Apunte 4 - Aplicaciones de La Derivación Al Trazado de Gráficos I
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APUNTE DE CÁLCULO
DERIVADAS - GRAFICOS JUAN ESPINOZA B.
73
APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN AL TRAZADO DE GRÁFICOS
Partiremos esta sección con un teorema que intuitivamente resulta evidente, este es el teorema de los valores extremos. TEOREMA (De los valores extremos).
Si f es una función continua definida en un intervalo cerrado [[[[a, b]]]] , existe (por lo menos) un punto x1 ∈∈∈∈ [[[[a, b]]]], en el cual f toma el mayor valor, y existe(por lo menos) un punto x2 ∈∈∈∈ [[[[a, b]]]], donde f toma el menor valor. EJEMPLO:
1) Sea 2)( xxf = , definida en el intervalo cerrado [[[[0, 2]]]], la función es continua y alcanza su máximo en el punto (2, 4) y su mínimo en el punto (0, 0), esto se observa en el gráfico siguiente.
2) Veamos que la hipótesis de la continuidad es esencial, ya que la
función 2
1)(
−=x
xf es discontinua en el intervalo [[[[0, 3]]]], y no alcanza sus
extremos en este intervalo, esto se aprecia claramente en la gráfica, la función no tiene máximo ni mínimo en el intervalo. 2.6.2 TEOREMAS DE ROLLE Y DEL VALOR MEDIO TEOREMA (DE ROLLE):
Supongamos que f es continua en bxa ≤≤ y que ( )xf, existe
] [ b a, ∈∀x .
(0, 0)
(2,4)
X
Y
FIGURA 19: f (x) = x2 , es continua en el
intervalo [[[[0, 2]]]], y alcanza su Máximo y su
Mínimo allí.
X
Y
2 0 3
FIGURA 20: 2
1)(
−=x
xf, es discontinua en
el intervalo [[[[0, 3]]]], y no tiene Máximo ni
Mínimo en el intervalo.
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Si ( ) ( ) 0== bfaf , entonces debe existir al menos un punto
] [ b , 0 ax ∈ tal que:
( ) 0,
0 =xf
DEMOSTRACIÓN: Hay tres casos. CASO 1: (Trivial)
Si ( ) [ ] b a, x 0 ∈∀=xf , entonces ( ) 0, =xf
CASO 2: Si ( ) 0>xf en algún punto entre a y b.
Si ( ) 0>xf y ( ) ( ) 0== bfaf , entonces f tiene un valor máximo
positivo, sea el máximo por teorema anterior ( ) 00
, =xf .
Y Y
X
X 0
0
a b x0
a b x0.1
x0.2
Existe un valor (x0 ) que
satisface el teorema.
Pueden existir dos o más
valores que satisfacen el
teorema.
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CASO 3: Si ( ) 0<xf en algún punto entre a y b, entonces el valor mínimo de f
es negativo, sea ( )( )0xf ,
0x el mínimo. Por teorema anterior ( ) 0
, =xf
TEOREMA DEL VALOR MEDIO (T.V.M.)
Supongamos que f es Continua para bxa ≤≤ y que ( )xf, existe para
todo ] [ ba, ∈x . Entonces existe un ] [ b , 0 ax ∈ tal que:
( ) ( ) ( )ab
afbfxf
−−=0
,
Significado geométrico del teorema
La pendiente de la recta que pasa por QP ∧ es:
( ) ( )ab
afbfm
−−=
es la expresión del T.V.M.
X
Y
x0 a b
0
x0 a b X
Y L
P (a, f(a))
f(x0) Q (b, f(b))
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El Teorema dice que hay un punto ( )( )00 , xfx tal que la pendiente de la
recta tangente ( )( )0
,xf es igual a m, es decir las rectas son paralelas.
DEMOSTRACIÓN: La ecuación de la Recta L que pasa por QP ∧ es:
( ) ( ) ( ) ( )axab
afbfafy −
−−=−
Construimos la Función:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )afaxab
afbfxfxF −−
−−−=
Y aplicamos el TEOREMA DE ROLLE a ( )xF en
[ ] ( ) ( ) ( )xF ,0bFy 0aF , ==ba es Continua y diferenciable en ] [b a, ,
luego debe existir ] [ b , 0 ax ∈ tal que:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )afaxab
afbfxfxF
xF
−
−−−−=
= 00
,
Derivando e igualando a cero (Teorema de Rolle).
( ) ( ) ( ) ( )0
,, =−−−=ab
afbfxfxF Para algún ] [ b , 0 ax ∈
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )c.q.d.
,f
0,
0
0
ab
afbfx
ab
afbfxf
−−=
=
−−−
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EJEMPLO:
1. Hallar todos los números ] [ b , 0 ax ∈ tal que satisfacen el T.V.M.
Analizar en cada caso si se satisfacen las hipótesis.
a) ( ) 232 −−= xxxf [ ]2,00
∈x
b) ( )2
2
+−=x
xxf [ ]1,0
0∈x
c) ( )( )21
1
−=x
xf [ ]2,10
−∈x
SOLUCION:
a) ( )xf es continua y diferenciable en IR
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
10
x-13-2x
1,
12
2
02
24
4264223222)( 20
20 32,
=⇒=
−=⇒−=−=−
−−−=−−
−=−−=−⋅−==−==
=∧=−=
xfab
afbf
fbffaf
b axxf
∴ ∃∃∃∃ ] [0,2 10
∈=x
b) ( )( )
( ) ( )( )
( )1
13 1
22x
4
01
01
22
4,−−−
=+
⇒−−=
+= ff
xxf
( )( ) 6
22
3
2
22x
4 =+⇒=
+x
∴ ] [ 6262 x 1,04495,0620
±−=⇒±=+∈=+−= xx
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c) En este caso no es aplicable el T.V.M, ya que ( )xf no es continua en
[ ]2,1− .
DEFINICIÓN DE EXTREMOS Sea f definida en un intervalo I conteniendo c.
1. ( )cf es el mínimo de f en I si ( ) ( ) I x ∈∀≤ xfcf
2. ( )cf es el máximo de f en I si ( ) ( ) I x ∈∀≥ xfcf
El mínimo y el máximo de una función en un intervalo, se llaman Valores Extremos o extremos de la Función en ese intervalo. TEOREMA DEL VALOR EXTREMO Si f es Continua en un intervalo cerrado [ ]ba, entonces f tiene un máximo y también un mínimo en el intervalo.
-1 2
1
Máximo (2, 5)
Mínimo (0, 1) X
Y
Y
X -1 0
f(x)= x2 + 1 es continua en el
intervalo [-1, 2]
-2 1 2
1
1
1)(
+=x
xf es discontinua en
x = -1, f no tiene máximo ni
mínimo en ningún intervalo que
contenga a –1.
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DEFINICIÓN EXTREMOS RELATIVOS
1. Si existe algún intervalo abierto en el que ( )cf es el valor máximo, se
dice que ( )cf es un Máximo Relativo en f.
2. Si existe algún intervalo abierto en el que ( )cf es el valor mínimo, se
dice que ( )cf es un Mínimo Relativo de f. DEFINICIÓN DE NÚMERO CRÍTICO Si f está definida en c, se dirá que c es un número crítico de f si
( ) 0, =xf o si ,
f no está definida en c. Los extremos de una función solo ocurren en números críticos.
X
Y
C1
C2
,f (C1) =0
,f (C2) =0
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PROCEDIMIENTO PARA IDENTIFICAR LOS PUNTOS MÁXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS. Si se tiene la Función Continua f definida en el Intervalo cerrado [ ]uxix , :
1. Localice todos los puntos críticos ( )( )00 , xfx que se hallen dentro del
dominio de la Función sólo se consideran [ ]uxixx ,0 ∈ .
2. Calcule los valores de ( )xf en los extremos del intervalo ( )ixf y ( )uxf .
3. Compare los valores de ( )0xf para todos los puntos críticos relevantes
con ( )ixf y ( )uxf . El máximo absoluto es el mayor de estos valores.
El mínimo absoluto es el menor de ellos. EJEMPLOS: Determine los puntos máximos y mínimos absolutos de la
Función ( ) 562
27
3
3++−= x
xxxf en el intervalo 102 ≤≤ x .
SOLUCION: PASO I: Al calcular la primera derivada, se obtiene
( ) ( )( )16672, −−=+−= xxxxxf
( ) 1 6 0, =∨=⇒= xxxf
El único valor crítico dentro del dominio es x = 6
( ) ( ) ( ) 135662
267
3
366 −=++−=f El único punto crítico es ( )13,6 − .
( ) ( ) ( ) ( )13,6 057626,,
72,, −⇒>=−=−= fxxf Mínimo Relativo.
PASO II: Los valores de f(x) en los puntos extremos del intervalo son:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3
1
3
2
4851062
2107
3
31010
55262
227
3
322
=++−=
=++−=
f
f
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PASO III: Al comparar ( ) ( ) ( )10y 6,2 fff , se observa que el mínimo
absoluto de 13− ocurre cuando x = 6 y que el máximo absoluto de
.10 cuando presenta se 3
148 =x
EJERCICIOS:
1. Hallar los máximos y mínimos absolutos de:
a) ( ) [ ]10,2 en 2123 xxxf −=
b) ( ) ;4
2
55
6
6xx
xxf +−= donde 40 ≤≤ x
SOLUCIONES:
a) Máximo Absoluto ( )40,2 −
Mínimo Absoluto ( )256,8 −
b) Máximo Absoluto ( )3
2298 ,4
Mínimo Absoluto ( )0,0
Y
X 2 10 0
(6, -13)
Mínimo Absoluto
(10, 483
1 )
Máximo absoluto
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FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES. EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.
DEFINICIÓN: (FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES) Una función f se dice Creciente en un intervalo si para todo par de números
2y
1xx en el Intervalo,
2
1xx < implica ( ) ( )
21xfxf <
Una función f se dice Decreciente en un intervalo si para todo par de números
2y
1xx en el Intervalo.
2
1xx < implica ( ) ( )
2
1xfxf >
TEOREMA: CRITERIO PARA FUNCIONES CRECIENTES O DECRECIENTES. Sea f una función derivable en el intervalo ] [ba,
1) Si ( ) 0, >xf Para todo x en ] [ba, , entonces f es Creciente en ] [ba,
2) Si ( ) 0, <xf Para todo x en ] [ba, , entonces f es Decreciente en ] [ba,
3) Si ( ) 0, =xf Para todo x en ] [ba, , entonces f es Constante en ] [ba,
DEMOSTRACIÓN: (Del primer caso)
Supongamos que ( ) 0, >xf para todo x en ] [ba, sean
2
1xx < dos
puntos de Intervalo. Por el Teorema del valor medio, sabemos que existe un
0x tal que 21 0 xxx << y ( )
( ) ( )12
12,0
xx
xfxfxf
−
−= , como ( ) 0
,0 >xf y 0
12>− xx ,
sabemos que ( ) ( ) 012
>− xfxf , lo cual implica que ( ) ( )21xfxf <
∴ f es Creciente en el Intervalo.
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EJEMPLO 1: Determinar los intervalos donde f es Creciente o Decreciente.
a) ( ) 2
2
33 xxxf −=
SOLUCION: f es continua en todo IR
1°) Hallamos los puntos críticos de f, hacemos ( ) 0, =xf
( )
( )
críticos númerosson 12
01
013
0323,
=∧=
=
=−=
x x
x-x
xxxf
Como no hay puntos en los que ,f no este definida concluimos que 0
y 1 son los únicos números críticos.
2°) Construimos una tabla con los Intervalos determinados por los números críticos.
INTERVALO 0<<∞− x 10 << x +∞<< x1
VALOR PRUEBA 1−=x
2
1=x 2=x
SIGNO DE ( )xf, ( ) 061
, >=f 0
4
3
2
1, <−=
f ( ) 062
, >=f
CONCLUSIÓN ( )xf
Creciente Decreciente Creciente
X
Y
0
( 1, -½)
2
2
33)( xxxf −=