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ÍNDICE PRESENTACIÓN DEL LIBRO………………….3 PRESENTACIÓN DEL MÓDULO………………6

RESPUESTAS ESPERADAS…………………169 GLOSARIO………………………………………181 BIBLIOGRAFÍA…………………………………182

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PRESENTACIÓN DEL LIBRO

Apreciable alumno de bachillerato: Te felicitamos por haber llegado hasta esta etapa de tu vida, en la que has

optado por continuar superándote dentro del Sistema de Educación Media Superior

del Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica. Te invitamos a seguir tu

preparación con nosotros para enfrentar los múltiples e intrincados retos que te

reserva la vida profesional.

Este libro pretende ser una herramienta para tal fin. En él encontrarás íconos que te

guiarán durante la lectura y reflexión individual, acompañándote en esta hermosa

aventura de construir aprendizajes significativos de manera personal y colectiva con

los compañeros y profesores. De esta manera, cada vez que encuentres un ícono

podrás estar seguro del significado de lo contenido en la página o el párrafo.

Ícono identificador de la unidad, mismo que avisa cuando

has comenzado a tratar una nueva unidad.

Ícono identificador de la introducción a la unidad.

Apartado en el cual encontrarás una breve reseña de lo

que tratará la unidad.

Ícono identificador del propósito que se persigue alcanzar

al finalizar el estudio de la unidad.

4

Ícono identificador del sumario, que enlista los temas

principales que se tratarán en la unidad.

Ícono identificador del apartado en que se desarrollan los

temas.

Ícono identificador de ejercicios que te servirán para

consolidar lo aprendido.

Ícono identificador de respuestas esperadas de los

ejercicios propuestos.

En este libro encontrarás tres unidades, correspondientes al módulo de Matemáticas IV Introducción al cálculo diferencial e Integral, que corresponde a:

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El módulo de matemáticas tiene como propósito analizar los conceptos de cambio, las funciones, la derivada e integral y aplicarlos en la vida profesional a las áreas económico-administrativas, químico-biológicas, de ciencias exactas e ingeniería con la finalidad de comprender mejor, los fenómenos donde existen dependencias entre variables y los cuales existen, en cualquier carrera que estés cursando.

No nos queda más que invitarte a recorrer sus páginas y deleitar esta herramienta creada pensando en ti y en tu porvenir.

¡Disfrútalo mientras aprendes y aprovecha este tiempo para estudiar y formarte, pues recuerda que muchas cosas no podrás recuperar, una de ellas

es el tiempo! ¡Suerte!

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica

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PRESENTACIÓN DEL MÓDULO

El Cálculo , es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua. El Cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño). Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Eleaim pudieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados: Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli que ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como Teorema Fundamental del Cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su

teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.

El concepto de Cálculo Formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real, adquiere una importancia y desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales.

El Cálculo utilizado a través de las computadoras se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para el modelado matemático de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

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UNIDAD 1 Funciones y variaciones.

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9

La mayoría de los alumnos que llegan a este nivel de estudios, siempre tiene

una duda muy importante: En la vida real, ¿para qué me sirven las matemáticas? Para poder aplicar las matemáticas en situaciones del mundo real, es necesario comprender algunos conceptos básicos para interpretarlos de manera correcta, porque las matemáticas tienen su propio lenguaje y códigos. El Cálculo diferencial e integral, tiene como finalidad, poder “facilitar” los cálculos de cantidades que podrías obtener por métodos algebraicos muy tediosos y en los que se pueden cometer fácilmente errores. Basándonos en este principio básico, no debemos perder de vista, que estás a punto de adentrarte al mundo del Cálculo diferencial e integral, que tiene como primera y única razón de ser, propiciar que los cálculos que has resuelto desde hacía algunos cursos, sean más rápidos, sencillos y con soluciones generales. No sólo vas a calcular resultados, sino establecer modelos matemáticos (fórmulas) que te pueden ayudar a resolver cualquier problema. ¿No te parece que tiene demasiadas ventajas?

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1. Calcularás la rapidez de cambio de diferentes cantidades para la solución de problemas prácticos.

1.1 Cambio. 1.2 Función.

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1.1 Cambio . 1.1.1 Ejemplos de cambios en cantidades.

Como has podido observar, en la vida real todo cambia. Es fácil comprender dicha afirmación si te detienes a recordar, tu tamaño y peso, desde que eras un bebé hasta cuando fuiste un niño de 6 ó 7 años o incluso actualmente. Seguramente notarás cambios.

De igual manera, en tu entorno existen miles de cosas cuyo valor cambia continuamente. Para el cálculo diferencial es importante poder medir ese cambio o variación.

Con base en esto, Cambio se puede definir como: “la variación de una cantidad”. 1.1.2 Notación delta para representar los cambios.

En matemáticas es muy importante poder identificar cuándo se está hablando

de un cambio, y para ello se utiliza la letra griega ∆ (delta). De igual manera, es muy importante poder calcular la variación de una cantidad (es decir cuánto ha cambiado) y para ello se utiliza la siguiente fórmula.

if XXX −=∆

Ahora, si observas detenidamente la fórmula anterior, notarás que el cambio de cualquier cantidad (la cual está representada por la letra X) se calcula mediante la simple resta de un valor final a uno inicial.

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1. Muy temprano al despertarse, “Juanito” prendió la radio y escuchó que la temperatura esa mañana era de 5ºC. Él salió de su casa y realizó todas sus actividades y al regresar (aproximadamente a las 4 de la tarde) escuchó nuevamente la temperatura en la radio, la cual esta vez era de 25.2 ºC; ¿cuál es el cambio de temperatura que se registró ese día? Solución: Datos:

Temperatura inicial = 5ºC Temperatura final = 25.2ºC Cambio de temperatura del día = ?

Para emplear la fórmula anterior, primeramente hay que identificar la cantidad que está cambiando (en este caso la temperatura) para asignarle una letra (T) de tal modo que nuestra fórmula será:

f iT T T∆ = −

Sustituyendo los valores dados:

25.2º 5ºT C C∆ = −

20.2ºT C∆ =

Respuesta: En conclusión, el cambio o variación de temperatura que se registró ese día fue de 20.2 ºC. Este cambio también podría tomarse como un incremento de temperatura, pero la pregunta sería: ¿Un cambio también puede ser un decremento? Para contestar la pregunta anterior observa el siguiente problema:

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2. Muy temprano al despertarse, “Juanito” tomó dinero para sus gastos de trasporte y alimentación del día. Si se fue con 122.5 pesos y regresó con 44 pesos, ¿cuál fue cambio en su dinero ese día? Solución: Datos:

Monto inicial = $122.5 Monto final = $ 44 Cambio en el monto durante el día

= ?

Para poder emplear la fórmula, primeramente hay que identificar la cantidad que está cambiando (en este caso el dinero) para asignarle una letra ($) de tal modo que nuestra formula será:

$ $ $f i∆ = −

Sustituyendo los valores:

$ 44 122.5pesos pesos∆ = −

$ 78.5pesos∆ = − Respuesta: En conclusión, el cambio o variación de dinero que ese día tuvo Juanito, fue de -78.5 pesos. Como puedes observar es un valor negativo, que significa que esté cambio es un decremento.

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1. ¿Cuál es el cambio o variación de edad que has tenido de los 5 años hasta el día de hoy?

2. Si una persona que está a dieta pesaba originalmente 108.32 Kg y ahora el peso registrado por la báscula es de 83.44 kg, ¿Cuál es el cambio o variación de peso que ha tenido?

3. ¿Cuál es el cambio de velocidad que tiene un vehículo que originalmente viaja a 45

km/h, si después de una pendiente su velocidad es de 98 km/h?

4. ¿Cuál es el cambio que o variación de peso que has tenido desde los 9 años hasta el día de hoy? (si no recuerdas qué peso tenías a los 9 años o no sabes tu peso actual utiliza cualquier par de valores)

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1.1.3 Razón de cambio promedio.

En la definición anterior de cambio, no tomamos en cuenta el tiempo que tarda en suceder dicho cambio; es decir, tomando el ejemplo de una persona que está a dieta, no es lo mismo que baje 5 kg en 4 meses que en un mes. Cuando el cambio se calcula en función del tiempo que tarda en suceder se le conoce como razón de cambio. La palabra razón en matemáticas significa división, por tanto razón de cambio se puede definir como: la división entre la variación que una cantidad registra y el tiempo

que tarda en suceder esto. Por tanto, la fórmula para la razón de cambio es:

if

if

tt

XX

t

X

−−

=∆∆

Ahora, si observas detenidamente la fórmula anterior, notarás que el cambio de cualquier cantidad, está dividido entre el cambio de tiempo (∆t), y éste último se calcula mediante la misma fórmula de cambio.

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1. En la siguiente tabla, se muestra el peso que Juanito ha tenido, en diferentes etapas de su desarrollo:

De acuerdo con los valores de la tabla anterior contesta lo que se te pregunta.

1. ¿Cuál es el cambio de peso que Juanito tuvo de los 2 a los 9 años?

2. ¿Cuál es el cambio de peso que Juanito tuvo de los 7 a los 17 años?

3. ¿Cuál es la razón de cambio de peso que Juanito tuvo de los 2 a los 9 años?

4. ¿Cuál es la razón cambio de peso que Juanito tuvo de los 7 a los 17 años?

Solución: Como podrás observar, las dos primeras preguntas solamente hacen referencia al cambio, sin embargo, las últimas dos piden el cálculo de una razón, por tanto:

1. ¿Cuál es el cambio de peso que Juanito tuvo desde los 2 a los 9 años?

f iP P P∆ = −

Sustituyendo lo valores:

25.2 13.4 kg

11.8 kg

T kg

T

∆ = −∆ =

2. ¿Cuál es el cambio de peso que Juanito tuvo desde los 7 a los 17 años?

f iP P P∆ = −

Sustituyendo lo valores:

50.2 23.6.kgT kg∆ = −

26.6 kgT∆ =

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3. ¿Cuál es la razón de cambio de peso que Juanito tuvo desde los 2 a los 9

años?

f i

f i

P PP

t t t

−∆ =∆ −

25.2 13.4

9 años 2 años

P kg kg

t

∆ −=∆ −

11.8

7 años

P kg

t

∆ =∆

1.69P kg

t año

∆ =∆

4. ¿Cuál es la razón cambio de peso que Juanito tuvo desde los 7 a los 17 años?

f i

f i

P PP

t t t

−∆ =∆ −

50.2 23.6

17 años 7 años

P kg kg

t

∆ −=∆ −

26.6

10 años

P kg

t

∆ =∆

2.66P kg

t año

∆ =∆

La razón de cambio tiene unidades compuestas, las cuales en el denominador

(parte de abajo) siempre serán unidades de tiempo.

Una de las aplicaciones más usuales de la razón de cambio, es la del cálculo del cambio de la distancia por unidad de tiempo.

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2. Un vehículo recorre una carretera de 125 km en 2.5 horas. Calcula la rapidez de cambio que dicho vehículo presenta. Solución: En este problema solamente nos indican los valores finales, por lo que lo valores iniciales los podemos igualar a cero, por lo tanto:

f i

f i

D DD

t t t

−∆ =∆ −

125 0

2.5 horas 0 horas

P km km

t

∆ −=∆ −

125

2.5 horas

P kg

t

∆ =∆

50P km

t hr

∆ =∆

Las unidades de este problema son las unidades que utilizamos comúnmente para definir la velocidad de cualquier vehículo. Por tanto; la velocidad se puede definir como: “la razón de cambio promedio de la distancia por unidad de tiempo”

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1. Una persona leyó una unidad de un libro en 4

horas y media, si la unidad empezaba en la página 75 y terminaba en la 112 ¿cuál es la razón de cambio? (expresa tu resultado en páginas por hora y páginas por minuto)

2. El Porche carrera es capaz de recorrer 100 km en

tan sólo 28 minutos. ¿Cuál es su velocidad o razón de cambio promedio de distancia? (expresa tu resultado en km/h)

3. ¿Cuál es la razón de cambio de temperatura que

se registraron en un día de las 9:30 a.m. a las 2:45 p.m. si en la mañana había 5.7 ºC y por la tarde

26.8 ºC? (expresa tus resultados en ºC por minuto)

4. ¿Cuál es la razón cambio de peso que has tenido de los 9 años hasta el día de

hoy? (si no recuerdas que peso tenías a los 9 años o no sabes tu peso actual utiliza cualquier par de valores)

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Por tanto, una definición rigurosa que podemos utilizar para el cálculo diferencial es: La derivada de una función en un punto mide el valor del coeficiente por el cual la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio . El coeficiente de cambio equivale a decir qué tan rápido crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio) a lo largo del eje “x” en un plano cartesiano de dos dimensiones, es decir, la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

La diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad “y” cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad “x” con la que tiene una relación funcional.

Usando el símbolo ∆ para referirse al cambio en una cantidad, se define este coeficiente como un límite del cociente, cuando ∆x se aproxima a 0.

x

y

∆∆

Esta definición a pesar de que es correcta, no la puedes comprender del todo, por ello es importante que conozcas los siguientes conceptos.

1.2 Función. 1.2.1 Definición de función.

Uno de los conceptos más importantes en cálculo es el de función. Este concepto formaliza matemáticamente la interdependencia entre dos cantidades, situación que se presenta en la modelación de una gran cantidad de importantes situaciones de carácter aplicado. Si bien la idea que encierra este concepto surgió en la Grecia clásica, no es hasta el año 1694 en que la palabra función aparece por primera vez en los trabajos del matemático alemán Leibniz, pero referida sólo al ámbito geométrico. Posteriormente, en el año 1718, J. Bernoulli, alumno destacado de Leibniz, entrega el primer intento de definir función independiente del lenguaje geométrico.

Una función de una cantidad variable es una magnitud formada de alguna manera por esta cantidad variable y algunas

constantes.

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Las cantidades que dependen de otras, de tal modo que, cuando la segunda cambia, también cambia la primera, son

llamadas funciones. Finalmente, y sólo en el siglo pasado, el matemático alemán Dirichlet entrega una definición suficientemente general de función, que es la que actualmente se usa.

Una cantidad variable y se dice ser una función de una cantidad

variable “ x”, si para cada valor de la cantidad x corresponde un

único valor de la cantidad “ y”. Matemáticamente hablando, sean A y B dos subconjuntos de números reales R. Una función real f de A en B es una regla que hace corresponder a cada “x” del conjunto A un único número real “y” en B, denotado por f(x). Esta función se denota por:

)x(fyx

BA:f

=→→

y satisface:

∀ ∈ ∃ ∈ ∈

∈ ∧ ∈ ⇒ =1 2 1 2

1. a A b B (a,b) f

2.si (a,b ) f (a,b ) f b b

Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota:

b)a(f = en vez de:

f)b,a( ∈

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1.2.2 Dominio y rango de una función.

Definamos:

f: A → B

g: C → D que son funciones, donde A, B, C y D son subconjuntos de R.

• Si b = f (a), b se llama imagen de a y a se llama pre-imagen de b.

• El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea, los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los objetos que puede transformar. Se denota Dom f o Df. A se llama Dominio de f, lo que se denotará Dom(f) = A. El conjunto B se llama Codominio de f, que se denotará Cod(f).

• El subconjunto de B:

{ ∈ ∈ }b B b=f(a) para todo a A

es llamado Recorrido de f, y se denotará Rec(f). El recorrido, también llamado conjunto imagen o rango , está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.

Por ejemplo, la función f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x², si bien tendrá como dominio a todos los reales,

sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

• La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y = f(x) y consiste en la curva de todos los puntos (x, f(x)) del plano cartesiano.

• En la función y = f(x), la variable “x” recibe el nombre de variable independiente y la variable “y” recibe el nombre de variable dependiente.

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1. Encuentra el dominio de la siguiente función:

1

1

−=

xy

Solución:

Para poder encontrar el dominio de esta función, basta con observar que cuando x = 1, esto provoca que el denominador de la función sea cero, por eso debemos excluir dicho valor; por tanto el dominio de esta función es:

R − {1}

2. Encuentra el dominio de la siguiente función:

21 xy −=

Solución:

Para poder encontrar de dominio de esta función, es necesario evitar las raíces cuadradas de números negativos, por lo que debemos tener

1 − x² ≥≥≥≥ 0

ó

x² - 1 ≤≤≤≤ 0

Factorizando entonces la última expresión, tenemos que:

x² - 1 = (x – 1)(x + 1)

por lo que

(x – 1)(x + 1) ≤≤≤≤ 0

En conclusión, el dominio consiste en todos los valores posibles de x, de –1 a 1; es decir: -1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1

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3. Algunos dominios de funciones de variable real:

4. Otros ejemplos de funciones y sus dominios

1. 2

f( )² 1

xx

x

+=−

Solución: R- 1, 1{ − }

2. ( )³ 3 ² 4 12

xf x

x x x=

− − +

Solución: R- 2,2,3{− } 3. ( ) ² 9f x x= −

Solución: ( ] [ )- ,-3 3,∞ ∪ + ∞

4. 5

( ) ² 9

xf x

x

+=−

Solución: [ )-5, 3,3+ ∞ −{− }

5. 2

3( )x

xf x e−−=

Solución: R - 3{ }

6. 1

( )² 1

xf x

x

+=+

Solución: R

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1.Encuentra el dominio de las siguientes funciones.

( )21. 2y x= +

( )2

12.

2y

x=

+

2

13.

2y

x=

+

4. 3y x= ±

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1.2.3 Representación de funciones por medio de

tablas, gráficas, fórmulas y palabras.

Esbozar la gráfica de una función consiste en dibujar la forma aproximada de la curva poniendo de manifiesto sus principales características. Dada una función f, para cada x Є dom f el par ordenado de números reales (x, f (x)) puede interpretarse como coordenadas de un punto del plano respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, de modo que la gráfica de f, es decir, {(x, f (x)) : x Є dom f}, vendrá representada por un subconjunto del plano, que da la representación gráfica de

la función f. Dada la función y = f(x), se forma una tabla de valores de dicha función y se representa en un sistema de ejes ortogonales, esto se logra tomando, para cada punto, como abscisa el valor de la variable independiente “x”, y como ordenada el correspondiente de la función “y”.

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1.1.1.1. Realiza la gráfica de la siguiente función:

2 2y x= +

Solución: Tal como se mencionó con anterioridad, el primer paso para poder graficar una función, es realizar una tabla que contenga valores de las variables “x” y “y” (esta tabla para que sea representativa, debe contener al menos 10 valores propuestos de la variable independiente “x” los cuales deben ser positivos y negativos pasando de

preferencia por cero)

Para poder llenar la tabla, es necesario sustituir cada uno de los valores de la variable “x” en la función que se desea graficar, es decir:

y1 = (-5)²+2 = 25+2 = 27 y2 = (-4)²+2 = 16+2 = 18 y3 = (-3)²+2 = 9+2 = 11 y4 = (-2)²+2 = 4+2 = 6 y5 = (-1)²+2 = 1+2 = 3 y6 = (0)²+2 = 0+2 = 2

28

y7 = (1)²+2 = 1+2 = 3 y8 = (2)²+2 = 4+2 = 6 y9 = (3)²+2 = 9+2 = 11 y10 = (4)²+2 = 16+2 = 18 y11 = (5)²+2 = 25+2 = 27

Como tercer paso, es necesario llenar la tabla con los valores que se calcularon:

Por último, cada par de valores (el cual representa un punto) se plasma en el plano cartesiano y se unen mediante una línea.

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2. Otros ejemplos de representaciones gráficas de funciones comunes son:

a)

22 =+ yx

3−= x)x(f

30

b)

c)

4−= ²xy

31

d)

e)

x)x(f

3=

xey 2=

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1.2.4 Notación de funciones.

Para representar las funciones, es conveniente usar una notación adecuada que permita simplificar su expresión; por conveniencia y facilidad se usará la notación siguiente:

( )y f x= La cual se lee “y está en función de x”; haciendo referencia a que la variable dependiente y obtiene sus valores conforme

x cambia su valor.

1.2.5 Rapidez de cambio en las funciones.

Cuando una función tiene una variación de los valores de la variable dependiente e independiente, recordemos el concepto delta (∆), entonces podemos hablar de la rapidez con la cual la función cambia.

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1. Si deseamos analizar la rapidez de cambio de la función 4y x= cuando x varía desde 3 hasta 6, es

decir; 3 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 6:

Solución: Encontramos la variación que es:

(3) 4(3) 12

(6) 4(6) 24

y

y

= == =

Por lo tanto la variación será:

24 12 12

46 3 3

y

x

∆ −= = =∆ −

Lo cual indica que la variable dependiente y cambia en 12 unidades cuando x varía en 3 unidades.

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1. Encuentra la rapidez de cambio de cada una de las siguientes funciones para el intervalo indicado. 1. 3 2y x= + para 2 x 7≤ ≤ 2. 2y x= + para 0 x 3≤ ≤ 3. 6y x= para 5 x 11≤ ≤ 4. 2 3y x= − para 12 x 7≥ ≥

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2. Usarás los diferentes tipos de funciones para la solución de problemas prácticos.

1.3 Tipos de funciones. 1.4 Funciones trascendentes.

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1.3 Tipos de funciones . 1.3.1 Funciones lineales y no lineales.

Las funciones lineales tienen gráficas que son líneas rectas. Estas gráficas representan tasas de cambio constantes. Las funciones no lineales no tienen tasas de cambio constantes. Por lo tanto, sus gráficas no son líneas rectas.

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1. Elabora la gráfica de la función lineal definida por y = 2x – 1, usando la rapidez de cambio y la ordenada al origen. Indica además el dominio y el rango de dicha función y expresa geométricamente f (2). Solución: Observando la función podemos ver que la ordenada al origen (punto donde corta al eje de la “y”) es -1. Por tanto un primer punto es (0,-1)

Calculando la rapidez de cambio para un intervalo cualquiera (0 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 2 por ejemplo) tenemos los puntos (0, -1) y (2,3), la rapidez de cambio es entonces = 2 la cual deberá mantenerse constante en toda la gráfica por

tratarse de una función lineal. Utilizando los dos puntos encontrados, podemos trazar la gráfica deseada y plasmar el punto f(2) = 3.

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1.3.2 Funciones crecientes y decrecientes.

Diremos que una función es creciente en un intervalo si al aumentar o disminuir la variable independiente (x), aumenta o disminuye también la variable dependiente (y). En caso contrario, si al aumentar o disminuir una disminuye o aumenta la otra, diremos que la función es decreciente en ese intervalo. Cuando esta característica es igual en todo el dominio, se dice que la función es o bien monótona creciente o bien monótona decreciente.

Una función f se dice monótona no creciente o decreciente si dados cualesquiera x, y Є dom f con x < y, es f (x) ≥ f (y).

Una función f se dice monótona no decreciente o crecientes es si dados cualesquiera x, y Є dom f con x < y, es f (x) ≤ f (y).

Una función f se dice monótona estrictamente creciente si dados cualesquiera x, y Є dom f con x < y, es f (x) < f (y).

Una función f se dice monótona estrictamente decreciente si dados cualesquiera x, y Є dom f con x < y, es f (x) > f (y)

Función monótona no creciente

Función estrictamente creciente

Función ni creciente ni decreciente

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1. Realiza la gráfica de la siguiente función y compárala con los tres diagramas anteriores para que puedas determinar de qué tipo de función se trata.

y = x – 3

Solución: empleando un método tabular para graficar la función, se tiene que:

Observando y comparando la gráfica podemos concluir que se trata de una función estrictamente creciente.

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1. Realiza la gráfica de las siguientes funciones y compárala con los tres diagramas anteriores para que puedas determinar qué tipo de función se trata. 1. y = 2x – 2 2. y = 3x + 3 3. y = 3 – 3x 4. y = -2x + 4

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1.3.3 Funciones proporcionales.

Una función presenta un comportamiento proporcional cuando al aumentar o disminuir los valores de la variable independiente, los valores de la dependiente cambian de acuerdo a una regla de proporcionalidad, para entenderlo de una mejor manera observa el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1. La receta de un pastel indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 de mantequilla,

cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas?

Solución:

Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo por cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas; cinco.

Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir una cuarta parte a los valores iniciales).

Es decir que el pastel con cinco huevos, 250 g de harina; 187.5 de mantequilla y 150 de azúcar, tendrá el mismo sabor que el otro.

Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas, y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad:

42

En general, se dice que los números y1, y2… yn (de la segunda línea de la tabla) son

proporcionales a x1, x2… xn si existe un coeficiente k no nulo (4

5 en el ejemplo) tal

que:

y1 = k x1

y2 = k x2

yn = k xn

Si se consideran “x1, x2… xn“ y “y1, y2… yn“ como valores de variables “x” y “y”, entonces se dice que estas variables son proporcionales ; la igualdad y = kx

La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k ≠ 0: y = 1/k x):

∆∆∆∆y = k∆∆∆∆x

La relación «Ser proporcional a» es

• Reflexiva (toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1). • Simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el

coeficiente inverso) y • Transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z,

multiplicando los coeficientes)

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Contesta lo que se te pregunta.

1. Las instrucciones para una mascarilla que se puede utilizar en 5 personas indican que se necesitan 500 g barro, 150 ml de agua, dos limones y 235 g de azúcar, ¿cómo adaptar las cantidades para siete personas?

2. Las instrucciones para obtener un litro de pintura de un color específico, indican que se necesitan 750 ml de color blanco, 50 ml de color azul, 125 ml de color rojo, 75 ml de secador transparente ¿cómo adaptar las

cantidades para obtener 2.5 litros de pintura?

3. La receta de un pastel indica que para seis personas se necesitan 300 g de harina, 200 de mantequilla, seis huevos y 170 g de azúcar, ¿cómo adaptar la receta para once personas?

44

1.3.4 Funciones de potencias fraccionarias y enteras.

1. Algunas funciones se llaman potencias fraccionarias, porque precisamente todos o algunos de sus exponentes son fracciones; algunos ejemplos de estás funciones son:

3 14 23 2 2y x x x= + − +

2 1

3 53 7 1y x x x= − + +

3y x= +

Ejemplo 1. Realiza la gráfica de la siguiente función: 221

+= xy Solución: Tal como se mencionó con anterioridad, el primer paso para poder graficar una función, es realizar una tabla que contenga valores de las variables “x” y “y” (esta tabla para que sea representativa, debe contener al menos 5 valores propuestos de la variable independiente “x” que sean positivos debido a que el dominio de la función sólo está definido para tales valores).

Para llenar la tabla, es necesario sustituir cada uno de los valores de la variable “x” en la función que se desea graficar, es decir:

Y1 = (0)1/2+2 = 0+2 = 2 Y2 = (1)1/2+2 = 1+2 = 3 Y3 = (2)1/2+2 = 22 +

45

Y4 = (3)1/2+2 = 23 + Y5 = (4)1/2+2 = 2+2 = 4

Y6 = (5)1/2+2 = 25 +

Como tercer paso, es necesario llenar la tabla con los valores que se calcularon:

x y 0 2 1 3 2 22 + 3 23 + 4 4 5 25 +

Por último, cada par de valores (el cual representa un punto) se plasma en el plano cartesiano y se unen mediante una línea.

46

1.4 Funciones trascendentes .

Se le llama función trascendente , cuando la variable independiente figura como exponente o como índice, o está afectada por el signo logarítmico o de cualquiera de las que emplea la trigonometría. He aquí las principales funciones trascendentes:

• Exponenciales: ,x xy a y e= =

• Logarítmicas: log , lnay x y x= =

• Trigonométricas o circulares ,y senx etc=

1.4.1 Las funciones exponenciales de base a y e.

Comencemos por analizar la función f definida por:

f(x) = 2x

Enumerando coordenadas de varios puntos racionales, ésto es de la forma m/n, n > 0, con m y n enteros, y usando la propiedad algebraica:

n mnm

22 =

obtenemos un trazo como el que se muestra en la figura que aparece a continuación.

47

Las potencias de exponente racional de los números positivos mayores (menores) que uno, son mayores (menores) que uno si el exponente es positivo, y son menores (mayores) que uno si es negativo. En ambos casos crecen (decrecen) al crecer el exponente. Si a=1, se reduce a la función constante f(x) =1 y no la consideramos como función exponencial. Con lo establecido anteriormente, podemos enunciar las siguientes propiedades de la función exponencial:

• Para cualquier base la función pasa por el punto (0,1) lo que indica que a0 =1.

• El eje x es una asíntota horizontal.

• Si a > 1, entonces ax es monótona creciente.

• Si 0 < a < 1 entonces ax es monótona decreciente

• Casos particulares de función exponencial: base 10, base 2 y base e.

• El número e = 2.7182818284 es irracional.

Veamos algunos ejemplos de funciones exponenciales.

Representación gráfica de las funciones exponenciales

donde a > 1. f(x) = 2x, g(x) = ex

48

Representación gráfica de las funciones exponenciales

cuando a <1. f(x) = 2-x, g(x) = e-x

Note que cuando la base “a” es mayor que 1, la función exponencial f(x)= ax no está acotada superiormente. Es decir, ax crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es, ax tiende a cero (0), cuando x toma valores grandes pero negativos, por lo tanto, decimos que el eje x es una asíntota horizontal.

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial f(x)= ax no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, ax crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.

El hecho de ser la función exponencial ax con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica), que verás en la próxima sección.

Por último, cuando a = 1, ax = 1 para toda x y la gráfica de f(x) = ax es una línea horizontal.

49

1. Encuentra el valor de “x” de la ecuación:

35x–8 = 9x+2 Primero expresamos ambos lados con la misma base:

35x–8 = (32)x+2

Aplicando la ley de los exponentes: 35x–8 = 32x+4

Usando las funciones exponenciales:

5x – 8 = 2x + 4

Resolviendo para x:

x = 4

50

1. Encuentra el valor de “x” de las ecuaciones:

a) 23x–7 = 16x–3

b) 4–3x+2 = 64x–1

c) 38x-8 = 92x+2

d) 55x-8 = 25x+2

Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284…., la función exponencial ex, se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por:

( ) xf x e=

51

1.4.2 Aplicación: interés compuesto.

Una de las aplicaciones más comunes de este tipo de funciones, es en el cálculo del interés compuesto, que utilizan los bancos. Para poder calcularlo, se utiliza la siguiente fórmula.

Fórmula:

C = Co(1 + i)t

Donde:

C = capital final;

Co = capital inicial

I = tasa de interés.

t = tiempo (en años)

Ejemplo1. Halla el capital final de 1000 euros al 5% de interés compuesto al cabo de 10 años.

Solución:

Datos:

C = ? Co = 1000 euros i = 0,05 t = 10 años.

Operaciones:

C = Co(1 + i)t C = 1000(1 + 0.05)10 C = 1629 euros.

El beneficio fue de 629 euros.

52

1. Halla el capital final de 1000 euros al 10% de interés compuesto al cabo de 5 años.

2. Halla el capital final de 3252 euros al 5% de interés compuesto al cabo de 10 años.

3. Halla el capital final de 256365 pesos al 5% de interés compuesto al cabo de 7 años.

4. Un banco mexicano te presta 35000 pesos a una tasa de interés compuesto de 29 % a un lapso de 3 años. Halla el capital final.

5. Halla el capital final de 35984 dólares al 2.5% de interés compuesto al cabo de 20 años.

53

1.4.3 Funciones logarítmicas.

Se llama así a la función inversa a la exponencial, que existe en base a lo demostrado anteriormente:

Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma f(x) = log a(x) donde "a" es constante (un número) y se denomina la

base del logaritmo.

La definición de logaritmo de un número (b) en una cierta base (a): log a(b)=n si se cumple que an = b, se plantea que:

Definición: El logaritmo en una cierta base "a" de un número "b" es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener el número b.

De esta manera relacionamos la función logarítmica con la exponencial. La base (a) de los logaritmos debe ser un número positivo (al igual que la base de la potencia de una función exponencial) y además no debe ser 1 ya que log 1(b) en general no existe ya que si b no es 1, 1n no puede ser b. Es decir, para que la función tenga sentido y se pueda dibujar debe ser a > 0 y a ≠≠≠≠ 1.

Las bases más utilizadas para los logaritmos son las base 10 (logaritmos decimales) y la base, el número "e = 2,718281..” (logaritmos neperianos).

La función logarítmica que más se utiliza en matemáticas es la función “ logaritmo neperiano” y se simboliza normalmente como ln (x), (la función logaritmo en base 10 se simboliza normalmente como log(x)).

Se dice que las funciones exponencial y logarítmica, son una inversa de la otra. Gráficamente se observa viendo que son simétricas respecto a la recta y = x.

54

1.4.3.1 Propiedades generales de la función logarítmica.

Tomando en cuenta, que a > 0 y que a ≠≠≠≠ 1se observan en todos los casos:

1. Que la función existe sólo para valores de x mayores que 0, a diferencia de la exponencial que existe para cualquier valor de x (puedes utilizar la definición de logaritmo para ver que el logaritmo de un número negativo o el de 0 no existen). Decimos por tanto:

DOMINIO de la función logarítmica es R + o el intervalo (0, infinito)

2. Que en todos los casos la función pasa por un punto fijo: el (1,0); por tanto la gráfica siempre corta al eje de abscisas en el punto (1,0).

3. Que se acerca al eje y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que a>1 y hacia arriba en caso de a<1 ("siempre por la derecha"), se dice por ello que el eje y es una asíntota vertical.

4. No tiene asíntotas horizontales porque el límite cuando la función tiende a infinito

no es un número concreto, al igual que no tiene asíntotas oblicuas.

5. La operación de obtención de logaritmos es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1).

6. La función no es ni simétrica impar (por no ser simétrica respecto del origen) ni tampoco par (por no ser simétrica respecto del eje de coordenadas). No es simétrica respecto del origen, no es simétrica respecto del eje de ordenadas.

55

1.4.3.2 Propiedades de los logaritmos.

Es conveniente en este apartado recordar las propiedades básicas de los logaritmos para resolver correctamente este tipo de funciones.

Si a > 0, y b es cualquier real positivo, “x” e “y” reales positivos, entonces:

Loga (ab) =

aLog ba =b

Loga a = 1

Loga 1 = 0

Loga(x ⋅⋅⋅⋅ y) = Loga x + Loga y

Loga xy

= Loga x - Loga y

Loga (xn) = n ⋅⋅⋅⋅ Loga x; que pertenece a los números reales.

Cuando a > 1, si 0 < x < y, entonces, Loga x < Loga y .Es decir, la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y, entonces, Loga x > Loga y. Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.

56

1.4.3.3 Representación gráfica de la función logarítmica.

Representación gráfica de la función logarítmica cuando 0 < a < 1. Función siempre monótona decreciente

Representación gráfica de la función logarítmica cuando a > 1. Función siempre monótona creciente

57

Es claro que, si a > 1, loga (x) es creciente en (0; ∞) y, por lo tanto, biyectiva. En particular, esto muestra la siguiente propiedad algebraica para números reales x1, x2:

Si loga (x1) = loga (x2), ∴ x1 = x2

Representación conjunta de las curvas “y=2x” y “y = log2 x”. Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x

58

1.4.4 Ecuaciones logarítmicas.

Conociendo ya las propiedades de las funciones logarítmicas, podemos entonces resolver la siguiente ecuación. Ejemplo 1. Resolvamos la ecuación

log6 (4x + 5) = log6 (2x + 1). Para esto, usamos directamente la propiedad anterior y se obtiene:

4x + 5 = 2x + 1

o sea: x = 3.

El ejemplo anterior muestra una ecuación logarítmica simple; es decir, que contiene el logaritmo de una expresión que comprende una variable lineal. Se pueden presentar soluciones “extrañas” cuando se resuelven ecuaciones logarítmicas con variables no lineales (por ejemplo, cuadráticas); por lo tanto, por regla general, debemos comprobar las respuestas para asegurarnos que estamos tomando logaritmos únicamente de números reales positivos; de otra manera no podremos definir la función logarítmica. Se llama logaritmo natural o neperiano a la función inversa de exp(x) y se denota por ln x. En particular, se cumplen las identidades:

ln (ex) = x, para todo x Є R.

eln x = x, para todo x Є R+.

59

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) Log3 (3x–7) = log3 (4x - 12).

b) Log5 (-3x+2) = log5 (3x - 3).

c) Log4 (8x–8) = log4 (4x + 4).

d) Log9 (5x–8) = log9 (2x + 2).

60

1.4.5 Suma y multiplicación de funciones.

Si f y gson dos funciones, entonces f g+ y

f g• son funciones con reglas de correspondencia:

y

[ ]( ) ( ) ( )f g x f x g x• = •

Para aquellos valores de x en los cuales es posible aplicar ambas funciones, es decir, para las x que pertenezcan tanto al dominio de f como al dominio de g .

Con lo cual, tenemos que el valor de f g+ es igual a la suma de ( )f x y ( )g x , y el

valor de f g• es el producto de ( )f x y ( )g x .

[ ]( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +

61

La figura anterior interpreta de manera gráfica la suma de dos funciones f y g . Así:

( ){ }, ( ) ( )f g x f x g x+ = +

con x en el dominio de f y g , y

( ){ }, ( ) ( )f g x f x g x• = •

con x en el dominio de f y g

1.4.6 Funciones compuestas.

Otra operación básica entre funciones es la llamada composición de funciones.

La composición de f con g , denotada por f g• y que se lee “ f composición g ”, es la función cuyo dominio consiste de los elementos pertenecientes al dominio de g y ( )g x pertenece al dominio de f y la regla de correspondencia o criterio es:

[ ] ( ( ))f g f g x=o

Asimismo, se observa que en general [ ] [ ]f g g f• ≠ • .

Con todo lo anterior, estás listo para resolver los siguientes ejercicios:

62

1. Con las siguientes funciones realiza las operaciones que se indican.

( ) 3 23 2 16f x x x x= + − +

( ) 3 23 7 11g x x x x= − + +

( ) 2h x x= +

a) Obtén el resultado de la suma de f y g, dada por: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

( )( ) ( ) ( )3 2 3 23 2 16 3 7 11f g x x x x x x x+ = + − + + − + +

( )( ) 3 24 2 5 27f g x x x x+ = − + +

b) Obtén el resultado del producto de f y h, dada por: ( )( ) ( )( ) ( )( )xhxfxhf =•

( )( ) ( )( )3 23 2 16 2f h x x x x x• = + − + +

( )( ) 4 33 7 12 32f h x x x x• = + + +

c) Obtén el resultado de la composición de g y h, dada por: (g o h)(x) = g( h (x))

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 22 3 2 7 2 11g h x x x x= + − + + + +o

( ) ( ) ( ) ( )3 2 26 12 8 3 4 4 7 14 11g h x x x x x x x= + + + − + + + + +o

( ) ( ) 3 2 26 12 8 3 12 12 7 14 11g h x x x x x x x= + + + − − − + + +o

( )( ) 3 23 7 21g h x x x x= + + +o

63

2. Con las siguientes funciones:

( )

( )

( ) 2

9222

32082

23

234

+=

++−=

−+−+=

xxh

xxxxg

xxxxxf

Realiza las operaciones que se te indican. a) ( ) ( )f g x+

b) ( )( )f g x•

c) ( )( )g h xo

64

1.4.7 Funciones periódicas.

En matemáticas, una función es periódica si los valores de la variable dependiente se repiten conforme se añade a la variable indepediente un determinado período .

En la vida diaria existen muchos casos de funciones periódicas como cuando la variable es el tiempo; algunos ejemplos sencillos son situaciones tales como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de la luna.

Para una función aplicada al conjunto de los números reales o al de los enteros, significa que la totalidad de su gráfica puede ser representada a partir de copias de una determinada porción de ésta, repetida a intervalos regulares.

De forma más explícita, se dice que una función f es periódica con período P mayor

que cero si cumple que ( ) ( )xfPxf =+ para todos los valores de x en el dominio de f. De manera análoga, una función no periódica es aquella que no posee dicho período P.

Un ejemplo sencillo es la función f que devuelve la parte fraccional de su argumento:

( ) ( ) ( ) 50525150 ,,f,f,f ===

Si una función f es periódica con período P, entonces para todo “x” en el dominio de f y para todo n entero:

( ) ( )xfPnxf =+

En el ejemplo anterior, el valor de P es 1, dado que:

( ) ( ) ( ) etcxfxfxf =+=+= 21

Esto no implica que el período de una función tenga que recibir el menor valor posible que satisfaga la expresión anterior, sino que podría tomar cualquier otro.

65

Las funciones trigonométricas seno y coseno son ejemplos típicos de funciones periódicas, cuyo período es 2π. Y su gráfica corresponde a la de la siguiente figura:

66

UNIDAD 2 Derivadas.

67

Desde hace ya mucho tiempo, hombres como Newton y Leibniz establecieron

una serie de reglas que se pueden aplicar a cantidades matemáticas llamadas funciones. Dichas reglas o estándares, nos ayudan en la obtención de la derivada de una función, lo cual nos puede servir en un sin fin de aplicaciones reales.

¿Sabías que los sistemas digitales se pueden analizar con ayuda del cálculo

diferencial, que las gráficas de los video juegos modernos así como la animación computarizada que se utiliza en las películas de dibujos animados, usan software que simula sólidos con ayuda de las derivadas?

68

1. Calcularás la derivada para la solución de problemas prácticos y para determinar propiedades de las funciones.

2.1 La derivada. 2.2 Reglas de la derivación.

69

2.1 La derivada. 2.1.1 Noción intuitiva de límite.

Los temas tratados hasta ahora, constituyen lo que se conoce como: precálculo; o sea, proporcionan las herramientas básicas para el cálculo, pero no son Cálculo.

El concepto más importante del cálculo es el de Límite. Para poder entenderlo, considérese la función definida por:

( ) 11

12 ≠−

−−== x ;x

x²xxfy

Entonces el único punto en el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando “x” se aproxima a 1?

Dándole valores a “x” para hacer un seguimiento de f(x), cuando “x” se aproxima por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha (valores mayores que 1), obtenemos que a medida que los valores de “x”, se "acercan" a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f(x) se "acercan" a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que:

El "límite " de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1.

La afirmación anterior frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas:

( ) 3→xf cuando 1→x

Se lee: f(x) tiende a 3 cuando x tiende a 1, también y de manera más usual, tenemos:

( ) 3=→

xfLim1x

Se lee: el límite cuando x tiende a 1 de f(x) es 3.

De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra "límite", se dice que:

( ) LxfLimax

=→

si se puede hacer que f(x) esté tan "cerca" de L como se quiera, haciendo que x esté suficientemente "cerca" de “a”, pero siendo distinta de “a”.

70

1. El límite de una función se puede obtener de la siguiente manera:

( ) xxxfx

+=→

2

2

Solución:

( )2 2

2

lim lim 2limx

x x x→

+ = +

( )2 2

2

(2) 2 4 2limx

x x→

+ = + = +

( )2

2

6limx

x x→

+ =

2. El límite de otro tipo de función se puede obtener de la siguiente manera:

( )9

92

2 +−=

→ x

xxf

x

Solución:

( )( )

22

2

lim 99

9 lim 9limx

xx

x x→

− − = + +

2 2

2

9 (2) 9

9 2 9limx

x

x→

− −= + +

2

2

9 4 9

9 2 9limx

x

x→

− −= + +

2

2

9 5

9 7limx

x

x→

− −= +

71

3. El límite de otro tipo de función se puede obtener de la siguiente manera:

( )x

xfx

35+=

∞→

Solución:

2

3 35 5 limlim

x x x→

+ = +

2

3 35 5 5 0lim

x x→

+ = + = + ∞

2

35 5lim

x x→

+ =

4. El límite de otro tipo de función se puede obtener de la siguiente manera:

( ) 22

0

32 hhxxxfx

+−=→

Solución:

( ) ( ) ( )2 2 2 2

0

2 3 lim 2 lim 3limx

x hx h x hx h→

− + = + − +

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

0

2 3 2lim 3 lim 0 0limx

x hx h x h x h h→

− + = − + = − +

( )2 2 2

0

2 3limx

x hx h h→

− + =

72

Encuentra el límite de las siguientes funciones:

1. ( ) ( )2

2

3x

x xf x→

= −

2. ( ) ( )2 3

0

3 5x

x x xf x→

= − +

3. ( )

2

3

2x

xf x→

+ =

4. ( )

2

2

x

x

xf x

→−

− =

5. ( )

2

2

0

1

1x

x

xf x

→

+= −

6. ( )2

2

0

3 1

2 5z

z z

zf z

→

− += +

73

2.1.2 Función continua.

Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos".

a)

b)

74

Al mirar con un poco de cuidado las gráficas anteriores, se pueden deducir intuitivamente, los resultados que permitirán comprender con mayor claridad la definición precisa de lo que significa: "ser una función continua en un punto dado de su dominio".

1. En la gráfica (a), observamos que:

( ) ( ) ( ) LxfLimLxfLimxfLimaxaxax

=⇔==→→→ +− ,

Lo cual significa que el límite existe, además, como:

( ) ( )f xx aLim L f a

→= =

entonces podemos deducir que f es continua.

2. De la gráfica (b) tenemos que:

( ) ( )2f x =L f xx a x aLim Lim L

− +→ →≠ = ,

Lo cual significa que el límite no existe y por tanto, la función no existe.

75

Lo anterior nos permite establecer la siguiente definición:

Una función f es CONTINUA EN x = a, si y sólo si se satisfacen las siguientes condiciones:

i. f(a) existe.

ii. ( )xfLimax→ existe.

iii. ( ) ( )afxfLim

ax=

→

Si al menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse se dice que f es DISCONTINUA (NO CONTINUA) en x = a.

Observaciones:

i. Si en la definición anterior, sustituimos ( )xfLimax→ por ( )xfLim

ax +→ o por ( )xfLimax −→

,

se dice entonces que f es continua por la derecha , o por la izquierda del punto x = a respectivamente.

ii. f(x) es continua en x = a, si y sólo si, ( ) ( )afxfLimax

=→

iii. Si en la definición de continuidad se hace: x = a + h; con a y (a + h) en el dominio

de f, se dice entonces, que f es continua en a si y sólo si, ( ) ( )afhafLimh

=+→0

.

iv. Si f es discontinua en x = a y ( )xfLimax→ existe pero es diferente de f(a), se dice

que la discontinuidad es removible o evitable . En caso contrario, se dice que la discontinuidad es esencial.

v. Cuando una función tiene una discontinuidad removible en un punto, se usa la frase "Remover la discontinuidad" para indicar que se puede redefinir la función haciendo que: ( ) ( )xfLimaf

ax→= y de esta manera se obtiene una nueva función

continua en x = a.

76

2.1.2.1 Teoremas sobre funciones continuas.

Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de las funciones continuas y son al mismo tiempo herramientas útiles que permiten deducir, en muchos casos, la continuidad de una función, sin recurrir directamente al empleo de la definición.

TEOREMA 1. (Álgebra de funciones continuas)

Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a. Entonces:

i. (f + g) es continua en x = a. (La suma de funciones continuas es continua).

ii. (f – g) es continua en x = a. (La diferencia de funciones continuas es continua).

iii. (f g) es continua en x = a. (El producto de funciones continuas es continuo).

iv.

g

f es continua en x = a, si g(a) ≠ 0. (El cociente de funciones continuas es

continuo).

TEOREMA 2. (Límite de la función compuesta)

Sean f y g dos funciones tales que: f es continua en b y ( ) bxgLimax

=→

.

Entonces: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )bfxgLimfxgfLimxgfLimaxaxax

=

==→→→

o

77

2.1.3 Rapidez instantánea.

La derivada de una función en un punto determina el valor del coeficiente por el cual la función cambia. Una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio . El coeficiente de cambio equivale a decir qué tan rápido crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio) a lo largo del eje “x” en un plano cartesiano de dos dimensiones, o sea, la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

A esta definición se le conoce con el nombre de rapidez instantánea.

Usando el símbolo ∆ para referirse al cambio en una cantidad, se define este coeficiente como un límite del cociente, cuando ∆x se aproxima a 0.

rapidez instantánea0x

yLim

x∆ →

∆=∆

2.1.4 Visualización gráfica de la rapidez: pendiente de una curva.

Muchos de los problemas importantes del análisis matemático pueden transferirse o hacerse depender de un problema básico que ha sido de interés para los matemáticos desde los tiempos de los griegos. En lo que atañe a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el problema de trazar una recta tangente a una curva en un punto específico a ella (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como Cálculo Diferencial. El problema de la tangente fue resuelto por métodos especiales en un gran número de ejemplos aislados aún en la temprana historia de las matemáticas. Por ejemplo, es bastante fácil resolver el problema si la curva es un círculo. Sin embargo, no fue hasta el tiempo de Isaac Newton (1642-1727) y de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que se dio un método general sistemático para obtener la solución. En este sentido se acredita a estos dos hombres la invención del cálculo. Las técnicas desarrolladas para resolver el problema, son la columna vertebral de gran parte de la ciencia y la tecnología actuales. Por ejemplo, la dirección del movimiento de un objeto a lo largo de una curva en cada instante, se define en términos de la dirección de la recta tangente a la trayectoria de movimiento. Las órbitas de los planetas alrededor del sol y las de los satélites artificiales alrededor de la Tierra, se estudian esencialmente comenzando con la información sobre la recta tangente a la trayectoria del movimiento.

78

En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de Fermat (1601–1665) quien en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el más importante de ellos, titulado "Métodos para hallar máximos y mínimos", Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos valores son distintos, pero, en una "cumbre" o en el fondo de un "valle" de una curva " lisa " la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son "casi iguales". Cuanto más pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, más cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividir todo entre E, hace que E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica. Aquí se puede ver ya en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciación .

Veamos como ejemplos por su importancia histórica y práctica, la resolución del problema de la tangente a la curva.

Definición 1: Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva. En la siguiente figura se representa gráficamente la recta L secante a una curva:

Conocida la pendiente de una recta y un punto de la misma, la recta queda completamente determinada, por tanto el problema de trazar una recta tangente a una curva dada, por un punto de ésta, se reduce a encontrar la pendiente de la recta.

79

Consideremos la representación gráfica de una curva con ecuación y = f(x), donde f es una función continua.

Se desea trazar la recta tangente a un punto dado P(xo, yo) de la curva f(x). Sea PQ la recta secante que pasa por los puntos P(xo, yo) y Q(x, y) de la curva. La pendiente de esta secante, denotada mS está dada por:

( ) ( )0

0

0

0

xx

xfxf

xx

yyms −

−=−−=

Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo θθθθ que forma la recta con la parte positiva del eje X, entonces:

( ) ( )0

0

xx

xfxftanms −

−=θ=

Supongamos que existe una recta tangente a la curva en P(xo, yo) y sea PT dicha recta. Mantenemos ahora el punto P fijo y hacemos que el punto Q se aproxime a P, a lo largo de la curva. Cuando esto sucede, la inclinación θ de la recta secante se aproxima a la inclinación de α de la recta tangente, lo que puede escribirse como:

Q PLimθ α

→=

80

En igual forma, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente, es decir que:

tan tanQ PLim θ α

→=

Además, cuando Q tiende hacia P, la abscisa x tiende hacia xo por lo

que α=θ→

tantanLimPQ

también puede denotarse como:

0

tan tanx xLim θ α

→=

Luego:

( ) ( )0 0

0

0

tan tanx x x x

f x f xLim Lim

x xθ α

→ →

−= =

−

Si denotamos por mt (xo) la pendiente de la recta tangente a la curva en P(xo, yo), entonces:

( ) ( ) ( )0

00

0t

x x

f x f xm x Lim

x x→

−=

−

Definición 2: La pendiente de la recta tangente a la curva con ecuación y = f(x) en el

punto (xo, yo), denotada mt (xo) es igual al ( ) ( )

0

0

0x x

f x f xLim

x x→

−−

siempre que este exista.

81

2.1.5 Derivada de una función en un punto.

En la resolución del problema de determinar la tangente a la curva, se obtiene como resultado el límite:

( ) ( ) ( )0

00

0t

x x

f x f xm x Lim

x x→

−=

−

Este tipo de límite lo definiremos a continuación:

Sea f una función definida en todos los puntos de un intervalo abierto I que contiene los puntos xo y xo + h.

Se dice que f es derivable o f es diferenciable o f tiene derivada en x0 si:

La derivada de f en el punto xo, denotada como f´(xo), es el siguiente límite: ( ) ( )

0

0

0x x

f x f xLim

x x→

−−

si este límite existe.

Observe que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la curva con ecuación y = f(x) en el punto (xo, f(xo)), es precisamente la derivada de f evaluada en xo. Si en la definición de derivada se sustituye x - xo por x∆ , entonces x∆ →0 cuando x→xo y x = xo + x∆ . En consecuencia, se puede escribir en este caso:

( ) ( ) ( )0 0

0'

x

f x x f xf x Lim

x∆ →

+ ∆ −=

∆

Si f es derivable en todos los puntos, I x ∈ la función se escribirá:

( ) ( ) ( )0

'x

f x x f xf x Lim

x∆ →

+ ∆ −=

∆

Y se llamará función derivada de f con respecto a x, conocida también como tasa de variación instantánea e indica la variación instantánea de la función en ese punto.

82

1. ¿Cuál es el concepto de Límite?

2. ¿Qué sucede con una función particular cuando la

variable independiente tiende a un valor determinado?

3. ¿Qué es el incremento de una variable?

4. ¿Cómo se representa el incremento de una

variable?

5. ¿Cómo se le llama a una función que tiene derivada?

6. ¿Cómo se denomina al proceso de encontrar la derivada de una función?

7. ¿Cuáles son las dos aplicaciones principales de la derivada?

8. Halla la derivada de la función dada en el siguiente ejercicio: f (x) = 7

9. Aplica la definición para hallar la derivada de la función en a: ƒ(X) = 2-X3 en a

= -2.

10. ¿Cuáles son los criterios de continuidad de una función para un número “a”

determinado?

11. ¿Cuáles son los tipos de discontinuidad de una función?

12. ¿Cuál es la función de los teoremas?

83

2.1.6 Regla de los cuatro pasos para encontrar la derivada de una función.

Se calcula la derivada por el método de los 4 pasos de

la siguiente manera:

( )y f x=

1er paso: Se le suma un valor y∆ a la función y x∆ a la variable independiente:

( )y y f x x+ ∆ = + ∆

2º paso : A la función obtenida en el primer paso se le resta la función original:

( ) ( )y y y f x x f x+ ∆ − = + ∆ −

( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − 3er paso : El resultado del paso anterior se divide entre x∆ :

( ) ( )y f x x f x

x x

∆ + ∆ −=∆ ∆

4º paso : Por último se aplica el límite cuando 0x∆ → .

0 0

( ) ( )'( )

x x

y f x x f xy x Lím Lím

x x∆ → ∆ →

∆ + ∆ −= =∆ ∆

Al valor obtenido se le conoce como la derivada de una función usando la regla de los 4 pasos. Es importante señalar que ésta definición es la base para obtener las fórmulas directas de la derivación que serán estudiadas en el siguiente tema.

84

1. Siguiendo el método de los cuatro pasos, calcula la derivada de la siguiente función:

23 5y x= +

Solución: Aplicaremos los cuatro pasos de la siguiente menera: Paso 1.

23( ) 5y y x x+ ∆ = + ∆ +

2 23( 2 ) 5y y x x x x+ ∆ = + ∆ + ∆ +

2 23 6 3 5y y x x x x+ ∆ = + ∆ + ∆ +

Paso 2.

26 3y x x x∆ = ∆ + ∆

Paso 3.

6 3y

x xx

∆ = + ∆∆

Paso 4.

06 3(0)

x

yLím x

x∆ →

∆ = +∆

'( ) 6f x x=

85

2. Derivada la siguiente función:

( ) 5 3f x x= − Solución: Otra manera de calcular la derivada de una función es realizando todos los pasos en una sóla operación, de la siguiente manera: Se debe calcular el

( ) ( )0h

f x h f xLim

h→

+ −

La expresión f(x + h) indica que la función f debe evaluarse en (x + h), así que:

( ) 5( ) 3f x h x h+ = + −

Después:

( ) ( )0

'( )h

f x h f xf x Lim

h→

+ −=

( )0

5 3 (5 3)'( )

h

x h xf x Lim

h→

+ − − −=

( )0

5 3 (5 3)'( )

h

x h xf x Lim

h→

+ − − −=

0

5 5 3 5 3'( )

h

x h xf x Lim

h→

+ − − +=

0 0

5'( ) 5

h h

hf x Lim Lim

h→ →= =

Por tanto:

'( ) 5f x =

86

Encuentra la derivada de las siguientes funciones haciendo uso de la regla de los cuatro pasos:

1. 3 2y x= +

2. 7 3y x= +

3. 4 5y x= −

4. 2 2y x x= − +

5. 22 7y x= −

6. 23 5 12y x x= − +

87

2.2 Reglas de derivación. 2.2.1 Derivada de una función constante.

Si f es una función derivable en un intervalo I determinado, el proceso por medio del cual se obtiene f´(x), da origen a una nueva función que recibe el nombre de función derivada. El dominio de f´(x) está formado por todos los números del dominio de f para los que exista f´(x). Si y = f(x), con f una función derivable, entonces la derivada de f puede escribirse de las siguientes maneras:

a) xD f que se lee como: derivada de f(x) respecto a x.

b) ( )df x

dxque se lee como: derivada de y con respecto de x.

c) 'y que se lee: y prima.

2.2.2 Derivada de una función lineal.

Una regla para la derivación de una función lineal, es la que a continuación se presenta:

[ ] =d cx

cdx

Ejemplo 1.

3 Si ( )f x 8x= , entonces: ( )f' x 8=

4 Si 5 2x, entonces: ( )f' x 5 2=

88

2.2.3 Derivada de una constante por una función.

Una regla para la derivación de una constante por una función, es la que a continuación se presenta:

[ ]( )'( )

d cf xcf x

dx=

2.2.4 Reglas (fórmulas) de derivación. Las siguientes reglas tienen por objeto calcular la derivada de una función sin usar directamente la definición, convirtiendo la derivación de funciones en un proceso mecánico. 2.2.4.1 Derivada de una constante.

0=dx

dC

Ejemplo 1.

1. Si ( )f x 8 = , entonces: ( )f' x 0= .

2. Si ( )f x 5 2= , entonces: ( )f' x 0= .

3. Si ( ) 4f x

5 2=

+, entonces: ( )f' x 0= .

89

2.2.4.2 Derivada de la función identidad.

1dx

dx=

Ejemplo 1.

1. Si ( )f x x= , entonces: ( )f' x 1= .

2. Si ( )f z z= , entonces: ( )f' z 1= .

3. Si ( )f s s = , entonces: ( )f' x 1= .

2.2.4.3 Derivada de la potencia de funciones.

1n

ndxnx

dx−=

Ejemplo 1.

1. Si ( ) 3f x x= , entonces: ( ) 2f' x 3x= .

2. Si ( ) 2f x 5x= , entonces: ( )f' x 10x= .

3. Si ( ) 4f x 6x= , entonces: ( ) 3f x 24x= .

90

2.2.4.4 Derivada de la suma de funciones.

( ) ( ) ( ) ( )g x = ' g' x

d f xf x

dx

+ +

Ejemplo 1.

1. Si ( ) 3 2 4f x 5x 6xx= + + , entonces: ( ) 2 3f' x 3x 10 24x x= + + .

2. Si ( )f x 5x 2= + , entonces: ( )f' x 5 0 5= + = .

3. Si ( ) 4 3 2f x 2x 3x 5x 6x 11= + + + + , entonces: ( ) 3 2f' x 8 9 10 6x x x= + + + .

91

2.2.4.5 Derivada de la diferencia de funciones.

( ) ( ) ( ) ( )g x = ' g' x

d f xf x

dx

− −

Ejemplo 1.

1. Si ( ) 3 2 4f x 5x 6xx= − − , entonces: ( ) 2 3f' x 3x 10 24x x= − − .

2. Si ( )f x 5x 2= − , entonces: ( )f' x 5 0 5= − = .

3. Si ( ) 4 3 2f x 2x 3x 5x 6x 11= − − − − , entonces: ( ) 3 2f' x 8 9 10 6x x x= − − − .

2.2.4.6 Derivada de funciones exponenciales. DE BASE a.

( )ln

xxd a

a adx

=

( )ln

uud a du

a adx dx

=

Ejemplo 1.

1. Si ( ) xf x 2 = , entonces: ( ) xf' x 2 ln 2= .

2. Si ( ) 2xf x 5= , entonces: ( ) ( )2f' x 5 ln5 2x= .

3. Si ( ) 2xf x 3= , entonces: ( ) ( )2

f' x 3 ln 5 2x x= .

92

DE BASE e.

( )xxd e

edx

=

( )uud e du

edx dx

=

Ejemplo 1.

1. Si ( ) xf x e= , entonces: ( ) xf' x e= .

2. Si ( ) 2xf x e= , entonces: ( ) ( )2f' x 2xe= .

3. Si ( ) 2xf x e= , entonces: ( ) ( )2

f' x 2xe x= .

2.2.4.7 Derivada de funciones logarítmicas. LOGARÍTMICA NATURAL.

(ln ) 1d x

dx x=

(ln ) 1d u du

dx u dx=

Ejemplo 1.

1. Si ( ) ( )f x ln x= , entonces: ( ) 1f' x

x= .

2. Si ( ) ( )2f x ln x= , entonces: ( ) ( )2

1f' x 2

xx= .

3. Si ( ) ( )2f x ln 3x 2x -1= + , entonces: ( ) ( ) ( )2

1f' x 6 2

3x 2x -1x= +

+.

93

LOGARÍTMICA DE BASE a.

(log ) 1

lnad x

dx x a=

(log ) 1

lnad u du

dx u a dx=

Ejemplo 1.

1. Si ( ) ( )3f x log x= , entonces: ( ) 1f' x

xln3= .

2. Si ( ) ( )25f x log x= , entonces: ( ) ( )2

1f' x 2

x ln 6x= .

3. Si ( ) ( )25f x log 3x 2x -1= + , entonces: ( ) ( ) ( )

2

1f' x 6 2

3x 2x -1 ln5x= +

+.

2.2.4.8 Derivada de las funciones trigonométricas.

Si u(x) es una función derivable, entonces mediante las derivadas anteriores y la regla de la cadena se pueden demostrar las siguientes reglas generales para derivar funciones trigonométricas:

DERIVADA DEL SENO DE UNA FUNCIÓN.

( ) ( )dx

dux u cos

dx

dy xu sen y ⋅=⇒=

Ejemplo 1.

1. Si ( ) ( )f x sen x= , entonces: ( ) ( )f' x cos x= .

2. Si ( ) ( )2f x sen x= , entonces: ( ) ( )( )2f' x cos 2x x= .

3. Si ( ) ( )2f x 3x 2x -1sen= + , entonces: ( ) ( )( )2f' x cos 3x 2x -1 6 2x= + + .

94

DERIVADA DEL COSENO DE UNA FUNCIÓN.

( ) ( )dx

dux u sen

dx

dy xu cos y ⋅−=⇒=

Ejemplo 1.

1. Si ( ) ( )f x cos x= , entonces: ( ) ( )f' x sen x= − .

2. Si ( ) ( )2f x cos x= , entonces: ( ) ( )( )2f' x 2sen x x= − .

3. Si ( ) ( )2f x cos 3x 2x -1= + , entonces: ( ) ( )( )2f' x 3x 2x -1 6 2sen x= − + + .

DERIVADA DE LA TANGENTE DE UNA FUNCIÓN.

( ) ( )dy duy u x u x

dx dxtan sec ²= ⇒ =

Ejemplo 1.

1. Si ( ) ( )f x tan x= , entonces: ( ) ( )2f' x sec x= .

2. Si ( ) ( )2f x tan x= , entonces: ( ) ( )( )2 2f' x sec 2x x= .

3. Si ( ) ( )2f x tan 3x 2x -1= + , entonces: ( ) ( )( )2 2f' x sec 3x 2x -1 6 2x= + + .

DERIVADA DE LA COTANGENTE DE UNA FUNCIÓN

( ) ( )dy duy u x u x

dx dxcot csc ²= ⇒ = −

Ejemplo 1.

3 Si ( ) ( )f x cot x= , entonces: ( ) ( )2f' x csc x= − .

4 Si ( ) ( )2f x cot x= , entonces: ( ) ( )( )2 2f' x csc 2x x= .

5 Si ( ) ( )2f x cot 3x 2x -1= + , entonces: ( ) ( )( )2 2f' x csc 3x 2x -1 6 2x= + + .

95

DERIVADA DE LA SECANTE DE UNA FUNCIÓN.

( ) ( ) ( )dy duy u x u x u x

dx dxsec sec tan= ⇒ =

Ejemplo 1.

3 Si ( ) ( )f x sec x= , entonces: ( ) ( ) ( )f' x sec tanx x= ⋅ .

4 Si ( ) ( )2f x sec x= , entonces: ( ) ( ) ( )( )2 2f' x sec tan 2x x x= ⋅ .

5 Si ( ) ( )2f x sec 3x 2x= + , entonces:

( ) ( ) ( )( )2 2f' x sec 3x 2x tan 3x 2x 6 2x= + ⋅ + + .

DERIVADA DE LA COSECANTE DE UNA FUNCIÓN.

( ) ( ) ( )dy duy u x u x u x

dx dxcsc csc cot= ⇒ = −

Ejemplo 1.

3 Si ( ) ( )f x csc x= , entonces: ( ) ( ) ( )f' x csc cotx x= − ⋅ .

4 Si ( ) ( )2f x csc x= , entonces: ( ) ( ) ( )( )2 2f' x csc cot 2x x x= − ⋅ .

5 Si ( ) ( )2f x csc 3x 2x= + , entonces:

( ) ( ) ( )( )2 2f' x csc 3x 2x cot 3x 2x 6 2x= − + ⋅ + +

96

2.2.5 Reglas del producto y del cociente. 2.2.5.1 Derivada del producto de funciones.

( ) ( )g x = ( ) '( ) g( ) '( )

+d f x

f x g x x f xdx

Ejemplo 1.

1. Si ( ) ( )2f x 4x x= + , entonces: ( ) ( )2 2f' x 1 ( 4)2 3 8x x x x x= + + = + .

2. Si ( ) 2f x cos( )x x= , entonces: ( ) 2f' x ( ) cos( )(2 )x sen x x x= − + .

3. Si ( )f x lnxe x= , entonces: ( ) 1f' x lnx xe e x

x= +

2.2.5.2 Derivada del cociente de funciones.

( )( )

[ ]2

g x g( ) '( ) ( ) ( ) =

g( )

′−

f xd

x f x f x g x

dx x

Ejemplo 1.

1. Si ( )( ) 2

x 3 4

x x

f x

g

−=

, entonces: ( )2 2

2 2 4

(3) (3 4)(2 ) 3 8f' x

( )

x x x x x

x x

− − − += = .

2. Si ( )( )

2 2

12

x 5 4 5 4

x x

f x x

g x

− −= =

, entonces:

31 1 1 122 2 2 2 231 1

2 2 21 22

1 5(10 ) (5 4) 5 2 52 2 ' 5 2

2( )

x x x x x x xf x x x

xx

− −

− −− − − +

= = = − + .

3. Si ( )( )x cos

x x

f x

g e

=

, entonces:

2

( ) cos ( ) cos'

( )

x x

x x

e senx x e senx xf

e e

− − − −= =

97

2.2.6 Regla de la cadena.

Si y = g(u) y u = f(x), entonces se puede obtener la composición: y = (g o f) (x) = g (f(x)) Ahora, si se quiere calcular dy/dx basta con derivar esta última relación. La siguiente regla, conocida como la regla de la cadena, proporciona otra manera de hallar la derivada sin efectuar la composición. Supóngase que f y g son dos funciones derivables tales que y = g(u) y u = f(x), entonces:

( )=dy dg u du

dx du dx

Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)

98

Utilizando todas las reglas anteriores, encuentra la derivada de las siguientes funciones: 1. 4y = 7x ²+9x -12x+4 2. y = 4x³-12x²+15x- 36 3. y = (7x-2)³ 4. y = 3(9x-3)² 5. y = 8(6x²-4x+12)

6. y = 19(7x³ -9x²+6x-15) 7. y = 1/3(7x-2)² 8. y = 2/4(9x-3)³ 9. y = 5/4(6x²-4x+12) 10. y = x 11. 3xy = 12. 3x-2y =

13. 33xy =

14. 33x 11y = −

15. 3 23y x=

16. 5 33 6y x x= −

17. ( )534 3y x=

18. 3 3y = 2x (3x -9)

99

19. 3 3y = (6x -3)(3x -9)

20. 3

2

2x 5y =

6x

+

100

2. Graficarás una función con la información obtenida de la primera y la segunda derivada.

2.3 Análisis de funciones. 2.4 Optimización.

101

2.3 Análisis de funciones. 2.3.1 Funciones crecientes y decrecientes usando el

criterio de la primera derivada.

Una de las aplicaciones de las derivadas, se utiliza cuando se quiere saber si una función es creciente o decreciente. Para ello se utiliza el criterio de la primera derivada el cual consiste en analizar el comportamiento de la función derivada para los valores menores y mayores a cero de la siguiente manera.

Ejemplo 1. Define el comportamiento de la función: ( ) 2xxf = Solución: Como se puede observar, esta es una función sencilla y conocida, pues por simple inspección se sabe qué es una parábola. Sin embargo, la analizaremos con ayuda del cálculo. Primero se determina y’:

( ) xx'f 2= De donde se observa que:

( )' 0f x < cuando x 0<

y a su vez

( )' 0f x > cuando x 0>

Así pues podemos concluir que la gráfica es decreciente en el eje real negativo y creciente en el eje real positivo, como se observa en la siguiente gráfica:

102

Ejemplo 2.

Define el comportamiento de la función: ( ) 3xxf = Solución: Primero se determina y’:

( ) 23xx'f = De donde se observa que:

( )' 0f x ≥ para todo valor de x.

Así pues podemos concluir que la gráfica siempre es creciente, tanto en el eje real negativo como en el eje real positivo, como se puede observar en la siguiente gráfica:

103

Ejercicios:

Define el comportamiento de las siguientes funciones:

1. ( ) 3x 4f x = −

2. ( ) x 2f x = +

3. ( ) 2x 2f x = +

4. ( ) 23 xf x = −

5. ( ) 3x 2f x = −

6. ( ) 33 xf x = −

104

2.3.2 Notación de la segunda derivada.

La derivada de una función de x, es decir, dx

dy es la primera derivada de una función

con respecto a x.

Entonces la deriva de dx

dy con respecto a x, se le conoce como segunda derivada de

y respecto a x o derivada de segundo orden, y se escribe como:

2

2

dx

yd

Es decir:

=dx

dy

dx

d

dx

yd2

2

1. Dada la función: 3xy = encuentra la primera y

segunda derivada.

Solución:

3y x=

23dy

xdx

=

2

26

d yx

dx=

105

Otras notaciones para definir la segunda derivada son:

( ) ''yx''fdx

yd2

2

==

2. Dada la función: 4 3( ) 2 3 6f x x x x= − + encuentra la primera y segunda derivada.

Solución:

4 3( ) 2 3 6f x x x x= − +

( ) 3 2' 8 9 6f x x x= − +

( ) 2'' 24 18f x x x= −

3. Dada la función: 1 1( )f x x

x−= = encuentra la primera y segunda derivada.

Solución:

1 1( )f x x

x−= =

( ) 22

1'f x x

x−= − = −

( ) 33

2'' 2f x x

x−= =

106

4. Dada la función: ( )1

2

( ) 1f t bt= + encuentra la primera y segunda derivada con

respecto a t.

Solución:

( )1

2

( ) 1f t bt= +

( ) ( ) ( )1

21' 1 1

2

df t bt bt

dx

−

= + +

( ) ( )1

2

' 12

bf t bt

−

= +

( ) ( ) ( )3

2

'' 1 14

b df t bt bt

dx

−

= − + +

( ) ( )3

22

'' 14

bf t bt

−

= − +

( )( )

2

3''

4 1

bf t

bt= −

+

107

1. Obtén la primera y segunda derivada de las siguientes funciones.

1. 25 2y x x= −

2. 2 3y x x x= − +

3. ( )31 2y x= −

4. ax b

yax b

+=−

5. 1

2

xy

x= +

6. 1y bx= −

7. Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva 3 22 2 12y x x x= − + − en el punto (2, 4).

8. Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva: 3 5y x x= − en el punto (2, -2).

9. Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva: 3 23 5 3y x x x= + − + en el punto (1, 2).

10. Una partícula se mueve en el espacio de tal manera que su posición en cualquier instante se encuentra dada por la siguiente expresión: 3 23 2 3 1s t t t= − − + . Determina la velocidad y la aceleración de la partícula en t = 1.

11. Una partícula se mueve de acuerdo a la relación: 2( ) 3 8 4d t t t= − − , donde d(t) está en metros y t en segundos. Calcula su velocidad y aceleración en t = 1.35s.

12. Si 4 3 215 12

2s t t t= − + es la distancia de un objeto al origen, encuentra su velocidad

cuando su aceleración es cero.

13. Un papalote se desplaza en el aire en dirección horizontal, a una altura de 400 pies y a razón de 10 pies/s, alojándose de la persona que sostiene la cuerda al nivel del piso. ¿A qué razón se está soltando la cuerda cuando ya se soltaron 500 pies de ella?

108

14. Una escalera de 41 pies de largo se deja apoyada sobre un muro vertical. Súbitamente empieza a resbalar de modo que su tope se desliza hacia abajo sobre el muro, mientras que su base se mueve sobre el suelo, la base va a una velocidad de 10 pies/s. ¿Con qué rapidez se mueve el tope de la escalera cuando está a 9 pies del suelo?

15. Un cuadrado está expandiéndose. Cuando su lado es de 10 cm, su área aumenta a 120 cm2/s, ¿cuál es la razón de aumento de la longitud de su lado en ese momento?

109

2.3.3 Máximos y mínimos locales.

Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto).

Considerando que la derivada de una función representa la pendiente de la función en cualquier punto, es evidente que al llegar a un máximo o a un mínimo de la función, la pendiente se hace cero. De esta manera, una forma de determinar para qué valores de la variable independiente la función alcanza un máximo o un mínimo local o absoluto, calculamos la derivada de la función y la forzamos a cero, las raíces que de aquí obtenemos, serán

los valores de la variable independiente que estamos buscando, dichos valores se conocen como los valores críticos.

Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:

1. Se determinan los puntos críticos c1, c2, c3, ...,cn (resolviendo ( ) 0=x'f , o donde ( )x'f no existe).

2. Se calcula ( )af y ( )bf .

3. Máximo absoluto de f = máx { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ncf....,,.........cf,cf,bf,af 21 } Mínimo absoluto de f = mín { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ncf....,,.........cf,cf,bf,af 21 }

Si f(x0) ( )( )af

af

≤≥

para cada x “cerca ” de x0, es decir en un intervalo abierto que

contenga a x0, diremos que en x0 f alcanza un MÁXIMO

MÍNIMO local: f(xo)

110

Si f es continua en un intervalo que contiene a x0, f´(x0) = 0 y f ´ “cambia” de signo en x0, es decir, si en un intervalo de la forma (x1, x0) f´ tiene un signo y en (x0, x2) el otro, entonces en x0 hay un valor extremo, de hecho: Si no cambia de signo la derivada, entonces no tiene valor extremo.

Si 'f pasa de

Positiva a Negativa

Negativa a Positiva

Hay un máximo local

Hay un mínimo local

Es claro que la función puede Creciente Decreciente

o ser Decreciente Creciente

111

2.3.3.1 Criterio de la primera derivada.

La primera derivada no sólo es útil en el trazado de curvas para determinar los extremos relativos, sino también, para determinar los intervalos donde crece y decrece la curva.

Al analizar en forma intuitiva el comportamiento de la función cuya gráfica aparece en la figura anterior, se puede notar que:

1. Entre las abscisas “a” y “b”, a medida que nos desplazamos hacia la derecha, ó, en sentido positivo del eje x, la curva es ascendente , en cuyo caso se dice que la función es creciente en el intervalo (a, b), y entre “b” y “c” la curva es descendente , en cuyo caso se dice que la función es decreciente en el intervalo (b, c).

2. La pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos A, B y C (separan los tramos de crecimiento y de decrecimiento) es cero, o lo que es equivalente, la recta tangente es horizontal.

3. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de la recta tangente a la curva es positiva y por lo tanto, su derivada es positiva. En cambio, en el punto Q que pertenece a un tramo decreciente de la curva, la pendiente y por lo tanto, la primera derivada es negativa.

112

1. Encontrar todos lo máximos y mínimos locales de la función:

( ) 3 23 24 5f x x x x= − − +

Solución:

Se obtiene la primera derivada:

( ) 2463 2 −−= xxx'f

Recordando que los máximos y mínimos se encuentran en los puntos en donde la derivada se hace cero, forzamos la derivada a cero:

( ) 2' 3 6 24 0f x x x= − − =

Factorizando:

( )( )23 6 24 3 2 4 0x x x x− − = + − =

Se observa que f’ se anula cuando x = -2 y x = 4, por lo que estos son los únicos candidatos a máximos o mínimos locales.

La segunda derivada es:

( ) 66 −= xx''f

De tal manera que f’’(4) = 18 > 0, de modo que x = 4 corresponde a un mínimo local.

Por otro lado f’’(-2) = -18 < 0, de modo que x = -2 corresponde a un máximo local.

113

2.3.4 Criterio de la segunda derivada para definir concavidad.

> ′′ ′ >

o negativo a positivoObservemos que f ¨( x ) si en un int ervalo f ( x ) pasa de

o positivo a negativo

luego al recorrer la gráfica de la función f de izquierda a derecha, debe presentar una concavidad hacia arriba o hacia abajo, como se muestra en la siguiente figura:

De aquí se sigue el criterio de la segunda derivada, teorema que se enuncia sin demostración y que establece una condición suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo dado:

Si ( ) ( )0 0

0' 0 y ''

0f x f x

>= <

, entonces en x0 hay un mínimo

máximo

local.

114

Por tanto:

i. Si ( ) 0>x''f para todo Ix ∈ , entonces, f es cóncava hacia arriba .

ii. Si ( ) 0<x''f para todo Ix ∈ , entonces, f es cóncava hacia abajo .

Resulta que las funciones derivables pueden tener valores extremos en las raíces de su derivada. En general una función tiene sus valores extremos en puntos donde no es derivable o en puntos donde la derivada vale cero, por lo que se define: Un punto crítico de una función es un punto donde la función no es derivable o donde la derivada vale cero. Luego: • Los valores extremos de una función se localizan en sus puntos críticos. Por lo que para hallar los valores extremos de una función debemos localizar sus puntos críticos, que es donde puede haberlos. Se llama punto de inflexión a un punto donde la segunda derivada de una función es cero y en ese lugar cambia el signo de la concavidad de la curva, pero no su tendencia. En ellos la función pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo. Ejemplo:

( ) ( ) ( )>0 >0

f x =x³ f ' x =3 x² f'' x =6 x =0 s i x =0

<0 <0

⇒ ⇒

Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión.

115

En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexión, en este caso, simplemente se dice que "hay inflexión" sin existir punto de inflexión.

Considere por ejemplo, la función definida por: f (x) = x4 y cuya gráfica aparece a continuación:

Como f(x) = x4, f’(x) = 4x3, f’’(x) = 12x2, para x = 0, se tiene: ( ) ( ) 00120 == ²''f sin embargo el punto P(0, f (0)) = P(0, 0) no corresponde a un punto de inflexión, puesto

que para valores de x anteriores y posteriores a x = 0, ( ) 0>x''f y no cambia la concavidad de la curva.

116

1. Determina en dónde es cóncava hacia arriba o hacia abajo la gráfica de la función:

( ) 102492 23 −−+= xxxxf

Solución:

Se obtiene la primera derivada de la función:

( ) 24186 2 −+= xxx'f

Y la segunda derivada:

( )'' 12 18f x x= +

Para la cual podemos establecer lo siguiente:

( ) >0, para x > -3/2

<0, para x < -3/2f x x''

= +12 18

De modo que la función es cóncava hacia arriba para x > -3/2 y cóncava hacia abajo para x< -3/2.

En otras palabras en x = -3/2, tenemos un punto de inflexión.

117

1. Encuentra los valores de x para los cuales se tienen puntos de inflexión en las siguientes funciones.

1. ( ) 3 23 4f x x x x= − +

2. ( ) 3 23 6f x x x x= + +

3. ( ) 3 3 1f x x x= + −

4. ( ) 4 4 2f x x x= + −

2. Con ayuda de los teoremas anteriores, resuelve los siguientes ejercicios:

a) Empleando el método de la primera derivada, encuentra los valores máximo o mínimo de las siguientes funciones.

1. y = 3x²-12x+5

2. y = 2x²+16x+4

3. y = 5x²-10x+20

4. y = x²-2x+12

5. y = -x²+4x+9

6. y = 4x²-24x+4

7. y = x²-12x+12

8. y = -5x²-20x+1

9. y = -6x²-18x+5

10. y = -7x²-28x+3

118

b) Empleando el criterio de la segunda derivada encuentra los valores máximo y

mínimo de las siguientes funciones.

1. y = 3x4-32x

2. y = x³-2x²+x

3. y = x³-9x

4. y = x³-x

5. y = x³+x²-5

6. y = -x³+x

7. y = x³+2x²-4x+1

8. y = 3x - x³

c) Resuelve los siguientes problemas:

1. Encuentra dos números reales cuya diferencia sea 20 y su producto sea el

mínimo posible.

2. Prueba que el rectángulo cuya área es 100 y cuyo perímetro es mínimo, es un

cuadrado.

3. Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto de área lateral máxima que

puede inscribirse en una esfera de 8 cm de radio.

4. Determina los valores de x, para los cuales se tienen los mínimos, máximos y

puntos de inflexión de la siguiente función: y = x³+3x²-2.

5. Determina los valores de x, para los cuales se tienen los mínimos, máximos y

puntos de inflexión de la siguiente función: y=-2x³+3x²+12x+2.

6. Determina los valores de x, para los cuales se tienen los mínimos, máximos y

puntos de inflexión de la siguiente función: y = -1/4 x4-x³-5x².

119

2.4 optimización.

2.4.1 Máximos y mínimos globales.

En todas partes puedes escuchar hablar de la necesidad de maximizar o minimizar cualquier cosa, por ejemplo para ser competitivo en una economía global, los negocios requieren de minimizar pérdidas y maximizar los ingresos de su inversión. Es por eso que una de las aplicaciones más usuales para el cálculo diferencial es la de obtención de valores máximos y mínimos globales.

Ejemplo 1.

Localiza extremos absolutos de ( ) 92 −= xxf en el intervalo (-∞∞∞∞,∞∞∞∞)

Solución:

Realizando una gráfica con ayuda de una tabla de valores podemos observar

claramente que esta función tiene un valor mínimo absoluto ( ) 90 −=f , pero no tiene valor máximo absoluto.

120

2.4.2 Aplicaciones.

Una de las preguntas más frecuentes en la industria hoy en día, es ¿este diseño

es óptimo? Con los conocimientos que tienes de cálculo, podremos contestar esa

pregunta. Una de las aplicaciones más útiles del Calculo diferencial es la

optimización de valores, en un sin fin de situaciones reales, es por ello que se

expondrán algunos ejemplos para que puedas tener una visión un poco más

amplia del alcance del Cálculo diferencial.

Unas reglas que te pueden ayudar a la resolución de este tipo de problemas son:

1. Si el problema se puede describir con un dibujo, no dudes en hacerlo.

2. Determina cuáles son las variables del problema así como su relación.

3. Establece cuál es la cantidad que debe ser optimizada.

4. Escribe una expresión para la cantidad a optimizar en términos de una

sola variable.

5. Determina los valores máximo y mínimo de la variable.

6. Resuelve el problema.

121

1. La suma de dos números es 16, ¿cuál será el

valor máximo de su producto?

Solución:

Si establecemos que un número será “x”

Entonces el segundo número tendrá que ser “16–x ”

Por otro lado si nombramos el producto de los dos

números como “y”, entonces tenemos que:

y = x(16 – x)

y = 16x – x²

como “y” debe presentar un valor máximo, vamos a derivar para encontrar el

punto crítico:

y’ = 16 – 2x

forzando a cero y despejando, obtenemos que: x = 8 y por tanto, el segundo

número es:

z=16–8 = 8

y su máximo producto es:

y = 8(16 – 8) = 64.

122

2. En un pueblo se requiere construir un nuevo tramo de autopista para conectar un puente existente con una caseta de cobro, localizada a 8 kilómetros al este y 8 kilómetros al sur del puente. Hay un terreno fangoso de 5 kilómetros de ancho adyacente al puente que debe cruzarse. Dado que la construcción de la autopista requiere 10 millones de pesos por kilómetro sobre terreno fangoso y 7 millones de pesos sobre tierra firma, ¿qué tan alejada al este del puente debe estar la autopista cuando se cruce el terreno fangoso, de tal manera que el costo de construcción sea mínimo? Observa la figura.

Solución: Utilizando el teorema de Pitágoras podemos obtener una función para el costo de construcción de la autopista:

2 2( ) 10 25 7 (8 ) 9C x x x = + + − +

Como puedes observar en la figura el intervalo será 0 ≤ x ≤ 8 debido a que x < 0 significa que la autopista se alejaría de la caseta y x > 8 significa que la autopista pasaría más allá de la caseta. Con base en lo anterior:

2 2'( ) 10 25 7 (8 ) 9d

C x x xdx = + + − +

1/ 22 1/ 2 27

''( ) 5( 25) (2 ) (8 ) 9 (2)(8 )( 1)2

C x x x x x−− = + + − + − −

123

2 2

10 7(8 )'( )

25 (8 ) 9

x xC x

x x

−= ++ − +

Utilizando cualquier método de solución de máximos y mínimos pata C’(x)=0, tenemos que:

X = 3.5 Por lo tanto:

C (3.5) = 98.9 millones de pesos.

Nota: como dato adicional podemos decirte que los valores extremos de esta función son:

C (0)= 109.808026 millones de pesos.

C (8)= 115.339811 millones de pesos. Lo que quiere decir, que en verdad nuestro resultado representa el valor mínimo de construcción de la carretera.

124

3. Si el costo total de la producción de x aparatos electrónicos diarios es de $(1/4x²+35x+25) y el precio de venta de cada aparato es de $(50 – ½x ), ¿cuál será la producción diaria que genera las mayores ganancias? Solución: Evidentemente el beneficio que se obtiene al vender x aparatos diarios es:

( )

++−

−= 25354

1

2

150 2 xxxxxG

Por lo tanto:

( )2

315

x

dx

xdG −=

Para G’(x) = 0, el valor crítico es: x = 10, lo que equivale a un máximo relativo de la variable dependiente G(x). Con lo anterior podemos concluir que la producción diaria que nos arrojará las máximas utilidades en la venta de dichos aparatos electrónicos es de 10 unidades diarias.

125

1. Resuelve los siguientes problemas:

1. Si la suma de dos números es 10, ¿cuál será el valor

máximo de su producto?

2. Si la suma de dos números es 40, ¿cuál será el valor

máximo de su producto?

3. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo de mayor área

que puede inscribirse en una circunferencia de radio igual

a 5 cm?

4. Un embase cilíndrico de bebida, tiene una capacidad de 300 cm². Calcula las dimensiones que minimicen el costo de producción de dicho embase.

5. Un acueducto va de este a oeste. Un pueblo quiere conectar dos nuevas bombas

a la línea del acueducto, instalando tuberías desde un punto de ésta hasta las dos bombas. Una de las bombas está a 3 kilómetros al sur del punto de conexión del acueducto, mientras que la otra se encuentra a 4 kilómetros al sur y 5 kilómetros al este de la primera bomba. Calcula la ubicación adecuada del punto de conexión para que se minimice la longitud total de las nuevas líneas.

126

UNIDAD 3 Integrales.

127

El cálculo integral, al igual que el diferencial encuentra muchas aplicaciones en la vida diaria, ¿has notado que en estos tiempos las grandes cadenas comerciales cambian la imagen, la cantidad o el material de fabricación de sus productos con mayor frecuencia que antes? Esto se debe, a que tienen departamentos especiales de personas que se encargan de realizar los cálculos correspondientes, para optimizar y hacer eficientes estos procesos, y si bien es cierto que podrían desarrollar los mismos procesos sin usar el cálculo, también lo es que esta tarea sería mucho más difícil, costosa y lenta.

128

1. Usarás integrales en la solución de problemas.

3.1 Antiderivadas.

129

3.1 Antiderivadas. Derivación e integración como procesos inversos. En el proceso de derivación, dada una función y = F (x),

el operadordx

dy te indica que se va a calcular una

función f ( x ) que es la derivada de ésta función F( x ). Es decir siendo F conocida, la función f(x) es:

( ) ( )dF dy'

dx dxF x f x= = =

Ahora supongamos que conocemos la función f (x) que es la derivada de alguna función y = F(x) que no conocemos. Vamos a determinar esa función F(x). Este proceso se llama buscar una primitiva de la función f (x) o también una antiderivada de f (x). Es decir, se va a buscar una función F( x ) tal que F´( x ) = f ( x ). Integrales indefinidas.

Dada una función f(x) definida en un dominio D, diremos que F(x) es la función primitiva de la primera en el mismo dominio D si se cumple que F’(x) = f(x). Es evidente que si F(x) es función primitiva de f(x) también lo será cualquier función de la forma F(x) + C, siendo C una constante, ya que al derivarla obtendremos el mismo resultado. De igual forma si F(x) y G(x) son funciones primitivas de f(x) su diferencia será una

constante ya que: [G(x) − F(x)]′ = G′(x) − F′(x) = f (x) − f (x) = 0 ; por lo tanto podemos concluir que: G(x) − F(x) = C Al conjunto de todas las funciones primitivas de una función la denominamos integral indefinida y se expresa de la forma:

( ) ( ) CxFdx xf +=∫

130

Propiedades de la integral indefinida. 1. Si las funciones f(x) y g(x) admiten funciones primitivas en un cierto dominio, se

verifica:

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=± dx xgdx xfdx xgxf

2. Si la función f(x) admite una función primitiva en un dominio dado entonces se

verifica:

( ) ( )∫∫ = dx xfadx xaf

Los signos de diferenciación e integración se simplifican entre sí, es decir:

( ) ( ) ( ) ( ) Cxfxdf dxxfdx xfd +== ∫∫

Integrales inmediatas. Se llaman integrales inmediatas a aquéllas que se calculan directamente de la definición de derivada. Algunas de las más sencillas se recogen en la siguiente tabla:

TABLA DE INTEGRALES Cudx 'u +=∫ C

n

udx u 'u

nn +

+=

+

∫1

1

Culndx

u

'u +=∫

Caln

adxa 'u

uu +=∫

Cedx e 'u uu +=∫ Cucosdx u sen 'u +−=∫

Cu sendx u cos 'u +=∫ ( ) Cucoslndx u tan 'u +−=∫ ( ) Cu senlndx u cot 'u +=∫

Cutandxu ²cos

'u +=∫ Cucotu²sen

dx 'u +−=∫ ( ) Cutanln

u cos u sen

dx 'u +=∫

Cu sen arc²u

dx 'u +=−

∫1 Cu cos arc

²u

dx 'u +=−

−∫

1 Cu tan arc

u² 1

dx 'u +=+∫

131

Las integrales que podemos obtener como resultado de aplicar de manera directa las fórmulas de la tabla anterior son conocidas como integrales inmediatas. Cabe mencionar que en algunos casos antes de utilizar la fórmula correspondiente es necesario realizar alguna transformación algebraica sencilla. Ejemplo 1. Utiliza la tabla anterior para encontrar la integral:

∫ dx x5

Solución: Identificando la fórmula correspondiente para este caso:

Cx

dxx +=∫6

65

Ejemplo 2. Utiliza la tabla anterior para encontrar la integral:

∫ dx x Haciendo una transformación algebraica

1/2x xdx dx=∫ ∫

Solución: Identificando la fórmula correspondiente para este caso:

3/ 21/2 32

x3 32

xdx C x C= + = +∫

Ejemplo 3.

132

Utiliza la tabla anterior para encontrar la integral:

∫ 2x

dx

Haciendo una transformación algebraica

∫∫ = dx xx

dx 2-2

Solución: Identificando la fórmula correspondiente para este caso:

Cx

CxCx

dxx +−=+−=+−

= −−

−∫

1

11

12

Ejemplo 4. Utiliza la tabla anterior para encontrar la integral:

∫ dxax4 Solución: Identificando la fórmula correspondiente para este caso:

Cax

dxxadxax +== ∫∫5

544

Ejemplo 5. Utiliza la tabla anterior para encontrar la integral:

∫x

dx2

Haciendo una transformación algebraica

133

∫∫−= dx 2x

x

dx 212

Solución: Identificando la fórmula correspondiente para este caso:

1/ 21-1/2 22x 2 4 4

12

xdx C x C x C= + = + = +∫

Ejemplo 6. Utiliza la tabla anterior para encontrar la integral:

( )∫ −+ dxxx 13 2

Solución: Identificando la fórmula correspondiente para este caso:

( )∫ ∫ ∫ ∫ +−+=−+=−+ Cxxx

dxxdxdxxdxxx23

31313

2322

( )2

2 33 12

xx x dx x x C+ − = + − +∫

Ejercicios: Encuentra el valor de las siguientes integrales inmediatas.

1. 6x dx∫

2. 2 xdx∫

3. 5

dx

x∫

134

4. 4ax dx∫

5. ( )3 23 2 3x x dx− −∫

6. 3x dx∫

7. 3 xdx∫

8. 2

22x dx

x − ∫

135

2. Calcularás el cambio acumulado.

3.2 La integral definida. 3.3 La integral definida como área. 3.4 Métodos elementales de integración.

136

3.2 Integral definida.

3.2.1 Cambio acumulado.

La suma de n [a1, a2, a3,…an] términos se expresa de acuerdo a la suma de Riemann:

n

n

mii a...aaaa +++=∑

=321

Donde: i = índice de la suma

an = representa el n-ésimo término de la suma n y m = los valores extremos de la suma

Ejemplo 1. Calcula la suma indicada.

( )∑=

+4

1

12i

i

Solución: Para este ejemplo ai = (2i+1). Así que para calcular la suma indicada, se sustituye la i por los números enteros del intervalo establecido en el problema (1 ≤ i ≤ 4). Luego se suman los términos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

1

2 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1i

i=

+ = + + + + + + + ∑

3 5 7 9 24= + + + =

137

Ejemplo 2. Calcula la suma indicada.

( )∑= +

4

0 2

2

i

i

i

Solución: Para este ejemplo ai = 2i / (i+2). Así que para calcular la suma indicada, se sustituye la i por los números enteros del intervalo establecido en el problema (0 ≤ i ≤ 4). Luego se suman los términos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 44

0

2 2 2 2 2 2

2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2

i

i i=

= + + + + + + + + + +

∑

1 2 8 8 193

12 3 5 3 30

= + + + + =

138

1. Encuentra el valor de las siguientes sumas:

1. ( )6

1

3 2i

i=

+∑

2. ( )3

2

5i

i=−∑

3. ( )4

0

4 1i

i=

−∑

4. ( )2

0

3 2

1i

i

=

+∑

5. ( )5

1

5

1i i= +∑

6. ( )6

0

5

2 1

i

i i= +∑

139

3.2.2 La integral definida. Dada una función continua positiva en un intervalo [a, b]

( )xfy = se define la integral definida entre los valores a y b del dominio de la función f como el área S limitada por las rectas x=a, x=b, el eje de abscisas y la curva definida por la gráfica de f. Se denota por:

( )∫= b

adxxfS

Por ejemplo, si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral de f(x) entre 0 y 10 es el área del rectángulo limitado por las rectas x=0, x=10, y=0 e y=3. El área

corresponde al producto del ancho del rectángulo por su altura, por lo que aquí el valor de la integral es 30.

Si se tiene una primitiva (integral indefinida) de la función f :

( ) ( )xFdxxf =∫

entonces, y según la Regla de Barrow:

( ) ( )aFbFS −=

Lo que se puede apreciar en la siguiente figura:

140

3.2.3 Evaluación de una integral definida a partir de una tabla o gráfica.

El valor de una integral definida se puede calcular de acuerdo con lo estudiado

con anterioridad. El proceso comprende dos pasos: 1. Integrar la diferencial dada. 2. Sustituir la variable de la integral obtenida, primero por el valor del límite superior,

después por el valor del límite inferior y restar ambos valores. Ejemplo 1. Obtén el valor de:

∫42

3dxx

Solución: Aplicando los dos pasos anteriores se tiene que

444 3

22

4

xx dx

=

∫

4 44 3

2

4 2 256 1664 4

4 4 4 4x dx

= − = − = −

∫

4 3

260x dx=∫

141

Ejemplo 2. Obtén el valor de:

∫2

1dxe x

Solución:

Aplicando los dos pasos anteriores se tiene que:

2 2

11

x xe dx e = ∫

( ) ( )2 2 12 1

12.718 2.718xe dx e e = − = − ∫

2

14.669xe dx=∫

Ejemplo 3. Obtén el valor de:

∫8

2 x

dx

Solución: Aplicando los dos pasos anteriores se tiene que,

]8 8

22ln

dxx

x=∫

[ ]8

2ln8 ln 2 2.0794 0.6932

dx

x= − = −∫

8

21.3862

dx

x=∫

142

1. Encuentra el valor de las siguientes integrales definidas.

1. 4

1

dx

x∫

2. ( )3 2

03 2 3x x dx− +∫

3. 6 2

44x dx∫

4. 2

1xdx∫

5. b

axdx∫

6. 1 3

0x dx∫

7.

24

0 2

x dx∫

8. ( )2 3b

aax x dx+∫

143

3.3 La integral definida como área.

5.3.1 Teorema fundamental del cálculo. Si f(x) es integrable en el intervalo [a, b], su función área , A(t), se define de la siguiente forma:

( ) ( ) [ ]= ∀ ∈∫t

aA t f x dx t a,b

En estas condiciones, si f es continua en [a, b], la función A es una primitiva de la función f en [a, b], ver figura inferior.

Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función A para no confundirla con la variable x de la función f. El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un método que permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo.

144

5.3.2 La integral definida como área bajo la curva.

El problema que trata de resolver la Integral definida es el cálculo de áreas.

Esto resulta sencillo cuando se trata de polígonos regulares, pero se complica cuando son mixtilíneos. La idea que subyace en la Integral definida ya apareció en Japón en el siglo XVII: Ante el problema de calcular el área del círculo se aproximó por la suma de áreas de rectángulos inscritos en ella. Cuanto más pequeña fuera la base de estos rectángulos, mayor sería la aproximación al área del círculo. Consideramos una función f(x) definida en [a,b] y positiva en el intervalo. Queremos calcular el área comprendida entre la gráfica de la función y el eje x. Para aproximarla tomamos n puntos en el intervalo [a, b]: Pn = {x0, ........, xn} con x0 = a y xn = b. A Pn le llamaremos partición de [a, b ]

Consideramos entonces los rectángulos de base xi-xi-1 y altura mi = min f[xi-1, xi] y también los rectángulos de misma base y altura Mi = max f[xi-1, xi].

145

Está claro que el área que buscamos está comprendida entre:

( ) ( )− −= =

= ⋅ − ≤ ≤ ⋅ − =∑ ∑n n

n i i i 1 i i i 1 ni 1 i 1

s m x x Área M x x s 1

Donde a Sn se le llama Suma superior de la partición Pn y a sn se le llama Suma inferior de la partición Pn. Cuando hagamos tender n a ∞, es claro que Sn decrecerá hacia el área y sn crecerá hacia el área. Se define Integral Definida de la función f(x) en el intervalo [a, b] como el límite, si existe, de las sumas superiores e inferiores cuando el número de puntos de la partición tiende a infinito. Por lo tanto: La interpretación geométrica de la Integral Definida de una función f(x) en un intervalo [a, b], será el área comprendida entre la gráfica de la función y el eje x, con signo positivo si la función es positiva en todo el intervalo y con signo negativo si la integral es negativa en todo el intervalo. Es intuitivo que el área encerrada por la función de la figura anterior se calcula sumando las áreas de los rectángulos que define la función entre dichos puntos. Este tipo de funciones cuya gráfica en un intervalo son tramos de rectas paralelas al eje x, se llaman funciones escalonadas.

146

1. Calcula el área encerrada por la curva y= x2, el eje de abscisas y las rectas x=1 y x=2. Solución: El área de la región R es:

dx²xS ∫= 21

y su integral es:

23

13

xS

=

Evaluando para los límites establecidos:

3 32 1 8 1

3 3 3 3S = − = −

7

3S =

Como puedes notar, en esta ocasión el resultado no es una función sino un valor numérico el cual está acompañado por algún tipo de unidad de longitud elevada al cuadrado (unidades de área).

147

2. Calcula el área encerrada por la curva y = 3+4x2, el eje de abscisas y las rectas x = 2 y x = 6. Solución: El área de la región R es:

( )dx²xS ∫ += 62

43

Integrando la relación anterior, tenemos:

6

2

4 ³3

3

xS x = +

Evaluando en los límites establecidos:

( ) ( ) ( ) ( )4 6 ³ 4 2 ³ 323 6 3 2 18 288 6

3 3 3S

= + − + = + − −

Finalmente, el área es:

2289.3S u=

148

1. Halla el valor del área limitada por las curvas dadas y las rectas cuyas ecuaciones se indican en cada caso. 1. 1 2 x 0 x 4y x= = = 2. 2

1 2x 5 x 0 x 6y x= + + = =

3. 21 2 x 2 x 4y x x= − = =

4. 1 23

1 x 1 x 6y

x= = =

5. 21 2 x 2 x 4y x−= = =

6. 1 2 x 1 x 3y x= = =

149

5.3.3 Área entre dos curvas.

Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≥ g(x), entonces:

( ) ( )[ ]dxxgxff

g∫ −

Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos:

• Se trazan las curvas.

• Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.

• Se determina la zona de la que hay que calcular el área.

• Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados.

150

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b]. Supongamos que sus gráficas se cortan en [a, b] para x = a1, x = a2, ..., x = an, con lo que determinan n+1 regiones R1, R2,..., Rn+1. El área de cada región Ri es:

( ) ( )( )1

i

i

a

af x g x dx

−

−∫

Luego, el área delimitada por las dos funciones en el intervalo [a, b], vale:

1 2 n 1 R R ... RÁrea += + + +

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2

1

...n

a a b

a a aÁrea f x g x dx f x g x dx f x g x dx= − + − + + −∫ ∫ ∫

Ejemplo 1. Obtén el área de la región limitada por la gráfica y1= x²+2; y2 = -x+1 con las líneas verticales x= 1 y x = 2 Solución: Integrando por separado cada una de las funciones: Para y1:

( ) ( ) ( )23 3 3

2 2

11

2 1 8 12 2 2 2 2 1 4 2

3 3 3 3 3

xx dx x

+ = + = + − + = + − −

∫

( )2 2

1

132

3x dx+ =∫

Para y2:

( ) ( ) ( )22 2 22

11

2 1 11 2 1 2 2 1

2 2 2 2

xx dx x

− + = − + = − + − − + = − + + −

∫

( )2

1

11

2x dx− + = −∫

Restando ambos resultados:

151

13 1 26 3

3 2 6Área

+ = − − =

229

6Área u=

152

1. Calcula las áreas de las regiones comprendidas por las dos gráficas y las rectas indicadas: 1. y1 = x² + 4; y2 = -x -1 con las líneas verticales x = 2 y x = 4 2. y1 = -x²; y2 = x + 3 con las líneas verticales x = 2 y x = 3 3. y1 = x² - 2; y2 = x - 2 con las líneas verticales x = 0 y x = 4 4. y1 = -x² + 5; y2 = x - 2 con las líneas verticales x = -2 y x = 2

153

3.4 Métodos elementales de integración. Integración por partes.

Supongamos que las funciones u(x) y v(x) son derivables en un intervalo (a,b), y existe la primitiva de la función v(x)u´(x) en (a,b). Entonces, sobre (a,b) existe la primitiva de u(x)v´(x) , y se cumple que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −= dxx'uxvxvxudxx'vxu

o en forma diferencial:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −= xduxvxvxuxdv xu

Detalles a tener en cuenta en la elección de las partes:

• Siempre que sea posible debe tomarse u(x) como un polinomio.

• Siempre que sea posible debe evitarse hacer du = dx.

• dv debe ser fácilmente integrable.

• dv siempre debe contener a dx.

154

1. Calcula ∫ dx x ln xn Como la integral no está

en la tabla es necesario convertirla en una de la tabla, mediante un cambio de variable. Para ello, aplicaremos la técnica de la integración por partes:

( ) ( )

( ) ( )

1

1ln , du x n 1

, v x1

x ln x dx ln

n 1 1nn

u x x dx nxn

xdv x x dx

n

xx x dx

n+

= = +

= =+

= = −+ +∫ ∫

n 1x 1 ln x dx ln

n 1 1nx x C

n

+ = − + + +

∫

Algunas de las integrales que pueden ser calculadas utilizando la integración por partes son: 1. Las integrales donde aparezcan las funciones: lnx, arcsenx, arccosx, potencias

enteras de las funciones anteriores, entre otras donde tendremos que escoger como función u(x) a alguna de las funciones anteriores.

2. Las integrales, ( ) ( )∫ ∫ ++ dx cx cosbax , dx cx senbax nny ( )∫ + dx ebax cxn

donde para encontrar las primitivas hay que utilizar la fórmula de integración por partes n veces tomando cada vez u(x)= (ax+b)n, u(x)= (ax+b)n-1, ...., respectivamente.

3. Las integrales de la forma: ( )dx x ln sen ,dx bx cose ,dx bx sene axax∫∫∫ y

( )∫ dx x lncos . Para encontrar las primitivas hay que denotar por I a cualquiera de las integrales anteriores, aplicar dos veces integración por partes y resolver la ecuación resultante respecto a I.

155

Integrales trigonométricas.

En este apartado vamos a estudiar las integrales de la

forma: ( )cosR senx x dx⋅∫ las cuales se convierten en

integrales racionales mediante la sustitución trigonométrica:

2

xtant =

Veamos los casos que pueden presentarse.

1. La función coseno es par; entonces hacemos el siguiente cambio:

cosx t=

dtsen x dx− = 2. La función seno es impar; entonces se hace el siguiente cambio:

dt dx x cos

tx sen

==

3. Si la función no es impar como en seno ni par como en coseno, se procede de la

siguiente manera:

t²-1

dt dx

txtan

=

=

4 Método general. En todos los casos se puede hacer lo siguiente:

tan2

xt=

2dt

1-t²dx =

156

x x 2t x 2 sen cos ...

2 2 1-t²sen = = =

1-t²cos x

1 t²=

+

Integración por sustitución trigonométrica.

A menudo la integración directa resulta complicada, sin embargo existe la técnica

llamada cambio de variable que nos permite pasar de una integral complicada a una sencilla. Sea t = φ(x) una función derivable en x y sean x(a, b) el dominio y T = φ[(a, b)] la imagen de φ(x). Supongamos que sobre el conjunto T existe la primitiva de la función g(t), o sea:

( ) ( )∫ += CtGdt ty

Entonces sobre todo el conjunto (a, b) la función g [φ(x)]φ´(x) tiene una primitiva y además:

( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ +φ=φφ CxGdx x'xg Ilustremos esto con un ejemplo. Supongamos que la integral que queremos calcular es de la forma:

( )( ) ( )∫ dxx'gxgf

Es decir, hay una composición de funciones, y además aparece la derivada de la primera función que se compone. En un ejemplo más concreto, observe la siguiente expresión:

∫ + dxsenx1 xcos donde claramente la derivada de la cantidad subradical es precisamente cos x. Pues bien, si tenemos una integral como en (1) hacemos el siguiente reemplazo

( )xgu = de tal modo que si derivamos esta igualdad dos, tenemos que:

(2)

157

( ) ( ) dudxx'gx'gdx

du =⇒=

Y de este modo reemplazamos (2) y (3) en la integral en (1) y obtenemos lo siguiente

( ) uduf∫

que es una integral en la variable u. Entendiendo que esta nueva integral es sencilla de calcular, tenemos:

( )( ) ( ) ( )duufdxx'gxgf ∫∫ =

Ejemplo 1.

Resuelve la siguiente identidad trigonométrica:

cos x 1 sen x dx+∫

Haciendo el cambio de variable correspondiente:

1 u sen x= +

cos x cos x dx dudu

dx= ⇒ =

cos x 1 sen x dx udu∴ + =∫ ∫

12cos x 1 sen x dx u du+ =∫ ∫

32

cos x 1 sen x 3

2

udx C+ = +∫

2 ³cos x 1 sen x

3

udx C+ = +∫

(3)

158

( )32 1

cos x 1 sen x 3

sen xdx C

++ = +∫

Ejemplo 2.

Calcula la integral: ( ) xdxcos∫ 2 Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la tabla. Para ello hacemos la siguiente sustitución trigonométrica:

( ) ( )2

2cos 2 cos

2

u x

du dx

dux dx u

=

== =∫ ∫

( ) ( )1cos 2

2x dx sen u C= +∫

( ) ( )1cos 2 2

2x dx sen x C= +∫

Integración de fracciones racionales.

Normalmente una integral se puede hacer por varios de estos métodos. En ocasiones habrá que combinarlos.

Un ejemplo importante del método de descomposición nos lo proporciona la integración de funciones racionales.

Estas integrales son del tipo: ( )( ) xdxQ

xP∫ , consideremos dos casos:

1. El grado de P(x) es mayor o igual que el de Q(x):

Definición. Diremos que una función racional ( ) ( )( )dxxQ

xPxf = es simple si el grado del

polinomio P(x) es mayor o igual que el del polinomio Q(x).

159

Entonces podemos dividir los polinomios Pn(x) y Qm(x) de tal forma que nos queda:

( ) ( ) ( ) ( )P x C x Q x R x= +

Lo que nos permite escribir:

( )( )

( ) ( ) ( )( )

P x C x Q x R xdx dx

Q x Q x

+=∫ ∫

( )( ) ( ) ( )

( )P x R x

dx C x dx dxQ x Q x

= +∫ ∫ ∫

La primera integral es inmediata. En la segunda, el grado del numerador es ahora menor que el de Q(x).

2. El grado de P(x) es menor que el de Q(x):

Nos queda reducirlo al segundo sumando del caso anterior. Para estudiarlo, consideraremos en el denominador 3 casos:

2.1 El denominador sólo tiene raíces simples: Sean dichas raíces: x1, x2, …., xn. La descomposición factorial de Q(x) será:

( ) ( )( ) ( )nxx...xxxxbxQ −−−= 21

En este caso la fracción a descomponer admite la siguiente descomposición:

( )( ) ( ) ( ) ( )nxx

N...

xx

B

xx

A

xQ

xP

−++

−+

−=

21

Siendo A, B, ..., N coeficientes a determinar por el método de los Coeficientes Indeterminados. Ejemplo:

xdx²x

x∫ −+ 2

160

2.2 El denominador tiene raíces múltiples: Sean x1, x2, …., xn las raíces del polinomio Q(x) y sus grados de multiplicidad: h1, h2, …., hn .Se tiene entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) nhn

hh xx...xxxxxQ −−−= 2121

Con lo que la fracción se descompone como sigue:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2 1 12

1 21 1 2

... ... ... ... n

n

hh h

h h hn n

MA BP x A A B M

Q x x x x x x xx x x x x x x x= + + + + + + + + + +

− − −− − − −

e integramos como en el caso anterior.

161

1. Resuelve la siguiente integral:

xdx²x³xxx

x∫ −+−+−

−41625197

445

2. Aplicando cada uno de los teoremas anteriores, encuentra el área debajo de las siguientes curvas:

1. ( )2 2

03 5 4x x dx− +∫

2. ( )4 2

24x dx∫

3. 2

1 x dx∫

4. ( )b

ax dx∫

5. ( )1 3

0x dx∫

6. ( )2

0 xsen dx

π

∫

7. 4

20 1

xdx

x+∫

8.

23

0 2

xdx∫

9. ( )2 3b

aax x dx+∫

162

1. Sólidos de revolución. Si se pone a girar el segmento de recta y = 1 + x/3 en el intervalo 0 ≤ x ≤12 está girando alrededor del eje de las x. Calcula el volumen de dicho sólido.

Solución: Como se observa en la siguiente figura, el sólido formaría un sólido parecido a un megáfono:

En primer lugar, se observa que para cualquier valor de x, la sección transversal perpendicular al eje de las x es un círculo cuyo radio está dado por r = 1 + x/3. Por lo tanto el área de cada rebanada está determinada por:

( ) 2A x rπ=

( ) ( )2

1 3xA x π= +

163

Por tanto el volumen del sólido indicado es:

( )12

0V A x dx= ∫

( )212

01 3

xV dxπ= +∫

212

0

21

3 9

x xV π

= + +

∫

12

2 3

03 27

x xV xπ

= + +

124V π=

2. Calcula el volumen de un cono circular recto cuya base es un disco de radio igual a 3 metros y con una altura de 6 metros. Ayúdate de la siguiente figura para encontrar la solución.

Solución: Observando la figura podemos verificar que:

a) La figura está de costado, de modo que en “x” se extiende desde 0 hasta 6.

b) El borde superior de la figura es la recta 2

3x

y −= .

164

c) En la posición x, la altura del borde superior es 2

3x− , que a su vez es la

medida del radio de una rebanada circular del cono en la posición x. Por lo tanto, el área de dicha rebanada es:

( )2

23

−= xxA π

Para poder encintar el volumen del cono se requiere que:

( )6

0= ∫V A x dx

2

6

0 3

2π = −

∫x

V dx

63

0

2 32

3

x

V π

− = −

18v π=

56.5 v m=

Grosor = ∆x

165

3. Calcula el volumen de un sólido cuya base es igual a un círculo unitario con centro en el origen y se encuentra ubicado un el plano x-y, si la sección trasversal vertical del sólido en la posición x es un triángulo equilátero, analiza la figura adjunta.

Solución: Observando la figura podemos verificar que:

a) La ecuación de una circunferencia unitaria es: 221 yx += .

b) Despejando la variable dependiente: 21 xy −±=

c) De esta forma, los puntos extremos de la base del triángulo equilátero en la

posición x son los puntos ( )21 , xx −± , por lo tanto la base de dicho

triángulo es: 212 xb −= .

166

d) Por otro lado, observando la siguiente figura podemos concluir que la altura de

cualquier triángulo equilátero es: b2

3.

e) Por lo tanto, el área del triángulo es: 4

3 2bA=

O sea, el área de la rebanada será: ( ) ( )22124

3xxA −=

Simplificando: ( ) ( )23 1A x x= −

Por último, el volumen podemos calcularlo con la siguiente integral:

( )1

1V A x dx

−= ∫

( )1 2

13 1V x dx

−= −∫

1

3

1

33

xV x

−

= −

( )1 13 1 1

3 3V

− = − − − −

4 3

3V =

b b

b

b2

3

167

1. Calcula el volumen del sólido de revolución formado por la recta y = 3 + x/2 para el intervalo 0 ≤ x ≤10, si dicha recta gira alrededor del eje de las x.

2. Calcula el volumen del sólido de revolución formado por la recta y = 2 + x/3 para el intervalo 0 ≤ x ≤10, si dicha recta gira alrededor del eje de las x.

3. Calcula el volumen de un cono circular recto cuya base es un disco de radio igual a 2 m y con una altura de 4 m. Ayúdate de la figura del problema resuelto 2.

4. Calcula el volumen de un cono circular recto cuya base es un disco de radio igual a 5 metros y con una altura de 10 metros. Ayúdate de la figura del problema resuelto 2.

168

RESPUESTAS ESPERADAS

Unidad 1 1.1.2

1. Depende de la edad del alumno. Si el alumno tiene 17 años R= 12 años 2. 24.88 kg 3. 53 4. El resultado depende de la edad y peso del alumno.

1.1.3 5. 8.22 pag/ hora y 0.14 pag / min 6. 214.3 km/h 7. 0.096 ºC/minuto) 4. El resultado depende de la edad y peso del alumno.

1.2.2

{ }

1.

2. 2

3.

4.

R

R

R

R

− −

169

1.2.5 .

24

6

113

12

31

=∆∆

=∆∆

=∆∆

=∆∆

x

y.

x

y.

x

y.

x

y.

2.1.2

1. Función creciente. 2. Función creciente. 3. Función decreciente. 4. Función decreciente.

2.1.3

1. 700 g de barro, 210 ml de agua, 2.8 ≈ 3 limones y 329 g de azúcar. 2. 1875 ml de color blanco, 125 ml de color azul, 312.5 ml de color rojo y 187.5 ml

de secador transparente. 3. 550 g de harina, 366.66 g de mantequilla, 11 huevos y 311.66 g de azúcar.

2.2.1

e) X = 5 f) X = 6/7 g) X = 3 h) X = 4

2.2.2

1. 1611 euros.

2. 5298 euros.

3. 360,732 pesos.

170

4. 75,132 pesos.

5. 58,964 dólares.

2.2.4

a) X = 5

b) X = 5/6

c) X = 3

d) X = 10/3

2.2.6

a) ( )( ) 4 3 22 3 10 22 6f g x x x x x+ = + − + +

b) ( )( ) 7 6 5 4 3 24 2 14 4 27 106 126 27f g x x x x x x x• = − − − + − − −

c) ( )( ) 3 22 10 18 29g h x x x x= + + +o

Unidad 2 2.1.1

1. -2 2. 0

3. 5/2 4. -2

5. 1

6. 1/5

171

2.1.2 a 2.1.5

1. El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

2. La función se acerca a un valor constante, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.

3. Es la diferencia entre el valor final y el valor inicial. 4. Se representa por la letra correspondiente de la variable, precedida de la letra

griega delta y se lee "delta x = ∆x". 5. Diferenciable. 6. Diferenciación. 7. La primera para obtener la pendiente de la recta tangente a la curva de una

función en un punto determinado y la segunda para calcular la velocidad instantánea de un móvil en un instante dado.

8. ( )' 0f x = 9.

Con este valor y, aplicando la fórmula, se obtiene: ( )2 12f − = −

10. Una función f es continua en un número “a” de su dominio si se cumplen las

condiciones siguientes:

( )( )( ) ( )afxflim

existe xflim

existe af

ax

ax

=→

→

11. La discontinuidad de una función en un punto puede ser una discontinuidad

esencial o una discontinuidad eliminable . 12. Nos facilitan el aspecto operativo de la tarea de derivación.

( ) ( ) 1082222 =+=−−=− ³f

172

2.1.6

1. ' 3y = 2. ' 7y = 3. ' 4y = 4. ' 2 1y x= − 5. ' 4y x= 6. ' 6 5y x= −

2.2

Del 2.2.2 al 2.2.5

1. 3y '= 14x ²+36x -12

2. 2y '= 12x -24x+15

3. 2y '= 21(7x-2)

4. y '= 486x-162

5. y' = 95x-32

6. 2y '= 339x -342x -114

7. y' = 14/3(7x-2)

8. 2y '= 27/2(9x-3)

9. y' = 15x-5

10. 1

y' = 2 x

11. 3

'2 3x

y =

173

12. 3

'2 3x-2

y =

13. 2

3

9x'

2 3xy =

14. 2

3

9'

2 3 11

xy

x=

−

15. 3 4

2x'

9xy =

16. ( )

2

435

9 6'

5 3 6

xy

x x

−=−

17. 2 3445' 3

4y x x=

18. 5 2y '= 36x 54x−

19. 5 2y '= 108 189x x−

20. 3

3

3 15y '=

9x

x −

2.3.1

1. La gráfica es creciente en el eje real negativo y creciente en el eje real positivo. 2. La gráfica es creciente en el eje real negativo y creciente en el eje real

positivo. 3. La gráfica es decreciente en el eje real negativo y creciente en el eje real

positivo. 8. La gráfica es creciente en el eje real negativo y decreciente en el eje real

positivo. 9. La gráfica es creciente en el eje real negativo y creciente en el eje real

positivo. 10. La gráfica es decreciente en el eje real negativo y decreciente en el eje real

positivo.

174

2.3.2

1. ' 10 2; '' 10y x y= − =

2. 2' 1 2 3 ; '' 2 6y x x y x= − + = − +

3. ( )2' 6 1 2 ; '' 24 48y x y x= − − = −

4. ( ) ( )

2

2 3

2 4' ; ''

ab a by y

ax b ax b

−= =− −

5. 2 3

1 1 2; ''

2y y

x x= − + =

6. 2

' ; ''2 1 4 1

b by y

bx bx= =

− −

7. 22 40 0x y− − =

8. 7 16 0x y− − =

9. 4 2 0x y− − =

10. s = -1; v = 2; a = 14

11. v = -0.2m/s; a = 6m/s2

12. v = -16 ó v = 11

13. 12.8 pies/s

14. -44.4 pies/s

15. 6 cm/s

2.3.4

1. En x = 1.

2. En x = -1.

3. En x = 0.

175

4. No hay punto de inflexión.

a)

11. Hay un mínimo, en x = 2.

12. Hay un mínimo, en x = 4.

13. Hay un mínimo, en x = 1.

14. Hay un mínimo, en x = 1.

15. Hay un máximo, en x = 2.

16. Hay un mínimo, en x = 3.

17. Hay un mínimo, en x = 6.

18. Hay un máximo, en x = -2.

19. Hay un máximo, en x = -3/2.

20. Hay un máximo, en x = -2.

b)

1. Hay un mínimo, en x = 1.38.

2. Hay un mínimo, en x = 1 y un máximo, en x = 1/3.

3. Hay un mínimo, en 3x = y un máximo, en 3x = − .

4. Hay un mínimo, en 1

3x = y un máximo, en

1

3x = − .

5. Hay un mínimo, 0x = en y un máximo, en 2

3x = − .

6. Hay un mínimo, en 1

3x = − y un máximo, en

1

3x = .

7. Hay un mínimo, en 2

3x = y un máximo, en 2x = − .

8. Hay un mínimo, en 1x = − y un máximo, en 1x = .

176

c)

1. -10 y 10.

2. Demostración

3. Radio = 5.66 cm y altura = 11.31 cm

4. Hay un mínimo en (0, -2); un máximo en (-2, 2); Un punto de inflexión en (-1, 0).

5. Hay un mínimo en (-1, -5); un máximo en (2, 22); Un punto de inflexión en (0.5,

8.5).

6. Hay mínimos en (-2, -8) y en (5, -93.75); un máximo en (0, 0); Puntos de

inflexión en (3.08, -54.15) y en (-1.08, -4.23).

2.4.2

1. 25

2. 400

3. 50 cm²

4. 62 cm y h= 7.25 cm 5. 143 km al este de la primera bomba.

177

Unidad 3 3.1.2

1.

7

7

xC+

2. 34

3x C+

3. 4

1

4C

x− +

4.

5

5

axC+

5.

4 33 23

4 3

x xx C− − +

6.

4

4

xC+

7.

3 43

4

xC+

8. 2 2

x Cx

+ +

3.2.1.

1. 75

2. 25

3. 35

4. 15

178

5. 29/4

6. 1581

3.3.3

1. 1.38

2. 27

3. 202.7

4. 1.22

5. 2 2

2

b a−

6. 0.25

7. 64

8. 3 4 47

3 4 12

ab b a+ −

3.4.1

1. 8

2. 120

3. -12.7

4. -7.9

5. 0.25

6. 2.8

179

3.4.2

1. 88/3

2. 71/6

3. 40/3

4. 68/3 _________________

1. 970

3

π

2. 670

3

π

3. 16

3

π

4. 250

3

π

180

GLOSARIO

Cálculo:

Una rama de las matemáticas que estudia las variaciones entre dos o más variables desde el punto de vista instantáneo.

Cambio: Relación entre 2 o más variables, donde una de ellas (dependiente) varía en dependencia de otra u otras (independiente).

Continuidad: Es una condición de una función para que sea derivable.

Derivada: La razón de cambio de dos variables que se analizan con relación a un límite infinitesimal donde la variación es de casi cero.

Diferencial: Es la variación de la variable dependiente o independiente de manera infinitesimal y se usan para resolver integrales.

Función : Es la correspondencia biunívoca entre 2 o más variables, donde a cada valor del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio.

Infinitesimal: Es el análisis de cualquier valor extremadamente pequeño cuyos valores no son observables.

Integral: Es la operación contraria a la DERIVADA, es la suma de todas las diferenciales de una función.

Límite: Valor mínimo o máximo que puede tener una función para un punto dado de la variable independiente.

Máximo local: Es el punto más alto de una función dentro de un intervalo

Métodos de integración:

Son formas diferentes de resolver integrales cuando una fórmula inmediata no es suficiente para su solución.

Mínimo local: Es el punto más bajo de una función dentro de un intervalo

Regla: Un conjunto de pasos preestablecidos para realizar la solución de un problema.

Tender: Aproximarse. Teorema: Es una afirmación que requiere demostración.

Variable dependiente:

La que cambia de acuerdo a la variable de referencia.

Variable independiente:

La que cambia de manera aleatoria y es la más importante ya que es la básica de referencia.

181

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

1. Banach, S., 1996, Cálculo Diferencial e Integral, Limusa México. 2. Faires, Douglas J. y James DeFranzo. Precálculo 2001, International Thomson

Granville, W., 1992, Cálculo diferencial e integral. 15° Limusa, México. Editores, México.

3. Hughes, 2004, Cálculo Aplicado , CECSA, México. 4. Santaló Sors, Marcelo y Vicente Carbonell Chure, 2001, Cálculo Diferencial e

Integral, Editorial Exodo México. http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_02/cap2_2-1.html [Consulta 3 de septiembre 2004] www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaciones_derivada/crec_decrec_1.htm#1. http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_07/cap7_7-1.html http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_07/cap7_7-2.html www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Limite_en_un_punto_continuidad/Continuidad_funcion.htm www.descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Introduccion_derivadas/Derivada_1.htm www.descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Introduccion_derivadas/Derivada_2.htm www.descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Introduccion_derivadas/Derivada_3.htm www.descartes.cnice.mecd.es/Analisis/Introduccion_derivadas/Derivada_4.htm www.calc101.com/spanish/chain_rulee.html www.pntic.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/ Derivadas_aplicaciones_optimizacion/derivadasaplicaciones4.htm www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaciones_derivada/max_min_1.htm www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaciones_derivada/concavidad_1.htm www.descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/aplicaciones_derivada/optimiza.htm http://ma1.eii.us.es/Material/CI_iti_Ap_Int.pdf