Apuntes de Clases - Tema 1. Numeros Reales

Carrera: Ingeniería en Alimentos

Curso: Análisis Matemático I

ConjuntosConjuntos

Extensión

• A = {0,1,2,3}

Comprensión

• A = { x / x es un numero entero ∧ 0 ≤ x ≤ 3}



Igualdad

• A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A

Unión

• A∪B = ( x / x ∈ A ∨ x ∈ B)

Relaciones

entre Conjuntos

Inclusión

• A ⊆ B ⇔∀ x : ( x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Intersección

• A∩B = ( x / x ∈ A ∧ x ∈ B)



Números Reales



INTERVALOS



COTAS

COTA SUPERIOR

k es cota superior de C ⇔ ∀ x : ( x ∈ C ⇒ x ≤ k )

Un conjunto está acotado superiormente si y solo si tiene cota superior.

SUPREMO (Extremo superior o cota superior mínima)

Es la menor cota superior.

s es supremo de C si y solo sí:

1 – Si s es cota superior , ∀ x : ( x ∈ C ⇒ x ≤ s) ∧

2 – Si k es cualquier cota superior de C ⇒ s ≤ k) Si el supremo de un conjunto existe, entonces éste es único.

MÁXIMO Cuando el Supremo pertenece al conjunto



COTA INFERIOR

h es cota inferior de A ⇔ ∀ x : ( x ∈ A ⇒ x ≥ h )

Un conjunto está acotado inferiormente si y solo si tiene cota superior.

INFIMO (Extremo inferior o cota inferior máxima)

Es la mayor cota inferior.

f es supremo de A si y solo sí:

1 – f es cota inferior de A, ∀ x : ( x ∈ A ⇒ x ≥ f ) ∧

2 – Si h es cota inferior de A ⇒ f ≥ h)

Si el INFIMO de un conjunto existe, entonces éste es único.

MÍNIMO Cuando el Ínfimo pertenece al conjunto



COTA SUPERIOR (k) COTA INFERIOR (h)

∀ x : ( x ∈ C ⇒ x ≤ k ) ∀ x : ( x ∈ A ⇒ x ≥ h )

SUPREMO (S): Menor k INFIMO (I): Mayor h

MÁXIMO: Si S ∈ C MÍNIMO: Si I ∈ C

Conjunto Mayorante: Conjunto Minorante: Conjunto Mayorante: Conjunto de k (Cotas Sup.)

Conjunto Minorante: Conjunto de h (Cotas Inf.)

Un conjunto está acotado si y solo sí admite una cota superior y una cota inferior



VALOR ABSOLUTO



x ≤≤≤≤ k ⇔⇔⇔⇔ -k ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ k

-k k

x ≥≥≥≥ k ⇔⇔⇔⇔ x ≤≤≤≤ - k ∧∧∧∧ x ≥≥≥≥ k



• Cualquier conjunto acotado puede incluirse en un intervalo cerrado

En efecto, si C está acotado, existe un número real positivo k tal que para cualquier elemento x del conjunto C se verifica:

x ≤≤≤≤ k Por lo tanto, el conjunto C ⊆ en el intervalo cerrado [-k ; k]

Por ejemplo: A = { x / -2 < x ≤ 6 } ⇒ A ⊆ [-6 ; 6]• Un conjunto acotado está siempre incluido en un entorno con centro en el origen.

Si C = { x / x ≤ k } y h > k, entonces C está incluido en el entorno E(0,h) de centro en el origen y radio h



BIBLIOGRAFIA

1.- RABUFFETTI HEBE T. Introducción al Análisis Matemático (Cálculo I). 15ª E. Buenos Aires: El Ateneo,

1999.

2.- GARCIA VENTURINI, ALEJANDRO – Axel Kicillof “Análisis Matemático I”. Ediciones cooperativas. 2006

3.- SADOSKY-GUBER: Cálculo Diferencial e Integral tomo I-II Librería y Editorial Alsina. Buenos Aires l995.

4.- CESAR A. TREJO: Matemática General (Cálculo diferencial e integral)

Volumen 2.Editorial Kapeluz A.S Edición Actualizada.

5.- CELINA REPETTO: Manual de Análisis Matemático (Primera parte

Con 1200 ejercicios) Cálculo diferencial de funciones de una variable

y sus aplicaciones. Ediciones Macchi última reimpresión.

6.- CELINA REPETTO: Manual de Análisis matemático (segunda parte con 1000 ejercicios) Cálculo integral

y sus aplicaciones. Serie numéricas. Series de potencias. Ecuaciones diferenciales sencillas. Ediciones

Macchi. Edición actualizada.

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