9. Control Multivariable - DISAM – División de Ingeniería de ......Ejercicio 9.2: control...

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U.P.M.-DISAM P. Campoy

Control Multivariable 2007/08

1

Control de Procesos Industriales 9. Control Multivariable

por

Pascual Campoy Universidad Politécnica Madrid


Control Multivariable

2

Ejemplo sistemas multivariables

Dado el mezclador de la figura, que trabaja sobre el punto de quilibrio definido por T10=20, F10=10, T20=80, F20=2 :

Diseñar un control de F y T utilizando ambas variables manipuladas F1 y F2

b) ¿afecta una perturbación de T1 en el flujo F? ¿cómo?

c)  ¿puede calcularse el controlador de flujo independientemente de controlador de temperatura?

F1 T1

F T

F2 T2

FT

FC

TT

TC Tref

Fref a)  ¿qué variable de salida se controla con qué variable de manipulada?

2


Control Multivariable 2007/08

3

Control multivariable

•  Sistemas multivariables y su problemática de control

•  Evaluación de las interacciones •  Emparejamiento de variables

controladas y manipuladas •  Sintonización de controladores •  (Desacoplamiento) suprimido del temario



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Sistemas multivariable: definición

•  Son sistemas con varias entradas y salidas, en los que una entrada afecta a varias salidas y recíprocamente una salida es afectada por varias entradas

Y1(s) = G11(s) U1(s) +...+G1m(s) Um(s) ... Yp(s) = Gp1(s) U1(s) +...+Gpm(s) Um(s)

Y(s) = G(s) U(s)

Y(s) = Y1(s) ... Yp(s)

U(s) = U1(s) ... Um(s)

G(s) = G11(s) ... G1m(s) ... Gp1(s) ... Gpm(s)

utilizando la notación matricial:

G11(s) U1(s)

G12(s)

G1m(s)

...

+

Gp1(s)

Gp2(s)

Gpm(s)

...

U2(s)

Um(s) ...

+ + Y1(s)

... +

+ + Yp(s)

...

...

3



5

Sistemas multivariables: problemas para el control

•  Interacción: efecto de un lazo de control sobre otro lazo de control, rebotando el efecto sobre el lazo original

•  La f.d.t. entre cada salida y cada entrada cambia en función del resto de los lazos de control

G12(s)

G21(s)

G22(s)

G11(s) +

+

++

y1(s)

y2(s)

u1(s)

u2(s)

GC1(s)

GC2(s) -

-

+

+y1ref(s)

y2ref(s)

⇒ No se pueden sintonizar los controladores de cada lazo de forma independiente



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controladas y manipuladas •  Sintonización de controladores •  Desacoplamiento

4



7

Evaluación iteraciones: sistema 2x2

GC2(s) -y2ref(s)

G12(s)

G21(s)

G22(s)

G11(s) +

+

+

y1(s)

y2(s)

u1(s)

u2(s)



8

Evaluación iteraciones: a partir de las relaciones estáticas

GC2(s) -y2ref(s)

G12(s)

G21(s)

G22(s)

G11(s) +

+

+

y1(s)

y2(s)

u1(s)

u2(s)

5



9

Matriz de ganancias estáticas relativas …

uk=0, k≠j =

)()(

!

!

j

i

uy

yk=0, k≠i )()(

!

!

j

i

uy

Definición:

resto de los lazos cerrados

λij = todos los lazos abiertos

lim s→0

)()(sUsY

j

i

)()(sUsY

j

i

lim s→0

en la que:



10

… Matriz de ganancias estáticas relativas

Cálculo

!

y1(")M

yn (")

#

$

% % %

&

'

( ( (

=

K11 L K1nM O M

Kn1 L Knn

#

$

% % %

&

'

( ( (

u1(")M

un (")

#

$

% % %

&

'

( ( (

Propiedad: 1

1=!

=

n

iij" 1

1=!

=

n

jij"y

donde “o” representa el producto de Hadamard o producto elemento por elemento >> K.*inv(K)’

dado:

λij =

yk=0 k≠i )()(

!

!

j

i

uy

Kij entonces:

6



11

Análisis de la matriz de ganancias relativas

λij = lim todos los lazos abiertos s→0

lim resto de los lazos cerrados s→0

λij →0

)()(

sUsY

j

i

)()(

sUsY

j

i

1< λ ij

λ ij < 0

λ ij = 1

λ ij →∞

0< λ ij<1

mayor ganancia estática con resto bucles abiertos

control imposible en bucle cerrado cambia de signo la ganancia estática en bucle cerrado y por tanto la estabilidad del sistema

sin iteración menor ganancia estática con resto bucles abiertos

sintonización en bucle cerrado



12

Ejercicio 9.1: evaluación interacciones

F1 T1

F T

F2 T2

Dado el sistema de la figura linealizado para T10=20, F10=10, T20=80, F20=2

a)  Calcular λTF1 y λTF2 (5 puntos) b)  Indicar cuál de los dos posibles bucles de control de T queda menos

alterado cuando se abre/cierra el otro bucle de control de la F (5 puntos)

7



14







15

Emparejamiento de variables controladas y manipuladas

•  Criterios restrictivos: –  no cerrar bucle de control de la salida i-ésima con la entrada j-ésima

cuando: •  λij<0 •  λij≈∞ •  λij=0

•  Criterios de prioridad: –  controlar las variables de salida más importantes con aquellas

variables de entrada con las que tengan una dinámica más rápida sin respuesta inversa

•  puede implicar desintonización de los lazos poco importantes

–  cerrar bucles de control con λij próximas a 1

8



17

Ejemplo 9.1: emparejamiento de variables

a)  Diseñar una estructura adecuada de control multivariable para el siguiente sistema:

u3

u2

u1

y3

y2

y1

!

"1.2e"5s15s+1

2e"5s15s+1

" 0.1e"5s15s+1

e"15s60s+1

e"15s60s+1

0.2e"5s15s+1

" 0.1e"5s15s+1

0.1e"5s15s+1

e"5s15s+1

#

$

% % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( (

+ GC2M(s)

+

-

-

y2ref

GC1M(s)

GC3M(s)

+ - y1ref

y3ref



18





9



19

Sintonización de controladores multivariables: desintonización

•  Disminuir las interacciones desintonizando los controladores de las salidas menos importantes (la desintonización es mayor cuanto menos importante es

el bucle de control)

⇒  sólo haya iteración entre unos poco bucles, que

son los más importantes.



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Sintonización de controladores multivariables: Reglas de McAvoy

)()(1)()()()(

)()(

222

2122111

1

1

sGsGsGsGsGsG

sUsY

MC

MC

+!=

KCM = ≥ 0,5 KCS 0,5< λ<1,5 0,5 KCS 1,5<λ

tCM = 2 tCS 0,5< λ<1 tCS 1 < λ

•  ambos lazos tienen dinámicas parecidas:

)()( 1111 sGsG SCMC != ⇒ la ganancia del controlador se multiplica por λ11

)()()(

111

1 sGsUsY

!•  si el lazo 1 es mucho más rápido que el 2: )()( 11 sGsG SCMC = ⇒ puede sintonizarse independientemente:

11

11

1

1 )()()(

!sG

sUsY

"•  si el lazo 1 es mucho más lento que el 2:

Reglas de sintonización sólo válidas para sistemas de 2x2:

10



21

Ejemplo 9.2: Sintonización multivariable

!

KC1M = KC1S =0.92155

=1.35

!

tic1 = 3.33 x 5 =16.6

!

KC 2M = "21KC 2S = 0.6210.916015

= 2.23

!

tic2 = 3.33 x15 = 50

!

KC 3M = KC 3S =0.91155

= 2.7

!

tic3 = 3.33 x 5 =16.6

a)  Calcular los controladores de la estructura de la figura:

u3

u2

u1

y3

y2

y1

!

"1.2e"5s15s+1

2e"5s15s+1

" 0.1e"5s15s+1

e"15s60s+1

e"15s60s+1

0.2e"5s15s+1

" 0.1e"5s15s+1

0.1e"5s15s+1

e"5s15s+1

#

$

% % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( (

+ GC2M(s)

+

-

-

y2ref

GC1M(s)

GC3M(s)

+ - y1ref

y3ref

Tipo de

regulador

Kc Ganancia

Ti Tiempo integral

Td Tiempo

derivativo

PI m

p

p tt

K9,0 3,33 tm

PID m

p

p tt

K2,1 2 tm 0,5 tm



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Ejercicio 9.2: control multivariable

F1 T1

F T

F2 T2

Dado el sistema de la figura linealizado para T10=20, F10=10, T20=80, F20=2

a)  Diseñar y calcular un control multivariable de T y F (4 puntos) b)  Dibujar la evolución de las salidas ante un cambio de referencia de F

y también ante un cambio de referencia de T (3 puntos) c)  Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles de

control sobre el otro bucle (3 puntos)

!

F(s)T(s)"

# $

%

& ' =

13s+1

13s+1

(0.8333e(3s10s+1

4.166 e(3s10s+1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

F1(s)F2(s)"

# $

%

& '

11



24

resultados ejercicio control multivariable…

b)



25

…resutados ejercicio control multivariable

c)

12



26

Ejercicio 9.3: emparejamiento incorrecto

F1 T1

F T

F2 T2

Dado el sistema del ejercicio anterior

a)  Diseñar y calcular un control multivariable, de manera que el control de T se efectué con F1 y el de F con F2 (5 puntos)

b)  Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles de control sobre el otro bucle (5 puntos)

!

G(s) =

13s+1

13s+1

"0.8333e"3s10s+1

4.166 e"3s10s+1

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (



28

Resltados ejercicio de eparejamiento incorrecto

a)

13



29







30

Desacoplamiento: Objetivo y estructura

•  Objetivo: eliminar o reducir las iteracciones de cada variable de entrada con las variables de salida distintas de la que controla.

•  Estructura (caso 2x2):

Sistema Desaco-plador

m1

m2

m1

y2

y1

m´2

m´1 Y2(s) M´1(s) = 0

Y1(s) M´2(s) = 0

14



31

Desacoplamiento lineal total: cálculo de la matriz del desacoplador

G12(s) G11(s) D12(s) = -

G21(s) G22(s) D21(s) = - D(s) =

1 D12(s)

D21(s) 1

G12(s)

G21(s)

G22(s)

G11(s) +

+

+

+

y1(s)

y2(s)

m1(s)

m2(s)

D12(s)

D21(s) +

+m´1(s)

m´2(s) +

+



32

Desacoplamiento lineal total: características del desacoplo (1/2)

K21(t22s+1) K22(t21s+1) D21(s) = - e-(tm21-tm22)s

G(s)D(s) = G11(s) λ11(s)

G22(s) λ22(s)

0

0

•  Limitaciones en la realización de desacopladores análogos a los controladores anticipativos:

•  Sintonización dependiente de otras f.d.t.:

•  No son robustos ante errores de modelado cuando la λij es elevada

15



34

Desacoplamiento lineal total: ejemplo comparativa con y sin desacoplo

F1 T1

F T

F2 T2

!!!!

"

#

$$$$

%

&

+

'

+

''+

'

+

'

160

15252,0160

15105,0115

52,0115

575,0

s

s

s

ss

s

s

s

ee

eeF(s)

D12(s)

D21(s)

+

+

+

++ GC1D(s)

+

-

- F2(s)

+

GC2D(s) T(s)

Fref(s)

Tref(s)

F1(s)

641.0252.0105.0

22

2121

)==!=

GGD

62.075.02.0

11

1212

)!=!=!=

GGD

desacopladores:

24,36,39,01111 =!== SCDC KK "

852,1228,149,02222 =!== SCDC KK "

6,16533,31 =!=ict

501533,32 =!=ict

controladores:



35

Desacoplamiento lineal total: ejemplo comparativa con y sin desacoplo

F-Fr T-Tr

con desacoplo total sin desacoplo



T-Fr


F-Tr

16



36

Desacoplamiento lineal total: ejemplo con error 10% en el modelo

T-Fr

con error del 10%

F-Tr

con error del 10%

T-Tr

sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22

F-Fr




37

Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ elevada

!!!!

"

#

$$$$

%

&

+

'

+

'+

'

+

'

160

15252,0160

157875.0115

52,0115

575,0

s

s

s

ss

s

s

s

ee

eeY1(s)

D12(s)

D21(s)

+

+

+

++ GC1D(s)

+

-

- U2(s)

+

GC2D(s) Y2(s)

Y1ref(s)

Y2ref(s)

U1(s)

125.3252.07875.0

22

2121 !=!=!=

GGD

62.075.02.0

11

1212

)!=!=!=

GGD

desacopladores:

6.216,361111 =!== SCDC KK "

71.8528,1462222 =!== SCDC KK "

6,16533,31 =!=ict

501533,32 =!=ict

controladores:

( ) !"

#$%

&

'

'==( '

6556

* 1 TKK

17



38

Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ11=6 error 10% en el modelo

Y2-Y2ref


Y1-Y1ref


Y1-Y2ref

sin error de modelo con error del 10%

Y2-Y1ref

sin error de modelo con error del 10%



39

Desacoplamiento lineal parcial: objetivo y estructura

•  Objetivo: eliminar o reducir la interacción mediante el desacoplo de la salida más importante del resto de las entradas

G21(s) G22(s) D21(s) = - D12(s) = 0

G12(s)

G21(s)

G22(s)

G11(s) +

+

+

+

y1(s)

y2(s)

m1(s)

m2(s)

D21(s) ++

m´1(s)

m´2(s)

18



40

Desacoplamiento lineal parcial: características

 La sintonización del lazo de control de la variable importante es independiente de las otras f.d.t. del sistema, pudiéndose considerar el resto de la entradas como perturbaciones a dicho lazo de control

 La sintonización de los otros lazos de control depende de otras f.d.t. ajenas al lazo

 El comportamiento del lazo de control de la variable importante es más sensible a errores de modelo a medida que crece su ganancia estática relativa

G(s)D(s) = G11(s) λ11(s)

G22(s) 0

G12(s)



41

Desacoplamiento lineal parcial: ejemplo con λ11=0,9 error 10% en el modelo

sin error de modelado

T-Tr

desacoplo total y desacoplo parcial

F-Tr

desacoplo total desacoplo parcial

con error 10% en K11 y K22

T-Tr


F-Tr


19



42

Desacoplamiento lineal total: ejemplo con λ11=6 error 10% en el modelo

sin error de modelado

Y2-Y2r

desacoplo total y desacoplo parcial


Y1-Y2r

con error 10% en K11 y K22



Y2-Y2r

Y1-Y2r



43

Desacoplamiento no-lineal: objetivo

•  Objetivo: reducir la interacción en sistemas en los que su comportamiento no-lineal de lugar a un mal funcionamiento de los desacopladores lineales

Sistema Desacoplador no-lineal

m1

m2

m1

y2

y1

m´2

m´1 y1≈f1(m'1)

y2≈f2(m'2)

20



44

Desacoplamiento no-lineal: estructura del desacoplador

Sistema

m=f-1(m') (inversión del modelo estático del sistema)

m1

m2

m1

y2

y1

m´2

m´1

En régimen permanente y sin error de modelado: y≡m'

Desacoplamiento no-lineal por inversión del modelo estático.

modelo estático:

y=f(m)

!

y1 = f1(m1,m2)y2 = f2(m1,m2)

" # $

cálculo de entradas:

m=f-1(m')

!

m1 = g1( " m 1, " m 2)m2 = g2( " m 1, " m 2)

# $ %

inversión del modelo:

m=f-1(y)

!

"m1 = g1(y1,y2)m2 = g2(y1,y2)

# $ %



45

Desacoplamiento no-lineal: caracteristicas

útil en sistemas fuertemente no-lineales no tiene en cuenta la dinámica del sistema

21



46

Desacoplamiento no-lineal: ejemplo

!"#

+=

+=

2211

21

FTFTTFFFF

ecuaciones estáticas: F1 T1

F T

F2 T2

!!"

!!#

$

%=%

%=

%

%=

121

12

12

21

FFTTTTFF

TTTTFF

inversión del modelo:

Sistema F2

F1

T

F

m´2

m´1

21

2112

12

2211

TTmTmF

TTmTmF

!

"!"=

!

"!"=

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