CALCULO multivariable Alqua

http://alqua.org/documents/CAL2

Joaquin Retamosa Granado Pablo M. Garca Corzo

[email protected] [email protected]

http://nuc3.s.ucm.es http://alqua.org

Clculo multivariableversin 0.1 20/10/2007

alqua,madeincommunity

2007 Joaquin Retamosa Granado y Pablo M. Garca Corzo Este documento est bajo una licencia Atribucin-No Comercial-CompartirIgual de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia escriba una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA o visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/legalcode.en. Las partes del documento que mencionen una licencia distinta se rigen por los trminos de aqulla.

CDU 531.5 Area Clculo

EditoresPablo M. Garca Corzo [email protected]

Notas de produccinalfeizar, v. 0.3 del diseo lvaro Tejero Cantero. compuesto con software libre

DedicadoA nuestros amigos y familia

ndice generalCopyleft ndice general 1 Geometra y topologa de Rq 1.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 El espacio eucldeo Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Producto escalar y distancia eucldea . . . . . . . . 1.2.2. Bases ortogonales en Rq . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Volumen de un sistema de vectores . . . . . . . . . 1.3 Clasicacin de los subconjuntos de Rq . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Bolas en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Intervalos en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Conjuntos abiertos, cerrados y compactos . . . . . . 1.4 Primera toma de contacto con las funciones reales . . . . . . . 1.5 Curvas en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Ecuaciones vectoriales y paramtricas de una curva . 1.6 Supercies en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Ecuaciones escalares de una supercie . . . . . . . 1.7 Otros sistemas de Coordenadas en R2 y R3 . . . . . . . . . . . 1.7.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2. Coordenadas polares generalizadas . . . . . . . . . 1.7.3. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4. Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.A Caracterizacin de regiones en el plano y el espacio . . . . . . 1.A.a. Caracterizacin de regiones en el plano . . . . . . . 1.A.b. Caracterizacin de regiones slidas en el espacio Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones reales escalares 2.1 Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Representacin grca de funciones escalares . . . . 2.2.1. Grca de una funcin . . . . . . . . . . . 2.2.2. Conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Secciones de una grca . . . . . . . . . . 2.3 Lmites y continuidad de funciones escalares . . . . . 2.4 Derivabilidad de una funcin escalar . . . . . . . . . 2.4.1. Interpretacin geomtrica de las derivadas 2.5 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . 2.A Representacin de supercies cudricas . . . . . . . 2.A.a Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II V

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 2 7 13 19 19 21 22 27 29 29 32 35 35 37 38 39 40 41 43 44 45 47 49 51 51 53 53 56 60 62 72 78 79 82 83

2

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

V

VI

NDICE GENERAL 2.A.b Hiperboloide de una hoja . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.A.c Hiperboloide de dos hojas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.A.d El Cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.A.e El paraboloide elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.A.f El paraboloide hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . 2.B Caracterizacin de regiones delimitadas por supercies cudricas 2.C Algunos trucos para el clculo de lmites . . . . . . . . . . . . . 2.C.a Lmites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . 2.C.b Clculo de lmites en coordenadas polares . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Diferenciabilidad de las funciones escalares 3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Denicin de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . 3.3 Propiedades de las funciones escalares diferenciables 3.4 Propiedades del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Plano tangente y recta normal a una supercie . . . . 3.6 Algunos teoremas de las funciones diferenciables . . 3.6.1. El teorema del valor medio . . . . . . . . 3.6.2. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Diferenciacin implcita . . . . . . . . . . 3.6.4. Funciones continuamente diferenciables . 3.6.5. Desarrollo nito de Taylor . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 88 90 92 94 96 100 100 101 102 107 107 110 113 119 123 128 128 129 134 135 137 142 145 145 147 147 151 159 159 160 161 162 165 166 168 169 174 177 177 178 180 183 185 188 189 190 195

4

Funciones vectoriales 4.1 Denicin de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . 4.2 Diferenciabilidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . 4.2.1. Lmites y continuidad de las funciones vectoriales 4.2.2. Diferenciabilidad de las funciones vectoriales . . . 4.3 Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Representacin grca de un campo vectorial . . . 4.3.3. Gradiente, divergencia y rotacional de un campo . 4.3.4. Interpretacin de la divergencia y el rotacional . . 4.3.5. Algunas relaciones bsicas del operador . . . . 4.3.6. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Derivadas de una trayectoria . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Curvas suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Integrales sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Particin y medida de un arco . . . . . . . . . . . 4.5.2. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. Integrales de lnea y arco . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4. Inuencia de la orientacin de la curva . . . . . . 4.5.5. Integrales de lnea de campos conservativos . . . . 4.A Curvatura y sistema intrnseco de una curva . . . . . . . . . 4.A.a Denicin de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 4.A.b Triedro intrnseco de una curva . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R

A

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

D

O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Curso 2007-2008

BO

R

Clculo II, Grupos A y E

NDICE GENERAL 5 Extremos de las funciones escalares 5.1 Denicin de extremo local o relativo . . . . . . . . . . . . 5.2 Condicin necesaria de extremo local . . . . . . . . . . . . . 5.3 Condicin suciente de extremo . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Desarrollo de Taylor alrededor de un punto crtico 5.3.2. La diferencial segunda como forma cuadrtica . . 5.3.3. Criterio de suciencia de la diferencial segunda . . 5.3.4. Criterio de la diferencial segunda en R2 . . . . . . 5.4 Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

197 197 199 203 203 204 205 208 210 213 219 221

El proyecto libros abiertos de Alqua


BO

R

R

ACurso 2007-2008

D

O

R

Otros documentos libres

226

Tema 1 Nociones sobre la geometra y topologa de Rq1.1 IntroduccinUno de los conceptos fundamentales de las matemticas es el nmero. Introducido en la antigedad, el concepto se ha ido generalizando y profundizando con el tiempo. El nmero es esencial en el desarrollo de diversas disciplinas como la Fsica, la Qumica, la Economa o la Informtica. Las magnitudes fsicas1 estn denidas por un valor numrico, un error (tambin numrico) asociado a las limitaciones del proceso de medida y una unidad adecuada a su dimensin. Las matemticas estudian las magnitudes haciendo abstraccin de su naturaleza y de como han sido medidas, es decir, no tienen en consideracin unidades o posibles errores. De forma genrica consideraremos que los valores numricos carecen de dimensiones y en los pocos casos en que les asociemos una dimensin no utilizaremos un sistema de unidades concreto. El cero, los nmeros naturales N y sus opuestos constituyen el conjunto de los nmeros enteros Z. Todas las razones de dos nmeros enteros p/q (con q = 0) dan lugar a los nmeros racionales que se denotan por Q. Los nmeros enteros son un subconjunto de los racionales, Z Q, ya que cualquier entero p se puede escribir como la razn p/1 de dos nmeros enteros. Los nmeros fraccionarios se pueden representar por fracciones nitas o por fracciones peridicas innitas; por ejemplo 10 5 = 2.5, = 3.333 . . . 2 3 Existen adems nmeros en forma de fracciones indenidas aperidicas que se denominan irracionales. Ejemplos de estos nmeros son 2, lm 1+ 1 nn

n

.

La unin de mbos tipos de nmeros, racionales e irracionales, da lugar al conjunto de los nmeros reales R. Los nmeros reales estn ordenados: para cualquier par x e y se cumple una y slo una de las siguientes relaciones x < y, x = y, x > y. Otro hecho importante es que R puede representarse geomtricamente como una recta. Se llama recta real o eje nmerico a una recta innita en la que se han establecido: i) un origen que se denota habitualmente como O, ii) un sentido positivo (sealizado mediante una echa) y iii) una escala para medir longitudes. Normalmente la recta real se representa en posicin horizontal y se considera positivo el sentido izquierda-derecha. Cuando x es positivo se representa mediante un punto P situado a la derecha de O y a una distancia d(O, P ) = x. Si es negativo se le representa por un punto Q situado a la izquierda de O y a una distancia d(O, P ) = x. El cero corresponde al propio origen O. Por este mtodo cada nmero real x est representado por un punto P de la recta real. Diremos que el valor numrico x (incluyendo el signo) es la distancia orientada del punto P al origen.1

Elegimos este ejemplo ya que el curso est orientado a los alumnos de la Licenciatura en Fsica.

1

2

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ

P

X

X0Figura 1.1: La recta real

La relacin es biunvoca: dos puntos distintos caracterizan nmeros reales distintos. Y por ello los trminos nmero real y punto del eje real son sinnimos y as los utilizaremos. En lo que sigue utilzaremos las siguientes propiedades de los nmeros reales, que aceptaremos sin demostracin: 1. Dados dos nmeros reales arbitrarios x < y, existen nmeros reales z, tanto racionales como irracionales, que verican que x < z < y. 2. Todo nmero irracional se puede expresar con grado de precisin arbitrario mediante nmeros racionales.

1.2.1 Producto escalar y distancia eucldeaDe forma anloga existe una correspondencia biunvoca entre los puntos de un plano y pares ordenados de nmeros reales, que reciben el nombre de coordenadas del punto. Consideremos dos rectas perpendiculares situadas sobre el plano a las que llamaremos ejes coordenados X e Y ; elegiremos su interseccin O como origen de coordenadas, deniremos sobre mbos ejes una escala adecuada y asociaremos el origen de coordenadas con el par (0, 0). Dado un punto P trazamos dos segmentos que pasan por l y son perpendiculares a los ejes. Sus intersecciones con los ejes denen dos puntos a los que corresponden valores numricos x0 e y0 , tal como se muestra en la gura 1.2. Los dos nmeros del par ordenado (x0 , y 0 ) se denominan coordenadas cartesianas del punto P .

BO

Ry y0

RP x0

Figura 1.2: Coordenadas cartesianas en el plano

Los puntos en el espacio se caracterizan de forma similar mediante ternas de nmeros reales ordenados. Elijamos tres rectas perpendiculares entre s, que se cortan en un punto del espacio.

Curso 2007-2008

Ax

1.2 El espacio eucldeo Rq

DClculo II, Grupos A y E

O

R

1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ Las tres rectas reciben el nombre de ejes coordenados X, Y y Z y su interseccin O el nombre de origen de coordenadas. Denimos una escala adecuada sobre los tres ejes coordenados y asociamos la terna (0, 0, 0) al origen de coordenadas. Dado un punto P procedemos como antes: trazamos segmentos que pasan por dicho punto y son perpendiculares a los ejes coordenados; sus intersecciones con dichos ejes denen tres puntos caracterizados por los nmeros x0 , y0 y z0 , que reciben el nombre de coordenadas cartesianas del punto P . La eleccin de los ejes X, Y y Z es arbitraria a excepcin de las dos reglas siguientes:

3

1. Los tres ejes son perpendiculares entre s.

2. Su sentido positivo queda establecido por los dedos pulgar, ndice y corazn de la mano derecha situada sobre la terna de ejes.

BO$x_0$ $x$

R$z$ $z_0$ \bf P $y_0$ $y$

Figura 1.3: Coordenadas cartesianas en el espacio

Cuando se introduce el concepto de distancia eucldea entre dos puntos, la recta, el plano y el


RCurso 2007-2008

A

D

O

R

4

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ espacio son ejemplos particulares de lo que se llaman espacios eucldeos

Denicin 1.1 (Espacio Eucldeo)El espacio eucldeo (q dimensional) Rq , con q N, es el conjunto formado por todas la sucesiones = (x1 , x2 , , xq ) de q nmeros reales. x

= (x1 , x2 , , xq ), x

R , x yq

En este espacio se introducen los conceptos de producto escalar de dos vectores

R x

BO x y d ,

y se denen la norma eucldea de un vector Rq x , = x xi

Axi yi ,i=1 i

y por tanto tambin ser correcto denominar a los nmeros x1 , x2 , , xq compo nentes del vector . x

y la distancia entre dos elementos de Rq = y x (xi yi )2

En el caso particular de R la norma coincide con el valor absoluto, es decir, x = |x| y por tanto d (x, y) = |x y|.

Dado que la norma y la distancia se denen de forma subsidiaria al producto escalar de dos

Curso 2007-2008

Dx2 , i

+ = (x + y , x + y , , x + y ), x y 1 1 2 2 q q

O

Los elementos de Rq se denominan tambin vectores en Rq , ya que este espacio es un espacio vectorial con las operaciones usuales:


R

Un elemento de Rq se denomina frecuentemente un punto en Rq ; R1 , R2 y R3 se denominan la recta, el plano y el espacio respectivamente. Los nmeros x1 , x2 , , xq son las coordenadas cartesianas de . x

1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ elementos de Rq , todas sus propiedades sern consecuencia directa de las propiedades de ste.

5

Teorema 1.1 (Propiedades del producto escalar) Si , 1 , 2 e , 1 , 2 son elementos del espacio Rq y R, entonces se x x x y y y cumple que: 1. Simetra: , = , , x y y x , = , = , , x y x y x y , + = , + , , x y2 x y1 x y1 y2 2. Bilinealidad: , = , + , . x1 + x2 y x1 y x2 y , = 0 sys = . 3. Positividad: , 0 y x x x x x 0

Demostracin 1.11. , = x yq q

xi yi =i=1 i=1

yi xi = , , y x

para completar la demostracin del punto 2. En efecto,

Rq i=1

Axi yi = q i=1

, = , , x y x y , + = , + , , x y2 x y1 x y1 y2

, = x y

Rq i=1

Dq i=1 q

2. En virtud de la propiedad precedente bastar con demostrar que

BO

, + = x y 1 2 y

xi (y1i + y2i ) =

xi y1i +i=1

3.

q , = 2 x x i=1 xi , y la suma de un nmero nito de sumandos positivos o cero es siempre positiva o nula; para que la suma sea cero todos y cada uno de los sumandos deben ser nulos.

Las propiedades de la norma de un vector se deducen de forma trivial a partir de las ecuaciones enunciadas en el teorema 1.1

Teorema 1.2 (Propiedades de la norma) Si , son elementos del espacio Rq y R, entonces x y = 0 sys = , x x 0 x 1. 0 y = || , 2. x x y 3. , . x y x + + , y x y 4. x

Demostracin 1.2


O xi yi = , x y x y x y xi y2i = , 1 + , 2

RCurso 2007-2008

6

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQDejando como ejercicio la demostracin de las dos primeras propiedades, nos centraremos en las dos ltimas. 3. Si son nulos la igualdad se satisface de forma trivial. Supongamos que e son no x y x y = ); entonces nulos y linealmente dependientes ( y x , = x y Por lo tanto , = , x y x y , = < x x y x y si > 0, y , si < 0.q q

xi (xi ) = i=1 i=1

x2 = x i

2

= /|| x

. y

Si, por el contrario, e son linealmente independientes, es decir, = 0 R, x y y x entonces 0 < x y2

Teorema 1.3 (Propiedades de la distancia eucldea)Bajo las mismas condiciones que en el teorema 1.2 se verica 1. d , 0 y d , = 0 sys = , x y x y x y 2. d , = d x y , d 3. d x z , , y x , + d , . x y y z

Ejemplo 1.1 x y Demostremos que la funcin d1 , = |x1 y1 | + |x2 y2 |, denida en R2 , satisface todas las propiedades de la distancia eucldea y que por tanto es una denicin alternativa de distancia en R2 (la generalizacin a un nmero arbitrario de dimensiones es inmediata). x y 1. La positividad de d es evidente: d , = |x y | + |x y | 0. Adems1 1 1 1 2 2

x y d1 , = 0 |x1 y1 | + |x2 y2 | = 0

BO

Enunciamos a continuacin las propiedades fundamentales de la distancia eucldea, cuya demostracin dejamos como ejercicio para el lector

|x1 y1 | = 0 x1 y1 = 0 |x2 y2 | = 0 x2 y2 = 0

R

R

2 2 2 < 0, 4 , 4 x y x y < , < . As, cualquiera que de donde se deduce fcilmente que x y x y x y sea el caso la propiedad 3 es correcta. + 2 = + , + = 2 + 2 + 2 , x y x y x y x y x y 4. 2 2 + +2 = + 2. x y x y y x

Calculando la raiz cuadrada positiva de esta relacin obtenemos inmediatamente la propiedad enunciada en cuarto lugar.

A

D

O x1 = y1 x2 = y2

El miembro de la derecha dene una parbola en la variable ; para que dicha parbola no corte al eje = 0 debe cumplirse que

= , = 2 x y x y x

2

+ y

Curso 2007-2008


R2

2 , , x y

=. x y

1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ y x x y 2. d1 , = |x1 y1 | + |x2 y2 | = |y1 x1 | + |y2 x2 | = d1 , . x y 3. d1 , = |x1 y1 | + |x2 y2 | = |x1 z1 + z1 y1 | + |x2 z2 + z2 y2 |, y utilizando que |A + B| |A| + |B|, resulta z y x z x y d1 , |x1 z1 | + |x2 z2 | + |z1 y1 | + |z2 y2 | = d1 , + d1 , . Una vez que el lector ha aceptado a d1 en el club de las distancias respetables podemos estudiar el aspecto de la circunferencia asociada a la nueva distancia. La denicin general de circunferencia de radio R (centrada en el origen de coordenadas) es C (x, y) R2 \. d ( x, y , 0, 0 ) = R ,

7

y particularizando para la distancia d1 C

Por cuadrantes la expresin precedente se escribe como 1. x > 0, y > 0. x + y = R y = R x.

DR

2. x < 0, y > 0. x + y = R y = R + x.

3. x < 0, y < 0. x y = R y = R x.Y

4. x > 0, y < 0. x y = R y = R + x. As, en cada cuadrante la circunferencia coincide con un segmento de recta. Uniendo los cuatro segmentos concluimos que la circunferencia es un polgono de cuatro lados perpendiculares entre s y que forman ngulos de 45 grados con los ejes.


BO

Figura 1.4: Esto tambin es una circunferncia

R

R

A

OX

(x, y) R2 \. |x| + |y| = R .

RCurso 2007-2008

8


1.2.2 Bases ortogonales en RqEl siguiente teorema muestra que el ngulo interno que forman dos vectores del plano o del espacio est estrechamente ligado a su producto escalar

Teorema 1.4 (ngulo entre dos vectores del espacio) Sean y dos vectores del plano o del espacio y [0, ] el ngulo interno que u v forman dichos vectores, entonces se cumple que , = u u v cos . v

Demostracin 1.4z

b b a

y

y por la denicin de norma

x

R v u

A

a

v u

D2

b a

= u

O2

Acudimos a la trigonometra para demostrar este teorema. Aplicando la ley de los cosenos al tringulo que tiene un vrtice en el origen de coordenadas y dos de sus lados adyacentes denidos por los vectores y , u v tal como se muestra en la gura, obtenemos + v2

2

= , u , v u v v cos . v

R u 2 2

cos . v

= , , v v v

2

= , u

Ahora bien

con lo cual

, + , 2 , = , + , 2 v v u u u v v v u u u o lo que es lo mismo , = u v u cos . v

BO x

, = , + , 2 v u v u v v u u u

, = , + , 2 , , u v u u v v v u v u cos , v

Si los vectores y son no nulos podemos despejar u v , u v cos = . v u Para generalizar este resultado utilizamos que cualquiera que sea la dimensin del espacio euclideo se cumple que (vese la demostracin 1.2 ) < , < y x y x , y

y si los dos vectores son distintos del vector nulo tenemos

Curso 2007-2008

R

Figura 1.5: Ley de los cosenos

resulta


1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ

9

, x y 1 1. x y

Teniendo en cuenta que |cos()| 1 y el teorema 1.4 convenimos en denir el ngulo interno que forman dos vectores no nulos como

Denicin 1.2

cos

Denicin 1.3 (Base de Rq )

combinacin lineal de los vectores de la base, es decir = + + = x 1b1 2b2 q bq

BO

Todo conjunto formado por q vectores de Rq linealmente independientes, b i , i = 1, 2, . . . , q , es una base de dicho espacio vectorial. Puede demostrar se que cualquier vector Rq puede descomponerse de forma nica como una x

R

R

A

Dos vectores no nulos , Rq se dicen ortogonales si el ngulo interno que forman es x y = /2, lo cual, segn la denicin precedente, implica que , = 0. x y

D

donde 1 , 2 , . . . , q son nmeros reales. La combinacin lineal anterior se lla ma descomposicin del vector segn la base y los nmeros i se denominan x componentes (o coordenadas) del vector en la base dada. x

El hecho de que el vector se dena mediante las componentes i (en la base dada) se denota habitualmente como

= ( , , , ) , x 1 2 q

y no ser necesario precisar a qu base nos referimos siempre que esto no conduzca a ningn


Oq

, x y . x y

i=1

R i b i ,

Sean y dos vectores no nulos de Rq ; se dene el agulo interno (agudo) que x y forman estos dos vectores como

Curso 2007-2008

10 tipo de ambigedad.


Denicin 1.4 (Bases ortogonales) Una base del espacio eucldeo Rq , b i , i = 1, 2, . . . , q , se dice que es ortogonal si sus vectores son ortogonales entre s dos a dos, es decir b i , b j = 0, si 1 i = j q. Si adems se verica que b i , b j = i,j = la base es ortonormal. 1, 0, si si i = j, i = j,

BOi = i = x

, = x bi

Rq

Multiplicando escalarmente la igualdad anterior por el vector b i resulta j b j , b i = i b i2

Rj=1 2

= x

q

j b j .

A=

De forma ms fundamental puede demostrarse que todo conjunto de vectores ortogonales entre s dos a dos es siempre un sistema linealmente independiente y que en todo espacio vectorial existen bases ortogonales. A lo largo de este curso slo consideraremos bases de este tipo lo que nos permite aplicar una variedad de corolarios tiles. Sabemos que todo vector Rq admite una descomposicin x nica

j=1

por lo que podemos despejar la componente i , x bi bi

,

i = 1, 2, . . . , q,

y utilizando la relacin entre el producto escalar de dos vectores y el ngulo que forman b i cos i bi2

cos x i , bi

donde i es el ngulo agudo que forman el vector y el i-simo vector de la base. Si para otro x tiene lugar la descomposicin vector y = yq

j b j ,

j=1

entonces el producto escalar de mbos vectores puede escribirse como

Curso 2007-2008

D,

O


R


11

, = x y

q

i b i ,

q

j b j

q

=i,j=1

i j

b i, b j =

q

i ii=1

bi

2

.

i=1

j=1

En particular la norma del vector se escribe x = xq

2 ii=1

bi

2

.

Si la base es ortonormal las expresiones anteriores se simplican bastante ya que todas las normas se reducen a la unidad, es decir i = , b i , x , = x yq

i=1

Denicin 1.5 (Proyeccin ortogonal)El vector P i = i b i =

A

, x bi 2 b i, bi

se denomina proyeccin ortogonal del vector sobre el vector b i x

R x i Pi

BO

bi

R

Para comprender el signicado del vector P i consideremos, tal como se muestra en la gura, los dos vectores y b i . Trazamos un segmenx to de recta que pasa por el extremo del vector x y que corta perpendicularmente a la recta denida por el vector b i ; el segmento dirigido que parte del origen de coordenadas y termina en la inter seccin es P i . No resulta muy difcil comprobarlo: el segmento dirigido en cuestin es paralelo al vector unitario b i / b i y tiene como longitud x (orientada) cos , esto esi

Figura 1.6: Proyeccion ortogonal

Di = 1, 2, . . . , q, cos x i bi = i b i = P i . bi Curso 2007-2008

Trabajaremos habitualmente con la base estndar, cuyos elementos se denotan por { i \. i = e est dirigido segn el 1, 2, , q}. Se trata de vectores unitarios denidos de tal forma que e i sentido positivo del i-simo eje de coordenadas. Los vectores de la base estndar forman por denicin un sistema ortonormal, esto es, i , j = i,j . Cuando trabajemos en el plano o e e en el espacio, los tres vectores de la base estndar 1 , 2 y 3 se denotarn frecuentemente e e e


O

Ri=1

i i ,

= x

q

2 . i

12

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ por los smbolos , y k respectivamente. Tambin es habitual en este caso denotar las coordenadas cartesianas de un punto por x, y, z en lugar de x1 , x2 , x3 .

Ejemplo 1.2 (ngulos directores de un vector)

Llamamos ngulos directores de un vector a los ngulos internos entre ste y los vectores b i de la base. Segn hemos visto en la seccin precedente la descomposicin de un vector en una base se puede expresar como

Curso 2007-2008

BOClculo II, Grupos A y E

R

R

A

D

O

R


13

es decir,

cos cos cos x x x 2 q i = , , ,, x b1 b2 bq i = cos x i , bi , x bi bi2

y como por otra parte

i = resulta que

,

Obviamente, si la base es ortonormal = x y

cos i =

R

R

Utilizando estas expresiones obtendremos los ngulos directores del vector = (1, 2, 3), en la base x , , . La norma del vector se calcula como = 12 + 22 + 32 = 14. Prosiguiendo estndar k x con el clculo tenemos , = 1 x 1 cos 1 = 14 2 cos 1 = 14 3 cos 1 = 14 1 = cos1 1 = cos1 1 = cos1 1 14 2 14 3 14 1.30 1.00 0.64

1.2.3 Volumen de un sistema de vectoresComo paso previo a la denicin del (hiper)volumen subtendido por un cierto conjunto de vectores de Rq debemos introducir el producto vectorial y el producto mixto.

Denicin 1.6 (Producto vectorial en R3 ) Dados dos vectores = (a1 , a2 , a3 ) y b = (b1 , b2 , b3 ), denimos su producto a vectorial como el nuevo vector: a b i j k a2 a3 a a a a i 1 3 j + 1 2 k a1 a2 a3 = b2 b3 b1 b3 b1 b2 b1 b2 b3


BO , = 3 x k

, = 2 x

A

, x bi . x

D

cos , cos , , cos , x x x 1 2 q

O

, x bi cos i = . x bi

RCurso 2007-2008

14

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ Conviene notar aqu que la primera identidad tiene un marcado caracter formal y slo adquiere sentido real cuando el determinante se desarrolla por la primera la.

Teorema 1.5 (Propiedades del producto vectorial)El producto vectorial de dos vectores del plano o del espacio verica las siguientes propiedades: 1. b = b ; en consecuencia = 0 . a a a a sen , donde es el ngulo agudo que forman los a b a 2. b = dos vectores. Por lo tanto la norma del producto vectorial es igual al rea del paralelogramo subtendida por los vectores y b . a 3. ( ) b = ( b ) = ( b ). a a a 4. ( b + ) = b + . a c a a c

Demostracin 1.5

a b

2

=

a2 b2

a3 b3

R+ a1 b1 a3 b3

2

R2

Las propiedades 1, 3, 4 y 5 se deducen de forma directa a partir de las propiedades de los determinantes; aconsejamos al lector que utilice sus conocimientos de lgebra (y cierta fuerza de voluntad) para demostrarlas. La demostracin de la ltima propiedad se plantea como problema al nal del captulo, con lo que nos contentaremos aqu con demostrar la propiedad nmero 2.

+

Aa1 b1 a2 b22

D

= (a2 b3 a3 b2 )2 + (1.1)

Como es el ngulo agudo formado por los dos vectores y sen 0 si [0, ] podemos escribir = a b a b sen .

Curso 2007-2008

BO

= (a2 + a2 + a2 )(b2 + b2 + b2 ) (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 sen2 = a b , b a = a b

OClculo II, Grupos A y E

5. ( + b ) = + b . a c a c c 6. ( b c ) = , b , b . a a c a c

R

1.2. EL ESPACIO EUCLDEO RQ No resulta muy arduo convencerse de que el miembro de la derecha nos proporciona el rea del paralelogramo denido por los dos vectores. Imaginemos tal como muestra la gura, los dos vectores reducidos al origen y completado el paralelogramo mediante otros dos vectores paralelos a los originales. Si tomamos como base del pa ralelogramo al vector la altura del mismo viea ne dada trivialmente por b sen con lo cual sen . A = base altura = a b

15

b

h

a

Figura 1.7: rea de un paralelogramo

Denicin 1.7 (Producto mixto en R3 )

Teorema 1.6 (Propiedades del producto mixto)

Demostracin 1.61. La primera propiedad se demuestra de forma directa a partir de la denicin , = a b c b a1 + a2 + a3 k , 2 c2 b2 c2 b3 b a2 1 c3 c1 b3 b1 c3 c1 b3 + b1 c3 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 b2 k c2

BO1.= a1

a1 a2 a3 , = b b b . a b c 1 2 3 c1 c2 c3

2. El producto mixto es invariante bajo permutaciones cclicas , = , = , . a b c b c a c a b

3. El producto mixto de tres vectores linealmente dependientes o coplanares es nulo, es decir + b , b = 0. a a

R

Las propiedades bsicas del producto mixto de tres vectores del espacio = a = (c , c , c ) son: (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) y c 1 2 3

R

A

se llama producto mixto de , b y (en dicho orden). a c

Db3 b + a3 1 c3 c1

, , a b c


Oa1 b2 = b1 c2 c1

Dados tres vectores , b y del espacio, el nmero real a c

RCurso 2007-2008

16

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ2,3 Estas propiedades se deducen subsidiariamente de la primera utilizando determinantologa elemental.

Ejemplo 1.3 Utilizaremos el producto mixto para demostrar que los vectores = (1, 4, 7), b = (2, 1, 4) y a = (0, 9, 18), son coplanares. Utilizando la forma determinantal del producto mixto tenemos c 1 4 7 , = 2 1 4 = 0, a b c 0 9 18 y de acuerdo con la tercera propiedad del producto mixto deducimos la coplanariedad de los vectores.

Teorema 1.7 (Volumen de un paraleleppedo)

comn.

Segn arma el teorema precedente, el volumen del paraleleppedo construido a partir de los tres vectores = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) y = (c1 , c2 , c3 ) viene dado por a c

R=

V () =

Curso 2007-2008

BOClculo II, Grupos A y E

R

, a b c

A

a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

D

EL producto mixto , b es, salvo un signo, igual al volumen del paraa c leleppedo construido sobre los tres vectores , b y , reducidos a un origen a c

O.

R


17

Demostracin 1.7

b c

h a

Considrese el sistema formado por los tres vectores , y que parten de un mismo punto; dicho siste a b c ma permite construir, tal como se muestra en la gura, un paraleleppedo. Los vectores b y forman la bac se del paraleleppedo cuyo rea es A = b . Si c y es el ngulo que forman los vectores a b c (ortogonal a la base), la altura del paraleleppedo viene dada por h = |cos |. As el volumen se escribe a

c

b

Figura 1.8: Volumen de un paraleleppedo

y aplicando la dencin del coseno del ngulo formado por dos vectores, resulta

Denicin 1.8 (Producto vectorial en Rq ) Dados q 1 vectores 1 , 2 , q1 pertenecientes a Rq (q 3) se dene su v v v producto vectorial como e1 v11 v21 . . . v(q1)1 e2 v12 v22 . . . v(q1)2 .. . eq v1q v2q . . .

BO

Las deniciones de los productos vectorial y mixto en el espacio, se pueden generalizar sin gran dicultad al caso de un espacio de dimensin arbitraria

v 1 2 v v q1

R

R

V () =

b c

A

a cos =

D

Se trata de una denicin formal cuyo signicado es el siguiente: el vector que denominamos producto vectorial tiene por componentes los nmeros que resultan de desarrollar el determinante anterior por su primera la.

Tambin es este caso las propiedades ms importantes del producto vectorial general son consecuencia directa de las propiedades de los determinantes; en entre ellas destacaremos las


O , . a b c

R

V () = Ah =

b c

|cos | , a

v(q1)q

Curso 2007-2008

18 que se enuncian en el siguiente teorema


Teorema 1.8 (Propiedades del producto vectorial en Rq ) 1. 1 i j = 1 j i ; v v v v v v en particular, el producto vectorial se anula cuando el mismo vector se repite dos o ms veces . 2. ( ) v v v = v v v1 i q1 1 i q1

+ v ui 3. 1 ( i + i ) = 1 v u v v v1 i

Las dos ltimas propiedades se puden resumir en una sola que establece la linealidad del producto vectorial en cualquiera de sus argumentos

Denicin 1.9 (Producto mixto en Rq )

Dados q vectores 1 , 2 , q pertenecientes a Rq (q 3) se dene su producto v v v mixto como el nmero v11 v21 . . .

, v1 v2 vq

Teorema 1.9 (Propiedades del producto mixto en Rq )1. El producto mixto es invariante bajo permutaciones cclicas de sus argumentos , = , vq v1 v q1 . v1 v2 vq 2. El producto mixto es lineal en todos y cada uno de sus argumentos, es decir , ( + ) = , v1 ui vi v1 ui , . + v1 vi Cuando dos vectores del plano se reducen a un mismo punto denen un paralelogramo cuyo rea A podemos obtener utilizando la propiedad 1.5 (2); anlogamente tres vectores del espacio situados sobre el mismo origen denen un paraleleppedo cuyo volumen V viene dado por el teorema 1.7 . En Rq (q > 3), q vectores reducidos a un mismo punto denen un hiperparaleleppedo que contiene un cierto hipervolumen. De ahora en adelante para referirnos de forma indistinta al rea, al volumen o al hipervolumen de una regin utilizaremos la palabra medi-

Curso 2007-2008

BO

Como en los casos anteriores, las propiedades del producto mixto se obtienen de forma directa a partir de su denicin como un determinante

R

R

v(q1)1 vq1

A

Dv12 v22 . . . v(q1)2 vq2

O

v1q v2q . .. . . . v(q1)q vqq


R

1.3. CLASIFICACIN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ da , que denotaremos por la letra griega . En su momento deniremos de forma ms precisa el concepto de medida de ciertas regiones de Rq ; de momento nos basta con saber que si q = 2, entonces = A, y si q = 3 entonces = V .

19

Denicin 1.10 (Volumen de un hiperparaleleppedo)La medida del (hiper)paraleleppedo formado por los q = (v , v , , v ) vi i1 i2 iq i=1,2,...,q (con q 2) se dene como v11 v21 . . . v(q1)1 vq1 v12 v22 . . . v(q1)2 vq2 v1q v2q . .. . . . v(q1)q vqq vectores

()

Cuando q 3 el volumen puede reescribirse como un producto mixto () = , v1 v2 vq

Ejemplo 1.4

Demostremos que el rea del paralelogramo construido sobre los dos vectores (a1 , a2 ) y (b1 , b2 ) viene dada por

RA () = a2 k = b2

BO

Sabemos que el rea del paralelogramo es igual a la norma del producto vectorial de los dos vectores, es decir A () = b = a y desarrollando el determinante por la primera la A () = a1 b1 a1 b1 a2 b2 k = a1 b1 a2 b2 . k a1 a2 0 b1 b2 0

R

Comenzaremos transformando los dos vectores en elementos de R3 aadiendo para ellol una tercera componente nula, es decir (a , a , 0) , a 1 2 b (b1 , b2 , 0) .

Aa1 b1

Da2 b2 ,

1.3 Clasicacin de los subconjuntos de Rq


OCurso 2007-2008

R

20


1.3.1 Bolas en RqLos intervalos unidimensionales, abiertos (a, b) o cerrados [a, b], tienen una gran importancia en el anlisis de la recta real R. En el espacio eucldeo Rq existen subconjuntos que juegan un papel similar al de los intervalos unidimensionales. Los ms importantes son las bolas y los intervalos generalizados en q dimensiones. A modo de ejemplo podemos decir que el concepto de bola nos permitir, en su momento, introducir de manera sencilla los lmites de funciones reales denidas en Rq . Por su parte, los intervalos juegan en la mayor parte de los textos de clculo un papel importante en la denicin de la integral de Riemann en ms de una dimensin.

Denicin 1.11 (Bolas en Rq ) Se llama bola abierta de centro 0 Rq y radio > 0 al conjunto: x

Por ltimo se llama bola reducida de centro 0 Rq y radio > 0 a: x

BOB

De ahora en adelate, cuando se arme que una funcin posee determinada propiedad cerca del punto 0 o en la vecindad del punto 0 el lector deber interpretar que existe un radio x x positivo > 0 de tal suerte que en todos los puntos de la bola B 0 , se cumple la propiedad x mencionada. La gura 1.9 representa tres ejemplos de bolas en el plano. En R2 es habitual denominar discos (abiertos, cerrados y reducidos) a las bolas. En la recta real las bolas se reducen a simples intervalos unidimensionales. Introducimos en este ejemplo un convenio que emplearemos habitualmente en el futuro: los discos abiertos se representan mediante lneas discontinuas mientras que los cerrados vienen delimitados por lneas continuas.

R B x

R B / x B / x x0

AB

B 0 , = B { 0 } = Rq \. 0 < d 0 , < . x x x x x

D B x B x B / x

Anlogamente se denomina bola cerrada de centro 0 Rq y radio > 0 al x conjunto: B 0 , = Rq \. d 0 , . x x x x

x0 B x B

Figura 1.9: Bolas en el plano

Curso 2007-2008

O B / x0


R B / x B / x

B 0 , = Rq \. d 0 , < . x x x x

1.3. CLASIFICACIN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ Propiedades de las bolas A continuacin enumeraremos sin demostracin algunas de las propiedades ms importantes de este tipo de conjuntos; en lugar de una demostracin nos bastar con mostrar un grco justicativo.

21

1. Dados 0 , 0 Rq , ( 0 = 0 ), , > 0 \. B 0 , B 0 , = x y x y x y

y0

2. Si 0 Rq y B 0 , , > 0 \. B , B 0 , x x x x x

R R BO1.3.2 Intervalos en Rq b a x0

Figura 1.11: Propiedades de las bolas 2

Clculo II, Grupos A y E en el plano Figura 1.12: Intervalo

A x

El concepto de intervalo se puede generalizar sin esfuerzo a un nmero cualquiera de dimensiones de tal suerte que estos subconjuntos guarden una fuerte similitud con los intervalos de la

D

Figura 1.10: Propiedades de las bolas 1

OCurso 2007-2008

R

x0

22

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ recta real. Utilizaremos la siguiente denicin

Denicin 1.12 (Intervalos en Rq ) 1. Dados = (a1 , a2 , , aq ) , b = (b1 , b2 , , bq ), ambos pertenecientes a a Rq , se llama intervalo abierto al subconjunto: I , b = Rq \. ai < xi < bi i . a x Un intervalo abierto en q dimensiones se puede expresar como el producto cartesiano de q intervalos unidimensionales abiertos de la recta real, es decir I , b = (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (aq , bq ). a 2. Anlogamente se denomina intervalo cerrado al subconjunto: I , b = Rq \. ai xi bi i , a x

Ejemplo 1.5 (Primeros ejemplos de intervalos)

Veamos algunos ejemplos sencillos de intervalos en dos dimensiones: I ((2, 3), (4, 5)) = (2, 3) (4, 5) = (x, y) R2 \. 2 < x < 4, 3 < y < 5 . I ((2, 3), (4, 5)) = [2, 3] [4, 5] = (x, y) R2 \. 2 x 4, 3 y 5 .

1.3.3 Conjuntos abiertos, cerrados y compactosDespus de un cuatrimestre de Clculo los conceptos de intervalo abierto y cerrado sern familiares al lector. Es fundamental que generalicemos estos conceptos al caso de subconjuntos genricos de Rq . Nos limitaremos, no obstante, a las cuestiones ms bsicas que utilizaremos a lo largo del curso: d por hecho el lector que los conceptos que vamos a introducir ahora no son ms que la parte visible de un iceberg de conocimiento denominado topologa . Tendremos la oportunidad de comprobar que muchas propiedades de las funciones multivariable, enunciadas como teoremas, slo son vlidas en dominios abiertos; otras por el contrario requieren que el dominio sea cerrado.

Curso 2007-2008

BO

R

RClculo II, Grupos A y E

A

I , b = [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [aq , bq ]. a

D

o

O

R

1.3. CLASIFICACIN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ

23

Denicin 1.13 (Puntos interiores, exteriores y frontera) Sean un conjunto Rq y su complementario Rq . Dado 0 Rq se dice x que: 1. 0 es un punto interior de si > 0 \. B 0 , . x x 2. 0 es un punto exterior de si > 0 \. B 0 , Rq . x x es un punto frontera de si > 0 se cumple simultneamente que 3. x0

B B

, x0 = , , (Rq ) = . x0

Exterior

De la denicin anterior se deduce que todo punto exterior de es un punto interior de su complementario Rq . Es importante destacar que en la denicin de punto interior (exterior) de un conjunto basta con que exista una (sola) bola de radio > 0 que satisfaga la condicin correspondiente para que el punto sea interior (exterior). Por el contrario la denicin de punto frontera es mucho ms restrictiva; debe cumplirse que, cualquiera que sea el radio, la bola cen trada en el punto 0 contenga de forma simultnea puntos pertecientes a y puntos que no x pertenecen a dicho conjunto.

Denicin 1.14 (Puntos adherentes y de acumulacin) Sea un conjunto Rq y un punto 0 Rq , se dice que: x 1. 0 es un punto adherente de si > 0, B 0 , = . x x es un punto de acumulacin de si > 0, B , = . 2. x x0 0

Las deniciones de punto frontera, adherente y de acumulacin pueden confundirse ya que sus diferencias son sutiles. Un punto 0 es adherente al conjunto si toda bola centrada en 0 x x contiene puntos pertenecientes al conjunto; para que sea frontera debe contener adems puntos que no pertencen a . La distincin entre puntos adherentes y de acumulacin es an ms sutil. Todo punto 0 aislado es un punto adherente (y frontera), pero no lo es de acumulacin ya x que existen bolas centradas en l que slo contienen un punto de : el propio 0 x


BO

R

Figura 1.13: Puntos interiores, exteriores y frontera

R

AFronteraCurso 2007-2008

Interior

D

O

C

R

24

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ Una vez clasicados los puntos de Rq en los tipos interior, exterior y frontera con respecto a un determinado conjunto, conviene denir los conceptos de interior, exterior y frontera de dicho conjunto.

Denicin 1.15 (Interior, frontera y exterior de un conjunto)Dado un conjunto cualquiera Rq , se denen los siguientes conjuntos relacionados: 1. El interior de es el conjunto formado por todos los puntos interiores de , es decir = { Rq \. es punto interior de }. x x

Ex() = { Rq \. es punto exterior de }. x x

C = { Rq \. es punto frontera de }. x x , Una denicin alternativa de Exterior de un conjunto es Ex() = Rq . Los conjuntos q porque todo punto de Rq es necesariamente una y slo Ex() y son una particin de R una de las siguientes cosas: o punto interior de o punto exterior de o punto frontera de ; es imposible que sea simultneamente dos de ellas. De manera ms formal podemos enumerar algunas de las propiedades ms importantes de estos conjuntos como sigue

Teorema 1.10 (Propiedades de los conjuntos Ex() y ) ,1. Los conjuntos Ex() y son disjuntos. , q = Ex() . 2. R

BO C

R

RC

A

C

Figura 1.14: Interior, frontera y adherencia

Curso 2007-2008

D

3. La frontera de es el conjunto formado por todos los puntos frontera de , es decir

O

(frontera incluida)

C = C + C


R

2. El exterior de es el conjunto Ex(C) formado por todos los puntos exteriores de , es decir

1.3. CLASIFICACIN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ La demostracin de las propiedades anteriores se deja para los problemas del tema. Ahora deniremos la adherencia de un conjunto y su conjunto derivado

25

Denicin 1.16 (Adherencia y derivado de un conjunto)Dado un conjunto cualquiera Rq , denimos tambin los siguientes conjuntos: 1. La adherencia de es el conjunto formado por todos los puntos de adherencia de . 2. Se denomina conjunto derivado de al conjunto formado por todos los puntos de acumulacin de . Todos punto interior o frontera de un conjunto pertenece a la adherencia del mismo. Asimismo los puntos interiores son puntos de acumulacin del conjunto. Todo punto de acumulacin es un punto adherente; sin embargo existen puntos de adherencia que no son de acumulacin: stos se denominan puntos aislados del conjunto.

Teorema 1.11 (Propiedades de y ) 1. = . 2. = .

La adherencia, frontera y derivado de un conjunto Rq verican que:

Dado el siguiente conjunto de puntos del plano = (x1 , x2 ) R2 \. x1 = n, n N ,

obtenga el interior, la frontera y la adherencia del mismo. Tal como se observa en la denicin est formado por todos los puntos del plano excepto aquellos cuya primera coordenada es un nmero natural (x1 = 1, 2, ). No es dcil darse cuenta que son precisamente estos puntos los que constituyen la frontera de : en cualquier entorno de los mismos hay simultneamente puntos que pertencen y que no pertenecen a . El resto de los puntos de R2 , que constituyen , forman el interior del conjunto ya que siempre podemos encontrar un entorno de los mismos que slo contiene puntos de . Por tanto conjunto e interior del conjunto coinciden en este caso. Adems, el conjunto no contiene puntos aislados por lo que adherencia y conjunto derivados coinciden. As = , = (x1 , x2 ) R2 \. x1 = n N , = = R2 .

Ejercicio: Dado el conjunto de puntos = (x1 , x2 ) R2 \. x1 = 1/n, x2 = 1/m, n, m = 1, 2, . . . ,


BO

Ejemplo 1.6

R

R

3. = Conjunto de puntos aislados de . 4. .

A

D

OCurso 2007-2008

R

26

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ se propone como ejercicio que el lector encuentre sus puntos interiores, frontera, adherentes y de acumulacin. Finalmente, los conceptos de punto interior, exterior y frontera dan lugar a los de conjunto abierto y de conjunto cerrado, que son se exponen en la denicin 1.18

Denicin 1.17 (Conjuntos abiertos y cerrados)Un conjunto Rq es abierto si todos sus puntos son interiores y ninguno de sus puntos frontera le pertenece, es decir, si = . Por el contrario, un conjunto Rq se dice que es cerrado si tanto sus puntos interiores como sus puntos frontera le pertenecen, es decir, si = .

C Cerrado

El teorema 1.12 , que damos sin demostrarcin, enumera las propiedades bsicas de los conjuntos abiertos y cerrados en espacios eucldeos

Teorema 1.12 (Propiedades bsicas de los abiertos y cerrados)1. Rq y son simultneamente conjuntos abiertos y cerrados. 2. La unin de conjuntos abiertos (cerrados) es a su vez un conjunto abierto (cerrado). 3. La interseccin de un nmero nito de abiertos (cerrados) es un conjunto abierto (cerrado). 4. Para todo Rq , los conjuntos Ec() son abiertos, y los conjuntos , y son cerrados. 5. Para todo Rq , es el menor cerrado que contiene a . Es decir, si es cerrado y , entonces . 7. Un conjunto es cerrado si y slo si .

6. Un conjunto es cerrado si y slo si Rq es abierto.

Curso 2007-2008

BO

La distincin entre conjuntos abiertos y cerrados es de gran importancia; por ejemplo las derivadas parciales (que estudiaremos ms adelante) slo pueden denirse en un punto interior del dominio de denicin de una funcin. En conseFigura 1.15: Abierto y cerrado cuencia muchos teoremas y criterios, que se basan en el concepto o en las propiedades de las derivadas parciales, slo son vlidos en conjuntos abiertos.

R

R

A

Abierto

D

C

La gura lateral muestra dos conjuntos en el plano, uno abierto cuya frontera se representa mediante una lnea a trazos, y otro cerrado delimitado por una lnea continua. Se trata del convenio que establecimos para representar discos en el plano, y que de ahora en adelante utilizaremos para representar conjuntos genricos del plano abiertos y cerrados.

O


R

1.4. PRIMERA TOMA DE CONTACTO CON LAS FUNCIONES REALES

27

Denicin* 1.18 (Conjuntos compactos y conexos)Un conjunto Rq se dice compacto si, adems de ser cerrado, cumple que , > 0 \. B , . x x Un conjunto Rq se dice conexo si 1 , 2 C, existe (al menos) una x x curva que une dichos puntos y que est completamente contenida en . Tal como se muestra en la gura adjunta al prrafo, un conjunto compacto es un conjunto cerrado que puede delimitarse mediante una bola de radio nito; en realidad, si el conjunto es compacto existen innitas bolas de radio nito que contienen al conjunto. Ejemplos de conjuntos compactos son el intervalo [a, b] de la recta real, cualquier disco de radio nito, etc. Por el contrario, la recta real, el plano o el espacio son ejemplos de conjuntos no compactos.

$\rho $ $C$

BO

x1

Conjunto Conexo

Ejercicio: Figura 1.17: Conjuntos conexo y disconeEn todos los casos obtenga el interior, la frontera y la adherencia de los conjuntos propuestos; xo adems determine si el conjunto es abierto o cerrado, compacto y conexo: 1. = (x, y) R2 \. 0 < x 1, 0 y 1 . 2. = (x, y, z) R3 \. z x2 + y 2 .

1.4 Primera toma de contacto con las funciones realesEn esta breve seccin introducimos por primera vez las funciones reales denidas en espacios eucldeos de dimesin superior a uno. Dados dos espacios eucldeos Rq y Rp , donde p y q son nmeros naturales cualesquiera, podemos denir una funcin real como una regla que a todo


R x1 Conjunto Desconexo

C

x2

x2

R

A

Figura 1.16: Conjunto compacto

En esta gura presentamos dos subconjuntos del plano: el de la izquierda es conexo ya que, dados dos puntos cualesquiera del mismo, siempre podemos encontrar una curva dentro del conjunto que va de un punto a otro; no sucede lo mismo en el conjunto de la derecha puesto que existen puntos que no se pueden conectar mediante ninguna curva que pertenezca integramente al conjunto.

D

$B$

O

R

Curso 2007-2008

28

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ punto (o vector) Rq le asocia un punto (o vector) Rp . De manera ms x x formal : Rq Rp ; (x , x , , x ) ( x , x , , x ) , 1 2 1 2 q q donde el valor de la funcin se expresa en trminos de sus componentes como = ( ( x , x , , x ) ( x , x , , x ) , ( x , x , , x )) Rp . x 1 1 2 q 2 1 2 q p 1 2 q Algunas comentarios pertinentes son: El subconjunto donde la funcin toma valores se denomina dominio de denicin de la funcin . El conjunto de valores (numricos o vectoriales) que toma la funcin recibe el nombre de imagen de la misma. Si p = 1 la funcin se llama funcin escalar real de varias variables reales; es frecuente hablar simplemente de funciones reales de varias variables reales. En este caso la regla asocia a cada punto de Rq un nmero real. Un caso particular de estas funciones son las que se han estudiado en el primer cuatrimestre (donde q = 1).

Las funciones i (x1 , x2 , , xq ) se denominan componentes de la funcin.

En el caso de dos funciones escalares (p = 1) f y g se pueden denir adems x x

Ejemplo 1.7

Consideremos los siguientes ejemplos: Un alambre rectilneo se sita sobre el eje X del sistema de coordenadas del laboratorio y con su extremo izquierdo en x = 0. En este punto se coloca un mechero cuya llama calienta el alambre; transcurrido un tiempo prudencial se mide la temperatura del alambre a distintas distancias del origen. Es razonable pensar en la temperatura del alambre como una funcin T de la coordenada x, esto es T : R R ; x T (x) , x 0.

Repetimos el experimento anterior con una placa muy na. Elegimos un sistema de referencia cuyo origen coincida con el vrtice inferior izquierdo de la placa y tal que sus dos ejes X e Y coincidan con dos de los lados de la placa. A continuacin se coloca el mismo mechero en el vrtice que hace las veces de origen de coordenadas y calentamos la placa durante un cierto tiempo. Midiendo la temperatura de la placa en distintos puntos (x, y) obtenemos una idea de como vara sobre la placa. En este caso la temperatura es una funcin T de las coordenadas x e y, esto es T : R2 R ; (x, y) T ( x, y ) , x, y 0.

Curso 2007-2008

BO

(f g)( ) = f ( )g( ), (f /g)( ) = f ( )/g( ). x x x x x x

R

( + )( ) = ( ) + ( ), x x x ( )) ( ), ( x = x )( ) = ( ) ( ) = ( x x x

R

A

Dadas dos funciones y podemos denir las siguientes funciones:

D

Si p 2 la funcin recibe el nombre de funcin vectorial (de varias variables reales).

q i=1 i ( x )

O


R i ( ). x

1.5. CURVAS EN RQLa posicin de una partcula (puntual) que se desplaza por el espacio nos proporciona un ejemplo de funcin vectorial : R1 R2 ; t (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , r r que a cada valor del tiempo t le asocia el vector de posicin de la particula (con respecto a un cierto sistema de referencia). Otro ejemplo de funciones vectoriales lo proporcionan los campos electromagntico y gravitatorio. Consideremos una carga elctrica Q que se encuentra situada en el origen de referencia que utilizamos en el laboratorio. El campo electrosttico generado por la misma es x + y + z k E : R3 R3 ; (x, y, z) E ( x, y, z ) = KQ 2 , (x + y 2 + z 2 )3/2 donde K es una constante que depende del sistema de unidades que estemos utilizando (K = 1 en el sistema C.G.S. y K = 1/40 en el M.K.S., siendo 0 la constante dielctrica del vacio).

29

1.5 Curvas en Rq

La recta es el tipo de curva ms sencillo que podemos encontrar en un espacio eucldeo. Obtendremos de manera simple algunas de las ecuaciones que la denen. Deduciremos primero la ecuacin vectorial de una recta en R3 para generalizarla posteriormente a un nmero cualquiera de dimensiones (q 2).

BO a x x0 v

1.5.1 Rectas

R x + y + z k

y (x0 , y0 , z0 ) L

Rx

El objeto de nuestro estudio inmediato son las curvas y supercies en el espacio eucldeo. Una vez elegido un sistema de referencia, las coordenadas de los puntos ubicados sobre una curva o sobre una supercie no pueden ser arbitrarias, sino que deben obedecer correlaciones determinadas. Estas correlaciones se caracterizan mediante ecuaciones, escalares o vectoriales. Pasamos ahora a considerar de forma breve dichas ecuaciones

A

Consideremos la recta L que pasa por el punto = x + y + z R3 y es paralela al r0 0 0 0k vector = (v 1 , v 2 , v 3 ). Tal como se muestra en v la gura cualquier punto L puede escribirse r como = +, r r0 a donde es el vector con origen en 0 y extremo a r . Ahora bien, en r

t R \. = t , a v a v y por lo tanto se verica la siguiente relacinFigura 1.18: Denicin de recta

= + t , t R, r r0 v


DCurso 2007-2008

O

R

30

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ que recibe el nombre de ecuacin vectorial de la recta. En realidad, esta ecuacin es vlida cualquiera que sea el nmero de dimensiones con que trabajemos; la diferencia radica en que la descomposicin en coordenadas o componentes es distinta. Sea = (x1 , x2 , , xq ) un punto genrico de la recta, 0 = (x01 , x02 , , x0q ) y x x = (v , v , , v ) el punto y el vector que denen la recta; entonces v 1 2 q

Denicin 1.19 (Ecuacin vectorial de la recta)La relacin = + t , t R, x x0 v

se denomina ecuacin vectorial de la recta L Rq que pasa por el punto 0 y x tiene como vector director a v Al descomponer la ecuacin vectorial en componentes obtenemos una representacin alternativa de la recta. En efecto

El sistema de ecuaciones

A

D Ry y0 z z0 x x0 = = , a b c

Denicin 1.20

recibe el nombre de ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa por 0 = x (x01 , x02 , , x0q ) y tiene como vector director a = (v 1 , v 2 , , v q ). v Supongamos que vi = 0 cualquiera que sea el valor del subndice y que depejamos t en todas y cada una de las ecuaciones del sistema de ecuaciones paramtricas; entonces

Estas igualdades denen q 1 ecuaciones independientes llamadas ecuaciones simtricas de la recta. En tres dimensiones se escriben como

donde a, b y c son en este caso las componentes del vector director de la recta. Ejercicio: Dejamos como ejercicio para el lector la obtencin de las ecuaciones simtricas si a = 0 y b, c = 0. Tomando como ejemplo el resultado de este ejercicio estamos en disposicin de dar el caso general, es decir, aquel en el que parte de las componentes del vector director son nulas

Curso 2007-2008

BOt= t=

xq x0q x1 x01 x2 x02 = = = . v1 v2 vq

R

x1 = x01 + tv1 ; x2 = x02 + tv2 ; ; xq = x0q + tvq ,

O


Rt R,

1.5. CURVAS EN RQ

31

Denicin 1.21 Sea L Rq la recta que pasa por 0 = (x01 , x02 , , x0q ) y tiene como vector x director a = (v 1 , v 2 , , v q ), cuyas componentes cumplen que vi1 = vi2 = v . . . vin = 0 y vj1 , vj2 , . . . , vjm = 0, con n + m = q. Entonces, el sistema xj1 x0j1 vj1 xi1 = x0i1 = ; xj2 x0j2 vj2 xi2 = x0i2 = ... = ; ... ; xjm x0jm , vjm xin = x0in ,

recibe el nombre de ecuaciones simtricas de la recta.


BO

R

RCurso 2007-2008

A

D

O

R

32


Ejemplo 1.8 (Recta que pasa por dos puntos distintos)Por supuesto, las ecuaciones anteriores no agotan las formas en las que podemos caracterizar una recta en el espacio (ni en Rq en general). Una de ellas consiste en expresar la recta como la interseccin de dos planos, otra en proporciar las coordenadas de dos puntos por los que pasa la recta; en este ltimo caso es trivial adaptar las ecuaciones simtricas. Puesto que conocemos dos puntos y por los que x x0 1

(x1 , y 1 , z 1 ) v

pasa la recta, podemos utilizar como vector director el segmento dirigido que tiene origen en uno de los puntos y extremo en el otro; las componentes de tal vector se obtienen como sigue: = 1 0 = (x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ). v x x Substituyendo este resultado en las ecuaciones simtricas, es decir, tomando a = x1 x0 , b = y1 y0 y c = z1 z0 , resulta x x0 y y0 z z0 = = . x1 x0 y1 y0 z1 z0

tenido en cuenta:

Consideremos, para jar ideas, una funcin vectorial continua (t) = x (t) + y (t) + z (t) \. t I R, r k

cuyos valores son vectores de posicin que jan la posicin de distintos puntos P del espacio. Aunque no hemos denido la continuidad de una funcin vectorial, el lector con conocimientos sobre las funciones de una variable podr admitir sin dicultad que si la funcin es continua dos puntos P1 y P2 , correspondientes a valores t1 y t2 , se encontrarn tan prximos como se quiera sin ms que exigir que |t1 t2 | 1. Por tanto, es razonable armar que la imagen C = x + y + z k R3 \. x = x(t), y = y(t), z = z(t), t I , de la funcin anterior dene una curva en el espacio, que denotamos C y que no posee saltos ni agujeros. En numerosas ocasiones se utiliza la notacin C : (t) = x (t) + y (t) + z (t) k , t I, r para sealar de forma simplicada que la curva C viene parametrizada por dicha funcin vectorial. Las ecuaciones x = x(t); y = y(t); z = z(t),

Curso 2007-2008

BO

1.5.2 Ecuaciones vectoriales y paramtricas de una curva

R

R

2. Independientemente de las dimensiones del espacio eucldeo, una recta viene caracterizada por un nico grado de libertad, es decir, basta un parmetro real para describir las coordenadas de todos los puntos de la recta.

A

1. A diferencia de las ecuaciones simtricas, las ecuaciones paramtricas y la ecuacin vectorial no slo denen la recta sino que la dotan de una orientacin, esto es, indican en qu orden se recorren los puntos de la misma. A medida que damos valores al parmetro t recorremos la curva segn el sentido del vector director.

D

O

Figura 1.19: Recta que pasa por dos Para nalizar es conveniente realizar un par de comentarios, que el lector atento ya habr puntos


R

(x0 , y 0 , z 0 )

1.5. CURVAS EN RQ reciben el nombre de ecuaciones paramtricas de la curva C. Para convencernos de que existe una relacin muy estrecha entre funciones vectoriales y curvas en el espacio estudiaremos unos pocos ejemplos:

33

Ejemplo 1.9 (Parametrizacin de la recta)Una recta es un caso especial de curva, quiz el ms simple de todos. Hemos visto que las ecuaciones paramericas de la recta L que pasa por el punto 0 = (x0 , y 0 , z 0 ) y tiene como vector director = x v (t) = + t , t R. (a, b, c) son x = x0 + at; y = y0 + bt; z = z0 + ct, y en forma vectorial L : r x0 v

Ejemplo 1.10 (Parametrizacin de la circunferencia de radio unidad)Sea la funcin vectorial (t) = cos(t) + sen(t) + 0 , t [0, 2) . r k

De acuerdo con las ideas precedentes, la curva asociada tiene por ecuaciones paramtricas

3 4

1 2

4

A Rt=0

2

D

Dado que z = 0 podemos restringirnos al plano XY . Para determinar de qu curva se trata vamos a efectuar una representacin grca; elaboraremos una tabla con los valores de las coordenadas x e y de los puntos de la curva correspondientes a diversos valores seleccionados de t. t 0 4 2 3 4 . . . x 1 1 2 0 1 2 1 . . . y 0 1 2 1 1 2 0 . . . z 0 0 0 0 0 . . .

t=

La representacin en el plano de estos pocos puntos basta para darse cuenta de que es una circunferencia de radio a = 1 (adems es una cir3 2 cunferencia orientada porque recorremos la curva Figura 1.20: Funcin vectorial: Circunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj, segn vamos dando valores a t). Aun podemos obtener una vericacin adicional de que se trata de una circunferencia de radio unidad; en efecto5 4 7 4

Ejemplo 1.11En este ejemplo deduciremos la forma de la funcin vectorial que caracterice la curva C interseccin del cilindro de radio 1 centrado sobre el eje Z (x2 + y 2 = 1) y el plano de ecuacin y + z = 2. La gura 4.6 muestra de forma esquemtica como se obtiene la curva C como interseccin de las dos supercies. Resulta patente que la proyeccin de C sobre el plano XY coincide con la base del cilindro, que denominaremos Cxy Segn el ejemplo precedente una circunferencia en el plano se parametriza como Cxy : (t) = cos(t) + sen(t) \. t [0, 2) r


BO

R1 2

x2 (t) + y 2 (t) = cos2 (t) + sen2 (t) = 1.

O

x = cos(t); y = sen(t); z = 0.

R

Curso 2007-2008

34


Figura 1.21: Interseccin plano-cilindro

x = cos(t); y = sen(t); z = 2 sen(t), lo que da lugar a la siguiente funcin vectorial C : (t) = cos(t) + sen(t) + 2_ sen(t) k , \. t [0, 2). r

Denicin 1.22 (Curva en el espacio eucldeo)Una curva C Rq es la imagen de una funcin vectorial, es decir C = Rq \. x1 = x1 (t) ; x2 = x2 (t) ; . . . ; xq = xq (t) , t I , x donde I es un intervalo de la recta real. De forma equivalente diremos que C est parametrizada por la funcin vectorial (t), y lo denotaremos como r C : (t) = x1 (t) 1 + x2 (t) 2 + + xq (t) q , t I, r e e e o que sus ecuaciones paramtricas son C : x1 = x1 (t) ; x2 = x2 (t) ; . . . ; xq = xq (t) , t I.

Si las funciones xi (t) son continuas (si la funcin vectorial es continua) se dice que la curva C es continua.

Curso 2007-2008

BO

Conamos en que estos ejemplos hayan convencido al lector de que una curva en el espacio (o en el plano) puede caracterizarse mediante una funcin vectorial. Convenimos en dar una denicin general de la siguiente forma

R

R

A

D

La diferencia entre los puntos de C y de Cxy radica en el valor de la coordenada z; utilizando la ecuacin del plano podemos despejar z en funcin de y, con lo que obtenemos que z = 2 y. Ahora bien, sobre C se cumple que y = sen(t), y por tanto las ecuaciones paramtricas de la curva son

O


R

1.6. SUPERFICIES EN RQ

35

Antes de dar por nalizado este apartado conviene realizar algunos comentarios sobre lo tratado aqu: En sentido estricto la denicin precedente introduce el concepto de curva hodgrafa asociada a la funcin (t). Es posible construir curvas ms generales a partir de la unin r de varias curvas de este tipo. La funcin vectorial no slo dene la curva como un lugar geomtrico formado por puntos de Rq , sino que la dota de una orientacin. Independientemente de cul sea la dimension del espacio eucldeo, las curvas estn denidas por un slo grado de libertad.

1.6 Supercies en Rq

1.6.1 Planos

BO x0 x

El ejemplo de supercie ms sencillo es el plano. Existen diversas formas de caracterizar un plano Rq . Una de ellas consiste en dar un punto 0 perteneciente al plano y un vector x n 3 , para luego generalizar las ortogonal al mismo. Trabajaremos primero el caso de un plano en R expresiones obtenidas a un nmero superior de dimensiones. Dados = (x , y , z ) , r0 0 0 0 = (n , n , n ), n x y z y un punto genrico = (x, y, z) se r cumple que ( 0 ) , r r n es decir n ( 0 ), = 0, r r expresin que se denomina ecuacin vectorial del plano. Para obtener una ecuacin esFigura 1.22: Denicin de plano calar escribiremos explcitamente las componentes de los vectores, es decir (x x0 , y y0 , z z0 ), (nx , ny , nz ) = 0,

n


RO

RCurso 2007-2008

A

Una supercie S Rq puede denirse como el lugar geomtrico formado por los puntos cuyas coordenadas satisfacen determinada ecuacin de ligadura. Por lo tanto, dado que hacen falta q coordenadas para caracterizar univocamente un punto en Rq , los puntos situados sobre una supercie solo poseen q 1 coordenadas independientes. As, una supercie en Rq posee q 1 grados de libertad, y en particular, en el espacio slo posee dos grados de libertad.

D

O

R

36 con lo cual llegamos a


nx (x x0 ) + ny (y y0 ) + nz (z z0 ) = 0, bien nx x + ny y + nz z + d = 0, con d = (nx x0 + ny y0 + nz z0 ). Cualquiera de estas ecuaciones representa la ligadura que deben satisfacer las coordenadas de los puntos situados sobre el plano. Como los punto del espacio estn caracterizados por tres coordenadas, la ecuacin del plano introduce una correlacin que reduce el nmero de coordenadas independientes a slo dos: es decir, tal como hemos comentado al principio de la seccin un plano en el espacio est caracterizado por dos grados de libertad.

Ejemplo 1.12 (Otras ecuaciones del plano en R3 ) Sean y son dos vectores paralelos al plano de forma que su producto vectorial nos proporciona u v un vector normal al mismo, esto es = . n u v En consecuencia la ecuacin vectorial del plano se podr escribir como , = 0, r r0 u v

la ecuacin anterior puede reescribirse como

el volumen del paraleleppedo que denen es nulo. Otra forma de caracterizar un plano consiste en identicar tres puntos no colineales pertenecientes al mismo; supongamos, por jar ideas, que esos puntos son r0 r1 r2

z z0 u3 = 0. v3 , y son coplanares y que por tanto Esta expresin reeja el hecho de que los tres vectores r r u v0

BO = u = v2

x x0 u1 v1

Partiendo de ellos es posible construir dos vectores no colineales y paralelos el plano, es decir r 1 0 r r r x x0 x1 x0 x2 x0 = (x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ) , = (x2 x0 , y2 y0 , z2 z0 ) , z z0 z1 z0 = 0, z2 z0

lo cual da lugar a la siguiente forma de la ecuacin del plano y y0 y1 y0 y2 y0

Curso 2007-2008

R= = =0

= (u , u , u ) , u 1 2 3 = (v , v , v ) , v 1 2 3

Ry y0 u2 v2

(x0 , y 0 , z 0 ) , (x1 , y 1 , z 1 ) , (x2 , y 2 , z 2 ) .

A

donde reconocemos en el miembro de la izquierda el producto mixto de los tres vectores 0 , y r r u . Utilizando la descomposicin en componentes de los vectores y v u v

D

OClculo II, Grupos A y E

R

1.6. SUPERFICIES EN RQ La generalizacin a una dimensin arbitraria q (con q > 2) no presenta ninguna dicultad especial; la diferencia slo afecta a la descomposicin en componentes (coordenadas) de los vectores (puntos) involucrados

37

Denicin 1.23 Sea Rq un plano contenido en el espacio eucldeo de dimensin q; si 0 = x (x01 , x02 , , x0q ) es un punto perteneciente al plano y = (n1 , n2 , , nq ) un n vector normal al mismo, la ecuacin vectorial del plano es ( 0 ), = 0, x x n que desarrollada en componentes da lugar a la siguiente ecuacin escalar n1 (x1 x01 ) + n2 (x2 x02 ) + + nq (xq x0q ) = 0, con d = q i=1 ni x0i .

n1 x1 + n2 x2 + + nq xq + d = 0,

1.6.2 Ecuaciones escalares de una supercie

Denicin* 1.24 (Supercie en Rq ) Una supercie S Rq es el lugar geomtrico de todos los puntos Rq que x satisfacen una ecuacin de la forma f ( x1 , x2 , , xq ) = 0, donde f es una funcin escalar de q variables. Si la funcin es continua diremos que S es una supercie continuaaa

Aunque el lector con conocimientos previos sobre funciones de una variable no debe tener problemas en este punto, solicitamos su indulgencia ya que no hemos denido an la continuidad de una funcin escalar. El lector impaciente puede saltar momentneamente al siguiente tema.

La debilidad de la denicin 1.24 radica en que cualquier supercie embebida en Rq puede caracterizarse mediante una ecuacin escalar, pero no toda ecuacin escalar dene una supercie. Vemoslo en el siguiente ejemplo

Ejemplo 1.13 (La esfera)En el prximo tema veremos la ecuacin general que caracteriza una cudrica en Rq . De momento


BO

R

R

Ejercicio: Conteste a las siguientes preguntas: (a) Cuntos vectores linealmente independientes denen un plano en Rq ? (b) Cuntos puntos son necesarios para denir un plano en Rq ? (c) Escriba la ecuacin del plano en trminos de las coordenadas de dichos puntos.

A

D

OCurso 2007-2008

R

38

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQnos centraremos en la esfera. La esfera de radio a centrada en el origen de coordenadas de un sistema de referencia de R3 es el lugar geomtrico de todos los puntos (x, y, z) qua satisfacen la ligadura x2 + y 2 + z 2 = a2 . De forma anloga, en Rq la ecuacin de la esfera centrada en el origen viene dada por x2 + x2 + + x2 = a2 . q 1 2 Sin embargo la ecuacin x2 + x2 + + x2 = a2 , 1 2 q no admite soluciones en el campo de los nmeros reales y, por tanto, dene el conjunto vaco. Y la ecuacin x2 + x2 + + x2 = 0, 1 2 q admite como solucin nica x1 = x2 = = xq = 0, es decir, el origen de coordenadas. En ningn caso aceptaramos como supercie el vaco o un punto aislado.

Partiendo de la ecuacin de la esfera centrada en el origen y radio a x2 + y 2 + z 2 = a2 ,

y despejando la tercera coordenada como funcin de x e y, resulta x2 + y 2 + z 2 = a2 z = a2 x2 y 2 . El signo positivo (negativo) delante del signo de la raiz dene la semiesfera de radio a superior (inferior). Cuando consideramos el espacio eucldeo general Rq tambin podemos despejar la ltima coordenada xq = a2 x2 x2 x2 , 1 2 q1

de manera que los dos signos estn asociados a cada una de las semiesferas con xq 0 y xq 0.

1.7 Otros sistemas de Coordenadas en R2 y R3Cualquier punto de Rq est denido por una sucesin ordenada de q nmeros reales que llamamos sus coordenadas. Adems de las coordenadas que hemos dado en llamar cartesianas,

Curso 2007-2008

BO

Ejemplo 1.14 (La semiesfera en q dimensiones)

R

xq = g ( x1 , x2 , , xq1 ) .

R

Entonces podemos denir la supercie S como el lugar geomtrico de todos los puntos Rq x que satisfacen la ecuacin

f ( x1 , x2 , , xq ) = 0 xq = g ( x1 , x2 , , xq1 ) .

A

D

Bajo ciertas condiciones la ecuacin f ( x1 , x2 , , xq ) = 0 dene implcitamente cualquiera de las coordenadas en funcin de las q 1 restantes; supongamos que es posible despejar la ltima coordenada xq , de manera que

O


R

1.7. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y R3 existen otros sistemas de coordenadas que permiten caracterizar los puntos del espacio Rq . Nos limitaremos aqu a dar los sistemas ms habituales en el plano y en el espacio, que se muestran en la siguiente tabla Espacio R2 R3 Sistema de coordenadas cartesianas (x, y) polares (r, ) cartesianas (x, y, z) cilndricas (r, , z) esfricas (r, , )

39

Estos sistemas de coordenadas pueden ser muy tiles para resolver ciertos problemas en el plano y en el espacio, en particular para el clculo de integrales mltiples mediante un cambio de variables.

1.7.1 Coordenadas polares

y P (x0 , y0 )

Ay0 r

DP (x0 , y0 ) x x0 Curso 2007-2008

y

y0

BOx0 Clculo II, Grupos A y E

Figura 1.23: Coordenadas cartesianas y polares

Tal como se muestra en la gura 1.23 las coordenadas polares de un punto, que denotaremos por (r, ), son la distancia del mismo al origen y el ngulo que forma su vector de posicin con el semieje X positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Para poder cubrir todos los puntos del plano es necesario que r 0 y que [0, 2). La siguiente tabla muestra los intervalos genricos donde las coordenadas cartesianas y polares toman respectivamente sus valores Coordenadas Cartesianas Coordenadas polares x (, ) r [0, ) [0, 2) y (, ) Existe una correspondencia entre los dos tipos de coordenadas, es decir, podemos escribir las coordenadas cartesianas de un punto en funcin de sus coordenadas polares y viceversa. Llamaremos relacin directa a la que proporciona los valores de x e y en funcin de los de r y . Esta relacin se obtiene por trigonometra elemental como

Rx

R

O

R

40


x(r, ) = r cos , y(r, ) = r sen . El clculo de la relacin inversa, que da los valores de r y en funcin de los de x e y, es bastante ms delicado. De la relacin directa es evidente que r = x2 + y 2 y un razonamiento rpido y poco cuidadoso nos lleva a que = arctan(y/x). Sin embargo esta expresin tiene dos problemas: por un lado no est denida cuando x = 0, y por otro, la arcotangente es una funcin multivaluada de modo que a un valor de su argumento le corresponden diversos valores de la funcin . Eligiendo como rama de esta funcin la que asocia a su argumento un ngulo (/2, /2) encontramos que y arctan si x > 0, y 0, x arctan y + 2 si x > 0, y < 0, x arctan y + si x < 0, x r = x2 + y 2 , = si x = 0, y > 0, 2 3 si x = 0, y < 0, 2 si x = y = 0.

R

Este resultado muestra claramente que la relacin entre las ooordenadas cartesianas y las correspondientes coordenadas polares de un punto no es una biyeccin: todos los puntos con r = 0 se aplican en (0, 0), independientemente del valor que tome . Dicho de otro modo, el ngulo no est bien denido en el origen de coordenadas. Se denomina cua polar2 a la regin del plano limitada por dos semirectas denidas por 1 y 2 y por dos arcos de circunferencia con radios r1 y r2 (r2 > r1 ), tal como muestra la gura adjunta.

BOr2 x

R

A

Denamos r r1 + r2 , 2 r = r2 r1 , = 2 1 . =

y

L2 = r2 (2 1 )

L1 = r1 (2 1 )

r1

1

2

Cuando r y se hacen sucientemente pequeos la cua se asemeja a un recinto rectngular de lados r y r. Entonces, el rea de la cua puede aproximarse como

Figura 1.24: Elemento de rea en polares

A rr.

Este resultado deviene exacto cuando los incrementos de coordenadas son innitesimales, de manera que podemos escribir A dA = rdrd, r dr, d.

2

Tambin se encuentra en la literatura el nombre de segmento de corona circular

Curso 2007-2008

D

O


R

1.7. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y R3

41

1.7.2 Coordenadas polares generalizadasLa ecuacin de una circunferencia centrada en el origen y radio a se escribe de forma trivial en coordenadas polares como r = a ya que x2 + y 2 = a2 r 2 = a2 r = a. No sucede lo mismo con las elipses con centro en el origen y ejes paralelos a los de coordenadas. En efecto, si dada la ecuacin de la elipse de semiejes a y b x2 y 2 + 2 = 1, a2 b efectuamos el cambio a coordenadas polares, obtenemos la expresin r 2 cos2 r 2 sen2 + = 1, a2 b2 que no es ms sencilla que la expresin original. Ahora bien, es posible denir coordenadas polares generalizadas que simpliquen realmente la ecuacin de la elipse. Sea x(r, ) = ar cos , y(r, ) = br sen ,

R

Ax (r, ) a2

donde a y b son factores positivos que denominamos factores de dilatacin de los ejes coordenados. Efectuando el cambio de coordenadas tenemos x a2

D+

+

y b

2

=1

es decir, en el nuevo sistema de coordenadas la ecuacin de la elipse con semiejes a y b es simplemente r = 1. Ejercicio: Obtenga las relaciones inversas en este sistema de coordenadas polares. Representa r la distancia de un punto genrico al origen?

1.7.3 Coordenadas cilndricasLa relacin entre las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto del espacio y sus correspondientes coordenadas cilndricas (r, , z) est denida por las siguientes ecuaciones x(r, , z) = r cos , y(r, , z) = r sen , z(r, , z) = z.


BO

R

Oy (r, ) b2

R

= r 2 = 1,

Curso 2007-2008

42

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ Introducimos el signicado geomtrico de las nuevas coordenadas con ayuda de la Z gura adjunta. Tal como se muestra, un punto P R3 queda perfectamente determinado por la terna de nmeros reales r, y z, donr de r es la distancia del punto al eje Z, es el ngulo que forma el vector de posicin de la proyeccin de P sobre el plano XY con el P semieje X positivo, medido en sentido antihorario y z es la tercera coordenada cartesiaY na o cota. O El lector ya habr apreciado la similitud entre las coordenadas cilndricas en el espar cio y las coordenadas polares en el plano. De hecho podramos denirlas del siguiente modo: dado un punto genrico (x, y, z) expreX samos x e y en trminos de las coordenadas polares de (x, y) y completamos la caracteriFigura 1.25: Coordenadas cilndricas zacin del punto mediante la cota z. Los intervalos genricos en los que las coordenadas de uno y otro sistema de coordenadas pueden tomar valores son Coordenadas Cartesianas Coordenadas cilndricas x (, ) r [0, ) y (, ) [0, 2) z (, ) z (, ) Con el n de minimizar esfuerzos explotaremos la relacin entre coordenadas polares y cilndricas para la relacin inversa entre stas y las coordenadas cartesianas de un punto. Resulta sencillo deducir que

BO

R

r = r (x, y, z) =

x2 + y 2 , = (x, y, z) = (x, y)

R

A

D

donde el subndice pol indica que se trata de la misma funcin que aparece en el sistema de coordenadas polares. Las ecuaciones precedentes muestran que la relacin entre coordenadas cartesianas y cilndricas tampoco es una biyeccin, ya que todos los puntos de la forma (r, , z) = (0, , z) se aplican en un slo punto (x, y, z) = (0, 0, z), cualquiera que sea . Esto implica que el ngulo no est bien denido para los puntos del eje Z.

Curso 2007-2008

Opol


R,

1.7. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y R3 La gura muestra una cua cilndrica caracterizada por dos semiplanos radiales con 2 > 1 , dos cilindros con radios r2 > r1 y dos planos z2 > z1 . Mediante un procedimiento similar al que seguimos en coordenadas polares introducimos las cantidades r1 + r2 , 2 r = r2 r1 , = 2 1 , z = z2 z1 . r =2 1

43

r1 z2

r2

z1

1.7.4 Coordenadas esfricas

BOZ d r

Las coordenadas esfricas (r, , ) de un punto P R3 se denotan habitualmente con los caracteres r, y . La coordenada r representa la distancia de P al origen de cordenadas, es el ngulo entre la proyeccin del vector de posicin de P sobre el plano XY y el semieje X positivo, medido en sentido antihorario3 , y nalmente es el ngulo que forma dicho vector de posicin con el semieje Z positivo, medido en el sentido de las agujas del reloj.

RP (x, y, z)

RY

A

V dV = rdrddz,

Dr dr,

En el lmite en que los incrementos de r y se hacen innitesimales el resultado anterior es exacto y por lo tanto podemos escribir d.

La gura muestra grcamente como se denen las tres coordenadas. Por razones prcticas introducimos la distancia d del punto al eje Z. Utilizando polares para representar los valores de x e y tenemos x = d cos ; y = d sen . Por otro lado, utilizando trigonometra elemental resulta z = r cos ; d = r sen .

Entonces, 1.27: Coordenadasque nos permite escribir (x, y, z) en trminos de (r, , ) viene la relacin directa esfricas Figura dada por x(r, , ) = r cos sen , y(r, , ) = r sen sen , z(r, , ) = r cos .3

X

Y por tanto tiene el mismo signicado que en coordenadas cilndricas


O

Figura 1.26: Elemento de volumen en cilindricas

V rrz.

R

Cuando los incrementos de las variables son sucientemente pequeos la cua se asemeja a un paraleleppedo de lados r, r y z, de manera que

Curso 2007-2008

44

TEMA 1. GEOMETRA Y TOPOLOGA DE RQ Para poder barrer todos el espacio debemos permitir que las coordenadas de los dos conjuntos tomen valores en los intervalos que se muestran a continuacin Coordenadas Cartesianas Coordenadas esfricas x (, ) r [0, ) y (, ) [0, 2) (0, ) z (, ) El razonamiento que permite deducir la forma de la transformacin inversa es algo ms complicado. Teniendo en cuenta que r es la distancia entre un punto genrico y el origen de coordenadas, que el signicado de es el mismo que en coordenadas cilndricas y utilizando que z = r cos , no resulta complicado llegar a las siguientes ecuaciones r = r (x, y, z) = x2 + y 2 + x2 ,

Ejercicio: Se deja como ejercicio para el lector el clculo del volumen de una cua esfrica

S 1.A Caracterizacin de regiones en el plano y el espacioEn los siguientes ejemplos mostramos como caracterizar algunas regiones del plano y del espacio utilizando coordenadas cartesianas, polares, cilndricas o esfricas. Consideraremos conjuntos conexos cuya frontera es siempre una curva continua y cerrada o una supercie continua y cerrada. En el espacio, los conjuntos de este tipo y que adems son compactos se denominan regiones slidas . Nos interesan especialmente los llamados conjuntos simples o que pueden descomponerse fcilmente en subcojuntos que s lo son. Un conjunto R2 se demonina simple si existe un sistema de coordenadas (c1 , c2 ) tal que (c1 , c2 ) R2 \. c1 {1 , 1 } , c2 {2 (c1 ) , 2 (c1 )} ,

donde 1 y 1 son constantes, 2 (c1 ) y 2 (c1 ) son funciones continuas de la primera variable, y {a, b} representa tanto un intervalo abierto, como cerrado o semicerrado. De forma anloga diremos que R3 es simple si existe un sistema de coordenadas (c1 , c2 , c3 ) que permiten denirlo como

Curso 2007-2008

BO

R

(r, , z) = (r, , 0) (x, y, z) = (0, 0, r), (r, , z) = (r, , ) (x, y, z) = (0, 0, r), , . (r, , z) = (0, , ) (x, y, z) = (0, 0, 0),

R

A

La transformacin inversa pone en evidencia que no estamos ante una biyeccin: los ngulos y no estn bien denidos en los puntos del eje Z y en particular en el origen de coordenadas; en efecto,

D

, = (x, y, z) = (x, y) pol arc cos = (x, y, z) =

x2

+ y2 + z2

si si

(x, y, z) = (0, 0, 0) , (x, y, z) = (0, 0, 0) .

O

z


R

1.A. CARACTERIZACIN DE REGIONES EN EL PLANO Y EL ESPACIO

45

con 1 y 1 constantes y 2 (3) y 2 (3) funciones continuas. En general cuando un conjunto simple se dene estableciendo de forma explcita los intervalos en los que varan todas y cada unas de las coordenadas de sus puntos se dice que se ha caracterizado de forma simple4 . Conviene comentar que la dicultad para obtener este tipo de caracterizacin es casi siempre muy notable; slo en alg

CALCULO multivariable Alqua

Documents

Transcript of CALCULO multivariable Alqua