Los números naturales

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto ,o bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).El conjunto de los números naturales está formado por N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.

La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.

5 − 3 3 − 5

El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la división es exacta.

6 : 2 2 : 6

La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta.

Los números enteros

Los números enteros son: = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero.

El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre cuando la división es exacta.

6 : 2 2 : 6

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.

La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.

Los números racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.

La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional.

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.

La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.

Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es

, que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los

números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Representación de los números reales

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

APROXIMACIONES.

En situaciones y donde debemos utilizar números decimales o números irracionales, se hace necesario aproximar. Una manera de aproximar es el redondeo.

Cuando redondeamos un número a una determinada cifra, observamos la cifra que está a

su derecha:

Si esta es mayor a 5 le sumamos 1 a la cifra anterior, es decir, a la que está a su

izquierda. (1)

Si esta es menor que 5, la cifra anterior no se altera. (2)

Si esta es igual a 5, entonces nos fijamos en la cifra anterior, si esta es número par, se

deja la misma cifra, y si es número impar, se deja en la cifra par siguiente. (3)

En cada caso, consideramos iguales a cero todas las cifras que están a la derecha de la

redondeada.

Ejemplos:

Al redondear 72,36 en décimos, nos queda 72,4 (porque al 3 le sigue 6 que es mayor que cinco, por (1))

Al redondear 7,462 en centésimas, nos queda 7,46 (porque al 6 le sigue 2 que es menor que 5, por (2))

Al redondear 7,465 en centésimas, nos queda 7,46 (porque al 6 le sigue un 5 y el 6 es par, por (3))

Al redondear 7,475 en centésimas, nos queda 7,48 (porque al 7 le sigue un 5 y el 7 es impar, por (3))

Al redondear 72,8 a unidades, queda 73.

Al redondear 116.500.000 a millones, quedaría 116.000.000

Al redondear 117.500.000 a millones, quedaría 118.000.000

Otra manera de aproximar es el truncamiento. Cuando truncamos un número en una cifra determinada, consideramos iguales a cero a todas las cifras que le siguen hacia la derecha.

Ejemplos:

Al aproximar 7,475 en décimas, nos queda 7,4. Al aproximar 7,447 en décimas, nos queda 7,4.

ACTIVIDADES

SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CAMPO NUMÉRICO.1. Si a es un número entero impar positivo, ¿qué expresión es siempre un

número irracional?

a) b) c) 11

Redondeado

Truncado

3,475 3,48 3,473,45 3,4 3,43,85 3,8 3,83,86 3,9 3,83,75 3,8 3,7

2. De las siguientes expresiones decimales, indica las que corresponden a números racionales y las que corresponden a números irracionales.

a) 0,243434343… 0,252252225…. 1,47474747…b) 0,01010101…. 3,25000000…. 5,67566756…

Coloca los siguientes números en un lugar adecuado del esquema. Éste representa a los diversos conjuntos numéricos.

-2,36’66666….

-842

-5

3. Completa con o :

IN Z Q II IR

(3,24 – 2,38) : 0,43

0,125 -

100 · 2.24 : 5

-1 : 100

-

4. Completa con el símbolo o (pertenece o no pertenece), según corresponda.

a) 3 ___ IN c) -3 ___ II e) ___ IR g) ___ Z

b) 3 ___ Q d) 0,2 ___ IR f) ___ Q h) ___ II

5. Completa con el símbolo o (estar incluido en ó no estar incluido en),:

a) II ___ IR c) IN ___ Q e) Q ___ II g) Z ___ IRb) IN ___ II d) IN ___ IR f) Z ___ II h) Q ___ Z

6.-OBSERVA QUE HACE LA OPERACIÓN U (UNIÓN) Y LA OPERACIÓN INTERSECCIÓN SOBRE

DOS CONJUNTOS.

UNIÓN INTERSECCIÓN.

QI

Z

N

AB

De acuerdo a lo visto arriba y a la relación existente entre los conjuntos IN, Z , Q , II y

IR ,realiza las siguientes operaciones:

a) Z IN = ________ b) Q IR = _______ c) IN Z = _______

d) Q II = ________ e) IR II = _______ f) Q =

_______

g) {0} Z = ________ h) II = ________ i) Z =

______

7. Encuentra 2 números racionales entre los dados.Localiza luego 2 irracionales

a) b) c) d)

0,0999 y 1

e) -0,035 y -0,04 f) -1 y -1,1 g) 0 y 1,005 h) 2,6 y APROXIMACIONES.

1. Redondea a los centésimos los siguientes números:a) 2,71828... b) c) 0,342 d) 7,5 e) 12,455 f) 3,14159...

Si en vez de redondear hubieses truncado los números anteriores, al hacer un cálculo con ellos, ¿con cuál forma de aproximación cometerías un error menor? Explica.

2. Usa tu calculadora y anota el valor de las siguientes raíces redondeando al milésimo.

3. Con ayuda de la calculadora y de redondeos compara los siguientes números

poniendo el signo < o >.

a) 1,23 _____ 1,223 c) _____ 2,45

b) _____ 2,235 d) ______ 0,3178374.-¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 6 cm? Da una aproximación decimal redondeada a las diezmilésimas del valor encontrado.