I.E. Nº 10141 – “7 DE NOVIEMBRE”

77

Forma General:

ax + b = 0

x: Incógnita

a y b: Coeficientes

a R, b R

Despejemos x:

ax = -b

x = a

b–

Como resolvemos una ecuación de primer grado

con una incógnita.

Para esto aplicamos el siguiente procedimiento:

1. Suprimimos signos de colección o agrupación.

2. Efectuamos reducción de términos semejantes

en cada miembro.

3. Hacemos transposición de términos, escribiendo

los que son independientes en uno de los

miembros y los que no son en el otro miembro

de la ecuación.

4. Volvemos a reducir términos semejantes.

5. Despejamos la incógnita.

Ejemplos:

(1) Resolver la siguiente ecuación:

4x – (3x + 9) = (x + 2) – (2x - 1)

Solución

Paso 1.- Eliminamos signos de colección:

4x – 3x – 9 = x + 2 – 2x + 1

Paso 2.- Reducimos términos semejantes en

cada miembro.

x – 9 = -x + 3

Paso 3.- Por transposición de términos.

x + x = 3 + 9

Paso 4.- Volvemos a reducir términos

semejantes en cada miembro.

2x = 12

Paso 5.- Despejamos “x”.

x = 2

12

Respuesta: x = +6

I.E. Nº 10141 – “7 DE NOVIEMBRE”

78

Para comprobar, si la raíz o solución hallada

es la correcta, solo la reemplazamos en la

ecuación dada:

Es decir:

4x – (3x + 9) = (x + 2) – (2x - 1)

Para: x = 6

4(6) – (3(6) + 9) = (6 + 2) – (2(6) – 1)

24 – 27 = 8 – 11

-3 = -3

(2) Resolver: x + 2

3 = 3x - 1

Solución

Al hacer la transposición de términos, los

términos en “x” pueden estar todos en el primer

o segundo miembro de la ecuación.

Transponiendo los términos en “x” al

segundo miembro, y los términos

independientes al primero.

2

3 + 1 = 3x - x

Reduciendo términos semejantes:

EJERCICIOS DE APLICACION

2

5 = 2x

Despejamos “x”

x = 4

5

Otra forma:

x + 2

3 = 3x - 1

Solución

Calculamos el M.C.M. de los denominadores.

M.C.M. = 2

Multiplicando a ambos miembros de la

ecuación por este M.C.M.

2(x + 2

3) = 2(3x - 1)

Por Propiedad Distributiva:

2x + 3 = 6x - 2

Transponiendo términos:

5 = 4x

Despejando “x”

4

5 = x ó x =

4

5

Resolver:

1. 7x – 7 = 1 – x

2. 5x – 7 = 101x – 103

3. 3x – 1 = x + 2 + x

4. 5x - 2

1 = x +

2

9

5. 5

x3 +

5

17 =

5

x +

3

21

6. 4x – (2x - 1) + x = 2x – (2 + x) – x

7. x + (x + 3)(x – 3) = 3 + x(x + 1)

8. 7x – [(x + 5) – (3x – 1)] = 12

I.E. Nº 10141 – “7 DE NOVIEMBRE” I TRIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO

85

9. 2

x3 -

3

5 = x – 1

10. 24

x

3

1x

11. 22

4x

4

2x

12. 23

1x

5

3x

13. 2

x2

3

x2

4

x3

14. 5

4

1x

x

15. x3

1x2

7

1x3

MONOMIO

Es un Término Algebraico racional entero, es decir

exponentes enteros y positivos incluido el cero.

Ejm.:

-4x5y4z2

Donde:

-4 : Parte Constante

x5y4z2 : Parte Variable

OBSERVACIÓN

Un monomio puede ser una constante, una variable

o el producto de una constante por una o más

variables.

CARACTERÍSTICAS

Al expresar M(x, y) indicamos que es un monomio

de 2 variables.

Todo monomio posee 2 grados:

Grado Absoluto (G.A.): Esta dado por la suma de

los exponentes de las variables.

M(x, y) = 42x4y6

GA(M) = 4 + 6 = 10

Grado Relativo (G.R.)

Esta dado por el exponente de la variable en

mención.

N(x, y) = 6x3y4

GR(x) = 3

GR(y) = 4

Ejm.: En el siguiente monomio:

M(x, y) = 2xa+2

y3 es de (G.A.) = 10

Hallar: “a”

Solución:

El grado absoluto es:

a + 2 + 3 = 10

a + 5 = 10

a = 5

Ejm.: En el monomio: M(x, y) = 44x2n-5

y6

Calcular “n” si el grado relativo respecto de “x”

(GR(x)) es igual a 15.

Solución:

I.E. Nº 10141 – “7 DE NOVIEMBRE” I TRIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO

24

El grado relativo de “x” es:

2n – 5 = 15

2n = 20

n = 10

16. En el siguiente monomio:

M(x, y) = 4xa+3

y6 es de G.A. = 12. Hallar: “a”

a) 8 b) 10 c) 2

d) 3 e) 1

17. En el siguiente monomio:

M(x, y) = 42a3xn+4

y5 es de grado absoluto 16.

Hallar: “n”

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

18. En el siguiente monomio:

M(x, y) = 3xn-4

y6. Calcular “n”, si el G.A. = 12

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 14

19. Hallar “n” si el grado absoluto 24:

M(x, y) = 34x2n-2

y6

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

20. En el monomio: M(x, y) = 35x2n-3

y5

Calcular “n” si el grado relativo respecto de

“x”. GRx es igual a 20.

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

21. Si: P(x, y, z) = 6a2x4ym+3

z5

Calcular “m” si el grado absoluto respecto de

“P” GR(Y) es 16.

a) 10 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

22. Hallar el coeficiente de GRx = 12 y GRy = 14 en:

M(x, y) = (a + b)x2a-4

yb-3

a) 20 b) 22 c) 24

d) 25 e) 26

23. En el monomio: M(x, y) = (2a + b)xa-6

yb+7

Calcular el coeficiente si: GR(x) = 8 ;GRy = 9

a) 20 b) 25 c) 28

d) 30 e) 31

24. En el monomio: M(x, y) = 3xn-8

y5n

Calcular: GRy si GRx = 12

a) 50 b) 70 c) 80

d) 90 e) 100

25. En el monomio: M(x, y) = 5x2n-1

yn+5

Calcular el valor del GRx siendo GRy = 10

a) 9 b) 11 c) 12

d) 14 e) 15

26. En el monomio: M(x, y) = (a2 + b

3)x

3a+by2a+5b

Calcular el coeficiente si: GRx = 10, GRy = 11

a) 10 b) 8 c) 6

d) 4 e) 2

27. En el monomio:

M(x, y) = (a + 3b)x2a+3b

ya+b

Donde: Coeficiente del monomio es: 11

Grado Absoluto del monomio es: 23

Calcular el grado relativo de “y”.

a) 3 b) 5 c) 7

d) 9 e) 11

28. El siguiente monomio es de grado 99. Calcular:

32n1n2)y,x( ]yx[2M

El valor de “n” será:

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I.E. Nº 10141 – “7 DE NOVIEMBRE” I TRIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO

24

POLINOMIOS

Suma limitada de monomios, no semejantes.

Ejm.:

4x2y3 + 2x

4y2 – x

3y

x5 + x

3 + 2x + 1

NOTACIÓN

Un polinomio cuya única variable es x puede ser

representado así: P(x)

Lo cual se lee: “P de x” o “P en x”

y significa: polinomio cuya única variable es x.

En general, un polinomio de (n + 1) términos puede

ser expresado así:

P(x) = anxn + an-1x

n-1 + an-2x

n-2 + ………….. + a0x

0

Donde:

x es la variable cuyo mayor exponente es n.

an, an-1, an-2, ……… a0 son los coeficientes de

P(x).

an: coeficiente principal; an 0

a0: término independiente.

GRADO ABSOLUTO (G.A.)

Esta representado por el monomio de mayor grado.

P(x) = x7 + x

5 + 4

GA = 7

P(x, y) = x12

y5 + x

4y + 4

GA = 17

GRADO RELATIVO (G.R.)

Esta representado por el mayor exponente de la

variable referida.

P(x, y) = 2x3y5 – 4x

4y3 – 1y

5

GR(x) = 4 , GR(y) = 5

Ejm.:

En el siguiente polinomio:

P(x) = xa+1

+ 2xa-3

+ 7xa-5

Calcular el valor de “a” si GA = 14

Solución:

El grado absoluto es:

a + 1 = 14

a = 13

Ejm.: En el polinomio:

P(x, y) = 7x2yb+4

– 5x3yb-1

–x2yb+7

Calcular el valor de “b” GRy = 10

Solución:

El grado relativo con respecto a “y” es:

b + 7 = 10

b = 3

29. Colocar verdadero o falso según corresponda:

P(x) = 4x4 – 5x

6 + 2x

2 + 6

I. El polinomio es de grado 4. ( )

II. El término independiente es 6. ( )

III. La suma de coeficientes es 7. ( )

30. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son

ciertas?

I. 4

x3 es un monomio de grado 4.

II. P(x) = 5 + 3x2 + x

-3 es un polinomio.

III. 4

1x5x

2

3P 24

)x( es un polinomio en Q.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I.E. Nº 10141 – “7 DE NOVIEMBRE” I TRIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO

24

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) I y II e) Todas

31. En el siguiente polinomio:

P(x) = x2a+1

+ 6x2a+3

– 5x2a+4

Calcular el valor de “a”. Si: GA = 14

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

32. En el siguiente polinomio:

P(x) = 2xa-2

+ 6xa-4

+ 8xa-6

Calcular el valor de “a”. Si: G.A. = 13

a) 15 b) 14 c) 13

d) 10 e) 12

33. En el polinomio:

P(x, y) = x2a

y4 – 3x

2ay6 – x

2a

Calcular el valor de “a” G.A. = 20

a) 7 b) 8 c) 10

d) 11 e) 14

34. En el polinomio:

P(x, y) = x2a+4

y – 7xa-5

y2 – 8x

a-3y2

Calcular el valor de “a” si GRx = 10

a) 4 b) 5 c) 3

d) 9 e) 10

35. En el polinomio:

P(x, y) = 5x3yb+6

– 4x2yb+2

– x2yb+3

Calcular el valor de “b” GRy = 12

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

36. En el polinomio:

P(x, y) = axa-4

+ 3xay3 + 2y

a

Calcular la suma de sus coeficientes. Si GA = 12

a) 10 b) 12 c) 14

d) 15 e) 16

37. Indicar la suma de coeficientes del polinomio:

P(x, y) = axa-4

yb-2

+ bxa+2

yb – 4x

a-2yb+3

Siendo: GA = 8

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

38. Calcular el valor de “n” en:

1yx2yx6P 3

n232

n

)y,x( siendo n < 8

a) 6 b) 8 c) 4

d) 5 e) 2

I.E. Nº 10141 – “7 DE NOVIEMBRE” I TRIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO

24