente, en la Educación

Primaria, por ser la etapa escolar que precede a aquella en la que los alumnos

van comenzar a manejar conceptos y nociones más complejas y abstractas, la

Educación Secundaria.

Nuestra hipótesis es que, una preparación adecuada en la utilización y manejo

de diferentes tipos de representaciones a lo largo de la Educación Primaria

favorecerá significativamente la coordinación de los diferentes registros

semióticos, y por tanto el aprendizaje, a lo largo de la Secundaria, donde se

hace más necesario e imprescindible que en etapas anteriores. Además, el

hecho de presentar los objetos matemáticos a través de sus múltiples

representaciones permite atender a las singularidades de aprendizaje de cada

alumno, optando por unas u otras y coordinándolas entre sí función de sus

estilos cognitivos.

Los sistemas de representación en matemáticas

Una característica propia y específica de las estructuras y conceptos

matemáticos es la necesidad de emplear diversas representaciones para




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asimilarlos y aprehenderlos en toda su complejidad, lo que implica, desde una

perspectiva cognitiva, que para la total comprensión de las nociones

matemáticas es preciso emplear y coordinar más de un sistema de

representación, como han puesto de manifiesto distintos investigadores

(D’Amore, 2003, 2004, 2006; Duval, 1993, 1995, 1996; Godino, 2002, 2003;

Janvier, 1987a; Kaput, 1987a, 1987b, 1998; Radford, 1998, 2004, 2006a).

Los signos y representaciones en matemáticas no tienen como función

primordial la de comunicar o evocar algún objeto ausente, sino que el papel

fundamental, y verdaderamente importante, lo constituyen las transformaciones

de unas representaciones en otras, ya que permiten obtener nuevas

informaciones, y propiedades, y extraer nuevos conocimientos de los objetos,

ideas y conceptos representados (Duval 2006a).

Los sistemas simbólicos y de representación en matemáticas son el

producto de siglos de selección y evolución a lo largo de la historia de las

matemáticas. Así, por ejemplo, el sistema decimal de numeración

(Chamorro, 2004), sistema de representación que evoca la noción de

número, es el resultado de una larga evolución histórica desde el uso de

palitos, cortes, guijarros, conchas, incisiones o muescas sobre un palo

(registro icónico) que empleaban nuestros antecesores prehistóricos, y que

aún siguen utilizando algunas tribus aisladas de la Amazonía.

Diversas investigaciones, como las llevadas a cabo por Pierre Pica en la tribu

Mundurukú del Amazonas, han sacado a la luz que existen ciertas facultades

matemáticas que se encuentran genéticamente ancladas en nuestro cerebro,

de modo que, y centrándonos en el tema que nos atañe, existen ciertos tipos

de representaciones “primitivas” que sirven de soporte y actúan como sustrato

en la aparición progresiva de la representación simbólica en el desarrollo del

niño (Pica, Dehaene, Izard y Spelke, 2008).




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En los últimos años se han obtenido sorprendentes resultados desde el campo

de la neurociencia cognitiva, relacionados con el modo en que el cerebro

procesa los conocimientos matemáticos. El interés que esta reciente corriente

de investigación ha generado en investigadores en didáctica de las

matemáticas viene justificada por la necesidad de esclarecer lo máximo posible

los problemas relacionados con la naturaleza del pensamiento matemático y

los procesos que tienen lugar en los estudiantes en la enseñanza-aprendizaje

de dicha disciplina, aspectos fundamentales en la personalización del

aprendizaje.

Stanislas Dehaene, matemático e investigador del Institut National de la Santé

et de la Recherche Medicale en París y miembro del Collège de France, ha

realizado diversas investigaciones en el campo de la cognición

neuropsicológica, centrándose en el estudio de los procesos que tienen lugar

en el cerebro humano en relación con las representaciones utilizadas en uno

de los conceptos elementales de la matemática, como son los números

(Dehaene, 2000, 2002a, 2002b, 2005).

Dehaene defiende la idea de que ciertas facultades numéricas son innatas en

el cerebro humano, de modo que existen ciertas representaciones mentales,

que denomina inconscientes, que actúan como punto de partida en la

construcción progresiva de los conceptos más abstractos. Formaría parte esta

idea de la singularidad de la persona, como elemento clave en su formación.

Este hecho tiene como consecuencia ciertas implicaciones pedagógicas

relacionadas de manera directa con el tipo de enseñanza matemática que

reciben los estudiantes, pues en muchas ocasiones ésta se encuentra muy

alejada de aquellas prácticas que permitirían tomar contacto con ese sustrato,

que se vería activado y potenciado si los conocimientos matemáticos se

acompañasen y fundamentasen con recursos gráficos, geométricos, figurales,

etc., ya que aunque inconscientemente se pueden activar un gran número de

tipos de representaciones, la mayor parte de las manipulaciones que se




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pueden efectuar con ellas parecen imposibles de realizar por el sujeto hasta

que es consciente de las mismas.

Cuando nos encontramos ante un concepto matemático, comienzan a activarse

en nuestro cerebro aquellas representaciones que Deheane cataloga de

inconscientes e inherentes al ser humano, de modo que empezamos a crear

una aproximación del mismo, es decir, una construcción interna, propia e

individual, diferente para cada persona, y que constituye el primer paso para la

construcción del concepto con la simbología correspondiente, dando lugar,

finalmente, a una representación que hará más tangible y manejable la idea

inicial.

Frecuentemente, en el trabajo matemático usamos unos objetos en

representación de otros, especialmente cuando se trata de nociones

abstractas, existiendo una correspondencia, a menudo implícita, entre el objeto

representante y el representado, pero esta correspondencia se da en un

sentido más amplio que la simple referencia, ya que podemos afirmar que los

sistemas de símbolos y los registros de representación permiten y ayudan a

generalizar ideas, a utilizar dichas ideas en múltiples y diferentes situaciones, y

abren la puerta a la transferencia del aprendizaje y la comprensión.

En este sentido, Duval remarca en su teoría de los Registros de

Representación Semiótica, la existencia de múltiples y diversos sistemas

semióticos que hacen referencia a un mismo concepto matemático, cada uno

de los cuales tiene sus dificultades y limitaciones. Entiende por representación

semiótica “la producción constituida por el empleo de signos que pertenecen a

un sistema de representación, el cual tiene sus propias limitaciones de

significado y de funcionamiento” (Duval, 1995: 175).

Puesto que cada representación es incompleta con respecto al concepto que

representa, pues hace referencia a unas determinadas propiedades del objeto,

y su contenido depende más del registro de representación que del objeto




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representado, se hace necesaria una interacción entre las diferentes

representaciones del objeto matemático que se pretende adquirir.

Así, por ejemplo, para referirnos al objeto circunferencia podemos utilizar los

siguientes registros representación:

• Registro de la Lengua Natural (RLN): El registro de la lengua natural

permite introducir definiciones, así como hacer descripciones o

designaciones:

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano

equidistante de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina

radio.

• Registro Numérico (RN): Las representaciones de tipo numérico permite

apreciar algunas de las características y elementos identificados de los

objetos matemáticos a los que hace referencia, así cómo vincularlos y

relacionarlos con representaciones gráficas y geométricas:

Datos Circunferencia: C1 (2,1) y P2 (0,5)

Datos circunferencia: C (5,9) y r3=3

También permite realizar operaciones de cálculo y aplicar propiedades

como pueden ser la distributiva, conmutativa, etc. necesarias para la

resolución de diversas tareas.

• Registro Figural-Icónico (RFI): Engloba dibujos, esquemas, bosquejos,

líneas, marcas, etc., que intentan representar el objeto de conocimiento

sin dar cuenta de la cualidad de los elementos involucrados:

1 C: Centro de la circunferencia

2 P: Punto por el que pasa la circunferencia

3 r: Radio de la circunferencia




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• Registro Tabular (RT): Los datos se presentan a través de un conjunto

de filas y de columnas permitiendo visualizar la información de manera

global, establecer relaciones y comparaciones entre los diferentes datos

que en ella se recogen, así como descubrir propiedades y características

del objeto de conocimiento representado:

Centro Radio Ecuación

X Y

0 3 2

-4 0 2

• Registro Algebraico (RA): Permiten realizar generalizaciones,

modelizaciones y señalar características particulares del objeto que

representa, como puede ser longitud del radio, centro, posición en el

plano, etc., en el caso de la circunferencia:

(𝑥 − 𝑎)! + (𝑦 − 𝑏)! = 𝑟 ↔ (𝑥 − 𝑎)! + (𝑦 − 𝑏)! = 𝑟!

• Registro Geométrico (RGe): El registro geométrico admite operaciones

de reconfiguración y manipulación que facilitan la comprensión y el

establecimiento de conexiones entre diferentes objetos:

• Registro Gráfico (RGr): El registro gráfico posibilita inferir, con un simple

vistazo, el comportamiento que va seguir una determinada función, así

como efectuar tratamientos propios de su registro como son las




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traslaciones, reflexiones, simetrías, contracciones, dilataciones, etc; La

representación gráfica-cartesiana hace patentes diversos elementos

(puntos de corte con los ejes, ejes de simetría, posición en el plano,

curvatura, etc.) que permiten apreciar el papel de los parámetros:

¿Qué tienen de particular cada una de estas representaciones? pues cada una

de las representaciones que hacen referencia a la circunferencia, lo hacen

también a unas determinadas propiedades de la misma, es decir, cada registro

de representación resalta unas características y propiedades determinadas del

objeto matemático, obteniendo como resultado una configuración del concepto

en toda su extensión y profundidad. La combinación y coordinación de unas y

otras da lugar a que el alumno aprehenda las nociones que se quieren

transmitir a partir de aquellas que se adecuan más a su estilo de aprendizaje.

Según Duval, poder movilizar y coordinar varios registros en el desarrollo de

una misma tarea y en el aprendizaje de un concepto, o bien poder elegir un

registro en lugar de otro, es esencial en la actividad matemática.

Duval (1993, 1995, 1996, 2006a, 2006b, 2006c, 2006d,), llama semiosis a la

actividad ligada a la producción de representaciones, la cual depende de los

signos que forman parte del sistema utilizado para generarlas, y noesis a la

actividad ligada a la aprehensión conceptual de los objetos representados,

incluyendo las diferentes actividades y procesos cognitivos desarrollados por el

sujeto.

Para Duval, un sistema semiótico, es decir un sistema de signos, y un sistema

de representación son cosas diferentes, de modo que para que un sistema




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semiótico sea un sistema de representación, debe poder permitir las tres

acciones siguientes (Duval, 1993, 1995):

1. Identificación: consiste en el reconocimiento de las representaciones que

se presentan ante el sujeto, lo que implica una selección de rasgos en el

contenido a representar.

2. Tratamiento: consiste en la transformación de una representación en

otra del mismo sistema.

3. Conversión: consiste en la transformación de una representación en una

representación de otro sistema semiótico.

Toda actividad y proceso matemático lleva consigo la capacidad y necesidad

de cambiar de registro para poder obtener la comprensión. Es por ello que los

objetos matemáticos no deben ser confundidos nunca con su representación.

Esto da lugar a lo que Duval denomina la paradoja de la comprensión en

matemáticas 4 , y que es donde la mayoría de los alumnos encuentran

problemas.

Cuando un estudiante entra en contacto con un objeto matemático, en realidad

lo está haciendo con una de sus representaciones semióticas en particular, ya

que no puede tener acceso directo a él, y solamente a través de tales

representaciones es aprehensible un objeto matemático. Esto pone de

manifiesto el por qué el tratamiento y el avance del conocimiento matemático

conduce al estudio y desarrollo de los sistemas de representación.

Para que los objetos matemáticos no sean confundidos con sus

representaciones y se sea capaz de, primero, reconocer el mismo objeto de

conocimiento a través de representaciones cuyos contenidos no tienen relación

entre sí, y, segundo, reconocer y distinguir dos objetos a través de dos

representaciones cuyos contenidos parecen semejantes porque dependen del

4 Los objetos matemáticos no deben ser confundidos nunca con su representación, pero no podemos prescindir de tales representaciones pues es la única manera de acceder a los conceptos matemáticos. Para que no se produzca confusión entre el objeto y la representación se hace necesario trabajar con más de un registro semiótico.




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mismo sistema de representación, es esencial poder movilizar diferentes

registros de representación semiótica (lengua natural, lenguaje funcional,

lenguaje algebraico, gráfico, figuras, etc.) y desarrollar la coordinación entre

ellos. (Duval ,2006b).

Por este motivo, para Duval la transformación de registros y la capacidad de

pasar de un registro de representación a otro ocupa un lugar importante y

determinante en el aprendizaje de las matemáticas.

Lo verdaderamente importante en la enseñanza de las matemáticas no es la

elección del mejor sistema de representación, pues nunca nos permitirá

apreciar todas las propiedades del objeto. Lo importante es lograr que los

estudiantes sean capaces de relacionar muchas maneras de representar los

contenidos matemáticos, y de que empleen aquellas que les permitan entender

mejor los conocimientos puestos en juego, evitando así, el establecimiento y

creación de muchos de los obstáculos en el progreso de la comprensión y el

aprendizaje del alumno.

Estudio del curriculum de educación primaria

El currículum, como eje fundamental en torno al cual giran los procesos

educativos, ha dado lugar a que los elementos que los componen hayan sido

objeto y centro de atención de gran cantidad de investigaciones.

La elección de los contenidos que forman parte de un Diseño Curricular no

surge de la nada, y mucho menos en el caso de la enseñanza obligatoria, sino

que parte de una práctica pedagógica que anhela transformar, innovar y

mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de una determinada materia.

El valor intrínseco de los currícula escolares en el mundo educativo viene dado

por el hecho de que en ellos se recogen los objetivos, las competencias




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básicas, los contenidos objeto de aprendizaje, los criterios de evaluación y

orientaciones metodológicas y pedagógicas para lograr que los estudiantes

adquieran unos elementos básicos de cultura (Rico, 1997). Así pues, son

inevitables y necesarios en el proceso educativo.

Uno de los hechos de mayor alcance en los últimos años dentro de la

Didáctica, y más concretamente de la Didáctica de las Matemáticas, ha sido la

incorporación del análisis de los currícula escolares, enmarcado en el estudio

de la transposición didáctica (Chevallard 1991), lo que ha permitido establecer

nuevas formas de plantear el proceso de enseñanza-aprendizaje, abordar

fenómenos didácticos y abrir nuevas vías de investigación con el fin de mejorar

el proceso de enseñanza-aprendizaje de una determinada materia o área de

conocimiento.

Por ello, y centrándonos en nuestro tema de estudio, se ha comenzado a tener

en cuenta, de manera explícita, en la investigación en Didáctica, la importancia

de las representaciones en las discusiones y elaboración del currículum de

matemáticas. Rico destaca la importancia de las representaciones como un

organizador del currículo, considerándolas como

… el modo en que los sujetos expresan sus

conocimientos con notaciones simbólicas o mediante algún

tipo de gráfico. Mediante las representaciones las personas

organizan su información sobre un concepto u operación

para poder pensar sobre ellos, expresar su comprensión y

utilizarla en situaciones y problemas prácticos o en

situaciones escolares convencionales (Rico, 1997: 53).

Como se ha indicado, nuestro estudio aborda la manera en que se consideran

y trabajan los registros de representación semiótica, la coordinación y

conversión entre ellos, a lo largo de la Educación Primaria, de modo que el

análisis del marco curricular se hace imprescindible con el fin de determinar si

dichos aspectos, que juegan un papel fundamental en la comprensión de las




41

nociones matemáticas, son contemplados en los decretos de enseñanzas

mínimas de nuestra legislación educativa.

Con el propósito señalado en el párrafo anterior, se ha creído conveniente

analizar cuáles pueden ser los registros de representación que los alumnos

han podido comenzar a manejar durante la Educación Primaria, así como las

posibles conversiones entre registros que se podrían y deberían haber

introducido. Para ello vamos a analizar el Decreto de Enseñanzas Mínimas de

la Educación Primaria (MEC, 2006; MEC, 2007).

En dicho Decreto se dispone que la Educación Primaria comprenderá seis

cursos organizados en tres ciclos de dos cursos cada uno, debiéndose

incorporar los alumnos al primer curso el año natural en el que cumplan seis

años.

Los contenidos, en el área de Matemáticas, se han organizado en cuatro

bloques que responden al tipo de objetos matemáticos que se manejan en

cada uno de ellos: Números y Operaciones, La Medida: estimación y cálculo de

magnitudes, Geometría y Tratamiento de la información, azar y probabilidad.

Estos cuatro bloques de contenidos son los que van a desarrollarse a lo largo

de los tres ciclos que componen la Educación Primaria, con mayor o menor

grado de complejidad en función del ciclo y curso en el que el alumno se

encuentre.

A continuación, vamos a analizar por ciclos cuales son los registros de

representación que podrían utilizar los alumnos, las posibles conversiones que

podrían efectuar, así como los contenidos y criterios de evaluación que hacen

referencia a alguna de ellas, teniendo en cuenta las siguientes

consideraciones:

• Cada noción u objeto matemático puede venir representado por el RLN,

RN, RA, RGe, RGr, RFI o el RT.




42

• Atendiendo a las principales ideas piagetianas, y siguiendo a Chamorro

(2005), las operaciones de simbolización constituyen un puente entre las

formas elementales de expresión y las formas más evolucionadas del

pensamiento matemático, de manera que existe una formalización

gradual que caracteriza el paso de un nivel a otro de evolución. El

comienzo de la simbolización se liga, al principio, a operaciones

concretas aunque acompañadas de ciertas formas del lenguaje (de 2 a 7

años); se da, a continuación, un cierto paso hacia la formalización con la

coordinación entre acciones y operaciones concretas y se va

abstrayendo un cierto tipo de simbolización relacionada con los objetos

dados (8 a 11 años); es a partir de los 12 años cuando esa simbolización

se libera de las interferencias de los objetos. El simbolismo se hace más

complejo y equilibrado con interdependencia de la formalización

señalada.

Esto nos conduce a limitar los registros de representación que el

estudiante podría utilizar en cada bloque de contenido en función de su

desarrollo.

• La conversión entre registros no se da de manera inmediata y

espontanea, y la congruencia entre representaciones genera

importantes dificultades a tener en cuenta. La mayor dificultad para la

coordinación de registros radica en los fenómenos de no congruencia

entre las representaciones en diferentes sistemas semióticos, es decir,

cuando no se da la condición de correspondencia semántica entre las

unidades significantes5 que constituyen cada registro.

Por este motivo, las conversiones que podrían efectuar los estudiantes

en cada bloque de contenidos de cada uno de los ciclos, vienen

determinadas por la dificultad que presente la congruencia entre las

mismas.

5 Conjunto de caracteres, rasgos, parámetros o signos propios de un sistema semiótico de acuerdo con las posibilidades de representación del registro, para que representen las características principales de un objeto.




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TABLA I. Conversión entre registros en el primer ciclo de primaria PRIMER CICLO

BLOQUE

REGISTROS DE REPRESENTACIÓN

QUE PODRÍAN UTILIZAR

CONVERSIONES QUE PODRÍAN

EFECTUAR

CONTENIDO QUE HACE REFERENCIA A ALGUNA DE LAS

CONVERSIONES

TIPOS Nº CONTENIDO Y TIPO DE CONVERSIÓN Nº

Números y operaciones

Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Figural-Icónico Registro Gráfico Registro Tabular

RLN ↔ RN RN ↔ RFI RFI→ RGr RN → RGr RLN ↔ RFI RFI→ RT

RLN ↔ RT RT ↔ RGr

13 Representación de cantidades en contextos familiares. (RN → RFI) 1

La medida: estimación y cálculo de magnitudes


RLN ↔ RN RN ↔ RFI

RLN ↔ RFI RLN ↔ RT RFI → RT RGr → RT RGr ↔ RN

12

Utilización del lenguaje adecuado para interpretar y describir mediciones espaciales sencillas. (RFI → RLN; RN → RLN)

2

Geometría

Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Geométrico Registro Figural-Icónico Registro Tabular

RLN ↔ RGe

RGe ↔ RFI RLN ↔ RFI RN ↔ RGe RN ↔ RFI RT ↔ RGe

12

Uso de vocabulario geométrico para describir itinerarios: puntos, líneas abiertas y cerradas; rectas y curvas. (RGe → RLN) Interpretación y descripción verbal de croquis de itinerarios y elaboración de los mismos. (RFI → RLN)

2

Tratamiento de la información, azar y probabilidad


RLN ↔ RGr

RLN ↔ RT RT → RGr RN → RT RN → RGr RFI → RT RFI → RN

RFI → RLN

10

Descripción verbal, obtención de información cualitativa e interpretación de elementos significativos de gráficos sencillos relativos a fenómenos cercanos. (RGr → RLN) La representación gráfica: diagramas de barras. (RN → RGr) Interpretar y producir información que utiliza una forma gráfica de representación. (RGr → RLN)

2

Fuente: elaboración propia

Del estudio anterior se desprenden algunas observaciones. Una primera

observación, que va a ser común al resto de ciclos, es el predominio de los

tratamientos de carácter algorítmico frente al trabajo y manejo de posibles

conversiones entre registros. Es importante resaltar que para lograr que los

alumnos adquieran conocimientos de manera significativa no podemos basar el




44

proceso de enseñanza-aprendizaje en la transmisión de estrategias de cálculo

prefijadas ni en métodos mecánicos, esto es, algoritmizados, sino que se

precisa, entre otras condiciones, que el alumno establezca relaciones básicas

entre las distintas representaciones que hacen referencia a una misma noción.

Si comparamos las conversiones que, según los contenidos del ciclo marcados

en el currículo, el estudiante va a hacer, y entre las cuales predominan aquellas

en las que uno de los registros de representación es la lengua natural, con las

posibles conversiones que el estudiante podría trabajar durante este primer

ciclo, se observa que son escasas, por lo que podríamos destacar ya un

fenómeno didáctico: la actividad reductora del ejercicio de la representación.

Del mismo modo, si estudiamos los criterios de evaluación que hacen

referencia a alguna de las conversiones que se podrían efectuar, tenemos

exclusivamente:

• Criterio de Evaluación número 9: Realizar interpretaciones elementales

de los datos presentados en gráficos de barras. Formular y resolver

sencillos problemas en los que intervenga la lectura de gráficos (MEC,

2007). (RGr → RLN)

Luego, en este primer ciclo las conversiones entre registros de representación

quedan relegadas a un segundo plano, pasando inadvertidas al no

contemplarse suficientemente en la legislación.

TABLA II. Conversión entre registros en el segundo ciclo de primaria SEGUNDO CICLO

BLOQUE

REGISTROS DE REPRESENTACIÓN

QUE PODRÍAN UTILIZAR


EFECTUAR

CONTENIDO QUE HACE REFERENCIA A ALGUNA DE LAS

CONVERSIONES

TIPO Nº CONTENIDO Y TIPO DE CONVERSIÓN Nº


Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Figural-Icónico Registro Gráfico

RLN ↔ RN RN ↔ RFI RFI→ RGr RN ↔ RGr RLN ↔ RFI RFI→ RT

14

Necesidad de los números para contar, ordenar, operar, medir y codificar información.( RLN→RN; RFI → RN) Comparación entre fracciones

3




45

Registro Tabular RLN ↔ RT RT ↔ RGr

sencillas mediante ordenación y representación gráfica. (RN → RGr)




RLN ↔ RFI RLN ↔ RT RFI → RT RGr → RT RGr ↔ RN

12

Explicación oral y escrita del proceso seguido y de la estrategia utilizada en la medición. Utilización del vocabulario adecuado. (RFI → RLN; RN → RLN)

2

Geometría

Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Geométrico Registro Figural-Icónico Registro Tabular

RLN ↔ RGe RGe ↔ RFI RLN ↔ RFI RN ↔ RGe RN ↔ RFI RT ↔ RGe

12

Representación elemental planos y maquetas. (RLN → RFI) Descripción de posiciones y movimientos en un contexto topográfico. (RFI → RLN) Descripción de la forma de objetos utilizando el vocabulario geométrico básico. (RGe → RLN) Utilización de recursos informáticos para manipular, comprender, describir, crear y transformar formas planas y espaciales. (RGe → RLN; RFI → RLN) Construcción de figuras geométricas planas a partir de datos. (RLN → RGe; RN → RGe) Aproximación a la lectura e interpretación de mapas y planos sencillos. (RFI → RLN)

5



RLN ↔ RGr RLN ↔ RT RT → RGr RN ↔ RT RN → RGr RFI → RT RFI → RN

RFI → RLN

11

Tablas de datos. Iniciación al uso de estrategias eficaces de recuento y análisis de datos. (RN→RT) Lectura e interpretación de tablas de doble entrada de uso habitual en la vida cotidiana. (RT → RLN) Interpretación y descripción verbal de elementos significativos de gráficos sencillos relativos a fenómenos familiares. (RGr → RLN) La representación gráfica: diagramas de barras y pictogramas. (RN → RGr)

4

Fuente: Elaboración propia




46

En este ciclo aumentan tanto el número de conversiones que los alumnos

pueden realizar como el número de conversiones que se contemplan en los

contenidos en relación con el ciclo anterior. Aun así, el número de

transformaciones que la ley parece considerar para cada uno de los bloques de

contenidos sigue siendo reducido en comparación con las que realmente se

podrían trabajar con los estudiantes, existiendo un predominio de las

conversiones en las que interviene el registro discursivo de la lengua natural y

el registro numérico.

También cabe señalar cómo todas las conversiones a las que se hace

referencia en este ciclo van en un único sentido, no teniendo lugar, en ningún

caso, una conversión de representaciones en el sentido inverso, lo que

permitiría al alumno no solo adquirir un mejor manejo de las conversiones para

una determinada noción sino una comprensión mayor de dicho contenido,

interiorizándolo y aprendiéndolo de manera más significativa y completa al

asegurarse la reversibilidad.

Si analizamos qué conversiones se contemplan en los criterios de evaluación

de este segundo ciclo, tenemos:

• Criterio de Evaluación número 1: Utilizar en contextos cotidianos la

lectura y la escritura de números naturales, interpretando el valor

posicional de cada una de ellas y comparando y ordenando números por

el valor posicional y en la recta numérica (MEC, 2007). (RN→ RGr; RN

→RFI)

• Criterio de Evaluación número 2: Reconocer fracciones como partes de

la unidad o de colecciones, comparar fracciones sencillas y

representarlas mediante gráficos simples o en la recta numérica (MEC,

2007). (RN → RFI; RN → RGr)

• Criterio de Evaluación número 6: Obtener información puntual y describir

una representación espacial (croquis de un itinerario, plano de una

pista.), tomando como referencia objetos familiares y utilizar las

nociones básicas de movimientos geométricos, para describir y




47

comprender situaciones de la vida cotidiana y para valorar expresiones

artísticas (MEC, 2007). (RFI → RLN; RGe → RLN)

• Criterio de Evaluación número 8: Recoger datos sobre hechos y objetos

de la vida cotidiana utilizando técnicas sencillas de recuento, ordenar

estos datos atendiendo a un criterio de clasificación y expresar el

resultado de forma de tabla o gráfica… Es asimismo motivo de

evaluación la capacidad para describir e interpretar gráficos sencillos

relativos a situaciones familiares (MEC, 2007). (RLN → RT; RT → RGr;

RGr → RLN; RLN → RN)

• Criterio de Evaluación número 9: Leer, interpretar y describir

verbalmente datos obtenidos directamente de tablas, pictogramas y

diagramas de barras de fenómenos o situaciones familiares (MEC,

2007). (RT → RLN; RGr → RLN; RFI → RLN)

Tal y como pasaba con los contenidos, existe un predominio de conversiones

en las que interviene el lenguaje natural.

Llama la atención cómo en los criterios que hacen referencia a los números

fraccionarios se tiene en cuenta la conversión del registro numérico al registro

figural pero en ningún momento se hace alusión a la conversión en el sentido

contrario, lo que permitiría al estudiante construir su conocimiento de manera

funcional y significativa.

Igualmente, en lo relativo al registro geométrico, únicamente se toman en

cuenta conversiones en las que las construcciones y representaciones propias

de este registro intervengan en la descripción de planos.

Finalmente, en el bloque de estadística es en el que más conversiones se

tienen en cuenta, lo que parece indicar que, basándonos en el Real Decreto de

Enseñanzas Mínimas, en dicho bloque parece llevarse a cabo un trabajo

adecuado en cuanto a conversión de registros semióticos se refiere.




48

Por tanto, aunque en este ciclo aumentan las conversiones que los estudiantes

pueden manejar, únicamente parecen trabajarse aquellas que son

estrictamente necesarias para que los alumnos accedan a una determinada

noción o conocimiento, pasando por alto todas aquellas que favorecerían un

aprendizaje más significativo.

TABLA III. Conversión entre registros en el tercer ciclo de primaria

TERCER CICLO

BLOQUE REGISTROS DE

REPRESENTACIÓN QUE PODRÍAN

UTILIZAR


EFECTUAR CONTENIDO QUE HACE REFERENCIA A

ALGUNA DE LAS CONVERSIONES

TIPO Nº

CONTENIDO Y TIPO DE CONVERSIÓN Nº


Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Figural-Icónico Registro Geométrico Registro Gráfico Registro Tabular

RLN ↔ RN RN ↔ RFI RFI→ RGr RN ↔ RGr RLN ↔ RFI RFI→ RT

RLN ↔ RT RT ↔ RGr

14

Ordenación de números enteros, de decimales y de fracciones por comparación y representación gráfica. (RN → RGr)

1




RLN ↔ RFI RLN ↔ RT RFI → RT RGr → RT RGr ↔ RN RGe → RN

13

Explicación oral y escrita del proceso seguido y de la estrategia utilizada en la medición. Utilización del vocabulario adecuado. (RFI → RLN; RN → RLN)

2

Geometría

Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Algebraico Registro Geométrico Registro Figural-Icónico Registro Tabular

RLN ↔ RGe

RGe ↔ RFI RLN ↔ RFI RN ↔ RGe RN ↔ RFI RT ↔ RGe RLN ↔ RA RN ↔ RA RT ↔ RA RA ↔ RFI

20

Sistema de coordenadas cartesianas: ejes y centro de coordenadas. Representación y lectura de puntos. (RGr → RLN; RN → R RGr; RGe → RLN; RLN → R. RGe) Descripción de posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros. (RGr → RLN; RGe → RLN) La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas. (RLN → RFI; RLN → RGr; RGe → RLN) Representación de formas geométricas. (RLN → RGe; RFI → RGe) Resolución de problemas geométricos explicando oralmente y por escrito el

7




49

significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas. (R. RGe → RLN; RN → RLN)


Registro de la Lengua Natural Registro Numérico Registro Algebraico Registro Figural-Icónico Registro Gráfico Registro Tabular

RLN ↔ RGr

RLN ↔ RT RT → RGr RN ↔ RT RN → RGr RFI → RT RFI → RN

RFI → RLN RN ↔ RA RA ↔ RT

15

Distintas formas de representar la información. Tipos de gráficos estadísticos: diagramas de barras, pictogramas, polígonos de frecuencias y diagramas de sectores. (RN → RGr) Valoración de la expresividad del lenguaje gráfico para la representación de datos. (RGr → RLN; R.FI → RLN) Elaboración y presentación de gráficos y tablas.(RN→ RGr; RN → RT)

4

Fuente: Elaboración propia

En este tercer ciclo, el número de registros que los alumnos podrían trabajar en

cada uno de los bloques de contenidos es mayor que en el ciclo anterior, por lo

que las conversiones que sería posible que llevasen a cabo también aumenta.

Sin embargo, a excepción del bloque correspondiente a geometría en el que,

debido a que en este ciclo se comienza a estudiar el sistema de coordenadas

cartesiano, se contemplan nuevas conversiones (RGr → RLN; RN → RGr;

RGe → RLN), el resto permanecen prácticamente igual que en el ciclo

anterior.

Por otro lado, los criterios de evaluación que hacen referencia a la valoración

de alguna conversión entre registros, disminuye considerablemente con

respecto al segundo ciclo:

• Criterio de Evaluación número 7: Interpretar una representación espacial

(croquis de un itinerario, plano de casas y maquetas) realizada a partir

de un sistema de referencia y de objetos o situaciones familiares (MEC,

2007). (RFI → RLN; RGe → RLN)

• Criterio de Evaluación número 8: Realizar, leer e interpretar

representaciones gráficas y tablas numéricas de un conjunto de datos

relativos a contextos familiares. También se valorará el grado de

comprensión de la información así expresada, mediante la comunicación




50

oral y escrita del razonamiento seguido (MEC, 2007). (RT→ RLN; RGr

→RLN).

Conclusión

Una de las características más importantes de la actividad matemática es la

diversidad de registros de representación semiótica que es necesario movilizar

en la enseñanza y aprendizaje de un determinado concepto u objeto

matemático. Esto es debido a que, únicamente, a través de tales

representaciones, podemos tener acceso a los objetos de conocimiento en

matemáticas.

Duval (DUVAL, 1993, 2003, 2006a, 2006b, 2006c, 2006d) defiende que no

deben confundirse los objetos matemáticos con su representación, y define los

registros de representación como un medio de expresión que se caracterizan

por sus signos propios y la forma en que estos se organizan. La lengua natural,

una notación, un símbolo, un esquema o una gráfica representan a un objeto

matemático.

Restar importancia a la pluralidad y diversidad de registros de representación,

trae como consecuencia la consideración, por parte del alumno, de que todas

las representaciones de un objeto matemático determinado tienen el mismo

contenido.

Desde esta perspectiva, y particularizando en el tratamiento que hace el

curriculum escolar de primaria a este respecto, se ha llegado a las siguientes

conclusiones:

• Si bien, durante la Educación Primaria parece que existe cierta

introducción al uso y manipulación de más de un registro de

representación para un determinado concepto, podemos decir que es

limitado y bastante pobre con respecto a las posibilidades existentes en




51

dicha etapa educativa. Las conversiones que se han localizado en el

estudio del Decreto de Enseñanzas Mínimas de Educación Primaria,

más que favorecer la comprensión de los objetos matemáticos y las

propiedades que los caracterizan, parecen perseguir que el alumno

resuelva las tareas planteadas con éxito, pasando por alto la

complejidad existente en la relación entre representaciones.

• La mayor parte de las nociones son introducidas y presentadas a los

estudiantes a través de un único registro de representación, lo que,

además de dar lugar a la confusión por la identificación del objeto de

conocimiento con la representación utilizada, supone una pérdida de

información significativa, pues para configurar un concepto en toda su

extensión y profundidad, de manera que se evidencien todas sus

propiedades y características, se hace imprescindible trabajar con varias

de las representaciones que hacen referencia al concepto objeto de

aprendizaje.

• Destaca cómo el registro de la lengua natural predomina de manera

absoluta, debido a que es considerado tradicionalmente como la fuente

universal de conocimiento, desempeñando dos funciones básicas que

se encuentran interrelacionadas: la de comunicar y la de representar.

Hay que tener en cuenta que una de las causas importantes que se

encuentra relacionada directamente con el deficiente rendimiento

académico de muchos de los estudiantes en la escolaridad obligatoria,

radica en el insuficiente desarrollo de su capacidad para la comprensión

lectora.

En los últimos años, investigaciones en neurociencia, cuyos propósitos

han sido los de aportar datos y resultados que permitan mejorar el

diagnóstico y la intervención educativa en la lectura, han señalado dos

posibles causas relacionadas con las dificultades en la comprensión

lectora: la falta de desarrollo y progreso de habilidades y técnicas

propias de la lectura y la comprensión, por un lado, y la posible




52

desorganización, o déficit funcional, de los circuitos neuronales

vinculados en los procesos del lenguaje, por otro.

Cuando leemos un texto, no somos conscientes de la dificultad y

complejidad de las operaciones que se realizan en nuestro sistema

visual. En una fracción de segundo nuestro cerebro reconoce las

palabras y accede a su sentido. Esta operación es más compleja de lo

que parece, pues tiene lugar un proceso de reconocimiento y selección

de las características visuales que son relevantes para la lectura y las

que no lo son. Aprender a leer consiste en poner en conexión dos

sistemas cerebrales presentes en el niño: el sistema visual de

reconocimiento de las formas y las áreas del lenguaje (Dehaene, 2007).

El binomio formado por neurociencia y educación, persigue la

comprensión de los procesos mentales que suceden en nuestro cerebro,

con el fin de poder mejorar las estrategias, modelos, métodos y técnicas

de identificación e intervención educativa, de manera que el proceso de

enseñanza-aprendizaje esté acorde con el desarrollo de los sujetos. De

esta forma, a través del estímulo de determinadas regiones cerebrales

se puede llevar a cabo un aprendizaje de forma más natural, integrando

y procesando el conocimiento en el cerebro de manera tal, que dicha

información sea considerada relevante, utilizable y aplicable.

Así, estudios como los desarrollados por Dehaene (2003) en el campo

de la neuroimagen, han evidenciado que la región cerebral que parece

asumir la función de reconocer las palabras, antes de que se vea

estimulada y activada por estas, muestra, primeramente, una clara

preferencia por dibujos e imágenes.

No cabe duda que la lengua natural juega un papel importante en el

proceso de enseñanza-aprendizaje, pero en el caso concreto de la

enseñanza de las matemáticas, el empleo de símbolos, tablas, gráficas,




53

figuras, construcciones geométricas, etc., favorece las operaciones

cognitivas, afianzando los conocimientos que se pretende que el

estudiante adquiera.

Todo esto nos lleva a afirmar que un empleo abusivo de dicho registro

puede no ser adecuado, pues la comprensión de un enunciado es

condición necesaria, aunque no suficiente, en la resolución de las

diversas tareas que se les plantea a los estudiantes.

• Los sistemas de representación están estrechamente ligados al proceso

de enseñanza-aprendizaje de las nociones matemáticas, y sin embargo

la manera en que parecen considerarse en el Decreto de Enseñanzas

Mínimas analizado, no parecen ayudar ni favorecer la adquisición y

enriquecimiento por parte del alumno de sus representaciones internas,

así como la conexión y coordinación entre ellas de modo que puedan

relacionar los significados y objetos matemáticos correspondientes de

manera significativa.

• El número limitado de registros utilizados y conversiones que se

contemplan en el currículum es indicativo de la escasa importancia

concedida a la personalización del aprendizaje en matemáticas. Para

lograr que nuestros estudiantes asimilen de manera significativa las

nociones matemáticas no podemos dar por hecho que todos

aprehenden de la misma forma ni podemos basar dicho proceso en un

simple mecanismo memorístico vacío de significancia, sino que es

preciso tener en cuenta las singularidades del aprendizaje de cada niño

y facilitarles todos aquellos medios que estén a nuestro alcance para

que logren alcanzar el concomimiento deseado. En ello, juega un papel

importante la utilización de los diversos registros de representación.

• La forma en que son contemplados los registros de representación

semiótica y sus posibles conversiones es escasa e insuficiente, lo que

puede dar lugar a futuras limitaciones por parte del alumno en el

aprendizaje de los sucesivos conocimientos.




54

Por tanto, la preparación que recibe el alumno durante la Educación Primaria

en lo que a coordinación entre registros de representación se refiere, que sería

esencial para un adecuado funcionamiento cognitivo del estudiante durante la

Educación Secundaria, es prácticamente inexistente según el análisis

realizado.

El ejercitar la coordinación entre los diferentes sistemas de representación es

de vital importancia para que tenga lugar en el alumno un funcionamiento

cognitivo efectivo. Debido a que la formación y adquisición de conceptos en

matemáticas requiere una coordinación entre registros, su enseñanza y

aprendizaje no puede limitarse a la automatización de determinadas técnicas

operatorias, sino que deben ser trabajados, también, aspectos fundamentales y

necesarios para el aprendizaje, como son la visualización, el razonamiento y

sobre todo la conversión entre registros.

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