Control Predictivo basado en Modelos (MPC)

Prof. Cesar de Prada Dpto. Ingenieria de Sistemas y Automática

Universidad de Valladolid, España

e-mail: prada@autom.uva.es web:http//www.isa.cie.uva.es

Tendencias en la industria Exigencias crecientes de optimización de costos, mejor

calidad, productividad, seguridad, respeto al medio ambiente, funcionamiento de las plantas en un amplio rango de condiciones de operación,..

Requiere una mejora de los sistemas de control para cumplir

especificaciones. Necesidad de racionalizar las decisiones de nivel superior con

significado económico y de integrar todas las decisiones a diversos niveles.

El lazo de control

Proceso Controlador u w y

SP CV

v

MV

DV

El regulador PID

regulador basado en señal, no incorpora conocimiento explícito del proceso

3 parámetros de sintonia Kp, Ti, Td diversas modificaciones

e t w t y t

u t K e tT

e d T dedtp

id

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= −

= + +

∫

1τ τ

Regulación automática convencional

Reactor FT

FT

FC

FC

TT

AT

Temp

Conc.

Refrigerante

Producto

TC

Problemas de control

En la industria de procesos, los reguladores PID solucionan bien la mayoría de los problemas de control monovariable (caudal, presión,...)

Sin embargo pueden no tener un buen comportamiento en lazos de dinámica difícil (retardos, fase no mínima, etc.)

En sistemas mas complejos con interacción entre variables, (control de una unidad de proceso,...) la interacción entre lazos puede empeorar seriamente el control.

Reactor: Interacción

Reactor FT

FT

FC

FC

TT AT

Refrigerante

Productos

u1 u2

TC AC

Materia prima

wT wc La interacción entre los lazos puede impedir un funcionamiento adecuado

Interacción

Reactor FT

FT

FC

FC

TT AT

MPC

Temp Conc.

Refrigerante

Producto

u1 u2

Reactivo

El control multivariable tiene en cuenta la interacción entre las variables y trata de controlar la unidad de proceso como un todo

Procesos multivariables (MIMO)

En procesos multivariables la interacción crea problemas de control. Además cuando hay restricciones en las variables, perturbaciones, etc. las llamadas estructuras de control no siempre dan buenos resultados y son difíciles de mantener. En consecuencia, a menudo la unidad se regula manualmente por un operario.

LC

LT

FT FC

PT PC

LT LC

D FC FT

F

V

R

TT

TC

TT

TC FT FY

Control Multivariable

El control multivariable, y en particular el MPC, tiene en cuenta la interacción entre las variables, sus restricciones, las perturbaciones, etc. y permite realizar un control eficiente de forma automática, abriendo las puertas a la optimización de su punto de operación. LC

LT

FT FC

PT PC

LT LC

D FC FT

F

V

R

TT

TT

FT

MPC

Control y optimización

tiempo

ref

ref límite superior

•La reducción de varianza permite mover la referencia y respetar los límites de la variable. •La mejora del control permite la optimización.

Hogargar

Secadero aire

Gas

pulpa

Pulpa seca

gases

MC MT

w

Un mejor control permite la optimización del punto de trabajo

límite

W1 W2

Humedad de pulpa seca

SP

Control y Optimizacion

minimizar varianza permite mover la consigna mas cerca de los límites de operación óptimos – necesidad de un mejor control – operar cerca de las restricciones

limite

W1 W2

Pirámide de control

Instrumentación

Regulación convencional

MPC

Optimización local

PID, DCS,..

Válvulas, Transmisores

Control Predictivo

El control avanzado opera sobre el control convencional, aplicado al funcionamiento de una unidad de proceso y añade nuevas fucionalidades teniendo en cuenta la interacción entre las variables, las restricciones y la optimización continua de su operación.

JERARQUIA DE CONTROL

Para poder abordar problemas de un nivel, los niveles inferiores han de funcionar correctamente

En concreto, la optimización económica exige que el nivel de control funcione adecuadamente

nivel 0 Instrumentación

de Campo

Nivel 1 Control Convencional

PID, DCS

Nivel 2 Control Avanzado

Nivel 3 Optimización

Interes económico

estrategia de control basada en el uso explícito de un modelo del proceso para predecir el comportamiento futuro de la variable controlada sobre un horizonte temporal

es factible por los cambios tecnológicos en computadores, técnicas de modelado, métodos numéricos,...

Diversos algoritmos: DMC, GPC, …..

Proceso Optimizador u w y v

Predictor y(t+j)

Control Predictivo MPC

u(t) u(t+k|t)

y(t+k|t) ^

t t+1 t+2 ...

tiempo

pasado futuro

tiempo

Señal de referencia

Predicción de la salida: CV

MV

SP

Control Predictivo

MPC, Optimización

Proceso Optimizador u w y v

Predictor y(t+j)

[ ] [ ]∑ ∑=

−

=++∆β++−+=

2N

1Nj

1Nu

0j

22

),..1t(u),t(u)jt(u)jt(w)jt(yJmin

y(t+j) están relacionados con u(t), u(t+1)… a través de las ecuaciones de predicción calculadas con el modelo del proceso

Control predictivo

MPC PID

Características del MPC

Maneja problemas de control multivariable con distinto numero de CV y MV y compensa perturbaciones medibles

Permite trabajar con procesos de dinámica compleja: retardos, respuesta inversa, ....

Permite trabajar con restricciones en las variables manipuladas o controladas

Fácil de entender

Abre las puertas a la optimización económica del proceso

Diseño de controladores

Sin Modelo

Sintonía del

controlador

Con Modelo Especificar control

Modelado

Identificación

Análisis del proceso

...pero necesita un modelo dinámico

Principales elementos

Modelo interno usado para efectuar predicciones del comportamiento futuro

Señal de Referencia Estructuración de la ley de control Cálculo de las señales de control que

proporcionan un mejor escenario futuro Estrategia de horizonte movil

Modelos discretos

Proceso Ordenador A/D

D/A y(kT)

u(kT)

modelos discretos la salida en t = kT depende de las entradas y salidas en instantes de tiempo (k-j)T anteriores

Modelos Lineales

la salida actual depende linealmente de las entradas y salidas en instantes de tiempo anteriores

y t a y t a y t n b u t b u t mn m( ) ( ) . . . . ( ) ( ) . . . . ( )= − − − − − + − + + −1 11 1

las variables u e y son perturbaciones sobre un punto de operación y t Y Y

u t U U( )( )

= −= −

0

0

Modelo respuesta salto

y t g u t jj

j

( ) ( )= −=

∞

∑1

∆

•No requiere conocer la estructura del modelo •Puede describir dinámicas no usuales •Predicción simple y poco sensible a errores •Limitado a sistemas estables •Contiene muchos parámetros

Matriz Dinámica

t

y y y t

t

t

y

t

y

t

y

u1

u2

y1 y2 y3

respuesta salto entre cada par entrada/salida

DMC Dynamic Matrix Control

Modelo: respuesta salto + perturbación

)t(n)it(ug)t(y1i

i +−∆= ∑∞

=

Predicciones: )jt(n)ijt(ug)ijt(ug)jt(y1ji

i

j

1ii ++−+∆+−+∆=+ ∑∑

∞

+==

n t j n t y t g u t ip ii

( ) ( ) ( ) ( )+ = = − −=

∞

∑ ∆1

Modelo de perturbación:

∑

∑∑∞

=

∞

+==

−∆−+

+−+∆+−+∆=+

1iip

1jii

j

1ii

)it(ug)t(y

)ijt(ug)ijt(ug)jt(yPredicciones:

gi

)1t(z)t(z)t(z −−=∆

DMC, Dynamic Matrix Control

∑∑∑∞

=

∞

+==

−∆−+−+∆+−+∆=+1i

ip1ji

i

j

1ii )it(ug)t(y)ijt(ug)ijt(ug)jt(y

∑

∑∑

∞

=+

++

∞

=

∞

+=

−∆−+=

−−∆−−∆−+−∆+−∆+=

=−∆−−+∆+=

1iiijpj

212j1jp

1ii

1jiipj

)it(u)gg()t(yp

....)2t(ug)1t(ug...)2t(ug)1t(ug)t(y

)it(ug)ijt(ug)t(yp

g g d N N Nj i i j i i+ +− ≅ − ≅ > =0 0 1 2 d i j, ,....,

In asymptotically stable systems:

∑=

+ −∆−+=N

1iiijpj )it(u)gg()t(yp Free response of the system

at time t

gi

DMC, Dynamic Matrix Control

( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆

G q g q g qj jj( ) ......− − −= + +1

11

p respuesta libre

∑=

+ −∆−+=N

1iiijpj )it(u)gg()t(yp

p

u(t-1)

j

j

1ii p)ijt(ug)jt(y +−+∆=+ ∑

=

Predicciones: Respuesta forzada + libre

DMC, elección óptima de u

w

y(t+j)

N2

Horizonte de Predicción

t time

u(t-1) u(t)

Nu Horizonte de Control

t time

N1

∆u(t+j) = 0 j ≥ Nu Nu control horizon

Min : [ ] [ ]J ( ) ( ) ( )= + − + + +∑∑=

−

=y t j w t j u t j

j

Nu

j N

N 2 2

0

1

1

2β∆

Estructura del control:

( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆

DMC

G =

+

− +

g gg g g

g g

N

N

N N Nu

1 1

1 1 2 1

2 2 1

0 00 0

0

... ...

... ...... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

Puede formularse en forma matricial:

[ ]∆ ∆ ∆ ∆u( )' ( ), ( ),..., ( )t u t u t u t Nu= + + −1 1

min ∆u(t), ∆u(t+1),..

[ ]2N11N1N0 p)2Nt(w,...,p)11Nt(w,p)1Nt(w' −+−++−+= +e

[ ] [ ]J ( ) ( ) ( )= + − + + +∑∑=

−

=y t j w t j u t j

j

Nu

j N

N 2 2

0

1

1

2β∆

( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆

[ ] 000 ')t('2)t(')t('J eeuGeuIGGu +∆−∆β+∆=

DMC

[ ] 000 ')t('2)t(')t('J eeuGeuIGGu +∆−∆β+∆=

[ ] 0uuGeG

0u

0 =∆β+∆−′−

=∆∂∂

22

J

[ ] 01 '')t( eGIGGu −β+=∆

Si no hay restricciones:

[ ] )('')t( j1 pwGIGGu −β+=∆ −

Acción Integral

Compensación de retardos

Sintonía: Horizontes, β

Sistemas estables en lazo abierto

w y(t+j)

N1 N2 horizonte de predicción

t tiempo

u(t-1) u(t)

Nu horizonte de control

t tiempo

horizonte de coincidencia

[ ] [ ]∑ ∑=

−

=+∆

+∆β++−+=2N

1Nj

1Nu

0j

22

)jt(u)jt(u)jt(w)jt(yJmin

Parámetros DMC

β Factor de peso

Move supression factor ∆u control moves

DMC offset

( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆

p

pss

N

1iiijpj

yy

yp)it(u)gg()t(yp

=⇒

=⇒−∆−+= ∑=

+

En estado estacionario:

DMC predicciones:

y como

sspy =

Las predicciones del estado estacionario son no sesgadas y, si la optimización lleva las predicciones del modelo a w, entonces la salida del proceso yp será igual a la referencia w, proporcionando error estacionario nulo

Perturbaciones medibles

y t g u t i d v t i n tii

ii

( ) ( ) ( ) ( )= − + − +=

∞

=

∞

∑ ∑∆ ∆1 1

+ u

v

n

variable manipulada

perturbación medible

perturbaciónes no medibles

y

variable controlada

Modelo DMC:

Predicciones (DMC) con perturbaciones conocidas

)jt(n)ijt(vd)ijt(vd

)ijt(ug)ijt(ug)jt(y

1jii

j

1ii

1jii

j

1ii

++−+∆+−+∆+

+−+∆+−+∆=+

∑∑

∑∑∞

+==

∞

+==

∑∑∞

=

∞

=

−∆−−∆−==+1i

i1i

ip )it(vd)it(ug)t(y)t(n)jt(n

∑∑∑∑

∑∑∞

=

∞

=

∞

+==

∞

+==

−∆−−∆−+−+∆+−+∆+

+−+∆+−+∆=+

1ii

1iip

1jii

j

1ii

1jii

j

1ii

)it(vd)it(ug)t(y)ijt(vd)ijt(vd

)ijt(ug)ijt(ug)jt(y

Predicción:

Hipótesis:

Separar términos que dependen del futuro y del pasado

DMC: Respuesta libre

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

=

∞

=+

∞

=+

=

∞

=

∞

+=

∞

=

∞

+=

−+∆+−∆−+−∆−+=

−+∆+−∆−−+∆+

+−∆−−+∆+=

j

1ii

1iiij

1iiijpj

j

1ii

1ii

1jii

1ii

1jiipj

)ijt(vd)it(v)dd()it(u)gg()t(yp

es esto

)ijt(vd)it(vd)ijt(vd

)it(ug)ijt(ug)t(yp

∑∑∑==

+=

+ −+∆++−∆−+−∆−+=j

1ii

N

1iiij

N

1iiijpj )ijt(vd)it(v)dd()it(u)gg()t(yp

2N,....,1Nj ,Ni 0dd 0gg iijiij =>≅−≅− ++En procesos estables:

se necesita una hipótesis sobre la evolución futura de v, usualmente v(t+j) = v(t) + horizonte móvil

Corrección feedforward automatica

( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆

y(t+j)

u(t+j) t

)jt(yp fj +=

Respuesta forzada:

Respuesta libre:

)jt(u)q(G 1j +∆−

Formalmente la misma expresión. El efecto de la perturbación esta incluido en la respuesta libre

Restricciones

Las restricciones en los valores que pueden tomar las variables aparecen de forma natural en la formulación de los problemas de control: – Limitaciones físicas de las variables – Límites de seguridad – Requisitos de calidad, etc.

Restricciones

Mm L)jt(yL ≤+≤

Lmax

Lmin

v ∆u

Mm D)jt(uD ≤+∆≤

Mm U)jt(uU ≤+≤Rango de las señales de control

Velocidad de cambio de u:

Rango de las variables controladas:

Deben ser añadidas a la formulación del problema de optimización

DMC con restricciones

L y t j g u t k j p t j L

j N

m kk

j

M≤ + = − + + + ≤

==

∑ ( ) ( ) ( )

, . . . . ,

∆1

1 2

D u t j D

U u t u t j U

j Nu

m M

m Mi

j

≤ + ≤

≤ − + + ≤

==∑

∆

∆

( )

( ) ( )

, . . . ,

1

00

[ ] [ ]∑ ∑=

−

=

+∆β++−+=∆

2N

1Nj

1Nu

0j

22 )jt(u)jt(w)jt(yu

Jmin

u

Programación cuadrática QP

QP

∆u(t)

∆u(t+1) 0x

bAx

xQ

≥≤

⋅⋅+⋅ xxc21 min

x

Software numérico eficiente

Ha de resolverse un problema QP en línea cada periodo de muestreo

Posibles problemas de factibilidad

Región factible

Formulación Multivariable

Se necesita un modelo que relacione las variables controladas con las manipuladas y perturbaciones medibles

y ty t

y t

M MM M

M M

u tu t

u t

n tn t

n tn

m

m

n n nm m n

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1

2

( )( )

....( )

...

( )( )

...( )

( )( )

...( )

=

+

M ... M ...

M ...

Reactor

FT

FC

FC

TT AT

MPC

Comp.

Refrigerante Producto

u1 u2

Alimentación

Temp TT

SP Temp SP Comp.

FT

DMC Multivariable

y t g u t i g u t i g v t i n t

y t g u t i g u t i g v t i n t

y t g u t i g u t i g v t i n

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

1 11 11

12 21

131

1

2 21 11

22 21

231

2

3 31 11

32 21

331

3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

= − + − + − +

= − + − + − +

= − + − + − +

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ t)

u1

u2

y1

y2

y3

v

modelo interno

Modelo interno

t

y yy t

t

t

y

t

y

t

y

y1

y2

u1 u2 v

Matriz dinámica

DMC Multivariable

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

y t j g u t i j g u t i j p t j

y t j g u t i j g u t i j p t j

y t j g u t i j g u t i j p t j

ii

j

ii

j

ii

j

ii

j

ii

j

ii

j

1 11 11

12 21

1

2 21 11

22 21

2

3 31 11

32 21

3

+ = − +∑ + − +∑ + +

+ = − +∑ + − +∑ + +

+ = − +∑ + − +∑ + +

= =

= =

= =

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

Predicciones:

Min funcion de costo:

γ Equal concern errors , factores de peso (y normalización)

Con restricciones lineales: problema QP

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]∑∑∑

∑∑−

=

−

==

==

+∆β++∆β++−+γ+

++−+γ++−+γ=∆

1Nu

0j

222

1Nu

0j

211

2N

1Nj

2333

2N

1Nj

2222

2N

1Nj

2111

21

)jt(u)jt(u)jt(w)jt(y

)jt(w)jt(y)jt(w)jt(yu

Jmin

MPC Multivariable

( ) ( )∑ ∑ ∑∑= =

−

==+∆+∆

+∆β++−+γ=N

1k

2N

1Nj

1Nu

0j

2kk

M

1K

2kkk)jt(u)jt(u

k

k

k

kk

)jt(u)jt(w)jt(yminJmin

con:

Dmk< ∆uk(t+j)< DMk Umk< uk(t+j)< UMk Lmk< yk(t+j)< LMk

)jt(p)ijt(ug)jt(y k

j

1isiks

n

1sk ++−+∆=+ ∑∑

==

Resuelto como un problema de Programación cuadrática cada periodo de muestreo

Optimización Económica

Reactor

FT

FC

FC

TT AT

MPC

Comp.

Refrigerante Producto

u1 u2

Alimentación

Temp TT

w Temp w Comp. ¿Cual es el mejor punto de trabajo?

¿Como ajustar las referencias wTemp, wComp a ese punto?

FT

Reactor

FT

FC

FC

TT AT

MPC

Comp.

Refrigerante Producto

u1 u2

Alimentación

Temp TT

w Temp w Comp.

FT

Optimización Económica

Función de costo economica:

(Producto*concentración*precio-

– materia prima*precio –

-Flujo refrigerante*precio)*

tiempo

Max Beneficio

Con las restricciones y el mismo modelo que el MPC

Optimizador Económico (RTO)

Optimización de consignas

MBPC

w

y

SP

DCS Proceso

Optimización económica

LP La mayor parte de los sistemas incorporan una capa deOptimización en linea del punto de trabajo con criterios económicos

Tendencia: Combinar las dos capas en un solo MPC donde el criterio es directamente económico

Optimo Económico

Optimización con restricciones

Apertura válvula

Temperatura

Velocidad Turbina

∆ P en columna Presión

Composición

Región de Operación

Preferida por el Operador

Región de Operación del Controlador

Aceptación industrial