UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

Curso:

Calculo IV

Clase:

Título del proyecto:

“Truss element space”

Nº de Equipo de trabajo: “1”

Integrantes:

Cáceres Vásquez, Ronald.

Cotrina Meza, Verónica.

Gutiérrez Llalle, Ronald.

La Torre Soriano, Fabiola.

Riojas Ortiz, Jessica Raquel.

Terrones Cabanillas, Mirella.

Fecha de sustentación: Semana 15

1. TÍTULO DEL PROYECTO:

“Truss element space”

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

a) Ejemplo 5.1.

Considere la armadura espacial se muestra en la Fig. 5.2. Los

soportes en los nodos 1, 2 y 3 son articulaciones de bola y cavidad

que permite la rotación, pero sin traducción. Dada E = 200GPa,

A14 = 0.001 m2,

A24 = 0.002 m2, A34 = 0.001 m2, y P = 12 kN, determinar:

1. Los desplazamientos en el nodo 4.

3. Las reacciones en los nodos 1, 2 y 3.

4. La tensión en cada elemento.

Figura 5.2. The space truss con tres elementos

3. OBJETIVOS:

3.1. General

Crear un software que resuelva el ejercicio del capítulo 6 del tema

“Truss Space Element” de MatLab guide to finite element,

específicamente el ejemplo 6.1, así como otros ejercicios de esta

misma índole.

3.2. Específicos

Demostrar una solución mediante el uso de tecnología (MATLAB -

GUIMATLAB)

Comparar el desplazamiento del nodo 4 del MatLab guide to finite

element con el Sofware creado.

Comparar las reacciones de los nodos 1,2 y 3 del MatLab guide to

finite element con el Sofware creado.

Comparar las tensiones de cada elemento de MatLab guide to finite

element con el Sofware creado.

4. MODELO MATEMÁTICO:

5. MÉTODOS DE SOLUCIÓN:

Funciones de MATLAB Usado

Las cinco funciones de MATLAB utilizados para el elemento de

armadura espacial son:

Space Truss Element Length (x1, y1, z1, x2, y2, z2) - Esta función

devuelve el elemento longitud dada las coordenadas del primer nodo

(x1, y1, z1) y las coordenadas de la segundo nodo (x2, y2, z2).

SpaceTrussElementStiffness (E, A, L, θx, θy, θz) Esta función calcula

el elemento de la matriz de rigidez de cada elemento armadura

espacial con módulo de elasticityE, área de la sección transversal A, de

longitud L, y ángulos θx, θy y θz (en grados). Ella devuelve el 6 × 6

matriz de rigidez elemento k.

SpaceTrussAssemble (K, k, i, j) - Esta función reúne la matriz

elemento de rigidez k del elemento de armadura espacial unirse nodos

i y j en la matriz de rigidez global K.

Devuelve el 3n × matriz de rigidez global 3n K cada vez que un

elemento se monta.

SpaceTrussElementForce (E, A, L, θx, θy, θz, u) Esta función calcula la

fuerza de elemento utilizando el módulo de elasticidad E, el área de

sección transversal A, la longitud L, los ángulos θx, θy, θz (en grados), y

el desplazamiento elemento vector u. Devuelve la fuerza en el

elemento como un escalar.

SpaceTrussElementStress (E, A, L, θx, θy, θz, u) Esta función calcula

el estrés elemento utilizando el módulo de elasticidad E, la longitud L,

los ángulos θx, θy, θz (en grados), y el vector de elemento de

desplazamiento u. Devuelve el estrés en el elemento como un escalar.

El siguiente es un listado del código fuente de MATLAB para cada

función: en un elemento está montado

.

6. ALGORITMO COMPUTACIONAL:

Paso 1- Escribiendo el Elemento Rigidez Matrices:

Los tres elementos matrices de rigidez k1, k2 y k3 se obtienen al hacer

llamadas a la función SpaceTrussElementStiffness MATLAB. Cada matriz

tiene un tamaño de 6 × 6.

Paso 2. Montaje de la matriz de Global Rigidez:

Dado que la estructura tiene cuatro nodos, el tamaño de la matriz de rigidez global

es de 12 × 12.

Por lo tanto para obtener K primero establecimos una matriz cero de tamaño 12 ×

12 luego hacer tres las llamadas a la función SpaceTrussAssemble MATLAB ya que

tenemos tres elementos en la estructura. Cada llamada a la función reunirá a un

elemento. Los siguientes son MATLAB comandos:

Paso 3. - La aplicación de las condiciones de contorno:

La matriz (6.2) para esta estructura se obtiene como sigue usando la rigidez global

matriz obtenida en el paso anterior (los números se escriben a continuación

utilizando un decimal lugar solamente si bien los cálculos de MATLAB se realizan

con al menos cuatro decimales):

Las condiciones de contorno para este problema se dan como:

Inserción de las condiciones anteriores en (6.4) obtenemos: es como:

Paso 4. - Solución de las ecuaciones:

Resolviendo el sistema de ecuaciones en (6.6) se realizará por reparto

(manualmente) y la eliminación de Gauss (con MATLAB). Partición que Primero

(6.6) mediante la extracción de la submatriz en filas 10 a 12 y columnas 10 a 12.

Por lo tanto se obtiene:

Se obtiene la solución del sistema anterior usando MATLAB como sigue. Tenga en

cuenta que el operador barra invertida "\" se utiliza para la eliminación de Gauss

Ahora está claro que el desplazamiento horizontal en el nodo 4 en las direcciones

X y Z son 0.0015m y 0m (debido a la simetría), respectivamente, mientras que el

desplazamiento vertical en la dirección Y en el nodo 4 es -0,0005 m.

En este paso, se obtienen las reacciones en los nodos 1, 2 y 3, y la tensión en cada

elemento usando MATLAB como sigue. Primero creamos el vector de

desplazamiento nodal U mundial, a continuación, se calcula el vector de fuerza

nodal mundial F.

Así, las reacciones en el nodo 1 son fuerzas de 0, 10, y 8 kN a lo largo de los ejes X,

Y, y Z direcciones, respectivamente. Las reacciones en el nodo 2 son fuerzas de -12,

-20 y 0 kN a lo largo X, Y, y Z, respectivamente. Las reacciones en el nodo 3 son

fuerzas de 0, 10, y -8 kN junto la X, Y, y Z, respectivamente. Obviamente equilibrio

de fuerzas se satisface para este problema. Seguidamente establecemos los

vectores de desplazamiento del elemento nodal u1, u2, u3 y luego calcular el

elemento subraya sigma1, sigma2 y sigma3 por haciendo llamadas a la función

SpaceTrussElementStress MATLAB.

Por lo tanto es evidente que las tensiones en los elementos 1, 2 y 3 son 12.806MPa

(compresión), 11.662MPa (tracción), y 12.806MPa (compresión),

respectivamente. La simetría en los resultados con respecto a los elementos 1 y 3

es simultáneo.

a) Resolución del ejercicio 5.1 con el software:

Cuando ya se tiene el software creado e instalado en la computadora se realizan

los siguientes pasos:

Cuando ya se abre el programa seleccionamos Empezar! / Let´s Go!

Se abrirá la siguiente ventana; en la cual, se procederá a poner los valores guiándonos

del ejercicio a resolver:

Según los datos del problema 5.1, se colocaran los siguientes valores:

Se llega a notar que los resultados con los que verificaremos la veracidad se

encuentran a la derecha de la ventana:

7. RESULTADOS: Se llega a notar que los resultados con los que verificaremos la veracidad se

encuentran a la derecha de la ventana:

8. CONCLUSIONES:

En conclusión, se comprobó que los resultados del LIbro MatLab guide to

finite element, resultó totalmente igual al del software.

Comparar el desplazamiento del nodo 4 del MatLab guide to finite element

con el Sofware creado.

Comparar las reacciones de los nodos 1,2 y 3 del MatLab guide to finite

element con el Software creado.

Se concluyó que en los elementos empotrados, los desplazamientos son

mínimos y en este caso el software lo considera como cero.

Se halló los desplazamientos en el nodo 4.

Se determinó las fuerzas en los nodos 1, 2 y 3.

Todas las conclusiones anteriores se encontró con el software creado.

9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

Canale, C. &. (2011). Métodos Numéricos para ingeniería. Kattan, P. (2008). MatLab Guide to finite elements. New York.

10. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES (Las actividades se enumeran en la

primera columna. Con una X se indica la semana de control de avance de cada actividad).

ACTIVIDADES Mes/semanas Actividades

Ago Set. Oct. Nov. Dic.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Tema del Proyecto x Recopilación de información

x

Planteamiento del problema

x

Objetivos x Modelo matemático x Métodos de solución x

Algoritmo computacional

x

Resultados x

Conclusiones x Sustentación x

1.